圆周率的计算历程及意义
教学课件圆周率的历史示范教学课件pptx2024新版
目录
• 圆周率简介 • 古代对圆周率的探索与计算 • 中世纪欧洲对圆周率的研究 • 现代计算机时代与圆周率的挑战 • 圆周率在数学教育中的意义 • 总结与展望
01 圆周率简介
定义与性质
定义
圆周率是一个数学常数，表示圆 的周长与直径之比。
性质
圆周率是一个无理数，即它不能 表示为两个整数的比；圆周率是 一个无限不循环小数，其小数部 分既不终止也不循环。
06 总结与展望
回顾本次示范课的主要内容
圆周率的历史发展：从古代到现代，介绍了圆周 率的发现、计算方法和精度提高的过程。
圆周率的计算方法和算法：详细介绍了古代和现 代计算圆周率的多种方法和算法，包括割圆术、 无穷级数、蒙特卡罗方法等，并比较了它们的优 缺点和适用范围。
圆周率在数学、物理和工程领域的应用：阐述了 圆周率在数学中的基础地位，以及在物理和工程 领域中的广泛应用，如圆的周长、面积、球体体 积等计算。
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• 圆周率精度提高的挑战和前景：尽管现代计算机已经能够计算出圆周率的数十 万亿位小数，但进一步提高精度仍然面临巨大的挑战。未来需要研究新的计算 技术和方法，以应对这一挑战。
• 圆周率在教育中的推广和普及：圆周率作为数学中的基础知识，应该在教育中 得到更广泛的推广和普及。未来可以研究如何将圆周率的知识更好地融入到教 材和教学中，提高学生的数学素养和兴趣。
刘徽的“割圆术”
通过不断倍增内接正多边形的边数来逼近圆周率，求得π的近似值为3.14。
古希腊与圆周率的故事
阿基米德的方法
通过计算正96边形的周长来逼近圆 周率，得出π的近似值为3.1416左右 。
阿波罗尼奥斯的研究
阅读与思考 圆周率π(1)
难点将圆的周长转化为圆的内接正多边形的长，计算圆的内接正多边形的周长、圆的内接正多边形的周长与直径的比值。
通过自主搜集圆周率的相关资料、交流体验，培养收集信息、整合信息，提高质疑、理解的能力。
教学资源利用和教学策略利用白板播放视频、相关的教学内容，利用几何画板进行动画演示圆的内接正多边形的变化及表格中的数据的相应的变化，来启发学生思考，培养学生的思维能力，在收集、分享、思考中体会数学知识和历史，感受数学文化的博大精深，及在探索过程中所隐含的数学方法。
学生课前准备学生课前阅读课本第109页和110页的内容及搜集的各种信息、资料，课前阅读之后的感受、想法。
教具准备白板、几何画板、圆规、三角板本节课的主要内容的思维导图：教学环节教学活动设计师生活动设计意图创设问题情境活动1:播放钢琴曲《song form π》：这首钢琴曲是把无限不无限小数π=3.141596……变成音符写成的曲子。
竟然也如此美妙动听!圆周率π真是太神奇了。
师生一起聆听钢琴曲。
听完之后教师提出一些问题，学生答复。
用美妙动听的钢琴曲，激发学生的学习兴趣，及对圆周率π的好奇，对探索圆周率π的奥秘的欲望。
感受数学的美！探索新知活动2:圆周率π=3.14159……是怎么求出来的？分析：从圆的周长公式C=2πR，可得到π=RC2,如果已经求得了圆的周长，那么将圆的周长与直径相比，就可以求出圆周率π了。
因此，在某种意义上求圆周率π的问题就转成求圆的周长的问题。
教师引导，学生先思考一下并答复。
引导学生回忆圆的周长公式，并将公式变形，求圆周率π的问题转化成求圆的周长的问题。
体会“转化思想〞。
探究与合作活动3：如何求圆的周长？分析：1.测量法：〔1〕用一根绳子绕圆的一周，然后再测量一下绳子的长度。
〔2〕把一个圆向右滚动一周，再测量一下它的运动轨迹的长。
2.可以用圆的内接正多边形近似替代圆的周长。
几何画板验证如下：n = 12.00BA归纳：当圆的内接正多边形的边数越来越大，圆的内接正多边形越来越贴近圆了。
张氏圆周率算法
《张氏圆周率算法：解决圆周率问题的新思路》一、张氏圆周率算法的历史背景及其发展过程张氏圆周率算法是由中国古代数学家张邱建于公元前3世纪发明的，是中国古代数学史上最重要的发明之一。
它的发明极大地推动了中国古代数学的发展，深刻地影响了西方数学的发展，并且在今天仍然被广泛使用。
张氏圆周率算法最初是由张邱建在《九章算术》中提出的，他在这本书中提出了一种新的方法来计算圆周率，即使用“梯形法”来计算圆周率。
他的方法是：首先，给定一个圆的半径，然后用梯形的方式将这个圆分割成多个小梯形，每个小梯形的面积都是给定的圆的面积的一部分。
然后，计算每个小梯形的面积，最后求出所有小梯形的面积之和，就可以求出圆的面积。
张邱建的算法被西方学者所接受，并在今天仍然被广泛使用。
他的算法可以用来计算各种几何图形的面积，如圆形、椭圆形、三角形等，也可以用来计算圆周率。
张氏圆周率算法的发展历程是漫长而复杂的。
从古代到现代，它经历了不断的发展和改进，从最初的梯形法到现代的多种方法，都是建立在张邱建的基础上的。
例如，在17世纪，英国数学家约翰·斯特拉斯利用极限的概念发明了斯特拉斯利圆周率算法，这是一种更精确的计算圆周率的方法，它可以更准确地计算出圆周率的值。
张氏圆周率算法是中国古代数学史上最重要的发明之一，它的发明极大地推动了中国古代数学的发展，深刻地影响了西方数学的发展，并且在今天仍然被广泛使用。
它的发展历程漫长而复杂，从古代到现代，它不断地发展和改进，为计算圆周率带来了更多的精确性和准确性。
二、张氏圆周率算法的计算原理及其优缺点张氏圆周率算法是一种计算圆周率的有效方法，由中国数学家张氏于1991年提出。
它的计算原理是：根据圆的半径和圆周长的关系，建立一个多项式，然后求出该多项式的根，从而求出圆周率。
张氏圆周率算法的优点是：它能够有效地求出圆周率，而且计算简单，无需大量的计算量，可以节省时间，并且求出的结果更加精确。
例如，使用张氏圆周率算法可以求出圆周率的值精确到小数点后十位，而使用传统的积分法只能求出小数点后六位的精度。
pi的计算
5.圆周率的随机模拟计算方法 (蒙特卡罗法)
cs=0 n=500 %随机取点数 for i=1:n a=rand(1,2); if a(1)^2+a(2)^2<=1 cs=cs+1 end end 4*cs/n
１
０
１
依次取n 500,1000,3000,5000,50000取算得 圆周率的近似值分别为 3.18400000000000 3.10400000000000 3.13866666666667 3.12080000000000 3.14376000000000
1 ( 1)n (6n)! 13591409 545140134n 12 , 3 3 3 n n 0 ( 3n)!( n! ) 640320 2
并在1994年计算到了4044000000位．它的另一 种形式是
426880 10005 . (6n)!(545140134 n 13591409) 3 3n ( n ! ) ( 3 n )! ( 640320 ) n 0
例3 完成下面的实验任务
(1) 用MATLAB软件计算函数arctan x的Maclaurin 展开式，计算的近似值.
( 2)利用下面的等式计算 的值，并与（ 1）比较.
