2014年全国高考理科数学试卷及答案(大纲卷)
2014年(大纲全国卷)数学(理科) 高考真题及答案解析
函数是( ).
A.y=g(x) B.y=g(-x) C.y=-g(x) D.y=-g(-x)
【答案】D
【解析】因为函数 y=f(x)的图像与函数 y=g(x)的图像关于直线 x+y=0 对称,
而函数图像与其反函数的图像关于直线 y=x 对称,
所以这两个函数的反函数图像也关于直线 x+y=0 对称.
设函数 y=f(x)的反函数图像上任一点 P(x,y),
62
是
.
【答案】(-∞,2]
4
【解析】f(x)=cos 2x+asin x=1-2sin2x+asin x.
令 t=sin x,∵x∈
π,π
62
,∴t∈
1 2
,1
,
∴g(t)=1-2t2+at=-2t2+at+1
1 2
<
t
<
1
,
由题意知2×(-2)
≤
1 ,∴a≤2,
2
∴a 的取值范围为(-∞,2].
11.(2014 大纲全国,理 11)已知二面角α-l-β为 60°,AB⊂α,AB⊥l,A 为垂足,CD⊂β,C∈l,∠ACD=135°,则
异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为( ).
A.1
B. 2
C. 3
D.1
4
4
4
2
【答案】B
【解析】如图,在平面α内过 C 作 CE∥AB,
则∠ECD 为异面直线 AB 与 CD 所成的角或其补角,
【答案】C
【解析】∵a=sin 33°,b=cos 55°=sin 35°,c=tan 35°=csoins3355°°, ∴csoins3355°°>sin 35°>sin 33°. ∴c>b>a,选 C.
2014年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•大纲版）设z＝，则z的共轭复数为（）A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i2．（5分）（2014•大纲版）设集合M＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝（）A．（0，4]B．[0，4）C．[﹣1，0）D．（﹣1，0] 3．（5分）（2014•大纲版）设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b4．（5分）（2014•大纲版）若向量、满足：||＝1，（+）⊥，（2+）⊥，则||＝（）A．2B．C．1D．5．（5分）（2014•大纲版）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种6．（5分）（2014•大纲版）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+＝1B．+y2＝1C．+＝1D．+＝17．（5分）（2014•大纲版）曲线y＝xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2D．18．（5分）（2014•大纲版）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．9．（5分）（2014•大纲版）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝（）A．B．C．D．10．（5分）（2014•大纲版）等比数列{a n}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6B．5C．4D．311．（5分）（2014•大纲版）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD＝135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）（2014•大纲版）函数y＝f（x）的图象与函数y＝g（x）的图象关于直线x+y＝0对称，则y＝f（x）的反函数是（）A．y＝g（x）B．y＝g（﹣x）C．y＝﹣g（x）D．y＝﹣g（﹣x）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．（5分）（2014•大纲版）的展开式中x2y2的系数为．（用数字作答）14．（5分）（2014•大纲版）设x、y满足约束条件，则z＝x+4y的最大值为．15．（5分）（2014•大纲版）直线l1和l2是圆x2+y2＝2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．16．（5分）（2014•大纲版）若函数f（x）＝cos2x+a sin x在区间（，）是减函数，则a的取值范围是．三、解答题17．（10分）（2014•大纲版）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3a cos C ＝2c cos A，tan A＝，求B．18．（12分）（2014•大纲版）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝13，a2为整数，且S n≤S4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）（2014•大纲版）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D 在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．20．（12分）（2014•大纲版）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．21．（12分）（2014•大纲版）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N 两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．22．（12分）（2014•大纲版）函数f（x）＝ln（x+1）﹣（a＞1）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a1＝1，a n+1＝ln（a n+1），证明：＜a n≤（n∈N*）．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•大纲版）设z＝，则z的共轭复数为（）A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简，则z的共轭可求．【解答】解：∵z＝＝，∴．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．（5分）（2014•大纲版）设集合M＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝（）A．（0，4]B．[0，4）C．[﹣1，0）D．（﹣1，0]【分析】求解一元二次不等式化简集合M，然后直接利用交集运算求解．【解答】解：由x2﹣3x﹣4＜0，得﹣1＜x＜4．∴M＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}＝{x|﹣1＜x＜4}，又N＝{x|0≤x≤5}，∴M∩N＝{x|﹣1＜x＜4}∩{x|0≤x≤5}＝[0，4）．故选：B．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．3．（5分）（2014•大纲版）设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b【分析】可得b＝sin35°，易得b＞a，c＝tan35°＝＞sin35°，综合可得．【解答】解：由诱导公式可得b＝cos55°＝cos（90°﹣35°）＝sin35°，由正弦函数的单调性可知b＞a，而c＝tan35°＝＞sin35°＝b，∴c＞b＞a故选：C．【点评】本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，属基础题．4．（5分）（2014•大纲版）若向量、满足：||＝1，（+）⊥，（2+）⊥，则||＝（）A．2B．C．1D．【分析】由条件利用两个向量垂直的性质，可得（+）•＝0，（2+）•＝0，由此求得||．【解答】解：由题意可得，（+）•＝+＝1+＝0，∴＝﹣1；（2+）•＝2+＝﹣2+＝0，∴b2＝2，则||＝，故选：B．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量垂直，则它们的数量积等于零，属于基础题．5．（5分）（2014•大纲版）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62＝15种选法，再从5名女医生中选出1人，有C51＝5种选法，则不同的选法共有15×5＝75种；故选：C．【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．6．（5分）（2014•大纲版）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+＝1B．+y2＝1C．+＝1D．+＝1【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a＝，根据离心率为，可得c＝1，求出b，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长＝|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝2a+2a＝4a，∴4a＝4，∴a＝，∵离心率为，∴，c＝1，∴b＝＝，∴椭圆C的方程为+＝1．故选：A．【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．7．（5分）（2014•大纲版）曲线y＝xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2D．1【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．【解答】解：函数的导数为f′（x）＝e x﹣1+xe x﹣1＝（1+x）e x﹣1，当x＝1时，f′（1）＝2，即曲线y＝xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率k＝f′（1）＝2，故选：C．【点评】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础．8．（5分）（2014•大纲版）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴R2＝（4﹣R）2+（）2，∴R＝，∴球的表面积为4π•（）2＝．故选：A．【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．9．（5分）（2014•大纲版）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝（）A．B．C．D．【分析】根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论．【解答】解：∵双曲线C的离心率为2，∴e＝，即c＝2a，点A在双曲线上，则|F1A|﹣|F2A|＝2a，又|F1A|＝2|F2A|，∴解得|F1A|＝4a，|F2A|＝2a，||F1F2|＝2c，则由余弦定理得cos∠AF2F1＝＝＝．故选：A．【点评】本题主要考查双曲线的定义和运算，利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力．10．（5分）（2014•大纲版）等比数列{a n}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6B．5C．4D．3【分析】利用等比数列的性质可得a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝10．再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是等比数列，a4＝2，a5＝5，∴a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝10．∴lga1+lga2+…+lga8＝lg（a1a2•…•a8）＝4lg10＝4．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，属于基础题．11．（5分）（2014•大纲版）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD＝135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】首先作出二面角的平面角，然后再构造出异面直线AB与CD所成角，利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案．【解答】解：如图，过A点做AE⊥l，使BE⊥β，垂足为E，过点A做AF∥CD，过点E 做EF⊥AE，连接BF，∵AE⊥l∴∠EAC＝90°∵CD∥AF又∠ACD＝135°∴∠FAC＝45°∴∠EAF＝45°在Rt△BEA中，设AE＝a，则AB＝2a，BE＝a，在Rt△AEF中，则EF＝a，AF＝a，在Rt△BEF中，则BF＝2a，∴异面直线AB与CD所成的角即是∠BAF，∴cos∠BAF＝＝＝．故选：B．【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角，关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角，考查了学生的空间想象能力和作图能力，属于难题．12．（5分）（2014•大纲版）函数y＝f（x）的图象与函数y＝g（x）的图象关于直线x+y＝0对称，则y＝f（x）的反函数是（）A．y＝g（x）B．y＝g（﹣x）C．y＝﹣g（x）D．y＝﹣g（﹣x）【分析】设P（x，y）为y＝f（x）的反函数图象上的任意一点，则P关于y＝x的对称点P′（y，x）一点在y＝f（x）的图象上，P′（y，x）关于直线x+y＝0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y＝g（x）图象上，代入解析式变形可得．【解答】解：设P（x，y）为y＝f（x）的反函数图象上的任意一点，则P关于y＝x的对称点P′（y，x）一点在y＝f（x）的图象上，又∵函数y＝f（x）的图象与函数y＝g（x）的图象关于直线x+y＝0对称，∴P′（y，x）关于直线x+y＝0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y＝g（x）图象上，∴必有﹣y＝g（﹣x），即y＝﹣g（﹣x）∴y＝f（x）的反函数为：y＝﹣g（﹣x）故选：D．【点评】本题考查反函数的性质和对称性，属中档题．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．（5分）（2014•大纲版）的展开式中x2y2的系数为70．（用数字作答）【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x、y的幂指数都等于2，求得r的值，即可求得展开式中x2y2的系数．【解答】解：的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r••＝•（﹣1）r••，令8﹣＝﹣4＝2，求得r＝4，故展开式中x2y2的系数为＝70，故答案为：70．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．14．（5分）（2014•大纲版）设x、y满足约束条件，则z＝x+4y的最大值为5．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得C（1，1）．化目标函数z＝x+4y为直线方程的斜截式，得．由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大．此时z max＝1+4×1＝5．故答案为：5．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）（2014•大纲版）直线l1和l2是圆x2+y2＝2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．【分析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ＝的值，可得cosθ、tanθ的值，再根据tan2θ＝，计算求得结果．【解答】解：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，且点A与圆心O之间的距离为OA＝＝，圆的半径为r＝，∴sinθ＝＝，∴cosθ＝，tanθ＝＝，∴tan2θ＝＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．16．（5分）（2014•大纲版）若函数f（x）＝cos2x+a sin x在区间（，）是减函数，则a的取值范围是（﹣∞，2]．【分析】利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令t＝sin x换元，根据给出的x的范围求出t的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围．【解答】解：由f（x）＝cos2x+a sin x＝﹣2sin2x+a sin x+1，令t＝sin x，则原函数化为y＝﹣2t2+at+1．∵x∈（，）时f（x）为减函数，则y＝﹣2t2+at+1在t∈（，1）上为减函数，∵y＝﹣2t2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t＝．∴，解得：a≤2．∴a的取值范围是（﹣∞，2]．故答案为：（﹣∞，2]．【点评】本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置，是中档题．三、解答题17．（10分）（2014•大纲版）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3a cos C ＝2c cos A，tan A＝，求B．【分析】由3a cos C＝2c cos A，利用正弦定理可得3sin A cos C＝2sin C cos A，再利用同角的三角函数基本关系式可得tan C，利用tan B＝tan[π﹣（A+C）]＝﹣tan（A+C）即可得出．【解答】解：∵3a cos C＝2c cos A，由正弦定理可得3sin A cos C＝2sin C cos A，∴3tan A＝2tan C，∵tan A＝，∴2tan C＝3×＝1，解得tan C＝．∴tan B＝tan[π﹣（A+C）]＝﹣tan（A+C）＝﹣＝﹣＝﹣1，∵B∈（0，π），∴B＝【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．18．（12分）（2014•大纲版）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝13，a2为整数，且S n≤S4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）通过S n≤S4得a4≥0，a5≤0，利用a1＝13、a2为整数可得d＝﹣4，进而可得结论；（2）通过a n＝13﹣3n，分离分母可得b n＝（﹣），并项相加即可．【解答】解：（1）在等差数列{a n}中，由S n≤S4得：a4≥0，a5≤0，又∵a1＝13，∴，解得﹣≤d≤﹣，∵a2为整数，∴d＝﹣4，∴{a n}的通项为：a n＝17﹣4n；（2）∵a n＝17﹣4n，∴b n＝＝＝﹣（﹣），于是T n＝b1+b2+……+b n＝﹣[（﹣）+（﹣）+……+（﹣）]＝﹣（﹣）＝．【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查并项相加法，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（12分）（2014•大纲版）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D 在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；（Ⅱ）作辅助线可证∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角函数可得．【解答】解：（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC∴BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C，又AC1⊥BC，A1C∩BC＝C，∴AC1⊥平面A1BC，AB1⊂平面A1BC，∴AC1⊥A1B；（Ⅱ）∵BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1，作A1E⊥CC1，E为垂足，可得A1E⊥平面BCC1B1，又直线AA1∥平面BCC1B1，∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E＝，∵A1C为∠ACC1的平分线，∴A1D＝A1E＝，作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F，又可得AB⊥A1D，A1F∩A1D＝A1，∴AB⊥平面A1DF，∵A1F⊂平面A1DF∴A1F⊥AB，∴∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，由AD＝＝1可知D为AC中点，∴DF＝＝，∴tan∠A1FD＝＝，∴二面角A1﹣AB﹣C的大小为arctan【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）（2014•大纲版）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．【分析】记A i表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备，i＝0，1，2，B表示事件：甲需要设备，C表示事件，丁需要设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备（Ⅰ）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加，即得所求．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出PX i，再利用数学期望公式计算即可．【解答】解：由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）＝0.31．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4P（X＝0）＝（1﹣0.6）×0.52×（1﹣0.4）＝0.06P（X＝1）＝0.6×0.52×（1﹣0.4）+（1﹣0.6）×0.52×0.4+（1﹣0.6）×2×0.52×（1﹣0.4）＝0.25P（X＝4）＝P（A2•B•C）＝0.52×0.6×0.4＝0.06，P（X＝3）＝P（D）﹣P（X＝4）＝0.25，P（X＝2）＝1﹣P（X＝0）﹣P（X＝1）﹣P（X＝3）﹣P（X＝4）＝1﹣0.06﹣0.25﹣0.25﹣0.06＝0.38．故数学期望EX＝0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06＝2【点评】本题主要考查了独立事件的概率和数学期望，关键是找到独立的事件，计算要有耐心，属于难题．21．（12分）（2014•大纲版）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N 两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0＝，根据|QF|＝|PQ|求得p的值，可得C的方程．（Ⅱ）设l的方程为x＝my+1（m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2＝2px（p ＞0），可得x0＝，∵点P（0，4），∴|PQ|＝．又|QF|＝x0+＝+，|QF|＝|PQ|，∴+＝×，求得p＝2，或p＝﹣2（舍去）．故C的方程为y2＝4x．（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2＝4x的焦点F（1，0），设l的方程为x＝my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4＝0，显然判别式△＝16m2+16＞0，y1+y2＝4m，y1•y2＝﹣4．∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|＝|y1﹣y2|＝＝4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为x＝﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，把线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）＝0，∴y3+y4＝，y3•y4＝﹣4（2m2+3）．故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|＝|y3﹣y4|＝，∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，∴+DE2＝MN2，∴4（m2+1）2++＝×，化简可得m2﹣1＝0，∴m＝±1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1＝0，或x+y﹣1＝0．【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．22．（12分）（2014•大纲版）函数f（x）＝ln（x+1）﹣（a＞1）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a1＝1，a n+1＝ln（a n+1），证明：＜a n≤（n∈N*）．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，通过讨论a的取值范围，即可得到f（x）的单调性；（Ⅱ）利用数学归纳法即可证明不等式．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），f′（x）＝，①当1＜a＜2时，若x∈（﹣1，a2﹣2a），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，a2﹣2a）上是增函数，若x∈（a2﹣2a，0），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，0）上是减函数，若x∈（0，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．②当a＝2时，f′（x）≥0，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，③当a＞2时，若x∈（﹣1，0），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，0）上是增函数，若x∈（0，a2﹣2a），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（0，a2﹣2a）上是减函数，若x∈（a2﹣2a，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，+∞）上是增函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＝2时，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＞f（0）＝0，即ln（x+1）＞，（x＞0），又由（Ⅰ）知，当a＝3时，f（x）在（0，3）上是减函数，当x∈（0，3）时，f（x）＜f（0）＝0，ln（x+1）＜，下面用数学归纳法进行证明＜a n≤成立，①当n＝1时，由已知，故结论成立．②假设当n＝k时结论成立，即，则当n＝k+1时，a n+1＝ln（a n+1）＞ln（），a k+1＝ln（a k+1）＜ln（），即当n＝k+1时，成立，综上由①②可知，对任何n∈N•结论都成立．【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及利用数学归纳法证明不等式，综合性较强，难度较大．。
2014年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•大纲版）设z＝，则z的共轭复数为（）A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i2．（5分）（2014•大纲版）设集合M＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝（）A．（0，4]B．[0，4）C．[﹣1，0）D．（﹣1，0] 3．（5分）（2014•大纲版）设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b4．（5分）（2014•大纲版）若向量、满足：||＝1，（+）⊥，（2+）⊥，则||＝（）A．2B．C．1D．5．（5分）（2014•大纲版）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种6．（5分）（2014•大纲版）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+＝1B．+y2＝1C．+＝1D．+＝17．（5分）（2014•大纲版）曲线y＝xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2D．18．（5分）（2014•大纲版）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．9．（5分）（2014•大纲版）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝（）A．B．C．D．10．（5分）（2014•大纲版）等比数列{a n}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6B．5C．4D．311．（5分）（2014•大纲版）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD＝135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）（2014•大纲版）函数y＝f（x）的图象与函数y＝g（x）的图象关于直线x+y＝0对称，则y＝f（x）的反函数是（）A．y＝g（x）B．y＝g（﹣x）C．y＝﹣g（x）D．y＝﹣g（﹣x）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．（5分）（2014•大纲版）的展开式中x2y2的系数为．（用数字作答）14．（5分）（2014•大纲版）设x、y满足约束条件，则z＝x+4y的最大值为．15．（5分）（2014•大纲版）直线l1和l2是圆x2+y2＝2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．16．（5分）（2014•大纲版）若函数f（x）＝cos2x+a sin x在区间（，）是减函数，则a的取值范围是．三、解答题17．（10分）（2014•大纲版）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3a cos C ＝2c cos A，tan A＝，求B．18．（12分）（2014•大纲版）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝13，a2为整数，且S n≤S4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）（2014•大纲版）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D 在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．20．（12分）（2014•大纲版）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．21．（12分）（2014•大纲版）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N 两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．22．（12分）（2014•大纲版）函数f（x）＝ln（x+1）﹣（a＞1）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a1＝1，a n+1＝ln（a n+1），证明：＜a n≤（n∈N*）．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•大纲版）设z＝，则z的共轭复数为（）A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简，则z的共轭可求．【解答】解：∵z＝＝，∴．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．（5分）（2014•大纲版）设集合M＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝（）A．（0，4]B．[0，4）C．[﹣1，0）D．（﹣1，0]【分析】求解一元二次不等式化简集合M，然后直接利用交集运算求解．【解答】解：由x2﹣3x﹣4＜0，得﹣1＜x＜4．∴M＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}＝{x|﹣1＜x＜4}，又N＝{x|0≤x≤5}，∴M∩N＝{x|﹣1＜x＜4}∩{x|0≤x≤5}＝[0，4）．