辽宁省大连市2021-2022学年度高考第一次模拟数学试题(理)及答案解析
辽宁省大连市第二十四中学高考模拟数学试题(理科)
辽宁省大连市第二十四中学2008年高考模拟数学试题(理科)参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么 P (A +B )=P (A )+P (B ) 如果事件A 、B 相互独立,那么 P (A ·B )=P (A )·P (B ) 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(球的表面积公式 24R S π= 其中R 表示球的半径球的体积公式 334R V π=其中R 表示球的半径第I 卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的. 1.}|{},12|{2x y y N x y x M -==+==,则M ,N 两个集合的关系是 ( )A .)]1,1{(-=⋂N MB .N M ⋂=C .N M ⊆D .M N ⊆ 2.“22-≠≠y x 或”是“4-≠xy ”的( ) A .必要而不充分条件 B .充分而不要条件 C .充要条件 D .既不充分又不必要条件 3.等差数列{a n }中,a 5+a 7=16,a 3=4,则a 9= ( )A .8B .12C .24D .25 4.复数2)1(1i z +=的虚部为( )A .i 21B .-i 21 C .21 D .-21 5.设O 为平行四边形ABCD 的对称中心,216,4e e ==,则2132e e -=( )A .OAB .OBC .OCD .OD6.设l ,m ,n 表示三条直线,α,β,γ表示三个平面,给出下列四个命题: ①若l ⊥α,m ⊥α,则l ∥m ; ②若m ⊂β,n 是l 在β内的射影,m ⊥l ,则m ⊥n ; ③若m ⊂α,m ∥n ,则n ∥α; ④若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β. 其中真命题为 ( )A .①②B .①②③C .①②③④D .③④7.已知函数)(62131)(23R x x ax x x f ∈+-=,若它的导函数+∞'=,2[)(在x f y )上是单调递增函数,则实数a 的取值范围是( )A .]4,(-∞B .),4[+∞C .]4,(--∞D .),4[+∞-8.20名学生,任意分成甲、乙两组,每组10人,其中2名学生干部恰好被分在不同组内的概率是 ( )A .102091812C C C B .1020818122C C C C .1020819122C C C D .102081812C C C 9.若函数)0,4()4sin()(ππP x y x f y 的图象关于点的图象和+==对称,则)(x f 的表达式为)(x f =( )A .)4cos(π+x B .)4cos(π--x C .)4cos(π+-x D .)4cos(π-x10.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 ( )A .(1,2)B .(-1,2)C .(2,+∞)D .),2[+∞11.在半径为10cm 的球面上有A ,B ,C 三点,且AB =38cm ,∠ACB =60°,则球心O到平面ABC 的距离为( ) A .2cm B .4cmC .6cmD .8cm12.椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的左准线为l ,F 1,F 2分别为左、右焦点,抛物线C 2的准线为l ,焦点为F 2,C 1,C 2的一个交点为P ,则||||||||21121PF PF PF F F -等于 ( )A .-1B .21-C .1D .21第II 卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分. 13.)2144(lim 22x xx +---→= .14.若1111221092)2()2()2()12)(1(+++++++=-++x a x a x a a x x x ,则11210a a a a ++++ = .15.已知y x z y x x y x y x 342211,-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤-则函数满足的最大值是 .16.若m ,n 均为非负整数,在做m +n 的加法时各位均不进位(例如,134+3802=3936),则称(m ,n )为“简单的”有序对,而m +n 称为有序数对(m ,n )的值,那么值为1942的“简单的”有序对的个数是 .三、解答题:本大题共6小题,共74分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知函数.cos sin sin 3)6cos(cos 2)(2x x x x x x f +--=π(1)求)(x f 的最小正周期;(2)当ααπα求若时,1)(,],0[=∈f 的值.18.(本小题满分12分) 有一种舞台灯,外形是正六棱柱ABCDEF —A 1B 1C 1D 1E 1F 1,在其每一个侧面上(不在棱上)安装5只颜色各异的彩灯,假若每只灯正常发光的概率是0.5,若一个面上至少有3只灯发光,则不需要维修,否则需要更换这个面. 假定更换一个面需100元,用ξ表示维修一次的费用.(1)求面ABB 1A 1需要维修的概率;(2)写出ξ的分布列,并求ξ的数学期望.19.(本小题满分12分) 在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AB=BC=BB 1,D 为AC 的中点, (1)求证:B 1C ∥平面A 1BD ;(2)若AC 1⊥平面A 1BD ,二面角B —A 1C 1—D 的余弦值.20.(本小题满分12分)已知数列{a n }中,),2(12*1N n n a a n n ∈≥-=-(1)531=a 若,数列{b n }满足)(11*N n a b n n ∈-=,求证:数列{b n }是等差数列;并求数列{a n }的通项公式;(2)若1<a 1<2,求证:1<a n +1<a n <2.21.(本小题满分12分)如图,已知直线)0(1:1:2222>>=++=b a by a x C my x L 过椭圆的右焦点F ,且交椭圆C 于A ,B 两点,点A ,F ,B 在直线2:a x G =上的射影依次为点D ,K ,E .(1)若抛物线y x 342=的焦点为椭圆C 的上顶点,求椭圆C 的方程;(2)对于(1)中的椭圆C ,若直线L 交y 轴于点M ,且21,λλ==,当m 变化时,求21λλ+的值;(3)连接AE ,BD ,试探索当m 变化时,直线AE 、BD 是否相交于一定点N ?若交于定点N ,请求出N 点的坐标,并给予证明;否则说明理由.22.(本小题满分14分)已知),1(,1)1ln()()(,)()(2->-+-=++=-x x e x f x g e a ax x x f xx(1)当a =1时,试求函数)(x g 的单调区间,并证明此时方程)(x g =0只有一个实数根,并求出此实数根;(2)证明:).,2(,21ln 1131211*N n n n n ∈≥+>-++++参考答案一、DABDB AAABD CC 二、13.41;14.-1;15.2;16.300 三、17.(1)x x x x x x f cos sin sin 3)6cos(cos 2)(2+--=πx x x x x x cos sin sin 3cos sin cos 322+-+=)32sin(22sin 2cos 3π+=+=x x x ………………………………4分所以T =π………………………………………………………………6分(2)由21)32sin(1)(=+=παα得f 又],0[πα∈613326532]37,3[32ππαππαπππα=+=+∴∈+∴或 12114παπα==或故………………………………………………12分18.(1)21)21()21()21(5555455351=++=C C C P …………………………6分 (2)因为)21,6(~B ξ,641)6(,323)5(,6415)4(,165)3(,6415)2(,323)1(,641)0(6666666=======P P P P P P P………………………………………………10分300216100=⨯⨯=ξE (元)………………………………………………12分 19.解:(1)连结AB 1交于A 1B 于点E ,连结ED . ∵侧面ABB 1A 1是正方形 ∴E 是AB 1的中点 又∵D 是AC 的中点 ∴ED ∥B 1C ∴B 1C ∥平面A 1BD ………………4分(2)取A 1C 1的中点G ,连结D G ,则D G ⊥A 1C 1 ∵AB =BC ∴BD ⊥AC ∴BD ⊥平面A 1C 1D ∴B G ⊥A 1C 1 ∴∠B G D 为二面角B —A 1C 1—D 的平面角………………8分 ∵AC 1⊥平面A 1BD ,∴AC 1⊥BD ,又∵CC 1⊥平面ABCD ,且AC 1在平面ABC 的射影为AC ,∴AC ⊥BD ∵AB =BC 且D 为AC 中点,∴AB ⊥BC 且BD =22AB 又∵D G=A 1A =AB∴B G=26AB ∴.36cos ==∠BG DG BGD ……………………12分20.(1)证明:11,111211111111-=-=--=-=-----n n n n n n n a b a a a a b 而,),2(1111*1111N n n a a a b b n n n n n ∈≥=---=-∴----故数列{b n }是首项为251111-=-=a b ,公差为1的等差数列;………………3分 依题意有,2711,271)1(25,11-=-∴-=⋅-+-==-n a n n b b a n n n n 而故7252--=n n a n ……………………………………………………………………6分(2)证明:先证1<a n <2 ①当n =1时,1<a 1<2成立; ②假设当n =k 时命题成立,即1<a k <2, 当21)23,1(121121,111<<⇒∈-=⇒<<+=++k k k k a a a a k n 时 故当n =k +1时命题成立,综合①②命题对任意*N n ∈时都成立,即1<a n <2…………………………9分下面证n n a a <+1n n nn n n n n a a a a a a a a <⇒=⋅-<+-=-++110122)1(2所以1<n n a a <+1<2成立.……………………………………………………12分21.解:(1)易知)0,1(,332F b b 又=∴=41222=+==∴c b a c13422=+∴y x C 的方程为椭圆…………………………………………2分(2))1,0(mM y l -轴交于与设⎩⎨⎧=-++=012431),(),,(222211y x my x y x B y x A 由 0)1(144096)43(222>+=∆=-++∴m my y m(*)321121m y y =+∴…………………………………………4分 又由),1()1,(111111y x my x --=+∴=λλ1111my --=∴λ同理2211my --=λ38322)11(122121-=--=+--=+∴y y m λλ3821-=+∴λλ……………………………………6分(3))0,(),0,1(2a k F =先探索,当m =0时,直线L ⊥ox 轴,则ABED 为矩形,由对称性知,AE 与BD 相交FK中点N ,且)0,21(2+a N猜想:当m 变化时,AE 与BD 相交于定点)0,21(2+a N ……………………8分 证明:设),(),,(),,(),,(12222211y a D y a E y x B y x A当m 变化时首先AE 过定点N21,21)1(0)1(40)1(2)(0122121222222222222222222a y K m y a y K a b m a b a a b y m b y m b a b a y a x b m y x ENAN --=---=>>-+=∆=-+++⎩⎨⎧=-++=又即 )21(21)(2112221212m y a a y m y y y a K K ENAN ----+-=-而)0)()1()1()2(21)(21(222222222222222221212=+-⋅-=+-⋅-+-⋅-=-+-bm a mb mb a b m a a b m b m a mb a y my y y a∴=∴ENAN K K A 、N 、E 三点共线同理可得B 、N 、D 三点共线∴AE 与BD 相交于定点)0,21(2+a N ……………………12分 22.解:(1)当a =1时,),1(),1ln()(2->+-+=x x x x x g则0,10)(,1)32(1112)(>->>'++=+-+='x x x g x x x x x x g 得及令,所以单调增区间为(0,+∞),令0110)(<<-->>'x x x g 得及,所以单调减区间为(-1,0).2分又.00)(,),0[)(,0)0(==∴+∞=x x g x g g 只有一个实根上单调递增在且 …4分(2)].)2([)()2()(22x a x e e a ax x e a x x f x x x-+-=++-+='---令a x x x f -==='20,0)(或解得(i )当2-a =0即a =2时,0)(≤'x f 无极值,舍去.(ii )当2-a >0即a <2时,)(),(x f x f '的变化情况如下表(一):由题意应有20,0)0(<==a f 得满足题意………………………………8分。
辽宁省大连市第二十四中学等三校2024届高三统一模拟考试数学试题(含解析)
A.3
B.2
C. 3
D. 2
二、多选题 9.设 z 1 i ,则( )
A. z z 2
C.
z
2
2
z
B. z zi 0 D. z z z 2
10.已知递增等比数列an 的公比为 q,且满足 a32 3a4 a5 ,下列情况可能正确的是
()
A. q = 2
B. q 1 2
C. a4 1
D.若 AC 1, BD 2 ,则四棱柱体积的最大值为 2 3
三、填空题
12.对于任意的正数 m,n,不等式
3 m
1 n
2m
n
成立,则
λ
的最大值为
13.已知抛物线 C1 : y2 2x, C2 : y2 4x 的焦点分别为 F1, F2 ,点 P, Q 分别在( C1, C2 上,
且线段 PQ 平行于 x 轴.若△F2PQ 是等腰三角形,则 PQ
及数论知识可判断 C 正确.
【详解】一方面若 a3 3, a4 7 ,则 d a4 a3 4 ,从而 an a3 4n 3 4n 9 ,
此时 a16 55, a17 59, a18 63, a19 67 ,即 ABD 不满足题意;
另一方面我们考虑一般情况,若 a3 3 p, a4 7q, p, q Z ,则 d 7q 3 p Z ,
故选:A 2.D 【分析】 由平方关系以及二倍角的正弦公式运算即可求解.
【详解】因为
0,π2
,
cos
3 ,所以 sin 5
1
3 5
2
4 5
,
从而 sin 2 2sin cos 2 4 3 24 . 5 5 25
故选:D.
