小样本 的差异显著性检验

下面我们以实例来说明成组数据的比较
A、B 两厂生产某同类药物，现作 24 小时血液内残 留量检测，得如下数据，试分析哪一厂家的该类 药物的残留量大
A厂：49.3 48.1 49.8 51.2 50.0 50.7 49.9 48.5 50.4 51.6
B厂：48.3 49.7 48.2 48.8 47.3 47.7 50.4 49.2
显然，这两个厂家的药物是相互独立的，试验所用 动物也是独立的；样本较小
因此应使用成组数据的 t-test 进行分析 （同学们先行分析）
先做预备计算，将两个样本的平均值、方差等计算
出来：n1 10 x1 49.95
n 2 8 x2 48.70
s12 1.225 s22 1.074
sx1x2 1.1591108 10.51
2
2
x12
x1 n1
x22
x2 n2
11
n11n21
n1 n2
或：
s x1x2
n11s1 2n21s2 2 n11n21
11
n1 n2
t 公式中分母两样本差的标准误也可以这样写：
s x1x2
s2
1 n1
1 n2
其中：
s2
x12
2
x1 n1
x2 2
2
x2 n2
n1n22
在这种检验中，我们求 t 值时用的是合并均方，合 并均方只有在两总体方差（我们一般用样本均方 估计总体方差）相同，即两方差差异不显著的情 况下才能得到
这里我们总假定两个均方差异不显著，但如果两方 差差异显著，就不能合并，两均方是否相等，必 须用下一章的 F-test 进行检验才能知道
当两均方不等（称为方差不齐）时，用以下方法计
下面我们以实际例子来说明配对数据的差异性检验
研究V A 和V E 的关系，挑选体况基本相似的一对全同 胞小鼠，其中任意一只放入Ⅰ组，另一只放入Ⅱ 组，共挑选了8 对，分成了两组。一组饲喂正常 饲料，另一组饲喂缺乏 V E 的饲料。试验结束后检 测小鼠肝脏中 V A 的含量，得如下数据：
当两样本量相等时：n1 n2 n
则： sx1x2
n1 s12s2 2 nn1
s12s2 2 n
在小样本时，两样本平均数差的标准化
x1x212 是服从 t 分布的
sx1x2
因此： tx1x212
sx1x2
由于我们在之前的无效假设是：H0 :1 2 （备择假设是： HA:12 ） 因此这一式子可以简化为：t x1 x 2
x 40.239
t
4.71
sx 0.255
查附表4：t 分布表，得知：自由度为 df = 24 - 1 =
23 时的
t0.05,23 2.069 t0.01,23 2.807
本例中所得 t4 .7 1t0 .0 5,2 32 .0 6 9 所得 t 值的概率 p 0.05 因此，应否定无效假设，
下面我们用例子来说明这一类型的 t-test
例：猪的正常肛温为 39℃，今有一个猪场报告，怀 疑其猪群可能是发病了，某兽医在该场内随机抽 测了 24 头猪的体温，得到这 24 头猪的平均肛温
为 x = 40.2 ℃，标准差为 s = 1.25 ℃，试问该猪
场的猪犯病了吗？
该例仅有总体平均值 = 39 ℃，而无总体方差，且
设立无效假设： H0:12 v s HA:12
计算 t 值，并作比较： t4 9 .9 54 8 .7 01 .2 52 .4 5
t2.45t0.05,162.120
0 .5 1 0 .5 1
所得 t 值出现的概率 p 0.05
因此，否定无效假设，接受备择假设
即：A、B 两厂生产的该类药物的 24h 血液残留量 差异显著（下面应针对这一现象作出专业解释）
注意：对子内的两个个体应尽可能一样，但对子之 间应有较大的差异
2、选取若干个动物，每一个动物在试验前测定一 次，试验后测定一次，这样的两次记录就是配对 数据，如同一个人吃早饭前后各测一次血糖值， 这同一个人的两次血糖值就是一对数据，若干个 人就有若干个数据对
3、同一个体的不同部位可以配成一对，如一个兔 子的左右体侧，就可以配成一对，若干个兔子的 不同体表就是若干对
在第四章讨论 t- 分布时，我们已经知道，总体方差
