高数课件第七章

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大一高数课件第七章 7-3-1

关于向量的投影定理（关于向量的投影定理（1）投影定理
向量 AB 在轴 u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：量的夹角的余弦： Pr ju AB =| AB | cos ϕ
证
Pr ju AB = Pr ju′ AB
=| AB | cos ϕ
A ϕ
A′
B
B′′
B′
u′ u
定理1的说明：定理1的说明： π (1) 0 ≤ ϕ < , 投影为正；投影为正； 2 π ( 2) < ϕ ≤ π, 投影为负；投影为负； 2 π ( 3) ϕ = , 投影为零；投影为零； 2 (4) 相等向量在同一轴上投影相等；相等向量在同一轴上投影相等；
例4
设有向量 P1 P2 ，已知 P1 P2 = 2 ，它与 x 轴和 y 轴
π π 的夹角分别为和，如果 P1 的坐标为(1,0,3)，求 P2 的 3 4
坐标. 坐标. 解设向量 P1 P2 的方向角为 α 、 β 、γ
1 π π α = , cos α = , β = , 3 2 4
2 cos β = , 2
1 Q cos α + cos β + cos γ = 1, ∴ cos γ = ± . 2 2π π . 设 P2 的坐标为( x , y , z ), ⇒γ= , γ= 3 3
2 2 2
x −1 x −1 1 cosα = ⇒ x = 2, ⇒ = P1 P2 2 2
y−0 y−0 2 cos β = ⇒ ⇒ y = 2, = P1 P2 2 2 z−3 z−3 1 ⇒ z = 4, z = 2, ⇒ cos γ = =± 2 P1 P2 2
r 向量的坐标表达式坐标表达式：向量的坐标表达式： a = {a x , a y , a z }

高等数学(工科类)第七章

a1 (a1 d ) (a1 2d ) [a1 (n 1)d ]
称为算术级数．
1
（2）等比数列各项的和
数
a1 a1q a1q2 a1qn1
项
称为等比级数，也称为几何级数．
级数
（3）调和级数为
1 1 1 1 1 ．
1 5

1 6

1 7

1 8
1
1 2

1 4

1 4

1 8

1 8

1 8

1 8
数的基
1 3． 2
本概
念
高等数学
数项级数
数项级数的审敛法
函数项级数与幂级数
函数展开成幂级数
第二章
第一节
第 12 页
一般地，对任意正整数k，有
Sk
1
1 2

1 3

1 4

1 5

1 8

1 9

1 16

1

1 2k 1 1

1 2k 1
2

1 2k

1
1 2

1 2

1 2

1 2

1 1 k．
数项
2
2级
由于k可以任意大，所以数列Sk 无界，从而部分和数列Sn 也无界，
高等数学（工科类）
高等数学第七章
高等数学
数项级数

高等数学基础第七章

研究一个随机试验E ，首先要明确试验所有可能的结果。每一个可能的基本结果(不可分解)称为E 的基本事件，通常用ω 表示。我们把由E 的所有基本事件组成的集合称为E 的基本事件空间，常用Ω={ω} 表示，在统计学中，基本事件ω 是抽样的基本单元，故基本事件又称为样本点，基本事件空间又称为样本空间。
若一次试验结果出现了事件A中的样本点，即当试验结果为ω1，且 ω1 ∈A时，则称事件A发生，否则称A 不发生。例如上述的掷骰子试验，若一次试验出现了点2、4或6，则事件A 在这次试验中发生，若出现了点1、3 或5，则事件A 不发生。

样本空间Ω 包含所有的基本事件，每次试验Ω 必然会发生，因此称Ω 为必然事件。类似地我们把不包含任何基本事件的事件，记作 Ø ，它总也不会发生，因此称为不可能事件。必然事件与不可能事件可以说并不具有随机性，但为了今后研究上的方便，我们还是把它们作为随机事件的两个极端情形来统一处理。
类似地，可定义n(n>2) 个事件的和：称n 个事件 A1，A2，，An 中至少有一个
发生所构成的事件为它们的和事件，记作
A1 A2 An ，简记为
n
Ai
i 1

(4)积事件：称事件A 与B 同时发生所构成的事件为A与B 的积事件，记作 A ∩B 或AB，如图7-4所示。积事件是由那些同时属于 A、B 的基本事件构成的。例如在掷一颗骰子的试验中，若A={2,4,6}，B={3,4,5}，则AB={4}，即只有随机试验出现4点时，A 与B 才同时发生；又如例2中，