2021-2022学年辽宁省辽宁省实验中学高三下学期高考考前模拟训练化学试题(解析版)
7.“美丽中国·绿色冬奥”,千余辆氢能大巴穿梭于赛场。一种可实现氢气循环利用的新型电池的放电工作原理如图所示。下列说法正确的是
A. 该装置化学能与电能之间的能量转化效率可达100%
B. 放电时,N极电极反应式为
C. 放电过程中 由左池通过交换膜向右池移动
D. 充电时,电极M接电源的负极
【答案】B
故答案 :A。
6.有机物a、b、c的结构简式如下所示,下列说法不正确的是
A.a、b、c中均只含一种官能团
B.a、b、c均能发生加成反应和被酸性高锰酸钾氧化
C.b中与苯环直接相连的原子都在同一平面上
D.c存在芳香族异构体
【答案】D
【解析】
【详解】A.由结构简式可知,a、b、c三种有机物的官能团分别为碳碳双键、羟基和醛基,均只含一种官能团,故A正确;
【答案】D
【解析】
【分析】根据图中元素周期表可以获得的信息:左上角的数字表示原子序数;字母表示该元素的元素符号;中间的汉字表示元素名称;汉字下面的数字表示相对原子质量;
【详解】A.根据钛原子的价电子排布3d24s2可知,位于IVB族,故A错误;
B.左上角的数字为22,表示原子序数为22,根据原子序数=核电荷数=质子数,质子数为22,由质子数+中子数=质量数,则质量数大于22,故B错误;
C. 丙图所示仪器应先装入药品,再检查气密性才能制备气体
D. 丁图所示仪器可用于酸碱中和滴定或减压过滤
【答案】B
【解析】
【详解】A.甲图所示仪器 球形冷凝管,蒸馏用直形冷凝管,故A错误;
B.乙图所示仪器是滴定管,具有“0”刻度,使用前需检查是否漏水,故B正确;
C.丙图所示仪器是启普发生器,应先检查气密性,再装入药品制备气体,故C错误;
精品解析:辽宁省大连市第一中学2021-2022学年高二上学期第一次月考历史试题(原卷版)
2021-2022学年度高二年级上学期学情反馈(一)历史试题一、选择题1. 埃及、印度、希腊和中国等古代文明呈现出多元发展格局,这主要是因为( )A. 农耕和畜牧经济发展的局限 B. 自然环境和历史传统的不同C. 大河与高山阻隔了文明交流D. 各大文明早期都小国寡民状态2. 如表为古罗马时期的相关立法,据此可知类别内容水道立法损害水道者、偷水者等要受制裁排污立法洗羊毛活动必须城外进行下水道立法禁止邻人使用暴力阻止下水道清扫和修理医疗卫生立法赋予外国医生罗马市民权A. 罗马法注重保护公共利益B. 罗马的公民权不断扩大C. 罗马人的环境保护意识强D. 罗马法的法律体系完备3. 约公元前450至前445年间的一件铭文记载了雅典公民大会选拔女祭司的情况:【……】阿科斯提案:胜利女神雅典娜的女祭司【……】应从所有雅典妇女中【任命】,……女祭司的薪资应为(每年)50德拉克玛以及公共祭祀(牺牲品)的腿和皮。
”多年后,公民大会再次明确规定每年向女祭司支付50德拉克玛。
由此可见,在雅典城邦A. 公民大会负责处理城邦重要事务B. 祭司是享有特权的公民群体C. 妇女在特定领域拥有政治权利D. 津贴制是民主政治的基础4. 严复曾在《原富》一书中提到:“顾分土因而分民,于是乎有拂特(西欧封建制)之俗……用拂特之制,民往往知其有主而不必知其有王。
故地大民众者,王力不足以御临之也。
”严复这段话强调的是A. 西欧封建制存在割据的隐患 B. 封君与封臣形成契约关系C. 土地是维系封君封臣的纽带D. 管理地方需加强中央集权5. 马丘比丘遗址的主要建筑分为农定区、手工业区、皇家区、宗教区等。
这里有沿着陡峭山坡层层开凿建造的房屋、从山顶向各个方向开凿的供水渠道、各种形状的庙宇、庄严的皇家墓葬,还有日晷、采石地点等。
该遗址反映了是在A. 马丘比丘是安第斯地区的中心B. 阿兹特克人国家丰富的宗教信仰C. 印第安人高超的城市建筑艺术D. 印加文化继承了玛雅文化的精华6. 关于马可·波罗是否到过中国,历来有争议。
辽宁省大连市24中高考数学模拟(理)
辽宁省大连市第二十四中学2008年高考模拟数学试题(理科)参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么 P (A +B )=P (A )+P (B ) 如果事件A 、B 相互独立,那么 P (A ·B )=P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(球的表面积公式 24R S π= 其中R 表示球的半径 球的体积公式 334R V π=其中R 表示球的半径第I 卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的. 1.}|{},12|{2x y y N x y x M -==+==,则M ,N 两个集合的关系是 ( )A .)]1,1{(-=⋂N MB .N M ⋂=C .N M ⊆D .M N ⊆ 2.“22-≠≠y x 或”是“4-≠xy ”的( )A .必要而不充分条件B .充分而不要条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件 3.等差数列{a n }中,a 5+a 7=16,a 3=4,则a 9= ( )A .8B .12C .24D .25 4.复数2)1(1i z +=的虚部为 ( )A .i 21 B .-i 21 C .21 D .-21 5.设O 为平行四边形ABCD 的对称中心,216,4e BC e AB ==,则2132e e -=( )A .B .C .D .6.设l ,m ,n 表示三条直线,α,β,γ表示三个平面,给出下列四个命题: ①若l ⊥α,m ⊥α,则l ∥m ; ②若m ⊂β,n 是l 在β内的射影,m ⊥l ,则m ⊥n ; ③若m ⊂α,m ∥n ,则n ∥α; ④若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β. 其中真命题为 ( )A .①②B .①②③C .①②③④D .③④ 7.已知函数)(62131)(23R x x ax x x f ∈+-=,若它的导函数+∞'=,2[)(在x f y )上是单调递增函数,则实数a 的取值范围是( )A .]4,(-∞B .),4[+∞C .]4,(--∞D .),4[+∞-8.20名学生,任意分成甲、乙两组,每组10人,其中2名学生干部恰好被分在不同组内的概率是 ( )A .102091812C C C B .1020818122C C C C .1020819122C C C D .102081812C C C 9.若函数)0,4()4sin()(ππP x y x f y 的图象关于点的图象和+==对称,则)(x f 的表达式为)(x f =( )A .)4cos(π+x B .)4cos(π--x C .)4cos(π+-x D .)4cos(π-x10.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 ( )A .(1,2)B .(-1,2)C .(2,+∞)D .),2[+∞11.在半径为10cm 的球面上有A ,B ,C 三点,且AB =38cm ,∠ACB =60°,则球心O 到平面ABC 的距离为( )A .2cmB .4cmC .6cmD .8cm12.椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的左准线为l ,F 1,F 2分别为左、右焦点,抛物线C 2的准线为l ,焦点为F 2,C 1,C 2的一个交点为P ,则||||||||21121PF PF PF F F -等于 ( )A .-1B .21-C .1D .21第II 卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分. 13.)2144(lim 22xx x +---→= .14.若1111221092)2()2()2()12)(1(+++++++=-++x a x a x a a x x x ,则11210a a a a ++++ = .15.已知y x z y x x y x y x 342211,-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤-则函数满足的最大值是 .16.若m ,n 均为非负整数,在做m +n 的加法时各位均不进位(例如,134+3802=3936),则称(m ,n )为“简单的”有序对,而m +n 称为有序数对(m ,n )的值,那么值为1942的“简单的”有序对的个数是 .三、解答题:本大题共6小题,共74分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知函数.cos sin sin 3)6cos(cos 2)(2x x x x x x f +--=π(1)求)(x f 的最小正周期;(2)当ααπα求若时,1)(,],0[=∈f 的值.18.(本小题满分12分) 有一种舞台灯,外形是正六棱柱ABCDEF —A 1B 1C 1D 1E 1F 1,在其每一个侧面上(不在棱上)安装5只颜色各异的彩灯,假若每只灯正常发光的概率是0.5,若一个面上至少有3只灯发光,则不需要维修,否则需要更换这个面. 假定更换一个面需100元,用ξ表示维修一次的费用.(1)求面ABB 1A 1需要维修的概率;(2)写出ξ的分布列,并求ξ的数学期望.19.(本小题满分12分) 在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AB=BC=BB 1,D 为AC 的中点, (1)求证:B 1C ∥平面A 1BD ;(2)若AC 1⊥平面A 1BD ,二面角B —A 1C 1—D 的余弦值. 20.(本小题满分12分)已知数列{a n }中,),2(12*1N n n a a n n ∈≥-=-(1)531=a 若,数列{b n }满足)(11*N n a b n n ∈-=,求证:数列{b n }是等差数列;并求数列{a n }的通项公式;(2)若1<a 1<2,求证:1<a n +1<a n <2. 21.(本小题满分12分)如图,已知直线)0(1:1:2222>>=++=b a by a x C my x L 过椭圆的右焦点F ,且交椭圆C 于A ,B 两点,点A ,F ,B 在直线2:a x G =上的射影依次为点D ,K ,E .(1)若抛物线y x 342=的焦点为椭圆C 的上顶点,求椭圆C 的方程;(2)对于(1)中的椭圆C ,若直线L 交y 轴于点M ,且21,λλ==,当m 变化时,求21λλ+的值;(3)连接AE ,BD ,试探索当m 变化时,直线AE 、BD 是否相交于一定点N ?若交于定点N ,请求出N 点的坐标,并给予证明;否则说明理由.22.(本小题满分14分)已知),1(,1)1ln()()(,)()(2->-+-=++=-x x e x f x g e a ax x x f x x(1)当a =1时,试求函数)(x g 的单调区间,并证明此时方程)(x g =0只有一个实数根,并求出此实数根;(2)证明:).,2(,21ln 1131211*N n n n n ∈≥+>-++++参考答案一、DABDB AAABD CC 二、13.41;14.-1;15.2;16.300 三、17.(1)x x x x x x f cos sin sin 3)6cos(cos 2)(2+--=πx x x x x x cos sin sin 3cos sin cos 322+-+=)32sin(22sin 2cos 3π+=+=x x x ………………………………4分所以T =π………………………………………………………………6分(2)由21)32sin(1)(=+=παα得f 又],0[πα∈613326532]37,3[32ππαππαπππα=+=+∴∈+∴或 12114παπα==或故………………………………………………12分18.(1)21)21()21()21(5555455351=++=C C C P …………………………6分 (2)因为)21,6(~B ξ,641)6(,323)5(,6415)4(,165)3(,6415)2(,323)1(,641)0(6666666=======P P P P P P P………………………………………………10分300216100=⨯⨯=ξE (元)………………………………………………12分 19.解:(1)连结AB 1交于A 1B 于点E ,连结ED . ∵侧面ABB 1A 1是正方形 ∴E 是AB 1的中点 又∵D 是AC 的中点 ∴ED ∥B 1C ∴B 1C ∥平面A 1BD ………………4分(2)取A 1C 1的中点G ,连结D G ,则D G ⊥A 1C 1 ∵AB =BC ∴BD ⊥AC ∴BD ⊥平面A 1C 1D ∴B G ⊥A 1C 1 ∴∠B G D 为二面角B —A 1C 1—D 的平面角………………8分 ∵AC 1⊥平面A 1BD ,∴AC 1⊥BD ,又∵CC 1⊥平面ABCD ,且AC 1在平面ABC 的射影为AC ,∴AC ⊥BD ∵AB =BC 且D 为AC 中点,∴AB ⊥BC 且BD =22AB又∵D G=A 1A =AB∴B G=26AB ∴.36cos ==∠BG DG BGD ……………………12分20.(1)证明:11,111211111111-=-=--=-=-----n n n n n n n a b a a a a b 而,),2(1111*1111N n n a a a b b n n n n n ∈≥=---=-∴----故数列{b n }是首项为251111-=-=a b ,公差为1的等差数列;………………3分 依题意有,2711,271)1(25,11-=-∴-=⋅-+-==-n a n n b b a n n n n 而故7252--=n n a n ……………………………………………………………………6分(2)证明:先证1<a n <2 ①当n =1时,1<a 1<2成立; ②假设当n =k 时命题成立,即1<a k <2, 当21)23,1(121121,111<<⇒∈-=⇒<<+=++k k k k a a a a k n 时 故当n =k +1时命题成立,综合①②命题对任意*N n ∈时都成立,即1<a n <2…………………………9分下面证n n a a <+1n n nn n n n n a a a a a a a a <⇒=⋅-<+-=-++110122)1(2所以1<n n a a <+1<2成立.……………………………………………………12分21.解:(1)易知)0,1(,332F b b 又=∴=41222=+==∴c b a c13422=+∴y x C 的方程为椭圆…………………………………………2分(2))1,0(mM y l -轴交于与设⎩⎨⎧=-++=012431),(),,(222211y x my x y x B y x A 由 0)1(144096)43(222>+=∆=-++∴m my y m(*)321121m y y =+∴…………………………………………4分 又由),1()1,(111111y x my x AFMA --=+∴=λλ1111my --=∴λ同理2211my --=λ38322)11(122121-=--=+--=+∴y y m λλ3821-=+∴λλ……………………………………6分(3))0,(),0,1(2a k F =先探索,当m =0时,直线L ⊥ox 轴,则ABED 为矩形,由对称性知,AE 与BD 相交FK中点N ,且)0,21(2+a N猜想:当m 变化时,AE 与BD 相交于定点)0,21(2+a N ……………………8分 证明:设),(),,(),,(),,(12222211y a D y a E y x B y x A当m 变化时首先AE 过定点N21,21)1(0)1(40)1(2)(0122121222222222222222222a y K m y a y K a b m a b a a b y m b y m b a b a y a x b m y x ENAN --=---=>>-+=∆=-+++⎩⎨⎧=-++=又即 )21(21)(2112221212m y a a y m y y y a K K ENAN ----+-=-而)0)()1()1()2(21)(21(222222222222222221212=+-⋅-=+-⋅-+-⋅-=-+-bm a mb mb a b m a a b m b m a mb a y my y y a∴=∴ENAN K K A 、N 、E 三点共线同理可得B 、N 、D 三点共线∴AE 与BD 相交于定点)0,21(2+a N ……………………12分 22.解:(1)当a =1时,),1(),1ln()(2->+-+=x x x x x g则0,10)(,1)32(1112)(>->>'++=+-+='x x x g x x x x x x g 得及令,所以单调增区间为(0,+∞),令0110)(<<-->>'x x x g 得及,所以单调减区间为(-1,0).2分又.00)(,),0[)(,0)0(==∴+∞=x x g x g g 只有一个实根上单调递增在且 …4分(2)].)2([)()2()(22x a x e e a ax x e a x x f x x x-+-=++-+='---令a x x x f -==='20,0)(或解得(i )当2-a =0即a =2时,0)(≤'x f 无极值,舍去.(ii )当2-a >0即a <2时,)(),(x f x f '的变化情况如下表(一):由题意应有20,0)0(<==a f 得满足题意………………………………8分。
平面向量的应用重难点解析版
突破6.4 平面向量的应用一、学情分析高考对本部分的考查主要涉及平面向量的数量积和向量的线性运算,以运算求解和数形结合为主,重点掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算,能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系,掌握向量加法、减法、数乘的运算及其几何意义等,注重转化与化归思想的应用.1.平面向量的数量积一直是高考的一个热点,尤其是平面向量的数量积,主要考查平面向量的数量积的 运算、向量的几何意义、模与夹角、两向量的垂直等问题.题型一般以选择题、填空题为主.2.平面向量的基本定理及坐标表示是高考中的一个热点内容,尤其是用坐标表示的向量共线的条件是高 考考查的重点内容,一般是通过向量的坐标表示,将几何问题转化为代数问题来解决,多以选择题或填空题的形式呈现,有时也作为解答题中的条件,应用向量的平行或垂直关系进行转换.二、学法指导与考点梳理考点一 向量在平面几何中的应用 (1)用向量解决常见平面几何问题的技巧: 问题类型 所用知识 公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a ∥b ⇔a =λb ⇔x 1y 2-x 2y 1=0, 其中a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),b ≠0 垂直问题数量积的运算性质a ⊥b ⇔a ·b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0,其中a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),且a ,b 为非零向量夹角问题数量积的定义cos θ=a ·b|a ||b |(θ为向量a ,b 的夹角),其中a ,b 为非零向量长度问题数量积的定义|a |=a 2=x 2+y 2,其中a =(x ,y ),a 为非零向量平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题。