未知、且样本较小时，可以用 s 2 代替 2 ，其统计
量 x 就不再服从标准正态分布，而是服从 t-
sx
分布：t x
sx
（请回忆一下 t- 分布曲线及其特点）
t- 分布曲线受自由度制约，不同自由度下的 t- 分布 曲线其形状是不同的，因此不同自由度下算得的 t- 值落在某一范围内的概率值也随自由度的不同 而不同
布计算实得差异由抽样误差造成的概率，所以称 u-test u- 检验（u-test）的方法和步骤见前一章内容 （请逐一回忆一下检验公式和检验步骤）
二、总体方差未知时单个样本平均数的假设 检验
（一）当总体方差未知、而样本较大时，可以使用 u- 分布计算实得差异由抽样误差造成的概率
因此，其检验还是 u-test
一定要注意其中的任意一组作处理，一组作对照， 而不能事先规定哪一组做处理，哪一组作对照
试验过程中注意记录资料，结束以后整理资料并进 行统计分析
这样得到的资料称为成组数据
这样的数据在组间、组内都是独立的
成组数据的 t-test 其公式是：t x1 x 2 s x1 x2
其中：
s x1x2
4、同一个动物的不同试验时期所施加的不同处理 形成一个对子，如一只猪在第一试验期施加 A 处 理，在第二试验期施加 B 处理；或第一试验期施 加处理，第二试验期作对照
凡此种种，都是配对试验，因此配对试验既有空间 上的配对，亦有时间上的配对，配对试验所得到 的数据，就称为配对数据
配对数据的比较方法不同于成组数据的比较方法
本章主要介绍总体方差未知、且样本较小时不同资 料类型的统计推断——差异显著性检验（假设检 验）的具体方法
第一节 单个平均数的假设检验
单个平均数的假设检验是检验一个样本所属的总体 平均数 0 与一个特定（已知）总体平均数 间是 否存在显著差异的一种统计方法，也可理解为检 验一个样本是否来自某一特定（已知）总体的统 计分析方法
接受备择假设
即：该猪群肛温与正常猪肛温差异显著，我们有 95% 以上的把握认为该猪群犯病了
由于所得 t 值远大于 t0.05,23 2.069 因此还应当作进一 步的检验： t4.71t0.01 ,232.807
所得 t 值出现的概率 p 0.01，因此更应该否定无效 假设而接受备择假设
即：该猪群肛温与正常猪肛温差异极显著，我们有 99% 以上的把握认为该猪群犯病了
根据统计假设检验的基本原理可知，假设检验的关 键是根据统计量的分布计算实得差异（即表面效 应）由抽样误差造成的概率
测验的统计量分布服从 u- 分布或 t- 分布，所以单 个平均数的假设检验可分为 u-test 和 t-test 两种
一、总体方差已知时单个平均数的假设检验
当总体方差 2 已知，不管样本多大，均可用 u- 分
首先计算平均数和标准差，得：
x59.35 s0.999
sx
s 0.9990.32 n 10
第一步，设立无效假设
设： H0:60 v s HA:60
t|59.3560|2.03 0.32
查 t 值表，得： t0.05,9 2.262
t2.03t0.05,92.262 即 p 0.05 接受无效假设，即该批次药物的总黄酮含量符合药
s x1 x2
得到成组数据所进行的试验称为完全随机设计法 （仅两个组）
两个组的样本量可以相等，也可以不等，但应尽量 接近
这种两个组是完全独立的试验，如： 一组用药，一组不用药 一组用试验药物，一组用常规药物 一组用试验剂量，一组用常规剂量 一组是引进品种（品系），一组是本地品种，等等 就称为完全随机设计试验 这里，前面的一组称为处理，后一组称为对照
（请回忆一下以上两种 u-test 的共同点和不同点； 公式的不同：哪里不同）
（二）总体方差未知，且样本较小时的单个 样本平均数的假设检验
实际上，在很多情况下，总体方差往往是未知的， 而由于各种条件的限制，试验的样本又不可能很 大，即只能用小样本来作试验，或调查时抽取的 样本较小
因此，总体方差未知、样本较小是试验中最常见的 一种情况
样本量不大（n = 24 < 30），因此符合总体方差 未知、且是小样本的情况，应使用 t-test 来进行 检验