2 1 2 ( 1)n1 (a ) (b) , 2, 2 8 n1 ( 2n 1) 12 n1 n
分析法时期
这一时期人们开始摆脱求多边形周长的繁难 计算，利用无穷级数或无穷连乘积来算 π 。 1593年，韦达给出
这一不寻常的公式是 π 的最早分析表达式。甚至 在今天，这个公式的优美也会令我们赞叹不已。它 表明仅仅借助数字2，通过一系列的加、乘、除和 开平方就可算出 π 值。
圆周率的发明过程
圆周率的发明过程圆周率被认为是数学中最重要的常数之一。
它是指一个圆的周长与其直径之比。
圆周率通常用希腊字母π表示，大约等于3.14。
尽管圆周率在现代时代被广泛使用，但它的发明过程却非常漫长和复杂。
这篇文章将回顾圆周率的发明过程。
人类早在几千年前就开始了尝试确定圆周率值的活动。
在人类历史上，许多古代文明都尝试确定圆周率值，包括古埃及，古印度，古希腊和古中国。
然而，由于缺少有效的测量工具和计算方法，这项工作一直很困难。
第一个成功确定圆周率的数字算出是由古希腊数学家阿基米德发现的。
阿基米德使用了一种称为“圆盘法”的方法，将圆中包含的多边形逐渐拟合成圆，并计算出其周长和直径的比值。
他最终得出了一个相对准确的圆周率估算值3.1416。
这个方法没有被公认为确定圆周率的最初方法，因为他的记录最终失传了。
在后来的几个世纪中，数学家与科学家一直在尝试着更精确地计算圆周率。
西元前250年左右，古希腊的欧多克斯与亚历山大计算出圆周率的值3.143，略微超过阿基米德的估算。
到了公元前70年左右，被认为圆周率值最精确的方法是通过切割多边形，计算其周长和直径的比值。
同时，中国数学家祖冲之也在同一时间使用类似方法计算圆周率，不过他使用了超过为数众多的多边形。
在中世纪期间，阿拉伯数学家把古代数学成果传入欧洲。
威廉·卢比特（William of Rubruck）在他1253年造访蒙古后，把祖冲之的《忘字录》和阿拉伯数学家马什阿里的《加法原理》介绍给了欧洲人。
这些书籍构成了计算圆周率的重要参考材料。
在欧洲，圆周率也被用于发现关于圆的本质特征的一些发现中，例如，圆锥曲线的类型曲线，如椭圆、双曲线和抛物线。
到了十六世纪，圆周率常常被用于计算周长，并被认为是一种获取圆的面积的有效方法之一。
此后，随着科学和技术的进步，人们对圆周率的需求也越来越高，通过计算机和其他现代技术，我们现在已经可以计算出大量的数字圆周率。
总之，圆周率的发明历程漫长而复杂。
π的计算历史
我国再回过头来看一下国外所取得的成果。
1150年，印度数学家婆什迦罗第二计算出 π= 3927/1250 = 3.1416。1424年，中亚细亚地区的天文学家、数学家卡西著《圆周论》，计算了3×228＝805,306,368边内接与外切正多边形的周长，求出 π 值，他的结果是：
π＝3.14159265358979325
有十七位准确数字。这是国外第一次打破祖冲之的记录。
16世纪的法国数学家韦达利用阿基米德的方法计算 π 近似值，用 6×216正边形，推算出精确到9位小数的 π 值。他所采用的仍然是阿基米德的方法，但韦达却拥有比阿基米德更先进的工具：十进位置制。17世纪初，德国人鲁道夫用了几乎一生的时间钻研这个问题。他也将新的十进制与早的阿基米德方法结合起来，但他不是从正六边形开始并将其边数翻番的，他是从正方形开始的，一直推导出了有262条边的正多边形，约4,610,000,000,000,000,000边形！这样，算出小数35位。为了记念他的这一非凡成果，在德国圆周率 π 被称为“鲁道夫数”。但是，用几何方法求其值，计算量很大，这样算下去，穷数学家一生也改进不了多少。到鲁道夫可以说已经登峰造极，古典方法已引导数学家们走得很远，再向前推进，必须在方法上有所突破。
割圆术。不断地利用勾股定理，来计算正N边形的边长。
在我国，首先是由数学家刘徽得出较精确的圆周率。公元263年前后，刘徽提出著名的割圆术，得出 π ＝3.14，通常称为“徽率”，他指出这是不足近似值。虽然他提出割圆术的时间比阿基米德晚一些，但其方法确有着较阿基米德方法更美妙之处。割圆术仅用内接正多边形就确定出了圆周率的上、下界，比阿基米德用内接同时又用外切正多边形简捷得多。另外，有人认为在割圆术中刘徽提供了一种绝妙的精加工办法，以致于他将割到192边形的几个粗糙的近似值通过简单的加权平均，竟然获得具有4位有效数字的圆周率 π ＝3927/1250 ＝3.1416。而这一结果，正如刘徽本人指出的，如果通过割圆计算得出这个结果，需要割到3072边形。这种精加工方法的效果是奇妙的。这一神奇的精加工技术是割圆术中最为精彩的部分，令人遗憾的是，由于人们对它缺乏理解而被长期埋没了。 恐怕大家更加熟悉的是祖冲之所做出的贡献吧。对此，《隋书·律历志》有如下记载：“宋末，南徐州从事祖冲之更开密法。以圆径一亿为丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。”
圆周率的知识点归纳总结
圆周率的知识点归纳总结圆周率（π）是一个非常重要的数学常数，它代表圆的周长与直径的比值。
圆周率无理数且无限不循环小数，它的小数点后面的数字是无法预测或推断的。
在数学、科学和工程领域，圆周率扮演着关键角色。
本文将对圆周率的一些基本概念、性质和应用进行归纳总结。
一、圆周率的发现与研究历程圆周率的研究可以追溯到古代的巴比伦、古埃及和古印度等文明。
随着时间的推移，人们发现了许多有关圆周率的性质，例如，圆周率是一个无理数，其小数点后的数字无限而无规律。
在欧洲，数学家们通过一系列近似方法和数学公式逐渐计算出更为准确的圆周率值。
二、圆周率的定义与表达式圆周率可以用多种方式定义和表达。
最常见的定义是：圆周率等于任何圆的周长与直径之比。
这个比值始终是一个恒定值，约等于3.14159。
在数学符号上，圆周率通常用希腊字母π表示。
除了直接定义，还有一些常见的表示圆周率的公式，例如：- 长度公式：C = 2πr，其中C表示圆的周长，r表示半径；- 面积公式：A = πr^2，其中A表示圆的面积，r表示半径；- 球体体积公式：V = (4/3)πr^3，其中V表示球的体积，r表示半径。
三、圆周率的性质圆周率具有许多独特的性质，下面是其中一些重要的性质：1. 无理数性质：圆周率是一个无理数，即不能表示为两个整数的比值。
这意味着它的小数点后的数字是无限而无规律的，不会循环出现。
2. 近似值性质：虽然圆周率无法准确表示为一个有限的小数或分数，但可以使用近似值来计算。
人们已经计算出数十亿位的圆周率近似值。
3. 可计算性质：尽管圆周率是无理数，但可以使用一些数学算法和公式来计算其近似值。
这些算法可以通过计算机进行迭代运算，逐步逼近圆周率的值。
4. 悖论性质：圆周率的无限性和无理数性质导致了一些有趣的悖论，例如，一个理想的圆不存在于现实世界中，因为计算机无法精确表示无限不循环的小数。
四、圆周率的应用领域圆周率在数学、科学和工程领域有广泛的应用。
圆周率的近似计算方法综述
序言人们很早就知道圆的周长与直径之比是一个常数，数学家们把这一比率用希腊字母π来表示,称之为圆周率。
圆周率π是科技领域中最直观和最主要的常数，它是一个极其驰名的数。
在日常生活中人们经常与π接触，并且从有文字记载开始，圆周率就引进了外行人和学者们的兴趣，古今中外许多科学家在π值计算上献出了自己的智慧和劳动，甚至奉献了自己的一生。
因此，准确计算圆周率的值，不仅直接涉及到π值计算时的需要，而且通过圆周率的数值计算促进了数学的发展。