例1 (1)抛一枚均匀的硬币，其可能出现的结果只有两种：正面、反面。若令ω1
= 正面，ω2 =反面，则 1 ,2 为该随机试验的两个样本点，Ω 1，2

【高数课件】第七章拉普拉斯变换

1/s的拉氏逆变换为哪个？？？
( 2 ) L [ s g n t] 0 ( s g n t) e s td t 0 e s td t 1 s e s t0 1 s ,Re(s) 0
即： L[sgnt]1,Re(s)0； s
(3)L [1]estdt1est
0
s
0 1 s,
此性质使我们有可能将函数的微分方程转化为的代数方程，因此它对分析线性系统有重要的作用．
2020/12/25
h
10
• 例3．求解微分方程 y ( t ) 2 y ( t ) 0 ， y ( 0 ) 0 ,y ( 0 ) .
解：令 Y(s)L[y(t)],
对方程两边取拉氏变换，有: L [y(t)2y(t)]L [0]，
证明：由定义 L[f(t)]f(t)esdt 0
f(t)e sd t f(t)e sd t
0
f(t)esdt (令t u)
f(u)es(u)du 0
es f(u)esuduesF(s). 0
2020/12/25
h
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•
例7．
求函数 u(t ) 10,,
t 的拉氏变换． t
解：已知 L[u (t )] 1 , 由延迟性知
s
L[u(t)]es 11es.
ss
• 例8．求函数 f(t)u(3t5) 的拉氏变换．
解：因为 u(3t5)u[3(t5)]u(t5), L[u (t )] 1
3
3
s
所以 L[u(3t5)]L[u(t5)]1e5 3s.
3s
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h
18
➢ 五、周期函数的拉氏变换
设 f (t),t 0 是 [ 0 , ) 内以 T 为周期的周期函数，且 f(t)在一个周期内

高等数学上册第七章课件.ppt

y C2 ex ,再利用 y (0) = 1 得 C2 1, 故所求曲线方程为
第四节可降阶的二阶微分方程
小结可降阶微分方程的解法 —— 降阶法
逐次积分
令 y p(x) ,
令 y p(y) ,
第五节二阶线性微分方程解的结构
•n 阶线性微分方程的一般形式为
y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y f (x) f (x) 0 时, 称为非齐次方程 ; f (x) 0 时, 称为齐次方程.
第四节可降阶的二阶微分方程
例求解解
代入方程得
则 y d p d p dy p d p dx dy dx dy
两端积分得 ln p ln y ln C1 , 即 p C1y,
(一阶线性齐次方程)
故所求通解为
第四节可降阶的二阶微分方程
例
解初值问题
y e2y 0 y x 0 0 ,
y p(x) y q(x) y f (x), 为二阶线性微分方程.
复习: 一阶线性方程 y P(x) y Q(x)
通解:
y
C
e
P(x)d
x
eP(x)d x
Q(x) eP(x)d x dx
齐次方程通解Y 非齐次方程特解 y
第五节二阶线性微分方程解的结构
•线性齐次方程解的结构
定理若函数 y1(x), y2 (x) 是二阶线性齐次方程 y P(x) y Q(x) y 0
的两个解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
也是该方程的解. (叠加原理)
证将 y C1y1(x) C2 y2 (x) 代入方程左边, 得 [C1y1 C2 y2 ] P(x)[C1y1 C2 y2 ]

