非线性有限元

16.4 有限元求解方程及解法
1. 2. 16.3.4 方程解法 静力分析 动力分析 16.4.4 平衡路径的追踪和载荷步长的选择 16.4.5 依赖于变形的载荷
16.5 大变形条件下的本构关系
大变形问题分为： 1.大位移、大转动和小应变问题—变形很大， 但应变很小，甚至还保持在弹性应变范围 内。 2.大位移、大转动和大应变问题—应变很大， 从材料角度考虑，分为弹性问题和塑性问 题。
16.2 大变形条件下的应变和应力的度量
16.2.1 应变的度量 固定在笛卡尔坐标系内的物体，在外力作用下连续改变位 形。
图 笛卡尔坐标系内物体的运动和变形
16.2 大变形条件下的应变和应力的度量
16.2.2 应力的度量 在大变形问题中，是从变形后的物体中截取出微元体建立 平衡方程和与之相等效的虚功原理，所以应从变形后的物 体内截取单元体定义应力张量－－欧拉应力张量
16.1 引言
这种由于大位移和大转动引起的非线性问称 为几何非线性问题。 在几何非线性问题的有限单元法中，通常采用增量分析方 法。 增量分析方法一般采用两种表达格式 1. 完全的Lagrange格式：静力学和运动学变量总是参考初 始位形，即整个分析过程中参考位形保持不变。 2. 更新的Lagrange格式：静力学和运动学变量参考 于每一载荷或时间步长开始时的位形，即在分析过 程中参考位形不断在更新。
I. 直接迭代法 II. N-R方法 III. 增量法 1.欧拉方法 2.N-R方法
15.2 非线性方程组的解法
加速收敛的方法
15.3 材料弹塑性本构关系
15.3.1 材料弹塑性行为的描述
{
1.单调加载 2.反向加载 3.循环加载
15.3 材料弹塑性本构关系
1. 2. 3. 4. 15.3.2 塑性力学的基本法则 初始屈服条件 流动法则 硬化法则 加载、卸载准则
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加载、卸载准则
该准则用以判别从一塑性状态出发是继续 塑性加载还是弹性卸载，这是计算过程中 判定是否继续塑性变形以及决定是采用弹 塑性本构关系还是弹性本构关系所必须的。
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硬化法则
硬化法则是用来规定材料进入塑性变形后 的后继屈服函数（又称加载函数或加载曲 面）在应力空间中变化的规则。 对于硬化材料，通常采用的硬化法则有： （1）各向同性硬化法则 （2）运动硬化法则 （3）混合硬化法则 返回
15.8 小结
当前状态确定，而必须的路径和历史确定。 为了适用这种一般情况，所以在有限元分析 中通常采用的是增量型本构关系。
有限单元法
第16章 几何非线性问题
16.1 引言
在以前各章所讨论的问题中都是基于小变 形的假设，即假定问题所发生的位移远小 于物体自身的几何尺度，同时材料的应变 远小于1。 实际上，我们会遇到河道不符合小变形假 设的问题，例如板和壳等薄壁结构在一定 载荷作用下，尽管应变很小，甚至未超出 弹性极限，但是位移较大，材料线元素会 有较大的位移和转动。
15.3 材料弹塑性本构关系
15.3.3 弹塑性增量的应力应变关系 1.建立弹塑性应力应变关系需遵循的原则 2.各向同性硬化材料的应力应变关系 3.用于不同问题的具体表达形式 4.其它硬化材料的应力应变关系
15.3 材料弹塑性本构关系
15.3.4 弹塑性全量的应力应变关系 1.材料的 曲线 2.塑性应变表达式 3.弹塑性全量应力应变表达式
15.1 引言
④ 力的边界上的外力和位移边界上的位移是 独立或线性依赖于变形状态的。 非线性问题的特点：不符合任何一个 上述线性力学特点的方程或边界条件的， 则此问题就是非线性的。 非线性问题可分为3类，即 ① 材料非线性问题 ② 几何非线性问题
15.1 引言
③ 边界非线性问题
15.2 非线性方程组的解法
