课时跟踪检测(十五)大题考法——圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
高考数学(理)圆锥曲线综合最值、范围、证明问题
专题 圆锥曲线综合应用（2）- 最值、范围、证明问题一、 高考题型特点：最值、范围、证明问题是高考圆锥曲线大题中的常考题型，难度中等偏上。
二、重难点：1.求解圆锥曲线中的最值问题主要有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．2.圆锥曲线中的范围问题： (1)解决这类问题的基本思路是建立目标函数和不等关系．(2)建立目标函数的关键是选用一个合适 的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题；建立不等关系的关键是运用圆锥曲线的几何特征、判别式法或基本不等式等灵活处理．3.圆锥曲线中的证明问题常以椭圆、抛物线为载体，借助设而不求法，考查数形结合思想、方程思想、化归与转化能力、逻辑思维能力、运算求解能力． 三、易错注意点：本部分对学生的能力要求较高，解题中主要数形结合及各种方法的综合应用，同时对数学推理运算能力有很高的要求。
四、典型例题：例1.（2019全国卷III ）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =.由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=- . 整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -.故直线AB 的方程为2210tx y -+=.所以直线AB 过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=. 于是()2121212122,1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+，()()2222121212||11421AB t x t x x x x t =+-=++-=+.设12,d d 分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则21221,1d t d t =+=+.因此，四边形ADBE 的面积()(22121||312S AB d d t t =+=++设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由于EM AB ⊥u u u u r u u u r ，而()2,2EM t t =-u u u u r ，AB u u u r 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=.解得t =0或1t =±.当t =0时，S =3；当1t =±时，42S =因此，四边形ADBE 的面积为3或42例2.（2019全国卷II ）已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.【解析】（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得212x k =+．记212u k=+，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．于是直线QG 的斜率为2k，方程为()2k y x u =-．由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22222(2)280k x uk x k u +-+-=．① 设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uk y k =+．从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k kuk -+=-+-+． 所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．（ii ）由（i ）得2||21PQ k =+221||uk k PG +=， 所以△PQG 的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k++===++++‖． 设t =k +1k，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号．因为2812t S t=+在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为169． 因此，△PQG 面积的最大值为169． 例3．(2016年山东)平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞的离心率是3，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． （i ）求证：点M 在定直线上；（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标．【解析】(Ⅰ) 由离心率是23，有224=b a ， 又抛物线y x 2=2的焦点坐标为)21,0(F ，所以21=b ，于是1=a ，所以椭圆C 的方程为1=4+22y x ．(Ⅱ) （i ）设P 点坐标为2,),(0)2m Pm m >（， 由y x 2=2得x y =′，所以E 在点P 处的切线l 的斜率为m ， 因此切线l 的方程为2=2m mx －y ，设),(),,(2211y x B y x A ，),(00y x D ，将2=2m mx －y 代入1=4+22y x ，得0=1+4)4+12322－m x m －x m （．于是23214+14=+m m x x ，232104+12=2+=m m x x x ， 又2200222(14)m m y mx m -=-=+， 于是 直线OD 的方程为x m－y 41=． 联立方程x m －y 41=与m x =，得M 的坐标为1(,)4M m -． 所以点M 在定直线41=y －上．（ii ）在切线l 的方程为2=2m mx －y 中，令0x =，得22m y =－，即点G 的坐标为2(0,)2m G -，又2(,)2m P m ，1(0,)2F ， 所以4)1+(=×21=S 21m m GF m ；再由32222(,)412(41)m m D m m -++，得 )1+4(8)1+2(=1+4+2×41+2×21=S 2222322m m m m m m m于是有 222221)1+2()1+)(1+4(2=S S m m m ． 令1+2=2m t ，得222111+2=)1+)(21(2=S S t －t t t t －当21=1t时，即2=t 时，21S S 取得最大值49．此时21=2m ，22=m ，所以P 点的坐标为)41,22P(． 所以21S S 的最大值为49，取得最大值时点P 的坐标为21()24P ． 例4．(2016年全国卷II)已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥． （Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围． 【解析】（I ）设11(,)M x y ，则由题意知10y >．当4t =时，椭圆E 的方程为22143x y +=，A 点坐标为()20-，， 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π． 因此直线AM 的方程为2y x =+．将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=． 解得0y =或127y =，所以1127y =． 所以AMN △的面积为21112121442227749AMN S AM ∆==⨯⨯⨯=． （Ⅱ）由题意知3,0,(,0)t k A t >>，则直线AM 的方程为(y k x t =+，联立(2213x y t y k x t ⎧+=⎪⎨⎪=⎩并整理得，()222223230tk x tk x t k t +++-=解得x t =23t tk tx -=所以2223611t tk t t AM k t k -=+=+由题意MA NA ⊥，所以AN 的方程为1()y x t k=-+， 同理可得26(1)||k t k AN +=由2AM AN =,得22233k tk k t=++，即3(2)3(21)k t k k -=- 当32k =时上式成立，因此23632k kt k -=-． 因为3t >，即236332k k k ->-，整理得()()231202k k k +-<- 即3202k k -<-，解得322k <<． 五、强化提升训练：1．(2019·广东佛山模拟)已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆M 的离心率为12，椭圆上异于长轴顶点的任意点A 与左、右两焦点F 1，F 2构成的三角形中面积的最大值为 3.(1)求椭圆M 的标准方程；(2)若A 与C 是椭圆M 上关于x 轴对称的两点，连接CF 2与椭圆的另一交点为B ，求证：直线AB 与x 轴交于定点P ，并求PA →·F 2C →的取值范围．【解析】(1)由题意知c a ＝12，12·2c ·b ＝3，a 2＝b 2＋c 2，解得c ＝1，a ＝2，b ＝ 3.所以椭圆M 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 1，－y 1)，直线AB ：y ＝kx ＋m .将y ＝kx ＋m ，代入x 24＋y 23＝1得，(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋3，x 1x 2＝4m 2－124k 2＋3.因为B ，C ，F 2共线，所以kBF 2＝kCF 2，即kx 2＋m x 2－1＝－kx 1＋mx 1－1， 整理得2kx 1x 2＋(m －k )(x 1＋x 2)－2m ＝0，所以2k 4m 2－124k 2＋3－(m －k )8km4k 2＋3－2m ＝0，解得m ＝－4k .所以直线AB ：y ＝k (x －4)，与x 轴交于定点P (4,0)．因为y 21＝3－34x 21，所以PA →·F 2C →＝(x 1－4，y 1)·(x 1－1，－y 1)＝x 21－5x 1＋4－y 21＝74x 21－5x 1＋1＝74⎝⎛⎭⎪⎫x 1－1072－187.因为－2<x 1<2，所以PA →·F 2C →的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－187，18.2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求原点O 到直线l 的距离的取值范围．【解析】(1)由题意知e ＝c a ＝32，2b ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝1，a ＝2， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.则Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)＞0，化简得m 2＜4k 2＋1. ①x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，所以4k 2x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝5x 1x 2，则(4k 2－5)x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝0，所以(4k 2－5)·4m 2－14k 2＋1＋4km ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋1＋4m 2＝0，化简得m 2＋k 2＝54. ② 由①②得0≤m 2＜65，120＜k 2≤54.因为原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k2，所以d 2＝m 21＋k 2＝54－k 21＋k 2＝－1＋941＋k2， 又120＜k 2≤54，所以0≤d 2＜87，解得0≤d ＜2147. 所以原点O 到直线l 的距离的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2147.3.若F 1，F 2分别是椭圆E ：x 25＋y 2＝1的左、右焦点，F 1，F 2关于直线x ＋y －2＝0的对称点是圆C 的一条直径的两个端点．(1)求圆C 的方程；(2)设过点F 2的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a ，b .当ab 取最大值时，求直线l 的方程．【解析】(1)因为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，所以圆C 半径为2，圆心C 是原点O 关于直线x ＋y －2＝0的对称点．设C (p ，q )，由⎩⎪⎨⎪⎧q p ＝1，p 2＋q2－2＝0得p ＝q ＝2，所以C (2,2)．所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4.(2)设直线l 的方程为x ＝my ＋2，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|2m |1＋m2，所以b ＝222－d 2＝41＋m2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2x 2＋5y 2＝5得(5＋m 2)y 2＋4my －1＝0，设直线l 与椭圆E 交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－4m 5＋m 2，y 1·y 2＝－15＋m2， a ＝|AB |＝1＋m2y 1＋y 22－4y 1y 2＝25m 2＋1m 2＋5，ab ＝85m 2＋1m 2＋5＝85m 2＋1＋4m 2＋1≤25，当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±3时等号成立．所以当m ＝±3时，ab 取最大值．此时直线l 的方程为x ±3y －2＝0.4．(2019·梅州一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为点F 1，F 2，其离心率为12，短轴长为2 3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点F 1的直线l 1与椭圆C 交于M ，N 两点，过点F 2的直线l 2与椭圆C 交于P ，Q 两点，且l 1∥l 2，证明：四边形MNPQ 不可能是菱形．【解析】(1)由已知，得c a ＝12，b ＝3，又c 2＝a 2－b 2，故解得a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：由(1)，知F 1(－1，0)，如图， 易知直线MN 不能平行于x 轴，所以令直线MN 的方程为x ＝my －1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2－12＝0x ＝my －1得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0，所以y 1＋y 2＝6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4.此时|MN |＝1＋m2[y 1＋y 22－4y 1y 2].同理，令直线PQ 的方程为x ＝my ＋1，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)， 此时y 3＋y 4＝－6m 3m 2＋4，y 3y 4＝－93m 2＋4，此时|PQ |＝1＋m2[y 3＋y 42－4y 3y 4]，故|MN |＝|PQ |.所以四边形MNPQ 是平行四边形．若平行四边形MNPQ 是菱形，则OM ⊥ON ，即OM →·ON →＝0，于是有x 1x 2＋y 1y 2＝0. 又x 1x 2＝(my 1－1)(my 2－1)＝m 2y 1y 2－m (y 1＋y 2)＋1， 所以有(m 2＋1)y 1y 2－m (y 1＋y 2)＋1＝0， 整理得到－12m 2－53m 2＋4＝0， 即12m 2＋5＝0，上述关于m 的方程显然没有实数解， 故四边形MNPQ 不可能是菱形．5.已知动圆C 过定点F 2(1,0)，并且内切于定圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝12. (1)求动圆圆心C 的轨迹方程；(2)若曲线y 2＝4x 上存在两个点M ，N ，(1)中曲线上有两个点P ，Q ，并且M ，N ，F 2三点共线，P ，Q ，F 2三点共线，PQ ⊥MN ，求四边形PMQN 的面积的最小值．【解析】(1)设动圆的半径为r ，则|CF 2|＝r ，|CF 1|＝23－r ，所以|CF 1|＋|CF 2|＝23＞|F 1F 2|，由椭圆的定义知动圆圆心C 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝1，所以b ＝2，动圆圆心C 的轨迹方程是x 23＋y 22＝1.(2)当直线MN 的斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，易得|MN |＝4，|PQ |＝23，四边形PMQN 的面积S ＝4 3.当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，消元得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k 2＋2，x 1x 2＝1，|MN |＝1＋k2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋22－4＝4k 2＋4.因为PQ ⊥MN ，所以直线PQ 的方程为y ＝－1k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－1k x －1，x 23＋y 22＝1，得(2k 2＋3)x 2－6x ＋3－6k 2＝0. 设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 3＋x 4＝62k 2＋3，x 3x 4＝3－6k 22k 2＋3，|PQ |＝1＋1k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫62k 2＋32－4×3－6k 22k 2＋3＝43k 2＋12k 2＋3. 则四边形PMQN 的面积S ＝12|MN ||PQ |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋443k 2＋12k 2＋3＝83k 2＋12k 22k 2＋3.令k 2＋1＝t ，t ＞1，则S ＝83t 2t －12t ＋1＝83－1t 2－1t ＋2＝83－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋122＋94. 因为t ＞1，所以0＜1t ＜1，易知－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋122＋94的范围是(0,2)，所以S ＞832＝4 3. 综上可得S ≥43，S 的最小值为4 3.6．(2019·安庆二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且过点(2，2)． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设A 、B 为椭圆C 的左、右顶点，过C 的右焦点F 作直线l 交椭圆于M ，N 两点，分别记△ABM ，△ABN 的面积为S 1，S 2，求|S 1－S 2|的最大值．【解析】(1)根据题意可得：c a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2， 解得：a 2＝8，b ＝2.故椭圆C 的标准方程为：x 28＋y 24＝1. (2)由(1)知F (2,0)，当直线l 的斜率不存在时，S 1＝S 2，于是|S 1－S 2|＝0；当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝k (x －2)(k ≠0)，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －2，x 28＋y 24＝1，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－8＝0. ∴x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－81＋2k2，于是|S 1－S 2|＝12×42×|y 1＋y 2|＝22|k (x 1＋x 2)－4k |＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ×8k 21＋2k 2－4k ＝82|k |1＋2k 2＝821|k |＋2|k |≤8222＝4.当且仅当k ＝±22时等号成立，此时|S 1－S 2|的最大值为4. 综上，|S 1－S 2|的最大值为4.7.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，右焦点为F ，且该椭圆过点⎝⎛⎭⎪⎫1，－32. (1)求椭圆C 的方程；(2)当动直线l 与椭圆C 相切于点A ，且与直线x ＝433相交于点B 时，求证：△FAB 为直角三角形． 【解析】(1)由题意得c a ＝32，1a 2＋34b 2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝1，a 2＝4，即椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可得直线l 的斜率存在，设l ：y ＝kx ＋m ，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 判别式Δ＝64k 2m 2－16(4k 2＋1)(m 2－1)＝0，得m 2＝4k 2＋1＞0.设A (x 1，y 1)，则x 1＝－8km 24k 2＋1＝－8km 2m 2＝－4k m ，y 1＝kx 1＋m ＝－4k 2m ＋m ＝1m ，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m ，1m . 易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫433，433k ＋m ，F (3，0)， 则FA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m －3，1m ，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33，433k ＋m ， FA →·FB →＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m －3＋1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫433k ＋m ＝－43k 3m －1＋43k 3m ＋1＝0， 所以FA →⊥FB →，即△FAB 为直角三角形，得证．8．(2019·朝阳区模拟)过椭圆W ：x 22＋y 2＝1的左焦点F 1作直线l 1交椭圆于A ，B 两点，其中A (0,1)，另一条过F 1的直线l 2交椭圆于C ，D 两点(不与A ，B 重合)，且D 点不与点(0，－1)重合．过F 1作x 轴的垂线分别交直线AD ，BC 于E ，G .(1)求B 点坐标和直线l 1的方程；(2)求证：|EF 1|＝|F 1G |.【解析】(1)由题意可得直线l 1的方程为y ＝x ＋1.与椭圆方程联立，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1x 22＋y 2＝1可求B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，－13. (2)证明：当l 2与x 轴垂直时，C ，D 两点与E ，G 两点重合，由椭圆的对称性，|EF 1|＝|F 1G |. 当l 2不与x 轴垂直时，设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，l 2的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x ＋1x 22＋y 2＝1消去y ，整理得(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0. 则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1. 由已知，x 2≠0，则直线AD 的方程为y －1＝y 2－1x 2x ，令x ＝－1， 得点E 的纵坐标y E ＝x 2－y 2＋1x 2. 把y 2＝k (x 2＋1)代入得y E ＝x 2＋11－k x 2. 由已知，x 1≠－43， 则直线BC 的方程为y ＋13＝y 1＋13x 1＋43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋43， 令x ＝－1，得点G 的纵坐标y G ＝y 1－x 1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋43.把y 1＝k (x 1＋1)代入得y G ＝x 1＋1k －13x 1＋4. y E ＋y G ＝x 2＋11－k x 2＋x 1＋1k －13x 1＋4 ＝1－k [x 2＋13x 1＋4－x 2x 1＋1]x 2·3x 1＋4 ＝1－k [2x 1x 2＋3x 1＋x 2＋4]x 2·3x 1＋4把x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1代入到2x 1x 2＋3(x 1＋x 2)＋4中， 2x 1x 2＋3(x 1＋x 2)＋4＝2×2k 2－22k 2＋1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 22k 2＋1＋4＝0. 即y E ＋y G ＝0， 即|EF 1|＝|F 1G |.。
(高中段)大题考法第二课时题点突破圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
题型二 范围问题 [典例] (2018·浙江高考)如图，已知点 P 是 y 轴左侧(不 含 y 轴)一点，抛物线 C：y2＝4x 上存在不同的两点 A，B 满 足 PA，PB 的中点均在 C 上． (1)设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴； (2)若 P 是半椭圆 x2＋y42＝1(x<0)上的动点，求△PAB 面 积的取值范围．
所以△PAB 面积的取值范围是6 2，15围问题的 5 种常用解法
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值 范围．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个 参数之间的等量关系．
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域， 从而确定参数的取值范围．
(2)设直线 MN 的方程为 y＝kx＋12(k<0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立y＝kx＋12， y2＝x，
消去 x 可得 ky2－y＋12＝0，
则y1＋y2＝1k， y1y2＝21k.
易知 P(1,1)，A(x1，x1)，Bx1，xy21， 则 S1＝12(y1－x1)(1－x1)，S2＝12x1－xy21x1，
因此SS21＝y1－x1x－1xy121－x1x1＝y1－y21y－12yy1122－y21y21，
因为y1y＋1y2y2＝2，则 y2＝2y1y－1 1，
yy122＝
y12 y1
＝y1(2y1－1)，
2y1－1
由此可得SS21＝1－y12y21＝y112－1 1，
因为 y1∈0，12，
2021年高考数学二轮复习课时跟踪检测 15圆锥曲线中的定点定值存在性问题大题练 理数(含答案解析)
参考答案
A 卷——大题保分练
a 1．解：(1)由题意得，c= 3， =2，a2=b2＋c2，
b
∴a=2，b=1，
x2 ∴椭圆 C 的标准方程为 ＋y2=1.