考点二 正弦定理和余弦定理1.在△ABC 中,若角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,R 为△ABC 外接圆半径,则 定理 正弦定理余弦定理公式a sin A =b sin B =c sin C=2R a 2=b 2+c 2-2bc cos A ;b 2=c 2+a 2-2ca cos B ;c 2=a 2+b 2-2ab cos C常见 变形(1)a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C ;(2)sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c2R ;(3)a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C ;(4)a sin B =b sin A ,b sin C =c sin B ,a sin C =c sin Acos A =b 2+c 2-a 22bc ;cos B =c 2+a 2-b 22ac ;cos C =a 2+b 2-c 22ab2.S △ABC =12ab sin C =12bc sin A =12ac sin B =abc 4R =12(a +b +c )·r (r 是三角形内切圆的半径),并可由此计算R ,r .3.在△ABC 中,已知a ,b 和A 时,解的情况如下:A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a =b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b a ≤b 解的个数一解两解一解一解无解重难点题型突破1 平面向量在平面几何中的应用(奔驰定理)例1、(1).(2022·四川西昌·高二期末(理))在平面上有ABC 及内一点O 满足关系式:0OBC OAC OAB S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=△△△即称为经典的“奔驰定理”,若ABC 的三边为a ,b ,c ,现有0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=则O 为ABC 的( )A .外心B .内心C .重心D .垂心【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形面积公式,推出点O 到三边距离相等。
2021-2022学年辽宁省大连市高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2021-2022学年辽宁省大连市高二(上)期末数学试卷一、单选题(本大题共8小题,共40分。
在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)1.直线,的位置关系是( )A. 垂直B. 平行C. 相交D. 重合2.已知空间向量,若,则实数x的值是A. B. 0 C. 1 D. 23.若直线l经过,两点,则直线l的倾斜角为( )A. B. C. D.4.若直线与圆相切,则b的值是( )A. 或12B. 2或C. 或D. 2或125.直线l过抛物线的焦点,且与抛物线C交于A,B两点,,若AB的中点到y轴的距离为1,则p的值是( )A. 1B. 2C. 3D. 46.如图,空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1,E、F、G分别是AB、AD、DC的中点,则( )A. B. C. D.7.阿基米德出生于希腊西西里岛叙拉古,享有“力学之父”的美称,和高斯、牛顿并列为世界三大数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率、椭圆的半长轴长、椭圆的半短轴长三者的乘积.已知椭圆C:的面积为,左右焦点分别为,,M为椭圆C上一点,且的周长为16,则椭圆C的方程为( )A. B. C. D.8.如图1,矩形ABCD ,,,E 为CD 中点,F 为线段除端点外的动点.如图2,将沿AF 折起,使平面平面ABC ,在平面ABD 内,过点D 作,K 为垂足,则AK长度的取值范围为( )A. B. C. D.二、多选题(本大题共4小题,共20分。
在每小题有多项符合题目要求)9.下列圆锥曲线中,焦点在x 轴上的是( )A.B.C.D.10.已知空间向量,,则下列正确的是( )A. B.C.D.,11.如图,正四面体的顶点 A 、 B 、 C 分别在两两垂直的三条射线 Ox , Oy , Oz 上,则下列选项中正确的是( )A. 三棱锥是正三棱锥B. 直线平面ACDC. 直线CD 与平面ABC 所成的角的正弦值为D. 异面直线AB 和CD 所成角是12.已知抛物线,点,,过M作抛物线的两条切线MA,MB,其中A,B为切点,且A在第一象限,直线AB与y轴交于点P,则下列结论正确的有( )A. 点P的坐标为B.C. 的面积的最大值为D. 的取值范围是三、填空题(本大题共4小题,共20分)13.双曲线的渐近线方程是__________.14.已知,,若直线l的方向向量与直线AB的方向向量平行,则实数等于__________.15.已知G是正方形ABCD的中心,点P为正方形ABCD所在平面外一点,若,则实数__________.16.双曲线上一点点P在第一象限,过双曲线C中心O且与坐标轴不平行的直线l交双曲线C左右两支于A,B两点点A,B异于点,设直线PA,PB的斜率分别为、,且,则双曲线C的离心率为__________.四、解答题(本大题共6小题,共70分。
2021-2022学年辽宁省高一(上)第一次月考化学试卷一及答案
2021-2022学年辽宁省高一(上)第一次月考化学试卷一(时间90分钟,满分100分)一、单选题(本大题共14小题,共42.0分)1.下列变化中,不涉及氧化还原反应的是()A. 金属冶炼B. 钢铁的锈蚀C. 食物的腐败D. 钟乳石的形成2.下列说法正确的是()A. pH小于7的雨水属于酸雨B. 硫酸氢钠在水溶液中的电离方程式为:NaHSO4=Na++H++SO42-C. pH大于7的溶液中:Na+、Ba2+、SO32-、ClO-一定能大量共存D. 向0.1 mol/L、pH=2的NaHA溶液中加入NaOH溶液,离子方程式为:H++OH-=H2O3.下列说法正确的是()A. MgO和Al2O3都属于两性氧化物B. 悬浊液和乳浊液的分散质均为液态C. 葡萄糖溶液和淀粉液都具有丁达尔效应D. 用浸泡过高锰酸钾溶液的硅藻土保鲜水果4.下列属于电解质的是()A. 蔗糖B. KNO3C. 铜D. NaCl溶液5.下列物质的分类正确的是()A. CO--酸性氧化物B. 液氯--非电解质C. BaSO4--强电解质D. Fe(OH)3胶体--纯净物6.下列选项中的离子因发生氧化还原反应而不能大量共存的有色溶液是()A. Cu2+、OH-、Ba2+、NO3-B. Fe3+、K+、SO42-、OH-C. MnO4-、Cl-、H+、Na+D. I-、Na+、ClO-、K+7.实验室常用反应NaNO2+NH4Cl=NaCl+N2↑+2H2O制取N2.下列有关说法正确的是()A. NaNO2是氧化剂B. N2的电子式是C. 生成1 mol N2时转移6 mol 电子D. 氧化剂和还原剂的质量之比是1:18.对于某些离子的检验及结论一定正确的是()A. 加入稀盐酸产生气体,将气体通入澄清石灰水,溶液变浑浊,一定有CO32-B. 加入稀硝酸无明显现象,再加盐酸溶液产生沉淀,一定有Ag+C. 加入氯化钡溶液有白色沉淀产生,再加盐酸,沉淀不消失,一定有SO42-D. 加入氯水,再加KSCN溶液显红色,一定有Fe3+9.已知反应:2NaClO3+4HCl=2ClO2↑+Cl2↑+2NaCl+2H2O,下列关于该反应说法错误的是()A. 氧化性:NaClO3>Cl2B. 当反应中有2mole-转移时,被氧化的HCl为4molC. 氧化产物和还原产物的物质的量之比为1:2D. 产物ClO2和Cl2都可以用于自来水消毒杀菌10.氧化还原反应的实质是()A. 元素化合价变化B. 电子转移C. 得到氧或失去氧D. 原子重新组合11.下列反应可用离子方程式“H++OH-=H2O”表示的是()A. HClO溶液与Ba(OH)2溶液混合B. HNO3溶液与澄清石灰水混合C. CH3COOH溶液与Mg(OH)2溶液混合D. NaHCO3溶液与NaOH溶液混合12.氧化还原是中学阶段重要的知识内容.按要求回答问题.下列关于氧化还原反应的说法,正确的是()A. 氧化还原反应的特征是电子的转移B. 氧化剂在反应中被还原,生成氧化产物C. 同一反应中,氧化剂得电子的总数一定等于还原剂失电子的总数D. 任何反应中一定有氧化剂和还原剂,且氧化剂和还原剂可以为同种物质13.下列离子方程式式书写正确的是()A. 向偏铝酸钠溶液中滴加碳酸氢钠溶液:AlO2-+HCO3-+H2O=Al(OH)3↓+CO32-B. Fe(NO3)3溶液中通入足量SO2:2Fe3++SO2+2H2O=2Fe2++SO42-+4H+C. 酸性KMnO4溶液与H2O2反应证明H2O2具有还原性:MnO4-+10H++H2O2=2Mn2++6H2OD. 澄清的石灰水中加入过量的NaHCO3溶液:Ca2++OH-+HCO3-=CaCO3↓+H2O14.已知24mL浓度为0.05mol/L 的Na2SO3溶液恰好与V mL浓度为0.04mol/L的K2X2O7溶液完全反应。
辽宁省大连市2023届高三上学期期末双基测试数学试题解析版
2023年大连市高三双基测试数学注意事项:1.请在答题纸上作答,在试卷上作答无效.2.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷━.单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求.1.已知集合{}1,2,3,4,5A =,12x B x Z ⎧⎫-=∈⎨⎬⎩⎭,则A B = ()A.{}5 B.{}3,5 C.{}1,3,5 D.{}2,4【答案】C 【解析】【分析】逐一验证集合{}1,2,3,4,5A =中的元素是否也属于集合12x B x Z ⎧⎫-=∈⎨⎬⎩⎭即可.【详解】因为集合{}1,2,3,4,5A =,12x B xZ ⎧⎫-=∈⎨⎬⎩⎭可得1x =时,11012Z B -=∈⇒∈;2x =时,211222Z B -=∉⇒∉;3x =时,31132Z B -=∈⇒∈;4x =时,413422Z B -=∉⇒∉;5x =时,51252Z B -=∈⇒∈;综上,集合,A B 的公共元素为1,3,5,所以A B = {}1,3,5,故选:C.2.i 是虚数单位,若复数543i z =+,则z 的共轭复数z =()A.43i 55+ B.43i 55- C.43i 55-+ D.43i 55--【答案】A 【解析】【分析】根据复数除法运算可化简得到z ,由共轭复数定义可得结果.【详解】()()()543i 543i 43i 43i 43i 43i 555z --====-++- ,43i 55z ∴=+.故选:A.3.已知命题0:p x ∃∈R ,20010x x -+<,则p ⌝是()A.0x ∃∈R ,20010x x -+≥ B.0x ∀∈R ,20010x x -+<C.x ∀∈R ,210x x -+≥ D.x ∀∈R ,210x x -+>【答案】C 【解析】【分析】由特称命题的否定可直接得到结果.【详解】由特称命题的否定可知p 为:x ∀∈R ,20010x x -+≥.故选:C.4.开普勒(Johannes Kepler ,1571~1630),德国数学家、天文学家,他发现所有行星运行的轨道与公转周期的规律:所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,且所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等.已知金星与地球的公转周期之比约为2:3,地球运行轨道的半长轴为a ,则金星运行轨道的半长轴约为()A.0.66aB.0.70aC.0.76aD.0.96a【答案】C 【解析】【分析】设金星运行轨道的半长轴为1a ,金星和地球的公转周期分别为1t ,2t ,根据题意可得1123a a =,进而结合332.512 2.1>>,即可得出结果.【详解】设金星运行轨道的半长轴为1a ,金星和地球的公转周期分别为1t ,2t ,由开普勒定律得3312212a a t t =.因为1223t t =,所以33149a a =,即13a a =.因为函数3y x =在(),-∞+∞上单调递增,且12592611281000>>,且3312592612.5, 2.181000==,所以332.512 2.1>>,因此112 2.50.700.933a a a a <=<<,故选:C.5.若二项式()6210ax a x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为64,则展开式中的常数项为()A.10B.15C.25D.30【答案】B 【解析】【分析】根据赋值法可得系数和,进而求解1a =,由二项式展开式的通项公式即可求解常数项.【详解】令1x =,则所有的项的系数和为()6164a +=,由于0a >,所以1a =,621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为6263166C C r r r r rr T x x x ---+==,故当630r -=时,即2r =,此时展开式中的常数项为26C 15=,故选:B6.若ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且2π1cos cos 222αα⎛⎫++=- ⎪⎝⎭.则tan α=()A.B.2C.3D.【答案】C 【解析】【分析】根据二倍角公式以及诱导公式化简得21cos 2cos sin 2ααα-=-,进而根据齐次式以及弦切互化即可求解.【详解】由2π1cos cos 222αα⎛⎫++=-⎪⎝⎭得22221cos 2cos sin 1cos 2cos sin 2cos sin 2αααααααα--=-⇒=-+,进而得212tan 11tan 2αα-=-+,化简得:2tan 4tan 30αα-+=,所以tan 3α=或tan 1α=,由于ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以tan 1α>,故tan 3α=,故选:C7.已知()4324ln 32ea -=,1e b =,c =,则()A.a c b<< B.c<a<b C.a b c<< D.b a c<<【答案】A 【解析】【分析】构造函数()ln xf x x=,其中0x >,利用导数分析函数()f x 的单调性,可得出()4ln 32e a f -=、()e b f =、()2c f =,比较4ln 32e -、2、e 的大小关系,结合函数()f x 在(]0,e 上的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】构造函数()ln x f x x =,其中0x >,则()21ln xf x x -'=,当0e x <<时,()0f x ¢>;当e x >时,()0f x '<.所以,函数()f x 的增区间为()0,e ,减区间为()e,+∞.因为()()4ln3244ln32324ln 324ln 32e e e a f ----==,()e e 1b f ==,()e log 4ln 42ln 2ln 224442c f ======,因为24ln 3242e e e 12648-⎛⎫==< ⎪⎝⎭,则4ln 32e 2e -<<,则()()()4ln 32e 2ef f f -<<,故a c b <<.故选:A.8.已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ,且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=.若()y g x =的图像关于直线2x =对称,(2)4g =,则()221k f k ==∑()A.21-B.22- C.23- D.24-【答案】D 【解析】【分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2f x f x +-=-,从而得到()()()352110f f f +++=- ,()()()462210f f f +++=- ,然后根据条件得到(2)f 的值,再由题意得到()36g =从而得到()1f 的值即可求解.【详解】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称,所以()()22g x g x -=+,因为()(4)7g x f x --=,所以(2)(2)7g x f x +--=,即(2)7(2)g x f x +=+-,因为()(2)5f x g x +-=,所以()(2)5f x g x ++=,代入得[]()7(2)5f x f x ++-=,即()(2)2f x f x +-=-,所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- ,()()()()46222510f f f +++=-⨯=- .因为()(2)5f x g x +-=,所以(0)(2)5f g +=,即()01f =,所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=,所以(4)()7g x f x +-=,又因为()(2)5f x g x +-=,联立得,()()2412g x g x -++=,所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称,因为函数()g x 的定义域为R ,所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=,所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ .故选:D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽,考生需要根据已知条件进行恰当的转化,然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.二、多项选择题:(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)9.将函数()()cos 2πf x x =-图象上所有的点向左平移π6个单位长度,得到函数()g x 的图象,则()A.()g x 的最小正周期为πB.()g x 图象的一个对称中心为7π,012⎛⎫⎪⎝⎭C.()g x 的单调递减区间为()π5ππ,π36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z D.()g x 的图象与函数πsin 26⎛⎫=-- ⎪⎝⎭y x 的图象重合【答案】ABC 【解析】【分析】根据三角函数平移变换和诱导公式可得()πcos 23g x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭;根据余弦型函数最小正周期可知A 错误;利用代入检验法可知B 错误;根据余弦型函数单调区间的求法可知C 正确;利用诱导公式化简()g x 解析式可得()πsin 26g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,知D 错误.【详解】由题意知:()πππcos 2πcos 2633g x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭;对于A ,()g x 的最小正周期2ππ2T ==,A 正确;对于B ,当7π12x =时,π7ππ3π23632x +=+=,此时()3πcos02g x =-=,7π,012⎛⎫∴ ⎪⎝⎭是()g x 的一个对称中心,B 正确;对于C ,令()ππ2π22π3k x k k -+≤+≤∈Z ,解得:()2ππππ36k x k k -+≤≤-+∈Z ,即()π5πππ36k x k k +≤≤+∈Z ,()g x ∴的单调递减区间为()π5ππ,π36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ,C正确;对于D ,()π2ππππcos 2πcos 2cos 2sin 233266g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()g x ∴与πsin 26⎛⎫=--⎪⎝⎭y x 图象不重合,D 错误.故选:ABC.10.下列结论正确的有()A.若随机变量()2~1,N ξσ,()40.77P ξ≤=,则()20.23P ξ≤-=B.若随机变量1~10,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则()3119D X -=C.已知回归直线方程为10.8y bx=+ ,且4x =,50y =,则9.8b = D.