切向和法向加速
切向和法向加速度
第4节 切向和法向加速度一、自然坐标系单位切向量τ ，沿轨道切线指向质点运动方向单位法向量n ，沿轨道法向指向凹的一侧 （τ ，n ）：自然坐标系 t P )(t τ ， )(t n) t t ∆+ Q )(t t ∆+τ )(t t n ∆+)()(t t t τττ -∆+=∆τ ∆：矢量，大小：2s i n 2θτ∆=∆0→∆t 时 0→∆θ⎪⎩⎪⎨⎧∆≈∆=∆∆⊥∆∆θθτττττ2s i n 2)(//)( 大小：，方向：t n t n ⋅∆≈∆θτ0→∆θ，n n=∆⋅∆=∆∆θθθτlim lim ⇒ n d d =θτdt ds ds d d d dt d d d dt d ⋅⋅=⋅=θθτθθττ ，n d d =θτ，ρθ=d ds ，V dt ds =n V dt d⋅=ρτ 二、切向和法向加速度τ ⋅=V Vn V dt dV dt d V dt dV V dt d dt V d aρττττ2)(+=+===n a a a n t +=τ22dts d dt dV a t ==：切向加速度，速率变化引起的↑V ，0>t a ，沿τ 方向，↓V ，0<t a ，与τ反方向02>=ρV a n ：法向加速度，速度方向变化引起的沿法线指向曲率中心a指向轨迹凹的一侧22222)()(ρV dt dV a a a n t +=+=t n a a tg /=α) 0→∆θ 0→∆θ讨论：（1）直线运动，∞=ρ，0=n a（2）匀速率圆周运动，0==dtdV a t ，R V a n 2=：向心加速度 （3）一般曲线运动及变速率圆周运动，0≠t a ，0≠n a（4）ρ2V a n =⇒na V 2=ρ：计算曲率半径 例：R =800m 的圆形轨道，汽车，静止开始， t a速率均匀增加，t =3（分），V =20m/s 求：t =2（分），a，t a ，n a解：设kt V =，t=3（分）=180s ，V =20m/s k =20/180=1/9， V =t /9)/(111.09/12s m dtdVa t ===t =2（分）=120s ，V =120/9(m/s)RV a n 2==2/222.0s m222/248.0s m a a a n t =+=，t n a a tg /=α=2， 4.63=α第5节 相对运动S '相对于S 作平动运动0r r r+'=' 0r r r ∆+'∆=∆dtr d dt r d dt r d 0+'= V dt r d=：质点在S 系中的速度（绝对速度） V dt r d '='：质点在S '系中的速度（相对速度）00V dtr d =：O '点相对于O 点的速度（牵连速度） V V V+'=：绝对速度=相对速度+牵连速度dt V d dt V d dt V d 0+'= a dt V d=：质点在S 系中的加速度（绝对加速度） a dt V d '='：质点在S '系中的加速度（相对加速度） 00a dtV d=：O '点相对于O 点的加速度（牵连加速度） 0a a a+'=：绝对加速度=相对加速度+牵连加速度如果S '系相对于S 系作匀速直线运动，则00=a ，a a '=例：汽车以雨滴在空气中以10s m / 落，求雨滴相对于汽车的速度解：地面：S ，汽车：S '系 s m /车对地面的速度为牵连速度 大小s m V /200=雨滴对地的速度为绝对速度 0V大小s m V /10=雨滴对车的速度为相对速度 V θ V '根据 0V V V +'= 0V V V-='s m V V V /4.22202=+=' 20==VVtg θ 4.63=θ第6节 圆周运动的角量表示θR s = θ：角坐标，r a d )(t θθ= )(t s s =dt d R R dt d dt ds V θθ===)(dt d θω=：角速度，s rad /R V ω=22dtd R dt d R dt dV a t θω=== 22dtd dt d θωβ==：角加速度，2/s r a d βR a t =，R RR R V a n 2222ωω===讨论： 1、ω不变，匀角速圆周运动（匀速率圆周运动，匀速圆周运动）0==dtd ωβdt d θω=⇒dt d ωθ=⇒⎰⎰=tdt d 00ωθθθ角位移：θ∆=t ωθθ=-0，t ωθθ+=02、β不变：匀变速圆周运动dt d ωβ=⇒d t d βω=，⎰⎰=ωωβω00tdt dt βωω=-0⇒t βωω+=0 t dtd βωθω+==0⇒dt t d )(0βωθ+=⎰⎰+=θθβωθ0)(tdt t d角位移：θ∆=20021t t βωθθ+=-)(2022θθβωω-=- ****************************************************** 匀速圆周运动 匀速直线运动 t ωθθ+=0 Vt x x +=0匀变速圆周运动 匀加速直线运动 t βωω+=0 at V V +=020021t t βωθθ+=- 20021at t V x x +=-)(2022θθβωω-=- )(20202x x a V V -=- ******************************************************。