已知： = 39 ℃，样本 x = 40.2 ℃，s = 1.25 ℃
检验步骤如下：
设 H0:39℃ v s HA 39 ℃
计算 s x 和 t 值：
s 1.25
sx
n
0.255 24
s 算 x1 x 2 和 t 值：
t x1 x2 s x1 x2
s x1x2
s12 s22 n1 n2
当n1 n2 n 用 df n1的 t 作判断的临界值
当 n1 n2 时须用 Cochran-cox 法：
首先计算在α水平上显著的临界值 t '
t'
t1
n2s1 2t2 n1s2 2 n2s1 2n1s2 2
其 t-test 的公式为：t
其中： n
di
d i1 n
x1 x2
d sd
sd
d
2
d
n
2
nn 1
而 di x1i x2i
而 n 是对子数，这里的样本量不是 2n，而是 n，因 此自由度不是 2(n-1)，而是 n-1
在对配对资料进行统计分析时，首先要计算每一对 对子内两数据之差，即 d 值，然后对 d 值进行分 析
这种试验可以采用两种方法进行：
第一种方法是两个组的数据是相互独立的：一组是 处理，另一组是对照
第二种方法是两个组的数据是配对的
下面我们先讨论两个组是相互独立的情况 这种统计假设检验的方法称为成组数据的比较 一、成组数据的平均值比较 方法介绍： 在一个总体中，随机地抽取两个样本，在这两个样
本中，被抽取的个体是相互独立的，且基本条件 （如品种、日龄、性别、体况等）都应一致、均 匀，必要时须作适当的调整，尽可能使两个组在 样本量上一致，各组的基本情况一致 随机地指定一组作处理，另一组作对照
式中：t1 是 d f n 1 1 的 t值 ，t2 是 d f n 2 1 的 t值
若 | t | t '就否定 H 0 ，否则，就接受 H 0
由于t ' 处于 t1~t2 之间，因此，只有在实际计 算得到的 | t | 在 t1~t2之间时，才需要计算 t '
附：
两均方是否齐性的判别方法： F
第六章
小样本资料的 差异显著性检验
本章主要介Biblioteka Baidu 小样本时单个均数、两个均数的假设
检验 单个率、两个率间的假设检验 应重点掌握各种情况下的t检验方法 正确区分成组资料和配对资料
在上一章中，我们系统介绍了抽样分布和统计推断 的基本原理和基本方法，即通过随机抽样的方法 获得某一特定总体的随机样本，用这一样本进行 试验，并对试验后所得资料进行分析，通过统计 推断来定性或定量地分析研究总体的特征
再举一例： 药典规定，某药物每 100ml 中应含有 60mg 的总黄
酮，现对某药厂生产的某一批次的这种药进行检 测，得如下数据，试问该批次药物的总黄酮含量 合格吗？
58.3 59.2 58.6 60.6 60.3 59.5 59.1 58.0 61.0 58.9 n = 10
下面我们作统计分析 由于是小样本，且总体方差为未知 因此应使用 t-test 进行分析 （请同学们先自行立题、计算）
典规定 （试想一下，该题可以用一尾检验吗？）
我们有三个公式用于单个样本的统计假设检验：
u x x
u x sx
x t
sx
能说出这三个公式各自的使用场合和它们之间的区 别吗？
第二节 两个样本平均值相比较的 统计假设检验
很多情况下，我们不只是将样本平均数与总体平均 数相比较
而是做一个试验，这个试验中设置两个组，一个组 作试验，施加某种试验条件（即处理 ），另一个 组作对照，试验完了将这两个组的试验数据进行 比较
s
2 大
s
2 小
如果 FF,df1,df2 表示两均方齐性，否则就是不齐
（例题见P 52 该例实际是不需要计算 t ' 的，为什
么？ ）
二、配对数据的平均值比较
方法介绍：
配对数据来自于配对试验，配对试验根据具体试验 情况可以有好多种方法：
1、将两个品种、性别、日龄、体况等一致的动物 （最好是有血缘关系的同胞或半同胞）配成一对， 任意一只进入试验组，另一只进入对照组，配成 若干对，试验中做好记录，这种记录到的数据就 是配对数据