π值的计算伴随着人类的进步而发展，作为一个非常重要的常数，它最早是解决有关圆的计算问题，所以，求出它的尽量准确的近似值，就是一个极其迫切的问题了。
早在二千多年前，古希腊著名数学家阿基米德第一个用科学方法度量圆的周长，得出圆周长与直径之比（圆周率）为3.14；我国杰出数学家刘徽（公元前3世纪）提出震惊中外的“割圆术”求出圆周率的近似值为3.1416；南北朝伟大科学家祖冲之又进一步将圆周率计算在介于3.1415926与3.1615927之间的8位可靠数字。
直至1882年德国数学家林德曼证明了π不仅是一个无理数，而且是一个超越数，给几千年来对π的认识历史划上了一个句号……在一般工程应用中，对π值的精度只要求十几位，但是在某些特殊场合需要高精度的圆周率π值。
在信息技术发展迅速的今天，尤其是电脑的发明以来，人们对π的计算位数大大增加, 如今，借助大型计算机对π有效的计算位数已达小数点后的27000亿位；同时π的计算也已成为验证超大型计算机计算效率和工作可靠性的一种有效手段。
尽管目前数学家已经将π值计算出小数点后27000亿位，但是，人们对π的研究还没有完，始终都在追求计算出更为准确的π值，π值里仍有许多未解的谜团。
现在，圆周率的准确程度在一定程度上反映了一个地区和时代的数学水平，因此，π的值还要继续计算下去。
本文通过利用割圆术、韦达公式、级数加速法、拉马努金公式、迭代法等近似计算方法的介绍和计算实验，来综合表述圆周率π的计算方法。
圆周率和光速
圆周率的计算方法
古希腊时期：阿基米德使用几何方法计算圆周率
中世纪时期：阿拉伯数学家阿尔·花拉子米使用无穷级数计算圆周率
近代时期：牛顿使用无穷级数计算圆周率 现代时期：计算机算法计算圆周率，如蒙特卡洛算法、连分数算法 等
圆周率的应用
数学计算：用于计算圆的面积、周长等 工程设计：用于建筑、机械、电子等领域的设计和计算 物理学：用于计算圆周运动的速度、加速度等 天文学：用于计算天体运动、宇宙膨胀等
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圆周率和光速
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目录
01 02 03 04
圆周率的历史 光速的物理意义 圆周率和光速的关系 圆周率和光速的未来探索
01
圆周率的历史
圆周率的起源
古埃及：最早使用圆周率，用于计算金字塔的体积 古希腊：阿基米德提出圆周率计算方法，并给出近似值 古印度：婆罗摩笈多提出圆周率计算方法，并给出精确值 古中国：刘徽提出圆周率计算方法，并给出近似值 现代：计算机技术的发展使得圆周率的计算更加精确
光速在物理学中的地位
光速是物理学中 最重要的常数之 一，是自然界中 最快的速度。
光速在相对论中 具有重要意义， 是相对论的基础 之一。
光速在量子力学 中也有重要应用， 如量子纠缠和量 子通信等。
光速在宇宙学中 也有重要地位， 如宇宙膨胀和黑 洞等。
光速的应用
光通信：利用光速进行信息传 输，如光纤通信
04
中世纪时期：阿拉伯数学家阿尔·花拉子米提出圆周率约为3.14159
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近代时期：法国数学家皮埃尔·德·费马提出圆周率约为3.*** *. 现代时期：计算机技术的发展
05
圆周率读后感
圆周率读后感摘要：一、引言二、圆周率的简介1.圆周率的定义2.圆周率的历史三、圆周率的应用1.数学领域的应用2.工程领域的应用3.科学研究中的应用四、圆周率的启示1.人类对自然规律的探索2.数学思维的重要性3.持之以恒的精神五、结尾正文：【引言】圆周率，这个自古以来就困扰着无数数学家的神秘数字，引发了无数人的探索与研究。
近日，我阅读了一本书籍《我知道的圆周率》，这本书让我对圆周率有了更深入的了解，也让我对数学产生了浓厚的兴趣。
在这篇读后感中，我将分享我对圆周率的认识，以及从中学到的知识和启示。
【圆周率的简介】圆周率，简称π，是一个无理数，表示圆的周长与直径的比值。
圆周率的历史可以追溯到古希腊时代，当时的数学家们已经开始研究圆周率的精确值。
在我国，祖冲之是一位著名的数学家，他在公元5世纪的时候就计算出了圆周率的七位小数。
【圆周率的应用】圆周率在数学、工程和科学研究等领域有着广泛的应用。
在数学领域，圆周率是计算圆形、球形等几何体面积和体积的重要参数。
在工程领域，圆周率用于计算建筑物的直径、周长等参数，以确保建筑物的稳定性。
在科学研究中，圆周率在研究天体运动、地球物理等方面发挥着重要作用。
【圆周率的启示】阅读《我知道的圆周率》一书，让我深感人类在探索自然规律方面的智慧与勇气。
圆周率的研究历程反映了数学思维的重要性，以及持之以恒的精神。
从古至今，无数数学家为追求圆周率的精确值而努力拼搏，这种精神值得我们学习。
【结尾】总的来说，阅读《我知道的圆周率》一书，让我对圆周率有了更加全面的认识。
圆周率不仅仅是一个神秘的无理数，更是一部人类探索自然规律的历史。
通过学习圆周率，我们可以锻炼自己的数学思维能力，培养持之以恒的精神。
圆周率的历史与进展
圆周率的历史与进展1. 引言圆周率，简称π，是数学中一个非常重要的常数，它描述了圆的周长与直径的比值。
这个神秘而有趣的数学常数在人类历史上扮演了重要的角色，引发了无数数学家和科学家的研究和探索。
本文将带您回顾圆周率的历史，并介绍一些关于圆周率的最新进展和挑战。
2. 古代的圆周率探索早在古代，人们就开始探索圆周率的值。
在约公元前2000年的古埃及，人们已经知道了一个近似值3.16，可以用来计算圆的周长。
在古代希腊，著名的数学家阿基米德使用了更为精确的近似值3.1416，并且提出了一种计算圆周率的方法，即利用多边形逼近圆的面积，然后不断增加多边形的边数以获得更加精确的近似值。
然而，古代数学家们并没有发现圆周率的无理性。
这一发现要等到公元5世纪的古希腊数学家兹诺的贡献，他证明了圆周率是一个无理数，即不能表示为两个整数的比值。
这个发现开启了圆周率研究的新篇章。
3. 近代的圆周率计算进入近代，数学家们开始探索更精确的圆周率值。
在17世纪，数学家约翰·沃利斯和詹姆斯·格雷戈利等人分别提出了一些无穷级数，用于计算π的近似值。
他们的工作为后来的数学家们提供了宝贵的思路和方法。
18世纪，瑞士数学家莱布尼茨和德国数学家欧拉在圆周率的计算上取得了重要突破。
莱布尼茨利用反正切函数的级数展开，推导出了一个无穷级数，可以用来计算π的近似值。
欧拉则通过一系列复杂的数学变换，证明了π是一个无理数，并且推出了一些关于π的重要公式，如欧拉公式。
4. 计算机和圆周率随着计算机技术的发展，人们在圆周率的计算上取得了巨大的进展。
20世纪，英国数学家弗朗西斯·贝利和美国数学家约翰·马查给出了一种新的算法，可以计算到π的任意位数。
这个算法被称为贝利-马查算法，它将圆周率的计算与复杂的数学变换和数值逼近结合起来，使得圆周率的计算变得更加高效和准确。
随后，人们利用计算机不断刷新着π的计算记录。
1961年，美国数学家丹尼斯·珀克斯使用计算机计算出π的1000位小数。
圆周率π的计算与简单应用
圆周率π的计算及简单应用一、π的来历π即圆周率，定义为：圆的周长与直径之比，是一个常数。
通常用希腊字母π来表示。
英国人琼斯在1706年首次创用π代表圆周率。
但是，他的符号并未立刻被采用，后来，欧拉予以提倡，才渐渐被推广开来。