大学物理切向加速度和法向加速度
在物理学、天文学、生物学等科研领域，切向加速度和法向加速度的应用对于探索物体运动规律和现象 具有重要作用，能够促进科学研究的深入开展和创新。
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曲线运动中的切向加速度
在曲线运动中，切向加速度等于物体速率对时间 的变化率，即$a_{t} = frac{dv}{dt}$。
3
匀速圆周运动中的切向加速度
在匀速圆周运动中，切向加速度的大小为$a_{t} = omega^{2}r$，方向始终指向圆心。
切向加速度在现实生活中的应用
车辆转弯
汽车在转弯时，由于离心力作用， 车轮与地面之间产生侧向摩擦力，
工程设计和优化
在机械、航空、交通等领域，切向加速度和法向加速度的应用对于工程设计和优化至关重要，能够帮助工程师更好地 分析物体的运动特性和受力情况，提高设计质量和安全性。
体育科技
在体育领域，切向加速度和法向加速度的应用对于运动分析和技术优化具有重要意义，能够帮助教练和运动员更好地 理解运动过程中的技术细节和改进方向。
使汽车产生切向加速度，影响车 辆行驶稳定性。
旋转机械
旋转机械在运转过程中，由于摩擦 力或外部扰动作用，会产生切向加 速度，影响机械的正常运转。
投掷运动
在投掷运动中，如标枪、铁饼等， 运动员通过施加切向力使器械产生 切向加速度，从而影响器械飞行的 轨迹和距离。
03 法向加速度
法向加速度的概念
法向加速度是描述物体在圆周运动或 曲线运动中速度方向变化快慢的物理 量。
在不同运动状态下的表现
01
02
03
匀速圆周运动
切向加速度为零，法向加 速度不为零，物体做匀速 圆周运动。
切向加速度和法向加速度的单位及其转换关系
切向加速度和法向加速度的单位及其转换关系加速度是物体在单位时间内速度变化的量度，通常用字母"a"表示。
在物体运动时，加速度可被分解为切向加速度和法向加速度，用来描述物体在运动过程中分别沿着切线方向和垂直于切线方向的加速度变化情况。
本文将讨论切向加速度和法向加速度的单位及其转换关系。
一、切向加速度的单位及转换关系切向加速度是物体在曲线运动中由于速度方向的变化而产生的加速度，它沿着切线的方向。
切向加速度的单位通常采用米每秒平方（m/s²），表示物体在时间内单位速度增加的量。
在计算切向加速度时，我们可以使用以下公式：切向加速度（a_t）= （v₂ - v₁）/ t其中，v₂和v₁分别表示物体在某一时刻的末速度和初速度，t表示时间。
切向加速度的数值表示速度变化的快慢程度，正值表示速度增加，负值表示速度减小。
在国际单位制中，切向加速度的单位是米每秒平方（m/s²）。
这意味着，如果一个物体的速度在一秒钟内增加了1米每秒，那么该物体的切向加速度就是1米每秒平方。
切向加速度与速度的转换关系如下：切向加速度（a_t）= （dv）/ dt其中，dv表示速度的变化量，dt表示时间的变化量。
二、法向加速度的单位及转换关系法向加速度是物体在曲线运动中由于方向和轨道半径的变化而产生的加速度，它垂直于切线的方向。
法向加速度的单位通常采用米每秒平方（m/s²），表示物体在向心力作用下单位时间内速度变化的量。
在计算法向加速度时，我们可以使用以下公式：法向加速度（a_n）= v² / r其中，v表示物体在某一时刻的速度，r表示物体运动的轨道半径。
法向加速度的数值表示速度变化的快慢程度，正值表示速度增加，负值表示速度减小。
在国际单位制中，法向加速度的单位是米每秒平方（m/s²）。
这意味着，如果一个物体的速度在一秒钟内增加了1米每秒，并且轨道半径为1米，那么该物体的法向加速度就是1米每秒平方。
大学物理 --切向加速度和法向加速度1
r R 赤道
p
r R cos
P点速度的大小为
v r R cos 5 6 7.27 10 6.73 10 cos 2 4.65 10 cos (m / s)
方向：与过P点运动平面上半径为R的圆相切。 P点只有运动平面上的向心加速度，其大小为
2
2
kR k Rt
2 2
2 2
§2切向加速度、法向加速度/二、a、an
讨论下列几种运动情况：
1. a 0 , an 0 匀速直线运动；
2. a C , an 0
3. a 0 , an C 4. a 0 , an 0
匀变速直线运动；
匀速率圆周运动； 变速曲线运动；
有 即
dv dv dvn 0 n0 dt dt dt
a a 0 ann0
