空间向量基础知识和应用
第5节 空间向量及其应用
第5节 空间向量及其应用知识梳理1.空间向量的有关概念(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb .(2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，其中，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底.3.空间向量的数量积(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA→＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是[0，π]，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .(2)两向量的数量积：非零向量a ，b 的数量积a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. 4.空间向量数量积的运算律 (1)结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； (2)交换律：a·b ＝b·a ；(3)分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 5.空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a 的有向线段所在直线与直线l 平行或重合，则称此向量a 为直线l 的方向向量.(2)平面的法向量：直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量.7.空间位置关系的向量表示1.在平面中A ，B ，C 三点共线的充要条件是：OA →＝xOB →＋yOC →(其中x ＋y ＝1)，O为平面内任意一点.2.在空间中P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是：OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x＋y ＋z ＝1)，O 为空间任意一点.3.向量的数量积满足交换律、分配律，即a ·b ＝b ·a ，a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c 成立，但不满足结合律，即(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )不一定成立.4.在利用MN →＝xAB →＋yAC →证明MN ∥平面ABC 时，必须说明M 点或N 点不在平面ABC 内.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( )(2)若直线a 的方向向量和平面α的法向量平行，则a ∥α.( )(3)若{a ，b ，c }是空间的一个基底，则a ，b ，c 中至多有一个零向量.( ) (4)若a ·b <0，则〈a ，b 〉是钝角.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×解析 (1)直线的方向向量不是唯一的，有无数多个；(2)a ⊥α；(3)若a ，b ，c 中有一个是0，则a ，b ，c 共面，不能构成空间一个基底；(4)若〈a ，b 〉＝π，则a ·b <0，故不正确.2.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( ) A.－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C.－12a －12b ＋c D.12a －12b ＋c答案 A解析 由题意，根据向量运算的几何运算法则，BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB→)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c . 3.正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则EF 的长为________. 答案2解析 |EF→|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →) ＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°) ＝2.所以|EF→|＝2，所以EF 的长为 2.4.(多选题)(2021·长沙质检)下列各组向量中，是平行向量的是( ) A.a ＝(1，2，－2)，b ＝(－2，－4，4) B.c ＝(1，0，0)，d ＝(－3，0，0) C.e ＝(2，3，0)，f ＝(0，0，0) D.g ＝(－2，3，5)，h ＝(16，－24，40) 答案 ABC解析 对于A ，有b ＝－2a ，所以a 与b 是平行向量； 对于B ，有d ＝－3c ，所以c 与d 是平行向量； 对于C ，f 是零向量，与e 是平行向量；对于D ，不满足g ＝λh ，所以g 与h 不是平行向量.5.如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( ) A.55 B.53 C.255D.35答案 A解析 不妨令CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2，可得O (0，0，0)，B (0，0，1)，C 1(0，2，0)，A (2，0，0)，B 1(0，2，1)，∴BC 1→＝(0，2，－1)，AB 1→＝(－2，2，1)， ∴cos 〈BC 1→，AB 1→〉＝BC 1→·AB 1→|BC 1→||AB 1→|＝4－15×9＝15＝55＞0.∴BC 1→与AB 1→的夹角即为直线BC 1与直线AB 1的夹角，∴直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为55.6.O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且OP→＝34OA →＋18OB →＋tOC →，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝________. 答案 18解析 因为OP→＝34OA →＋18OB →＋tOC →，且P ，A ，B ，C 四点共面，所以根据空间向量共面的条件可知34＋18＋t ＝1，解得t ＝18.考点一 空间向量的运算及共线、共面定理1.(多选题)(2020·威海调研)如图所示，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且AP ＝3PN ，ON→＝23OM →，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则下列等式成立的是( ) A.OM→＝12b －12c B.AN→＝13b ＋13c －a C.AP→＝14b －14c －34aD.OP→＝14a ＋14b ＋14c 答案 BD解析 对于A ，利用向量的平行四边形法则，OM→＝12OB →＋12OC →＝12b ＋12c ，A 错误；对于B ，利用向量的平行四边形法则和三角形法则，得AN→＝ON →－OA →＝23OM →－OA →＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12OB →＋12OC →－OA →＝13OB →＋13OC →－OA →＝13b ＋13c －a ，B 正确； 对于C ，因为点P 在线段AN 上，且AP ＝3PN ，所以AP→＝34AN →＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫13b ＋13c －a ＝14b ＋14c －34a ，C 错误；对于D ，OP →＝OA →＋AP →＝a ＋14b ＋14c －34a ＝14a ＋14b ＋14c ，D 正确，故选BD. 2.(多选题)(2021·武汉质检)下列说法中正确的是( ) A.|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件 B.若AB→，CD →共线，则AB ∥CD C.A ，B ，C 三点不共线，对空间任意一点O ，若OP→＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面D.若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有P A →＝λPB →＋μPC →(PB →，PC →不共线)，则λ＋μ＝1是A ，B ，C 三点共线的充要条件 答案 CD解析 由|a |－|b |＝|a ＋b |，可得向量a ，b 的方向相反，此时向量a ，b 共线，反之，当向量a ，b 同向时，不能得到|a |－|b |＝|a ＋b |，所以A 不正确； 若AB→，CD →共线，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，所以B 不正确； 由A ，B ，C 三点不共线，对空间任意一点O ，若OP→＝34OA →＋18OB →＋18OC →，因为34＋18＋18＝1，可得P ，A ，B ，C 四点共面，故C 正确；若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有P A →＝λPB →＋μPC →(PB →，PC →不共线)，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得P A →－PC →＝λ(PB →＋CP →)，即CA →＝λCB →，所以A ，B ，C 三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A ，B ，C 三点共线的充要条件，所以D 正确. 3.在空间四边形ABCD 中，若AB→＝(－3，5，2)，CD →＝(－7，－1，－4)，点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点，则EF →的坐标为( )A.(2，3，3)B.(－2，－3，－3)C.(5，－2，1)D.(－5，2，－1)答案 B解析 因为点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点，设O 为坐标原点，所以EF →＝OF →－OE→，OF →＝12(OA →＋OD →)，2所以EF→＝12(OA →＋OD →)－12(OB →＋OC →)＝12(BA →＋CD →) ＝12[(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)] ＝12(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3).4.