高考数学难点突破_难点10__函数图象

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高考数学必背知识点及公式归纳总结大全

高考数学必背知识点及公式归纳总结大全高考数学必背知识点及公式归纳总结大全高中数学理科是10本书,其中的数学公式非常多,那么关于高考数学的公式及知识点有哪些呢?以下是小编准备的一些高考数学必背知识点及公式归纳总结，仅供参考。

高考数学必考知识点归纳必修一：1、集合与函数的概念(部分知识抽象，较难理解);2、基本的初等函数(指数函数、对数函数);3、函数的性质及应用(比较抽象，较难理解)。

必修二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角。

这部分知识是高一学生的难点，比如：一个角实际上是一个锐角，但是在图中显示的钝角等等一些问题，需要学生的立体意识较强。

这部分知识高考占22---27分。

2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题。

3、圆方程：必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填空);2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分。

必修四：1、三角函数：(图像、性质、高中重难点，)必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查。

2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。

09年理科占到5分，文科占到13分。

必修五：1、解三角形：(正、余弦定理、三角恒等变换)高考中理科占到22分左右，文科数学占到13分左右;2、数列：高考必考，17---22分;3、不等式：(线性规划，听课时易理解，但做题较复杂，应掌握技巧。

高考必考5分)不等式不单独命题，一般和函数结合求最值、解集。

文科：选修1—1、1—2。

选修1--1：重点：高考占30分。

1、逻辑用语：一般不考，若考也是和集合放一块考;2、圆锥曲线;3、导数、导数的应用(高考必考)。

选修1--2：1、统计;2、推理证明：一般不考，若考会是填空题;3、复数：(新课标比老课本难的多，高考必考内容)。

理科：选修2—1、2—2、2—3。

选修2--1：1、逻辑用语;2、圆锥曲线;3、空间向量：(利用空间向量可以把立体几何做题简便化)。

三次函数图像与性质【10类题型】(解析版)-2025届高考数学热点题型归纳与重难点突(新高考专用)

专题2-2三次函数图像与性质【题型1】求三次函数的解析式【题型2】三次函数的单调性问题【题型3】三次函数的图像【题型4】三次函数的最值、极值问题【题型5】三次函数的零点问题【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题【题型7】三次函数对称中心【题型8】三次函数的切线问题【题型9】三次函数根与系数的关系1/342/34【题型1】求三次函数的解析式（1）一般式：()³²f x ax bx cx d =+++（a ≠0）（2）交点式：()123()()()f x a x x x x x x =---（a ≠0）1．若三次函数()f x 满足()()()()00,11,03,19f f f f ''====，则()3f =（）A ．38B ．171C ．460D ．965【解析】待定系数法，求函数解析式设()³²f x ax bx cx d =+++，则()232f x ax bx c '=++，由题意可得：()()()()0011031329f d f a b c d f c f a b c ⎧==⎪=+++=⎪⎨==⎪⎪=+'=⎩'+，解得101230a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩，则()3210123f x x x x =-+，所以()32310312333171f =⨯-⨯+⨯=.【题型2】三次函数的单调性问题三次函数是高中数学中的一个重要内容，其考点广泛且深入，主要涉及函数的性质、图像、最值、零点以及与其他函数的综合应用等方面。

以下是对三次函数常见考点的详细分析：1.三次函数的定义与形式∙定义：形如f (x )=ax 3+bx 2+cx +d （其中a ≠=0）的函数称为三次函数。

∙形式：注意系数a ,b ,c ,d 的作用，特别是a 的正负决定了函数的开口方向（a >0开口向上，a <0开口向下）。

原函数与导函数混合还原问题 (十三大题型)高考数学重难点突破(原卷版)