dv dvn an 其中： a dt dt a 由于速度大小变化产生的加速度； an 由于速度方向变化产生的加速度。
§2切向加速度、法向加速度/二、a、an
ds v vt 0 dt 0
二. 圆周运动的角量描述
设质点在oxy平面内绕o 点、沿半径为R的轨道作圆 周运动，如图。以ox轴为参 考方向，则质点的
y
B：t+t A：t
o
x
角位置为 角位移为 规定反时针为正 平均角速度为 t d lim 角速度为 t 0
角加速度为
d d 2 dt dt
2
2
2
例：一质点作半径为R的圆周运动，其速 率满足 v kRt ， k为常数，求：切向 加速度、法向加速度和加速度的大小。
dv a kR 解： 切向加速度 dt 2 2 ( kRt) v 2 2 法向加速度 a n k Rt R 2 2 加速度 a a an
1-3切向加速度法向加速度
一、自然坐标系 •问题的提出： 在直角坐标系中，加速度公式无法看 出哪一部分是由速度大小变化产生的加速 度，哪一部分是由速度方向变化产生的加 速度，所以引入自然坐标系来描写。 1.自然坐标系 自然坐标系是建立在物体运动的轨 迹上的，有两个坐标轴，切向坐标和法 向坐标。
速率对时间求一阶导数
v an r
2
r 为运动轨迹的曲率半径。
例：一质点作半径为R的圆周运动，其速 率满足 v kRt ， k为常数，求：切向 加速度、法向加速度和加速度的大小。
dv at kR 解： 切向加速度 dt 2 2 v ( kRt) 2 2 法向加速度 an k Rt r R 2 2 加速度 a a an
kR k Rt
2 2
2 2
讨论下列几种运动情况（物体分别做什么运动）：
1. at 0 , an 0 匀速直线运动；
2. at C , an 0
3. at 0 , an C 4. at 0 , an 0
匀变速直线运动；
匀速率圆周运动； 变速曲线运动；
•切向坐标 t沿运动 轨迹的切线方向； •法向坐标 n 沿运动 轨迹的法线方向。
n
n
二、切向加速度、 法 v an = dt R
2
切向加速度
法向加速度
at an
由于速度大小变化产生的加速度； 由于速度方向变化产生的加速度。
可以证明：
dv at dt
大学物理切向加速和法向加速
•切向坐标 沿运动
轨迹的切线方向； •法向坐标 n 沿运动 轨迹的法线方向。
二、切向加速度、 法向加速度
nn
物体沿平面作曲线运动，速度变化为 v 建立自然坐标系。
§2切向加速度、法向加速度/二、a、an
将 v 分解为 v 和 vn
v v0 vnn0 （1）
vA
vA
vn v
其中
AnB
vτ
vB
v 为速度增量在切线方向的分量；
vn 为速度增量在法线方向的分量； 0 切线方向的单位矢量；
n0 法线方向的单位矢量。
§2切向加速度、法向加速度/二、a、an
将（1）式两边同除 t 后取极限，
lim v
Δt 0 t
lim
Δ t 0
v t
0
lim
Δ t 0
vn t
n0
有
dv dt
dv dt
0
dv n dt
一、自然坐标系
•问题的提出： 在直角坐标系中，加速度公式无法看
出哪一部分是由速度大小变化产生的加速 度，哪一部分是由速度方向变化产生的加 速度，所以引入自然坐标系来描写。 1.自然坐标系
自然坐标系是建立在物体运动的轨 迹上的，有两个坐标轴，切向坐标和法 向坐标。
§2切向加速度、法向加速度/一、自然坐标系
方向：与过P点运动平面上半径为R的圆相切。
P点只有运动平面上的向心加速度，其大小为
a 2r n
2R cos
(7.27 105 )2 6.7310/ s2 )
P点加速度的方向在运动平面上由P指向地轴。
例如:已知北京、上海和广州三地的纬度分别 是北纬3957、3112和 2300，则三地的v 和 an 分别为：
切向加速度和法向加速度课件
法向加速度的计算公式
在圆周运动中，法向加速度的大小可以通过公式an = v²/r计算，其中an表示法 向加速度，v表示线速度，r表示半径。
对于一般的曲线运动，法向加速度的大小可以通过公式an = dv/dt计算，其中an 表示法向加速度，dv/dt表示速度的变化率。
03 切向加速度与法向加速 度的关系
圆周运动中的切向加速度与法向加速度
切向加速度
描述物体在圆周运动中速度大小的变化，即线速度的变化率。
法向加速度
描述物体在圆周运动中速度方向的改变，即角速度的变化率。
曲线运动中的切向加速度与法向加速度
切向加速度
描述物体在曲线运动中速度大小的变 化。
法向加速度
描述物体在曲线运动中速度方向的改 变。
在航天器进行轨道变化时，需要产生法向加速度来改变其轨道半径或轨道倾角。这可以通过调整发动 机推力和飞行姿态来实现。
切向加速度与法向加速度在日常生活中的应用
游乐设施
游乐场中的过山车、旋转木马等设施利用了切向加速度和法向加速度的原理，使游客能 够体验刺激和乐趣。
体育竞技
