高三数学 第40课时 均值不等式教案
均值不等式说课稿1（五篇模版）
均值不等式说课稿1（五篇模版）第一篇：均值不等式说课稿1一教材分析1、教材地位和作用均值不等式又叫做基本不等式，选自人教B版（必修5）的3章的2节的内容，是在上节不等式性质的基础上对不等式的进一步研究．同时也是为了以后学习中的几种重要不等式，以及不等式的证明作铺垫，起着承上启下的作用。
本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，所以本节课可以培养学生应用数学知识灵活解决实际问题的能力。
“均值不等式”在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。
求最值是高考的热点。
它在科学研究、经济管理、工程设计上都有广泛的作用。
2、教学目标A．知识目标：学会推导并掌握均值不等式，理解这个均值不等式的几何意义，并掌握定理中取等号的条件.B．能力目标：通过对均值不等式的推导过程，提高学生探究问题，分析与解决问题的能力。
参透类比思想，数形结合的思想，优化了学生的思维品质。
C.情感目标:（1）通过探索均值不等式的证明过程，培养探索、研究精神。
（2）通过对均值不等式成立的条件的分析，养成严谨的科学态，并形成勇于提出问题、分析问题的习惯。
3、教学重点、难点：重点：通过对新课程标准的解读，教材内容的解析，我认为结果固然重要，但数学学习过程更重要，它有利于培养学生的数学思维和探究能力，所以均值不等式的推导是本节课的重点难点：很多同学对均值不等式成立的条件的认识不深刻，在应用时候常常出错误，所以，均值不等式成立的条件是本节课的难点二教法学法分析1.教法本节课主要采用探究归纳，启发诱导，讲练结合的教学方法。
以学生为主体，以均值不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。
2、教学手段为了使抽象变为具体，我使用了多媒体。
为了突出重点我使用了彩色粉笔。
3，学法从实际生活出发，通过创设问题情境，让学生经历由实际问题出发，探求均值不等式，发现均值不等式的实质，利用均值不等式解决实际问题的过程。
使学生从代数证明和几何证明两方面理解并掌握基本不等式。
(教案)均值不等式
均值不等式及其应用【第1课时】【教学过程】一、新知初探1．算术平均值与几何平均值对于正数a ，b ，常把a ＋b2叫做a ，b 的算术平均值，把ab 叫做a ，b 的几何平均值． 2．均值不等式（1）当a ＞0，b ＞0a ＝b 时，等号成立； （2）均值不等式的常见变形 ①当a ＞0，b ＞0，则a ＋b ≥2ab ；②若a ＞0，b ＞0，则ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22． 二、初试身手1．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是（ ） A ．a ＝±1 B ．a ＝1 C ．a ＝－1 D ．a ＝0答案：B解析：当a 2＋1＝2a ，即（a －1）2＝0，即a ＝1时“＝”成立． 2．已知a ，b ∈（0，1），且a ≠b ，下列各式中最大的是（ ） A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b 答案：D解析：∵a ，b ∈（0，1），∴a 2＜a ，b 2＜b ， ∴a 2＋b 2＜a ＋b ，又a 2＋b 2＞2ab （a ≠b ）， ∴2ab ＜a 2＋b 2＜a ＋b ．又∵a ＋b ＞2ab （a ≠b ），∴a ＋b 最大．3．已知ab ＝1，a >0，b >0，则a ＋b 的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 答案：B解析：∵a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，故a ＋b 的最小值为2．4．当a ，b ∈R 时，下列不等关系成立的是________． ①a ＋b2≥ab ；②a －b ≥2ab ；③a 2＋b 2≥2ab ；④a 2－b 2≥2ab ． 答案：③解析：根据a 2＋b 22≥ab ，a ＋b2≥ab 成立的条件判断，知①②④错，只有③正确． 三、合作探究类型1：对均值不等式的理解例1：给出下面三个推导过程：①∵a ，b 为正实数，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2；②∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4；③∵x ，y ∈R ，xy ＜0，∴x y ＋y x ＝－－x y ＋－yx ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2． 其中正确的推导为（ ） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③答案：B解析：①∵a ，b 为正实数，∴b a ，ab 为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确． ②∵a ∈R ，a ≠0，不符合均值不等式的条件， ∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4是错误的．③由xy ＜0，得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋y x 提出负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确．规律方法1．均值不等式ab ≤a ＋b2 （a ＞0，b ＞0）反映了两个正数的和与积之间的关系． 2．对均值不等式的准确掌握要抓住以下两个方面： （1）定理成立的条件是a ，b 都是正数．（2）“当且仅当”的含义：当a ＝b 时，ab ≤a ＋b 2的等号成立，即a ＝b ⇒a ＋b2＝ab ；仅当a ＝b 时，a ＋b 2≥ab 的等号成立，即a ＋b2＝ab ⇒a ＝b ．跟踪训练1．下列不等式的推导过程正确的是________．①若x ＞1，则x ＋1x ≥2x ·1x ＝2；②若x ＜0，则x ＋4x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ≤－2－x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＝－4；③若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2． 答案：②解析：①中忽视了均值不等式等号成立的条件，当x ＝1x 时，即x ＝1时，x ＋1x ≥2等号成立，因为x ＞1，所以x ＋1x ＞2，③中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这一条件．类型2：利用均值不等式比较大小例2：（1）已知a ，b ∈（0，＋∞），则下列各式中不一定成立的是（ ）A ．a ＋b ≥2abB ．b a ＋ab ≥2C ．a 2＋b 2ab≥2ab D ．2ab a ＋b ≥ab（2）已知a ，b ，c 是两两不等的实数，则p ＝a 2＋b 2＋c 2与q ＝ab ＋bc ＋ca 的大小关系是________．答案：（1）D（2）a 2＋b 2＋c 2＞ab ＋bc ＋ac解析：（1）由a ＋b2≥ab 得a ＋b ＝2ab ， ∴A 成立；∵b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2，∴B 成立；∵a 2＋b 2ab ≥2ab ab ＝2ab ，∴C 成立；∵2ab a ＋b ≤2ab 2ab ＝ab ，∴D 不一定成立． （2）∵a ，b ，c 互不相等，∴a 2＋b 2＞2ab ，b 2＋c 2>2bc ，a 2＋c 2>2ac ． ∴2（a 2＋b 2＋c 2）>2（ab ＋bc ＋ac ）． 即a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac ． 规律方法1．在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．2．运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a ＋b ≥2ab 成立的条件是a >0，b >0，等号成立的条件是a ＝b ；a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，等号成立的条件是a ＝b ．跟踪训练2．如果0＜a ＜b ＜1，P ＝a ＋b 2，Q ＝ab ，M ＝a ＋b ，那么P ，Q ，M 的大小顺序是（ ） A ．P ＞Q ＞M B ．M ＞P ＞Q C ．Q ＞M ＞P D ．M ＞Q ＞P答案：B解析：显然a ＋b 2＞ab ，又因为a ＋b 2＜a ＋b ⎝⎛⎭⎪⎫由a ＋b ＞a ＋b 24也就是a ＋b 4＜1可得，所a ＋b ＞a ＋b2＞ab ．故M ＞P ＞Q ．类型3：利用均值不等式证明不等式例3：已知a ，b ，c 是互不相等的正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c >9．思路点拨：看到1a ＋1b ＋1c >9，想到将“1”换成“a ＋b ＋c ”，裂项构造均值不等式的形式，用均值不等式证明．证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2b a ·a b ＋2c a ·a c ＋2c b ·bc＝3＋2＋2＋2 ＝9．当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∴1a ＋1b ＋1c >9． 母题探究本例条件不变，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1>8．证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c >0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1 ＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ab abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＞8． 规律方法1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用均值不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．2．先局部运用均值不等式，再利用不等式的性质（注意限制条件），通过相加（乘）合成为待证的不等式，既是运用均值不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．跟踪训练3．已知a ，b ，c ∈R ，求证：a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2． 证明：由均值不等式可得 a 4＋b 4＝（a 2）2＋（b 2）2≥2a 2b 2， 同理，b 4＋c 4≥2b 2c 2， c 4＋a 4≥2a 2c 2，∴（a 4＋b 4）＋（b 4＋c 4）＋（c 4＋a 4）≥2a 2b 2＋2b 2c 2＋2a 2c 2， 从而a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2．4．已知a ＞1，b ＞0，1a ＋3b ＝1，求证：a ＋2b ≥26＋7．证明：由1a ＋3b ＝1，得b ＝3aa －1（a ＞1），则a ＋2b ＝a ＋6aa －1＝a ＋6a －1＋6a －1＝a ＋6a －1＋6＝（a －1）＋6a －1＋7≥26＋7， 当且仅当a －1＝6a －1时，即a ＝1＋6时，取等号． 