高数第七章

∂x ∂x 0 = f u ⋅ ( + 1) + f v ⋅ ( xz + yz ), ∂y ∂y
整理得
∂x f u + xzf v , =− ∂y f u + yzf v
12
例5 设φ(u，v) 具有连续的偏导数，证明由方程，具有连续的偏导数， φ(cx－az，cy－bz)=0 －，－ ∂z ∂z + b = c. 确定的函数z=f (x,y) ，满足 a 确定的函数证明方法一利用复合函数求导法则方程的两端对x 方程的两端对求导有
∂v ∂u x ∂x − y ∂x = − u x −y 2 2 J= =x +y , , y x ∂u ∂v y +x = −v ∂x ∂x
∂z Fx + Fz = 0, ∂x
∂z Fy + Fz = 0. ∂y
Fy Fx ∂z ∂z , . =− =− Fz Fz ∂x ∂y 注对于 ( x1 , x 2 ,Lxn , z) = 0所确立的 F
Fxi ∂z =− Fz ∂xi
z = z( x1 , x 2 ,Lxn ),
i = 1,2,Ln.
于是有
∂z ∂z acφ + bcφ u v a +b = = c. ∂x ∂y aφ + bφ u v
14
方法二公式法记φ(cx－az，cy－bz)=F (x，y，z)，则－，－， Fx=cφu，Fy=cφv，Fz=－aφu－bφv －
Fx cφ ∂z u =− = , Fz aφ + bφ ∂x u u
2 2
则
1 2 x + 2 y ⋅ y′ = 2 2 2 x +y

大一高数课件第七章 7-6-1

x 2 y 2 1, 是一个圆, 则交线 C 在 xoy 面上的投影为 z 0.
2 2 所求立体在 xoy 面上的投影为 x y 1.
空间立体
四、小结
空间曲线的一般方程、参数方程．
F ( x, y, z ) 0 G ( x , y , z ) 0
空间立体
曲面
例3
设一个立体,由上半球面 z 4 x 2 y 2 和 z 3( x 2 y 2 ) 锥面所围成, 求它在 xoy 面上的投影.
解
z 4 x2 y2 , 半球面和锥面的交线为 C : z 3( x 2 y 2 ),
消去 z 得投影柱面 x 2 y 2 1,
2 2 6 、旋转抛物面 z x y ( 0 z 4 )
在 xoy 面的投影为__________，在 yoz 面的投影为____________，在 zox 面上的投影为__________.
二、画出下列曲线在第一卦限的图形： z 4 x 2 y 2 1、 x y 0 x2 y2 a2 2、 2 2 2 x z a
3 x cos t 2 3 cos t ,( 0 t 2 ) . 三、 y 2 z 3 sin t y x 2 2 2 x y a z b arcsin z b arccos a , a. 四、 , z 0 x 0 y 0 2 2 2 2 五、 x y ax; z ax a , x 0, z 0 .
R( y , z ) 0 x0 T ( x , z ) 0 y0
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《高等数学(下册)》课件高等数学第7章

列条件：
0) 满足下
（1）un1 un (n 1，2 ，3， ) ；（2）lnim un 0 ，则级数收敛，且其和 S u1 。
例2 判别以下级数的敛散性：
（1） (1)n
n 1
1 n
；（2）
n 1
(1)n1
n 2n 1
；
解
（1）该级数为交错级数。因为
un1
1 n 1
1 n
un
，且
lim
un
1 3n 2
1 3n
1
，而级数
是发散的，由比较审
n1 3n
敛法可知，级数 1 发散。
n1 3n 2
（2）因为
un
1 n2n
1 2n
，而几何级数
1 2n
n 1
是收敛的，由比
较审敛法可知，级数
1 n1 n2n
收敛。
1
1
（3）因为 un (n 1)(n 3) n2
1
，而
p-
级数
1 5
1 8
1 9
1 16
1 2k 1
1
1 2k 1
2
1 2k
1
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1 k ． 22
由于k可以任意大，所以数列Sk 无界，从而部分和数列Sk 也
无界，因此调和级数 1 是发散的。
n1 n
定理1
对于 p- 级数
1 np
n 1
( p 0)，当
p 1
，1 3
，由性质2可知，
级数
1
发散。
n1 n 3
性质3（级数收敛的必要条件）若级数 un 收敛，则它的一般项 n 1