在赛车、自行车等竞技项目中，运动员通过控制切向加速度和法向加速度来提高速度、 改变运动方向或完成特定动作。
切向加速度和法向加速度 课件
• 切向加速度与法向加速度的关
目
录
• 切向加速度和法向加速度的应
• 切向加速度和法向加速度的实
01 切向加速度
切向加速度的定 义
切向加速度
描述物体在圆周运动或曲线运动 中，沿运动轨迹切线方向的加速度。
公式表示
at = d^2r/dt^2 ，其中 r 为物体 在曲线上的位置矢量，t为时间。
切向加速度和法向加速度
r τ (t)
τ
r
θ
θ + θ
x
r τ r θ ： 大小 τ = 2sin 2 ≈ θ
dτ dτ dθ dτ dθ ds dτ r ds = ρ ds =V = = , =n , dθ , dt dt dθ dt dθ ds dt dθ
r τ ≈ θ n r r r dτ r τ θ n r lim θ →0, θlim θ = θ →0 θ = n dθ = n →0
α
r a
an
dV 2 V 2 2 2 a = at2 + an = ( ) + ( ) , tgα = an / at dt ρ
讨论：（1 直线运动， 讨论：（1）直线运动，ρ = ∞, an = 0 ：（ dV V2 a = 0, an = 匀速率圆周运动， （2）匀速率圆周运动， t = ：向心加速度 R dt 一般曲线运动及变速率圆周运动， （3）一般曲线运动及变速率圆周运动，at ≠ 0, an ≠ 0 V2 V2 （4） an = ρ= ：计算曲率半径
θ = 63.4o
第6节 节
圆周运动的角量表示
角坐标， s = Rθ θ ：角坐标，rad θ = θ (t) s = s(t)
y
r P r s θ A R O
V = ωR,
dω d 2θ ：角加速度， 角加速度， rad / s2 β= = 2 dt dt V 2 ω2 R2 = = ω2 R at = Rβ, an = R R
第5 节
相对运动
P
r r
S
O
静系
r r0
S′
O′
动系
r r′
r r r r = r ′ + r0 r r r dr dr ′ dr0 = + dt d = r′ + r0
切向加速度和法向加速度
切向加速度和法向加速度
法向加速度：数值上等于速度v的平方除曲率半径r，或角速度ω的平方与半径r的乘积。
法向加速度的计算公式：an=ω^2r=v^2/r。
切向加速度：其值为线速度对时间的变化率。
切向加速度的计算公式：at=dv/dt。
切向加速度公式 at=dv/dt
法向加速度公式 an=v^2/r
切向加速度和法向加速度的区别：
1、切向加速度，改变的是速率的大小。
2、法向加速度，不改变速度的大小，只改变速度的方向。
3、切向加速度是质点作曲线运动时所具有的沿轨道切线方向的加速度。
而法向加速度是质点作曲线运动时，所具有的沿轨道法线方向的加速度。
切向加速度和法向加速度-资料类
切向加速度和法向加速度－资料类关键信息项：1、切向加速度的定义及相关概念名称：＿___________________________描述：＿___________________________2、法向加速度的定义及相关概念名称：＿___________________________描述：＿___________________________3、切向加速度和法向加速度的计算方法公式：＿___________________________适用条件：＿___________________________4、切向加速度和法向加速度的关系相互影响：＿___________________________关联因素：＿___________________________5、实际应用场景举例场景描述：＿___________________________作用分析：＿___________________________11 切向加速度的定义切向加速度是质点作曲线运动时所具有的沿轨道切线方向的加速度。
它描述了质点速度大小变化的快慢程度。
111 切向加速度的计算公式切向加速度的大小可以通过对速度大小对时间的导数来计算，即：＄a_{t} ＝＼frac{dv}｛dt}＄，其中$v$是速度大小，＄t$是时间。
112 切向加速度的影响因素切向加速度的大小取决于作用在质点上的切向力以及质点的质量。
当切向力增大或质点质量减小时，切向加速度会增大，反之则减小。
12 法向加速度的定义法向加速度是质点作曲线运动时所具有的沿轨道法线方向（指向曲率中心）的加速度。
它反映了质点速度方向变化的快慢。
121 法向加速度的计算公式法向加速度的大小为：＄a_{n} ＝＼frac{v^2}｛r}＄，其中$v$是质点的速度大小，＄r$是曲线运动轨迹的曲率半径。
122 法向加速度的特点法向加速度始终指向曲线的曲率中心，其大小与速度的平方成正比，与曲率半径成反比。