故选：B．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．3．（5分）（2014•大纲版）设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b【分析】可得b＝sin35°，易得b＞a，c＝tan35°＝＞sin35°，综合可得．【解答】解：由诱导公式可得b＝cos55°＝cos（90°﹣35°）＝sin35°，由正弦函数的单调性可知b＞a，而c＝tan35°＝＞sin35°＝b，∴c＞b＞a故选：C．【点评】本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，属基础题．4．（5分）（2014•大纲版）若向量、满足：||＝1，（+）⊥，（2+）⊥，则||＝（）A．2B．C．1D．【分析】由条件利用两个向量垂直的性质，可得（+）•＝0，（2+）•＝0，由此求得||．【解答】解：由题意可得，（+）•＝+＝1+＝0，∴＝﹣1；（2+）•＝2+＝﹣2+＝0，∴b2＝2，则||＝，故选：B．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量垂直，则它们的数量积等于零，属于基础题．5．（5分）（2014•大纲版）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62＝15种选法，再从5名女医生中选出1人，有C51＝5种选法，则不同的选法共有15×5＝75种；故选：C．【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．6．（5分）（2014•大纲版）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+＝1B．+y2＝1C．+＝1D．+＝1【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a＝，根据离心率为，可得c＝1，求出b，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长＝|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝2a+2a＝4a，∴4a＝4，∴a＝，∵离心率为，∴，c＝1，∴b＝＝，∴椭圆C的方程为+＝1．故选：A．【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．7．（5分）（2014•大纲版）曲线y＝xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2D．1【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．【解答】解：函数的导数为f′（x）＝e x﹣1+xe x﹣1＝（1+x）e x﹣1，当x＝1时，f′（1）＝2，即曲线y＝xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率k＝f′（1）＝2，故选：C．【点评】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础．8．（5分）（2014•大纲版）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴R2＝（4﹣R）2+（）2，∴R＝，∴球的表面积为4π•（）2＝．故选：A．【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．9．（5分）（2014•大纲版）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝（）A．B．C．D．【分析】根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论．【解答】解：∵双曲线C的离心率为2，∴e＝，即c＝2a，点A在双曲线上，则|F1A|﹣|F2A|＝2a，又|F1A|＝2|F2A|，∴解得|F1A|＝4a，|F2A|＝2a，||F1F2|＝2c，则由余弦定理得cos∠AF2F1＝＝＝．故选：A．【点评】本题主要考查双曲线的定义和运算，利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力．10．（5分）（2014•大纲版）等比数列{a n}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6B．5C．4D．3【分析】利用等比数列的性质可得a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝10．再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是等比数列，a4＝2，a5＝5，∴a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝10．∴lga1+lga2+…+lga8＝lg（a1a2•…•a8）＝4lg10＝4．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，属于基础题．11．（5分）（2014•大纲版）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD＝135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】首先作出二面角的平面角，然后再构造出异面直线AB与CD所成角，利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案．【解答】解：如图，过A点做AE⊥l，使BE⊥β，垂足为E，过点A做AF∥CD，过点E 做EF⊥AE，连接BF，∵AE⊥l∴∠EAC＝90°∵CD∥AF又∠ACD＝135°∴∠FAC＝45°∴∠EAF＝45°在Rt△BEA中，设AE＝a，则AB＝2a，BE＝a，在Rt△AEF中，则EF＝a，AF＝a，在Rt△BEF中，则BF＝2a，∴异面直线AB与CD所成的角即是∠BAF，∴cos∠BAF＝＝＝．故选：B．【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角，关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角，考查了学生的空间想象能力和作图能力，属于难题．12．（5分）（2014•大纲版）函数y＝f（x）的图象与函数y＝g（x）的图象关于直线x+y＝0对称，则y＝f（x）的反函数是（）A．y＝g（x）B．y＝g（﹣x）C．y＝﹣g（x）D．y＝﹣g（﹣x）【分析】设P（x，y）为y＝f（x）的反函数图象上的任意一点，则P关于y＝x的对称点P′（y，x）一点在y＝f（x）的图象上，P′（y，x）关于直线x+y＝0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y＝g（x）图象上，代入解析式变形可得．【解答】解：设P（x，y）为y＝f（x）的反函数图象上的任意一点，则P关于y＝x的对称点P′（y，x）一点在y＝f（x）的图象上，又∵函数y＝f（x）的图象与函数y＝g（x）的图象关于直线x+y＝0对称，∴P′（y，x）关于直线x+y＝0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y＝g（x）图象上，∴必有﹣y＝g（﹣x），即y＝﹣g（﹣x）∴y＝f（x）的反函数为：y＝﹣g（﹣x）故选：D．【点评】本题考查反函数的性质和对称性，属中档题．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．（5分）（2014•大纲版）的展开式中x2y2的系数为70．（用数字作答）【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x、y的幂指数都等于2，求得r的值，即可求得展开式中x2y2的系数．【解答】解：的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r••＝•（﹣1）r••，令8﹣＝﹣4＝2，求得r＝4，故展开式中x2y2的系数为＝70，故答案为：70．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．14．（5分）（2014•大纲版）设x、y满足约束条件，则z＝x+4y的最大值为5．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得C（1，1）．化目标函数z＝x+4y为直线方程的斜截式，得．由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大．此时z max＝1+4×1＝5．故答案为：5．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）（2014•大纲版）直线l1和l2是圆x2+y2＝2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．【分析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ＝的值，可得cosθ、tanθ的值，再根据tan2θ＝，计算求得结果．【解答】解：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，且点A与圆心O之间的距离为OA＝＝，圆的半径为r＝，∴sinθ＝＝，∴cosθ＝，tanθ＝＝，∴tan2θ＝＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．16．（5分）（2014•大纲版）若函数f（x）＝cos2x+a sin x在区间（，）是减函数，则a的取值范围是（﹣∞，2]．【分析】利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令t＝sin x换元，根据给出的x的范围求出t的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围．【解答】解：由f（x）＝cos2x+a sin x＝﹣2sin2x+a sin x+1，令t＝sin x，则原函数化为y＝﹣2t2+at+1．∵x∈（，）时f（x）为减函数，则y＝﹣2t2+at+1在t∈（，1）上为减函数，∵y＝﹣2t2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t＝．∴，解得：a≤2．∴a的取值范围是（﹣∞，2]．故答案为：（﹣∞，2]．【点评】本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置，是中档题．三、解答题17．（10分）（2014•大纲版）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3a cos C ＝2c cos A，tan A＝，求B．【分析】由3a cos C＝2c cos A，利用正弦定理可得3sin A cos C＝2sin C cos A，再利用同角的三角函数基本关系式可得tan C，利用tan B＝tan[π﹣（A+C）]＝﹣tan（A+C）即可得出．【解答】解：∵3a cos C＝2c cos A，由正弦定理可得3sin A cos C＝2sin C cos A，∴3tan A＝2tan C，∵tan A＝，∴2tan C＝3×＝1，解得tan C＝．∴tan B＝tan[π﹣（A+C）]＝﹣tan（A+C）＝﹣＝﹣＝﹣1，∵B∈（0，π），∴B＝【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．18．（12分）（2014•大纲版）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝13，a2为整数，且S n≤S4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）通过S n≤S4得a4≥0，a5≤0，利用a1＝13、a2为整数可得d＝﹣4，进而可得结论；（2）通过a n＝13﹣3n，分离分母可得b n＝（﹣），并项相加即可．【解答】解：（1）在等差数列{a n}中，由S n≤S4得：a4≥0，a5≤0，又∵a1＝13，∴，解得﹣≤d≤﹣，∵a2为整数，∴d＝﹣4，∴{a n}的通项为：a n＝17﹣4n；（2）∵a n＝17﹣4n，∴b n＝＝＝﹣（﹣），于是T n＝b1+b2+……+b n＝﹣[（﹣）+（﹣）+……+（﹣）]＝﹣（﹣）＝．【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查并项相加法，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（12分）（2014•大纲版）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D 在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；（Ⅱ）作辅助线可证∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角函数可得．【解答】解：（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC∴BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C，又AC1⊥BC，A1C∩BC＝C，∴AC1⊥平面A1BC，AB1⊂平面A1BC，∴AC1⊥A1B；（Ⅱ）∵BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1，作A1E⊥CC1，E为垂足，可得A1E⊥平面BCC1B1，又直线AA1∥平面BCC1B1，∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E＝，∵A1C为∠ACC1的平分线，∴A1D＝A1E＝，作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F，又可得AB⊥A1D，A1F∩A1D＝A1，∴AB⊥平面A1DF，∵A1F⊂平面A1DF∴A1F⊥AB，∴∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，由AD＝＝1可知D为AC中点，∴DF＝＝，∴tan∠A1FD＝＝，∴二面角A1﹣AB﹣C的大小为arctan【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）（2014•大纲版）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．【分析】记A i表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备，i＝0，1，2，B表示事件：甲需要设备，C表示事件，丁需要设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备（Ⅰ）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加，即得所求．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出PX i，再利用数学期望公式计算即可．【解答】解：由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）＝0.31．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4P（X＝0）＝（1﹣0.6）×0.52×（1﹣0.4）＝0.06P（X＝1）＝0.6×0.52×（1﹣0.4）+（1﹣0.6）×0.52×0.4+（1﹣0.6）×2×0.52×（1﹣0.4）＝0.25P（X＝4）＝P（A2•B•C）＝0.52×0.6×0.4＝0.06，P（X＝3）＝P（D）﹣P（X＝4）＝0.25，P（X＝2）＝1﹣P（X＝0）﹣P（X＝1）﹣P（X＝3）﹣P（X＝4）＝1﹣0.06﹣0.25﹣0.25﹣0.06＝0.38．故数学期望EX＝0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06＝2【点评】本题主要考查了独立事件的概率和数学期望，关键是找到独立的事件，计算要有耐心，属于难题．21．（12分）（2014•大纲版）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N 两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0＝，根据|QF|＝|PQ|求得p的值，可得C的方程．（Ⅱ）设l的方程为x＝my+1（m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2＝2px（p ＞0），可得x0＝，∵点P（0，4），∴|PQ|＝．又|QF|＝x0+＝+，|QF|＝|PQ|，∴+＝×，求得p＝2，或p＝﹣2（舍去）．故C的方程为y2＝4x．（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2＝4x的焦点F（1，0），设l的方程为x＝my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4＝0，显然判别式△＝16m2+16＞0，y1+y2＝4m，y1•y2＝﹣4．∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|＝|y1﹣y2|＝＝4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为x＝﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，把线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）＝0，∴y3+y4＝，y3•y4＝﹣4（2m2+3）．故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|＝|y3﹣y4|＝，∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，∴+DE2＝MN2，∴4（m2+1）2++＝×，化简可得m2﹣1＝0，∴m＝±1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1＝0，或x+y﹣1＝0．【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．22．（12分）（2014•大纲版）函数f（x）＝ln（x+1）﹣（a＞1）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a1＝1，a n+1＝ln（a n+1），证明：＜a n≤（n∈N*）．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，通过讨论a的取值范围，即可得到f（x）的单调性；（Ⅱ）利用数学归纳法即可证明不等式．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），f′（x）＝，①当1＜a＜2时，若x∈（﹣1，a2﹣2a），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，a2﹣2a）上是增函数，若x∈（a2﹣2a，0），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，0）上是减函数，若x∈（0，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．②当a＝2时，f′（x）≥0，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，③当a＞2时，若x∈（﹣1，0），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，0）上是增函数，若x∈（0，a2﹣2a），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（0，a2﹣2a）上是减函数，若x∈（a2﹣2a，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，+∞）上是增函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＝2时，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＞f（0）＝0，即ln（x+1）＞，（x＞0），又由（Ⅰ）知，当a＝3时，f（x）在（0，3）上是减函数，当x∈（0，3）时，f（x）＜f（0）＝0，ln（x+1）＜，下面用数学归纳法进行证明＜a n≤成立，①当n＝1时，由已知，故结论成立．②假设当n＝k时结论成立，即，则当n＝k+1时，a n+1＝ln（a n+1）＞ln（），a k+1＝ln（a k+1）＜ln（），即当n＝k+1时，成立，综上由①②可知，对任何n∈N•结论都成立．【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及利用数学归纳法证明不等式，综合性较强，难度较大．。
2014年高考理科数学大纲卷-答案
【考点】两直线的夹角与到角问题
16.【答案】
【解析】 ，令 ，则原函数为
∵ 时分 减函数，则 在 上是减函数，
∵ 的图象开口向下，且对称轴方程为 ∴ ，解得： ，
所以a的取值范围是
【提示】给出三角函数解析式且给出单调区间求解析式未知量的取值范围
【考点】三角函数，单调函数
【考点】离散型随机变量的期望与方差，相互独立事件的概率乘法公式
21.【答案】（1）
（2） 或
【解析】（1）设 ，代入由 中得 ，所以 ， ，由题设得 ，解得 （舍去）或
所以C的方程为
（2）依题意知直线 与坐标轴不垂直，故可设直线 的方程为 ， 代入 中得 ，
设 ， ，则 ， ，故AB的中点为 ，
，有直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ，将上式代入 中，并整理得 .设 ， ，
3.【答案】C
【解析】 ，故有 故选C
【提示】给出三个三角函数比较大小
【考点】三角函数的单调性
4.【答案】B
【解析】因为 ，所以 即 因为 即 又因为 所以 ，即 因为 ，所以 ，
【提示】给出约束条件求向量
【考点】向量的基本运算.
5.【答案】C
【解析】从6名男医生中选出2名有 种不同选法，从5名女医生种选出1名有 种不同选法，根据分布计数乘法原理可得，组成的医疗小组共有 种不同选法
【解析】约束条件的可行域如图 所示当目标函数过点A（1，1）时， 取最大值
【提示】给出约束条件，应用数行结合思想画出不等式组所表示的平面区域，求出线性目标函数的最大值
【考点】简单线性规划
15.【答案】
【解析】已知圆的圆心 ，半径 ，则 与 的距离为 ．
2014年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含答案及解析)
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2} 2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．54．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．15．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.456．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．78．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．39．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10B．8C．3D．210．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．【解答】解：z1=2+i对应的点的坐标为（2，1），∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），则对应的复数，z2=﹣2+i，则z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，故选：A．【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．5【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．【解答】解：∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4•=10﹣6=4，即•=1，故选：A．【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．1【考点】HR：余弦定理．【专题】56：三角函数的求值．【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考虑：当B为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可．【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，即sinB=，当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=，当B为锐角时，cosB==，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC=．故选：B．【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，解得p=0.8，故选：A．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．7【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．【解答】解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．8．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．3【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】52：导数的概念及应用．【分析】根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．【解答】解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故选：D．【点评】本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10B．8C．3D．2【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（5，2）代入目标函数z=2x﹣y，得z=2×5﹣2=8．故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B 两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．【解答】解：由y2=2px，得2p=3，p=，则F（，0）．∴过A，B的直线方程为y=（x﹣），即x=y+．联立，得4y2﹣12y﹣9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y 1+y 2=3，y 1y 2=﹣．∴S△OAB =S △OAF +S△OFB =×|y 1﹣y 2|==×=．故选：D ．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题．11．（5分）直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ） A ．B ．C ．D ．【考点】LM ：异面直线及其所成的角．【专题】5F ：空间位置关系与距离．【分析】画出图形，找出BM 与AN 所成角的平面角，利用解三角形求出BM 与AN 所成角的余弦值．【解答】解：直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，如图：BC 的中点为O ，连结ON ，，则MN0B 是平行四边形，BM 与AN 所成角就是∠ANO ，∵BC=CA=CC 1，设BC=CA=CC 1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===， 在△ANO 中，由余弦定理可得：cos ∠ANO===．故选：C ．【点评】本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈Z，再由题意可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，可得m2 ＞m2+3，由此求得m的取值范围．【解答】解：由题意可得，f（x0）=±，即=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，即x02+3＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．求得m＞2，或m＜﹣2，故选：C．【点评】本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x7的系数，再根据x7的系数为15，求得a的值．【解答】解：（x+a）10的展开式的通项公式为T r=•x10﹣r•a r，+1令10﹣r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3•=120a3=15，∴a=，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为1．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sinx，从而求得函数的最大值．【解答】解：函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）=sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos （x+φ）=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ=sin[（x+φ）﹣φ]=sinx，故函数f（x）的最大值为1，故答案为：1．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用，正弦函数的最值，属于中档题．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（﹣1，3）．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到结论．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2）是解决本题的关键．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1] ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】5B：直线与圆．【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．【考点】87：等比数列的性质；8E：数列的求和．【专题】14：证明题；54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即=常数，又首项不为0，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）将进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．【解答】证明（Ⅰ）==3，∵≠0，∴数列{a n+}是以首项为，公比为3的等比数列；∴a n+==，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当n≥2时，∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1，∴＜=，∴当n=1时，成立，当n≥2时，++…+＜1+…+==＜．时，++…+＜．∴对n∈N+【点评】本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属于中档题．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，（2分）EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，∴CD⊥MD．∵二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，∴PD=2，E为PD的中点．AE=1，∴DM=，CD==．三棱锥E﹣ACD的体积为：==．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】BK：线性回归方程．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，=×（1+2+3+4+5+6+7）=4，=×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，∴== =0.5，=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．∴y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得：=0.5×9+2.3=6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．【点评】本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．【分析】对第（Ⅰ）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；对第（Ⅱ）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在[0+∞）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g′（x）＞0是否成立”的问题；对第（Ⅲ）问，根据第（Ⅱ）问的结论，设法利用的近似值，并寻求ln2，于是在b=2及b＞2的情况下分别计算，最后可估计ln2的近似值．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）得f′（x）=e x+e﹣x﹣2，即f′（x）≥0，当且仅当e x=e﹣x即x=0时，f′（x）=0，∴函数f（x）在R上为增函数．（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，则g′（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣2）]=2[（e x+e﹣x）2﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣4）]=2（e x+e﹣x﹣2）（e x+e﹣x+2﹣2b）．①∵e x+e﹣x＞2，e x+e﹣x+2＞4，∴当2b≤4，即b≤2时，g′（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．②当b＞2时，若x满足2＜e x+e﹣x＜2b﹣2即，得，此时，g′（x）＜0，又由g（0）=0知，当时，g（x）＜0，不符合题意．综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．（Ⅲ）∵1.4142＜＜1.4143，根据（Ⅱ）中g（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，为了凑配ln2，并利用的近似值，故将ln即代入g（x）的解析式中，得．当b=2时，由g（x）＞0，得，从而；令，得＞2，当时，由g（x）＜0，得，得．所以ln2的近似值为0.693．【点评】1．本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题．2．从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口．3．本题的难点在于如何寻求ln2，关键是根据第（2）问中g（x）的解析式探究b的值，从而获得不等式，这样自然地将不等式放缩为的范围的端点值，达到了估值的目的．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【考点】N4：相似三角形的判定；NC：与圆有关的比例线段．【专题】17：选作题；5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程，利用cos2t+sin2t=1进而得出参数方程．（2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，则直线CD的斜率与直线l的斜率相等，即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标．【解答】解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，可得C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1（0≤y≤1）．可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant=，t=．故D的直角坐标为，即（，）．【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2014年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)学生版