已知一组数据丢失了其中一个,剩下的六个数据分别是3,3,5,3,6,11.若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列,则丢失数据的所有可能值的和为22【答案】AC 【解析】【分析】根据正态分布对称性知A 正确,计算()()32920D X D X +==,B 错误,将()x y代入回归直线,计算得到C 正确,讨论三种情况得到可能数据的和为12,D 错误,得到答案.【详解】对于A ,()()2410.770.23P P ξξ≤-=≥=-=,故A 正确;对于B ,()122010339D X =⨯⨯=,所以()220313209D X -=⨯=,故B 不正确;对于C ,回归直线方程经过点(),x y ,将4x =,50y =代入求得9.8b= ,故C 正确;对于D ,设丢失的数据为x ,则这组数据的平均数为317x+,众数为3,当3x ≤时,中位数为3,此时36731x ++=,解得10-;当35x <<时,中位数为x ,此时31327xx ++=,解得4x =;当5x ≥时,中位数为5,此时113073x+=+,解得18x =.所以所有可能x 的值和为1041812-++=,故D 不正确.故选AC.11.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,E ,F ,G 分别为BC ,11,CC BB 的中点,则()A .直线1D D 与直线AF 垂直B.直线1A G 与平面AEF 平行C.平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D.点1A 与点D 到平面AEF 的距离相等【答案】BCD 【解析】【分析】根据棱柱的结构特征,建立以D 为原点,以DA 、DC 、1D D 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系D xyz -,利用向量法即可判断A ,根据线线平行即可判断B,根据梯形面积即可判断C,根据中点关系即可判断D.【详解】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,建立以D 为原点,以DA 、DC 、1D D 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系D xyz -,如图所示:E 、F 、G 分别为BC 、1CC 、1BB 的中点,则()0,0,0D ,()10,0,1D ,()1,0,0A ,10,1,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,对于A,()10,0,1DD = ,11,1,2AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,∴1102DD AF ⋅=≠ ,故A 错误;对于B :连接1AD ,1D F ,1//AD EF ,A ∴,1D ,E ,F 四点共面,由于11//A D GF ,11=A D GF ,所以四边形11A D FG 为平行四边形,故11//AG D F ,又1AG ⊂/平面AEF ,1D F ⊂平面AEF ,1//A G ∴平面AEF ,故B 正确,对于C ,连接1AD ,1FD ,1//AD EF ,∴四边形1AD FE 为平面AEF截正方体所得的截面,1AD ==2EF =,12D F AE ===,∴四边形1AD FE324=,则四边形1AD FE的面积为192248⎫⨯+⨯=⎪⎪⎭,故C 正确;对于D,连接1A D 交1AD 于点O ,故O 是1A D 的中点,且O 是线段1A D 与平面1AD FE 的交点,因此点1A 和点D 到平面AEF 的距离相等,故D 正确.故选:BCD .12.已知点F 是抛物线24y x =的焦点,AB ,CD 是经过点F 的弦且AB CD ⊥,直线AB的斜率为k ,且0k >,C ,A 两点在x 轴上方,则()A.3OC OD ⋅=-B.四边形ABCD 面积最小值为64C.1114AB CD += D.若16AF BF ⋅=,则直线CD 的斜率为【答案】ACD 【解析】【分析】由抛物线的方程可得焦点F 的坐标,设直线AB 的方程,与抛物线的方程联立,可得两根之和及两根之积,由抛物线的性质可得弦长||AB ,同理可得||CD 的值,由均值不等式可得四边形的面积的最小值,经过判断可得命题的真假.【详解】由抛物线的方程可得焦点(1F ,0),由题意可得直线AB ,CD 的斜率存在且不为0,设直线CD 的方程为:1(0)x my m =+<,设1(C x ,1)y ,2(D x ,2)y ,联立214x my y x=+⎧⎨=⎩,整理可得:2440y my --=,显然0∆>,124y y m +=,124y y =-,21212()242x x m y y m +=++=+,21212()116y y x x ==,所以12121(4)3OC OD x x y y ⋅=+=+-=-,所以A 正确;由于21244CD x x p m =++=+,1AB CDk k =-,所以将CD 中的m 换成1m -代入CD 中得2144AB m=+,()()22222411114182823222ACBDm S AB CD m m m m +⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯+⋅=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭四边形,当且仅当1m =-时等号成立,所以四边形的最小面积为32,所以B 不正确;设3(A x ,3)y ,4(B x ,4)y ,若||||16AF BF ⋅=,即343434(1)(1)116x x x x x x ++=+++=,整理可得4343()116x x x x +++=,即21411126m ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭,解得213m =,即33m =±,而直线CD 的斜率10k m =<,所以直线CD的斜率为D 正确;可得弦长()2||41CD m =+,21||41AB m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以2221111||||4(1)4(1)4m AB CD m m +=+=++,所以C 正确;故选:ACD第Ⅱ卷三、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上)13.设向量()(),2,2,1a m b == ,且222||a b a b +=+ ,则m =_________.【答案】1-【解析】【分析】根据向量模长的坐标公式即可代入求解.【详解】由()(),2,2,1a m b == 得()2,3a b m +=+ ,根据222||a b a b +=+ 得()2222925m m ++=++,解得1m =-,故答案为:1-14.若直线3y ax =-为函数()1ln f x x x=-图像的一条切线,则a 的值是________.【答案】2【解析】【分析】根据切点求解函数()f x 的切线方程,列方程组得02000112,ln 13a x x x x +=--=-,进而可求解0x ,即可得a .【详解】设()1ln f x x x =-的切点为00(,)x y ,其中0001ln y x x =-,由()211f x x x'=+得切线的斜率为()020011k f x x x '==+,所以切线方程为:()002000111ln y x x x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭,即02000112ln 1y x x x x x ⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭,直线3y ax =-是()f x 的切线,所以2000112ln 13a x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩,记()2ln 2,g x x x =-+则()2120g x x x'=+>,所以()g x 在定义域内单调递增,而()10g =,所以方程2ln 20x x-+=的根为1x =,因此01x =,进而得200112a x x =+=,故答案为:215.已知()()12,0,,0F c F c -为椭圆2222:1x y C a b+=的两个焦点,P 为椭圆C 上一点(P 不在y 轴上),12PF F △的重心为G ,内心为M ,且12//GM F F ,则椭圆C 的离心率为___________.【答案】12##0.5【解析】【分析】根据重心坐标公式以及内切圆的半径,结合等面积法,得到,a c 的关系,即可求解离心率.【详解】设()()000,0P x y x ≠,由于G 是12PF F △的重心,由重心坐标公式可得00,33x y G ⎛⎫⎪⎝⎭,由于12//GM F F ,所以M 的纵坐标为03M y y =,由于M 是12PF F △的内心,所以12PF F △内切圆的半径为03y r =,由椭圆定义得12212,2PF PF a F F c +==,()2121210120122111223PF F MF F MF P MPF y S S S S F F y F F PF F P =++⇒⋅=++ ,()001222232y c y a c a c e =+⇒=⇒=,故答案为:1216.已知菱形ABCD 边长为6,2π3ADC ∠=,E 为对角线AC 上一点,3AE =ABD △沿BD 翻折到A BD ' 的位置,E 移动到E '且二面角A BD A '--的大小为π3,则三棱锥A BCD -'的外接球的半径为______;过E '作平面α与该外接球相交,所得截面面积的最小值为__________.【答案】①.21②.9π【解析】【分析】设AC BD O = ,证明出BD ⊥平面A CO ¢,分析可知π3AOA '∠=,以点O 为坐标原点,OC 、OB 所在直线分别为x 、y 轴,平面AOA '内过点O 且垂直于AC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系,设三棱锥A BCD -'的外接球球心为(),,M x y z ,根据题意可得出关于x 、y 、z 的方程组,可求得球心M 的坐标,即可求出球M 的半径长,求出ME ',可求得截面圆半径的最小值,再利用圆的面积公式可求得截面圆面积的最小值.【详解】设AC BD O = ,翻折前,在菱形ABCD 中,则AC BD ⊥,即AO BD ⊥,CO BD ⊥,翻折后,则有A O BD '⊥,所以,二面角A BD A '--的平面角为π3AOA '∠=,在菱形ABCD 中,2π3ADC ∠=,则π3BAD ∠=,又因为6AB AD ==,所以,ABD △是边长为6的等边三角形,同理可知,BCD △是边长为6的等边三角形,因为A O BD '⊥,CO BD ⊥,A O CO O '⋂=,A O '、CO ⊂平面A CO ¢,BD ∴⊥平面A CO ¢,以点O 为坐标原点,OC 、OB 所在直线分别为x 、y 轴,平面AOA '内过点O 且垂直于AC 的直线为z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,则点()0,3,0B、()C 、()0,3,0D -、339,0,22A ⎛⎫'- ⎪ ⎪⎝⎭、()E ',设三棱锥A BCD -'的外接球球心为(),,M x y z ,由MB MDMB MC MB MA ⎧='⎪=⎨⎪=⎩可得()()()(()222222222222222222333339322x y z x y z x y z x y z x y z x y z ⎧⎪+-+=+++⎪⎪⎪+-+=-++⎨⎪⎪⎛⎛⎫+-+=+++-⎪ ⎪ ⎝⎭⎪⎝⎭⎩,解得03x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩,所以,三棱锥A BCD -'的球心为)M,球M的半径为MB =.ME '=,设球心M 到截面α的距离为d ,平面α截球M 的截面圆的半径为r,则d ME '≤=,3r ∴=≥=,过E '作平面α与该外接球相交,所得截面面积的最小值为2π39π⨯=.;9π.【点睛】方法点睛:求空间多面体的外接球半径的常用方法:①补形法:侧面为直角三角形,或正四面体,或对棱二面角均相等的模型,可以还原到正方体或长方体中去求解;②利用球的性质:几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径,也即球的直径;③定义法:到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心,借助有特殊性底面的外接圆圆心,找其垂线,则球心一定在垂线上,再根据带其他顶点距离也是半径,列关系求解即可;④坐标法:建立空间直角坐标系,设出外接球球心的坐标,根据球心到各顶点的距离相等建立方程组,求出球心坐标,利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.四、解答题:(本大题共6小题共70分,解答应写出文字说明x 证明过程或演算步骤)17.已知公差为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =,________.请从以下二个条件中任选一个,补充在题干的横线上,并解答下列问题:①248S S S 、、成等比数列,②251072a a a -=.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若11n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)21n a n =-(2)21n nT n =+【解析】【分析】(1)先设等差数列{}n a 的公差为(0)d d >,再根据等差数列的求和公式和等比中项的性质,根据条件①②分别列出关于首项1a 与公差d 的方程,解出d 的值,即可计算出数列{}n a 的通项公式;(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{}n b 的通项公式,再运用裂项相消法即可计算出前n 项和n T .【小问1详解】由题意,设等差数列{}n a 的公差为(0)d d >,方案一:选择条件①41121816,43442822,8S a d a S a d d d S a +=+==+⨯=+,根据248S S S 、、成等比数列得2428S S S =,代入得()()()1121462828a d d a a d +=++,又11a =,化简整理,可得220d d -=,由于0d >,所以2d =,12(1)21n a n n ∴=+-=-,*n ∈N .方案二:选择条件②由251072a a a -=,可得()()211149(6)2a d a d a d ++-+=,又11a =,解得2d =,12(1)21n a n n ∴=+-=-,*n ∈N 【小问2详解】由(1)可得111111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭,则12n nT b b b =++⋅⋅⋅+1111111112323522121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111123352121n n ⎛⎫=⨯-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭111221n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭21nn =+.18.记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且()()()sin sin sin sin b c B C A C a +-=-.(1)求B 的值;(2)若ABC,2b =,求ABC 周长.【答案】(1)π3B =(2)6【解析】【分析】(1)利用正弦定理结合余弦定理可求得cos B 的值,结合角B 的取值范围可求得角B 的值;(2)利用三角形的面积公式可求得ac 的值,再利用余弦定理可求得a c +的值,即可求得ABC 的周长.【小问1详解】解:由()()()sin sin sin sin b c B C A C a +-=-,根据正弦定理可得()()()b c b c a c a +-=-,所以,222a c b ac +-=,由余弦定理可得2221cos 22a c b B ac +-==,()0,πB ∈ ,因此,π3B =.【小问2详解】解:因为1sin 24ABC S ac B ac === ,4ac ∴=,由余弦定理可得()()22222222cos 3124b a c ac B a c ac a c ac a c =+-=+-=+-=+-=,4a c ∴+=,因此,ABC 的周长为6a b c ++=.19.如图多面体ABCDEF ,正方形ABCD 的边长为4,AF ⊥平面ABCD ,2AF =,//AF DE ,DE AF <.(1)求证://CE 平面ABF ;(2)若二面角B CF E --的大小为α,且310cos 10α=,求DE 长.【答案】(1)证明见解析(2)1DE =【解析】【分析】(1)利用线面平行和面面平行的判定可证得平面//CDE 平面ABF ,由面面平行的性质可证得结论;(2)以A 为坐标原点建立空间直角坐标系,设()02DE t t =<<,利用二面角的向量求法可构造方程求得t 的值,即为DE 的长.【小问1详解】//AF DE ,//AB CD ,DE ⊄平面ABF ,CD ⊄平面ABF ,AF ⊂平面ABF ,AB ⊂平面ABF ,//DE ∴平面ABF ,//CD 平面ABF ,CD DE D = ,,CD DE ⊂平面CDE ,∴平面//CDE 平面ABF ,CE ⊂ 平面CDE ,//CE ∴平面ABF .【小问2详解】以A 为坐标原点,,,AB AD AF正方向为,,x y z轴,可建立如图所示空间直角坐标系,设()02DE t t =<<,则()4,0,0B ,()4,4,0C ,()0,0,2F ,()0,4,E t ,()0,4,0BC ∴= ,()4,4,2CF =-- ,()4,0,CE t =-,设平面BCF 的法向量(),,n x y z =,则404420BC n y CF n x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ,令1x =,解得:0y =,2z =,()1,0,2n ∴= ;设平面CEF 的法向量(),,m a b c =,则442040CF m a b c CE m a tc ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩,令4c =,解得:a t =,2b t =-,(),2,4m t t ∴=- ;cos cos ,10m n m n m n α⋅∴=<>==⋅ ,解得:1t =或134t =(舍),1DE =∴.20.某地区为居民集体筛查新型传染病毒,需要核酸检测,现有()*N ,2k k k ∈≥份样本,有以下两种检验方案,方案一,逐份检验,则需要检验k 次;方案二:混合检验,将k 份样本分别取样混合在一起检验一次,若检验结果为阴性,则k 份样本均为阴性,若检验结果为阳性,为了确定k 份样本的阳性样本,则对k 份本再逐一检验.逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是16元,且k 份样本混合检验一次需要额外收20元的材料费和服务费.假设在接受检验的样本中,每份样本是否为阳性是相互独立的,且据统计每份样本是阴性的概率为()01p p <<.(1)若()*N ,2k k k ∈≥份样本采用混合检验方案,需要检验的总次数为X ,求X 分布列及数学期望;(2)①若5,k p =>性;②若p =,采用方案二总费用的数学期望低于方案一,求k 的最大值.参考数据:ln20.7,ln3 1.1,ln7 1.9,ln10 2.3,ln11 2.4=====【答案】(1)见解析(2)①见解析,②k 的最大值为11【解析】【分析】(1)X 的可能值为1和1k +,分别求出对应的概率,再结合期望公式,即可求解,(2)①结合期望公式,求出方案二的期望,再结合作差法,即可求解.