北师大版高中数学必修四第三章章末测试
(常考题)北师大版高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试(含答案解析)(4)
一、选择题1．已知23cos sin2αβ+=，1sin sin cos 3αββ+=，则)os(c 2αβ+=（ ）A ．49B ．59 C ．536D ．518-2．已知tan 2α=，则sin cos 2sin cos αααα+=-（ ） A ．1 B ．1- C ．2D ．2-3．已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中,a b ∈R ，且0ab ≠，若()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，则（ ）. A ．ππ56f f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()5π2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．π4f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数 D ．π4f x ⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数 4．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2παβπ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，且4cos 5α=，2sin()3αβ+=，则（ ）A ．0,3πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ B ．,32ππβ⎛⎫∈⎪⎝⎭ C ．2,23ππβ⎛⎫∈⎪⎝⎭D ．2,3πβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭5．设等差数列{}n a 满足：()22222222272718sin cos cos cos sin sin 1sin a a a a a a a a -+-=+，公差()1,0d ∈-．若当且仅当11n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是（ ） A ．9,10ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．9,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,10ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭6．已知()2020cos2020f x x x =+的最大值为A ，若存在实数1x ，2x ，使得对任意的实数x ，总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（ ） A ．2020π B ．1010π C ．505π D ．4040π 7．在ABC 中三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且222b c a +=，2bc =，则角C 的大小是（ ）A ．6π或23π B ．3πC ．23π D ．6π 8．已知角α满足1cos()63πα+=，则sin(2)6πα-=（ ）A．9-B．9C ．79-D ．799．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．17 B ．7C ．17-D ．-710．若11sin cos αα+=sin cos αα=（ ） A ．13-B ．13C ．13-或1D ．13或1- 11．设函数()f x =sin()cos()x x ωϕωϕ+++（ω＞0，||ϕ＜2π）的最小正周期为π，且()f x -=()f x ，则()f x （ ）A ．在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ．在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 12．已知函数()()()()21cos cos 02f x x x x ωωωω=+->，若()f x 在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为（ ） A ．(]0,2B ．(]0,1C ．2,13⎛⎤⎥⎝⎦D ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦二、填空题13．给出下列命题：①存在实数α使得sin cos 1αα=； ②存在实数α使得3sin cos 2αα+=； ③5sin 22y x π⎛⎫ ⎪⎝=⎭-是偶函数； ④8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程； ⑤若α、β是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>， 其中正确命题的序号是______.14．设a ，b 是非零实数，且满足sincos1077tan 21cos sin 77a b a b πππππ+=-，则b a ＝_______．15．若1tan 20201tan αα+=-，则1tan 2cos 2αα+=____________.16．求值：sin 50sin 30sin10cos50cos30sin10︒+︒︒︒-︒︒=_______17．已知cosα17=，cos(α﹣β)1314=，且0<β<α2π<，则sinβ=_____.18．已知α，β均为锐角，()5cos 13αβ+=-，π3sin 35β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______.19．已知()()sin 2sin 223cos cos 2πθπθπθπθ⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，则22sin 2sin cos cos θθθθ+-=___________.20．已知sin 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 2θ=___________． 三、解答题21．已知函数()sin()1g x ax bπ=-++，从下面三个条件中任选一个条件，求出,a b 的值，并解答后面的问题. ①已知函数f (x )＝2sin(x ＋6π)·sin(x －3π)＋2的最小值为a ，最大值为b ； ②已知0,0a b >>，且4a b +=，当19a b+取到最小值时对应的a ，b ； ③已知函数3()f x b x a=+-，满足(1)(1)6f x f x -++=. （1）选择条件________，确定,a b 的值；（2）求函数()g x 的单调递增区间和对称中心.22．在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． ①函数1()cos sin (0)2264f x x x ωωπω⎛⎫⎛⎫=+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．②函数1()sin +cos()(0)224f x x x x ωωωω⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ③函数()1()sin 0,||22f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭对任意x ∈R 都有5()06f x f x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭成立；已知_______（填所选条件序号），函数()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π． （1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求函数()f x 的单调递增区间和对称中心､对称轴． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．23．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式. （2）若3()5f x =-，且36x ππ-<<，求cos2x 的值.24．求值：（1）cos540tan 225cos(330)sin(240)︒︒︒︒+--+-；（2）1cos201sin10tan 52sin 20tan 5︒︒︒︒︒+⎛⎫-- ⎪⎝⎭25．在直角坐标系xOy 中，已知锐角α和β的顶点都在坐标原点，始边都与x 轴非负半轴重合，且终边与单位圆分别交于点5,13P m ⎛⎫⎪⎝⎭和点3,5Q n ⎛⎫⎪⎝⎭，求()sin αβ-的值. 26．已知函数3()sin (cos 3)2f x x x x =+-. （1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值及函数()f x 的单调增区间； （2）若,122x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式()2m f x m <<+恒成立，求实数m 的取值集合.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【分析】将所给条件分别用二倍角公式变形可以得到2cos cos22αβ-=，22sin sin 23αβ+=，然后平方相加化简计算即可求得结果. 【详解】 由23cos sin2αβ+=知2cos cos22αβ-=①，在1sin sin cos 3αββ+=两边同时乘以2得22sin sin 23αβ+=②，将①②两个等式平方相加得()4414cos 249βα+-+=+，解得()5cos 236αβ+=.故选：C. 【点睛】思路点睛：出现两个角的三角函数的和差，求两角和的正弦或余弦时常采用平方相加或平方相减，化简计算可得到两角和或差的三角函数值.2．A解析：A 【分析】已知正切值要求正余弦值，可以利用商的关系将“弦化切”，代入数值即可. 【详解】原式分子分母同除以cos α得 原=tan 12112tan 141αα++==--故选：A. 【点睛】已知正切值求正余弦值,通常有两种做法：一是将所求式子分子分母同除cos α或2cos α，化为tan α求解； 二是利用sin tan cos ααα=得sin tan cos ααα=代入消元即可. 3．B解析：B 【分析】利用辅助角公式可得()()f x x ϕ=+，又()π4f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立知π422f a ⎛⎫=+=⎪⎝⎭a b =，整理得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性可判断A ，利用诱导公式以及三角函数的奇偶性可判断选项BCD ，进而可得正确选项. 【详解】由0ab ≠知0a ≠且0b ≠，利用辅助角公式可得()()sin cos f x a x b x x ϕ=+=+，其中tan baϕ=， 又()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，知π4f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最值，所以πππsin cos 44422f b a a b ⎛⎫=+=+= ⎝⎪⎭， 即22221122a b ab a b +++=，所以2211022a b ab +-=，即()2102a b -=， 所以a b =，tan 1b a ϕ==，可得4πϕ=，所以()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于选项A ：9sin sin 55420f ππππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 5sin sin 66412f ππππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为5912202πππ<<，则59sin sin 1220ππ<，当0a >时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0a <时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项A 不正确； 对于选项B ：sin sin 5π5π11π3π2244sin 4f x x x x π⎛⎫-=--- ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭()ππ4sin sin 4x f x x π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--+，故选项B 正确；对于选项C ：sin sin ππ444x x f x π⎛⎫--⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭是奇函数，故选项C 不正确；对于选项D ：si πππ442n sin cos 4f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎛⎫+++ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝是偶函数，故选项D 不正确， 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是从已知条件()π4f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，知π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的最值，π422f a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，从而得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，属于中档题.4．C解析：C 【分析】 由0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2παβπ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，可得()0,βπ∈，再由()βαβα=+-展开式结合同角三角函数关系可得1cos (,0)2β=-，从而得解. 【详解】 由0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2παβπ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，,02πα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，可得()0,βπ∈.又4cos 5α=，2sin()3αβ+=，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以3sin 5α==，cos()αβ+==. 所以cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++4236(0353515-=-⨯+⨯=<.102+=>，所以1cos (,0)2β∈- 所以2,23ππβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】方法点睛：在利用两角和与差的三角函数公式求值或化简时，常根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论的差异，使问题获解，常见角的变换方式有：()ααββ=+-，2()()ααβαβ=++-，2()αβααβ-=+-等.5．D解析：D 【解析】因为22222222272718sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，所以由余弦二倍角公式、平方差公式及两角和与差的余弦公式可得2272718cos 2cos()cos()1sin()a a a a a a a -+-+=+，再运用积化和差公式可得227181cos 2[cos 2cos 2]21sin()a a a a a -++=+，即72181[cos 2cos 2]21sin()a a a a -=+，再由差化积公式可得727218sin()sin()1sin()a a a a a a --+=+．由于{}n a 是等差数列，因此1827a a a a +=+，即1827sin()sin()a a a a +=+，所以72sin()1a a -=-即sin51d =-注意到()1,0d ∈-，则()55,0d ∈-，所以5210d d ππ=-⇒=-，故对称轴方程故等差数列的前n 项和是1(1)2n n n S na d -=+，即221()()222020n d d S n a n n a n ππ=+-=-++，其对称轴是1202a n ππ+=，由题设可得1202123222a ππ+<<，即11110a ππ<<，应选答案D ．点睛：解答本题的关键是先借助三角变换中的两角和差的余弦公式、余弦二倍角公式、积化和差与和差化积公式等三角变换公式进行化简，再借助差数列的定义和性质求出等差数列的公差10d π=-，然后将等差数列的前n 项和公式1(1)2n n n S na d -=+变形为221()()222020n d d S n a n n a n ππ=+-=-++，借助对称轴11n =的位置建立不等式组1202123222a ππ+<<，进而求得数列首项的取值范围是11110a ππ<<． 6．B解析：B 【分析】化简函数()f x 的解析式可得周期与最大值，对任意的实数x ，总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，即12x x -半周期的整数倍，代入求最小值即可．【详解】()2020cos 20202sin 20206f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则220201010T ππ==，2A = 1212210101010A x x ππ-≥⨯⨯=故选：B【点睛】本题考查正弦函数的性质，考查三角恒等变换，考查周期与最值的求法，属于中档题．7．A解析：A 【分析】由222b c a +=可得cosA =2bc =可得2A =C 值. 【详解】∵222b c a +=，∴cos A 2222b c a bc +-===， 由0＜A ＜π，可得A 6π=，∵2bc =，∴2A =∴5sin 64C sinC π⎛⎫-=⎪⎝⎭，即()1sinCcosC 12244cos C +-=解得50C 6π<< ∴2C=3π或43π，即C=6π或23π 故选A 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的运用，同时考查两角和差的正弦公式和内角和定理，属于中档题．8．D解析：D 【分析】由已知利用诱导公式可求133sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，sin 2263cos ππαα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由二倍角公式化简，即可得结果． 【详解】162633cos sin sin ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，2sin 2cos 2cos 2262633cos πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦22171212()339sin πα⎛⎫=--=-⨯= ⎪⎝⎭．故选D ． 【点睛】本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．三角函数求值有三类，(1)“给角求值”；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种系；(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．9．A解析：A 【分析】根据角的范围以及平方关系求出4cos ,5α=-再利用商的关系求出3tan 4α=-，最后由两角和的正切公式可得答案. 【详解】 因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3sin 5α=，所以4cos ,5α==-sin 3tan cos 4ααα==-， tan tan4tan 41tan tan 4παπαπα+⎛⎫+== ⎪⎝⎭-⋅17 故选：A. 【点睛】本题主要考查平方关系、商的关系以及两角和的正切公式，属于基础题.10．A解析：A 【分析】将已知式同分之后，两边平方，再根据22sin cos 1αα+=可化简得方程23(sin cos )2sin cos 10αααα--=，解出1sin cos 3αα=-或1，根据111sin cos sin 2,222ααα⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，得出1sin cos 3αα=-.【详解】由11sin cos sin cos sin cos αααααα++== 两边平方得22(sin cos )(sin cos )αααα+ 222sin cos 2sin cos (sin cos )αααααα++=212sin cos 3(sin cos )αααα+==23(sin cos )2sin cos 10αααα∴--=，1sin cos 3αα∴=-或1，111sin cos sin 2,222ααα⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，1sin cos 3αα∴=-.故选：A. 【点睛】本题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正弦函数公式，属于中档题，要注意对sin cos αα范围的判断.11．A解析：A 【分析】由题意结合三角恒等变换得()+4f x x πωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由三角函数的性质可得ω、ϕ，再由三角函数的图象与性质即可得解.【详解】由题意()sin()cos()+4f x x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++=+ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的最小正周期为π，且()f x -=()f x ， 所以2ππω=，且+4πϕ=,2k k Z ππ+∈，解得ω=2，ϕ=,4k k Z ππ+∈，又||ϕ<2π，所以ϕ=4π，所以()f x =2+2x π⎛⎫⎪⎝⎭2x ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()20,x π∈，故()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故A 正确，C 错误； 当3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,232x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故B 、D 错误. 故选：A. 【点睛】本题考查了三角函数图象与性质的综合应用，考查了三角恒等变换的应用，牢记三角函数图象的特征是解题关键，属于中档题.12．D解析：D 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数()f x ，根据()f x 在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，建立不等关系，解出ω的取值范围． 【详解】 因为()1cos 21sin 2sin 22226x f x x x ωπωω+⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭，由题意得,362,262ωπππωπππ⎧-+≥-⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩解得23ω≤，又0>ω，所以203ω<≤. 故选：D 【点睛】本题考查正弦函数单调性的应用，考查三角恒等变换，属于中档题．二、填空题13．③④【分析】利用二倍角的降幂公式结合正弦函数的有界性可判断①的正误；利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可判断②的正误；化简函数解析式结合余弦函数的奇偶性可判断③的正误；利用代入检验法可判断④的正误；解析：③④ 【分析】利用二倍角的降幂公式结合正弦函数的有界性可判断①的正误；利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可判断②的正误；化简函数解析式，结合余弦函数的奇偶性可判断③的正误；利用代入检验法可判断④的正误；利用特殊值法可判断⑤的正误. 【详解】对于命题①，111sin cos sin 2,222ααα⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦， 所以，不存在实数α使得sin cos 1αα=，①错误； 对于命题②，sin cos 4πααα⎛⎫⎡+=+∈ ⎪⎣⎝⎭， 所以，不存在实数α使得3sin cos 2αα+=，②错误； 对于命题③，si o 5s 2n c 2i s n 222x y x x ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝-⎭-⎭=⎝， ()cos 2cos2x x -=，所以，函数5sin 22y x π⎛⎫⎪⎝=⎭-是偶函数，③正确；对于命题④，当8x π=时，min 53sin 2sin 1842y y πππ⎛⎫=⨯+==-= ⎪⎝⎭， 所以，8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程，命题④正确； 对于命题⑤，取9244παππ=+=，4πβ=，αβ>，但tan 1tan αβ==，⑤错误.因此，正确命题的序号为③④. 故答案为：③④. 【点睛】本题考查有关三角函数命题真假的判断，考查了三角函数的有界性、正弦型函数的奇偶性、对称性以及正切值大小的比较，考查计算能力与推理能力，属于中等题.14．【分析】先把已知条件转化为利用正切函数的周期性求出即可求得结论【详解】因为（tanθ）∴∴tanθ＝tan （kπ）∴故答案为【点睛】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用考查了两角和的正切公式属于中档题【分析】先把已知条件转化为10721717btana tan tanb tan a πππθπ+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭-．利用正切函数的周期性求出3k πθπ=+，即可求得结论．【详解】因为10721717btana tan tanb tan a πππθπ+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭-，（tanθb a =）∴10721k ππθπ+=+∴3k πθπ=+．tanθ＝tan （k π3π+）=∴ba=． 【点睛】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，考查了两角和的正切公式，属于中档题．15．2020【分析】由条件求出化简待求式为的形式即可求解【详解】因为解得所以故答案为：2020【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系考查了运算能力属于中档题解析：2020 【分析】由条件求出tan α，化简待求式为tan α的形式即可求解. 【详解】 因为1tan 20201tan αα+=-，解得2019tan 2021α=， 所以222222221cos sin 2tan 1tan 2tan tan 2cos 2cos sin 1tan 1tan 1tan αααααααααααα+++=+=+---- 2220191(1tan )1tan 2021=202020191tan 1tan 12021αααα+++===---， 故答案为：2020 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，考查了运算能力，属于中档题.16．【分析】根据代入原式利用正余弦的和差角公式求解即可【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了非特殊角的三角函数化简与求值需要根据所给的角度与特殊角的关系并利用三角恒等变换进行求解属于中档题【分析】根据506010︒=︒-︒，代入原式利用正余弦的和差角公式求解即可. 【详解】()()sin 6010sin 30sin10sin 50sin 30sin10cos50cos30sin10cos 6010cos30sin10︒-︒+︒︒︒+︒︒=︒-︒︒︒-︒-︒︒sin 60cos10cos60sin10sin 30sin10cos60cos10sin 60sin10cos30sin10︒︒-︒︒+︒︒=︒︒+︒︒-︒︒sin 60cos10tan 60cos60cos10︒︒==︒=︒︒【点睛】本题主要考查了非特殊角的三角函数化简与求值，需要根据所给的角度与特殊角的关系，并利用三角恒等变换进行求解.属于中档题.17．【分析】利用同角三角函数的基本关系式求得的值由的值【详解】依题意则所以所以所以故答案为：【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正弦公式考查化归与转化的数学思想方法属于基础题【分析】利用同角三角函数的基本关系式求得()sin ,sin ααβ-的值，由()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦的值. 【详解】 依题意02πβα<<<，则02πβ>->-，所以02παβ<-<，所以sin α==，()sin αβ-==()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()sin cos cos sin ααβααβ=---131147=-==故答案为：2【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.18．【分析】先求出再由并结合两角和与差的正弦公式求解即可【详解】由题意可知则又则或者因为为锐角所以不成立即成立所以故故答案为：【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式的应用考查同角三角函数基本关系的应用考查 解析：3365-【分析】先求出()sin αβ+，πcos 3β⎛⎫+⎪⎝⎭，再由()ππsin sin 33ααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，并结合两角和与差的正弦公式求解即可. 【详解】 由题意，可知0,παβ，则()sin 1213αβ+===，又π31sin 352β⎛⎛⎫+=∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则πππ,364β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，或者π3π5π,346β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 因为β为锐角，所以πππ,364β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭不成立，即π3π5π,346β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭成立，所以π4cos 35β⎛⎫+===- ⎪⎝⎭.故()ππsin sin 33ααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()ππsin cos cos sin 33αββαββ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭533311245651533⎛⎫-⨯=- ⎪⎛⎫=⨯--⎝ ⎪⎝⎭⎭.故答案为：3365-. 【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式的应用，考查同角三角函数基本关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.19．【分析】利用诱导公式结合弦化切的思想求出的值然后在代数式上除以并在所得分式的分子和分母中同时除以可得出关于的分式代值计算即可【详解】解得因此故答案为：【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数的商数关系 解析：75【分析】利用诱导公式结合弦化切的思想求出tan θ的值，然后在代数式22sin 2sin cos cos θθθθ+-上除以22sin cos θθ+，并在所得分式的分子和分母中同时除以2cos θ可得出关于tan θ的分式，代值计算即可. 【详解】()()sin 2sin sin cos tan 1223sin cos tan 1cos cos 2πθπθθθθπθθθθπθ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭===--⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，解得tan 3θ=.因此，22222222sin 2sin cos cos tan 2tan 1sin 2sin cos cos sin os tan 1θθθθθθθθθθθθθ+-+-+-==++2232317315+⨯-==+. 故答案为：75.【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数的商数关系化简求值，解题的关键就是求出tan θ的值，考查运算求解能力，属于中等题.20．【分析】根据可得的值将平方结合正弦的二倍角公式即可计算出的值【详解】因为所以所以所以且所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过展开得到的值再根据与之间的关系：去完成求解解析：23【分析】根据sin 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得sin cos θθ-的值，将sin cos θθ-平方结合正弦的二倍角公式即可计算出sin 2θ的值. 【详解】因为sin 46πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭)sin cos θθ-=sin cos θθ-=， 所以()21sin cos 3θθ-=且22sin cos 1θθ+=， 所以112sin cos 3θθ-=，所以2sin 23θ=， 故答案为：23. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过展开sin 4πθ⎛⎫-⎪⎝⎭得到sin cos θθ-的值，再根据sin cos θθ-与sin 2θ之间的关系：()2sin cos 1sin 2θθθ-=-去完成求解. 三、解答题21．（1）1,3a b ==；（2）递增区间为7[2,2]()66k k k Z ππππ++∈，对称中心为,13k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k Z ∈. 【分析】（1）选择条件①，利用两角和与差的公式，二倍角公式和辅助角公式整理函数()f x ，利用最值即求得参数,a b ；选择条件②，妙用“1”代入，使用基本不等式，计算取等号条件，即求得参数,a b ；根据分式函数对称中心和已知条件对照，即求得参数,a b ； （2）先利用参数,a b 得()sin()13g x x π=-++，再利用整体代入法求函数单调增区间和对称中心即可. 【详解】解：（1）选择条件①，()2sin()sin()263f x x x ππ=+-+，故111()=2cos sin 2sin 222222f x x x x x x x ⎫⎛⎫⎛⎫++=-++⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()sin(2)23f x x π∴=-++，当sin(2)13x π+=-时，max ()3f x =；当sin(2)13x π+=时，min ()1f x =.故1,3a b ==；选择条件②，0,0a b >>，4a b +=，则19119191()()(19)(104444b a a b a b a b a b +=++=+++≥+=，当且仅当9b a a b=时，等号成立，即3b a =代入4a b +=，得1,3a b ==； 选择条件③，函数3()f x b x a=+-的定义域{}x x a ≠，值域为{}y y b ≠，即该分式函数对称中心为(),a b ，又(1)(1)6f x f x -++=得()f x 对称中心为()13，， 故1,3a b ==；（2）由（1）知1,3a b ==， 得()sin()13g x x π=-++，要使()g x 递增，只需sin()3x π+递减，故令322,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 解得722,66k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以()g x 递增区间为72,2()66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，令3x k ππ+=，解得：3x k ππ=-+，k Z ∈，所以()g x 的对称中心为,13k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k Z ∈.