抽象模型
数学基本思想：抽象、推理、模型 ？
数学基本思想：抽象、推理、模型
一、抽象：把日常生活和生产实践中与数学相关的东西析取出来，作为数学的研究对象。
1、分类思想
2、集合思想——两种水果都喜欢吃的有几人？
3、对应思想——帽子少了吗？
4、变中有不变的思想——七桥问题
5、符号化思想——平面图形的面积计算方法是一样的吗？
6、有即无限思想——长城长？
……
二、推理：数学自身的发展依靠的是推理，按照一定的逻辑规律实行推理，能够得到定理与命题。
——福尔摩斯。
7、归纳思想——直径所对的圆周角为圆心角的一半。
8、类比思想——三角形内接半圆的计算。
9、数形结合思想——平方差公式。
（连除）
10、逐步逼近思想——圆面积
11、演绎思想——正多面体只有以下五种。
12、化归思想——三角形内角和
13、运筹思想——田忌赛马
14、公理化思想
……
三、模型：爱因斯坦的质量方程：E=MC平方
15、简化思想、——根式方程到低次方程
16、量化思想——二进制与计算机
17、函数思想、
18、方程思想、
19、优化思想、
20、统计思想——统计的核心是数据分析观点。
数据分析观点：一种需要在亲自经历的过程中培养出来的感觉与思想。
数据分析观点反映的是由一组数据所引发的想法，所推测到的可能结果。
要求学生克服一些固有的思维定势，如注重局部忽视整体、习惯确定生疏随机、强于回顾弱于预期。
体验性学习是思辨性学习不可或缺的基础。
第四章 政策模型
（3）最优选择应具备的条件 把决策行为视为整体行为而非群体行为 决策者具有绝对理性， 决策者具有绝对理性，具有完备的知识和信 息，能穷尽备选方案并预测所有结果 决策目标单一、 决策目标单一、明确和绝对 决策者在决策过程中具备一以贯之的价值偏 好 决策过程中不考虑时间和其他政策资源的消 耗
4.对理性主义模型的批判 4.对理性主义模型的批判
第四章
政策模型
第一节 模型概述 第二节 几种重要的政策模型
第一节 模型概述
一、什么是模型 模型就是对原型的抽象与模拟。 模型就是对原型的抽象与模拟。 包括具体模型和抽象模型。 包括具体模型和抽象模型。 具体模型： 具体模型：指与原型在形态上几何相似的模 型。 抽象模型：指用语言、符号、图表、 抽象模型：指用语言、符号、图表、数字等 抽象形式反映原型内在联系和特征的模型。 抽象形式反映原型内在联系和特征的模型。
七、博弈理论：政策是竞争环境中进行的理性 七、博弈理论：政策是竞争环境中进行的理性 选择 1.内容 1.内容 两个或两个以上的参与者， 两个或两个以上的参与者，他们彼此存 在利害关系， 在利害关系，其中每个人的选择都会对他人 的决定产生影响， 的决定产生影响，最终的结果领带于所有参 与者的选择。在政策制定过程中， 与者的选择。在政策制定过程中，当孤立的 最优选择不存在时， 最优选择不存在时，只能根据他人的选择做 出自己最佳的决定。 出自己最佳的决定。
2.“囚犯二难选择” 2.“囚犯二难选择”
囚 徒 困 境 的 博 弈 矩 阵
不坦白 不坦白
坦白
甲：5年 年 乙：5年 年 甲：20年 年 乙：1年 年
甲：1年 年 乙：20年 年 甲：10年 年 乙：10年 年
坦白
八、团体理论：政策是团体利益的平 政策是团体利益的平 衡
小学信息技术六年级上册第2课《抽象与建模》教案
小学信息技术六年级上册第2课《抽象与建模》教案（一）年级：六年级上册学科：信息技术版本：浙教版（2023）【教材分析】在信息科技课程标准中属于第三学段“身边的算法”内容模块，主要涉及算法中问题的步骤分解。
算法是计算思维的核心要素之一，也是人工智能得以普遍应用的三大支柱（数据、算法和算力）之一。
本课教学以抽象建模入手，帮助学生借助表格进行问题的抽象，用算式表达计算模型。
一、教学目标：1. 让学生了解抽象与建模的基本概念及其重要性。
2. 使学生能够借助表格等工具进行问题抽象，并用数学表达式表达计算模型。
3. 培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
二、教学重难点教学重点：1. 抽象与建模的基本概念。
2. 借助表格进行问题抽象。
教学难点：用数学表达式表达计算模型。
三、说学清本课的授课对象为小学六年级的学生，从三年级起始，学生学习了三年的信息技术课程，掌握了一定的计算机操作技能，具有一定的在线学习能力、团队协作能力和自主学习能力。
但信息技术与信息科学的转变，学生需要适应从学习知识点、操作向学习科学原理、培养思维方式的转变。
四、教学准备：1. 多媒体课件，包含抽象与建模的概念介绍、案例分析和操作演示。
2. 表格纸或电子表格工具，供学生进行问题抽象时使用。
3. 经典案例：“鸡兔同笼”问题。
五、教学过程：（一）、导入新课（5分钟）1. 提出问题：在日常生活中，我们经常遇到一些复杂的问题，如何将这些问题简化并找到解决方案呢？2. 引入概念：今天我们要学习的就是如何将复杂问题抽象化，并建立模型进行求解的方法——抽象与建模。
（二）、新课讲授（15分钟）1. 抽象与建模的概念介绍：抽象：从具体事物中抽取共同的本质属性或关系，形成一般概念的过程。
建模：为了某种特定目的，对客观事物的某些方面进行简化、假设和抽象的过程，从而建立能反映事物本质特征或运动规律的数学模型。
2. 案例分析：“鸡兔同笼”问题提出问题：笼子里有若干只鸡和兔，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问鸡和兔各有多少只？抽象问题：将问题中的鸡和兔抽象为具有头和脚的两种动物，建立表格表示头数和脚数的关系。
抽象函数模型
模型三(指数函数型)：f(x+y)=f(x)f(y)或 f(x-y)=f(x)÷f(y)
例3、已知函数对于一切实数x、满足f(0)≠0， f(x+y)=f(x)f(y)，且当x<0时，f(x)＞1 （1）当x＞0时，求f(x)的取值范围（2）判断 在R上的单调性
模型四(对数函数型)：f(xy)=f(x)+f(y)或 f(x÷y)=f(x)-f(y)
抽象函数模型
模型一(正比例函数型Hale Waihona Puke ： f(x±y)=f(x)±f(y)
例1、已知函数对任意实数x,y，均有 f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时f(x)>0，f(-1)=-2， 求在区间[－2，1]上的值域。
模型二(一次函数型):f(x+y)=f(x)+f(y)-c
例2、已知函数f（x）对任意x,y都满足条件 f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时， f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式f(a² -2a-2)<3 的解集
例4、已知函数f(x)定义域为(0,+∞)且单调递增， 满足f(4)=1，f(xy)=f(x)+f(y) （1）证明：f(1)=0；(2)求f(16)； （3）若f(x)+f (x-3)≤1，求x的范围； （4）试证f(xⁿ)=nf(x)（n∈N）
抽象函数模型归纳总结(八大题型)(解析版)
抽象函数模型归纳总结目录01方法技巧与总结02题型归纳总结题型一：一次函数模型题型二：二次函数模型题型三：幂函数模型题型四：指数函数模型题型五：对数函数模型题型六：正弦函数模型题型七：余弦函数模型题型八：正切函数模型03过关测试20一次函数(1)对于正比例函数f x =kx k≠0，与其对应的抽象函数为f x±y=f x ±f y ．(2)对于一次函数f x =kx+b k≠0，与其对应的抽象函数为f x±y=f x ±f y ∓b．二次函数(3)对于二次函数f x =ax2+bx+c a≠0，与其对应的抽象函数为f x+y=f x +f y +2axy-c幂函数(4)对于幂函数f x =x n，与其对应的抽象函数为f xy=f x f y ．(5)对于幂函数f x =x n，其抽象函数还可以是fxy=f x f y．指数函数(6)对于指数函数f x =a x，与其对应的抽象函数为f x+y=f x f y ．(7)对于指数函数f x =a x，其抽象函数还可以是f x -y =f xf y．其中(a >0,a ≠1)对数函数(8)对于对数函数f x =log a x ，与其对应的抽象函数为f xy =f x +f y ．(9)对于对数函数f x =log a x ，其抽象函数还可以是fxy=f x -f y ．(10)对于对数函数f x =log a x ，其抽象函数还可以是f x n=nf x ．其中(a >0,a ≠1)三角函数(11)对于正弦函数f x =sin x ，与其对应的抽象函数为f x +y f x -y =f 2x -f 2y 注：此抽象函数对应于正弦平方差公式：sin 2α-sin 2β=sin α+β sin α-β(12)对于余弦函数f x =cos x ，与其对应的抽象函数为f x +f y =2fx +y 2 f x -y2注：此抽象函数对应于余弦和差化积公式：cos α+cos β=2cos α+β2cosα-β2(13)对于余弦函数f x =cos x ，其抽象函数还可以是f x f y =12f x +y +f x -y注：此抽象函数对应于余弦积化和差公式：cos αcos β=cos α+β +cos α-β2(14)对于正切函数f x =tan x ，与其对应的抽象函数为f x ±y =f x ±f y1∓f x f y注：此抽象函数对应于正切函数和差角公式：tan α±β =tan α±tan β1∓tan αtan β题型一：一次函数模型1已知f x +y =f x +f y -1且f 1 =2，则f 1 +f 2 +⋯+f n 不等于A.f 1 +2f 1 +⋯+nf 1 -n n -12B.f n n +1 2+n -1C.n 2+3n2 D.n n +1【答案】D【解析】∵f x +y =f x +f y -1，∴f x +y -1=f x -1 +f y -1 ，构造函数g x =f x -1，则g x +y =g x +g y ，且g 1 =f 1 -1=1，令a n =g n =f n -1，则a 1=f 1 -1=1，令x =n ，y =1，得g n +1 =g n +g 1 ，∴a n +1=a n +a 1=a n +1，即a n +1-a n =1，所以，数列a n 为等差数列，且首项为1，公差为1，∴a n =1+n -1 ×1=n ，∴f n -1=n ，则f n =n +1.f 1 +f 2 +⋯+f n =2+3+⋯+n +1 =n 2+n +1 2=n n +3 2=n 2+3n 2，f 1 +2f 1 +⋯+nf 1 -n n -1 2=n n +1 2f 1 -n n -1 2=n n +1 -n n -1 2=n 2+3n2，合乎题意；f n n +1 2 +n -1=n n +1 2+1+n -1=n 2+3n 2，合乎题意；故选D .2已知函数f x 的定义域为R ，且f 12≠0，若f (x +y )+f (x )f (y )=4xy ，则下列结论错误的是()A.f -12=0 B.f 12=-2C.