4
(2)证明：当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y=kx＋m(m≠1)，M(x1，y1)，N(x2，
1 4．已知椭圆 C 的中心在原点，离心率等于 ，它的一个短轴端点恰好是抛物线 x2=8 3y 的
2 焦点． (1)求椭圆 C 的方程； (2)如图，已知 P(2,3)，Q(2，－3)是椭圆上的两点，A，B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧的动 点．
1 ①若直线 AB 的斜率为 ，求四边形 APBQ 面积的最大值；
2．设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k>0)的直线 l 与 C 交于 A，B 两点， |AB|=8. (1)求 l 的方程； (2)求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程．
x2 y2 3.如图，椭圆 C： ＋ =1(a>b>0)的左顶点与上顶点分别为 A，B，右焦点为 F，点 P 在椭
a2 b2 圆 C 上，且 PF⊥x 轴，若 AB∥OP，且|AB|=2 3. (1)求椭圆 C 的方程； (2)已知 Q 是 C 上不同于长轴端点的任意一点，在 x 轴上是否存在一点 D，使得直线 QA 与
1 QD 的斜率乘积恒为－ ，若存在，求出点 D 的坐标，若不存在，说明理由．
2
( ) x2 y2
1)2=0，
4m2－4
－8km
∴(k2＋1)
＋k(m－1)
高考数学第一轮复习：《圆锥曲线中的最值、范围、证明专题》
高考数学第一轮复习：《圆锥曲线中的最值、范围、证明专题》圆锥曲线中的最值、范围问题是高考中的热点问题，常涉及不等式恒成立，求函数的值域问题，综合性比较强，题型可以是选择题、填空题和解答题的形式出现，而证明题多出现在解答题中，难度较大，分值为13分左右，常作为压轴题出现．建立目标函数求最值已知椭圆x 24＋y 22＝1上的两个动点P ，Q ，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)且x 1＋x 2＝2.(1)求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ；(2)设点A 关于原点O 的对称点是B ，求|PB |的最小值及相应的P 点坐标． (1)证明：∵P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，且x 1＋x 2＝2.当x 1≠x 2时，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4x 22＋2y 22＝4得y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2. 设线段PQ 的中点N (1，n )， ∴k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12n ，∴线段PQ 的垂直平分线方程为y －n ＝2n (x －1)， ∴(2x －1)n －y ＝0，该直线恒过一个定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.当x 1＝x 2时，线段PQ 的中垂线也过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.综上，线段PQ 的垂直平分线恒过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.(2)解：由于点B 与点A 关于原点O 对称， 故点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.∵－2≤x 1≤2，－2≤x 2≤2，∴x 1＝2－x 2∈[0,2]， |PB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋122＋y 21＝12(x 1＋1)2＋74≥94， ∴当点P 的坐标为(0，±2)时，|PB |min ＝32.【反思归纳】 (1)本题是圆锥曲线中的综合问题，涉及到了定点问题以及最值问题．求圆锥曲线的最值问题是高考考查的一个重要问题，通常是先建立一个目标函数，然后利用函数的单调性、函数的图象、函数的有界性或基本不等式等求最值，本题是建立二次函数、利用二次函数的图象求最值．(2)本题的第一个易错点是，表达不出线段PQ 的中垂线方程，原因是想不到引入参数表示PQ 的中点．第二个易错点是，易忽视P 点坐标的取值范围．实质上是忽视了椭圆的范围．【即时训练】 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12，椭圆E 的一个焦点为(3，0)．(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线过点M (0，2)且与椭圆E 交于A ，B 两点，求|AB |的最大值． 解析：(1)依题意，设椭圆E 的左、右焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)． 则|PF 1|＋|PF 2|＝4＝2a ，∴a ＝2，c ＝3，∴b 2＝1， ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当直线的斜率存在时是，设l ：y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝kx ＋2x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2＋82kx ＋4＝0.由Δ＞0得4k 2＞1.由x 1＋x 2＝－82k 1＋4k 2，x 1x 2＝41＋4k 2得|AB |＝1＋k2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2－6⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋4k 22＋11＋4k 2＋1. 设t ＝11＋4k2，则0＜t ＜12，∴|AB |＝2－6t 2＋t ＋1＝2－6⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1122＋2524≤566. 当直线的斜率不存在时是，|AB |＝2＜566， ∴|AB |的最大值为566.利用基本不等式求最值已知中心在原点O ，一个焦点为F (3，0)的椭圆被直线y ＝x －1截得的弦的中点的横坐标为45.(1)求此椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ＞0)与椭圆交于P ，Q 两点，且以PQ 为对角线的菱形的一个顶点为M (－1,0)，求△OPQ 面积的最大值及此时直线的方程．解析：(1)设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，由题意知c 2＝a 2－b 2＝3，① 设直线与椭圆的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 的中点为E ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得：x 21－x 22a 2＋y 21－y 22b 2＝0，两边同除以x 21－x 22，得b 2a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0，即b 2a 2＋k OE ·k AB ＝0.因为椭圆被直线y ＝x －1截得的弦的中点E 的横坐标为45，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－15，所以k OE ＝－14，k AB ＝1，所以b 2a 2－14＝0，即a 2＝4b 2，②由①②可得a 2＝4，b 2＝1， 所以所求椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 的中点为N (x 0，y 0)，联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋m x 24＋y 2＝1，消y 可得：(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，此时Δ＝16(4k 2＋1－m 2)＞0，即4k 2＋1＞m 2① 又x 0＝x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 0＝y 1＋y 22＝m1＋4k 2， PQ 为对角线的菱形的一顶点为M (－1,0)，由题意可知MN ⊥PQ ，即y 0－0x 0－(－1)＝－1k ，整理可得：3km ＝1＋4k 2 ②由①②可得k 2＞15，m ＞0，∴k ＞0，∴k ＞55，设O 到直线的距离为d ，则S△OPQ＝12d ·|PQ |＝12·m 1＋k21＋k 216(4k 2＋1－m 2)1＋4k2＝2(4k 2＋1)(5k 2－1)9k 2＝2920＋1k 2－1k 4，当1k 2＝12时，△OPQ 的面积取最大值1，此时k ＝2，m ＝322， ∴直线方程为y ＝2x ＋322.【反思归纳】 (1)基本不等式是几个正数和与积的转化的依据，不但可直接解决和与积的不等问题，而且通过结合不等式性质、函数单调性等还可解决其他形式的不等式．如：和与平方和、和与倒数和、和与根式和、和与两数之积的和等．(2)分析问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量设为函数．(3)利用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．【即时训练】 过抛物线x 2＝2y 上两点A 、B 分别作切线，若两条切线互相垂直，则线段AB 的中点到抛物线准线的距离的最小值为( )(A)12 (B)1 (C)32(D)2解：抛物线的方程即：y ＝x 22，则y ′＝x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则过A ，B 两点切线的斜率为：k 1＝x 1，k 2＝x 2，由题意可得：x 1x 2＝－1， 由题意可知抛物线的直线方程为x ＝－12， 则线段AB 的中点到抛物线准线的距离为： y 1＋y 22＋12＝14(x 21＋x 22＋2)≥14(2|x 1x 2|＋2)＝1， 当且仅当x 1＝－x 2＝1时等号成立．据此可得线段AB 的中点到抛物线准线的距离的最小值为1. 故选B.利用判别式构造不等关系求范围已知A ，B ，C 是椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的三点，其中点A 的坐标为(23，0)，BC 过椭圆的中心，且AC →·BC→＝0，|BC →|＝2|AC →|.(1)求椭圆M 的方程；(2)过点(0，t )的直线l (斜率存在时)与椭圆M 交于两点P ，Q ，设D 为椭圆M 与y 轴负半轴的交点，且|DP→|＝|DQ →|，求实数t 的取值范围．解：(1)因为|BC→|＝2|AC →|且BC 过(0,0)，则|OC |＝|AC |.因为AC →·BC →＝0，所以∠OCA ＝90°， 即C (3，3)． 又因为a ＝23，设椭圆的方程为x 212＋y 212－c 2＝1，将C 点坐标代入得312＋312－c2＝1，解得c 2＝8，b 2＝4. 所以椭圆的方程为x 212＋y 24＝1.(2)由条件D (0，－2)，当k ＝0时，显然－2<t <2；当k ≠0时，设l ：y ＝kx ＋t ，⎩⎨⎧x 212＋y 24＝1，y ＝kx ＋t ，消得(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3t 2－12＝0由Δ>0可得t 2<4＋12k 2，①设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 中点H (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3kt 1＋3k 2，y 0＝kx 0＋t ＝t1＋3k 2， 所以H －3kt 1＋3k 2，t 1＋3k 2，由|DP →|＝|DQ →|，所以DH ⊥PQ ，即k DH＝－1k .所以t1＋3k 2＋2－3kt 1＋3k 2－0＝－1k ， 化简得t ＝1＋3k 2，②所以t>1，将①代入②得，1<t<4.所以t的范围是(1,4)，综合t∈(1,2)．【反思归纳】解决圆锥曲线中的取值范围问题的五种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．(4)利用已知的不等式关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其变量的函数，求其他值域，从而确定参数的取值范围．【即时训练】已知两点F1(－1,0)及F2(1,0)，点P在以F1，F2为焦点的椭圆C上，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|构成等差数列．(1)求椭圆C的方程；(2)如图，动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l.求四边形F1MNF2面积S的最大值．解析：(1)依题意，设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1.∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|构成等差数列，∴2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，a＝2.又∵c＝1，∴b2＝3.∴椭圆C的方程为x24＋y23＝1.(2)将直线l的方程y＝kx＋m代入椭圆C的方程3x2＋4y2＝12中，得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，Δ＝64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得：m2＝4k2＋3，设d1＝|F1M|＝|－k＋m|k2＋1，d2＝|F2M|＝|k＋m|k2＋1，当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，则|d1－d2|＝|MN|·|tan θ|，∴|MN|＝|d1－d2k|，S＝12|d1－d2k|(d1＋d2)＝|d21－d222k|＝2|m|k2＋1＝2|m|m2－34＋1＝8|m|＋1|m|，∵m2＝4k2＋3，∴当k≠0时，|m|＞3，|m|＋1|m|＞3＋13＝433，S＜2 3.当k＝0时，四边形F1MNF2是矩形，S＝2 3.所以四边形F1MNF2面积S的最大值为2 3.利用直接法进行证明已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)经过点A⎝⎛⎭⎪⎫12，354，且两个焦点F1，F2的坐标依次为(－1,0)和(1,0)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设E ，F 是椭圆C 上的两个动点，O 为坐标原点，直线OE 的斜率为k 1，直线OF 的斜率为k 2，若k 1·k 2＝－1，证明：直线EF 与以原点为圆心的定圆相切，并写出此定圆的标准方程．解析：(Ⅰ)由椭圆定义得2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫354－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫354－02＝4， 即a ＝2，又c ＝1，所以b 2＝3，得椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1 (Ⅱ)设直线EF 的方程为y ＝kx ＋b ，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，直线EF 的方程与椭圆方程联立，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0， 当判别式Δ＝3＋4k 2－b 2＞0时，得x 1＋x 2＝－8kb3＋4k 2，x 1x 2＝4b 2－123＋4k 2设k 1·k 2＝m ，因为点E ，F 在直线y ＝kx ＋b 上，得(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝mx 1x 2， 整理得(k 2－m )x 1x 2＋bk (x 1＋x 2)＋b 2＝0，即(k 2－m )4b 2－123＋4k 2＋bk ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8kb 3＋4k 2＋b 2＝0，化简得b 2＝12k 2－12m 3－4m原点O 到直线EF 的距离d ＝|b |1＋k 2，d 2＝b 21＋k 2＝12k 2－12m(3－4m )k 2＋3－4m ， 由已知有d 是定值，所以有13－4m ＝－m 3－4m，解得m ＝－1即当k 1·k 2＝－1时，直线EF 与以原点为圆心的定圆相切，此时d ＝127，定圆的标准方程为x 2＋y 2＝127. 【反思归纳】 圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法．【即时训练】 已知抛物线W ：x 2＝y ，曲线l ：y ＝k |x |－2(k ＞0)与抛物线W 相交于A 、B 、C 、D 四点，AB ∥CD ，|AB |＜|CD |，AD 在y 轴右侧．(1)求k 的取值范围；(2)证明：直线AC 与BD 相交于点E ，并求出定点E 的坐标． 解：(1)由题意，设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，结合图形由对称知，直线AD ：y ＝kx －2(k ＞0)与抛物线W 有两个交点A 、D 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2y ＝x 2得x 2－kx ＋2＝0所以Δ＝k 2－8＞0，k ＞22，(2)由对称知可设该定点为E (0，t )，由韦达定理得：x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝2， 因为直线AC 与BD 相交于E (0，t )，所以k EA ＝k EC ， 又因为k ED ＝－k EC ，所以k EA ＋k ED ＝0 所以k EA ＋k ED ＝y 1－t x 1＋y 2－tx 2＝kx 1－(2＋t )x 1＋kx 2－(2＋t )x 2＝2k －(2＋t )(x 1＋x 2x 1x 2)＝0所以2k －(2＋t )k2＝0，t ＝2所以定点E (0,2)．课时作业1．设椭圆M ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率与双曲线x 2－y 2＝1的离心率互为倒数，且内切于圆x 2＋y 2＝4.(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线y ＝2x ＋m 交椭圆于A ，B 两点，且P (1，2)为椭圆上一点，求△P AB 的面积的最大值．解：(1)由双曲线的离心率为2，得椭圆的离心率e ＝c a ＝22. 易知圆x 2＋y 2＝4的直径为4，所以2a ＝4.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝4，c a ＝22，b 2＝a 2－c2得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝2，b ＝2，故椭圆M 的方程为y 24＋x 22＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝2x ＋m ，x 22＋y 24＝1，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0.由Δ＝(22m )2－16(m 2－4)＞0，得－22＜m ＜2 2. ∵x 1＋x 2＝－22m ，x 1x 2＝m 2－44， ∴|AB |＝1＋2·|x 1－x 2|＝3·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝3·12m 2－m 2＋4＝3·4－m 22. 又点P 到直线AB 的距离d ＝|m |3，则S△P AB＝12|AB |d ＝12×3×4－m 22·|m |3＝124m 2－m 42＝122m 2(8－m 2)≤122·m 2＋(8－m 2)2＝2，当且仅当m ＝±2∈(－22，22)时取等号．故△P AB 的面积的最大值为 2.2．已知圆G ：x 2＋y 2－2x －2y ＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F 及上顶点B .过椭圆外一点M (m,0)(m ＞a )作倾斜角5π6的直线l 交椭圆于C ，D 两点．(1)求椭圆的方程；(2)若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部，求m 的取值范围． 解：(1)∵圆G ：x 2＋y 2－2x －2y ＝0经过点F ，B ， ∴F (2,0)，B (0，2)，∴c ＝2，b ＝2， ∴a 2＝b 2＋c 2＝6，∴椭圆的方程为x 26＋y 22＝1.(2)由题意知直线l 的方程为y ＝－33(x －m )，m ＞6， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，y ＝－33(x －m )，消去y ，得2x 2－2mx ＋(m 2－6)＝0.由Δ＝4m 2－8(m 2－6)＞0，解得－23＜m ＜2 3. ∵m ＞6，∴6＜m ＜2 3.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－62， ∴y 1y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33(x 1－m )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33(x 2－m )＝13x 1x 2－m 3(x 1＋x 2)＋m 23. ∵FC →＝(x 1－2，y 1)，FD →＝(x 2－2，y 2)，∴FC →·FD →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝43x 1x 2－m ＋63(x 1＋x 2)＋m 23＋4＝2m (m －3)3.∵点F 在圆E 的内部，∴FC →·FD →＜0，即2m (m －3)3＜0， 解得0＜m ＜3.又∵6＜m ＜23，∴6＜m ＜3. 故m 的取值范围是(6，3)．3．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1(－1,0)、F 2(1,0)，过F 1作与x 轴不重合的直线l 交椭圆于A 、B 两点．(1)若△ABF 2为正三角形，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的离心率满足0＜e ＜5－12，O 为坐标原点，求证：|OA |2＋|OB |2＜|AB 2|. (1)解：由椭圆的定义知|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|，∵|AF 2|＝|BF 2|，∴|AF 1|＝|BF 1|，即F 1F 2为边AB 上的中线，∴F 1F 1⊥AB .在Rt △AF 1F 2中，cos 30°＝2c 4a 3，则c a ＝33，∴椭圆的离心率为33.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵0＜e ＜5－12，c ＝1，∴a ＞1＋52.①当直线AB 与x 轴垂直时，1a 2＋y 2b 2＝1，y 2＝b 4a 2，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝1－b 4a 2＝－a 4＋3a 2－1a 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－322＋54a 2，∵a 2＞3＋52，∴OA →·OB →＜0，∴∠AOB 恒为钝角，∴|OA |2＋|OB |2＜|AB |2. ②当直线AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程为：y ＝k (x ＋1)，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，整理得，(b 2＋a 2k 2)x 2＋2k 2a 2x ＋a 2k 2－a 2b 2＝0，∴x 1＋x 2＝－2a 2k 2b 2＋a 2k 2，x 1x 2＝a 2k 2－a 2b 2b 2＋a 2k 2，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝x 1x 2(1＋k 2)＋k 2(x 1＋x 2)＋k 2＝(a 2k 2－a 2b 2)(1＋k 2)－2a 2k 4＋k 2(b 2＋a 2k 2)b 2＋a 2k 2＝k 2(a 2＋b 2－a 2b 2)－a 2b 2b 2＋a 2k 2＝k 2(－a 4＋3a 2－1)－a 2b 2b 2＋a 2k2令m (a )＝－a 4＋3a 2－1，由①可知m (a )＜0，∴∠AOB 恒为钝角，∴恒有|OA |2＋|OB |2＜|AB |2. 4．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，F 1，F 2分别为左、右焦点，过F 1的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，且△PQF 2的周长为8.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点M (3,0)的直线交椭圆C 于不同两点A ，B ，N 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tON→(O 为坐标原点)，当|AB |＜3时，求实数t 的取值范围． 解析：(1)∵e 2＝c2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.又∵4a ＝8，∴a ＝2，∴b 2＝1， ∴椭圆C 的方程是x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N (x ，y )，AB 的方程为y ＝k (x －3)，由⎩⎨⎧y ＝k (x －3)x 24＋y 2＝1，整理得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0.由△＝242k 4－16(9k 2－1)(1＋4k 2)＞0，得k 2＜15. ∵x 1＋x 2＝24k 21＋4k 2，x 1·x 2＝36k 2－41＋4k 2，∴OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，则x ＝1t (x 1＋x 2)＝24k 2t (1＋4k 2)， y ＝1t (y 1＋y 2)＝1t [k (x 1＋x 2)·6k ]＝－6k t (1＋4k 2). 由点N 在椭圆上，得(24k 2)2t 2(1＋4k 2)2＋144k 2t 2(1＋4k 2)2＝4， 化简得36k 2＝t 2(1＋4k 2)．① 又由|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＜3，即(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＜3，将x 1＋x 2，x 1x 2代入得(1＋k 2)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤242k 4(1＋4k 2)2－4(36k 2－4)1＋4k 2＜3， 化简，得(8k 2－1)(16k 2＋13)＞0，则8k 2－1＞0，k 2＞18，∴18＜k 2＜15.②由①，得k2＝t236－4t2，联立②，解得3＜t2＜4.∴－2＜t＜－3或3＜t＜2，即t∈(－2，－3)∪(3，2)．。
专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题 微点1 圆锥曲线中的最值问题试题及答案
例7．
7．已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为− .记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.
（i）证明： 是直角三角形；
最值问题不仅解答题中分量较大，而且客观题中也时常出现．
一、常用方法
解决圆锥曲线中的最值问题，常见的方法有：
（1）函数法：一般需要找出所求几量的函数解析式，要注意自变量的取值范围．求函数的最值时，一般会用到配方法、均值不等式或者函数单调性．
（2）方程法：根据题目中的等量关系建立方程，根据方程的解的条件得出目标量的不等关系，再求出目标量的最值．
题型三、与向量有关的最值问题
例6．
6．如图，已知椭圆C1： ＋ ＝1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为A，P为椭圆C1上任一点，MN是圆C2：x2＋(y－3)2＝1的一条直径，在y轴上截距为3－ 的直线l与AF平行且与圆C2相切．
(1)求椭圆C1的离心率；
(2)若椭圆C1的短轴长为8，求 · 的最大值．
题型二、与角度有关的最值问题
例5．
5．在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 的离心率为 ，焦距为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）如图，动直线 ： 交椭圆 于 两点， 是椭圆 上一点，直线 的斜率为 ，且 ， 是线段 延长线上一点，且 ， 的半径为 ， 是 的两条切线，切点分别为 .求 的最大值，并求取得最大值时直线 的斜率.
专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题 微点1 圆锥曲线中的最值问题
专题23圆锥曲线中的最值、范围问题
新高考方案二轮-数学(新高考版)大题专攻(二) 第1课时 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
(2)已知 O 为坐标原点，M，N 为椭圆上不重合两点，且 M，N 的中点 H
落在直线 y＝12x 上，求△MNO 面积的最大值．
[解题微“点”]
(1)利用―A→G ·―B→G ＝0 及 e＝ 23构建方程组求 a，b， 即得椭圆方程； 切入点 (2)设出点 M，N 与 H 的坐标，表示出直线 MN 的方 程，与椭圆联立，利用弦长公式和点到直线的距离 公式表示△MNO 的面积后求最大值 障碍点 不要漏掉 Δ>0，利用此条件可求参数的取值范围
解：(1)依题意，2c＝6，则 b＝ 9－5＝2，
则双曲线 C：x52－y42＝1，B1(0，－2)，F2(3,0)．
设直线 l：4x＋3y＋m＝0，将 B1(0，－2)代入解得 m＝6，
此时 l：4x＋3y＋6＝0，F2 到 l 的距离为 d＝158.
