第九讲-卡氏定理(基础资料)

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材料力学能量法第3节卡式定理

q 2 M ( x) (l x) M e 2
M 1 M e
（2）计算 B 截面转角 B
M q 2 1 M ( x) (l x) M e M e 2 M ( x) M ( x) Bq M e dx EI M e 1 l q 2 [ ( l x ) M ] ( 1 ) d x e EI 0 2 3 l ql 顺时针转向 Me EI 6 ql 3 顺时针转向 B 令 Me 0 6 EI
2
1 dFi dyi U dFi yi 2
(3)
比较(2)(3)式
1 dFi dyi U dFi yi (3) 2 U ( F1 , F2 , Fn ) yi i 1,2,3,... Fi
U U dFi Fi
(Hale Waihona Puke 2)梁的变形能对某一载荷 Fi 的偏导数，等于在该载荷处沿载荷方向的位移，这就是卡氏定理，也称卡氏第二定理。由意大利工程师 A 卡斯蒂利亚诺（1847-1884）于1873年提出的。卡氏定理对其他线弹性结构也是适用的。
广义力的函数：设在如图所示梁上，作用有 n 个力 y2 ，， yn 。 F1， F2 ，， Fn ，其相应位移分别为 y1，在载荷施加过程中，外力所做的功转变成梁的变形能。这样，变形能应为广义力 Fi 的函数
U f ( F1, F2 ,, Fn )
若 Fi
(1) ( 2)
Fi dFi ，则 U
U U dFi Fi
卡式定理的推导 —— 改变加力的次序 (1)先施加 dFi ：在施加 dFi 时，其作用点沿 dFi 方向的 1 dF dy 位移为 dyi ，梁的变形能为 i i；

材料力学卡式定理

l
(2)
于是(1)式改写为
y / l
(3)
3
梁内任一点处的比能
u
1 2
E 2
1 2
E 2
l2
y2
(4)
梁的应变能
l
U VudV 0 (AudA)dx
l 1 E 2
( 02
l2
y2dA)dx 1 EI 2
A
2l
(5)
由卡氏第一定理
m U 1 EI (2 ) EIθ
(6)
2 lx)
2
dx
1 ( 5PL3 RC L3 ) 0
EI 48
3
RC
5P 16
能量法求解超静定结构，适用任意荷载作用下、线性或非线性弹性杆系、刚架或曲杆等超静定系统。
14
2.求 wB
① 求内力
M
AB ( x)
5P 16
(L
x)
P(0.5L
x)
M BC ( x)
5P 16
Px L EI Px
1 EI
x 0
P(L
x1 ) ( x1
x)dx1
P
x3 [
(L
x)x2
Lx 2 ]
EI 3
2
12
例6 等截面梁如图，用卡氏定理求B 点的挠度。
P 0.5 L
B
A
L
解：1.依 wC 0 求多余反力，
卡氏定理解 ① 取静定基如图 C 超静定结构
② 求内力
M AB ( x) RC (L x) P(0.5L x)
L x1
O
x
w
①求内力 M AB ( x1) P(L x1) Px ( x x1) M BC ( x1) P(L x1)