四、课堂小结1．应用均值不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a >0，b >0时，才会有ab ≤a ＋b 2．对于“当且仅当……时，‘＝’成立…”这句话要从两个方面理解：一方面，当a ＝b 时，a ＋b2ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b ．2．应用均值不等式证明不等式的关键在于进行“拼”“凑”“拆”“合”“放缩”等变形，构造出符合均值不等式的条件结构． 五、当堂达标1．思考辨析（1）对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．（ ）（2）若a ≠0，则a ＋1a ≥2a ·1a ＝2．（ ）（3）若a >0，b >0，则ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22．（ ） 提示：（1）任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b 都为正数时，不等式a ＋b ≥2ab 成立．（2）只有当a >0时，根据均值不等式，才有不等式a ＋1a ≥2a ·1a ＝2成立．（3）因为ab ≤a ＋b 2，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22． 答案：（1）×（2）×（3）√2．设a >b >0，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．a －b <0B ．0<ab <1C ．ab <a ＋b2 D ．ab >a ＋b 答案：C解析：∵a >b >0，由均值不等式知ab <a ＋b2一定成立．3．不等式9x －2＋（x －2）≥6（其中x ＞2）中等号成立的条件是（ ）A ．x ＝3B ．x ＝－3C ．x ＝5D ．x ＝－5答案：C解析：由均值不等式知等号成立的条件为9x －2＝x －2，即x ＝5（x ＝－1舍去）． 4．设a >0，b >0，证明：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b ． 证明：∵a >0，b >0， ∴b 2a ＋a ≥2b ，a 2b ＋b ≥2a ， ∴b 2a ＋a 2b ≥a ＋b ．【第2课时】【教学过程】一、新知初探已知x ，y 都是正数．（1）若x ＋y ＝S （和为定值），则当x ＝y 时，积xy 取得最大值S 24． （2）若xy ＝p （积为定值），则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p ． 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大． 二、初试身手1．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是（ ）A ．72B ．4C ．92D ．5 答案：C解析：∵a ＋b ＝2，∴a ＋b2＝1． ∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋b 2a ≥52＋22a b ·b 2a ＝92 ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a 时，等号成立． 故y ＝1a ＋4b 的最小值为92．2．若x >0，则x ＋2x 的最小值是________． 答案：22解析：x ＋2x ≥2x ·2x ＝22，当且仅当x ＝2时，等号成立．3．设x ，y ∈N *满足x ＋y ＝20，则xy 的最大值为________． 答案：100解析：∵x ，y ∈N *， ∴20＝x ＋y ≥2xy ， ∴xy ≤100． 三、合作探究类型1：利用均值不等式求最值例1：（1）已知x <54，求y ＝4x －2＋14x －5的最大值；（2）已知0<x <12，求y ＝12x （1－2x ）的最大值．思路点拨：（1）看到求y ＝4x －2＋14x －5的最值，想到如何才能出现乘积定值；（2）要求y ＝12x （1－2x ）的最值，需要出现和为定值．解：（1）∵x <54，∴5－4x >0，∴y ＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，上式等号成立，故当x ＝1时，y max ＝1．（2）∵0<x <12，∴1－2x >0，∴y ＝14×2x （1－2x ）≤14×⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116． ∴当且仅当2x ＝1－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12，即x ＝14时，y max ＝116． 规律方法利用均值不等式求最值的关键是获得满足均值不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”．解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件．具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定，应凑出定和或定积；若不等，一般用后面第三章函数的基本性质的知识解决．跟踪训练1．（1）已知x >0，求函数y ＝x 2＋5x ＋4x的最小值；（2）已知0<x <13，求函数y ＝x （1－3x ）的最大值．解：（1）∵y ＝x 2＋5x ＋4x ＝x ＋4x ＋5≥24＋5＝9，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时等号成立．故y ＝x 2＋5x ＋4x（x >0）的最小值为9．（2）法一：∵0<x <13，∴1－3x >0．∴y ＝x （1－3x ）＝13·3x （1－3x ）≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋1－3x 22＝112． 当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，等号成立．∴当x ＝16时，函数取得最大值112．法二：∵0<x <13，∴13－x >0．∴y ＝x （1－3x ）＝3·x ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ≤3·⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13－x 22 ＝112，当且仅当x ＝13－x ，即x ＝16时，等号成立．∴当x ＝16时，函数取得最大值112． 类型2：利用均值不等式求条件最值例2：已知x ＞0，y ＞0，且满足8x ＋1y ＝1．求x ＋2y 的最小值． 解：∵x ＞0，y ＞0，8x ＋1y ＝1，∴x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y （x ＋2y ）＝10＋x y ＋16y x≥10＋2x y ·16yx ＝18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋1y ＝1，x y ＝16y x，即⎩⎨⎧x ＝12，y ＝3时，等号成立，故当x ＝12，y ＝3时，（x ＋2y ）min ＝18．母题探究 若把“8x ＋1y ＝1”改为“x ＋2y ＝1”，其他条件不变，求8x ＋1y 的最小值． 解：∵x ，y ∈R ＋， ∴8x ＋1y ＝（x ＋2y ）⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y＝8＋16y x ＋x y ＋2＝10＋16y x ＋xy ≥10＋216＝18．当且仅当16y x ＝xy 时取等号，结合x ＋2y ＝1，得x ＝23，y ＝16，∴当x ＝23，y ＝16时，8x ＋1y 取到最小值18． 规律方法1．本题给出的方法，用到了均值不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足均值不等式的条件，这是经常使用的方法，要学会观察、学会变形．2．常见的变形技巧有：（1）配凑系数；（2）变符号；（3）拆补项．常见形式有y ＝ax ＋bx 型和y ＝ax （b －ax ）型．跟踪训练2．已知a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝1，求1a ＋1b 的最小值． 解：法一：1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·（a ＋2b ） ＝1＋2b a ＋a b ＋2＝3＋2b a ＋ab ≥3＋22b a ·a b＝3＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝a b，a ＋2b ＝1，即⎩⎨⎧ a ＝2－1，b ＝1－22时等号成立． ∴1a ＋1b 的最小值为3＋22． 法二：1a ＋1b ＝a ＋2b a ＋a ＋2b b ＝1＋2b a ＋a b ＋2＝3＋2b a ＋a b ≥3＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2b a ＝a b，a ＋2b ＝1，即⎩⎨⎧ a ＝2－1，b ＝1－22时等号成立， ∴1a ＋1b 的最小值为3＋22．类型3：利用均值不等式解决实际问题例3：如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？解：设每间虎笼长x m ，宽y m ，则由条件知，4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18．设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy ．法一：由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ， 所以26xy ≤18，得xy ≤272，即S max ＝272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎨⎧ 2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎨⎧x ＝4.5，y ＝3. 故每间虎笼长为4．5m ，宽为3m 时，可使每间虎笼面积最大．法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y ．∵x >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝y ⎝ ⎛⎭⎪⎫9－32y ＝32y （6－y ）． ∵0<y <6，∴6－y >0．∴S ≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－y ＋y 22＝272． 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4．5．故每间虎笼长为4．5m ，宽为3m 时，可使每间虎笼面积最大．规律方法在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：（1）先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；（2）建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；（4）正确写出答案．跟踪训练3．