切向加速度和法向加速度
dV d 2s 切向加速度， at = = 2 ：切向加速度，速率变化引起的 dt dt r r方向， V V ↑, at > 0, 沿 τ 方向， ↓, at < 0,与 τ 反方向
an = V2
ρ
法向加速度， >0：法向加速度，速度方向变化引起的 沿法线指向曲率中心
at
α
r dV 2 V2 2 2 a a = at2 +an = ( ) +( ) , tgα = an / at
r r r dV dV′ dV0 = + dt dt dt
r r r aB对A = aB −aA
例：汽车以20 汽车以20
m/ s
速度向东行驶， 速度向东行驶，
雨滴在空气中以10 雨滴在空气中以10 m/ s 速度下 落，求雨滴相对于汽车的速度 解：地面： , 汽车： ′系 地面： 汽车： S S 车对地面的速度为牵连速度 大小
消去时间变量可得轨迹方程： 消去时间变量可得轨迹方程：
r e ：沿矢经方向 1 r r e2：垂直于 e 指向 θ ↑的方向 1
r = r(θ)
r r r 二、径向速度与横向速度 V =Vr e1 +V e2 θ r r r de1 dθ r
r V
V θ
dr dθ Vr = ：径向速度 ， V = r ：横向速度 θ dt dt y r 例：质点位于 P(x, y), 速度大小为 V r dr dr A， B， dt dt r P(x, y) r r dr D， (dx)2 + (dy)2 C， x O dt dt dt
θ =θ0 +ω t
匀变速圆周运动
x = x0 +Vt
匀加速直线运动
曲线运动的法向和切向加速度
x
an
a
y
2
g
2
dv gt a 2 dt v0 g 2 t 2
与速度同向
an g a
2
v0 g v0 g 2 t 2
2
与切向加速度垂直
圆周运动的角量描述
v2
v B 1 A s R
O
A t t t B
X
角位置 角位移
沿逆时针转动，角位移取正值 沿顺时针转动，角位移取负值
两类运动学问题
1、已知运动方程，求速度、加速度 求导数 2、已知加速度和初始条件，求速度和运动方程 运用积分方法 注意 讨论问题一定要选取坐标系 注意矢量的书写
r r r r dr , ds, dv , dt 与Vr ,Vs,Vv ,Vt 的物理含义
• 1.自然坐标系：就是将坐标原点固定在运动 质点上，取质点的速度方向（曲线的切线方 向）为一个坐标轴（切向轴）的正方向，其 单位矢量用 表示，取与切向正交、且指向 曲线的凹侧的法线方向为另一个坐标轴（法 向轴）的正方向，其单位矢量用 n 表示。由 于这种坐标系的切向坐标轴和法向坐标轴会 随着质点的运动自然变换方向，故叫做自然 坐标系。
(2)子弹在t时刻的速度，切向加速度和法向加速度。
解：(1)
x v0 t 1 2 y gt 2
o
v0
x
an
a
1x g y 2 2 v0
2
y
g
(2)
vx v0 , v y gt
v v x v y v0 g t
gt arctg v0
2 2 2 2 2
o
v0
dv v a n dt R
大学物理切向加速度和法向加速度
在实际问题中的应用选择
车辆行驶
在车辆行驶过程中，由于摩擦力和空气阻力的作用，车辆会受到切向加速度的影响，导致 速度的变化；而转弯时，车辆还会受到法向加速度的作用，改变运动方向。Байду номын сангаас
航天器轨道
航天器在绕地球运行时，受到地球引力的作用产生法向加速度，使得航天器沿着预定轨道 运行；同时，航天器在切线方向上也会受到其他力的作用，如太阳辐射压和大气阻力等， 这些力产生的切向加速度会影响航天器的速度和轨道半径。
实验步骤与操作
准备实验器材
滑轮、细绳、重物、测量尺、计时器等 。
VS
搭建实验装置
将滑轮固定在实验台上，细绳一端系住重 物，另一端跨过滑轮并可调节长度。
实验步骤与操作
实验操作 1. 调整细绳长度，使重物做近似圆周运动。
2. 记录重物运动的速度和时间，通过测量尺测量轨道半径。
实验步骤与操作
3. 改变重物运动的速度，重复实验。
思考三
如何理解切向加速度和法 向加速度在描述物体运动 状态中的作用？
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详细描述
在卫星轨道计算中，需要根据切向加速度来计算卫星的速度 和轨道半径；在曲线运动分析中，切向加速度用于描述物体 在曲线运动中的速度变化。
02
法向加速度
定义与公式
定义
法向加速度是描述速度矢量方向改变 的快慢程度的加速度，通常表示为an。
公式
an=v^2/r，其中v是速度大小，r是运 动物体到圆心的距离。
在不同运动形式下的表现
匀速圆周运动
自由落体运动
在匀速圆周运动中，切向加速度为零， 法向加速度等于向心加速度，方向始 终指向圆心。
自由落体运动中，物体只受到重力的 作用，切向加速度为零，法向加速度 等于重力加速度，方向始终竖直向下。