2014 年全国一致高考数学试卷（理科）（纲领版）一、选择题（本大题共12 小题，每题 5 分）1．（5 分）（2014?纲领版）设z=，则z 的共轭复数为（）A．﹣ 1+3i B．﹣ 1﹣3i 2．（5 分）（2014?纲领版）设会合C．1+3i D．1﹣3iM={ x| x2﹣3x﹣4＜0} ，N={ x| 0≤x≤5} ，则M∩N=（）A．（0，4]B．[ 0，4）C．[ ﹣1，0）D．（﹣1，0] 3．（5 分）（2014?纲领版）设 a=sin33 ，°b=cos55 °，c=tan35 ，°则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞ a C．c＞b＞a D．c＞a＞b4．（5分）（纲领版）若向量、知足：|| =1，（ + ）⊥ ，（2 +）⊥ ，则| |= 2014?（）A．2B．C．1D．5．（ 5 分）（2014?纲领版）有 6 名男医生、 5 名女医生，从中选出 2 名男医生、 1名女医生构成一个医疗小组，则不一样的选法共有（）A．60 种B．70 种C．75 种D．150 种．（分）（纲领版）已知椭圆：+（＞＞）的左、右焦点为1、6 52014?C=1 a b 0FF2，离心率为，过 F2的直线 l 交 C 于 A、B 两点，若△ AF1B 的周长为 4，则 C 的方程为（）A．+=1．+y2=1BC． +=1D．+=17．（ 5 分）（2014?纲领版）曲线 y=xe x﹣1在点（ 1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2D．18．（ 5 分）（ 2014?纲领版）正四棱锥的极点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为 2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．9．（5 分）（2014?纲领版）已知双曲线C 的离心率为，焦点为1、F2，点A在2FC 上，若 | F1A| =2| F2A| ，则 cos∠AF2F1=（）A．B．C．D．10．（ 5 分）（2014?纲领版）等比数列 { a n} 中， a4=2， a5=5，则数列 { lga n} 的前 8项和等于（）A．6B．5C．4D．311．（ 5 分）（2014?纲领版）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB?α，AB⊥l，A为垂足，CD? β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线 AB 与CD 所成角的余弦值为（）A．12．（ 5B．分）（2014?纲领版）函数C．y=f（ x）的图象与函数D．y=g（x）的图象对于直线 x+y=0 对称，则y=f（ x）的反函数是（）A．y=g（x）B．y=g（﹣ x）C．y=﹣g（x）D．y=﹣g（﹣ x）二、填空题( 本大题共 4 小题，每题 5 分)13．（ 5 分）（2014?纲领版）的睁开式中x2y2的系数为．（用数字作答）、知足拘束条件，则 z=x+4y 的最大14．（5 分）（ 2014?纲领版）设 x y值为．15．（ 5 分）（ 2014?纲领版）直线 l1和 l2是圆 x2+y2=2 的两条切线，若 l1与 l2的交点为（ 1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．16．（ 5 分）（2014?纲领版）若函数数，则 a 的取值范围是．f（ x） =cos2x+asinx 在区间（，）是减函三、解答题17．（ 10 分）（ 2014?纲领版）△ ABC的内角 A、B、C 的对边分别为a、 b、c，已知 3acosC=2ccosA，tanA= ，求 B．18．（ 12 分）（ 2014?纲领版）等差数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，已知 a1=13，a2为整数，且 S n≤S4．（ 1）求 { a n } 的通项公式；（ 2）设 b n=，求数列 { b n} 的前 n 项和 T n．19．（ 12 分）（ 2014?纲领版）如图，三棱柱ABC﹣A1B1 C1中，点 A1在平面 ABC 内的射影 D 在 AC上，∠ ACB=90°，BC=1，AC=CC ．1=2（Ⅰ）证明： AC ⊥A ；11B（Ⅱ）设直线 AA与平面 BCC的距离为，求二面角 A ﹣AB﹣ C 的大小．11B1120．（ 12 分）（2014?纲领版）设每个工作日甲、乙、丙、丁4 人需使用某种设施的概率分别为 0.6、0.5、0.5、0.4，各人能否需使用设施互相独立．（Ⅰ）求同一工作日起码 3 人需使用设施的概率；（Ⅱ） X 表示同一工作日需使用设施的人数，求X 的数学希望．21．（ 12 分）（ 2014?纲领版）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为 F，直线y=4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，且 | QF| = | PQ| ．（Ⅰ）求 C 的方程；（Ⅱ）过 F 的直线 l 与 C 订交于 A、B 两点，若 AB的垂直均分线l 与′ C 订交于 M 、N 两点，且 A、M 、B、N 四点在同一圆上，求l 的方程．．（12分）（纲领版）函数f（）（）﹣（a＞ 1）．222014?x=ln x+1（Ⅰ）议论 f （x）的单一性；（Ⅱ）设 a1=1， a n+1=ln（a n+1），证明：＜a n≤（n∈ N*）．。
2014高考真题理科数学(全国大纲版)
2014高考真题理科数学（全国大纲版）设，则z的共轭复数为（）A．B．C．D．【答案解析】D设集合，，则（）A．B．C．D．【答案解析】B设则（）A．B．C．D．【答案解析】C若向量满足：则（）A．2 B．C．1 D．【答案解析】B有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种【答案解析】C已知椭圆C：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为（）A．B．C．D．【答案解析】A曲线在点（1,1）处切线的斜率等于（）A．B．C．2 D．1【答案解析】C正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．C．D．【答案解析】A已知双曲线C的离心率为2，焦点为、，点A在C上，若，则（）A．B．C．D．【答案解析】A等比数列中，，则数列的前8项和等于（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案解析】C已知二面角为，，，A为垂足，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案解析】B.函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的反函数是（）A．B．C．D．【答案解析】D第Ⅱ卷（共90分）的展开式中的系数为.（用数字作答）【答案解析】70.设满足约束条件，则的最大值为.【答案解析】5.直线和是圆的两条切线，若与的交点为，则与的夹角的正切值等于.【答案解析】．若函数在区间是减函数，则的取值范围是.【答案解析】．（本小题满分10分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，求B.【答案解析】解：由题设和正弦定理得又．（本小题满分12分）等差数列的前n项和为，已知，为整数，且.（I）求的通项公式；（II）设，求数列的前n项和.【答案解析】解：（I）由，为整数知，等差数列的公差为整数．又，故于是，解得，因此，故数列的通项公式为．（II），于是．（本小题满分12分）如图，三棱柱中，点在平面ABC内的射影D在AC上，，.（I）证明：；（II）设直线与平面的距离为，求二面角的大小.【答案解析】解：解法一：（I）平面，平面，故平面平面．又，面．作为垂足，则平面．又直线Ⅱ平面，因而为直线与平面的距离，．Ⅱ为的角平分线，故．作为垂足，连结，由三垂线定理得，故为二面角的平面角．由得为的中点，Ⅱ二面角的大小为．解法二：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，以长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．由题设知与轴平行，轴在平面内．（I）设，由题设有则由得，即（Ⅱ）．于是．（II）设平面的法向量则即．故，且．令，则，点到平面的距离为．又依题设，点到平面的距离为．代入Ⅱ解得（舍去）或．于是．设平面的法向量，则，即，故且．令，则．又为平面的法向量，故，Ⅱ二面角的大小为．（本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为各人是否需使用设备相互独立.（I）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（II）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.【答案解析】解：记表示事件：同一工作日乙、丙恰有人需使用设备，；表示事件：甲需使用设备；表示事件：丁需使用设备；表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．（I），又（II）的可能取值为0，1，2，3，4．，Ⅱ数学期望（本小题满分12分）已知抛物线C：的焦点为F，直线与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且. （I）求C的方程；（II）过F的直线与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线与C相较于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求的方程.【答案解析】解：（I）设，代入，得．由题设得，解得（舍去）或，ⅡC的方程为；（II）由题设知与坐标轴不垂直，故可设的方程为，代入得．设则．故的中点为．又的斜率为的方程为．将上式代入，并整理得．设则．故的中点为．由于垂直平分线，故四点在同一圆上等价于，从而即，化简得，解得或．所求直线的方程为或．（本小题满分12分）函数.（I）讨论的单调性；（II）设，证明：.【答案解析】解：（I）的定义域为．（i）当时，若，则在上是增函数；若则在上是减函数；若则在上是增函数．（ii）当时,成立当且仅当在上是增函数．（iii）当时，若，则在是上是增函数；若，则在上是减函数；若，则在上是增函数．（II）由（I）知，当时，在是增函数．当时，，即．又由（I）知，当时，在上是减函数；当时，，即．下面用数学归纳法证明．（i）当时，由已知，故结论成立；（ii）假设当时结论成立，即．当时，，即当时有，结论成立．根据（i）、（ii）知对任何结论都成立．。
[历年真题]2014年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)
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2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分）1．（5分）设z=,则z的共轭复数为（）A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i2．（5分）设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0},N={x|0≤x≤5},则M∩N=（）A．（0,4]B．[0,4）C．[﹣1,0）D．（﹣1,0]3．（5分）设a=sin33°,b=cos55°,c=tan35°,则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b4．（5分）若向量、满足:||=1,（+）⊥,（2+）⊥,则||=（）A．2 B．C．1 D．5．（5分）有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种6．（5分）已知椭圆C:+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点,若△AF1B的周长为4,则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=17．（5分）曲线y=xe x﹣1在点（1,1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2 D．18．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．9．（5分）已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上,若|F1A|=2|F2A|,则cos∠AF2F1=（）A．B．C．D．10．（5分）等比数列{a n}中,a4=2,a5=5,则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6 B．5 C．4 D．311．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°,AB⊂α,AB⊥l,A为垂足,CD⊂β,C∈l,∠ACD=135°,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称,则y=f（x）的反函数是（）A．y=g（x）B．y=g（﹣x）C．y=﹣g（x）D．y=﹣g（﹣x）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)13．（5分）的展开式中x2y2的系数为．（用数字作答）14．（5分）设x、y满足约束条件,则z=x+4y的最大值为．15．（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线,若l1与l2的交点为（1,3）,则l1与l2的夹角的正切值等于．16．（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（,）是减函数,则a的取值范围是．三、解答题17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acosC=2ccosA,tanA=,求B．18．（12分）等差数列{a n}的前n项和为S n．已知a1=10,a2为整数,且S n≤S4．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=,求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC1=2．（Ⅰ）证明:AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为,求二面角A1﹣AB﹣C的大小．20．（12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望．21．（12分）已知抛物线C:y2=2px（p＞0）的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程．22．（12分）函数f（x）=ln（x+1）﹣（a＞1）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a1=1,a n+1=ln（a n+1）,证明:＜a n≤．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题,每小题5分）1．（5分）（2014•大纲版）设z=,则z的共轭复数为（）A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简,则z的共轭可求．【解答】解:∵z==,∴．故选:D．【点评】本题考查复数代数形式的除法运算,考查了复数的基本概念,是基础题．2．（5分）（2014•大纲版）设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0},N={x|0≤x≤5},则M∩N=（）A．（0,4]B．[0,4）C．[﹣1,0）D．（﹣1,0]【分析】求解一元二次不等式化简集合M,然后直接利用交集运算求解．【解答】解:由x2﹣3x﹣4＜0,得﹣1＜x＜4．∴M={x|x2﹣3x﹣4＜0}={x|﹣1＜x＜4},又N={x|0≤x≤5},∴M∩N={x|﹣1＜x＜4}∩{x|0≤x≤5}=[0,4）．故选:B．【点评】本题考查了交集及其运算,考查了一元二次不等式的解法,是基础题．3．（5分）（2014•大纲版）设a=sin33°,b=cos55°,c=tan35°,则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b【分析】可得b=sin35°,易得b＞a,c=tan35°=＞sin35°,综合可得．【解答】解:由诱导公式可得b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35°,由正弦函数的单调性可知b＞a,而c=tan35°=＞sin35°=b,∴c＞b＞a故选:C【点评】本题考查三角函数值大小的比较,涉及诱导公式和三角函数的单调性,属基础题．4．（5分）（2014•大纲版）若向量、满足:||=1,（+）⊥,（2+）⊥,则||=（）A．2 B．C．1 D．【分析】由条件利用两个向量垂直的性质,可得（+）•=0,（2+）•=0,由此求得||．【解答】解:由题意可得,（+）•=+=1+=0,∴=﹣1；（2+）•=2+=﹣2+=0,∴b2=2,则||=,故选:B．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质,两个向量垂直,则它们的数量积等于零,属于基础题．5．（5分）（2014•大纲版）有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种【分析】根据题意,分2步分析,先从6名男医生中选2人,再从5名女医生中选出1人,由组合数公式依次求出每一步的情况数目,由分步计数原理计算可得答案．【解答】解:根据题意,先从6名男医生中选2人,有C62=15种选法,再从5名女医生中选出1人,有C51=5种选法,则不同的选法共有15×5=75种；故选C．【点评】本题考查分步计数原理的应用,注意区分排列、组合的不同．6．（5分）（2014•大纲版）已知椭圆C:+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点,若△AF1B的周长为4,则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1【分析】利用△AF1B的周长为4,求出a=,根据离心率为,可得c=1,求出b,即可得出椭圆的方程．【解答】解:∵△AF1B的周长为4,∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a,∴4a=4,∴a=,∵离心率为,∴,c=1,∴b==,∴椭圆C的方程为+=1．故选:A．【点评】本题考查椭圆的定义与方程,考查椭圆的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题．7．（5分）（2014•大纲版）曲线y=xe x﹣1在点（1,1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2 D．1【分析】求函数的导数,利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．【解答】解:函数的导数为f′（x）=e x﹣1+xe x﹣1=（1+x）e x﹣1,当x=1时,f′（1）=2,即曲线y=xe x﹣1在点（1,1）处切线的斜率k=f′（1）=2,故选:C．【点评】本题主要考查导数的几何意义,直接求函数的导数是解决本题的关键,比较基础．8．（5分）（2014•大纲版）正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上,记为O,求出PO1,OO1,解出球的半径,求出球的表面积．【解答】解:设球的半径为R,则∵棱锥的高为4,底面边长为2,∴R2=（4﹣R）2+（）2,∴R=,∴球的表面积为4π•（）2=．故选:A．【点评】本题考查球的表面积,球的内接几何体问题,考查计算能力,是基础题．9．（5分）（2014•大纲版）已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C 上,若|F1A|=2|F2A|,则cos∠AF2F1=（）A．B．C．D．【分析】根据双曲线的定义,以及余弦定理建立方程关系即可得到结论．【解答】解:∵双曲线C的离心率为2,∴e=,即c=2a,点A在双曲线上,则|F1A|﹣|F2A|=2a,又|F1A|=2|F2A|,∴解得|F1A|=4a,|F2A|=2a,||F1F2|=2c,则由余弦定理得cos∠AF2F1===．故选:A．【点评】本题主要考查双曲线的定义和运算,利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键,考查学生的计算能力．10．（5分）（2014•大纲版）等比数列{a n}中,a4=2,a5=5,则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解:∵数列{a n}是等比数列,a4=2,a5=5,∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．∴lga1+lga2+…+lga8=lg（a1a2•…•a8）=4lg10=4．故选:C．【点评】本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质,属于基础题．11．（5分）（2014•大纲版）已知二面角α﹣l﹣β为60°,AB⊂α,AB⊥l,A为垂足,CD ⊂β,C∈l,∠ACD=135°,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】首先作出二面角的平面角,然后再构造出异面直线AB与CD所成角,利用解直角三角形和余弦定理,求出问题的答案．【解答】解:如图,过A点做AE⊥l,使BE⊥β,垂足为E,过点A做AF∥CD,过点E做EF⊥AE,连接BF,∵AE⊥l∴∠EAC=90°∵CD∥AF又∠ACD=135°∴∠FAC=45°∴∠EAF=45°在Rt△BEA中,设AE=a,则AB=2a,BE=a,在Rt△AEF中,则EF=a,AF=a,在Rt△BEF中,则BF=2a,∴异面直线AB与CD所成的角即是∠BAF,∴cos∠BAF===．故选:B．【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角,关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角,考查了学生的空间想象能力和作图能力,属于难题．12．（5分）（2014•大纲版）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称,则y=f（x）的反函数是（）A．y=g（x）B．y=g（﹣x）C．y=﹣g（x）D．y=﹣g（﹣x）【分析】设P（x,y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点,则P关于y=x的对称点P′（y,x）一点在y=f（x）的图象上,P′（y,x）关于直线x+y=0的对称点P″（﹣x,﹣y）在y=g（x）图象上,代入解析式变形可得．【解答】解:设P（x,y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点,则P关于y=x的对称点P′（y,x）一点在y=f（x）的图象上,又∵函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称,∴P′（y,x）关于直线x+y=0的对称点P″（﹣x,﹣y）在y=g（x）图象上,∴必有﹣y=g（﹣x）,即y=﹣g（﹣x）∴y=f（x）的反函数为:y=﹣g（﹣x）故选:D【点评】本题考查反函数的性质和对称性,属中档题．二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)13．（5分）（2014•大纲版）的展开式中x2y2的系数为70．（用数字作答）【分析】先求出二项式展开式的通项公式,再令x、y的幂指数都等于2,求得r的值,即可求得展开式中x2y2的系数．【解答】解:的展开式的通项公式为T r=•（﹣1）+1r••=•（﹣1）r••,令8﹣=﹣4=2,求得r=4,故展开式中x2y2的系数为=70,故答案为:70．【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题．14．（5分）（2014•大纲版）设x、y满足约束条件,则z=x+4y的最大值为5．【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,由图得到最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数得答案．【解答】解:由约束条件作出可行域如图,联立,解得C（1,1）．化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式,得．由图可知,当直线过C点时,直线在y轴上的截距最大,z最大．此时z max=1+4×1=5．故答案为:5．【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题．15．（5分）（2014•大纲版）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线,若l1与l2的交点为（1,3）,则l1与l2的夹角的正切值等于．【分析】设l1与l2的夹角为2θ,由于l1与l2的交点A（1,3）在圆的外部,由直角三角形中的边角关系求得sinθ=的值,可得cosθ、tanθ 的值,再根据tan2θ=,计算求得结果．【解答】解:设l1与l2的夹角为2θ,由于l1与l2的交点A（1,3）在圆的外部,且点A与圆心O之间的距离为OA==,圆的半径为r=,∴sinθ==,∴cosθ=,tanθ==,∴tan2θ===,故答案为:．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质,直角三角形中的变角关系,同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用,属于中档题．16．（5分）（2014•大纲版）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（,）是减函数,则a的取值范围是（﹣∞,2] ．【分析】利用二倍角的余弦公式化为正弦,然后令t=sinx换元,根据给出的x的范围求出t的范围,结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围．【解答】解:由f（x）=cos2x+asinx=﹣2sin2x+asinx+1,令t=sinx,则原函数化为y=﹣2t2+at+1．∵x∈（,）时f（x）为减函数,则y=﹣2t2+at+1在t∈（,1）上为减函数,∵y=﹣2t2+at+1的图象开口向下,且对称轴方程为t=．∴,解得:a≤2．∴a的取值范围是（﹣∞,2]．故答案为:（﹣∞,2]．【点评】本题考查复合函数的单调性,考查了换元法,关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置,是中档题．三、解答题17．（10分）（2014•大纲版）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acosC=2ccosA,tanA=,求B．【分析】由3acosC=2ccosA,利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA,再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC,利用tanB=tan[π﹣（A+B）]=﹣tan（A+B）即可得出．【解答】解:∵3acosC=2ccosA,由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA,∴3tanA=2tanC,∵tanA=,∴2tanC=3×=1,解得tanC=．∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=﹣1,∵B∈（0,π）,∴B=【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于中档题．18．（12分）（2014•大纲版）等差数列{a n}的前n项和为S n．已知a1=10,a2为整数,且S n≤S4．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=,求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）由题意得a4≥0,a5≤0,即10+3d≥0,10+4d≤0,解得d=﹣3,即可写出通项公式；（Ⅱ）利用裂项相消法求数列和即可．【解答】解:（Ⅰ）由a1=10,a2为整数,且S n≤S4得s3≤s4,s5≤s4,即s4﹣s3≥0,s5﹣s4≤0,∴a4≥0,a5≤0,即10+3d≥0,10+4d≤0,解得﹣≤d≤﹣,∴d=﹣3,∴{a n}的通项公式为a n=13﹣3n．（Ⅱ）∵b n==（﹣）=﹣（﹣）,∴T n=b1+b2+…+b n=（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）=．【点评】本题主要考查数列通项公式及数列和的求法,考查学生对裂项相消求和的能力及运算能力,属中档题．19．（12分）（2014•大纲版）如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC1=2．（Ⅰ）证明:AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为,求二面角A1﹣AB﹣C的大小．【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；（Ⅱ）作辅助线可证∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角,解三角形由反三角函数可得．