【点睛】 方法点睛：求三角函数性质问题时，通常先利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式及辅助角公式将函数化简成基本形式()()sin f x A x b ωϕ=++，再利用整体代入法求解单调性、对称性等性质.22．条件性选择见解析，（1）14；（2）单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦； 对称中心的坐标为,0,212k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭；对称轴为直线26k x ππ=+，k Z ∈. 【分析】 选择条件①：()f x 11cos cos22224x x x ωωω⎫⎛⎫=+-⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭11cos sin 4426x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，再根据相邻两对称轴之间距离为2π，可得ω从而求出()f x ；选择条件②：()f x 11cos sin 426x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，相邻两对称轴之间距离为2π，可得ω，从而求出()f x ； 选择条件③：()f x 相邻两对称轴之间距离为2π，求出ω，对任意x ∈R 都有5()06f x f x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭成立，则()f x 的图象关于5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，可求出ϕ，从而得出()f x ；（1）由于选择哪种情况，都有1()sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，代入3f π⎛⎫⎪⎝⎭可得答案. （2）分别根据正弦函数的单调递增区间、对称中心、对称轴可得答案. 【详解】选择条件①：依题意，()1cos sin 2264f x x x ωωπ⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即有：()11cos cos22224f x x x x ωωω⎫⎛⎫=+-⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得：211()cos cos 22224f x x x x ωωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即有：11()cos sin 4426f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 又因为()f x 相邻两对称轴之间距离为2π，则周期为π，从而2ω=， 从而1()sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ；选择条件②：依题意，()1cos cos 224f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即有：11()cos sin 4426f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 又因为()f x 相邻两对称轴之间距离为2π，则周期为π，从而2ω=， 从而1()sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 选择条件③：依题意，()f x 相邻两对称轴之间距离为2π，则周期为π，从而2ω=， 对任意x ∈R 都有5()06f x f x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭成立， 则()f x 的图象关于5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则5212k πϕπ⨯+=，k Z ∈，由||2ϕπ<知6π=ϕ，从而1()sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； （1）由于选择哪种情况，都有1()sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以11sin 233264f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）1()sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 单调递增区间为2222621,k x k k z πππππ-≤+≤+∈， 解得,,36x k k k Z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦，从而()f x 的单调增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 又由2,6x k k Z ππ+=∈，所以212k x k Z ππ=-∈，， 得()f x 的对称中心的坐标为,0,212k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭， ()f x 的对称轴为直线2,62x k k Z πππ+=+∈，即26k x ππ=+，k Z ∈. 【点睛】 关键点点睛：本题考查了三角函数解析式的化简，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.23．（1）()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）310. 【分析】（1）根据最大值求出A ，根据周期求出ω，根据极大值点求出ϕ（2）根据角的范围求出4cos 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，将cos2x 写成cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角和与差的余弦公式展开，求解即可. 【详解】（1）由图知121,,2362A T πππ==-= ,2πω∴==T 又22,,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈26k πϕπ∴=+ 又||2πϕ<，,()sin 266f x x ππϕ⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭ （2）3()5f x =- 所以3sin 265x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，,236262x x πππππ-<<-<+<， 又因为34sin 2,cos 26565x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以 cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ cos 2cos sin 2sin 6666x x ππππ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭431552=-⨯=【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ. (2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.24．（1）0（2）2【分析】（1）利用诱导公式化简，即可求解； （2）先利用二倍角公式化简1cos 202sin 20︒︒+，由切化弦化1tan 5tan 5︒︒-， 通分后利用两角差的正弦公式展开即可化简求值.【详解】利用（1）原式cos(3180)tan 45cos30sin 60110;22︒︒︒=⨯︒+-+=-+-+= （2）原式=22cos 10cos5sin 5sin10()4sin10cos10sin 5cos5︒︒︒=-︒-︒︒︒︒ 22cos10cos 5sin 5cos10cos10cos10sin10sin102cos1012sin10sin 5cos52sin102sin10sin102︒︒-︒︒︒︒=-︒=-︒⋅=-︒︒︒︒︒︒︒cos102sin 20cos102sin(3010)2sin102sin10︒-︒︒-︒-︒==︒︒1cos102(cos10)222sin10︒︒︒︒-=== 【点睛】关键点点睛：三角函数化简求值，需要根据式子的结构特征选择合适的公式，并且要注意公式的正用、逆用，特别是复杂式子的灵活运用，属于难题.25．3365- 【分析】 利用已知求出1213m =和45n =，再利用差角的正弦公式求解. 【详解】锐角α和β的顶点都在坐标原点始边都与x 轴非负半轴重合， 且终边与单位圆交于点5,13P m ⎛⎫⎪⎝⎭和点3,5Q n ⎛⎫ ⎪⎝⎭， cos 0m α∴=>，5sin 13α=，2251169m +=，3cos 5β=，sin 0n β=>，29125n +=， 求得1213m =，45n =， 5312433sin()sin cos cos sin 13513565αβαβαβ∴-=-=⨯-⨯=-． 【点睛】结论点睛：三角函数的坐标定义：点(,)P x y 是角α终边上的任意的一点（原点除外）,r代表点到原点的距离，r =sin α=y r ， cos α=x r ，tan α=y x . 26．（1）2，单调增区间5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数()f x ，代值求3f π⎛⎫⎪⎝⎭，用整体代换法求单调递增区间； （2）求出函数在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，原不等式等价于函数()f x 在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是(),2m m +的子集，列出不等式组化简即可.【详解】解：（1）)21()sin (cos )sin 22sin 1222f x x x x x x =+-=+-1sin 22sin 2223x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以sin 2s 3in 333f ππππ⎛⎛⎫= ⎫⎛⎫⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭ 由222()232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得5()1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 故函数的单调增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,363x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以1(),12f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 因为,122x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦不等式()2m f x m <<+恒成立 所以1112212m m m ⎧<-⎪⇒-<<-⎨⎪<+⎩ 所以实数m 的取值集合11,2⎛⎫--⎪⎝⎭. 【点睛】求三角函数单调区间的2种方法:（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.。
(常考题)北师大版高中数学必修四第三章《三角恒等变形》检测卷(有答案解析)
一、选择题1．已知函数()sin f x x x ωω=()0ω>的图像与直线2y =交于,A B 两点，若AB 的最小值为π，则函数()f x 的一条对称轴是（ ）A ．3x π=B ．4x π=C ．6x π=D ．12x π=2．若()π,2πα∈，πcos sin 042αα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．0CD ．或0 3．在ΔABC 中,2sin (22c a Ba b c c -=、、分别为角A B C 、、的对边),则ΔABC 的形状为 A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角三角形4．函数2()sin 2f x x x =+-()cos(2)2 3 (0)6g x m x m m π=--+>，若对任意1[0,]4x π∈，存在2[0,]4x π∈，使得12()()g x f x =成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．4(1,)3B ．2(,1]3C ．2[,1]3D ．4[1,]35．已知,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=（ ）A B ．6C ．D ．166．函数()sin ([,0])f x x x x π=∈-的单调递增区间是（ ） A ．5[,]6ππ--B ．5[,]66ππ-- C ．[,0]3π-D ．[,0]6π-7．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>的图象关于直线8x π=对称，则ω的最小值为（ ） A ．13B ．23C ．43D ．838．已知角α满足1cos()63πα+=，则sin(2)6πα-=（ ）A ．9-B ．9C ．79-D ．799．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．17 B ．7C ．17-D ．-710．若函数()sin cos 2sin cos 1f x x x x x a =+-+-在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上有零点，则实数a 的取值范围（ ）A ．⎡⎤⎣⎦B ．94⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．⎡-⎣D ．94⎤⎥⎦11．求sin10°sin50°sin70°的值（ ）A ．12B C ．18D12．已知函数()222cos 1f x x x -+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（ ） A ．54π B ．34π C ．2π D ．3π 二、填空题13．给出下列命题：①存在实数α使得sin cos 1αα=； ②存在实数α使得3sin cos 2αα+=； ③5sin 22y x π⎛⎫ ⎪⎝=⎭-是偶函数； ④8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程； ⑤若α、β是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>， 其中正确命题的序号是______.14．经过点(4,1)P -作圆2220x y y +-=的切线，设两个切点分别为A ，B ,则tan APB ∠=__________．15．已知()2cos (sin cos )f x x x x =+，若对任意[0,]2x π∈不等式2()m f x m -≤≤+恒成立，则实数m 的取值范围是___________.16．函数3sin 4cos y x x =-在x θ=处取得最大值，则sin θ= ______17．已知sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭()0,απ∈，则cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________． 18．已知02x π-<<，1sin cos 5x x +=，则22sin cos cos x x x -的值为___________. 19．ABC ∆中，若AC AB >，4A π=，则角C 的取值范围是________. 20．已知2tan 3tan 5πα=，则2sin 59cos 10παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭________. 三、解答题21．已知函数2211()sin 2cos 2cos 2sin 22,22f x x x x x x R =+-+∈． （I ）求函数|()|f x 最小正周期和最小值； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向左平移8π个单位长度，得到()y g x =图象．若对任意12,[0,]x x m ∈，当12x x <时，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求实数m 的最大值． 22．已知00,2x x π+是函数22()cos sin (0)6f x x x πωωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭的两个相邻的零点. （1）求12f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 在[]0,π上的单调递增区间.23．已知函数()sin 2cos 26x x f x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）设α是锐角，3245f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求sin α的值. 24．已知tan α=（1）求sin α的值;（2）求sin()cos()sin cos 22αππαππαα-+-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值． 25．在直角坐标系xOy 中，已知锐角α和β的顶点都在坐标原点，始边都与x 轴非负半轴重合，且终边与单位圆分别交于点5,13P m ⎛⎫⎪⎝⎭和点3,5Q n ⎛⎫⎪⎝⎭，求()sin αβ-的值.26．已知函数21()cos cos 2222x x x f x =++. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()y f x =的图象上的各点________；得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的最大值及取得最大值时x 的取值集合.你需要在①､②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答. ①向左平移32π个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半； ②纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的一半，再向右平移4π个单位.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】化简得()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由题可得周期为π，即可求出2ω=，令2,32πππ+=+∈x k k Z 求出对称轴即可得出答案.【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()f x 直线2y =交于,A B 两点，且AB 的最小值为π，T π=，则22T πω==，即()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令2,32πππ+=+∈x k k Z ，则,122k x k Z ππ=+∈， ()f x ∴的对称轴为,122k x k Z ππ=+∈， 当0k =时，12x π=.故选：D. 【点睛】本题考查正弦型函数的对称轴问题，解题的关键是利用辅助角公式化简函数得出周期，求出解析式，即可解决.2．B解析：B 【分析】根据题意，化简得到cossin22αα+=，所以3,24αππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，取得1sin 2α=-，再利用三角函数的基本关系式和两角和的正弦函数公式，即可求解. 【详解】由cos sin 042παα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，可得22cos sin cos sin 022222αααα⎫-+-=⎪⎝⎭，即cossincos sin 02222αααα⎛⎛⎫-++= ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为(),2αππ∈，所以,22αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos sin 022αα-≠，解得cos sin22αα+=，所以3,24αππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以11sin 2α+=，所以1sin 2α=-，又3,22παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以cos α==，所以π11sin 062222α⎛⎫+=-+⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】三角函数的化简求值的规律总结：1、给角求值：一般给出的角是非特殊角，要观察所给角与特殊角的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题；2、给值求值：即给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系；3、给值求角：实质上可转化为“给值求值”即通过求角的某个三角函数值来求角（注意角的范围）.3．A解析：A 【解析】依题意，利用正弦定理及二倍角公式得sin sin 1cos 2sin 2C A BC --=，即sin sin cos A C B =，又()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，故sin cos 0B C =，三角形中sin 0B ≠，故πcos 0,2C C ==，故三角形为直角三角形，故选A. 4．D解析：D【解析】222221f x sin x x sin x cos x=+-=+-（））1222222223sin x x sin x x sin xπ==+=+（）（），当0,4xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，552[]21[12]3366minx f x sin f xππππ+∈∴==∴∈，，（），（），，对于22306g x mcos x m mπ=--+（）（）（＞），2[]2[]36662mx mcos x mππππ-∈--∈，，（），，3[33]2g x m m∴∈-+-（），，∵对任意10,4xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在20,4xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12g x f x=成立，331232mm⎧-+≥⎪∴⎨⎪-≤⎩，解得实数m的取值范围是41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选D．【点睛】本题考查三角函数恒等变换，其中解题时问题转化为求三角函数的值域并利用集合关系是解决问题的关键，5．D解析：D【分析】结合同角三角函数基本关系计算sin6πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值，再利用两角差的正弦公式进行求解即可.【详解】由,22ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭可得2,633πππα⎛⎫+∈-⎪⎝⎭，又11cos cos6323ππα⎛⎫+=<=⎪⎝⎭，所以2,633πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以sin63πα⎛⎫+==⎪⎝⎭，sin sin sin cos cos sin666666ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11132326-=⨯-⨯=.故选:D【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式与同角三角函数基本关系，解题的关键是熟练运用公式.6．D解析：D 【解析】()sin 23f x x x sin x π⎛⎫==-⎪⎝⎭，因为[],0x π∈-4,,333x πππ⎡⎤∴-∈--⎢⎥⎣⎦，由1,323x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，得,06x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数()[]()sin ,0f x x x x π=∈-的单调递增区间是,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选D. 7．C解析：C 【分析】利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据题意得出()832k k Z πππωπ+=+∈，可得出关于ω的表达式，即可求出正数ω的最小值.【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由于该函数的图象关于直线8x π=对称，则()832k k Z πππωπ+=+∈，得()483k k Z ω=+∈， 0ω>，当0k =时，ω取得最小值43.故选：C. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，解题时要将三角函数的解析式利用三角恒等变换思想化简，并通过对称性列出参数的表达式求解，考查计算能力，属于中等题.8．D解析：D 【分析】由已知利用诱导公式可求133sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，sin 2263cos ππαα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由二倍角公式化简，即可得结果． 【详解】162633cos sin sin ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，2sin 2cos 2cos 2262633cos πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦22171212()339sin πα⎛⎫=--=-⨯= ⎪⎝⎭．故选D ． 【点睛】本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．三角函数求值有三类，(1)“给角求值”；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种系；(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．9．A解析：A 【分析】根据角的范围以及平方关系求出4cos ,5α=-再利用商的关系求出3tan 4α=-，最后由两角和的正切公式可得答案. 【详解】 因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3sin 5α=，所以4cos ,5α==-sin 3tan cos 4ααα==-， tan tan4tan 41tan tan 4παπαπα+⎛⎫+== ⎪⎝⎭-⋅17 故选：A. 【点睛】本题主要考查平方关系、商的关系以及两角和的正切公式，属于基础题.10．A解析：A 【分析】由题意结合函数零点的概念可得方程1sin cos 2sin cos a x x x x -=+-在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上有解，令sin cos 2sin cos y x x x x =+-，通过换元法求得y 在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的值域即可得解. 【详解】因为函数()sin cos 2sin cos 1f x x x x x a =+-+-在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上有零点， 所以方程1sin cos 2sin cos a x x x x -=+-在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上有解，设sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，3,44x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，∴,204x ππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，∴t ⎡⎤∈⎣⎦，212sin cos t x x =+，∴2215sin cos 2sin cos 124y x x x x t t t ⎛⎫=+-=-+=--+ ⎪⎝⎭， 当0t =时，y 取得最大值1，当t =y取得最小值1-，故可得111a ≤-≤，∴2a ≤≤. 故选：A. 【点睛】本题考查了函数与方程的综合应用，考查了三角函数的性质及三角恒等变换的应用，考查了逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.11．C解析：C 【分析】由诱导公式可转化为cos20cos40cos80︒︒︒，利用二倍角公式正弦公式求解即可. 【详解】sin10sin50sin70cos20cos40cos80︒︒︒=︒︒︒ 1sin160sin 20cos 20cos 40cos8018sin 20sin 208︒∴︒︒︒︒==︒︒ 即1sin10sin 50sin 708︒︒︒= 故选：C 【点睛】本题主要考查了诱导公式，二倍角的正弦公式，考查了运算能力，属于中档题.12．C解析：C【分析】根据三角恒等变换化简函数()f x ，再由图象的平移得到函数()g x 的解析式，利用函数()g x 的值域，可知12x x -的值为函数()y g x =的最小正周期T 的整数倍，从而得出选项.【详解】函数2()22cos 12cos 22sin 26f x x x x x x π⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得2sin 46y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再把所得图象向上平移1个单位，得函数()2sin 416y g x x π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭的图象，所以函数()y g x =的值域为[1,3]-.若()()129g x g x ⋅=，则()13g x =且()23g x =，均为函数()y g x =的最大值， 由42()62x k k Z πππ-=+∈，解得()62k x k Z ππ=+∈； 其中1x ､2x 是三角函数()y g x =最高点的横坐标，12x x ∴-的值为函数()y g x =的最小正周期T 的整数倍，且242T ππ==. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象的平移，以及函数的值域和周期，属于中档题.二、填空题13．③④【分析】利用二倍角的降幂公式结合正弦函数的有界性可判断①的正误；利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可判断②的正误；化简函数解析式结合余弦函数的奇偶性可判断③的正误；利用代入检验法可判断④的正误；解析：③④ 【分析】利用二倍角的降幂公式结合正弦函数的有界性可判断①的正误；利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可判断②的正误；化简函数解析式，结合余弦函数的奇偶性可判断③的正误；利用代入检验法可判断④的正误；利用特殊值法可判断⑤的正误. 【详解】对于命题①，111sin cos sin 2,222ααα⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，所以，不存在实数α使得sin cos 1αα=，①错误；对于命题②，sin cos 4πααα⎛⎫⎡+=+∈ ⎪⎣⎝⎭， 所以，不存在实数α使得3sin cos 2αα+=，②错误； 对于命题③，si o 5s 2n c 2i s n 222x y x x ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝-⎭-⎭=⎝， ()cos 2cos2x x -=，所以，函数5sin 22y x π⎛⎫ ⎪⎝=⎭-是偶函数，③正确； 对于命题④，当8x π=时，min 53sin 2sin 1842y y πππ⎛⎫=⨯+==-= ⎪⎝⎭， 所以，8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程，命题④正确； 对于命题⑤，取9244παππ=+=，4πβ=，αβ>，但tan 1tan αβ==，⑤错误. 因此，正确命题的序号为③④.故答案为：③④.【点睛】 本题考查有关三角函数命题真假的判断，考查了三角函数的有界性、正弦型函数的奇偶性、对称性以及正切值大小的比较，考查计算能力与推理能力，属于中等题. 14．【分析】由圆的方程可以求出圆心坐标及半径进而可以求出从而求出的值由利用二倍角的正切公式可以求出的值【详解】圆的方程可化为则圆心为半径为r=1设则【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系考查了圆的性质考查解析：9 【分析】由圆的方程可以求出圆心坐标及半径，进而可以求出PD =，1DA =，从而求出tan APD ∠的值，由2APB APD ∠∠=，利用二倍角的正切公式，可以求出tan APB ∠的值.【详解】圆的方程可化为()2211x y +-=，则圆心为()0,1D ，半径为r =1，设APD ∠θ=，AP DA ⊥，PD ==PA ===tan DA PA θ===,22tan 19 tan tan211tan 119APB θθθ∠====--【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了圆的性质，考查了两点间的距离公式，二倍角的正切公式，属于基础题．15．【分析】先将化解成正弦型然后根据取值范围求出最值根据恒成立可建立不等式解出不等式即可【详解】当时恒成立解得故答案为：【点睛】本题考查三角函数的化解以及以及已知范围求正弦型函数的最值解析：[1,2]【分析】先将()f x 化解成正弦型，然后根据x 取值范围求出()f x 最值，根据恒成立可建立不等式，解出不等式即可.【详解】2()=2sin cos 2cos =sin2cos 212)14f x x x x x x x π+++=++， 当[0,]2x π∈时，52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ∴02)1214x π≤++≤，2()2m f x m -≤≤+恒成立，02212m m，解得12m ≤≤.故答案为：[1,2]【点睛】 本题考查三角函数的化解以及以及已知x 范围求正弦型函数的最值.16．【分析】利用辅助角公式两角差的正弦公式化简解析式：并求出和由条件和正弦函数的最值列出方程求出的表达式由诱导公式求出的值【详解】解：其中依题意可得即所以故答案为：【点睛】本题主要考查辅助角公式诱导公式解析：35【分析】利用辅助角公式、两角差的正弦公式化简解析式：()5sin y x ϕ=-，并求出cos ϕ和sin ϕ，由条件和正弦函数的最值列出方程，求出θ的表达式，由诱导公式求出sin θ的值．【详解】 解：()343sin 4cos 5sin cos 5sin 55y x x x x x ϕ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，其中3cos 5ϕ=，4sin 5ϕ= 依题意可得()5sin 5θϕ-=，即()sin 1θϕ-=，2,2k k Z πθϕπ∴-=+∈ 所以3sin sin 2cos 25k πθϕπϕ⎛⎫=++== ⎪⎝⎭故答案为：35【点睛】本题主要考查辅助角公式、诱导公式，以及正弦函数的最大值的应用，考查化简、变形能力． 17．【分析】构造角再用两角和的余弦公式及二倍公式打开【详解】故答案为：【点睛】本题是给值求值题关键是构造角应注意的是确定三角函数值的符号【分析】 构造角22643πππαα⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭求，再用两角和的余弦公式及二倍公式打开. 