空间中的异面直线及其夹角

D A B
C
问 a , b 一定是异面直线吗
?
2)空间两条直线的位置关系:

相交 平行


b a l
异面
1.异面直线
1)定义: 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 2)空间两条直线的位置关系: 相交、平行、异面.
3)异面直线的判定方法: 连结平面内一点与平面外一点 的直线, 和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.
A
F
D
E
B
G
C
4.小结
(1)异面直线
异直线的判定: 异面直线的判定方法. ] (2)异面直线所成角 (0, 2 求异面直线所成角的方法: 1)找(作)角; 2)求角.
（1）平移法（常用方法） 定角一般方法有： （2）补形法
b
b’
b

a

a’
O

O
a
a'
如果两条异面直线所成的角是直角,那么就说两条直 线互相垂直. 是说两条直线垂直不是两
条异面直线垂直！
异面直线所成角的范围： (0,

2
]
3.例题讲解
例 如图, (1)哪些棱所在直线与直线AA'垂直? (2)求直线BA' 分别和CC' 、 DC' 、AD' 的夹角的度数. D' 解:(1)与直线AA' 垂直的直线有: C' AB、BC、CD、DA、 A' B' 、B' C' 、 A' B' C' D' 、D' A' O (2)由BB ' ∥CC', 可知 B'BA'等于异面 D 直线BA'与CC'的夹角, 所以BA' 与CC' C 的夹角为45°. A B BA'与DC' 的夹角为90°. BA' 与DC' 的夹角为60°. 求角的一般步骤: 1)找(作)角; 2)求角(解三角形).
3)如图, 在长方体ABCD-A' B'C' D'中, 已知 AB 异面直线BA'与CC'所成角的度数. 60°
D'
D' ห้องสมุดไป่ตู้'
3 , A A 求 1
C' B'
A'
A' B' D C
F E
A
B
D A B
C
4)长方体ABCD-A' B'C' D'中, AB=BC=4, AA' =6, E、F分别 为BB' 、CC'的中点, 求AE、BF所成角的余弦值. 9 cos 25
A
b
A' B' D' C'

l
B
a
l
D A B C
哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？ 与直线BA' 成异面直线的有直线： B'C'、A D、 C' D'、CD、 C'C、D' D.
2.异面直线所成的角
已知两条异面直线a、b, 经过空间任一点O, 分别作 直线a‘ ∥a，b’ ∥b，把a‘与b’所成的锐角(或直角)叫做异 面直线a、b所成的角(或夹角). 说明：在具体图形中也可以取其中一条上的一点作另一 条的平行线。如右图。
练习. 如图棱长为
a 正方体中
(1) 写出与 A1 O 成异面直线的各棱所在直线;
(2) 求B 1 D 1 与 A1 O 所成的角;
(3) 求 A1 O 与 O 1 B 所成角的余弦.
D1
O1
A1 B1
C1
D
C
O
A B
2、在空间四边形ABCD中，E,F分别是边BD，AC的 中点，已知BC=4，AD=4，EF=3,求EF与BC所成 的角
异面直线及其夹角
1.异面直线
平面内的两条直线的位置关系有几种? 相交和平行 在空间还有既不相交也不平行的情况. 这样的两条直线可不可能共面? 一定不共面. 1)定义: 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
D' C' A' B'
直线AA'与BC是异面直线.
若 a , b ,
b a