【解答】解:（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABC,A1D⊂平面AA1C1C,∴平面AA1C1C⊥平面ABC,又BC⊥AC∴BC⊥平面AA1C1C,连结A1C,由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C,又AC1⊥BC,A1C∩BC=C,∴AC1⊥平面A1BC,AB1⊂平面A1BC,∴AC1⊥A1B；（Ⅱ）∵BC⊥平面AA1C1C,BC⊂平面BCC1B1,∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1,作A1E⊥CC1,E为垂足,可得A1E⊥平面BCC1B1,又直线AA1∥平面BCC1B1,∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离,即A1E=,∵A1C为∠ACC1的平分线,∴A1D=A1E=,作DF⊥AB,F为垂足,连结A1F,又可得AB⊥A1D,A1F∩A1D=A1,∴AB⊥平面A1DF,∵A1F⊂平面A1DF∴A1F⊥AB,∴∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角,由AD==1可知D为AC中点,∴DF==,∴tan∠A1FD==,∴二面角A1﹣AB﹣C的大小为arctan【点评】本题考查二面角的求解,作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键,属中档题．20．（12分）（2014•大纲版）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望．【分析】记A i表示事件:同一工作日乙丙需要使用设备,i=0,1,2,B表示事件:甲需要设备,C表示事件,丁需要设备,D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备（Ⅰ）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加,即得所求．（Ⅱ）X的可能取值为0,1,2,3,4,分别求出PX i,再利用数学期望公式计算即可．【解答】解:由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）=0.31．（Ⅱ）X的可能取值为0,1,2,3,4P（X=0）=（1﹣0.6）×0.52×（1﹣0.4）=0.06P（X=1）=0.6×0.52×（1﹣0.4）+（1﹣0.6）×0.52×0.4+（1﹣0.6）×2×0.52×（1﹣0.4）=0.25P（X=4）=P（A2•B•C）=0.52×0.6×0.4=0.06,P（X=3）=P（D）﹣P（X=4）=0.25,P（X=2）=1﹣P（X=0）﹣P（X=1）﹣P（X=3）﹣P（X=4）=1﹣0.06﹣0.25﹣0.25﹣0.06=0.38．故数学期望EX=0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2【点评】本题主要考查了独立事件的概率和数学期望,关键是找到独立的事件,计算要有耐心,属于难题．21．（12分）（2014•大纲版）已知抛物线C:y2=2px（p＞0）的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程．【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0,4）,把点Q的坐标代入抛物线C的方程,求得x0=,根据|QF|=|PQ|求得p的值,可得C的方程．（Ⅱ）设l的方程为x=my+1 （m≠0）,代入抛物线方程化简,利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简,利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB,故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|,由此求得m的值,可得直线l的方程．【解答】解:（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0,4）,把点Q的坐标代入抛物线C:y2=2px （p＞0）,可得x0=,∵点P（0,4）,∴|PQ|=．又|QF|=x0+=+,|QF|=|PQ|,∴+=×,求得p=2,或p=﹣2（舍去）．故C的方程为y2=4x．（Ⅱ）由题意可得,直线l和坐标轴不垂直,y2=4x的焦点F（1,0）,设l的方程为x=my+1（m≠0）,代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0,显然判别式△=16m2+16＞0,y1+y2=4m,y1•y2=﹣4．∴AB的中点坐标为D（2m2+1,2m）,弦长|AB|=|y1﹣y2|==4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m,∴直线l′的方程为x=﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点,把线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）=0,∴y3+y4=,y3•y4=﹣4（2m2+3）．故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3,）,∴|MN|=|y3﹣y4|=,∵MN垂直平分线段AB,故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|,∴+DE2=MN2,∴4（m2+1）2 ++=×,化简可得m2﹣1=0,∴m=±1,∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0,或x+y﹣1=0．【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理、弦长公式的应用,体现了转化的数学思想,属于难题．22．（12分）（2014•大纲版）函数f（x）=ln（x+1）﹣（a＞1）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a1=1,a n+1=ln（a n+1）,证明:＜a n≤．【分析】（Ⅰ）求函数的导数,通过讨论a的取值范围,即可得到f（x）的单调性；（Ⅱ）利用数学归纳法即可证明不等式．【解答】解:（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1,+∞）,f′（x）=,①当1＜a＜2时,若x∈（﹣1,a2﹣2a）,则f′（x）＞0,此时函数f（x）在（﹣1,a2﹣2a）上是增函数,若x∈（a2﹣2a,0）,则f′（x）＜0,此时函数f（x）在（a2﹣2a,0）上是减函数,若x∈（0,+∞）,则f′（x）＞0,此时函数f（x）在（0,+∞）上是增函数．②当a=2时,f′（x）≥0,此时函数f（x）在（﹣1,+∞）上是增函数,③当a＞2时,若x∈（﹣1,0）,则f′（x）＞0,此时函数f（x）在（﹣1,0）上是增函数,若x∈（0,a2﹣2a）,则f′（x）＜0,此时函数f（x）在（0,a2﹣2a）上是减函数,若x∈（a2﹣2a,+∞）,则f′（x）＞0,此时函数f（x）在（a2﹣2a,+∞）上是增函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）知,当a=2时,此时函数f（x）在（﹣1,+∞）上是增函数,当x∈（0,+∞）时,f（x）＞f（0）=0,即ln（x+1）＞,（x＞0）,又由（Ⅰ）知,当a=3时,f（x）在（0,3）上是减函数,当x∈（0,3）时,f（x）＜f（0）=0,ln（x+1）＜,下面用数学归纳法进行证明＜a n≤成立,①当n=1时,由已知,故结论成立．②假设当n=k时结论成立,即,=ln（a n+1）＞ln（）,则当n=k+1时,a n+1a n+1=ln（a n+1）＜ln（）,即当n=k+1时,成立,综上由①②可知,对任何n∈N•结论都成立．【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系,以及利用数学归纳法证明不等式,综合性较强,难度较大．参与本试卷答题和审题的老师有:sxs123；lincy；caoqz；danbo7801；刘长柏；maths；沂蒙松；whgcn；liu老师（排名不分先后）菁优网2017年3月24日。
2014年高考理科数学大纲卷
-------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- --------姓名准考证号x 2 y 2 3绝密★启用前在6. 已知椭圆C ： a 2 + b 2 = 1 (a ＞b ＞0) 的左、右焦点为 F 1 、 F 2 ,离心率为 3,过 F 2 的直2014 年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷）数学（理科）此本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150 分,考试时间120 分钟.线l 交C 于 A 、 B 两点.若△AF 1B 的周长为4,则C 的方程为()第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）卷一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.10i7. 曲线 y = x ex -1在点(1,1) 处切线的斜率等于()A . 2eB . eC .2D .18. 正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为 4,底面边长为 2,则该球的表面积为( )1. 设 z =上3 + i,则 z 的共轭复数为( )9.已知双曲线 C 的离心率为 2, 焦点为 F 1 、 F 2 , 点 A 在 C 上. 若| F 1 A |= 2 | F 2 A | , 则 cos ∠AF 2 F 1 =( )2.设集合 M ={x | x 2 - 3x - 4＜0} , N ={x | 0≤x ≤5},则 M 答( )10.等比数列{a n } 中, a 4 = 2 , a 5 = 5 ,则数列{lg a n } 的前 8 项和等于 ()A .6B .5C .4D .33.设a = sin 33, b = cos55, c = tan 35 ,则 ( )题11.已知二面角α - l - β 为60, AB ⊂ α , AB ⊥ l , A 为垂足,CD ⊂ β ,C ∈l ,∠ACD =135 , 则异面直线 AB 与CD 所成角的余弦值为( )4.若向量a 、b 满足：| a |= 1 , (a + b )⊥a , (2a + b )⊥b ,则| b | =()无12.函数 y = f (x ) 的图象与函数 y = g (x ) 的图象关于直线 x + y = 0 对称,则 y = f (x ) 的反函数是 ()5.有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有 ()A .60 种B .70 种C .75 种D .150 种效数学试卷 第 1 页（共 4 页）数学试卷 第 2 页（共 4 页）N = 3 A . -1+ 3i B . -1- 3i C .1+ 3iD .1- 3iA . (0, 4]B .[0, 4)C .[-1,0)D . (-1,0]A . a ＞b ＞cB . b ＞c ＞aC . c ＞b ＞aD . c ＞a ＞bA .2B . 2C .1D . 2 2x 2 y 2A . + = 13 2 x 22B . + y = 1 3 x 2 y 2C . + = 1 12 8x 2 y 2D . + = 1 12 4A .81π 4B .16πC . 9πD . 27π4A . 1 4B . 1 3C . 2 4D . 2 3A . 1 4B . 2 4C . 3 4D . 12A . y = g (x )B . y = g (-x )C . y = -g (x )D . y = -g (-x )yx3⎩n n n1 2 1 2 1 2 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分.共 20 分,把答案填写在题中的横线上.19.（本小题满分 12 分）如图,三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中,点 A 1 在平面 ABC 内的 射 影 D 在 AC 上 , ∠ACB = 90 , BC =1 , 13. ( x -y)8 的展开式中 x 2 y 2 的系数为 .（用数字作答）AC = CC 1 = 2 .⎧ x - y ≥0, ⎪（Ⅰ）证明： AC 1⊥A 1B ； （Ⅱ）设直线 AA 与平面 BCC B 的距离为,求二面角14. 设 x 、 y 满足约束条件⎨ x + 2 y ≤3 , 则 z = x + 4y 的最大值为.⎪x - 2 y ≤1, 15.直线l 和l 是圆 x 2 + y 2 = 2 的两条切线.若l 与l 的交点为(1, 3),则l 与l 的夹角的正切值等于.16.若函数 f (x ) = cos 2x + a sin x 在区间( π , π) 是减函数,则a 的取值范围是.6 2三、解答题：本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 10 分）△ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知3a cos C = 2c cos A , tan A = 1,3求 B .11 1A 1 - AB -C 的大小.20.（本小题满分 12 分）设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为0.6 、0.5 、0.5 、0.4 ,各人是否需使用设备相互独立.（Ⅰ）求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率；（Ⅱ） X 表示同一工作日需使用设备的人数,求 X 的数学期望.21.（本小题满分 12 分）已知抛物线C ： y 2 = 2 px ( p ＞0) 的焦点为 F ,直线 y = 4 与 y 轴的交点为 P ,与C 的5交点为Q ,且| QF | =（Ⅰ）求C 的方程；| PQ | .418.（本小题满分 12 分）等差数列{a n } 的前n 项和为 S n .已知a 1 = 10 , a 2 为整数,且 S n ≤S 4 . （Ⅰ）求{a n } 的通项公式；（Ⅱ）过 F 的直线l 与C 相交于 A 、 B 两点,若 AB 的垂直平分线l ' 与C 相交于 M 、 N 两点,且 A 、 M 、 B 、 N 四点在同一圆上,求l 的方程.（Ⅱ）设b = 1,求数列{b } 的前n 项和T .a n a n +122.（本小题满分 12 分） 函数 f (x ) = ln(x +1) -axx + a(a ＞1) .（Ⅰ）讨论 f (x ) 的单调性；（Ⅱ）设a = 1 , a = ln(a +1) ,证明： 2 ＜a ≤3. 1 n +1 nn +2n n + 2数学试卷 第 3 页（共 4 页）数学试卷 第 4 页（共 4 页）。
2014年全国统一高考数学试卷高考理科数学大纲版试卷及参考答案与试题解析
2014年全国统一高考数学试卷高考理科数学大纲版试卷及参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分)1.(5分)设z ＝,则z 的共轭复数为( ) A.－1＋3i B.－1－3i C.1＋3i D.1－3i2.(5分)设集合M ＝{x|x 2－3x －4＜0},N ＝{x|0≤x ≤5},则M ∩N ＝( ) A.(0,4] B.[0,4) C.[－1,0) D.(－1,0]3.(5分)设a ＝sin33°,b ＝cos55°,c ＝tan35°,则( ) A.a ＞b ＞c B.b ＞c ＞a C.c ＞b ＞a D.c ＞a ＞b4.(5分)若向量、满足：||＝1,(＋)⊥,(2＋)⊥,则||＝( )A.2B.C.1D.5.(5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( ) A.60种 B.70种 C.75种 D.150种6.(5分)已知椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1、F 2,离心率为,过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点,若△AF 1B 的周长为4,则C 的方程为( )A.＋＝1B.＋y 2＝1C.＋＝1D.＋＝17.(5分)曲线y ＝xe x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( ) A.2e B.e C.2 D.18.(5分)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( )A. B.16π C.9π D.9.(5分)已知双曲线C 的离心率为2,焦点为F 1、F 2,点A 在C 上,若|F 1A|＝2|F 2A|,则cos ∠AF 2F 1＝( )A.B.C.D.10.(5分)等比数列{a n }中,a 4＝2,a 5＝5,则数列{lga n }的前8项和等于( ) A.6 B.5 C.4 D.311.(5分)已知二面角α－l －β为60°,AB ⊂α,AB ⊥l,A 为垂足,CD ⊂β,C ∈l,∠ACD ＝135°,则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为( )A.B.C.D.12.(5分)函数y ＝f(x)的图象与函数y ＝g(x)的图象关于直线x ＋y ＝0对称,则y ＝f(x)的反函数是( )A.y ＝g(x)B.y ＝g(－x)C.y ＝－g(x)D.y ＝－g(－x)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)13.(5分)的展开式中x2y2的系数为.(用数字作答)14.(5分)设x、y满足约束条件,则z＝x＋4y的最大值为.15.(5分)直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线,若l1与l2的交点为(1,3),则l1与l2的夹角的正切值等于.16.(5分)若函数f(x)＝cos2x＋asinx在区间(,)是减函数,则a的取值范围是.三、解答题17.(10分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acosC＝2ccosA,tanA＝,求B.18.(12分)等差数列{an }的前n项和为Sn,已知a1＝13,a2为整数,且Sn≤S4.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn ＝,求数列{bn}的前n项和Tn.19.(12分)如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC上,∠ACB＝90°,BC＝1,AC＝CC1＝2.(Ⅰ)证明：AC1⊥A1B；(Ⅱ)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为,求二面角A1－AB－C的大小.20.(12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立.(Ⅰ)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(Ⅱ)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.21.(12分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F,直线y＝4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|＝|PQ|.(Ⅰ)求C的方程；(Ⅱ)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.22.(12分)函数f(x)＝ln(x＋1)－(a＞1). (Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)设a1＝1,an＋1＝ln(an＋1),证明：＜an≤(n∈N*).2014年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,每小题5分)1.(5分)设z＝,则z的共轭复数为( )A.－1＋3iB.－1－3iC.1＋3iD.1－3i【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简,则z的共轭可求.【解答】解：∵z＝＝,∴.故选：D.【点评】本题考查复数代数形式的除法运算,考查了复数的基本概念,是基础题.2.(5分)设集合M＝{x|x2－3x－4＜0},N＝{x|0≤x≤5},则M∩N＝( )A.(0,4]B.[0,4)C.[－1,0)D.(－1,0]【分析】求解一元二次不等式化简集合M,然后直接利用交集运算求解.【解答】解：由x2－3x－4＜0,得－1＜x＜4.∴M＝{x|x2－3x－4＜0}＝{x|－1＜x＜4},又N＝{x|0≤x≤5},∴M∩N＝{x|－1＜x＜4}∩{x|0≤x≤5}＝[0,4).故选：B.【点评】本题考查了交集及其运算,考查了一元二次不等式的解法,是基础题.3.(5分)设a＝sin33°,b＝cos55°,c＝tan35°,则( )A.a＞b＞cB.b＞c＞aC.c＞b＞aD.c＞a＞b【分析】可得b＝sin35°,易得b＞a,c＝tan35°＝＞sin35°,综合可得.【解答】解：由诱导公式可得b＝cos55°＝cos(90°－35°)＝sin35°,由正弦函数的单调性可知b＞a,而c＝tan35°＝＞sin35°＝b,∴c＞b＞a故选：C.【点评】本题考查三角函数值大小的比较,涉及诱导公式和三角函数的单调性,属基础题.4.(5分)若向量、满足：||＝1,(＋)⊥,(2＋)⊥,则||＝( )A.2B.C.1D.【分析】由条件利用两个向量垂直的性质,可得(＋)•＝0,(2＋)•＝0,由此求得||.【解答】解：由题意可得,(＋)•＝＋＝1＋＝0,∴＝－1；(2＋)•＝2＋＝－2＋＝0,∴b2＝2,则||＝,故选：B.【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质,两个向量垂直,则它们的数量积等于零,属于基础题.5.(5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( )A.60种B.70种C.75种D.150种【分析】根据题意,分2步分析,先从6名男医生中选2人,再从5名女医生中选出1人,由组合数公式依次求出每一步的情况数目,由分步计数原理计算可得答案.【解答】解：根据题意,先从6名男医生中选2人,有C62＝15种选法,再从5名女医生中选出1人,有C51＝5种选法,则不同的选法共有15×5＝75种；故选：C.【点评】本题考查分步计数原理的应用,注意区分排列、组合的不同.6.(5分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点,若△AF1B的周长为4,则C的方程为( )A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋＝1【分析】利用△AF1B的周长为4,求出a＝,根据离心率为,可得c＝1,求出b,即可得出椭圆的方程.【解答】解：∵△AF1B的周长为4,∵△AF1B的周长＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a,∴4a＝4,∴a＝,∵离心率为,∴,c＝1,∴b ＝＝,∴椭圆C 的方程为＋＝1.故选：A.【点评】本题考查椭圆的定义与方程,考查椭圆的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题.7.(5分)曲线y ＝xe x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( ) A.2e B.e C.2 D.1【分析】求函数的导数,利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率. 【解答】解：函数的导数为f′(x)＝e x －1＋xe x －1＝(1＋x)e x －1, 当x ＝1时,f′(1)＝2,即曲线y ＝xe x －1在点(1,1)处切线的斜率k ＝f′(1)＝2, 故选：C.【点评】本题主要考查导数的几何意义,直接求函数的导数是解决本题的关键,比较基础.8.(5分)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( )A. B.16π C.9π D.【分析】正四棱锥P －ABCD 的外接球的球心在它的高PO 1上,记为O,求出PO 1,OO 1,解出球的半径,求出球的表面积.【解答】解：设球的半径为R,则 ∵棱锥的高为4,底面边长为2, ∴R 2＝(4－R)2＋()2,∴R ＝,∴球的表面积为4π•()2＝.故选：A.【点评】本题考查球的表面积,球的内接几何体问题,考查计算能力,是基础题.9.(5分)已知双曲线C 的离心率为2,焦点为F 1、F 2,点A 在C 上,若|F 1A|＝2|F 2A|,则cos ∠AF 2F 1＝( )A. B. C. D.【分析】根据双曲线的定义,以及余弦定理建立方程关系即可得到结论. 【解答】解：∵双曲线C的离心率为2,∴e＝,即c＝2a,点A在双曲线上,则|F1A|－|F2A|＝2a,又|F1A|＝2|F2A|,∴解得|F1A|＝4a,|F2A|＝2a,||F1F2|＝2c,则由余弦定理得cos∠AF2F1＝＝＝.故选：A.【点评】本题主要考查双曲线的定义和运算,利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键,考查学生的计算能力.10.(5分)等比数列{an }中,a4＝2,a5＝5,则数列{lgan}的前8项和等于( )A.6B.5C.4D.3【分析】利用等比数列的性质可得a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝10.再利用对数的运算性质即可得出.【解答】解：∵数列{an }是等比数列,a4＝2,a5＝5,∴a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝10.∴lga1＋lga2＋…＋lga8＝lg(a1a2•…•a8)＝4lg10＝4.故选：C.【点评】本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质,属于基础题.11.(5分)已知二面角α－l－β为60°,AB⊂α,AB⊥l,A为垂足,CD⊂β,C∈l,∠ACD＝135°,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为( )A. B. C. D.【分析】首先作出二面角的平面角,然后再构造出异面直线AB与CD所成角,利用解直角三角形和余弦定理,求出问题的答案.【解答】解：如图,过A点做AE⊥l,使BE⊥β,垂足为E,过点A做AF∥CD,过点E做EF⊥AE,连接BF,∵AE⊥l∴∠EAC＝90°∵CD∥AF又∠ACD＝135°∴∠FAC＝45°∴∠EAF＝45°在Rt△BEA中,设AE＝a,则AB＝2a,BE＝a,在Rt△AEF中,则EF＝a,AF＝a,在Rt△BEF中,则BF＝2a,∴异面直线AB与CD所成的角即是∠BAF,∴cos∠BAF＝＝＝.故选：B.【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角,关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角,考查了学生的空间想象能力和作图能力,属于难题.12.(5分)函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象关于直线x＋y＝0对称,则y＝f(x)的反函数是( )A.y＝g(x)B.y＝g(－x)C.y＝－g(x)D.y＝－g(－x)【分析】设P(x,y)为y＝f(x)的反函数图象上的任意一点,则P关于y＝x的对称点P′(y,x)一点在y＝f(x)的图象上,P′(y,x)关于直线x＋y＝0的对称点P″(－x,－y)在y＝g(x)图象上,代入解析式变形可得.【解答】解：设P(x,y)为y＝f(x)的反函数图象上的任意一点,则P关于y＝x的对称点P′(y,x)一点在y＝f(x)的图象上,又∵函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象关于直线x＋y＝0对称,∴P′(y,x)关于直线x＋y＝0的对称点P″(－x,－y)在y＝g(x)图象上,∴必有－y＝g(－x),即y＝－g(－x)∴y＝f(x)的反函数为：y＝－g(－x)故选：D.【点评】本题考查反函数的性质和对称性,属中档题.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)13.(5分)的展开式中x2y2的系数为70 .(用数字作答)【分析】先求出二项式展开式的通项公式,再令x、y的幂指数都等于2,求得r的值,即可求得展开式中x2y2的系数.【解答】解：的展开式的通项公式为 Tr＋1＝•(－1)r••＝•(－1)r••,令 8－＝－4＝2,求得 r＝4,故展开式中x2y2的系数为＝70,故答案为：70.【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题.14.(5分)设x、y满足约束条件,则z＝x＋4y的最大值为 5 .【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,由图得到最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数得答案.【解答】解：由约束条件作出可行域如图,联立,解得C(1,1).化目标函数z＝x＋4y为直线方程的斜截式,得.由图可知,当直线过C点时,直线在y轴上的截距最大,z最大.此时zmax＝1＋4×1＝5.故答案为：5.【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.15.(5分)直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线,若l1与l2的交点为(1,3),则l1与l2的夹角的正切值等于.【分析】设l1与l2的夹角为2θ,由于l1与l2的交点A(1,3)在圆的外部,由直角三角形中的边角关系求得sinθ＝的值,可得cosθ、tanθ 的值,再根据tan2θ＝,计算求得结果.【解答】解：设l1与l2的夹角为2θ,由于l1与l2的交点A(1,3)在圆的外部,且点A与圆心O之间的距离为OA＝＝,圆的半径为r＝,∴sinθ＝＝,∴cosθ＝,tanθ＝＝,∴tan2θ＝＝＝,故答案为：.【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质,直角三角形中的变角关系,同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用,属于中档题.16.(5分)若函数f(x)＝cos2x＋asinx在区间(,)是减函数,则a的取值范围是(－∞,2] .【分析】利用二倍角的余弦公式化为正弦,然后令t＝sinx换元,根据给出的x的范围求出t 的范围,结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围.【解答】解：由f(x)＝cos2x＋asinx＝－2sin2x＋asinx＋1,令t＝sinx,则原函数化为y＝－2t2＋at＋1.∵x∈(,)时f(x)为减函数,则y＝－2t2＋at＋1在t∈(,1)上为减函数,∵y＝－2t2＋at＋1的图象开口向下,且对称轴方程为t＝.∴,解得：a≤2.∴a的取值范围是(－∞,2].故答案为：(－∞,2].【点评】本题考查复合函数的单调性,考查了换元法,关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置,是中档题.三、解答题17.(10分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acosC＝2ccosA,tanA＝,求B.【分析】由3acosC＝2ccosA,利用正弦定理可得3sinAcosC＝2sinCcosA,再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC,利用tanB＝tan[π－(A＋C)]＝－tan(A＋C)即可得出.【解答】解：∵3acosC＝2ccosA,由正弦定理可得3sinAcosC＝2sinCcosA,∴3tanA＝2tanC,∵tanA＝,∴2tanC＝3×＝1,解得tanC＝.∴tanB＝tan[π－(A＋C)]＝－tan(A＋C)＝－＝－＝－1,∵B∈(0,π),∴B＝【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于中档题.18.(12分)等差数列{an }的前n项和为Sn,已知a1＝13,a2为整数,且Sn≤S4.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn ＝,求数列{bn}的前n项和Tn.【分析】(1)通过Sn ≤S4得a4≥0,a5≤0,利用a1＝13、a2为整数可得d＝－4,进而可得结论；(2)通过an ＝13－3n,分离分母可得bn＝(－),并项相加即可.【解答】解：(1)在等差数列{an }中,由Sn≤S4得：a 4≥0,a5≤0,又∵a1＝13,∴,解得－≤d≤－,∵a2为整数,∴d＝－4,∴{an }的通项为：an＝17－4n；(2)∵an＝17－4n,∴bn＝＝＝－(－),于是Tn ＝b1＋b2＋……＋bn＝－[(－)＋(－)＋……＋(－)]＝－(－)＝.【点评】本题考查求数列的通项及求和,考查并项相加法,注意解题方法的积累,属于中档题.19.(12分)如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC上,∠ACB＝90°,BC＝1,AC＝CC1＝2.(Ⅰ)证明：AC1⊥A1B；(Ⅱ)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为,求二面角A1－AB－C的大小.