此后π才成为圆周率的专用符号。
π的历史是饶有趣味的。
对π的研究程度，在一定程度上反映一个地区和时代的数学水平，。
实际上，在古代长期使用π＝３这个数值，古巴比伦、古印度、古中国都是如此。
直到公元前２世纪，中国的《周髀算经》里已有周三径一的记载。
后来东汉的数学家又将π值改为约为3.16。
然而直正使圆周率的计算建立在科学的基础上，应归功于阿基米德。
他用几何方法证明了圆周率与圆直径之比小于22/7而大于223/71，为此专门写了一篇论文《圆的度量》，同时这也是第一次在科学中创用上、下界来确定近似值。
但是第一次用正确方法计算π值的，是中国魏晋时期的刘徽，在公元263年，他首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法即穷竭法，算得π值约为 3.14。
在我国称这种方法为割圆术。
直到1200年后，西方人才找到了类似的方法。
后人为纪念刘徽的贡献，也将圆周率称为徽率。
公元460年，南朝的祖冲之利用刘徽的割圆术，把π值算到小点后第七位即3.1415926，这个具有七位小数的圆周率在当时是世界首次。
同时，祖冲之还找到了两个分数，分别是22/7和355/113。
用分数来代替π，极大地简化了计算，这种思想比西方也早一千多年。
由中国南朝数学家祖冲之计算出的圆周率，保持了一千多年的世界记录。
直到在1596年，才由荷兰数学家卢道夫打破了。
他把π值推到小数点后第15位小数，后来又推到了第35位。
人们在他1610年去世后，为了纪念他的这项成就，为此在他的墓碑上刻上：3.14159265358979323846264338327950288这个数，从此也把它称为"卢道夫数"。
之后，随着数学的发展，尤其是微积分的发现，西方数学家计算π的工作，有了飞速的进展。
圆周率π的计算历程
圓周率π的計算歷程圓周率是一個極其馳名的數。
從有文字記載的歷史開始，這個數就引進了外行人和學者們的興趣。
作?一個非常重要的常數，圓周率最早是出於解決有關圓的計算問題。
僅憑這一點，求出它的儘量準確的近似值，就是一個極其迫切的問題了。
事實也是如此，幾千年來作?數學家們的奮鬥目標，古今中外一代一代的數學家?此獻出了自己的智慧和勞動。
回顧歷史，人類對π的認識過程，反映了數學和計算技術發展情形的一個側面。
π的研究，在一定程度上反映這個地區或時代的數學水平。
德國數學史家康托說：“歷史上一個國家所算得的圓周率的準確程度，可以作?衡量這個國家當時數學發展水平的指標。
”直到19世紀初，求圓周率的值應該說是數學中的頭號難題。
?求得圓周率的值，人類走過了漫長而曲折的道路，它的歷史是饒有趣味的。
我們可以將這一計算歷程分?幾個階段。
實驗時期通過實驗對π值進行估算，這是計算π的第一階段。
這種對π值的估算基本上都是以觀察或實驗?根據，是基於對一個圓的周長和直徑的實際測量而得出的。
在古代世界，實際上長期使用π＝3這個數值。
最早見於文字記載的有基督教《聖經》中的章節，其上取圓周率?3。
這一段描述的事大約發生在西元前950年前後。
其他如巴比倫、印度、中國等也長期使用3這個粗略而簡單實用的數值。
在我國劉徽之前“圓徑一而周三”曾廣泛流傳。
我國第一部《周髀算經》中，就記載有圓“周三徑一”這一結論。
在我國，木工師傅有兩句從古流傳下來的口訣：叫做：“周三徑一，方五斜七”，意思是說，直徑?1的圓，周長大約是3，邊長?5的正方形，對角線之長約?7。
這正反映了早期人們對圓周率π和√2 這兩個無理數的粗略估計。
東漢時期官方還明文規定圓周率取3?計算面積的標準。
後人稱之?“古率”。
早期的人們還使用了其他的粗糙方法。
如古埃及、古希臘人曾用穀粒擺在圓形上，以數粒數與方形對比的方法取得數值。
或用勻重木板鋸成圓形和方形以秤量對比取值……由此，得到圓周率的稍好些的值。
圆周率的计算历程及意义
圆周率的计算历程及意义1.古代计算方法：在古代，人们并不了解很多具体的数学知识，但他们已经观察到了一些有关圆和圆周的规律。
古代埃及人、巴比伦人、希腊人、印度人等都使用了不同的方法来计算圆周率。
1.1古代埃及人：埃及人约公元前2000年，用近似于3.16的数值来表示圆周率。
这是通过将一个正方形的周长除以其直径得到的。
1.2古代巴比伦人：巴比伦人约公元前2000年也发展出计算圆周和圆面积的方法。
他们知道了一个圆的直径和周长的关系，通过直径和周长乘积的四倍，得到了近似于3.125的圆周率数值。
1.3古希腊人：古希腊的哲学家和数学家阿基米德是最早将圆周率计算到小数位数的人之一、他使用了一个著名的方法，利用多边形逼近圆。
通过不断增加多边形的边数，他计算得到了3.1416这一较为精确的数值。
1.4古印度人：古印度的数学家们也研究了圆周率，著名的数学著作《数学经典》提出了计算圆周率的方法。
他们使用了连分数展开的方法，得到了近似于3.1416的数值。
2.近代计算方法：随着数学的发展，人们提出了一系列新的方法来计算更精确的圆周率。
2.1 布尔乌亚（Brouncker）公式：布尔乌亚公式是英国数学家布尔乌亚于1654年提出的一种计算无穷级数的方法。
这个公式用连分数的形式展开圆周率，并且每一项都趋近于无穷。
布尔乌亚公式可以计算出数学家约翰·沃勒斯（John Wallis）于1655年获得的关于圆周率的一个重要结果，即π/2=2/1*2/3*4/3*4/5*6/5...2.2随机法：随机法是基于蒙特卡罗方法的一种计算圆周率的方法。
这种方法的基本思想是在一个正方形内随机产生一大量的点，然后计算这些点与正方形内切的圆的比例。
当点数足够大时，这个比例就会趋近于圆周率的近似值。
这种方法可以通过计算机模拟来实现，精度和效率较高。
3.圆周率的意义：圆周率在数学和工程领域具有重要的应用意义。
3.1几何学：圆周率是计算圆的周长和面积的重要常数。
圆周率兀的研究历程
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圆周率 计算 现代
圆周率计算现代摘要：1.圆周率的定义与历史2.现代计算圆周率的方法3.我国在计算圆周率方面的贡献4.圆周率在日常生活中的应用5.圆周率与数学其他领域的联系正文：圆周率，一个困扰数学家数千年的无理数，它神秘而优美，成为数学领域中的一道难题。
圆周率定义为一个圆的周长与直径之比，通常用希腊字母π表示。
本文将介绍圆周率的定义与历史、现代计算圆周率的方法、我国在计算圆周率方面的贡献以及圆周率在日常生活中的应用。
自古以来，数学家们就致力于计算圆周率的近似值。
早期的人们通过观察圆的周长与直径之比，逐渐意识到这是一个无限不循环的小数。
随着数学的发展，计算圆周率的方法也不断更新。
现代计算圆周率的主要方法有：无穷级数、连分数、概率论、数值分析等。
在我国，计算圆周率的历史悠久。
古希腊数学家阿基米德最早采用了割圆术来计算圆周率。
而我国古代数学家刘徽则对割圆术进行了改进，得到了更为精确的圆周率近似值。
到了现代，我国数学家们在计算圆周率方面也取得了举世瞩目的成果。
例如，陈景润在1941年证明了圆周率的小数部分有一个无穷序列是等差数列，为计算圆周率提供了新的思路。
圆周率不仅仅是一个数学概念，它在日常生活中也有着广泛的应用。
例如，在建筑、工程、制图等领域，圆周率的重要性不言而喻。
此外，圆周率还与其他数学领域密切相关，如三角学、微积分等。
通过对圆周率的研究，我们可以更深入地理解这些数学领域的基本概念。
总之，圆周率作为一个重要的数学概念，既具有神秘性又具有实用性。
