(名师整理)最新数学中考《圆中角平分线问题》专题复习精品课件

∵CD 是⊙O 的直径，∴∠DBC＝90°.
∴∠E＝∠DBC.∴△DBC∽△BEC. ∴CBDC＝BCCE.∴BC2＝CD·CE. ∴CD＝542＝245.∴OC＝12CD＝285.∴⊙O 的半径为285.
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• 【方法归纳】本题考查了切线的性质， 勾股定理，相似三角形的判定和性质， 圆周角定理，平行线的判定和性质，正 确地作出辅助线是解题的关键．
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• 【解】(1)证明：如图1，连接OB， • ∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB. • ∵CE⊥AB，∴OB∥CE.∴∠1＝∠3. • ∵OB＝OC，∴∠1＝∠2.∴∠2＝∠3.∴CB
平分∠ACE.
(2)如图 2，连接 BD，
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∵CE⊥AB，∴∠E＝90°.
∴BC＝ BE2＋CE2＝ 32＋42＝5.
一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC.
• (1)若∠CPA＝30°，求PC的长；
• (2)若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交 AC于点M.你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变 化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP的大小．
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解：(1)连接 OC，如图，则 OC⊥PC. 在 Rt△OCP 中，∠CPA＝30°， ∴PC＝ 3OC＝2 3.
• A．DI＝DB • C．DI＜DB
B．DI＞DB D．不确定
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• 3．(2019·菏泽)如图，AB是⊙O的直径 ，C，D是⊙O上的两点，且BC平分 ∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E ，F，
• •C
• 则下列结论不一定成立的是( ) • A．OC∥BD • B．AD⊥OC
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(1)求证：DF 是⊙O 的切线； (2)若点 M 是 OD 的中点，⊙O 的半径为 3，tan∠BOD＝2 2，求 BN 的 长．
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解：(1)证明：∵直径 AB 经过弦 CD 的中点 E， ∴AB⊥CD，B︵C＝B︵D.∴∠BOD＝2∠2. ∵∠1＝∠2，∠BOD＋∠ODE＝90°， ∴∠ODE＋∠1＋∠2＝90°. ∴∠ODF＝90°.∴DF 是⊙O 的切线．
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(2)连接 AD，∵AB 是⊙O 直径， ∴∠ADB＝∠FDO＝90°. ∴∠ADB－∠BDO＝∠FDO－∠BDO， 即∠3＝∠1.∴∠3＝∠2. ∵∠4＝∠C，∴△ADM∽△CDN. ∵⊙O 的半径为 3，即 AO＝DO＝BO＝3， 在 Rt△DOE 中，tan∠BOD＝2 2，∴cos∠BOD＝13. ∴OE＝DO·cos∠BOD＝3×13＝1.
•
• 基本结论有： • 在①“AD平分∠BAC”，②“AE⊥ED”，③“DE
是⊙O的切线”三个论断中，知二推一．
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• 2．如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°.点O是AC 上一点，以OC为半径作⊙O交AC于点E.
• 基本结论有： • 在①“BO平分∠CBA”，②“BO∥DE”，③“AB是
【分析】(1)证明：如图 1，连接 OB，由 AB 是⊙O 的切线，得到 OB⊥AB，由于 CE⊥AB，得 OB∥CE，于是得到∠1＝∠3，根据等腰三 角形的性质得到∠1＝∠2，通过等量代换得到结果．
(2)如图 2，连接 BD，通过证明△DBC∽△BEC，得到比例式CBDC＝BCCE， 列方程可得结果．
双垂直图形.
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• 例 1 (2019·邵 阳 一 模 ) 如 图 ， 已 知 △ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B.AC 经过圆心O并与圆相交于点D，C，过C作 直线CE⊥AB，交AB的延长线于点E. • (1)求证：CB平分∠ACE； • (2)若BE＝3，CE＝4，求⊙O的半径．
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1．如图，在△ABC 中，O 是 AB 边上的点，以 O 为圆心，OB 为半径的⊙O 与 AC 相切于点 D，BD 平分∠ABC，AD＝ 3OD，AB
＝12，CD 的长是( • )A
A．2 3 B．2 C．3 3 D．4 3
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• 2．(2019·荆门)如图，△ABC内心为I，连 接AI并延长交△ABC的• 外A 接圆于D，则线 段DI与DB的关系是( )
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• 解：(1)证明：连接OD，如图，
• ∵AD平分∠EAC，∴∠1＝∠3.