函数f x -12是偶函数 D.函数f x +12是减函数【答案】C【解析】对于A ，令x =12、y =0，则有f 12 +f 12 ×f 0 =f 121+f 0 =0，又f 12≠0，故1+f 0 =0，即f 0 =-1，令x =12、y =-12，则有f 12-12 +f 12 f -12 =4×12×-12，即f 0 +f 12 f -12 =-1，由f 0 =-1，可得f 12 f -12 =0，又f 12 ≠0，故f -12=0，故A 正确；对于C ，令y =-12，则有f x -12 +f x f -12 =4x ×-12，则f x -12 =-2x ，故函数f x -12是奇函数，故C 错误；对于D ，有f x +1-12 =-2x +1 =-2x -2，即f x +12=-2x -2，则函数f x +12 是减函数，故D 正确；对于B ，由f x -12 =-2x ，令x =1，有f 12=-2×1=-2，故B 正确.故选：C 3(2024·河南新乡·一模)已知定义在R 上的函数f x 满足∀x ,y ∈R ，f 2xy -1 =f x ⋅f y +f y +2x -3，f 0 =-1，则不等式f x >3-2x 的解集为()A.1,+∞B.-1,+∞C.-∞,1D.-∞,-1【答案】A【解析】令x =y =0，得f (-1)=f (0)⋅f (0)+f (0)-3=-3.令y =0，得f (-1)=f (x )f (0)+f (0)+2x -3，解得f (x )=2x -1，则不等式f (x )>3-2x 转化为2x +2x -4>0，因为y =2x +2x -4是增函数，且2×1+21-4=0，所以不等式f (x )>3-2x 的解集为(1,+∞).故选：A4已知定义在R 上的单调函数f x ，其值域也是R ，并且对于任意的x ,y ∈R ，都有f xf y =xy ，则f 2022 等于()A.0B.1C.20222D.2022【答案】D【解析】由于f x 在R 上单调，且值域为R ，则必存在y 0∈R ，使得f y 0 =1，令y =y 0得，f xf y 0 =xy 0，即f x =y 0x ，于是∀x ,y ∈R ，f xf y =f xy 0y =y 0xy 0y =y 20xy =xy ，则y 0=±1，从而f x =±x ，有f 2022 =2022.故选：D题型二：二次函数模型1(2024·高三·河北保定·期末)已知函数f (x )满足：∀x ，y ∈Z ，f (x +y )=f (x )+f (y )+2xy +1成立，且f (-2)=1，则f 2n n ∈N * =()A.4n +6B.8n -1C.4n 2+2n -1D.8n 2+2n -5【答案】C【解析】令x =y =0，则f 0 =f 0 +f 0 +1，所以f 0 =-1，令x =y =-1，则f -2 =f -1 +f -1 +2+1=2f -1 +3=1，所以f -1 =-1，令x =1,y =-1，则f 0 =f 1 +f -1 -2+1=f 1 -2=-1，所以f 1 =1，令x =n ,y =1,n ∈N *，则f n +1 =f n +f 1 +2n +1=f n +2n +2，所以f n +1 -f n =2n +2，则当n ≥2时，f n -f n -1 =2n ，则f n =f n -f n -1 +f n -1 -f n -2 +⋯+f 2 -f 1 +f 1=2n +2n -2 +⋯+4+1=2n +4 n -12+1=n 2+n -1，当n =1时，上式也成立，所以f n =n 2+n -1n ∈N * ，所以f 2n =4n 2+2n -1n ∈N * .故选：C .2(2024·山东济南·三模)已知函数f x 的定义域为R ，且yf x -xf y =xy x -y ，则下列结论一定成立的是()A.f 1 =1B.f x 为偶函数C.f x 有最小值D.f x 在0,1 上单调递增【答案】C【解析】由于函数f x 的定义域为R ，且yf x -xf y =xy x -y ，令y =1，则f x -xf 1 =x x -1 ，得f x =x 2+f 1 -1 x ，x =1时，f 1 =12+f 1 -1 恒成立，无法确定f 1 =1，A 不一定成立；由于f 1 =1不一定成立，故f x =x 2+f 1 -1 x 不一定为偶函数，B 不确定；由于f x =x 2+f 1 -1 x 的对称轴为x =-12⋅f 1 -1 与0,1 的位置关系不确定，故f x 在0,1 上不一定单调递增，D 也不确定，由于f x =x 2+f 1 -1 x 表示开口向上的抛物线，故函数f x 必有最小值，C 正确，故选：C3(2024·陕西西安·模拟预测)已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x )+f (y )=f (x +y )-2xy +2,f (1)=2，则下列结论正确的是()A.f (4)=12B.方程f (x )=x 有解C.f x +12 是偶函数D.f x -12是偶函数【答案】C【解析】对于A ，因为函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x )+f (y )=f (x +y )-2xy +2,f (1)=2，取x =y =1，得f (1)+f (1)=f (2)-2+2，则f (2)=4，取x =y =2，得f (2)+f (2)=f (4)-8+2，则f (4)=14，故A 错误；对于B ，取y =1，得f (x )+f (1)=f (x +1)-2x +2，则f (x +1)-f (x )=2x ，所以f (x )-f (x -1)=2(x -1),f (x -1)-f (x -2)=2(x -2),⋯,f (2)-f (1)=2，以上各式相加得f (x )-f (1)=2(x -1)+2 ⋅(x -1)2=x 2-x ，所以f (x )=x 2-x +2，令f (x )=x 2-x +2=x ，得x 2-2x +2=0，此方程无解，故B 错误.对于CD ，由B 知f (x )=x 2-x +2，所以f x +12 =x +12 2-x +12 +2=x 2+74是偶函数，f x -12 =x -12 2-x -12 +2=x 2-2x +114不是偶函数，故C 正确，D 错误.故选：C .4(2024·河南·三模)已知函数f x 满足：f 1 ≥3，且∀x ,y ∈R ，f x +y =f x +f y +6xy ，则9i =1f i 的最小值是()A.135 B.395C.855D.990【答案】C【解析】由f x +y =f x +f y +6xy ，得f x +y -3x +y 2=f x -3x 2+f y -3y 2，令g x =f x -3x 2，得g x +y =g x +g y ，令x =n ,y =1，得g n +1 -g n =g 1 ，故g n =g n -g n -1 + g n -1 -g n -2 +⋅⋅⋅+ g 2 -g 1 +g 1 =ng 1 ，又g n =f n -3n 2，所以f n =g n +3n 2=3n 2+f 1 -3 n ，所以9i =1f i =39i =1i 2+f 1 -3 9i =1i =855+45f 1 -3 ，因为f 1 ≥3，当f 1 =3时，9i =1f i 的最小值为855．故选：C ．题型三：幂函数模型1已知函数f x 的定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ，且xf x =y +1 f y +1 ，则()A.f x ≥0B.f 1 =1C.f x 是偶函数D.f x 没有极值点【答案】D【解析】令g x =xf x ，则g y +1 =y +1 f y +1 ，所以g x =g y +1 ，且x ,y +1为定义域内任意值，故g x 为常函数.令g x =k ，则f x =kx，为奇函数且没有极值点，C 错，D 对；所以f x ≥0不恒成立，f 1 =1不一定成立，A 、B 错.故选：D2(2024·河北·模拟预测)已知定义在-∞,0 ∪0,+∞ 上的函数f x 满足f xy =f -x y +f -yx+1xy，则()A.f x 是奇函数且在0,+∞ 上单调递减B.f x 是奇函数且在-∞,0 上单调递增C.f x 是偶函数且在0,+∞ 上单调递减D.f x 是偶函数且在-∞,0 上单调递增【答案】A【解析】令x =y =-1，则f 1 =-2f 1 +1，所以f 1 =13，令x =y =1，则f 1 =2f -1 +1，所以f -1 =-13，令y =-1，则f -x =-f -x +f 1 x -1x =-f -x +13x -1x =-f -x -23x，所以f -x =-13x，令y =1，则f x =f -x +f -1 x +1x =-13x -13x +1x =13x ，所以f x =13x，因为f -x =-13x=-f x ，且定义域关于原点对称，所以函数f x 是奇函数，由反比例函数的单调性可得函数f x =13x在0,+∞ 上单调递减.故选：A .题型四：指数函数模型1(多选题)(2024·山西晋中·三模)已知函数f x 的定义域为R ，满足f x +y =f x f y +f x +f y ，且f 0 ≠-1，f 1 >-1，则下列说法正确的是()A.f 0 =0B.f x 为非奇非偶函数C.若f 1 =1，则f 4 =15D.f x >-1对任意x ∈N *恒成立【答案】ACD【解析】我们有恒等式：f x +y +1=f x f y +f x +f y +1=f x +1 f y +1 .对于A ，由恒等式可得f 0 +1=f 0 +1 f 0 +1 ，而f 0 ≠-1，故f 0 +1≠0，所以1=f 0 +1，即f 0 =0，故A 正确；对于B ，由于f x =0满足条件且是偶函数，所以f x 有可能是偶函数，故B 错误；对于C ，由恒等式可得f x +1 +1=f x +1 f 1 +1 ，故f 4 +1=f 3 +1 f 1 +1 =f 2 +1 f 1 +12=f 1 +1 4.若f 1 =1，则f 4 =f 1 +1 4-1=24-1=15，故C 正确；对于D ，由恒等式可得f x +1 +1=f x +1 f 1 +1 .