【详解】()50,,,444πππαπα⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，sin 462πα⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，cos 46πα⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，22cos 22cos 1443ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 22sin cos 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 6434343πππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2132⎛=⨯+= ⎝⎭故答案为：26【点睛】 本题是给值求值题，关键是构造角，应注意的是确定三角函数值的符号.18．【分析】根据得到将已知等式两边平方利用同角三角函数基本关系式可求的值然后利用二倍角公式化简求解【详解】∵∴∴∵两边平方可得∴故答案为：【点睛】本题主要考查三角函数的同角基本关系式以及倍角公式的应用还 解析：85- 【分析】 根据1sin cos 5x x +=得到|cos ||sin |x x >， 将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求sin 2x ，cos2x 的值，然后利用二倍角公式化简求解.【详解】 ∵02x π-<<，1sin cos 5x x +=， ∴|cos ||sin |x x >， ∴04x π-<<，π202x -<< ∵1sin cos 5x x +=，两边平方， 可得24sin 225x =-，7cos 225x =， ∴21cos 282sin cos cos sin 225x x x x x +-=-=-. 故答案为：85-. 【点睛】本题主要考查三角函数的同角基本关系式以及倍角公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．；【分析】由利用正弦定理边角互化以及两角和的正弦公式可得进而可得结果【详解】由正弦定理可得又则即则C 是三角形的内角则故答案为：【点睛】本题注意考查正弦定理以及两角和的正弦公式的应用属于中档题正弦定理 解析：04C π<<； 【分析】由AC AB>，利用正弦定理边角互化以及两角和的正弦公式可得11tan C >，进而可得结果.【详解】由正弦定理可得sin sin AC B AB C=> 又4A π=，则())cos sin sin 2sin sin C C A C C C ++==+> 即11tan C>，则0tan 1C <<，C 是三角形的内角， 则04C π<<， 故答案为：04C π<<.【点睛】 本题注意考查正弦定理以及两角和的正弦公式的应用，属于中档题.正弦定理主要有三种应用：求边和角、边角互化、外接圆半径.20．【分析】由可得然后用正弦的和差公式展开然后将条件代入即可求出原式的值【详解】因为所以故答案为：【点睛】本题考查的三角恒等变换解决此类问题时要善于发现角之间的关系 解析：12【分析】 由259210πππαα+=++可得22sin sin 5592cos sin 105ππααππαα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后用正弦的和差公式展开，然后将条件代入即可求出原式的值【详解】 因为2tan 3tan 5πα= 所以222sin sin sin 555922cos cos sin 10255πππαααππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222sincos cos sin tan tan 2tan 1555522222sin cos cos sin tan tan 4tan 5555ππππαααππππααα---====----- 故答案为：12【点睛】本题考查的三角恒等变换，解决此类问题时要善于发现角之间的关系. 三、解答题21．（I）2π.（Ⅱ） 8π. 【分析】（I）先将函数解析式整理，得到()4224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的周期，即可求出函数 |()|f x 的最小正周期；再由正弦函数的取值范围，即可求出函数的最小值； （Ⅱ）记()()()h x f x g x =-，根据题中条件，先判断 ()h x 在[0,]m 上是增函数；再由题中条件，得到函数()h x 的解析式，根据正弦函数的单调性，即可求出结果.【详解】（I ）2211()sin 2cos 2cos 2sin 2222f x x x x x =+-+ 11sin 4cos 4222x x =++ 11cos 4sin 4222x x =++4204x π⎛⎫=++> ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期为2T π=， 当sin 414x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，函数 |()|f x的最小值为42. （Ⅱ）因为对任意12,[0,]x x m ∈，当12x x <时，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-，即()()()()1122f x g x f x g x -<-，记()()()h x f x g x =-，即()()12h x h x <，所以()h x 在[0,]m 上是增函数.又3()sin 42sin 42828424g x f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以3()()()442424h x f x g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 4cos sin 424x x π=⨯=， 令24222k x k ππππ-≤≤+， 求得2828k k x ππππ-≤≤+. 故()h x 的单调增区间为,2828k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦， k Z ∈， 所以实数m 的最大值为8π. 【点睛】 关键点睛：本题主要考查三角函数的恒等变换及三角函数的性质，涉及到函数的平移，利用构造函数的思想，求正弦型函数的单调区间，以及利用单调性求参数是解决本题的关键. 22．（1）2；（2）70,,,1212πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 【分析】化简三角函数的解析式，（1）12π代入解析式计算可得答案；（2）根据三角函数的单调性可得答案.【详解】化简解析式得1cos 21cos 23()22wx wx f x π⎛⎫-- ⎪+⎝⎭=- 11cos 2cos 2cos sin 2sin 2233wx wx wx ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭3cos 22243wx wx wx π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 周期002()2T x x ππ=+-=，22T wππ==，所以1w =，()223f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.（1）212123f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）因为222232k x k πππππ-+≤+≤+k Z ∈， 所以51212k x k ππππ-+≤≤+， 又[]0,x π∈()f x ∴的单调递增区间为70,,,1212πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 【点睛】本题考查了三角函数的化简与性质，关键点是利用二倍角公式、两角和的正弦公式对函数进行化简为()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，要熟练掌握三角函数的性质，考查了学生的基本运算.23．（1）的最大值1和最小值；（2 【分析】 （1）先利用两角差的余弦公式和辅助角公式，将函数转化为()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后利用正弦函数的性质求解.（2）由（1）3245f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得到3sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再由α是锐角，得到02,6ππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，然后由sin sin 66ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角差的正弦公式求解. 【详解】（1）函数()sin 2cos 26x x f x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1sin 2sin 22x x x =-，1sin 22x x =， sin 23x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以 22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以sin 23π⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦x ， 所以()f x 的最大值1和最小值； （2）由（1）知：sin 2sin 33242645f απαπππα⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎭⎭⎝， 若62ππα+>，则2(,)623πππα+∈，所以sin (,1)62πα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，因为325>，不可能， 所以02,6ππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 求sin sin cos sin cos sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，314525=-⨯=. 【点睛】 易错点点睛：本题容易忽视6πα+的范围， 24．（1）±；（2）3+. 【分析】（1）根据22sin tan ,sin cos 1cos ααααα=+=，求解出sin α的值； （2）利用诱导公式先化简原式，然后将所得到的分式分子分母同除以cos α，结合tan α=.【详解】（1）因为22sin tan cos sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩cos 2αα=， 所以221sin sin 12αα+=，所以22sin 3α=，当α为第一象限角时，sin 3α=；当α为第三象限角时，sin α=，所以sin 3α=±； （2）原式()()sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos 22παπαααααππαααααα--+---+===--⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos tan 1cos cos 3sin cos tan 1cos cos αααααααααα++===+--= 【点睛】方法点睛：已知tan α的值，求解形如sin cos sin cos a b c d αααα±±（或sin cos sin cos n n n n a b c d αααα±±）的式子的值的方法：分式的分子、分母同时除以cos α（或cos n α），将原式化简为关于tan α的式子，再根据tan α的值可求解出结果.25．3365- 【分析】 利用已知求出1213m =和45n =，再利用差角的正弦公式求解. 【详解】锐角α和β的顶点都在坐标原点始边都与x 轴非负半轴重合， 且终边与单位圆交于点5,13P m ⎛⎫⎪⎝⎭和点3,5Q n ⎛⎫ ⎪⎝⎭， cos 0m α∴=>，5sin 13α=，2251169m +=，3cos 5β=，sin 0n β=>，29125n +=， 求得1213m =，45n =， 5312433sin()sin cos cos sin 13513565αβαβαβ∴-=-=⨯-⨯=-． 【点睛】结论点睛：三角函数的坐标定义：点(,)P x y 是角α终边上的任意的一点（原点除外）,r代表点到原点的距离，r =sin α=y r ， cos α=x r ，tan α=y x. 26．（1）函数的周期为2π；（2）条件选择见解析，max ()2g x =，使函数()g x 取得最大值的集合为5|,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 【分析】 （1）用正弦余弦的二倍角公式整理()f x 可得正弦函数标准型，可得函数最小正周期； （2）选①先平移变换后周期变换可得对应的()g x ，可得()g x 的最值；选②先周期变换后平移变换得对应的()g x ，由此可求得最值．【详解】（1）∵函数1cos 1()sin sin()12226x f x x x π+=++=++， 所以函数的周期为2π；（2）<选择①>依题意：()cos(2)16g x x π=-++， 令226x k πππ+=+，即5()12x k k Z ππ=+∈. 使函数()g x 取得最大值2，即max ()2g x =，使函数()g x 取得最大值的集合为5|,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭； <选择②>依题意：()cos(2)16g x x π=-++， 令226x k πππ+=+，即5()12x k k Z ππ=+∈，使函数()g x 取得最大值2，即max ()2g x = 使函数()g x 取得最大值的集合为5|,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭． 【点睛】关键点点睛：在解决正弦型函数的周期，最值，单调性等性质时，关键在于利用三角恒等变换将函数化成正弦型函数的标准形，再利用整体代换的思想求解．。
北师大版高中数学必修四：第三章综合测试题(含答案)
阶段性测试题四(第三章综合测试题)本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( ) A ．－1 B ．－12C ．12D ．1[答案] B[解析] f (x )＝sin x cos x ＝12sin2x ，∴f (x )min ＝－12.2．cos67°cos7°＋sin67°sin7°等于( ) A ．12B ．22 C ．32D ．1[答案] A[解析] cos67°cos7°＋sin67°sin7° ＝cos(67°－7°)＝cos60°＝12.3．若x ＝π8，则sin 4x －cos 4x 的值为( )A ．12B ．－12C ．－22D ．22[答案] C[解析] sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )·(sin 2x －cos 2x )＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x ， ∴x ＝π8时，－cos2x ＝－cos π4＝－22.4．(2014·山东德州高一期末测试)下列各式中值为22的是( ) A ．sin45°cos15°＋cos45°sin15° B ．sin45°cos15°－cos45°sin15° C ．cos75°cos30°＋sin75°sin30°D ．tan60°－tan30°1＋tan60°tan30°[答案] C[解析] cos75°cos30°＋sin75°sin30°＝cos(75°－30°)＝cos45°＝22. 5．1－sin20°＝( ) A ．cos10° B ．sin10°－cos10° C ．2sin35° D ．±(sin10°－cos10°)[答案] C[解析] 1－sin20°＝1－cos70°＝2sin 235°， ∴1－sin20°＝2sin35°.6．已知cos2α＝14，则sin 2α＝( )A ．12B ．34C ．58D ．38[答案] D[解析] ∵cos2α＝1－2sin 2α＝14，∴sin 2α＝38.7．若函数f (x )＝sin2x －2sin 2x ·sin2x (x ∈R )，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的偶函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数 D ．最小正周期为π2的奇函数[答案] D[解析] f (x )＝sin2x (1－2sin 2x )＝sin2x ·cos2x ＝12sin4x (x ∈R )， ∴函数f (x )是最小正周期为π2的奇函数．8．若sin θ＜0，cos2θ＜0，则在(0,2π)内θ的取值范围是( ) A ．π＜θ＜3π2B ．5π4＜θ＜7π4C ．3π2＜θ＜2πD ．π4＜θ＜3π4[答案] B[解析] ∵cos2θ＜0，得1－2sin 2θ＜0， 即sin θ＞22或sin θ＜－22， 又已知sin θ＜0，∴－1≤sin θ＜－22，由正弦曲线得满足条件的θ取值为5π4＜θ＜7π4.9．若0＜α＜β＜π4，sin α＋cos α＝a ，sin β＋cos β＝b ，则( )A ．a ＜bB ．a ＞bC ．ab ＜1D ．不确定[答案] A[解析] ∵a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4，b ＝2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π4， 又0＜α＜β＜π4，∴π4＜α＋π4＜β＋π4＜π2，且y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上为增， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＜2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π4. 10．将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝cos2xB ．y ＝2cos 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4)D ．y ＝2sin 2x [答案] B[解析] 将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos2x ＝2cos 2x .11．已知f (tan x )＝sin2x ，则f (－1)的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．12D ．0 [答案] B[解析] f (tan x )＝sin2x ＝2sin x cos x ＝2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan x tan 2x ＋1，∴f (x )＝2xx 2＋1，∴f (－1)＝－22＝－1.12．已知函数f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数[答案] D[解析] f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ＝2cos 2x sin 2x ＝12sin 22x ＝14－14cos4x . ∴函数f (x )是最小正周期为π2的偶函数．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．设α∈(0，π2)，若sin α＝35，则2cos(α＋π4)等于________．[答案] 15[解析] ∵α∈(0，π2)，sin α＝35，∴cos α＝45，∴2cos(α＋π4)＝2cos αcos π4－2sin αsin π4＝2×45×22－2×35×22＝45－35＝15. 14．计算：sin7°－sin15°cos8°cos7°－cos15°cos8°的值为________．[答案] －2－ 3[解析] 原式＝sin (15°－8°)－sin15°cos8°cos (15°－8°)－cos15°cos8°＝sin15°cos8°－cos15°sin8°－sin15°cos8°cos15°cos8＋sin15°sin8－cos15°cos8°＝－cos15°sin8°sin15°sin8°＝－cot15°＝－1tan15°＝－1tan (45°－30°)＝－1＋tan30°1－tan30°＝－2－ 3.15．若α为锐角，且sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，则sin α的值为________． [答案]3＋226[解析] ∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3.又∵sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13>0，∴0<α－π6<π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.∴sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋π6＝32sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＋12cos ⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝32×13＋12×223＝3＋226. 16．关于函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，有下列命题： ①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数； ③y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π24，13π24上单调递减；④将函数y ＝2cos2x 的图像向左平移π24个单位后，与已知函数的图象重合．其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题的序号都填上) [答案] ①②③[解析] 化简f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2－π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12 ∴f (x )max ＝2，即①正确． T ＝2π|ω|＝2π2＝π，即②正确．由2k π≤2x －π12≤2k π＋π，得k π＋π24≤x ≤k π＋13π24，即③正确．将函数y ＝2cos2x 向左平移π24个单位得y ＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π24≠f (x )，∴④不正确． 三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知α是第一象限的角，且cos α＝513，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos (2α＋4π)的值．[解析] ∵α是第一象限的角，cos α＝513，∴sin α＝1213，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos (2α＋4π)＝22(sin α＋cos α)cos2α＝22(sin α＋cos α)cos 2α－sin 2α＝22cos α－sin α＝22513－1213＝－13214.18．(本小题满分12分)(2014·四川成都市树德协进中学高一阶段测试)已知π2<α<π，0<β<π2，tan α＝－34，cos(β－α)＝513，求sin β.[解析] ∵0<β<π2，π2<α<π，∴－π<β－α<0.又∵cos(β－α)＝513，∴sin(β－α)＝－1213.又tan α＝－34，∴sin α＝35，cos α＝－45.∴sin β＝sin[(β－α)＋α] ＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α ＝－1213×(－45)＋513×35＝6365.19．(本小题满分12分)已知sin α＝210，cos β＝31010，且α、β为锐角，求α＋2β 的值． [解析] ∵sin α＝210，α为锐角， ∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫2102＝7210. ∵cos β＝31010，β为锐角，∴sin β＝1－⎝⎛⎭⎫310102＝1010.∴sin2β＝2sin βcos β＝2×1010×31010＝35， cos2β＝1－2sin 2β＝1－2×⎝⎛⎭⎫10102＝45. 又β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴2β∈(0，π)． 而cos2β>0，∴2β∈⎝⎛⎭⎫0，π2.∴α＋2β∈(0，π)．又cos(α＋2β)＝cos α·cos2β－sin α·sin2β＝7210×45－210×35＝22，∴α＋2β＝π4.20．(本小题满分12分)求函数y ＝12cos 2x ＋32sin x ·cos x ＋1，x ∈R 的最大值以及y 取最大值时自变量x 的集合．[解析] ∵y ＝12cos 2x ＋32sin x ·cos x ＋1＝12·1＋cos2x 2＋34sin2x ＋1 ＝14cos2x ＋34sin2x ＋54 ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋54 ∴当2x ＋π6＝π2＋2k π，即x ＝k π＋π6(k ∈Z )时，y max ＝74.∴函数取最大值时自变量x 和集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋π6，k ∈Z ，且最大值为74.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos(2x －π3)＋2sin(x －π4)sin(x ＋π4)．(1)求函数f (x )的最小正周期和对称轴方程； (2)求函数f (x )在区间[－π12，π2]上的值域．[解析] (1)∵f (x )＝cos(2x －π3)＋2sin(x －π4)·sin(x ＋π4)＝12cos2x ＋32sin2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos2x ＋32sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝sin(2x －π6)，∴最小正周期T ＝2π2＝π.∵2x －π6＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π2＋π3，k ∈Z ，∴对称轴方程为x ＝k π2＋π3，k ∈Z .(2)∵x ∈[－π12，π2]，∴2x －π6∈[－π3，5π6]．∴f (x )＝sin(2x －π6)在区间[－π12，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减．当x ＝π3时，f (x )取最大值1.又∵f (－π12)＝－32<f (π2)＝12，∴当x ＝－π12时，f (x )取最小值－32.所以函数f (x )在区间[－π12，π2]上的值域为[－32，1]．22．(本小题满分14分)设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin2x )，x ∈R .(1)若f (x )＝1－3且x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3，求x ； (2)若函数y ＝2sin2x 的图象平移向量c ＝(m ，n )⎝⎛⎭⎫|m |<π2得到函数y ＝f (x )的图象，求实数m 、n 的值．[解析] (1)∵f (x )＝a ·b ＝2cos 2x ＋3sin2x ＝1＋cos2x ＋3sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1， 又∵f (x )＝1－3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝－32， ∴2x ＋π6＝2k π－π3或2x ＋π6＝2k π－2π3，又∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3，∴x ＝－π4. (2)f (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋1， y ＝2sin2x 向左平移π12个单位可得y ＝2sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π12，再向上平移1个单位， 即得y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋1＝f (x )，∴c ＝⎝⎛⎭⎫－π12，1，即m ＝－π12，n ＝1.。
北师大版数学必修4第三章章末检测卷含答案解析.doc
所以g(x)＝cos(2x＋θ)为奇函数，
而θ∈(0，π)，故θ＝ ，
所以f(x)＝－(a＋2cos2x)sin2x，
代入 得a＝－1.
所以a＝－1，θ＝ .
(2)f(x)＝－(－1＋2cos2x)sin2x＝－cos2xsin2x＝－ sin4x，
因为f ＝－ ，
答案：B
4．(2016·齐齐哈尔实验中学高一月考) 等于()
A．－ B．－
C. D.
解析：原式＝
＝
＝sin30°＝ .故选C.
答案：C
5．cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°的值是()
A. B.
C. D.
解析：原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°＝1＋ sin30°＝1＋ × ＝ .故选B.
(2)求 的值．
解析：(1)tan ＝
＝ ＝ ＝－3.
(2)
＝
＝
＝
＝
＝1.
20．(12分)(2016·杭州高一检测)已知f(x)＝Asin (A≠0)．
(1)若A＝1，将f(x)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，再将所得图象上各点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，得到g(x)的图象，求g(x)的解析式及对称轴方程．
17．(10分)化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－ cos2αcos2β.
解析：原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－ (2cos2α－1)·(2cos2β－1)
＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－ (4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)
＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－
(常考题)北师大版高中数学必修四第三章《三角恒等变形》检测卷(含答案解析)
一、选择题1．已知23cos sin 2αβ+=，1sin sin cos 3αββ+=，则)os(c 2αβ+=（ ）A ．49B ．59C ．536D ．518-2．如下图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点,C B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为43,,,55AOC α⎛⎫-∠= ⎪⎝⎭若1BC =，则233cos sin cos 2222ααα--的值为（ ）A ．45B ．35C ．45-D ．353．已知α为锐角，且1sin 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin α的值为（ ） A ．135± B ．135+ C ．153± D ．35+ 4．函数()log 42a y x =++(0a >，且1a ≠)的图象恒过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则2sin 2θ=（ ） A ．1213-B ．1213C ．2413-D ．24135．函数()()sin 0y x πϕϕ=+>的部分图象如图所示,设P 是图象最高点,,A B 是图象与x 轴的交点,记APB θ∠=,则sin 2θ的值是（ ）A ．1665B ．6365C ．1663-D ．1665-6．已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．4-B ．4C ．13-D ．137．已知函数22()2sin cos ()sin (0)24x f x x x ωπωωω=-->在区间25[,]36ππ-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的范围是（ ）A ．3(0,]5B ．13[,]25C ．13[,]24D ．15[,)228．已知()4cos 5αβ+=，()1cos 5αβ-=，则tan tan αβ⋅的值为（ ） A ．12B ．35C ．310-D ．359．在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B·cos C ，且tan B·tan C ＝1－2，则角A 的值为( ) A ．4πB ．3π C ．2π D ．34π 10．若，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．3-B ．3C ．13-D ．1312．已知A 是函数()333sin(2020)sin(2020)2623f x x x ππ=++-的最大值，若存在实数1x ，2x 使得对任意实数x ，总有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x 的最小值为（ ）A ．2020π B ．1010π C ．32020πD ．2020二、填空题13．给出下列命题：①()72cos 22f x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭是奇函数；②若α、β都是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>；③38x π=-是函数33sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像的一条对称轴；④已知函数()23sin12xf x π=+，使()()f x c f x +=对任意x ∈R 都成立的正整数c 的最小值是2.其中正确命题的序号是______. 14．给出下列命题：①存在实数α使得sin cos 1αα=； ②存在实数α使得3sin cos 2αα+=； ③5sin 22y x π⎛⎫ ⎪⎝=⎭-是偶函数；④8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程； ⑤若α、β是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>， 其中正确命题的序号是______.15．已知α、0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，10sin α=，()cos 5αβ+=，则()cos 2αβ+=______.16．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若3sin 4α=，则()cos αβ-=______. 17．已知锐角α，β满足()sin 23sin αββ+=，则()tan cot αβα+=______. 18．已知3tan 4α=-，()1tan 4αβ+=，则tan β=______.19．设)sin17cos172a =︒+︒,22cos 131b =︒-,c =则a ,b ,c 的大小关系是______.20．设函数()cos f x x x =-的图像为C ，有如下结论： ①图象C 关于直线2π3x =对称； ②()f x 的值域为[]22-,；③函数()f x 的单调递减区间是π2π2π,2π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈； ④图象C 向右平移π3个单位所得图象表示的函数是偶函数. 其中正确的结论序号是___________________.（写出所有正确结论的序号）.三、解答题21．先将函数2sin 23sin 26y x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图像横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数()f x 的图像. （1）求函数()f x 的解析式； （2）若α，β满足42()()3f f αβ⋅=，且4παβ+=，设232sin()sin()()cos x x g x xαβ+⋅+=，求函数()g x 在,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的最大值. 22．