• ∵OA＝OD，∴∠1＝∠2.
• ∴∠3＝∠2.∴OD∥AE.
•
∵AE⊥DC，∴OD⊥CE.
•
∴CE是⊙O的切线．
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(2)连接 BD.
∵∠CDO＝∠ADB＝90°，∴∠2＝∠CDB＝∠1.
∵∠C＝∠C，∴△CDB∽△CAD.∴CCDA＝CCDB＝ABDD.
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(2)连接 DF，由(1)知 BC 为⊙O 的切线， ∴∠FDC＝∠DAF.∴∠CDA＝∠CFD. ∴∠AFD＝∠ADB. ∵∠BAD＝∠DAF， ∴△ABD∽△ADF. ∴AADB＝AADF，即 AD2＝AB·AF＝xy. 则 AD＝ xy.
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(3)连接 EF，在 Rt△BOD 中，sin B＝OODB＝153， 设圆的半径为 r，可得r＋r 8＝153，解得 r＝5. ∴AE＝10，AB＝18. ∵AE 是直径，∴∠AFE＝∠C＝90°.∴EF∥BC.∴∠AEF＝∠B. ∴sin∠AEF＝AAEF＝153.∴AF＝AE·sin∠AEF＝10×153＝5103.
⊙O的切线”，④“BD＝BC”四个论断中，知一推三 ．
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• 3．如图3，△ABC中，AB＝AC，以AB为 直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点F.
• 基本结论有： • (1)DE⊥AC⇔DE与⊙O相切． • (2)若DE⊥AC或DE与⊙O相切，有： • ①△DFC是等腰三角形；②EF＝EC； • ③AD是∠BAC的平分线；④连接AD，产生
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(2)如图，作 OG⊥AE 于点 G，连接 BD， 则 AG＝CG＝12AC＝2，∠OGE＝∠E＝∠ODE＝90°. ∴四边形 ODEG 是矩形． ∴OA＝OB＝OD＝CG＋CE＝2＋2＝4. ∵∠DAE＝∠BAD，∠AED＝∠ADB＝90°，∴△ADE∽△ABD. ∴AADE＝AADB，即A6D＝A8D.∴AD2＝48. 在 Rt△ABD 中，BD＝ AB2－AD2＝4. 在 Rt△ABD 中，∵AB＝2BD，∴∠BAD＝30°.∴∠BOD＝60°.
∴CD2＝CB·CA，即(3 2)2＝3CA.∴CA＝6.
∴AB＝CA－BC＝3，ABDD＝CCDA＝362＝
2 2.
设 BD＝ 2k，AD＝2k，
在 Rt△ADB 中，2k2＋4k2＝9，∴k＝ 26.∴AD＝ 6.
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8．(2019·济宁)如图，AB
是⊙O
的直径，C
是⊙O
上一点，D
︵ 是AC的
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例 2 (2018·成都)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，O 为 AB 上一点，经过点 A，D 的⊙O 分别交 AB，AC 于点 E，F，连接 OF 交 AD 于点 G.
(1)求证：BC 是⊙O 的切线； (2)设 AB＝x，AF＝y，试用含 x，y 的代数式表示线段 AD 的长； (3)若 BE＝8，sin B＝153，求 DG 的长．
• (3)连接EF，在Rt△BOD中，利用三角函数的定义求 出圆的半径，AE，AB的长，再证明EF∥BC，得出 ∠B＝∠AEF，利用锐角三角函数的定义求出AF的长 ，再根据AF∥OD，得出线段成比例，求出DG的长 ，然后可求出AD的长，从而可求得DG的长
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• 【解】(1)证明：如图，连接OD. • ∵AD为∠BAC的角平分线， • ∴∠BAD＝∠CAD. • ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD. • ∴∠ODA＝∠CAD.∴OD∥AC. • ∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°. • ∴OD⊥BC. • ∴BC为⊙O的切线．
则B︵D的长度为601·8π0·4＝43π.
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5．(2018·泰州)如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点， ∠ABC 的平分线交⊙O 于点 D，DE⊥BC 于点 E.