它的发展历程见证了数学文明的进步，现代计算方法为我们提供了更加精确的圆周率值。
我国在计算圆周率方面的贡献也让我们为之自豪。
圆周率是谁发明的叫什么名字
圆周率是谁发明的叫什么名字圆周率（π）是一个数学常数，它代表了一个圆的周长与直径之间的比值。
在数学领域，圆周率被广泛应用于各种几何、物理和工程问题的计算中。
那么，圆周率是谁发明的？有关圆周率的历史和起源有许多有趣的故事。
在古代，人们对圆周率的概念已经有了一定的认识。
早在公元前2000年左右，古巴比伦人就已经开始研究圆周率的近似值。
他们使用的是一个近似值3作为圆周率的估算，这表明他们已经掌握了圆和周长的关系。
然而，最早精确计算圆周率的人是古希腊的数学家阿基米德（Archimedes）。
阿基米德在公元前3世纪的时候，使用了一种称为“阿基米德螺旋”的方法来逼近圆周率。
他以正多边形的内接和外接作为逼近圆的方法，通过增加多边形的边数，逐渐接近圆形的形状，并计算出更为精确的圆周率近似值。
他使用的方法被后来的数学家广泛采用，成为了计算圆周率的基础。
在中国，唐代数学家祖冲之也在历史上做出了杰出的贡献。
他在公元5世纪左右利用多边形逼近圆的方法，计算出了精确的圆周率值。
祖冲之所得到的近似值为3.1415927，这个值在当时是非常精确的。
另外一个重要的数学家是印度的拉马努金（Srinivasa Ramanujan）。
他在20世纪初提出了许多关于圆周率的独特公式和逼近方法。
拉马努金的工作对圆周率的研究有着重要的影响，他的发现为圆周率的计算和应用打下了基础。
总结一下，圆周率是由众多数学家经过长时间的研究和探索逐渐确定的。
从古代的古巴比伦人到阿基米德、祖冲之再到拉马努金，这些数学家都为圆周率的研究做出了巨大贡献。
虽然圆周率是一个无理数，无法被准确表示，但通过不断探索和计算，我们得以逐渐接近圆周率的真实值。
无论是古代还是现代，圆周率在数学和科学领域都扮演着重要的角色。
它不仅仅与圆的性质相关，而且在统计学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
因此，理解圆周率的历史和发展对我们深入了解数学的发展过程和应用的意义具有重要价值。
在数学研究的旅程中，圆周率这个概念经历了漫长的发展和追寻。
关于圆周率的故事
关于圆周率的故事圆周率，是一个神秘而又神奇的数字。
它是数学中的一个重要常数，通常用希腊字母π表示。
圆周率是一个无限不循环小数，其小数点后的数字永远不会重复。
它的数值约为 3.14159，但实际上，圆周率的小数部分是无限多的，无法被精确地表示出来。
关于圆周率的起源，有着许多传说和故事。
其中一个最为著名的故事是关于古希腊数学家阿基米德的。
据说，阿基米德在公元前250年左右，就已经开始研究圆周率的性质。
他发现了圆周率的一个重要性质，它可以用一个无限不循环小数来表示。
阿基米德利用多边形的内接和外接来逼近圆的面积，从而得到了圆周率的近似值。
这个方法被后人称为“阿基米德方法”，成为了计算圆周率的经典算法之一。
除了阿基米德，古代印度的数学家也对圆周率进行了深入的研究。
在《数学经典》一书中，印度数学家约旦·阿利亚·布哈斯卡（约公元前476年至约公元前550年）提出了圆周率的近似值为3.1416，并给出了近似值的计算方法。
这一发现在当时引起了轰动，成为了古代数学史上的一大成就。
随着数学的发展，人们对圆周率的研究也越来越深入。
在17世纪，莱布尼兹和牛顿发明了微积分，为圆周率的计算提供了新的方法。
在18世纪，欧拉提出了著名的欧拉公式，将圆周率与自然对数e和虚数单位i联系在一起，成为了数学中的经典公式之一。
在现代，圆周率不仅仅是数学中的一个常数，它还在物理学、工程学、计算机科学等领域中发挥着重要作用。
在相对论和量子力学中，圆周率常常出现在各种物理公式中。
在工程学中，圆周率则是计算圆的周长和面积的重要参数。
在计算机科学中，圆周率也被广泛应用于算法设计和数据压缩等领域。
总的来说，圆周率是一个神秘而又神奇的数字，它承载着古代数学家的智慧和现代科学的成就。
它的故事不仅仅是一段数学史，更是人类思想探索的历程。
圆周率的发现和研究，不仅丰富了数学知识，也推动了科学技术的发展。
它的价值和意义，远远超出了我们的想象。
祖冲之圆周率方法
祖冲之圆周率方法
1背景介绍
祖冲之是中国古代伟大的数学家，他曾取得多项重大成就。
其中最著名的成就就是发现圆周率这一重要概念，这是一个历史悠久的课题。
他的发现可以被称为数学的伟大发明，它为中国的科学界开拓了前景，也给后人留下了宝贵的精神财富。
2祖冲之圆周率方法
祖冲之用一种简单而有效的方法来确定圆周率的值。
他的方法是基于圆的周长和直径的关系，通过测量圆的直径和周长而推算出圆周率的值。
他首先采用这种方法测量了一个大正方形内放置三个正方形，于是，可以将直径为1的圆直接画在三角形外，此圆形的周长就可以得到。
他还测量了一系列不同形状的正多边形，用它们内放置集合，来获得相应复杂形状的圆，从而演算出圆周率的值。
3其影响
祖冲之发现了圆周率，这对于中国数学的发展具有重要的意义。
他的发现的影响是巨大的，重新定义了人们对“理论”的理解，奠定了数学家和多学科研究者探索现象真实原理之路的奠基石。
祖冲之还改善了江淮型计算机，以及研究估算、装置引用和其他精确度广泛使用的圆周率，加强了中国古代数学发现的地位，更是让国际学术界眼前一亮。
4历史价值
祖冲之的发现对于中国古代数学的发展具有重要的意义，同时也是现在科学研究的重要基础，为后代新的发现奠定了宝贵的基础，记载了中国古代科学走向世界的历程，受到了后人对其研究及发展的尊敬与重视。
5认知价值
祖冲之的发现不仅具有科学研究价值，还具有很强的认知价值。
祖冲之通过实验测定圆周率的值，使人们意识到了圆的特性，从而改变了人们对数学的理解，增强了实际应用的能力，是中国古代科学最伟大的成就之一，改变了中国古代数学在世界上的地位，启发人们对一致性原则的认知。
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圆周率π的计算历程及意义李毫伟数学科学学院数学与应用数学学号:080412047指导老师:王众杰摘要: 圆周率π这个数,从有文字记载的历史开始,就引起了人们的兴趣.作为一个非常重要的常数,圆周率π最早是出于解决有关圆的计算问题.仅凭这一点,求出它的尽量准确的近似值,就是一个极其迫切的问题了.几千年来作为数学家们的奋斗目标,古今中外的数学家为此献出了自己的智慧和劳动.回顾历史,人类对π的认识过程,反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面.π的研究在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平.关键词: 圆周率; 几何法; 分析法; 程序1、实验时期通过实验对π值进行估算,这是计算π的第一个阶段.这种对π值的估算基本上都是以观察或实验为根据,是基于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出来π=这个数据,最早见于有文字记载的基督教《圣经》的.在古代,实际上长期使用3中的章节,其上取圆周率π为3.这一段描述的事大约发生在公元前950年前后.其他如巴比伦、印度、中国等也长期使用3这个粗略而简单实用的数值.在我国刘徽之前“圆径一而周三”曾广泛流传.