高中数学人教A版必修5《数列》综合测试卷(详解)

aann+100即aa11
+ +
(n −1)d nd 0
0,5
n
6
.又
n
N
*
，∴
n
=
5
或
6.
法2
由已知可得 a3
= −a9
0 ，则 a6
=
a3 + a9 2
= 0 ，∴ S5
= S6 最大.答案 5 或 6.
14.解析
由 an
= 5Sn
− 3 得 Sn
=
an + 5
3
，当
n
2
时，
Sn−1
=
an−1 + 3 ， 5
b1
+ b1
+ + bn
=
2 1 2
+
2 23
++
2 n(n +1)
= 2[(1− 1) + (1 − 1) ++ (1 − 1 )]
2 23
n n+1
= 2(1− 1 ) = 2n . n+1 n+1
18.解：∵ Sn = −(n −16)2 +162 , 当 n = 16 时， S n 取得最大值162 .
7.解析 法 1
由
aann
an−1 an−1
，即
n 2
n
+156 n
(n
n −1
−1)2 +156 n +1
，解得12
n
13
.
n2 +156 (n +1)2 +156
法2
an
=
n2
n + 156
=
1 n + 156
4
1 39
，当且仅当 n = 156 即 n = 2 n
39 时取等号，
=
n2
n + 156
(n
N*) ，则数列 an 的最大项是（
）
A．第 12 项 B． 第 13 项 C． 第 12 或 13 项
D．不存在
8.等差数列 an 的公差为
1 2
，
S100
= 145
，则 a1
+
a3
+
a5
++
a99
=（
）
A． 60 B．85
C． 145 2
D．75
9.若数列 an 的通项公式为 an
∴
Pn
=
32n − n2 , n 16; n2 − 32n + 512, n
16.
19.解:（1）∵ bn+1
=
an+2
−
an+1
=
5 3
an+1
−
2 3
an
−
an+1
=
2 3
(an+1
−
an )
=
2 3
bn
，
故 bn是公比为
2 3
的等比数列，且 b1
=
a2
− a1
=
2 3
Sm Sn
=
m2 n2
，其中 m, n N*, m
n，
则 am = （ ） an
A． m n
B． m −1 n −1
C． 2m −1 2n −1
D． m + 2 n +1
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
5.等比数列 an 中， a2 + a5 + a11 = 2, a5 + a8 + a14 = 6, 则 a2 + a5 + a8 + a11 + a14 = （ ）
19.
（12 分）设数列 an 满足： a1 =1， a2
=
5 3
，
an+2
=
5 3
an+1
−
2 3
an
，
(n
N *)
.
(1) 令 bn = an+1 − an (n N*) ，求数列 bn 的通项公式；
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(2) 求数列nan的前 n 项和 S n .
n
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又 n N * ，∴ n = 12 或 13. 答案 C. 8.解析 ∵ S100 = (a1 + a3 + a5 + + a99 ) + (a2 + a4 + a6 + + a100 )
= 2(a1 + a3 + a5 + + a99 ) + 50d ,
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A． 15 B． 30
C． 31 D．64
12.已知数列 an 中， a1
=
b(b
0)
，
an+1
=
−
1 an +1
（n
N
* ），能使 an
=
b
成立的
n
的数
值是（ ）
A． 14 B． 15 C．16
D．17
二、填空题:本大题共 4 小题，考生共需作答 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 请将答案填在 答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
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参考答案
1.答案 B
2.解析 ∵数列 an 、 bn都是等差数列，∴an + bn是等差数列，an + bn的前 100 项和
为 100(100 +100) = 10000 .答案 C 2
3.解析 等差数列前 n 项和 Sn = An 2 + Bn 是关于 n 的二次函数，由 S4 = S9 可知，这个函数 的图象关于 x = 4 + 9 = 6.5 对称，又 n N * ，当 n=6 或 7 时， S n 的值最大.答案 D
①-②得 an − an−1 = (n −1)an−1即an = nan（−1 n 3），
∴ an
=
n(n
−1)(n − 2) 3a2
=
n(n
−1)(n
− 2) 31 =
n! （ n 2
3 ），
又 a1 = 1 不适合上式， a2 =1 适合上式，
∴ an
=
1n2,!n,
= n
1
2.
16.答案 84
=
1 Sn
，且 a4b4
=
2 5
，S
6
− S3
= 15 ，
Sn ' = b1 + b2 + + bn .
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(1) 求数列bn的通项公式；(2)求 Sn ' 的表达式.
18. （12 分）数列 an 的前 n 项和为 Sn = 32n − n2 , 求 | an |的前 n 项和 Pn .
1.已知பைடு நூலகம்比数列
an
的公比
q
=
−
1 3
，则
a1 a2
+ +
a3 a4
+ +
a5 a6
+ +
a7 a8
=（
）
A． − 1 3
B． -3
C． 1 3
D． 3
2.数列 an 、bn都是等差数列，其中 a1 = 25, b1 = 75, a100 + b100 = 100, 那么数列an + bn 的
前 100 项和是（ ）
A． 8 B． 大于 8
C． 242 31
D． 240 41
6. 已 知 等 差 数 列 an 的 公 差 是 2 ， 且 a1 + a2 + a3 + + a100 = 100 ， 那 么
a4 + a8 + a12 + + a100 = （ ）
A． 25 B． 50
C． 75
D．100
7.已知
an
an+1
=− 1 ， an +1
∴
a2
=
−
1 b +1
， a3
=
−
1 b+1
1
1
= +1
−b
, a4 = − b +1 +1 = b,
b +1
−b
∴ a1 = a4 = a7 = a10 = a13 = a16 = b .答案 C.