【分析】(Ⅰ)由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；(Ⅱ)作辅助线可证∠A1FD为二面角A1－AB－C的平面角,解三角形由反三角函数可得.【解答】解：(Ⅰ)∵A1D⊥平面ABC,A1D⊂平面AA1C1C,∴平面AA1C1C⊥平面ABC,又BC⊥AC∴BC⊥平面AA1C1C,连结A1C,由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C,又AC1⊥BC,A1C∩BC＝C,∴AC1⊥平面A1BC,AB1⊂平面A1BC,∴AC1⊥A1B；(Ⅱ)∵BC⊥平面AA1C1C,BC⊂平面BCC1B1,∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1,作A1E⊥CC1,E为垂足,可得A1E⊥平面BCC1B1,又直线AA1∥平面BCC1B1,∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离,即A1E＝,∵A1C为∠ACC1的平分线,∴A1D＝A1E＝,作DF⊥AB,F为垂足,连结A1F,又可得AB⊥A1D,A1F∩A1D＝A1,∴AB⊥平面A1DF,∵A1F⊂平面A1DF∴A1F⊥AB,∴∠A1FD为二面角A1－AB－C的平面角,由AD＝＝1可知D为AC中点,∴DF＝＝,∴tan∠AFD＝＝,1－AB－C的大小为arctan∴二面角A1【点评】本题考查二面角的求解,作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键,属中档题.20.(12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立.(Ⅰ)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(Ⅱ)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备,i＝0,1,2,B表示事件：甲需要设备,C 【分析】记Ai表示事件,丁需要设备,D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备(Ⅰ)把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加,即得所求.,再利用数学期望公式计算即可.(Ⅱ)X的可能取值为0,1,2,3,4,分别求出PXi【解答】解：由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4＋(1－0.6)×0.5×0.5×0.4＋0.6×(1－0.5)×0.5×0.4＋0.6×0.5×(1－0.5)×0.4＋0.6×0.5×0.5×(1－0.4)＝0.31.(Ⅱ)X的可能取值为0,1,2,3,4P(X＝0)＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06P(X＝1)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25•B•C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06,P(X＝4)＝P(A2P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25,P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38. 故数学期望EX＝0×0.06＋1×0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2【点评】本题主要考查了独立事件的概率和数学期望,关键是找到独立的事件,计算要有耐心,属于难题.21.(12分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F,直线y＝4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|＝|PQ|.(Ⅰ)求C的方程；(Ⅱ)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.【分析】(Ⅰ)设点Q的坐标为(x0,4),把点Q的坐标代入抛物线C的方程,求得x＝,根据|QF|＝|PQ|求得 p的值,可得C的方程.(Ⅱ)设l的方程为 x＝my＋1 (m≠0),代入抛物线方程化简,利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|.把直线l′的方程代入抛物线方程化简,利用韦达定理、弦长公式求得|MN|.由于MN垂直平分线段AB,故AMBN四点共圆等价于|AE|＝|BE|＝|MN|,由此求得m的值,可得直线l的方程.【解答】解：(Ⅰ)设点Q的坐标为(x,4),把点Q的坐标代入抛物线C：y2＝2px(p＞0),可得x＝,∵点P(0,4),∴|PQ|＝.又|QF|＝x＋＝＋,|QF|＝|PQ|,∴＋＝×,求得 p＝2,或 p＝－2(舍去).故C的方程为 y2＝4x.(Ⅱ)由题意可得,直线l和坐标轴不垂直,y2＝4x的焦点F(1,0),设l的方程为 x＝my＋1(m≠0),代入抛物线方程可得y2－4my－4＝0,显然判别式△＝16m2＋16＞0,y1＋y2＝4m,y1•y2＝－4.∴AB的中点坐标为D(2m2＋1,2m),弦长|AB|＝|y1－y2|＝＝4(m2＋1).又直线l′的斜率为－m,∴直线l′的方程为 x＝－y＋2m2＋3.过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点,把线l′的方程代入抛物线方程可得 y2＋y－4(2m2＋3)＝0,∴y3＋y4＝,y3•y4＝－4(2m2＋3).故线段MN的中点E的坐标为(＋2m2＋3,),∴|MN|＝|y3－y4|＝,∵MN垂直平分线段AB,故AMBN四点共圆等价于|AE|＝|BE|＝|MN|,∴＋DE2＝MN2,∴4(m2＋1)2 ＋＋＝×,化简可得 m2－1＝0,∴m＝±1,∴直线l的方程为 x－y－1＝0,或 x＋y－1＝0.【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理、弦长公式的应用,体现了转化的数学思想,属于难题.22.(12分)函数f(x)＝ln(x＋1)－(a＞1).(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)设a1＝1,an＋1＝ln(an＋1),证明：＜an≤(n∈N*).【分析】(Ⅰ)求函数的导数,通过讨论a的取值范围,即可得到f(x)的单调性；(Ⅱ)利用数学归纳法即可证明不等式.【解答】解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(－1,＋∞),f′(x)＝,①当1＜a＜2时,若x∈(－1,a2－2a),则f′(x)＞0,此时函数f(x)在(－1,a2－2a)上是增函数,若x∈(a2－2a,0),则f′(x)＜0,此时函数f(x)在(a2－2a,0)上是减函数,若x∈(0,＋∞),则f′(x)＞0,此时函数f(x)在(0,＋∞)上是增函数.②当a＝2时,f′(x)≥0,此时函数f(x)在(－1,＋∞)上是增函数,③当a＞2时,若x∈(－1,0),则f′(x)＞0,此时函数f(x)在(－1,0)上是增函数,若x∈(0,a2－2a),则f′(x)＜0,此时函数f(x)在(0,a2－2a)上是减函数,若x∈(a2－2a,＋∞),则f′(x)＞0,此时函数f(x)在(a2－2a,＋∞)上是增函数.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a＝2时,此时函数f(x)在(－1,＋∞)上是增函数,当x∈(0,＋∞)时,f(x)＞f(0)＝0,即ln(x＋1)＞,(x＞0),又由(Ⅰ)知,当a＝3时,f(x)在(0,3)上是减函数,当x∈(0,3)时,f(x)＜f(0)＝0,ln(x＋1)＜,下面用数学归纳法进行证明＜an≤成立,①当n＝1时,由已知,故结论成立.②假设当n＝k时结论成立,即,则当n＝k＋1时,an＋1＝ln(an＋1)＞ln(),ak＋1＝ln(ak＋1)＜ln(),即当n＝k＋1时,成立,综上由①②可知,对任何n∈N•结论都成立.【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系,以及利用数学归纳法证明不等式,综合性较强,难度较大.。
2014年高考真题(理科数学)全国卷 纯Word版解析可编辑
2014·全国卷(理科数学)1．[2014·全国卷] 设z ＝10i3＋i，则z 的共轭复数为( )A ．－1＋3iB ．－1－3iC ．1＋3iD ．1－3i 1．D [解析] z ＝10i 3＋i ＝10i （3－i ）（3＋i ）（3－i ）＝10（1＋3i ）10＝1＋3i ，根据共轭复数的定义，其共轭复数是1－3i.2．、[2014·全国卷] 设集合M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N ＝( ) A ．(0，4] B ．[0，4) C ．[－1，0) D ．(－1，0]2．B [解析] 因为M ＝{x |x 2－3x －4<0}＝{x |－1<x <4}，N ＝{x |0≤x ≤5}，所以M ∩N ＝{x |－1<x <4}∩{0≤x ≤5}＝{x |0≤x <4}．3．[2014·全国卷] 设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b3．C [解析] 因为b ＝cos 55°＝sin 35°>sin 33°，所以b ＞a .因为cos 35°<1，所以1cos 35°>1，所以sin 35°cos 35°>sin 35°.又c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°>sin 35°，所以c >b ，所以c >b >a .4．[2014·全国卷] 若向量a ，b 满足：|a|＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( ) A ．2 B. 2 C ．1 D.224．B [解析] 因为(a ＋b )⊥a ，所以(a ＋b )·a ＝0，即|a|2＋b·a ＝0.因为(2a ＋b )⊥b ，所以(2a ＋b )·b ＝0，即2a·b ＋|b|2＝0，与|a|2＋b·a ＝0联立，可得2|a|2－|b|2＝0，所以|b|＝2|a|＝ 2. 5．[2014·全国卷] 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种5．C [解析] 由题意，从6名男医生中选2名，5名女医生中选1名组成一个医疗小组，不同的选法共有C 26C 15＝75(种)．6．[2014·全国卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 6．A [解析] 根据题意，因为△AF 1B 的周长为43，所以|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝43，所以a ＝ 3.又因为椭圆的离心率e ＝c a ＝33，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3－1＝2，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.7．[2014·全国卷] 曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处切线的斜率等于( ) A ．2e B ．e C ．2 D ．17．C [解析] 因为y ′＝(x e x －1)′＝e x －1＋x e x －1，所以y ＝x e x －1在点(1，1)处的导数是y ′|x ＝1＝e 1－1＋e 1－1＝2，故曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处的切线斜率是2.8．、[2014·全国卷] 正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π48．A [解析] 如图所示，因为正四棱锥的底面边长为2，所以AE ＝12AC ＝ 2.设球心为O ，球的半径为R ，则OE ＝4－R ，OA ＝R ，又知△AOE 为直角三角形，根据勾股定理可得，OA 2＝OE 2＋AE 2，即R 2＝(4－R )2＋2，解得R ＝94，所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫942＝81π4. 9．[2014·全国卷] 已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )A.14B.13C.24D.239．A [解析] 根据题意，|F 1A |－|F 2A |＝2a ，因为|F 1A |＝2|F 2A |，所以|F 2A |＝2a ，|F 1A |＝4a .又因为双曲线的离心率e ＝ca ＝2，所以c ＝2a ，|F 1F 2|＝2c ＝4a ，所以在△AF 1F 2中，根据余弦定理可得cos ∠AF 2F 1＝|F 1F 2|2＋|F 2A |2－|F 1A |22|F 1F 2|·|F 2A |＝16a 2＋4a 2－16a 22×4a ×2a＝14. 10．[2014·全国卷] 等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )A ．6B ．5C ．4D ．310．C [解析] 设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，根据题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2，a 1q 4＝5，解得⎩⎨⎧a 1＝16125，q ＝52，所以a n ＝a 1qn －1＝16125×⎝⎛⎭⎫52n －1＝2×⎝⎛⎭⎫52n －4，所以lg a n ＝lg 2＋(n －4)lg 52，所以前8项的和为8lg 2＋(－3－2－1＋0＋1＋2＋3＋4)lg 52＝8lg 2＋4lg 52＝4lg ⎝⎛⎭⎫4×52＝4. 11．[2014·全国卷] 已知二面角α-l -β为60°，AB ⊂α，AB ⊥l ，A 为垂足，CD ⊂β，C ∈l ，∠ACD ＝135°，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为( )A.14B.24C.34D.1211．B [解析] 如图所示，在平面α内过点C 作CF ∥AB ，过点F 作FE ⊥β，垂足为点E ，连接CE ，则CE ⊥l ，所以∠ECF ＝60°.过点E 作DE ⊥CE ，交CD 于点D 1，连接FD 1.不妨设FC ＝2a ，则CE ＝a ，EF ＝3a .因为∠ACD ＝135°，所以∠DCE ＝45°，所以，在Rt △DCE 中，D 1E ＝CE ＝a ，CD 1＝2a ，∴FD 1＝2a ，∴cos ∠DCF ＝4a 2＋2a 2－4a 22×2a ×2a＝24.12．[2014·全国卷] 函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝g (x )的图像关于直线x ＋y ＝0对称，则y ＝f (x )的反函数是( )A ．y ＝g (x )B ．y ＝g (－x )C ．y ＝－g (x )D ．y ＝－g (－x )12．D [解析] 设(x 0，y 0)为函数y ＝f (x )的图像上任意一点，其关于直线x ＋y ＝0的对称点为(－y 0，－x 0)．根据题意，点(－y 0，－x 0)在函数y ＝g (x )的图像上，又点(x 0，y 0)关于直线y ＝x 的对称点为(y 0，x 0)，且(y 0，x 0)与(－y 0，－x 0)关于原点对称，所以函数y ＝f (x )的反函数的图像与函数y ＝g (x )的图像关于原点对称，所以－y ＝g (－x )，即y ＝－g (－x )．13．[2014·全国卷] ⎝⎛⎭⎫x y －y x 8的展开式中x 2y 2的系数为________．(用数字作答) 13．70 [解析] 易知二项展开式的通项T r ＋1＝C r 8⎝⎛⎭⎫x y 8－r ⎝⎛⎭⎫－y x r＝(－1)r C r 8x 8－3r 2y 3r 2－4.要求x 2y 2的系数，需满足8－3r 2＝2且3r 2－4＝2，解得r ＝4，所以T 5＝(－1)4C 48x 2y 2＝70x 2y 2，所以x 2y 2的系数为70.14．[2014·全国卷] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤3，x －2y ≤1，则z ＝x ＋4y 的最大值为________．14．5 [解析] 如图所示，满足约束条件的可行域为△ABC 的内部(包括边界), z ＝x ＋4y 的最大值即为直线y ＝－14x ＋14z 的纵截距最大时z 的值．结合题意，当y ＝－14x ＋14z 经过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋2y ＝3，可得点A 的坐标为(1，1)， 所以z max ＝1＋4＝5. 15．、[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．15.43 [解析] 如图所示，根据题意，OA ⊥P A ，OA ＝2，OP ＝10，所以P A ＝OP 2－OA 2＝2 2，所以tan ∠OP A ＝OA P A ＝22 2＝12，故tan ∠APB ＝2tan ∠OP A 1－tan 2∠OP A ＝43， 即l 1与l 2的夹角的正切值等于43.16．、[2014·全国卷] 若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．16．(－∞，2] [解析] f (x )＝cos 2x ＋a sin x ＝－2sin 2x ＋a sin x ＋1，令sin x ＝t ，则f (x )＝－2t 2＋at ＋1.因为x ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，所以t ∈⎝⎛⎭⎫12，1，所以f (x )＝－2t 2＋at ＋1，t ∈⎝⎛⎭⎫12，1.因为f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2是减函数，所以f (x )＝－2t 2＋at ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，1上是减函数，又对称轴为x ＝a 4，∴a 4≤12，所以a ∈(－∞，2]．17．[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .17．解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ， 故3tan A cos C ＝2sin C .因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ，所以tan C ＝12.所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1，所以B ＝135°. 18．、[2014·全国卷] 等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .18．解：(1)由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数． 又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0， 于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0， 解得－103≤d ≤－52，因此d ＝－3.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n . (2)b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13⎝⎛⎭⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13⎝⎛⎭⎫17－110＋⎝⎛⎭⎫14－17＋…＋⎝⎛⎭⎫110－3n －113－3n ＝13⎝⎛⎭⎫110－3n －110＝n 10（10－3n ）.19．、[2014·全国卷] 如图1-1所示，三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝CC 1＝2.(1)证明：AC 1⊥A 1B;(2)设直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离为3，求二面角A 1 AB C 的大小．19．解：方法一：(1)证明：因为A 1D ⊥平面ABC ，A 1D ⊂平面AA 1C 1C ，故平面AA 1C 1C ⊥平面ABC .又BC ⊥AC ，所以BC ⊥平面AA 1C 1C .连接A 1C ，因为侧面AA 1C 1C 为菱形，故AC 1⊥A 1C . 由三垂线定理得AC 1⊥A 1B .(2)BC ⊥平面AA 1C 1C ，BC ⊂平面BCC 1B 1，故平面AA 1C 1C ⊥平面BCC 1B 1. 作A 1E ⊥CC 1，E 为垂足，则A 1E ⊥平面BCC 1B 1.又直线AA 1∥平面BCC 1B 1，因而A 1E 为直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离，即A 1E ＝ 3.因为A 1C 为∠ACC 1的平分线，所以A 1D ＝A 1E ＝ 3.作DF ⊥AB ，F 为垂足，连接A 1F .由三垂线定理得A 1F ⊥AB ，故∠A 1FD 为二面角A 1 AB C 的平面角．由AD ＝AA 21－A 1D 2＝1，得D 为AC 中点，DF ＝55，tan ∠A 1FD ＝A 1D DF ＝15，所以cos ∠A 1FD ＝14. 所以二面角A 1 AB C 的大小为arccos 14.方法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C - xyz .由题设知A 1D 与z 轴平行，z 轴在平面AA 1C 1C 内．(1)证明：设A 1(a ，0，c )．由题设有a ≤2，A (2，0，0)，B (0，1，0)，则AB →＝(－2，1，0)，AC →＝(－2，0，0)，AA 1→＝(a －2，0，c )，AC 1→＝AC →＋AA 1→＝(a －4，0，c )，BA 1→＝(a ，－1，c )．由|AA 1→|＝2，得（a －2）2＋c 2＝2，即a 2－4a ＋c 2＝0.①又AC 1→·BA 1→＝a 2－4a ＋c 2＝0，所以AC 1⊥A 1B .(2)设平面BCC 1B 1的法向量m ＝(x ，y ，z )，则m ⊥CB →，m ⊥BB 1→，即m ·CB →＝0，m ·BB 1→＝0.因为CB →＝(0，1，0)，BB 1→＝AA 1→＝(a －2，0，c )，所以y ＝0且(a －2)x ＋cz ＝0.令x ＝c ，则z ＝2－a ，所以m ＝(c ，0，2－a )，故点A 到平面BCC 1B 1的距离为|CA →|·|cos 〈m ，CA →〉|＝|CA →·m ||m |＝2c c 2＋（2－a ）2＝c .又依题设，A 到平面BCC 1B 1的距离为3，所以c ＝3，代入①，解得a ＝3(舍去)或a ＝1， 于是AA 1→＝(－1，0，3)．设平面ABA 1的法向量n ＝(p ，q ，r )， 则n ⊥AA 1→，n ⊥AB →，即n ·AA 1→＝0，n ·AB →＝0，－p ＋3r ＝0，且－2p ＋q ＝0.令p ＝3，则q ＝2 3，r ＝1，所以n ＝(3，2 3，1)． 又p ＝(0，0，1)为平面ABC 的法向量，故 cos 〈n ，p 〉＝n ·p |n ||p |＝14.所以二面角A 1 AB C 的大小为arccos 14.20．、[2014·全国卷] 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．20．解：记A 1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0，1，2. B 表示事件：甲需使用设备． C 表示事件：丁需使用设备．D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)因为P (B )＝0.6，P (C )＝0.4，P (A i )＝C i 2×0.52，i ＝0，1，2， 所以P (D )＝P (A 1·B ·C ＋A 2·B ＋A 2·B ·C )＝ P (A 1·B ·C )＋P (A 2·B )＋P (A 2·B ·C )＝P (A 1)P (B )P (C )＋P (A 2)P (B )＋P (A 2)P (B )P (C )＝ 0．31.(2)X 的可能取值为0，1，2，3，4，其分布列为 P (X ＝0)＝P (B ·A 0·C ) ＝P (B )P (A 0)P (C )＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4) ＝0.06，P (X ＝1)＝P (B ·A 0·C ＋B ·A 0·C ＋B ·A 1·C )＝P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )P (A 1)P (C )＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P (X ＝4)＝P (A 2·B ·C )＝P (A 2)P (B )P (C )＝0.52×0.6×0.4＝0.06， P (X ＝3)＝P (D )－P (X ＝4)＝0.25，P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，所以 EX ＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.21．、、[2014·全国卷] 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．21．解：(1)设Q (x 0，4)，代入y 2＝2px ，得x 0＝8p ，所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p.由题设得p 2＋8p ＝54×8p，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2，所以C 的方程为y 2＝4x .(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.故线段的AB 的中点为D (2m 2＋1，2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)． 又直线l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1m y ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4m y －4(2m 2＋3)＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m ，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故线段MN 的中点为E ⎝⎛⎭⎫2m 2＋2m 2＋3，－2m ， |MN |＝1＋1m 2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2＋1m 2. 由于线段MN 垂直平分线段AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |，从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即4(m 2＋1)2＋⎝⎛⎭⎫2m ＋2m 2＋⎝⎛⎭⎫2m 2＋22＝ 4（m 2＋1）2（2m 2＋1）m 4，化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1，故所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0. 22．、[2014·全国卷] 函数f (x )＝ln(x ＋1)－axx ＋a(a >1)． (1)讨论f (x )的单调性；(2)设a 1＝1，a n ＋1＝ln(a n ＋1)，证明：2n ＋2<a n ≤3n ＋2.22．解：(1)易知f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x [x －（a 2－2a ）]（x ＋1）（x ＋a ）2.(i)当1<a <2时，若x ∈(－1，a 2－2a )，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，a 2－2a )是增函数； 若x ∈(a 2－2a ，0)，则f ′(x )<0，所以f (x )在(a 2－2a ，0)是减函数； 若x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)是增函数．(ii)当a ＝2时，若f ′(x )≥0，f ′(x )＝0成立当且仅当x ＝0，所以f (x )在(－1，＋∞)是增函数.(iii)当a >2时，若x ∈(－1，0)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，0)是增函数； 若x ∈(0，a 2－2a )，则f ′(x )<0， 所以f (x )在(0，a 2－2a )是减函数；若x ∈(a 2－2a ，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(a 2－2a ，＋∞)是增函数． (2)由(1)知，当a ＝2时，f (x )在(－1，＋∞)是增函数． 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝0，即ln(x ＋1)>2xx ＋2(x >0)．又由(1)知，当a ＝3时，f (x )在[0，3)是减函数． 当x ∈(0，3)时，f (x )<f (0)＝0，即ln(x ＋1)<3xx ＋3(0<x <3)．下面用数学归纳法证明2n ＋2<a n ≤3n ＋2.(i)当n ＝1时，由已知23<a 1＝1，故结论成立．(ii)假设当n ＝k 时结论成立，即2k ＋2<a k ≤3k ＋2.当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝ln(a k ＋1)>ln ⎝⎛⎭⎫2k ＋2＋1>2×2k ＋22k ＋2＋2＝2k ＋3，a k ＋1＝ln(a k ＋1)≤ln ⎝⎛⎭⎫3k ＋2＋1<3×3k ＋23k ＋2＋3＝3k ＋3，即当n＝k＋1时，有2k＋3<a k＋1≤3k＋3，结论成立．根据(i)(ii)知对任何n∈N*结论都成立．。
2014年高考(大纲全国)理科数学
x y 13．(2014 大纲全国，理 13) 的展开式中 x2y2 的系数为____．(用数字作答) y x
答案：70
8
x y 解析：设 的第 r＋1 项中含有 x2y2，则 y x x Tr +1＝C y
4 3 2，
解析： 如图所示， 设 l1 与圆 O： x2＋y2＝2 相切于点 B， l2 与圆 O： x2＋y2＝2 相切于点 C， 则 OB
OA 10 ， AB 2 2 .
∴ tan
OB 2 1 . AB 2 2 2
1 2 2 tan 2 4. ∴ tan BAC tan 2 2 1 tan 1 1 3 4
1 ，求 B. 3
分析： 通过 3acos C ＝ 2ccos A ，借助于正弦定理把 a ， c 转化成关于 A ， C 的三角函数值，由已知
1 tan A ，从而求出 tan C，再利用公式 tan B＝－tan(A＋C)求出 B. 3
解：由题设和正弦定理得 3sin Acos C＝2sin Ccos A. 故 3tan Acos C＝2sin C， 因为 tan A
3. x2 y 2 =1 ，选 A. 3 2