第4节 切向加速度和法向加速度
第4节切向加速度和法向加速度
切向加速度又称纵向加速度，是指物体行驶过程中的纵向加速度大小。
从线性动力学
角度来看，切向加速度可以定义为物体匀速运动的变速度，即物体线速度加速度的大小。
在实际应用中，切向加速度可以帮助我们了解物体行驶的速度变化，即纵向加速度大小。
当物体维持原有速度而没有变化时，切向加速度的值为零，但是当物体的速度改变时，切向加速度的值就会增加。
例如，运动的小车可以加速或减速，这种速度变化就表现为切
向加速度；电梯精确控制上下行，上行时加速，下行时减速，我们就可以测量出其切向加
速度值。
同切向加速度不同，法向加速度指物体横向运动的加速度大小。
从动力学角度来看，
它是指物体沿着弧形或圆形路径行驶时法向加速度的大小。
在汽车性能测试中，通常可以
测量出汽车的法向加速度值。
一般来说，车辆只有在拐弯时才会产生法向加速度，这时物
体会朝着一个比较小的半径旋转。
从控制的角度来看，切向和法向加速度都是重要的控制参数，可以帮助我们确定物体
的速度和轨迹变化，便于物体运动控制更加准确有效。
可以借助切向加速度来实现物体速
度精确控制，而借助法向加速度，可以使车辆精确跟踪曲线路径。
因此，如果要使机器人
能够实现自主移动，理解切向和法向加速度的物理含义和应用，就非常重要。
大学物理切向、法向加速度
contents
目录
• 切向加速度 • 法向加速度 • 切向、法向加速度的应用 • 切向、法向加速度的关联与区别 • 切向、法向加速度的实例分析
01 切向加速度
定义
01
02
03
切向加速度
描述物体在圆周运动或曲 线运动中，沿运动轨迹切 线方向的加速度。
切向加速度的大小
表示物体速度大小变化的 快慢，单位为米每秒平方 （m/s^2）。
物理意义
切向加速度的物理意义在于描述 物体在曲线运动中速度大小的变
化趋势。
当切向加速度大于零时，物体速 度大小增加；当切向加速度小于
零时，物体速度大小减小。
在匀速圆周运动中，切向加速度 的大小表示物体在单位时间内速
度大小的变化量。
02 法向加速度
定义
法向加速度，也称为向心加速度，是 指物体在圆周运动或曲线运动中，沿 半径方向的加速度分量。
法向加速度与物体偏离轨道的方向有关，其方向与轨 道半径垂直，大小表示物体偏离轨道的速度。
在曲线运动中，切向加速度和法向加速度的作用是不 同的，切向加速度主要影响速度的大小，而法向加速
度则主要影响物体偏离轨道的方向。
05 切向、法向加速度的实例 分析
匀速圆周运动中的切向、法向加速度
总结词
在匀速圆周运动中，切向加速度使物体保持匀速，而法向加 速度使物体始终指向圆心。
曲线运动中的法向加速度
总结词
描述物体在曲线运动中的离心力效应。
详细描述
法向加速度主要描述物体在曲线运动中的离心力效应。当物体做曲线运动时，由于惯性作用，会产生 一个指向曲率中心的力，即离心力。法向加速度的大小与物体的质量、曲率半径和线速度有关。
切向加速度和法向加速度在车辆行驶中的作用
切向加速度和法向加速度在车辆行驶中的作用车辆行驶中的切向加速度和法向加速度作用分析车辆行驶中，切向加速度和法向加速度是两个重要的物理概念，它们对车辆的运动轨迹和行驶稳定性起着非常关键的作用。
本文将深入探讨切向加速度和法向加速度在车辆行驶中的作用，并分析其对车辆行驶的影响。
一、切向加速度的作用切向加速度是指车辆在行驶过程中速度方向的变化率，也可以理解为车辆在弯道行驶时的加速度。
切向加速度的作用主要有三个方面。
首先，切向加速度可以控制车辆在弯道行驶中的转向速度。
当车辆进入一个转弯道路时，为了保持行驶轨迹的稳定，司机需要施加足够的切向加速度，使车辆保持在预定的曲线上行驶。
若切向加速度不足，车辆容易偏离预定轨迹，甚至发生侧滑等危险情况。
其次，切向加速度可以增加车辆的抓地力。
在弯道行驶中，车辆受到的向心力会使车辆向外侧倾斜，这时切向加速度可以产生向内的力，抵消向心力的影响，使车辆保持在弯道上行驶。
合理的切向加速度能够有效提高车辆的抓地力，增强行驶稳定性。
再次，切向加速度对车辆的纵向动力学性能有重要影响。
通过控制切向加速度，司机可以灵活应对道路的变化和车辆的需求，实现加速、减速和保持速度的动作。
合理和精确地掌握切向加速度可以提高车辆的驾驶性能，如加速灵敏、平顺换挡等。
二、法向加速度的作用法向加速度是指车辆在行驶过程中速度大小的变化率，它与车辆行驶的方向垂直，也可称为纵向加速度。
法向加速度的作用主要体现在以下几个方面。
首先，法向加速度可以影响车辆的制动性能。
在紧急制动或缓慢停车时，司机需要控制刹车力的大小，使车辆实现平稳的停车动作。
法向加速度的大小和变化率将直接影响到车辆制动的平稳性和安全性。
其次，法向加速度对车辆的悬挂系统和轮胎磨损有一定的影响。
当车辆通过坑洼路面或颠簸路段时，会产生较大的法向加速度，导致车辆悬挂系统承受较大的冲击力，影响乘坐舒适性。