重难点突破03 原函数与导函数混合还原问题目录1、对于，构造，2、对于，构造()()0(0)xf x f x '+><()()g x x f x =⋅()()0(0)xf x kf x '+><()()k g x x f x =⋅3、对于，构造，4、对于，构造5、对于，构造，6、对于，构造7、对于，构造，8、对于，构造9、对于，构造， 10、对于，构造 11、对于，构造， 12、对于，构造 13、对于，构造14、对于，构造 15、；；； 16、；．题型一：利用构造型例1．（安徽省马鞍山第二中学2022-2023学年高三上学期10月段考数学试题）已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（）A ．B ．C ．D ．()()0(0)x f x f x '⋅-><()()f x g x x =()()0(0)x f x kf x '⋅-><()()k f x g x x=()()0(0)f x f x '+><()()x g x e f x =⋅()()0(0)f x kf x '+><()()kx g x e f x =⋅()()0(0)f x f x '-><()()x f x g x e =()()0(0)f x kf x '-><()()bxf xg x e =sin ()cos ()0(0)x f x x f x '⋅+⋅><()()sin g x f x x =⋅sin ()cos ()0(0)x f x x f x '⋅-⋅><()()sin f x g x x=cos ()sin ()0(0)x f x x f x '⋅-⋅><()()cos g x f x x =⋅cos ()sin ()0(0)x f x x f x '⋅+⋅><()()cos f x g x x=()()(0)f x f x k '-><()[()]x g x e f x k =-()()ln 0(0)f x f x x x'+><()ln ()g x x f x =⋅()[()]f x c f x cx ''+=+()()[()()]f x g x f x g x '''+=+()()[()()]f x g x f x g x '''-=-()()()()[()()]f x g x f x g x f x g x '''+=2()()()()()[]()()f xg x 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--()()33-∞-⋃+∞，，()()3003-⋃，，()()3007-⋃，，()()327-∞-⋃，，1、对于，构造，2、对于，构造题型三：利用构造型例7．（河南省2022-2023学年高三上学期第五次联考文科数学试题）已知定义在R 上的函数满足，且有，则的解集为（）A ．B ．C ．D ．例8．（河南省2022-2023学年高三上学期第五次联考数学试题）已知定义在上的函数满足，且有，则的解集为（）A ．B ．C ．D ．例9．（广东省佛山市顺德区北滘镇莘村中学2023届高三模拟仿真数学试题）已知是函数的导函数，对于任意的都有，且，则不等式的解集是（）A ．B ．C ．D ．变式6．（宁夏吴忠市2023届高三一轮联考数学试题）函数的定义域是，，对任意，，则不等式：的解集为（）A ．B ．C ．或D ．或【解题方法总结】1、对于，构造，2、对于，构造()()0(0)x f x f x '⋅-><()()f x g x x =()()0(0)x f x kf x '⋅-><()()k f x g x x=()nx e f x ()f x ()()0f x f x '+>()33f =()33e x f x ->()3,+∞()1,+∞(),3-∞(),1-∞R ()f x ()()102f x f x '+>()112f =()122x f x e ->(),2-∞()1,+∞(),1-∞()2,+∞()f x '()()y f x x =∈R x ∈R ()()1f x f x '+>()02023f =()e e 2022x x f x >+()2022,+∞()(),02023,∞∞-⋃+()(),00,∞-+∞U ()0,∞+()f x R ()02f =x ∈R ()()1f x f x '+>()e e 1x x f x ⋅>+{}0x x >{}0x x <{1x x <-}1x >{1x x <-}01x <<()()0(0)f x f x '+><()()xg x e f x =⋅()()0(0)f x kf x '+><()()kx g x e f x =⋅题型四：用构造型例10．（安徽省六安市第一中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题）定义在上的函数的导函数为，满足：，，且当时，，则不等式的解集为（） A ． B ．C ．D ．例11．（广东省汕头市2023届高三三模数学试题）已知定义在R 上的函数的导函数为，且满足，，则不等式）A ．B ．C ．D ．例12．（陕西省安康市2023届高三下学期4月三模数学试题）已知函数的定义域为，且对任意，恒成立，则的解集是（）A ．B ．C ．D ．变式7．（新疆克拉玛依市2023届高三三模数学试题）定义在R 上的函数的导函数为，，对于任意的实数均有成立，且的图像关于点（，1）对称，则不等式的解集为（）A ．（1，+∞）B ．（1，+∞）C ．（∞，1）D ．（∞，1）变式8．（浙江省绍兴市新昌中学2023届高三下学期5月适应性考试数学试题）若定义在R 上的函数的导函数为，且满足，则不等式）A ．B ．C ．D ．变式9．（吉林省长春市吉大附中实验学校2022-2023学年高三上学期第四次摸底考试数学试题）设是函数的导函数，且，（e 为自然对数的底数），则不等式的()nxf x e (2,2)-()f x ()f x '()()40x f x e f x +-=()21f e =0x >()2()f x f x '>24(2)x e f x e -<(1,4)(2,1)-(1,)+∞(0,1)()f x '()f x '()()0f x f x ->2021(2021)f e =1ln f x e ⎛⎫< ⎪⎝⎭()2021,e +∞()20210,e()2021,ee+∞()20210,ee()f x R x R ∈()()0f x f x '-<()()4e 1e 23xf f x x >-+()4,+∞()1,4-(),3-∞(),4-∞()f x ()f x '1(1)3f -=-x ln 3()()f x f x '⋅<1(12y f x =-+122()30x f x -->----()f x ()f x '()()()2022,2022e f x f x f >='1ln 3f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭()60660,e ()20220,e()2022e ,∞+()6066e,∞+()f x '()f x ()()()3R f x f x x '>∈1e 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()3ln f x x <解集为（）A ．B ．C ．D ．变式10．（四川省绵阳市南山中学2022-2023学年高三二诊热身考试数学试题）已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，，则不等式的解集为（） A ． B ． C ． D ．变式11．（山东省烟台市2023届高三二模数学试题）已知函数的定义域为R ，其导函数为，且满足，，则不等式的解集为（）．A ．B ．C ．D ．变式12．（江西省九江十校2023届高三第二次联考数学试题）设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集是（） A ． B ．C ．D ．【解题方法总结】1、对于，构造，2、对于，构造题型五：利用、与构造型例13．（江西省2023届高三教学质量监测数学试题）定义在区间上的可导函数关于轴对称，当时，恒成立，则不等式的解集为（） A ．B ．C ．D ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭)+∞R ()f x ()f x '()()f x f x '<()()2f x f x -=+()21f =()e x f x <(),2-∞()2,+∞()1,+∞()0,∞+()f x ()f x '()()e x f x f x -+='()00f =()()21e 1e exf x -<-11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,()1,1-()1,e -()f x R ()f x '()()1f x f x >'+(0)2023f =e ()e 2022x x f x -->+e 2022(,)+∞(,2023)-∞(0,2022)(,0)-∞()()0(0)f x f x '-><()()x f x g x e =()()0(0)f x kf x '-><()()bxf xg x e =sin x tan x ()f x ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x y π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()()cos sin f x x f x x >-'()π20tan f x f x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭->ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭ππ,43⎛⎫ ⎪⎝⎭ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭π0,2⎛⎫⎪⎝⎭例14．（天津市南开中学2023届高三下学期统练二数学试题）已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．例15．函数对任意的满足(其中是函数的导函数)，则下列不等式成立的是（） A ．BC ．D变式13．已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．【解题方法总结】1、对于，构造，2、对于，构造3、对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型题型六：利用与构造型例16．（重庆市九龙坡区2023届高三二模数学试题）已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x 的不等式的解集为（）()f x ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()tan 0f x f x x '+>()πcos sin 02x f x x f x ⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭ππ,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭ππ,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭()y f x =,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭12()()sin 2x x f x f x x e -'++=()'f x ()f x 43f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭364f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2124f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(52312f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()tan 0f x f x x '+>()πcos sin 02x f x x f x ⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭ππ,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭ππ,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭sin ()cos ()0(0)x f x x f x '⋅+⋅><()()sin g x f x x =⋅sin ()cos ()0(0)x f x x f x '⋅-⋅><()()sin f x g x x=cos x ()f x ()f x ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x 'π02x ≤<()()cos sin 0f x x f x x '+>()π2cos 3f x f x ⎛⎫>⋅ ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．例17．已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x 的不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．例18．设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上有，则不等式的解集是（）A ．B ．C ．D ．【解题方法总结】1、对于，构造，2、对于，构造3、对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型题型七：复杂型：与等构造型例19．（广西柳州市2023届高三11月第一次模拟考试数学试题）已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有．且为奇函数，则不等式的解集为（） A ． B ． C ． D ．例20．（河南省多校联盟2023届高考终极押题（C 卷）数学试题）已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（）ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ππππ2332⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,,πππ0332⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,()f x ,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭()'f x 02x π<<()cos ()sin 0f x x f x x '+<()cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,0,442πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x R ()f x 'R x ∈()()2cos f x f x x +-=[)0,+∞()sin f x x '>-()cos sin 2f x f x x x π⎛⎫--≥- ⎪⎝⎭,4π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,6π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭cos ()sin ()0(0)x f x x f x '⋅-⋅><()()cos g x f x x =⋅cos ()sin ()0(0)x f x x f x '⋅+⋅><()()cos f x g x x=n e ()()af x bg x +()f x ()f x 'x R ∈()()1f x f x '->()2022f x -()2021e 1x f x ->(),0-∞()0,+∞(),e -∞()e,+∞()f x ()f x 'R x ∈()()2f x f x >'+()12022f =()12020e 2x f x --<A ．B ．C ．D ．例21．（2023届高三冲刺卷（一）全国卷文科数学试题）已知函数与定义域都为，满足，且有，，则不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．变式14．（陕西省渭南市华州区咸林中学2022-2023学年高三上学期开学摸底考试数学试题）已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为（） A ． B ．C ．D ．变式15．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题）设函数在上的导函数为，若，，，则不等式的解集为（） A ． B ．C ．D ．变式16．（新疆新源县第二中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题）定义在R 上的函数满足：，，则不等式的解集为（） A ．B ．C ．D ．变式17．（陕西省西安市西北工业大学附属中学2023届高三下学期第十二次适应性考试数学试题）定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．【解题方法总结】对于，构造题型八：复杂型：与型例22．（专题32盘点构造法在研究函数问题中的应用—备战2022年高考数学二轮复习常考点专题突破）已()0,∞+1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()1,+∞(),1-∞()f x ()g x R ()()()1e xx g x f x +=()()()0g x xg x xg x ''+-<()12e g =()4f x <()1,4()0,2(),2-∞()1,+∞()3,3-()f x 42()e ()0,(1)e ,()x f x f x f f x '+-==()f x [0,3)x ∈()2()f x f x '>24e (2)e x f x -<(2,1)-(1,5)(1,)+∞(0,1)()f x R ()f x '()()1f x f x '>+()(6)2f x f x +-=(6)5f =()210x f x e ++<(,0)-∞(0,)+∞(0,3)(3,6)()f x ()()'1f x f x +>()04f =()3x x e f x e >+()0,+¥()(),03,∞⋃+∞－()(),00,∞⋃+∞－()3,+∞R()f x ()()280f x f x '-->()02f =-()224xf x e >-()0,2()0,∞+()0,4()4,+∞()()(0)f x f x k'-><()[()]x g x e f x k =-()kx b +()f x知定义在上的函数满足，且当时，有，则不等式的解集是（） A ． B ． C ． D ．例23．（辽宁省实验中学2023届高三第四次模拟考试数学试卷）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若对任意有，，且，则不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．例24．（山东省泰安肥城市2023届高三下学期5月高考适应性训练数学试题（三））定义在上的函数的导函数为，且对任意恒成立.若，则不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．【解题方法总结】写出与的加、减、乘、除各种形式题型九：复杂型：与结合型例25．（2023届高三数学临考冲刺原创卷（四））已知函数的定义域为，导函数为，且满足，则不等式的解集为（） A ． B ． C ． D ．例26．（华大新高考联盟2023届高三3月教学质量测评文科数学试题）已知函数的定义域为，图象关于原点对称，其导函数为，若当时，则不等式的解集为（）R ()f x ()()22f x f x +=-2x >()()()()2,11xf x f x f x f ''+>=若()12f x x <-(2,3)(),1-∞()()1,22,3⋃()(),13,-∞⋃+∞()f x R ()f x 'x ∈R ()1f x '>()()110f x f x ++-=()02f =-()11f x x ->-()4,+∞()3,+∞()2,+∞()0,∞+()1+¥，()f x ()f x '2(1)()()2x f x f x x x '-->-(1,)x ∈+∞(2)3f =2()1f x x x >-+()1,2()2+∞，()1,3()3+∞，y kx b =+()y f x =ln()kx b +()f x ()0,∞+()f x '()()ln 0f x xf x x '+>()()2020ln 20200f x x --≤()(),20202021,-∞⋃+∞()0,2021(]2020,2021(]2021,2022()f x R ()f x '0x >()()ln 0x x f x f x +⋅'<()()||44x f x f x ⋅>A ．B ．C ．D ．例27．（2023届高三数学新高考信息检测原创卷（四））已知是定义在上的奇函数，是的导函数，，且，则不等式的解集是（）A ．B ．C ．D ．变式18．（广东省梅州市2023届高三二模数学试题）已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集是（） A ． B ． C ．D ．变式19．定义在上的函数满足，则不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．【解题方法总结】 1、对于，构造 2、写出与的加、减、乘、除各种结果题型十：复杂型：基础型添加因式型例28．（辽宁省名校联盟2023届高考模拟调研卷数学（三））已知函数f （x ）为定义在R 上的偶函数，当时，，，则不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．例29．定义在上的函数满足（为自然对数的底数），其中为的导函数，若，则的解集为（） A ．B ． ()(),10,-∞-⋃+∞()()1,00,-⋃+∞()(),10,1-∞-⋃()()1,01,-⋃+∞()f x R ()f x ¢()f x 102f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭()()()ln 20f x f x x x '+<()()220x x f x -->()()1,10,2,2⎛⎫-∞-⋃⋃+∞ ⎪⎝⎭()11,0,22⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭()()1,02,-⋃+∞()(),10,2-∞-⋃()f x R ()f x '()f x 0x >()()()ln 20f x f x x x+>'102f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭()()20x f x -<()(),00,2-∞⋃()0,2()2,+∞()(),02,-∞⋃+∞(0)+∞，()f x ()()110,2ln 2xf x f '+=＞)(e 0x f x +>(02ln2)，(0,ln2)(ln21)，(ln2)+∞，()()ln 0(0)f x f x x x'+><()ln ()g x x f x =⋅ln()y kx b =+()y f x =()0,x ∈+∞()2'>f x x ()24f =()2312xf x x x x -+>+()()103-⋃+∞,,()()1,13,-+∞ ()(),10,3-∞- ()1,3-R ()f x ()()e 0x f x f x '-+<e ()'f x ()f x 3(3)3e f =()e x f x x >(,2)-∞(2,)+∞C．D．例30．定义在上的函数满足，且，则满足不等式的的取值有（）A．B．0 C．1 D．2变式20．已知在定义在上的函数满足，且时，恒成立，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【解题方法总结】在本题型一、二、三、四等基础上，变形或者添加因式，增加复杂度题型十一：复杂型：二次构造例31．（福建省福州第一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题）函数满足：时，（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，也无极小值例32．（江西省百所名校2022-2023学年高三第四次联考数学试题）已知函数的定义域为，其导函数为，对恒成立，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．例33．（河南省濮阳市2023届高三下学期第一次模拟考试数学试题）已知函数为定义域在R上的偶函数，且当时，函数满足，，则的解集是（）A．B．C．D．(3),-∞(3,)+∞R()f x()()260f xf x-'-<()21e3=-f()2e3>-xf x x1-R()f x()()62sin0f x f x x x---+=0x≥()3cosf x x'≥-()π3ππ6224f x f x x x⎛⎫⎛⎫≥--++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π0,4⎛⎤⎥⎝⎦,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,6π⎛⎤-∞⎥⎝⎦,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭()f x1()'()2x xe f x e f x+=12f⎛⎫=⎪⎝⎭x>()f x()f x()1,+∞()f x'()()()()22x f x xf x xf x'++<⎡⎤⎣⎦()1,x∈+∞()14525f=()()233210x f x x++>+()1,2(),2∞-()2,3-()2,2-()1f x+1x≥()f x()()2ln2xxf x f xx'+=14ef=()4e1f x<(),2-∞⋃+∞(2()(),2e e,-∞-⋃+∞()2e,e-变式21．（宁夏平罗中学2023届高三上学期第一次月考数学试题）已知定义在上的连续偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．变式22．（江西省九江市2023届高三三模数学（理）试题）已知是定义在上的可导函数，是的导函数，若，，则在上（）A ．单调递增B ．单调递减C ．有极大值D ．有极小值变式23．（湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2022-2023学年高二下学期期中理科数学试题）定义在上的函数满足，且，则（） A ．有极大值，无极小值 B ．有极小值，无极大值 C ．既有极大值又有极小值 D ．既无极大值也无极小值变式24．（福建省泉州市2022-2023学年高二下学期期末教学质量跟踪监测数学（理）试题）设函数满足：，，则时，（） A ．有极大值，无极小值 B ．有极小值，无极大值 C ．既有极大值，又有极小值 D ．既无极大值，又无极小值变式25．（辽宁省大连市中山区第二十四中学2022-2023学年高三上学期11月月考数学试题）函数满足：时，A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值，又有极小值D ．既无极大值，也无极小值变式26．设函数的导数为，且，，，则当时，A ．有极大值，无极小值B ．无极大值，有极小值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值又无极小值 R ()y f x =()y f x '=0x >()()0f x f x x '+<(2)3f =-6(21)21f x x --<-13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1113,,2222⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x ()0,∞+()f x '()f x ()()2xxf x x f x e '+=()1f e =()f x ()0,∞+()0,∞+()f x ()()2ln xf x f x x x '+=12f e =-()f x ()f x ()()2e xxf x f x x '+=()e12f =0x >()f x ()f x ()()2x xe f x e f x +'=1()2f =0x >()f x ()f x ()f x '()e ()x f x x xf x '+=(1)f π=-(2)2f π=-0x >()f x【解题方法总结】二次构造：，其中等题型十二：综合构造例34．（福建省泉州市泉港区第一中学、厦门外国语学校石狮分校2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题）已知函数在上可导，其导函数为，若满足，关于直线对称，则不等式的解集是（）A ．B ．C ．D ．例35．（贵州省铜仁市2023届高三适应性考试数学试题（—））已知定义在上的函数，为其导函数，满足①，②当时，.若不等式有实数解，则其解集为（） A ．B ．C ．D ．例36．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2022-2023学年高三第一次模拟数学（文科）试题）已知是定义在R 上的偶函数，是的导函数，当时，，且，则的解集是（）A ．B ．C ．D ．变式27．（贵州省绥阳县育才中学2023届高三信息压轴卷数学试题）已知函数的定义域为R ，其导函数为，若，且当时，，则的解集为（）()()()f x r x g x ⨯÷±(),,sin ,cos n nx r x x e x x =()f x R ()f x '()f x '()()01f x f x x '->-()e xf x y =1x =()22(0)ex xf x x f --<()1,2-()1,2()()1,01,2- ()(),01,-∞⋃+∞R ()f x ()f x '()()2f x f x x =--0x ≥()210f x x '++≥()()221331f x x x f x +++>+2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭()2,0,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭()0,∞+()2,0,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭()f x ()f x '()f x 0x ≥()20f x x '->()13f =()22f x x >+()()1,01,-⋃+∞()(),11,-∞-⋃+∞()()1,00,1-U ()(),10,1-∞-⋃()f x ()f x '()()sin22f x f x x--=0x ≤()2cos 02x f x '+>()()2π1sin 2sin 122x x f x f x ⎛⎫++>++ ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．变式28．（安徽省淮南市2023届二模数学试题）定义在上的函数满足，当时，，则不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．变式29．（安徽省蚌埠市2023届高三上学期第一次质量检查数学试题）已知函数的定义域是，若对于任意的都有，则当时，不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．【解题方法总结】结合式子，寻找各种综合构造规律，如，或者（为常见函数）题型十三：找出原函数例37．（甘肃省武威市第六中学2023届高三上学期第二次阶段性过关考试数学（文）试题）已知定义在(0,+∞)上的函数f (x )的导函数f '(x 满足且，其中为自然对数的底数,则不等式的解集是A ．(0,e)B ．(0,) C ．(,e ) D ．(e,+∞)例38．设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数A ．既有极大值又有极小值B ．有极大值，无极小值ππ,3⎛⎫- ⎪⎝⎭()π,π,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ ππ,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭()π,π,3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭R ()f x ()()2cos 0f x f x x -++=0x ≥()sin f x x '>()2f x +()cos πx f x >-π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭π,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭(),π-∞()f x 11,22f ⎛⎫= ⎪⎝⎭R x ∈R ()40f x x '+<[]0,2απ∈()sin cos20f αα-<5,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭5,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭50,,266πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭50,,233πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭cos ()()exx f x g x ⋅=()()f x r x +()r x ()()ln x xf x f x x+='()1f e e =e ()1f x e x e+>+1e1e()f x (1,)-+∞0x =()f x ()f x '()()ln(1)1f x f x x x x +-¢=+()f xC ．有极小值，无极大值D ．既无极大值也无极小值例39．设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数 A ．既有极大值又有极小值 B ．有极大值，无极小值 C ．既无极大值也无极小值 D ．有极小值，无极大值【解题方法总结】熟悉常见导数的原函数.()f x (0,)+∞1x =()f x ()f x '()()ln f x f x x x x=-'()f x。