(2)设双曲线上的点 P(x，y)满足―PB→1 ·―PB→2 ＝－2， 即 x2＋y2＝b2－2，又xa22－by22＝1⇒y2＝ba22x2－b2，
[对点训练] (2021·济南三模)已知抛物线C：x2＝4y，过点P(1，－2)作斜率为k(k>0)的直线l1与 抛物线C相交于A，B两点． (1)求k的取值范围； (2)过P点且斜率为－k的直线l2与抛物线C相交于M，N两点，求证：直线AM、BN 及y轴围成等腰三角形．
解：(1)由题意设直线 l1 的方程为 y＋2＝k(x－1)， 由xy＋2＝24＝y，kx－1， 得到：x2－4kx＋4k＋8＝0， 由题意知 Δ>0，所以 k2－k－2>0，即 k<－1 或 k>2. 因为 k>0，所以 k 的取值范围为(2，＋∞)．
[提分技巧] 解决范围问题的常用方法
利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，利 数形结合法
2021高考文科数学一轮复习：圆锥曲线中的范围、最值问题课时跟踪检测
第2课时 圆锥曲线中的范围、最值问题A 级·基础过关|固根基|1.抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为( ) A. 2 B.728 C ．2 2D.526解析：选 B 设抛物线上一点的坐标为(x ，y )，则d ＝|x －y －2|2＝|－x 2＋x －2|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－742，∴当x ＝12时，d min ＝728.2．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，且|AB |＝4，这样的直线可以作2条，则p 的取值范围是( )A ．(0，4)B ．(0，4]C ．(0，2]D ．(0，2)解析：选D 过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点的弦中最短的为通径，且通径长为2p ，由已知得2p <4，所以p <2.又p >0，所以0<p <2.故选D.3．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：选C 由题意得，F (－1，0)，设点P (x 0，y 0)，则y 20＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204(－2≤x 0≤2)． 则OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝14(x 0＋2)2＋2. 因为－2≤x 0≤2，所以当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值，最大值为6，故选C.4．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为左焦点F ，若14<k <23，则椭圆离心率的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 解析：选B 由题意知，B ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ， 所以k ＝b 2ac ＋a ＝a －c a ＝1－e .又14<k <23，所以14<1－e <23，解得13<e <34.5．已知点P 是双曲线C ：x 22－y 2＝1右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，F 1是双曲线C 的左焦点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值为( )A ．1B ．2＋155C ．4＋155D ．22＋1解析：选D 设F 2是双曲线C 的右焦点，因为|PF 1|－|PF 2|＝22，所以|PF 1|＋|PQ |＝22＋|PF 2|＋|PQ |，显然当F 2，P ，Q 三点共线且P 在F 2，Q 之间时，|PF 2|＋|PQ |最小，且最小值为F 2到l 的距离．易知l 的方程为y ＝x2或y ＝－x2，F 2(3，0)，则F 2到l 的距离为d ＝|3±0|3＝1，故|PF 1|＋|PQ |的最小值为22＋1.故选D.6．已知P (x 0，y 0)是椭圆C ：x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若PF 1→·PF 2→<0，则x 0的取值范围是________．解析：由题意可知，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则PF 1→·PF 2→＝(x 0＋3)(x 0－3)＋y 20＝x 20＋y 2－3<0.因为点P 在椭圆上，所以y 20＝1－x 204.所以x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204－3<0，解得－263<x 0<263，即x 0的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，2637．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为________．解析：由过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，可得b a<2，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2<1＋4＝ 5. ∵e >1，∴1<e <5，∴此双曲线离心率的取值范围为(1，5)． 答案：(1，5)8．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点的坐标为(3，0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是________．解析：∵PM →·AM →＝0，∴AM →⊥PM →， ∴|PM →|2＝|AP →|2－|AM →|2＝|AP →|2－1. ∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小， 故|AP →|min ＝2，∴|PM →|min ＝ 3. 答案： 39．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，焦距为2 2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .(1)求椭圆M 的方程；(2)若k ＝1，求|AB |的最大值．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝63，2c ＝2 2.解得a ＝3，b ＝1.所以椭圆M 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 23＋y 2＝1得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0. 所以x 1＋x 2＝－3m 2，x 1x 2＝3m 2－34.|AB |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝2[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝12－3m22. 当m ＝0，即直线l 过原点时，|AB |最大，最大值为 6.10．如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在抛物线C 上．(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋y 24＝1(x ＜0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围．解：(1)证明：设P (x 0，y 0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 21，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 22，y 2. 因为PA ，PB 的中点在抛物线上，即x 0＋14y 212，y 0＋y 12在y 2＝4x 上，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋y 122＝4×x 0＋14y 212，同理⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋y 222＝4×x 0＋14y 222.所以y 1，y 2为方程⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋y 022＝4×14y 2＋x 02，即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根． 所以y 1＋y 2＝2y 0， 因此，PM 垂直于y 轴．(2)由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 20， 所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 20－3x 0，|y 1－y 2|＝22（y 20－4x 0）. 因此，△PAB 的面积为S △PAB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝324(y 20－4x 0)32.因为x 2＋y 204＝1(x 0＜0)，所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4，5]， 因此，△PAB 面积的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤62，15104.B 级·素养提升|练能力|11.已知点P (0，1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B 满足 AP →＝2PB →，则当m ＝________时，点B 横坐标的绝对值最大．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AP →＝2PB →，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝2x 2，1－y 1＝2（y 2－1），即x 1＝－2x 2，y 1＝3－2y 2. 因为点A ，B 在椭圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 224＋（3－2y 2）2＝m ，x 224＋y 22＝m ，得y 2＝14m ＋34，所以x 22＝m －(3－2y 2)2＝－14m 2＋52m －94＝－14(m －5)2＋4≤4，所以当m ＝5时，点B 横坐标的绝对值最大． 答案：5 12.如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .则直线AP 斜率的取值范围为________，|PA |·|PQ |的最大值为________．解析：设直线AP 的斜率为k ，则k ＝x 2－14x ＋12＝x －12.因为－12<x <32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1，1)．联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32（k 2＋1）. 因为|PA |＝ 1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝ 1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－（k －1）（k ＋1）2k 2＋1，所以|PA |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3，k ∈(－1，1)． 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减， 因此，当k ＝12时，|PA |·|PQ |取得最大值2716.答案：(－1，1)271613．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求原点O 到直线l 的距离的取值范围．解：(1)由题知e ＝c a ＝32，2b ＝2， 又a 2＝b 2＋c 2，∴b ＝1，a ＝2， ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，依题意，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)>0，化简得m 2<4k 2＋1， ① ∴x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，∴y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2.∴4k 2x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝5x 1x 2，∴(4k 2－5)·4（m 2－1）4k 2＋1＋4km ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋1＋4m 2＝0，即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，化简得m 2＋k 2＝54， ②由①②得0≤m 2<65，120＜k 2≤54.∵原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k2，∴d 2＝m 21＋k 2＝54－k 21＋k 2＝－1＋94（1＋k 2）. 又120＜k 2≤54，∴0≤d 2＜87，∴原点O 到直线l 的距离的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2147. 14．(2020届安徽省示范高中名校高三联考)已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)，过其焦点F 的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，满足y 1y 2＝－4.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点C 的坐标为(－2，0)，记直线CA ，CB 的斜率分别为k 1，k 2，求1k 21＋1k 22的最小值．解：(1)因为直线AB 过焦点，所以设直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，代入抛物线方程得y2－2pmy －p 2＝0，则y 1y 2＝－p 2＝－4，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)由(1)知抛物线的焦点坐标为F (1，0)，则直线AB 的方程为x ＝my ＋1，代入抛物线的方程有y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，则k 1＝y 1x 1＋2＝y 1my 1＋3， k 2＝y 2x 2＋2＝y 2my 2＋3，所以1k 1＝m ＋3y 1，1k 2＝m ＋3y 2，因此1k 21＋1k 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋3y 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋3y 22＝2m 2＋6m ⎝⎛⎭⎪⎫1y 1＋1y 2＋9⎝⎛⎭⎪⎫1y 21＋1y22＝2m 2＋6m ·y 1＋y 2y 1y 2＋9·（y 1＋y 2）2－2y 1y 2y 21y 22＝2m 2＋6m ·4m －4＋9·（4m ）2＋816＝5m 2＋92，所以当m ＝0时，1k 21＋1k 22有最小值为92.。
圆锥曲线专题：最值与范围问题的6种常见考法(解析版)
圆锥曲线专题：最值与范围问题的6种常见考法一、圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：1、几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；2、代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．二、最值问题的一般解题步骤三、参数取值范围问题1、利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；3、利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；4、利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；5、利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．题型一距离与长度型最值范围问题【例1】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为2，点E 在椭圆上．当线段2EF 的中垂线经过1F 时，恰有21cos EF F ∠．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，且||2AB =，P 是以AB 为直径的圆上任意一点，O 为坐标原点，求||OP 的最大值．【答案】（1）2212x y +=；（2）max ||OP 【解析】（1）由焦距为2知1c =，连结1EF ，取2EF 的中点N ，线段2EF 的中垂线经过1F 时，1||22EF c ∴==，221212cos ,.1,F N EF F F N F F ∠∴∴-2122,2EF a EF EF a ∴=-∴=+=∴由所以椭圆方程为2212x y +=；（2）①当l 的斜率不存在时，AB 恰为短轴，此时||1OP =；②当l 的斜率存在时，设:l y kx m =+．联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得到222(21)4220k x kmx m +++-=，∴△2216880k m =-+>，122421km x x k -+=+，21222221m x x k -=+．21AB x x =-=2==，化简得2222122k m k +=+．又设M 是弦AB 的中点，121222()221my y k x x m k +=++=+∴()2222222241,,||212121km m k M OM k k k m -+⎛⎫= ⎪⎝⎭+⋅++,∴()()()222222222412141||22212221k k k OM k k k k +++=⋅=++++,令2411k t += ，则244||43(1)(3)4t OM t t t t===-++++∴||1OM =- （仅当t =，又||||||||1OP OM MP OM +=+2k =时取等号）．综上：max ||OP =【变式1-1】已知抛物线21:4C y x =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为3．（1）求椭圆2C 的方程；（2）过椭圆2C 的右焦点F 作斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆2C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为P ，过点P 做垂直于AB 的直线交x 轴于点D ，试求||||DP AB 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）1(0,)4【解析】（1）抛物线21:4C y x =的焦点F 为(1,0)，由题意可得2221c a b =-=①由1C 与2C 关于x 轴对称，可得1C 与2C 的公共点为2,33⎛± ⎝⎭，可得2248193a b +=②由①②解得2a =，b ，即有椭圆2C 的方程为22143x y+=；（2）设:(1)l y k x =-，0k ≠，代入椭圆方程，可得2222(34)84120k x k x k +-+-=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2122834kx x k +=+，212241234k x x k -=+，即有()312122286223434k ky y k x x k k k k -+=+-=-=++，由P 为中点，可得22243()3434k kP k k -++，，又PD 的斜率为1k -，即有222314:3434k k PD y x k k k ⎛⎫--=-- ++⎝⎭，令0y =，可得2234k x k=+，即有22034k D k ⎛⎫⎪+⎝⎭可得2334PD k ==+又AB ==2212(1)34k k +=+，即有DP AB =，由211k +>，可得21011k <<+，即有104<，则有||||DP AB 的取值范围为1(0,)4．【变式1-2】已知曲线C 上任意一点(),P x y2=，（1）求曲线C 的方程；（2）若直线l 与曲线C 在y 轴左､右两侧的交点分别是,Q P ，且0OP OQ ⋅=，求22||OP OQ +的最小值.【答案】（1）2212y x -=；（2）8【解析】（1）设())12,F F ，2=，等价于12122PF PF F F -=<，∴曲线C 为以12,F F 为焦点的双曲线，且实轴长为2，焦距为故曲线C 的方程为：2212y x -=；（2）由题意可得直线OP 的斜率存在且不为0，可设直线OP 的方程为()0y kx k =≠，则直线OQ 的方程为1=-y x k ，由2212y x y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，得222222222x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，所以()2222221||2k OP x y k+=+=-，同理可得，()2222212121||1212k k OQ k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==--，所以()()()22222222211111||||22121k k k OP OQ k k -+-++===++()()22222222112222228||||OQ OP OP OQ OP OQOP OQ OP OQ ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当2OP OQ ==时取等号，所以当2OP OQ ==时，22||OP OQ +取得最小值8.【变式1-3】已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为3π的直线被E 所截得的弦长为16.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点C 为抛物线上的任意一点，以C 为圆心的圆过点F ，且与直线12y =-相交于,A B两点，求FA FB FC ⋅⋅的取值范围.【答案】（1）24x y =；（2）[)3,+∞【解析】（1）由抛物线方程得：0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可设过点F 且倾斜角为3π的直线为：2py =+，由222p y x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：220x p --=，由抛物线焦点弦长公式可得：)12122816y y p x x p p ++=++==，解得：2p =，∴抛物线E 的方程为：24x y =.（2）由（1）知：()0,1F ，准线方程为：1y =-；设AFB θ∠=，圆C 的半径为r ，则2ACB θ∠=，FC CA CB r ===，1133sin 2224AFBSFA FB AB AB θ∴=⋅=⋅=，又2sin AB r θ=，3FA FB r ∴⋅=；由抛物线定义可知：11c CF y =+≥，即1r ≥，333FA FB FC r ∴⋅⋅=≥，即FA FB FC ⋅⋅的取值范围为[)3,+∞.题型二面积型最值范围问题20y -=与圆O 相切．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）椭圆C 的上顶点为B ，EF 是圆O 的一条直径，EF不与坐标轴重合，直线BE 、BF 与椭圆C 的另一个交点分别为P 、Q ，求BPQ 的面积的最大值及此时PQ 所在的直线方程．【答案】（1）2219x y +=；（2）()max278BPQ S=，PQ 所在的直线方程为115y x =±+【解析】20y -=与圆O相切，则1b =，由椭圆的离心率223c e a ==，解得：29a =，椭圆的标准方程：2219x y +=；（2）由题意知直线BP ，BQ 的斜率存在且不为0，BP BQ ⊥，不妨设直线BP 的斜率为(0)k k >，则直线:1BP y kx =+．由22119y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22218911991k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，或01x y =⎧⎨=⎩，所以2221819,9191k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.用1k -代替k ，2229189,9k k Q k k ⎛⎫-+ ⎝+⎪⎭则21891k PB k ==+2189BQ k==+，22222111818162(1)22919(9)(19)BPQ k k k S PB BQ k k k k +=⋅=⋅=++++△342221162()162()99829982k k k k k k k k ++==++++，设1k k μ+=，则21621622764829(2)89BPQ S μμμμ∆==≤+-+．当且仅当649μμ=即183k k μ+==时取等号，所以()max278BPQ S=.即21128(()49k k kk-=+-=，1k k -=直线PQ的斜率222222291911191918181010919PQk k k k k k k k k k k k k ---+-⎛⎫++===-= ⎪⎝⎭--++PQ所在的直线方程：1y =+.【变式2-1】在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的周长为12，AB ，AC 边的中点分别为()11,0F -和()21,0F ，点M 为BC 边的中点（1）求点M 的轨迹方程；（2）设点M 的轨迹为曲线Γ，直线1MF 与曲线Γ的另一个交点为N ，线段2MF 的中点为E ，记11NF O MF E S S S =+△△，求S 的最大值.【答案】（1）()221043x y y +=≠；（2）max 32S =【解析】（1）依题意有：112F F =，且211211262MF MF F F ++=⨯=，∴121242MF MF F F +=>=，故点M 的轨迹C 是以()11,0F -和()21,0F 为焦点，长轴长为4的椭圆，考虑到三个中点不可共线，故点M 不落在x 上，综上，所求轨迹方程：()221043x y y +=≠.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，显然直线1MF 不与x 轴重合，不妨设直线1MF 的方程为：1x ty =-,与椭圆()221043x y y +=≠方程联立整理得：()2234690t y ty +--=，()()22236363414410t t t ∆=++=+>，112634t y y t +=+，1129034y y t =-<+,11111122NF O S F y y O ==△，112122211112222MF E MF F S S F F y y ==⋅=△△,∴()()1112122111Δ22234NF O MF E S S S y y y y t =+=+=-=⋅=+△△令()2344u t u =+≥，则()S u ϕ====∵4u ≥，∴1104u <≤，当114u =，即0=t 时，∴max 32S =,∴当直线MN x ⊥轴时，∴max 32S =.【变式2-2】已知双曲线()222210x y a a a-=>的右焦点为()2,0F ，过右焦点F 作斜率为正的直线l ，直线l 交双曲线的右支于P ，Q 两点，分别交两条渐近线于,A B 两点，点,A P 在第一象限，O 为原点．（1）求直线l 斜率的取值范围；（2）设OAP △，OBP ，OPQ △的面积分别是OAP S △，OBP S △，OPQS ，求OPQ OAP OBPS S S ⋅△△△的范围．【答案】（1）()1,+∞；（2）).【解析】（1）因为双曲线()222210x y a a a-=>的右焦点为()2,0F ，故2c =，由222c a a =+得22a =，所以双曲线的方程为，22122x y -=，设直线l 的方程为2x ty =+，联立双曲线方程得，()222222121021420Δ0120t x y t y ty t x ty y y ⎧⎧-≠⎪-=⎪⇒-++=⇒>⇒<⎨⎨=+⎪⎪⋅<⎩⎩，解得01t <<，即直线l 的斜率范围为()11,k t=∈+∞；（2）设()11,P x y ，渐近线方程为y x =±，则P 到两条渐近线的距离1d ，2d 满足，22111212x yd d-⋅==而21221AAxy x tx ty yt⎧⎧=⎪⎪=⎪⎪-⇒⎨⎨=+⎪⎪=⎪⎪-⎩⎩，OA==21221BBxy x tx ty yt⎧⎧=⎪⎪=-⎪⎪+⇒⎨⎨=+-⎪⎪=⎪⎪+⎩⎩，OB==所以12122112221OAP OBPS S OA d OB d d dt⋅=⋅⋅⋅=-△△由()2222214202x y t y tyx ty⎧-=⇒-++=⎨=+⎩，12OPQ OFP OFQ P QS S S OF y y=+=-△△△所以，OPQOAP OBPSS S=⋅△△△，∵01t<<，∴)2OPQOAP OBPSS S∈⋅△△△.【变式2-3】已知抛物线()2:20E y px p=>的焦点为F，P为E上的一个动点，11,2⎛⎫⎪⎝⎭Q与F在E的同一侧，且PF PQ+的最小值为54.（1）求E的方程；（2）若A点在y轴正半轴上，点B、C为E上的另外两个不同点，B点在第四象限，且AB，OC互相垂直、平分，求四边形AOBC的面积.（人教A版专题）【答案】（1）2y x=；（2）【解析】（1）作出E的准线l，方程为2px=-，作PR l⊥于R，所以PR PF=，即PR PQ+的最小值为54，因为11,2⎛⎫⎪⎝⎭Q与F在E的同一侧，所以当且仅当P，Q，R三点共线时PR PQ+取得最小值，所以5124p+=，解得0.5p=，所以E的方程为2y x=；（2）因为AB，OC互相垂直、平分，所以四边形AOBC是菱形，所以BC x⊥轴，设点()0,2A a，所以2BC a=，由抛物线对称性知()2,B a a-，()2,C a a，由AO OB =，得2a=a =所以菱形AOBC 的边AO =23h a ==，其面积为3S AO h =⋅==题型三坐标与截距型最值范围问题【例3】已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>过点()，渐近线方程为12y x =±，直线l 是双曲线C 右支的一条切线，且与C 的渐近线交于A ，B 两点．（1）求双曲线C 的方程；（2）设点A ，B 的中点为M ，求点M 到y 轴的距离的最小值．【答案】（1）2214x y -=；（2）2【解析】（1）由题设可知2281112a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩则C ：2214x y -=．（2）设点M 的横坐标为0M x >当直线l 斜率不存在时，则直线l ：2x =易知点M 到y 轴的距离为2M x =﹔当直线l 斜率存在时，设l ：12y kx m k ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭，()11,A x y ，()22,B x y ，联立2214x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()222418440k x kmx m -+++=，()()222264164110k m k m ∆=--+=，整理得2241k m =+联立2204x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()22241840k x kmx m -++=，则122288841km km k x x k m m+=-=-=--，则12402Mx x kx m +==->，即0km <则222216444Mk x m m==+>，即2M x >∴此时点M 到y 轴的距离大于2；综上所述，点M 到y 轴的最小距离为2．【变式3-1】若直线:l y =22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行.（1）求双曲线的方程；（2）若过点B (0，b )且与x 轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M ，N ，MN 的垂直平分线为m ，求直线m 与y 轴上的截距的取值范围.【答案】（1）2213x y -=；（2）(4,)+∞.【解析】（1）直线323:33l y =-过x 轴上一点(2,0)，由题意可得2c =，即224a b +=，双曲线的渐近线方程为b y x a=±，由两直线平行的条件可得b a =1a b ==，即有双曲线的方程为2213x y -=.（2）设直线1(0)y kx k =+≠，代入2213x y -=，可得22(13)660k x kx ---=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122266,1313k x x x x k k +==--，MN 中点为2231,1313kk k ⎛⎫ --⎝⎭，可得MN 的垂直平分线方程为221131313k y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭，令0x =，可得2413y k =-，由223624(13)0k k ∆=+->，解得232k <，又26031k <-，解得231k <，综上可得，2031k <<，即有2413k -的范围是(4,)+∞，可得直线m 与y 轴上的截距的取值范围为(4,)+∞.【变式3-2】已知动圆C 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦长为4，圆心C 的轨迹为曲线Γ.（1）求Γ的方程：（2）过点(1,0)P 的直线l 与F 相交于,M N 两点.设PN MP λ=，若[]2,3λ∈，求l 在y 轴上截距的取值范围.【答案】（1）24y x =；（2）⎡-⎣【解析】（1）设(,)C x y ，圆C 的半径为R ，则()()22222220R x x y =+=-+-整理，得24y x=所以Γ的方程为24y x =.（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，又(1,0)P ，由PN MP λ=，得()()22111,1,x y x y λ-=--21211(1)x x y y λλ-=-⎧∴⎨=-⎩①②由②，得12222y y λ=，∵2211224,4y x y x ==∴221x x λ=③联立①､③解得2x λ=，依题意有0λ>(2,N N ∴-或，又(1,0)P ，∴直线l 的方程为())11y x λ-=-，或())11y x λ-=--，当[2,3]k ∈时，l 在y轴上的截距为21λ-或21λ--，21=[2,3]上是递减的，21λ≤≤-，21λ-≤-≤-∴直线l 在y轴上截距的取值范围为⎡--⎣.【变式3-3】已知两个定点A 、B 的坐标分别为()1,0-和()1,0，动点P 满足AP OB PB ⋅=（O 为坐标原点）．（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）设点(),0C a 为x 轴上一定点，求点C 与轨迹E 上点之间距离的最小值()d a ；(3)过点()0,1F 的直线l 与轨迹E 在x 轴上方部分交于M 、N 两点，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于D 点，求D 点横坐标的取值范围．【答案】（1）24y x =；（2）(),22a a d a a ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩；（3）()3,+∞【解析】（1）设(),P x y ，()1,AP x y =+，()1,0OB =，()1,PB x y =--，()1101AP OB x y x ⋅=+⨯+⨯=+，B P =AP OB PB ⋅=，则1x +，所以2222121x x x x y ++=-++，即24y x =．