6质点运动学

例 一石子从空中由静止下落。已知 a g ，Bv
式中g为重力加速度，B为常量。
求 石子的速度和运动方程。
解 选向下为x轴正向
（1）a dv g Bv dt
分离变量并两边积分
v
dv
t
dt
0 g - Bv 0
（2）由 v d求x 运动方程 dt
v g (1 eBt ) B
x
t
0 dx 0vdt
dx1 dt
v0
2. 第二类问题
已质知点质的点位运置动r0的和速速度度或v0加）速，度求，质并点附的以运初动始方条程件。（—即—t积=0分时法，
dv adt
v
v0
dv
t adt
t0
dr vdt
r r0
dr
t vdt
t0
注意：矢量积分在具体运算时要化为标量积分。
例 一质点作直线运动，已知其加速度
则有
vx
r u r2 h2
x2 h2 u x
v
x2 h2 ui
x
（船速方向沿x 轴负向）
船靠岸的速率为 船的加速度为
v v
u x
u u cos θ
x2 h2
a
dv
dv
x
i
dt dt
ax
dv x dt
d dt
(
x2 h2 u) u
x
x2
h2 dx x2 h2 dt
u2h2 x3
)tg
45
v
45
15 10 5(m / s)
10m•s-1 15m•s-1 x(东)
O
风速的大小：
v 102 52 11.2(m / s)
风速的方向：
arctg 5 2634
10
为东偏北2634'
知识点
• 质点运动学（速度、加速度、位移、路程 概念分析、圆周运动）；
• 伽利略变换 • 质点的相对运动
x
t g (1 eBt )dt 0B
g B
t
g B2
(1
eBt
)
➢ 讨论：石子下落速度随时间增长按指数规律变化，t →时, v→g/B(常量)，达到最大速度，称为收尾速度或终极速度。
解题思路 1.运动学的第一类问题，用微分法。 ①根据已知条件在选定的坐标系中写出运动方程。 ②用求导数的方法求出速度和加速度。 ③要注意描述质点运动的几个物理量的矢量表示方法，分
y(北)
解：取风为研究对象，
v
骑车人和地面作为两
45
个相对运动的参考系。
作图
O
10m•s-1 15m•s-1 x(东)
根据速度变换公式得到：
v
vAK
v1 AK
v1 KK
v
vAK
v
2
AK
v
2
KK
由图中的几何关系，知：
vx
v1 KK
10(m /
s)
y(北)
vy
(vK2 K
v1 KK
任意时刻速度分量为
y
v x v0 cosq v y v0 sinq gt v0y
积分可得运动方程
v v0
g
θ
x v0 cosq t
y
v0
sinq
t
1 2
gt
2
o
v0 x
x
消去t 得轨迹方程
y
x t anq
2v 0 2
g
cos2 q
x2
由y =0得射程
xm
v02
sin g
2q
由υy=0有 得射高
§1.5 质点运动学的基本问题
主要内容：
1. 运动学第一类问题 2. 运动学第二类问题
1. 第一类问题
已知质点的运动方程，求质点在任意时刻的位置，速 度和加速度。——微分法
r rt
v dr dt
a
dv dt
d 2 r dt 2
只要知道运动方程，就可以确定质点在任意时刻的位置、 速度和加速度。
解
a dv 3 4x
dt
v，t，x 均为变量，作恒等变换
a dv dv dx v dv dt dx dt dx
a v dv 3 4x dx
分离变量 两边积分 质点速度
vdv (3 4x)dx
v
x
0 vdv 0 (3 4x) d x
v 6x 4x2 m s-1
1v2 3x 2x2 2
质点在任意时刻的速度 v 2t t2
t =1s 时的速度
v1 1m s1
(2)由质点的速度求运动方程
v d x 2t t 2 dt
分离变量
d x (2t t2 )dt
v 2t t 2
两边积分
x
dx
t (2t t 2 )d t
0
0
质点的运动方程
x t 2 1t3（m） 3
v
dr
dx
i
dh
j
dt dt dt
dx dt
i
v
xi
u
h r
qC C'
Dx
O
x
h
r
q x
y
任意时刻小船到岸边的距离x 都满足
x r2 h2
vx
dx dt
d dt
r2 h2
r dr r 2 h2 dt
按题意 u 是dr人收绳的速率，因为绳长r 随时间在缩短，故 dt
dr 0 dt
vK vK v 伽利略速度变换
在直角坐标系中写成分量形式
vK x vK x v vK y vK y vK z vK z
vAK vAK vKK
绝对 速度
相对 速度
牵连 速度
3. 加速度变换
设K‘系相对于K系作匀加速直线运动,加速度 a0
沿x方向。
t 0,v v0
K'系 相对 于K系的速度
在t=0时刻坐标原点重