第九讲-卡氏定理

基本公式
一般物体载荷 f : 0 → F 相应位移 δ : 0 → ∆ 线性弹性体
dW= fdδ =
W = ∫ fdδ
0
∆
f ∝δ f =kδ
k －线弹体在载荷作
用点、用点、沿其作用方向产生单位位移所需之力，称为刚度系数称为刚度系数
W = ∫ kδdδ
0
∆
k∆2 = 2
F∆ W= = 2
施加矩为 Me的力偶－附加力偶
θB(q) = [θB(q, Me )]M =0
e
θB (q) =
∫
e
2. 位移计算
ql Me FAy = − 2 l x ∂M qlx Me x qx2 =− M( x) = − − l ∂Me 2 l 2 M( x) ∂M( x) θB (q) = dx l EI ∂Me M =0
∆A
A1 A′
B
B
合力的相应位移
∆A =
2 ∆A = (∆A + fA ) 2
2 ∂U 2 ∂U ∂U = = = (∆A + fA ) 2 ∂F 2 ∂F ∂ 2 F
(
)
FN2 = −F
2F ⋅ 2l (-F)l ⋅ 2+ ⋅ (-1) EA EA (2 2 + 1)Fl EA
∆By =
∆By =
（↓ ）
例 3-2 利用卡氏定理计算θB
EI EI
－附加力法
解：1. 分析方法
转角θ 所对应的载荷？转角θB所对应的载荷？
M( x) ∂M( x) dx l EI ∂Me M =0
∂Vc ∵ ∆k = ∂Fk
My ( x) ∂My Mz ( x) ∂Mz FN ( x) ∂FN ( x) T( x) ∂T( x) ∆k = ∫ dx+∫ dx+∫ dx+∫ dx l EA l GI l EI l EI ∂Fk ∂Fk t y ∂F k z ∂F k

卡氏定理材料力学

2Ma 3EI
（
）
DF FD
CD段:
M (x)
Mx , 2a
M (x) F
x,
MC
CB段: M (x) M ,
M (x) 2a x, a F
2a
C
M
AB段: M (x) 0,
M (x) x, F
a
B
A FAx
（4）带入卡氏定理求解。
Dx
l
M (x) M (x) d x EI F
FAy
2a
MC, 在D截面虚设一水平力F 。 MC
DF
C
（2）取刚架为研究对象， a
受力图如图所示。
M
FD
FAx F
B
a
A FAx
FAy
FD
F
1 2a
(M
MC)
FAy
（3）分段列出弯矩方程及偏导方程。
2a
CD段:
MC
M
( x1 )
[F
1 2a
(M
MC
)]x1
Cx aM 2
x
1
DF FD
M (x1) F
新位移 i 上也做功，系统的总的应变能为
V
Fi
i
1 2
Fi
i
（2）
由（1）＝（2），并忽略二阶小量，得
V Fi
i
V Fi
i
若将结构的应变能表示为载荷F1，F2，，Fn 的函数，则应变能对任一载荷Fi的偏导数，等于Fi作用
点沿Fi作用方向的位移 i ,称为卡氏第二定理。
说明（1）卡氏定理只适用线弹性结构。
i
V Fi
FN (x) FN (x) d x L EA Fi

材料力学卡式定理

M
AB
(x)
P

11 x 3 L 16
M
BC
(x)
P

5( L x ) 16
③ 变形
wB U P

0
M ( x ) M ( x ) EI P
2
dx
L
L
1 EI
0 .5 L
P(
11 x 3 L 16
) dx

0 .5 L
P( ) ( L x ) dx 16 5
荷载之变化率，就等于与该荷载相应的位移。
适用条件：适用一切受力状态下的弹性杆件，其中， Pi ——作用在杆件上的广义力；
i ——与 Pi 相应的广义位移。
用卡氏定理的注意事项
①U——整体结构在外载作用下的线
P1 P2
弹性变形能 ② Pi 视为变量，结构反力和变形能
等都必须表示为 Pi的函数 ③ i为 Pi 作用点的沿 Pi 方向的变形。
dx M ( x ) M ( x ) EI Pn
L

M n ( x ) M n ( x ) GI
P
L
Pn

dx
L
例5 结构如图，用卡氏定理求A 面的挠度和转角。 P A 解：求挠度，建坐标系 ①求内力 M ( x ) xP A xP
EI
L
x
O
②将内力对PA求偏导
M ( x ) PA x