再谈2010江苏高考数学的“难”

再谈2010江苏高考数学的“难”XXXXX2010年江苏省高考数学试卷从整体上看，更加突出数学学科特点，涉及考试说明中的五种能力和两种意识，特别注意从多种不同角度进行分析研究，引发多种不同的解法，展示考生的各种能力，试卷题型虽然常规，但梯度明显，区分度高，难度大，很多题目都有陷阱。

因此，考生们对2010年江苏高考数学考题普遍的评价和03年一样，又是一个字：难！1．今年江苏卷从知识与能力角度看真正地“难”在哪里？1．1．部分试题注重知识交汇点命题，综合性较强例1．（01江苏8）函数y=x 2(x>0)的图像在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数，a 1=16，则a 1+a 3+a 5=_________解析：在点(a k ,a k 2)处的切线方程为：时，解得，所以数列是以为公比、16为首项的等比数列，因此，。

点评：本题考查抛物线的切线方程、数列的通项，是函数、导数、数列等三个知识点的结合。

它的难度至少达到B 级。

例2．（01江苏10）定义在区间上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为___________。

解析:线段P 1P 2的长即为sinx 的值，且6cosx=5tanx ，结合，解得sinx=。

线段P 1P 2的长为。

点评：本题考查三角函数的图象、同角三角函数关系、图形的交点计算等三个知识点，全面地考察了正弦、余弦、正切函数的图像的把握情况。

平时这类题目仅仅考到直线被两个函数图像截得的线段的长度大小等，现在更深入，增加了第三个函数。

1.2部分试题立意新颖，设问灵活，创新层次高例3．（01江苏12）设实数x,y 满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是________解析一（后面还有两一种解法）：设，，解得，，则，其中，当，时，的最大值是27.点评：本题从表面上给人的第一感觉，它应该是线性规划问题，再仔细地想，这个题目类似如：已知，求的最大值。

一元二次不等式难点突破

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评注如果二次方程#+"."+.;$&有两个非零实数根分别为+!+"那么二次方程#+" '"+.;$& 的两根分别为 '+!'+"二次方程;+"."+.#$&
的两根分别为+!!+!"二次方程;+" '"+.#$&的两
根
分别为
! '+!
'+!"
!
"!含参分式不等式给定解集
两根分别为& 和/!且& )/!所
以函数?)+*的图像与+ 轴的两
图!
个交点的横坐标分别为 & 和/!且 & )/! 注意到方程?)+*$!!即)+'#*)+'"*$&的两
根分别为# 和"!且# )"!所以可知点(!) 的横坐标分别为#!"!且# )"!
故由图知!#)& )/)"!此即为所求大小关系!
综上可知!当#$&或#$!时!原不等式的解集为 B(当# 0!或# )&时!原不等式的解集为2+K'#" )+ )'#4(当&)#)!时!原不等式的解集为2+K'# )+ )'#"4!
评注两根相等是特殊情形两根不等是一般情

高考数学考纲解读与热点难点突破专题02函数的图象与性质教学案(理)

专题02 函数的图象与性质【2019年高考考纲解读】(1)函数的概念和函数的基本性质是B级要求，是重要题型；(2)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点，要求都是B级；(3)幂函数是A级要求，不是热点题型，但要了解幂函数的概念以及简单幂函数的性质。

【重点、难点剖析】1．函数及其图象(1)定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题时务必须“定义域优先”．(2)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换．2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性；(3)周期性：周期性也是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其周期T ＝ka(k∈Z)的绝对值．3．求函数最值(值域)常用的方法(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数；(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数；(4)导数法：适合于可求导数的函数．4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象和性质，分0<a<1和a>1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质；(2)幂函数y＝xα的图象和性质，分幂指数α>0和α<0两种情况．5．函数图象的应用函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，它们的实质是相同的，在解题时经常要互相转化．在解决函数问题时，尤其是较为繁琐的(如分类讨论，求参数的取值范围等)问题时，要注意充分发挥图象的直观作用. 【题型示例】题型一、函数的性质及其应用【例1】 (2018·全国Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)等于( ) A ．－50 B ．0 C ．2 D ．50 答案 C解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)．∵f (1－x )＝f (1＋x )， ∴－f (x －1)＝f (x ＋1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数．由f (x )为奇函数且定义域为R 得f (0)＝0，又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2. 故选C.【2017北京，理5】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是奇函数，且在R 上是增函数（B ）是偶函数，且在R 上是增函数（C ）是奇函数，且在R 上是减函数（D ）是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A【解析】()()113333xxx x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以该函数是奇函数，并且3x y =是增函数， 13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选A. 【举一反三】【2016年高考四川理数】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4x f x =，则5()(1)2f f -+= .【答案】-2【举一反三】(1)(2015·重庆卷)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( ) A ．[－3,1] B ．(－3,1)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋3，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值为( )A ．－3B ．－1或3C ．1D ．－3或1 (1)答案：D解析：要使函数有意义，只需x 2＋2x －3>0，即(x ＋3)(x －1)>0，解得x <－3或x >1.故函数的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)． (2)答案：D解析：f (1)＝lg 1＝0，所以f (a )＝0.当a >0时，则lg a ＝0，a ＝1；当a ≤0时，则a ＋3＝0，a ＝－3.所以a ＝－3或1.【变式探究】 (1)(2014·江西)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)(2)(2014·浙江)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．【命题意图】(1)本题主要考查函数的定义域求法以及不等式的解法．通过定义域的求法考查考生的运算求解能力及转化意识．(2)本题主要考查分段函数和不等式恒成立问题，可结合函数图象进行分析求解．【答案】(1)C (2)(－∞，2]【解析】(1)将求函数的定义域问题转化为解不等式问题．要使f (x )＝ln(x 2－x )有意义，只需x 2－x ＞0，解得x ＞1或x ＜0.∴函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)． (2)结合图形，由f (f (a ))≤2可得f (a )≥－2，解得a ≤ 2. 【方法技巧】1．已知函数解析式，求解函数定义域的主要依据有：(1)分式中分母不为零；(2)偶次方根下的被开方数大于或等于零；(3)对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的真数x ＞0；(4)零次幂的底数不为零；(5)正切函数y ＝tan x 中，x ≠k π＋π2(k ∈Z )．如果f (x )是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的自变量的集合．根据函数求定义域时：(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．2．函数的值域是由函数的对应关系和函数的定义域所唯一确定的，具有相同对应关系的函数如果定义域不同，函数的值域也可能不相同．函数的值域是在函数的定义域上求出的，求解函数的值域时一定要与函数的定义域联系起来，从函数的对应关系和定义域的整体上处理函数的值域．题型二、函数的图象及其应用【例2】(2018·全国Ⅱ)函数f (x )＝e x－e－xx2的图象大致为( )答案 B【方法技巧】(1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是判断函数图象问题的基本方法．(2)判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．【2016高考新课标1卷】函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D【解析】函数f(x)=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数，其图像关于y 轴对称，因为22(2)8e ,08e 1f =-<-<，所以排除A 、B选项；当[]0,2x ∈时，()=4e xf x x '-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数，当0(2)x x ,∈时，()f x 为增函数．故选D 。