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式. （2）若3()5f x =-，且36x ππ-<<，求cos2x 的值.23．已知函数21()cos2sin 12sin 22x f x x x ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭，23()224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）对任意的[]12,0,x x t ∈，当12x x <时，均有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求正实数t 的最大值；（2）在满足（1）的条件时，若方程[()()1]2()2()10a f x g x f x g x ⋅-+-+-=在区间,4t π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有解，求实数a 的取值范围. 24．已知函数()2sin cos cos26f x x x x π⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求()f x 的单调递增区间和最值；（2）若函数()()g x f x a =-有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围.25．已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且sin cos 22αα-=. （1）求cos α的值； （2）若()4sin 5αβ-=，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos β的值． 26．已知函数2()sin 22sin 6f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. （1）求512f π⎛⎫⎪⎝⎭；（2）求()f x 的单调递增区间及最小正周期. （3）若(0,)2πα∈，且()22f α=，求sin α.（4）若tan 2β=，求3()cos 22f ββ+的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】将所给条件分别用二倍角公式变形可以得到2cos cos22αβ-=，22sin sin 23αβ+=，然后平方相加化简计算即可求得结果. 【详解】 由23cos sin2αβ+=知2cos cos22αβ-=①，在1sin sin cos 3αββ+=两边同时乘以2得22sin sin 23αβ+=②，将①②两个等式平方相加得()4414cos 249βα+-+=+，解得()5cos 236αβ+=.故选：C. 【点睛】思路点睛：出现两个角的三角函数的和差，求两角和的正弦或余弦时常采用平方相加或平方相减，化简计算可得到两角和或差的三角函数值.2．B解析：B 【解析】 ∵点B 的坐标为43,55⎛⎫-⎪⎝⎭，设AOB θ∠=， ∴325sinπθ-=-（），425cos πθ-=（）， 即35sin θ=，45cos θ=， ∵AOC α∠=，若1BC =，∴3πθα+=，则3παθ=-，则213sincossin cos cos sin 2222625αααππαααθθ⎛⎫⎛⎫-=-=+=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选B.点睛：本题主要考查三角函数的化简和求值，利用三角函数的定义以及三角函数的辅助角公式是解决本题的关键；利用降幂公式可将所求表达式化简为关于α的表达式，设AOB θ∠=，当角α的终边与单位圆的交点坐标为(),u v 时，sin v α=，cos u α=，可先求出关于θ的三角函数式，结合等边三角形寻找,αθ之间的关系即可.3．B解析：B 【分析】通过三角恒等式可求出cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，再根据两角和的正弦即可得出结果.【详解】 ∵02πα<<，∴336πππα-<-<，又∵1sin 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴cos 3πα⎛⎫-=== ⎪⎝⎭∴11sin sin 3342ππαα⎛⎫=-+=⨯= ⎪⎝⎭ 故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角恒等式的应用以及通过两角和正弦公式求值，属于中档题.4．C解析：C 【分析】先根据对数函数性质得()3,2A -，进而根据正弦的二倍角公式和三角函数的定义求解即可得答案. 【详解】解：根据对数函数的性质得函数()log 42a y x =++(0a >，且1a ≠)的图象恒过()3,2A -，由三角函数的定义得：13r ==，sinθθ==， 所以根据二倍角公式得：242sin 24sin cos 413θθθ⎛===- ⎝. 故选：C. 【点睛】本题考查对数函数性质，三角函数定义，正弦的二倍角公式，考查运算能力，是中档题.5．A解析：A 【分析】过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ，由三角函数性质得2AB =，12AD =，1DP =，32DB =，故1tan 2APD ∠=，3tan 2BPD ∠=，进而得()tan tan 8APD BPD θ=∠+∠=，故2222sin cos 2tan 16sin 22sin cos sin cos tan 165θθθθθθθθθ====++.【详解】解：根据题意，如图，过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ， 由于函数的最小正周期为22T ππ==，最大值为max 1y =，所以2AB =，12AD =，1DP =，32DB =， 所以在直角三角形ADP 和直角三角形BDP 中，1tan 2APD ∠=，3tan 2BPD ∠=， 所以()tan tan tan APB APD BPD θ=∠=∠+∠tan tan 28311tan tan 122APD BPD APD BPD ∠+∠===-∠⋅∠-⨯， 所以2222sin cos 2tan 16sin 22sin cos sin cos tan 165θθθθθθθθθ====++. 故选：A.【点睛】本题考查三角函数的性质，同角三角函数关系，正切的和角公式，考查运算能力，是中档题.6．C解析：C 【解析】因为cos()2cos()2παπα+=-，所以sin 2cos tan 2ααα-=-⇒=， 所以1tan 1tan()41tan 3πααα--==-+，故选C. 7．B解析：B 【分析】先化简函数，根据()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则为函数含有零的增区间的子集，再根据区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则取得最大值时对应的最小正数解属于[]0,π，最后取交集.【详解】因为()222sin cos sin 24x f x x x ωπωω⎛⎫=--⎪⎝⎭，()2sin 1sin sin x x x ωωω=+-，22sin sin sin x x x ωωω=+-，sin x ω=，令22,22k x k k Z πππωπ-+≤≤+∈，则22,22k k x k Z ππππωωωω-+≤≤+∈， 因为()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， 25,23,2262,k k k Z ππππωωωωππ⎡⎤∴-++∈⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦ 所以223562ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得35ω≤，令2,2x k k Z πωπ=+∈，因为在区间[]0,π上恰好取得一次最大值， 所以02ππω≤≤，所以12ω≥， 所以ω的取值范围是1325ω≤≤. 故选：B. 【点睛】本题主要考查三角函数的单调性和最值以及二倍角公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8．B解析：B 【分析】根据两角和与差的余弦函数的公式，联立方程组，求得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-，再结合三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】由4cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ+=-=，1cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ-=+=，联立方程组，可得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-， 又由sin sin 3tan tan cos()cos cos 5αβαβαβαβ=+==-.故选：B. 【点睛】本题主要考查了两角和与差的余弦函数，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.9．A解析：A 【详解】由tan tan 12B C =-可得sin sin (12)cos cos B C B C =-， 进而得cos 2cos cos A C B =-，由于sin 2cos cos A B C =-， 所以sin cos A A =，可得4A π=,故选A.10．C解析：C 【解析】 试题分析：因，故应选C ．考点：同角三角函数的关系及运用．11．A解析：A 【分析】首先根据三角函数诱导公式，可由等式()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭求出tan 2α=；再由两角和的正切公式可求出tan 4απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【详解】 解：()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ∴由三角函数诱导公式化简得：sin 2cos αα-=-，即得tan 2α=，tantan 124tan()34121tan tan 4παπαπα++∴+===---⋅.故选：A.【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题型.12．C解析：C 【分析】利用三角恒等变换化()f x 为正弦型函数，由此求出A 、T 以及12x x -的最小值，可得解. 【详解】()3sin(2020))2623f x x x ππ=++-，392020cos 2020cos 2020202044x x x x =+-，320220cos 2020x x =-3sin(2020)6x π=-，∴max ()3A f x ==，又存在实数1x ，2x ，对任意实数x 总有12()()()f x f x f x ≤≤成立， ∴2max ()()2f x f x ==，1min ()()2f x f x ==-， 则12x x -的最小值为函数()f x 的半个最小正周期长度，12min 1122220202020x x T ππ∴-==⨯=∴()12min32020A x x π⋅-=， 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的最值，着重考查两角和与差的正弦与余弦，考查三角恒等变换，突出正弦函数的周期性的考查，属于中档题．二、填空题13．①③④【分析】对①化简得可判断；对②取特殊值可说明；对③代入求值可判断；对④化简求出其最小正周期即可判断【详解】对①是奇函数故①正确；对②如但故②错误；对③当时取得最大值故③正确；对④则的最小正周期解析：①③④ 【分析】 对①，化简得()()2sin 2f x x =可判断；对②，取特殊值可说明；对③，代入38x π=-求值可判断；对④，化简()f x ，求出其最小正周期即可判断. 【详解】 对①，()()72cos 22sin 22f x x x π⎛⎫=--= ⎪⎝⎭是奇函数，故①正确； 对②，如7,33ππαβ==，但tan tan αβ=，故②错误； 对③，当38x π=-时，333sin 2384y ππ⎡⎤⎛⎫=⨯--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，取得最大值，故③正确； 对④，()()2353sin1cos 222xf x x ππ=+=-+，则()f x 的最小正周期为22ππ=，则c 的最小值是2，故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】本题考查三角函数奇偶性的判断，考查三角函数的单调性和对称性以及周期性，解题的关键是正确化简，正确理解三角函数的性质.14．③④【分析】利用二倍角的降幂公式结合正弦函数的有界性可判断①的正误；利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可判断②的正误；化简函数解析式结合余弦函数的奇偶性可判断③的正误；利用代入检验法可判断④的正误；解析：③④ 【分析】利用二倍角的降幂公式结合正弦函数的有界性可判断①的正误；利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可判断②的正误；化简函数解析式，结合余弦函数的奇偶性可判断③的正误；利用代入检验法可判断④的正误；利用特殊值法可判断⑤的正误. 【详解】对于命题①，111sin cos sin 2,222ααα⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦， 所以，不存在实数α使得sin cos 1αα=，①错误；对于命题②，sin cos 4πααα⎛⎫⎡+=+∈ ⎪⎣⎝⎭， 所以，不存在实数α使得3sin cos 2αα+=，②错误； 对于命题③，si o 5s 2n c 2i s n 222x y x x ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝-⎭-⎭=⎝， ()cos 2cos2x x -=，所以，函数5sin 22y x π⎛⎫⎪⎝=⎭-是偶函数，③正确；对于命题④，当8x π=时，min 53sin 2sin 1842y y πππ⎛⎫=⨯+==-= ⎪⎝⎭， 所以，8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程，命题④正确； 对于命题⑤，取9244παππ=+=，4πβ=，αβ>，但tan 1tan αβ==，⑤错误.因此，正确命题的序号为③④. 故答案为：③④. 【点睛】本题考查有关三角函数命题真假的判断，考查了三角函数的有界性、正弦型函数的奇偶性、对称性以及正切值大小的比较，考查计算能力与推理能力，属于中等题.15．【分析】利用同角三角函数的平方关系求得的值然后利用两角和的余弦公式可求得的值【详解】因为则又所以所以故答案为：【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值同时也考查了同角三角函数基本关系的应用考查计算能解析：2【分析】利用同角三角函数的平方关系求得cos α、()sin αβ+的值，然后利用两角和的余弦公式可求得()cos 2αβ+的值. 【详解】 因为α、0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0αβ<+<π，又10sin，()cos αβ+=cos 10α==，()sin αβ+==所以()()()()cos 2cos cos cos sin sin αβααβααβααβ+=++=+-+⎡⎤⎣⎦-=故答案为：2. 【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值，同时也考查了同角三角函数基本关系的应用，考查计算能力，属于中等题.16．；【分析】根据角的终边关于轴对称得到以及两角差的余弦公式即可求出【详解】因为角与角均以为始边它们的终边关于轴对称所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了三角函数定义的应用两角差的余弦公式同角三角函数解析：18； 【分析】根据角的终边关于y 轴对称得到cos cos ,sin sin αβαβ=-=，以及两角差的余弦公式即可求出. 【详解】因为角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称， 所以3cos cos ,sin sin 4αβαβ=-==， 所以()22cos cos cos sin sin sincos αβαβαβαα-=+=-22sin 1α=-92116=⨯- 18= 故答案为：18【点睛】本题主要考查了三角函数定义的应用，两角差的余弦公式，同角三角函数的关系，属于中档题.17．2【分析】将三角函数式配成与由正弦函数和角与差角公式展开即可求解【详解】锐角满足变形可得由正弦和角与差角公式展开可得合并化简可得等式两边同时除以可得即故答案为:2【点睛】本题考查了三角函数式化简求值解析：2 【分析】将三角函数式配成()αβα++与()αβα+-,由正弦函数和角与差角公式展开,即可求解. 【详解】锐角α,β满足()sin 23sin αββ+=变形可得()()sin 3sin αβααβα++=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 由正弦和角与差角公式展开可得()()()()sin cos sin cos 3sin cos 3sin cos αβαααβαβαααβ+++=+-+合并化简可得()()4sin cos 2sin cos ααβαβα+=+ 等式两边同时除以()2cos cos αβα+可得()2tan tan ααβ=+ 即()tan cot 2αβα+= 故答案为:2 【点睛】本题考查了三角函数式化简求值,角的变化形式,属于中档题.18．【分析】根据以及两角差正切公式求解【详解】故答案为：【点睛】本题考查两角差正切公式考查基本分析求解能力属基础题 解析：1613【分析】根据()βαβα=+-以及两角差正切公式求解. 【详解】13tan()tan 1644tan tan[()]31tan()tan 13116αβαβαβααβα++-=+-===++-故答案为：1613【点睛】本题考查两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.19．【分析】根据两角和的正弦公式二倍角公式诱导公式即可将化简再根据正弦函数的单调性即可比较出大小关系【详解】所以故答案为：【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式二倍角公式诱导公式的应用以及正弦函数的单调性 解析：c a b <<【分析】根据两角和的正弦公式，二倍角公式，诱导公式，即可将,a b 化简，再根据正弦函数的单调性即可比较出大小关系． 【详解】)sin17cos17sin17cos 45cos17sin 45sin 62a =︒+︒=︒+︒=， 22cos 131cos 26sin 64b =︒-==，sin 60c ==， 所以，c a b <<． 故答案为：c a b <<． 【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，二倍角公式，诱导公式的应用，以及正弦函数的单调性的应用，属于基础题．20．①②④【分析】化简函数代入求最值可判断①；求出的最值可判断②；求出函数的单调递减区间可判断③；求出向右平移个单位的解析式化简后可判断④【详解】当时取得最大值2故①正确；因为的最大值为2最小值为所以的解析：①②④. 【分析】化简函数()2sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭代入2π3x =求最值可判断①；求出()f x 的最值可判断②；求出函数()f x 的单调递减区间可判断③；求出()f x 向右平移π3个单位的解析式化简后可判断④. 【详解】()1cos 2cos 22f x x x x x ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭2cos sin sin cos 2sin 666x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当2π3x =时，22π2sin 2336f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取得最大值2，故①正确； 因为()π2sin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最大值为2，最小值为2-，所以()f x 的值域为[]22-,，故②正确； 令π322262k x k ππππ+≤-≤+()k Z ∈，得252233k x k ππππ+≤≤+， 即()f x 的单调递减区间是2π5π2π,2π33k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈，故③错误； 图象C 向右平移π3个单位得π2sin 2sin 2cos 362y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数，故④正确.故答案为：①②④. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简()f x 的解析式，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.三、解答题21．（1）()2cos f x x =；（2）4.【分析】（1）先对函数化简变形可得cos 2y x =，再由三角函数图像变换规律可求出()f x 的解析式；（2）由已知条件可得cos cos 3αβ=，sin sin 6αβ=-2()2tan 3tan 1g x x x =+-，然后令tan [1,1]t x =∈-，则2()231h t t t =+-，从而可求出其最值 【详解】（1）原函数化简得到2sin 2coscos 2sin2cos 266y x x x x ππ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦，将cos 2y x =图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，可得2cos2y x =，再将2cos2y x =的图像横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到2cos y x = 所以()2cos f x x =. （2）由题意知cos cos 3αβ=， 因为4παβ+=所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-=解得sin sin αβ=2cos cos sin )(sin cos cos sin )()cos x x x x g x xααββ++=.222sin cos cos sin cos sin()cos sin sin cos x x x x xαβαβαβ⎤+++⎣⎦=222sin sin cos cos 326cos x x x x x⎤⎛⋅+⋅+⋅-⎥⎥⎝⎭⎣⎦=22tan 3tan 1x x =+-令tan [1,1]t x =∈-，2()231h t t t =+-，则对称轴为34t =-.所以max ()(1)4h t h ==. 【点睛】关键点点睛：此题考查三角恒等变换公式的应用，考查三角函数图像变换规律，考查数学转化思想，解题的关键是由()()3f f αβ⋅=求出cos cos 3αβ=，再对4παβ+=两边取余弦化简可求出sin sin 6αβ=-()g x 化简可得2()2tan 3tan 1g x x x =+-，再利用换元法可求得结果，属于中档题22．（1）()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2. 【分析】（1）根据最大值求出A ，根据周期求出ω，根据极大值点求出ϕ（2）根据角的范围求出4cos 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，将cos2x 写成cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角和与差的余弦公式展开，求解即可.【详解】（1）由图知121,,2362A T πππ==-= ,2πω∴==T又22,,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈26k πϕπ∴=+又||2πϕ<，,()sin 266f x x ππϕ⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭ （2）3()5f x =-所以3sin 265x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ,236262x x πππππ-<<-<+<，又因为34sin 2,cos 26565x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以 cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos 2cos sin 2sin 6666x x ππππ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭431552=-⨯=【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 23．（1）4π；（2）32a <.【分析】（1）构造()()()h x f x g x =-，由单调性的定义得出()h x 在区间[0,]t 上为增函数，结合正弦型函数的单调性，得出正实数t 的最大值.（2）方程[()()1]2()2()10a f x g x f x g x ⋅-+-+-=有解，可分离参数为2()112()1()1h x a h x h x +==-++，在,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有解，再根据()h x 的值域，求解实数a 的取值范围. 【详解】解：（1）依题可知：1()cos 2sin cos 2f x x x x =+24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又∵()()()()1212f x f x g x g x -<-，∴()()()()1122f x g x f x g x -<-， 令()()()h x f x g x =-，则3()222424h x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222424x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin 2x =.∵()()12h x h x <，∴()h x 在[]0,t 上单调递增， ∵22222k x k ππππ-≤≤+，∴()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，∴4t π≤，即t 的最大值为4π. （2）∵[()()1]2()2()10a f x g x f x g x ⋅-+-+-=，∴(2)[()()]10a f x g x a --+-=， ∴2()112()1()1h x a h x h x +==-++，即12sin 21a x =-+在,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有解，∵1sin 21x -<<，∴32a <. 【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.24．（1）()f x 的单调递增区间是 06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()()min max 30,2f x f x ==；（2）3[0,1)2⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭【分析】（1）利用两角差的余弦公式，二倍角公式和辅助角法，将函数转化为()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解.（2）将函数()()g x f x a =-有且仅有一个零点，转化为函数()y f x = 与y a =有且仅有一个交点，利用数形结合法求解. 【详解】（1）函数()2sin cos cos26f x x x x π⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭，12sin sin cos 22x x x x ⎫=++⎪⎪⎝⎭，2cos sin cos 2x x x x =++，112cos 2222x x =++， 1sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解得 ,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以函数()f x 的单调递增区间是 06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()()min max 30,2f x f x ==. （2）因为()()g x f x a =-有且仅有一个零点，所以()f x a =有且仅有一个零点，即函数()y f x = 与y a =有且仅有一个交点，如图所示：由图象知：32a =或 [0,1)a ∈， 所以实数a 的取值范围是3[0,1)2⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭. 【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式． 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2T ωπ=，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T πω=. 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．25．（1）3；（2433-. 【分析】（1）将已知条件两边平方，求得sin α的值，进而求得cos α的值.（2）先求得()cos αβ-的值，然后利用cos cos[()]βααβ=--，结合两角差的余弦公式，求得cos β的值.【详解】（1）将sin cos 222αα-=两边同时平方，得11sin 2α-=，则1sin 2α=，又2παπ∈（，），所以cos 2α==-.（2）由（1）知，1sin ,cos 2αα==， 因为2παπ∈（，），2βπ∈π（，），所以22ππαβ-<-<.又因为4sin()5αβ-=，所以3cos()5αβ-， 所以cos cos[)]βααβ=--（ cos cos()sin sin()ααβααβ=-+-314525=+⨯， 【点睛】关键点点睛：对于三角函数给值求值的问题，关键在于运用已知角的和，差，二倍的运算表示待求的角，再选择相关公式得以求值．26．（11（2）5[,],1212k k k Z ππππ-+∈，π（341+ 【分析】（1）化简函数解析式代入直接求值即可；（2）由正弦型函数的性质求解即可； （3）先求出cos()3πα-，sin()3πα-再利用33ππαα=-+求解即可； （4）由两角差的正弦化简后再利用弦化切求解.【详解】 （1）2()sin 22sin 6f x x x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭ sin2cos cos2sin 1cos 266x x x ππ⋅-⋅+-1sin2cos21cos222x x x =-+-3cos212x x =-+213x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,故55sin()111263f πππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭.（2）由（1）知()213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭, 令222,232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈, 解得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈, 所以函数()f x 的单调递增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-+∈， 函数()f x 的周期为22T ππ==. （3）(0,)2πα∈，且()22f α=，())1223f απα=-+=，即sin()3πα-= 因为(0,)2πα∈，所以cos()3πα-=， 故sin sin[()]sin()cos cos()sin 333333ππππππαααα=-+=-+-12=+=（4）33()cos 2)1cos 2232f πββββ+=-++3sin 221cos 2222βββ=-++211β=+=+1=+1= 【点睛】关键点点睛：涉及三角函数的求值化简问题，关键要根据式子结构特征，选择合适的公式，正用、逆用公式，并结合切化弦、弦化切思想，角的变换技巧，灵活运用公式，熟练运算，属于中档题.。
高中数北师大必修四章末综合测评3 三角恒等变形