(
1 E 2 l
2
2
0

y dA ) dx
2 A
1 EI 2 l

2
(5)
由卡氏第一定理
m U 1 EI 2 l ( 2 ) EI θ l

卡氏第二定理

F3
F1
3 1
1 , 2 , , i ,
结构的变形能
11 1 V ε W 2 F 1 δ 1 2 F 2 δ 2 2 F 3 δ 3
只给 Fi 一个增量 Fi .
引起所有力的作用点沿力方向的位
移增量为 Δ1,δ Δ2,δ Δ3,δ
在作用Fi 的过程中, Fi 完成 F1
的功为
1 2
ΔFi
氏定理）（Castigliano’s Theorem）
说明 (Directions)：
（1）卡氏第二定理只适用于线性弹性体( Applying only to linearly elastic bodies）
δi
Vε Fi
（2）Fi 为广义力（generalized force） i为相应的位移
（displacement corresponding to force Fi )
一个力
一个力偶
一对力
一对力偶
一个线位移
一个角位移
相对线位移相对角位移
（3）卡氏第二定理的应用 ( Application of castigliano’s second theorem ) （a）轴向拉,压（Axial tension and compression）
δ i V F ε i F i F N 2 2 ( E x )x d A F E N (x )A F N F ( ix )d x
Δδi
原有的所有力完成的功为
2
F2
F3
3 1
F 1 Δ 1 F 2 δ Δ 2 δ F iΔ i δ
结构应变能的增量为
Δ ε 1 2 V Δ iΔ i F F δ 1 Δ 1 F δ 2 Δ 2 δ F iΔ i δ

12能量法_1应变能卡式定理互等定理

Vε CB FN 2 a q 2l 2 a 2EA 8EA
1 FN ql 2
2）由截面法，得梁的弯矩方程为 1 1 M x qlx qx 2 2 2 梁的应变能
Vε AB M 2 x dx l 2 EI l
1 1 qlx qx 2 2 2 5 2 dx q l 2 EI
再令Me =0，即得转角
ql 3 B 6 EI
[例5] 图示平面刚架，若各段杆的抗弯刚度均为EI，试求其自由端 C 截面的竖直位移ΔC V 与水平位移ΔC H 。
解：在这种情况下，可分别记竖直方向的力F 为F1、水平方向的力F 为F2，在符号上将两者区分开来。
在替换力的符号后，BC 段、AB 段的弯矩方程及其偏导数分别为
1 EI
2 π M e R2 M e R 2 1 cos d 0 2 EI
π/2
第四节互等定理
一、功的互等定理
对于线弹性结构，第一组外力在第二组外力所引起的位移上所作
的功等于第二组外力在第一组外力所引起的位移上所作的功，即
F112 F2 21
l
dx1
M x2 M x2 EI F1
l
dx2
1 l F1x1 x1 dx1 l F1l F2 x2 l dx2 EI
l3 4 1 F1 F2 EI 3 2
3. 梁和刚架
只考虑弯曲变形能
M2 Vε dx l 2 EI z
4. 组合变形杆
FN 2 T2 M2 Vε dx dx dx l 2 EA l 2GI l 2 EI p z
[例1] 试求下图所示结构的应变能。已知梁的抗弯刚度为EI，杆的抗拉刚度为EA。解：1）CB 杆的轴力 CB 杆的应变能

card定理

card定理Card定理是由法国数学家 Édouard Lucas 在19世纪发现的一个数论定理，该定理是关于一个特殊数列的性质的。

Card数列是一个递归的数列，其定义如下：C(n) = C(n-1) + C(n-2)，其中C(0) = 1，C(1) = 1。

基于这个递归定义，我们可以计算出数列的前几个数如下：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...首先，我们来证明Card定理的一个重要性质：对于任意正整数n，C(n)是偶数当且仅当n能够被3整除。