合，对于一个质点A，在
任意时刻两个坐标系中的
质点对应的位置矢量：
z
r
o
o'
z'
P
r
x x'
K'系原点相对K系原点的位矢：
R
r
r
R
y
y'
成立的条件:绝对时空观！
空间绝对性:空间两点距离的
测量与坐标系无关。
OP r
时间绝对性:时间的测量
与坐标系无关。
z
r o o'
R
z'
a 2 2t(m s2 )
初始条件为x0=0, v0=0
求 (1) 质点在第一秒末的速度;(2)运动方程；(3)质点在前三秒内 运动的路程。
解 (1) 求质点在任意时刻的速度
由 分离变量
a dv 2 2t dt
dv (2 2t) d t
v
t
两边积分 0 dv 0 (2 2t) d t
t t
v
P
r
x x'
因此r， 满r足经R典时 空r 观v的t 条件时
t t
y
y'
P点在K系和K'系的空间坐标、
时间坐标的对应关系为：
x x vt
y y z z
r o o'
R
t t
z
z'
伽利略坐标变换式
v
P
r
x x'
vKv2、K. 速vKdd度rt分变别换表d(示rd质t点vrt在) 两rv个K坐R标v 系 中r 的v速t 度 即 vK vK v
从运动方程中消去时间参数t，还可得质点运动的轨迹方程。
例
已知一质点的运动方程为：r
a
cos
2πti
b sin
2πtj
式中a, b均为正常数。
求 质点的加速度。
证 本题属于运动学第一类问题:
v
d
r
2πa
sin
2πti
2πb
cos
2πtj
dt
a
dv
4π2a
cos
2πti
4π2b sin
2πtj
清|Δ r|与Δr，|Δ |与vΔv。
2.运动学的第二类问题，用积分法。
已知 a a(t) 或 a a(x) 或 a a(v)
及初始条件用积分的方法求出速度和运动方程。
无阻力抛体运动 从地面上某点向空中抛出一物体，它在空中的运动称为
抛体运动。抛体运动是一种平面曲线运动。以抛出点为原点 ，取水平方向为x轴，竖直方向y轴。
t v0 sin q g
ym
v02 sin 2 q
2g
➢ 讨论：抛射初速度大小v0一定的情况下，抛射角q = 45o 时， 射程最大，q = 90o 时，射高最大。
抛体在任意时刻的运动方程
v dr dt
r tvdt 0
y
v0t
1 gt2 2
t 0
(v0
gt)dt
v0t
1 2
gt
2
r
v0t
思考
• 1.（1）匀加速运动是否一定是直线运动？ （2）匀速圆周运动是不是匀加速运动？
• 2.质点做匀加速圆周运动时，分析切向加速 度、法向加速度和总加速度的大小、方向 变化情况。
• 1-3 • 1-5
(3) 质点在前三秒内经历的路程
s
3
v dt
3 2t t 2 dt
0
0
令 v =2t-t 2 =0 ，得 t =2
s 2 (2t t 2 )dt 3 (t 2 2t)dt 8 m
0
2
3
例 一质点沿x轴作直线运动，已知其加速度 a 3 4x (ms-2 )
初始条件为x0 = 0, v0 = 0。 求 质点的速度。
1 2
gt
2
o
x
抛体运动可以看作沿初速度方向的匀速直线运动和沿竖直 方向的自由落体运动的叠加 —— 归结为直线运动的叠加。
1.6 运动描述的相对性 伽利略坐标变换
1. 伽利略坐标变换
不同参考系对同一个运动描述的结果不同，其
结果之间是否有某种联系呢？
考虑两个参考系中的
y
y'
v
坐 标 系 K 和 K'(Oxyz 和 O'x'y'z') ， 它 们 相 对 作 匀 速 直线运动。
即
a
axi
u2h2 x3
i
பைடு நூலகம்
(船的加速度方向沿x 轴负向)
例 路灯距地面高度h，身高为l 的人以速度v0 在路上匀速行走。 求 人影头部的移动速度。
解 设v为人影头部的移动速度
v dx2
h
dt
由几何关系 x2 x1 x2
lh
o
(h l)x2 hx1
l x1
x2 x
两边求导 (h l) dx2 h dx1 dt dt v hv0 hl
dt
4π2 (a cos 2πti bsin 2πtj )
4π2r
加速度矢量 a与位矢 方r 向相反，说明加速度恒指向椭圆中
心。
例 在离水面高为h 的岸边，有人用绳子拉小船靠岸，人以不变 的速率u 收绳。
求 当船在离岸距离为x时的速度和加速度。
解 任意时刻船的位矢
r
xi
hj
设船靠岸的速度为 v
v v0 a0t
vK vK v
d vK d vK d v dt dt dt
当aKa0
aK a0 0时,
aK
aK
表明质点的加速度相对于作匀速运动的各个参考系不变。
例1：某人骑摩托车向东前进，其速率为10m•s-1时觉
得有南风，当其速率为15m•s-1时，又觉得有东南风，
试求风速度。