章末综合测评(三) 三角恒等变形(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝32，则sin(－2α)的值为( )A ．12 B ．－12 C ．32D ．－32B [∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝32＝22sin α＋22cos α，∴sin α＋cos α＝62，∴两边平方可得：1＋sin 2α＝32，解得：sin 2α＝12， ∴sin(－2α)＝－sin 2α＝－12.故选B.] 2．化简：sin 2α－2cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( ) A ．22cos α B ．2cos α C ．2sin αD ．sin αA [原式＝2sin αcos α－2cos 2α22(sin α－cos α)＝22cos α.]3．函数f (x )＝3cos x －3sin x 的图像的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝5π6 B ．x ＝2π3 C ．x ＝π3D ．x ＝－π3A [∵f (x )＝3cos x －3sin x ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x ＝23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴函数的对称轴方程为x ＋π6＝k π，k ∈Z ，即x ＝k π－π6，k ∈Z ， ∴当k ＝1时，x ＝5π6是其中的一条对称轴方程．故选A.]4．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，2)，且a ∥b ，则cos 2α＝( )A ．19 B ．－19 C ．－79D ．79A [向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，2)，且a ∥b ，可得tan αcos α＝23，即sinα＝23.所以cos 2α＝1－2sin 2α＝19，故选A.]5．已知0<A <π2，且cos 2A ＝35，那么cos A 等于( ) A.425 B.45 C.55D.255D [∵0<A <π2，∴cos A >0，∵cos 2A ＝35＝2cos 2A －1， 整理可得：cos 2A ＝45，∴cos A ＝255.故选D.]6．在△ABC 中，∠C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A ·tan B 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．13D ．－13C [由题意，得tan(A ＋B )＝－tan C ＝－tan 120°＝ 3. 又tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B，且tan(A ＋B )＝2331－tan A tan B ＝3，解得tan A tan B ＝13.]7．已知sin 2α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<2α<π，tan(α－β)＝12，则tan(α＋β)的值为( )【导学号：64012191】A ．－2B ．－1C ．－211D ．211A [∵π2<2α<π，∴cos 2α＝－45. ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34， tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)] ＝tan 2α－tan (α－β)1＋tan 2αtan (α－β)＝－34－121－34×12＝－2.] 8．已知A ，B ，C 是△ABC 三内角，向量m ＝(－1，3)，n ＝(cos A ，sin A )，且m·n ＝1，则角A 等于( )A.π2 B.π6 C.π4D.π3D [∵m·n ＝1，∴(－1, 3)·(cos A ，sin A )＝1， 即3sin A －cos A ＝1， ∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ·32－cos A ·12＝1，∴sin(A －π6)＝12.∵0<A <π，∴－π6<A －π6<5π6， ∴A －π6＝π6，∴A ＝π3.] 9．在△ABC 中，已知tanA ＋B2＝sin C ，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形C [在△ABC 中，tan A ＋B 2＝sin C ＝sin(A ＋B )＝2sin A ＋B 2cos A ＋B2， 所以2cos 2A ＋B2＝1，所以cos(A ＋B )＝0. 从而A ＋B ＝π2，△ABC 为直角三角形．]10．设α，β，γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则β－α等于( )A ．－π3 B ．π6 C ．π3或－π3 D ．π3D [由已知得， sin γ＝sin β－sin α， ① cos γ＝cos α－cos β，②由①2＋②2，得1＝2－2cos(β－α)， ∴cos(β－α)＝12.又sin α＋sin γ＝sin β，且α，β，γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α<sin β. ∴α<β， ∴β－α＝π3.]11．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4sin x ，则函数f (x )满足( )A ．最小正周期为T ＝2πB ．图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，24对称C ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π8上为减函数D ．图像关于直线x ＝π8对称D [因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4sin x ＝22(sin x ·cos x －sin 2 x )＝24(sin 2x －1＋cos2x )＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－24，当x ＝π8时取最大值，故x ＝π8是对称轴，应选D.] 12．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3D [依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32.故β＝π3.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将★答案★填在题中的横线上)13．cos 89°cos 1°＋sin 91°sin 181°＝________.[解析] cos 89° cos 1°＋sin 91°sin 181°＝cos 89°cos 1°－cos 1°sin 1°＝sin 1°cos 1°－cos 1°sin 1°＝0.[★答案★] 014．已知tan α＝12，tan(α－β)＝15，则tan(2α－β)＝________.[解析] ∵tan α＝12，tan(α－β)＝15，则tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋tan (α－β)1－tan α·tan (α－β)＝12＋151－12·15＝79.[★答案★] 7915．若sin(π－α)＝45，α∈(0，π2)，则sin 2α－cos 2α2的值等于________.【导学号：64012192】[解析] ∵sin(π－α)＝45，∴sin α＝45.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝1－sin 2α＝35(舍负)， 因此，sin 2α－cos 2α2＝2sin αcos α－12(1＋cos α) ＝2×45×35－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋35＝2425－45＝425. [★答案★] 42516.3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________. [解析] 原式＝3·sin 12°cos 12°－32(2cos 212°－1)sin 12°＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin (－48°)2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3.[★答案★] －4 3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知0<α<π2，sin α＝45. (1)求tan α的值；(2)求cos 2α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2的值.【导学号：64012193】[解] (1)因为0<α<π2，sin α＝45， 所以cos α＝35， 所以tan α＝43.(2)根据二倍角公式与诱导公式可得：cos 2α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝1－2sin 2α＋cos α＝1－3225＋35＝825.18．(本小题满分12分)(1)化简：1－2sin 20°cos 20°sin 160°－1－sin 220°； (2)已知：tan α＝3，求2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α4cos (－α)＋sin (2π－α)的值．[解] (1)原式＝sin 220°＋cos 220°－2sin 20°cos 20°sin 20°－|cos 20°|＝(cos 20°－sin 20°)2sin 20°－cos 20°＝|cos 20°－sin 20°|sin 20°－cos 20°＝cos 20°－sin 20°sin 20°－cos 20°＝－1.(2)原式＝2sin α＋3cos α4cos α－sin α＝2tan α＋34－tan α＝2×3＋34－3＝9.19．(本小题满分12分)已知锐角α，β满足tan(α－β)＝sin 2β，求证：tan α＋tan β＝2tan 2β.[证明] 因为tan(α－β)＝sin 2β， tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β，sin 2β＝2sin βcos β＝2sin βcos βsin 2β＋cos 2β＝2tan α1＋tan 2β，所以tan α－tan β1＋tan αtan β＝2tan β1＋tan 2β，整理得：tan α＝3tan β＋tan 3β1－tan 2β.所以tan α＋tan β＝3tan β＋tan 3β＋tan β－tan 3β1－tan 2β＝2×2tan β1－tan 2β＝2tan 2β.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝32sin ωx －sin 2ωx 2＋12(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值及函数f (x )的单调增区间； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的取值范围．[解] (1)f (x )＝32sin ωx －1－cos ωx 2＋12＝32sin ωx ＋12 cos ωx ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6. 因为f (x )的最小正周期为π，所以ω＝2， 所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .所以函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z .(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1. 所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝ 2.(1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋43π＝－3017，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－23π＝85，求tan(α＋β)的值. 【导学号：64012194】[解] (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫14×π3＋π6＝A cos π4＝22A ＝2，∴A ＝2. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋43π＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤14⎝⎛⎭⎪⎫4α＋43π＋π6 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－2sin α＝－3017，∴sin α＝1517.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－23π＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤14⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－23π＋π6 ＝2cos β＝85， ∴cos β＝45. ∵α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos α＝1－sin 2α＝817， sin β＝1－cos 2β＝35.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝817×45－1517×35＝－1385， sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝1517×45＋817×35＝8485.∴tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝8485－1385＝－8413.22．(本小题满分12分)已知坐标平面上三点A (2,0)，B (0,2)，C (cos α，sin α)．(1)若(OA →＋OC →)2＝7(O 为原点)，求向量OB →与OC →夹角的大小； (2)若AC →⊥BC →，求sin 2α的值．[解] (1)∵OA →＋OC →＝(2＋cos α，sin α)，(OA →＋OC →)2＝7， ∴(2＋cos α)2＋sin 2α＝7， ∴cos α＝12.又B (0,2)，C (cos α，sin α)， 设OB →与OC →的夹角为θ，则cos θ＝OB →·OC →|OB →||OC →|＝2sin α2＝sin α＝±32，∴OB →与OC →的夹角为π6或5π6.(2)∵AC →＝(cos α－2，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－2)， AC →⊥BC →，∴AC →·BC →＝0， 即cos α＋sin α＝12，∴(cos α＋sin α)2＝14，∴2sin αcos α＝－34，即sin 2α＝－34.。
北师大版数学必修4第三章单元检测题及答案
第1页 共11页第三章 命题人：吴亮 检测人： 李丰明第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．已知，，则的值为（的值为（ ） Ａ． Ｂ．Ｃ．或 Ｄ．或 2. 如果，那么等于（等于（ ） Ａ．Ｂ． Ｃ． Ｄ． 3．sin163°sin223°＋sin253°sin313°等于（等于（ ）A ．－12 B.12 C ．－32 D.324．化简：的值为（的值为（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 5．在△ABC 中，如果sinA ＝2sinCcosB ，那么这个三角形是，那么这个三角形是A ．锐角三角形．锐角三角形B ．直角三角形．直角三角形C ．等腰三角形．等腰三角形D ．等边三角形．等边三角形6．若β∈(0,2π)，且1－cos 2β＋1－sin 2β＝sinβ－cosβ，则β的取值范围是的取值范围是A ．[0，π2]B ．[π2，π]C ．[π，3π2]D ．[π2，2π] 7．若为锐角三角形的两个锐角，则的值（的值（ ） Ａ．不大于Ｂ．小于 Ｃ．等于 Ｄ．大于8．已知θ为第四象限角，sinθ＝－32，则tanθ等于（等于（ ） A.33 B ．－33 C ．±33 D ．－3 9．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ－cosγ＝0，则cos(α－β)的值是的值是4cos()5αβ+=4cos()5αβ-=-cos cos αβ045045045±sin()sin()mnαβαβ+=-tan tan βαm n m n -+m n m n +-n m n m -+n mn m+-ππcos sin 44ππcos sin 44x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan2xtan 2x tan x -cot x A B ，tan tan A B 1111A ．－1B ．1C ．－12D.D.112 10．已知sin(α－β)＝1010，α－β是第一象限角，tanβ＝12，β是第三象限角，则cosα的值等于值等于A.7210 B ．－7210 C.22 D ．－22二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)把答案填第Ⅱ卷题中横线上1111．若．若0＜α＜π2，0＜β ＜π2且tanα＝17，tanβ＝34，则α＋β的值是________．1212．已知函数．已知函数f(x)＝(sinx －cosx)sinx ，x ∈R ，则f(x)的最小正周期是________．13．若，则______．14. 函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是为增函数的区间是。
优化方案高中数学第三章三角恒等变形章末综合检测三北师大版必修4
章末综合检测(三)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12等于( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32解析：选 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝cos 2π12－sin 2π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝cos π6＝32. 2.函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x 的最小正周期为( ) A ．2π B.3π2C ．πD.π2解析：选A.f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3sin x cos x cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以T ＝2π. 3．若向量a ＝(2cos α，－1)，b ＝(2，tan α)，且a ∥b ，则sin α＝( ) A.22 B ．－22C.π4D ．－π4解析：选B.因为向量a ＝(2cos α，－1)，b ＝(2，tan α)，且a ∥b ， 所以2cos α·tan α＝－2，即2cos α·sin αcos α＝－2，解得sin α＝－22.4．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，函数f (x )＝sin x ＋3cos x 的( )A ．最大值为1，最小值为－1B ．最大值为1，最小值为－12C ．最大值为2，最小值为－2D ．最大值为2，最小值为－1解析：选D.f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.因为－π2≤x ≤π2，所以－π6≤x ＋π3≤5π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤1，所以－1≤f (x )≤2.5．sin163°sin223°＋sin253°sin313°等于( ) A ．－12B.12 C ．－32D.32解析：选 B.sin163°sin223°＋sin253°sin313°＝sin(180°－17°)sin(180°＋43°)＋sin(270°－17°)sin(270°＋43°)＝sin17°(－sin43°)＋(－cos17°)·(－cos43°)＝cos60°＝12.6．化简1＋sin 4α－cos 4α1＋sin 4α＋cos 4α的结果是( )A.1tan 2αB ．tan2α C.1tan α D ．tan α解析：选B.1＋sin 4α－cos 4α1＋sin 4α＋cos 4α＝2sin 2αcos 2α＋2sin 22α2sin 2αcos 2α＋2cos 22α＝2sin 2α（cos 2α＋sin 2α）2cos 2α（sin 2α＋cos 2α）＝tan2α.7．设a ＝sin17°cos45°＋cos17°sin45°，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则有( ) A ．c <a <b B ．b <c <a C ．a <b <cD ．b <a <c解析：选A.a ＝sin17°cos45°＋cos17°sin45°＝sin(17°＋45°)＝sin62°，b ＝2cos 213°－1＝cos26°＝sin64°，c ＝32＝sin60°，在区间(0°，90°)上，函数y ＝sin x 是增函数，所以sin60°<sin62°<sin64°，即c <a <b .8．已知tan2θ＝－22，π<2θ<2π，则tan θ的值为( ) A. 2 B ．－22C ．2D.2或－22解析：选B.因为tan2θ＝－22且π<2θ<2π，所以3π2<2θ<2π，得3π4<θ<π.由tan2θ＝－22得2tan θ1－tan 2θ＝－22，整理得2tan 2θ－tan θ－2＝0，解得tan θ＝2(舍去)或tan θ＝－22. 9．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2等于( )A.33 B ．－33 C.539D ．－69解析：选C.因为0<α<π2，所以π4<α＋π4<3π4，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝223；因为－π2<β<0，所以π4<π4－β2<π2，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－β2＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63.则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539. 10．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C 的值为( )A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析：选C.由m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，得m ·n ＝3sin A cos B ＋sin B ·3cos A ＝3sin(A ＋B )＝3sin(π－C )＝3sin C ， 而cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，则由m ·n ＝1＋cos(A ＋B )得3sin C ＝1－cos C ， 即32sin C ＋12cos C ＝12⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝12，而C 为△ABC 的一个内角，所以π6<C ＋π6<7π6，得C ＋π6＝5π6，解得C ＝2π3.11．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin(2β＋7π)＝( )A.2425B ．－2425C ．－1225D.1225解析：选B.因为sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝－sin β＝35，所以sin β＝－35.又β是第三象限角，所以cos β＝－45，所以sin(2β＋7π)＝－sin2β＝－2sin βcos β＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－2425.12．如果α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝45则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos(π－α)＝( )A.225 B ．－25C.25D ．－225解析：选B.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos(π－α)＝22sin α＋22cos α＋22cos α＝22sin α＋2cos α.因为sin α＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－35.所以22sin α＋2cos α＝22×45－2×35＝－25. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13.3tan 15°＋13－tan 15°的值是________．解析：3tan 15°＋13－tan 15°＝tan 15°＋331－33tan 15°＝tan 15°＋tan 30°1－tan 30°tan 15° ＝tan(15°＋30°)＝tan45°＝1. 答案：114．已知sin θ＋cos θ＝15，且π2<θ<3π4，则cos2θ的值是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝15，sin 2θ＋cos 2θ＝1，消去cos θ得sin 2θ－15sin θ－1225＝0，因为π2<θ<3π4，所以sin θ>0，所以sin θ＝45，所以cos2θ＝1－2sin 2θ＝－725.答案：－72515．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6s in(π＋β)＝1，则sin α＝________．解析：根据诱导公式，将已知条件的两个式子化简，联立得⎩⎪⎨⎪⎧－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝3，sin β＝13，由tan α＝3和sin 2α＋cos 2α＝1得⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝3，cos 2α＋sin 2α＝1，结合α为锐角解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝31010，cos α＝1010，所以sin α＝31010.答案：3101016．已知sin α－sin β＝63，cos α＋cos β＝33，则cos 2α＋β2＝________． 解析：(sin α－sin β)2＝23，(cos α＋cos β)2＝13，两式展开相加得2－2sin αsin β＋2cos αcos β＝1⇒1＋cos(α＋β)＝12⇒cos(α＋β)＝－12⇒cos 2α＋β2＝14.答案：14三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知f (α)＝sin 2（π－α）·cos （2π－α）·tan （－π＋α）sin （－π＋α）·tan （－α＋3π）.(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝18，且π4<α<π2，求cos α－sin α的值；(3)若α＝－31π3，求f (α)的值．解：(1)f (α)＝sin 2α·cos α·tan α（－sin α）（－tan α）＝sin α·cos α.(2)由f (α)＝sin αcos α＝18.可知(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34.又因为π4<α<π2，所以cos α<sin α，即cos α－sin α<0.所以cos α－sin α＝－32. (3)因为α＝－31π3＝－6×2π＋5π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝cos5π3·sin 5π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3·sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π3＝cos π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π3＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－34.18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴的非负半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255. (1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值． 解：由条件知cos α＝210，cos β＝255，且α，β为锐角， 所以sin α＝7210，sin β＝55，因此tan α＝7，tan β＝12.(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3.(2)tan2β＝2tan β1－tan 2β＝43，所以tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan αtan 2β＝－1， 因为α，β为锐角，所以0<α＋2β<3π2，所以α＋2β＝3π4.19．(本小题满分12分)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0<φ<π2，求cos φ的值．解：(1)因为a ⊥b ，所以a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0， 即sin θ＝2cos θ.又因为sin 2θ＋c os 2θ＝1，所以4cos 2θ＋cos 2θ＝1，即cos 2θ＝15，所以sin 2θ＝45.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝255，cos θ＝55.(2)因为5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ) ＝5cos φ＋25sin φ＝35cos φ，所以cos φ＝sin φ. 所以cos 2φ＝sin 2φ＝1－cos 2φ，即cos 2φ＝12.又因为0<φ<π2，所以cos φ＝22.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，x ∈R. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6的值； (2)若cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3. 解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝2cos π4＝1.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3－π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝cos2θ－sin2θ.因为cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以sin θ＝－45. 所以sin2θ＝2sin θcos θ＝－2425，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－725.所以f ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝cos2θ－sin2θ＝－725－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425＝1725.21．(本小题满分12分)已知向量m ＝(－1，cos ωx ＋3sin ωx )(其中ω>0)，n ＝(f (x )，cos ωx )，m ⊥n ，且函数f (x )的图像任意两相邻对称轴间距为32π.(1)求ω的值；(2)探讨函数f (x )在(－π，π)上的单调性．解：(1)由题意，得m ·n ＝0，所以f (x )＝cos ωx ·(cos ωx ＋3sin ωx )＝cos 2ωx ＋12＋3sin 2ωx 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋12. 根据题意知，函数f (x )的最小正周期为3π，又ω＞0，所以ω＝13.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π6＋12，因为x ∈(－π，π)，所以－π2＜23x ＋π6＜5π6，当－π2＜23x ＋π6＜π2，即－π＜x ＜π2时，函数f (x )是递增的；当π2≤23x ＋π6＜5π6，即π2≤x ＜π时，函数f (x )是递减的． 综上可知，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，π2上是递增的，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π上是递减的．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋34. (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6时，求函数f (x )的值域；(2)将函数y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求函数g (x )的表达式及对称轴方程．解：(1)f (x )＝sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋34 ＝sin x ⎝⎛⎭⎪⎫cos x cos π3－sin x sin π3＋34＝12sin x cos x －32sin 2x ＋34＝14sin2x －32×1－cos 2x 2＋34 ＝14sin2x ＋34cos2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由－π3≤x ≤π6，得－π3≤2x ＋π3≤2π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，－34≤12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤12，所以f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，12. (2)由(1)知f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，将函数y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位后，得到y＝12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π3＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像，再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图像，所以g (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3，当4x －π3＝k π＋π2(k ∈Z)时，g (x )取最值，所以x ＝k π4＋5π24(k ∈Z)，所以函数的对称轴方程是x ＝k π4＋5π24(k ∈Z)．。
(常考题)北师大版高中数学必修四第三章《三角恒等变形》检测题(含答案解析)