证明如下：证明思路是通过数学归纳法。

首先我们验证n=0和n=1时定理成立。

当n=0时，C(0) = 1，1不能被3整除，结论成立。

当n=1时，C(1) = 1，1不能被3整除，结论成立。

假设对于任意k < n，定理成立，即C(k)是偶数当且仅当k能够被3整除。

当n > 1时，考虑C(n) = C(n-1) + C(n-2)。

根据归纳假设，C(n-1)和C(n-2)的奇偶性与n-1和n-2的关系有关。

如果n-1能够被3整除，那么根据归纳假设，C(n-1)是偶数。

同时，假设n = 3m+1（其中m是某个整数），那么n-2 = 3m-1，即n-2能够被3整除。

根据归纳假设，C(n-2)是奇数。

因此，C(n) = C(n-1) + C(n-2) = 偶数 + 奇数 = 奇数。

如果n-1不能够被3整除，那么根据归纳假设，C(n-1)是奇数。

同时，假设n = 3m+2（其中m是某个整数），那么n-2 = 3m，即n-2能够被3整除。

根据归纳假设，C(n-2)是偶数。

因此，C(n) = C(n-1) + C(n-2) = 奇数 + 偶数 = 奇数。

综上所述，对于任意正整数n，C(n)是偶数当且仅当n能够被3整除。

在证明了Card定理的一个重要性质后，我们可以应用它解决一些有趣的数论问题。

以下是一些相关的数论问题：1. 给定一个正整数n，我们想要找到使得C(x)能够整除n的最小正整数x。

卡氏定理求解力

卡氏定理求解力卡氏定理是力学中的一项重要定理，用于计算物体所受合力的大小。

它是根据牛顿第二定律推导出来的，能够帮助我们更好地理解和解决力学问题。

卡氏定理的表述是：“当一个物体受到多个力的作用时，这些力的矢量和等于物体的质量乘以加速度的矢量。

”简单来说，就是物体所受合力等于物体质量乘以加速度。

为了更好地理解卡氏定理，我们可以通过一个具体的例子来说明。

假设有一个质量为2千克的物体，在水平方向上受到两个力的作用：一个是10牛的向右的力，另一个是5牛的向左的力。

我们需要求解物体的加速度。

根据卡氏定理，我们可以将这个问题转化为一个简单的数学方程。

首先，我们需要计算合力。

由于两个力的方向相反，所以合力的大小等于10牛减去5牛，即5牛。

然后，我们需要计算物体的加速度。

根据卡氏定理，合力等于物体质量乘以加速度，所以加速度等于合力除以物体质量，即5牛除以2千克，得到2.5米每平方秒。

通过这个例子，我们可以看出卡氏定理的应用和价值。

它可以帮助我们计算物体所受合力的大小，并进一步求解物体的加速度。

在力学问题中，卡氏定理是一个非常重要的工具，可以帮助我们分析和解决各种力学问题。

除了上述例子中的计算方法，我们还可以通过向量的方法来应用卡氏定理。

在向量法中，我们可以将力和加速度用向量表示，然后利用向量的运算规则来求解问题。

这种方法在处理复杂的力学问题时更加方便和直观。

卡氏定理还可以用于解决一些实际问题。

例如，在工程中，我们经常需要计算物体所受的合力和加速度，以确定结构的强度和稳定性。

在运动学和动力学的研究中，卡氏定理也是一个重要的工具，可以帮助我们理解和描述物体的运动规律。

卡氏定理是力学中一项重要的定理，可以帮助我们计算物体所受的合力和加速度。

它是根据牛顿第二定律推导出来的，具有广泛的应用价值。

通过应用卡氏定理，我们可以更好地理解和解决力学问题，在工程和科学研究中发挥重要作用。

希望通过本文的介绍，读者能够对卡氏定理有一个更清晰的认识，并能够灵活运用它解决实际问题。

材料力学卡氏第二定理

卡氏第二定理的重要性
总结词
卡氏第二定理在材料力学中具有重要意义，它为分析和预测材料的应力分布提供了理论基础。
详细描述
卡氏第二定理是材料力学中一个重要的基本定理，它为解决复杂弹性体的应力分析问题提供了重要的理论依据。通过卡氏第二定理，可以推导出许多其他的弹性力学公式和定理，从而更好地理解和预测材料的力学行为。
多学科交叉