（2）设轨迹E ：24y x =上任一点为()00,Q x y ，所以2004y x =，所以()()222200004CQ x a y x a x =-+=-+()()20200220x a x a x =--+≥，令()()()220000220g x x a x a x =--+≥，对称轴为：2a -，当20a -<，即2a <时，()0g x 在区间[)0,∞+单调递增，所以00x =时，()0g x 取得最小值，即2min 2CQ a =，所以min CQ a =，当20a -≥，即2a ≥时，()0g x 在区间[)0,2a -单调递减，在区间[)2,a -+∞单调递增，所以02x a =-时，()0g x 取得最小值，即()22min 2244CQ a a a =--+=-，所以minCQ =，所以(),22a a d a a ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩（3）当直线l 的斜率不存在时，此时l ：0x =与轨迹E 不会有两个交点，故不满足题意；当直线l 的斜率存在时，设l ：1y kx =+，()11,M x y 、()22,N x y ，代入24y x =，得2+14y y k =⨯，即2440ky y -+=，所以124y y k +=，124y y k =，121212211242y y y y x x k k k k k--+-+=+==-，因为直线l 与轨迹E 在x 轴上方部分交于M 、N 两点，所以0∆>，得16160k ->，即1k <；又M 、N 两点在x 轴上方，所以120y y +>，120y y >，即40k>，所以0k >，又1k <，所以01k <<，所以MN 中点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，即2212,kk k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以垂直平分线为22121y x k k k k ⎛⎫-=--+ ⎝⎭，令0y =，得222111152248x k k k ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为01k <<，所以11k >，所以21115248x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在11k >时单调递增，所以22111511522134848k ⎛⎫⎛⎫-+>-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即3x >，所以D 点横坐标的取值范围为：()3,+∞.题型四斜率与倾斜角最值范围问题【例4】设12F F 、分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点．（1）若P 是该椭圆上的一个动点，求125=4PF PF ⋅-，求点P 的坐标；（2）设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．【答案】（1）⎛ ⎝⎭；（2）2,2⎛⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】（1）由题意知，2,1,a b c ===所以())12,F F ，设(,)(0,0)P m n m n >>，则22125(,),)34PF PF m n m n m n ⋅=-⋅-=+-=-，又2214m n +=，有222214534m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=-⎪⎩，解得1m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以P ；（2）显然0x =不满足题意，设直线l 的方程为2y kx =+，设()()1122,,A x y B x y ，，22221(14)1612042x y k x kx y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩，22(16)4(41)120k k ∆=-+⨯>，解得234k >，①1212221612,4141k x x x x k k +=-=++，则212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++，又AOB ∠为锐角，则cos 0AOB ∠>，即0OA OB ⋅>，12120x x y y +>，所以21212121212(1)2()4x x y y y y k x x k x x +==++++2222212(1)1624(4)40414141k k k k k k k +⋅-=-+=>+++，解得204k <<，②由①②，解得322k -<<或322k <<，所以实数k的取值范围为(2,-.【变式4-1】已知椭圆:Γ22221(0x y a b a b +=>>）的左焦点为F ，其离心率22e =，过点F垂直于x 轴的直线交椭圆Γ于P ，Q两点，PQ （1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆的下顶点为B ，过点D （2，0）的直线l 与椭圆Γ相交于两个不同的点M ，N ，直线BM ，BN 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）()1211,,2222k k ⎛⎫⎛+∈-∞⋃-⋃+∞⎪ ⎝⎭⎝【解析】（1）由题可知2222222c e a bPQ a a b c⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.所以椭圆Γ的方程为：2212x y +=.（2）由题可知，直线MN 的斜率存在，则设直线MN 的方程为(2)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y .由题可知2212(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得2222(21)8820k x k x k +-+-=22222(8)4(21)(81)8(21)0k k k k ∆=--+-=-->，解得22k ⎛∈- ⎝⎭.由韦达定理可得2122821k x x k +=+，21228221k x x k -=+.由（1）知，点(0,1)B -设椭圆上顶点为A ，(0,1)A ∴，12DA k k ≠=-且12DB k k ≠=，∴()()1212121212211111k x k x y y k k x x x x -+-++++=+=+()()()221221228121212228212k k k x x k k k k x x k -⋅-++=+=+-+()242111212,,221212122k k k k k k ⎛⎫⎛=-==-∈+∞⋃-∞⋃ ⎪ +++⎝⎭⎝∴12k k +的取值范围为()11,,2222⎛⎫⎛-∞⋃-⋃+∞ ⎪ ⎝⎭⎝．【变式4-2】）已知椭圆1C 的方程为22143x y +=，双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点.（1）求双曲线2C 的方程；（2）若直线:2l y kx =+与双曲线2C 恒有两个不同的交点A 和B ，且1OA OB ⋅>（其中O 为原点），求k 的取值范围.【答案】（1）2213y x -=（2）(()1,1-【解析】（1）由题,在椭圆1C 中,焦点坐标为()1,0-和()1,0；左右顶点为()2,0-和()2,0,因为双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点,所以在双曲线2C 中,设双曲线方程为22221x ya b-=,则221,4a c ==,所以2223b c a =-=,所以双曲线2C 的方程为2213y x -=（2）由（1）联立22213y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,消去y ,得()223470k x kx -++=①；消去x ,得()2223121230k y y k -+-+=②设()()1122,,,A x y B x y ,则12,x x 为方程①的两根,12,y y 为方程②的两根；21212227123,33k x x y y k k -+⋅=⋅=--，21212227123133k OA OB x x y y k k -+⋅=⋅+⋅=+>--，得23k >或21k <③,又因为方程①中,()22216384k k k ∆=-4⨯7-=-12+>0,得27k <④,③④联立得k的取值范围(()1,1⋃-⋃【变式4-3】已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.【答案】（1）24y x =；（2）最大值为13.【解析】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为222p p p ⎛⎫--== ⎪⎝⎭，所以该抛物线的方程为24y x =；（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法设()00,Q x y ，则()00999,9PQ QF x y ==--，所以()00109,10P x y -，由P 在抛物线上可得()()200104109y x =-，即20025910y x +=，据此整理可得点Q 的轨迹方程为229525=-y x ，所以直线OQ 的斜率000220001025925910OQ y y y k y x y ===++，当00y =时，0OQ k =；当00y ≠时，0010925OQ k y y =+，当00y >时，因为0092530y y +≥，此时103OQ k <≤，当且仅当00925y y =，即035y =时，等号成立；当00y <时，0OQ k <；综上，直线OQ 的斜率的最大值为13.[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法同方法一得到点Q 的轨迹方程为229525=-y x ．设直线OQ 的方程为y kx =，则当直线OQ 与抛物线229525=-y x 相切时，其斜率k 取到最值．联立2,29,525y kx y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩得22290525k x x -+=，其判别式222940525⎛⎫∆=--⨯= ⎪⎝⎭k ，解得13k =±，所以直线OQ 斜率的最大值为13．题型五向量型最值范围问题【例5】在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221:142x y C -=与椭圆222:142x y C +=，A ，B分别为1C 的左､右顶点，点P 在双曲线1C 上，且位于第一象限.（1）直线OP 与椭圆2C 相交于第一象限内的点M ，设直线PA ，PB ，MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，求1234k k k k +++的值；（2）直线AP 与椭圆2C 相交于点N （异于点A ），求AP AN ⋅的取值范围.【答案】（1）0；（2）()16,+∞【解析】（1）方法1：设直线():0OP y kx k =>，联立22142y kxx y =⎧⎪⎨-=⎪⎩，消y ，得()22124k x -=，所以20120k k >⎧⎨->⎩，解得202k <<，设()()1111,0,0P x y x y >>，则11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以P ⎛⎫.联立22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y ，得()22124k x +=，设()()2222,0,0M x y x y >>，则22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以M ⎛⎫.因为()2,0A -，()2,0B ，所以211111221112821124224412k y y x y k k k x x x k k-+=+===-+---，222223422222821124224412ky y x y k k k x x x k k ++=+==--+--+，所以1234110k k k k k k ⎛⎫+++=+-= ⎪⎝⎭.方法2设()()1111,0,0P x y x y >>，()()2222,0,0M x y x y >>，因为()2,0A -，()2,0B ，所以11111221112224y y x yk k x x x +=+=-+-，22223422222224y y x yk k x x x +=+=-+-.因为点P 在双曲线1C 上，所以2211142x y -=，所以221142x y -=，所以1121x k k y +=.因为点Q 在椭圆线2C 上，所以2222142x y +=，所以222242x y -=-，所以2342x k k y +=-.因为O ，P ，M 三点共线，所以1212y y x x =，所以121234120x x k k k k y y +++=-=.（2）设直线AP 的方程为2y kx k =+，联立22224y kx k x y =+⎧⎨-=⎩，消y ，得()()22222184210k x k x k -+++=，解得12x =-，2224212k x k +=-，所以点P 的坐标为222424,1212k k k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，因为点P 位于第一象限，所以222420124012k k k k ⎧+>⎪⎪-⎨⎪>⎪-⎩，解得202k <<，联立22224y kx k x y =+⎧⎨+=⎩，消y ，得()()22222184210k x k x k +++-=，解得32x =-，2422412kx k -=+，所以点N 的坐标为222244,1212k k k k ⎛⎫- ++⎝⎭，所以()22222224161422444221212121214k k k k kAP AN AP AN k k k k k +⎛⎫⎛⎫+-⋅=⋅=--+⋅= ⎪⎪-+-+-⎝⎭⎝⎭，设21t k =+，则312t <<，所以22161616314(1)48384t tAP AN t t t t t ⋅===---+-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.因为函数3()4f x x x=+在区间31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以当312t <<时，3748t t <+<，所以30841t t ⎛⎫<-+< ⎪⎝⎭，所以1616384t t >⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即16AP AN ⋅>，故AP AN ⋅的取值范围为()16,+∞.【变式5-1】已知O为坐标原点，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为3，且经过点P．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C交于A，B两点，直线OA的斜率为1k，直线OB的斜率为2k，且1213k k=-，求OA OB⋅的取值范围．【答案】（1）22193x y+=；（2）[3,0)(0,3]-.【解析】（1）由题意，223611caa b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，又222a b c=+，解得3,a b==所以椭圆C为22193x y+=.（2）设()()1122,,,A x yB x y，若直线l的斜率存在，设l为y kx t=+，联立22193y kx tx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y得：()222136390+++-=k x ktx t，22Δ390k t=+->，则12221226133913ktx xktx xk-⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，又12k k=121213y yx x=-，故121213=-y y x x且120x x≠，即2390-≠t，则23≠t，又1122,y kx t y kx t=+=+，所以()()()222222222121212221212122691133939313-+++++-+==+=+==---+k t tkx t kx t kt x x ty y t kkk ktx x x x x x tk，整理得222933=+≥t k，则232≥t且Δ0>恒成立．221212121212222122393333133313--⎛⎫⋅=+=-==⋅=⋅=-⎪+⎝⎭t tOA OB x x y y x x x x x xk t t，又232≥t，且23≠t，故2331[3,0)(0,3)⎛⎫-∈-⎪⎝⎭t.当直线l的斜率不存在时，2121,x x y y==-，又12k k=212113-=-yx，又2211193x y+=，解得2192x=则222111233⋅=-==OA OB x y x．综上，OA OB ⋅的取值范围为[3,0)(0,3]-．【变式5-2】已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的离心率为2，F 为双曲线的右焦点，直线l 过F 与双曲线的右支交于P Q ，两点，且当l 垂直于x 轴时，6PQ =；（1）求双曲线的方程；（2）过点F 且垂直于l 的直线'l 与双曲线交于M N ，两点，求MP NQ MQ NP ⋅⋅+的取值范围．【答案】（1）2213y x -=；（2）(],12-∞-【解析】（1）依题意，2c a =，当l 垂直于x 轴时，226b PQ a==，即23b a =，即223c a a -=，解得1a =，b =2213y x -=；（2）设:2PQ l x my =+，联立双曲线方程2213y x -=，得：()22311290m y my -++=，当0m =时，()()()()2,3,2,3,0,1,0,1P Q M N --，12MP NQ MQ NP ⋅+⋅=-，当0m ≠时，设()()()()11223344,,,,,,,P x y Q x y M x y N x y ，因为直线PQ 与双曲线右支相交，因此1229031y y m =<-，即m ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，同理可得234293m y y m =-，依题意()()MP NQ MF FP NF FQ MF NF FP FQ =+⋅+=⋅+⋅⋅，同理可得，()()MQ NP MF FQ NF FP MF NF FP FQ =+⋅+⋅=⋅+⋅，而()212342111FP FQ MF NF m y y y y m ⎛⎫⋅+⋅=+++ ⎪⎝⎭，代入122931y y m =-，234293m y y m =-，()()()()()()222242224222919118163633133103133m m m m m FP FQ MF NF m m m m m m ++-+++⋅+⋅=+==----+--，分离参数得，2429663103m FP FQ MF NF m m ⋅+⋅=---+，因为3333m ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，当210,3m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由22110,3m m ⎛⎫+∈+∞ ⎪⎝⎭，()22966,61310FP FQ MF NF m m ⋅+⋅=-∈-∞-⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以()()2,12MP NQ MQ N FP FQ MF NF P ⋅=⋅+⋅∈∞-⋅-+，综上可知，MP NQ MQ NP ⋅⋅+的取值范围为(],12-∞-.【变式5-3】已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，直线4x =分别与x 轴交于点P ，与抛物线E 交于点Q ，且54QF PQ =.（1）求抛物线E 的方程；（2）如图，设点,,A B C 都在抛物线E 上，若ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，求AB AC ⋅uu u r uuu r的最小值.【答案】（1）24x y =；（2）32【解析】（1）设点()04,Q y ，由已知000216524py p y y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，则8102p p p +=，即24p =.因为0p >，则2p =，所以抛物线E 的方程是24x y =.（2）设点()222312123123,,,,,444x x x A x B x C x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，直线AB 的斜率为()0k k >，因为AB BC ⊥，则直线BC 的斜率为1k-.因为AB BC =，则1223x x x x -=-，得()2312x x k x x -=-，①因为22121212444x x x x k x x -+==-，则124x x k +=，即124x k x =-，②因为223223231444x x x x k x x -+-==-，则234x x k +=-，即324x x k =--③将②③代入①，得()2242420x k k x k+--=，即()()322212120k k x k kk-+---=，则()()32211k xk k -=+，所以()()()()22222122··cos 451421AB AC AB AC AB x x k k x k ︒===-+=-+()()()()()2332222411614111k k k k k k k k ⎡⎤-+⎢⎥=-+=++⎢⎥⎣⎦因为212k k +≥，则()22214k k +≥，又()22112k k++≥，则()()3222121k k k +≥+，从而()()3222121kk k +≥+当且仅当1k =时取等号，所以AB AC 的最小值为32.题型六参数型最值范围问题【例6】已知点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆222:1(1)xC y a a+=>上，直线,OM ON 的斜率之积是13-，且22212x x a +=.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点()0,2Q 的直线与椭圆C 交于点,A B ，且(1)QB t QA t =>，求t 的取值范围.【答案】（1）2213x y +=；（2）(]1,3【解析】（1）椭圆方程改写为:2222x a y a +=，点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆上，有222211a y a x =-，222222a y a x =-，两式相乘，得：()()()222222222241142122122a a a y y a x a x x x x x --==-++，由22212x x a +=，得222212241a y y x x =，由直线,OM ON 的斜率之积是13-，得121213y y x x =-，即222212129y y x x =，∴49a =，23a =，椭圆C 的方程为：2213x y +=.（2）过点()0,2Q 的直线若斜率不存在，则有()0,1A ，()0,1B -，此时3t =；当过点()0,2Q 的直线斜率存在，设直线方程为2y kx =+，由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()22131290k x kx +++=，直线与椭圆C 交于点,A B 两点，∴()2221249(13)36360k k k ∆=-⨯⨯+=->，得21k >设()()1122,,,A x y B x y ''''，(1)QB t QA t =>，21x x t '='由韦达定理12122121212(1)13913k x x t x k x x tx k ''''-⎧+==+⎪⎪+⎨⎪⋅+'='=⎪⎩，消去1x '，得()229131441t k t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+，由21k >，2101k<<，∴()2311641t t <<+，由1t >，解得13t <<，综上，有13t <≤，∴t 的取值范围为(]1,3【变式6-1】已知A 、B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点，O 为坐标原点，=6AB ，点2,3⎛⎫⎪⎝⎭5在椭圆C 上．过点()0,3P -，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆C 于M 、N 两个不同的点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点B 落在以线段MN 为直径的圆的外部，求直线的斜率k 的取值范围；（3）当直线的倾斜角θ为锐角时，设直线AM 、AN 分别交y 轴于点S 、T ，记PS PO λ=，PT PO μ=，求λμ+的取值范围．【答案】（1）22195x y +=；（2）227,,1,332k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）因为=6AB ，所以=3a ；又点2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭5在图像C 上即()22252319b⎛⎫⎪⎝⎭+=，所以b 所以椭圆C 的方程为22195x y +=；（2）由（1）可得()3,0B ，设直线3l y kx =-：，设11(,)M x y 、22(,)N x y ，由22=-3=195y kx x y ⎧⎪⎨+⎪⎩得22(59)54360k x kx +-+=，22(54)436(59)0k k ∆=-⨯⨯+>解得23k >或23k <-①∵点()3,0B 在以线段MN 为直径的圆的外部，则0BM BN ⋅>，又12212254+=5+936=5+9k x x k x x k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩②211221212(3,)(3,)(1)3(1)()180BM BN x y x y k x x k x x ⋅=--=+-+++>，解得1k <或72k >由①②得227,,1,332k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）设直线3l y kx =-：，又直线的倾斜角θ为锐角，由（2）可知23k >，记11(,)M x y 、22(,)N x y ，所以直线AM 的方程是：()1133y y x x =++，直线AN 的方程是：()2233y y x x =++.令=0x ，解得113+3y y x =，所以点S 坐标为1130,+3y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；同理点T 为2230,+3y x ⎛⎫⎪⎝⎭.所以1130,3+3y PS x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2230,3+3y PT x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()0,3PO =.由PS PO λ=，PT PO μ=，可得：11333+3y x λ+=，22333+3y x μ+=，所以1212233y yx x λμ+=++++，由（2）得1225495k x x k +=+，1223695x k x =+，所以()()()1212121212122311333338229kx x k x x kx kx x x x x x x λμ--++-+-+=++=+++++()222254231189595254936369595k k k k k k k k ⎛⎫⋅+-- ⎪++⎝⎭=+⎛⎫++ ⎪++⎝⎭21012921k k k +=-⨯+++()()2110291k k +=-⨯++101291k =-⨯++，因为23k >，所以5131,0315k k +><<+，10142,2913k ⎛⎫-⨯+∈ ⎪+⎝⎭，故λμ+的范围是4,23⎛⎫⎪⎝⎭.【变式6-2】设A ，B 为双曲线C ：22221x y a b-=()00a b >>，的左、右顶点，直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于M ，N 两点，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形．（1）求双曲线C 的离心率；（2）已知4AB =，若直线AM ，AN 分别交直线1x =于P ，Q 两点，若()0D t ，为x 轴上一动点，当直线l 的倾斜角变化时，若PDQ ∠为锐角，求t 的取值范围．【答案】（1）2；（2）{2t t <-或}4t >【解析】（1）由双曲线C ：22221x y a b-=()00a b >>，可得：右焦点(),0F c ，将x c =代入2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>中，2by a=±，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形，此时AF FM =，即2b ac a+=，整理得：220a ac b +-=，因为222b c a =-，所以2220a ac c +-=，方程两边同除以2a 得：220e e +-=，解得：2e =或1-（舍去），所以双曲线C 的离心率为2；（2）因为24AB a ==，所以2a =，因为2c e a ==，解得4c =，故22212b c a =-=，所以双曲线的方程为221412x y -=，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()4y k x =-，与双曲线联立得：()22223816120kxk x k -+--=，设()()1122,,,M x y N x y ，则212283k x x k +=-，212216123k x x k +=-，则()()()221212121244416y y k x x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦222221612321633k k k k k ⎛⎫+=-+ ⎪--⎝⎭22363k k -=-，因为直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于,M N 两点，所以22121222816124,433k k x x x x k k ++=>=>--，解得：23k >，直线()11:22y AM y x x =++，则1131,2y P x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理可求得：2231,2y Q x ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以11,213y D x P t ⎪+⎛⎫=- ⎝⎭，22,213y D x Q t ⎪+⎛⎫=- ⎝⎭，因为PDQ ∠为锐角，所以()()12221192202D y y x Q t x P D t ⋅=+-+>++，即()1122122109224y y x x x t x t +-+++>+，所以22222221203693161216433k k k k t k t k -⨯-++--+++>-所以21290t t +-->即()219t ->，解得2t <-或4t >；当直线l 的斜率不存在时，将4x =代入双曲线可得6y =±，此时不妨设()()4,6,4,6M N -，此时直线:2AM y x =+，点P 坐标为()1,3，同理可得：()1,3Q -，所以()1,3DP t =-，()1,3DQ t =--，因为PDQ ∠为锐角，所以2280DP DQ t t ⋅=-->，解得2t <-或4t >；综上所述，t 的取值范围{2t t <-或}4t >【变式6-3】22122:1y x C a b-=上的动点P 到两焦点的距离之和的最小值为22:2(0)C x py p =>的焦点与双曲线1C 的上顶点重合．（1）求抛物线2C 的方程；（2）过直线:(l y a a =为负常数）上任意一点M 向抛物线2C 引两条切线，切点分别为AB ，坐标原点O 恒在以AB 为直径的圆内，求实数a 的取值范围．【答案】（1）24x y =；（2）40a -<<.【解析】（1）由已知：双曲线焦距为，则长轴长为2，故双曲线的上顶点为(0,1)，即为抛物线焦点.∴抛物线2C 的方程为24x y =；（2）设(,)M m a ，2111(,)4A x x ，2221(,)4B x x ，故直线MA 的方程为211111()42y x x x x -=-，即21142y x x x =-，所以21142a x m x =-，同理可得：22242a x m x =-，∴1x ，2x 是方程242a xm x =-的两个不同的根，则124x x a =，2212121()416OA OB x x x x a a ∴⋅=+=+，由O 恒在以AB 为直径的圆内，240a a ∴+<，即40a -<<．。
圆锥曲线的最值 定值 范围等经典考题型附答案 作业
圆锥曲线的综合应用一、圆锥曲线的最值问题方法1：定义转化法①根据圆锥曲线的定义列方程；②将最值问题转化为距离问题求解．例1、已知点F 是双曲线错误!－错误!＝1的左焦点,定点A 的坐标为（1,4），P 是双曲线右支上的动点，则｜PF ｜＋|P A ｜的最小值为________．方法2：数形结合（切线法）当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值时:①求与直线平行的圆锥曲线的切线；②求出两平行线的距离即为所求的最值．例2、求椭圆错误!＋y 2＝1上的点到直线y ＝x ＋2错误!的距离的最大值和最小值,并求取得最值时椭圆上点的坐标．方法3:参数法（函数法）① 选取合适的参数表示曲线上点的坐标；②求解关于这个参数的函数最值例3、在平面直角坐标系xOy 中，点P （x ，y ）是椭圆错误!＋y 2＝1上的一个动点，则S ＝x ＋y 的最大值为________．方法4：基本不等式法①将最值用变量表示．②利用基本不等式求得表达式的最值．例4、求椭圆错误!＋y 2＝1内接矩形ABCD 面积的最大值．二、圆锥曲线的范围问题方法1：曲线几何性质法①由几何性质建立关系式；②化简关系式求解．例1、已知双曲线错误!－错误!＝1(a ＞0,b ＞0)的左，右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线的右支上，且｜PF 1｜＝4|PF 2｜，则此双曲线中ac 的取值范围是________．方法2：判别式法当直线和圆锥曲线相交、相切和相离时，分别对应着直线和圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式大于零、等于零、小于零①联立曲线方程，消元后求判别式；②根据判别式大于零、小于零或等于零结合曲线性质求解．例2、在平面直角坐标系xOy中，经过点（0,错误!）且斜率为k的直线l与椭圆错误!＋y2＝1有两个不同的交点P和Q。
（1)求k的取值范围;（2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B,是否存在常数m，使得向量错误!＋错误!与错误!共线？如果存在，求m值;如果不存在，请说明理由．三、圆锥曲线的定值、定点问题方法1:特殊到一般法根据特殊情况能找到定值（或定点）的问题①根据特殊情况确定出定值或定点；②对确定出来的定值或定点进行一般情况的证明．例1、已知双曲线C：x2－错误!＝1，过圆O:x2＋y2＝2上任意一点作圆的切线l，若l交双曲线于A，B两点，证明：∠AOB的大小为定值．方法2:引进参数法定值、定点是变化中的不变量，引入参数找出与变量与参数没有关系的点（或值)即是定点(或定值）。
2020高考新课标数学(文)一轮复习教材：专题研究圆锥曲线中的范围、最值、证明问题
专题研究（一）圆锥曲线中的范围、最值、证明问题专题概述：1•圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值；2•圆锥曲线中的证明问题通常转化为利用坐标容易解决的问题，通过坐标法来解决，合理转化是解决证明问题的关键.［专题讲解］题型一范围问题【典例1 ］（2019安徽皖西南十校期末联考）已知右焦点为x2 y2' 3 'F2（C,0）的椭圆C:孑+ b?= 1（a>b>0）过点J, 2J,且椭圆C关于直线x =C 对称的图形过坐标原点.（1）求椭圆C的方程；、一⑵过点° 0作直线I与椭圆C交于E, F两点，线段EF的中点为M，点A是椭圆C的右顶点，求直线MA的斜率k的取值范围.［审题程序］第一步：由椭圆过定点，确定a, b关系；第二步：由椭圆C关于直线对称的图形过原点确定a, C关系；第三步：写出椭圆的方程；第四步：利用直线I与椭圆方程联立，由根与系数的关系，把斜率k 表示利用参数表示；第五步：利用函数（或均值定理）求范围.'31 1 9［规范解答］（1）T椭圆C过点J, 2，••孑+4|?= 1,①•••椭圆C关于直线x= C对称的图形过坐标原点，••• a=2C,1Ta1 2= b2+ c2,「・b2=3a2，②由①②得a2= 4, b2= 3, •••椭圆C的方程为x4 + 3 = 1./.0<k< 8,1 =my + 可1x = my + 2，由方程组 22消去X ,并整理得—+ y 一 12 4 +3 一 12—45= 0.设 E(x i , y i ), Fg y 2), M(x 。
，y 。
)3m/y1 + y2= —R ，4 1当 m>0 时，4m + 帚》8,.0< 44m + —m⑵依题意，直线I 过点1 o 且斜率不为零,故可设其方程为 x2 24(3m + 4)y + 12myy 1 + y 2..y°= 2 =3m 2 3m 2+4 '1 ・ X o = my 。
圆锥曲线中的最值范围证明问题
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 结 束
解：(1)由题意知 2a＝4，则 a＝2. 又ac＝ 23，a2－c2＝b2，可得 b＝1， 所以椭圆 C 的方程为x42＋y2＝1.