已知V 为矩形ABCD 所在平面外一点，且VA ＝VB ＝VC ＝VD ，VP→＝13VC →，VM →＝23VB →，VN →＝23VD →.则VA 与平面PMN 的位置关系是________. 答案 平行解析 如图所示，设VA →＝a ，VB →＝b ，VC→＝c ， 则VD→＝a ＋c －b ， 由题意知PM→＝23b －13c ，PN→＝23VD →－13VC →＝23a －23b ＋13c . 因此VA→＝32PM →＋32PN →， ∴VA→，PM →，PN →共面.又∵VA ⊄平面PMN ，∴VA ∥平面PMN .感悟升华 1.(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求.(2)解题时应结合已知和所求观察图形，正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及四边形法则，就近表示所需向量. 2.(1)对空间任一点O ，OP→＝xOA →＋yOB →，若x ＋y ＝1，则点P ，A ，B 共线. (2)证明空间四点P ，M ，A ，B 共面的方法.②对空间任一点O ，OP→＝OM →＋xMA →＋yMB →.考点二 空间向量的数量积及应用【例1】如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点. (1)求证：EG ⊥AB ； (2)求EG 的长；(3)求异面直线AG 和CE 所成角的余弦值. (1)证明 设AB→＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，由题意知EG→＝12(AC →＋AD →－AB →)＝12(b ＋c －a )，所以EG→·AB →＝12(a ·b ＋a ·c －a 2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1×1×12＋1×1×12－1＝0. 故EG→⊥AB →，即EG ⊥AB . (2)解 由(1)知EG→＝－12a ＋12b ＋12c ，|EG→|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a ·b ＋12b ·c －12c ·a ＝12，则|EG →|＝22，即EG 的长为22.(3)解 AG →＝12(AC →＋AD →)＝12b ＋12c ， CE→＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ， cos 〈AG →，CE →〉＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b ＋12a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －b 2＝－1232×32＝－23，由于异面直线所成角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.感悟升华 (1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置.(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角的平面角. (3)可以通过|a |＝a 2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解. 【训练1】如图所示，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1的长； (2)求证：AC 1⊥BD ；(3)求BD 1与AC 夹角的余弦值. (1)解 记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝1＋1＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋12＝6，∴|AC →1|＝6，即AC 1的长为 6.(2)证明 ∵AC 1→＝a ＋b ＋c ，BD →＝b －a ， ∴AC 1→·BD →＝(a ＋b ＋c )·(b －a ) ＝a ·b ＋|b |2＋b ·c －|a |2－a ·b －a ·c ＝b ·c －a ·c＝|b ||c |cos 60°－|a ||c |cos 60°＝0. ∴AC 1→⊥BD →，∴AC 1⊥BD . (3)解 BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3， BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b ) ＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1.∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.∴AC 与BD 1夹角的余弦值为66. 考点三 利用空间向量证明平行、垂直【例2】如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点.证明： (1)BE ⊥DC ； (2)BE ∥平面P AD ； (3)平面PCD ⊥平面P AD .证明 依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B (1，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2).由E 为棱PC 的中点，得E (1，1，1).(1)向量BE →＝(0，1，1)，DC →＝(2，0，0)，故BE →·DC →＝0.所以BE ⊥DC .(2)因为AB ⊥AD ，又P A ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥P A ，P A ∩AD ＝A ，P A ，AD ⊂平面P AD ， 所以AB ⊥平面P AD ，所以向量AB→＝(1，0，0)为平面P AD 的一个法向量，而BE→·AB →＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以BE ⊥AB ， 又BE ⊄平面P AD ， 所以BE ∥平面P AD .(3)由(2)知平面P AD 的法向量AB →＝(1，0，0)，向量PD →＝(0，2，－2)，DC →＝(2，0，0)，设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PD →＝0，n ·DC →＝0，即⎩⎨⎧2y －2z ＝0，2x ＝0，不妨令y ＝1，可得n ＝(0，1，1)为平面PCD 的一个法向量. 且n ·AB→＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以n ⊥AB →. 所以平面P AD ⊥平面PCD .感悟升华 1.利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素).2.向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理，如在(2)中忽略BE ⊄平面P AD 而致误. 【训练2】如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°的角.求证：(1)CM ∥平面P AD ； (2)平面P AB ⊥平面P AD .证明 以C 为坐标原点，CB 为x 轴，CD 为y 轴，CP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz . ∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角， ∴∠PBC ＝30°.∵PC ＝2，∴BC ＝23，PB ＝4，∴D (0，1，0)，B (23，0，0)，A (23，4，0)，P (0，0，2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32，∴DP→＝(0，－1，2)，DA →＝(23，3，0)，CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32. (1)设n ＝(x ，y ，z )为平面P AD 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，即⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0，令y ＝2，得n ＝(－3，2，1).∵n ·CM→＝－3×32＋2×0＋1×32＝0， ∴n ⊥CM→.又CM ⊄平面P AD ，∴CM ∥平面P AD .(2)法一 由(1)知，BA→＝(0，4，0)，PB →＝(23，0，－2)，设平面P AB 的一个法向量m ＝(x 0，y 0，z 0)， 即⎩⎪⎨⎪⎧BA →·m ＝0，PB →·m ＝0，即⎩⎨⎧4y 0＝0，23x 0－2z 0＝0，令x 0＝1，得m ＝(1，0，3)，又∵平面P AD 的一个法向量n ＝(－3，2，1)， ∴m ·n ＝1×(－3)＋0×2＋3×1＝0，∴m ⊥n ， ∴平面P AB ⊥平面P AD .法二 如图，取AP 的中点E ，连接BE ， 则E (3，2，1)，BE →＝(－3，2，1). ∵PB ＝AB ，∴BE ⊥P A .又∵BE→·DA →＝(－3，2，1)·(23，3，0)＝0， ∴BE→⊥DA →，∴BE ⊥DA . 又P A ∩DA ＝A ，P A ，DA ⊂平面P AD ， ∴BE ⊥平面P AD . 又∵BE ⊂平面P AB ， ∴平面P AB ⊥平面P AD .A 级 基础巩固一、选择题1.已知平面α内有一点M (1，－1，2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3，6)，则下列点P 中，在平面α内的是( ) A.P (2，3，3) B.P (－2，0，1) C.P (－4，4，0)D.P (3，－3，4)答案 A解析 逐一验证法，对于选项A ，MP →＝(1，4，1)，∴MP→·n ＝6－12＋6＝0，∴MP →⊥n ， ∴点P 在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内.2.已知a ＝(1，0，1)，b ＝(x ，1，2)，且a ·b ＝3，则向量a 与b 的夹角为( ) A.5π6 B.2π3C.π3D.