加强与其他学科的交叉融合，如物理学、化学、生物学等，拓展卡氏第二定理在跨学科领域的应用价值。
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感谢您的观看
04 卡氏第二定理的扩展与应用
卡氏第二定理在弹性力学中的应用
总结词
卡氏第二定理在弹性力学中具有广泛的应用，它为解决复杂的弹性问题提供了重要的理论支持。
详细描述
卡氏第二定理在弹性力学中主要用于求解弹性体的位移、应力和应变分布。通过应用卡氏第二定理，可以建立各种弹性问题的基本方程，如弹性力学中的平衡方程、应变-位
02 卡氏第二定理的公式与推导
公式展示
公式
(W = DeltaOmega + Delta K)
描述
该公式表示外力功（(W)）等于变形能（(DeltaOmega)）和动能（(Delta K)）之和。
公式推导过程
第一步
根据牛顿第二定律，外力对物体所做的功等于物体动能的增量，即 (W = Delta K)。
弯曲梁的实例
总结词
卡氏第二定理在弯曲梁分析中起到关键作用。
详细描述
弯曲梁在受到外力作用时会产生弯曲变形，卡氏第二定理可以用来计算梁内部的应力分布，确保梁的稳定性与安全性。
扭转轴的实例
总结词
卡氏第二定理在分析扭转轴时具有重要应用。

卡氏第二定理

求AB,BC,CD各段的弯矩方程,并对m2求偏导, 最后由卡氏定理求得C 截面的转角qC。
m+m2 RD= ——— 2a
x1
C D
x2
m2
B
RD
m
2a qC= ——(m+m2) 3EI
x3
A
RAy
实际上并无m2 ，所以令m2 =0得
2am qC= —— 3EI
通常在积分前即令m2 =0，可使积分简单
2
F2
3
1
F3
1 ΔFi Δδi 2
原有的所有力完成的功为
F1 Δδ1 F2 Δδ2 Fi Δδi
结构应变能的增量为
1 ΔVε ΔFi Δδi F1 Δδ1 F2 Δδ2 Fi Δδi 2

略去高阶微量
1 ΔFi Δδi 2 ΔVε F1 Δδ1 F2 Δδ2 Fi Δδi
一个线位移
一个角位移
相对线位移
相对角位移
（3）卡氏第二定理的应用 ( Application of castigliano’s second theorem )
（a）轴向拉,压（Axial tension and compression）
2 Vε FN ( x )dx FN ( x ) FN ( x ) δi 2 EA EA Fi dx Fi Fi
B P
A f
M ——=Rcosf P
MM PR3p y= S ——— ds = ——— 4EI EI P
再在B点施加水平力Pa
M=PrcosfPaR(1-sinf)
B Pa P
M ——=R(1- sinf) Pa
A

§11-4卡氏定理

M (x) 1 qlx 1 qx 2 M f x
22
l
M(x) x

Mf l
M(x) M(x)
b
l
Pn

dx EI
q
Mf
A
B
x
l
M(x) M(x) M f

1 qx 2 2

1 2l
qx 3

b
l 0
M (x) EI

M (x) Mf
dx
1 l (1 qx2 1 qx3)dx ql3
Pl 4EI
2
(
0
l 2

x2
)dx2
Pl 3 Pl 3 (1 1) 48EI 4EI 4 8
5Pl 3 () 96 EI
U dU Pn dPn
(1)dPn

1
2 dPn (dn )
U
(2)P1, P2 ,...,Pn ,...,Pm
U dU U Pn dPn
U( P1, P2 ,..., Pn ,..., Pm ) dPnn
1
U ( P1 , P2 ,..., Pn ,..., Pm ) dPnn 2 dPn (dn )
M 2 (x2 )
P

1 2
(
l 2

x2
)

M 2 (x2 )
M 2 (x2 )
P

Pl 4
(l 2

x2 )
l
l
fc

1 EI
2
M 1 ( x1 )
0

M 1 ( x1 )

