高三数学 第40课时 均值不等式教案

课题：算术平均数与几何平均数

教学目标：1.掌握两个正数的算术平均数不小于它们的的定理，并会简单运用；

2.利用不等式求最值时要注意到“一正”

“二定”“三相等”． 教学重点：均值不等式的灵活应用。

（一） 主要知识：

1.两个数的均值不等式：若,a b R +∈，则

2

a b +（等号仅当a b =时成立）

三个数的均值不等式：若,,a b c R +∈，则a b c ++≥a b c ==时成立）

2.几个重要的不等式： ① ab ≤22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭≤222a b + ②abc ≤33a b c ++⎛⎫ ⎪⎝⎭；

③如果,a b R ∈≥2a b +≥211a b

+ 3.最值定理：当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和 有最小值。

（二）主要方法：

1.常见构造条件的变换：加项变换，系数变换，平方变换，拆项变换，常量代换，三角代换等.

2.当使用均值定理时等号不能成立时，应考虑函数的单调性（例如“对号”函数，导数法）.

（三）典例分析：

问题1．求下列函数的最值：

()113y x x =

+-()3x <；()2121y x x =+-()1x >；()3241y x x

=+()0x >；

()323

y x x

=+()0x >；()4 ()21y x x =-()01x <<；()5 ()21y x x =-()01x <<

()6y =()7 已知,,,a b x y R +∈（,a b 为常数），1a b x y

+=，求x y +的最小值

问题2．已知0x >，0y >，且1x y +=，求.

问题3．求最小值()1231()1x x f x x -+=+()1x >-；()2 223sin sin y x x

=+

问题4．()1设0x >，0y >，且()1xy x y -+=，则

.A 2x y +≤.B 2x y +≥ .C )21x y +≤

.D )2

1x y +≥

()2已知x ≥0，y ≥0，且22

12y x +=，求证：≤4

()3若0a b >>, 求216()

a b a b +

-的最小值

（四）课后作业： 1.已知1>a 那么1

1-+a a 的最小值是 .A 12-a a .B 15+ .C 3 .D 2

2.已知：0a b >>，求证：()

13a a b b +

≥- 3.若103

x <<，则()213x x -的最大值是 此时，x =

4.已知30x -<<，则y =的最小值为 .A 92- .B 92.C 32-.D 12

5.已知实数y x ,满足+2x ,12=y 则()()xy xy -+11的最小值和最大值分别为

.A 21，1 .B 43，1 .C 21，4

3 .D 1，无最大值

6.求2212sin cos y αα=+0,2πα⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝

⎭的最小值

7.当2n >时，求证：log (1)log (1)1n n n n -+<．

8.已知正数a 、b 满足13=++b a ab ,则ab 的最大值是

9.下列函数中，y 的最小值为4的是

.A 4y x

x =+.B 2y = .C 4x x y e e -=+ .D 4sin (0)sin y x x x π=+<<

10.若0,0a b >>，且21a b +=，则224s a b =-的最大值是

.A 212- .B 12- .C 2

12+ .D 12+

11.（08内江二中）已知2lg 8lg 2lg ,0,0=+>>y x y x ，则

y x 311+的最小值是 .A 2 .B 22 .C 4 .D 32

12.若a 是正实数，222310a b +=，则的最大值是

13.≤对所有正数,x y 都成立，试问k 的最小值是

14.（07届高三西安市第一次质检）02π

θ<<，由不等式1tan tan θθ

+≥2，222tan tan θθ+22tan tan 222tan θθθ=++≥3，3

33tan tan θθ

+ 3

3tan tan tan 3333tan θθθθ

=+++≥4，…，启发我们得到推广结论： tan tan n a θθ

+≥1n +()*n N ∈，则a = 15.已知：x 、y R +∈，280x y xy +-=，求x y +的最小值

（五）走向高考：

16.(04湖南)设,0,0>>b a 则以下不等式中不恒成立．．．．

的是 .A 4)11)((≥++b

a b a .B 2332ab b a ≥+.C b a b a 22222+≥++.D b a b a -≥-||

17.（05重庆）

若,x y 是正数，则22)21()21(x y y x +++的最小值是 .A 3 .B 27.C 4.D 2

9

18.(05福建文)下列结论正确的是

.A 当0x >且1x ≠时，则1

lg 2

lg x x +≥ .B 当0x >2≥ .C 当x ≥2时，1x x +的最小值为2 .D 当02x <≤时，1x x

-无最大值