π6答案 D解析 因为a ·b ＝x ＋2＝3，所以x ＝1， 所以b ＝(1，1，2)， 所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝32×6＝32， 又因为〈a ，b 〉∈[0，π]，所以a 与b 的夹角为π6. 3.在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面；③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c . 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1C.2D.3答案 A解析 a 与b 共线，a ，b 所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a ，b 都共面，故②不正确；三个向量a ，b ，c 中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0.4.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A.a 2B.12a 2C.14a 2D.34a 2答案 C解析 如图，设AB→＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝a ，且a ，b ，c 三向量两两夹角为60°. AE→＝12(a ＋b )，AF →＝12c ， ∴AE →·AF →＝12(a ＋b )·12c＝14(a ·c ＋b ·c )＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2.5.(多选题)(2020·济南调研)已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，则下列四式中正确的有( ) A.AB→－CB →＝AC → B.AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→ C.AA′→＝CC ′→ D.AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→ 答案 ABC解析 如图，作出平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，可得AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，则A 正确；AB →＋B ′C ′→＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→，则B 正确； C 显然正确；AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AB→＋BC →＝AC →，则D 不正确.综上，正确的有ABC.6.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A.斜交 B.平行C.垂直D.MN 在平面BB 1C 1C 内答案 B解析 建立如图所示的空间直角坐标系，由于A 1M ＝AN ＝2a 3， 则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2a 3，a 3，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，2a 3，a ，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，0，2a 3. 又C 1D 1⊥平面BB 1C 1C ，所以C 1D 1→＝(0，a ，0)为平面BB 1C 1C 的一个法向量. 因为MN →·C 1D 1→＝0，所以MN →⊥C 1D 1→，又MN ⊄平面BB 1C 1C ， 所以MN ∥平面BB 1C 1C . 二、填空题7.已知平面α内的三点A (0，0，1)，B (0，1，0)，C (1，0，0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________. 答案 α∥β解析 设平面α的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 由m ·AB→＝0，得x ·0＋y －z ＝0⇒y ＝z ， 由m ·AC→＝0，得x －z ＝0⇒x ＝z ，取x ＝1，∴m ＝(1，1，1)，m ＝－n ，∴m ∥n ，∴α∥β.8.在空间直角坐标系O －xyz 中，已知点A (1，0，2)，B (0，2，1)，点C ，D 分别在x 轴，y 轴上，且AD ⊥BC ，那么|CD →|的最小值是________.答案255解析 设C (x ，0，0)，D (0，y ，0)， 因为A (1，0，2)，B (0，2，1)，所以AD→＝(－1，y ，－2)，BC →＝(x ，－2，－1). 因为AD ⊥BC ，所以AD →·BC →＝－x －2y ＋2＝0，即x ＋2y ＝2.因为CD→＝(－x ，y ，0)， 所以|CD →|＝x 2＋y 2＝（2－2y ）2＋y 2 ＝5y 2－8y ＋4＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫y －452＋45≥255. 9.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP→＝(－1，2，－1).对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的序号是________.答案 ①②③解析 ∵AB→·AP →＝0，AD →·AP →＝0，∴AB ⊥AP ，AD ⊥AP ，则①②正确； 又AB ∩AD ＝A ，∴AP ⊥平面ABCD ， ∴AP→是平面ABCD 的法向量，则③正确； ∵BD→＝AD →－AB →＝(2，3，4)，AP →＝(－1，2，－1)， ∴BD →与AP →不平行，故④错误. 三、解答题10.如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点.(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面P AD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB .(1)证明 如图，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则D (0，0，0)，A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)， C (0，a ，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0， P (0，0，a )，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2.EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，a 2，DC →＝(0，a ，0).因为EF→·DC →＝0，所以EF →⊥DC →，即EF ⊥CD . (2)解 设G (x ，0，z )，则FG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2， 若使GF ⊥平面PCB ，则需FG→·CB →＝0，且FG →·CP →＝0，由FG→·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(a ，0，0)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2＝0，得x ＝a 2； 由FG →·CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a )＝a 22＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫z －a 2＝0，得z ＝0.所以G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，即G 为AD 的中点.11.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，过点E 作EF ⊥PB 于点F .求证： (1)P A ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD .证明 以D 为坐标原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz . 设DC ＝a .(1)连接AC 交BD 于点G ，连接EG .依题意得A (a ，0，0)，P (0，0，a )，C (0，a ，0)， E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2.因为底面ABCD 是正方形，所以G 为AC 的中点， 故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，0，所以P A →＝(a ，0，－a )，EG→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，－a 2， 则P A →＝2EG→，故P A ∥EG .而EG ⊂平面EDB ，P A ⊄平面EDB ， 所以P A ∥平面EDB .(2)依题意得B (a ，a ，0)，所以PB →＝(a ，a ，－a ). 又DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2， 故PB →·DE →＝0＋a 22－a 22＝0，所以PB →⊥DE →，所以PB ⊥DE .由题可知EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ， 所以PB ⊥平面EFD .B 级 能力提升12.如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE .则M 点的坐标为( )A.(1，1，1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫24，24，1答案 C解析 设AC 与BD 相交于O 点，连接OE ，由AM ∥平面BDE ，且AM ⊂平面ACEF ，平面ACEF ∩平面BDE ＝OE ，∴AM ∥EO ， 又O 是正方形ABCD 对角线交点， ∴M 为线段EF 的中点.在空间坐标系中，E (0，0，1)，F (2，2，1). 由中点坐标公式，知点M 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1.13.