高考数学热点难点突破技巧第10讲数列不等式的证明方法

第10讲数列不等式的证明方法【知识要点】证明数列不等式常用的有数学归纳法、放缩法和分析法.一、数学归纳法一般地，证明一个与自然数有关的命题，有如下步骤：（1）证明当取第一个值时命题成立.对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；（2）假设当（，为自然数）时命题成立，证明当时命题也成立.综合（1）（2），对一切自然数（），命题都成立.二、放缩法证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的，这种方法称为放缩法.放缩的技巧：①添加或舍去一些项，如：②将分子或分母放大或缩小，如：③利用基本不等式等，如：三、分析法证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法.用分析法证明时，要注意格式，一般格式是“要证明，只需证明……”.对于较难的题目，一般用分析法寻找思路，用综合法写出证明过程.【方法点评】【例1】用数学归纳法证明:【证明】（1）当时，，命题成立.（2）假设当时，成立当时，+当时命题成立. 所以对于任意都成立.【点评】（1）利用数学归纳法证明不等式时，关键在于第二步，证明这一步时，一定要利用前面的假设和已知条件. 否则是“伪数学归纳法”（2）利用数学归纳法证明时，为了利用前面的假设，所以在证明时，一般要配凑出时的结论，再运用.【反馈检测1】已知，（其中）（1）求及；（2）试比较与的大小，并说明理由．【例2】已知函数（1）当时，求函数在上的极值；（2）证明：当时，；（3）证明：.【解析】（1）当变化如下表极大值，（2）令则上为增函数.（3）由（2）知，令得，【点评】(1)本题就是利用放缩法证明不等式，是高考的难点和重点.(2)利用放缩法证明不等式，有时需要先放缩通项，得到一个不等式通项，再求和. 有时是需要先求和再放缩求和的结果，本题两种放缩都用上了.(3)放缩要得当，所以放的度很重要，有时需要把每一项都放缩，有时需要把前面两项不放缩，后面的都放缩，有时需要把后面的项不放缩，所以要灵活调整，以达到证明的目的【反馈检测2】已知数列满足．（1）求及通项公式；（2）求证：．【反馈检测3】将正整数按如图的规律排列，把第一行数1，2，5，10，17，记为数列，第一列数1，4，9，16，25，记为数列（1）写出数列，的通项公式；（2）若数列，的前n项和分别为，用数学归纳法证明：；（3）当时，证明：．【反馈检测4】已知函数（1）当时，比较与1的大小；（2）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（3）求证：对于一切正整数，都有.【反馈检测5】已知函数.（1）讨论的单调性与极值点；（2）若，证明：当时，的图象恒在的图象上方；（3）证明：.【例3】已知函数是奇函数，且图像在点处的切线斜率为3（为自然对数的底数）．（1）求实数、的值；（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；（3）当时，证明：．【解析】（1）是奇函数，所以，即所以，从而此时，.依题意，所以.（2）当时，设，则设，则，在上是增函数（3）要证，即要证即证，。

高考数学理科一轮复习函数的图象学案附答案

高考数学（理科）一轮复习函数的图象学案附答案学案10 函数的图象导学目标： 1.掌握作函数图象的两种基本方法：描点法，图象变换法.2.掌握图象变换的规律，能利用图象研究函数的性质．自主梳理1．应掌握的基本函数的图象有：一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等．2．利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(__________、__________、__________)；④画出函数的图象．3．利用基本函数图象的变换作图：(1)平移变换：函数y＝f(x＋a)的图象可由y＝f(x)的图象向____(a0)或向____(a0)平移____个单位得到；函数y＝f(x)＋a的图象可由函数y＝f(x)的图象向____(a0)或向____(a0)平移____个单位得到．(2)伸缩变换：函数y＝f(ax) (a0)的图象可由y＝f(x)的图象沿x轴伸长(0a1)或缩短(____)到原来的1a倍得到；函数y＝af(x) (a0)的图象可由函数y＝f(x)的图象沿y轴伸长(____)或缩短(________)为原来的____倍得到．(可以结合三角函数中的图象变换加以理解)(3)对称变换：①奇函数的图象关于________对称；偶函数的图象关于____轴对称；②f(x)与f(－x)的图象关于____轴对称；③f(x)与－f(x)的图象关于____轴对称；④f(x)与－f(－x)的图象关于________对称；⑤f(x)与f(2a－x)的图象关于直线________对称；⑥曲线f(x，y)＝0与曲线f(2a－x,2b－y)＝0关于点________对称；⑦|f(x)|的图象先保留f(x)原来在x轴________的图象，作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形，然后擦去x轴下方的图象得到；⑧f(|x|)的图象先保留f(x)在y轴________的图象，擦去y轴左方的图象，然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到．自我检测1．(2009北京)为了得到函数y＝lgx＋310的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点( )A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度2．(2011烟台模拟)已知图1是函数y＝f(x)的图象，则图2中的图象对应的函数可能是( )A．y＝f(|x|)B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|)D．y＝－f(－|x|)3．函数f(x)＝1x－x的图象关于 ( )A．y轴对称B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称4．使log2(－x)x＋1成立的x的取值范围是( ) A．(－1,0)B．[－1,0)C．(－2,0)D．[－2,0)5．(2011潍坊模拟)已知f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|(a0且a≠1)，若f(4)g(－4)0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一坐标系内的大致图象是( )探究点一作图例1 (1)作函数y＝|x－x2|的图象；(2)作函数y＝x2－|x|的图象；(3)作函数的图象．变式迁移1 作函数y＝1|x|－1的图象．探究点二识图例2 (1)函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象如图，则函数y＝f(x)g(x)的图象可能是 ( )(2)已知y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(1－x)的图象为 ( )变式迁移2 (1)(2010山东)函数y＝2x－x2的图象大致是 ( )(2)函数f(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式是 ( )A．f(x)＝x＋sin xB．f(x)＝cos xxC．f(x)＝xcos xD．f(x)＝x(x－π2)(x－3π2)探究点三图象的应用例3 若关于x的方程|x2－4x＋3|－a＝x至少有三个不相等的实数根，试求实数a的取值范围．变式迁移3 (2010全国Ⅰ)直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．数形结合思想的应用例(5分)(2010北京东城区一模)定义在R上的函数y＝f(x)是减函数，且函数y＝f(x－1)的图象关于(1,0)成中心对称，若s，t满足不等式f(s2－2s)≤－f(2t－t2)．则当1≤s≤4时，ts的取值范围是( ) A.－14，1B.－14，－12，1D.－12，1【答题模板】答案 D解析因函数y＝f(x－1)的图象关于(1,0)成中心对称，所以该函数的图象向左平移一个单位后的解析式为y＝f(x)，即y＝f(x)的图象关于(0,0)对称，所以y＝f(x)是奇函数．又y＝f(x)是R上的减函数，所以s2－2s≥t2－2t，令y＝x2－2x＝(x－1)2－1，图象的对称轴为x＝1，当1≤s≤4时，要使s2－2s≥t2－2t，即s－1≥|t －1|，当t≥1时，有s≥t≥1，所以14≤ts≤1；当t1时，即s－1≥1－t，即s＋t≥2，问题转化成了线性规划问题，画出由1≤s≤4，t1，s＋t≥2组成的不等式组的可行域.ts为可行域内的点到原点连线的斜率，易知－12≤ts1.综上可知选D.【突破思维障碍】当s，t位于对称轴x＝1的两边时，如何由s2－2s≥t2－2t判断s，t之间的关系式，这时s，t与对称轴x＝1的距离的远近决定着不等式s2－2s≥t2－2t成立与否，通过数形结合判断出关系式s－1≥1－t，从而得出s＋t≥2，此时有一个隐含条件为t1，再结合1≤s≤4及要求的式子的取值范围就能联想起线性规划，从而突破了难点．要画出s，t所在区域时，要结合ts的几何意义为点(s，t)和原点连线的斜率，确定s为横轴，t为纵轴．【易错点剖析】当得到不等式s2－2s≥t2－2t后，如果没有函数的思想将无法继续求解，得到二次函数后也容易只考虑s，t都在二次函数y＝x2－2x的增区间[1，＋∞)内，忽略考虑s，t在二次函数对称轴两边的情况，考虑了s，t在对称轴的两边，也容易漏掉隐含条件t1及联想不起来线性规划．1．掌握作函数图象的两种基本方法(描点法，图象变换法)，在画函数图象时，要特别注意到用函数的性质(如单调性、奇偶性等)解决问题．2．合理处理识图题与用图题(1)识图．对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性．(2)用图．函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具，要重视数形结合解题的思想方法，常用函数图象研究含参数的方程或不等式解集的情况．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2010重庆)函数f(x)＝4x＋12x的图象( ) A．关于原点对称B．关于直线y＝x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称2．(2010湖南)用min{a，b}表示a，b两数中的最小值．若函数f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的图象关于直线x ＝－12对称，则t的值为( )A．－2B．2C．－1D．13．(2011北京海淀区模拟)在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a的图象，可能正确的是( )4．(2011深圳模拟)若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为( )5．设b0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列之一，则a的值为 ( )A．1B．－1C.－1－52D.－1＋52题号12答案二、填空题(每小题4分，共12分)6．为了得到函数y＝3×(13)x的图象，可以把函数y＝(13)x的图象向________平移________个单位长度．7．(2011黄山月考)函数f(x)＝2x－1x＋1的图象对称中心是________．8．(2011沈阳调研)如下图所示，向高为H的水瓶A、B、C、D同时以等速注水，注满为止．(1)若水量V与水深h函数图象是下图的(a)，则水瓶的形状是________；(2)若水深h与注水时间t的函数图象是下图的(b)，则水瓶的形状是________．(3)若注水时间t与水深h的函数图象是下图的(c)，则水瓶的形状是________；(4)若水深h与注水时间t的函数的图象是图中的(d)，则水瓶的形状是________．三、解答题(共38分)9．(12分)已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.(1)求实数m的值；(2)作出函数f(x)的图象；(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；(4)根据图象写出不等式f(x)0的解集；(5)求当x∈[1,5)时函数的值域．10．(12分)(2011三明模拟)当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2logax恒成立，求a的取值范围．．(14分)已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋e2x (x0)．(1)若g(x)＝m有根，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．答案自主梳理2．③奇偶性单调性周期性 3.(1)左右|a| 上下|a| (2)a1 a1 0a1 a (3)①原点y ②y ③x④原点⑤x＝a ⑥(a，b) ⑦上方⑧右方自我检测1．C [A项y＝lg(x＋3)＋1＝lg[10(x＋3)]，B项y＝lg(x－3)＋1＝lg[10(x－3)]，C项y＝lg(x＋3)－1＝lgx＋310，D项y＝lg(x－3)－1＝lgx－310.]2．C3．C [∵f(－x)＝－1x＋x＝－1x－x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，即f(x)的图象关于原点对称．] 4．A [作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象知满足条件的x∈(－1,0)．]5．B [由f(4)g(－4)0得a2loga40，∴0a1.]课堂活动区例1 解(1)y＝x－x2，0≤x≤1，－x－x2，x1或x0，即y＝－x－122＋14，0≤x≤1，x－122－14， x1或x0，其图象如图所示．(2)y＝x－122－14，x≥0，x＋122－14，x0，其图象如图所示．(3)作出y＝12x的图象，保留y＝12x图象中x≥0的部分，加上y＝12x的图象中x0的部分关于y轴的对称部分，即得y＝12|x|的图象．变式迁移1 解定义域是{x|x∈R且x≠±1}，且函数是偶函数．又当x≥0且x≠1时，y＝1x－1.先作函数y＝1x的图象，并将图象向右平移1个单位，得到函数y＝1x－1 (x≥0且x≠1)的图象(如图(a)所示)．又函数是偶函数，作关于y轴对称图象，得y＝1|x|－1的图象(如图(b)所示)．例2 解题导引对于给定的函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（1）?A?[从f(x)、g(x)的图象可知它们分别为偶函数、奇函数，故f(x)g(x)是奇函数，排除B.又x0时，g(x)为增函数且为正值,f(x)也是增函数，故f(x)g(x)为增函数，且正负取决于f(x)的正负，注意到x→ （从小于0趋向于0），f(x)g(x)→+∞，可排除C、D.］?（2）?A?［因为f(1-x)=f（-(x-1)）,故y=f(1-x)的图象可以由y=f(x)的图象按照如下变换得到：先将y=f(x)的图象关于y轴翻折，得y=f(-x)的图象，然后将y=f(-x)?的图象向右平移一个单位，即得y=f(-x+1)的图象.］变式迁移2 (1)A [考查函数y＝2x与y＝x2的图象可知：当x0时，方程2x－x2＝0仅有一个零点，且→－∞；当x0时，方程2x－x2＝0有两个零点2和4，且→＋∞.](2)C [由图象知f(x)为奇函数，排除D；又0，±π2，±32π为方程f(x)＝0的根，故选C.]例3 解题导引原方程重新整理为|x2－4x＋3|＝x＋a，将两边分别设成一个函数并作出它们的图象，即求两图象至少有三个交点时a的取值范围．方程的根的个数问题转化为函数图象交点个数问题，体现了《考纲》中函数与方程的重要思想方法．解原方程变形为|x2－4x＋3|＝x＋a，于是，设y＝|x2－4x＋3|，y＝x＋a，在同一坐标系下分别作出它们的图象．如图．则当直线y＝x＋a过点(1,0)时a＝－1；当直线y＝x＋a与抛物线y＝－x2＋4x－3相切时，由y＝x＋ay＝－x2＋4x－3，得，x2－3x＋a＋3＝0，由Δ＝9－4(3＋a)＝0，得a＝－由图象知当a∈[－1，－34]时方程至少有三个根．变式迁移3 (1，54)解析y＝x2－|x|＋a＝x－122＋a－14，x≥0，x＋122＋a－14， x0.当其图象如图所示时满足题意．由图知a1，a－141，解得1a后练习区1．D [f(x)＝2x＋2－x，因为f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．所以f(x)图象关于y轴对称．]2.D [令y＝|x|，y＝|x＋t|，在同一坐标系中作出其图象，如图，所以t＝1.]3．D [选项A、B、C中直线方程中的a的范围与对数函数中的a的范围矛盾．]4．C [函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(x)关于x 轴对称，函数y＝－f(x)的图象向左平移1个单位即得到函数y＝－f(x＋1)的图象．]5．B [∵b0，∴前两个图象不是给出的二次函数图象，又后两个图象的对称轴都在y轴右边，∴－b2a0，∴a0，又∵图象过原点，∴a2－1＝0，∴a＝－1.]6．右 1解析∵y＝3×(13)x＝(13)x－1，∴y＝(13)x向右平移1个单位便得到y＝(13)x －．(－1,2)解析∵f(x)＝2x－1x＋1＝2x＋1－3x＋1＝2－3x＋1，∴函数f(x)图象的对称中心为(－1,2)．8．(1)A (2)D (3)B (4)C9．解(1)∵f(4)＝0，∴4|m－4|＝0，即m＝4.…………………………………………(2分)(2)f(x)＝x|x－4|＝xx－4＝x－22－4，x≥4，－xx－4＝－x－22＋4，x4.………………………………………………(4分)f(x)的图象如右图所示．(3)由图可知，f(x)的减区间是[2,4]．……………………………………………………(8分)(4)由图象可知f(x)0的解集为{x|0x4或x4}．………………………………………………………………………(10分)(5)∵f(5)＝54，由图象知，函数在[1,5)上的值域为[0,5)．……………………………………………(12分)10.解设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图象在f2(x)＝logax的下方即可．当0a1时，由图象知显然不成立．……………………………………………………(4分) 当a1时，如图，要使在(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，……………………………………………………………(10分)∴1a≤2.………………………………………………………………………………(12分)11．解(1)方法一∵x0，∴g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，等号成立的条件是x＝e.故g(x)的值域是[2e，＋∞)，……………………………………………………………(4分)因而只需m≥2e，则g(x)＝m就有根．…………………………………………………(6分) 方法二作出g(x)＝x＋e2x的图象如图：……………………………………………………………………………………………(4分)可知若使g(x)＝m有根，则只需m≥2e.………………………………………………(6分) 方法三解方程由g(x)＝m，得x2－mx＋e2＝0.此方程有大于零的根，故m20Δ＝m2－4e2≥0……………………………………………(4分)等价于m0m≥2e或m≤－2e，故m≥2e.…………………………………………………(6分) (2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)＝f(x)中函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)＝x＋e2x (x0)的图象．∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2.其对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.……………………………………………………………………(10分)故当m－1＋e22e，即m－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．……………………………………………(14分)。