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x （x ≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x （单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积解：设将楼房建为x 层，则每平方米的平均购地费用为2 160×1042 000x ＝10 800x ．∴每平方米的平均综合费用y ＝560＋48x ＋10 800x ＝560＋48⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋225x ． 当x ＋225x 取最小值时，y 有最小值．∵x >0，∴x ＋225x ≥2x ·225x ＝30．当且仅当x ＝225x ，即x ＝15时，上式等号成立．∴当x ＝15时，y 有最小值2000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少．四、课堂小结1．利用均值不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用均值不等式的三个条件，需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个适合应用均值不等式的情境．2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，均值不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到．五、当堂达标1．思考辨析（1）两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值．（ ）（2）若a >0，b >0且a ＋b ＝4，则ab ≤4．（ ）（3）当x >1时，函数y ＝x ＋1x －1≥2x x －1，所以函数y 的最小值是2x x －1．（ ） 提示：（1）由a ＋b ≥2ab 可知正确．（2）由ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝4可知正确．（3）xx －1不是常数，故错误．答案：（1）√（2）√（3）×2．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则ab 的最大值为（） A ．1B ．22C ．2D ．4答案：A解析：由均值不等式得，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1． 3．已知0<x <1，则x （3－3x ）取最大值时x 的值为（） A ．12 B ．34C ．23D ．25答案：A解析：∵0<x <1，∴1－x >0，则x （3－3x ）＝3[x （1－x ）]≤3×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号． 4．已知x >0，求y ＝2xx 2＋1的最大值．解：y ＝2x x 2＋1＝2x ＋1x．∵x >0，∴x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，∴y ≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立．。
高中数学均值不等式讲解
高中数学均值不等式讲解一、教学任务及对象1、教学任务本次教学任务是以“高中数学均值不等式”为主题，对高中学生进行系统的讲解与训练。
均值不等式是高中数学中的一个重要内容，它不仅在数学理论中占有重要地位，而且在实际应用中也具有广泛价值。
通过本节课的学习，使学生掌握均值不等式的概念、性质和应用，培养他们的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
2、教学对象教学对象为高中学生，他们已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力。
在这个阶段，学生们的思维逐渐从具体形象向抽象逻辑转变，他们对于数学问题的理解和解决能力也在不断提高。
因此，针对这个阶段的学生，教学过程中应注重启发式教学，引导学生主动探究、发现和解决问题，提高他们的数学素养。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握均值不等式的定义，包括算术平均数和几何平均数；（2）掌握均值不等式的证明方法，并能够灵活运用；（3）学会运用均值不等式解决实际问题，如求最大（小）值、证明不等式等；（4）通过均值不等式的学习，提高学生的运算能力和解决问题的能力。
2、过程与方法（1）通过问题导入，引导学生自主探究均值不等式的概念，培养学生的自主学习能力；（2）采用比较、分析、归纳等教学方法，帮助学生掌握均值不等式的证明方法和应用，提高他们的逻辑思维能力；（3）设置典型例题，让学生在实践中掌握均值不等式的应用，培养他们分析问题和解决问题的能力；（4）鼓励学生进行合作学习，互相讨论，共享学习成果，提高他们的沟通能力和团队协作能力。
3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学的兴趣，激发他们学习数学的热情，使他们形成积极向上的学习态度；（2）通过均值不等式的学习，让学生认识到数学在生活中的广泛应用和价值，增强他们学习数学的信心；（3）教育学生尊重事实，遵循逻辑，树立正确的价值观，培养他们严谨、踏实的学术作风；（4）培养学生勇于探索、敢于创新的精神，使他们具备面对挑战、克服困难的勇气和信心；（5）通过小组合作，培养学生团结协作、互助互爱的良好品质，提高他们的集体荣誉感和社会责任感。
均值不等式教学设计
基本不等式教学设计一、录制内容同学们，大家好！基本不等式是高中数学教材必修五第三章不等式内容的一个重要组成部分，本节课我要讲的内容是“基本不等式”，我将以“什么是基本不等式→如何证明基本不等式→如何利用基本不等式求最值”为探究线索进行讲解。
首先一起来了解两个概念，如果,a b 为正数，则称2a b +为,a b 的算术平均数，,a b 的几何平均数。
在有了这样两个概念之后我们可能会比较好奇这两个数之间有怎样的大小关系呢？下面我们分别从代数角度和几何角度来进行证明。
从代数角度比较大小常用的方法就是作差，所以我们不妨先用作差法来探究之间的大小关系，有一定的应用性，所以我们称其为基本不等式。
那么如何来证明不等式呢？其实刚才作差探究两者大小关系的过程就给出了基本不等式的一种代数证法。
那么基本不等式又有怎样的几何意义呢？一起来看一个图形。
这是2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标，此会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，之所以用这个作为会标，一方面是因为它看上去像一个风车，象征了中国人民的热情好客，另一方面，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，揭示了很多的数学奥秘，下面我们就利用这个图形反映出来的面积大小关系对基本不等式加以解释。
设直角三角形的一条直角边长为a ，另一条直角边长为b ，则容易得到大正方形边长为b a +，小正方形边长为a b -。
需要说明的是，当b a =时，原图中的小正方形消失，四个直角三角形刚好拼成一个完整的大正方形。
根据边长可以进一步求得每一个小三角形的面积为2ab ，大正方形面积为b a +，从图形上可以看出大正方形的面积要大于或者等于四个直角三角形面积的和，所以有b a +≥ab 2也就是2b a +≥ab ，当且仅当a b =时，四个直角三角形面积的和2a b +=。
好，这样我们就借助于图形用几何方法对基本不等式做出了证明。
通过以上的学习可以知道基本不等式是解决最大（小）值问题的有力工具，在利用基本不等式求最大（小）值时，我们有这样两个原理：呢？接下来我们看一下例2：们可以归纳出在利用基本不等式求最值时的一般流程：反思本节课的内容可以发现，对基本不等式的证明可以用代数法和几何法，这两种证法刚好将数和形高度的统一到了一起，突出数形结合的思想。
《均值不等式》复习课的教学设计
《均值不等式》复习课的教学设计课题：《均值不等式》复习课的教学设计一、教学背景分析1.教学内容解析《均值不等式》是必修5人教版第三章《不等式》的第2节的内容.本节的《新课标》要求是：探索并了解均值不等式的证明过程；会用均值不等式解决简单的最大(小)问题．从历年的高考来看，均值不等式是重点考查的内容之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，大多是大小判断、求最值、求取值范围等．几乎所有地区的高考题都能看到它的踪影.2.学生学情分析（1）由于这是一节复习课，学生以前对不等式有一定的基础，在探索学习和应用的过程中，会解决简单的关于不等式问题。
（2）现在所教的班级是一个普通班，学生们的逻辑思维一般。
部分学生对学习还有愿望，希望自己有探索、发现问题和解决问题的能力，增强数学应用意识。
但还有一部分学生接受新知识能力较差，因此，在学习的过程应有一定的难度，教学中必须注意这一点。
【学法指导】在探究活动中，课堂教学以学生为主体，基本不等式为主线，在学生原有的认知基本上，学生亲历均值定理解决简单的最大(小)问题的发展及再创造的过程，培养学生积极参与的主体的意识，体验探索的乐趣，培养学习数学的兴趣。
通过独立思考和合作交流，发展思维，养成良好思维习惯，提升自主学习能力．培养学生运用数学结合的思想直观地解决数学问题。
Ⅲ．教学目标设置【教学目标】1.知识与技能通过本节探究，使学生学会熟练运用均值不等式，会用均值不等式求某些函数的最值问题．2.过程与方法通过对均值不等式的应用的研究，创设应用均值不等式的条件，合理的“拆、拼、凑”“巧用1”是解题的常用技巧，提高学生运算能力和逻辑推理能力．3.情感、态度与价值观通过本节学习，感受数学的整体性、使用性，进一步理解数学的本质，帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯．【教学重点】：熟练运用均值不等式，会用均值不等式求某些函数的最值问题．【教学难点】：灵活应用均值不等式。
均值不等式教学设计
均值不等式教材说明人教B版普通高中课程标准实验教科书（必修五）课题 3.2 均值不等式课型新授课课时2课时学情分析（一）从学生知识层面看：学生对不等式的概念和性质有了感性的认识，在探究学习和应用实习的过程中，会解决最简单的关于不等式的问题. （二）从学生素质层面看：所任班级的学生已经具有较好的逻辑思维能力，因此他们希望能够自己探索、发现问题和解决问题，增强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力.他们更需要充满活力与创造发现的课堂.教学内容分析本节课《均值不等式》是《数学必修五（人教B版）》第三章第二节的内容，主要内容是通过现实问题进行数学实验猜想，构造数学模型，得到均值不等式；并通过在学习算术平均数与几何平均数的定义基础上，理解均值不等式的几何解释；与此同时在推导论证的基础上进行公式的推广并学会应用.均值不等式是这一章的核心，对于不等式的证明及利用均值不等式求最值等应用问题都起到了工具性作用。
有利于学生对后面不等式的证明及前面函数的一些最值、值域进一步拓展与研究，起到承前启后的作用.教学目标依据新课程标准和学生的知识结构与认知水平，确定本节课的教学目标位：（一）知识与技能：通过“从生活中发现问题，实验中分析问题，设计中解决问题、总结问题，论证后延拓问题”五个环节使学生深刻理解均值不等式，明确均值不等式的使用条件，能用均值不等式解决简单的最值问题. （二）过程与方法：通过情境设置提出问题、揭示课题，培养学生主动探究新知的习惯；引导学生通过问题设计，模型转化，类比猜想实现定理的发现，体验知识与规律的形成过程；通过模型对比，多个角度、多种方法求解，拓宽学生的思路，优化学生的思维方式，提高学生综合创新与创造能力. （三）情感态度与价值观：通过问题的设置与解决使学生理解生活问题数学化，并注重运用数学解决生活中的实际问题，有利于数学生活化、大众化；同时通过学生自身的探索研究领略获取新知的喜悦.教学重点依据新课程标准和教材知识内容的特点，确定均值不等式的推导与证明，均值不等式的使用条件为教学重点.教学难点由于学生对知识的迁移应用能力一般，因此应用均值定理求最值作为本节的教学难点.教学策略选择与设计本节课主要采用启发引导式的教学策略.通过设计问题引出课题，通过启发引导解决问题、总结问题、论证问题、延拓问题等环节让学生领悟科学的探究方法，增强学生的探究能力.在教学中指导学生展开联想，大胆探索，以训练和培养学生的思维能力.教学资源与手段学案、教科书.以学案提纲代替多媒体课件，创设问题情境，激发学习兴趣，提高课堂效率.小组讨论，培养团队合作精神.教学过程设计求函数求函数：求函数的最大值的最小值，。