(多选题)(2021·重庆质检)如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，其中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，则下列说法中正确的是( ) A.AC 1＝66 B.AC 1⊥DBC.向量B 1C →与AA 1→的夹角是60° D.BD 1与AC 所成角的余弦值为63答案 AB解析 因为以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，所以AA 1→·AB →＝AA 1→·AD →＝AD →·AB →＝6×6×cos 60°＝18， (AA 1→＋AB →＋AD →)2＝AA 1→2＋AB →2＋AD →2＋2AA 1→·AB →＋2AB →·AD →＋2AA 1→·AD →＝36＋36＋36＋3×2×18＝216，则|AC 1→|＝|AA 1→＋AB →＋AD →|＝66，所以A 正确； AC 1→·DB →＝(AA 1→＋AB →＋AD →)·(AB →－AD →)＝AA 1→·AB →－AA 1→·AD →＋AB →2－AB →·AD →＋AD →·AB →－AD→2＝0，所以B 正确； 显然△AA 1D 为等边三角形，则∠AA 1D ＝60°.因为B 1C →＝A 1D →，且向量A 1D →与AA 1→的夹角是120°，所以B 1C →与AA 1→的夹角也是120°，所以C 不正确；因为BD 1→＝AD →＋AA 1→－AB →，AC →＝AB →＋AD →，所以|BD 1→|＝（AD →＋AA 1→－AB →）2＝62，|AC→|＝（AB →＋AD →）2＝63，BD 1→·AC →＝(AD →＋AA 1→－AB →)·(AB →＋AD →)＝36，所以cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→|·|AC →|＝3662×63＝66，所以D不正确.14.如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，PD ⊥平面ABCD ，AD ＝1，AB ＝3，BC ＝4. (1)求证：BD ⊥PC .(2)设点E 在棱PC 上，PE →＝λPC →，若DE ∥平面P AB ，求λ的值. 解 如图，在平面ABCD 内过点D 作直线DF ∥AB ，交BC 于点F ，以D 为坐标原点，DA ，DF ，DP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A (1，0，0)，B (1，3，0)，D (0，0，0)，C (－3，3，0). 设PD ＝a ，则P (0，0，a )，(1)证明 BD→＝(－1，－3，0)，PC →＝(－3，3，－a )，因为BD →·PC →＝3－3＝0， 所以BD ⊥PC .(2)由题意知，AB →＝(0，3，0)，DP →＝(0，0，a )，P A →＝(1，0，－a )，PC →＝(－3，3，－a )，因为PE→＝λPC →，所以PE →＝(－3λ，3λ，－aλ)， DE→＝DP →＋PE →＝(0，0，a )＋(－3λ，3λ，－aλ) ＝(－3λ，3λ，a －aλ).设n ＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧AB →·n ＝0，P A →·n ＝0，即⎩⎨⎧3y ＝0，x －az ＝0.令z ＝1，得x ＝a ，所以n ＝(a ，0，1)， 因为DE ∥平面P AB ，所以DE→·n ＝0， 所以－3aλ＋a －aλ＝0，即a (1－4λ)＝0， 因为a ≠0，所以λ＝14.。
空间向量应用知识点总结
空间向量应用知识点总结一、空间向量的定义和性质1. 空间向量的定义：空间中的向量是指具有大小和方向的物理量，可以在空间中表示为一个由起点和终点确定的有向线段。
2. 空间向量的几何意义：空间向量的几何意义是指用有向线段来表示向量，其方向由箭头表示，长度由线段的长度表示。
3. 空间向量的性质：空间向量与平面向量相似，具有平行、共线、相等、相反等性质，还有长度相等、共线向量的倍数、共面向量的叉乘等性质。
二、空间向量的运算1. 空间向量的加法：空间向量的加法是指两个向量相加后得到一个新的向量，其结果向量的大小和方向由两个向量的大小和方向决定。
2. 空间向量的减法：空间向量的减法是指一个向量减去另一个向量得到一个新的向量，其结果向量的大小和方向由两个向量的大小和方向决定。
3. 空间向量的数量积：空间向量的数量积是指两个向量相乘后得到一个数量，其结果是一个标量，其大小等于两个向量的模的乘积，其方向由两个向量的夹角决定。
4. 空间向量的叉积：空间向量的叉积是指两个向量相乘后得到一个新的向量，其结果向量的大小等于两个向量构成的平行四边形的面积，其方向垂直于两个向量构成的平面。
5. 空间向量的混合积：空间向量的混合积是指三个向量相乘后得到一个数量，其结果是一个标量，其大小等于三个向量构成的平行六面体的体积。
三、空间向量在物理学中的应用1. 力的合成：在物体受到多个力的作用时，可以利用空间向量的加法和减法原理，将所有的力向量进行合成或分解，从而求出合力或分力的大小和方向。
2. 力的平衡：当一个物体处于受力平衡状态时，可以利用空间向量的数量积或叉积原理，求出合力或力矩为零的条件，从而判断物体是否处于平衡状态。
3. 力的做功：当一个物体受到外力作用而发生位移时，可以利用空间向量的数量积原理，求出外力做功的大小和方向，从而判断外力对物体的能量变化情况。
4. 力的矢量描述：在分析物体的运动和力的作用时，可以通过空间向量的描述方法，将力的大小和方向用向量来表示，从而对物体的运动和受力情况进行分析。
数学空间向量
数学空间向量（原创版）目录一、引言二、空间向量的基本概念1.空间向量的定义2.空间向量的表示方法三、空间向量的运算1.向量加法2.向量减法3.向量数乘4.向量点积四、空间向量的应用1.几何学2.物理学3.计算机图形学五、总结正文一、引言数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念的基础科学。
在数学中，空间向量是一个非常重要的概念，它在几何学、物理学以及计算机图形学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍空间向量的基本概念、运算及其应用，帮助大家更好地理解和掌握空间向量这一数学知识。
二、空间向量的基本概念1.空间向量的定义空间向量是指在三维空间中的有向线段，它可以表示一个物体在空间中的位置和方向。
空间向量通常用一个有序的三元组 (a,b,c) 来表示，其中 a、b、c 分别代表线段在 x、y、z 三个方向上的分量。
2.空间向量的表示方法空间向量可以用坐标表示，即将向量的起点放在原点，然后将向量的三个分量作为坐标轴的坐标，这样就可以得到一个空间向量的坐标表示。
例如，一个向量在 x、y、z 三个方向上的分量分别为 3、4、5，那么它的坐标表示就是 (3, 4, 5)。
三、空间向量的运算空间向量的运算主要包括向量加法、向量减法、向量数乘和向量点积。
1.向量加法向量加法是指将两个向量的对应分量相加，从而得到一个新的向量。
例如，对于两个向量 A = (a1, a2, a3) 和 B = (b1, b2, b3)，它们的和向量 C = A + B = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)。
2.向量减法向量减法是指将两个向量的对应分量相减，从而得到一个新的向量。
例如，对于两个向量 A = (a1, a2, a3) 和 B = (b1, b2, b3)，它们的差向量 C = A - B = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3)。
3.向量数乘向量数乘是指将一个向量与一个标量相乘，从而得到一个新的向量。
空间向量的知识点总结
空间向量的知识点总结空间向量是指空间中的一条具有方向和大小的有向线段，在数学上通常表示为箭头上有一个加粗的字母来表示。
一、空间向量的概念空间向量是指具有方向和大小的有向线段，它是向量的一种特殊形式。
它与平面向量类似，但是空间向量不仅有大小和方向，而且还有位置。
空间向量可以用某个点P到另一个点Q的有向线段来表示，表示为PQ→。
空间向量的大小可以通过计算两点之间的距离来得到，而它的方向可以通过计算两个点之间的夹角来得到。
二、空间向量的基本运算1、空间向量的加法设空间向量a=(x1,y1,z1)和 b=(x2,y2,z2)，那么 a+b = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)。
这表示a+b等于a与b的x、y、z分量分别相加得到的结果。
2、空间向量的数乘设空间向量a=(x,y,z)，k为实数，则ka=(kx,ky,kz)。
这表示空间向量a的每个分量都乘以k得到的结果。
3、空间向量的减法空间向量的减法定义为a-b=a+(-b)，即对b取反再进行加法操作。
4、空间向量的数量积设空间向量a=(x1,y1,z1)和 b=(x2,y2,z2)，则a·b = x1x2+y1y2+z1z2。
这表示a·b等于a与b的x、y、z分量分别相乘并求和的结果。
5、空间向量的向量积设空间向量a=(x1,y1,z1)和 b=(x2,y2,z2)，则a×b = (y1z2-z1y2, z1x2-x1z2, x1y2-y1x2)。
这表示a×b等于a与b按照右手定则进行叉乘得到的结果。
三、空间向量的坐标表示空间向量可以用坐标表示。
设点A(a1,a2,a3)和点B(b1,b2,b3)，则AB向量可以表示为AB=(b1-a1,b2-a2,b3-a3)。
四、空间向量的运算律1、给定三个空间向量a，b，c，则有以下运算律：（1）加法交换律：a+b = b+a（2）加法结合律：(a+b)+c = a+(b+c)（3）数乘结合律：k(la) = (kl)a（4）分配律：k(a+b) = ka+kb2、空间向量的数量积定理给定三个空间向量a，b，c以及实数k，则有以下数量积定理：（1）数量积交换律：a·b = b·a（2）数量积结合律：a·(b+c) = a·b+a·c（3）数量积与数乘结合律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)（4）对于a≠0，b≠0，有a·b=|a|·|b|·cosθ，其中|a|表示a的大小，θ表示a与b的夹角。
向量空间的基本性质及其应用
向量空间的基本性质及其应用向量空间是线性代数中的基本概念，它具有一些基本的性质，这些性质极为重要，被广泛应用于许多不同的领域，特别是在数学、物理和工程学中。
本文将介绍向量空间的基本性质及其应用。
1. 向量空间的定义向量空间是一个数域上的一组向量，满足以下条件：（1）加法公理：任意两个向量的和都是该向量空间中的一个向量。
（2）两个数域上的数的乘积与向量的乘积结合律。
（3）乘法和加法的分配律。
（4）单位元素的存在。
其中，加法公理意味着向量空间中的任意向量都可以表示为其他向量的和。