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 结 束
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 结 束
由x20＝4y0得k2＝－15m＋145，
由Δ>0，k2≥0，得－13<m≤43.
又因为|AB|＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2＝4 1＋k2· k2＋m， 点F(0,1)到直线AB的距离为d＝ |m1－＋1k|2，
圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 结 束
第九节 圆锥曲线中的 最值、范围、 证明问题
本节主要包括3个知识点： 1.圆锥曲线中的最值问题； 2.圆锥曲线中的范围问题； 3.圆锥曲线中的几何证明问题.
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 结 束
突破点(一) 圆锥曲线中的最值问题
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 结 束
②设 A(x1，y1)，B(x2, y2)． 将 y＝kx＋m 代入椭圆 E 的方程， 可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0， 由 Δ>0，可得 m2<4＋16k2.(*) 则有 x1＋x2＝－1＋8k4mk2，x1x2＝41m＋2－4k126.
圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 结 考虑用
2021年高考数学二轮复习课时跟踪检测 14圆锥曲线中的最值范围证明问题大题练 理数 学生版
课时跟踪检测 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题（大题练）A 卷——大题保分练1．已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且经过E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1―→=λF 1B ―→，且2≤λ<3，求直线l 的斜率k 的取值范围．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，由M(－a ，b)，N(a ，b)，F 2和F 1这4个点构成了一个高为3，面积为33的等腰梯形．(1)求椭圆的方程；(2)过点F 1的直线和椭圆交于A ，B 两点，求△F 2AB 面积的最大值．3．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －2y ＋1=0和抛物线E ：y 2=2px(p>0)，圆心C 到抛物线焦点F 的距离为17.(1)求抛物线E 的方程；(2)不过原点O 的动直线l 交抛物线于A ，B 两点，且满足OA ⊥OB ，设点M 为圆C 上一动点，求当动点M 到直线l 的距离最大时的直线l 的方程．4．已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23=1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M(1，m)(m>0)． (1)证明：k<－12； (2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP ―→＋FA ―→＋FB ―→=0.证明：|FA ―→|，|FP ―→|，|FB―→|成等差数列，并求该数列的公差．B 卷——深化提能练1．已知椭圆Ω：x 2a 2＋y 2b 2=1(a>b>0且a ，b 2均为整数)过点⎝⎛⎭⎪⎫2，62，且右顶点到直线l ：x=4的距离为2.(1)求椭圆Ω的方程；(2)过椭圆的右焦点F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，l 1与椭圆Ω交于点A ，B ，l 2与椭圆Ω交于点C ，D.求四边形ACBD 面积的最小值．2．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2=1(a>b>0)，定义椭圆C 的“相关圆”方程为x 2＋y 2=a 2b 2a 2＋b2.若抛物线y 2=4x 的焦点与椭圆C 的一个焦点重合，且椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形．(1)求椭圆C 的方程和“相关圆”E 的方程；(2)过“相关圆”E 上任意一点P 作“相关圆”E 的切线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点．证明：∠AOB 为定值．3．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2=1(a>b ≥1)的离心率为22，其右焦点到直线2ax ＋by －2=0的距离为23. (1)求椭圆C 1的方程；(2)过点P ⎝⎛⎭⎪⎫0，－13的直线l 交椭圆C 1于A ，B 两点．证明：以AB 为直径的圆恒过定点．4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=6，直线y=kx 与椭圆交于A ，B 两点．(1)若△AF 1F 2的周长为16，求椭圆的标准方程；(2)若k=24，且A ，B ，F 1，F 2四点共圆，求椭圆离心率e 的值； (3)在(2)的条件下，设P(x 0，y 0)为椭圆上一点，且直线PA 的斜率k 1∈(－2，－1)，试求直线PB 的斜率k 2的取值范围．。
课时跟踪检测(十七) 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题(大题练)
课时跟踪检测（十七） 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题（大题练）A 卷——大题保分练1．(2018·长春模拟)已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且经过E ⎝⎛⎭⎫3，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1―→＝λF 1B ―→，且2≤λ<3，求直线l 的斜率k 的取值范围．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝|EF 1|＋|EF 2|，a 2＝b 2＋c 2，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，c ＝1，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由题意得直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k >0)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，整理得⎝⎛⎭⎫3k 2＋4y 2－6k y －9＝0，Δ＝144k 2＋144>0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6k3＋4k 2，y 1y 2＝－9k 23＋4k 2， 又AF 1―→＝λF 1B ―→，所以y 1＝－λy 2，所以y 1y 2＝－λ(1－λ)2(y 1＋y 2)2， 则(1－λ)2λ＝43＋4k 2，λ＋1λ－2＝43＋4k2， 因为2≤λ<3，所以12≤λ＋1λ－2<43， 即12≤43＋4k 2<43，且k >0，解得0<k ≤52. 故直线l 的斜率k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，52. 2．(2018·陕西模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，由M (－a ，b )，N (a ，b )，F 2和F 1这4个点构成了一个高为3，面积为33的等腰梯形．(1)求椭圆的方程；(2)过点F 1的直线和椭圆交于A ，B 两点，求△F 2AB 面积的最大值．解：(1)由已知条件，得b ＝3，且2a ＋2c 2×3＝33， ∴a ＋c ＝3.又a 2－c 2＝3，∴a ＝2，c ＝1，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)显然直线的斜率不能为0，设直线的方程为x ＝my －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1，x ＝my －1，消去x 得，(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0. ∵直线过椭圆内的点，∴无论m 为何值，直线和椭圆总相交．∴y 1＋y 2＝6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4. ∴S △F 2AB ＝12|F 1F 2||y 1－y 2|＝|y 1－y 2| ＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12m 2＋1(3m 2＋4)2 ＝4m 2＋1⎝⎛⎭⎫m 2＋1＋132＝41m 2＋1＋23＋19(m 2＋1)， 令t ＝m 2＋1≥1，设f (t )＝t ＋19t，易知t ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，函数f (t )单调递减，t ∈⎝⎛⎭⎫13，＋∞时，函数f (t )单调递增，∴当t ＝m 2＋1＝1，即m ＝0时，f (t )取得最小值，f (t )min ＝109，此时S △F 2AB 取得最大值3.3．(2018·郑州模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －2y ＋1＝0和抛物线E ：y 2＝2px (p >0)，圆心C 到抛物线焦点F 的距离为17.(1)求抛物线E 的方程；(2)不过原点O 的动直线l 交抛物线于A ，B 两点，且满足OA ⊥OB ，设点M 为圆C 上一动点，求当动点M 到直线l 的距离最大时的直线l 的方程．解：(1)x 2＋y 2＋2x －2y ＋1＝0可化为(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，则圆心C 的坐标为(－1,1)．∵F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，∴|CF |＝ ⎝⎛⎭⎫p 2＋12＋(0－1)2＝17， 解得p ＝6. ∴抛物线E 的方程为y 2＝12x .(2)显然直线l 的斜率非零，设直线l 的方程为x ＝my ＋t (t ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝12x ，x ＝my ＋t ，得y 2－12my －12t ＝0， Δ＝(－12m )2＋48t ＝48(3m 2＋t )>0，∴y 1＋y 2＝12m ，y 1y 2＝－12t ，由OA ⊥OB ，得OA ―→·OB ―→＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即(m 2＋1)y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋t 2＝0，整理可得t 2－12t ＝0，∵t ≠0，∴t ＝12，满足Δ>0，符合题意．∴直线l 的方程为x ＝my ＋12，故直线l 过定点P (12,0)．∴当CP ⊥l ，即线段MP 经过圆心C (－1,1)时，动点M 到动直线l 的距离取得最大值， 此时k CP ＝1－0－1－12＝－113，得m ＝113， 此时直线l 的方程为x ＝113y ＋12，即13x －y －156＝0. 4．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．(1)证明：k <－12.(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且，证明： .证明：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1. 两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0. 由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m. 由题设得0<m <32，故k <－12. (2)由题意得F (1,0)．。
圆锥曲线最值(范围)与定值(定点)解答题
圆锥曲线最值（范围）与定值（定点）解答题1．已知圆22:4O x y +=，点M 是圆O 上任意一点，M 在x 轴上的射影为N ，点P 满足3NP NM =，记点P 的轨迹为E ．(1)求曲线E 的方程；(2)已知()1,0F ，过F 的直线m 与曲线E 交于,A B 两点，过F 且与m 垂直的直线n 与圆O 交于,C D 两点，求AB CD +的取值范围．【解析】(1)设点(),P x y ，由3NP NM =，得M x ⎛ ⎝，由点M 在圆22:4O x y +=上，所以224x +=，整理得22143x y +=，所以曲线E 的方程是22143x y +=(2)当直线m 的斜率为0时，AB 4=，CD =，4AB CD +=+ 当直线m 的斜率不存在时，3AB =，4CD =，7+=AB CD ， 当直线m 的斜率存在且不为0时，设m ：()1y k x =-，则n ：()11y x k=--点O 到直线n 的距离d ，所以CD = 将()1y k x =-代入曲线E 的方程22143x y +=，整理得 ()22224384120kx k x k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，则()212212143k AB x k +=-=+，所以()2212143k AB CD k ++=++令)t ，则2122AB CD t t +=+，)2t ∈令()2122f t t t=+，)2t ∈，则()32420f t t '=-<，所以()f t 在)2上单调递减，所以()(7,4f t ∈+，即(7,4AB CD +∈+．综上所述，AB CD +的取值范围是7,4⎡+⎣．2．已知椭圆C 1:2222x y a b+=1(a >b >0)的右顶点与抛物线C 2:y 2=2px (p >0)的焦点重合，椭圆C 1的离心率为12，过椭圆C 1的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截抛物线所得弦的长度为(1)求椭圆C 1和抛物线C 2的方程.(2)过点A (-4，0)的直线l 与椭圆C 1交于M ，N 两点，点M 关于x 轴的对称点为E .当直线l 绕点A 旋转时，直线EN 是否经过一定点?请判断并证明你的结论.【解析】 (1)设椭圆C 1的半焦距为c .依题意，可得a =2p，则C 2:y 2=4ax ， 代入x =c ，得y 2=4ac ，即y =±， 则有222212ac c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，所以a =2，b所以椭圆C 1的方程为2243x y +=1，抛物线C 2的方程为y 2=8x .(2)依题意，当直线l 的斜率不为0时，设其方程为x =ty -4，由22-43412x ty x y =⎧⎨+=⎩，得(3t 2+4)y 2-24ty +36=0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则E (x 1，-y 1).由Δ>0，得t <-2或t >2， 且y 1+y 2=22434t t +，y 1y 2=23634t +. 根据椭圆的对称性可知，若直线EN 过定点，此定点必在x 轴上，设此定点为Q (m ，0). 因为kNQ =kEQ ，所以2121---y yx m x m=，(x 1-m )y 2+(x 2-m )y 1=0， 即(ty 1-4-m )y 2+(ty 2-4-m )y 1=0，2ty 1y 2-(m +4)(y 1+y 2)=0， 即2t ·23634t +-(m +4)·22434tt +=0，得(3-m -4)t =(-m -1)t =0， 由t 是大于2或小于-2的任意实数知m =-1，所以直线EN 过定点Q (-1，0). 当直线l 的斜率为0时，直线EN 的方程为y =0，也经过点Q (-1，0)， 所以当直线l 绕点A 旋转时，直线EN 恒过一定点Q (-1，0).3．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2FP 为椭圆C 上一动点，12F PF △(1)求椭圆C 的方程；(2)过右焦点2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试问：在x 轴上是否存在定点Q ，使得QA QB ⋅为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】 (1)设椭圆C 的半焦距为c c a =到直线12F F 的距离最大，则有()12max122F PF Sc b bc =⋅⋅=，于是得bc =222a b c =+，联立解得2,1,a b c === 所以椭圆C 的方程为：2214x y +=.(2)由(1)知，点)2F ，当直线斜率存在时，不妨设:(l y k x =，()11,A x y ，()22,B x y ，由22(44y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得，2222(14)1240k x x k +-+-=，12x x +=212212414k x x k -=+， 假定在x 轴上存在定点Q 满足条件，设点(,0)Q t ，则221212121212()())((QA QB x t x t y y x x t x x t k x x ⋅=--+=-+++22221212(1)))(3k x x t x x t k =+-++++222222124(1)314)k k t t k k -=+⋅-++++=，当24t -=，即t =213464QA QB t ⋅=-=-，当直线l 斜率不存在时，直线l ：x =C 交于点A ，B ，由对称性不妨令11),)22A B -，当点Q 坐标为时，3131,,8282QA QB ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11132264QA QB ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以存在定点Q ，使得QA QB ⋅为定值1364-.4．已知椭圆2222C :1(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，直线1:22l y x =-+与椭圆C 有且仅有一个公共点A ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及A 点坐标；（Ⅱ）设直线l 与x 轴交于点B ．过点B 的直线与C 交于E ，F 两点，记点A 在x 轴上的投影为G ，T 为BG 的中点，直线AE ，AF 与x 轴分别交于M ，N 两点．试探究||||TM TN ⋅是否为定值?若为定值，求出此定值；否则，请说明理由．【解析】（1）设椭圆C 的半焦距为c ，则12c a =，则224a c =，22223b a c c =-=， 所以椭圆C 的方程为：2222143x y c c+=，将椭圆C 的方程与直线l 的方程联立得：222430x x c -+-=, 所以244(43)0c ∆=-⨯-=，解得：21c =， 所以24a =，23b =，故椭圆C 的方程为22143x y +=， 此时将21c =代入222430x x c -+-=得：2210x x -+=， 所以1x =，此时32y =。
圆锥曲线中的最值(范围)问题-(通用版)(解析版)
专题4 圆锥曲线中的最值（范围）问题解析几何中的最值（范围）问题，主要是结合直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系的进行命题，要求证明、探索、计算线段长度（距离）或图形面积或参数等有关最值问题.从高考命题看，此类问题以主观题形式考查，多步设问，逐步深入考查分析问题解决问题的能力.圆锥曲线中的最值（范围）问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法（在选填题部分已重点讲解），即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、均值不等式方法等进行求解.而解答题部分主要使用代数法。
题型1 线段（距离）类的最值（范围）问题1．（2021·四川成都市·高三三模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴长为，其离心率为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）若A ，B 是椭圆C 上两点，且2AB =，求线段AB 中点M 到原点O 的最大距离．【答案】（1）2212x y +=；（21． 【分析】（1）根据椭圆的几何性质求出,,a b c 可得椭圆的标准方程；（2）当直线AB 斜率不存在时，0OM =；当直线AB 斜率存在时，设其方程为y kx m =+，联立直线与椭圆，根据弦长公式得到2222122k m k +=+，得到||OM 关于k 的函数关系式，再换元后根据基本不等式可求出结果.【详解】（1）由已知，2a =，所以a =又离心率为c a =，即a =，故1c =，进而1b =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，当直线AB 斜率不存在时，由题意可得AB 就是短轴，中点与原点重合，0OM =， 当直线AB 斜率存在时，设其方程为y kx m =+，由2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得()222214220k x kmx m +++-=， ()()()22222216421228210k m k m k m ∆=-⨯+-=+->，122421km x x k ∴+=-+，21222221m x x k -=+， 所以212122242()222121k m my y k x x m m k k +=++=-+=++， 222,2121km m M k k -⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭，()()2222241||21k m OM k +∴=+，由2||221AB k ===+，化简得2222122k m k +=+， ()()()222222222412141||22212221k k k OM k k k k +++∴=⋅=++++， 令2411k t +=≥，则244||43(1)(3)4t OM t t t t==≤=-++++，当且仅当t =时取等号，||1OM ∴≤，max ||1OM ∴=，当且仅当214k =时取等号．即AB 中点M 到原点O1． 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2．（2021·浙江高三期末）如图，已知抛物线21:C x y =在点A 处的切线l 与椭圆222:12x C y 相交，过点A 作l 的垂线交抛物线1C 于另一点B ，直线OB （O 为直角坐标原点）与l 相交于点D ，记()11,A x y 、()22,B x y ，且1>0x ．（1）求12x x -的最小值；（2）求DO DB的取值范围．【答案】（1）2；（2）40,17⎛⎫⎪⎝⎭． 【分析】（1）利用导数求出抛物线1C 在点A 处的切线方程，将切线方程与椭圆方程联立，由0∆>求出21x 的取值范围，求出直线AB 的方程，并将直线AB 的方程与抛物线1C 的方程联立，由韦达定理得出12112x x x +=-，再利用基本不等式可求得12x x -的最小值；（2）记点O 、B 到直线l 的距离分别为1d 、2d ，求出1d 、2d ，可得出12DO d DBd =，结合21x 的取值范围可求得DO DB的取值范围. 【详解】（1）对函数2yx 求导得2y x '=，所以抛物线1C 在点A 处的切线方程为()1112y y x x x -=-，即2112y x x x =-，联立21122212y x x x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()2234111188220x x x x x +-+-=， 所以()()62411164418220x x x∆=-+->，解得2104x <<，所以直线AB 的方程为2111122y x x x =-++， 联立21121122y x x x x y⎧=-++⎪⎨⎪=⎩，得23111220x x x x x +--=，所以12112x x x +=-，所以12111222x x x x -=+≥=，当且仅当112x =时取等号，所以12x x -的最小值为2； （2）记点O 、B 到直线l 的距离分别为1d 、2d ，所以21d =，211211214124x x x x d ⎫+=+=⎪⎭， 所以()4112222121441414DOd x DB d x x ===⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为2104x <<，所以2114x +>， 所以222440,1714DODBx ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以DO DB 的取值范围为40,17⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法（1）函数法：用其他变量作为参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． （2）不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的取值范围． （3）判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用根的判别式求参数的取值范围． （4）数形结合法：研究参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．3．（2021·全国高三专题练习（理））设O 为坐标原点，M 是x 轴上一点，过点M 的直线交抛物线C ：24y x =于点A ，B ，且4OA OB ⋅=-．（1）求点M 的坐标；（2）求232BM AM-的最大值．【答案】（1）()2,0；（2）2．【分析】（1）设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),0M m ，由4OA OB ⋅=-得到128y y =-，设直线:AB x ty m =+与抛物线方程联立，由根与系数的关系得到2m =，即可得到点M 的坐标；（2）由题意及弦长公式得到AM ，BM ，利用根与系数的关系得到221114AMBM+=，进而得232BM AM-的表达式，然后构造函数，利用函数的单调性求函数的最大值，即可得到232BM AM-的最大值．【详解】（1）设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，(),0M m ， 则222212121212,,44416y y y y OA OB y y y y ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得128y y =-，设直线:AB x ty m =+，联立方程，得2,4,x ty m y x =+⎧⎨=⎩得2440y ty m --=， 由根与系数的关系知，1248m y y -==-，所以2m =，故点M 的坐标为()2,0．（2）由（1）知，124y y t +=，128y y =-．