而f 1 +1>0，故f x +1 +1和f x +1同号(同为正数，或同为负数，或同为0)，从而再由f 1 +1>0可知f x +1>0x ∈N * ，即f x >-1x ∈N * ，故D 正确.故选：ACD .2已知函数f x 满足，f p +q =f p ⋅f q ,f 1 =3，则f 21 +f 2 f 1 +f 22 +f 4f 3+f 23 +f 6 f 5 +f 24 +f 8 f 7 +f 25 +f 10f 9 的值为()A.15B.30C.60D.75【答案】B【解析】∵f p +q =f p ⋅f q ,∴f n +1 =f n ⋅f 1 ,∵f 1 =3∴f n +1 =3f n ∴f n =3×3n -1=3n因此f 21 +f 2 f 1 +f 22 +f 4 f 3 +f 23 +f 6 f 5 +f 24 +f 8 f 7 +f 25 +f 10 f 9=32+323+34+3433+36+3635+38+3837+310+31039=6+6+6+6+6=30故选：B3如果f a +b =f a f b 且f 1 =2，则f 2 f 1 +f 4 f 3 +f 6f 5=()A.125B.375C.6D.8【答案】C【解析】∵f 1 =2，f a +b =f a f b ，∴f 2 =f 1 f 1 ，f 4 =f 3 f 1 ，f 6 =f 5 f 1 ，∴f 2 f 1 =f 1 ，f 4 f 3 =f 1 ，f 6 f 5 =f 1 ，∴f 2 f 1 +f 4 f 3 +f 6 f 5 =3f 1 =6，故选：C ．4已知函数f x 对一切实数a ,b 满足f a +b =f a ⋅f b ，且f 1 =2，若a n =f n2+f 2n f 2n -1n ∈N *，则数列a n 的前n 项和为()A.nB.2nC.4nD.8n【答案】C【解析】∵函数f x 对一切实数a,b满足f a+b=f a ⋅f b ，且f1 =2∴f n+1=f n ⋅f1 =2f n∴数列f n是等比数列，首项为2，公比为2∴f n =2n，n∈N*所以a n=f n2+f2nf2n-1=22n+22n22n-1=4所以数列a n的前n项和为4n．故选：C．题型五：对数函数模型1(多选题)已知函数f x 的定义域为R，f xy=y2f x +x2f y ，则( )．A.f0 =0 B.f1 =0C.f x 是偶函数D.x=0为f x 的极小值点【答案】ABC【解析】方法一：因为f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，对于A，令x=y=0，f(0)=0f(0)+0f(0)=0，故A正确.对于B，令x=y=1，f(1)=1f(1)+1f(1)，则f(1)=0，故B正确.对于C，令x=y=-1，f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)，则f(-1)=0，令y=-1,f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x)，又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确，对于D，不妨令f(x)=0，显然符合题设条件，此时f(x)无极值，故D错误.方法二：因为f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，对于A，令x=y=0，f(0)=0f(0)+0f(0)=0，故A正确.对于B，令x=y=1，f(1)=1f(1)+1f(1)，则f(1)=0，故B正确.对于C，令x=y=-1，f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)，则f(-1)=0，令y=-1,f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x)，又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确，对于D，当x2y2≠0时，对f(xy)=y2f(x)+x2f(y)两边同时除以x2y2，得到f(xy)x2y2=f(x)x2+f(y)y2，故可以设f(x)x2=ln x (x≠0)，则f(x)=x2ln x ,x≠00,x=0，当x>0肘，f(x)=x2ln x，则f x =2x ln x+x2⋅1x=x(2ln x+1)，令f x <0，得0<x<e-12；令f x >0，得x>e-12；故f(x)在0,e-1 2上单调递减，在e-12,+∞上单调递增，因为f(x)为偶函数，所以f(x)在-e-1 2,0上单调递增，在-∞,e-12上单调递减，显然，此时x =0是f (x )的极大值，故D 错误.故选：ABC .2.已知定义在0,+∞ 上的函数f x ，满足f xy +1=f x +f y ，且f 12=0，则f 211 =()A.1B.11C.12D.-1【答案】C【解析】令x =y =1，则f 1 +1=f 1 +f 1 ，解得f 1 =1，令x =2,y =12，则f 1 +1=f 2 +f 12，解得f 2 =2，令x =y =2，则f 22 +1=f 2 +f 2 ，解得f 22 =3，令x =22,y =2，则f 23 +1=f 22 +f 2 ，解得f 23 =4，⋯⋯，依次类推可得f 211 =12。
抽象数学模型增强应用意识——“单价、数量和总价”教学实践与思考
抽象数学模型增强应用意识——“单价、数量和总价”教学实践与思考摘要：小学数学是培养学生数学思维的基础性课程，对于提高学生数学应用意识和能力具有深远意义。
课堂教学是教师与学生进行互动的过程，教师需要从学生认知特点和已有经验出发，采取有效措施来提升其核心素养。
本文以教学人教版数学四年级上册第四单元《单价、数量和总价》为例，主要探讨如何帮助学生正确理解数学概念、经历建模过程、抽象数量关系以及培养应用意识，并提出具备可行性的有效策略,希望能给同行带来帮助。
关键词：概念化疑；模型观念；应用意识引言：最新推行的《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准》）确定了小学阶段的11个数学核心素养，与前一版相比，《标准》将“模型思想”修改为“模型意识”，强调模型意识主要是指对数学模型普适性的初步感悟。
《标准》中还强调“应用意识”主要是指有意识地利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象与规律，解决现实世界中的问题。
本文通过聚焦“模型意识”与“应用意识”，切实提升学生的数学核心素养。
【教学前测】本节课主要教学一种常见的数量关系：单价、数量和总价。
在前几册通过解答应用题，学生们已接触到这些数量关系，有一定的感性认识，但是还没有概括出规律，给出有关的概念术语。
四年级学生的思维主要以形象思维为主，抽象逻辑思维较弱。
因此，在教学中关键是要如何通过实际的例子使学生理解和掌握用术语，以及表达数量关系，建构数学模型，并能在实际问题中灵活地加以应用。
课前通过对全班同学的调查，笔者发现在实际生活当中，学生们已经对“单价”、“数量”和“总价”有了一定程度的认识，积攒了一定的经验。
于是在开课之前，教师就提前让同学们去逛逛超市，并拍摄了2-3张自己喜欢的商品“价格标签”照片发布在班级QQ群相册中，这一“课前准备环节”不仅充分调动了学生们的学习兴趣，极大促进了学生们对“单价”、“数量”和“总价”三个概念的理解，也为之后模型的构建提供了大量的实例支撑，奠定了基础。
抽象机理模型在计算机系统中的应用研究
抽象机理模型在计算机系统中的应用研究一、引言抽象机理模型，指的是一种将实际系统映射为形式化模型的方法，并对该模型进行描述和分析的过程。
该方法在计算机科学的各个领域都有着广泛的应用。
本文将介绍抽象机理模型在计算机系统中的应用研究。
二、抽象机理模型的概念抽象机理模型是指将实际系统中的各个组成部分（如机器、软件、网络等）映射为形式化模型，并对该模型进行描述和分析的过程。
该方法可以帮助我们理解系统的行为、确定系统的性质、识别和解决问题等。
三、抽象机理模型的应用1.操作系统操作系统是计算机系统的核心组成部分之一，它负责管理和分配计算机资源。
抽象机理模型可以用来描述操作系统中各个模块之间的关系，如进程管理、内存管理、文件系统等。
这些模块之间的相互作用可以用有限状态自动机的方式进行描述，从而方便我们理解和分析操作系统中的行为和性质。
2.网络协议网络协议是计算机网络中的重要组成部分，它规定了计算机之间交换数据的方式和规则。
抽象机理模型可以用来描述网络协议的通信过程，如TCP/IP协议中的传输机制、网络拓扑结构等。
这些描述可以用图形化或数学化的方式来表示，方便我们理解和分析网络协议性质和行为。
3.编译器编译器是将程序源代码转换成可执行代码的软件。
抽象机理模型可以用来描述编译器中的工作流程，如词法分析、语法分析、代码生成等。
通过对编译器的抽象机理模型进行描述和分析，可以为编译器的设计和开发提供参考和指导。
4.人工智能人工智能是近年来发展起来的一个热门领域，它涉及到机器学习、图像识别、自然语言处理等多个方面。
抽象机理模型可以用来描述人工智能系统中的算法和模型，如神经网络、决策树、支持向量机等。
通过对这些模型进行抽象建模，可以帮助我们理解和分析人工智能系统的行为和性质。
四、抽象机理模型的发展趋势随着计算机科学技术的不断发展和创新，抽象机理模型也在不断地完善和改进。
目前，抽象机理模型趋向于更加高级化和细化，如模型检测、抽象解释等。
“如何将实践问题抽象成数学模型”案例分析
如何将实践问题抽象成数学模型前不久听了一节比多少的数学研究课，这节课的教法和对内容的理解确实值得研究。
一上课，教者先在黑板上贴出“多一些”、“少一些”、“多得多”、“少得多”四幅字条，让学生读一读。
教者说了说上面四个概念的意义。
接着教者运用上面的四个概念引导学生解决实际问题。
1.紫葡萄有50粒，绿葡萄有40粒。
绿葡萄比紫葡萄（）一些；紫葡萄比绿葡萄（）一些。
要求（）内只填一个字。
2.草莓有8粒，葡萄有50粒。
草莓比葡萄（）得多；葡萄比草莓（）得多。
要求（）内只填一个字。
课后，笔者就这节课做了仔细地分析，体会有两点：1.《标准》认为，要让学生亲身经历半实践问题抽象成数学模型，并进行解释与应用的过程。
因此学习这部分内容时应创设情境，可出示“三缸鱼”，让学生讨论，根据图意分别用“多一些，少一些，多得多，少得多”说话，让学生自主探究，合作交流，说说在这里为什么用这个词？你是怎样理解的？在什么情况下使用它？而不应该先说四个概念的意义，然后让学生运用，并揭示学生（）里只填一个字，逼着学生往多、少上靠。