均值不等式教学课件ppt
均值不等式的形式与性质
基于基本不等式的证明：利用基本不等式证明均值不等式的方法是最常用的方法之一。
均值不等式的证明
均值不等式的应用
03
1
均值不等式在数学中的应用
2
3
利用均值不等式可以简洁明了地证明一些不等式成立。
证明不等式
通过运用均值不等式，可以求出函数的最值，使函数取得最优解。
解决最值问题
在求解一些方程时，运用均值不等式能够简化计算，提高解题效率。
均值不等式的现代形式
对于任意正数$a$和$b$，总有$(a+b)/2 \geq \sqrt{ab}$，当且仅当$a=b$时等号成立。
均值不等式的推广形式
均值不等式的定义
形式
均值不等式有许多形式，如$A \geq B \geq C \geq D$，其中A、B、C、D是实数或变量。
性质
均值不等式具有对称性、传递性和可加性等性质。
求解方程
03
生产计划
通过均值不等式，可以帮助生产厂家制定生产计划，实现产能和成本的最优配置。
均值不等式在经济学中的应用
01
投资组合选择
在确定投资组合时，利用均值不等式可以找到最优投资组合的比例，以实现最大收益。
02
资本预算
在资本预算中，运用均值不等式可以确定最优资本结构，以最小成本获得最大收益。
教学内容的难度和深度需要进一步调整和完善
虽然小组讨论的教学方式有助于培养学生的合作精神和思维能力，但在实际操作中容易出现小组讨论不够充分、讨论方向偏离主题等问题。因此，在今后的教学中，我将更加注重小组讨论的组织和引导，确保学生能够充分参与到讨论中，并沿着正确的方向展开讨论。
小组讨论的组织需要更加严谨
均值不等式教、学案doc
第四届学生教学技能竞赛教学设计学院：数学与计算机科学学院班级：数计（1）班课程名称：均值不等式参赛组别：高中理科组参赛组员：刘恺孟天碧张明雪李红简浩淼贵州师范大学教务处制2013年5月18 日目录1.教案………………………………………………….1~5页2.学案………………………………………………….6~8页3.选用教材封面复印件……………………………..9页教材分析教学内容地位与作用《均值不等式》教材：《普通高中课程标准实验教科书》（人教A版）数学必修（5）第三章第四节）的内容，教学大纲安排本节内容授课时间为两课时，本节课作为第一课时，重在研究公式的推导过程及公式的简单应用。
本节课《均值不等式》是《数学必修五（人B教版）》第三章第二节的内容。
均值不等式是高中数学的重要内容，是不等式的补充，是我们进一步学习数学和其他学科的基础和根据。
就应用价值来看均值不等式在求最值问题中起到了工具性作用,是研究数量大小关系的必备知识。
就内容的人文价值上来看，均值不等式探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体，是学生以后学习工作中必备的数学素养。
学情分析1.认知方面：学生已掌握不等式的定义及运用，在此基础上学习均值不等式，学生就容易掌握均值等不等式。
2认知水平与能力：高二学生已经初步具有解决问题和合作探究的能力，能在教师的引导下独立和合作地解决一些问题，但在对知识的思维严密性和整合能力还需要加强。
3.情感方面：通过对公式的推导和探索，激发学的求知欲，带来自信和成就感，建立学生对数学学习的信心，并感受公式的简洁美和严谨美。
通过均值不等式的情景引入增加了学生的学科综合的能力。
<<均值不等式>>教案（教材：《普通高中课程标准实验教科书》（人教A版）数学必修（5）第三章第四节）教 学 目 标1、知识与技能：学会推导并掌握均值不等式，理解它的几何意义，并掌握定理使用的限制和等号取到的条件。
高中数学_均值不等式教学设计学情分析教材分析课后反思
高中数学_均值不等式教学设计学情分析教材分析课后反思3.2.1《均值不等式》教案一、教学目标确立依据1.课程标准要求及解读（1）课程标准要求基本不等式：ab b a ≥+2)(0,>b a ①探索并了解基本不等式的证明过程；②会用基本不等式解决简单的最大（小）问题。
（2）课程标准解读课程标准对均值不等式要求探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）问题。
这个要求可以分为两个层次：一是探索并了解基本不等式的证明过程；二是会用基本不等式解决简单的最大（小）问题。
从第一个层次来看，要达到“探索并了解”，需要三个步骤：首先要给学生创造相关的问题情景，启发学生的思维，获取感性认识。
其次通过问题探究让学生步步深入，剖析特点；最后利用不等式的性质将得出的结论，进行完整的证明，并明确使用均值不等式的三个条件。
第二个层次是应用层面，因此要通过适当的例题、习题和变式训练，引导学生明白对式子如何变形才可满足运用均值不等式的条件。
2.教材分析本节是高中人教B 版《数学》必修5第三章不等式第二节的内容。
本节内容的教学需要两个课时，这是第一课时。
高中数学不等式是初中不等式知识的完善和提升，更是高等数学的基础，起着承前启后的作用．高中不等式与其他知识联系紧密，具有工具性功能．高中数学课程标准加强了不等式知识与实际生活的联系，力求体现数学来源于现实的真谛，教学中也更为突出不等式在解决实际问题中的工具作用．均值不等式的的三个条件是学生掌握的重点也是用均值不等式解决实际问题的易错点。
教学重点：理解均值定理并运用其解题。
教学难点：均值不等式成立的三个条件，也是学生用均值不等式解决实际问题的易错点。
难点突破方法：①多观察、勤类比、善归纳、重建构②题组引路、逐层深化、归纳总结、明确要点3.学情分析从知识方面看：通过对必修五模块第一节不等关系与不等式的学习，以及学生在初中对一些不等式知识有一定的掌握，相关技能和能力有了一定的提高，均值不等式的推出即证明过程学生可顺利的出，但均值不等式的运用，以及式子的变形是对学生的一个新的要求。
均值不等式教学设计 人教课标版(新教案)
教学设计．均值不等式整体设计教学分析均值不等式也称基本不等式．本节主要目标是使学生了解均值不等式的代数意义，几何的直观解释以及均值不等式的证明和应用．本节教材上一开始就开门见山地给出均值不等式及证明，在思考与讨论过渡下，给出均值不等式的一个几何直观解释，以加深学生对均值不等式的理解．教材用作差配方法证明均值不等式．作差配方法是证明不等式的基本方法，在整个不等式的教学中都要贯彻这一重要方法．在解题中要让学生注意使用均值不等式的条件，并掌握基本技能．一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值；见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值”．本节的《新课标》要求是：探索并了解均值不等式的证明过程；会用均值不等式解决简单的最大(小)问题．从历年的高考来看，均值不等式是重点考查的内容之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，大多是大小判断、求最值、求取值范围等．不等式的证明是将来进入大学不可缺少的技能，同时也是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐，因而成为历届高考中的热点．几乎所有地区的高考题都能觅到它的踪影．书中练习、和习题都是基本题，要求全做．鉴于均值不等式的特殊作用，因此本节设计为课时完成，但仅限于基本方法和基本技能的掌握，不涉及高难度的技巧．第一课时重在均值不等式的探究，第二课时重在均值不等式的灵活运用．且在教学中，将本节教材中的思考与讨论一起拿到课堂上来，让学生通过思考与讨论建立均值不等式与不等式＋≥的联系．三维目标．通过本节探究，使学生学会推导并掌握均值不等式，理解这个均值不等式的几何意义，掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．．通过对均值不等式的不同形式应用的研究，渗透“转化”的数学思想，提高学生运算能力和逻辑推理能力．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．．通过本节学习，使学生体会数学来源于生活，帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯．重点难点教学重点：用数形结合的思想理解均值不等式，并从不同角度探索不等式≥的证明过程；用不等式求某些函数的最值及解决一些简单的实际问题．教学难点：用均值不等式求最大值和最小值，均值不等式≥等号成立条件的运用，应用均值不等式解决实际问题．课时安排课时教学过程第课时导入新课思路.(直接引入)像教材那样，直接给出均值定理，然后引导学生利用上节课的基本性质来探究它的证明方法．因为有了上两节的不等式的探究学习，因此这样引入虽然直白却也是顺其自然．思路.(情境导入)教师自制风车，让学生把教师自制的风车转起来，这是学生小时候玩过的得意玩具；手持风车把手，来了一个°的旋转，不但风车转得漂亮，课堂气氛也活跃，学生在紧张的课堂氛围中马上变得自然和谐，情境引入达到高潮，此时教师再提出问题．推进新课(\\(新知探究))(\\(提出问题))错误!活动：教师引导学生阅读均值定理的内容，或直接用多媒体给出．点拨学生利用上两节课所学知识进行证明，这点学生会很容易做到，只需作差配方即可．接着让学生明确，这个结论就是均值不等式，也叫基本不等式．其中，任意两个正实数、的叫做数、的算术平均值，数叫做、的几何平均值．均值定理可以表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．强调这个结论的重要性，在证明不等式、求函数的最大值最小值时有着广泛的应用，是高考的一个热点．可以通过反例或特例让学生进一步认识这个结论成立的条件，、必须是正数，等号成立当且仅当＝，以加深学生对此结论的理解，为后面求最值时的“一正二定三相等”打下基础．利用不等式的性质对均值不等式两边平方，则很容易得到＋≥.这是一个很重要的结论．一般地，如果、∈，那么＋≥(当且仅当＝时取“＝”)也可让学生重新证明这个结论：∵＋－＝(－)，当≠时，有(－)＞.当＝时，有(－)＝，所以(－)≥，即＋≥.这个不等式对任意实数，恒成立，是一个很重要的不等式，应用非常广泛．请同学们注意公式的结构形式，成立的条件是、为实数，等号成立的条件是当且仅当＝时成立．“当且仅当”即指充要条件．下面我们对均值不等式的几何意义作进一步探究．如图，是圆的直径，点是上一点，＝，＝.过点作垂直于的弦′，连结、.你能利用这个图形得出均值不等式的几何解释吗？图(本节课开展到这里，学生从均值不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对均值不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础)这个图形是我们在初中非常熟悉的一个重要图形．容易证明△∽△.所以可得＝.或由射影定理也可得到＝.从图中我们可直观地看到表示的是半弦长，表示的是半径长．由于半弦长不大于半径，即小于或等于圆的半径，用不等式表示为：≥.显然，上述不等式当且仅当点与圆心重合，即当＝时，等号成立．还应让学生熟悉均值不等式的其他变形式．如若、∈＋，则≤，当且仅当＝时，式中等号成立．好多书上就把它称为基本不等式．在同样条件下还可写成：＋≥或≤＋等．讨论结果：()()略．()均值不等式的几何解释是：半径不小于半弦长．