(1)试判断 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，若 BE＝3 3，DF＝3，求图中 阴影部分的面积．
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• 【分析】(1)连接OD，根据角平分线的性质及等腰三 角形的性质，证明∠ODC＝90°即可；
• (2)连接DF，由(1)得BC是⊙O的切线，由弦切角等 于夹弧所对的圆周角，可证得∠FDC＝∠DAF，再证 ∠CDA＝∠CFD，根据平角的定义可证得∠AFD＝ ∠ADB，从而可证得△ABD∽△ADF，得出对应边成 比例，可得出答案；
圆中角平分线问题
考点解读
• 角平分线问题在历年中考中都占有重要地位 ，都是在大题中结合题目的背景进行综合考 查，重在考查学生对知识的应用能力．角平 分线构成的等量关系和“圆”结合的时候，可 以转化成“等角、等弧、等弦”互化问题，着 重考查熟练运用相关的定理和逻辑推理能力 .
方法提炼
• 1.如图1，AB是⊙O的直径，点D，C是⊙O上的两 点．
50 ∵AF∥OD，∴ADGG＝OADF＝153＝1103，则 DG＝1233AD. ∵AD＝ AB·AF＝ 18×5103＝301313，则 DG＝1233×301313＝302313.
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• 【方法归纳】AE是⊙O的直径，点D，F 、E是⊙O上的三点，在①“AD平分 ∠BAC”，②“OD⊥BC”，③“BC是 ⊙O的切线”三个论断中，知一推二．
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• 解：(1)DE与⊙O相切．理由如下： • 连接DO，如图． • ∵DO＝BO，∴∠ODB＝∠OBD. • ∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠DBO. • ∴∠EBD＝∠BDO.∴DO∥BE. • ∵DE⊥BC，∴∠DEB＝∠EDO＝90°. • ∴DE与⊙O相切．
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(2)∵BD 平分∠ABC，DE⊥BE，DF⊥AB，∴DE＝DF＝3.
(2)∠CMP 的大小不发生变化． ∠CMP＝∠A＋∠MPA＝12∠COP＋12∠CPO＝12×90°＝45°. 故∠CMP 的大小恒为 45°.
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7．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，AD 平分∠CAE 交⊙O 于点 D，且 AE⊥CD，垂足为点 E.
(1)求证：直线 CE 是⊙O 的切线． (2)若 BC＝3，CD＝3 2，求弦 AD 的长．
• 4．(2018·衡阳)如图，⊙O是△ABC的外 接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O 于点D，过点D作DE⊥AC分别交AC， AB的延长线于点E，F.
• (1)求证：EF是⊙O的切线； • (2)若AC＝4，CE＝2，求的长度(结果保
留π )．
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• 解：(1)证明：如图，连接OD. • ∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA. • ∵AD平分∠EAF，∴∠DAE＝∠DAO. • ∴∠DAE＝∠ADO.∴OD∥AE. • ∵AE⊥EF，∴OD⊥EF.∴EF是⊙O的切 线．
∵BE＝3 3，∴BD＝ 32＋（3 3）2＝6.
∵sin∠DBF＝sin∠EBD＝36＝12，∴∠DBA＝30°.∴∠DOF＝60°.
∴sin∠DOF＝DDOF＝D3O＝ 23.∴DO＝2 3，则 FO＝ 3.
故 S 阴影＝60π×3（602
3）2－12×
3×3＝2π－32
3 .
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中点，E 为 OD 延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC 与 BD 交于点 H，与
OE 交于点 F. (1)求证：AE 是⊙O 的切线；
(2)若 DH＝9，tan C＝34，求直径 AB 的长．
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解：(1)证明：∵D 是A︵C的中点，∴OE⊥AC. ∴∠AFE＝90°.∴∠E＋∠EAF＝90°. ∵∠AOE＝2∠C，∠CAE＝2∠C， ∴∠CAE＝∠AOE.∴∠E＋∠AOE＝90°. ∴∠EAO＝90°.∴AE 是⊙O 的切线．
(2)连接 AD，在 Rt△ADH 中，
∵∠DAC＝∠C，∴tan∠DAC＝tan C＝34. ∵DH＝9，∴AD＝12.
在 Rt△BDA 中，∵tan B＝tan C＝34， ∴sin B＝35.∴AB＝20.
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9．如图，在⊙O 中，直径 AB 经过弦 CD 的中点 E，点 M 在 OD 上， AM 的延长线交⊙O 于点 G，交过 D 的直线于 F，∠1＝∠2，连接 BD 与 CG 交于点 N.