卡氏第二定理

解：
❖ 根据卡氏定理,有
AB段
BC段
例2.7
❖图示刚架EI为常量，B截面受m作用。求C截面转角
qC及D点的水平位移x。轴力及
剪力不计。
a
a
2a
C
D
B
m
A
C点施以附加力偶矩m2,支反力为
m+m2 RAy= ———
2a
m+m2 RD= ———
2a
a
a
2a
C
m2
B
m
A
RAy
D
RD
m+m2 RAy= ———
卡氏定理
卡氏定理(Castigliano's Theorem),是意大利工程师卡斯蒂利亚诺 (A.Castigliano )于1873年提出的,故得其名.
卡氏第二定理
卡氏第一定理
卡氏定理的证明
设弹性结构在支座的约束下无任何刚性位移.
作用有外力: F1 ,F2 , ,Fi ,
相应的位移为：
2
F2
F3
M
ds =
———
EI P
3
PR p
4EI
再在B点施加水平力Pa
M=PrcosfPaR(1-sinf)
M
——=R(1- sinf)
Pa
A
f
3
x=[ S ———M dsM]Pa=0 = ——— PR
EI Pa
2EI
B Pa
P
例求A点位移A和B点位移B
解
❖ 先求A点位移
由卡氏定理
因为所以
求B点位移
F3
F1
3 1
F1Δδ1 F2 Δδ2 Fi Δδi

材料力学2.3卡氏第2定理

ds
= —PR—3— Pa=0 2EI
例求A点位移A和B点位移B
解
• 先求A点位移
由卡氏定理
因为所以
求B点位移
加入虚载荷P’ AB段
BC段
所以
事实上并无P’,因此令P’=0有其实可在进行以下积分前令P’=0
（4）平面桁架 (Plane truss)
δi
Vε Fi
n FNjl j FNj j1 EA Fi
（5）组合变形(Combined deformation)
δi
Vε Fi
[ FN2( x)dx
T 2( x)dx
M 2( x)dx ]
Fi l 2EA
l 2GIp
l 2EI
FN( x) FN( x)dx T ( x) T ( x)dx M ( x) M ( x)dx
卡氏定理
卡氏定理(Castigliano's Theorem),是意大利工程师卡斯蒂利亚诺(A.Castigliano )于1873年提出的,故得其名.
卡氏第二定理
卡氏第一定理
卡氏定理的证明
设弹性结构在支座的约束下无任何刚性位移.
作用有外力:
F1 ,F2 , ,Fi ,
相应的位移为：
2
F2
RAy=
—m—+m—2 2a
RD=
—m—+m—2 2a
aa
2a
C
m2
B
m
A
RAy
D
RD
RAy=
—m—+m—2 2a
RD=
—m—+m—2 2a
求AB,BC,CD各段的弯矩方程,并对m2求偏导, 最后由卡氏定理求得C 截面的转角qC。

第九讲-卡氏定理知识交流

D ij
引起位移的载荷发生位移的部位
线性弹性体的两种加载方式与外力功：
总功与加载次序无关
W1W2
先加 F1，后加 F2
D D D W 1F 1 211 F 2222 F 112
先加 F2，后加 F1
D D D W 2F 2 222 F 1 211 F 221
D D F 1 12 F2 21
D D F 1 12 F2 21
线弹性体受n个载荷
外力功
n
V0 W0
i1
FiDi 2
给载荷增量 d F k 考虑两个加载过程
1)先 Fi,后 dFk
V1 V0
V Fk
dFk
线弹性体外力功与加载次序无关
2)先 dFk,后 Fi
dd d V 1 W 1 F k 2 D k W 0 D kF k
Dk
V Fk
例题
例 3-1 用卡氏定理求DBy
Crotti-Engesser’s theorem
卡氏定理
对于线性弹性体： Vc Vε
Dk
Vc Fk
Dk
Vε Fk
A. Castigliano (18471884)，意大利工程师。
线性弹性体的应变能，对载1870年入都灵工业学院，
荷
Fk
的偏导数，等于该载荷的1873年提出工程师学位论文。
相V ε 应－位l－F 移N 2 2 卡( E Dx 氏) k x 第d 二A l定T 2 2 理( G x ) tx d I lM 卡2 y 2 氏E ( x 第) yx 一d I 定l理M 2 z 2 ( E x ) zx d I
问题：弹性结构受n个载荷作用，求指定载荷Fk的相应位移Δk
给载荷增量 d F k