()若、∈＋，则≤，当且仅当＝时，式中等号成立；若、∈＋，则＋≥，当且仅当＝时，式中等号成立；若、∈，则＋≥，当且仅当＝时，式中等号成立．(\\(应用示例))例(教材本节例)活动：本例是均值不等式的简单应用，教师点拨学生证明时注意式中成立的条件，本例中的和相当于均值不等式中的、.因此必须有，∈＋.点评：初用均值不等式，学生往往容易忽视不等式成立的条件，点拨学生注意，只要使用均值定理，马上先想到条件，养成良好的解题习惯.例已知(＋)(＋)＞(＋)，求证：＋≥.活动：教师引导学生探究题目中的条件与结论．本题结论中，注意与互为倒数，它们的积为，故此题应从已知条件出发，经过变形，说明与为正数开始证题．证明：∵(＋)(＋)＞(＋)，∴＋＋＋＞＋.∴－＋－＞.∴(－)－(－)＞.∴(－)(－)＞，即－与－同号．∴与均为正数．∴＋≥＝(当且仅当＝时取“＝”)．∴＋≥.点评：本题通过对已知条件变形，恰当地因式分解，从讨论因式乘积的符号来判断与是正还是负，是我们今后解题中常用的方法．例若＞＞，＝，＝(＋)，＝，则()．＜＜．＜＜．＜＜．＜＜活动：这是均值不等式及其变形式的典型应用．根据、、三个式子的结构特点，应考虑利用均值不等式，再运用函数＝的单调性．答案：解析：∵＞＞，∴＞＞.∴(＋)＞·，即＞.又∵＞，∴＞＝(＋)．∴＞.故＜＜.点评：应准确理解均值不等式成立的条件，创造性地应用均值不等式．例(教材本节例)活动：这是一个实际问题．教师引导学生分析，根据题意在()中，矩形的长与宽的积是一个常数，求长与宽的和的两倍的最小值；在()中，矩形的长与宽的和的两倍是一个常数，求长与宽的积的最大值．联想到均值不等式的两边恰是两个正数的和与积，因此建立均值不等式的数学模型．点评：本例也可用函数模型解决，课后可让学生试一试．这里用均值不等式来解，一是说明利用均值不等式求最值的方法，二是说明这种方法的快捷．解完本例后，让学生领悟到：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．简单地说就是：在应用这个结论求最值时应把握“一正、二定、三相等”．正是正数，定是定值，相等是能取到等号．(\\(知能训练))．“＝”是“对任意的正数＋≥1”的()．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分又不必要条件．若正数、满足＝＋＋，则的取值范围是．答案：．解析：一方面，当＝时，对任意的正数，有＋＝＋≥；另一方面，对任意正数，都有＋≥，只要＋≥≥，即得≥.．[，＋∞)解法一：令＝(＞)，由＝＋＋≥＋，得≥＋，解得≥，即≥，故≥.解法二：由已知得－＝＋，(－)＝＋，∴＝(＞)．∴＝·＝[(－)＋]＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋≥＋＝.当且仅当－＝时取等号，即＝＝时，的最小值为.∴的取值范围是[，＋∞)．点评：此题较全面地考查了均值不等式的应用及不等式的解法与运算能力．通过思考＋与的关系联想到均值不等式，或建立在函数思想上，求函数的值域．由于视角的不同，有多种方法，以上仅是其中的两种解法．(\\(课堂小结))．由学生自己理顺整合本节都学到了哪些知识方法？有哪些收获？．教师强调，本节课，我们学习了重要不等式＋≥；两正数、的算术平均数()，几何平均数()及它们的关系(≥)．两关系式成立的条件不同，前者只要求、都是实数，而后者要求、都是正数．它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具．(\\(作业))习题—2A组，.习题—组，.设计感想．本节设计突出重点．均值不等式的功能在于求最值，这是本节的重点，要牢牢地抓住．但使用均值不等式求函数最值时要注意：①，都是正数；②积(或和＋)为定值；③与必须能够相等．．本节课我们探究了均值不等式，拓展了我们的视野；证明不等式是高中数学的重点，也是难点，在设计中加强了证明不等式的题量，但难度并不大，重在让学生体会方法．将解题思路转化为解题过程，往往不是一帆风顺的，谈思路可能头头是道，具体求解却可能会处处碰壁，消除思路与求解的差异，要靠探究，在探究中不断更新，在探究中逐步完善．(设计者：郑吉星)第课时导入新课思路.(复习导入)让学生回忆上节课我们探究的重要结果：一是如果，∈，那么＋≥(当且仅当＝时取“＝”)；二是均值不等式：如果，是正数，那么≥(当且仅当＝时取“＝”)．在这个不等式中，为，的算术平均数，为，的几何平均数，这样均值不等式就有了几何意义：半弦长不大于半径．＋≥与≥成立的条件是不同的，前者只要求，都是实数，而后者要求，都是正数．本节课我们进一步探究均值不等式的应用．由此展开新课．思路.(直接导入)通过上节课＋≥(、∈)与≥(＞，＞)的探究证明，我们熟悉了不等式的一些证明方法．本节课我们进一步领悟不等式的证明思路、方法，进一步熟悉利用均值不等式解决函数的最值问题的思路．教师打开多媒体课件，从而展开新课．推进新课(\\(新知探究))(\\(提出问题))错误!活动：教师引导学生回忆上节课我们共同探究的均值不等式，以及均值不等式与＋≥的联系．给出了均值不等式的一个几何直观解释．均值不等式与＋≥都有着广泛的应用．对这两个重要不等式，要明确它们成立的条件是不同的．后者成立的条件是与都为实数，并且与都为实数是不等式成立的充分必要条件；而前者成立的条件是与都为正实数，并且与都为正数是不等式成立的充分不必要条件，如＝，＝，仍然能使≥成立．两个不等式中等号成立的条件都是＝，故＝是不等式中等号成立的充要条件．在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握“一正、二定、三相等”．当条件不完全具备时，应创造条件．本节课我们将进一步探究均值不等式的应用．讨论结果：()()略．()应注意不等式成立的条件，即把握好“一正，二定，三相等”．(\\(应用示例))例(教材本节例)活动：本例是求函数的最值．教师引导学生将()变形，注意观察代数式中可否出现和或积的定值．本例可放手让学生自己探究，教师给予适当点拨．点评：解完本例后，让学生反思并领悟在求函数最值时，如何使用均值不等式的条件，并掌握基本技能.例()已知＜，求函数＝－＋的最大值；()已知、为实数，求函数＝(－)＋(－)的最小值．活动：()因为－＜，所以首先要“调整”符号．又(－)·不是常数，所以应对－进行拆(添)项“配凑”．()从函数解析式的特点看，本题可化为关于的二次函数，再通过配方法求其最小值．但若注意到(－)＋(－)为定值，则用变形不等式≥()更简捷．解：()∵＜，∴－＞.∴＝－＋＝－(－＋)＋≤－＋＝.当且仅当－＝，即＝时，上式等号成立．∴当＝时，＝.()∵＝(－)＋(－)＝(－)＋(－)≥[]＝，当且仅当－＝－，即＝时，上式等号成立．∴当＝时，＝.点评：若、∈＋，＋＝，＝.若为定值，则当且仅当＝时，的值最小；如果为定值，则当且仅当＝时，的值最大．简称“和定积最大，积定和最小”．从本例的解答可以看出，求最值时往往需要拆(添)项，其目的是创设应用均值不等式的情境和使等号成立的条件，即满足“一正，二定，三相等”的要求.方法一：以、所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，则直线方程为＋＝，设例当＞－时，求函数()＝的值域．活动：教师引导学生观察函数()的分子、分母特点，可作如下变形：()＝＝＝＋＋－.这样就可以应用均值不等式了．解：∵＞－，∴＋＞.∴()＝＝＝＋＋－≥－＝－，当且仅当(＋)＝时，即＝－时取“＝”．另一解＝－－＜－(舍去)，故函数值域为[－，＋∞)．点评：本题解法具有典型性，解后教师引导学生领悟反思．这种求值域的题目，在“函数”一章中我们接触较多，其常用方法有单调性、图象法，还有判别式法．利用判别式法不仅计算量大，而且极易因忽视某些条件而出错．本例给出了用均值不等式法求值域的方法，既简单又不易出错．但提醒学生一定要注意必须满足的三个条件：①各项均为正数；②和或积有一个为定值；③等号一定取到，这三个条件缺一不可.例设＜＜，求函数()＝的最大值，并求相应的值．试问＜＜时，原函数()有没有最大值？＜≤时，()有没有最大值？若有，请你求出来；若没有，请你说明理由．活动：对本例中的函数可变形为()＝，根号内是我们熟悉的二次函数，完全可以用二次函数的知识方法解决，这种方法学生很熟悉．教师可引导学生利用均值不等式求解，让学生自己探究，教师可适时地点拨．解：∵＜＜，∴－＞.∴()＝≤＝，当且仅当＝－，即＝时取“＝”．∴函数()的最大值为，此时＝.又()＝＝，∴当＜＜时，()递增；当＞时，()递减．∴当＜＜时，原函数()没有最大值．当＜≤时，有最大值()，即()＝.点评：通过本例再次加深对均值不等式条件的理解．体会不等式的功能在于“和与积”的互化，构造均值不等式，解题的技巧是拆(添)项或配凑因式．(\\(知能训练))．函数()＝的最大值为()．．求函数＝＋(＞)的最小值，以及此时的值．．已知、∈＋，且＋－＝，求＋的最小值．答案：．解析：当＝时，()＝；当＞时，()＝＝≤，当且仅当＝，即＝时取等号．．解：∵＞，∴＋≥·＝，当且仅当＝，即＝时取等号．∴当＝时，＋的值最小，最小值是.．解：由＋－＝得(－)＝.∵＞，＞，∴－＞.∴＋＝＋＝－＋＋≥＋＝，当且仅当－＝，即＝时，＋取最小值.(\\(课堂小结))．由学生归纳整合本节课所用到的知识、思想方法，回顾本节课解决了哪些问题？应注意些什么？．教师点拨，本节课我们用均值不等式解决了函数的一些最值问题，在用均值不等式求函数的最值时，应注意考查下列三个条件：()函数的解析式中，各项均为正数；()函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；()函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正、二定、三相等．在利用均值不等式证明一些不等式时，也应注意均值不等式成立的条件及构建均值不等式结构．(\\(作业))习题—2A组、、、、；习题—组、.设计感想．本节设计意在体现均值不等式的应用，因此用不等式求解函数的最值与证明不等式是穿插进行的，且强调一题多解的训练．．本节设计关注了教学进程的和谐发展．整个设计给人自然流畅的感觉，没有教师过分自我展示的味道，能使学生的思维得到充分的锻炼，能力得到很大的提高．．本节设计重视了学生的主体地位，从例题到变式训练，从新课导入到课堂小结，都注意了学生的主动思维活动，充分让学生占据思维的时空，这是提高学生思维能力的有效良方．备课资料一、算术平均数不小于几何平均数的一种证明方法(局部调整法)()设，，，…，为正实数，这个数的算术平均值记为，几何平均值记为，即＝)，＝，即≥，当且仅当＝＝…＝时，＝.特别地，当＝时，≥；当＝时，≥.()用局部调整法证明均值不等式≥.设这个正数不全相等．不失一般性，设＜≤≤…≤，易证＜＜，且＜＜.在这个数中去掉一个最小数，将换成，再去掉一个最大数，将换成＋－，其余各数不变，于是得到第二组正数：，，，…，－，＋－.这一代换具有下列性质：①两组数的算术平均值不变，设第二组数的算术平均值为，那么＝＝，②第二组数的几何平均值最大．设第二组数的几何平均值为，则＝，∵(＋－)－＝(－)(－)，由＜＜，得(－)(－)＞，则(＋－)＞.∴2a…－(＋－)＞1a…－·，即＞.二、备用习题．已知≥，≥，且＋＝，则()．≤．≥．＋≥．＋≤．若、、、、、是正实数，且＝＋，＝·，则()．＝．＜．≤．≥．若函数＝()的值域是[，]，则函数()＝()＋的值域是()．[，] ．[，]．[，] ．[，]．某公司一年购买某种货物吨，每次都购买吨，运费为万元次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则＝吨．．直线过点()且分别交轴，轴正半轴于点，，为坐标原点，求△面积最小时的方程．．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量(千辆时)与汽车的平均速度(千米时)之间的函数关系为＝)(＞)．()在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到千辆时)()若要求在该时段内车流量超过千辆时，则汽车的平均速度应在什么范围内？参考答案：．解析：对于选项：＋＝≥＝＝.故正确．．解析：∵、、、、、是正实数，∴＝·＝≥＝＋＝.．解析：令＝()，则∈[，]．∴()＝()＝＋.该函数在＝处取得最小值，在＝处取得最大值.故选.．解析：设一年总费用为万元，则＝·＋＝)＋≥)·)＝，当且仅当)＝，即＝时，等号成立．．解：设直线的方程为－＝(－)，即＝＋－(＜)．令＝，得＝－；令＝，得＝＝－.∴△＝(－)(－)＝＋＋(－)．∵＜，∴－＞.∴△≥＋＝，当且仅当－＝－，即＝－时取等号．此时的方程为＝－＋.．解：()依题意，得＝) )≤))＝，当且仅当＝)，即＝时，上式等号成立，所以＝≈(千辆时)．()由条件得)＞，整理，得－＋＜，即(－)(－)＜，解得＜＜.答：当＝千米时时，车流量最大，最大车流量约为千辆时．如果要求在该时段内车流量超过千辆时，则汽车的平均速度应大于千米时且小于千米时．(设计者：郑吉星)。