这样不利于培养学生的自主探讨能力、理解能力、语言表达能力。
2.从设计的两个练习来看，紫葡萄比绿葡萄既可以说“多一些”，也可以说“多得多”，草莓比葡萄，既可以说少一些，也可说少得多。
相差多少才能运用“多一些、少一些、多得多、少得多”呢？没有严格的标准，要正确理解四个概念，应在多个数（至少三个）之间进行比较，这四个概念都是比较概念，这也是教材所体现，但授课教师所没有挖掘出的。
教材中的例题是这样的：有三个鱼缸，分别盛着红、花、黑金鱼，红金鱼48条，花金鱼15条，黑金鱼10条，从教材中我们不难体会到在三个数中，48、15、10中，48比10相差较多，所以用多得多，10比15比较接近，所以用少一些。
由此可见，只出两个数就不可能准确地应用上面四个概念，因为这时候没有第二个数作为比较。
虽然教师不能唯教材，但要正确理解，认真领会教材的编写意图，灵活运用教材，根据学生的年龄特征和教学要求，从学生熟悉的情境和已有的知识出发，开展教学活动。
抽象函数模型化总结
抽象函数模型化总结
抽象函数模型是一种基于抽象数学方法和研究的模型，用于分析和描
述数学问题，以便求解实际应用中的问题。
抽象函数模型是一种有用的数
学工具，可以将问题从具象的、实际的描述转换为抽象的、概括的函数。
抽象函数模型的定义是更加抽象，更加理论化，但不触及实际的技术方面，而它具有解决实际应用问题的能力，因此抽象函数模型得到了广泛的应用。
抽象函数模型的基本成分有：抽象空间、抽象函数映射、实数分量、
以及可以上下文中观察的性质。
抽象空间可以是由一个或多个集合定义的，比如一个或多个点的集合，或是由一组元素组成的集合。
抽象函数映射可
以是一个映射，比如从一个集合映射到另一个集合，或者是从一组元素映
射到另一组元素。
实数分量则是每个集合元素、映射、以及它们之间的关
系所表达的实数信息。
在上下文中观察到的性质包括可用于描述抽象空间
和抽象函数映射的数学定理以及抽象函数映射特定的关系，例如，由抽象
函数映射定义的可逆性。
数学建模答案 (5)
一、解释下列词语，并举例说明(每小题满分5分，共15分)1．模型模型是系统知识的抽象表示。
我们不能仅仅通过语言来描述一个系统，也不能仅仅通过记忆来记录关于系统的知识。
知识是通过某种媒介来表达的，这种媒介所表达的内容就是模型。
而知识形成媒介的过程就是建模，或者称为模型化。
通常模型可以使用多种不同的媒介来表达，比如纸质或电子文档、缩微模型/原型、音像制品等等。
而表达模型的体现方式也是多种多样的，常见的有图表、公式、原型、文字描述等等。
2．数学模型由数字、字母、或其他数学符号组成的，描述现实对象（原型）数量规律的数学结构。
具体地说，数学模型也可以描述为：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些简化假设后，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构称之为数学模型.如概率的功利化定义。
3．抽象模型通过人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接存储在大脑中的模型称之谓思维模型。
从实际的人、物、事和概念中抽取所关心的共同特性，忽略非本质的细节把这些特性用各种概念精确地加以描述。
二、简答题（每小题满分8分，共24分）1．模型的分类按照模型替代原型的方式，模型可以简单分为形象模型和抽象模型两类.形象模型：直观模型、物理模型、分子结构模型等;抽象模型：思维模型、符号模型、数学模型等。
2．数学建模的基本步骤1）建模准备：确立建模课题的过程；2）建模假设：根据建模的目的对原型进行抽象、简化。
有目的性原则、简明性原则、真实性原则和全面性原则；3）构造模型：在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的各条款，选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学刻划实际问题的数学模型.；4）模型求解：构造数学模型之后，方法和算法，并借助计算机完成对模型的求解；5）模型分析：根据建模的目的要求，对模型求解的数字结果，或进行稳定性分析，或进行系统参数的灵敏度分析，或进行误差分析等。
模型概述
首先依赖于它对现实生活进行序化和简化 的能力 • 2．认定重要层面：政策模型的有效性还 与其概括政治生活中重要内容的能力有关 • 3．符合社会现实： 政策模型应该与客观 现实具有一定的联系
• 4．提供有意义的沟通 ：在沟通过程中应
该具有实质性含义并形成较为一致的看法 • 5．提出一定的解释： 政策模型应该对公 共政策提出一种解释，而不是只对公共政 策及其过程进行简单的描述；它应该对公 共政策的原因和结果提出一定的假设
且是现实世界抽象化的代表。 • 帮助人们理解和解释公共政策产生的原因， 认识和分析其社会的效果，思考和预测未 来的发展， • 这些模型体现了对公共政策思考的不同角 度，为理解公共政策和进行政策分析提供 了多种途径
二、模型评述
• 模型与现实的关系： • 是主观强加于客观，人为地创造一种认识世界的
• •
• 当时一名在地铁系统工作的名叫贝克的临时绘图员认为，
如果能运用图解的方式，抛开教条的真实，就不难解决这 个问题。他根据早期的地铁图重新设计了一张草图，但不 幸的是被他的上司轻率地否决了，理由再正当不过了：这 张草图完全脱离了实际。到1933年，由于社会舆论的压 力，地铁公司在无奈之下，只好试探性地推出了贝克的设 计图。没想到一炮打响，受到公众的热烈欢迎。贝克建立 的这个地铁站线模型，被一直沿用至今，而且被世界所有 拥有地铁的国家所采用。可以说贝克为整个社会做了一项 伟大的贡献，可当时他仅得到了极为可怜的报酬——不到 1英镑。
第四章
第一节
公共政策模型
模型概述
一、模型的概念
• 模型可分为具体模型和抽象模型 • 具体模型主要指与原型在形态上几何相似
的模型，如示意沙盘、模型飞机、交通地 图等 ，突出表现了模型的相似性特征 • 抽象模型主要是指用语言、符号、图表、 数字等抽象形式反映原型内在联系和特征 的模型
浙教版(2023)小学信息技术六年级上册第2课《抽象与建模》教案及反思
浙教版（2023）小学信息技术六年级上册第2课《抽象与建模》教案及反思一、教材分析《抽象与建模》是小学信息技术六年级上册的重要内容。
本节课旨在引导学生理解抽象与建模在信息技术领域中的基本概念和应用，通过具体实例让学生体会从实际问题出发，进行抽象分析，再到建立模型解决问题的过程。
教材通过生活中的例子，如建筑设计、地图绘制等，让学生感知抽象与建模的普遍性，并通过编程中的小项目实践，让学生体验抽象与建模在编程中的应用。
二、教学目标1. 知识与技能：- 理解抽象与建模的基本概念。
- 学会从实际问题中抽象出关键要素。
- 掌握在编程中构建简单模型的基本方法。
2. 过程与方法：- 通过案例分析，学习抽象与建模的思维方式。
- 通过小组合作，完成一个基于抽象与建模的小项目。
3. 情感态度与价值观：- 培养学生分析问题和解决问题的能力。
- 增强学生的逻辑思维能力和创新思维。
- 激发学生对信息技术学习的兴趣和热爱。
三、教学重难点1. 教学重点：- 理解抽象与建模的概念。
- 学会从实际问题中抽象出关键要素并构建模型。
2. 教学难点：- 如何将抽象思维应用于实际编程中。
- 引导学生形成正确的建模思维习惯。
四、学情分析六年级学生已经具备了一定的信息技术基础知识，对于基本的编程概念也有所了解。
但是，他们的抽象思维能力还不够强，对于如何将实际问题抽象化并构建模型还缺乏实践经验。
因此，在教学中需要注重引导学生理解抽象与建模的概念，并通过实际案例和项目实践来加深学生的理解和应用能力。
五、教学过程1. 导入新课- 情境导入：展示一个复杂的实际问题（如城市交通拥堵），引导学生思考如何简化并描述这个问题。
- 提问：你们认为在描述这个问题时，哪些信息是关键的？哪些信息可以忽略？- 引出抽象概念：介绍抽象的定义，即忽略非本质特征，抽取本质特征的过程。
2. 探究新知- 分组讨论：让学生分组讨论并列出交通拥堵问题的关键要素（如车辆数量、道路状况、交通信号灯等）。
数学建模试题卷及答案
西安邮电大学2011-2012第一学期《数学建模》选修课试题卷班级：软件1003班姓名：学号：成绩：一、解释下列词语，并举例说明(每小题满分5分，共15分)1．模型答：模型：所研究的系统、过程、事物或概念的一种表达形式，也可指根据实验、图样放大或缩小而制作的样品，一般用于展览或实验或铸造机器零件等用的模子。
例如飞机模型，用压制或浇灌方法使材料成为一定形状的工具。
通称“模型”。
2．数学模型答：数学模型：用数学语言描述的一类模型。
数学模型可以是一个或一组代数方程、微分方程、差分方程、积分方程或统计学方程，也可以是它们的某种适当的组合，通过这些方程定量地或定性地描述系统各变量之间的相互关系或因果关系。
除了用方程描述的数学模型外，还有用其他数学工具，如代数、几何、拓扑、数理逻辑等描述的模型。
需要指出的是，数学模型描述的是系统的行为和特征而不是系统的实际结构。
3．抽象模型答：抽象模型：是三维建模里这么称呼的就跟抽象雕塑的一样的。
实际不存在，理论上却存在，并用思维对事物进行客观认识的理论或者框架。
对获得的感性材料和感性经验，运用理性思维进行一番老粗取梢、去伪存真、由此及彼、由表及里的改造制作工夫，去掉事物非本质的、表面的、偶然的东西，抽取出事物本质的、内在的、必然的东西，揭示客观对象的本质和规律而建立的模型。
二、简答题（每小题满分8分，共24分）1．模型的分类答：按照模型替代原型的方式，模型可以简单分为形象模型和抽象模型两类，形象模型：直观模型、物理模型、分子结构模型等；抽象模型：思维模型、符号模型，数学模型等。
2．数学建模的基本步骤答：（1）建模准备：数学建模是一项创新活动，它所面临的课题是人们在生产和科研中为了使认识和实践进一步发展必须解决的问题。
建模准备就是要了解问题的实际背景，明确建模的目的，掌握对象的各种信息，弄清实际对象的特征，情况明才能方法对；（2）建模假设：根据实际对象的的特征和建模的目的，在掌握必要资料的基础上，对原型进行抽象、简化，把那些反映问题本质属性的形态、量及其关系抽象出来，简化掉那些非本质的因素，使之摆脱原型的具体复杂形态，形成对建模有用的信息资源和前提条件，并且用精确的语言作出假设，是建模过程关键的一步。
高考数学复习：抽象函数模型与双函数归类