《高等数学》第七章

C
；
第三步，求积分的通解： G( y) F(x) C ．
其中 G( y) ， F (x) 分别是 1 ， f (x) 一个原函数． g ( y)
第二节一阶微分方程
例 1 求微分方程 dy y sin x 0 的通解． dx
解将方程分离变量，得到 dy sin xdx ， y
两边积分，即得
（*）
例如，以上六个方程中，（1）、（2）、（5）、（6）是一阶常微分方程，（3）是二阶
常微分方程，（4）是二阶偏微分方程．
定义 3 如果微分方程中含的未知函数及其所有导数都是一次多项式，则称该方
程为线性方程，否则称为非线性方程．
一般说来，n 阶线性方程具有如下形状：
a0(x) y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y (x) ．
第二节一阶微分方程
例 3 求方程 dy y 1 的解． dx x 1
为方便起见，以后在解微分方程的过程中，如果积分后出现对数，理应都需作
类似下述的处理，其结果是一样的．以例 3 为例叙述如下：
分离变量后得
1 dy 1 dx ， y 1 x 1
两边积分得
ln | y 1| ln | x 1| ln C ，
再分离变量，得 du 1 dx ； f (u) u x
第三步，两端分别积分后得
du f (u) u
ln | x | C1
．
求出积分后，再用 y 代替 u ，便可得到方程关于 x 的通解． x
第二节一阶微分方程
例 4 求微分方程 xy y(1 ln y ln x) 的通解．
解
将方程化为齐次方程的形式
dy dx
y x
1

大一高数课件第七章

微分的概念
总结词
微分是导数的另一种表达方式，也是描述函数在某一点附近的变化率的重要概念。
VS
详细描述
微分表示函数在某一点处的增量与自变量增量的比值当自变量增量趋于0时的极限，即函数在该点附近的变化率。微分与导数的关系是微分等于导数与自变量增量的乘积加上高阶无穷小量。微分具有线性性质，即函数的微分满足线性运算规则。
洛必达法则
洛必达法则
如果函数f(x)与g(x)在某点x0的某个领域内有定义，且f'(x0)=0或f'(x0)不存在，而 g'(x0)≠0，那么当x→x0时，lim (f(x)/g(x))=lim (f'(x0)/g'(x0))。
洛必达法则的应用条件
应用洛必达法则求极限时，需要满足三个条件：分子和分母的导数都存在且分母的导数不为零；所求极限的表达式是“0/0”或“ 无穷大/无穷大”的形式；通过等价无穷小替换或有理化分母等方法将所求极限的表达式化为“0/0”的形式。
03
导数与微分
导数的定义
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化率的重要概念。
详细描述
导数定义为函数在某一点处的切线的斜率，表示函数在该点附近的变化率。通过求导，可以分析函数在某一点附近的增减性、极值等性质。
导数的性质
总结词
导数具有一些重要的性质，如可加性、可乘性、链式法则等。
详细描述
导数具有可加性和可乘性，即对于两个函数的和或乘积求导，可以分别对每个函数求导后再进行相应的运算。链式法则是指对复合函数的导数进行求导时，需要用到外层函数的导数和内层函数的导数。
应用
微积分基本定理是计算定积分的基石，通过它可以求出许多复杂函数的定积分。

高职课件《高等数学》第七章空间解析几何课件

第 7 章空间解析几何
本章内容
1 空间直角坐标系和向量 2 向量的数量积与向量积 3 空间平面与直线的方程 4 曲面与空间曲线
7.1 空间直角坐标系和向量
7.1.1 空间直角坐标系
在空间取三条相互垂直空间直角坐标系 O-xyz。
利用前述负向量的概念,我们还可以定义两个向量 a 和 b 的差为：
a b = a b
按三角形法则，向量 a 和 b 的差 a b 的求法如下:把 a 与 b
的起点放在一起，则 a b 即是以 b 的终点为起点，以 a 的终点
为终点的向量(如图7-7所示)。
容易验证，向量的加法有下列运算规律：
通常把 x 轴，y 轴放置在水平平面上，z 轴垂直于水平平面，并规定x 轴，y 轴和z 轴的位置关系遵循右手螺旋法则：右手四指握拳,指向为x 轴的正向，然后四指沿握拳方向转向y 轴的正向，则大姆指所指方向为z轴正向(如图7-1所示)
在空间直角坐标系O-xyz 中，点O 称为坐标原点，简称原点； x 轴，y 轴，z 轴又分别称为横轴、纵轴与竖轴，三条数轴统称为坐标轴；由任意两条坐标轴所确定的平面称为坐标面，共有xOy、 yOz、zOx 三个坐标面；三个坐标面把空间分隔成八个部分，每个部分依次分别称为第一、第二直至第八卦限,其中第一卦限位于x， y，z 轴的正向位置，第二至第四卦限也位于xOy面的上方，按逆时针方向排列；第五卦限在第一卦限的正下方，第六至第八卦限
三角形法则还可以推广到求任意有限个向量的和。例如，已
知向量a ，b ，c ，d ，求 a + b + c + d 的和 AB。
根据自由向量的特点，只要依次把后一个向量的起点移至前一个向量的终点上，然后从a的起点向d 的终点所引的向量就是四