第40讲 基本(均值)不等式
第40讲 基本(均值)不等式夯实基础 【p 91】【学习目标】掌握不等式的性质和基本不等式a ＋b 2≥ab (a ，b ≥0)，会用不等式理论研究函数问题(单调性、最值等)、方程解的问题；会用不等式的基础知识建模，分析求解与不等式相关的实际应用问题．【基础检测】1．若a>b>0，则下列不等式不成立的是( )A.1a <1bB ．|a|>|b|C ．a ＋b<2ab D.⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b【解析】因为a>b>0，所以a ＋b 2>ab ，这与选项C 显然矛盾，故C 选项错误． 【答案】C2．若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y＝1，则x ＋2y 的最小值为( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2【解析】∵两个正实数x ，y 满足2x ＋1y＝1， ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y ≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y，即x ＝4，y ＝2时取等号，故x ＋2y 的最小值是8.故选A.【答案】A3．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x 8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件【解析】每批生产x 件，则平均每件产品的生产准备费用是800x元，每件产品的仓储费用是x 8元，则800x ＋x 8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x 8，即x ＝80时“＝”成立，∴每批应生产产品80件．【答案】B4．已知x ＞0，则4x x 2＋2的最大值为________． 【解析】根据题意，由于x ＞0，则4x x 2＋2＝4x ＋2x ≤42x·2x ＝2，当且仅当x ＝2时取得等号，故可知4x x 2＋2的最大值为 2. 【答案】2【知识要点】(1)a 2＋b 2__≥__2ab ；变式：a 2＋b 22≥__⎝⎛⎫a ＋b 22__，当且仅当a ＝b 时等号成立．(2)如果a ≥0，b ≥0，则a ＋b 2__≥__ab ；变式：ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，当且仅当a ＝b 时，等号成立．其中a ＋b 2叫作正数a 、b 的__算术平均值__，ab 叫作正数a 、b 的__几何平均值__． (3)几个重要的不等式b a ＋a b≥__2__(a ，b 同号)， a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)利用基本不等式求最值已知x >0，y >0，①如果积xy 是定值p ，那么当且仅当__x ＝y __时，x ＋y 有最__小__值是．(简记：积定和最小)②如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当__x ＝y __时，xy 有最__大__值是__p 24__．(简记：和定积最大)不等式的应用大致可分为两类：一类是不等式在理论方面的应用，另一类是不等式的实际应用．1．不等式理论的应用又主要体现在如下几个方面：(1)运用不等式研究函数问题(单调性、最值等)；(2)运用不等式研究方程解的问题；(3)利用函数性质及方程理论求解的不等式问题，诸如方程的根的分布问题，解集之间的包含关系，函数的定义域及值域，最值问题，解析几何中有关范围问题等，都与解不等式的知识相关联．2．不等式在实际中的应用是指用不等式解决生产、科研和日常生活中的问题，在解题中要注意：首先要过“阅读理解”关，阅读关是指读懂题目，能够概括出问题涉及到哪些内容；其次，过理解关，理解关是指准确地理解和把握这些量之间的关系，然后建立数学模型，再讨论不等关系，最后得出问题结论．应用不等式知识解题的关键是建立不等关系，其建立的途径有：①利用几何意义；②利用判别式；③应用变量的有界性；④应用函数的单调性；⑤应用均值不等式．典 例 剖 析 【p 92】考点1 利用基本不等式求最值例1(1)设a 、b ∈R ＋，且1a ＋9b＝1，则a ＋b 的最小值为( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32【解析】∵a 、b ∈R ＋，1a ＋9b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b≥10＋2b a ·9a b＝16，当且仅当b a ＝9a b，即a ＝4，b ＝12时等号成立，故选C. 【答案】C(2)设a ＞0，b ＞0, a ＋4b ＝1，则使不等式t ≤a ＋b ab恒成立的实数t 的取值范围是( ) A ．t ≤8 B ．t ≥8 C ．t ≤9 D ．t ≥9【解析】因为a ＞0，b ＞0，所以t ≤a ＋b ab 等价于t ≤1a ＋1b， 只需t ≤⎝⎛⎭⎫1a ＋1b min ，而1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋4b )＝4b a ＋a b ＋5≥24b a ·a b ＋5＝9，当且仅当4b a＝a b ，即a ＝13，b ＝16时取“＝”． ∴t ≤9，故选C.【答案】C【小结】利用基本不等式解决问题的关键是要注意定理成立的三个条件“一正，二定，三相等”，同时要注意创设应用均值不等式的条件，1的代换再展开是常用方法． 考点2 基本(均值)不等式与函数的综合问题例2(1)已知x>0，则函数f (x )＝4x ＋1x的最小值为 ____________． 【解析】已知x>0，根据均值不等式可知：f (x )＝4x ＋1x ≥24x·1x ＝4，当且仅当x ＝12时取等号．【答案】4(2)设0<x<2，则函数y ＝x （4－2x ）的最大值为________．【解析】∵0<x<2，∴2－x>0，∴y ＝x （4－2x ）＝2·x （2－x ）≤2·x ＋2－x 2＝2， 当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，∴当x ＝1时，函数y ＝x （4－2x ）的最大值为 2.【答案】2(3)已知a>0，b>0，函数f (x )＝x 2＋(ab －a －4b )x ＋ab 是偶函数，则f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标的最小值为________．【解析】根据函数f (x )是偶函数可得ab －a －4b ＝0，函数f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为ab.由ab －a －4b ＝0，得ab ＝a ＋4b ≥4ab ，解得ab ≥16(当且仅当a ＝8，b ＝2时，等号成立)，即f (x )的图象与y 轴交点纵坐标的最小值为16.【答案】16【小结】解决函数与不等式问题经常需要合理拆分或配凑，而“拆”与“凑”的原则在于使“和式”或“积式”为定值，“和定积最大，积定和最小”，并且注意验证等号的可取性． 考点3 基本不等式的实际应用例3(1)如果一个正方形的四个顶点都在三角形的三边上，则该正方形是该三角形的内接正方形，那么面积为2的锐角△ABC 的内接正方形面积的最大值为____________．【解析】设三角形的一条边长为a ，这条边上的高为b ，内接正方形的边长为x ，则由题设ab ＝4，由相似三角形的对应边的关系可得：b －x b ＝x a ，即x (a ＋b )＝4，故x ＝4a ＋b，又因为a ＋b ≥2ab ＝4，所以x ＝4a ＋b≤1，当且仅当a ＝b ＝2时取等号． 因此该三角形的内接正方形的面积为S ＝x 2＝16（a ＋b ）2≤1，即该三角形的内接正方形的面积的最大值为1.【答案】1(2)某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为Q ＝3x －2x(x>1)，已知生产该产品的年固定投入为3万元，每生产1万件该产品另需再投入32万元，若每件产品的销售价为“年平均每件生产成本(生产成本不含广告费)的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(ⅰ)试将年利润W (万元)表示为年广告费x (万元)的函数；(年利润＝销售收入－成本) (ⅱ)当年广告费为多少万元时，企业的年利润最大？最大年利润为多少万元？【解析】 (ⅰ)由题意，产品的生产成本为(32Q ＋3)万元，销售单价为32Q ＋3Q ×150%＋x Q×50%， 故年销售收入为y ＝⎝⎛⎭⎫32Q ＋3Q ×150%＋x Q ×50%·Q ＝48Q ＋92＋12x ， ∴W ＝y －(32Q ＋3)－x ＝16Q ＋32－x 2＝49.5－32x －x 2(x>1)． (ⅱ)∵W ＝49.5－⎝⎛⎭⎫32x ＋x 2≤49.5－232x ·x 2＝49.5－8＝41.5. 当且仅当32x ＝x 2，即x ＝8时，W 有最大值41.5， ∴当年广告费为8万元时，企业年利润最大，为41.5万元．【小结】(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．【能力提升】例4桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为S 平方米．(1)试用x 表示S ；(2)当x 取何值时，才能使得S 最大？并求出S 的最大值．【解析】(1)由图形知，3a ＋6＝x ，∴a ＝x －63. 则总面积S ＝⎝⎛⎭⎫1 800x －4·a ＋2a ⎝⎛⎭⎫1 800x －6 ＝a ⎝⎛⎭⎫5 400x －16＝x －63⎝⎛⎭⎫5 400x －16＝1 832－⎝⎛⎭⎫10 800x ＋16x 3，即S ＝1 832－⎝⎛⎭⎫10 800x ＋16x 3(x ＞6)．(2)由S ＝1 832－⎝⎛⎭⎫10 800x ＋16x 3， 得S ≤1 832－2 10 800x ·16x 3＝1 832－2×240＝1 352. 当且仅当10 800x ＝16x 3时取等号，此时，x ＝45. 即当x 为45米时，S 最大，且S 最大值为1 352平方米．方 法 总 结 【p 93】1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．2．对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件．3．对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋m x(m>0)的单调性．走 进 高 考 【p 93】1．(2018·天津)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为__________． 【解析】由题知a －3b ＝－6，因为2a >0，8b >0，所以2a ＋18b ≥2×2a ×18b ＝2×2a －3b ＝14，当且仅当2a ＝18b ，即a ＝－3，b ＝1时取等号． 【答案】14。