一、选择题1．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 2cos21αα-=，则cos α的值为（ ）A ．15B C D 2．已知3cos 25α=，()0,2απ∈，则sin 4απ+⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A B ． C D ． 3．函数12log (sin cos )y x x =的单调增区间是（ ）A ．(,)()44k k k Z ππππ-+∈ B ．3(,)()44k k k Z ππππ++∈ C ．(,)()4k k k Z πππ+∈D ．(,)()42k k k Z ππππ++∈ 4．已知α，β均为锐角，5cos()13αβ+=-，3sin()35πβ+=，则sin()3πα-=（ ）A ．3365B ．3365-C ．6365D ．56655．函数()log 42a y x =++(0a >，且1a ≠)的图象恒过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则2sin 2θ=（ ） A ．1213-B ．1213C ．2413-D ．24136．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>的图象关于直线8x π=对称，则ω的最小值为（ ） A ．13B ．23 C ．43D ．837．函数()sin sin 22f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为（ ） A ．2B ．1C ．18D ．988．已知α∈3π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭,cos α=-45,则tan π4α⎛⎫- ⎪⎝⎭等于( ) A ．7B ．17C ．-17D ．-79．已知角α满足1cos()63πα+=，则sin(2)6πα-=（ ） A．9-B．9C ．79-D ．7910．已知直线3x −y +1=0的倾斜角为α，则1sin22α= A ．310 B ．35 C ．−310D ．11011．设a 、b R ∈，[)0,2c π∈，若对任意实数x 都有()2sin 3sin 3x a bx c π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象交点的横坐标是d ，则满足条件的有序实数组(),,,a b c d 的组数为（ ） A ．7 B ．11C ．14D ．2812．已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．3-B ．3C ．13-D ．13二、填空题13．有下列5个关于三角函数的命题： ①0x R ∃∈00cos 3x x +=；②函数22sin cos y x x =-的图像关于y 轴对称； ③x R ∀∈，1sin 2sin x x+≥； ④[]π,2πx ∀∈cos 2x=-； ⑤当()2sin cos f x x x =+取最大值时，cos x =. 其中是真命题的是______. 14．已知1cos 3α=，且02πα-<<，则()()()cos sin 2tan 23sin cos 22αππαπαππαα--+-=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______. 15．tan 80tan 4080tan 40︒+︒︒︒=________.16．在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭范围内,函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点有_______个.17．已知()2cos (sin cos )f x x x x =+，若对任意[0,]2x π∈不等式2()m f x m -≤≤+恒成立，则实数m 的取值范围是___________.18．已知1sin cos 5αα-=，0απ≤≤，则sin(2)4απ-=__________； 19．已知锐角α，β满足()sin 23sin αββ+=，则()tan cot αβα+=______. 20．若函数()sin()cos f x x x ϕ=++为偶函数，则常数ϕ的一个取值为________．三、解答题21．已知函数2()22sin f x x x =+．（1）求函数()f x 的单调递减区间； （2）当,312x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域．22．已知函数()2cos 2f x x x =-，[,]34x ππ∈-．（1）求函数()f x 的周期和值域； （2）设()3a g x x x =+，若对任意的1(0)x ∈+∞，及任意的2[,]34x ππ∈-，都有不等式12() ()g x f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．23．已知函数2()2cos 1cos (01)f x x x x ωωωω=-+<<，直线3x π=是函数f (x )的图象的一条对称轴.（1）求函数f (x )的单调递增区间;（2）已知函数y =g (x )的图象是由y =f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移23π个单位长度得到的，若6(2),(0,),352g ππαα+=∈求sin α的值.24．已知函数2()sin cos cos f x x x x =+.（1）求函数()f x 的最小正周期，并写出函数()f x 的单调递增区间； （2）若将函数()y f x =的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再把图象向右平移8π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求满足()1g x ≥的实数x 的集合. 25．如图，以x 轴非负半轴为始边，角α的终边与单位圆相交于点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将角α的终边绕着原点O 顺时针旋转4π得到角β．（1）求3sin()5cos()2sin sin()2πααπαπα-+-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的值； （2）求sin 22cos ββ+的值． 26．设函数233()cos cos 3sin 64f x x x x π⎛⎫=⋅-+- ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间； （2）当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用二倍角公式化简得到2sin cos ,αα=再利用同角的平方关系求解. 【详解】由题得24sin cos 12cos 1,ααα+-= 所以24sin cos 2cos ,ααα= 因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以2sin cos ,αα=因为22221sin cos 1,cos cos 14αααα+=∴+=，所以24cos ,(0,),cos 52πααα=∈∴= 故选：D 【点睛】方法点睛：三角函数求值常用的方法有：三看（看角、看名、看式）三变（变角、变名、变式）.2．C解析：C 【分析】根据2α是4α的二倍角求出sin α的值，再求cos 4α和sin 4απ+⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【详解】因为2α是4α的二倍角，所以2311cos 152sin 4225αα--===， 又()0,2απ∈，所以0,42aπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以sin 4545αα===cos ；所以sin sin sin cos cos sin 4444445252104απαπαπαπ+⎛⎫⎛⎫=+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C. 【点睛】 本题考查了二倍角的余弦公式，考查了同角公式，考查了两角和的正弦公式，属于中档题.3．D解析：D 【分析】先利用二倍角公式化简整理，再根据对数函数的定义域及复合函数单调性的性质求解单调递增区间即可. 【详解】由11221log (sin cos )log (sin 2)2y x x x ==， 得1sin 2022222x k x k k x k ππππππ>⇒<<+⇒<<+， 故函数的定义域为(,)()2k k k z πππ+∈，又求函数12log (sin cos )y x x =的单调增区间，利用复合函数单调性的性质，可得222242k x k k x k ππππππππ+<<+⇒+<<+.故选：D. 【点睛】本题主要考查了复合函数单调性的性质及应用，对数函数定义域的特殊要求.属于中档题.4．B解析：B 【分析】由所给三角函数值利用同角三角函数的关系求出()sin αβ+、cos 3πβ⎛⎫+⎪⎝⎭，3πα-记为()3παββ⎛⎫+-+⎪⎝⎭，利用两角差的正弦公式展开代入相应值计算即可.【详解】α，β均为锐角，5cos()013αβ+=-<，,2παβπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，∴()12sin 13αβ+==，β均为锐角，5,336πππβ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，则1cos 32πβ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4cos 35πβ⎛⎫∴+==- ⎪⎝⎭或45（4152>，舍去），()sin()sin 33ππααββ⎡⎤⎛⎫∴-=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()sin cos cos sin 33ππαββαββ⎛⎫⎛⎫=+⋅+-+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭124533313513565⎛⎫⎛⎫=⨯---⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题考查同角三角函数的关系、两角差的正弦公式、三角函数在各象限的符号，属于中档题.5．C解析：C 【分析】先根据对数函数性质得()3,2A -，进而根据正弦的二倍角公式和三角函数的定义求解即可得答案. 【详解】解：根据对数函数的性质得函数()log 42a y x =++(0a >，且1a ≠)的图象恒过()3,2A -，由三角函数的定义得：13r ==，sinθθ==， 所以根据二倍角公式得：242sin 24sin cos 413θθθ⎛===- ⎝. 故选：C. 【点睛】本题考查对数函数性质，三角函数定义，正弦的二倍角公式，考查运算能力，是中档题.6．C解析：C 【分析】利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据题意得出()832k k Z πππωπ+=+∈，可得出关于ω的表达式，即可求出正数ω的最小值.【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由于该函数的图象关于直线8x π=对称，则()832k k Z πππωπ+=+∈，得()483k k Z ω=+∈， 0ω>，当0k =时，ω取得最小值43.故选：C. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，解题时要将三角函数的解析式利用三角恒等变换思想化简，并通过对称性列出参数的表达式求解，考查计算能力，属于中等题.7．D解析：D 【分析】利用诱导公式与二倍角的余弦公式化简，再结合二次函数配方法求解即可. 【详解】因为()sin sin 2sin cos 22f x x x x x π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，2219sin 12sin 2sin 48x x x ⎛⎫=+-=--+ ⎪⎝⎭所以()f x 的最大值为98， 故选:D. 【点睛】本题主要考查诱导公式与二倍角的余弦公式的应用，考查了二次函数的性质，属于基础题.8．B解析：B 【分析】先根据同角三角函数关系求tan α，再根据两角差正切公式求结果. 【详解】 由已知得tan α=34,则tan π1tan 141tan 7ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭. 选B 【点睛】本题考查同角三角函数关系、两角差正切公式，考查基本求解能力.9．D解析：D 【分析】由已知利用诱导公式可求133sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，sin 2263cos ππαα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由二倍角公式化简，即可得结果． 【详解】162633cos sin sin ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，2sin 2cos 2cos 2262633cos πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦22171212()339sin πα⎛⎫=--=-⨯= ⎪⎝⎭．故选D ． 【点睛】本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．三角函数求值有三类，(1)“给角求值”；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种系；(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．10．A【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等变换，求出要求式子的值． 【详解】直线3x-y+1=0的倾斜角为α，∴tanα=3，∴2221133sin222219110sin cos tan a sin cos sin cos tan αααααααα=⋅====+++， 故选A ． 【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，三角恒等变换，属于中档题．11．D解析：D 【分析】 根据()2sin 3sin 3x a bx c π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭结合a 、b R ∈，[)0,2c π∈可得出a 、b 、c 的取值组合，求得方程sin 2cos x x =在区间[]0,3π的解，可得出d 的可能取值，进而可求得符合条件的有序实数组(),,,a b c d 的组数. 【详解】已知a 、b R ∈，[)0,2c π∈，若对任意实数x 都有()2sin 3sin 3x a bx c π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭， ①当2a =时，则353b c π=⎧⎪⎨=⎪⎩或343b c π=-⎧⎪⎨=⎪⎩；②当2a =-时，则323b c π=⎧⎪⎨=⎪⎩或33b c π=-⎧⎪⎨=⎪⎩.解方程sin 2cos x x =，即2sin cos cos x x x =，可得()2sin 1cos 0x x -=，即1sin 2x =或cos 0x =.当[]0,3x π∈时，解方程1sin 2x =，可得6x π=、56π、136π、176π；解方程cos 0x =，可得2x π=、32π、52π. 所以，d 的取值集合为5313517,,,,,,6262626πππππππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 因此，符合条件的有序实数组(),,,a b c d 的组数为4728⨯=.【点睛】本题考查乘法计数原理的应用，同时也考查了三角方程与三角函数解析式中参数的求解，考查计算能力，属于中等题.12．A解析：A 【分析】首先根据三角函数诱导公式，可由等式()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭求出tan 2α=；再由两角和的正切公式可求出tan 4απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【详解】 解：()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ∴由三角函数诱导公式化简得：sin 2cos αα-=-，即得tan 2α=，tantan 124tan()34121tan tan 4παπαπα++∴+===---⋅.故选：A. 【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题型.二、填空题13．②④⑤【分析】本题可通过判断出①错误然后通过判断出②正确再然后通过可以为负值判断出③错误通过以及判断出④正确最后通过将函数转化为根据当时取最大值判断出⑤正确【详解】①：则①错误；②：关于轴对称②正确解析：②④⑤ 【分析】000cos 2sin 6x x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭+判断出①错误，然后通过22sin cos cos 2x x x -=-判断出②正确，再然后通过sin x可以为负值判断出③错误，=cos02x 判断出④正确，最后通过将函数转化为()()f x x p =+，根据当()22x p k k Z ππ=-++∈时取最大值判断出⑤正确.【详解】①000001cos 2cos 2sin 2262x x x x x π+⎛⎫⎛⎫+=+=≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，00cos 3x x +≠，①错误；②：()2222sin cos cos sin cos 2y x x x x x =-=--=-，关于y 轴对称，②正确；③：因为sin x 可以为负值，所以1sin 2sin x x+≥错误，③错误； ④：因为[]π,2πx ∈，所以π,π22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos02x，cos2x ===-，④正确； ⑤：()2sin cos f x x x x x ⎫=+=⎪⎪⎭()x p =+，（注：5sin p，25cos p ）， 当函数()f x 取最大值时，22x p k ππ+=+，即()22x p k k Z ππ=-++∈，此时cos cos n 52si 2=p k x p ππ-++⎛⎫==⎪⎝⎭，故⑤正确， 故答案为：②④⑤. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据三角恒等变换以及三角函数性质判断命题是否正确，考查二倍角公式以及两角和的正弦公式的灵活应用，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.14．【分析】用同角间的三角函数关系计算用诱导公式化简后再计算然后计算可得【详解】∵且∴∴故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查诱导公式同角间的三角函数关系三角函数求值问题首先要进行化简应用诱导公式化简应用解析：-【分析】用同角间的三角函数关系计算sin α，用诱导公式化简后再计算．然后计算tan α，可得． 【详解】∵1cos 3α=，且02πα-<<，∴sin 3α==-，∴()()()cos sin 2tan 2cos sin (tan )sin tan 3cos (sin )cos sin cos 22αππαπααααααππααααα--+---=====---⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：-． 【点睛】方法点睛：本题考查诱导公式，同角间的三角函数关系．三角函数求值问题，首先要进行化简，应用诱导公式化简，应用同角间的三角函数关系化简，最后才代入求值．应用诱导公式应牢记：奇变偶不变，符号看象限，应用同角间的三角函数关系应注意在应用平方关系求函数值需确定角的范围，以确定正弦余弦值的正负．15．【分析】逆用两角和的正切公式进行化简即可得所求的值【详解】解：根据两角和的正切公式可得所以所以故答案为：【点睛】本题考查两角和的正切公式的逆用考查化简运算能力属于基础题解析： 【分析】逆用两角和的正切公式进行化简，即可得所求的值. 【详解】解：根据两角和的正切公式，可得tan80tan 40tan120tan(8040)1tan 40tan80︒︒︒︒︒︒︒+=+==-所以tan 40tan 80tan 40tan 80)40tan 80︒︒︒︒︒︒+=-=，所以tan 80tan 4080tan 40︒︒︒︒+=故答案为：. 【点睛】本题考查两角和的正切公式的逆用，考查化简运算能力，属于基础题.16．1【分析】将函数图象交点个数等价于方程在根的个数即可得答案【详解】∵函数图象交点个数等价于方程在根的个数∴解得：∴方程只有一解∴函数与函数的图象交点有1个故答案为：1【点睛】本题考查函数图象交点个数解析：1 【分析】将函数图象交点个数等价于方程tan sin x x =在,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭根的个数，即可得答案. 【详解】∵函数图象交点个数等价于方程tan sin x x =在,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭根的个数，∴sin 1tan sin sin 0sin (1)0cos cos x x x x x x x=⇔-=⇔-=，解得：0x =， ∴方程只有一解，∴函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点有1个. 故答案为：1. 【点睛】本题考查函数图象交点个数与方程根个数的等价性，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.17．【分析】先将化解成正弦型然后根据取值范围求出最值根据恒成立可建立不等式解出不等式即可【详解】当时恒成立解得故答案为：【点睛】本题考查三角函数的化解以及以及已知范围求正弦型函数的最值 解析：[1,2]【分析】先将()f x 化解成正弦型，然后根据x 取值范围求出()f x 最值，根据恒成立可建立不等式，解出不等式即可. 【详解】2()=2sin cos 2cos =sin2cos 21)14f x x x x x x x π+++=++，当[0,]2x π∈时，52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴0)114x π≤++≤，2()m f x m -≤≤+恒成立，02212m m，解得12m ≤≤. 故答案为：[1,2] 【点睛】本题考查三角函数的化解以及以及已知x 范围求正弦型函数的最值.18．【分析】由题意和同角三角函数基本关系可得和进而由二倍角公式可得和代入两角差的正弦公式计算可得【详解】又故解得故答案为：【点睛】本题考查两角和与差的三角函数公式涉及同角三角函数的基本关系和二倍角公式属 解析：50【分析】由题意和同角三角函数基本关系可得sin α和cos α，进而由二倍角公式可得sin 2α和cos2α，代入两角差的正弦公式计算可得．【详解】221sin cos ,sin cos 15αααα-=+= 又0απ≤≤，sin 0α∴≥，故解得4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，24sin 22sin cos 25ααα∴==， 227cos 2cos sin 25ααα=-=-，sin(2)sin 22422πααα∴-=-247()22525=+50=.故答案为：50. 【点睛】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系和二倍角公式，属中档题．19．2【分析】将三角函数式配成与由正弦函数和角与差角公式展开即可求解【详解】锐角满足变形可得由正弦和角与差角公式展开可得合并化简可得等式两边同时除以可得即故答案为:2【点睛】本题考查了三角函数式化简求值解析：2 【分析】将三角函数式配成()αβα++与()αβα+-,由正弦函数和角与差角公式展开,即可求解. 【详解】锐角α,β满足()sin 23sin αββ+=变形可得()()sin 3sin αβααβα++=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 由正弦和角与差角公式展开可得()()()()sin cos sin cos 3sin cos 3sin cos αβαααβαβαααβ+++=+-+合并化简可得()()4sin cos 2sin cos ααβαβα+=+ 等式两边同时除以()2cos cos αβα+可得()2tan tan ααβ=+ 即()tan cot 2αβα+= 故答案为:2 【点睛】本题考查了三角函数式化简求值,角的变化形式,属于中档题.20．（答案不唯一）【分析】根据函数为偶函数有化简得对任意恒成立所以有取其中一个值即可得出答案【详解】解：因为函数为偶函数则所以所以等价于对任意恒成立所以所以所以常数的一个取值为故答案为：（答案不唯一）【解析：π2（答案不唯一） 【分析】根据函数为偶函数有()()f x f x =-，化简得sin cos 0x ϕ=对任意x 恒成立，所以有()2k k Z πϕπ=+∈，取其中一个值即可得出答案.【详解】解：因为函数()sin()cos f x x x ϕ=++为偶函数，则()()f x f x =- 所以sin()cos sin()cos()x x x x ϕϕ++=-++-所以sin cos cos sin cos sin()cos cos()sin cos x x x x x x ϕϕϕϕ++=-+-+ 等价于sin cos 0x ϕ=对任意x 恒成立，所以cos 0ϕ=， 所以()2k k Z πϕπ=+∈，所以常数ϕ的一个取值为π2. 故答案为：π2（答案不唯一） 【点睛】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法（1）求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；（2）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于()f x 的方程(组)，从而得到()f x 的解析式；（3）求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值； （4）画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.三、解答题21．（1）()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）[]1,1-【分析】（1）首先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求函数的单调递减区间； （2）先求26x π-的范围，再求函数sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭的范围，最后求函数的值域. 【详解】（1）因为()21cos 22sin 216f x x x x π⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭， 令3222262k x k πππππ+≤-≤+，解得5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调增区间为()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （2）,312x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，22,36x ππ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦，52,066x ππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦，利用正弦函数的图像与性质知[]sin 21,06x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，[]2sin 211,16x π⎛⎫∴-+∈- ⎪⎝⎭所以()f x 的值域为[]1,1-. 【点睛】方法点睛：本题考查三角函数恒等变换和函数性质的综合应用，()sin y A x ωϕ=+的性质：（1）周期2π.T ω=（2）由 ()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴，由()πx k k ωϕ+=∈Z 求对称中心.（3）由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间；由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间.22．（1）T π=，[-；（2）14a ≥. 【分析】（1）利用辅助角公式化简可得()2sin(2)6f x x π=-，代入周期公式，可求得周期T ，根据x 的范围，求得26x π-的范围，根据正弦型函数的性质，即可求得答案.（2）根据题意可得min max ()()g x f x ≥，由（1）可得max ()f x =0a <，0a =，0a >三种，()3ag x x x=+的最小值，结合对勾函数的性质，即可求得答案.【详解】（1）1()2(sin 2cos 2)2sin(2)226f x x x x π=-=-， 周期22T ππ== 由[,]34x ππ∈-，则52[,]663x πππ-∈-， 所以当262x ππ-=-，即6x π=-时，()2sin(2)6f x x π=-有最小值-1当263x ππ-=，即4x π=时，()2sin(2)6f x x π=-有最大值2，所以1sin(2)6x π-≤-≤，所以22sin(2)6x π-≤-≤即()f x 的值域为[-（2）对任意的1(0)x ∈+∞，及任意的2[,]34x ππ∈-，都有不等式12() ()g x f x ≥恒成立，只需当min max ()()g x f x ≥由（1）知，max ()f x =当0a <，()3ag x x x=+为(0,)+∞上增函数，值域为R ，不满足题意； 当0a =，()3g x x =为(0,)+∞上增函数，值域为(0,)+∞,不满足题意；当0a >，()3ag x x x=+为对勾函数，所以()3a g x x x =+≥=min ()g x =，当且仅当3ax x =，即x =.由题意，即可，所以14a ≥. 【点睛】解题的关键是将题干条件等价为min max ()()g x f x ≥，分别根据12,x x 的范围，求得两函数的最值，再进行求解，考查分析计算的能力，属中档题.23．（1）22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2【分析】（1）首先化简函数()2sin 26f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据3x π=是函数的一条对称轴，代入求ω，再求函数的单调递增区间；（2）先根据函数图象变换得到()12cos2g x x =，并代入6(2)35g πα+=后，得3cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再利用角的变换求sin α的值.【详解】（1）()cos 222sin 26f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 当3x π=时，2,362k k Z πππωπ⨯+=+∈，得13,22kk Z ω=+∈， 01ω<<，12ω∴=， 即()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令22262k x k πππππ-+≤+≤+，解得：22233k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈， 函数的单调递增区间是22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）()1212sin 2cos 2362g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 622cos 365g ππαα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得3cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2,663πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，4sin 65πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭， sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦431552=-⨯=【点睛】方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及()sin y A ωx φ=+的性质，属于中档题型，()sin y A x ϕ=+的横坐标伸长（或缩短）到原来的1ω倍，得到函数的解析式是()sin y A ωx φ=+，若sin y A x ω=向右（或左）平移ϕ（0ϕ>）个单位，得到函数的解析式是()sin y A x ωϕ=-⎡⎤⎣⎦或()sin y A x ωϕ=+⎡⎤⎣⎦.24．（1）最小正周期π，单调递增区间为：3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）,8242k k x x k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 【分析】（1）先将函数解析式整理，得到()12242f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的性质，即可求出最小正周期，以及单调递增区间；（2）先根据三角函数的图象变换，得到()1sin 4242g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质，解不等式，即可求出结果. 【详解】（1）由题意，()1cos 211sin 2222242x f x x x π+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期为22T ππ== 令222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，得3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 所以，函数()f x 的单调递增区间为：3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）由题意，将函数()y f x =的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再把图象向右平移8π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，所以()1sin 4242gx x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()1sin 442g x x π⎛⎫≥⇔-≥ ⎪⎝⎭，得3242,444k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得满足条件的x 的集合为：,8242k k x x k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.25．（1）1；（2）725+- 【分析】（1）先利用三角函数的定义分别求出cos α，sin α，tan α，用诱导公式先化简，再求值；（2）由题意得4αβ-=π，得4πβα=-，用二倍角公式即可求解.【详解】解：（1）由题得4cos 5α=-，3sin 5α=，3tan 4α=-．3sin()5cos()3sin 5cos 3tan 512cos sin 2tan 2sin sin()2παααααπααααπα-+-++===--⎛⎫-++ ⎪⎝⎭． （2）由题意得4αβ-=π，得4πβα=-， 所以sin 22cos sin 22cos 44ππββαα⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 22cos cos 22cos 244πππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2164312cos sin )122555ααα⎫=-+=-⨯+-+⎪⎭=． 【点睛】(1) 三角函数值的大小与点P （x ,y ）在终边上的位置无关，严格代入定义式子就可以求出对应三角函数值；当角的终边在直线上时，或终边上的点带参数必要时，要对参数进行讨论．(2)根据题意把角进行合理转化，还要注意角的范围.26．（1）T π=，单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）最大值为12，最小值为14-. 【分析】（1）本题首先可通过三角恒等变换将函数解析式转化为()1sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后通过周期计算公式即可求出最小正周期，通过正弦函数的单调性即可求出单调递增区间； （2）本题可根据,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得出22,363x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，然后根据正弦函数的性质即可求出最值. 【详解】（1）2()cos cos 6f x x x x π⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭21cos cos sin 224x x x x ⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭221cos sin cos 224x x x x =++-)()2212cos 1sin 22sin 1444224x x x =-+++-+-11cos 2sin 2cos 2sin 2244244x x x x x =+-=-111sin 22sin 22223x x x π⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()1sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则最小正周期22T ππ==， 当222232k x k πππππ-+≤-≤+， 即()51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，函数()f x 单调递增， 函数()f x 的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. （2）()1sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 因为,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22,363x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 由正弦函数的性质易知， 当236x ππ-=-，即12x π=时，函数()f x 取最小值，最小值为14-； 当232x ππ-=，即512x π=时，函数()f x 取最大值，最大值为12. 【点睛】关键点点睛：本题考查结合三角恒等变换判断三角函数性质，能否根据三角恒等变换将函数转化为()1sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是解决本题的关键，考查三角函数周期性、单调性以及最值的求法，是中档题.。
2019-2020学年高中数学北师大版必修四教学案：第三章 章末小结与测评 Word版含答案