13. 解 析 : 法 1 由 | a3 |=| a9 | 知 | a1 + 2d |=| a1 + 8d | ， 又 d 0 ， ∴ a1 = −5d 0 ， ∴
又 S100
= 145
，d
=
1 2
，∴ a1
+
a3
+
a5
++
a99
=
145 − 50 0.5 2
= 60. 答案
D
9.解析 可用错位相减法或验证 S1, S2. 答案 B
10.解析 由 n(n +1) 100得 n 13 ，∴ n +1 = 14 .答案 C 2
11.答案 A
12.解析
∵ a1
= b,
2
4.解析
∵ Sm Sn
=
m[2a1 + (m −1)d ] n[2a1 + (n −1)d ]
=
m2 n2
，∴ a1
=
d ，∴ am
2
an
=
d + (m −1)d 2 d + (n −1)d
=
2m −1 . 2n −1
2
答案 C
5.解析 由已知得
a5 a2
+ a8 + a14 + a5 + a11
∴ an
=
an
− an−1 5
,即 an an-1
=
−1 4
，当 n
= 1 时， a1
=
5an
− 3, ∴ a1
=
3 4
.
则
an
=
3 (− 4
1 ). . n−1 4
答案 3 (− 1 ). . n−1 44
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15.解：由已知 an = a1 + 2a2 + 3a3 + + (n −1)an−1（ n 2 ）①得 a1 = 1 ，a2 = 2 ，当 n 3 时， an−1 = a1 + 2a2 + 3a3 + + (n − 2)an−2 ②，
=
n 2n
，则前 n
项和是（
）
A．
1 Sn =1− 2n
B．
1n Sn = 2 − 2n−1 − 2n
C． Sn
=
n(1 −
1 2n
)
D． Sn
=
2−
1 2n−1
+
n 2n
10. 数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中，第 100 项是（ ）
A． 10 B． 13 C． 14
D．100
11.已知等差数列中， a7 + a9 = 16, a4 = 1, 则 a12 = （ ）
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人教 A 版必修 5《数列》综合测试卷
测试时间 120 分钟 测试分值 150 分 本卷分为第Ⅰ卷（非选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.
)a1
+
(9 10
)
2
a2
+
+
(9 10
)
n
an
=
1 (n2 + 3n) ； 2
（1）证明：数列 an 不是等比数列；
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（2）求数列 an 的通项公式； （3）试分析数列 an 有没有最大项，若有，求出这个最大项；若没有，试说明理由.
22.（12 分）已知函数 f (x) = x2 + bx 为偶函数，数列{an} 满足 an+1 = 2 f (an −1) +1 ， 且 a1 = 3 ， an 1，令 bn = log2 (an −1) . （1）证明：数列{bn +1} 为等比数列； （2）设 cn = nbn ，求数列{cn} 的前 n 项和 Sn.
1
1
17.解：（1）由 bn = Sn 得 b4 = S4 ，
又 a4b4
=
2 5
a1 + 3d 4a1 + 6d
=
2, 5
S6
− S3
= 15 3a1
+ 12 d
= 15 ，解得 a1
= 1, d
=1，
∴
Sn
=1+
2 ++
n
=
n(n +1) . 2
则 bn
=
1 Sn
=
2. n(n +1)
（2） Sn ' =
20. （12 分）设数列 an 的前 n 项和为 S n ，已知 a1 =1 且满足 3Sn2 = an (3Sn −1) ， n 2 .
(1) 求证：{ 1 } 是等差数列； Sn
（2）设 bn
=
Sn 3n +1
，数列 bn 的前
n
项和为 Tn
，求 Tn
.
21.
（12
分）已知数列
a
n
满足
(9 10
16.在各项都为正数的等比数列 {an } 中，首项 a1 = 3 ，前 3 项和为 21，则 a3 + a4 + a5 =
________
第Ⅱ卷
三、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.
（10 分）已知等差数列 an 的前 n 项和为 S n ，令 bn
13.已知等差数列 an 中，| a3 |=| a9 | ，公差 d 0 ，则使得前 n 项和 S n 取得最大值的 n 的值
是_____.
14. 数列 an 的前 n 项和为 S n ，已知 an = 5Sn − 3 （ n N * ），则 an =__________.
15. 已知数列{an} 满足 a1 = 1 ， an = a1 + 2a2 + 3a3 + + (n −1)an−1 （ n 2 ），则{an} 的通 项公式 an = _____________.
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∴ a16 0 ，当 n 17 时， an 0 . 当 n 16 时， Pn = 32n − n2; 当 n 16 时， Pn = S16 − (a17 + a18 + + an ) = 2S16 − Sn = n2 − 32n + 512.
= q3
= 3, ∴ a2
=
2 31
，∴
a2
+ a5
+ a8
+ a11 + a14
=
242 .答案 C 31
6.解析
由已知得
100a1
+
100 2
99
2
=
100
，即
a1
= −98 ，
∴
a4
+
a8
+
a12
+ +
a100
=
25a4
+
25 24 2
8
=
25a1
+
75 2
+
25 24 4
= 25 (−98) + 2550 = 100. 答案 D.
A．0 B． 100 C．10000
D．102400
3.等差数列 an 中，a1 0 ，若其前 n 项和为 S n 时，有 S4 = S9 ，那么当 S n 取得最大值时，
n 的值为（ ）
A．4 或 5 B．4 或 6
C．5 或 6
D．6 或 7
4.若数列 an 是等差数列，其前
n
项和为
S
n
，且满足