card定理

Card定理1. 介绍Card定理是由加拿大数学家Paul Erdős和Georg Szekeres于1935年提出的一个基本原理，它在组合数学和计算机科学中有广泛的应用。

该定理描述了在一个无重复元素的序列中，存在长度为k的递增子序列的最小长度。

2. 定理表述设S是一个由n个不同元素组成的序列，且满足n > (k-1)²，则S中一定存在长度为k的递增子序列。

3. 解释与证明为了更好地理解Card定理，我们可以通过一个例子来说明。

假设我们有一个序列S = {4, 3, 1, 5, 2}，我们希望找到其中长度为3的递增子序列。

首先，我们选择S中的第一个元素4作为候选递增子序列的第一个元素。

然后，我们需要在剩余元素中找到两个比4大的数作为候选递增子序列的后两个元素。

根据Card定理，我们知道至少存在(3-1)² = 4个比4大的数。

所以我们可以从剩余元素中选择任意两个数来构成递增子序列。

接下来，我们选择3和5作为候选递增子序列的后两个元素，得到递增子序列{4, 3, 5}。

我们可以发现这是一个长度为3的递增子序列，符合我们的要求。

通过上述例子，我们可以看出Card定理的基本思想：在一个序列中，如果元素数量足够多，那么一定存在满足条件的递增子序列。

这是因为对于每个候选递增子序列的第一个元素，总是存在足够多的比它大的数来构成后续元素。

Card定理的证明比较复杂，涉及到组合数学和抽屉原理等知识。

在此不做详细展开，但可以通过归纳法和反证法来证明该定理的正确性。

4. 应用Card定理在组合数学和计算机科学中有广泛的应用。

下面列举了一些常见的应用场景：4.1 最长递增子序列Card定理为求解最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence, LIS）问题提供了重要思路。

根据Card定理，我们可以使用动态规划算法来解决该问题。

具体步骤如下：1.创建一个数组dp，其中dp[i]表示以第i个元素结尾的最长递增子序列长度。

卡氏法原理

卡氏法原理卡氏法，又称为卡尔·弗里德里希·高斯法，是一种用于解决线性方程组的数值方法。

它是由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪提出的，被认为是解决线性代数问题中最重要的算法之一。