指对幂函数及函数与方程(5知识点+4重难点+7技巧+4易错)(原卷版)2025高考数学一轮知识清单

专题04指对幂函数及函数与方程（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）知识点1指数幂与对数1、根式与分数指数幂（1）根式的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1n >，且*n ∈N 。

n 叫做根指数，a 叫做被开方数．（2）根式的性质（1n >，且n *∈N ）：n a =；,,,.na n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数（3）分数指数幂的表示正分数指数幂：规定：mn a =()0,,,1a m n n *>∈>N 负分数指数幂：规定：1m nmnaa-==()0,,,1a m n n *>∈>N 性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义2、指数幂的运算性质（1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂a α（0a >，α为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．（2）指数幂的运算性质①(0,,)+=>∈r s r s a a a a r s R ．②()=sra rs a (0,,)a r s >∈R ．③()=r ab r r a b (0,0,)a b r >>∈R ．3、对数与对数运算（1）对数的概念：如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底数N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，log a N 叫做对数式。

（2）对数的性质对数式与指数式的互化：a x ＝N ⇔x ＝log a N (a >0，且a ≠1)；①log a 1＝0，②log a a ＝1，③a log a N ＝N ，④log a a N ＝N (a >0，且a ≠1).指数式与对数式的关系（3）对数的的运算法则与换底公式：如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0运算法则：①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ②log a MN＝log a M －log a N③log a M n ＝n log a M (n ∈R )换底公式：①log a b ＝log c blog c a(a >0，且a ≠1，c >0，且c ≠1，b >0)，选用换底公式时，一般选用e 或10作为底数。

高中数学对数运算三难点(精品)专题辅导

高中数学对数运算三难点对数函数是重要的函数，自然也是高考的知识点，学习对数函数常会遇到一些难点，使解题思维陷入困境，归纳起来主要有三个方面。

难点1 底数不统一对数的运算性质是建立在底数相同的基础上的，但实际问题中，却经常要遇到底数不相同的情况，碰到这种情形，该如何来突破呢？主要有三种处理的方法：（1）化为指数式对数函数与指数函数互为反函数，它们之间有着密切的关系：log a N=b ⇔a b =N ，因此在处理有关对数问题时，经常将对数式化为指数式来帮助解决。

（2）利用换底公式统一底数换底公式可以将底数不同的对数通过换底把底数统一起来，然后再利用同底对数相关的性质求解。

（3）利用函数图象函数图象可以将函数的有关性质直观地显现出来，当对数的底数不相同时，可以借助对数函数的图象直观性来理解和寻求解题的思路。

例1. 若a ≠1，b ≠1，a ＞0，b ＞0，且满足关系式log a 2=3log 4log 2b a =，求a ，b 的值。

分析：已知关系式中的底数不相同，因此可设log a 2=3log 4log 2b a ==m ，转化为指数来来解决解：设log a 2=3log 4log 2b a ==m ，则4)2(,2==m m a a 。

于是有 m m a a )2(2=，因为 a m ＞0,所以1221-==m m ，即，于是 log a 2=log b 3=－１，解得 31,21==b a 。

例2. 设log 23=a ，log 37=b ，求log 4256的值。

分析：两个已知对数式的底数不相同，无法直接进行计算，所以首先应考虑统一底数，从条件看应该把底数统一为3。

解：由log 23=a ，可得a 12log 3=，所以17log 2log 2log 37log 42log 56log 56log 33333342+++== 13+++=a ab ab 。

例3. 若log a 2＜log b 2＜0，则a ，b 满足的关系是（）（A ）1＜a ＜b（B ）1＜b ＜a （C ）0＜a ＜b ＜1（D ）0＜b ＜a ＜1 分析：两个对数式底数不同，但真数相同，把两个对数式看作是两个对数函数在自变量取同一个值时的两个不同的函数值，可通过图象来分析。

高考数学专题：三角函数的图象与性质

y t 2 3t 1 4
当t
3 2
时，ymax
1
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第二部分专题一三角函数与解三角形
11
［明考情—备考如何学］高考对此部分内容主要以选择、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在第 6～12 题或第 14、15 题位置上，命题的热点主要集中在三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题．
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第二部分专题一三角函数与解三角形
18
2.(2019·湖南省五市十校联考)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0≤φ<2π)的部分图象如图所示，则 f(2 019)的值为___-_1____．
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第二部分专题一三角函数与解三角形
19
B．在π4，51π2上单调递减
C．1π2，0是 g(x)图象的一个对称中心
D．直线 x＝－π6是 g(x)图象的一条对称轴
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第二部分专题一三角函数与解三角形
26
2. (2019·洛阳尖子生第二次联考)已知函数 f(x)＝sinωx＋π6(ω>0)在区间－π4，23π上单调
(3)基本关系：
sin2x＋cos2x＝1，
tan
x＝csions
x x.
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第二部分专题一三角函数与解三角形
13
［研考点考向·破重点难点］
考点1 三角函数的定义、诱导公式及基本关系

重难点专题08 极值点偏移的十大类型(原卷版) 备战2024年高考数学重难点突破

极值点偏移问题中（极值点为x0），证明x1+x2>2x0或x1+x2<2x0的方法：①构造F(x)=f(x)―f(2x―x)，②确定F(x)的单调性，③结合特殊值得到f(x)―f(2x0―x2)>0或f(x2)―f(2x0―x2)<0，再利用f(x1)=f(x2)，2得到f(x)与f(2x0―x2)的大小关系，1④利用f(x)的单调性即可得到x1+x2>2x0或x1+x2<2x0.处理极值点偏移问题中的类似于x1x2<a（f(x)=f(x2)）的问题的基本步骤如下：1①求导确定f(x)的单调性，得到x1,x2的范围；②构造函数F(x)=f(x)―f a，求导后可得F(x)恒正或恒负；x极值点偏移问题的一般题设形式：1.若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1≠x2，求证：x1+x2>2x0（x为函数f(x)的极值点）；2.若函数f(x)中存在x1,x2且x1≠x2满足f(x1)=f(x2)，求证：x1+x2>2x0（x为函数f(x)的极值点）；3.若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1≠x2，令x0=x1+x22，求证：f′(x)>0；4.若函数f(x)中存在x1,x2且x1≠x2满足f(x1)=f(x2)，令x0=x1+x22，求证：f′(x)>0.比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值（一般用t表示）表，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于t的函数示两个极值点，即t=x1x2问题求解．两个正数a和b的对数平均定义：L(a,b)=a―bln a―ln b(a≠b), a(a=b).对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：ab≤L(a,b)≤a+b2（此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当a=b时，等号成立．。