②结合期望公式,以及利用导数研究函数的单调性,即可求解.【小问1详解】X 的可能值为1和1k +,(1)k P X p ==,(1)1k P X k p =+=-,所以随机变量X 的分布列为:所以()1(1)[1]1【小问2详解】①设方案二总费用为Y ,方案一总费用为Z ,则1620Y X =+,所以方案二总费用的数学期望为:()16()2016[1]20k E Y E X k kp =+=+-+,又5k =,所以55()16[65]2080116E Y p p =-+=-+,又方案一的总费用为51680Z =⨯=,所以()55()80801168036Z E Y p p --+=--=,当p >50.451p <<,508036p <-,,所以()>Z E Y ,所以该单位选择方案二合理.②由①方案二总费用的数学期望()16()2016[1]20k E Y E X k kp =+=+-+,当p =79()1612016(e )4k k E Y k k k k -⎡⎤=+-+=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,又方案一的总费用为16Z k =,令()<E Y Z 得:7916e 164kk k k -⎛⎫+-< ⎪⎝⎭,所以79e4kk ->,即79ln e ln 4k k -⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以9ln ln 074k k -->,设9()ln ln [2,)74x f x x x =--∈+∞,所以117(),[2,)77-=-=∈+∞'x f x x x x,令()0f x '>得27x <,()0f x '<得7x >,所以()f x 在区间[2,7)上单调递增,在区间(7,)+∞上单调递减,()max ()7f x f =ln712(ln3ln2)0.10=---=>,888(8)3ln22(ln3ln2)5ln22ln3 1.30777f =---=--=->,999(9)2ln32(ln3ln2)2ln2 1.40777f =---=-=->,1010(10)ln102(ln3ln2) 1.5077f =---=->,1111(11)ln112(ln3ln2) 1.6077f =---=->,121212(12)ln122(ln3ln2)4ln2ln3 1.70777f =---=--=-<,所以k 的最大值为11.21.已知双曲线222:1x Q y a-=的离心率为,经过坐标原点O 的直线l 与双曲线Q 交于A ,B 两点,点()11,A x y 位于第一象限,()22,C x y 是双曲线Q 右支上一点,AB AC ⊥,设113,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭(1)求双曲线Q 的标准方程;(2)求证:C ,D ,B 三点共线;(3)若ABC 面积为487,求直线l 的方程.【答案】(1)2214x y -=(2)证明见解析(3)13y x =【解析】【分析】(1)根据离心率即可求解2a =,(2)利用坐标运算,结合点差法以及向量共线的坐标表示即可求解,(3)根据三角形面积公式,利用联立方程,韦达定理,代入化简即可得到关于k 的方程,【小问1详解】由双曲线222:1x Q y a -=,所以152e a ==,解得2a =,所以双曲线Q 的标准方程为2214x y -=【小问2详解】由()11,A x y 得()11,B x y --,又()22,C x y ,所以()11,OA x y =,()2121,AC x x y y =--,由OA AC ⊥得()()1211210x x x y y y -+-=①,由于()11,A x y ,()22,C x y 在双曲线上,所以222212121,144x x y y -=-=,相减得()221222121212121244y y x x x xy y y y x x -+-=+⇒=--②由①②得1211214x x x y y y =-++③,()2121111,,2,,2BC x x y y BD x y ⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭ 由于110,0x y >>,所以()21212121111121222y y x x y y x x x x y y ++++-=+-,将③代入得()()212121112111112012224y y x x y y x x y y x y y y ⎛⎫+-+++-=⎪⎝- ⎭+=,所以//BC BD,因此C ,D ,B 三点共线【小问3详解】设直线l 的方程为()0y kx k =>,联立直线l 与双曲线的方程为:()222214414y kx k x x y =⎧⎪⇒-=⎨-=⎪⎩,故2114002k k ->⇒<<,所以212414x k =-,直线AC 的方程为()111y y x x k -=--,联立()21121111222148144014y y x x x x k x y x y k k k k x y ⎧-=--⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒-++-+-=⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪-=⎪⎩,所以()111228,04x ky x x k ++=-∆>-由于//AD y 轴,10y >,所以152AD y =,所以()()()()211111111121122281551010224444ABC x y ky x ky x ky S y x x y y k k k+++=⨯+=⨯=⨯=⨯--- ,由于11y kx =,212414x k =-代入得()()()()3232323211122224221440101010401414444174417ABC k k k kx k x k k x k k k k S k k k k k k k ⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭-=====----+⎛⎫+- ⎪⎝⎭,令10k t k+=>,则240484257ABC t S t ==- ,化简得224351500t t --=,由于0t >,所以103t =,因此1103k k +=,解得3k =或13k =由于102k <<,所以13k =,故直线l 方程为13y x =【点睛】方法点睛:解析几何中的弦长以及面积问题以及最值是常见的类型,对于这类问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将解析几何中最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.22.已知函数()()()22111ln ln ,e 22ex f x x x kx k g x x f x =++-=--,(1)若–1k ≤时,求证:函数()f x )只有一个零点;(2)对12x x ∀≠时,总有()()12122g x g x x x ->-恒成立,求k 的取值范围.【答案】(1)见解析(2)1e k ≤-【解析】【分析】(1)求导,利用导数确定函数的单调性,进而结合零点存在性定理即可求解,(2)将问题等价转化为()2g x x -在定义域内单调递增,构造函数()()2F x g x x =-,只需要证明()0F x '≥,进而分离参数,问题转化成21()=e e ln 12x x p x x x----,只()k p x ≤恒成立,利用导数求解最值即可.【小问1详解】由()21ln ln 2f x x x kx k =++-得()ln 1x f x k x x'=++,记()()()2ln 1ln ,x x h x f x k h x x x x -''==++=,则当01x <<时,()0h x '>,当1x >时,()0h x '<,因此()h x 在01x <<单调递增,在1x >单调递减,故()()11h x h k ≤=+,当1k ≤-时,10k +≤,所以()0h x ≤,因此()0f x '≤,所以()f x 在定义域()0,∞+单调递减,而()10f =,因此函数()f x )只有一个零点【小问2详解】不妨设12x x <,则由()()12122g x g x x x ->-得()()()()()12121122222g x g x x x g x x g x x <-<-⇒--,故函数()2g x x -在定义域内单调递增,记()()2F x g x x =-,则()0F x '≥,即()()()22112e 2ln 12e e 0e x x F x x k x xg x f x '''=-=-------=≥-,所以21n 2e e l 1x x k x x----≥,记21()=e e ln 12x x p x x x----,只需要()k p x ≤恒成立即可,22222ln ln 2e ()=2e x xx x x x p x x =+'+,记()()22ln ,=2e 0x q x x x x +>,()()21=41e 0x q x x x x'++>,所以()q x 在()0,∞+单调递增,()2221e 112e 0,2e 12e 10e q q -⎛⎫=>=-<-< ⎪⎝⎭,所以存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使得()00q x =,即022002n 0e l x x x +=,所以0200000l 11ln 2n 1e x x x x x x ==-,由于01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以()01ln 0,1x ∈,令()e x t x x =,由于当0x >时,0,e 0x x >>,且函数,e x y x y ==均为单调递增的函数,所以()ex t x x =由020001ln 12e x x x x =得()0012ln t x t x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以0012ln x x =,即0201e x x =,当00x x <<时,()0p x '<,()p x 单调递减,当0x x >时,()0p x '>,()p x 单调递增,所以()()()0002min 0000112ln 111e 122e e ex x x x x x p x p x ---==---==---,故1ek ≤-【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题,属于难题.不等式恒成立问题常见方法:①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立(()min a f x ≤即可);②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可);③分类讨论参数.。
辽宁省大连市第八中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题
(1)证明:直线 l 与椭圆 C 相切;
(2)已知直线 l 与椭圆 D :
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
>b
>
0) 交于 A
, B 两点,且点W
为
AB
的中
点.
(i)证明:椭圆 D 的离心率为定值;
试卷第61 页,共33 页
( ) (ii)记VOAB
的面积为 S
,若 b2
=
4 3
+
1 4n
,证明:
Sn+1 - Sn = 2an+1 - 2an
an+1 = 2an+1 - 2an
an+1 = 2an
an+1 an
=
2
答案第11 页,共22 页
所以{an} 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,
an = 1× 2n-1 = 2n-1
Qa1 = 1 ,符合上式
所以{an} 是通项为 an = 2n-1 的等比数列,A 选项正确;
对于 B,已知 Sn = 2n +1 ,所以 Sn+1 = 2n+1 +1 , a1 = S1 = 21 +1 = 3
Sn+1 - Sn = 2n+1 - 2n = 2n an+1 = 2n an = 2n-1
Q a1 = 3 ,不符合上式 所以,B 选项错误;
对于 C,已知 an+1 = 2an ,当首项为零时,不符合题意,C 选项错误;
的虚部为 sin1 > 0 , 因此命题①②③都正确,即正确说法的个数为 3. 故选:A 3.A
【分析】用 Sn 与 an 的关系,求出{an} 通项公式,根据等比数列的判定,即可判断正误.
2021-2022学年辽宁省辽宁省实验中学高三下学期高考考前模拟物理试题(解析版)
B. 从B到C的过程中,气体的内能减小
C. 从C到D的过程中,气体向外放热
D. 气体在状态D时的体积
【答案】CD
【解析】
【分析】
【详解】A.从状态A到B,气体经历的是等容过程,所以A错误;
B.从B到C的过程中,温度不变,则气体的内能不变,所以B错误;
C.从C到D的过程中,气体温度降低,气体内能减小 ,体积减小,则外界对气体做正功 ,根据热力第一定律
【答案】A
【解析】
【详解】A.以EF为研究对象,设EF刚开始运动时其电流大小为I,则通过MN的电流为2I,由题有
根据闭合电路欧姆定律得
又
联立解得
故A正确;
B.金属棒EF开始运动时,由
得
金属棒MN所受的安培力大小为
以MN为研究对象,根据牛顿第二定律得
拉力的功率为
又
解得
故B错误;
C.MN棒在T时间内通过的位移为
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】A.同步卫星与地球表面赤道上物体具有相同角速度,根据 可知,入轨后向心加速度大于地球表面赤道上物体随地球自传的向心加速度,故A正确;
B.第一宇宙速度是卫星的最小发射速度,最大的圆周运行速度,所有卫星的运行速度都不大于第一宇宙速度,故B错误;
C.从近地轨道进入同步轨道需要点火加速离心,所以该卫星的机械能大于同质量的近地卫星的机械能,故C错误;
故选C。
3.如图所示,将质量为m的球放在 和 两个与纸面垂直的光滑板之间,两板与水平面夹角 并保持静止。 板固定, 板与 板活动连接, 板可绕通过 点且垂直纸面的轴转动。在 角缓慢地由 增大到 的过程中( )
A. 球对 板压力的最大值为 B. 球对 板压力的最大值为
2021-2022学年辽宁省大连市金普新区八年级(上)月考数学试卷(10月份)(解析版)
2021-2022学年辽宁省大连市金普新区八年级第一学期月考数学试卷(10月份)一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项正确)1.如图,△ABC中AB边上的高是()A.线段AD B.线段AC C.线段CD D.线段BC2.下列图形中具有稳定性的是()A.三角形B.平行四边形C.梯形D.五边形3.下列各组线段中,能构成三角形的是()A.1,1,3B.2,3,5C.3,4,9D.5,6,104.下列说法中正确的是()A.周长相等的两个三角形全等B.面积相等的两个三角形全等C.完全重合的两个三角形全等D.所有的等腰直角三角形全等5.如图,△ABE≌△ACD,则与∠B相等的是()A.∠CAD B.∠AED C.∠C D.∠CAE6.能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的是三角形的()A.角平分线B.中线C.高线D.重心7.一个多边形的外角和与它的内角和相等,则多边形是()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形8.等腰三角形的周长为13,其中一边长为3,则该等腰三角形的底边长为()A.3B.5C.7D.99.如图,已知∠ABC=∠DCB,下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是()A.∠A=∠D B.AB=DC C.∠ACB=∠DBC D.AC=BD10.如图,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,AE=AF,则下列结论成立的是()A.DE=DF B.BD=CD C.∠B=∠C D.AB=AC二、填空题(本题共6小题,每小题3分,共18分)11.△ABC的两边长分别是3和5,则第三边x的取值范围是.12.如图,△ABC≌△DEF,AB=6,BC=5,AC=4,则EF=.13.如图,△AOD≌△BOC,∠C=50°,∠COD=40°,AD与BC相交于点E,则∠DEC =°.14.如图,AE∥DF,AE=DF,要使△AEC≌△DFB,则可添加的一个条件是.15.如果一个多边形的内角和为1080°,那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线有条.16.如图,△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB,垂足为E,AB=10,AC=6,则BE的长为.三、解答题(本题共4小题,其中17、18、19题各9分,20题12分,共39分)17.如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,且CE交BA的延长线于点E,证明:∠BAC=∠B+2∠E.18.如图,点E、F在BC上,BE=FC,AB=DC,∠B=∠C.求证:∠A=∠D.19.如图,要测量池塘两岸相对的两点A,B的距离,可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C,D,使BC=CD,再画出BF的垂线DE,使E与A,C在一条直线上,这时测得DE的长就是AB的长.为什么?20.尺规作图(不写作法,保留作图痕迹)已知∠AOB,(1)作∠AOB的平分线;(2)作一个角等于∠AOB.四、解答题(本题共3小题,其中21题9分,22、23题各10分,共29分)21.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF.求证:AD是△ABC的角平分线.22.如图,在△ABC中,点D是AC延长线上的一点,过点D作DE∥BC,DF平分∠ADE,BF平分∠ABC.设∠A=n°,求∠F的度数(用含n的式子表示).23.如图,AD⊥BC,垂足为D,AD=BD,点E在AD上,DE=DC,连接AC,BE.写出线段AC,BE的关系,并证明.五、解答题(本题共3小题,24、25题各11分,26题12分,共34分)24.证明:如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等,那么这两个三角形全等.25.如图,∠MON=90°,点A,B分别在OM,ON上,∠MAB和∠NBA的平分线交于点P.当点A,B在OM,ON上的位置变化时,∠P的大小是否变化?若∠P的大小保持不变,说明理由;若∠P的大小变化,求出变化范围.26.(1)如图1,∠CAB=∠DAB,BC=BD.求证:△ABC≌△ABD.(2)如图2,∠ABC=∠ABD,AC=AD.求证:△ABC≌△ABD.参考答案一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项正确)1.如图,△ABC中AB边上的高是()A.线段AD B.线段AC C.线段CD D.线段BC【分析】根据三角形高线的定义进行判断.解:△ABC中AB边上的高是线段CD.故选:C.2.下列图形中具有稳定性的是()A.三角形B.平行四边形C.梯形D.五边形【分析】根据三角形具有稳定性即可得出答案.解:A.三角形具有稳定性,故本选项符合题意;B.平行四边形不具有稳定性,故本选项不符合题意;C.梯形不具有稳定性,故本选项不符合题意;D.五边形不具有稳定性,故本选项不符合题意;故选:A.3.下列各组线段中,能构成三角形的是()A.1,1,3B.2,3,5C.3,4,9D.5,6,10【分析】由于三角形三边满足两短边的和大于最长的边,只要不满足这个关系就不能构成三角形.根据这个关系即可确定选择项.解:A、∵1+1=2<3,∴无法构成三角形,不合题意;B、∵2+3=5,∴无法构成三角形,不合题意;C、∵3+4=7<9,∴无法构成三角形,不合题意;D、∵5+6=11>10,∴可以构成三角形,符合题意;故选:D.4.