易知1AM y =，2M B =， 所以()()22222212111111t y t y AM BM+=+++()()222122222121616141641y y t t y y t ++===++， 则222321132||3284BM BM BM AM BM BM ⎛⎫-= -⎪-=-- ⎪⎝⎭． 令()2328u f u u =--，2u >，则()3641f u u='-，所以()f u 在()2,4上单调递增，在()4,+∞上单调递减， 所以()()min 42f u f ==，即232BM AM-的最大值是2，当且仅当4BM =时取等号．【点睛】圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多样，但主要有两种方法：一是几何方法，即利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数式表示为某个（些）参数的函数，然后利用函数、不等式的知识等进行求解．4．（2021·山西临汾市·高三二模（理））已知点()21Q ，在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，且点Q 到C的两焦点的距离之和为（1）求C 的方程；（2）设圆228:5O x y +=上任意一点P 处的切线l 交C 于点M ，N ，求OM ON ⋅的最小值．【答案】（1）22182x y +=；（2）165． 【分析】（1）由椭圆定义得a ，把已知点的坐标代入方程求得b ，从而得椭圆方程； （2）设直线方程为y kx b =+，1122(,),(,)M x y N x y ，由直线与圆相切得22588b k =+， 直线方程与椭圆方程联立，消元后应用韦达定理代入求得0OM ON ⋅=，得2MON π∠=，斜率不存在时求得,M N 点坐标后也得此结论，然后设(cos ,sin )M OM OM θθ，cos(),sin 22N ON ON ππθθ⎛⎫±±⎪⎝⎭，代入椭圆方程，然后计算2288OM ON ⋅得最大值，从而可得OM ON ⋅的最小值．【详解】（1）由题意2a =，a =(2,1)Q 在椭圆上，所以24118b+=，b = 椭圆方程为22182x y +=．（2）当直线MN斜率不存在时，直线方程为x =把x =y =M，N ， 0OM ON ⋅=，所以2MON π∠=，同理x =2MON π∠=；当直线MN 斜率存在时，设直线方程为y kx b =+，1122(,),(,)M x y N x y ，=225880b k --=，(*) 由22182y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(41)8480k x kbx b +++-=，则12221228414841kb x x k b x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 22121212121212()()(1)()OM ON x x y y x x kx b kx b k x x kb x x b ⋅=+=+++=++++22222222488588(1)414141b kb b k k kb b k k k ---⎛⎫=+⨯+⨯-+= ⎪+++⎝⎭, 由(*)得0OM ON ⋅=，所以2MON π∠=，综上，2MON π∠=，设xOM θ∠=，则2xON πθ∠=±，(cos ,sin )M OM OM θθ，cos(),sin 22N ON ON ππθθ⎛⎫±±⎪⎝⎭，因为,M N 在椭圆22182x y +=上，所以2222cos sin 182OM OM θθ+=，2228cos 4sin OMθθ=+，同理2228sin 4cos ONθθ=+，2222222288(cos 4sin )(sin 4cos )(13sin )(13cos )OMONθθθθθθ⋅=++=++222299139sin cos 4(2sin cos )4sin 244θθθθθ=++=+=+，2sin 2[0,1]θ∈，所以sin 21θ=时，2288OMON⋅取得最大值254，所以OM ON165=． 【点睛】本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交，考查直线相切．解题关键是首先利用设而不求的思想方法结合韦达定理求得2MON π∠=，然后设点的坐标(cos ,sin )M OM OM θθ，cos(),sin 22N ON ON ππθθ⎛⎫±±⎪⎝⎭，易得出OM ON ⋅的最小值．题型2面积类的最值（范围）问题1、（2021江西南昌高三模拟）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为4，直线1l ：by x c=与椭圆相交于A 、B 两点，2F 关于直线1l 的对称点E 在椭圆上．斜率为1-的直线2l 与线段AB 相交于点P ，与椭圆相交于C 、D 两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形ACBD 面积的取值范围．【解析】（1）由椭圆焦距为4，设()12,0F -，()22,0F ，连结1EF ，设12EF F α∠=， 则b tan c α=，又222a b c =+，得,b csin cos a aαα==， ∴ ()121229012|+|90F F c sin a c e b c a EF EF b c a sin sin a aαα======++-+，解得222a bc c b c =+⇒==，28a =，所以椭圆方程为22184x y +=；（2）设直线2l 方程：+y x m =-，()11,C x y 、()22,D x y ，由22184+x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2234280x mx m -+-=，所以1221243283x x m m x x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 由（1）知直线1l ：y x =，代入椭圆得,A B ⎛ ⎝，得3AB =，由直线2l 与线段AB 相交于点P，得m ⎛∈ ⎝ ，12CD x =-===而21l k =-与11l k =，知21l l ⊥，∴ 12ACBD S AB CD =⨯=，由m ⎛∈ ⎝，得232,03m ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦3232,93⎛⎤ ⎥⎝⎦， ∴四边形ACBD 面积的取值范围3232,93⎛⎤⎥⎝⎦．2．（2021·浙江高三模拟）已知：抛物线21:2C y x =，曲线()222:104x C y x +=<，过2C 上一点P 作1C 的两条切线，切点分别为A ．（1）若()2,0P -，求两条切线的方程；（2）求PAB △面积的取值范围．【答案】（1）()122y x =±+；（2）(]1,8. 【分析】（1）设所求切线的方程为()2y k x =+，将该直线的方程与抛物线的方程联立，由0∆=可求出k 的值，即可求得所求的两条切线的方程；（2）设()11,A x y 、()22,B x y 、()P m n ,，写出抛物线22y x =在点A 、B 处的切线方程，将点P 的坐标代入两切线方程，可求得直线AB 的方程，将直线AB 的方程与抛物线1C 的方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式可得出PAB △面积关于m 的表达式，利用函数思想可求得PAB △面积的取值范围. 【详解】（1）显然切线斜率存在，设切线方程为()2y k x =+，由()222y k x y x ⎧=+⎨=⎩，得2240-+=ky y k ，由204160k k ≠⎧⎨∆=-=⎩，得12k =±， 因此，两条切线的方程为()122y x =±+； （2）设()11,A x y 、()22,B x y 、()P m n ,，先证明出抛物线22y x =在其上一点()00,x y 处的切线方程为00y y x x =+.证明：联立0022y y x x y x=+⎧⎨=⎩，消去x 可得200220y y y x -+=，即220020y y y y -+=，即()200y y -=，解得0y y =，所以，直线00y y x x =+与抛物线22y x =相切于点()00,x y .所以，切线PA 的方程为11yy x x =+，可得11ny m x =+，切线PB 的方程为22yy x x =+，可得22ny m x =+，AB ∴的方程为ny m x =+，P 到AB的距离d =．由22ny m x y x=+⎧⎨=⎩，得2220y ny m -+=， 由韦达定理可得122y y n +=，122y y m =，()P m n ,为曲线2C 上一点，则2214m n +=，所以，2214m n =-且20m -≤<，AB ==220n m ->，()332222121224PABm SAB d n m m ⎛⎫=⋅==-=-- ⎪⎝⎭，20m -≤<，()(]22121451,444m m m --+=-++∈，则(]322121,84PABm S m ⎛⎫--∈⎪⎝⎭= .因此，PAB △面积的取值范围为(]1,8．【点睛】利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.3．（2021·浙江高三其他模拟）如图，已知椭圆2214x y +=的左、右顶点分别为A ，B ，()2,2P ，线段OP（O 为坐标原点）交椭圆于点C ，D 在线段OC 上（不包括端点），连接AD 并延长，交椭圆于另一点E ，连接PE 并延长，交椭圆于另一点F ，连接BF ，DF ．记1S ，2S 分别为BCD △和BDF 的面积．（1）求OC 的值；（2）求12S S ⋅的最大值．【答案】（1；（2）25．【分析】（1）先根据点P 的坐标得到直线OP 的方程，并将其与椭圆的方程联立，求出点C 的坐标，再利用两点间的距离公式求OC 的值即可；（2）设出直线PF 的方程，将其与椭圆方程联立，结合根与系数的关系得到AF BD k k =，进而可得BCD △和BDF 的面积的表达式，最后利用基本不等式求最值即可． 【详解】解：（1）因为()2,2P ，所以直线OP 的方程为y x =，将直线OP 的方程与椭圆的方程联立，可得221,4x y y x⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又由题意得点C位于第一象限，所以C．因此5OC ==． （2）由题意易知直线PF 的斜率一定存在且大于1，故设直线PF 的方程为()22y k x -=-（1k >），即22y kx k =+-，联立方程，得221,422,x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=+-⎩化简得()()()2221416144830k x k k x k k ++-+-+=，由0∆>得()()()22216141444830k k k k k --+⨯-+>⎡⎤⎣⎦，即830k ->，得38k >，故1k >． 设()11,E x y ，()22,F x y ，则()()1222122161,144483.14k k x x k k k x x k ⎧-+=⎪+⎪⎨-+⎪=⎪+⎩易知()2,0A -，连接AF ，所以直线AE 的斜率112AE y k x =+，直线AF 的斜率222AF y k x =+，所以12122211AE AF x x k k y y +++=+()()()()()()1221122222222222x kx k x kx k kx k kx k ++-+++-=+-+- ()()()()12122212122242222(22)kx x x x k k x x k k x x k +++-=+-++-()()()()()()()()()222222284831622422144483822222214k k k k k k k k k k k k k k k -++-+-+=-++--+-+81648kk-=-2=．①因为点D 在直线y x =上，所以D D x y =，又()2,0B ， 所以直线AD 的斜率2D AD D y k x =+，直线BD 的斜率2DBD D y k x =-，所以22112D D AD BD D D x x k k y y +-+=+=．② 又11AE AD k k =，③ 则由①②③可得11AF BDk k =，即AF BD k k =．设(),D m m（0m <<），则2122BDFBDAS S SBAm m ===⋅=． 又C，所以CD m m ⎫==-=-⎪⎭又点B 到直线CD 的距离d ==所以11122BDCS SCD d m m ⎫==⋅=-=-⎪⎭． 因此2122225S S m m ⎡⎤⎫⋅=-≤=⎪⎭⎢⎥⎣⎦，当且仅当m m =-，即5m =时等号成立，所以12S S ⋅的最大值是25． 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．4．（2021·全国高三其他模拟）已知1A ，2A 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点，B 为椭圆C 的上顶点，点2A 到直线1A B，椭圆C 过点⎝．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 过点1A ，且与x 轴垂直，P ，Q 为直线l 上关于x 轴对称的两点，直线2A P 与椭圆C 相交于异于2A 的点D ，直线DQ 与x 轴的交点为E ，当2PA Q △与PEQ 的面积之差取得最大值时，求直线2A P 的方程．【答案】（1）22143x y +=；（2）360x -=或360x -=． 【分析】（1）由点到直线的距离得一个,a b 的关系式，已知点的坐标代入又得一个关系式，，两者联立解得,a b ，得椭圆方程；（2）设直线2A P 的方程为2(0)x my m =+≠，依次求得P 点，Q 点，D 点，E 点坐标，然后计算面积之差222PA Q PEQ PA E S S S -=△△△，再结合基本不等式求得最大值．由此可得直线方程．【详解】（1）由题意知2(,0)A a ，1(,0)A a -，(0,)B b ，则直线1A B 的方程为by x b a=+， 即0bx ay ab -+=，所以点2A 到直线1A B的距离d ==2234b a =．① 又椭圆C过点3⎛ ⎝，所以224213a b +=．② 联立①②，解得24a =，23b =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）由（1）知2(2,0)A ，直线l 的方程为2x =-．由题意知直线2A P 的斜率存在且不为0， 设直线2A P 的方程为2(0)x my m =+≠，联立2,2,x x my =-⎧⎨=+⎩解得2,4,x y m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩即42,P m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，42,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭．联立222(0),1,43x my m x y =+≠⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得()2234120m y my ++=，解得0y =或21234m y m -=+． 由点D 异于点2A 可得2226812,3434m m D m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭， 所以直线DQ 的方程为222124684(2)203434m m x y m m m m ⎛⎫--+⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令0y =，得226432E m x m -+=+，所以22222641223232m m A E m m -+=-=++， 所以2PA Q △与PEQ 的面积之差为222PA Q PEQ PA E S S S -=△△△． （利用点的对称关系，将面积差问题转化为求2PA E S △）因为2222112448||48222232323||||PA Em m S m m m m m -=⨯⋅⋅==≤+++△当且仅当m =时取等号．（在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑"等技巧）故当2PA Q △与PEQ 的面积之差取得最大值时，直线2A P的方程为360x +-=或360x -=． 【点睛】本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交问题，解题方法是解析几何的基本方法：设直线2AP 方程为2(0)x my m =+≠，直线与直线相交得交点坐标，直线与椭圆相交得交点坐标，然后求得三角形面积（之差），再结合基本不等式求得最大值，得出结论． 题型3斜率类的最值（范围）问题1．（2021·成都市高三模拟）设椭圆22213x y a +=（a >）的右焦点为F ，右顶点为A ．已知113e OF OA FA +=，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ．若BF HF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线l 的斜率的取值范围． 【解析】（1）设(),0F c ，由113eOF OA FA+=，即()113c c a a a c +=-，2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=．（2）设直线l 的斜率为k （0k ≠），则直线l 的方程为()2y k x =-．设()11,B x y ，()22,M x y ，()30,H y ．在△MAO 中，MOA MAO MA MO ∠≤∠⇔≤，即()222222222x y x y -+≤+，化简得21x ≥． 由方程组()221432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y ，整理得()2222431616120k x k x k +-+-=．于是2128643k x k -=+， 从而121243ky k =-+．由（1）知()1,0F ，所以()31,FH y =-，2229412,4343k k BF k k ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭，由BF HF ⊥，得0BF HF ⋅=，所以2322129404343ky k k k -+=++，解得239412k y k-=， 因此直线MH 的方程为219412k y x k k-=-+．由方程组()2194122k y x k k y k x ⎧-=-+⎪⎨⎪=-⎩，消去y ，解得()222209121k x k +=+．于是()222091121k k +≥+，解得k ≤或k ≥， 所以直线l的斜率的取值范围为6,,4⎛⎡⎫-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭．【点评】由MOA MAO ∠≤∠，可得到不等式21x ≥，此时只要用k 去表示2x ，就能得到有关k 的不等式，这也是k 需要满足的唯一一个不等式，解这个不等式就能求出k 的取值范围．2．（2020·上海高三其他模拟）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>长轴的两顶点为A 、B ，左右焦点分别为1F 、2F ，焦距为2c 且2a c =，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）在双曲线22:143x y T -=上取点Q （异于顶点），直线OQ 与椭圆C 交于点P ，若直线AP 、BP 、AQ 、BQ 的斜率分别为1k 、2k 、3k 、4k ．试证明：1234k k k k +++为定值；（3）在椭圆C 外的抛物线K ：24y x =上取一点E ，1EF 、2EF 的斜率分别为1'k 、2'k ，求121''k k 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明过程见详解；（3）5(,0)(0,)24-⋃+∞. 【分析】（1）本小题先建立方程组2222223a cb a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，再求出2a =，b =1c =，最后求出椭圆C 的方程即可；（2）本小题先得到112132x k k y +=-，再得到234232x k k y +=，接着判断1122x y x y =，最后得到结论即可； （3）本小题先用233(,)4y E y 表示出432123161''16y k k y -=，（2383y >且32y ≠-），再建立函数1()16t f t t =-求导得到()f t 的取值范围，最后求导121''k k 的取值范围. 【详解】（1）因为过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为3，所以223ba=，所以2222223a c b a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得：2a =，b =1c =，所以椭圆C 的方程：22143x y +=； （2）由（1）可知：(2,0)A -、(2,0)B 、1(1,0)F -、2(1,0)F ，设点11(,)P x y ，则2211143x y +=，整理得：2211443y x -=-， 1111111122211111223422423y y x y x y x k k y x x x y +=+===-+---； 设点22(,)P x y ，则2222143x y -=，整理得：2222443y x -=， 2222222342222222223422423y y x y x y xk k y x x x y +=+===+--.又因为OP 与OQ 共线，所以12x x λ=，12y y λ=，所以1122x y x y =， 所以121212341212333()0222x x x x k k k k y y y y +++=-+=-+=，所以1234k k k k +++为定值； （3）设233(,)4y E y ，由2221434x y y x⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：222383x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 由E 在椭圆C 外的抛物线K ：24y x =上一点，则2383y >， 则3123'14y k y =+，（2383y >且32y ≠-）；3223'14y k y =-，（2383y >且32y ≠-）， 则23331222433316''161144y y y k k y y y =⋅=--+，（2383y >且32y ≠-）， 则432123161''16y k k y -=，（2383y >且32y ≠-）， 令23y t =，（83t >且4t ≠），设1()16t f t t =-，（83t >且4t ≠），则211'()016f t t =+>，所以1()16t f t t=-在8(,4)3，(4,)+∞上单调递增， 所以()f t 的取值范围：5(,0)(0,)24-⋃+∞，所以121''k k 的取值范围5(,0)(0,)24-⋃+∞. 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，圆锥曲线相关的定值问题、圆锥曲线相关的参数取值范围问题，是偏难题.3．（2021·广东茂名市·高三月考）已知点N 为圆1C ：()22116x y ++=上一动点，圆心1C 关于y 轴的对称点为2C ，点M ､P 分别是线段1C N ，2C N 上的点，且20MP C N ⋅=，222C N C P =.（1）求点M 的轨迹方程；（2）过点()2,0A -且斜率为()0k k >的直线与点M 的轨迹交于A ，G 两点，点H 在点M 的轨迹上，GA HA ⊥，当2AG AH =2k <<.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析 【分析】（1）由已知可得214MC MC +=，可判断点M 在以12,C C 为交点的椭圆上，即可求出方程；（2）将直线方程代入椭圆，利用弦长公式可求出AG =，同理可得AH =知可得3246380k k k -+-=，利用导数结合零点存在性定理即可证明. 【详解】（1）222C N C P =，P ∴是2C N 的中点，20MP C N ⋅=，2MP C N ∴⊥，∴点M 在2C N 的垂直平分线上，2||MN MC ∴=，121||42MN MC MC MC +=+=>，∴点M 在以12,C C 为交点的椭圆上，且2,1a c ==，则b =M 的轨迹方程为22143x y +=； （2）可得直线AG 的方程为(2)(0)y k x k =+>， 与椭圆方程联立可得()2222341616120kxk x k +++-=，设()11,G x y ，则2121612(2)34k x k -⋅-=+，可得()21223434k x k-=+，则12234AG k =+=+，由题可得，直线AH 的方程为1(2)y x k =-+，故同理可得AH =由2AG AH =可得2223443k k k=++，即3246380k k k -+-=， 设32()4638f t t t t =-+-，则k 是()f t 的零点，22()121233(21)0f t t t t '=-+=-≥，则()f t 在()0,∞+单调递增，又260,(2)60f f =<=>，因此()f t 在()0,∞+有唯一零点，且零点k在)22k <<.【点睛】本题考查椭圆的轨迹方程，解题的关键是利用椭圆定义得出M 的轨迹为椭圆；考查参数范围的证明，解题的关键是利用弦长公式求出弦长，利用已知得出3246380k k k -+-=，再利用导数证明.4．（2021·全国高三月考（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点(点M 位于x 轴上方)，2MNF ，12MF F △的周长分别为8，6. （1）求椭圆C 的方程；（2）若1||MF m MN =，且2334m ≤<，设直线l 的倾斜角为θ，求sin θ的取值范围. 【答案】（1）22143x y +=；（2）0,3⎛ ⎝⎦. 【分析】（1）根据椭圆的定义可得2MNF ，12MF F △的周长分别为4,22a a c +，结合222a b c =+可得答案.(2)根据题意设出直线l 的方程与椭圆方程联立，写出韦达定理，由1||MF m MN =，得出11MF F N，得出,M N的纵坐标12,y y 的关系，从而可求出答案.【详解】（1）设椭圆C 的半焦距为c ，因为2MNF ，12MF F △的周长分别为8，6，所以根据椭圆的定义得22248226a a c a b c =⎧⎪+=⎨⎪=+⎩，解得21a c b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）由条件1||MF m MN =，且2334m ≤<，则12MF MF >,所以直线l 的斜率存在. 根据题意，可设直线l 的方程为(1)(0).y k x k =+>.联立22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得()22234690k y ky k +--=，则()2214410k k ∆=+>，设()11,M x y ，()22,N x y ，则122634k y y k +=+①，2122934k y y k-=+②， 又1||MF m MN =，且2334m ≤<，则11[2,3)1MF m F N m =∈-.