高考数学复习：抽象函数模型与双函数归类题型一：抽象函数具体化模型1：过原点直线型抽象函数模型1()()()f x y f x f y +=+---过原点直线型()f x kx =有以下性质①()00f =②奇函数：y x =-，则()()()0f x x f x f x -=+-=③可能具有单调性（结合其他条件）相似的模型()()()2y ()()22f x y f x y f x x f x f y f ++-=+⎛⎫+= ⎪⎝⎭1.（多选题）定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，当0x <时，()0f x >，则下列说法正确的是（）A．()f x 在R 上单调递减B．复合函数()sin f x 为偶函数C．复合函数()cos f x 为偶函数D．当[]0,2πx ∈，不等式()1sin 02f x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭的解集为π5π,66⎛⎫ ⎪⎝⎭2.（多选题）定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x f y f x y +=+，则下列说法正确的是（）A．()00f =B．()()()f x f y f x y -=-C．()f x 为奇函数D．()f x 在区间[],m n 上有最大值()f n 3.（多选题）（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）已知函数()f x 满足()()(),,f x y f x f y x y +=+∈R ，则（）A．(0)0f =B．()(1),f k kf k =∈ZC．(),(0)x f x kf k k ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭D．()()0f x f x -<题型二：抽象函数具体化模型2：不过原点的直线型抽象函数模型2证明如下：()()()f x y f x f y b +=++（b 带正负，即＋b 或－b ）()()()f x y f x f y b b b +=+↔+++()()()()()()()b“同构”：=------是过原点的直线h x f x h x y h x h y h x f x kx b+↔↔↔=++=-1.（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，且()10f =，若()()()2f x y f x f y +=++，则下列说法正确的是（）A．()14f -=-B．()f x 有最大值C．()20244046f =D．函数()2f x +是奇函数2.（多选题）已知定义在R 上的函数()f x ，满足对任意的实数x ，y ，均有()()()1f x y f x f y +=+-，且当0x >时，()1f x <，则（）A．(0)1f =B．(1)(1)1f f +-=C．函数()f x 为减函数D．函数()y f x =的图象关于点()0,1对称3.（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，对任意实数x ，y 满足()()()2f x y f x f y +=++，且(2)0f =，则下列结论正确的是（）A．(0)2f =-B．(4)6f -=-C．()2f x +为奇函数D．()f x 为R 上的减函数题型三：抽象函数具体化模型3：tanx 型抽象函数模型3()()()()()()1()()1()()f x f y f αf βf x y f αβf x f y f αf β+++=Û+=--所以复合()tan f x kx =（k 根据其余条件待定系数）1.（多选题）已知函数()f x 满足(1)1f =，()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-，则（）A．()00f =B．()()f x f x -=-C．()f x 的定义域为RD．()f x 的周期为42.（多选题）已知函数()f x 的定义域为{}42,x x k k ≠+∈Z ，且()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=-，()11f =，则（）A．()00f =B．()f x 为偶函数C．()f x 为周期函数，且2为()f x 的周期D．()20231f =-3.已知定义在()1,1-上的函数()f x 满足：当0x >时，()0f x >，且对任意的x，()1,1y ∈-，均有()()()()()1f x y f x f y f x f y ⎡⎤+-=+⎣⎦.若()1ln 2f x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则x 的取值范围是（e 是自然对数的底数）（）A．B．1e ⎛ ⎝C．)D．)e1e ⎛⋃ ⎝题型四：抽象函数具体化模型4：一元二次型抽象函数模型4()()()()()()()()()2222222.=++2=+++2=2则f x y f x f y axy c f x ax bx c f x y a x y b x y c ax bx ay by c axy ax bx c ay by c axy c f x f y axy c+=++-=+++=++++++++++-++-此模型，b 的值无法推导，多依赖其他条件来待定系数确认.1.（多选题）已知定义在实数集R 上的函数()f x ，其导函数为()f x '，且满足()()()f x y f x f y xy +=++，()()110,12f f '==，则（）A．()00f =B．()f x 的图像关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C．()202410122023f =⨯D．20241()10122024k f k ='=⨯∑2.（多选题）已知函数()f x 对任意,x y ∈R 恒有()()()41f x y f x f y xy +=+++，且()11f =，则（）A．()01f =-B．()f x 可能是偶函数C．()28f =D．()f x 可能是奇函数3.（多选题）已知函数()f x 的定义域为()()()(),2,12f x y xy f x f y f ++=+=R ，则（）A．()00f =B．()210f -=-C．()2y f x x =+是奇函数D．()2y f x x =-是偶函数题型五：抽象函数具体化模型5：余弦函数型抽象函数模型5余弦函数型()()2()()()cos ()()cos()cos()cos cos sin sin cos cos sin sin =2cos cos 2()()证明：f x y f x y f x f y f x kxf x y f x y x y x y x y x y x y x y x y f x f y kx++-==++-=++-=-++=（也可以直接用和差化积公式推导）备注：这类函数，还有可能是双曲余弦函数型，不过较少出现1.（多选题）已知定义在R 上的函数()f x ，对任意的,x y ∈R ，都有()()2()()f x y f x y f x f y ++-=，且1(1)2f =，则（）A．(0)1f =B．()f x 是偶函数C．(3)1f n =-，*n ∈ND．20241()0n f n ==∑，*n ∈N 2.（多选题）已知函数()f x 对任意实数x 、y 都满足()()222x y y y f f x f x f +-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎝⎭⎝+⎪⎭，且()11f =-，以下结论正确的有（）A．102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B．()2f x +是偶函数C．()1f x +是奇函数D．()()()()12320251f f f f +++⋅⋅⋅+=-3.（多选题）已知定义在R 上的函数()f x ，满足()()()()222f x y f x y f x f y +-=+，且()11f =-，则下列说法正确的是（）A．()01f =B．()f x 为偶函数C．()()2f x f x =D．2是函数()f x 的一个周期题型六：抽象函数具体化模型6：一元三次函数型抽象函数模型6()()()()3，f x y f x f y axy x y +=+++则()3f x ax bx =+（其中b 可以借助其他条件待定系数）1.（多选题）已知函数()f x 是定义域为R 的可导函数，若()()()()3f x y f x f y xy x y +=+++，且()03f '=-，则（）A．()f x 是奇函数B．()f x 是减函数C．0f=D．1x =是()f x 的极小值点2．（多选题）已知定义域为R 的函数()f x 满足()()()()(),f x y f x f y xy x y f x +=++'+为()f x 的导函数，且()12f '=，则（）A．()f x 为奇函数B．()f x 在2x =-处的切线斜率为7C．()312f =D．对()()()121212120,,22,,f x f x x x x x x x f ++⎛⎫∀∈+∞≠<⎪⎝⎭3.（多选题）已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()()()3f x y f x f y xy x y +=+-+，则（）A．()y f x =是奇函数B．若()11f =，则()24f -=C．若()11f =-，则()3y f x x =+为增函数D．若()30,0x f x x ∀>+>，则()3y f x x =+为增函数题型七：抽象函数具体化模型7：正弦函数型抽象函数模型7正弦函数型，或者正弦双曲函数型()()()()()()22x xe e sin 2则，或者是正弦双曲函数f x y f x y fx f y f x x f x -+-=--==1.已知函数()f x 的定义域为()()()()22R,f x y f x y f x f y +-=-，且当0x >时，()0f x >，则（）A．()01f =B．()f x 是偶函数C．()f x 是增函数D．()f x 是周期函数2.（多选）已知函数()f x 的定义域为R，且()()()()()223,122fx y f x y f x f y f f x ⎛⎫+-=-+ ⎪⎝⎭为偶函数，则（）A．(0)0f =B．()f x 为偶函数C．(3)(3)f x f x +=--D．