下列说法中正确的是()A.周长相等的两个三角形全等B.面积相等的两个三角形全等C.完全重合的两个三角形全等D.所有的等腰直角三角形全等【分析】根据全等三角形的定义及判定定理逐个判断即可.解:周长相等的两个三角形不一定全等,故A错误,不符合题意;面积相等的两个三角形不一定全等,故B错误,不符合题意;完全重合的两个三角形全等,故C正确,符合题意;所有的等腰直角三角形不一定是全等三角形,故D错误,不符合题意;故选:C.5.如图,△ABE≌△ACD,则与∠B相等的是()A.∠CAD B.∠AED C.∠C D.∠CAE 【分析】根据全等三角形的对应角相等解答即可.解:∵△ABE≌△ACD,∴∠B=∠C,故选:C.6.能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的是三角形的()A.角平分线B.中线C.高线D.重心【分析】利用三角形面积公式进行判断.解:能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的是三角形的中线.故选:B.7.一个多边形的外角和与它的内角和相等,则多边形是()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形【分析】任意多边形的外角和为360°,然后利用多边形的内角和公式计算即可.解:设多边形的边数为n.根据题意得:(n﹣2)×180°=360°,解得:n=4.故选:B.8.等腰三角形的周长为13,其中一边长为3,则该等腰三角形的底边长为()A.3B.5C.7D.9【分析】已知的边可能是腰,也可能是底边,应分两种情况进行讨论.解:当腰是3时,则另两边是3,7,而3+3<7,不满足三边关系定理,因而应舍去.当底边是3时,另两边长是5,5,则该等腰三角形的底边为3,故选:A.9.如图,已知∠ABC=∠DCB,下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是()A.∠A=∠D B.AB=DC C.∠ACB=∠DBC D.AC=BD【分析】本题要判定△ABC≌△DCB,已知∠ABC=∠DCB,BC是公共边,具备了一组边对应相等,一组角对应相等,故添加AB=CD、∠ACB=∠DBC、∠A=∠D后可分别根据SAS、ASA、AAS能判定△ABC≌△DCB,而添加AC=BD后则不能.解:A、可利用AAS定理判定△ABC≌△DCB,故此选项不合题意;B、可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB,故此选项不合题意;C、利用ASA判定△ABC≌△DCB,故此选项不符合题意;D、SSA不能判定△ABC≌△DCB,故此选项符合题意;故选:D.10.如图,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,AE=AF,则下列结论成立的是()A.DE=DF B.BD=CD C.∠B=∠C D.AB=AC【分析】A、通过全等三角形的判定定理HL证得Rt△AED≌Rt△AFD,则对应边DE=DF;B、当点D是BC的中点时,BD=CD;C、只有当AB=AC时,∠B=∠C才成立;D、只有当∠B=∠C时,AB=AC才成立.解:A、如图,在Rt△AED与ARtAFD中,,∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL),∴DE=DF,故A正确;B、因为点D不一定是BC边上的中点,所以BD=CD不一定成立,故A错误;C、当AB=AC时,由等边对等角推知∠B=∠C,故C错误;D、当∠B=∠C时,由等角对等边推知AB=AC,故D错误;故选:A.二、填空题(本题共6小题,每小题3分,共18分)11.△ABC的两边长分别是3和5,则第三边x的取值范围是2<x<8.【分析】根据三角形的三边关系定理可得5﹣3<x<5+3,再解即可.解:由题意得:5﹣3<x<5+3,即:2<x<8,故答案为:2<x<8.12.如图,△ABC≌△DEF,AB=6,BC=5,AC=4,则EF=5.【分析】根据全等三角形的性质得出BC=EF,再求出EF即可.解:∵△ABC≌△DEF,∴EF=BC,∵BC=5,∴EF=5,故答案为:5.13.如图,△AOD≌△BOC,∠C=50°,∠COD=40°,AD与BC相交于点E,则∠DEC =40°.【分析】根据全等三角形的性质得出∠D=∠C,根据三角形内角和定理求出∠D+∠DEC+∠DFE=180°,∠C+∠DOC+∠OFC=180°,根据对顶角相等得出∠DFE=∠OFC,求出∠DEC=∠COD,再求出答案即可.解:设DO交BC于F,∵△AOD≌△BOC,∠C=50°,∴∠D=∠C,∵∠D+∠DEC+∠DFE=180°,∠C+∠DOC+∠OFC=180°,又∵∠DFE=∠OFC,∴∠DEC=∠COD,∵∠COD=40°,∴∠DEC=40°,故答案为:40.14.如图,AE∥DF,AE=DF,要使△AEC≌△DFB,则可添加的一个条件是AB=CD.【分析】要判定△AEC≌△DFB,已知AE=DF、∠A=∠D,要加线段相等,只能是AC =DB,而AB=CD即可得.解:添加AB=CD,∵AB=CD∴AC=DB又AE=DF、∠A=∠D∴△AEC≌△DFB,故答案为;AB=CD.15.如果一个多边形的内角和为1080°,那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线有5条.【分析】首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数,再计算出对角线的条数.解:设此多边形的边数为x,由题意得:(x﹣2)×180=1080,解得;x=8,从这个多边形的一个顶点出发所画的对角线条数:8﹣3=5,故答案为:5.16.如图,△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB,垂足为E,AB=10,AC=6,则BE的长为4.【分析】先证明△ACD和△AED全等,得出AC=AE,即可得出BE的长度.解:∵AD是∠CAB的平分线,∴∠EAD=∠CAD,∵DE⊥AB,∴∠DEA=∠C=90°,在△ADE和△ADC中,,∴△ADE≌△ADC(AAS),∴AE=AC=6,∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4,故答案为4.三、解答题(本题共4小题,其中17、18、19题各9分,20题12分,共39分)17.如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,且CE交BA的延长线于点E,证明:∠BAC=∠B+2∠E.【分析】利用三角形的外角的性质即可解决问题.【解答】证明:∵CE平分∠ACD,∴∠ACE=∠DCE,∵∠DCE=∠B+∠E,∴∠ACE=∠B+∠E,∵∠BAC=∠ACE+∠E,∴∠BAC=∠B+∠E+∠E=∠B+2∠E.18.如图,点E、F在BC上,BE=FC,AB=DC,∠B=∠C.求证:∠A=∠D.【分析】可通过证△ABF≌△DCE,来得出∠A=∠D的结论.【解答】证明:∵BE=FC,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE;又∵AB=DC,∠B=∠C,∴△ABF≌△DCE(SAS),∴∠A=∠D.19.如图,要测量池塘两岸相对的两点A,B的距离,可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C,D,使BC=CD,再画出BF的垂线DE,使E与A,C在一条直线上,这时测得DE的长就是AB的长.为什么?【分析】由垂线的定义可得出∠B=∠EDC=90°,结合BC=DC,∠ACB=∠ECD,即可证出△ABC≌△EDC(ASA),利用全等三角形的性质可得出AB=ED.解:DE=AB,理由如下:∵AB⊥BF,DE⊥BF,∴∠B=∠EDC=90°.在△ABC和△EDC中,,∴△ABC≌△EDC(ASA),∴AB=ED.20.尺规作图(不写作法,保留作图痕迹)已知∠AOB,(1)作∠AOB的平分线;(2)作一个角等于∠AOB.【分析】(1)根据基本作图方法即可作∠AOB的平分线;(2)根据基本作图方法即可作一个角等于∠AOB.解:(1)如图,OC即为∠AOB的平分线;(2)如图,∠EFD即为所求.四、解答题(本题共3小题,其中21题9分,22、23题各10分,共29分)21.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF.求证:AD是△ABC的角平分线.【分析】首先可证明Rt△BDE≌Rt△DCF(HL)再根据三角形角平分线的逆定理求得AD 是角平分线即可.【解答】证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴Rt△BDE和Rt△CDF是直角三角形.,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),∴DE=DF,∵DE⊥AB,DF⊥AC,AD=AD,∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL),∴∠ADE=∠ADF,∴AD是角平分线.22.如图,在△ABC中,点D是AC延长线上的一点,过点D作DE∥BC,DF平分∠ADE,BF平分∠ABC.设∠A=n°,求∠F的度数(用含n的式子表示).【分析】根据角平分线定义表示角的关系∠ADE=2∠ADF,∠ABC=2∠ABF,由平行推内错角相等,再根据外角性质定理求角的关系,等量代换后就可求出∠F的度数.解:∵DF平分∠ADE,BF平分∠ABC,∴∠ADE=2∠ADF,∠ABC=2∠ABF,∵DE∥BC,∴∠BCD=∠ADE,∴∠BCD=∠ADE=2∠ADF,∵∠ABF+∠A=∠F+∠ADE,∴∠ABF=∠F+∠ADE﹣n°,∠BCD=∠A+∠ABC,∴2∠ADF=n°+2∠ABF,∴2∠ADF=n°+2(∠F+∠ADE﹣n°)=n°+2∠F+2∠ADE﹣2n°,∴∠F=n°.23.如图,AD⊥BC,垂足为D,AD=BD,点E在AD上,DE=DC,连接AC,BE.写出线段AC,BE的关系,并证明.【分析】根据SAS证明△BDE≌△ADC,再根据全等三角形的性质证明∠BFC=90°即可.【解答】答:BE=AC,BE⊥AC.证明:延长BE交AC于点F,∵AD⊥BC,垂足为D,∴∠ADC=∠BDA=90°,在△ADC和△BDE中,,∴△ADC≌△BDE(SAS),∴BE=AC,∠BED=∠C,∵∠AEF=∠BED=∠C,∴∠BFC=∠A+∠AEF=∠A+∠C=∠CDA=90°,即BF⊥AC,∴BE⊥AC.∴线段AC,BE之间的数量关系是:AC=BE,位置关系是:AC⊥BE.五、解答题(本题共3小题,24、25题各11分,26题12分,共34分)24.证明:如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等,那么这两个三角形全等.【分析】求出BM=EN,根据SSS证△ABM≌△DEN,推出∠B=∠E,根据SAS证△ABC ≌△DEF即可.【解答】已知:△ABC和△DEF中,AB=DE,BC=EF,AM是△ABC的中线,DN是△DEF的中线,AM=DN,求证:△ABC≌△DEF.证明:∵BC=EF,AM是△ABC的中线,DN是△DEF的中线,∴BM=EN,在△ABM和△DEN中,∵,∴△ABM≌△DEN(SSS),∴∠B=∠E,在△ABC和△DEF中,∵,∴△ABC≌△DEF(SAS).25.如图,∠MON=90°,点A,B分别在OM,ON上,∠MAB和∠NBA的平分线交于点P.当点A,B在OM,ON上的位置变化时,∠P的大小是否变化?若∠P的大小保持不变,说明理由;若∠P的大小变化,求出变化范围.【分析】根据∠MON=90°,推出∠OAB+∠PBA=90°,根据平角定义这两个条件推出∠MAB+∠ABN=270°,再根据角平分线的定义,求出∠PAB+∠PBA=135°,最后求∠P度数.【解答】答:∠P的大小保持不变,等于45°.证明:∵∠MON=90°,∴∠OAB+∠PBA=90°,∵∠OAB+∠MAB=180°,∠OBA+∠ABN=180°,∴∠MAB+∠ABN=270°,∵AP、PB分别平分∠MAB和∠NBA,∴∠PAB=∠MAB,∠PBA=∠ABN,∴∠PAB+∠PBA=135°,∴∠P=45°,∴∠P的大小保持不变,等于45°.26.(1)如图1,∠CAB=∠DAB,BC=BD.求证:△ABC≌△ABD.(2)如图2,∠ABC=∠ABD,AC=AD.求证:△ABC≌△ABD.【分析】(1)作BE⊥AD于E,BF⊥AC于F,根据角平分线的性质得到BF=BE,则可判断Rt△BCF≌Rt△BDE,然后根据“AAS”可判断△ABC≌△ABD;(2)作AE⊥CB交CB的延长线于E,作AF⊥DB交DB的延长线于F,首先证明Rt△ADF≌Rt△ACE(HL),推出∠D=∠C,再根据AAS证明三角形全等即可.【解答】证明:(1)作BE⊥AD于E,BF⊥AC于F,如图1,∵∠CAB=∠DAB,∴BF=BE,在Rt△BCF和Rt△BDE中,,∴Rt△BCF≌Rt△BDE(HL),∴∠C=∠D,在△ABC和△ABD中,,∴△ABC≌△ABD(AAS);(2)如图2,作AE⊥CB交CB的延长线于E,作AF⊥DB交DB的延长线于F,∵∠ABC=∠ABD,∴∠ABE=∠ABF,∵AE⊥CE,AF⊥DF,∴AE=AF,∵∠E=∠F=90°,在Rt△ADF和Rt△ACE中,,∴Rt△ADF≌Rt△ACE(HL),∴∠D=∠C,在△ABC和△ABD中,,∴△ABC≌△ABD(AAS).。
辽宁省部分重点中学协作体2023届高三下学期4月模拟数学试题
辽宁省部分重点中学协作体2023年高考模拟考试数学第一命题校:大连市第二十四中学张宁第二命题校:辽宁省东北育才学校王成栋参与命题校:沈阳市第二十中学李蕾蕾第I 卷一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}2,1,0,1,2,3U =--,集合{}{}1,1,1,2,3A B =-=-,则()U A B ⋂=ð()A.{}1- B.{}1,3- C.{}2,3 D.{}1,2,3-2.若复数1i2i 1i z +=+-(i 为虚数单位),则z 的虚部为()A.3B.3iC.-3D.3i -3.0.1352,log 4,log 27a b c -===,则()A.a c b <<B.a b c <<C.c a b<< D.c b a<<4.随着智能手机的普及,手机摄影越来越得到人们的喜爱,要得到美观的照片,构图是很重要的,用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然.更舒适,“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式,是指把画面横竖各分三部分,以比例1:0.618:1为分隔,4个交叉点即为黄金分割点.如图,分别用,,,A B C D 表示黄金分割点.若照片长、宽比例为4:3,设CAB ∠α=,则1cos2tan sin2ααα+-=()A.18-B.18C.712-D.7125.现有6个同学站成一排照相,如果甲、乙两人必须相邻,而丙、丁两人不能相邻,那么不同的站法共有()种.A.144 B.72 C.36 D.246.盲盒是一种深受大众喜爱的玩具,某盲盒生产厂商要为棱长为4cm 的正四面体魔方设计一款正方体的包装盒,需要保证该魔方可以在包装盒内任意转动,则包装盒的棱长最短为()B. C. D.6cm7.线性分形又称为自相似分形,其图形的结构在几何变换下具有不变性,通过不断迭代生成无限精细的结构.一个正六边形的线性分形图如下图所示,若图1中正六边形的边长为1,图n 中正六边形的个数记为n a ,所有正六边形的周长之和、面积之和分别记为,n n C S ,其中图n 中每个正六边形的边长是图1n -中每个正六边形边长的13,则下列说法正确的是()A.4294a =B.31003C =C.存在正数m ,使得n C m ≤恒成立D.133729n n S -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭8.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -,以C 的实轴为直径的圆记为D ,过1F 作D 的切线与曲线C 在第一象限交于点P ,且1224F PF S a = ,则曲线C 的离心率为()B.5121二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.若随机变量210,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭,下列说法中正确的是()A.()3731012333P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.期望()203E X =C.期望()3222E X += D.方差()3220D X +=10.已知函数()2cos (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π上恰有三个零点,则()A.ω的最大值为196B.()f x 在[]0,π上只有一个极小值点C.()f x 在[]0,π上恰有两个极大值点D.()f x 在0,5π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增11.已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左、右焦点,过1F 的直线与C 交于,A B 两点,若11225,513AF BF BF AF ==,则()A.221:6:5AF B AF F S S =B.212tan 5AF B ∠=C.椭圆C 的离心率为12D.直线2BF 的斜率的绝对值为22912.如图,矩形ABCD 中,4,2,AB BC E ==为边AB 的中点,沿DE 将ADE 折起,点A 折至1A 处(1A ∉平面ABCD ),若M 为线段1AC 的中点,二面角1A DE C --大小为α,直线1A E 与平面DEBC 所成角为β,则在ADE 折起过程中,下列说法正确的是()A.存在某个位置,使得1BM A D ⊥B.1A EC 面积的最大值为C.当α为锐角时,存在某个位置,使得sin 2sin αβ=D.三棱锥1A EDC -体积最大时,三棱锥1A EDC -的外接球的表面积为16π第II 卷三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.一组数据7,8,8,9,11,13,15,17,20,22的90%分位数是__________.14.已知平面向量()()()1,2,2,1,2,a b c t ==-=,若()a b c +⊥ ,则t =__________.15.在平面直角坐标系xOy 中,笛卡尔曾阐述:过圆222()()(0)x a y b r r -+-=>上一点()00,M x y 的切线方程()()()()200x a x a y b y b r --+--=.若22:(1)9C x y -+=,直线l 与圆C 相交于,A B 两点,分别以点,A B 为切点作圆C 的切线12,l l ,设直线1l ,2l 的交点为(),P m n ;若1,4m n ==时,则直线AB 的方程是__________;若圆O :221x y +=,且l 与圆O 相切,则m 的最小值为__________.16.关于x 的不等式221e ln 12ln 0x a x x a +-+++≥在()0,∞+上恒成立,则a 的最小值是__________.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题10分)已知数列{}n a 的前n 项的积()()()*122n n n T n N ++=∈(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)数列{}n b 满足n n b na =,求20231sin 2nn n b π=⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭∑.18.(本小题12分)某高中为大力提高高中生的体能,预计在年初推出六项体育运动项目,要求全校每名学生必须参加一项体育运动,且只参加一项体育运动,在这一整年里学生不允许更换体育运动项目,并在年终进行达标测试.