切向和法向加速

y v2
P
R’
v1 P
x
角位置： 角位移： 角速度： 角加速度：
S ， S＝R
对应
v=R
at R
an
R 2
v2 R
左式为线量和角 量的基本关系。
§2.7极坐标系, 径向与横向速度
一.极坐标系:
1. 质点作平面运动,在参考系中取原点O,取基准 轴OX为极轴.
2.极坐标(r,),其中r是质点的矢径,是质点的幅角.
加速度在自然坐标中的表示： 1、切向和法向加速度的引入（以圆周运动为例）
(1)质点由A运动到B，如下图,以C为圆心，CD长
为半径作弧，交CE于F点，|CD|r=|CFr|=VA r
E
v
r
vB
rvA
V2
v1 v2
F
v1反映速度方
VB
向的变化，v2
B
V1
反映速度大小的
A
C VA
D
变化。
lim lim lim a
ax ax ay ay
vz vz
az az
u为常数 az az
逆
vx vx u vy vy
ax
ax
du dt
惯性系
ay ay
vz vz
az az
ax ax ay ay az az
4t 2 144t 6
1 36t 4
注：若求法向加速度，应先求曲率半径。
3
3
1 y2 2 (1 36x2 ) 2
y
6
v2 4t 2 (1 36t 4 ) 6
24t 2
an
3
(1 36x2 ) 2
1 36t 4
五、质点圆周运动的角量描述， 角量和线量的关系
线量： r v a
角量：
x (x′)
a
a
1.位矢的坐 标分量式：
正变换
x x ut y y z z
t t
yS
u S’
r
r P x′
O O′
x
逆变换
x x ut
y y
z z t t
2.速度变换 与加速度变换
v
dr
dt
v dr dt
正
vx vx u vy vy
ax
ax
du dt
ay ay
dv
g 2t
at dt v02 g 2t 2
与速度同向
an
g 2 at2
v0 g v02 g 2t2
与切向加速度垂直
例2、一质点在oxy平面内作曲线运动，其加速
度是时间的函数。已知ax=2, ay=36t2。
设质点t＝0时r0=0,v0=0。求：(1)此质点的运动 方程；(2)此质点的轨道方程，(3)此质点的切向 加速度。
1、位矢的相对性：
S
r
yS
y′
u
S
S r
r r ＝ OO ＋ r
P
r
x′
O O′
x
2、位移的相对性
yS
r
y′ S’ y
u
r
P
r P
r
r
O
O′ o
x (x′)
r oo r
3、速度的相对性
r＝oo＋r t t t
lim lim lim r＝
oo＋
r
t0 t t0 t
t0 t
vs u vs 地： 实验室参照系 车： 运动参照系
v
r d
dt
三. 应用: 1.在有心力运动中,常用极坐标系. 这将在第四章接触到.
2.在圆周运动中,以圆心为极点, 则r=恒量,所以圆周运动:
Vr V
0
r d
dt
r
对极坐标系的知 识,只要求了解
§2.8伽利略变换 和相对运动
一、相对运动
研究的问题: 在两个惯性系中考察同一物理事件
实验室参照系 相对观察者固定 运动参照系 相对上述参照系运动
r r(t)
ˆ
3.运动方程: (t)
r
4.轨迹: r r( )
O
rˆ
A
X
二.径向速度和横向速度:
rˆ 1.径向:与r同向,单位矢量:
ˆ
rˆ
2.横向:与r垂直,指向 增
加的方向.ˆ
3.速度在极坐标系中的投影:
A
r
v vrrˆ v ˆ
O
X
4.径向速度Vr :
vr
dr dt
5.横向速度V :
取发射时t=0.试求：
(1)子弹在任一时刻t的位置坐标及轨道方程；
(2)子弹在t时刻的速度，切向加速度和法向加速 度。
解： x v0t
(1) y 1 gt2
2
o
1 x2g
y 2
v02
(2) vx v0 , vy gt
y
v0
x
a an
g
v
vx2
v
2 y
v02 g 2t 2
tan 1
gt v0
y
dy
t12t 3dt
0
0
y 3t 4
所以质点的运动方程为：
x t 2
y
3t 4
r t 2 i 3t 4 j
(2)上式中消去t,得y=3x2即为轨道方程。可知是抛物线。
(3) vx 2t vy 12t 3
v
vx2
v
2 y
4t 2 144t 6
dv 1 a dt 2
8t 864t 6 2 216t 2
E
a
lim | v2 t0 t
|
lim | vB | | vA |
t 0
t
D
lim
t 0
v t
dv dt
d2s dt 2
总加速度
a
v2 R
nˆ
d 2s ˆ
dt 2
3、一般曲线运动（多个圆弧运动的连接）
an
v2 r
n
v2
n
例1、由楼窗口以水平初速度v0射出一发子弹，
取枪口为原点，沿v0为x轴，竖直向下为y轴，并
解：
(1)ax
dvx dt
ay
dvy dt
dvx 2dt dvy 36t2dt
vx 0
dvx
t
2dt
0
vy 0
dvy
t 36t 2dt
0
vx 2t
vy 12t 3
v 2ti 12t 3 j
dx vx dt
dx 2tdt
x
t
0 dx 0 2tdt
x t2
dy vy dt dy 12t 3dt
V 物对地 ：绝对速度 V 物对车 ：相对速度
物： 运动物体
V 车对地 ：牵连速度
速度合成定理： V 物对地 V 物对车 V 车对地
二、伽利略变换
yS
y′ S’ y u
r P
r
r P
r
r
O
O′ o
t时刻，物体在P点
S r x, y, z, t vx, y, z, t
S’ rx, y, z, t vx, y, z, t
r var22
vrA方向, A点切向,
称为切向加速度.
2.切向和法向加速度的数值:
an
lim | v1 t0 t
|
| 2vA sin
lim
t 0
t
2
|
V2
F来自百度文库
VB
V1
C
E
lim
t 0
2vA R
sin
2
t
R
2
D
vA R
lim
0
sin 2
2
s vA2 t R
2
V2
F
VB
V1
C
t 0
v t
t 0
v1 t
t 0
v2 t
a1 a2
(2)
a1
和
a2的方向
E
V2
F
VB
V1
1)a1 : vB
当t
vA
,
0时, 0,
的角平分线
即v1
vA,
vA
,
即a1
vA
,
并
指向圆
心,
C
D a1称为法向加速度.
E
V2
F
VB
V1
C
D
v2rB)ar2 :当vrA, t 0,