一、三角恒等变形公式 1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；商数关系：tan α＝sin αcos α. (2)应用：①已知角α的一个三角函数值可以知一求二，注意依据三角函数值确定角α的终边所在的象限．②在三角函数式的化简、求值及恒等式证明中有三个技巧：“1”的代换，sin 2α＋cos 2α＝1；切化弦；sin α±cos α平方整体代换．2．和(差)角公式(1)公式C α－β，C α＋β的公式特点：同名相乘，符号相反；公式S α－β，S α＋β的公式特点：异名相乘，符号相同；T α±β的符号规律为“分子同，分母反”．(2)和(差)角公式揭示了同名不同角的三角函数的运算规律，公式成立的条件是相关三角函数有意义，尤其是正切函数．3．二倍角公式(1)分别令公式C α＋β，S α＋β，T α＋β中的α＝β，即得公式C 2α，S 2α，T 2α.(2)“二倍”关系是相对的，只要两个角满足比值为2即可．倍角公式揭示了具有倍角关系的两个角的三角函数的运算规律．(3)公式变形升幂公式：cos 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α. 降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2. 4．半角公式半角公式实际上是二倍角公式的变形，应用公式求值时要由α2所在的象限确定相应三角函数值的符号．二、公式的应用途径(1)正用公式：从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，通过对信息的感知、加工、转换，运用已知条件进行推算逐步达到目的．(2)逆用公式：逆向转换、逆用公式，换个角度思考问题，逆向思维的运用往往会使解题思路茅塞顿开． (3)变形应用公式：思考问题时因势利导、融会贯通、灵活应用变形结论．如 ①1－sin 2α＝cos 2α，1－cos 2α＝sin 2α；②tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)， 1－tan αtan β＝tan α＋tan βtan （α＋β）；③sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α；④sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2； ⑤2tan α＝tan 2α(1－tan 2α)等． 三、常见的三角恒等变形(1)应用公式进行三角函数式的求值，包括给角求值和给值求值和给值求角三种类型． (2)应用公式进行三角函数式的化简． (3)应用公式进行三角函数式的证明． 注意的问题 (1)“1”的代换在使用公式进行三角恒等变换的过程中，“1”的代换技巧往往使得变换过程“柳暗花明”．例如，1＝sin 2α＋cos 2α，1＝tan π4，1＝cos 2α＋2sin 2α，1＝2cos 2α－cos 2α等．(2)辅助角公式辅助角公式几乎高考必考，即a sin α＋b cos α＝a2＋b2sin(α＋φ)(tan φ＝ba)．常见的有以下几个：sin α±cos α＝2sin(α±π4)，3sin α±cos α＝2sin(α±π6)，sin α±3cos α＝2sin(α±π3)．四、三角恒等变形技巧常用的技巧有：从“角”入手，即角的变化；从“名”入手，即函数名称的变化；从“幂”入手，即升降幂的变化；从“形”入手，即函数式结构的变化．[典例1] (江苏高考)设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为________．[解析] 因为α为锐角，cos(α＋π6)＝45，所以sin(α＋π6)＝35，sin2(α＋π6)＝2425，cos2(α＋π6)＝725，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4 ＝22×1725＝17250. [答案]17250[借题发挥] 1.当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”“配”等方法实现角的转化，一般是寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果．2．常见的角的变换有：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α－β＝α＋(α－β)，β＝α＋β2－α－β2，(3π4＋β)－(π4－α)＝π2＋(α＋β)，(α＋π4)＋(β－π4)＝α＋β，只要对题设条件与结论中所涉及的角进行仔细地观察，往往会发现角与角之间的关系，从而简化解题过程．[对点训练]1．已知sin(π4－α)sin(π4＋α)＝26(0<α<π2)，求sin 2α的值．解：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎦⎥⎤π4＋α，∴26＝sin(π4－α)sin(π4＋α)＝sin(π4＋α)cos(π4＋α) ＝12sin(π2＋2α) ＝12cos 2α， ∴cos 2α＝23.∵0<α<π2，∴0<2α<π，∴sin 2α＝73.[典例2] 已知tan α＝43，cos(α＋β)＝－1114，0°<α<90°，0°<β<90°，求β. [解] ∵0°<α<90°，且tan α＝sin αcos α＝43， sin 2α＋cos 2α＝1， ∴cos α＝17，sin α＝437. ∵cos(α＋β)＝－1114，0°<α＋β<180°， ∴sin(α＋β)＝1－（－1114）2＝5314.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝(－1114)×17＋5314×437＝12.又∵0°<β<90°，∴β＝60°.[借题发挥] 1.“给值求角”的一般规律是先求出所求角的一种三角函数值，然后确定所求角的范围，最后根据三角函数值和角的范围求出角．2．确定的所求角的范围最好是所求三角函数的一个单调区间．例如，若所求角的范围是(0，π2)，选择求所求角的正弦或余弦函数值均可；若所求角的范围为(0，π)，选择求所求角的余弦函数值；若所求角的范围是(－π2，π2)，选择求所求角的正弦函数值．[对点训练]2．在△ABC 中，如果4sin A ＋2cos B ＝1，2sin B ＋4cos A ＝33，则角C 的大小为________． 解析：由4sin A ＋2cos B ＝1， 2sin B ＋4cos A ＝33， 两边平方相加得sin(A ＋B )＝12. 如果A ＋B ＝π6，则B <π6，∴cos B >12与条件4sin A ＋2cos B ＝1矛盾． ∴A ＋B ＝5π6，C ＝π6. 答案：π6[典例3] 化简：2cos2α－12tan （π4－α）sin2（π4＋α）.[解] 法一：原式＝2cos2α－12sin （π4－α）cos （π4－α）·sin2（π4＋α）＝2cos2α－12sin （π4－α）cos （π4－α）·cos2（π4－α）＝2cos2α－1sin （π2－2α）＝cos 2αcos 2α＝1.法二：原式＝cos 2α2×1－tan α1＋tan α（22sin α＋22cos α）2＝cos 2αcos α－sin αcos α＋sin α（sin α＋cos α）2＝cos 2α（cos α－sin α）（cos α＋sin α）＝cos 2αcos2α－sin2α＝cos 2αcos 2α＝1.[借题发挥]1．三角函数式的化简是高考命题的热点，常常与三角函数的图像和性质综合出题，题型灵活多变．化简三角函数式的常用方法有：①直接应用公式；②切化弦；③异角化同角；④特殊值与特殊角的三角函数互化；⑤通分、约分；⑥配方、去根号．2．由于三角函数式中包含着各种不同的角和不同的函数种类以及不同的式子结构，所以在三角函数式的化简与证明中， 应充分利用所学的三角函数的基本关系式和和、差、倍、半角等公式，首先从角入手，找出待化简(证明)的式子中的差异，然后选择适当的公式“化异为同”，实现三角函数式的化简与证明．[对点训练] 3．求证：tan （α＋β）－tan α1＋tan βtan （α＋β）＝sin 2β2cos2α.证明：tan(α＋β)－tan α＝sin （α＋β）cos （α＋β）－sin αcos α＝sin （α＋β）cos α－sin αcos （α＋β）cos （α＋β）cos α＝sin βcos （α＋β）cos α.1＋tan βtan(α＋β)＝1＋sin βcos β·sin （α＋β）cos （α＋β）＝cos βcos （α＋β）＋sin βsin （α＋β）cos βcos （α＋β）＝cos （α＋β－β）cos βcos （α＋β）＝cos αcos βcos （α＋β）.∴左边＝sin βcos βcos （α＋β）cos2αcos （α＋β）＝sin 2β2cos2α＝右边．[典例4] (山东高考)已知向量m ＝(sin x ，1)，n ＝(3A cos x ，A2cos 2x )(A >0)，函数f (x )＝m·n 的最大值为6.(1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域． [解] (1)f (x )＝m·n ＝3A sin x cos x ＋A 2cos 2x ＝A (32sin 2x ＋12cos 2x ) ＝A sin(2x ＋π6)． 因为A >0，由题意知A ＝6. (2)由(1)f (x )＝6sin(2x ＋π6)．将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像； 再将得到图像上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin(4x ＋π3)的图像．因此g (x )＝6sin(4x ＋π3)．因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24，所以4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6， 故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域为[－3，6]． [借题发挥]1．以向量为背景，综合考查向量、三角恒等变形、三角函数的性质是近几年高考的热点问题．解决此类问题要注意三角恒等变形中由于消项、约分、合并等原因，可能使函数定义域发生变化，所以要在变换前注意三角函数的定义域，并在这个定义域内分析问题．2．三角函数的图像和性质是三角函数的重要内容．如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变形，将三角函数的表达式变形化简转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式，然后根据化简后的三角函数，讨论其图像和性质．[对点训练]4．(广东高考)已知函数f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎪⎫x 4＋π6，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2. (1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋43π＝－3017，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－23π＝85，求cos(α＋β)的值．解：(1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2，所以A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫14×π3＋π6＝A cos π4＝22A ＝2，所以A ＝2.(2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π6＝－2sin α＝－3017，所以sin α＝1517，因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos α＝817；又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－2π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6＋π6＝2cos β＝85，所以cos β＝45，因为β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sinβ＝35.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－1517×35＝－1385.(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．计算sin 21°cos 9°＋sin 69°sin 9°的结果是( ) A.32 B.12 C ．－12D ．－32解析：选B 原式＝sin 21°cos 9°＋sin(90°－21°)sin 9° ＝sin 21°cos 9°＋cos 21°sin 9° ＝sin 30°＝12.2．(辽宁高考)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin 2α＝( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．1 解析：选A ∵sin α－cos α＝2，∴(sin α－cos α)2＝2， ∴sin 2α＝－1.3．(重庆高考)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两个根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3解析：选A 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2.则tan(α＋β)＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31－2＝－3.4．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为( )A ．0 B.54 C ．1 D.34解析：选D 原式＝2tan α－1tan α＋2＝2×2－12＋2＝34. 5．(山东高考)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )A.35B.45C.74 D.34解析：选D 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以cos 2θ<0，所以cos 2θ＝－1－sin22θ＝－18.又cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，所以sin θ＝34.6．已知sin(π4－x )＝35，则sin 2x 的值为( )A.725B.1625C.1425 D.1925解析：选A sin 2x ＝cos(π2－2x )＝cos 2(π4－x )＝1－2sin 2(π4－x )＝1－1825＝725.7．若α，β均为锐角，sin α＝255，sin(α＋β)＝35，则cos β的值为( ) A.255 B.2525C.255或2525 D ．－2525解析：选B 由sin α＝255，α为锐角知cos α＝55. ∵sin α＝255>sin(α＋β)＝35， ∴α＋β∈(π2，π)， ∴cos(α＋β)＝－45.∴cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin αsin (α＋β)＝2525. 8．函数y ＝sin x cos x ＋3cos 2x 的图像的一个对称中心是( ) A ．(π3，－32) B ．(2π3，－32)C ．(2π3，32) D ．(π3，32) 解析：选D y ＝12sin 2x ＋3（1＋cos 2x ）2＝12sin 2x ＋32cos 2x ＋32＝sin(2x ＋π3)＋32，当x ＝π3时，sin (2×π3＋π3)＝0.∴(π3，32)是函数图像的一个对称中心．9．(江西高考)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( ) A.15 B.14 C.13D.12解析：选D 法一：∵tan θ＋1tan θ＝1＋tan2 θtan θ＝4， ∴4tan θ＝1＋tan 2θ， ∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin2 θ＋cos2 θ＝2tan θ1＋tan2θ＝2tan θ4tan θ＝12.法二：∵tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2sin 2θ∴4＝2sin 2θ，故sin 2θ＝12.10．函数y ＝cos 2x cos π5－2sin x cos x sin 65π的递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π10，k π＋35π(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π20，k π＋720π(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π10，2k π＋35π(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－25π，k π＋π10(k ∈Z ) 解析：选D y ＝cos 2x cos π5＋sin 2x sin π5＝cos(2x －π5)．∴2k π－π≤2x －π5≤2k π，k ∈Z .∴k π－25π≤x ≤k π＋π10，k ∈Z .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)11．已知cos α＝－45，α∈(π2，π)，则tan(π4＋α)等于________．解析：由已知得tan α＝－34，所以tan(π4＋α)＝1－341＋34＝17.答案：1712．已知sin θ2＋cos θ2＝233，那么cos 2θ的值为________．解析：(sin θ2＋cos θ2)2＝1＋sin θ＝43，sin θ＝13，cos 2θ＝1－2sin 2θ＝79.答案：7913．△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，当A 为________时，cos A ＋2cos B ＋C2取得最大值，且这个最大值为________．解析：cos A ＋2cosB ＋C 2＝cos A ＋2sin A2＝1－2sin 2A2＋2sin A 2＝－2sin 2A 2＋2sin A 2－1 ＝－2(sin A 2－12)2＋32， 当sin A 2＝12，即A ＝60°时， 得(cos A ＋2cos B ＋C 2)max ＝32. 答案：60° 3214．已知α是第二象限角，且sin α＝154，则sin （α＋π4）sin 2α＋cos 2α＋1＝________．解析：∵α为第二象限角， ∴cos α＝－1－sin2α＝－14.sin （α＋π4）sin 2α＋cos 2α＋1＝22（sin α＋cos α）2cos α（sin α＋cos α）＝222cos α＝－2.答案：－2三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)化简sin （2α＋β）sin α－2cos(α＋β)．解：法一：原式＝sin[（α＋β）＋α]sin α－2cos(α＋β)＝sin （α＋β）cos α＋cos （α＋β）sin αsin α－2cos(α＋β)＝sin （α＋β）cos αsin α－cos(α＋β)＝sin （α＋β）cos α－cos （α＋β）sin αsin α＝sin[（α＋β）－α]sin α＝sin βsin α.法二：原式＝sin 2αcos β＋cos 2αsin β－2（cos αcos β－sin αsin β）sin αsin α＝sin 2αcos β＋cos 2αsin β－sin 2αcos β＋2sin2αsin βsin α.＝（1－2sin2α）sin β＋2sin2αsin βsin α＝sin βsin α. 16．(本小题满分12分)已知sin(5π＋α)＝－35，且α∈(π2，π)，tan β＝12.(1)求tan(α－β)的值； (2)求sin(2α＋π3)的值．解：(1)由条件得sin α＝35. 又α∈(π2，π)，所以tan α＝－34.故tan (α－β)＝－34－121＋（－34）×12＝－2.(2)由条件得sin α＝35.又α∈(π2，π)，得cos α＝－45.所以sin 2α＝2×35×(－45)＝－2425，cos 2α＝(－45)2－(35)2＝725.故sin(2α＋π3)＝－2425×12＋725×32＝73－2450.17．(本小题满分12分)(北京高考)已知函数f (x )＝（sin x －cos x ）sin 2xsin x.(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间．解：(1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )， 故f (x )的定义域为{}x∈R |x≠k π，k∈Z . 因为f (x )＝(sin x －cos x )sin 2xsin x＝2cos x (sin x －cos x ) ＝sin 2x －cos 2x －1 ＝2sin(2x －π4)－1，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递减区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )． 由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )． 所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z )． 18．(安徽高考)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．解：本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角公式、三角函数周期公式以及三角函数的单调性等知识，意在考查转化与化归思想的应用．(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋2.因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0，从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2.若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增；当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上单调递减．模块综合检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求)1．已知角α的终边经过点P (－3，4)，则sin α的值等于( )A ．－35 B.35 C.45D ．－45解析：选C sin α＝4（－3）2＋42＝45.2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－32且|φ|＜π2，则tan φ＝( )A ．－33 B.33C ．－3 D.3解析：选D 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－32得sin φ＝32，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以tan φ＝3.3．已知cos α＝35，0＜α＜π，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.15 B.17C ．－1D ．－7解析：选D 因为cos α＝35＞0，0＜α＜π，所以0＜α＜π2，sin α＞0，所以sin α＝45，故tan α＝43，所以tan(α＋π4)＝tan α＋tanπ41－tan α·tan π4＝43＋11－43＝－7. 4．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图像，只要将函数y ＝cos 2x 的图像( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移12个单位 D ．向右平移12个单位解析：选C y ＝cos 2x 的图像向左平移12个单位后即变成y ＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12＝cos(2x ＋1)的图像． 5．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，k )，且a 与b 的夹角为锐角，则k 的取值范围是( ) A ．(－2，＋∞) B.⎝⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝⎛⎭⎪⎫12，＋∞C ．(－∞，－2)D ．(－2，2)解析：选B 当a ，b 共线时，2k －1＝0，k ＝12，此时a ，b 方向相同夹角为0°，所以要使a 与b 的夹角为锐角，则有a ·b ＞0且a ，b 不共线．由a ·b ＝2＋k ＞0得k ＞－2，且k ≠12，即实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，选B.7．函数y ＝sin (ωx ＋φ)(x ∈R ，且ω＞0，0≤φ＜2π)的部分图像如图所示，则()A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π4解析：选C ∵T ＝4×2＝8，∴ω＝π4.又∵π4×1＋φ＝π2，∴φ＝π4.8．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝45，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos(π－α)等于( ) A.225 B ．－25 C.25 D ．－225解析：选B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos(π－α)＝22sin α＋22cos α＋22cos α＝22sin α＋2cos α. ∵sin α＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos α＝－35. ∴22sin α＋2cos α＝22×45－2×35＝－25.10．如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴正半轴上移动，则的最大值是( )A．2B．1＋ 2C．πD．411．设函数f(x)＝sin (ωx ＋φ)＋cos (ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )A ．f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减B ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递减 C ．f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增 D ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递增 解析：选A y ＝sin (ωx ＋φ)＋cos (ωx ＋φ)＝2sin (ωx ＋φ＋π4)，由最小正周期为π得ω＝2，又由f(－x)＝f(x)可知f(x)为偶函数，|φ|<π2可得φ＝π4，所以y ＝2cos 2x ，在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减．.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上) 13．已知cos x ＝2a －34－a ，x 是第二、三象限的角，则a 的取值范围为________．解析：－1＜cos x ＜0，－1＜2a －34－a ＜0，⎩⎪⎨⎪⎧2a －34－a ＜0，2a －34－a ＞－1.∴－1＜a ＜32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32 14．已知e 1、e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2.若a·b ＝0，则实数k 的值为________．解析：由题意知：a·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0，即k e 21＋e 1e 2－2k e 1e 2－2e 2＝0，即k ＋cos2π3－2k cos 2π3－2＝0，化简可求得k ＝54. 答案：5415．y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6的定义域为________．解析：∵2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6≥0，∴2k π－π2≤3x ＋π6≤2k π＋π2，∴23k π－2π9≤x ≤23k π＋π9(k ∈Z )， 函数的定义域为{x |23k π－29π≤x ≤23k π＋π9，k ∈Z }． 答案：{x |23k π－29π≤x ≤23k π＋π9，k ∈Z }16．有下列四个命题：①若α，β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sin β； ②若函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －π3的最小正周期是4π，则a ＝12；③函数y ＝sin2x －sin xsin x －1是奇函数；④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2在[0，π]上是增函数．其中正确命题的序号为________．解析：α＝390°＞30°＝β，但sin α＝sin β，所以①不正确；函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －π3的最小正周期为T ＝2π|a|＝4π，所以|a |＝12，a ＝±12，因此②不正确；③中函数定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠2k π＋π2，k∈Z ，显然不关于原点对称，所以③不正确；由于函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin(π2－x )＝－cos x ，它在(0，π)上单调递增，因此④正确．答案：④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)化简：sin （540°－x ）tan （900°－x ）·1tan （450°－x ）tan （810°－x ）·cos （360°－x ）sin （－x ）.解：原式＝sin （180°－x ）tan （－x ）·1tan （90°－x ）tan （90°－x ）·cos x sin （－x ）＝sin x－tan x·tan x ·tanx ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1tan x ＝sin x .18．(本小题满分12分)已知角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求式子sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ()α＋π·tan （α－π）cos （3π－α）的值．解：(1)∵|OP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1， ∴点P 在单位圆上，由正弦函数定义得sin α＝－35. (2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α.由(1)得sin α＝－35，P 在单位圆上， ∴由已知得cos α＝45，∴原式＝54.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin(2x －π6)＋2cos 2x .(1)求f (x )的最小值及最小正周期； (2)求使f (x )＝3的x 的取值集合．解：(1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2cos 2x ＝sin 2x ·cos π6＋cos 2x sin π6＋sin 2x ·cos π6－cos 2x ·sin π6＋cos 2x ＋1＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，∴f (x )min ＝2×(－1)＋1＝－1，最小正周期T ＝2π|ω|＝2π2＝π. (2)∵f (x )＝3，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＝3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1，∴2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋π6，k ∈Z ，∴使f (x )＝3的x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝k π＋π6，k∈Z∴x (2－y )－(－x －4)y ＝0，整理得x ＋2y ＝0. ∴y ＝－12x .即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0， 由(1)知x ＝－2y ，将其代入上式， 整理得y 2－2y －3＝0. 解得y 1＝3，y 2＝－1. 当y ＝3时，x ＝－6，21．(本小题满分12分)如图，函数y ＝2sin(πx ＋φ)，x ∈R (其中0≤φ≤π2)的图像与y 轴交于点(0，1)．(1)求φ的值；(2)求函数y ＝2sin(πx ＋φ)的单调递增区间；(3)求使y ≥1的x 的集合．解：(1)因为函数图像过点(0，1)，所以2sin φ＝1，即sin φ＝12.因为0≤φ≤π2，所以φ＝π6. (2)由(1)得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6， ∴当－π2＋2k π≤πx ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 即－23＋2k ≤x ≤13＋2k ，k ∈Z 时，y ＝2sin(πx ＋π6)是增函数，故y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋2k ，13＋2k ，k ∈Z . (3)由y ≥1，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6≥12， ∴π6＋2k π≤πx ＋π6≤5π6＋2k π，k ∈Z ， 即2k ≤x ≤23＋2k ，k ∈Z ，∴y ≥1时，x 的集合为{x |2k ≤x ≤23＋2k ，k ∈Z }．22．(本小题满分12分)已知M (1＋cos 2x ，1)，N (1，3sin 2x ＋a )(x ∈R ，a ∈R ，a 是常数)，且y ＝(O 为坐标原点)．(1)求y 关于x 的函数关系式y ＝f (x )；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值，并说明此时f (x )的图像可由y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图像经过怎样的变换而得到；(3)函数y ＝g (x )的图像和函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，求y ＝g (x )的表达式，并比较g (1)和g (2)的大小．解：(1)y ＝f (x )＝＝(1＋cos 2x ，1)·(1，3sin 2x ＋a )＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＋a . (2)x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， 所以f (x )的最大值为3＋a ＝4，解得a ＝1，此时f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2，其图像可由y ＝2sin(x ＋π6)的图像经纵坐标不变横坐标缩小为原来的12倍，再将所得图像向上平移2个单位得到．(3)设M (x ，y )为y ＝g (x )的图像上任一点，由函数y ＝g (x )的图像和函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，得M (x ，y )关于x ＝1的对称点M ′(2－x ，y )在y ＝f (x )的图像上，所以y ＝g (x )＝f (2－x )＝2sin[2(2－x )＋π6]＋1＋a ＝2sin(－2x ＋4＋π6)＋1＋a ，g (1)＝2sin(2＋π6)＋1＋a ，g (2)＝2sin π6＋1＋a ＝2sin 5π6＋1＋a . ∵π2＜2＋π6＜5π6＜π， ∴g (1)＞g (2)．。
北师大版高中数学必修四第三章章末测试
cos( ＋2θ)＝sin2θ＝2sinθcosθ＝2× × ＝ .
5．设α，β∈(0， )，tanα＝ ，tanβ＝ ，则α－β等于( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：∵tan(α－β)＝ ＝ ＝1，
α，β∈(0， )，∴－ ＜α－β＜ ，
∴α－β＝ .
6．当x∈[－ ， ]时，y＝ 的最小值为( )
D．向右平移 个单位
答案：D
解析：y＝sin2x＋ cos2x
＝2( sin2x＋ cos2x)
＝2sin(2x＋ )
而y＝2sin2x＝2sin[2(x－ )＋ ]
∴只需将图像向右平移 ，故选D.
10．如图，在5个并排的正方形图案中作出一个∠AOnB＝135°(n＝1,2,3,4,5,6)，则n＝( )
二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填入题中横线上．
11．已知cosα＝ ，且α∈( ，2π)，则cos(α－ )＝________.
答案：
解析：∵cosα＝ ，α∈( π，2π)，∴sinα＝－ ＝－ ＝－ ，
∴cos(α－ )＝cosαcos ＋sinαsin ＝ × － × ＝ .
A．1,6B．2,5
C．3,4D．2,3,4,5
答案：C
解析：若n＝1或n＝6，显然∠AOnB<90°，若n＝2，则有∠AO2O1＝45°，∠BO2O6<45°，∴∠AOnB>135°，根据对称性可知，若n＝5，∠AOnB>135°，若n＝3，则有tan(∠AO3O1＋∠BO3O6)＝ ＝1，又∵∠AO3O1，∠BO3O6∈(0,45°)，∴∠AO3O1＋∠BO3O6＝45°，∴∠AO3B＝135°，同理根据对称性有∠AO4B＝135°.
