辽宁省大连市2021-2022学年度高考第一次模拟数学试题(理)及答案解析

辽宁省大连市高三第一次模拟

数学理试题 第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合{}

|1A x x =<，(){}

|30B x x x =-<，则A

B =（ ）

A ．()1,0-

B ．()0,1

C ．()1,3-

D ．()1,3 2.若复数11i

z ai

+=

+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．1

2

-

D ．-1 3.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是

，则8771用算筹可表示为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

4.如图所示程序框图是为了求出满足2228n n ->的最小正偶数n ，那么空白框中及最后输出的n 值

分别是（ ）

A ．1n n =+和6

B ．2n n =+和6 C. 1n n =+和8 D ．2n n =+和8 5.函数()2tan 1x

f x x x

=++

的部分图象大致为（ ）

A ．

B ．

C. D ．

6. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）

A ．43

B 1033 C.3 D 8

33

7.6本不同的书在书架上摆成一排，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种.

A ．24

B ．36 C.48 D ．60

8.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，2b =，则ABC ∆面积的最大值是（ ）

A ．1

B 3 C.2 D ．4

9. 已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行翻折，使BDC ∠为直角，则过

A B C D ，，，四点的球的表面积为（ ）

A ．3π

B ．4π C.5π D ．6π 10. 将函数()sin 23f x x π⎛⎫

=+ ⎪⎝

⎭

的图象向右平移()0a a >个单位得到函数()cos 24g x x π⎛⎫

=+

⎪⎝

⎭

的图象，则a 的值可以为（ ）

A ．

512π B ．712π C.1924π D ．4124

π 11. 已知双曲线22

22

:11x y C m m -=-的左、右焦点分别为1F 、2F ，若C 上存在一点P 满足12PF PF ⊥，且12PF F ∆的面积为3，则该双曲线的离心率为（ ）

A

B

C.2 D ．3 12.若直线()10kx y k k R --+=∈和曲线()325

:03

E y ax bx b =++

≠的图象交于()11,A x y ，()22,B x y ，()()33123,C x y x x x <<三点时，曲线E 在点A 、C 点处的切线总是平行的，则过点(),b a 可作曲线E 的

（ ）条切线.

A ．0

B ．1 C.2 D ．3

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.设实数x ，y 满足约束条件0405y x y x y ≥⎧⎪

-≥⎨⎪+≤⎩

，则25z x y =++的最大值为．

14.已知半径为R 的圆周上有一定点A ，在圆周上等可能地任意取一点与点A 连接，则所得弦长介于R

与

之间的概率为．

15.已知抛物线2

:2C y x =，过点()1,0任作一条直线和抛物线C 交于A 、B 两点，设点()2,0G ，连接AG ，

BG 并延长，分别和抛物线C 交于点A ′和B ′，则直线A B ′′

过定点． 16.已知腰长为2的等腰直角ABC ∆中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若2PC =，则

()()4PA PB PC PM •+•的最小值为．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2

1n S n n =-+，在正项等比数列{}n b 中，22b a =，45b a =.

()Ⅰ求{}n a 和{}n b 的通项公式；

()Ⅱ设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和.

18. 大连市某企业为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =…数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

x

y

w

()

8

2

1

i

i x x =-∑

()

8

2

1

i

i w w =-∑

8

1

i i

i x y =∑

8

1

i i

i w y =∑

46.6

573

6.8

289.8 1.6 215083.4 31280

表中i w x =，8

1

18i i w w ==∑.

()Ⅰ根据散点图判断，y a bx =+与y c d

x =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类

型？（给出判断即可，不必说明理由）

()Ⅱ根据()Ⅰ的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；

()Ⅲ已知这种产品的年利润z 与x 、y 的关系为0.2z y x =-.根据()Ⅱ的结果回答下列问题： ()i 年宣传费64x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？

()ii 年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ……，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

()()

()

1

2

1

n

i

i i n

i

i u

u v v

u u β∧

==--=

-∑∑，v u αβ∧∧

=-.

19. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，,E F 分别是线段AD ，PB 的中点，1PA AB ==.

()Ⅰ求证：//EF 平面DCP ；

()Ⅱ求平面EFC 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值.