2014年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•大纲版）设z＝，则z的共轭复数为（）A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i2．（5分）（2014•大纲版）设集合M＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝（）A．（0，4]B．[0，4）C．[﹣1，0）D．（﹣1，0] 3．（5分）（2014•大纲版）设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b4．（5分）（2014•大纲版）若向量、满足：||＝1，（+）⊥，（2+）⊥，则||＝（）A．2B．C．1D．5．（5分）（2014•大纲版）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种6．（5分）（2014•大纲版）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+＝1B．+y2＝1C．+＝1D．+＝17．（5分）（2014•大纲版）曲线y＝xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2D．18．（5分）（2014•大纲版）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．9．（5分）（2014•大纲版）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝（）A．B．C．D．10．（5分）（2014•大纲版）等比数列{a n}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6B．5C．4D．311．（5分）（2014•大纲版）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD＝135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）（2014•大纲版）函数y＝f（x）的图象与函数y＝g（x）的图象关于直线x+y＝0对称，则y＝f（x）的反函数是（）A．y＝g（x）B．y＝g（﹣x）C．y＝﹣g（x）D．y＝﹣g（﹣x）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．（5分）（2014•大纲版）的展开式中x2y2的系数为．（用数字作答）14．（5分）（2014•大纲版）设x、y满足约束条件，则z＝x+4y的最大值为．15．（5分）（2014•大纲版）直线l1和l2是圆x2+y2＝2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．16．（5分）（2014•大纲版）若函数f（x）＝cos2x+a sin x在区间（，）是减函数，则a的取值范围是．三、解答题17．（10分）（2014•大纲版）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3a cos C ＝2c cos A，tan A＝，求B．18．（12分）（2014•大纲版）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝13，a2为整数，且S n≤S4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）（2014•大纲版）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D 在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．20．（12分）（2014•大纲版）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．21．（12分）（2014•大纲版）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N 两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．22．（12分）（2014•大纲版）函数f（x）＝ln（x+1）﹣（a＞1）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a1＝1，a n+1＝ln（a n+1），证明：＜a n≤（n∈N*）．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•大纲版）设z＝，则z的共轭复数为（）A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简，则z的共轭可求．【解答】解：∵z＝＝，∴．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．（5分）（2014•大纲版）设集合M＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝（）A．（0，4]B．[0，4）C．[﹣1，0）D．（﹣1，0]【分析】求解一元二次不等式化简集合M，然后直接利用交集运算求解．【解答】解：由x2﹣3x﹣4＜0，得﹣1＜x＜4．∴M＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}＝{x|﹣1＜x＜4}，又N＝{x|0≤x≤5}，∴M∩N＝{x|﹣1＜x＜4}∩{x|0≤x≤5}＝[0，4）．故选：B．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．3．（5分）（2014•大纲版）设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b【分析】可得b＝sin35°，易得b＞a，c＝tan35°＝＞sin35°，综合可得．【解答】解：由诱导公式可得b＝cos55°＝cos（90°﹣35°）＝sin35°，由正弦函数的单调性可知b＞a，而c＝tan35°＝＞sin35°＝b，∴c＞b＞a故选：C．【点评】本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，属基础题．4．（5分）（2014•大纲版）若向量、满足：||＝1，（+）⊥，（2+）⊥，则||＝（）A．2B．C．1D．【分析】由条件利用两个向量垂直的性质，可得（+）•＝0，（2+）•＝0，由此求得||．【解答】解：由题意可得，（+）•＝+＝1+＝0，∴＝﹣1；（2+）•＝2+＝﹣2+＝0，∴b2＝2，则||＝，故选：B．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量垂直，则它们的数量积等于零，属于基础题．5．（5分）（2014•大纲版）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62＝15种选法，再从5名女医生中选出1人，有C51＝5种选法，则不同的选法共有15×5＝75种；故选：C．【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．6．（5分）（2014•大纲版）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+＝1B．+y2＝1C．+＝1D．+＝1【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a＝，根据离心率为，可得c＝1，求出b，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长＝|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝2a+2a＝4a，∴4a＝4，∴a＝，∵离心率为，∴，c＝1，∴b＝＝，∴椭圆C的方程为+＝1．故选：A．【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．7．（5分）（2014•大纲版）曲线y＝xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2D．1【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．【解答】解：函数的导数为f′（x）＝e x﹣1+xe x﹣1＝（1+x）e x﹣1，当x＝1时，f′（1）＝2，即曲线y＝xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率k＝f′（1）＝2，故选：C．【点评】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础．8．（5分）（2014•大纲版）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴R2＝（4﹣R）2+（）2，∴R＝，∴球的表面积为4π•（）2＝．故选：A．【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．9．（5分）（2014•大纲版）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝（）A．B．C．D．【分析】根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论．【解答】解：∵双曲线C的离心率为2，∴e＝，即c＝2a，点A在双曲线上，则|F1A|﹣|F2A|＝2a，又|F1A|＝2|F2A|，∴解得|F1A|＝4a，|F2A|＝2a，||F1F2|＝2c，则由余弦定理得cos∠AF2F1＝＝＝．故选：A．【点评】本题主要考查双曲线的定义和运算，利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力．10．（5分）（2014•大纲版）等比数列{a n}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6B．5C．4D．3【分析】利用等比数列的性质可得a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝10．再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是等比数列，a4＝2，a5＝5，∴a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝10．∴lga1+lga2+…+lga8＝lg（a1a2•…•a8）＝4lg10＝4．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，属于基础题．11．（5分）（2014•大纲版）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD＝135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】首先作出二面角的平面角，然后再构造出异面直线AB与CD所成角，利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案．【解答】解：如图，过A点做AE⊥l，使BE⊥β，垂足为E，过点A做AF∥CD，过点E 做EF⊥AE，连接BF，∵AE⊥l∴∠EAC＝90°∵CD∥AF又∠ACD＝135°∴∠FAC＝45°∴∠EAF＝45°在Rt△BEA中，设AE＝a，则AB＝2a，BE＝a，在Rt△AEF中，则EF＝a，AF＝a，在Rt△BEF中，则BF＝2a，∴异面直线AB与CD所成的角即是∠BAF，∴cos∠BAF＝＝＝．故选：B．【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角，关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角，考查了学生的空间想象能力和作图能力，属于难题．12．（5分）（2014•大纲版）函数y＝f（x）的图象与函数y＝g（x）的图象关于直线x+y＝0对称，则y＝f（x）的反函数是（）A．y＝g（x）B．y＝g（﹣x）C．y＝﹣g（x）D．y＝﹣g（﹣x）【分析】设P（x，y）为y＝f（x）的反函数图象上的任意一点，则P关于y＝x的对称点P′（y，x）一点在y＝f（x）的图象上，P′（y，x）关于直线x+y＝0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y＝g（x）图象上，代入解析式变形可得．【解答】解：设P（x，y）为y＝f（x）的反函数图象上的任意一点，则P关于y＝x的对称点P′（y，x）一点在y＝f（x）的图象上，又∵函数y＝f（x）的图象与函数y＝g（x）的图象关于直线x+y＝0对称，∴P′（y，x）关于直线x+y＝0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y＝g（x）图象上，∴必有﹣y＝g（﹣x），即y＝﹣g（﹣x）∴y＝f（x）的反函数为：y＝﹣g（﹣x）故选：D．【点评】本题考查反函数的性质和对称性，属中档题．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．（5分）（2014•大纲版）的展开式中x2y2的系数为70．（用数字作答）【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x、y的幂指数都等于2，求得r的值，即可求得展开式中x2y2的系数．【解答】解：的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r••＝•（﹣1）r••，令8﹣＝﹣4＝2，求得r＝4，故展开式中x2y2的系数为＝70，故答案为：70．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．14．（5分）（2014•大纲版）设x、y满足约束条件，则z＝x+4y的最大值为5．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得C（1，1）．化目标函数z＝x+4y为直线方程的斜截式，得．由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大．此时z max＝1+4×1＝5．故答案为：5．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）（2014•大纲版）直线l1和l2是圆x2+y2＝2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．【分析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ＝的值，可得cosθ、tanθ的值，再根据tan2θ＝，计算求得结果．【解答】解：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，且点A与圆心O之间的距离为OA＝＝，圆的半径为r＝，∴sinθ＝＝，∴cosθ＝，tanθ＝＝，∴tan2θ＝＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．16．（5分）（2014•大纲版）若函数f（x）＝cos2x+a sin x在区间（，）是减函数，则a的取值范围是（﹣∞，2]．【分析】利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令t＝sin x换元，根据给出的x的范围求出t的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围．【解答】解：由f（x）＝cos2x+a sin x＝﹣2sin2x+a sin x+1，令t＝sin x，则原函数化为y＝﹣2t2+at+1．∵x∈（，）时f（x）为减函数，则y＝﹣2t2+at+1在t∈（，1）上为减函数，∵y＝﹣2t2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t＝．∴，解得：a≤2．∴a的取值范围是（﹣∞，2]．故答案为：（﹣∞，2]．【点评】本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置，是中档题．三、解答题17．（10分）（2014•大纲版）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3a cos C ＝2c cos A，tan A＝，求B．【分析】由3a cos C＝2c cos A，利用正弦定理可得3sin A cos C＝2sin C cos A，再利用同角的三角函数基本关系式可得tan C，利用tan B＝tan[π﹣（A+C）]＝﹣tan（A+C）即可得出．【解答】解：∵3a cos C＝2c cos A，由正弦定理可得3sin A cos C＝2sin C cos A，∴3tan A＝2tan C，∵tan A＝，∴2tan C＝3×＝1，解得tan C＝．∴tan B＝tan[π﹣（A+C）]＝﹣tan（A+C）＝﹣＝﹣＝﹣1，∵B∈（0，π），∴B＝【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．18．（12分）（2014•大纲版）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝13，a2为整数，且S n≤S4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）通过S n≤S4得a4≥0，a5≤0，利用a1＝13、a2为整数可得d＝﹣4，进而可得结论；（2）通过a n＝13﹣3n，分离分母可得b n＝（﹣），并项相加即可．【解答】解：（1）在等差数列{a n}中，由S n≤S4得：a4≥0，a5≤0，又∵a1＝13，∴，解得﹣≤d≤﹣，∵a2为整数，∴d＝﹣4，∴{a n}的通项为：a n＝17﹣4n；（2）∵a n＝17﹣4n，∴b n＝＝＝﹣（﹣），于是T n＝b1+b2+……+b n＝﹣[（﹣）+（﹣）+……+（﹣）]＝﹣（﹣）＝．【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查并项相加法，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（12分）（2014•大纲版）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D 在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；（Ⅱ）作辅助线可证∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角函数可得．【解答】解：（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC∴BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C，又AC1⊥BC，A1C∩BC＝C，∴AC1⊥平面A1BC，AB1⊂平面A1BC，∴AC1⊥A1B；（Ⅱ）∵BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1，作A1E⊥CC1，E为垂足，可得A1E⊥平面BCC1B1，又直线AA1∥平面BCC1B1，∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E＝，∵A1C为∠ACC1的平分线，∴A1D＝A1E＝，作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F，又可得AB⊥A1D，A1F∩A1D＝A1，∴AB⊥平面A1DF，∵A1F⊂平面A1DF∴A1F⊥AB，∴∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，由AD＝＝1可知D为AC中点，∴DF＝＝，∴tan∠A1FD＝＝，∴二面角A1﹣AB﹣C的大小为arctan【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）（2014•大纲版）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．【分析】记A i表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备，i＝0，1，2，B表示事件：甲需要设备，C表示事件，丁需要设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备（Ⅰ）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加，即得所求．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出PX i，再利用数学期望公式计算即可．【解答】解：由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）＝0.31．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4P（X＝0）＝（1﹣0.6）×0.52×（1﹣0.4）＝0.06P（X＝1）＝0.6×0.52×（1﹣0.4）+（1﹣0.6）×0.52×0.4+（1﹣0.6）×2×0.52×（1﹣0.4）＝0.25P（X＝4）＝P（A2•B•C）＝0.52×0.6×0.4＝0.06，P（X＝3）＝P（D）﹣P（X＝4）＝0.25，P（X＝2）＝1﹣P（X＝0）﹣P（X＝1）﹣P（X＝3）﹣P（X＝4）＝1﹣0.06﹣0.25﹣0.25﹣0.06＝0.38．故数学期望EX＝0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06＝2【点评】本题主要考查了独立事件的概率和数学期望，关键是找到独立的事件，计算要有耐心，属于难题．21．（12分）（2014•大纲版）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N 两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0＝，根据|QF|＝|PQ|求得p的值，可得C的方程．（Ⅱ）设l的方程为x＝my+1（m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2＝2px（p ＞0），可得x0＝，∵点P（0，4），∴|PQ|＝．又|QF|＝x0+＝+，|QF|＝|PQ|，∴+＝×，求得p＝2，或p＝﹣2（舍去）．故C的方程为y2＝4x．（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2＝4x的焦点F（1，0），设l的方程为x＝my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4＝0，显然判别式△＝16m2+16＞0，y1+y2＝4m，y1•y2＝﹣4．∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|＝|y1﹣y2|＝＝4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为x＝﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，把线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）＝0，∴y3+y4＝，y3•y4＝﹣4（2m2+3）．故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|＝|y3﹣y4|＝，∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，∴+DE2＝MN2，∴4（m2+1）2++＝×，化简可得m2﹣1＝0，∴m＝±1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1＝0，或x+y﹣1＝0．【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．22．（12分）（2014•大纲版）函数f（x）＝ln（x+1）﹣（a＞1）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a1＝1，a n+1＝ln（a n+1），证明：＜a n≤（n∈N*）．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，通过讨论a的取值范围，即可得到f（x）的单调性；（Ⅱ）利用数学归纳法即可证明不等式．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），f′（x）＝，①当1＜a＜2时，若x∈（﹣1，a2﹣2a），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，a2﹣2a）上是增函数，若x∈（a2﹣2a，0），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，0）上是减函数，若x∈（0，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．②当a＝2时，f′（x）≥0，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，③当a＞2时，若x∈（﹣1，0），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，0）上是增函数，若x∈（0，a2﹣2a），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（0，a2﹣2a）上是减函数，若x∈（a2﹣2a，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，+∞）上是增函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＝2时，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＞f（0）＝0，即ln（x+1）＞，（x＞0），又由（Ⅰ）知，当a＝3时，f（x）在（0，3）上是减函数，当x∈（0，3）时，f（x）＜f（0）＝0，ln（x+1）＜，下面用数学归纳法进行证明＜a n≤成立，①当n＝1时，由已知，故结论成立．②假设当n＝k时结论成立，即，则当n＝k+1时，a n+1＝ln（a n+1）＞ln（），a k+1＝ln（a k+1）＜ln（），即当n＝k+1时，成立，综上由①②可知，对任何n∈N•结论都成立．【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及利用数学归纳法证明不等式，综合性较强，难度较大．。
2014年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2）B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1] 2．（5分）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．m D．3m5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β= 9．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3 10．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3C．D．211．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6C．4D．4二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为．（用数字填写答案）14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．﹣a n=λ（Ⅰ）证明：a n+2（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．21．（12分）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．选修4-5：不等式选讲24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2）B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≥3或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵B=[﹣2，2），∴A∩B=[﹣2，﹣1]．故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．【解答】解：==﹣（1+i）=﹣1﹣i，故选：D．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），f（﹣x）•g（﹣x）=﹣f（x）•g（x），故函数是奇函数，故A错误，|f（﹣x）|•g（﹣x）=|f（x）|•g（x）为偶函数，故B错误，f（﹣x）•|g（﹣x）|=﹣f（x）•|g（x）|是奇函数，故C正确．|f（﹣x）•g（﹣x）|=|f（x）•g（x）|为偶函数，故D错误，故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．m D．3m【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．【解答】解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，∴点F到C的一条渐近线的距离为=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题．5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【解答】解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=．故选：D．【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择．【解答】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|=|cosx|•|sinx|=|sin2x|，其周期为T=，最大值为，最小值为0，故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【专题】5I：概率与统计．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2；第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；第三次循环M=+=，a=，b=，n=4．不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=．故选：D．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】56：三角函数的求值．【分析】化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求．【解答】解：由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）=cosα=sin（），∵α∈（0，），β∈（0，），∴当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立．故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题．9．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3【考点】2K：命题的真假判断与应用；7A：二元一次不等式的几何意义．【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．【分析】作出不等式组的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．【解答】解：作出图形如下：由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，p1：区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；p2：在直线x+2y=2的右上方和区域D重叠的区域内，∃（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2正确；p3：由图知，区域D有部分在直线x+2y=3的上方，因此p3：∀（x，y）∈D，x+2y ≤3错误；p4：x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；综上所述，p1、p2正确；故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题．10．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3C．D．2【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴不妨设直线PF的斜率为﹣=﹣2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．11．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x=时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）=﹣3•+1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题．12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6C．4D．4【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可．【解答】解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4，∴．AC==6，AD=4，显然AC最长．长为6．故选：B．【点评】本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为﹣20．（用数字填写答案）【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；5P：二项式定理．【分析】由题意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，项的系数，求和即可．【解答】解：（x+y）8的展开式中，含xy7的系数是：8．含x2y6的系数是28，∴（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为：8﹣28=﹣20．故答案为：﹣20【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为A．【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】5M：推理和证明．【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．故答案为：A．【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为90°．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论．【解答】解：在圆中若=（+），即2=+，即+的和向量是过A，O的直径，则以AB，AC为邻边的四边形是矩形，则⊥，即与的夹角为90°，故答案为：90°【点评】本题主要考查平面向量的夹角的计算，利用圆直径的性质是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；48：分析法；58：解三角形．