此外，法向加速度还会使轮胎产生较大的摩擦力，引起胎面磨损，影响轮胎寿命。
切向加速度和法向加速度对物体的速度变化有何影响
切向加速度和法向加速度对物体的速度变化有何影响加速度是描述物体速度变化的物理量，包括切向加速度和法向加速度两个方向。
本文将探讨切向加速度和法向加速度对物体速度变化的影响。
一、切向加速度对速度变化的影响切向加速度指的是物体在运动过程中，速度矢量的改变率。
即切向加速度决定了物体在速度方向上的变化。
切向加速度的存在使得物体可以加快或减慢其当前速度。
1. 加速度与速度成正比关系根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用力成正比。
当物体受到外力作用时，加速度会产生变化。
如果作用力与速度方向相同，物体将获得正的切向加速度，速度将增加。
如果作用力与速度方向相反，物体将受到负的切向加速度，速度将减小。
2. 加速度与速度平方成正比关系在物体运动过程中，切向加速度也可以通过速度的平方来表达。
根据经典力学理论，物体的运动状态可以用动能和势能来描述。
动能正比于速度的平方，而加速度可以通过能量的变化率来计算。
因此，切向加速度与速度平方成正比，即速度越高，切向加速度对速度变化的影响也就越大。
二、法向加速度对速度变化的影响除了切向加速度，物体运动中还存在法向加速度，即物体在沿着弧度曲线运动时，速度矢量的方向改变。
法向加速度影响着物体速度的方向改变。
1. 法向加速度改变速度方向当物体在弧度曲线上运动时，速度的方向是随着曲线的形状变化的。
此时，物体的速度矢量会受到法向加速度的影响，使速度的方向发生变化。
如果物体受到向心力的作用，法向加速度将指向圆心，使物体的速度方向向圆心靠拢。
相反，如果物体受到离心力的作用，法向加速度将指向远离圆心的方向，使物体的速度方向远离圆心。
2. 法向加速度对速度大小的影响较小与切向加速度不同，法向加速度对于物体速度大小的变化影响相对较小。
因为法向加速度主要影响速度方向，而速度大小则主要由切向加速度决定。
这也解释了为什么在等速圆周运动中，物体的速度大小保持恒定。
综上所述，切向加速度和法向加速度对物体的速度变化具有不同的影响。
圆周运动中的切向加速度和法向加速度
摩擦力：两个相互接触的物体在沿接触面相对运动 时，或者有相对运动趋势时，在它们的接触面间所 产生的一对阻碍相对运动或相对运动趋势的力。
v R
at
dv dt
R
dω Rα dt
an
v2 R
Rω2
讨论：
匀速率圆周运动 是恒量
d dt
t
d dt
0
0
0 t
匀角加速圆周运动
是恒量
0 t
0
0t
1 t2
2
一般圆周运动
2
2 0
2 (
0)
t
d dt
0
0
t
0
dt
0
讨论：
1. at 0 , an 0 匀速直线运动 2 . at c , an 0 匀变速直线运动
x
x0
v0 k
(1
e kt )
(2) a kx求任意位置的速度 v( x)
a
dv dt
dv dx dx dt
v dv
dx
adx vdv
v
v2 0
kx 2
kx
2 0
注意:
找 x 与 v 的关系所 作的
变换：
kxdx vdv
xx0 kxdx vv0 vdv
1 2
kx 2
-
1 2
kx
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解：
(1)ax
dvx dt
ay
dvy dt
dvx 2dt dvy 36t2dt
vx 0
dvx
t
2dt
0
vy 0
dvy
t 36t 2dt
0
vx 2t
vy 12t 3
v 2ti 12t 3 j
dx vx dt
dx 2tdt
x
t
0 dx 0 2tdt
x t2
dy vy dt dy 12t 3dt
x (x′)
a
a
1.位矢的坐 标分量式：
正变换
x x ut y y z z
t t
yS
u S’
r
r P x′
O O′
x
逆变换
x x ut
y y
z z t t
2.速度变换 与加速度变换
v
dr
dt
v dr dt
正
vx vx u vy vy
ax
ax
du dt
ay ay
V 物对地 ：绝对速度 V 物对车 ：相对速度
物： 运动物体
V 车对地 ：牵连速度
速度合成定理： V 物对地 V 物对车 V 车对地
二、伽利略变换
yS
y′ S’ y u
r P
r
r P
r
r
O
O′ o
t时刻，物体在P点
S r x, y, z, t vx, y, z, t
S’ rx, y, z, t vx, y, z, t
dv
g 2t
at dt v02 g 2t 2
与速度同向
an
g 2 at2
v0 g v02 g 2t2
与切向加速度垂直
例2、一质点在oxy平面内作曲线运动，其加速
度是时间的函数。已知ax=2, ay=36t2。