设1mmλ=-，[2,3)λ∈，则11MF F N λ=，所以12y y λ③，把③代入①得()226(1)34k y k λ=-+，()126(1)34ky k λλ-=-+，并结合②可得()2212222236934(1)34k k y y k kλλ--==+-+，则22(1)434kλλ-=+，即214234k λλ+-=+， 因为12λλ+-在[2,3)λ∈上单调递增，所以114223λλ≤+-<，即21442343k ≤<+，且0k >，解得02k <≤，即0tan 2θ<≤，所以0sin 3θ<≤. 故sin θ的取值范围是0,3⎛ ⎝⎦.【点睛】本题考查求椭圆方程和直线与椭圆的位置关系，解答本题的关键是由122634ky y k +=+，2122934k y y k-=+，又1||MF m MN =，且2334m ≤<，则11[2,3)1MF m F N m =∈-，得出关系求解，属于中档题.题型4向量类的最值（范围）问题1．（2021·陕西咸阳市·高三三模（理））已知12B B ､分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>短轴两端点，离心率为12，P 是椭圆C 上异于1B ､2B 的任一点，12PB B △的面积最大值为（1）求椭圆C 的标准方程； （2）过椭圆C 右焦点F 的直线l 交椭圆C 于M N ､两点，O 为坐标原点，求OM ON +的取值范围.【答案】（1）22143x y +=；（2）[]0,2. 【分析】（1）根据题中条件，列出方程组求出,a b ，即可得出椭圆方程；（2）先讨论直线l 的斜率为0的情况，可求出0OM ON +=；再讨论直线的斜率不为0的情况，直线l 的方程为:1x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，以及向量模的坐标表示，得到(2OM ON +=.【详解】（1）由题意可得：22212ab c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩；所以椭圆C 的方程为221.43x y +=（2）当直线l 的斜率为0时，0OM ON +=，0OM ON +=当直线的斜率不为0时，因为()1,0F ，设直线l 的方程为:1x my =+，与椭圆C 交于()11,M x y ，()22,N x y ， 由221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得()22:34690m y my ++-=， 所以1221226,349,34m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，()()22236363414410m m m ∆=++=+>，又()()12121212,2,OM ON x x y y my my y y +++=+++=， 所以(OM ON my +===令2110,344t m ⎛⎤=∈ ⎥+⎝⎦，则()()()222222223433449164313434m m t t t m m t ++++===+++， 因为二次函数243y t t =+在10,4t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上显然单调递增，所以(]2430,1y t t =+∈，因此((]20,2OM ON +=；综上知，[]0,2OM ON +∈.【点睛】求解椭圆中弦长、向量的模长等问题时，一般需要联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合弦长公式或两点间距离公式、向量模的坐标表示等，表示出所求的量，再结合基本不等式或利用函数单调性等，即可求解.2．（2021·安徽高三月考（理））已知椭圆()2222:10x y Ca b a b+=>>的左焦点为F，过点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当直线l x ⊥轴时，AB =tan AOB ∠=（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l l '⊥，直线l '与直线l ､x 轴､y 轴分别交于点M 、P 、Q ，当点M 为线段AB 中点时，求PM PFPO PQ⋅⋅的取值范围.【答案】（1）2212x y +=；（2）()1,+∞.【分析】（1，2AOB AOF ∠=∠，进而根据几何关系解得1bc ==，a =即可得答案；（2）由题设():1l y k x =+，与椭圆联立方程得2222,2121k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，进而得直线22212:2121kk l y x k k k ⎛⎫'-=-+ ⎪++⎝⎭，所以22,021k P k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，进而根据几何关系得2PM PF PM ⋅=，2PO PQ PO ⋅=，进而将问题转化为求22PM PO的取值范围问题求解即可.【详解】解：（1）由题意可知(),0F c -，直线l x⊥轴时，22b AB a==22tan tan 1tan AOF AOB AOF ∠∠==-∠tanAOF ∠=， ∵0,2AOF π⎛⎫∠∈⎪⎝⎭，∴2tan 2b AF a AOF FO c∠===，解得：1bc ==，a =C 的方程为2212x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，依题意直线l 斜率一定存在且不为零，设():1l y k x =+，代入椭圆方程得：()2222214220kx k x k +++-=，则2122421k x x k -+=+，()121222221k y y k x x k +=++=+.故2222,2121k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 直线22212:2121kk l y x k k k ⎛⎫'-=-+ ⎪++⎝⎭，令0y =，则22,021k P k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭， ∵PMMF ⊥，OQ PO ⊥，∴2PM PF PM ⋅=，2PO PQ PO ⋅=，∴222222222222222221212111121k k k PMk k k PM PF k k k PO PQ POk k ⎛⎫--⎛⎫-+ ⎪ ⎪+++⋅+⎝⎭⎝⎭====+⋅⎛⎫- ⎪+⎝⎭， ∵()20,k ∈+∞，∴()2111,k +∈+∞,∴ ()1,PM PFPO PQ⋅∈+∞⋅. 【点睛】本题考查椭圆的性质求方程，直线与椭圆的位置关系求范围问题,考查运算求解能力，化归转化能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据PMMF ⊥，OQ PO ⊥得2PM PF PM ⋅=，2PO PQ PO ⋅=，进而将问题转化为22PM PO范围的求解.3．（2021·浙江高三其他模拟）如图，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，离心率为12，长轴长为4，椭圆C 和抛物线()2:20F y px p =>有相同的焦点，直线:0l x y m -+=与椭圆交于M ，N 两点，与抛物线交于P ，Q 两点．（1）求抛物线F 的方程；（2）若点D ，E 满足AD AM AN =+，AE AP AQ =+，求AD AE ⋅的取值范围．【答案】（1）24y x =；（2）144,4877AD AE ⎛⋅∈+⎝⎭． 【分析】（1）根据题意可得2a =，1c =，再根据12p=即可求解. （2）将直线:0l x y m -+=与椭圆方程联立，设()11,M x y ，()22,N x y，利用韦达定理可得864,77m m AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将直线:0l x y m -+=与抛物线方程联立设()33,P x y ，()44,Q x y ，利用韦达定理可得()82,4AE m =-，再由从而可得216963277AD AE m m ⋅=-+，配方即可求解.【详解】（1）因为椭圆C 的离心率为12，长轴长为4，2412a c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，，，所以2a =，1c =，因为椭圆C 和抛物线F 有相同的焦点，所以12p=，即2p =，所以抛物线F 的方程为24y x =． （2）由（1）知椭圆22:143x y C +=，由221430x yx y m ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，，得22784120x mx m ++-=， ()22164474120m m ∆=-⨯⨯->，得27m <，m <<设()11,M x y ，()22,N x y ，则1287mx x +=-，所以()1212627m y y x x m +=++=． 易知()2,0A -，所以()1212864,4,77m m AD AM AN x x y y ⎛⎫=+=+++=-⎪⎝⎭． 由240y x x y m ⎧=⎨-+=⎩，，得()22240x m x m +-+=．()2222440m m ∆=-->，得1m <． 设()33,P x y ，()44,Q x y ，则3442x x m +=-，所以()343424y y x x m +=++=，所以()()34344,82,4AE AP AQ x x y y m =+=+++=-．所以()864,82,477m m AD AE m ⎛⎫⋅=-⋅- ⎪⎝⎭()28616964824327777m m m m m ⎛⎫=-⋅-+⨯=-+ ⎪⎝⎭，1m <<， 易知函数216963277y m m =-+在()m ∈上单调递减，所以144,487AD AE ⎛⋅∈ ⎝⎭． 【点睛】求解圆锥曲线中最值或范围问题的一般方法：一是建立关系，二是求最值或范围，即先由题设条件建立关于所求目标的函数关系式，再对目标函数求最值，如本题中需先将直线方程分别与椭圆、抛物线方程联立，利用根与系数的关系将AD ，AE 用m 表示出来，再结合m 的范围及函数的单调性求AD AE ⋅的取值范围．4．（2021·海南海口市·高三模拟）已知抛物线的顶点是坐标原点O ，焦点F 在x 轴正半轴上，过F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，且满足3OA OB ⋅=-.（1）求抛物线的方程；（2）在x 轴负半轴上一点(),0M m ，使得AMB ∠是锐角，求m 的取值范围.【答案】（1）24y x =；（2）(),1-∞-.【分析】（1）设抛物线方程()220y px p =>，直线l 的方程2px ty =+，联立方程组结合韦达定理可得12y y 、12x x ，再由平面向量数量积的坐标表示即可得p ，即可得解；（2）由题意结合平面向量数量积的概念可转化条件为0MA MB ⋅>，进而可得22234m m t m-->恒成立，解不等式22304m m m --<即可得解.【详解】（1）设抛物线方程()220y px p =>，直线l 的方程2p x ty =+， 联立消去x 得222p y p ty ⎛⎫=+⎪⎝⎭，即2220y pty p --=，>0∆， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则122y y pt +=，212y y p =-，所以()22121212122224p p pt p x x ty ty t y y y y ⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()22222244pt p p t p pt =⋅-+⋅+=，所以22212123344p OA OB x x y y p p ⋅=+=-=-=-，解得2p =或2p =-（舍去）， 故所求抛物线方程为24y x =；（2）因为AMB ∠是锐角，所以0MA MB ⋅>恒成立，即()()12120x m x m y y --+>， 所以()21212120x x m x x m y y -+++>，由（1）得121=x x ，124y y =-，124y y t +=，()2121242x x t y y p t +=++=+，所以()2214240m t m -++->，而0m <，所以22234m m t m-->对于t R ∀∈恒成立，所以22304m m m --<，又0m <，所以2230m m m ⎧-->⎨<⎩，解得1m <-，所以m 的取值范围为(),1-∞-.【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用及直线与抛物线的综合应用，考查了转化化归思想与运算求解能力，属于中档题.题型5坐标类的最值（范围）问题1．（2021·上海静安区·高三二模）已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点．（1）求过点F 、O ，并且与抛物线28y x =的准线相切的圆的方程；（2）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 的横坐标的取值范围．【答案】（1）(221924x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭或(221924x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭；（2）1,0.2⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）求得点()1,0F -，可知圆心M 在直线12x =-上，设点1,2Mt ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据已知条件得出关于实数t 的等式，求出t 的值，即可得出所求圆的方程；（2）设直线AB 的方程为()()10y k x k =+≠，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出线段AB 的垂直平分线方程，可求得点G 的横坐标，利用不等式的基本性质可求得点G 的横坐标的取值范围.【详解】（1）抛物线28y x =的准线为2x =-，椭圆2212x y +=的左焦点为()1,0F -，圆过点F 、O ，∴圆心M 在直线12x =-上．设1,2Mt ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则圆的半径为()13222r ⎛⎫=---= ⎪⎝⎭. 由OM r =32=，解得t =于是，所求圆的方程为(221924x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭或(221924x y ⎛⎫++=⎪⎝⎭； （2）设直线AB 的方程为()()10y k x k =+≠，联立()22112y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，整理可得()2222124220k x k x k +++-=， 因为直线AB 过椭圆的左焦点F ，所以方程()2222124220kxk x k +++-=有两个不相等的实根．设点()11,A x y 、()22,B x y ，设AB 的中点为()00,N x y ，则2122412k x x k+=-+，202221k x k =-+，()002112k y k x k =+=+．直线AB 的垂直平分线NG 的方程为()001y y x x k-=--， 令0y =，则222002222211212121242G k k k x x ky k k k k =+=-+=-=-+++++. 因为0k ≠，所以10.2G x -<<故点G 的横坐标的取值范围1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法（1）函数法：用其他变量作为参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． （2）不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的取值范围． （3）判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用根的判别式求参数的取值范围． （4）数形结合法：研究参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．2．（2021·新疆高三其他模拟（理））已知抛物线()2204y px p =<<的焦点为F ，点P 在抛物线上，点P的纵坐标为6，且10PF =.（1）求抛物线的标准方程；（2）若A ，B 为抛物线上的两个动点(异于P 点)且AP AB ⊥，求点B 纵坐标的取值范围.【答案】（1）24y x =；（2）2y <-或14y ≥.【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式求解即可；（2）先根据抛物线的方程及点P 的纵坐标求得()9,6P ，再根据AP AB ⊥得到()2121261660y y y y ++++=，利用判别式0∆≥，得到22y ≤-或214y ≥，最后验证当22y =-时，12y =-，与题意不符，最后得到点B 的纵坐标y 的取值范围. 【详解】解：（1）设(),6p P x ，则36182P x p p==， 由102p pPF x =+=，得18102p p +=，解得2p =或18，∵04p <<，所以2p =.∴24y x =.（2）由（1）得()9,6P ，设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意可知：直线AP ，AB 的斜率存在， 设为AP k ，AB k ，且1211212221211216699444AP AB y y y y y y k k y y y x x x ----⋅=⨯=⨯----()()1214416y y y =⨯=-++， 整理得()2121261660y y y y ++++=，由题意知0∆≥，即()()222641660y y ∆=+-+≥∴22212280y y --≥即22y ≤-或214y ≥，又当22y =-时，211440y y ++=，∴12y =-，与题意不符，舍去，综上所述，点B 的纵坐标2y 的取值范围为22y <-或214y ≥.【点睛】抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．3．（2021·上海金山区·高三一模）已知点P 在抛物线2:4C y x =上，过点P 作圆222:(3)M x y r-+=(0r <≤)的两条切线，与抛物线C 分别交于A ､B 两点，切线PA ､PB 与圆M 分别相切于点E ､F .（1）若点P 到圆心M 的距离与它到抛物线C 的准线的距离相等，求点P 的坐标；（2）若点P 的坐标为(1,2)，且r =PE PF ⋅的值；（3）若点P 的坐标为(1,2)，设线段AB 中点的纵坐标t ，求t 的取值范围. 【答案】（1）(2,或(2,-；（2）3；（3）[10,6)--.【分析】（1）设出P 点的坐标，根据已知条件列方程组，解方程组求得P 点坐标. （2）先求得||PE 和||PF ，然后结合向量数量积运算求得PE PF ⋅.（2）设出过P 的圆的切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列方程，化简写出根与系数关系，联立切线和抛物线的方程，求得,A B 的纵坐标，由此求得线段AB 中点的纵坐标t 的表达式，进而求得t 的取值范围.【详解】（1）设点P 的坐标为(,)x y ，则241y x x ⎧==+，解得2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩2x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，即点P的坐标为(2,或(2,-；（2）当点P 的坐标为(1,2)，且r =||PM ==，在直角三角形PME中，||PE ==，且30MPE ∠=︒，同理，||PF =30MPF ∠=︒，从而||||co cos 603s PE PF PE PF EPF ∠=⋅⋅︒==；（3）由题意知切线PA ､PB 的斜率均存在且不为零，设切线方程为2(1)y k x -=-，r =，得222(4)840r k k r -++-=，。
课时跟踪检测(十五) 圆锥曲线的综合问题
课时跟踪检测(十五) 圆锥曲线的综合问题(限时50分钟)1．(2014·洛阳统考)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (15，0)，直线y ＝x 与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为( )A ．x 216＋y 2＝1B ．x 2＋y 216＝1C ．x 220＋y 25＝1D ．x 25＋y 220＝12．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于A ，B 两点，则||F A |－|FB ||的值为( )A ．4 2B ．8C ．8 2D ．163．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的虚轴的上顶点是A ，右焦点是F ，O 为坐标原点，点P满足AP ＝12PF，若直线OP 的倾斜角是60°，则该双曲线的离心率是( )A ． 2B ．2C ．43D ．2334．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，A ，B 为其左、右顶点，点P 为双曲线C 在第一象限的任意一点，点O 为坐标原点，若P A ，PB ，PO 的斜率为k 1，k 2，k 3，则m ＝k 1k 2k 3的取值范围为( )A ．(0,33)B ．(0，3)C ．⎝⎛⎭⎫0，39 D ．(0,8)5．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情形都有可能6．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点P 作PE ⊥l 于E ，若直线EF 的倾斜角为150°，则|PF |＝________．7．(2014·江西高考)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．8．已知双曲线C ：x 24－y 25＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，若|AB |＝5，则满足条件的l 的条数为________．9．(2014·湖南高考)平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0) 的距离和到直线x ＝－1 的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0) 且斜率为 k 的直线，则k 的取值范围是________________________________________________________________________．10．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM ＝2MB，求直线l 的方程．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2x 2－y 2＝1．(1)设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点．若|MF |＝22，求点M 的坐标； (2)过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；(3)设斜率为k (|k |<2)的直线l 交C 于P 、Q 两点．若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ ．12．(2014·云南省第一次统一检测)已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 是椭圆E 上的点，线段F 1P 的中点在y 轴上，1PF ·2PF ＝116a 2．倾斜角等于π3的直线l 经过F 1，与椭圆E 交于A ，B 两点．(1)求椭圆E 的离心率；(2)设△F 1PF 2的周长为2＋3，求△ABF 2的面积S 的值．答案1．选C 依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧22a 2＋22b2＝1，a 2－b 2＝15，由此解得a 2＝20，b 2＝5，因此所求的椭圆方程是x 220＋y 25＝1.2．选C 依题意知F (2,0)，所以直线l 的方程为y ＝x －2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y 2＝8x 消去y得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝4，则||AF |－|BF ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝144－16＝8 2.3．选B 由题意可知A (0，b )，F (c,0)，又AP ＝12PF ，所以P ⎝⎛⎭⎫c 3，2b 3，因为直线OP 的倾斜角是60°，所以k OP ＝2b c ＝3，4b 2＝3c 2，则a 2＝c 2－b 2＝c 2－34c 2＝c 24，即a ＝c 2，故离心率e ＝ca＝2.4．选A e ＝c a ＝2，b ＝3a ，设P (x ，y )，则x 2a 2－y 2b 2＝1，k 1k 2＝y x ＋a ·y x －a ＝y 2x 2－a 2＝b 2a 2＝3，又双曲线的渐近线为y ＝±3x ，所以0<k 3<3，故0<m <3 3.5．选A 由已知得e ＝c a ＝12，则c ＝a 2.又x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝－c a，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝b 2a 2＋2c a ＝b 2＋2ca a 2＝b 2＋a 2a 2<2a 2a2＝2，因此点P (x 1，x 2)必在圆x 2＋y 2＝2内． 6．解析：由题意知焦点F (1,0)，故直线EF 的方程为y ＝－33(x －1)，与抛物线准线x ＝－1联立得E ⎝⎛⎭⎫－1，233，因此y P ＝233，代入抛物线方程得x P ＝13，故由抛物线定义得|PF |＝|PE |＝x P ＋p 2＝43.答案：437．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，根据题意有x 1＋x 2＝2×1＝2，y 1＋y 2＝2×1＝2，且y 1－y 2x 1－x 2＝－12，所以2a 2＋2b 2×⎝⎛⎭⎫－12＝0，得a 2＝2b 2，所以a 2＝2(a 2－c 2)，整理得a 2＝2c 2得c a ＝22，所以e ＝22.答案：228．解析：因为a 2＝4，b 2＝5，所以c 2＝9，F (3,0)，若A ，B 都在右支上，当AB 垂直于x 轴时，将x ＝3代入x 24－y 25＝1得y ＝±52，所以|AB |＝5，满足题意；若A ，B 分别在两支上，因为a ＝2，所以两顶点的距离为2＋2＝4<5，所以满足|AB |＝5的直线有两条，且关于x 轴对称．综上，一共有3条．答案：39．解析：由题意可知机器人的轨迹为一抛物线，其轨迹方程为y 2＝4x ，过点P (－1,0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x ＋1)，由题意知直线与抛物线无交点，联立消去y 得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，则Δ＝(2k 2－4)2－4k 4<0，所以k 2>1，得k >1或k <－1.答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)10．