【分析】由正弦定理化简已知可得2a﹣b2=c2﹣bc，结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC⇒（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c⇒2a﹣2b+ab﹣b2=c2﹣bc，又因为：a=2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2=bc⇒b2+c2﹣bc=a2⇒b2+c2﹣bc=4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n﹣a n=λ+2（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．【考点】83：等差数列的性质；8H：数列递推式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）利用a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，相减即可得出；（Ⅱ）假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．可得λ=a n+2﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，．得到λS n=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，∴a n（a n+2﹣a n）=λa n+1+1≠0，∵a n+1∴a n﹣a n=λ．+2（Ⅱ）解：假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，则λ=a n+2∴．∴，，∴λS n=1+=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ=4．此时可得，a n=2n﹣1．因此存在λ=4，使得{a n}为等差数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题．18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据；（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX=np即可求得．【解答】解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．【考点】M7：空间向量的夹角与距离求解公式；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5H：空间向量及应用．【分析】（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C ⊥AO，B10=CO，进而可得AC=AB1；（2）以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得又，所以a=2，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（5分）（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，从而又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，设，则t＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】15：综合题；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）=，只需证明g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得g （x）min，h（x）max；【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+，由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x lnx+，∵f（x）＞1，∴e x lnx+＞1，∴lnx＞﹣，∴f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣．设函数h（x）=xe﹣x﹣，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．【点评】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．【考点】NB：弦切角；NC：与圆有关的比例线段．【专题】15：综合题；5M：推理和证明．【分析】（Ⅰ）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE为等边三角形．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形．【点评】本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合；QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．选修4-5：不等式选讲24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．【考点】RI：平均值不等式．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥2，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．（Ⅱ）根据ab≥2及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号．∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．（Ⅱ）∵2a+3b≥2=2，当且仅当2a=3b时，取等号．而由（1）可知，2≥2=4＞6，故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．。
2014年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）设z=，则z的共轭复数为（）A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i2．（5分）设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N=（）A．（0，4]B．[0，4） C．[﹣1，0）D．（﹣1，0]3．（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b4．（5分）若向量、满足：||=1，（+）⊥，（2+）⊥，则||=（）A．2 B．C．1 D．5．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种6．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=17．（5分）曲线y=xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2 D．18．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．9．（5分）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（）A．B．C．D．10．（5分）等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6 B．5 C．4 D．311．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，则y=f（x）的反函数是（）A．y=g（x）B．y=g（﹣x）C．y=﹣g（x）D．y=﹣g（﹣x）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．（5分）的展开式中x2y2的系数为．（用数字作答）14．（5分）设x、y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为．15．（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．16．（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是．三、解答题17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．18．（12分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=13，a2为整数，且S n≤S4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．20．（12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．21．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．22．（12分）函数f（x）=ln（x+1）﹣（a＞1）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a1=1，a n+1=ln（a n+1），证明：＜a n≤（n∈N*）．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）设z=，则z的共轭复数为（）A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简，则z的共轭可求．【解答】解：∵z==，∴．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．（5分）设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N=（）A．（0，4]B．[0，4） C．[﹣1，0）D．（﹣1，0]【分析】求解一元二次不等式化简集合M，然后直接利用交集运算求解．【解答】解：由x2﹣3x﹣4＜0，得﹣1＜x＜4．∴M={x|x2﹣3x﹣4＜0}={x|﹣1＜x＜4}，又N={x|0≤x≤5}，∴M∩N={x|﹣1＜x＜4}∩{x|0≤x≤5}=[0，4）．故选：B．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．3．（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b【分析】可得b=sin35°，易得b＞a，c=tan35°=＞sin35°，综合可得．【解答】解：由诱导公式可得b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35°，由正弦函数的单调性可知b＞a，而c=tan35°=＞sin35°=b，∴c＞b＞a故选：C．【点评】本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，属基础题．4．（5分）若向量、满足：||=1，（+）⊥，（2+）⊥，则||=（）A．2 B．C．1 D．【分析】由条件利用两个向量垂直的性质，可得（+）•=0，（2+）•=0，由此求得||．【解答】解：由题意可得，（+）•=+=1+=0，∴=﹣1；（2+）•=2+=﹣2+=0，∴b2=2，则||=，故选：B．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量垂直，则它们的数量积等于零，属于基础题．5．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，再从5名女医生中选出1人，有C51=5种选法，则不同的选法共有15×5=75种；故选：C．【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．6．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选：A．【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．7．（5分）曲线y=xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2 D．1【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．【解答】解：函数的导数为f′（x）=e x﹣1+xe x﹣1=（1+x）e x﹣1，当x=1时，f′（1）=2，即曲线y=xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率k=f′（1）=2，故选：C．【点评】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础．8．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴R2=（4﹣R）2+（）2，∴R=，∴球的表面积为4π•（）2=．故选：A．【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．9．（5分）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（）A．B．C．D．【分析】根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论．【解答】解：∵双曲线C的离心率为2，∴e=，即c=2a，点A在双曲线上，则|F1A|﹣|F2A|=2a，又|F1A|=2|F2A|，∴解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，||F1F2|=2c，则由余弦定理得cos∠AF2F1===．故选：A．【点评】本题主要考查双曲线的定义和运算，利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力．10．（5分）等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是等比数列，a4=2，a5=5，∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．∴lga1+lga2+…+lga8=lg（a1a2•…•a8）=4lg10=4．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，属于基础题．11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】首先作出二面角的平面角，然后再构造出异面直线AB与CD所成角，利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案．【解答】解：如图，过A点做AE⊥l，使BE⊥β，垂足为E，过点A做AF∥CD，过点E做EF⊥AE，连接BF，∵AE⊥l∴∠EAC=90°∵CD∥AF又∠ACD=135°∴∠FAC=45°∴∠EAF=45°在Rt△BEA中，设AE=a，则AB=2a，BE=a，在Rt△AEF中，则EF=a，AF=a，在Rt△BEF中，则BF=2a，∴异面直线AB与CD所成的角即是∠BAF，∴cos∠BAF===．故选：B．【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角，关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角，考查了学生的空间想象能力和作图能力，属于难题．12．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，则y=f（x）的反函数是（）A．y=g（x）B．y=g（﹣x）C．y=﹣g（x）D．y=﹣g（﹣x）【分析】设P（x，y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点，则P关于y=x的对称点P′（y，x）一点在y=f（x）的图象上，P′（y，x）关于直线x+y=0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y=g（x）图象上，代入解析式变形可得．【解答】解：设P（x，y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点，则P关于y=x的对称点P′（y，x）一点在y=f（x）的图象上，又∵函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，∴P′（y，x）关于直线x+y=0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y=g（x）图象上，∴必有﹣y=g（﹣x），即y=﹣g（﹣x）∴y=f（x）的反函数为：y=﹣g（﹣x）故选：D．【点评】本题考查反函数的性质和对称性，属中档题．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．（5分）的展开式中x2y2的系数为70．（用数字作答）【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x、y的幂指数都等于2，求得r 的值，即可求得展开式中x2y2的系数．=•（﹣1）r••【解答】解：的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r••，令8﹣=﹣4=2，求得r=4，故展开式中x2y2的系数为=70，故答案为：70．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．14．（5分）设x、y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为5．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得C（1，1）．化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式，得．由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大．此时z max=1+4×1=5．故答案为：5．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．【分析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ=的值，可得cosθ、tanθ 的值，再根据tan2θ=，计算求得结果．【解答】解：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，且点A与圆心O之间的距离为OA==，圆的半径为r=，∴sinθ==，∴cosθ=，tanθ==，∴tan2θ===，故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．16．（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是（﹣∞，2] ．【分析】利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令t=sinx换元，根据给出的x的范围求出t的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a 的范围．【解答】解：由f（x）=cos2x+asinx=﹣2sin2x+asinx+1，令t=sinx，则原函数化为y=﹣2t2+at+1．∵x∈（，）时f（x）为减函数，则y=﹣2t2+at+1在t∈（，1）上为减函数，∵y=﹣2t2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t=．∴，解得：a≤2．∴a的取值范围是（﹣∞，2]．故答案为：（﹣∞，2]．【点评】本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置，是中档题．三、解答题17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．【分析】由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）即可得出．【解答】解：∵3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，∴3tanA=2tanC，∵tanA=，∴2tanC=3×=1，解得tanC=．∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=﹣1，∵B∈（0，π），∴B=【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．18．（12分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=13，a2为整数，且S n≤S4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）通过S n≤S4得a4≥0，a5≤0，利用a1=13、a2为整数可得d=﹣4，进而可得结论；（2）通过a n=13﹣3n，分离分母可得b n=（﹣），并项相加即可．【解答】解：（1）在等差数列{a n}中，由S n≤S4得：a4≥0，a5≤0，又∵a1=13，∴，解得﹣≤d≤﹣，∵a2为整数，∴d=﹣4，∴{a n}的通项为：a n=17﹣4n；（2）∵a n=17﹣4n，∴b n===﹣（﹣），于是T n=b1+b2+……+b n=﹣[（﹣）+（﹣）+……+（﹣）]=﹣（﹣）=．【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查并项相加法，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC 上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；（Ⅱ）作辅助线可证∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角函数可得．【解答】解：（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC∴BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C，又AC1⊥BC，A1C∩BC=C，∴AC1⊥平面A1BC，AB1⊂平面A1BC，∴AC1⊥A1B；（Ⅱ）∵BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1，作A1E⊥CC1，E为垂足，可得A1E⊥平面BCC1B1，又直线AA1∥平面BCC1B1，∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E=，∵A1C为∠ACC1的平分线，∴A1D=A1E=，作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F，又可得AB⊥A1D，A1F∩A1D=A1，∴AB⊥平面A1DF，∵A1F⊂平面A1DF∴A1F⊥AB，∴∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，由AD==1可知D为AC中点，∴DF==，∴tan∠A1FD==，∴二面角A1﹣AB﹣C的大小为arctan【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．【分析】记A i表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备，i=0，1，2，B表示事件：甲需要设备，C表示事件，丁需要设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备（Ⅰ）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加，即得所求．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出PX i，再利用数学期望公式计算即可．【解答】解：由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）=0.31．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4P（X=0）=（1﹣0.6）×0.52×（1﹣0.4）=0.06P（X=1）=0.6×0.52×（1﹣0.4）+（1﹣0.6）×0.52×0.4+（1﹣0.6）×2×0.52×（1﹣0.4）=0.25P（X=4）=P（A2•B•C）=0.52×0.6×0.4=0.06，P（X=3）=P（D）﹣P（X=4）=0.25，P（X=2）=1﹣P（X=0）﹣P（X=1）﹣P（X=3）﹣P（X=4）=1﹣0.06﹣0.25﹣0.25﹣0.06=0.38．故数学期望EX=0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2【点评】本题主要考查了独立事件的概率和数学期望，关键是找到独立的事件，计算要有耐心，属于难题．21．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0=，根据|QF|=|PQ|求得p的值，可得C的方程．（Ⅱ）设l的方程为x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px （p＞0），可得x0=，∵点P（0，4），∴|PQ|=．又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，∴+=×，求得p=2，或p=﹣2（舍去）．故C的方程为y2=4x．（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），设l的方程为x=my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1•y2=﹣4．∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|=|y1﹣y2|==4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为x=﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，把线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4=，y3•y4=﹣4（2m2+3）．故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|=|y3﹣y4|=，∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，∴+DE2=MN2，∴4（m2+1）2 ++=×，化简可得m2﹣1=0，∴m=±1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，或x+y﹣1=0．【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．22．（12分）函数f（x）=ln（x+1）﹣（a＞1）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a1=1，a n+1=ln（a n+1），证明：＜a n≤（n∈N*）．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，通过讨论a的取值范围，即可得到f（x）的单调性；（Ⅱ）利用数学归纳法即可证明不等式．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），f′（x）=，①当1＜a＜2时，若x∈（﹣1，a2﹣2a），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，a2﹣2a）上是增函数，若x∈（a2﹣2a，0），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，0）上是减函数，若x∈（0，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．②当a=2时，f′（x）≥0，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，③当a＞2时，若x∈（﹣1，0），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，0）上是增函数，若x∈（0，a2﹣2a），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（0，a2﹣2a）上是减函数，若x∈（a2﹣2a，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，+∞）上是增函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a=2时，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＞f（0）=0，即ln（x+1）＞，（x＞0），又由（Ⅰ）知，当a=3时，f（x）在（0，3）上是减函数，当x∈（0，3）时，f（x）＜f（0）=0，ln（x+1）＜，下面用数学归纳法进行证明＜a n≤成立，①当n=1时，由已知，故结论成立．②假设当n=k时结论成立，即，=ln（a n+1）＞ln（），则当n=k+1时，a n+1a k+1=ln（a k+1）＜ln（），即当n=k+1时，成立，综上由①②可知，对任何n∈N•结论都成立．【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及利用数学归纳法证明不等式，综合性较强，难度较大．。
2014年高考真题—理科数学(全国大纲卷)
2014年普通高等学校统一考试（大纲）理科一、选择题：1.设103i z i=+，则z 的共轭复数为（ ） A ．13i -+ B ．13i -- C ．13i + D ．13i -2.设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N =I （ ）A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[1,0)-D ．(1,0]-3.设0sin 33a =，0cos55b =，0tan 35c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >> 4.若向量,a b r r 满足：||1a =r ，()a b a +⊥r r r ，(2)a b b +⊥r r r ，则||b =r （ ）A ．2BC ．1D 5.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种6.已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为3，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为（ ）A ．22132x y +=B ．2213x y +=C ．221128x y +=D ．221124x y += 7.曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）A ．2eB ．eC ．2D ．18．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）A ．814π B ．16π C ．9π D ．274π 9.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若12||2||F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ）A ．14B ．13 CD10.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（ ）A ．6B ．5C ．4D ．311.已知二面角l αβ--为060，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，0135ACD ∠=，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ）A ．14 B．4 CD ．1212.函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（ ）A ．()y g x =B ．()y g x =-C ．()y g x =-D ．()y g x =--第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.8-的展开式中22x y 的系数为 . 14.设x 、y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为 .15．直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为（1,3），则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .16.若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，求B.18. （本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 19. （本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===.（1）证明：11AC A B ⊥；（2）设直线1AA 与平面11BCC B 的距离为3，求二面角1A AB C --的大小.20. （本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.60.50.50.4、、、，各人是否需使用设备相互独立.（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（2）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望.21. （本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =. （1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线'l 与C 相较于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程.22. （本小题满分12分） 函数()ln(1)(1)ax f x x a x a=+->+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设111,ln(1)n n a a a +==+，证明：23+22n a n n <≤+.。