2. 向量空间的基本性质（1）向量空间有唯一的零元素。
（2）任意向量都有唯一的相反元素。
（3）任何向量与零元素的和为它本身。
（4）任何向量乘一个标量后仍是一个向量。
（5）在向量空间中，向量的数量是无限的。
（6）向量的线性组合一定在向量空间中。
这些基本性质是向量空间的基础，许多其他的理论和应用都基于这些性质。
3. 向量空间的应用在数学领域中，向量空间的应用非常广泛，例如在微积分、泛函分析、微分方程和拓扑学等领域中都有重要的应用。
在物理学和工程学中，向量空间的理论也广泛应用，例如在力学、场论和电子学中。
在机器学习中，向量空间模型被广泛应用于文本分类和信息检索中，它可以将文本表示为向量，并通过计算向量之间的相似度来实现分类和检索。
在计算机图形学中，向量空间的理论也得到了广泛的应用，例如用于计算形状变换、光照和动画等。
4. 总结向量空间的基本性质及其应用在许多领域中都受到了广泛的应用。
向量空间是线性代数中的基础，它的应用已经深入到数学、物理和工程学等领域中。
掌握向量空间的理论和应用对于深入理解和解决数学和物理问题是非常重要的。
空间向量相关知识点总结
空间向量相关知识点总结一、空间向量的定义和基本概念1. 空间向量的定义空间向量是指在三维空间中的一种特殊的向量，它可以用有向线段表示，也可以用坐标表示。
空间向量具有大小和方向，是空间中的一个几何概念。
2. 空间向量的基本概念（1）长度：空间向量的长度也称为模，它表示向量的大小，一般用|AB|表示，其中A和B分别表示向量的起点和终点。
（2）方向：空间向量的方向是指向量的指向，可以用一组坐标表示，也可以用夹角表示。
（3）共线：如果两个向量的方向相同或者相反，则它们是共线的。
（4）共面：如果三个向量在同一个平面内，则它们是共面的。
二、空间向量的运算1. 空间向量的加减法（1）几何法：向量的加法就是将两个向量的起点相接，然后将两个向量的终点相连，新的向量就是两个向量的和向量；向量的减法就是将减数的起点和被减数的终点相接，然后将减数的终点和被减数的起点相连，新的向量就是两个向量的差向量。
（2）坐标法：向量的加减法也可以用坐标表示，对应坐标相加或者相减即可。
2. 数乘向量的数乘即将向量与一个常数相乘，结果是一个新的向量，其大小是原向量的模与常数的乘积，方向与原向量的方向一致（如果是负数，则方向相反）。
3. 空间向量的数量积和向量积（1）数量积：也称为点积或内积，即将两个向量的对应坐标相乘再相加，结果是一个标量。
（2）向量积：也称为叉积或外积，即将两个向量的叉乘结果是一个新的向量，其大小是原向量所构成的平行四边形的面积，方向垂直于原向量所构成的平面。
三、空间向量的几何应用1. 向量的方向余弦（1）定义：设向量a=(x, y, z)，则a的方向余弦分别为l=x/|a|，m=y/|a|，n=z/|a|，它们互为方向余弦。
（2）性质：方向余弦l、m、n满足l²+m²+n²=1。
（3）应用：方向余弦可用于求向量的夹角、判断向量的共线性等。
2. 向量的投影（1）定义：设向量a和b不共线，a在b上的投影为向量a在b方向上的分量，记为prj_b a。
高中数学中的空间向量应用重点知识点归纳
高中数学中的空间向量应用重点知识点归纳在高中数学的学习中，空间向量是一个重要的概念，它在几何问题的解决中具有广泛的应用。
本文将对高中数学中的空间向量应用的重点知识点进行归纳，帮助同学们更好地理解和掌握相关内容。
一、基本概念1. 空间向量的定义：空间向量是指具有大小和方向的量，用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
2. 空间向量的表示：空间向量可以用坐标表示，也可以用位置矢量表示，其中位置矢量由起点和终点确定。
3. 零向量：零向量是长度为0，方向任意的特殊向量，用0表示。
4. 相等向量：具有相同大小和方向的向量称为相等向量，记作→AB = →CD。
二、向量的运算1. 向量的加法：向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量，具有平行四边形法则和三角形法则两种运算法则。
2. 向量的减法：向量的减法是指将两个向量相减得到一个新的向量，可利用向量加法实现。
3. 向量的数乘：向量的数乘是指将向量的每个分量与一个实数相乘得到一个新的向量。
4. 点乘：点乘又称为数量积或内积，表示为A·B，结果是一个实数。
点乘有几何意义和代数意义，具有交换律和分配律等运算规则。
5. 叉乘：叉乘又称为向量积或外积，表示为A×B，结果是一个向量。
叉乘有几何意义和代数意义，具有反交换律和满足叉乘的运算规则。
三、空间向量的应用1. 直线的方程：通过两个不共线的点可以确定一条直线，可以利用向量求解直线的方程。
2. 平面的方程：通过三个不共线的点可以确定一个平面，可以利用向量求解平面的方程。
3. 点到直线的距离：点到直线的距离可以通过向量的投影求得，利用这一点可以解决点到直线的最短距离问题。
4. 点到平面的距离：点到平面的距离可以通过向量的投影求得，利用这一点可以解决点到平面的最短距离问题。
5. 直线的位置关系：通过向量的共线性可以判断直线的位置关系，包括相交、平行和重合等情况。
6. 平面的位置关系：通过向量的共面性可以判断平面的位置关系，包括相交、平行和重合等情况。
空间向量的运算及应用
空间向量的运算及应用一、基础知识1．空间向量及其有关概念2．数量积及坐标运算(1)两个空间向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2.(2)空间向量的坐标运算：3．直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或或共线，则称此向量a为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．4．空间位置关系的向量表示1．空间向量基本定理的3点注意(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．(2)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基向量．(3)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示． 2．有关向量的数量积的2点提醒(1)若a ，b ，c (b ≠0)为实数，则ab ＝bc ⇒a ＝c ；但对于向量就不正确，即a ·b ＝b ·ca ＝c .(2)数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(a ·b )c 不一定等于a (b ·c )．这是由于(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量，而a (b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线．3．方向向量和法向量均不为零向量且不唯一二、常用结论1．证明空间任意三点共线的方法对空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论成立来证明三点共线： (1)P A ―→＝λPB ―→(λ∈R );(2)对空间任一点O ，OP ―→＝OA ―→＋t AB ―→(t ∈R )； (3)对空间任一点O ，OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→(x ＋y ＝1)． 2．证明空间四点共面的方法对空间四点P ，M ，A ，B 除空间向量基本定理外也可通过证明下列结论成立来证明四点共面：(1) MP ―→＝x MA ―→＋y MB ―→；(2)对空间任一点O ，OP ―→＝OM ―→＋x MA ―→＋y MB ―→；(3) PM ―→∥AB ―→ (或P A ―→∥MB ―→或PB ―→∥AM ―→)． 3．确定平面的法向量的方法(1)直接法：观察是否有垂直于平面的向量，若有，则此向量就是法向量． (2)待定系数法：取平面内的两条相交向量a ，b ，设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0，解方程组求得．考点一 空间向量的线性运算[1.如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1＝c ，则下列向量中与BM ―→相等的是( )A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c解析：选A BM ―→＝BB 1―→＋B 1M ―→＝AA 1＋12(AD ―→－AB ―→)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .2.如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AA 1―→＝a ，AB ―→＝b ，AD ―→＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1) AP ―→； (2) A 1N ―→； (3)MP ―→＋NC 1―→.解：(1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP ―→＝AA 1―→＋A 1D 1―→＋D 1P ―→＝a ＋AD ―→＋12D 1C 1―→＝a ＋c ＋12AB ―→＝a ＋12b ＋c . (2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N ―→＝A 1A ―→＋AB ―→＋BN ―→＝－a ＋b ＋12BC ―→＝－a ＋b ＋12AD ―→＝－a ＋b ＋12c . (3)∵M 是AA 1的中点，∴MP ―→＝MA ―→＋AP ―→＝12A 1A ―→＋AP ―→＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＋c ＝12a ＋12b ＋c ，又NC 1―→＝NC ―→＋CC 1―→＝12BC ―→＋AA 1―→＝12AD ―→＋AA 1―→＝a ＋12c ， ∴MP ―→＋NC 1―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32c .考点二 共线、共面向量定理的应用1．若A (－1,2,3)，B (2,1,4)，C (m ，n,1)三点共线，则m ＋n ＝________. 解析：∵AB ―→＝(3，－1,1)，AC ―→＝(m ＋1，n －2，－2)， 且A ，B ，C 三点共线，∴存在实数λ，使得AC ―→＝λAB ―→. 即(m ＋1，n －2，－2)＝λ(3，－1,1)＝(3λ，－λ，λ)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＝3λ，n －2＝－λ，－2＝λ，解得λ＝－2，m ＝－7，n ＝4.∴m ＋n ＝－3. 