超实用新高考理科数学重难点专题复习：专题三函数的概念、性质与基本初等函数第六讲函数的图像

其实，若能想到我难人难，我易人易，沉着应战，就能取得理想的成绩。高考临近，有些考生精神过度紧张，甚至病倒。我们提醒大家，防止两个极端的做法：一是彻底放松，破坏了长期形成的生物钟，会适得其反。另一个就是挑灯夜战，加班加点，导致考前过度疲劳，临考时打不起精神。建议考生，休息调整是必要的，但必须的是微调，特别要把兴奋状态逐步调整到上午9：00— —11：30，下午3：00——5：00。高考前还要注意饮食的科学和规律，不能大吃大喝，宜清淡又要保持全面营养，每天摄入适量的淀粉食物，保证用脑的需要。总之，生活有节奏，亦张亦弛，保持心态平稳。
2. 图像变换（1）平移变换
（2）对称变换
y f (x) 关于x轴对称 y f (x) y f (x) 关于y轴对称 y f (x) y f (x) 关于直线x=a对称 y f (2a x) y f (x) 关于原点对称 y f (x)
（3）伸缩变换
01,横坐标伸长到原来的 1 倍
[解析]
由 f (x) 的图象可以看出，当 x 0 时，
函数 f (x) 有意义，排除 B；
f (x) 的图象关于原点对称，即函数为奇函数，
由
f
(x)
x ex
为非奇非偶函数，排除
C；
由 f (x) 的图象可知， x 时， f (x) 0 ，
对于 D； f (x) xe|x| ，当 x 时， f (x) ，
常用的数学思想方法有：
（1）函数思想方法：根据问题的特点构建函数将所要研究的问题，转化为对构建函数的思想如定
义域、值域、单调、奇偶、周期、最值、对称、范围和图像的交点个数等的研究；
（2）方程思想方法：通过列方程（组）建立问题中的已知数和未知数的关系，通过解方程（组

高考数学难点突破_难点06__函数值域及求法

高考数学难点突破_难点06__函数值域及求法函数值域及求法是高考数学中的一个重要难点。

本文将介绍函数的值域的概念、求法及一些常见的解题思路。

一、函数值域的概念函数的值域是指函数在定义域内取到的所有可能的函数值的集合。

简单来说，就是函数所有可能的输出值构成的集合。

二、值域的求法1.函数图像法：根据函数的图像来判断函数的值域。

当函数的图像是一个区间时，值域就是这个区间。

当函数的图像是一个集合时，值域就是这个集合。

2.分析法：根据函数的定义和性质来进行分析。

a.奇偶性：如果函数是奇函数，即对于任意的x，有f(-x)=-f(x)，那么函数的值域关于y轴对称。

如果函数是偶函数，即对于任意的x，有f(-x)=f(x)，那么函数的值域关于x轴对称。

b.函数的单调性：如果函数在定义域上是单调递增或单调递减的，那么可以通过求出函数的最值来确定值域。

c.函数的周期性：如果函数是周期性的，那么可以根据周期性来确定值域。

比如正弦函数的值域是[-1,1]，余弦函数的值域也是[-1,1]。

d.函数的极限：如果函数在定义域的一些点处的极限存在，那么该点处的极限就是函数的值域。

三、一些解题思路1.利用函数的性质进行求解：利用函数的奇偶性、单调性、周期性、极限等性质进行求解。

2.利用导数进行求解：如果函数存在可导性质，可以通过求导数来分析函数的变化趋势，从而确定值域。

3.利用反函数进行求解：如果函数存在反函数，可以通过求反函数的定义域和值域来确定原函数的值域。

4.利用函数的定义进行求解：通过函数的定义式，对函数进行变形、化简，从而求出函数的值域。

四、例题解析考虑函数f(x)=1/(x-1)，我们来求函数的值域。

首先，由函数的定义可知，函数的定义域是x≠1然后，我们可以通过分析函数的性质来确定它的值域。

对于函数f(x)=1/(x-1)，我们可以看出它是一个单调递增函数。

当x逼近无穷大时，函数的值也会无限接近于0。

所以，当x→∞时，f(x)≈0。

高考数学复习考点题型解题技巧专题讲解05 函数解析式

高考数学复习考点题型解题技巧专题讲解第5讲函数解析式专项突破高考定位函数的表示有三种图像法、列表法、解析法，在高考中每年都会考察，解析式的考察一直是高考的重点，既有常规的求解析式求法融合在函数综合题中，也有新高考中的新形式，比如给图写式，给性质写式等，考察学生的多维的思维能力，对函数的整体把握。

考点解析（1）换元法求解析式（2）方程组求解析式（3）利用对称性周期性求解析式（4）给图辨析解析式（5）开放试题中的解析式（6）目标量（式）的函数解析式化分项突破类型一、换元法求解析式例1-1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x2+1）＝x4，则函数y＝f（x）的解析式是（）A．()()21,0f x x xf x x x=-≥=-≥B．()()21,1C．()()21,0f x x x=+≥=+≥D．()()21,1f x x x【答案】B【分析】利用凑配法求得()f x解析式.【详解】()()()2242211211f x x x x +==+-++，且211x +≥，所以()()22211,1f x x x x x =-+=-≥.故选：B.练.（多选）函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的,后又经历了贝努利、欧拉等人的改译．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地,设A ,B 是两个非空的数集,如果按某种对应法则f ,对于集合A 中的每一个元素x ,在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应,那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数”,则下列对应法则f 满足函数定义的有（）A ．()2f x x =B ．()2f x x =C ．(cos )f x x =D ．()x f e x = 【答案】AD【解析】对于A.令()2(0),t t t x f ===≥符合函数定义；对于B,令()2(0),t x f t t ==≥,设()2,4t f t ==±,一个自变量对应两个函数值,不符合函数定义；对于C,设cos ,t x =当2,1t =则x 可以取包括3π±等无数多的值,不符合函数定义；对于D.令())ln (0,x t e t f t t >==,符合函数定义．故选AD练（2022秋•渝中区校级月考）对任意x ∈R，存在函数f （x ）满足（）A ．f （cos x ）＝sin2xB ．f （sin2x ）＝sin xC ．f （sin x ）＝sin2xD ．f （sin x ）＝cos2x【分析】根据函数定义，每个自变量只能对应唯一一个函数值．对于A 、B 、C 可采用取特殊值来排除，对于D 选项可利用换元法来求函数的解析式即可判断．【解答】解：对于A ，取x ，则cos x ；sin2x ＝1，∴f （）＝1；若取x，则cos x；sin2x＝﹣1，∴f（）＝﹣1；则f（）＝1又f（）＝﹣1，与函数的定义，“每个自变量x只能对应唯一一个函数值y”矛盾，故A错误；同理，对于B，取2x，则sin2x；sin x，∴f（）；若取2x，则sin2x；sin x，∴f（），故B错误；同理，对于C，取x，则sin x；sin2x，∴f（）；若取x，则sin x；sin2x，∴f（），故C错误；对于D，令sin x＝t，cos2x＝1﹣2sin2x＝1﹣2t2，∴f（t）＝1﹣2t2，满足函数定义．故选：D．类型二、方程组求解析式例2-1（2021·湖南·高三月考）已知函数()f x满足22()()326f x f x x x+-=++，则（）A．()f x的最小值为2 B．x R∃∈，22432()x xf x++>C．()f x的最大值为2 D．x R∀∈，22452()x xf x++>【答案】D 【分析】先求得()f x ，然后结合二次函数的性质确定正确选项.【详解】因为22()()326f x f x x x +-=++（i ），所以用x -代换x 得22()()326f x f x x x -+=-+（ii ）.（i ）×2-（ii ）得23()366f x x x =++，即22()22(1)1f x x x x =++=++，从而()f x 只有最小值，没有最大值，且最小值为1.()2222222221243243122()222222x x x x x x f x x x x x x x ++-++++===-<++++++， ()2222222221245245122()222222x x x x x x f x x x x x x x +++++++===+>++++++. 故选：D.练．已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程是（）A ．21y x =-B ．y x =C ．32y x =-D ．23y x =-+【答案】A【分析】先根据2()2(2)88f x f x x x =--+-求出函数()f x 的解析式，然后对函数()f x 进行求导，进而可得到()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程的斜率，最后根据点斜式可求切线方程.【详解】2()2(2)88f x f x x x =--+-，2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x ∴-=--+--.2(2)2()441688f x f x x x x ∴-=-+-+--.将(2)f x -代入2()2(2)88f x f x x x =--+-，得22()4()28888f x f x x x x x =--+-+-，2()f x x ∴=，()2f x x '=，()y f x ∴=在(1,(1))f 处的切线斜率为2y '=，∴函数()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为12(1)y x -=-，即21y x =-.故选：A.练．（2021·河南·高三月考（文））已知偶函数()f x 和奇函数()g x 均定义在R 上，且满足()()224359x f x g x x x +=-++，则()()13f g -+=______．【答案】223 【分析】先用列方程组法求出()f x 和()g x 的解析式，代入即可求解.【详解】因为()()224359x f x g x x x +=-++……① 所以()()224359x f x g x x x -+-=+++ 因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，所以()()224359x f x g x x x -=+++……② ①②联立解得：()235f x x =+，()249x g x x =-+，所以()()()22431331532392f g ⨯-+=-+-=+. 故答案为：223.练。

高考数学难点突破--隐零点专题(有答案)

专题三 . 隐零点专题知识点一、不含参函数的隐零点问题已知不含参函数)(x f ，导函数方程0)('=x f 的根存在，却无法求出，设方程0)('=x f 的根为0x ，则①有关系式0)('0=x f 成立，②注意确定0x 的合适范围.二、含参函数的隐零点问题已知含参函数),(a x f ，其中a 为参数，导函数方程0),('=a x f 的根存在，却无法求出，设方程0)('=x f 的根为0x ，则①有关系式0)('0=x f 成立，该关系式给出了a x ,0的关系，②注意确定0x 的合适范围，往往和a 的范围有关. 例1.已知函数)2ln()(+-=x e x g x ，证明)(x g ＞0.例2.（2017052001）已知函数x a e x f x ln )(-=.（I ）讨论)(x f 的导函数)('x f 的零点的个数；（II ）证明：当0>a 时，)ln 2()(a a x f -≥.例3.（2017.全国II.21）已知函数x x ax ax x f ln )(2--=，且()0f x ≥.（I ）求a ；（II ）证明：)(x f 存在唯一的极大值点0x ，且2022)(--<<x f e . 例 4.(2016.全国甲.21)（I ）讨论函数2(x)e 2x x f x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20;x x x -++> （II ）证明：当[0,1)a ∈ 时，函数()2e =(0)x ax a g x x x --> 有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.例 5.（2013.湖北.10）已知a 为常数，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <，则 A.21)(,0)(21->>x f x f B.21)(,0)(21-<<x f x fC.21)(,0)(21-<>x f x fD.21)(,0)(21-><x f x f 例6.（2017022802）已知函数)ln 1()(x x x f +=.（I ）求函数)(x f 的单调区间及其图象在点1=x 处的切线方程；（II ）若Z ∈k ，且)()1(x f x k <-对任意1>x 恒成立，求k 的最大值.例1例4导数压轴题中的“隐零点”问题之专项训练题1、设函数()2xf x e ax =--. (Ι)求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若1a =，k 为整数，且当0x >时，()()10x k f x x '-++>，求k 的最大值.变式训练：已知函数()()ln ,f x x x ax a R =+∈.（Ⅰ）若函数()f x 在)2,e ⎡+∞⎣上为增函数，求a 的取值范围；（Ⅱ）若()()()1,,1x f x k x ax x ∀∈+∞>-+-恒成立，求正整数k 的值.2、已知函数()()ln xf x e x m =-+. (Ι)设0x =是()f x 的极值点，求m ,并讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当2m ≤时，证明()0f x >.变式训练：已知函数()32213f x x x ax =+++在()1,0-上有两个极值点1x 、2x ，且12x x <.(Ι)求实数a 的取值范围；（Ⅱ）证明：()21112f x >.3、已知a R ∈，函数()2x f x e ax =+；()g x 是()f x 的导函数. （Ⅰ）当12a =-时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a >时，求证：存在唯一的01,02x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，使得()00g x =；（Ⅲ）若存在实数,a b ，使得()f x b ≥恒成立，求a b -的最小值.变式训练：已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+. （Ⅰ）求()f x 的解析式及单调区间；（Ⅱ）若21()2f x x ax b ≥++，求(1)a b +的最大值.4、已知函数()()222ln 22=-++--+f x x a x x ax a a ，其中0>a . （Ⅰ）设()g x 是()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性；（Ⅱ）证明：存在()0,1∈a ，使得()0≥f x 在区间()1,+∞内恒成立，且()0=f x 在区间()1,+∞内有唯一解.变式训练 ,已知函数()222ln 2f x x x ax a =-+-+，其中0>a ，设()g x 是()f x 的导函数.（Ⅰ）讨论()g x 的单调性；（Ⅱ）证明：存在()0,1∈a ，使得()0≥f x 恒成立，且()0=f x 在区间()1,+∞内有唯一解.变式训练,已知函数()2ln 12a f x x x x =-++，()21x a g x ae ax a x=++--，其中a R ∈. （Ⅰ）若2a =，求()f x 的极值点；（Ⅱ）试讨论()f x 的单调性；（Ⅲ）若0a >，()0,x ∀∈+∞，恒有()()g x f x '≥（()f x '为()f x 的导函数），求a 的最小值.变式训练 ,已知函数()21ln 2f x x ax x =-+，a R ∈. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得函数()f x 的极值大于0？若存在，则求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.。