2014年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•大纲版）设z＝，则z的共轭复数为（）A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i2．（5分）（2014•大纲版）设集合M＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝（）A．（0，4]B．[0，4）C．[﹣1，0）D．（﹣1，0] 3．（5分）（2014•大纲版）设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b4．（5分）（2014•大纲版）若向量、满足：||＝1，（+）⊥，（2+）⊥，则||＝（）A．2B．C．1D．5．（5分）（2014•大纲版）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种6．（5分）（2014•大纲版）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+＝1B．+y2＝1C．+＝1D．+＝17．（5分）（2014•大纲版）曲线y＝xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2D．18．（5分）（2014•大纲版）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．9．（5分）（2014•大纲版）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝（）A．B．C．D．10．（5分）（2014•大纲版）等比数列{a n}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6B．5C．4D．311．（5分）（2014•大纲版）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD＝135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）（2014•大纲版）函数y＝f（x）的图象与函数y＝g（x）的图象关于直线x+y＝0对称，则y＝f（x）的反函数是（）A．y＝g（x）B．y＝g（﹣x）C．y＝﹣g（x）D．y＝﹣g（﹣x）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．（5分）（2014•大纲版）的展开式中x2y2的系数为．（用数字作答）14．（5分）（2014•大纲版）设x、y满足约束条件，则z＝x+4y的最大值为．15．（5分）（2014•大纲版）直线l1和l2是圆x2+y2＝2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．16．（5分）（2014•大纲版）若函数f（x）＝cos2x+a sin x在区间（，）是减函数，则a的取值范围是．三、解答题17．（10分）（2014•大纲版）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3a cos C ＝2c cos A，tan A＝，求B．18．（12分）（2014•大纲版）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝13，a2为整数，且S n≤S4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）（2014•大纲版）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D 在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．20．（12分）（2014•大纲版）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．21．（12分）（2014•大纲版）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N 两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．22．（12分）（2014•大纲版）函数f（x）＝ln（x+1）﹣（a＞1）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a1＝1，a n+1＝ln（a n+1），证明：＜a n≤（n∈N*）．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•大纲版）设z＝，则z的共轭复数为（）A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简，则z的共轭可求．【解答】解：∵z＝＝，∴．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．（5分）（2014•大纲版）设集合M＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝（）A．（0，4]B．[0，4）C．[﹣1，0）D．（﹣1，0]【分析】求解一元二次不等式化简集合M，然后直接利用交集运算求解．【解答】解：由x2﹣3x﹣4＜0，得﹣1＜x＜4．∴M＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}＝{x|﹣1＜x＜4}，又N＝{x|0≤x≤5}，∴M∩N＝{x|﹣1＜x＜4}∩{x|0≤x≤5}＝[0，4）．故选：B．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．3．（5分）（2014•大纲版）设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b【分析】可得b＝sin35°，易得b＞a，c＝tan35°＝＞sin35°，综合可得．【解答】解：由诱导公式可得b＝cos55°＝cos（90°﹣35°）＝sin35°，由正弦函数的单调性可知b＞a，而c＝tan35°＝＞sin35°＝b，∴c＞b＞a故选：C．【点评】本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，属基础题．4．（5分）（2014•大纲版）若向量、满足：||＝1，（+）⊥，（2+）⊥，则||＝（）A．2B．C．1D．【分析】由条件利用两个向量垂直的性质，可得（+）•＝0，（2+）•＝0，由此求得||．【解答】解：由题意可得，（+）•＝+＝1+＝0，∴＝﹣1；（2+）•＝2+＝﹣2+＝0，∴b2＝2，则||＝，故选：B．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量垂直，则它们的数量积等于零，属于基础题．5．（5分）（2014•大纲版）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62＝15种选法，再从5名女医生中选出1人，有C51＝5种选法，则不同的选法共有15×5＝75种；故选：C．【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．6．（5分）（2014•大纲版）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+＝1B．+y2＝1C．+＝1D．+＝1【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a＝，根据离心率为，可得c＝1，求出b，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长＝|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝2a+2a＝4a，∴4a＝4，∴a＝，∵离心率为，∴，c＝1，∴b＝＝，∴椭圆C的方程为+＝1．故选：A．【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．7．（5分）（2014•大纲版）曲线y＝xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2D．1【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．【解答】解：函数的导数为f′（x）＝e x﹣1+xe x﹣1＝（1+x）e x﹣1，当x＝1时，f′（1）＝2，即曲线y＝xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率k＝f′（1）＝2，故选：C．【点评】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础．8．（5分）（2014•大纲版）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴R2＝（4﹣R）2+（）2，∴R＝，∴球的表面积为4π•（）2＝．故选：A．【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．9．（5分）（2014•大纲版）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝（）A．B．C．D．【分析】根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论．【解答】解：∵双曲线C的离心率为2，∴e＝，即c＝2a，点A在双曲线上，则|F1A|﹣|F2A|＝2a，又|F1A|＝2|F2A|，∴解得|F1A|＝4a，|F2A|＝2a，||F1F2|＝2c，则由余弦定理得cos∠AF2F1＝＝＝．故选：A．【点评】本题主要考查双曲线的定义和运算，利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力．10．（5分）（2014•大纲版）等比数列{a n}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6B．5C．4D．3【分析】利用等比数列的性质可得a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝10．再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是等比数列，a4＝2，a5＝5，∴a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝10．∴lga1+lga2+…+lga8＝lg（a1a2•…•a8）＝4lg10＝4．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，属于基础题．11．（5分）（2014•大纲版）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD＝135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】首先作出二面角的平面角，然后再构造出异面直线AB与CD所成角，利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案．【解答】解：如图，过A点做AE⊥l，使BE⊥β，垂足为E，过点A做AF∥CD，过点E 做EF⊥AE，连接BF，∵AE⊥l∴∠EAC＝90°∵CD∥AF又∠ACD＝135°∴∠FAC＝45°∴∠EAF＝45°在Rt△BEA中，设AE＝a，则AB＝2a，BE＝a，在Rt△AEF中，则EF＝a，AF＝a，在Rt△BEF中，则BF＝2a，∴异面直线AB与CD所成的角即是∠BAF，∴cos∠BAF＝＝＝．故选：B．【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角，关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角，考查了学生的空间想象能力和作图能力，属于难题．12．（5分）（2014•大纲版）函数y＝f（x）的图象与函数y＝g（x）的图象关于直线x+y＝0对称，则y＝f（x）的反函数是（）A．y＝g（x）B．y＝g（﹣x）C．y＝﹣g（x）D．y＝﹣g（﹣x）【分析】设P（x，y）为y＝f（x）的反函数图象上的任意一点，则P关于y＝x的对称点P′（y，x）一点在y＝f（x）的图象上，P′（y，x）关于直线x+y＝0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y＝g（x）图象上，代入解析式变形可得．【解答】解：设P（x，y）为y＝f（x）的反函数图象上的任意一点，则P关于y＝x的对称点P′（y，x）一点在y＝f（x）的图象上，又∵函数y＝f（x）的图象与函数y＝g（x）的图象关于直线x+y＝0对称，∴P′（y，x）关于直线x+y＝0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y＝g（x）图象上，∴必有﹣y＝g（﹣x），即y＝﹣g（﹣x）∴y＝f（x）的反函数为：y＝﹣g（﹣x）故选：D．【点评】本题考查反函数的性质和对称性，属中档题．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．（5分）（2014•大纲版）的展开式中x2y2的系数为70．（用数字作答）【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x、y的幂指数都等于2，求得r的值，即可求得展开式中x2y2的系数．【解答】解：的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r••＝•（﹣1）r••，令8﹣＝﹣4＝2，求得r＝4，故展开式中x2y2的系数为＝70，故答案为：70．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．14．（5分）（2014•大纲版）设x、y满足约束条件，则z＝x+4y的最大值为5．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得C（1，1）．化目标函数z＝x+4y为直线方程的斜截式，得．由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大．此时z max＝1+4×1＝5．故答案为：5．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）（2014•大纲版）直线l1和l2是圆x2+y2＝2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．【分析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ＝的值，可得cosθ、tanθ的值，再根据tan2θ＝，计算求得结果．【解答】解：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，且点A与圆心O之间的距离为OA＝＝，圆的半径为r＝，∴sinθ＝＝，∴cosθ＝，tanθ＝＝，∴tan2θ＝＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．16．（5分）（2014•大纲版）若函数f（x）＝cos2x+a sin x在区间（，）是减函数，则a的取值范围是（﹣∞，2]．【分析】利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令t＝sin x换元，根据给出的x的范围求出t的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围．【解答】解：由f（x）＝cos2x+a sin x＝﹣2sin2x+a sin x+1，令t＝sin x，则原函数化为y＝﹣2t2+at+1．∵x∈（，）时f（x）为减函数，则y＝﹣2t2+at+1在t∈（，1）上为减函数，∵y＝﹣2t2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t＝．∴，解得：a≤2．∴a的取值范围是（﹣∞，2]．故答案为：（﹣∞，2]．【点评】本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置，是中档题．三、解答题17．（10分）（2014•大纲版）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3a cos C ＝2c cos A，tan A＝，求B．【分析】由3a cos C＝2c cos A，利用正弦定理可得3sin A cos C＝2sin C cos A，再利用同角的三角函数基本关系式可得tan C，利用tan B＝tan[π﹣（A+C）]＝﹣tan（A+C）即可得出．【解答】解：∵3a cos C＝2c cos A，由正弦定理可得3sin A cos C＝2sin C cos A，∴3tan A＝2tan C，∵tan A＝，∴2tan C＝3×＝1，解得tan C＝．∴tan B＝tan[π﹣（A+C）]＝﹣tan（A+C）＝﹣＝﹣＝﹣1，∵B∈（0，π），∴B＝【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．18．（12分）（2014•大纲版）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝13，a2为整数，且S n≤S4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）通过S n≤S4得a4≥0，a5≤0，利用a1＝13、a2为整数可得d＝﹣4，进而可得结论；（2）通过a n＝13﹣3n，分离分母可得b n＝（﹣），并项相加即可．【解答】解：（1）在等差数列{a n}中，由S n≤S4得：a4≥0，a5≤0，又∵a1＝13，∴，解得﹣≤d≤﹣，∵a2为整数，∴d＝﹣4，∴{a n}的通项为：a n＝17﹣4n；（2）∵a n＝17﹣4n，∴b n＝＝＝﹣（﹣），于是T n＝b1+b2+……+b n＝﹣[（﹣）+（﹣）+……+（﹣）]＝﹣（﹣）＝．【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查并项相加法，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（12分）（2014•大纲版）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D 在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；（Ⅱ）作辅助线可证∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角函数可得．【解答】解：（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC∴BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C，又AC1⊥BC，A1C∩BC＝C，∴AC1⊥平面A1BC，AB1⊂平面A1BC，∴AC1⊥A1B；（Ⅱ）∵BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1，作A1E⊥CC1，E为垂足，可得A1E⊥平面BCC1B1，又直线AA1∥平面BCC1B1，∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E＝，∵A1C为∠ACC1的平分线，∴A1D＝A1E＝，作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F，又可得AB⊥A1D，A1F∩A1D＝A1，∴AB⊥平面A1DF，∵A1F⊂平面A1DF∴A1F⊥AB，∴∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，由AD＝＝1可知D为AC中点，∴DF＝＝，∴tan∠A1FD＝＝，∴二面角A1﹣AB﹣C的大小为arctan【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）（2014•大纲版）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．【分析】记A i表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备，i＝0，1，2，B表示事件：甲需要设备，C表示事件，丁需要设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备（Ⅰ）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加，即得所求．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出PX i，再利用数学期望公式计算即可．【解答】解：由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）＝0.31．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4P（X＝0）＝（1﹣0.6）×0.52×（1﹣0.4）＝0.06P（X＝1）＝0.6×0.52×（1﹣0.4）+（1﹣0.6）×0.52×0.4+（1﹣0.6）×2×0.52×（1﹣0.4）＝0.25P（X＝4）＝P（A2•B•C）＝0.52×0.6×0.4＝0.06，P（X＝3）＝P（D）﹣P（X＝4）＝0.25，P（X＝2）＝1﹣P（X＝0）﹣P（X＝1）﹣P（X＝3）﹣P（X＝4）＝1﹣0.06﹣0.25﹣0.25﹣0.06＝0.38．故数学期望EX＝0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06＝2【点评】本题主要考查了独立事件的概率和数学期望，关键是找到独立的事件，计算要有耐心，属于难题．21．（12分）（2014•大纲版）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N 两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0＝，根据|QF|＝|PQ|求得p的值，可得C的方程．（Ⅱ）设l的方程为x＝my+1（m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2＝2px（p ＞0），可得x0＝，∵点P（0，4），∴|PQ|＝．又|QF|＝x0+＝+，|QF|＝|PQ|，∴+＝×，求得p＝2，或p＝﹣2（舍去）．故C的方程为y2＝4x．（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2＝4x的焦点F（1，0），设l的方程为x＝my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4＝0，显然判别式△＝16m2+16＞0，y1+y2＝4m，y1•y2＝﹣4．∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|＝|y1﹣y2|＝＝4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为x＝﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，把线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）＝0，∴y3+y4＝，y3•y4＝﹣4（2m2+3）．故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|＝|y3﹣y4|＝，∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，∴+DE2＝MN2，∴4（m2+1）2++＝×，化简可得m2﹣1＝0，∴m＝±1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1＝0，或x+y﹣1＝0．【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．22．（12分）（2014•大纲版）函数f（x）＝ln（x+1）﹣（a＞1）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a1＝1，a n+1＝ln（a n+1），证明：＜a n≤（n∈N*）．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，通过讨论a的取值范围，即可得到f（x）的单调性；（Ⅱ）利用数学归纳法即可证明不等式．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），f′（x）＝，①当1＜a＜2时，若x∈（﹣1，a2﹣2a），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，a2﹣2a）上是增函数，若x∈（a2﹣2a，0），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，0）上是减函数，若x∈（0，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．②当a＝2时，f′（x）≥0，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，③当a＞2时，若x∈（﹣1，0），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，0）上是增函数，若x∈（0，a2﹣2a），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（0，a2﹣2a）上是减函数，若x∈（a2﹣2a，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，+∞）上是增函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＝2时，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＞f（0）＝0，即ln（x+1）＞，（x＞0），又由（Ⅰ）知，当a＝3时，f（x）在（0，3）上是减函数，当x∈（0，3）时，f（x）＜f（0）＝0，ln（x+1）＜，下面用数学归纳法进行证明＜a n≤成立，①当n＝1时，由已知，故结论成立．②假设当n＝k时结论成立，即，则当n＝k+1时，a n+1＝ln（a n+1）＞ln（），a k+1＝ln（a k+1）＜ln（），即当n＝k+1时，成立，综上由①②可知，对任何n∈N•结论都成立．【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及利用数学归纳法证明不等式，综合性较强，难度较大．。
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2014年普通高等学校统一考试（大纲）
理科
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选
项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.设103i z i
=+，则z 的共轭复数为（ ） A ．13i -+ B ．13i -- C ．13i + D ．13i -
2.设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M
N =（ ）
A ．(0,4]
B ．[0,4)
C ．[1,0)-
D ．(1,0]-
3.设0sin 33a =，0cos55b =，0tan 35c =，则（ ）
A ．a b c >>
B ．b c a >>
C ．c b a >>
D ．c a b >>
4.若向量,a b 满足：||1a =，()a b a +⊥，(2)a b b +⊥，则||b =（ ）
A ．2
B
C ．1
D 5.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女 医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）
A ．60种
B ．70种
C ．75种
D ．150种
6.已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，过2F 的
直线交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为（ ）
A ．22132x y +=
B ．2213x y +=
C ．221128x y +=
D ．22
1124
x y += 7.曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）
A ．2e
B ．e
C ．2
D ．1
8．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4， 底面边长为2，则该球的表面积为（ ）
A ．814π
B ．16π
C ．9π
D ．274
π 9.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若12||2||F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ）
A ．14
B ．13
C
D
10.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（ ）
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
11.已知二面角l αβ--为060，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，0135ACD ∠=，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ）
A ．14 B
C
D ．12
12.函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（ ）
A ．()y g x =
B ．()y g x =-
C ．()y g x =-
D ．()y g x =--
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.
8的展开式中22x y 的系数为 . 14.设x 、y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩
，则4z x y =+的最大值为 .
15．直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为（1,3），则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .
16.若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62
ππ是减函数，则a 的取值范围是 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
ABC
∆的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3cos2cos
a C c A
=，
1
tan
3
A=，求B.
18. （本小题满分12分）
等差数列{}
n
a的前n项和为
n
S，已知
1
10
a=，
2
a为整数，且
4
n
S S
≤.
（1）求{}
n
a的通项公式；
（2）设
1
1
n
n n
b
a a
+
=，求数列{}
n
b的前n项和
n
T.
19. （本小题满分12分）
如图，三棱柱
111
ABC A B C
-中，点
1
A在平面ABC内的射影D在AC上，0
90
ACB
∠=，1
1,2
BC AC CC
===.
（1）证明：
11
AC A B
⊥；
（2）设直线
1
AA与平面
11
BCC B的距离为3，求二面角
1
A A
B C
--的大小.
20. （本小题满分12分）
设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.60.50.50.4
、、、，各人是否需使用设备相互独立.
（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
（2）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.
21. （本小题满分12分）
已知抛物线C：22(0)
y px p
=>的焦点为F，直线4
y=与y轴的交点为P，与C的交点为
Q ，且5||||4
QF PQ =. （1）求C 的方程；
（2）过F 的直线与C 相交于A 、B 两点，若AB 的 垂直平分线'l 与C 相较于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求的方程.
22. （本小题满分12分） 函数()ln(1)(1)ax f x x a x a
=+->+. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）设111,ln(1)n n a a a +==+，证明：
23+22
n a n n <≤+.。