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)，因为c ＝1，c a ＝12，所以a ＝2，b ＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，且Δ>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由AM ＝2MB得x 1＝－2x 2，又⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－8k3＋4k 2，x 1·x 2＝－83＋4k2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝－8k3＋4k 2，－2x 22＝－83＋4k2，消去x 2得⎝⎛⎭⎫8k 3＋4k 22＝43＋4k 2，解得k 2＝14，k ＝±12，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋1，即x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0. 11．解：(1)双曲线C ：x 212－y 2＝1，左焦点F ⎝⎛⎭⎫－62，0. 设M (x ，y )， 则|MF |2＝⎝⎛⎭⎫x ＋622＋y 2＝⎝⎛⎭⎫3x ＋222， 由M 点是右支上一点，知x ≥22， 所以|MF |＝3x ＋22＝22，得x ＝62.所以M ⎝⎛⎭⎫62，±2. (2)左顶点A ⎝⎛⎭⎫－22，0， 渐近线方程：y ＝±2x .过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1. 解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1得⎩⎨⎧x ＝－24，y ＝12.所求平行四边形的面积为S ＝|OA |·|y |＝24. (3)证明：设直线PQ 的方程是y ＝kx ＋b .因直线PQ 与已知圆相切，故|b |k 2＋1＝1，即b 2＝k 2＋1(*)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，2x 2－y 2＝1，得(2－k 2)x 2－2kbx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2kb2－k 2，x 1x 2＝－1－b22－k2，又y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )，所以OP ·OQ ＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝(1＋k 2)(－1－b 2)2－k 2＋2k 2b 22－k2＋b 2 ＝－1＋b 2－k 22－k 2.由(*)知，OP ·OQ＝0，所以OP ⊥OQ .12．解：(1)∵F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 是椭圆E 上的点，线段F 1P 的中点在y 轴上，∴PF 2⊥x 轴，∴|PF 2|＝b 2a.又∵1PF ·2PF ＝116a 2，∴|PF 2|2＝116a 2，即b 2a ＝14a ，∴a 2＝4b 2，即a 2＝4(a 2－c 2)， 化简得3a 2＝4c 2，∴c a ＝32.∴椭圆E 的离心率为32. (2)∵△F 1PF 2的周长等于2＋3， ∴2a ＋2c ＝2＋ 3.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋2c ＝2＋3，c a ＝32，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝32. ∴b 2＝14，∴椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由已知得直线l 的方程为 y ＝3⎝⎛⎭⎫x ＋32， 即23x －2y ＋3＝0， ∴F 2⎝⎛⎭⎫32，0到直线l 的距离d ＝32. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3⎝⎛⎭⎫x ＋32，x 2＋4y 2＝1得13x 2＋123x ＋8＝0. ∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－12313，x 1x 2＝813.∴|AB |＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝813，∴S ＝12|AB |·d ＝613，∴△ABF 2的面积S 的值等于613.。
2025年高考数学一轮复习课时作业-圆锥曲线中的最值、范围问题【含解析】
2025年高考数学一轮复习课时作业-圆锥曲线中的最值、范围问题【原卷版】(时间:45分钟分值:40分)1.(10分)(2024·海口模拟)已知抛物线T:y2=2px(p>0),点F为其焦点,直线l:x=4与抛物线交于M,N两点,O为坐标原点,S△OMN=86.(1)求抛物线T的方程;(2)过x轴上一动点E(a,0)(a>0)作互相垂直的两条直线,与抛物线T分别相交于点A,B和C,D,点H,K分别为AB,CD的中点,求|HK|的最小值.2.(10分)(2024·深圳模拟)已知椭圆C: 2 2+ 2 2=1(a>b>0)的离心率e=22,且点(4,1)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)若经过定点(0,-1)的直线l与椭圆C交于P,Q两点,记椭圆的上顶点为M,当直线l的斜率变化时,求△MPQ面积的最大值.3.(10分)(2024·毕节模拟)已知抛物线M:y2=4x的焦点为F,过点(2,0)的直线与抛物线M交于A,B两点,点A在第一象限,O为坐标原点.的取值范围;(1)设P为抛物线M上的动点,求| || |(2)记△AOB的面积为S1,△BOF的面积为S2,求S1+S2的最小值.4.(10分)(2024·湛江模拟)已知F1,F2分别为椭圆E: 2 2+ 2 2=1(a>b>0)的左、右焦点,椭圆E的离心率为12,过F2且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆E交于A,B两点,△F1AB的周长为8.(1)求椭圆E的标准方程;(2)过F1且与l垂直的直线l'与椭圆E交于C,D两点,求四边形ACBD面积的最小值.2025年高考数学一轮复习课时作业-圆锥曲线中的最值、范围问题【解析版】(时间:45分钟分值:40分)1.(10分)(2024·海口模拟)已知抛物线T:y2=2px(p>0),点F为其焦点,直线l:x=4与抛物线交于M,N两点,O为坐标原点,S△OMN=86.(1)求抛物线T的方程;【解析】(1)直线方程为x=4,将其代入抛物线可得y=±22 ,由已知得S△OMN=12×4×42 =86,解得p=3,故抛物线T的方程为y2=6x.(2)过x轴上一动点E(a,0)(a>0)作互相垂直的两条直线,与抛物线T分别相交于点A,B和C,D,点H,K分别为AB,CD的中点,求|HK|的最小值.【解析】(2)因为E(a,0),若直线AB,CD分别与两坐标轴垂直,则直线AB,CD中有一条与抛物线只有一个交点,不合题意,所以直线AB,CD的斜率均存在且不为0.设直线AB的斜率为k(k≠0),则直线AB的方程为y=k(x-a).联立 2=6 = ( - ),得ky2-6y-6ka=0,则Δ=36+24k2a>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=6 ,设H(x H,y H),则y H= 1+ 22=3 ,则x H= +a=3 2+a,所以H(32+a,3),同理可得K(3k2+a,-3k),故|HK当且仅当k4=1 4且k2=1 2,即k=±1时等号成立,故|HK|的最小值为6.2.(10分)(2024·深圳模拟)已知椭圆C: 2 2+ 2 2=1(a>b>0)的离心率e=22,且点(4,1)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;【解析】(1)椭圆C的离心率e=22,则22= =即 2 2=12,所以a=2b=2c,椭圆方程为 22 2+ 2 2=1.将点(4,1)代入方程得b2=9,故所求方程为 218+ 29=1.(2)若经过定点(0,-1)的直线l与椭圆C交于P,Q两点,记椭圆的上顶点为M,当直线l的斜率变化时,求△MPQ面积的最大值.【解析】(2)点(0,-1)在椭圆C内,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx-1,由+ 29=1, -1,得(2k2+1)x2-4kx-16=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=4 2 2+1,x1x2=-162 2+1,Δ>0.|PQ|=( 2+1)[( 1+ 2)2-4 1 2]=点M(0,3)到l的距离dS△MPQ=12PQ|·d令t=2k2+1(t≥1),则k2= -12则S△MPQ=8因为0<1 ≤1,所以当1 =1(k=0)时,S△MPQ=16是所求最大值.3.(10分)(2024·毕节模拟)已知抛物线M:y2=4x的焦点为F,过点(2,0)的直线与抛物线M交于A,B两点,点A在第一象限,O为坐标原点.的取值范围;(1)设P为抛物线M上的动点,求| || |【解析】(1)依题意,抛物线M:y2=4x的焦点F(1,0),准线方程x=-1,设P(t2,2t),则|OP|=( 2)2+(2 )2= 4+4 2,|FP|=t2+1,因此| |=| |而t2+1≥1,即有0<1 2+1≤1,则当1 2+1=1,即t=0时=0,当1 2+1=13,即t=±2时max=233,所以| |的取值范围是[0,233].| |(2)记△AOB的面积为S1,△BOF的面积为S2,求S1+S2的最小值.【解析】(2)显然直线AB不垂直于y轴,设直线AB的方程为x=my+2,由 = +22=4 消去x并整理得y2-4my-8=0,显然Δ>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2<0,则y1y2=-8,即y2=-8 1,令(2,0)为点E,于是△AOB的面积为S1=12|OE|·(y1-y2)=y1-y2,△BOF的面积为S2=12|OF|·|y2|=-12y2,因此S1+S2=(y1-y2)+(-12y2)=y1-32y2=y1+12 13,当且仅当y1=12 1,即y1=23时取等号,所以S1+S2的最小值为43.4.(10分)(2024·湛江模拟)已知F1,F2分别为椭圆E: 2 2+ 2 2=1(a>b>0)的左、右焦点,椭圆E的离心率为12,过F2且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆E交于A,B两点,△F1AB的周长为8.(1)求椭圆E的标准方程;【解析】(1)由题意,椭圆E的离心率为12,可得 =12,又由椭圆的定义,可知|AB|+|AF1|+|BF1|=4a=8,所以a=2,c=1,又因为a 2=b 2+c 2,所以b 2=3,所以椭圆E 的标准方程为 24+ 23=1.(2)过F 1且与l 垂直的直线l'与椭圆E 交于C ,D 两点,求四边形ACBD 面积的最小值.【解析】(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线l 的方程为x =my +1,+23=1+1,整理得(3m 2+4)y 2+6my -9=0,则有y 1+y 2=-63 2+4,y 1·y 2=-93 2+4,故|AB |=(1+2)[( 1+ 2)2-4 1 2]==12×2+13 2+4,设直线l'的方程为x =-1y -1,设C (x 3,y 3),D (x 4,y 4),+23=1=-1-1,整理得(32+4)y 2+6y -9=0,则有y 3+y 4=-632+4,y 3·y 4=-932+4,则|CD ]=12×12+132+4=12× 2+14 2+3,所以四边形ACBD的面积:S =12|AB ||CD |=72× 2+13 2+4× 2+14 2+3=72× 2+13( 2+1)+1× 2+14( 2+1)-1=72(3+12+1)(4-12+1),因为(3+12+1)(4-12+1)≤(3+12+1+4-12+12)2=494,当且仅当m 2=1时,等号成立,所以S=72(3+1 2+1)(4-1 2+1)≥28849,综上,四边形ACBD面积的最小值为28849.。
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课时跟踪检测（十五）大题考法——圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点为A ，B ，C是椭圆上关于原点对称的两点(B ，C 均不在x 轴上)，线段AC 的中点为D ，且B ，F ，D 三点共线．(1)求椭圆E 的离心率；(2)设F (1,0)，过F 的直线l 交E 于M ，N 两点，直线MA ，NA 分别与直线x ＝9交于P ，Q 两点．证明：以P Q 为直径的圆过点F .解：(1)法一：由已知A (a,0)，F (c,0)，设B (x 0，y 0)，C (－x 0，－y 0)，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －x 02，－y 02，∵B ，F ，D 三点共线，∴BF ―→∥BD ―→，又BF ―→＝(c －x 0，－y 0)，BD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 02，－3y 02，∴－32y 0(c －x 0)＝－y 0·a －3x 02，∴a ＝3c ，从而e ＝13.法二：连接OD ，AB (图略)，由题意知，OD 是△CAB 的中位线，∴OD 綊12AB ，∴△OFD ∽△AFB .∴OF AF ＝OD AB ＝12，即c a －c ＝12， 解得a ＝3c ，从而e ＝13.(2)证明：∵F 的坐标为(1,0)， ∴c ＝1，从而a ＝3，∴b 2＝8. ∴椭圆E 的方程为x 29＋y 28＝1.设直线l 的方程为x ＝ny ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ny ＋1，x 29＋y 28＝1消去x 得，(8n 2＋9)y 2＋16ny －64＝0， ∴y 1＋y 2＝－16n8n 2＋9，y 1y 2＝－648n 2＋9，其中M (ny 1＋1，y 1)，N (ny 2＋1，y 2)． ∴直线AM 的方程为yy 1＝x －3ny 1－2，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫9，6y 1ny 1－2，同理Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫9，6y 2ny 2－2，从而FP ―→·F Q ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，6y 1ny 1－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫8，6y 2ny 2－2＝64＋36y 1y 2n 2y 1y 2－2n (y 1＋y 2)＋4＝64＋36×(－64)8n 2＋9－64n 28n 2＋9＋32n 28n 2＋9＋4＝64＋36×(－64)36＝0.∴FP ⊥F Q ，即以P Q 为直径的圆恒过点F .2．(2017·浙江高考)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝⎛⎭⎫－12，14，B ⎝⎛⎭⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝⎛⎭⎫－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|PA |·|P Q |的最大值． 解：(1)设直线AP 的斜率为k ， k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12<x <32，所以－1<x －12<1，即直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)． (2)设直线AP 的斜率为k.则直线AP 的方程为y －14＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12， 即kx －y ＋12k ＋14＝0，因为直线B Q 与直线AP 垂直，所以直线B Q 的方程为x ＋ky －94k －32＝0，联立⎩⎨⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标x Q ＝－k 2＋4k ＋32(k 2＋1).因为|PA |＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫x ＋12＝ 1＋k 2(k ＋1)，|P Q |＝1＋k 2(x Q －x )＝－(k －1)(k ＋1)2k 2＋1，所以|PA |·|P Q |＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3， 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2， 令f ′(k )＝0，得k ＝12或k ＝－1(舍去)，所以f (k )在区间⎝⎛⎭⎫－1，12上单调递增，⎝⎛⎭⎫12，1上单调递减， 因此当k ＝12时，|PA |·|P Q |取得最大值2716.3．(2018·浙江重点中学12月高三期末热身联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆上有相异的两点A ，B .A ，O ，B 三点不共线，O 为坐标原点，且直线AB ，OA ，OB 的斜率满足k 2AB ＝k OA ·k OB (k AB >0)． (ⅰ)求证：|OA |2＋|OB |2为定值；(ⅱ)设△AOB 的面积为S ，当S 取得最大值时，求直线AB 的方程． 解：(1)由题意可知，a ＝2b ，故椭圆方程可化为x 24b 2＋y 2b 2＝1，∵椭圆过点⎝⎛⎭⎫3，12， ∴34b 2＋14b2＝1， 解得b ＝1(负值舍去)，∴a ＝2， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝k AB x ＋m (k AB >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵k 2AB ＝k OA ·k OB (k AB >0)， ∴k 2AB＝y 1y 2x 1x 2＝(k AB x 1＋m )(k AB x 2＋m )x 1x 2，化简得k AB m (x 1＋x 2)＋m 2＝0， ∵A ，O ，B 三点不共线，∴m ≠0， ∴k AB (x 1＋x 2)＋m ＝0，①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k AB x ＋m ，x 24＋y 2＝1消去y ，整理，得(1＋4k 2AB )x 2＋8k AB ·mx ＋4(m 2－1)＝0， 由根与系数的关系可得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－8k AB m1＋4k 2AB，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k2AB. ②Δ＝16(1＋4k 2AB －m 2)>0，③将②代入①中得k AB ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k AB m 1＋4k 2AB ＋m ＝0(k AB >0)，解得k AB ＝12，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2(m 2－1)，④(ⅰ)证明：|OA |2＋|OB |2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝34x 21＋34x 22＋2＝34[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＋2， 将④代入得|OA |2＋|OB |2＝34×[4m 2－2×2(m 2－1)]＋2＝5.(ⅱ)设点O 到直线AB 的距离为d ， 则S ＝12|AB |·d ＝121＋k 2AB |x 1－x 2|·|m |1＋k 2AB＝12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2|m |＝2－m 2|m |.由③及k AB ＝12可得m ∈(－2，0)∪(0，2)，则S ＝2－m 2|m |＝(2－m 2)m 2≤2－m 2＋m 22＝1，当且仅当m ＝±1时，等号成立．∴S 取最大值时，直线的AB 方程为y ＝12x ＋1或y ＝12x －1.4．(2018·宝鸡质检)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，其离心率e ＝12，点P 为椭圆上的一个动点，△PF 1F 2面积的最大值为4 3. (1)求椭圆的方程；(2)若A ，B ，C ，D 是椭圆上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点F 1，AC ―→·BD ―→＝0，求|AC ―→|＋|BD ―→|的取值范围．解：(1)由题意得，当点P 是椭圆的上、下顶点时，△PF 1F 2的面积取得最大值， 此时S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|OP |＝bc ，所以bc ＝43，因为e ＝c a ＝12，所以b ＝23，a ＝4，所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.(2)由(1)得，F 1的坐标为(－2,0)， 因为AC ―→·BD ―→＝0，所以AC ⊥BD ，①当直线AC 与BD 中有一条直线斜率不存在时，易得|AC ―→|＋|BD ―→|＝6＋8＝14. ②当直线AC 的斜率k 存在且k ≠0时， 设其方程为y ＝k (x ＋2)，A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 216＋y 212＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－48＝0， 则x 1＋x 2＝－16k 23＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－483＋4k 2. |AC ―→|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝24(k 2＋1)3＋4k 2，此时直线BD 的方程为y ＝－1k(x ＋2)．同理由⎩⎨⎧y ＝－1k (x ＋2)，x 216＋y212＝1，可得|BD ―→|＝24(k 2＋1)4＋3k 2，|AC ―→|＋|BD ―→|＝24(k 2＋1)3＋4k 2＋24(k 2＋1)4＋3k 2＝168(k 2＋1)2(4＋3k 2)(3＋4k 2)， 令t ＝k 2＋1，则|AC ―→|＋|BD ―→|＝168t 2(3t ＋1)(4t －1)＝16812＋t －1t2(t >1)，因为t >1,0<t －1t 2≤14，所以|AC ―→|＋|BD ―→|＝16812＋t －1t2∈⎣⎡⎭⎫967，14. 综上，|AC ―→|＋|BD ―→|的取值范围是⎣⎡⎦⎤967，14.5．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于P ，Q 两点，且|P Q |＝8，线段P Q 的中点到y 轴的距离为3.(1)求抛物线C 的方程；(2)若点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线C 上相异的两点，满足x 1＋x 2＝2，且AB 的中垂线交x 轴于点M ，求△AMB 的面积的最大值及此时直线AB 的方程．解：(1)设P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，则P Q 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x P ＋x Q 2，y P ＋y Q 2.由题意知x P ＋x Q2＝3，∴x P ＋x Q ＝6，又|P Q |＝x P ＋x Q ＋p ＝8，∴p ＝2，故抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)当AB 垂直于x 轴时，显然不符合题意， 所以可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝4x 消去y 并整理，得k 2x 2＋(2kb －4)x ＋b 2＝0， ∴x 1＋x 2＝4－2kb k2＝2，得b ＝2k －k ， ∴直线AB 的方程为y ＝k (x －1)＋2k . ∵AB 中点的横坐标为1， ∴AB 中点的坐标为⎝⎛⎭⎫1，2k . 可知AB 的中垂线的方程为y ＝－1k x ＋3k ，∴M 点的坐标为(3,0)．∵直线AB 的方程为k 2x －ky ＋2－k 2＝0， ∴M 到直线AB 的距离d ＝|3k 2＋2－k 2|k 4＋k2＝2k 2＋1|k |.由⎩⎪⎨⎪⎧k 2x －ky ＋2－k 2＝0，y 2＝4x得k 24y 2－ky ＋2－k 2＝0，∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝8－4k 2k 2，∴|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|＝41＋k 2k 2－1k 2.设△AMB 的面积为S ， 则S ＝4⎝⎛⎭⎫1＋1k 2 1－1k2. 设1－1k2＝t ，则0≤t <1， ∴S ＝4t (2－t 2)＝－4t 3＋8t ，S ′＝－12t 2＋8，由S ′＝0，得t ＝63(负值舍去)， 即k ＝±3时，S max ＝1669， 此时直线AB 的方程为3x ±3y －1＝0.6.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为抛物线上的点(第一象限)，直线l 与抛物线相切于点P .(1)过P 作PM 垂直于抛物线的准线于点M ，连接PF ，求证：直线l 平分∠MPF ；(2)若p ＝1，过点P 且与l 垂直的直线交抛物线于另一点Q ，分别交x 轴、y 轴于A ，B 两点，求|AB ||AP |＋|AB ||A Q |的取值范围．解：(1)证明：设P (x 0，y 0)，则y 20＝2px 0，因为点P 不是抛物线的顶点，所以直线l 的斜率存在，设为k ，则k ＝p y 0，所以切线l ：y －y 0＝py0(x －x 0)，即y 0y ＝p (x ＋x 0)．设切线l 与x 轴交于点C ， 则C (－x 0,0)，所以|FC |＝x 0＋p2，由抛物线的定义得|PF |＝|PM |＝x 0＋p2，所以|PF |＝|FC |，所以∠PCF ＝∠FPC ＝∠MPC ， 因而直线l 平分∠MPF .(2)由(1)及已知得，过点P 且与l 垂直的直线的斜率为－y 0p ＝－y 0，因而其方程为y －y 0＝－y 0(x －x 0)，则A (x 0＋1,0)，B (0，x 0y 0＋y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y －y 0＝－y 0(x －x 0)得y 2＋2y 0y －2(x 0＋1)＝0，由y 0和y Q 为方程的两个根得，y 0＋y Q ＝－2y 0，因而y Q ＝－2－y 20y 0＝－2(x 0＋1)y 0.所以|AB ||AP |＋|AB ||A Q |＝|y B ||y P |＋|y B ||y Q |＝|x 0y 0＋y 0||y 0|＋|x 0y 0＋y 0||－2(x 0＋1)y 0|＝2x 0＋1，因为x 0>0，所以2x 0＋1>1，所以|AB ||AP |＋|AB ||A Q |的取值范围为(1，＋∞)．。