我国第一部《周髀算经》中,就记载有“圆周三径一”这一结论.在我国,木工师傅有两句从古流传下来的口诀:叫做:“周三径一,方五斜七,”意思是说,直径为1的圆,周长大约是3,边长为5的正方形,对角线之长约为7,这正反应了人们早期对π这两个无理数的粗略估计.东汉时期,官方还明文规定圆周率取3为计算圆的面积的标准,后人称之为古率.早期的人们还使用了其它的粗糙方法.如古埃及、古希腊人曾用谷粒摆在圆形上,以数粒数与方形对比的方法取得数值.或用匀重木板锯成圆形和方形以秤量对比取值……由此,得到圆周率π的稍好些的值.如古埃及人应用了约四千年的()≈2984 3.1605.在印度,公元前六世纪,曾取π≈10≈3.162.在我国东、西汉之交,新朝王莽令刘歆制造量的容器――律嘉量斛.刘歆在制造标准容器的过程中就需要用到圆周率π的值.为此,他大约也是通过做实验,得到一些关于圆周率π的并不划一的近似值.现在根据铭文推算,其计算值分别取为3.1547、3.1992、3.1498、3.2031比径一周三的古率已有所进步.人类的这种探索的结果,当主要估计圆田面积时,对当时没有太大影响,但以此来制造器皿或其他计算就不太合适了.2、几何法时期凭直观推测或实物度量,来计算π值的实验方法所得到的结果是相当粗略的.真正使圆周率π计算建立在科学的基础上,首先应归功于阿基米德.他是科学地研究这一常数的第一个人,是他首先提出了一种能够借助数学过程而不是通过测量的,能够把π精确到任意精度的方法.由此,开始了π计算的第二个计算阶段.图 1圆周长大于内接正四边形而小于外切正四边形,因此22＜π＜4.当然,这是一个差劲透顶的例子.据说阿基米德用到了正96边形才算出他的值域.阿基米德求圆周率π的更精确近似值的方法,体现在他的一篇论文《圆的测定》之中.在这一书中阿基米德第一次创造性地用上、下界来确定π的近似值,他用几何方法证明了“圆周长与圆直径之比小于()317+而大于()31071+”,他还提供了误差的估计.重要的是这种方法从理论上而言,能够求得圆周率π的更准确的值.阿波罗尼奥斯得到了3.1416π≈.到公元前150年左右,希腊天文学家托勒密得出301417π≈,377120π≈取得了自阿基米德以来的巨大进步.图 2割圆术,不断地利用勾股定理,来计算正n 边形的边长.在我国,首先是由数学家刘徽得出较精确的圆周率π.公元263年前后,刘徽提出著名的割圆术,得出 3.14π≈,通常称为“徽率”,他指出这是不足近似值.虽然他提出割圆术的时间比阿基米德晚一些,但其方法确有着较阿基米德方法更美妙之处.割圆术仅用内接正多边形就确定出了π的上、下界,比阿基米德用内接同时又用外切正多边形简捷得多.另外,有人认为在割圆术中刘徽提供了一种绝妙的精加工办法,以致于他将割到192边形的几个粗糙的近似值通过简单的加权平均,竟然获得具有4位有效数字的圆周率39271250 3.1416π≈≈.而这一结果,正如刘徽本人指出的,如果通过割圆计算得出这个结果,需要割到3072边形.这种精加工方法的效果是奇妙的.这一神奇的精加工技术是割圆术中最为精彩的部分,令人遗憾的是,由于人们缺乏对它的理解而被长期埋没了.大家熟悉的是祖冲之对π所做出的贡献.对此,《隋书·律历志》有如下记载:"宋末,南徐州从事祖冲之更开密法.以圆径一亿为丈,圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽,朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽,正数在盈朒二限之间.密率:圆径一百一十三,圆周三百五十五.约率,圆径七,周二十二."这一纪录指出,祖冲之关于圆周率的两大贡献.一是求得圆周率()3.1415926,3.1415927π∈,二是,得到π的两个近似分数即:约率为22;密率为355113.他算出的8位可靠数字,不但在当时是最精密的圆周率,而且从480年到1429年,祖率在世界数学史上领先了900多年.1912年,日本数学家三上义夫提议把355113π≈称为祖率.这一结果是如何获得的呢?追根溯源,正是基于对刘徽割圆术的继承和发展,祖冲之才能得到这一非凡的成果.因而当我们称颂祖冲之的功绩时,不要忘记他的成就的取得是因为他站在数学伟人刘徽的肩膀上的缘故.后人曾推算若要单纯地通过计算圆内接多边形边长的话,得到这一结果,需要算到圆内接正12288边形,才能得到这样精确度的值.祖冲之是否还使用了其它的巧妙办法来简化计算呢?这已经不得而知,因为记载其研究成果的著作《缀术》早已失传了.这在中国数学发展史上是一件令人痛惜的事.祖冲之的这一研究成果在国内外享有声誉:我国邮电部发行了祖冲之纪念邮票,且把紫金山天文台1964年11月9日发现的小行星命名为"祖冲之星".1959年,苏联宇宙火箭发现的月球环形山命名为"祖冲之山".巴黎“发现宫”科学博物馆的墙壁上著文介绍了祖冲之求得的圆周率π,莫斯科大学礼堂的走廊上镶嵌有祖冲之的大理石塑像.对于祖冲之的关于圆周率π的第二点贡献,即他选用两个简单的分数尤其是用密率来近似地表示π这一点,通常人们不会太注意.然而,实际上,后者在数学上有重要的意义.密率与π的近似程度很好,但形式上却很简单,并且很优美,只用到了1、3、5、.数学史家梁宗巨教授验证出:分母小于16604的一切分数中,没有比密率更接近π的分数.在国外,祖冲之死后一千多年,西方人才获得这一结果.可见,密率的提出是一件很不简单的事情.人们自然要追究他是采用什么办法得到这一结果的呢?他是用什么办法把圆周率π从小数表示的近似值化为近似分数的呢?这一问题历来为数学史家所关注.由于文献的失传,祖冲之的求法已不为人知.后人对此进行了各种猜测.让我们先看看国外历史上的工作,希望能够提供出一些信息.1573年,德国人奥托得出这一结果.他是用阿基米德成果722与托勒密的结果120377用类似于加成法“合成”的:()()113355712022377=--.1858年,荷兰人安托尼兹用阿基米德的方法先求得:333106377120π<<,用两者作为π的母近似值,分子、分母各取平均,通过加成法获得结果:()()()31517106120355113++=两个虽都得出了祖冲之密率,但使用方法都为偶合,无理由可言.在日本,十七世纪关孝和重要著作《括要算法》卷四中求圆周率π时创立零约术,其实质就是用加成法来求近似分数的方法.他以3、4作为母近似值,连续加成六次得到祖冲之约率,加成一百十二次得到密率.其学生对这种按部就班的笨办法作了改进,提出从相邻的不足、过剩近似值就近加成的办法,（实际上就是我们前面已经提到的加成法）这样从3、4出发,六次加成到约率,第七次出现825,就近与其紧邻的722加成,得1547,依次类推,只要加成23次就得到密率.钱宗琮在《中国算学史》中提出祖冲之采用了前面提到的由何承天首创的“调日法”或称加权加成法.他设想了祖冲之求密率的过程:以徽率15750,约率22为母近似值,并计算加成权数9x =,于是()()1572295079355113+⨯+⨯=,一举得到密率.钱先生说:“冲之在承天后,用其术以造密率,亦意中事耳.”另一种推测是:使用连分数法.由于求两个自然数的最大公约数的更相减损术远在《九章算术》成书时代已流行,所以借助这一工具求近似分数应该是比较自然的.于是有人提出祖冲之可能是在求得盈二数之后,再使用这个工具,将3.14159265表示成连分数,得到其渐近分数:3,722,106336,113355,32650102573… 最后,取精度很高但分子分母都较小的355113作为圆周率的近似值.