20231()k f k ==∑3.（多选题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()22f x y f x y f x f y +-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()11,21f f x =+为偶函数，则（）A．()00f =B．()f x 为偶函数C．()()22f x f x +=--D．()202410k f k ==∑题型八：抽象函数具体化模型8：正余弦函数辅助角型抽象函数模型8正余弦函数辅助角型形如()()()2cos f x y f x y f x y++-=⋅()x sin x cos x a b 则，，值可以通过其他条件待定系数f a b =+1．已知函数()f x 的定义域为R ，且()π012f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，若()()()2cos f x y f x y f x y ++-=⋅，则函数()f x （）A．以π为周期B．最大值是1C．在区间ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减D．既不是奇函数也不是偶函数2.已知函数()f x 的定义域为()()()R,2cos f x y f x y f x y ++-=且()01f =，π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭那么（）A．()f x 为偶函数B．()π1f =C．π2x =是函数的极大值点D．()f x 的最小值为2-3.（多选题）已知定义域为R 的函数()f x 对任意实数x 、y 满足()()()2cos f x y f x y f x y ++-=，且()00f =，π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．其中正确的是（）A．π142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B．()f x 为奇函数C．()f x 为周期函数D．()f x 在(0,π)内单调递减题型九：双函数：系数不是1型带系数：系数不为1，类比正弦余弦的带系数形式，提系数平移平移变换：左右或者上下()()()f x f x a ωϕωϕ+⇒++左加右减1.已知函数()f x 的定义域为R ，且112f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数，()1f x -是奇函数，则（）A．()00f =B．102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C．()10f =D．()30f =2.已知函数()21f x +是奇函数，()2f x +是偶函数，当[]2,3x ∈时，()3f x x =-，则下列选项不正确的是（）A．()f x 在区间(2,0)-上单调递减B．()f x 的图象关于直线=1x -对称C．()f x 的最大值是1D．当(1,1)x ∈-时恒有()0f x <3.已知函数()f x 的定义域为R ，()22f x +为偶函数，()1f x +为奇函数，且当[]0,1x ∈时，()f x ax b =+．若()41f =，则35792222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．题型十：双函数：双函数综合常见结论：（1）关于对称：若函数()f x 关于直线x a =轴对称，则()(2)f x f a x =-，若函数()f x 关于点(,)a b 中心对称，则()2(2)f x b f a x =--，反之也成立；（2）关于周期：若()()f x a f x +=-，或1()()f x a f x +=，或1()()f x a f x +=-，可知函数()f x 的周期为2a .1.已知()4y f x =+是定义域为R 的奇函数，()2y g x =-是定义域为R 的偶函数，且()y f x =与()y g x =的图象关于y 轴对称，则（）A．()y f x =是奇函数B．()y g x =是偶函数C．()y f x =关于点()2,0对称D．()y g x =关于直线4x =对称2.已知函数()(),f x g x 都是定义在R 上的函数，()12f x -+是奇函数，()2g x -是偶函数，且()()()23,21f x g x g --=-=，则()20231k f k ==∑（）A．-4052B．-4050C．-1012D．-10103.已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，(1)f x +是奇函数，()g x 是偶函数，()(2)f x g x =-，(2)1g =，则20231()k f k ==∑（）A．2023-B．1-C．1D．20234（多选题）已知函数()(),f x g x 的定义域均为()(),111g x f x ++-=R ，()()121f x g x +-+=，且()y f x =的图像关于直线1x =对称，则以下说法正确的是（）A．()f x 和()g x 均为奇函数B．()(),4x f x f x ∀∈=+R C．()(),2x g x g x ∀∈=+R D．302g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭题型十一：双函数：导数型双函数性质原函数与导函数奇偶性的关系如下：原函数为奇函数，则其导数为偶函数。
田忌赛马问题抽象为对策模型
= ������ ∈ ������ ������������ ≥ 0,1 ≤ ������ ≤ 6,
������ =1 6
6
������������ = 1
∗ ������2
= ������ ∈ ������ ������������ ≥ 0,1 ≤ ������ ≤ 6,
������ =1
没有一行均为正数，也没有一行全为负数， 可以知道无论田忌选取哪种策略均无必胜，而齐王也同样没有必胜的策略。
������ −������ −������ −������ −������ −������
−������ −������ −������ ������ −������ −������
−������ −������ ������ −������ −������ −������
策略集：������1 = ������1 , ������2 , ������3 , ������4 , ������5 , ������6 ；������2 = ������1 , ������2 , ������3 , ������4 , ������5 , ������6 记
6 6
E ������, ������ = ������ ������������ =
������ =6 ������ =6
������
������������������ ������������ ������������
2、 从田忌的赢得矩阵 −3 −1 A = −1 −1 1 −1 −1 −3 −1 −1 −1 1 −1 1 −3 −1 −1 −1 1 −1 −1 −3 −1 −1 −1 −1 −1 1 −3 −1 −1 −1 1 −1 −1 −3
对于抽象、推理、模型的理解
对于抽象、推理、模型的理解数学思想方法是数学的灵魂。
你所学的数学知识、数学技能、所积累的数学基本活动经验都可能随着你的年龄的增大，视野的扩大，而渐渐的被遗忘，但你所学习的数学思想方法及由其产生的思维方式则会越久越香！影响你生活方式、思维方式。
这也是数学教育的价值之一。
判定基本思想的有两个原则：一是：什么东西对数学的发展起了关键性作用，并且在数学发展中，自始至终发挥着不可替代的作用？（数学思想的基本作用）。
二是：什么东西是学数学和不学数学差异，学了数学就能有，不学数学，就有所缺憾。
依据这两个原则新课程标准提出了三个基本思想：抽象、推理、模型。
诚然，这三个思想是数学中最为核心的思想。
抽象：是从众多的事物中抽取出共同的、本质性的特征，而舍弃其非本质的特征。
其本质是弃繁从简、弃芜存菁、弃非本质就本质。
推理：首先推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活当中，经常使用的一种思维方式。
推理一般包括合情推理和演绎推理。
演绎推理是从已知的事实出发，按照一些确定的规则，然后进行逻辑的推理，进行证明和计算。
从思维形式的角度，是从一般到特殊的过程；合情推理是从已有的事实出发，凭着经验、直觉，通过归纳和类比来进行推断，来获得一些可能性结论这样一种思维方式。
是从特殊到一般的过程。
模型：模型思想的建立使学生体会和理解数学与外物世界联系的基本途径。
建立和求解模型的过程包括，从现实生活或具体情境中，抽象出数学问题，用数学符号，建立方程、不等式、函数等数学模型的数量关系和变化规律，然后求出结果，并讨论结果的意义。
一、数学思想促使数学本身的产生、发展和应用。
回观数学的产生、发展与应用，我们不难发现数学思想方法起到了不可代替的作用，正是数学思想促使数学本身的产生、发展和应用：①通过“抽象”产生数学：我们常说数学来源于生活，，那么来源了，正是抽象的作用。
②通过“推理”发展数学：抽象出来的数学与原有的数学一起，通过推理（合情推理和演绎推理）发展了数学。
著名的抽象计算机模型——图灵机
著名的抽象计算机模型——图灵机人类盼望用机器进行计算由来已久。
最早的自动计算机可追溯到1833年由英国数学家查尔斯·拜贝吉（CharlesBabbage）建造的分析机，它依据事先打在卡片上的指令进行操作。
它是首台通用的计算机。
现在，这台计算机被存放在伦敦科学博物馆。
但是，现代计算机的历史应从1936年算起。
那年，英国著名数学家图灵设计出抽象计算机模型——图灵机，而任何实用的现代计算机性能只是图灵机性能的等价集，或者子集。
为此，它被认为是现代计算科学之父。
艾伦·图灵（Alan Turing），1912年6月23日生于英国伦敦西部帕丁顿住宅区一个中上层的家庭里。
父亲在民间服务机构工作，经常来往于英国与印度之间。
幼小的艾伦·图灵被托付给他父亲的一位朋友。
很小的时候，图灵就显露出不同常人的天分。
他仅用了三个星期，自己学会了阅读。
他还表示出对数学难题的热衷。
六岁那年进小学，女校长马上发现了他的聪明才智，为了怕他“吃”不饱，经常将后面的课程提前教给他。
1926年，他进入中学。