答案：－32．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM ―→＝13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)．(1)判断MA ―→，MB ―→， MC ―→三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内． 解：(1)由已知OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝3OM ―→， 所以OA ―→－OM ―→＝(OM ―→－OB ―→)＋(OM ―→－OC ―→)， 即MA ―→＝BM ―→＋CM ―→＝－MB ―→－MC ―→， 所以MA ―→，MB ―→，MC ―→共面．(2)由(1)知MA ―→，MB ―→，MC ―→共面且过同一点M .所以M ，A ，B ，C 四点共面，从而点M 在平面ABC 内． 3.如图所示，已知斜三棱柱ABC -A1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM ―→＝kAC 1―→，BN ―→＝k BC ―→(0≤k ≤1)．判断向量MN ―→是否与向量AB ―→，AA 1―→共面．解：∵AM ―→＝kAC 1―→，BN ―→＝k BC ―→，∴MN ―→＝MA ―→＋AB ―→＋BN ―→＝k C 1A ―→＋AB ―→＋k BC ―→＝k (C 1A ―→＋BC ―→)＋AB ―→＝k (C 1A ―→＋B 1C 1―→)＋AB ―→＝kB 1A ―→＋AB ―→＝AB ―→－kAB 1―→＝AB ―→－k (AA 1―→＋AB ―→)＝(1－k )AB ―→－kAA 1―→，∴由共面向量定理知向量MN ―→与向量AB ―→，AA 1―→共面．考点三 空间向量数量积及应用[典例精析]如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：(1) EF ―→·BA ―→；(2) EG ―→·BD ―→.[解] 设AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，AD ―→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°. (1)因为EF ―→＝12BD ―→＝12(AD －AB )＝12c －a ，BA ―→＝－a ， 所以EF ―→·BA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a ·c ＝14.(2)EG ―→·BD ―→＝(EA ―→＋AG ―→)·(AD ―→－AB ―→) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 AB ―→＋12 AC ―→＋12 AD ―→ ·(AD ―→－AB ―→) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b ＋12c ·(c －a ) ＝－14＋12＋14－14＋12－14＝12.[题组训练]如图，已知平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°.(1)求线段AC 1的长；(2)求异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值； (3)求证：AA 1⊥BD .解：(1)设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则|a |＝|b |＝1，|c |＝2，a ·b ＝0，c ·a ＝c ·b ＝2×1×c os 120°＝－1. ∵AC 1―→＝AC ―→＋CC 1―→＝AB ―→＋AD ―→＋AA 1―→＝a ＋b ＋c ， ∴|AC 1―→|＝|a ＋b ＋c |＝(a ＋b ＋c )2＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝12＋12＋22＋2×(0－1－1)＝ 2.∴线段AC 1的长为 2.(2)设异面直线AC 1与A 1D 所成的角为θ，则c os θ＝|c os 〈AC 1―→， A 1D ―→〉|＝|AC 1―→·A 1D ―→||AC 1―→||A 1D ―→|.∵AC 1―→＝a ＋b ＋c ，A 1D ―→＝b －c ， ∴AC 1―→·A 1D ―→＝(a ＋b ＋c )·(b －c )＝a ·b －a ·c ＋b 2－c 2＝0＋1＋12－22＝－2， |A 1D ―→|＝(b －c )2＝|b |2－2b ·c ＋|c |2＝12－2×(－1)＋22＝7.∴c os θ＝|AC 1―→·A 1D ―→||AC 1―→||A 1D ―→|＝|－2|2×7＝147.故异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值为147. (3)证明：∵AA 1―→＝c ，BD ―→＝b －a ，∴AA 1―→·BD ―→＝c ·(b －a )＝c ·b －c ·a ＝(－1)－(－1)＝0，∴AA 1―→⊥BD ―→，即AA 1⊥BD .考点四 利用向量证明平行与垂直问题[典例精析]如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，过点E 作EF ⊥PB 于点F .求证：(1)P A ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD .[证明] 以D 为坐标原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz .设DC ＝a .(1)连接AC 交BD 于点G ，连接EG .依题意得A (a,0,0)，P (0,0，a )，C (0，a,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2.因为底面ABCD 是正方形， 所以G 为AC 的中点 故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，0，所以P A ―→＝(a,0，－a )，EG ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0，－a 2，则P A ―→＝2EG ―→，故P A ∥EG .而EG ⊂平面EDB ，P A ⊄平面EDB ， 所以P A ∥平面EDB .(2)依题意得B (a ，a,0)，所以PB ―→＝(a ，a ，－a )． 又DE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，故PB ―→·DE ―→＝0＋a 22－a 22＝0，所以PB ⊥DE ， 所以PB ⊥DE .由题可知EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ， 所以PB ⊥平面EFD .[解题技法]利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤(1)建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系． (2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素．(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系．(4)根据运算结果解释相关问题．[提醒] 运用向量知识判定空间位置关系时，仍然离不开几何定理．如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时，仍需强调直线在平面外．[题组训练]如图，在三棱锥P -ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3.试证明平面AMC ⊥平面BMC .证明：(1)以O 为坐标原点，以射线OD 为y 轴正半轴，射线OP 为z 轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz .则O (0,0,0)，A (0，－3,0)，B (4,2,0)，C (－4,2,0)，P (0,0,4)． 于是AP ―→＝(0,3,4)，BC ―→＝(－8，0,0)， 所以AP ―→·BC ―→＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0， 所以AP ―→⊥BC ―→，即AP ⊥BC .(2)由(1)知AP ＝5，又AM ＝3，且点M 在线段AP 上， 所以AM ―→＝35AP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，95，125，又BA ―→＝(－4，－5,0)，所以BM ―→＝BA ―→＋AM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，－165，125，则AP ―→·BM ―→＝(0,3,4)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，－165，125＝0， 所以AP ―→⊥BM ―→，即AP ⊥BM ，又根据(1)的结论知AP ⊥BC ，且BC ∩BM ＝B ， 所以AP ⊥平面BMC ，于是AM ⊥平面BMC .。
空间向量知识点
空间向量知识点空间向量是高中数学中的重要内容之一，它是几何向量的推广和扩展。
了解空间向量的基本概念和性质，有助于我们更好地理解和应用向量。
一、空间向量的基本概念空间向量是指具有大小和方向的量，它是空间中的一条有向线段。
空间向量用矢量表示，通常用字母a、b、c等表示。
空间向量有以下几个基本要素：1. 大小：空间向量的大小通常用线段的长度表示，即向量的模或长度，记作|a|。
2. 方向：空间向量的方向通常用线段的方向表示，可以用射线或箭头表示。
3. 终点：空间向量的终点用有序的三元组(x, y, z)表示，表示向量在三维坐标系中的终点位置。
二、空间向量的运算1. 加法：空间中的向量加法满足交换律和结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)，a+b=b+a。
向量相加的结果是两个向量的平行四边形的对角线。
2. 减法：向量减法等价于向量的相反数与向量的加法，即a-b=a+(-b)。
向量相减的结果是连接两个向量起点和终点的线段。
3. 数乘：向量与一个实数k的乘积，记作ka，可以改变向量的大小和方向，当k<0时，向量的方向相反。
三、空间向量的表示方法空间向量有多种表示方法：1. 平行四边形法表示：即将向量的起点与坐标系原点重合，终点与坐标系中某点重合，计算该点的坐标进行表示。