一年后分项整理得到下表:体育项目第一项第二项第三项第四项第五项第六项学生人数14050300200800510未达标率0.40.20.150.250.20.1未达标率是指:某一项体育运动未达到规定标准的学生数与该项运动的学生数的比值.假设所有体育项目是否达标相互独立.(1)从全校随机抽取1名同学,求该同学是“第四项体育运动项目中的达标者”的概率;(2)从参加第四项和第五项体育运动项目的同学中各随机选取1人,求恰有1人获得体育达标的概率;(3)假设每项体育运动项目学生未达标的概率与表格中该项体育运动项目未达标率相等,用“1k ξ=”表示第k 项体育运动项目达标,“0k ξ=”表示第k 项体育运动项目未达标()1,2,3,4,5,6k =.计算12,D D ξξ并直接写出方差123456,,,,,D D D D D D ξξξξξξ的大小关系(不用写出计算过程).19.(本小题12分)将函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图像向左平移6π个单位,再将其纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍得到()sin 3g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像.(1)设()()sin cos ,2,1,sin cos a x x b x x =-=⋅ ,当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,求()()a b h x f x ⋅= 的值域;(2)在①2cos 2B =②a =1b =三个条件中任选两个,补充到以下问题中,并完成解答.在ABC 中,,,a b c 分别是角,,A B C 所对的三条边,()2g A =,__________,__________.求ABC 的面积ABC S .20.(本小题12分)在如图的空间几何体中,ABC 是等腰直角三角形,90BAC ∠= ,四边形BCED 为直角梯形,,90,1,4,2,BC DE DBC BD BC DE F ∠==== ∥为AB 的中点.(1)证明:DF ∥平面ACE ;(2)若AD =,求CE 与平面ADB 所成角的正弦值.21.(本小题12分)已知曲线Γ在x 轴上方,它上面的每一点到点()0,2Q 的距离减去到x 轴的距离的差都是2.若点,,A B C 分别在该曲线Γ上,且点A C 、在y 轴右侧,点B 在y 轴左侧,ABC 的重心G 在y 轴上,直线AB 交y 轴于点M 且满足3AM BM <,直线BC 交y 轴于点N .记,,ABC AMG CNG 的面积分别为123,,S S S (1)求曲线Γ方程;(2)求231S S S +的取值范围.22.(本小题12分)已知函数()2ln a x f x x x=+.(1)若()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增,求实数a 的取值范围;(2)若()()g x xf x =,且()()()12123g x g x x x ==≠,证明:2212a x x ae <<.2022-2023学年度下学期模拟考试高三年级数学科试卷答案一、单选题1-8CCBDABDA二、多选题9.BCD10.BD11.ABD12.BD三、填空题13.2114.2315.94y =72-16.22e四、解答题17.解:(1)123n n T a a a a = ,∴当2n ≥时,()()()()112/221/2nn n n n n T a T n n n-+++===+.当11,3n a ==,满足上式,()2nn a n+∴=(3)2n n b na n ==+ ()()()20231357202120231sin(2)50610122n n n b b b b b b b π=∴⋅=-+-++-=-⨯=-∑ 18.(1)由题意知,全校总人数是140503002008005102000+++++=第四项体育运动中达标的人数是2000.75150⨯=故所求概率为1500.0752000=.(2)设事件A 为“从第四项体育运动项目中随机选取一人获得体育达标”,则()P A 估计为0.75设事件B 为“从第五项体育运动项目中随机选取一人获得体育达标”.则()P B 估计为0.8.故所求概率为()(()P AB AB P AB P AB +=+()()()()()()110.750.20.250.80.35P A P B P A P B =-+-=⨯+⨯=⋯(3)120.24,0.16D D ξξ==142536D D D D D D ξξξξξξ>>=>>19.解:(1)()sin cos 2sin cos sin cos 1sin2sin2x x x x x xh x x x-+-==+设()sin cos ,0,,0,1444t x x x x t πππ⎛⎫⎛⎫=-=--∈∴∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 2211sin2,1111t t x y t t t=-∴=+=+--又因为y 在()0,1t ∈上单调递增,则()1,y ∞∈+,所以()h x 的值域为()1,∞+(2)()sin 323g A A A ππ⎛⎫=+=∴= ⎪⎝⎭选①②:22sin 2cos 2sin 32a B B ab A====;1163sin 22484ABC S ab C ++=== .选①③:)1116233sin 122488ABC a S ab C ++===⋅==.选②③:因为2131212c c =+-⋅⋅⋅所以220c c --=则2c =或1c =-(舍)13sin 22ABC S bc A ==20.解:(1)法一:证明:取BC 中点为G ,连接FG 和DG ,有//FG AC ,FG ∴∥平面ACE ,又,DG EC DG ∴∥∥平面,ACE FG DG G ⋂= ,∴平面DGF ∥平面ACE .又DF⊂平面,DGF DF ∴∥平面ACE法二:取BC AC 、中点G K 、,连接,,,EK FK F K 分别是,AB AC 的中点,,FK GC FK GC ∴=∥,又,DE GC DE GC = ∥,所以,DE FK DE FK =∥,KEDF ∴为平行四边形DF EK∴∥又DF ⊄ 平面,ACE EK ⊂平面ACE ,DF ∴∥平面ACE(2)法一: 四边形BCED 为梯形,2,4,DE BC G ==为BC 中点,DE CG ∴∥,即四边形GCED 为平行四边形,CE GD ∴∥.∴要求CE 与平面ABD 所成角,只需求DG 与平面ABD 所成角,连接,GE AG由题意可知,,,AG BC GE BC BC ⊥⊥∴⊥面AGE ,又BC ⊂ 平面ABC ∴平面ABC ⊥平面AGE ,∴点E 到面ABC 的距离就是点E 到AG 的距离.,DE BC DE ∴⊥ ∥面,90,2,AGE AED DE AD AE ∠∴==== 又1,2GE AG == ∴点E 到AG 的距离为32在三棱锥D ABG -中,3D ABGE ABG V V --==,根据1,S 2ABD BD AD AB ====,记点G 到面ABD 的距离为h ,由1732213237D ABG G ABD V V h h --==⋅⋅==所以CE 与平面ABD所成角的正弦值为35h DG =法二:过点A 作平面ABC 的垂线AT ,以,,AB AC AT的方向为,,x y z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示设点()()())()0,0,0,,,,,,A B C GD a b c,1,BD CD AD ===222222222222(1(177BD a b c CD a b c AD a b c ⎧=-++=⎪⎪∴=+-+=⎨⎪=++=⎪⎩,442a b c ∴==-=7223,,442D ⎛∴- ⎝⎭设平面ADB 的一个法向量为(),,n x y z =,(),,,442BD AB ⎛=--= ⎝⎭(00,0n BD n n AB ⎧⋅=⎪⇒=⎨⋅=⎪⎩又,,,442GD GD ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭2105sin cos co s |35n CE n GD α=⋅>=⋅=∣,故CE 与平面ADB 所成角的正弦值为21053521解(1)曲线上每一点到点()0,2Q 的距离减去到X 轴的距离的差都是2,即曲线上每一点到点()0,2Q 的距离与到直线2y =-的距离相等,所以曲线Γ为抛物线,248(0)p x y x =∴=≠ (2)设点()()()112233123,,,,,,0,0,0A x yB x yC x y x x x <>>32,ABGCBGAM CN S S S ABS BC==G 为ABC 的重心113ABG CBG S S S ∴== 213111,33AM CN S S S S AB BC∴=⋅=⋅由相似三角形可知311232,AMCN x x AB x x BC x x ==--且1230x x x ++=可得2331112321133AM CN S S x x S AB BC x x x x ⎛⎫⎛⎫+=⋅+=+ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1121212132x x x x x x x ⎛⎫+=+ ⎪-+⎝⎭令2312111111,2312312S S x u u u x S u u u u ++⎛⎫⎛⎫==+=+- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭()()132312u u ⎛⎫=+ ⎪ ⎪-+⎝⎭因为3AM BM <,所以123x x <-,故103u -<<,()()220122,29u u u u ⎛⎫-+=+-∈-- ⎪⎝⎭231113,660S S S +⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭,22.(1)函数()2ln a x f x x x =+的定义域为1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,求导得:()3ln 20x x x af x x '--=≥恒成立,即2ln a x x x ≤-在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立,令()ln h x x x x =-,则()ln h x x'=-当()1,1,0x h x e ⎡⎤⎥⎦'∈>⎢⎣,则()h x 单调递增,[]()1,,0x e h x ∈'<,则()h x 单调递减,而()()min 12,0,()0200h h e h x h e a a e e⎛⎫==∴==∴≤∴≤ ⎪⎝⎭(2)因为()g x ln a x x =+,则()2x ag x x -=',当0a ≤时,()0g x '>恒成立,则()g x 在()0,∞+上单调递增,不合题意当0a >时,()0g x '<的解集为()()0,,0a g x >'的解集为(),a ∞+,即()g x 的单调增区间为(),a ∞+,单调减区间为()0,a ,依题意:()min g()1ln 3x g a a ==+<,解得()20,a e∈,设12x x <,则120x a x <<<,要证212x x a >,即证221a x a x >>,即证()221a g x g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭,即证()211a g x g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭,设()()()22ln 2ln ,0,a a xx g x g x a x a x x a ϕ⎛⎫=-=+--∈ ⎪⎝⎭,则()22221()0a x a x x x a ax ϕ--=--=<',即()x ϕ在()0,a 上单调递减,有()()0x a ϕϕ>=,即()()()2g 0,a x g x a x ⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭,则()211g a x g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭成立,因此212x x a >成立.要证212x x ae <,即证221ae a x x <<,即证()221g ae x g x ⎛⎫< ⎪⎝⎭,即证()211g ae x g x ⎛⎫< ⎪⎝⎭,即证()11123ln ln 2,0,x x a x a e <-++∈,而()1111ln 33ln a x a x x x +=⇔=-,即证()()11121ln 3ln ,0,x x x a e<+-∈,令()()()22T ln 3ln ,0,x x x x e e=+-∈,则()()2113ln T x x x e =-+-',设()()()2G 3ln ,0,x x x x e=-∈,求导得()2ln 0G x x =->',即()G x 在()20,e 上单调递增,则有()()220G x G e e <<=,即()()0,T T x x '<在()20,e 上单调递减,而()()20,0,a e ⊆,当()0,x a ∈时,()()()21T x T a T e >>=,则当()0,x a ∈时,()21ln 3ln x x e <+-成立,故有212x x ae <成立,所以2212a x x ae <<.。
2022年辽宁省大连市重点中学高考数学一模试卷含解析
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1. 答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.连接双曲线22122:1x y C a b -=及22222:1y x C b a-=的4个顶点的四边形面积为1S ,连接4个焦点的四边形的面积为2S ,则当12S S 取得最大值时,双曲线1C 的离心率为( ) A .52B .322C .3D .22.已知点(2,0)M ,点P 在曲线24y x =上运动,点F 为抛物线的焦点,则2||||1PM PF -的最小值为( )A .3B .2(51)-C .45D .43.已知i 是虚数单位,则( )A .B .C .D .4.著名的斐波那契数列{}n a :1,1,2,3,5,8,…,满足121a a ==,21n n n a a a ++=+,*N n ∈,若2020211n n k a a-==∑,则k =( ) A .2020B .4038C .4039D .40405.2021年部分省市将实行“312++”的新高考模式,即语文、数学、英语三科必选,物理、历史二选一,化学、生物、政治、地理四选二,若甲同学选科没有偏好,且不受其他因素影响,则甲同学同时选择历史和化学的概率为A .18B .14 C .16D .126.已知幂函数()f x x α=的图象过点(3,5),且1a e α⎛⎫= ⎪⎝⎭,3b α=,1log 4c α=,则a ,b ,c 的大小关系为( )A .c a b <<B .a c b <<C .a b c <<D .c b a <<7.已知a ,b ,c 是平面内三个单位向量,若a b ⊥,则232a c a b c +++-的最小值( ) A .29B .2932-C .1923-D .58.盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”,其中只有2张“刮刮卡”有奖,现甲从盒中随机取出2张,则至少有一张有奖的概率为( ) A .12B .35C .710D .459.已知,αβ是空间中两个不同的平面,,m n 是空间中两条不同的直线,则下列说法正确的是( ) A .若,m n αβ⊂⊂,且αβ⊥,则 m n ⊥ B .若,m n αα⊂⊂,且//,//m n ββ,则//αβ C .若,//m n αβ⊥,且αβ⊥,则 m n ⊥ D .若,//m n αβ⊥,且//αβ,则m n ⊥10.设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,则目标函数2z x y =+的最大值是( )A .7B .5C .3D .211.若x ,y 满足约束条件0,2,10,x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩,则4z x y =+的取值范围为( )A .[]5,1--B .[]5,5-C .[]1,5-D .[]7,3-12.已知函数()f x 的图象如图所示,则()f x 可以为( )A .3()3x f x x =-B .e e ()x xf x x --= C .2()f x x x =-D .||e ()xf x x=二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
辽宁省大连市高三第一次模拟数学理试题 第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|1A x x =<,(){}|30B x x x =-<,则AB =( )A .()1,0-B .()0,1C .()1,3-D .()1,3 2.若复数11iz ai+=+为纯虚数,则实数a 的值为( ) A .1 B .0 C .12-D .-1 3.中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外”,其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放形式有纵横两种形式,如图,当表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位数用纵式表示,十位,千位,十万位用横式表示,以此类推.例如3266用算筹表示就是,则8771用算筹可表示为( )A .B .C .D .4.如图所示程序框图是为了求出满足2228n n ->的最小正偶数n ,那么空白框中及最后输出的n 值分别是( )A .1n n =+和6B .2n n =+和6 C. 1n n =+和8 D .2n n =+和8 5.函数()2tan 1xf x x x=++的部分图象大致为( )A .B .C. D .6. 某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),其俯视图为等边三角形,则该几何体的体积(单位:3cm )是( )A .43B 1033 C.3 D 8337.6本不同的书在书架上摆成一排,要求甲、乙两本书必须摆放在两端,丙、丁两本书必须相邻,则不同的摆放方法有( )种.A .24B .36 C.48 D .608.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,2b =,则ABC ∆面积的最大值是( )A .1B 3 C.2 D .49. 已知边长为2的等边三角形ABC ,D 为BC 的中点,以AD 为折痕进行翻折,使BDC ∠为直角,则过A B C D ,,,四点的球的表面积为( )A .3πB .4π C.5π D .6π 10. 将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移()0a a >个单位得到函数()cos 24g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象,则a 的值可以为( )A .512π B .712π C.1924π D .4124π 11. 已知双曲线2222:11x y C m m -=-的左、右焦点分别为1F 、2F ,若C 上存在一点P 满足12PF PF ⊥,且12PF F ∆的面积为3,则该双曲线的离心率为( )ABC.2 D .3 12.若直线()10kx y k k R --+=∈和曲线()325:03E y ax bx b =++≠的图象交于()11,A x y ,()22,B x y ,()()33123,C x y x x x <<三点时,曲线E 在点A 、C 点处的切线总是平行的,则过点(),b a 可作曲线E 的( )条切线.A .0B .1 C.2 D .3第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.