高中数学新课程均值不等式单元的教学设计
高中数学新课程 "均值不等式 "单元的教学设计摘要:纵观历年以来的高考题目，均值不等式是一个重要的考察内容，贯穿于各种数学考试题型中。
运用均值不等式可以灵活的解决判断大小、求最值以及取值范围等问题，同时不等式的知识点也可以对今后的数学学习产生影响，学好并且利用好均值不等式的知识，可以为学生提供多样的数学解决方法。
高中教师要重视均值不等式的教学，认真做好教学设计，加深学生对于均值不等式的理解。
关键词:高中数学；均值不等式；教学设计引言:高中生在学习均值不等式的时候会面临各种各样的困难，不能深刻把握不等式应用的深层含义，在传统的数学教学模式下，均值不等式的重点问题很难把握，数学典型例题比较少，学生的思维很容易被固化。
因此为了实行新式教育，教师要做好备课工作，积极准备均值不等式教学设计任务，完成高质量的教学设计工作，从课程与教材分析、教学计划、教学评价、案例分析与案例示范等方面出发，指出教师在进行高中数学均值不等式设计时需要重点考虑的问题。
一、关于均值不等式的数学文化要想学好均值不等式，教师就要先带领学生深入了解一下关于均值不等式的数学文化。
均值不等式是一个比较传统的数学知识点，其最大的优势就在于均值不等式可以应用在生产实际当中。
比如在日常生活中经常出现的土地利用、机械制造以及广告投资等领域中经常可以看到均值不等式知识的应用，不论是生活中的大问题还是生活中的小问题都可以看到均值不等式的身影，可以说均值不等式知识点的发现、验证和实际应用是数学文化的精彩部分，对于人类来说也是一笔宝贵的财富。
另外从美学层面上来讲，均值不等式与数学几何图形的完美结合也体现了数学学科的美。
众所周知，数学问题可以同时有多种解决方法和解决方式，均值不等式知识点事数学学科基础知识的一部分，灵活应用均值不等式解决数学问题，可以开阔学生的视野，拓宽学生的解题思路，捋清学生的解题思路。
有的时候为了节省解题时间，省去复杂的解题步骤，学生完全可以应用均值不等式知识点找出正确的答案，又快又准，很好的提高了学生的数学成绩。
均值不等式的应用教案2
均值不等式的应用教案马洪祥课标要求：掌握两个正数的算术平均数与几何平均数的定理，并会简单应用．教学目标：1．使学生进一步掌握算术平均数与几何平均数的相关知识，能利用均值定理解决相关问题；2．通过对均值不等式的应用的研究，渗透“转化”的数学思想，提高学生运算能力和逻辑推理能力．3．在学习和解决问题的过程中，帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，培养学生严谨的科学态度及良好的思维习惯，形成积极探索的研究态度．教学重点和难点：均值定理使用的条件既是教学重点又是教学的难点．教学手段：计算机辅助教学教学方法；启发式，谈话式教学过程：一、复习引入：：数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”师：均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有着广泛的应用．师：均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围，证明不等式、解决实际应用问题方面有着广泛的应用，下面举例说明：二、应用举例：1、均值定理在求最值问题中的应用:例1.已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
例2. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。
均值不等式教案
均值不等式教案0 均值不等式【核心知识】1.如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 2.基本不等式2a bab +≤几何意义是“半径不小于半弦”.3.两个重要的不等式链(1)),,(22222时等号成立当且仅当b a R b a ab b a b a =∈≥??+≥+. (2) ),0,0(1122222时等号成立当且仅当b a b a ba ab b a ba =>>+≥≥+≥+.例一:已知函数)0(sin 2sin π<<+=x xx y ，求值域. 解：假设]1,0(,sin ∈=x t 则函数转化为]1,0(,2)(∈+=t tt t h ，由对号函数的性质可知：t t t h 2)(+=在]1,0(内单调递减，所以3)1()(min ==h t h ，即tt t h 2)(+=的值域是),3[+∞ 考点一：利用基本不等式求范围例:(原创题)若正数a ，b 满足ab=a+b+3，则ab 的取值范围是_______ ．解法一: 由a 、b ∈R +，由重要不等式得a+b ≥2ab ，则ab=a+b+3≥2ab +3，即32--ab ab ≥)1)(3(0+-?ab ab ≥ab ?0≥3，∴ ab ≥9 ．变式训练: (原创题)若1->x ，则x =_____时,11++x x 有最小值，最小值为_____. 解析: 合理拆添项或配凑因式是常用的解题技巧,而拆与凑的前提在于使等号能够成立. 解∵1->x , ∴01>+x , ∴011>+x ,∴11++x x =1111x x ++-+12(1)11x x ≥+?-+ 211=-=，当且仅当111+=+x x 即0=x 时1)11(min =++x x . 答案:0,1考点二：利用基本不等式证明不等式例: (原创题)已知,,a b c R ∈,求证:222a b c ab bc ca ++≥++.解: 2222222,2,2a b ab b c bc a c ac +≥+≥+≥, 相加整理得222a b c ab bc ca ++≥++. 当且仅当a b c ==时等号成立.变式训练: (原创题)已知a ，b 为正数，求证：ab ba +≥b a +．解析:解法一：∵ a>0，b>0，∴b ba +≥aa 22=?，a ab +≥b a ab 22=?，两式相加，得a ab b ba +++≥b a 22+，∴ab ba +≥b a +．考点三: 基本不等式的应用例: (原创题)已知0,0x y >>且满足281x y+=,求x y +的最小值. 解析:利用281x y+=，构造均值不等式形式. 利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”即（1)要求各数均为正数；(2)要求“和”或“积”为定值；(3)要注意是否具备等号成立的条件．解∵2828()1()()28y x x y x y x y xy x y+=+?=+?+=+++,0,0x y >>, ∴280,0y x x y >>1021618x y +≥+=,当且仅当28y x x y=时等号成立,即224y x =, ∴2y x =,又28+=, ∴6,12x y == ∴当6,12x y ==时,x y +有最小值18.变式训练: (原创题)已知x>0，y>0，且3x+4y=12，求lgx+lgy 的最大值及此时x 、y 的值．解析:这是条件最值问题，但目标式与已知条件的联系较隐蔽，不易发现.应将lgx+lgy 转化成lg(xy)考虑．解:∵x>0，y>0，3x+4y=12，∴ y x xy 43121??=≤32431212=??+y x ，∴lgx+lgy=lg(xy)≤lg3 ．由??==+>>y x y x y x 4312430,0 解得==232y x∴当x=2，y=23时，lgx+lgy 取得最大值lg3 ．【课堂巩固，夯实基础】1. (原创题)若实数a 、b 满足a+b ＝2,则3a +3b的最小值是( )A.18B.6C.32D.432 解析:充分考虑基本不等式的应用条件，和定积最大.解:由均值不等式,得3a+3b≥632332==?+b a b a ，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，所以3a +3b的最小值是6. 答案:B3. (原创题)已知M 是△ABC 内的一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA 和△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4y的最小值是( )B ．18C ．16D ．9解析：经分析x ＋y ＝12，则122=+y x ,利用1的代换.解:由已知得AB →·AC →＝bccos∠BAC＝23?bc ＝4，故S △ABC ＝x ＋y ＋12＝12bcsinA ＝1?x ＋y ＝12，而1x ＋4y ＝2(1x ＋4y )×(x＋y) ＝2(5＋y x ＋4xy)≥2(5＋2y x ×4xy)＝18. 答案:B5. (2011届年天津和平月考)设a>0，b>0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．8B ．4C ．1 D.14解析：充分发挥1的代换,将1换成字母表达式,使待求的式子中出现倒数的形式.解:由题意知3a ·3b即3a ＋b＝3，所以a ＋b ＝1. 因为a>0，b>0，所以1a ＋1b ＝(1a ＋1b )(a ＋b)＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b＝4，当且仅当a ＝b 时，等号成立．答案:B6. (改编题)已知x<12，则函数y ＝2x ＋12x －1的最大值是( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2解析：凑配成y ＝－[(1－2x)＋11－2x]＋1，是利用基本不等式的关键,要注意1－2x 符号. 解:y ＝2x ＋12x －1＝－[(1－2x)＋11－2x]＋1，由x<12可得1－2x>0，根据基本不等式可得(1－2x)＋11－2x≥2，当且仅当1－2x ＝1即x ＝0时取等号，则y max ＝－1. 答案:C7. (原创题)已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a>0，b>0)对称，则4a＋1b的最小值是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．9解析：圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a>0，b>0)对称，是指圆心在直线上,也是取得a,b 等量关系的唯一依据,为求最值作准备.解: 由圆的对称性可得，直线2ax －by ＋2＝0必过圆心(－1,2)，所以a ＋b ＝1.所以4a ＋1b＝4(a ＋b)a ＋a ＋bb ＝4b a ＋a b ＋5≥24b a ·a b ＋5＝9，当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝2b 时取等号. 答案:D8. (原创题)若a,b 都是正实数,π是圆周率,e 是自然对数的底数,则下列各式中可能大于a 2+b 2的是( )A.2(a+b-1)B.(2b a +)2+abC.2e(a+b) D.2πab 解析:作差比较,逐个排除.解:对于A,因为a 2+b 2-2(a+b-1)＝(a-1)2+(b-1)2≥0,因此a 2+b 2≥2(a+b-1);对于B,a 2+b 2-［(2b a +)2+ab ］＝46ab -3b 3a 22+＝4b)-3(a 2≥0,因此a 2+b 2≥(2b a +)2+ab;对于D,因为a 2+b 2≥2ab ＞2πab,所以a 2+b 2＞2πab. 综上,可知只有C 满足条件.答案:C 二.填空题10. (原创题) 已知,0,0>>y x 且191=+yx 则y x +的最小值为 . 解析:利用1的代换或换元法消x 或y. 解:169210910)91)((=+≥++=++=+yx x y y x y x y x 当且仅当4,12==x y 时等号成立. 