2018_2019学年高中数学第三章三角恒等变形章末检测北师大版必修4
第三章 三角恒等变形章末检测(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分) 1．cos 230°－sin 230°的值是( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32解析 cos 230°－sin 230°＝cos 60°＝12.答案 A2．已知α是第三象限角，且sin α＝－2425，则tan α2等于( )A ．－34B.34C.43D ．－43解析 方法一 由2k π＋π<α<2k π＋3π2(k ∈Z )知k π＋π2<α2<k π＋3π4(k ∈Z )，cos α＝－725，∴tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－43.方法二 由α为第三象限角及sin α＝－2425知cos α＝－725，∴tan α2＝sin α1＋cos α＝－24251－725＝－43.答案 D3．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，函数f (x )＝sin x ＋3cos x 的( ) A ．最大值为1，最小值为－1 B ．最大值为1，最小值为－12C ．最大值为2，最小值为－2D ．最大值为2，最小值为－1解析 f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.∵－π2≤x ≤π2，∴－π6≤x ＋π3≤5π6，∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤1，∴－1≤f (x )≤2.答案 D4．已知sin α2＝45，cos α2＝－35，则角α的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 sin α＝2sin α2cos α2＝－2425＜0，cos α＝2cos2α2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352－1＝－725＜0. ∴α为第三象限角． 答案 C5．设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( ) A.2525 B.255 C.2525或255D.55或525解析 依题意得sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin 2α＋β＝±45；又α，β均为锐角，因此0＜α＜α＋β＜π，cos α＞cos(α＋β)，注意到45＞55＞－45，所以cos(α＋β)＝－45.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525，选A.答案 A6．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( ) A ．向右平移π12个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向左平移π4个单位长度解析 因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4＝2cos3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，所以将y ＝ 2cos 3x 的图像向右平移π12个单位长度后可得到y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图像．答案 A7．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，0)，则φ等于( ) A ．－π6B.π6C.5π6D ．－5π6解析 因为3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，所以由tan φ＝－33，且φ∈(－π，0)得φ＝－π6，故选A.答案 A 8.α＋－α－cos α的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 原式＝sin αcos 30°＋cos αsin 30°－sin αcos 30°＋cos αsin 30°cos α＝2cos αsin 30°cos α＝2sin 30°＝1.答案 A9．已知向量a ＝(sin α，1)，b ＝(2,2cos α－2)(π2<α<π)，若a ⊥b ，则sin(α－π4)等于( ) A ．－32B ．－12C.12D.32解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝2sin α＋2cos α－2＝22sin(α＋π4)－2＝0，∴sin(α＋π4)＝12.∵π2<α<π，∴34π<α＋π4<54π， ∴cos(α＋π4)＝－32.∴sin(α－π4)＝－sin(π4－α)＝－cos(α＋π4)＝32.答案 D10．在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形解析 ∵sin A sin B ＝cos 2C 2＝1＋cos C 2， ∴1－cos(A ＋B )＝2sin A sin B ， ∴cos(A ＋B )＋2sin A sin B ＝1， ∴cos(A －B )＝1，∴A －B ＝0， ∴A ＝B . 答案 B11．已知β∈(0，π2)，满足tan(α＋β)＝324，sin β＝13，则tan α等于( )A.23B.4211 C.3211D.324解析 因为β∈(0，π2)，sin β＝13，所以cos β＝223，所以tan β＝122＝24，又因为tan(α＋β)＝324，所以tan α＝tan[(α＋β)－β]＝tan α＋β－tan β1＋tan α＋βtan β＝324－241＋324×24＝4211，故选B. 答案 B12．当函数y ＝sin(π3＋x )cos(π3－x )取得最大值时，tan x 的值为( )A ．1B ．±1 C. 3D ．－1解析 y ＝(sin π3cos x ＋cos π3sin x )(cos π3cos x ＋sin π3sin x )＝(32cos x ＋12sin x )(12cos x ＋32sin x ) ＝sin x cos x ＋34＝12sin 2x ＋34， ∴当2x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，函数取到最大值，此时x ＝k π＋π4，k ∈Z ，tan x ＝1.答案 A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，cos(α－β)＝________．解析 α与β的终边关于y 轴对称，则α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ，∴β＝π－α＋2k π.∴cos(α－β)＝cos(α－π＋α－2k π)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2×19＝－79. 答案 －7914．若sin θ2－2cos θ2＝0，则tan θ＝________.解析 由sin θ2－2cos θ2＝0，得tan θ2＝2.∴tan θ＝2tanθ21－tan2θ2＝2×21－22＝－43.答案 －4315．函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________．解析 y ＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2(sin 2x －sin x )＋1＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122－14＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32，故当sin x ＝12，y ＝cos 2x ＋2sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32取得最大值32. 答案 3216．关于函数f (x )＝cos 2x －23sin x cos x ，下列命题： ①若存在x 1，x 2有x 1－x 2＝π时，f (x 1)＝f (x 2)成立；②f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增； ③函数f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0成中心对称图形； ④将函数f (x )的图像向左平移5π12个单位长度后将与y ＝2sin 2x 的图像重合，其中正确命题的序号是________．解析 ∵f (x )＝cos 2x －3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12，∴周期T ＝π，①正确；∵递减区间是π2＋2k π≤2x ＋5π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，即k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，②错误；∵对称中心的横坐标为2x ＋5π6＝k π(k ∈Z )⇒x ＝k π2－5π12(k ∈Z )， 当k ＝1时，x ＝π12，③正确；∵y ＝2sin2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12＋5π12＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π3，其图像与y ＝2sin 2x 的图像不重合， ∴④错误． 答案 ①③三、解答题(本大题共6个小题，共70分)17．(10分)已知f (α)＝π－απ－α⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－π－α.(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解 (1)f (α)＝sin α·cos α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2－2πtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin α＝sin α·cos α·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin α＝－cos α.(2)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，所以sin α＝－15，又α是第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－265.故f (α)＝265.18．(12分)已知tan α2＝2，(1)求tan(α＋π4)的值；(2)求6sin α＋cos α3sin α－2cos α的值．解 (1)∵tan α2＝2，∴tan α＝2tanα21－tan2α2＝2×21－4＝－43，∴tan(α＋π4)＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝tan α＋11－tan α＝－43＋11＋43＝－17.(2)由(1)知tan α＝－43，∴6sin α＋cos α3sin α－2cos α＝6tan α＋13tan α－2＝－43＋1－43－2＝76. 19．(12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝41313.(1)求cos(α－β)的值；(2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sin β＝－45，求sin α的值．解 (1)a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)． |a －b |2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2－2cos(α－β)=( 41313)2=1613，∴cos(α－β)＝513.(2)由0<α<π2，－π2<β<0且sin β＝－45，可知cos β＝35，∴sin(α－β)＝1213，∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝1213×35＋513×(－45)＝1665. 20．(12分)已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)若a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值．(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值． 解 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝22(sin x ＋cos x )－2sin x ＝22cos x －22sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，因为x ∈[0，π]，从而π4－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4，故f (x )在[0，π]上的最大值为22，最小值为－1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f π＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ－2a sin θ＝0，2a sin 2θ－sin θ－a ＝1，由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2知cos θ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.21．(12分)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝32.(1)求A 的值;(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ. 解 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π4＝32，所以A ·32＝32，A ＝ 3. (2)f (θ)＋f (－θ)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－θ＋π4＝32， 所以3⎣⎢⎡⎦⎥⎤22θ＋cos θ＋22－sin θ＋cos θ＝32， 所以6cos θ＝32，cos θ＝64，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝1－cos 2θ＝104，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－θ＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304. 22．(12分)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性．解 (1)由题意知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2<2x －π3≤π，即5π12<x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎝ ⎛⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减．。
北师大版高中数学必修4：第三章 三角恒等变形 章末检测
三角恒等变形 阶段质量检测(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若α＝11π3，则tan αcos α＝( )A.12 B ．－12C ．－32D.32解析：选C tan αcos α＝sin α＝sin 11π3＝－sin π3＝－32. 2．函数y ＝cos 2x ＋sin 2xcos 2x －sin 2x 的最小正周期为( )A ．2πB ．π C.π2D.π4解析：选C y ＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x －sin 2x ＝1＋tan 2x1－tan 2x＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.∴T ＝π2. 3．已知sin α2＝45，cos α2＝－35，则角α的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选C sin α＝2sin α2cos α2＝－2425<0，cos α＝2cos2α2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352－1＝－725<0. ∴α为第三象限角．4．化简：sin (180°＋2α)1＋cos 2α·cos 2αcos (90°＋α)＝( )A ．－sin αB ．－cos αC ．sin αD ．cos α解析：选D 原式＝(－sin 2α)·cos 2α(1＋cos 2α)·(－sin α)＝2sin α·cos α·cos 2α2cos 2α·sin α＝cos α. 5．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α的值为( )A.118 B ．－118C.1718D ．－1718解析：选D cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，代入原式，得6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，∴sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝－1718.6．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为( )A.23B ．－23C.13D ．－13解析：选B 因为(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θcos θ＝1＋2sin θcosθ＝169，所以2sin θcos θ＝79，所以(sin θ－cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θcos θ＝1－2sin θ·cos θ＝29.又因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin θ＜cos θ，即sin θ－cos θ＜0，所以sin θ－cos θ＝－23，故选B. 7．在△ABC 中，已知tan A ＋B2＝sin C ，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C 在△ABC 中， tanA ＋B2＝sin C ＝sin(A ＋B )＝2sinA ＋B2cosA ＋B2，∴2cos2A ＋B2＝1，∴cos(A ＋B )＝0，从而A ＋B ＝π2，△ABC 为直角三角形．8．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝m ，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝( )A ．2mB ．±2m C.3mD ．±3m解析：选C ∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝m ，∴32cos x ＋12sin x ＝m ， ∴3cos x ＋sin x ＝2m .又cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝32cos x ＋32sin x＝32(3cos x ＋sin x )， ∴cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝3m .9．(2019·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝2sin x －sin 2x 在[0,2π]的零点个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选B 令f (x )＝0，得2sin x －sin 2x ＝0， 即2sin x －2sin x cos x ＝0，∴2sin x (1－cos x )＝0，∴sin x ＝0或cos x ＝1. 又x ∈[0,2π]，∴由sin x ＝0，得x ＝0，π或2π， 由cos x ＝1，得x ＝0或2π.故函数f (x )的零点为0，π，2π，共3个．10．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，若a 与b 的夹角为π3，则cos(α－β)的值为( )A.22 B.12 C.32D ．－12解析：选B 因为a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，所以|a |＝|b |＝1.又a 与b 的夹角为π3，所以a ·b ＝1×1×cos π3＝12.又a ·b ＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，所以cos(α－β)＝12.11．已知函数f (x )＝cos 2x －1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2(0＜x ≤π3)，则( )A ．函数f (x )的最大值为3，无最小值B ．函数f (x )的最小值为－3，最大值为0C ．函数f (x )的最大值为33，无最小值 D ．函数f (x )的最小值为－3，无最大值解析：选D 因为f (x )＝cos 2x －1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝cos 2x －1sin 2x ＝－2sin 2x 2sin x cos x ＝－tan x,0＜x ≤π3，所以函数f (x )的最小值为－3，无最大值，故选D.12．已知0<β<α<π2，点P (1,43)为角α的终边上一点，且sin αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＋cosαcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＝3314，则角β＝( )A.π12 B.π6 C.π4D.π3解析：选D ∵P (1,43)，∴|OP |＝7， ∴sin α＝437，cos α＝17.又sin αcos β－cos αsin β＝3314，∴sin(α－β)＝3314.∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，∴cos(α－β)＝1314，∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32. ∵0<β<π2，∴β＝π3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．已知α∈(0，π)，sin α＋cos α＝713，则tan α＝________.解析：sin α＋cos α＝713⇒1＋2sin αcos α＝49169⇒sin αcos α＝－60169＜0，又α∈(0，π)，所以sin α＞0，cos α＜0，因为sin α＋cos α＝713，所以sin α＝1213，cos α＝－513，所以tan α＝－125.答案：－12514.tan 18°＋tan 42°＋tan 120°tan 18°tan 42°tan 60°＝________.解析：∵tan 18°＋tan 42°＋tan 120° ＝tan 60°(1－tan 18°tan 42°)＋tan 120° ＝－tan 60°tan 18°tan 42°， ∴原式＝－1. 答案：－115．△ABC 中，若cos A ＝35，cos B ＝513，则cos C ＝________.解析：因为A ，B 为三角形的内角，且cos A ＝35，cos B ＝513，所以sin A ＝45，sin B ＝1213，所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B ) ＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－35×513＋45×1213＝－1565＋4865＝3365.答案：336516．函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 解析：y ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12，所以其最小正周期为2π2＝π. 答案：π三、解答题(本大题共6小题，满分70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知tan α＝12，求1＋2sin (π－α)cos (－2π－α)sin 2(－α)－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α的值．解：1＋2sin (π－α)cos (－2π－α)sin 2(－α)－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝1＋2sin αcos (2π＋α)(－sin α)2－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)2(sin α＋cos α)(sin α－cos α)＝sin α＋cos αsin α－cos α＝1＋tan αtan α－1. ∵tan α＝12，∴原式＝1＋1212－1＝－3.18．(本小题满分12分)已知tan α＝17，tan β＝13，且α，β均为锐角，求α＋2β的值．解：因为tan α＝17，tan β＝13，所以tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝34， tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan αtan 2β＝1.因为α，β均为锐角，且tan α＝17<1，tan β＝13<1，所以α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以α＋2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3π4，所以α＋2β＝π4.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋4π3＋1. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值．(2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)因为f (x )＝2cos 2x ＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋4π3＋1 ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3cos 2π3＋1＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋1＝－2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2sin π3＋1＝3＋1. (2)由(1)，知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)．令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z)，解得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)．20．(本小题满分12分)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R，设函数f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解：f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x )＝3cos x sin x －12cos 2x＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.(1)f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π， 即函数f (x )的最小正周期为π. (2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6.由正弦函数的性质得，当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1.当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值－12.因此，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是1，最小值是－12.21．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴的正半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255. (1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值． 解：由条件得cos α＝210，cos β＝255. ∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55，因此tan α＝7，tan β＝12. (1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3. (2)∵tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β] ＝tan (α＋β)＋tan β1－tan (α＋β)tan β＝－3＋121－(－3)×12＝－1， 又∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π4.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3cos ωx ，g (x )＝sin ωx －π3(ω>0)，且g (x )的最小正周期为π.(1)若f (α)＝62，α∈[－π，π]，求α的值； (2)求函数y ＝f (x )＋g (x )的单调递增区间．解：(1)因为g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω>0)的最小正周期为π，所以2πω＝π，解得ω＝2.由f (α)＝62，得3cos 2α＝62， 即cos 2α＝22， 所以2α＝2k π±π4，k ∈Z.因为α∈[－π，π]，所以α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－7π8，－π8，π8，7π8.(2)函数y ＝f (x )＋g (x ) ＝3cos 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＝3cos 2x ＋sin 2x cos π3－cos 2x sin π3＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z.解得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z.所以函数y ＝f (x )＋g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z)．。
高中数学 第三章 三角恒等变形章末检测 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学试题
第三章 三角恒等变形章末检测(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分) 1．cos 230°－sin 230°的值是( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32解析 cos 230°－sin 230°＝cos 60°＝12.答案 A2．已知α是第三象限角，且sin α＝－2425，则tan α2等于( )A ．－34B.34C.43D ．－43解析 方法一 由2k π＋π<α<2k π＋3π2(k ∈Z )知k π＋π2<α2<k π＋3π4(k ∈Z )，cos α＝－725，∴tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－43.方法二 由α为第三象限角及sin α＝－2425知cos α＝－725，∴tan α2＝sin α1＋cos α＝－24251－725＝－43.答案 D3．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，函数f (x )＝sin x ＋3cos x 的( ) A ．最大值为1，最小值为－1 B ．最大值为1，最小值为－12C ．最大值为2，最小值为－2D ．最大值为2，最小值为－1解析 f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.∵－π2≤x ≤π2，∴－π6≤x ＋π3≤5π6，∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤1，∴－1≤f (x )≤2.答案 D4．已知sin α2＝45，cos α2＝－35，则角α的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 sin α＝2sin α2cos α2＝－2425＜0，cos α＝2cos2α2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352－1＝－725＜0. ∴α为第三象限角． 答案 C5．设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( ) A.2525B.255C.2525或255D.55或525解析 依题意得sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin 2α＋β＝±45；又α，β均为锐角，因此0＜α＜α＋β＜π，cos α＞cos(α＋β)，注意到45＞55＞－45，所以cos(α＋β)＝－45.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525，选A.答案 A6．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( ) A ．向右平移π12个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向左平移π4个单位长度解析 因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4＝2cos3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，所以将y ＝ 2cos 3x 的图像向右平移π12个单位长度后可得到y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图像．答案 A7．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，0)，则φ等于( ) A ．－π6B.π6C.5π6D ．－5π6解析 因为3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，所以由tan φ＝－33，且φ∈(－π，0)得φ＝－π6，故选A.答案 A8.sin α＋30°－sin α－30°cos α的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 原式＝sin αcos 30°＋cos αsin 30°－sin αcos 30°＋cos αsin 30°cos α＝2cos αsin 30°cos α＝2sin 30°＝1.答案 A9．已知向量a ＝(sin α，1)，b ＝(2,2cos α－2)(π2<α<π)，若a ⊥b ，则sin(α－π4)等于( ) A ．－32B ．－12C.12D.32 解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝2sin α＋2cos α－2＝22sin(α＋π4)－2＝0，∴sin(α＋π4)＝12.∵π2<α<π，∴34π<α＋π4<54π， ∴cos(α＋π4)＝－32.∴sin(α－π4)＝－sin(π4－α)＝－cos(α＋π4)＝32.答案 D10．在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形解析 ∵sin A sin B ＝cos 2C 2＝1＋cos C 2， ∴1－cos(A ＋B )＝2sin A sin B ， ∴cos(A ＋B )＋2sin A sin B ＝1， ∴cos(A －B )＝1，∴A －B ＝0， ∴A ＝B . 答案 B11．已知β∈(0，π2)，满足tan(α＋β)＝324，sin β＝13，则tan α等于()A.23B.4211C.3211D.324解析 因为β∈(0，π2)，sin β＝13，所以cos β＝223，所以tan β＝122＝24，又因为tan(α＋β)＝324，所以tan α＝tan[(α＋β)－β]＝tan α＋β－tan β1＋tan α＋βtan β＝324－241＋324×24＝4211，故选B.答案 B12．当函数y ＝sin(π3＋x )cos(π3－x )取得最大值时，tan x 的值为()A ．1B ．±1 C. 3D ．－1解析 y ＝(sin π3cos x ＋cos π3sin x )(cos π3cos x ＋sin π3sin x )＝(32cos x ＋12sin x )(12cos x ＋32sin x ) ＝sin x cos x ＋34＝12sin 2x ＋34， ∴当2x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，函数取到最大值，此时x ＝k π＋π4，k ∈Z ，tan x ＝1.答案 A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，cos(α－β)＝________．解析 α与β的终边关于y 轴对称，则α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ，∴β＝π－α＋2k π.∴cos(α－β)＝cos(α－π＋α－2k π)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2×19＝－79. 答案 －7914．若sin θ2－2cos θ2＝0，则tan θ＝________.解析 由sin θ2－2cos θ2＝0，得tan θ2＝2. ∴tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2＝2×21－22＝－43. 答案 －4315．函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________．解析 y ＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2(sin 2x －sin x )＋1＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122－14＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32，故当sin x ＝12，y ＝cos 2x ＋2sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32取得最大值32. 答案 3216．关于函数f (x )＝cos 2x －23sin x cos x ，下列命题： ①若存在x 1，x 2有x 1－x 2＝π时，f (x 1)＝f (x 2)成立；②f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增； ③函数f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0成中心对称图形； ④将函数f (x )的图像向左平移5π12个单位长度后将与y ＝2sin 2x 的图像重合，其中正确命题的序号是________．解析 ∵f (x )＝cos 2x －3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12，∴周期T ＝π，①正确；∵递减区间是π2＋2k π≤2x ＋5π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，即k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，②错误；∵对称中心的横坐标为2x ＋5π6＝k π(k ∈Z )⇒x ＝k π2－5π12(k ∈Z )， 当k ＝1时，x ＝π12，③正确；∵y ＝2sin2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12＋5π12＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π3，其图像与y ＝2sin 2x 的图像不重合， ∴④错误． 答案 ①③三、解答题(本大题共6个小题，共70分)17．(10分)已知f (α)＝sin π－αcos 2π－αtan ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin －π－α.(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解 (1)f (α)＝sin α·cos α·ta n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2－2πtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin α＝sin α·cos α·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin α＝－cos α.(2)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，所以sin α＝－15，又α是第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－265.故f (α)＝265.18．(12分)已知tan α2＝2，(1)求tan(α＋π4)的值；(2)求6sin α＋cos α3sin α－2cos α的值．解 (1)∵tan α2＝2，∴tan α＝2tanα21－tan 2α2＝2×21－4＝－43，∴tan(α＋π4)＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝tan α＋11－tan α＝－43＋11＋43＝－17.(2)由(1)知tan α＝－43，∴6sin α＋cos α3sin α－2cos α＝6tan α＋13tan α－2＝6×－43＋13×－43－2＝76. 19．(12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝41313.(1)求cos(α－β)的值；(2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sin β＝－45，求sin α的值．解 (1)a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)． |a －b |2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2－2cos(α－β)=(41313)2=1613，∴cos(α－β)＝513.(2)由0<α<π2，－π2<β<0且sin β＝－45，可知cos β＝35，∴sin(α－β)＝1213，∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝1213×35＋513×(－45)＝1665. 20．(12分)已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)若a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值．(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值． 解 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝22(sin x ＋cos x )－2sin x ＝22cos x －22sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，因为x ∈[0，π]，从而π4－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4，故f (x )在[0，π]上的最大值为22，最小值为－1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f π＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ1－2a sin θ＝0，2a sin 2θ－sin θ－a ＝1，由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2知cos θ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.21．(12分)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝32.(1)求A 的值;(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ. 解 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π4＝32，所以A ·32＝32，A ＝ 3. (2)f (θ)＋f (－θ)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－θ＋π4＝32， 所以3⎣⎢⎡⎦⎥⎤22sin θ＋cos θ＋22－sin θ＋cos θ＝32，所以6cos θ＝32，cos θ＝64，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝1－cos 2θ＝104，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－θ＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304. 22．(12分)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性．解 (1)由题意知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2<2x －π3≤π，即5π12<x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎝ ⎛⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减．。
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高中数学学习材料金戈铁骑整理制作第三章章末测试时间：90分钟 分值：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知sin α＝35且α∈(π2，π)，则tan α的值为( ) A ．－45 B.34C ．－34 D.43答案：C解析：∵α∈(π2，π)，由同角基本关系易知cos α＝－45. tan α＝sin αcos α＝－34. 2．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin(α＋π4)的值为( ) A ．－7 210 B.7 210C ．－210 D.210答案：A解析：由题知，cos α＝－45，α是第三象限的角，所以sin α＝－35，由两角和的正弦公式可得sin(α＋π4)＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝(－35)×22＋(－45)×22＝－7210，故选A. 3．若cos θ＝－45，θ是第三象限的角，则1－tan θ21＋tan θ2＝( ) A.12 B ．－12C.35D ．－2 答案：D解析：由已知得1－tan θ21＋tan θ2＝cos θ2－sin θ2cos θ2＋sin θ2＝(cos θ2－sin θ2)(cos θ2＋sin θ2)(cos θ2＋sin θ2)2＝cos θ1＋sin θ，因为cos θ＝－45，且θ是第三象限的角，故sin θ＝－35，故1－tan θ21＋tan θ2＝－451－35＝－2. 4．已知cos θ＝13，θ∈(0，π)，则cos(32π＋2θ)的值为( ) A ．－4 29 B ．－79C.4 29D.79答案：C解析：∵cos θ＝13，θ∈(0，π) ∴sin θ＝223cos(3π2＋2θ)＝sin2θ＝2sin θcos θ＝2×223×13＝429. 5．设α，β∈(0，π2)，tan α＝43，tan β＝17，则α－β等于( ) A.π3 B.π4C.π6D.π8答案：B解析：∵tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝43－171＋43×17＝1， α，β∈(0，π2)，∴－π2＜α－β＜π2， ∴α－β＝π4. 6．当x ∈[－π6，π3]时，y ＝tan x 21－tan 2x 2的最小值为( ) A ．－33 B ．－36C ．－233D ．－32答案：B解析：∵y ＝tan x 21－tan 2x 2＝12tan x ，∴当x ＝－π6时，y min ＝－36. 7．若sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝m ，且β为第三象限角，则cos β的值为( )A.1－m 2 B ．－1－m 2C.m 2－1 D ．－m 2－1答案：B解析：∵sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝m ，∴sin(－β)＝m ，sin β＝－m ，又∵β为第三象限角，∴cos β＝－1－m 2.8．已知tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，则tan(α＋π4)等于( )A.16B.1322C.322D.1318答案：C解析：tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π4)]＝tan (α＋β)－tan (β－π4)1＋tan (α＋β)tan (β－π4)＝322. 9．要得到y ＝2sin2x 的图像，只需将函数y ＝sin2x ＋3cos2x 的图像( )A ．向左平移π3个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π6个单位 D ．向右平移π6个单位 答案：D解析：y ＝sin2x ＋3cos2x＝2(12sin2x ＋32cos2x ) ＝2sin(2x ＋π3) 而y ＝2sin2x ＝2sin[2(x －π6)＋π3] ∴只需将图像向右平移π6，故选D. 10．如图，在5个并排的正方形图案中作出一个∠AO n B ＝135°(n ＝1,2,3,4,5,6)，则n ＝( )A ．1,6B ．2,5C ．3,4D ．2,3,4,5答案：C解析：若n ＝1或n ＝6，显然∠AO n B <90°，若n ＝2，则有∠AO 2O 1＝45°，∠BO 2O 6<45°，∴∠AO n B >135°，根据对称性可知，若n ＝5，∠AO n B >135°，若n ＝3，则有tan(∠AO 3O 1＋∠BO 3O 6)＝12＋131－12·13＝1，又∵∠AO 3O 1，∠BO 3O 6∈(0,45°)，∴∠AO 3O 1＋∠BO 3O 6＝45°，∴∠AO 3B ＝135°，同理根据对称性有∠AO 4B ＝135°.二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填入题中横线上．11．已知cos α＝35，且α∈(3π2，2π)，则cos(α－π3)＝________. 答案：3－4310解析：∵cos α＝35，α∈(32π，2π)，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－(35)2＝－45， ∴cos(α－π3)＝cos αcos π3＋sin αsin π3＝35×12－45×32＝3－4310.12．函数f (x )＝sin 23x ＋cos 23x 的图像相邻两条对称轴之间的距离是________． 答案：3π2解析：∵f (x )＝sin 23x ＋cos 23x ＝2sin(23x ＋π4)，∴其相邻两条对称轴之间的距离是T 2＝3π2. 13．如图，四边形ABCD 为矩形，且AB ＝2，AD ＝1，延长BA 至E ，使AE ＝2，连接EC 、ED ，则tan ∠CED ＝________.答案：29解析：由题意可知，tan ∠DEB ＝12，tan ∠CEB ＝14， ∴tan ∠CED ＝tan(∠DEB －∠CEB )＝tan ∠DEB －tan ∠CEB 1＋tan ∠DEB ·tan ∠CEB ＝29. 三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14．化简求值：sin47°－sin17°cos30°sin73°. 解：原式＝sin (30°＋17°)－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12. 15．已知α∈(0，π4)，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β. 解：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝12－171－12×(－17)＝13，∴tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝13＋121－13×12＝1.又∵β∈(0，π)，tan β＝－17，∴π2＜β＜π，又α∈(0，π4)， ∴－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－3π4. 16．如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，P 、Q 是单位圆上的两点，O 是坐标原点，∠AOP＝π6，∠AOQ ＝α，α∈[0，π)． (1)若Q (35，45)，求cos(α－π6)的值； (2)设函数f (α)＝OP →·OQ →，求f (α)的值域．解：(1)由已知可得cos α＝35，sin α＝45.∴cos(α－π6)＝cos αcos π6＋sin αsin π6＝35×32＋45×12＝33＋410. (2)f (α)＝OP →·OQ →＝(cos π6，sin π6)·(cos α，sin α) ＝32cos α＋12sin α ＝sin(α＋π3)． ∵α∈[0，π)，∴α＋π3∈[π3，4π3)， －32<sin(α＋π3)≤1. ∴f (α)的值域是(－32，1]． 17．已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)．(1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |＝|b |,0＜θ＜π，求θ的值．解：(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14. (2)由|a |＝|b |知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin(2θ＋π4)＝－22. 又由0＜θ＜π知，π4＜2θ＋π4＜9π4，所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4. 因此θ＝π2或θ＝3π4. 18．已知函数f (x )＝cos 2(x ＋π12)，g (x )＝1＋12sin2x . (1)设x ＝x 0是函数y ＝f (x )图像的一条对称轴，求g (x 0)的值；(2)求函数h (x )＝f (x )＋g (x )的单调递增区间．解：(1)由题设知f (x )＝12[1＋cos(2x ＋π6)]． 因为x ＝x 0是函数y ＝f (x )图像的一条对称轴，所以2x 0＋π6＝k π(k ∈Z )， 即2x 0＝k π－π6(k ∈Z )． 所以g (x 0)＝1＋12sin2x 0＝1＋12sin(k π－π6)． 当k 为偶数时，g (x 0)＝1＋12sin(－π6)＝34； 当k 为奇数时，g (x 0)＝1＋12sin π6＝54. (2)h (x )＝f (x )＋g (x )＝12[1＋cos(2x ＋π6)]＋1＋12sin2x ＝12[cos(2x ＋π6)＋sin2x ]＋32＝12(32cos2x ＋12sin2x )＋32＝12sin(2x ＋π3)＋32. 当2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )时， 函数h (x )＝12sin(2x ＋π3)＋32是递增的． 故函数h (x )的单调递增区间是[k π－5π12，k π＋π12](k ∈Z )．。