英国李约瑟博士持这一观点.他在《中国科学技术史》卷三第19章几何编中论祖冲之的密率说:"密率的分数是一个连分数渐分数,因此是一个非凡的成就."我们再回过头来看一下国外所取得的成果:印度的阿耶哈达于450年得到 3.1416π≈.1424年,中亚西亚地区的天文学家、数学家卡西著圆周论,计算了805306368内接与外切正多边形的周长,求出 3.14159265358979325π≈.有十位有效数字,这是国外第一次打破祖冲之的记录.16世纪的法国数学家韦达利用阿基米德的方法计算π近似值,用 6×216正边形,推算出精确到9位小数的π值.他所采用的仍然是阿基米德的方法,但韦达却拥有比阿基米德更先进的工具:十进位制.17世纪初,鲁道夫用了几乎一生的时间钻研这个问题.他也将新的十进制与早期的阿基米德方法结合起来,但他不是从正六边形开始并将其边数翻番的,他是从正方形开始的,一直推导出了有262条边的正多边形,约4610000000000000000边形！这样,算出小数35位.为了记念他的这一非凡成果,在德国圆周率π被称为“鲁道夫数”.但是,用几何方法求其值,计算量很大,这样算下去,穷数学家一生也改进不了多少.到鲁道夫可以说已经登峰造极了,古典方法已引导数学家们走得很远,再向前推进,必须在方法上有所突破.17世纪出现了数学分析,这锐利的工具使得许多初等数学束手无策的问题迎刃而解.π的计算历史也随之进入了一个新的阶段.3、分析法时期这一时期人们开始摆脱求多边形周长的繁难计算,利用无穷级数或无穷连乘积来算π.这时期是对π的理性认识和精确表示.1579年,韦达给出:22π=这一不寻常的公式是π的最早分析表达式.甚至在今天,这个公式的优美也会令我们赞叹不已.它表明仅仅借助数字2,通过一系列的加、乘、除和开平方就可算出π的值.接着有多种表达式出现.如英国的约翰·沃利斯1650年给出:2244668821334577π⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 英国的罗尔德·布隆克尔1650年给出: ++++=25232114222π苏格兰的詹姆斯·格雷里奇于1671年给出: +-+-+-=1119171513114π 这是π的第一个精确表达式.可是,用它来计算π费时费力,要将π精确到两位数就要计算几百项.微积分的另一创始人牛顿,找到公式:3579111124432527292π⎛⎫=+---- ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭利用这个公式,牛顿仅发表了15位数字,实在不好意思.后来,他对友人说:我不好意思告诉你,由于那时无事可干.18世纪,数学家欧拉,发现了π的新的表达式:， ++++=222241312116π.4131******** ++++=π 这两个公式看上去非常简洁而完美,但是利用它们计算π并不十分有效. 1699年,亚伯拉罕·夏普利用詹姆斯公式求得π的71位小数.1706年,梅钦建立了一个重要的公式,现以他的名字命名:114arctan arctan 45239π=- 利用分析中的级数展开,他算到了小数后100位.1719年,法国的代·拉尼将π准确到112位.1767年,德国的兰伯特证明了π是无理数,1794年,法国的勒让德证明了2π是无理数.1844年,达塞利用公式:111arctan arctan arctan 4258π=++得到了π的200位小数.德国的卢瑟福于1853年将π准确到了400位小数.德国的林德曼于1882年证明了π绝不是任何整数系代数方程的根,即π是超越数,从而得证了不可化圆为方,解决了这个2000多年的难题.这是人类对π的认识的重大突破.美国的菲格森于1873年将π准确到了710位小数.1947年,佛格森和小伦奇两人共同发表了808位小数的π.这是人工计算π的最记录.19世纪以后,类似的公式不断涌现,π的位数也迅速增长.1873年,谢克斯利用梅钦的一系列方法,级数公式将π算到小数后707位.为了得到这项空前的纪录,他花费了二十年的时间.他死后,人们将这凝聚着他毕生心血的数值,铭刻在他的墓碑上,以颂扬他顽强的意志和坚韧不拔的毅力.于是在他的墓碑上留下了他一生心血的结晶:π的小数点后707位数值.这一惊人的结果成为此后74年的标准.此后半个世纪,人们对他的计算结果深信不疑,或者说即便怀疑也没有办法来检查它是否正确.以致于在1937年巴黎博览会发现馆的天井里,依然显赫地刻着他求出的π值.又过了若干年,数学家弗格森对他的计算结果产生了怀疑,其疑问的著基于如下猜想:在π的数值中,尽管各数字排列没有规律可循,但是各数码出现的机会应该相同.当他对谢克斯的结果进行统计时,发现各数字出现次数过于参差不齐.于是怀疑有误.他使用了当时所能找到的最先进的计算工具,从1944年5月到1945年5月,算了整整一年.1946年,弗格森发现第528位是错的（应为4,误为5）.谢克斯的值中足足有一百多位全都报了销,这把可怜的谢克斯和他的十五年浪费了的光阴全部一笔勾销了对此,有人曾嘲笑他说:数学史在记录了诸如阿基米德、费马等人作之余,也将会挤出那么一、二行的篇幅来记述1873年前谢克斯曾把π计算到小数707位这件事.这样,他也许会觉得自己的生命没有虚度.如果确实是这样的话,他的目的达到了.人们对这些在地球的各个角落里作出不懈努力的人感到不可理解,这可能是正常的.但是,对此做出的嘲笑却是过于残忍了.人的能力是不同的,我们无法要求每个人都成为费马、高斯那样的人物.但成为不了伟大的数学家,并不意味着我们就不能为这个社会做出自己有限的贡献.人各有其长,作为一个精力充沛的计算者,谢克斯愿意献出一生的大部分时光从事这项工作而无报酬,并最终为世上的知识宝库添了一小块砖加了一个块瓦.对此我们不应为他的不懈努力而感染并从中得到一些启发与教育吗?4、计算机时期1946年世界第一台计算机ENIAC制造成功,标志着人类历史入了电脑时代.电脑的出现导致了计算方面的根本革命.1949年,ENIAC根据梅钦公式计算到2035（一说是2037）位小数,包括准备和整理时间在内仅用了70小时.计算机的发展一日千里,其记录也就被频频打破.19世纪初,印度数学家拉马努金发现了更有效的计算π的公式:()()().396!263901103!49801221044∑∞=+=k k k k k π 这个公式以四次方高速度逼近π的真值.每计算一项可增加8位准确数字.1985年1985年有人利用该公式获得了π的一千七百万位有效数字.1959年,法国的裘努埃利用IBM704算π,准确到16167位小数.1961年,美国的伦奇和香克斯于1961年利用IBM7097算π,准确到100265位小数.法国的吉劳于1966年利用STRETCH 计算机计算π,准确到250000位小数. 法国的吉劳于1967年利用CDC6600计算机计算π,准确到500000位小数. 1973年,法国的吉劳就把圆周率π算到了小数点后100万位,并将结果印成一本二百页厚的书,可谓世界上最枯燥无味的书了.1981年,日本的鹿角理三吉和久仲山利用FACOMM-200计算机,使用公式:11132arctan4arctan 16arctan 10239515π=-- 算得π的2000038位小数. 1986年,美国的贝利在Cray-2巨型计算机上用28小时算出π,准确到29360000位小数.1986年,日本的廉正蒲田利用NECSX-2巨型计算机计算π,准确到134217700位小数.1989年突破10亿位大关,人们并不以此为满足.1994年,日本人利用类似的公()()()()()∑∞=++-=023********!!354514013433591409!61121k k k k k k k π生产出π的40亿位数字,每计算一项可以增加14位准确数字.1995年超过64亿位.20世纪九十年代,数学家还发明了关于π的"水龙头"算法.