2. 数量对表示：使用有序数对(x,y,z)表示向量的平行于坐标轴的分量。
3. 距离表示：使用两点之间的距离来表示向量的大小。
4. 方向角表示：使用与坐标轴的夹角来表示向量的方向。
四、空间向量的性质1. 平行关系：若a和b平行，则存在实数k使得a=k*b。
2. 垂直关系：若a和b垂直，则a·b=0，即a和b的数量积为0。
3. 长度关系：向量的模或长度与其坐标分量相关，可以使用勾股定理计算。
4. 重要定理：向量a、向量b和向量c组成平面三角形的面积等于以向量a和向量b为两边的平行四边形的面积的一半。
空间向量不仅在数学中有重要的应用，还广泛应用于物理、工程等领域。
空间向量知识点总结
空间向量知识点总结空间向量是三维空间中表示物体位置、方向和大小的一种向量形式。
它利用向量的数学概念和运算规则，将物体的位置和方向抽象为有序数组，使得在三维空间中进行运算和分析更加简便。
在几何学、物理学、工程学等领域中，空间向量被广泛应用。
本文将对空间向量的基本概念、运算法则以及应用进行总结。
一、空间向量的定义与表示空间向量是指在三维空间中有长度和方向的向量。
它可以用有序的三个数表示，分别表示向量在x、y、z轴上的分量。
通常表示为：A = xi + yj + zk其中，A为向量名称，xi、yj、zk分别为向量的x、y、z轴分量。
二、空间向量的运算法则1. 加法和减法：两个空间向量的加法和减法运算由各个分量相加或相减得到，分别表示为：A +B = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j + (Az + Bz)kA -B = (Ax - Bx)i + (Ay - By)j + (Az - Bz)k2. 数量积：数量积也称为点积或内积，表示为A·B，计算公式为：A·B = |A||B|cosθ其中，|A|和|B|分别为A和B的模长，θ为A和B之间的夹角。
3. 向量积：向量积也称为叉积或外积，表示为A×B，计算公式为：A×B = (AyBz - AzBy)i + (AzBx - AxBz)j + (AxBy - AyBx)k向量积的结果是一个新的向量，其方向垂直于A和B所在平面。
三、空间向量的应用1. 几何关系分析：空间向量可以用于分析几何关系，如判断两个向量的夹角、判断两个向量是否平行或垂直等。
通过计算向量的点积和模长，可以快速判断向量之间的关系。
2. 力学问题：空间向量在力学中有着广泛的应用，可以用于计算力的合成、分解，求解物体的平衡条件等。
通过将力向量进行分解和合成，可以简化力学问题的计算。
3. 电磁学问题：空间向量在电磁学中也有重要的应用。
电场和磁场可以用向量形式表示，通过计算向量积和数量积，可以求解场强、电流、电压等物理量。
高中数学必修知识点空间向量知识点
高中数学必修知识点空间向量知识点在高中数学的学习中，空间向量是一个重要的知识点，它为我们解决空间几何问题提供了全新的思路和方法。
接下来，就让我们一起深入了解一下空间向量的相关知识。
一、空间向量的基本概念空间向量是指具有大小和方向的量。
它与平面向量类似，但存在于三维空间中。
一个空间向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
空间向量的坐标表示：在空间直角坐标系中，若向量的起点坐标为\（（x_1,y_1,z_1)＼），终点坐标为\（（x_2,y_2,z_2)＼），则该向量的坐标为\（（x_2 x_1, y_2 y_1, z_2 z_1)＼）。
零向量：长度为\（0\）的向量，其方向任意。
单位向量：长度为\（1\）的向量。
二、空间向量的运算1、加法和减法空间向量的加法和减法运算遵循三角形法则和平行四边形法则。
若\（＼overrightarrow{a} ＝（x_1,y_1,z_1)＼），＼（＼overrightarrow{b} ＝（x_2,y_2,z_2)＼），则\（＼overrightarrow{a} ＋＼overrightarrow{b} ＝（x_1 ＋ x_2, y_1 ＋ y_2, z_1 ＋ z_2)＼），＼（＼overrightarrow{a} ＼overrightarrow{b} ＝（x_1 x_2, y_1 y_2, z_1z_2)＼）2、数乘运算若\（＼lambda\）为实数，＼（＼overrightarrow{a} ＝（x,y,z)＼），则\（＼lambda\overrightarrow{a} ＝（＼lambda x, ＼lambda y, ＼lambda z)＼）数乘运算的规律：＼（＼lambda （＼overrightarrow{a} ＋＼overrightarrow{b}）＝＼lambda\overrightarrow{a} ＋＼lambda\overrightarrow{b}＼）3、数量积空间向量的数量积\（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝｜＼overrightarrow{a}｜｜＼overrightarrow{b}｜＼cos ＜＼overrightarrow{a}，＼overrightarrow{b}＞＼）若\（＼overrightarrow{a} ＝（x_1,y_1,z_1)＼），＼（＼overrightarrow{b} ＝（x_2,y_2,z_2)＼），则\（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝ x_1x_2 ＋ y_1y_2 ＋ z_1z_2\）数量积的性质：＼（＼overrightarrow{a} ＼perp ＼overrightarrow{b} ＼Leftrightarrow ＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝ 0\）＼（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{a} ＝｜＼overrightarrow{a}｜＾2\）4、向量积空间向量的向量积\（＼overrightarrow{a} ＼times ＼overrightarrow{b}＼）是一个向量，其模长为\（｜＼overrightarrow{a}｜｜＼overrightarrow{b}｜＼sin ＜＼overrightarrow{a}，＼overrightarrow{b}＞＼），方向垂直于\（＼overrightarrow{a}＼）和\（＼overrightarrow{b}＼）所确定的平面，遵循右手定则。
空间向量的应用
空间向量的应用一、基本知识点空间向量为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具.学生在运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题时，可以到体会向量方法在研究几何图形中的巨大作用，可以减少繁琐的推理过程，直接通过公式计算解决问题.1、利用向量表示空间直线与平面设点是直线上一定点，是上任意一点，是的一个方向向量，则的向量表示形式为，其中为实数.（Ⅰ）设为平面内一定点，是内任意一点，，分别是内两个不共线的向量，则有向量表示形式，其中，为实数.（Ⅱ）设为平面内一定点，是内任意一点，是平面的一个法向量，则有向量表示形式（点法式）.2、利用向量表示空间直线与平面的位置关系设直线，的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则：线线平行 ； 线面平行 ；面面平行 . 线线垂直 ；线面垂直 ； 面面垂直 .线线夹角 ，的夹角为（），；线面夹角 ，的夹角为（），；面面夹角 ，的夹角为（），.注意：（Ⅰ）这里的线线平行包括重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.（Ⅱ）这里线线夹角、线面夹角、面面夹角的范围是.二面角的大小可以用其平面角的大小来定义，它的取值范围是，具体取，还是取，建议结合具体问题（例如结合图形）而定.（1）．直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量坐标运算方法设直线l 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a 2，b 2，c 2)，v ＝(a 3，b 3，c 3)，则(1)线面平行：l ∥α⇔a ⊥μ⇔a ·μ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0..(2)线面垂直：l ⊥α⇔a ∥μ⇔a ＝k μ⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2.(3)面面平行：α∥β⇔μ∥v ⇔μ＝λv ⇔a 2＝λa 3，b 2＝λb 3，c 2＝λc 3.(4)面面垂直：α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·v ＝0⇔a 2a 3＋b 2b 3＋c 2c 3＝0.（2）．空间角的计算(1)两条异面直线所成的角设直线a ，b 的方向向量为a ，b ，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝|a ·b ||a ||b |(其中φ为异面直线a ，b 所成的角)．(2)直线和平面所成的角如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|e ·n ||e ||n |.(3)二面角如图所示，二面角α－l －β，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，〈n 1，n 2〉＝θ，则二面有α－l －β的大小为θ或π－θ.二、 “三部曲”解决问题的基本思想方法用向量方法解决立体几何问题的三部曲是向量应用的一个重要思想方法，它的重要性等同于解析几何中的解析法，我们建议它的教学可以先给出一些具体问题的解法，启发学生归纳出过程中的这三步：①建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；②进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系（距离和夹角等）；③根据运算结果的几何意义来解释相关问题.例 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是.那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？题型一：建系中的问题向量坐标方法在使用时建立坐标系是重要的一环，我们应针对几何体的形状以有利于求向量的坐标为原则来建系.在利用向量坐标方法的初级阶段，试题所给的几何体都是非常规整的，一般会出现“三个垂直”，可以直接利用题目所给的图形和其中的线段建立坐标系，一般不需要添加辅助线，有利于向量方法解题.