设质点t＝0时r0=0,v0=0。求：(1)此质点的运动 方程；(2)此质点的轨道方程，(3)此质点的切向 加速度。
取发射时t=0.试求：
(1)子弹在任一时刻t的位置坐标及轨道方程；
(2)子弹在t时刻的速度，切向加速度和法向加速 度。
解： x v0t
(1) y 1 gt2
2
o
1 x2g
y 2
v02
(2) vx v0 , vy gt
y
v0
x
a an
g
v
vx2
v
2 y
v02 g 2t 2
tan 1
gt v0
加速度在自然坐标中的表示： 1、切向和法向加速度的引入（以圆周运动为例）
(1)质点由A运动到B，如下图,以C为圆心，CD长
为半径作弧，交CE于F点，|CD|r=|CFr|=VA r
E
v
r
vB
rvA
V2
v1 v2
F
v1反映速度方
VB
向的变化，v2
B
V1
反映速度大小的
A
C VA
D
变化。
lim lim lim a
E
a
lim | v2 t0 t
|
lim | vB | | vA |
t 0
t
D
lim
t 0
v t
dv dt
d2s dt 2
总加速度
a
v2 R
nˆ
d 2s ˆ
dt 2
3、一般曲线运动（多个圆弧运动的连接）
an
v2 r
n
v2
n
例1、由楼窗口以水平初速度v0射出一发子弹，
取枪口为原点，沿v0为x轴，竖直向下为y轴，并
1、位矢的相对性：
S
r
yS
y′
u
S
S r
r r ＝ OO ＋ r
P
r
x′
O O′
x
2、位移的相对性
yS
r
y′ S’ y
u
r
P
r P
r
r
O
O′ o
x (x′)
r oo r
3、速度的相对性
r＝oo＋r t t t
lim lim lim r＝
oo＋
r
t0 t t0 t
t0 t
vs u vs 地： 实验室参照系 车： 运动参照系
y v2
P
R’
v1 P
x
角位置： 角位移： 角速度： 角加速度：
S ， S＝R
对应
v=R
at R
an
R 2
v2 R
左式为线量和角 量的基本关系。
§2.7极坐标系, 径向与横向速度
一.极坐标系:
1. 质点作平面运动,在参考系中取原点O,取基准 轴OX为极轴.
2.极坐标(r,),其中r是质点的矢径,是质点的幅角.
y
dy
t12t 3dt
0
0
y 3t 4
所以质点的运动方程为：
x t 2
y
3t 4
r t 2 i 3t 4 j
(2)上式中消去t,得y=3x2即为轨道方程。可知是抛物线。
(3) vx 2t vy 12t 3
v
vx2
v
2 y
4t 2 144t 6
dv 1 a dt 2
8t 864t 6 2 216t 2
r var22
vrA方向, A点切向,
称为切向加速度.
2.切向和法向加速度的数值:
an
lim | v1 t0 t
|
| 2vA sin
lim
t 0
t
2
|
V2
F
VB
V1
C
E
lim
t 0
2vA R
sin
2
t
R
2
D
vA R
lim
0
sin 2
2
s vA2 t R
2
V2
F
VB
V1
C
r r(t)
ˆ
3.运动方程: (t)
r
4.轨迹: r r( )
O
rˆ
A
X
二.径向速度和横向速度:
rˆ 1.径向:与r同向,单位矢量:
ˆ
rˆ
2.横向:与r垂直,指向 增
加的方向.ˆ
3.速度在极坐标系中的投影:
A
r
v vrrˆ v ˆ
O
X
4.径向速度Vr :
vr
2 144t 6
1 36t 4
注：若求法向加速度，应先求曲率半径。
3
3
1 y2 2 (1 36x2 ) 2
y
6
v2 4t 2 (1 36t 4 ) 6
24t 2
an
3
(1 36x2 ) 2
1 36t 4
五、质点圆周运动的角量描述， 角量和线量的关系
线量： r v a
角量：
t 0
v t
t 0
v1 t
t 0
v2 t
a1 a2
(2)
a1
和
a2的方向
E
V2
F
VB
V1
1)a1 : vB
当t
vA
,
0时, 0,
的角平分线
即v1
vA,
vA
,
即a1
vA
,
并
指向圆
心,
C
D a1称为法向加速度.
E
V2
F
VB
V1
C
D
v2rB)ar2 :当vrA, t 0,
v
r d
dt
三. 应用: 1.在有心力运动中,常用极坐标系. 这将在第四章接触到.
2.在圆周运动中,以圆心为极点, 则r=恒量,所以圆周运动:
Vr V
0
r d
dt
r
对极坐标系的知 识,只要求了解
§2.8伽利略变换 和相对运动
一、相对运动
研究的问题: 在两个惯性系中考察同一物理事件
实验室参照系 相对观察者固定 运动参照系 相对上述参照系运动
ax ax ay ay
vz vz
az az
u为常数 az az
逆
vx vx u vy vy
ax
ax
du dt
惯性系
ay ay
vz vz
az az
ax ax ay ay az az