高考数学难点突破_难点10__函数图象

难点10 函数图象与图象变换

函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，考生要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质. ●难点磁场

(★★★★★)已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图，求b 的范围.

●案例探究

［例1］对函数y =f (x )定义域中任一个x 的值均有f (x +a )=f (a －x ),(1)求证y =f (x )的图象关于直线x =a 对称；(2)若函数f (x )对一切实数x 都有f (x +2)=f (2－x ),且方程f (x )=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和.

命题意图：本题考查函数概念、图象对称问题以及求根问题.属★★★★★级题目. 知识依托：把证明图象对称问题转化到点的对称问题.

错解分析：找不到问题的突破口，对条件不能进行等价转化.

技巧与方法：数形结合、等价转化.

(1)证明：设(x 0,y 0)是函数y =f (x )图象上任一点，则y 0=f (x 0),又f (a +x )=f (a －x ),∴f (2a －x 0)= f ［a +(a －x 0)］=f ［a －(a －x 0)］=f (x 0)=y 0,∴(2a －x 0,y 0)也在函数的图象上，而2)2(00x x a +-=a ,∴点(x 0,y 0)与(2a －x 0,y 0)关于直线x =a 对称，故y =f (x )的图象关于直线x =a 对称.

(2)解：由f (2+x )=f (2－x )得y =f (x )的图象关于直线x =2对称，若x 0是f (x )=0的根，则4－x 0也是f (x )=0的根，由对称性，f (x )=0的四根之和为8.

［例2］如图，点A 、B 、C 都在函数y =x 的图象上，它们的横坐标分别是a 、a +1、a +2.又A 、B 、C 在x 轴上的射影分别是A ′、B ′、C ′,记△AB ′C 的面积为f (a ),△A ′BC ′的面积为g (a ).

(1)求函数f (a )和g (a )的表达式；

(2)比较f (a )与g (a )的大小，并证明你的结论.

命题意图：本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等.属★★★★★级题目.

知识依托：充分借助图象信息，利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口. 错解分析：图形面积不会拆拼.

技巧与方法：数形结合、等价转化.

解：(1)连结AA ′、BB ′、CC ′,则f (a )=S △AB ′C =S 梯形AA ′C ′C －S △AA ′B ′－S △CC ′B =

21(A ′A +C ′C )=2

1(2++a a ), g (a )=S △A ′BC ′=2

1A ′C ′·B ′B =B ′B =1+a . 0)11121(21)]1()12[(21)122(21)()()2(<++-+++=-+-+-+=+-++=-a a a a a a a a a a a a g a f ∴f (a )

●锦囊妙计

1.熟记基本函数的大致图象，掌握函数作图的基本方法：(1)描点法：列表、描点、连线；

(2)图象变换法：平移变换、对称变换、伸缩变换等.

2.高考中总是以几类基本初等函数的图象为基础来考查函数图象的.题型多以选择与填空为主，属于必考内容之一，但近年来，在大题中也有出现，须引起重视.

●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★)当a ≠0时，y =ax +b 和y =b ax 的图象只可能是( )

2.(★★★★)某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y 轴表示离学校的距离，x 轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是( )

二、填空题

3.(★★★★★)已知函数f (x )=log 2(x +1)，将y =f (x )的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数y =g (x )的图象，则函数F (x )=f (x )－g (x )的最大值为_________.

三、解答题

4.(★★★★)如图，在函数y =lg x 的图象上有A 、B 、C 三点，

它们的横坐标分别为m ,m +2,m +4(m >1).

(1)若△ABC 面积为S ，求S =f (m );

(2)判断S =f (m )的增减性.

5.(★★★★)如图，函数y =

2

3|x |在x ∈［－1,1］的图象上有两点A 、B ，AB ∥Ox 轴，点M (1，m )(m ∈R 且m >23)是△ABC 的BC 边的中点. (1)写出用B 点横坐标t 表示△ABC 面积S 的函数解析式S =f (t );

(2)求函数S =f (t )的最大值，并求出相应的C 点坐标.

6.(★★★★★)已知函数f (x )是y =

1102+x －1(x ∈R )的反函数，函数g (x )的图象与函数y =－2

1-x 的图象关于y 轴对称，设F (x )=f (x )+g (x ). (1)求函数F (x )的解析式及定义域；

(2)试问在函数F (x )的图象上是否存在两个不同的点A 、B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直？若存在，求出A 、B 的坐标；若不存在，说明理由.

7.(★★★★★)已知函数f 1(x )=21x -,f 2(x )=x +2,

(1)设y =f (x )=⎩⎨⎧∈--∈]

1,0[ ),(3)0,1[ ),(21x x f x x f ，试画出y =f (x )的图象并求y =f (x )的曲线绕x 轴旋

转一周所得几何体的表面积；

(2)若方程f 1(x +a )=f 2(x )有两个不等的实根，求实数a 的范围.

(3)若f 1(x )>f 2(x －b )的解集为［－1，

21］，求b 的值. 8.(★★★★★)设函数f (x )=x +

x 1的图象为C 1，C 1关于点A (2，1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x ).

(1)求g (x )的解析表达式；

(2)若直线y =b 与C 2只有一个交点，求b 的值，并求出交点坐标；

(3)解不等式log a g (x )

9 (0

难点磁场

解法一：观察f (x )的图象，可知函数f (x )的图象过原点，即f (0)=0,得d =0,又f (x )的图象过(1，0)，∴f (x )=a +b +c ①,又有f (－1)＜0,即－a +b －c ＜0②,①+②得b ＜0,故b 的范围是(－∞,0)

解法二：如图f (0)=0有三根，∴f (x )=ax 3+bx 2+cx +d =ax (x －1)(x －2)=ax 3－3ax 2+2ax ,∴b = －3a ,∵a >0,∴b ＜0.

歼灭难点训练

一、1.解析：∵y =b ax =(b a )x ,∴这是以b a 为底的指数函数.仔细观察题目中的直线方程可知：在选择支B 中a >0,b >1,∴b a >1,C 中a ＜0,b >1,∴0＜b a ＜1,D 中a ＜0,0＜b ＜1,∴b a >1.故选择支

B 、

C 、

D 均与指数函数y =(b a )x 的图象不符合.

答案：A

2.解析：由题意可知，当x =0时，y 最大，所以排除A 、C.又一开始跑步，所以直线随着x 的增大而急剧下降.

答案：D