或解：由191=+y x 得9-=y y x ,则1699919≥-+-+=+-=+y y y y y y x . 答案:1611. (原创题) 已知y x m y x y x +=+=+4,lg lg )lg(则m 的取值范围是 . 解析:利用对数的运算性质,得到x,y 的关系. 解:由题意xy y x y x =+>>,0,0,故111=+y x ,945)11)(4(4≥++=++=+yx x y y x y x y x , 当且仅当3,23==y x 时等号成立,9≥m . 答案: 9≥m12. (2010华附)已知,*41x y R x y ∈+=,且,则11x y+的最小值为解析:1的逆用,倒数的出现正迎合了基本不等式的使用条件. 解:∵9454411*,,≥++=+++=+∴∈yxx y y y x x y x y x R y x ，当且仅当61,31==y x 时取等号. 答案:9 三.解答题13.(2010河南焦作一中月考)已知函数c bx ax x x f +++=23)(在点))1(,1(f P 的切线方程为13+=x y ,若函数在)1,2(-上单调递增,求b 的取值范围. 解析:此题是方法比较灵活的题目,可以用基本不等式,也可用导数法.解:由b ax x x f ++='23)(2及3)1(='f 得到b a -=2,则b bx x x f +-='23)(. 由题设可得032≥+-b bx x 对∈x )1,2(-恒成立.即23)1(x b x -≥-对∈x )1,2(-恒成立xx b --≥132 对∈x )1,2(-恒成立.只需x x b --≥132在)1,2(-上的最大值.对于这个最大值的计算方法可以是平均值定理法,也可以是导数法,下面选择其中一种.06613)1(3613)1((3132=-≤----=--+=--xx x x x x (当0=x 时等号成立)故0≥b .。
高中数学_均值不等式教学设计学情分析教材分析课后反思
均值不等式六、教学设计教学目标：1、知识与技能：通过“从情景中发现问题，类比中分析问题，设计中解决问题、总结问题，论证后延拓问题”五个环节使学生深刻理解均值不等式，明确均值不等式的使用条件，能用均值不等式解决简单的最值问题。
2、过程与方法：通过情境设置提出问题、揭示课题，培养学生主动探究新知的习惯；引导学生通过问题设计，类比猜想实现定理的发现，体验知识与规律的形成过程；通过模型对比，多个角度、多种方法求解，拓宽学生的思路，优化学生的思维方式，提高学生综合创新与创造能力，培养学生的逻辑推理、数学抽象、直观想象、数学运算、数学建模的数学核心素养。
3、情感态度与价值观：通过问题的设置与解决使学生理解生活问题数学化，并注重运用数学解决生活中的实际问题，有利于数学生活化、大众化；同时通过学生自身的探索研究领略获取新知的喜悦。
渗透数学文化，激发学生学习数学的兴趣，提升学生的抽象概括能力。
教学重点与难点：重点：用均值不等式求解最值问题的思路和基本方法。
难点：均值不等式的使用条件，合理地应用均值不等式．教学方法：本节课主要采用启发引导式的教学策略.通过设计问题引出课题，通过启发引导解决问题、总结问题、论证问题、延拓问题等环节让学生领悟科学的探究方法，增强学生的探究能力.在教学中指导学生展开联想，大胆探索，以训练和培养学生的思维能力.教学类型：新授课教学过程：一、情景引入如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客. 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？将图中的“风车”抽象成如图学生活动：教师让学生思考.并提出问题：在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为a，b那么正方形的边长为____________.这样，4个直角三角形的面积的和是___________，正方形的面积为_________.由于4个直角三角形的面积______正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222+≥.a b ab当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有_______________设计意图：利用历史材料，重现均值不等式的根源，渗透数学文化，为揭示几何意义做好铺垫，体现数学文化的价值，提升数学抽象、数学建模、数学运算的核心素养。
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课题：算术平均数与几何平均数
教学目标：1.掌握两个正数的算术平均数不小于它们的的定理，并会简单运用；
2.利用不等式求最值时要注意到“一正”
“二定”“三相等”． 教学重点：均值不等式的灵活应用。
（一） 主要知识：
1.两个数的均值不等式：若,a b R +∈，则
2
a b +（等号仅当a b =时成立）
三个数的均值不等式：若,,a b c R +∈，则a b c ++≥a b c ==时成立）
2.几个重要的不等式： ① ab ≤22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭≤222a b + ②abc ≤33a b c ++⎛⎫ ⎪⎝⎭；
③如果,a b R ∈≥2a b +≥211a b
+ 3.最值定理：当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和 有最小值。
（二）主要方法：
1.常见构造条件的变换：加项变换，系数变换，平方变换，拆项变换，常量代换，三角代换等.
2.当使用均值定理时等号不能成立时，应考虑函数的单调性（例如“对号”函数，导数法）.
（三）典例分析：
问题1．求下列函数的最值：
()113y x x =
+-()3x <；()2121y x x =+-()1x >；()3241y x x
=+()0x >；
()323
y x x
=+()0x >；()4 ()21y x x =-()01x <<；()5 ()21y x x =-()01x <<
()6y =()7 已知,,,a b x y R +∈（,a b 为常数），1a b x y
+=，求x y +的最小值
问题2．已知0x >，0y >，且1x y +=，求.
问题3．求最小值()1231()1x x f x x -+=+()1x >-；()2 223sin sin y x x
=+
问题4．()1设0x >，0y >，且()1xy x y -+=，则
.A 2x y +≤.B 2x y +≥ .C )21x y +≤
.D )2
1x y +≥
()2已知x ≥0，y ≥0，且22
12y x +=，求证：≤4
()3若0a b >>, 求216()
a b a b +
-的最小值
（四）课后作业： 1.已知1>a 那么1
1-+a a 的最小值是 .A 12-a a .B 15+ .C 3 .D 2
2.已知：0a b >>，求证：()
13a a b b +
≥- 3.若103
x <<，则()213x x -的最大值是 此时，x =
4.已知30x -<<，则y =的最小值为 .A 92- .B 92.C 32-.D 12
5.已知实数y x ,满足+2x ,12=y 则()()xy xy -+11的最小值和最大值分别为
.A 21，1 .B 43，1 .C 21，4
3 .D 1，无最大值
6.求2212sin cos y αα=+0,2πα⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭的最小值
7.当2n >时，求证：log (1)log (1)1n n n n -+<．
8.已知正数a 、b 满足13=++b a ab ,则ab 的最大值是
9.下列函数中，y 的最小值为4的是
.A 4y x
x =+.B 2y = .C 4x x y e e -=+ .D 4sin (0)sin y x x x π=+<<
10.若0,0a b >>，且21a b +=，则224s a b =-的最大值是
.A 212- .B 12- .C 2
12+ .D 12+
11.（08内江二中）已知2lg 8lg 2lg ,0,0=+>>y x y x ，则
y x 311+的最小值是 .A 2 .B 22 .C 4 .D 32
12.若a 是正实数，222310a b +=，则的最大值是
13.≤对所有正数,x y 都成立，试问k 的最小值是
14.（07届高三西安市第一次质检）02π
θ<<，由不等式1tan tan θθ
+≥2，222tan tan θθ+22tan tan 222tan θθθ=++≥3，3
33tan tan θθ
+ 3
3tan tan tan 3333tan θθθθ
=+++≥4，…，启发我们得到推广结论： tan tan n a θθ
+≥1n +()*n N ∈，则a = 15.已知：x 、y R +∈，280x y xy +-=，求x y +的最小值
（五）走向高考：
16.(04湖南)设,0,0>>b a 则以下不等式中不恒成立．．．．
的是 .A 4)11)((≥++b
a b a .B 2332ab b a ≥+.C b a b a 22222+≥++.D b a b a -≥-||
17.（05重庆）
若,x y 是正数，则22)21()21(x y y x +++的最小值是 .A 3 .B 27.C 4.D 2
9
18.(05福建文)下列结论正确的是
.A 当0x >且1x ≠时，则1
lg 2
lg x x +≥ .B 当0x >2≥ .C 当x ≥2时，1x x +的最小值为2 .D 当02x <≤时，1x x
-无最大值
19.（06陕西）已知不等式()1a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
≥9对任意正实数,x y 恒成立,则正实数a 的
最小值为 .A 2 .B 4 .C 6 .D 8
20.（06重庆文）若,,0a b c >且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是
.A .B 3 .C 2 .D
21.（06重庆）若,,0a b c >且()4a a b c bc +++=-则2a b c ++的最小值为
.A 1 .B 1 .C 2 .D 2
22.（07山东）函数log (3)1a y x =+-（0a >，1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直
线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n
+的最小值为
23.（07山东文）当(12)x ∈，
时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是
24.（07上海）若x y ∈+R ，，且14=+y x ，则x y •的最大值是
25.（06上海）若关于x 的不等式x k )1(2+≤4k 4+的解集是M ，则对任意实常数k ，总有 .A 2M ∈，0M ∈ .B 2M ∉，0M ∉.C 2M ∈，0M ∉ .D 2M ∉，0M ∈
26.（06上海）已知函数y ＝a x x +
有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在(
上
是减函数，在)+∞上是增函数． ()1如果函数y ＝2b x x
+（0x >）的值域为[)6,+∞，求b 的值；
()2研究函数y ＝22
c x x +（常数0c >）在定义域内的单调性，并说明理由； ()3对函数y ＝a x x +和y ＝22a x x
+（常数0a >）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(x F ＝
n x x )1(2+＋n x x )1(2+（n 是正整数）在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．。