有限单元法
第15章 材料非线性问题
15.1 引言

① ② ③
我们在本章之前所讨论的内容均属于线性 问题。下面我们将进入非线性问题的研究。 首先对比线性问题我们来了解一下什么是 非线性问题： 线弹性力学的基本特点是： 平衡方程是不依赖变形状态的线性方程 几何方程的应变和位移的关系是线性的 物理方程的应力和应变关系是线性的
终于结束啦！ 谢谢大家。
材料非线性问题可分两类
一类是：不依赖于时间的弹塑性问题，其 特点是，当荷载作用以后，材料变形立即 发生并且不再随时间而变化。 另一类是依赖于时间的的粘（弹、塑）性 问题，其特点是，当荷载作用以后，材料 不仅立即发生相应的弹（塑）性变形，而 且变形随时间而继续变化。 返回
16.3 几何非线性问题的表达格式
16.3.4 平衡方程的线性优化
1. 物理方程的线性化。 2. 求解格式的进一步线性化。
16.4 有限元求解方程及解法
1. 2. 16.4.1 有限元求解方程 静力分析问题 动力分析问题 16.4.2 用于几何分线性的单元及担忧矩阵 和向量举例 1. 实体元 2. 板壳元
初始屈服条件
此条件规定材料开始塑性变形时的应力状态。 对于初始各向同性材料，在一般应力状态下开始 进入塑性变形的条件是：
F F ( , ) 0
O O i, j 0
对于金属材料，通常采用的屈服条件有： （1) V.Mises 条件 （2）Tresca 条件 返回
流动法则
流动法则用来规定材料进入塑性应变后的 塑性应变增量在各个方向上的分量和应力 分量以及应力增量之间的关系。
15.6 弹塑性全量有限元分析
15.6.1 弹塑性全量分析的有限元方程 15.6.2 非线性有限元方程的求解方法
15.7 热弹塑性-蠕变有限元分析
15.7.1 材料的蠕变行为 15.7.2 稳态蠕变分析 15.7.3 热弹塑性-蠕变增量分析
15.8 小结
材料非线性问题有限元分析的基本问题有 两个方面，即材料本构关系的建立和非线 性方程组的解法。 材料本构关系通常分为两类，即全量型本 构关系和增量型本构关系。 前者适用于应力和应变之间存在不依赖于 变形历史和路径的一一对应关系的情况。 由于塑性变形和蠕Байду номын сангаас变形等是不可恢复的 非弹性变形，应力状态通常不能由变形的
16.3 几何非线性问题的表达格式
16.3.1 虚位移原理 16.3.2 完全Lagrange格式 这种格式中所有变量以时间0的位形为参考 位形。参考于初始位形的并与平衡方程等 效的虚位移原理。 16.3.3 更新的Lagrange格式 这种格式中所有变量以时间t的位形为参考 位形。在求解过程中参考位形是不断改变 的。
图 应力的度量
16.3 几何非线性问题的表达格式
在涉及几何非线性问题的有限元方法中， 通常采用增量分析的方法，这不仅是因为 问题可能涉及依赖于变形历史的材料的非 弹性，而且因为即使问题不涉及材料非弹 性，但为了得到加载过程中应力和变形的 演变历史，已经保证求解的精度和稳定， 通常也需要采用增量方法求解。
16.6 结构稳定性和屈曲问题
分析的目的是求解结构从稳定平衡过渡到 不稳定平衡的临界载荷和失稳后的屈曲形 态。 1. 线性稳定分析 2. 非线性稳定分析
16.7 小结
本章讨论了建立于非线性连续介质力学基 础上的非线性有限元分析的基本理论和方 法。 关于本构关系，在大变形总的前提下，首 先应区分是大位移、大转动、小应变情况 还是大应变情况；其次应区分是弹性变形 还是非弹性变形。
15.4 弹塑性增量有限元分析
15.4.1 弹塑性问题的增量方程 15.4.2 增量的有限元格式
15.5 弹塑性增量分析数值方法中的几 个问题
15.5.1 非线性增量方程组的求解方案 15.5.2 载荷增量步长的自动选择 15.5.3 弹塑性状态的决定和本构关系的积 分 15.5.4 单元刚度矩阵的数值积分 15.5.5 线性方程组的求解