在原先计算出数字的基础上,利用递推方法算出相继的数字,可以在已有基础上接着往下算,不必从头开始.更有意义的是,计算机专家们利用计算机发现了非常漂亮非常有效的公式:⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-+=∑∞=6815814821841610k k k k k k π 他们利用这个公式获得了出人意外的结果:在十六进制中,π的第n 位数字可以单独算出,而不必先求得n 位之前的数字.例如,他无需计算100亿位以前的数字,便可告诉你第100亿位的数字是什么.奇妙之极.1999年《文摘报》报道,日本东京大学教授金田康正已求到2061.5843亿位的小数值.如果将这些数字打印在A4大小的复印纸上,令每页印2万位数字,那么,这些纸摞起来将高达五六百米.来自最新的报道:金田康正利用一台超级计算机,计算出圆周率π小数点后一兆二千四百一十一亿位数,改写了他本人两年前创造的纪录.据悉,金田教授与日立制作所的员工合作,利用目前计算能力居世界第二十六位的超级计算机,使用新的计算方法,耗时四百多个小时,才计算出新的数位,比他一九九九年九月计算出的小数点后二千六百一十一位提高了六倍.圆周率π小数点后第一兆位数是二,第一兆二千四百一十一亿位数为五.如果一秒钟读一位数,大约四万年后才能读完.不过,现在打破记录,不管推进到多少位,也不会令人感到特别的惊奇了.实际上,把π的数值算得过分精确,应用意义并不大.现代科技领域使用π的值,有十几位已经足够.如果用鲁道夫的35位小数的π值计算一个能把太阳系包围起来的圆的周长,误差还不到质子直径的百万分之一.我们还可以引美国天文学家西蒙·纽克姆的话来说明这种计算的实用价值:“十位小数就足以使地球周界准确到一英寸以内,三十位小数便能使整个可见宇宙的四周准确到连最强大的显微镜都不能分辨的一个量.”那么为什么数学家们还象登山运动员那样,奋力向上攀登,一直求下去而不是停止对π的探索呢?为什么其小数值有如此的魅力呢?这其中大概免不了有人类的好奇心与领先于人的心态作怪,但除此之外,还有许多其它更重要的原因:1、它现在可以被人们用来测试或检验超级计算机的各项性能,特别是运算速度与计算过程的稳定性.这对计算机本身的改进至关重要.就在几年前,当Intel 公司推出奔腾（Pentium ）时,发现它有一点小问题,这问题正是通过运行π的计算而找到的.这正是超高精度的π计算直到今天仍然有重要意义的原因之一.2、计算的方法和思路可以引发新的概念和思想.虽然计算机的计算速度超出任何人的想象,但毕竟还需要由数学家去编制程序,指导计算机正确运算.实际上,确切地说,当我们把π的计算历史划分出一个电子计算机时期时,这并非意味着计算方法上的改进,而只是计算工具有了一个大飞跃而已.因而如何改进计算技术,研究出更好的计算公式,使公式收敛得更快、能极快地达到较大的精确度仍是数学家们面对的一个重要课题.在这方面,本世纪印度天才数学家拉马努金得出了一些很好的结果.他发现了许多能够迅速而精确地计算π近似值的公式.他的见解开通了更有效地计算π近似值的思路.现在计算机计算π值的公式就是由他得到的.不过,我希望大家能够明白π的故事讲述的是人类的胜利,而不是机器的胜利.3、还有一个关于π的计算的问题是:我们能否无限地继续算下去?答案是:不行！根据朱达偌夫斯基的估计,我们最多算7710位.虽然,现在我们离这一极限还相差很远很远,但这毕竟是一个界限.为了不受这一界限的约束,就需要从计算理论上有新的突破.前面我们所提到的计算,不管用什么公式都必须从头算起,一旦前面的某一位出错,后面的数值完全没有意义.还记得令人遗憾的谢克斯吗?他就是历史上最惨痛的教训.4、于是,有人想能否计算时不从头开始,而是从半截开始呢?这一根本性的想法就是寻找并行算法公式.1996年,圆周率的并行算法公式终于找到,但这是一个16进位的公式,这样很容易得出的1000亿位的数值,只不过是16进位的.是否有10进位的并行计算公式,仍是未来数学的一大难题.5、作为一个无穷数列,数学家感兴趣的把π展开到上亿位,能够提供充足的数据来验证人们所提出的某些理论问题,可以发现许多迷人的性质.如,在π的十进制展开中,10个数字,哪些比较稀,哪些比较密?π的数字展开中某些数字出现的频率会比另一些高吗?或许它们并非完全随意?这样的想法并非是无聊之举.只有那些思想敏锐的人才会问这种貌似简单,许多人司空见惯但却不屑发问的问题.6、数学家弗格森最早有过这种猜想:在π的数值式中各数码出现的概率相同.正是他的这个猜想为发现和纠正向谢克斯计算π值的错误立下了汗马功劳.然而,猜想并不等于现实.弗格森想验证它,却无能为力.后人也想验证它,也是苦于已知的π值的位数太少.甚至当位数太少时,人们有理由对猜想的正确性做出怀疑.如,数字0的出现机会在开始时就非常少.前50位中只有1个0,第一次出现在32位上.可是,这种现象随着数据的增多,很快就改变了:100位以内有8个0;200位以内有19个0;…1000万位以内有999,440个0;……60亿位以内有599,963,005个0,几乎占1／10.其他数字又如何呢?结果显示,每一个都差不多是1／10,有的多一点,有的少一点.虽然有些偏差,但都在1／10000之内.7、人们还想知道:π的数字展开真的没有一定的模式吗?我们希望能够在十进制展开式中通过研究数字的统计分布,寻找任何可能的模型——如果存在这种模型的话,迄今为止尚未发现有这种模型.同时我们还想了解:π的展开式中含有无穷的样式变化吗?或者说,是否任何形式的数字排列都会出现呢?著名数学家希尔伯特在没有发表的笔记本中曾提出下面的问题:π的十进展开中是否有10个9连在一起?以现在算到的60亿位数字来看,已经出现:连续6个9连在一起.希尔伯特的问题答案似乎应该是肯定的,看来任何数字的排列都应该出现,只是什么时候出现而已.但这还需要更多π的数位的计算才能提供切实的证据.8、在这方面,还有如下的统计结果:在60亿数字中已出现连在一起的8个8;9个7;10个6;小数点后第710150位与3204765位开始,均连续出现了7个3;小数点52638位起连续出现了14142135这八个数字,这恰是的前八位;小数点后第2747956位起,出现了有趣的数列876543210,遗憾的是前面缺个9;还有更有趣的数列123456789也出现了.在众多的数学与计算机专家求π的过程中,发现了一些很有启发性的现象,例如314159数字段重复过6次,但从未见到过0123456789数字段的出现.20世纪90年代有报道说,国外有人把圆周率π的值算到了小数点之后十亿多位.但近来,这方面的报道比较沉寂.既然早已证明π是一个超越数了,想在其小数展开中发现什么规律性,必然是要落空的.也有人想在π序列中寻找素数,这件事由来已久,人们一眼就可看出3与31都是素数,但后来有一个很长的时间间隔,这桩工作似乎停滞不前了.后来经过人们的艰苦试除,终于肯定314159这个很不寻常的六位数也是一个素数.然而,几乎到此为止,人们再也不能前进半步了.工作停滞下来,足足有十个世。