函数的概念与性质(5知识点+4重难点+5方法技巧+5易错易混)(解析版)2025高考数学一轮知识清单

专题03函数的概念与性质（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）知识点1函数的有关概念1、函数的概念：一般地，设,A B 是非空的数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的y 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作(),y f x x A =∈.2、函数的三要素：（1）在函数(),y f x x A =∈中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；（2）与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域。

显然，值域是集合B 的子集．（3）函数的对应关系：(),y f x x A =∈.3、相等函数与分段函数（1）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．（2）分段函数：在函数定义域内，对于自变量x 取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数。

分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。

分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交。

知识点2函数的单调性1、单调函数的定义设函数f (x )的定义域为I.如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数f(x)在区间D 上是单调递增函数。

当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说函数f(x)在区间D 上是单调递减函数。

单调性的图形趋势（从左往右）上升趋势下降趋势2、函数的单调区间若函数y ＝f(x)在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f(x)的单调区间．【注意】（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．（2）单调区间D ⊆定义域I .（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大；（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；3、函数单调性的性质若函数)(x f 与)(x g 在区间D 上具有单调性，则在区间D 上具有以下性质：（1）)(x f 与C x f +)(（C 为常数）具有相同的单调性.（2）)(x f 与)(x f -的单调性相反.（3）当0>a 时，)(x af 与)(x f 单调性相同；当0<a 时，)(x af 与)(x f 单调性相反.（4）若)(x f ≥0，则)(x f 与)(x f 具有相同的单调性.（5）若)(x f 恒为正值或恒为负值，则当0>a 时，)(x f 与)(x f a具有相反的单调性；当0<a 时，)(x f 与)(x f a具有相同的单调性.（6）)(x f 与)(x g 的和与差的单调性（相同区间上）:简记为：↗+↗=↗;（2）↘+↘=↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.（7）复合函数的单调性：对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或(g (b )，g (a ))上是单调函数若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同，则y ＝f [g (x )]为增函数若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数．简称“同增异减”．知识点3函数的奇偶性1、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数f (x )是偶函数关于y 轴对称奇函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 是奇函数关于原点对称2、函数奇偶性的几个重要结论（1）()f x 为奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称；()f x 为偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称．（2）如果函数()f x 是偶函数，那么()()f x f x =．（3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即()0f x =，x ∈D ，其中定义域D 是关于原点对称的非空数集．（4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．（5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．知识点4函数的周期性1、周期函数的定义对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有()()+=f x T f x ，那么就称函数()f x 为周期函数，称T 为这个函数的周期．2、最小正周期：如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做()f x 的最小正周期．知识点5函数的对称性1、关于线对称若函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-，则函数()y f x =关于直线2a b x +=对称，特别地，当a ＝b ＝0时，函数()y f x =关于y 轴对称，此时函数()y f x =是偶函数．2、关于点对称若函数()y f x =满足()()22-=-f a x b f x ，则函数()y f x =关于点(a ，b )对称，特别地，当a ＝0，b ＝0时，()()f x f x =--，则函数()y f x =关于原点对称，此时函数()f x 是奇函数．重难点01求函数值域的七种方法法一、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．（1）若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则y max ＝f (b )，y min ＝f (a )．（2）若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则y max ＝f (a )，y min ＝f (b )．（3）若函数y ＝f (x )有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．【典例1】（23-24高三·全国·专题）函数()221f x x =-（[]2,6x ∈）的最大值为（）A ．2B ．23C ．25D ．235【答案】B【解析】因为函数21y x =-在[]2,6上单调递增，所以根据单调性的性质知：函数()221f x x =-在[]2,6上单调递减，所以当2x =时，函数()221f x x =-取到最大值为()2222213f ==-.故选：B 【典例2】（23-24高三·全国·专题）函数()lg f x x x =+的定义域为1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则值域为（）A ．9,1110⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．9,1110⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．99,10⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]9,11-【答案】A【解析】因为函数()lg f x x x =+的定义域为1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦，且lg ,y x y x ==在1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增，可知()f x 在1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增，可知()f x 在1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的最小值为191010f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最大值为()1011f =，所以值域为9,1110⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：A.法二、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合．（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域．（2）()f x 的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该()f x 函数的图象，从而利用图象求得函数的值域．【典例1】（23-24高三上·河南新乡·月考）对R x ∀∈，用()M x 表示()f x ，()g x 中的较大者，记为()()(){}max ,M x f x g x =，若函数()(){}2max 3,1M x x x =-+-，则()M x 的最小值为.【答案】1【解析】当()231x x -+≥-，即220x x --≤，即12x -≤≤时，()3M x x =-+，当()231x x -+<-，220x x -->，即2x >或1x <-时，()()21M x x =-，所以()[]()()()23,1,21,,12,x x M x x x ∞∞⎧-+∈-⎪=⎨-∈--⋃+⎪⎩，函数图象如图所示：由图可得，函数()M x 在(),1-∞-，()1,2上递减，在()2,+∞上递增，所以()()min 2231M x M ==-+=.【典例2】（23-24高三上·重庆北碚·月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[e]3-=-，[2.1]2=，定义函数()[]f x x x =-，则函数()f x 的值域为.【答案】[0,1)【解析】由高斯函数的定义可得：当01x ≤<时，[]0x =，则[]x x x -=，当12x ≤<时，[]1x =，则[]1x x x -=-，当23x ≤<时，[]2x =，则[]2x x x -=-，当34x ≤<时，[]3x =，则[]3x x x -=-，易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示，由图象知()f x 的值域为[0,1).法三、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.【典例1】（23-24高三上·全国·专题）函数()f x ）A ．[]0,2B ．[)0,∞+C ．[)2,+∞D ．()()0,22,+∞U 【答案】A【解析】令2230x x --+≥得，31x -≤≤，故定义域为[]3,1-，()[]0,2f x ==.故选：A【典例2】（2023高三·江西萍乡·开学考）函数212y x x =-++的值域为.【答案】4(,0)[,)9-∞+∞ 【解析】由题得220,1x x x -++≠∴≠-且2x ≠.因为221992()244x x x -++=--+≤,且220x x -++≠.所以原函数的值域为4(,0)[,)9-∞+∞ .法四、换元法：换元法是将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围．（2）换元的作用有两个：①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的．②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理【典例1】（2023高三上·广东河源·开学考试）函数()2f x x =的最大值为.【答案】178()0t t =≥，则21x t =-，所以()22117222048y t t t t ⎛⎫=-++=--+≥ ⎪⎝⎭，由二次函数的性质知，对称轴为14t =，开口向下，所以函数2117248y t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭在10,4⎡⎤⎢⎣⎦单调递增，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.所以当14t ==，即1516x =时，()f x 取得最大值为max 151517()()1688f x f ===.【典例2】（23-24高三·全国·专题）函数1y x =-的值域为（）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．[)0+，∞C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】Ct =，()0t ≥，则212t x -=，所以函数()22211112222t t t y t t +-=++=++=，函数在[)0,+∞上单调递增，0=t 时，y 有最小值12，所以函数1y x =-1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：C法五、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，形如+=+ax by cx d或2++=+ax bx e y cx d （a ，c 至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法以+=+ax by cx d为例，解题步骤如下：第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成=++a ey c cx d的形式，第二步，求出函数=+e y cx d 在定义域范围内的值域，进而求出+=+ax by cx d的值域。