设实数x ,y 满足约束条件0405y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩,则25z x y =++的最大值为.14.已知半径为R 的圆周上有一定点A ,在圆周上等可能地任意取一点与点A 连接,则所得弦长介于R与之间的概率为.15.已知抛物线2:2C y x =,过点()1,0任作一条直线和抛物线C 交于A 、B 两点,设点()2,0G ,连接AG ,BG 并延长,分别和抛物线C 交于点A ′和B ′,则直线A B ′′过定点. 16.已知腰长为2的等腰直角ABC ∆中,M 为斜边AB 的中点,点P 为该平面内一动点,若2PC =,则()()4PA PB PC PM •+•的最小值为.三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且21n S n n =-+,在正项等比数列{}n b 中,22b a =,45b a =.()Ⅰ求{}n a 和{}n b 的通项公式;()Ⅱ设n n n c a b =,求数列{}n c 的前n 项和.18. 大连市某企业为确定下一年投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y (单位:t )和年利润z (单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =…数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw()821ii x x =-∑()821ii w w =-∑81i ii x y =∑81i ii w y =∑46.65736.8289.8 1.6 215083.4 31280表中i w x =,8118i i w w ==∑.()Ⅰ根据散点图判断,y a bx =+与y c dx =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)()Ⅱ根据()Ⅰ的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程;()Ⅲ已知这种产品的年利润z 与x 、y 的关系为0.2z y x =-.根据()Ⅱ的结果回答下列问题: ()i 年宣传费64x =时,年销售量及年利润的预报值是多少?()ii 年宣传费x 为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ……,其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为:()()()121nii i nii uu v vu u β∧==--=-∑∑,v u αβ∧∧=-.19. 在如图所示的几何体中,四边形ABCD 是正方形,PA ⊥平面ABCD ,,E F 分别是线段AD ,PB 的中点,1PA AB ==.()Ⅰ求证://EF 平面DCP ;()Ⅱ求平面EFC 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值.20. 在平面直角坐标系xOy 中,椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12,点3(1,)2M 在椭圆C 上.()Ⅰ求椭圆C 的方程;()Ⅱ已知()2,0P -与()2,0Q 为平面内的两个定点,过点()1,0的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点,求四边形APBQ 面积的最大值.21. 已知函数()()245x af x x x a R e=-+-∈. ()Ⅰ若()f x 在(),-∞+∞上是单调递增函数,求a 的取值范围;()Ⅱ设()()x g x e f x =,当1m ≥时,若()()()122g x g x g m +=,且12x x ≠,求证:122x x m +<.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1:4cos 02C πρθθ⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭,2:cos 3C ρθ=.()Ⅰ求1C 与2C 交点的极坐标;()Ⅱ设点Q 在1C 上,23OQ QP =,求动点P 的极坐标方程. 23.选修4-5:不等式选讲已知函数()223f x x x m =+++,m R ∈.()Ⅰ当2m =-时,求不等式()3f x ≤的解集;()Ⅱ(),0x ∀∈-∞,都有()2f x x x≥+恒成立,求m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CDADB 6-10:BABCC 11、12:BC 二、填空题13.14 14.1315.()4,0 16.48-三、解答题 17.解:()Ⅰ21n S n n =-+,∴当1n =时,11a =,()121n n n a S S n -=-=-,()2n ≥, ∴()()()11212n n a n n =⎧⎪=⎨-≥⎪⎩. 又数列{}n b 为等比数列,222b a ==,458b a ==∴2424b q b ==, 又0n b >∴2q =,∴12n n b -=.()Ⅱ由()Ⅰ得:()()()()()()111112122122n n nn n c n n n n -==⎧⎧⎪⎪==⎨⎨-⋅≥-⋅≥⎪⎪⎩⎩设数列{}n c 的前n 项和为n T当2n ≥时,()()()23121231212n n T n =+-⋅+-⋅++-⋅()231122212n n =+⋅+⋅++-⋅,()()34121212222212n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅∴()341322212n n n T n +-=++++--⋅()()32121231212n n n -+-=+--⋅-()()21382112n n n -+=+---⋅()112125n n n ++=--⋅- ()1225n n +=-⋅-∴()()15222n n T n n +=+-⋅≥.当1n =时,111T c ==, 又当1n =时,()15221n n T n +=+-⋅=,综上,()1522n n T n +=+-⋅()1n ≥.18. 解:()Ⅰ由散点图可以判断y c =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型.()Ⅱ令w =y 关于w 的线性回归方程()()()()()()()88888111118888222211118iii iiii iii ii i i i i i i i i i i i i y y w w w y wy yw wy w y wy w y wyd w ww ww ww w=========----+--====----∑∑∑∑∑∑∑∑∑31280 6.85738681.6-⨯⨯==,57368 6.8110.6c y dw =-=-⨯=,所以y 关于w 的线性回归方程为110.668y w =+,所以y 关于x 的线性回归方程为110.6y =+()Ⅲ()i 由()Ⅱ知,当64x=时,年销售量y 的预报值为110.6654.6y =+=,年利润z 的预报值为654.60.26466.92z =⨯-=.()ii 根据()Ⅱ的结果知,年利润z 的预报值)20.2(110.622.12 6.868.36z x x =⨯+-=-+=-+,6.8=,即46.24x =时,年利润的预报值最大, 故年宣传费为46.24千元时,年利润预报值最大.19.解:()Ⅰ方法一:取PC 中点M ,连接MF DM ,,F M , 分别是PB PC ,中点,CB MF CB MF 21,//=∴,E 为DA 中点,ABCD 为正方形,CB DE CB DE 21,//=∴,DE MF DE MF =∴,//,∴四边形DEFM 为平行四边形,⊄∴EF DM EF ,//平面PDC ,⊂DM 平面PDC ,//EF ∴平面PDC .方法二:取PA 中点N ,连接NE ,NF .E 是AD 中点,N 是PA 中点,//NE DP ∴,又F 是PB 中点,N 是PA 中点,//NE AB ∴,//AB CD ,//NF CD ∴,又NE NF N =,NE ⊂平面NEF ,NF ⊂平面NEF ,DP ⊂平面PCD ,CD ⊂平面PCD ,∴平面//NEF 平面PCD . 又EF ⊂平面NEF ,//EF ∴平面PCD .方法三:取BC 中点G ,连接EG ,FG ,在正方形ABCD 中,E 是AD 中点,G 是BC 中点//GE CD ∴又F 是PB 中点,G 是BC 中点,//GF PC ∴,又PCCD C =,,GE GEF GF GEF ⊂⊂平面平面, ,PC PCD CD PCD ⊂⊂平面平面,∴平面GEF //平面PCD . EF ⊂平面GEF//EF ∴平面PCD .方法四:⊥PA 平面ABC ,且四边形ABCD 是正方形,AP AB AD ,,∴两两垂直,以A 为原点,AP ,AB ,AD所在直线为z y x ,,轴,建立空间直角坐标系xyz A -, 则(),0,0,1P ()(),1,1,0,1,0,0C D⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21,21,21,0,0F E 111,,222EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则设平面PDC 法向量为(),,n x y z =,()()1,1,1,1,0,1-=-=PC PD则00PD n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即⎩⎨⎧=++-=+-00z y x z x ,取()1,0,1n =, 11022n EF ⋅=-=, 所以EF n ⊥,又EF ⊄平面PDC ,EF ∴∥平面PDC .()Ⅱ⊥PA 平面ABC ,且四边形ABCD 是正方形,AP AB AD ,,∴两两垂直,以A 为原点,AP ,AB ,AD 所在直线为z y x ,,轴,建立空间直角坐标系xyz A -,则(),0,0,1P ()(),1,1,0,1,0,0C D ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21,21,21,0,0F E 设平面EFC 法向量为()1111,,n x y z =,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,21,21,21,21,21FC EF则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n FC n EF , 即111111011022x y z x y z +-=⎧⎪⎨-++=⎪⎩, 取()2,1,31-=n ,则设平面PDC 法向量为()2222,,n x y z =,()()1,1,1,1,0,1-=-=PC PD则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022n PC n PD ,即2222200x z x y z -+=⎧⎨-++=⎩,取()1,0,12=n ,()1475214120113,cos 212121=⨯⨯+⨯-+⨯=⋅⋅=n n n n n n .∴平面EFC 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值为1475. (若第一问用方法四,则第二问部分步骤可省略)20. 解:()Ⅰ由12c a =可得,2a c =,又因为222b a c =-,所以223b c =. 所以椭圆C 方程为2222143x y c c +=,又因为3(1,)2M 在椭圆C 上,所以22223()12143c c+=.所以21c =,所以224,3a b ==,故椭圆方程为22143x y +=.()Ⅱ方法一:设l 的方程为1x my =+,联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩, 消去x 得22(34)690m y my ++-=,设点1122(,),(,)A x y B x y , 有121222690,,,3434m y y y y m m --∆>+==++()12234y y m -===+所以()214234S m =⨯⨯+令1t t =≥, 有224241313t S t t t==++,由 函数13y t t =+,[1,)t ∈+∞[)2130,1,y t t '=->∈+∞ 故函数13y t t =+,在[1,)+∞上单调递增,故134t t +≥,故2242461313t S t t t ==≤++当且仅当1t =即0m =时等号成立,四边形APBQ 面积的最大值为6.方法二:设l 的方程为1x my =+,联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩, 消去x 得22(34)690m y my ++-=,设点1122(,),(,)A x y B x y , 有121222690,,,3434m y y y y m m --∆>+==++有2212(1)||34m AB m +==+, 点(2,0)P -到直线l点(2,0)Q 到直线l从而四边形APBQ 的面积222112(1)23434m S m m +=⨯=++令1t t =≥, 有224241313t S t t t==++, 函数13y t t =+,[1,)t ∈+∞[)2130,1,y t t '=->∈+∞ 故函数13y t t =+,在[1,)+∞上单调递增, 有134t t +≥,故2242461313t S t t t==≤++当且仅当1t =即0m =时等号成立,四边形APBQ 面积的最大值为6.方法三:①当l 的斜率不存在时,:1l x =此时,四边形APBQ 的面积为6S =.②当l 的斜率存在时,设l 为:(1)y k x =-,(0)k ≠ 则22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()22223484120k x k x k ∴+-+-=2212122284120,,3434k k x x x x k k -∆>+==++,1212()12y y k x x -=-==∴四边形APBQ 的面积1214242S y y =⨯⨯-=令234(3)t k t =+> 则234t k -=6S =11(0)3t <<116)3S t =<<∴ 06S <<∴综上,四边形APBQ 面积的最大值为6.21.解:()Ⅰ()f x 在(),-∞+∞上是单调递增函数,∴在x R ∈上,()240x a f x x e '=-+≥恒成立,即:()42x a x e ≥- ∴设()()42x h x x e =-R x ∈∴()()22x h x x e '=-,∴当(),1x ∈-∞时()0h x '>,∴()h x 在(),1x ∈-∞上为增函数, ∴当(1,)x ∈+∞时()0h x '<,∴()h x 在(1,)x ∈+∞上为减函数, ∴()()max 12h x h e ==()max 42x a x e ⎡⎤≥-⎣⎦∴2a e ≥,即[)2,a e ∈+∞ .()Ⅱ方法一:因为a x x e x g x -+-=)54()(2,所以0)1()('2≥-=x e x g x , 所以)(x g 在(),-∞+∞上为增函数,因为)(2)()(21m g x g x g =+,即)()()()(21x g m g m g x g -=-, )()()()(21x g m g m g x g --和同号,所以不妨设12x m x <<,设()(2)()2()(1)h x g m x g x g m x m =-+->≥,…8分 所以222)1()12()('-+---=-x e x m e x h x x m ,因为2m x x e e -<,22(21)(1)(22)(22)0m x x m m x ----=--≤,所以'()0h x >,所以)(x h 在(,)m +∞上为增函数, 所以()()0h x h m >=,所以222()(2)()2()0h x g m x g x g m =-+->, 所以221(2)2()()()g m x g m g x g x ->-=, 所以212m x x ->,即122x x m +<.方法二:()()()245x x g x e f x x x e a ==-+-()()()122g x g x g m +=[)1,m ∈+∞,∴()()()12222112245452452x x m x x e a x x e a m m e a -+-+-+-=-+- ∴()()()1222211224545245x x m x x e x x e m m e -++-+=-+ ∴设()()245x x x x e ϕ=-+x R ∈,则()()()122x x m ϕϕϕ+=, ∴()()210x x x e ϕ'=-≥∴()x ϕ在x R ∈上递增且()10ϕ'= 令()1,x m ∈-∞,()2,x m ∈+∞设()()()F x m x m x ϕϕ=++-, ()0,x ∈+∞, ∴()()()2211m x m x F x m x e m x e +-'=+---- 0x >∴0m x m x e e +->>,()()()22112220m x m x m x +----=-≥ ∴()0F x '>, ()F x 在()0,x ∈+∞上递增, ∴()()()02F x F m ϕ>=,∴()()()2m x m x m ϕϕϕ++->,()0,x ∈+∞ 令1x m x =-∴()()()112m m x m m x m ϕϕϕ+-+-+> 即:()()()1122m x x m ϕϕϕ-+> 又()()()122x x m ϕϕϕ+=,∴()()()()12222m x m x m ϕϕϕϕ-+->即:()()122m x x ϕϕ-> ()x ϕ在x R ∈上递增∴122m x x ->,即:122x x m +<得证.22.()Ⅰ解:联立⎩⎨⎧==θρθρcos 43cos ,23cos ±=θ, 20πθ<≤ ,6πθ=,32=ρ, 交点坐标⎪⎭⎫ ⎝⎛6,32π. ()Ⅱ设()θρ,P ,()00,θρQ 且004cos ρθ=,⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈2,00πθ, 由已知23OQ QP =,得⎪⎩⎪⎨⎧==θθρρ0052, 2=4cos 5ρθ∴,点P 的极坐标方程为⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈=2,0,cos 10πθθρ. 23.解:()Ⅰ当m =-2时,()()4103223-2=1023452x x f x x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪⎛⎫=++-⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫--≤-⎪ ⎪⎝⎭⎩<<, 当4130x x +≤⎧⎨≥⎩解得12x ≤≤0;当30132x -≤<<,恒成立 当45332x x --≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩解得32x ≤≤--2 此不等式的解集为1-22⎡⎤⎢⎥⎣⎦,. ()Ⅱ当(),0x ∈-∞时()3302223=3432mx f x x x m x m x ⎧⎛⎫+- ⎪⎪⎪⎝⎭=+++⎨⎛⎫⎪--+≤- ⎪⎪⎝⎭⎩<<, 当302x -<<时,不等式化为23+≥+m x x.由22[()()]+=--+-≤-=-x x x x当且仅当2-=-x x 即=x .3m +≥-∴3m ≥--∴当32≤-x 时,不等式化为243--+≥+x m x x.253m x x ≥++∴,令253y x x=++,3(,]2x ∈-∞-. 22350,(,]2y x x '=->∈-∞-, 253y x x=++∴在3(,]2-∞-上是增函数. ∴当32=-x 时,253=++y x x 取到最大值为356-. ∴356m ≥-∴.综上3m ≥--。