高等数学第七章.ppt

规
划
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1
(1)
的
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
(2)
标
准
……
型
am1x1+am2x2+…+amnxn=bm
(m)
x1 ，x2 ，…xn≥0
第三节单纯形法
其简缩形式为
一
max Z c1x1 c2 x2 cn xn
线性
n
aij x j bi
ZA=300 ZB=175 ZC=110 ZD=150
x2 15 A
3x1+x2=15
可行域
10
B
x1+x2=10
5
C
O
5
10
A(0,15) B(2.5,7.5) C(9,1) D (15,0)
x1+6x2=15
D
15
x1
10x1+20x2＝0
第三节单纯形法
单纯形方法是一种较为完善的、步骤化的线性规划问题求解方法。它的原理涉及到较多的数学理论上的推导和证明，我们在此仅介绍这种方法的具体操作步骤及每一步的经济上的含义。为更好地说明问题，我们仍结合实例介绍这种方法
第
一
节
线
《经济大词典》定义线性规划：一种
性
具有确定目标，而实现目标的手段又有
规
一定限制，且目标和手段之间的函数关
划模型
系是线性的条件下，从所有可供选择的方案中求解出最优方案的数学方法。
的
基
本
原
理
二、线性规划三要素
第

高数第七章课件~7-7,8

也可以将平面方程设为 Ax + By + Cz + D = 0 再将P、、的坐标代入方程求得的坐标代入方程求得A、、再将、Q、R的坐标代入方程求得、B、C. P10
6
《高等数学》第七章空间解析几何与向量代数高等数学》
A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0
i
j
k
n = M 1 M 2 × n1 = − 1 0 − 2 = 2i − j − k 1 1 1
所求平面的方程为
2( x − 1) − ( y − 1) − (z − 1) = 0 即 2x − y − z = 0
13
《高等数学》第七章空间解析几何与向量代数高等数学》
是平面Ax + + = 外一点，是平面外一点例5 设P0(x0,y0,z0)是平面 +By+Cz+D=0外一点，求它到平面的距离d. 距离解过P 作平面的法线向量 n, 在平面上任取一点 P1 ( x1 , y1 , z1 ), 0 则
18
《高等数学》第七章空间解析几何与向量代数高等数学》
中有一个为0,例如注当m, n, p中有一个为例如 = 0,这时方程组应理解为中有一个为例如m 这时方程组应理解为
Ax0 + B y0 + C z0 + D = 0
(1)-(2)相减 , 得 (1)-(2)相减
( 2)
A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0
P3
( 3)
7
《高等数学》第七章空间解析几何与向量代数高等数学》

大一高数课件第七章 7-8-1

( A1 A2 ) x ( B1 B2 ) y (C1 C2 )z ( D1 D2 ) 0
由于系数 A1 A2 , B1 B2 , C1 C2 因此上述方程表示一个平面。不全为零，
该平面经过直线 L ，且对于不同来自值，直线与平面的位置关系：
(1)
L
A B C . m n p
Am Bn Cp 0.
( 2) L //
x 1 y z 1 例 6 设直线 L : ，平面 : x y 2 z 3， 2 1 2 求直线与平面的夹角. 解 n {1,1, 2}, s {2,1, 2},
思考题解答
6 p 0 p 6, m 0, 2m 0 s 0, n 0,
故当 m 0, n 0, p 6时结论成立．
练习题
一、填空题：
x3 z 1 1、通过点 ( 4 ,1 , 3 ) 且平行于直线 y 2 5 的直线方程为______________； 5 x 3 y 3 z 9 0 2、直线与直线 3 x 2 y z 1 0 2 x 2 y z 23 0 的夹角的余弦为__________； 3 x 8 y z 18 0
^ ( s , n) 2
^ ( s , n) 2
sin cos cos . 2 2
sin | Am Bn Cp | A2 B 2 C 2 m 2 n 2 p 2
直线与平面的夹角公式
六、求与已知直线 L1 ： x 3 y 5 z 及 2 3 1 x 10 y 7 z L2：都相交且和 L3： x 2 y 1 z 3 5 4 1 8 7 1