高考数学难点之指数函数、对数函数问题

高考数学难点之指数函数、对数函数问题指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题.●难点磁场(★★★★★)设f (x )=log 2xx-+11,F (x )=x -21+f (x ).(1)试判断函数f (x )的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；(2)若f (x )的反函数为f －1(x ),证明：对任意的自然数n (n ≥3),都有f －1(n )>1+n n; (3)若F (x )的反函数F －1(x ),证明：方程F －1(x )=0有惟一解. ●案例探究［例1］已知过原点O 的一条直线与函数y =log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y =log 2x 的图象交于C 、D 两点.(1)证明：点C 、D 和原点O 在同一条直线上； (2)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.命题意图：本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力.属★★★★级题目.知识依托：(1)证明三点共线的方法：k OC =k OD .(2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A 点坐标. 错解分析：不易考虑运用方程思想去解决实际问题.技巧与方法：本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点A 的坐标.(1)证明：设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2,由题意知：x 1>1,x 2>1,则A 、B 纵坐标分别为log 8x 1,log 8x 2.因为A 、B 在过点O 的直线上，所以228118log log x x x x =,点C 、D 坐标分别为(x 1,log 2x 1),(x 2,log 2x 2),由于log 2x 1=2log log 818x ===2log log log ,log 38282218x x x 3log 8x 2,所以OC 的斜率：k 1=118212log 3log x x x x =, OD 的斜率：k 2=228222log 3log x x x x =，由此可知：k 1=k 2,即O 、C 、D 在同一条直线上. (2)解：由BC 平行于x 轴知：log 2x 1=log 8x 2 即：log 2x 1=31log 2x 2,代入x 2log 8x 1=x 1log 8x 2得：x 13log 8x 1=3x 1log 8x 1,由于x 1>1知log 8x 1≠0,∴x 13=3x 1.又x 1>1,∴x 1=3,则点A 的坐标为(3，log 83).［例2］在xOy 平面上有一点列P 1(a 1,b 1),P 2(a 2,b 2),…,P n (a n ,b n )…,对每个自然数n 点P n 位于函数y =2000(10a )x(0<a <1)的图象上，且点P n ,点(n ,0)与点(n +1,0)构成一个以P n 为顶点的等腰三角形.(1)求点P n 的纵坐标b n 的表达式；(2)若对于每个自然数n ,以b n ,b n +1,b n +2为边长能构成一个三角形，求a 的取值X 围； (3)设=lg(b n )(n ∈N *),若a 取(2)中确定的X 围内的最小整数，问数列{}前多少项的和最大？试说明理由.命题意图：本题把平面点列，指数函数，对数、最值等知识点揉合在一起，构成一个思维难度较大的综合题目，本题主要考查考生对综合知识分析和运用的能力.属★★★★★级题目.知识依托：指数函数、对数函数及数列、最值等知识.错解分析：考生对综合知识不易驾驭，思维难度较大，找不到解题的突破口.技巧与方法：本题属于知识综合题，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，并会运用相关的知识点去解决问题.解：(1)由题意知：a n =n +21,∴b n =2000(10a )21+n .(2)∵函数y =2000(10a )x(0<a <10)递减，∴对每个自然数n ,有b n >b n +1>b n +2.则以b n ,b n +1,b n +2为边长能构成一个三角形的充要条件是b n +2+b n +1>b n ,即(10a )2+(10a )－1>0,解得a <－5(1+2)或a >5(5－1).∴5(5－1)<a <10.(3)∵5(5－1)<a <10,∴a =7∴b n =2000(107)21+n .数列{b n }是一个递减的正数数列，对每个自然数n ≥2,B n =b n B n －1.于是当b n ≥1时，B n <B n －1,当b n <1时，B n ≤B n －1,因此数列{B n }的最大项的项数n 满足不等式b n ≥1且b n +1<1,由b n =2000(107)21+n ≥1得：n ≤20.8.∴n =20.●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法有：(1)运用两种函数的图象和性质去解决基本问题.此类题目要求考生熟练掌握函数的图象和性质并能灵活应用.(2)综合性题目.此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力.(3)应用题目.此类题目要求考生具有较强的建模能力. ●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)定义在(－∞,+∞)上的任意函数f (x )都可以表示成一个奇函数g (x )和一个偶函数h (x )之和，如果f (x )=lg(10x +1),其中x ∈(－∞,+∞),那么( )A.g (x )=x ,h (x )=lg(10x +10－x +2) B.g (x )=21［lg(10x +1)+x ］,h (x )=21［lg(10x +1)－x ］ C.g (x )=2x ,h (x )=lg(10x +1)－2x D.g (x )=－2x ,h (x )=lg(10x +1)+2x2.(★★★★)当a >1时，函数y =log a x 和y =(1－a )x 的图象只可能是( )二、填空题3.(★★★★★)已知函数f (x )=⎩⎨⎧<<--≥)02( )(log )0( 22x x x x .则f -－1(x －1)=_________.4.(★★★★★)如图，开始时，桶1中有a L 水，t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y = ae－nt ,那么桶2中水就是y 2=a －ae－nt,假设过5分钟时，桶1和桶2的水相等，则再过_________分钟桶1中的水只有8a . 三、解答题5.(★★★★)设函数f (x )=log a (x －3a )(a >0且a ≠1),当点P (x ,y )是函数y =f (x )图象上的点时，点Q (x －2a ,－y )是函数y =g (x )图象上的点.(1)写出函数y =g (x )的解析式；(2)若当x ∈［a +2,a +3］时，恒有|f (x )－g (x )|≤1,试确定a 的取值X 围.6.(★★★★)已知函数f (x )=log a x (a >0且a ≠1),(x ∈(0,+∞)),若x 1,x 2∈(0,+∞),判断21［f (x 1)+f (x 2)］与f (221x x +)的大小，并加以证明. 7.(★★★★★)已知函数x ,y 满足x ≥1,y ≥1.log a 2x +log a 2y =log a (ax 2)+log a (ay 2)(a >0且a ≠1),求log a (xy )的取值X 围.8.(★★★★)设不等式2(log21x )2+9(log21x )+9≤0的解集为M ，求当x ∈M 时函数f (x )=(log 22x )(log 28x)的最大、最小值. 参考答案难点磁场解：(1)由xx-+11>0,且2－x ≠0得F (x )的定义域为(－1，1)，设－1＜x 1＜x 2＜1,则 F (x 2)－F (x 1)=(122121x x ---)+(11222211log 11log x x x x -+--+) )1)(1()1)(1(log )2)(2(212122112x x x x x x x x -++-+---=, ∵x 2－x 1>0,2－x 1>0,2－x 2>0,∴上式第2项中对数的真数大于1. 因此F (x 2)－F (x 1)>0,F (x 2)>F (x 1),∴F (x )在(－1，1）上是增函数.(2)证明：由y =f (x )=x x -+11log 2得：2y =1212,11+-=-+y y x x x ,∴f －1(x )=1212+-x x ,∵f (x )的值域为R ，∴f -－1(x )的定义域为R .当n ≥3时，f -1(n )>1221111221112121+>⇔+->+-⇔+>+-⇔+n n n n n n n n n n . 用数学归纳法易证2n >2n +1(n ≥3),证略.(3)证明：∵F (0)=21,∴F －1(21)=0,∴x =21是F －1(x )=0的一个根.假设F －1(x )=0还有一个解x 0(x 0≠21),则F -1(x 0)=0,于是F (0)=x 0(x 0≠21).这是不可能的，故F -1(x )=0有惟一解. 歼灭难点训练一、1.解析：由题意：g (x )+h (x )=lg(10x +1)①又g (－x )+h (－x )=lg(10－x +1).即－g (x )+h (x )=lg(10－x +1)②由①②得：g (x )=2x ,h (x )=lg(10x +1)－2x . 答案：C2.解析：当a >1时，函数y =log a x 的图象只能在A 和C 中选，又a >1时，y =(1－a )x 为减函数.答案：B二、3.解析：容易求得f -－1(x )=⎩⎨⎧<-≥)1( 2)1( log 2x x x x ,从而：f －1(x －1)=⎩⎨⎧<-≥--).2( ,2)2(),1(log 12x x x x答案：⎩⎨⎧<-≥--)2( ,2)2(),1(log 12x x x x4.解析：由题意，5分钟后，y 1=ae －nt,y 2=a －ae－nt,y 1=y 2.∴n =51l n 2.设再过t 分钟桶1中的水只有8a ,则y 1=ae －n (5+t )=8a ,解得t =10. 答案：10三、5.解：(1)设点Q 的坐标为(x ′,y ′),则x ′=x －2a ,y ′=－y .即x =x ′+2a ,y =－y ′.∵点P (x ,y )在函数y =log a (x －3a )的图象上，∴－y ′=log a (x ′+2a －3a ),即y ′=log aax -21,∴g (x )=log aax -1. (2)由题意得x －3a =(a +2)－3a =－2a +2>0;ax -1=a a -+)3(1>0,又a >0且a ≠1,∴0＜a ＜1,∵|f (x )－g (x )|=|log a (x －3a )－log aax -1|=|log a (x 2－4ax +3a 2)|·|f (x )－g (x )|≤1,∴－1≤log a (x 2－4ax +3a 2)≤1,∵0＜a ＜1,∴a +2>2a .f (x )=x 2－4ax +3a 2在［a +2,a +3］上为减函数，∴μ(x )=log a (x 2－4ax +3a 2)在［a +2,a +3］上为减函数，从而［μ(x )］max =μ(a +2)=log a (4－4a ),［μ(x )］mi n =μ(a +3)=log a (9－6a ),于是所求问题转化为求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-<<1)44(log 1)69(log 10a a a aa 的解.由log a (9－6a )≥－1解得0＜a ≤12579-,由log a (4－4a )≤1解得0＜a ≤54, ∴所求a 的取值X 围是0＜a ≤12579-. 6.解：f (x 1)+f (x 2)=log a x 1+log a x 2=log a x 1x 2,∵x 1,x 2∈(0,+∞),x 1x 2≤(221x x +)2(当且仅当x 1=x 2时取“=”号)，当a >1时，有log a x 1x 2≤log a (221x x +)2, ∴21log a x 1x 2≤log a (221x x +)，21(log a x 1+log a x 2)≤log a 221x x +, 即21[f (x 1)+f (x 2)］≤f (221x x +)(当且仅当x 1=x 2时取“=”号) 当0＜a ＜1时，有log a x 1x 2≥log a (221x x +)2, ∴21(log a x 1+log a x 2)≥log a 221x x +,即21［f (x 1)+f (x 2)］≥f (221x x +)(当且仅当x 1=x 2时取“=”号）.7.解：由已知等式得：log a 2x +log a 2y =(1+2log a x )+(1+2log a y ),即(log a x －1)2+(log a y －1)2=4,令u =log a x ,v =log a y ,k =log a xy ,则(u －1)2+(v －1)2=4(uv ≥0),k =u +v .在直角坐标系uOv 内，圆弧(u －1)2+(v －1)2=4(uv ≥0)与平行直线系v =－u +k 有公共点，分两类讨论.(1)当u ≥0,v ≥0时，即a >1时，结合判别式法与代点法得1+3≤k ≤2(1+2); (2)当u ≤0,v ≤0,即0＜a ＜1时，同理得到2(1－2)≤k ≤1－3.x 综上，当a >1时，log a xy 的最大值为2+22，最小值为1+3；当0＜a ＜1时，log a xy 的最大值为1－3，最小值为2－22.8.解：∵2(21log x )2+9(21log x )+9≤0∴(221log x +3)(21log x +3)≤0.∴－3≤21log x ≤－23. 即21log (21)－3≤21log x ≤21log (21)23-∴(21)23-≤x ≤(21)－3,∴22≤x ≤8即M ={x |x ∈［22,8］}又f (x )=(log 2x －1)(log 2x －3)=log 22x －4log 2x +3=(log 2x －2)2－1.∵22≤x ≤8,∴23≤log 2x ≤3∴当log2x=2,即x=4时y mi n=－1;当log2x=3,即x=8时，y max=0.。

专题二数列(难点突破数列的函数特征)2023年高考数学二轮复习(全国通用)

又也满足上式，所以．（2）由（1）得，所以 .由 ,得，即，即，因为，所以，即 .故满足的最小正整数的值为10．
令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减.因为，，所以当时，，即，故实数的取值范围为 .
突破点3 数列的最值
例3 (2022·枣庄二模)在① 是与的等差中项，② 是与的等比中项，③数列的前5项和为65这三个条件中任选一个，补充在横线中，并解答下面的问题．已知是公差为2的等差数列，其前项和为， .
因为，所以是首项为，公差为4的等差数列．由的前5项和为65，得，解得，所以 .（2）不存在，使得 .理由如下：由（1）可得，因为，
所以； .所以，所以中的最大项为 .显然，所以对任意的，，所以不存在，使得 .
提分秘籍数列作为特殊的函数，数列的周期性可以通过归纳得到.数列的最值问题可利用函数的单调性求解，当然要注意数比较大小一般要求两个数均为正数．
（1）求数列的通项公式.
（2）设，是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
▶思维导图
[解析] （1）若选① 是与的等差中项，则，即，解得，所以 .若选② 是与的等比中项，则，即，解得，所以 .若选③数列的前5项和为65，则 .
◎难点精练
1.(2022·湖北模拟)数列 <m></m> 满足 <m></m> 且 <m></m> 是递增数列，则实数 <m></m> 的取值范围是______.
[解析] ∵数列满足且是递增数列，∴需满足即解得，即实数的取值范围是 .