开学那天，正赶上英国举行大罢工，公共交通身骑自行车，飞速穿行60英里（近100公里）赶往学校，夜间留宿中途的小饭店，最后没有误了第一天的课。
这件事在当地报纸上报道后引起轰动。
图灵的爱好是瘫痪。
年仅14岁的图灵提前一天只数学和科学，而这所开办于十六世纪的著名1931年，图灵进入剑桥大学国士学位。
1935年，凭借他在国王解决难题中的应用（OnComp 。
这纸带被分成一个个小方格，每个小方格记录单学校，其传统是文学和艺术。
校长给他父亲写信，认为图灵独自追求科学，有违学校育人的初衷，实在是浪费时间。
但是，图灵不管这些，继续在自己喜爱的学科领域中不断展示才华。
1927年，他根本没有学习过微积分的基础知识，但是硬是将十分复杂的难题解决了。
1928年，图灵年仅16岁，开始接触爱因斯坦的高深理论。
他不但掌握了这些理论，而且用爱因斯坦理论审视教科书中没有阐述清楚的牛顿运动法则。
抽象基本模型 力求触类旁通——以与“半角模型”相关的几何问题解决为例
在九年级中考复习阶段，很多学生依然对几何压轴题存在畏难情绪，面对复杂的图形、多变的条件常常手足无措.笔者认为，其主要原因是学生在几何证明内容的问题解决活动中缺乏主动概括与反思的能力，无法有效搭建起图形、条件和结论之间的桥梁.《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）中指出，数学活动经验的累积是提高学生数学素养的重要标志.因此，在日常教学中，教师要引导学生尝试挖掘图形中隐含的信息，识别常见的基本图形，进而建立问题解决的基本模型，从而培养学生化繁为简、化难为易的转化思想，力求触类旁通.实际上，学生识图、研图和解图的过程不仅是知识技能的学习过程，更是一个融入观察、阅读、思考，体现直观想象和逻辑推理能力的过程.现以对一道中考模拟试卷的几何压轴题的分析、解答与变式设计为例进行说明.一、题目呈现题目如图1，在四边形ABCD 中，AB =AD =4，CB =CD =3，∠ABC =∠ADC =90°，点M ，N 是边AB ，AD 上的动点，且∠MCN =12∠BCD ，CM ，CN 与对角线BD 分别交于点P ，Q.（1）求sin∠MCN 的值；（2）当DN =DC 时，求∠CNM 的度数；（3）试问：在点M ，N 的运动过程中，线段比PQ MN的值是否发生变化？如果不变，试求出这个值；如果变化，试至少给出两个可能的值，并说明点N 的相应位置.图1CB MDNAQP二、题目解析1.借助“倍半关系”，进行角的转化题目第（1）小题是“求sin∠MCN 的值”，由于点M ，N 为动点，△MCN 的三边长度都是未知的，故而作垂线解三角形的方法难以实现求解.因此，联想将∠MCN进行角的转化.根据已知条件∠MCN =12∠BCD ，将问题转化成构造∠BCD 的半角.结合图形分析，根据△ABD与△BCD 都是等腰三角形，连接AC 后，AC 垂直平分BD ，利用等腰三角形的“三线合一”性质，将∠MCN 转化收稿日期：2021-02-25作者简介：万妍青（1991—），女，中学一级教师，主要从事初中数学微专题复习教学与数学阅读理解研究.抽象基本模型力求触类旁通——以与“半角模型”相关的几何问题解决为例万妍青（上海市虎林中学）摘要：在日常教学中，教师要善于引导学生解决复杂的几何问题，加强学生对基本图形变化本质的理解，注重培养学生的逻辑推理和直观想象能力，使学生能从同类型问题中总结出基本模型并加以运用.文章以与“半角模型”相关的几何问题解决为例，抓住同类型问题的本质特点，变式探究，并加以归纳推广，力求触类旁通.关键词：半角模型；触类旁通；解题分析··50为∠BCA，即此小题的最终目的是“求sin∠BCA的值”.解：如图2，连接AC，交BD于点O.因为AB=AD，所以点A在线段BD的垂直平分线上.同理，点C也在线段BD的垂直平分线上.所以AC垂直平分线段BD.所以BO=OD.因为BC=CD，所以∠BCA=12∠BCD.因为∠MCN=12∠BCD，所以∠MCN=∠BCA.因为BC=3，AB=4，∠ABC=90°，在Rt△ABC中，利用勾股定理，求得AC=5.所以sin∠MCN=sin∠BCA=45.图2CBMDNAQP O2.构造全等三角形，进行再次转化和第（1）小题的求解相似，在第（2）小题的求解过程中，由于无法直接求出∠CNM的值，因此需要构造与△MCN全等的三角形，继而将∠CNM进行转化.构造全等三角形的关键在于BC=CD.如图3，将△BCM旋转至△DCG的位置，构造△MCN≌△GCN，即将∠CNM转化为∠CND.除了旋转△BCM外，也可以旋转△CDN，同样可以达到目的.图3CBMDNAQPG解：如图3，延长AD至点G，使DG=BM，连接CG.因为∠CBM=∠CDG=90°，CB=CD，所以△BCM≌△DCG.所以∠BCM=∠DCG，CG=CM.因为∠BCM+∠NCD=∠MCN，所以∠DCG+∠NCD=∠MCN，即∠MCN=∠NCG.因为NC=NC，CG=CM，所以△NCM≌△NCG.所以∠CNM=∠CND.因为DN=CD，∠ADC=90°，所以∠CND=45°.所以∠CNM=45°.3.沿用解题思路，巧借相似转化题目第（3）小题要求PQMN的值，由于点P，Q，M，N都是动点，因此直接求PQ，MN的长度或用字母表示其长度的方法均不可行.因此，此小题的解题落脚点就在于证明△CPQ∽△CNM，然后将PQMN的值进行转化.结合第（1）（2）小题所作的辅助线，如图4，延长AD至点G，使DG=BM，连接CG，AC，得到了“斜X型”相似，即△PCQ∽△NDQ，从而得到△CPQ∽△CNM.从而得到旋转相似型基本图形△BCP∽△ACN，利用相似三角形对应线段成比例，最终将PQMN转化为BCAC.图4CBMDNAQPG解：如图4，延长AD至点G，使DG=BM，连接CG，AC.因为∠MCN=12∠BCD，∠BCD=180°-2∠BDC.所以∠MCN=90°-∠BDC.因为∠NDQ=90°-∠BDC.所以∠MCN=∠NDQ.易证得△CPQ∽△DNQ.所以∠CPQ=∠DNQ.由已知可证得∠MNC=∠DNQ，所以∠CPQ=∠MNC.易证得△CPQ∽△CNM.··51所以PQNM=CPCN.易证得∠BCM=∠ACN，∠CBD=∠CAD.所以△BCP∽△ACN.所以CPCN =BCAC=35.所以PQMN =35.回顾题目中的3道小题，问题的解决路径都是紧紧围绕着∠MCN=12∠BCD这一已知条件，解题的难点在于利用角的倍半关系搭建已知（半角）和未知（角或线段的转化）之间的桥梁，借助图形的旋转构造全等三角形，继而再分析后构造图形中线段和角的数量关系，再以全等和相似为工具，助力问题解决.三、变式探究变式探究是促进学生深度学习、提升学生数学学科核心素养的有效方式.通过对原题目进行变式探究，抓住其中的“变与不变”，即改变题目的外在形式或图形特征，沿用同样的思路和路径解决同类问题.可以进一步挖掘图形的本质特征，帮助学生体验基本模型对解决同类型问题的重要作用.1.原题背景下的变式探究变式1：题干同题目.（1）试探索线段BM，DN和MN之间的数量关系；（2）在点M，N的运动过程中，设BM的长度为x，AN的长度为y，求y关于x的函数关系式.分析：（1）由原题目第（2）小题证明的两组全等三角形即可确定线段BM，DN和MN之间的数量关系；（2）直接用勾股定理或由原题目第（3）小题得到的相似三角形探索y关于x的函数关系式有些困难，尝试借助面积法解决问题.解：（1）如图5，延长AD至点G，使DG=BM，连接CG.由原题目第（2）小题的证明过程，可知△BCM≌△DCG，△NCM≌△NCG.所以BM=DG，MN=GN.因为GN=GD+DN=BM+DN，所以MN=BM+DN.图6CBMDNAQPGEFO图5CBMDNAQPG（2）如图6，延长AD至点G，使DG=BM，连接CG，AC，AC与BD相交于点O，过点B，M分别作边AD 的垂线，交边AD于点F，E.易证得S△CMN=S△BCM+S△CND=S△CNG=12NG⋅CD=32·(4-)y+x.所以S△AMN=S ABCD-2S△CNG=12-3()4-y+x=3y-3x.在Rt△ABC中，由射影定理，得BO=125.进一步可得AO=165，BD=245.在Rt△ABD中，利用等积法，得BF=9625.在Rt△ABF中，由ME∥BF，得MEBF=AMAB.所以ME=2425()4-x.所以S△AMN=1225y()4-x，即1225y()4-x=3y-3x.化简，得y=25x9+4x.2.正方形背景下的变式探究变式2：如图7，在正方形ABCD中，点E和点F分别在边AD，CD上，∠EBF=45°，连接EF，AC，线段AC分别交BE，BF于点M，N，试探究线段AM，MN，CN之间的数量关系.分析：利用∠EBF=12∠ABC，通过构造与△BAM 或△BCN全等的三角形，进行线段之间的转化.解：如图8，把△BAM绕点B逆时针旋转90°得△BCP，连接PN.易得△BAM≌△BCP.所以AM=CP，BM=BP，∠ABM=∠CBP.AEDBNCFM图7··52进而易证得△BMN ≌△BPN.所以MN =PN.由此将共线的AM ，MN ，CN 转化至△NCP 中.易证得△NCP 为直角三角形.所以CN 2+CP 2=NP 2，即CN 2+AM 2=MN 2.A EDBNCF M图8P 3.直角三角形背景下的变式探究变式3：如图9，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，点D ，E 在边AB 上，∠DCE =45°，过点A 作AB 的垂线交CE 的延长线于点M ，连接MD.过点M 作射线CD 的垂线，垂足为点F .设BD BC =x ，tan ∠FMD =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域.BCA D MEF图9分析：此题虽然可以通过解三角形或者构造相似三角形来求解，但计算过程比较烦琐.如图10，过点C作CG ⊥AB 于点G ，延长MA 至点I ，使AI =BD ，连接CI ，通过利用∠DCE =12∠ACB 构造与△BDC 全等的三角形，分析图形，利用全等三角形对应角相等的性质，得到∠FMD =∠GCD ，继而达到转化角的目的.BCA D MEFIG图10解：如图10，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，延长MA 至点I ，使AI =BD ，连接CI.易证得△BDC ≌△AIC ，△CMD ≌△CMI.所以∠I =∠MDC =∠BDC.所以∠MDF =∠BDF.因为∠GDC =∠BDF ，所以∠GDC =∠MDF.所以∠FMD =∠GCD .设BC =AC =k ，则BD =xk.易证得BG =CG =.所以DG =èöø÷xk .