高等数学第七章课件.ppt

a
(2) 三角形法则
b
向量的加法符合下列运算规律：
（（12））交结换合律律：：aa
b b
cb
(aa.
b)
c
a
a a
(b
b
c ).
多个向量相加，可以按照三角形法则.
负向量：大小相a 等但方向a相反的向量.
减法：a b a (b)
ab
b
a
ab
特例：a
(a)
0.
b
α φ1 = φ
=λ|α|cosφ
λα φ1=π- φ
=λPrjlα
λ<0
当λ<0时 φ1=π-φ
λα
Prj(λα)=|λ|.|α|cos(φ1) =-λ|α|(-cosφ)
λ >0 α
=λPrjlα；当λ=0时
λα
φ1 = φ φ1=π- φ
Prj(λα)= 0 =λPrjlα；
λ<0
（二）向量的坐标表示
单位向量：模长为1的向量. a0
或
M1 M 20
零向量：模长为0的向量. 0
自由向量：不考虑起点位置的向量.
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
a
向量平行方向相反或者方向b 相同的向量a
a//b
零向量和任何向量都平行.
三、向量的线性运算
（一）向量的加减法
加法：a b c
(1) 平行四边形法则
b c
a
b
c
a
(b )
ab
（向(二((123量))）)aa向与000,,,量实aaa与数与与数aa0的2同的反a乘向乘向法，积，|| 记aa作|||a||12,a规a||a定 | a是一个向量.

大一高数课件第七章 7-7-1

的平面; 平行于 xoy 面的平面的平面；平行于 yoz 面的平面；的平面. 平行于 zox 面的平面
例 3 设平面过原点及点 ( 6,−3, 2) ，且与平面 4 x − y + 2 z = 8 垂直，求此平面方程. 求此平面方程. 解设平面为 Ax + By + Cz + D = 0,
三、两平面的夹角
定义两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角. 为两平面的夹角. （通常取锐角）通常取锐角）
r n2
r n1
θ
Π2
Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,
Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0, r r n1 = { A1 , B1 , C 1 }, n 2 = { A2 , B 2 , C 2 },
设平面上的任一点为 M ( x , y , z ) r r 必有 M 0 M ⊥ n ⇒ M 0 M ⋅ n = 0
Q M 0 M = { x − x 0 , y − y0 , z − z 0 }
∴ A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0
平面的点法式方程
n = (0, B,C) ⊥ i, 平面平行于 x 轴;
• Ax + Cz + D = 0 表示平行于 y 轴的平面; 轴的平面; • Ax + By + D = 0 表示平行于 z 轴的平面; 轴的平面;
• C z + D = 0 表示 • A x + D =0 表示 • B y + D =0 表示

高等数学第三版第七章课件

y′′ + y = 0,
(2)特解: 解的图象: 通解的图象: 初始条件:
通解 y = Ce x ;
通解 y = C1 sin x + C 2 cos x;
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
例 3 验证:函数 x = C1 cos kt + C 2 sin kt 是微分方程
确定了通解中任意常数以后的解. 微分方程的积分曲线. 积分曲线族.
故
5 −2 ⎛ ⎞ y = ( x + 1)2 ⎜ ∫ ( x + 1) 2 dx + C ⎟ ⎝ ⎠ 3 ⎞ 2⎛ 2 = ( x + 1) ⎜ ( x + 1) 2 + C ⎟ ⎝3 ⎠
y=e
− P ( x ) dx − P ( x ) dx y′ = u′( x )e ∫ , + u( x )[ − P ( x )]e ∫
16
两边积分，得 u − ln | u | + C = ln | x |,
例 4 求解微分方程
或
ln|ux |= u + C , ln | y |= y +C x
所求通解为
y y ( x − y cos )dx + x cos dy = 0. x x 解令u = y ，则 dy = xdu + udx，
du = ln C1 x , f ( u) − u
dy dy + y 2 = xy . dx dx
解方程可写为
（ϕ ( u ) = ∫
du ） f ( u) − u
⎛ y⎞ ⎜ x⎟ dy y2 = = ⎝ ⎠, 2 y dx xy − x −1 x
y ϕ( ) y 得通解 x = Ce x , 代入, x 当 ∃u0 , 使 f ( u0 ) − u0 = 0, 则 u = u0是新方程的解 ,