苏教版高中数学必修三 第36课时7.3.2几何概型(2)

第36课时7.3.2几何概型 学习要求

1、能运用模拟的方法估计概率，掌握模拟估计面积的思想；

2、熟练运用几何概型解决关于时间类型问题. 【课堂互动】

自学评价

例1 在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 小于AC 的概率．（＂测度＂为长度）

【分析】点M 随机地落在线段AB 上，故线段AB 为区域D ．当点M 位于图335--中线段'AC 内时，AM AC <，故线段'AC 即为区域d ．

【解】在AB 上截取'AC AC =．于是 '()()P AM AC P AM AC <=< '

AC AB =AC AB

=2=．

答：AM 小于AC

的概率为2．

例2 某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率．

【分析】假设他在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件. 【解】设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A 恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)= 605060-=61，即此人等车时间不多于10分钟的概率为61． 【说明】在本例中，到站等车的时刻X 是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X 服从[0,60]上的均匀分布，X 为[0,60]上的均匀随机数． 【小结】在许多实际问题中，其几何概型特征并不明显，要能将它们转化为几何概型，并正确应用几何概型的概率计算公式解决问题．如与时间有关的等候问题、约会问题，与数域有关的点集问题等等。 【精典范例】 例 3 有一个半径为5的圆，现在将一枚半径为1硬币向圆投去，如果不考虑硬币完全落在圆外的情况，试求硬币完全落入圆内的概率． 【解】由题意，如图，因为硬币完全落在圆外的情况是不考虑的，所以硬币的中心均匀地分布在半径为6的圆O 内，且只有中心落入与圆O 同心且半径为4的圆内时，硬币才完全落如圆内．记＂硬币完全落入圆内＂为事件A ，则9464)(22=⋅⋅=ππA P ． 答：硬币完全落入圆内的概率为49． 例4 约会问题 两人相约8点到9点在某地会面，先到者

等候另一人

20分钟，过时就可离去，试求这

两人能会面的概率．

【解】以,x y 分别表

示两人的到达时刻，

则两人能会面的充要条件为20x y -≤，

这是一个几何概率问

题，可能的结果全体是边长为60的正方形里的点，能会面的点的区域用阴影标出（如上图）．所求概率为

22260405()609

d P A D -===的面积的面积． 答：两人会面的概率为59

．

追踪训练

1、已知地铁列车每10min 一班，在车站停1min ，求乘客到达站台立即乘上车的概率． 解：由几何概型知，所求事件A 的概率为：

1()11

P A =

． 2、在区间(10,20]内的所有实数中,随机取一个实数a ,则这个实数13a <的概率是___17__.

3、某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台的整点报时,求他等待的时间不多于15分钟的概率.

解：由几何概型的求概率的公式得

60451()604

P A -=

=,即“等待整点报时的时间不超过15分钟”的概率为14.