由DG >0，可知0<x <所以tan∠FMD =tan∠DCG =DG CG =1-2x ，即y =1-2x æèç0<x .变式4：如图11，在Rt△ABC 中，AC =3，BC =4，D ，E 为斜边AB 上的两点（点D 在点E 右侧），满足∠DCE =45°.设AD =x ，BE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域.图11CABE D分析：因为BC ≠AC ，所以旋转△ACD 或△BCE 构造全等三角形的方法就行不通了.根据∠DCE =45°，如图12，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，通过旋转EH 和DH ，构造含45°角的“一线三等角”基本图形，继而根据两组相似三角形构建比例线段，建立函数关系.图12C QABEH D P 解：如图12，过点C 作CH ⊥AB 于点H.在Rt△ABC 中，利用射影定理，得CH =125.··53进而求得BH =165，AH =95.所以DH =95-x ，EH =165-y .以点H 为旋转中心，将HD 逆时针旋转90°得HP ，将HE 顺时针旋转90°得HQ.所以PD =2DH ，QE =2EH.易证得△CDP ∽△ECQ .所以PD QC =PC QE.代入整理，得y =28x -605x -21æèöø0≤x ≤157.将原题目引申得到了4道变式探究题，这4道变式题改变了结论和背景图形，保留了原题目的主要条件——半角及一组相等线段，沿用了原题目的解题路径，利用旋转构造全等三角形（变式4利用旋转构造相似三角形）进行线段或角的转化，渗透了转化思想.变式1基于原题目的背景进行变式，解题背景由原题目中“角之间的数量关系”转变为“线段之间的数量关系”，还融入了“A 型”基本图形，以及等积法、勾股定理等基本方法.变式2和变式3分别将原题目的背景图形变为正方形和等腰直角三角形，解题过程中再次综合运用了相似三角形、锐角三角函数、勾股定理等知识，起到了巩固提升的作用.变式4进一步改变背景条件，去掉一组相等线段，由此通过“利用旋转构造相似三角形”、比例线段间的数量关系及“一线三等角”基本图形解决问题.这4道变式题虽然在图形背景上有所差别，但是在主体条件和解决路径上可谓“同根同源”，也体现了将“复杂图形拆分成若干个基本图形”的化繁为简的思想.这样的变式有助于促进学生的深度学习，让学生学会类比迁移，也能够帮助学生从同类型题目中抽象出基本模型，进而达到“授之以渔”的教学目标.四、追根溯源上述问题的解决都是围绕着“半角”这一主线展开的.通过构造全等三角形或相似三角形，达到转化角或线段的目的，从而助力问题的解决.在沪教版《九年义务教育课本·数学》（以下统称“教材”）中，与“半角模型”相关的内容出现在八年级第二学期“22.3特殊的平行四边形”中的例题3：如图13，菱形ABCD 中，∠B =60°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且∠EAF =60°，求证：AE =AF.图13BECFDA其解题思路如下.如图14，连接AC.利用∠EAF =12∠BAD =60°，及△ABC 为等边三角形，易证得△ABE ≌△ACF （或△ACE ≌△ADF ），从而得到AE =AF.图14BECFDA后续问题的引申和变式都是以教材中的例题为基础，将解题背景由“菱形”变为“正方形”或“三角形”；将三角形的旋转由“形内”拓展到“形外”；将解题路径由“三角形的全等”变为“二次全等，利用性质”或“构造相似，利用比例线段”，其中都蕴涵了转化思想.若将“半角”问题一般化，则可以得到“半角模型”的一般形式.如图15，在四边形ABCD 中，如果满足AB =AD ，∠B +∠D =180°，点E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD ，这样的图形我们将其称为“半角模型”.图15BE AFD C“半角模型”的建立源于广泛的联想（即转化的前提），即通过转化思想（将三角形进行旋转）达到优化图形结构、整合图形信息的目的.由此，遇到类似图15的图形时，应能快速联想到利用“半角模型”解决问题.··54五、教学建议1.理清解题步骤，培养识图、解图能力波利亚在《数学的发现——对解题的理解、研究和讲授》中表示，解题是一种本领，就像游泳、滑雪、弹钢琴一样，只有靠模仿和实践才能学到它.在日常教学中，首先，教师要给予学生充足的读题时间，让学生挖掘题干（图形）中显性和隐性的信息，明确解题目标；其次，要让学生探索条件和结论之间的逻辑关系，以及解决问题所需的基本方法，由因导果，循序渐进；最后，让学生进行有条理、有层次、有系统的解答.只有让学生经历发现、探索、总结的过程，才能帮助学生建立数感和图感，积累解题经验；只有让学生经历识题、解题的过程，才能让学生体会数学知识的转化过程，感悟运用数学知识形成解题方法的过程，进而在问题解决时信手拈来、水到渠成.2.关注基本图形，培养抽象、概括能力虽然题目中呈现的图形是静态的，但是学生的思维却是动态的.因此，如何帮助学生搭建静态和动态之间的桥梁是极为重要的.几何压轴题的图形虽然复杂，但若能分解出其中的基本图形，并抽象成基本模型，再利用通性、通法加以分析，那么再复杂的问题也将迎刃而解.基本图形主要有两个来源：一是经典图形，即教材中的定义、公理、定理及推论等所对应的图形，题目和变式中所应用的主要就是旋转、全等三角形和相似三角形的相关性质；二是常用图形，即在练习中发现并总结概括出的模型，这些模型具有一定的特征，这些特征通常是解决问题的关键所在，它可以对解题起到化繁为简的作用.如图15所示的“半角模型”就是在练习中所总结出的模型.想要在短时间内从复杂的图形中分解出基本图形，并找到恰当的解题方法，则要依靠学生日常的相关训练和点滴积累，以及教师对学生抽象、概括能力的培养.3.注重变式探究，培养推理、想象能力“半角模型”的建立源于一系列的变式探究，这体现了学生对知识的理解和迁移能力，也体现了将未知化为已知的转化思想.所有这些对数学思想能力的考查都自然地融合在层层推进的题设之中.除此以外，还需要加强学生多题一解的能力，以此开阔思路、发散思维，使学生学会多角度分析、解决和总结问题.《标准》中指出，数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括.因此，在日常教学中，教师要关注数学问题的本质内涵，在讲解完综合性题目后多提问学生.例如，此题中蕴涵着哪些基本图形（模型），解题过程中运用了哪些基本方法？同类型的问题还可以怎样解？这些基本图形（模型）、基本方法是否都可行？可以推导出更一般的通式、通法吗？等等.以此引领学生进行类比迁移和深度思考.长此以往，必然能提升学生分析和解决问题的能力，进而提升学生的思维品质，使学生达到“会一题，通一类”的境界.参考文献：［1］万妍青.巧构基本图形，助力问题解决：以2020年上海中考25题第（3）小题为例［J］.数学教学通讯（中旬），2020（12）：12-15.［2］张宁.突破形变干扰，构建基本模型：2017年浙江省杭州市中考数学第10题的解法、变式探究及改进［J］.中学数学（初中版），2018（3）：68-71.［3］沈岳夫.抓住“半角”模型巧用旋转突破［J］.数学教学，2017（7）：41-44.［4］刘华为.基于目标分析探求以题会类：以因动点产生的函数问题为例［J］.上海中学数学，2018（9）：20-22，45.··55。
抽象函数模型
2021/3/10
4
模型四(对数函数型)：f(xy)=f(x)+f(y)或 f(x÷y)=f(x)-f(y)
例4、已知函数f(x)定义域为(0,+∞)且单调递增， 满足f(4)=1，f(xy)=f(x)+f(y)
2021/3/10
2
模型二(一次函数型):f(x+y)=f(x)+f(y)-c
例2、已知函数f（x）对任意x,y都满足条件 f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时， f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式f(a²-2a-2)<3 的解集
2021/3/10
3
模型三(指数函数型)：f(x+y)=f(x)f(y)或 f(x-y)=f(x)÷f(y)
（1）判断f（x）的奇偶性； （2）判断f（x）在［0，＋∞）上的单调性，
并给出证明
(3)若a>0,且f(a+1)≤ 3 9,求a的取值范围
2021/3/10
6
（1）证明：f(1)=0；(2)求f(16)； （3）若f(x)+f (x-3)≤1，求x的范围；
（4）试证f(xⁿ)=nf(x)（n∈N）
2021/3/10
5
模型五(幂函数型)：f(xy)=f(x)f(y)或 f(x÷y)=f(x)÷f(y)
例5、已知函数f（x）对任意实数x、y都有f （xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27） ＝9，当0≤x<1时，f(x)∈[0,1）
系统分析阶段的主要成果
系统分析阶段的主要成果系统分析是系统工程的重要组成部分，是独立的一个阶段。
这是一个从应用需求到系统解决方案的框架，主要用于分析系统问题，确定系统规范。
它是一个完善系统工程流程和组织架构的步骤。
系统分析阶段的主要成果包括：首先是抽象模型。
抽象模型是一种辅助系统分析和设计系统的抽象视图。
它使用图形化或数学模型可以让系统分析者更好地理解系统的结构，逻辑，流程和逻辑控制。
从全局角度来看，抽象模型会提供一个基准模型，以便验证系统设计的有效性。
其次是设计规约文档。
设计规约文档是一份详细的文档，它用于描述系统中特定部件的功能，接口和性能等参数，以实现系统的统一规范。
它还可以作为系统维护和开发的参考文档，可以指出特定活动的步骤、行为和数据量，以及系统结构和设计体系结构的规范输入规范输出模型的概念。
第三是系统概要设计文档。
系统概要设计文档是系统分析后的详细文档，它描述了系统最初的解决方案，帮助发现问题和确定系统规格。
这些文档通常涵盖系统的需求，构架，架构，策略，组件，构件和接口的总体概况，以及系统如何有效运行的概念。
最后是标准文档。
系统分析后，应形成一系列规范，来规范系统的开发和运行。
这些规范中涵盖了系统开发，维护和测试的要求，以及安全和风险管理等问题，可以为系统设计和开发提供明确的指导和支持。
从本质上讲，系统分析阶段的主要成果是抽象模型，设计规约文档，系统概要设计文档和标准文档。
它们的结果即更加明确的系统规范，这些规范会提供给系统设计师和开发者，指导和帮助他们更好地实施系统。
因此，系统分析阶段的主要成果是设计系统的有效指导方针，为系统的可靠运行和维护提供重要的支持。