卡氏法原理的核心思想是通过迭代的方式，逐步逼近线性方程组的解，直至达到一定的精度要求。

在实际应用中，线性方程组的解往往是非常复杂的，特别是当方程组的规模较大时，传统的直接求解方法往往效率较低。

而卡氏法通过迭代的方式，可以在有限的步骤内得到近似解，从而提高了解决线性方程组的效率。

卡氏法的原理可以简单概括为以下几个步骤：1. 初始化，选择一个初始解向量作为迭代的起点。

2. 迭代计算，根据一定的迭代公式，不断更新解向量，直至满足一定的收敛条件。

3. 收敛判据，通常使用残差或者误差的范数来判断迭代是否收敛，当误差小于一定的阈值时，迭代结束。

4. 输出结果，得到满足精度要求的解向量，作为线性方程组的近似解。

卡氏法的优点在于，它不需要对整个线性方程组进行直接求解，而是通过迭代的方式，逐步逼近精确解。

这种迭代的方式使得卡氏法在解决大规模线性方程组时具有较高的效率和稳定性。

同时，卡氏法还可以应用于稀疏矩阵和特殊结构矩阵的求解，具有很强的通用性和适用性。

然而，卡氏法也存在一些局限性，比如对于某些特殊结构的线性方程组，可能需要较多的迭代步骤才能达到精度要求，从而导致计算量较大。

此外，在实际应用中，需要根据具体的线性方程组的特点来选择合适的迭代公式和收敛判据，这需要一定的经验和技巧。

总的来说，卡氏法作为解决线性方程组的重要数值方法，具有较高的实用价值和理论意义。

在实际应用中，我们需要充分理解其原理和特点，结合具体问题选择合适的参数和策略，以达到高效、稳定、精确的求解效果。

同时，也需要不断地进行算法优化和改进，以满足不断增长的科学计算需求。

卡氏定理概述

Vε Fi
Fi
FN2( x)dx 2EA
FN ( x) FN ( x)dx EA Fi
（b）扭转
δi
Vε Fi
Fi
T 2( x)dx 2GIp
T ( x) T ( x)dx GIp Fi
（c）弯曲
δi
Vε Fi
Fi
M 2( x)dx 2EI
M ( x) M ( x)dx EI Fi
响. 用卡氏第二定理求截面 D 的水平位移 D 和转角 D .
解:在D点虚设一力偶矩 Ma CD:弯曲变形
F1
A
B
C
M ( x) Fx Ma
l
M ( x) x M ( x) 1
F
Ma
l
2l x
F Ma
D
16
将力 F 向C 简化得：
力 F（产生拉伸变形）
A
力偶矩 2Fl（产生弯曲变形）
l
将Ma向C简化得:
氏定理）（Castigliano’s Theorem）
3
说明（Directions）：（1）卡氏第二定理只适用于线性弹性体
δi
Vε Fi
（2）Fi 为广义力，i为相应的位移
一个力
一个力偶
一对力
一对力偶
一个线位移
一个角位移
相对线位移
相对角位移
4
（3）卡氏第二定理的应用
（a）轴向拉伸与压缩
δi
12ΔFiΔδi
ΔVε F1Δδ1 F2Δδ2 FiΔδi
如果把原来的力看作第一组力,而把 Fi 看作第二组力.
根椐互等定理
F1Δδ1 F2Δδ2 FiΔδi ΔFi δi
ΔVε

13–5 卡氏定理 13–6 虚功原理

* i 1
n
将杆件视为无数微段的组合，虚功为： W * dW *
L

We* Wi* V
*
F1 1 F2 2 ... lq( x) ( x)dx ... M
在小变形情况下虚功原理适用于一般可变形体。
虚功原理：在外力作用下处于平衡的梁，任意给它一个虚位移，则外力在虚位移上所作的外力虚功等于梁 F11 F2 2 ... lq( x) ( x)dx ... M 的内力在虚变形上所作的虚变形功或内力虚功。
V n Pn
卡氏第二定理线弹性结构的变形能对于任一独立广义外力的偏导数等于相应于该力的广义位移，即卡氏第二定理
意大利工程师—阿尔伯托· 卡斯提安诺(Alberto Castigliano，
1847～1884)
二、使用卡氏定理的注意事项：
P 1 P2
①Vε——整体结构在外载作用下的线
因为虚位移是连续的两个相邻微段的公共截面因为虚位移是连续的两个相邻微段的公共截面的位移和转角是相同的但相邻微段公共截面上的位移和转角是相同的但相邻微段公共截面上的内力却大小相等方向相反作用力和反作用的内力却大小相等方向相反作用力和反作用力力故它们所作的虚功相互抵消即杆件上力力故它们所作的虚功相互抵消即杆件上所有内力所做的虚功之和为零故所有内力所做的虚功之和为零故杆件的总虚功杆件的总虚功即为外力在虚位移上所做的虚功即为外力在虚位移上所做的虚功
§13–5 卡氏定理在线弹性范围内，外力按比例加载以及小变形条件下，存储在弹性体内的变形能可以表示为，
n 1 1 1 1 V P 1 P2 2 Pn n Pi i 1 i 12 2 2 2
即，在上述条件下，弹性体内的变形能与外力加载的次序（加载路径）无关。

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