但随着课程的推进，对题目的设计就会逐渐按照题目本身的面目出现，而不再刻意追求规整的“三个垂直”，目的是使得大家对空间向量方法的有一个全面正确的认识和熟练的使用，即认识到向量方法中也有空间想象能力和推理论证能力的要求.因此，利用向量方法中的“算”应该是以一定的空间想象和思辨论证为基础的.我们看几个例子：1、选择适合位置建系例1、如图，直三棱柱中，，，为的中点，为上的一点，．（Ⅰ）证明：为异面直线与的公垂线；（Ⅱ）设异面直线与的夹角为45°，求二面角的大小．非常规位置放置，考查概念、空间想象能力，建系的灵活性.本题中这样建系，对于平面内的点的坐标是比较容易求解的——选择适合位置建系.变式：如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，，的中点，，．（Ⅰ）设是的中点，证明：平面；（Ⅱ）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离．注意：比较两种方法，显然综合法要简捷一些；另外学生利用向量方法计算时的准确率是至关重要的，要注意运算技能的指导与训练.2、先证明后建系例1如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，，，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求二面角的大小.题型二：求点的坐标问题在建立适当的坐标系后，求向量的坐标是运用向量方法的第二个环节，如果几何体比较规整，则向量的坐标一般比较好求，但有时向量坐标的求解也要与其他方法相结合.例1：如图，四棱锥的底面是菱形，其对角线，，，都与平面垂直，，.（Ⅰ）求二面角的大小；（Ⅱ）求四棱锥与四棱锥公共部分的体积.题型三：含参数问题的处理例1如图，四边形是边长为1的正方形，平面，平面，且，为的中点.（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；（Ⅱ）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.变式：1、在四棱锥中，侧面底面，，为中点，底面是直角梯形，，，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）设为侧棱上一点，，试确定的值，使得二面角为.2. （本小题满分12分）如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，11AA=，3AB k=，．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；（Ⅱ）若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为，求k 的值.题型四：基向量方法的运用用坐标向量法求解的难点在于建立空间直角坐标系及求出某些点的坐标（如上底面的顶点）；用传统综合456(0)AD k BC k DC k k ===>，，67几何方法求解的难点在于作出合适的辅助线，以及需要利用某些特殊性质作为基本性质，而在某些情况下利用非坐标向量方法求解，一方面不需要作辅助线，极大地降低了难度，另一方面由于基底可以自由选择，降低了建立空间直角坐标系所需要的某些苛刻要求，从而使得求解过程简洁明了.例1：已知矩形所在平面和矩形所在平面垂直，为公共边.点，分别在对角线，上，且||=||，||=||.变式：1、如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角的大小是 .例2：在如图所示的几何体中，平面，平面，，且，是的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求与平面所成的角.变式：1、已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（）A． B． C． D．。
空间向量的认识
空间向量的认识空间向量是三维几何中非常重要的概念之一。
它不仅在数学领域有广泛的应用，还在物理学、计算机科学等多个领域中发挥着重要的作用。
本文将详细介绍空间向量的定义、性质及其在实际问题中的应用，以增进读者对空间向量的认识。
1. 空间向量的定义在三维空间中，向量是由大小和方向共同决定的。
同样，空间向量也是具有大小和方向的向量。
空间向量可以表示为A = (a1, a2, a3)，其中a1、a2和a3分别表示向量在x轴、y轴和z轴的分量。
2. 空间向量的性质空间向量有以下几个重要的性质：2.1 长度：空间向量的长度可以通过向量的分量计算得到。
向量A的长度可以表示为|A| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2)。
2.2 方向：空间向量的方向可以通过向量的分量计算得到。
向量A的方向可以表示为cosθ = a1/|A|，cosφ = a2/|A|，其中θ和φ分别表示向量与x轴和y轴的夹角。
2.3 加法：两个空间向量可以进行加法运算。
向量A和向量B的加法可以表示为A + B = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)。
2.4 数量积：空间向量还可以进行数量积运算。
向量A和向量B的数量积可以表示为A·B = a1b1 + a2b2 + a3b3。
3. 空间向量的应用由于空间向量具有大小和方向，因此在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：3.1 平面几何：在平面几何中，利用空间向量可以求解点的位置关系、线段的长度以及角的大小等问题。
3.2 力学：在力学中，利用空间向量可以描述物体的受力情况、力的合成与分解等问题。
例如，根据牛顿第二定律可以利用空间向量进行物体的受力分析。
3.3 计算机图形学：在计算机图形学中，空间向量被广泛应用于三维模型的表示与变换。
例如，通过平移、旋转和缩放等操作可以利用空间向量实现三维图形的变换效果。
3.4 电磁学：在电磁学中，空间向量被用于描述电场和磁场的分布情况。
空间向量及其应用
空间向量及其应用一、 空间向量1、空间向量定义：空间既有大小、又有方向的量叫做空间向量。
用带有箭头的线段表示。
以A 为始点，B 为终点的空间向量记作AB ，也可用a 表示，以AB 表示AB 的模。
2、相等的向量、零向量、负向量、单位向量、向量的平移、向量的平行、向量的夹角等概念与平面向量类似。
3、空间向量的运算：空间向量的和、差、数乘向量、数量积等运算的定义及其运算率与平面向量的相应运算及其运算率类似。
加法的平行四边形法则、三角形法则，减法的三角形法则在空间向量中仍适用。
例1、在平行六面体1AC 中，设111,,BA a BC b BD c ===，用,,a b c 表示下列向量： （1）AB ； （2）1BB ； （3）BD ； （4）1CB ； （5）1AC 。
解：（1）AB b c =-； （2）1BB a b c =+-； （3）BD 2c a b =--； （4）1CB 22a b c =+-；（5）1AC 2b c =-。
例2、已知平行六面体1AC ，点M 在对角线1A B 上，且112A M MB =，点N 在对角线1A C 上，且113A N NC =，求证：1,,M N D 三点共线。
证：设1,,AB a AD b AA c ===， 则()111133A M AB a c ==-， 所以()1111133D M D A A M a b c =+=--， ()111144A N AC a c b ==-+， 所以()1111134D N D A A N a b c =+=--， 1143D M D N =，所以1,,M N D 三点共线。
例3、已知向量a b ⊥，向量c 与,a b 的夹角都为60，且1,2,3a b c ===，求A BC1AD1B1C1DNM（1）()()323a b b c -⋅-； （2）2a b c +-； （3）2a b c +-与b 的夹角θ。
解：30,,32a b a c b c ⋅=⋅=⋅=， （1）()()73232a b b c -⋅-=-； （2）211a b c +-=；（3）()25a b c b +-⋅=，所以cos θ，θ=。
空间向量知识点总结讲解
空间向量知识点总结讲解一、向量的基本概念1. 向量的定义：在数学中，向量是具有大小和方向的量，通常表示为有向线段。
向量可以用坐标表示，也可以用行向量或列向量表示。
2. 向量的运算：向量的运算包括加法、数量乘法、点乘、叉乘等。
向量之间的加法和数量乘法可以直接进行，而点乘和叉乘需要通过向量的坐标或分量进行计算。
3. 向量的性质：向量具有大小和方向两个基本属性，同时还具有平行四边形法则，向量共线与共面的性质等。
二、空间向量的概念1. 空间向量的定义：在三维空间中，向量的坐标可以用三个实数表示，即(x, y, z)，这就是空间向量。
空间向量通常表示为有向线段，具有大小和方向。
2. 空间向量的运算：空间向量的运算与平面向量相似，可以进行向量的加法、数量乘法、点乘、叉乘等运算。
叉乘是空间向量特有的一种运算，用来得到垂直于两向量所在平面的向量。
3. 空间向量的坐标表示：空间向量的坐标表示为(x, y, z)，用来描述向量的起始点和终点在三维空间中的位置。
4. 空间向量的性质：空间向量具有大小和方向的性质，同时还具有与平面向量相似的性质，如共线、共面等。
三、空间向量的线性运算1. 空间向量的线性组合：空间向量的线性组合是指将若干个向量以一定的比例相加得到新的向量的过程。
线性组合在向量空间中有重要的应用，可以通过线性组合来表示向量的线性相关性和线性无关性。
2. 空间向量的线性相关性和线性无关性：当一组向量能够用线性组合的方式得到零向量时，这组向量就是线性相关的；当一组向量不能用线性组合的方式得到零向量时，这组向量就是线性无关的。
线性相关性和线性无关性是向量空间中的重要概念。
3. 空间向量的线性空间：线性空间是指满足一定条件的向量集合，具有向量加法、数量乘法、满足线性组合封闭性、交换性、结合律等性质。
空间向量是线性空间的一个典型例子。
四、空间向量的应用1. 空间向量在几何中的应用：在几何学中，空间向量可以用来描述点、直线、面等几何对象的位置和方向关系，还可以用来解决几何问题，如判定点、线、面的位置关系、计算距离、计算面积等。
空间向量基本知识点
引言概述：空间向量是三维空间中的各种几何对象的表示方式，它具有方向和大小的特征。
在本文中，我们将继续探讨空间向量的基本知识点，包括向量的基本概念、向量的表示方式、向量的运算法则、向量的线性相关性以及向量的投影等内容。
正文内容：1.向量的基本概念1.1向量的定义1.2向量的方向1.3向量的大小1.4向量的起点和终点1.5零向量和单位向量2.向量的表示方式2.1分量表示法2.2坐标表示法2.3点表示法2.4i、j、k向量表示法2.5综合表示方式的应用3.向量的运算法则3.1向量的加法3.2向量的减法3.3向量的数量积（内积）3.4向量的向量积（外积）3.5向量的混合积4.向量的线性相关性4.1线性相关和线性无关的概念4.2判断向量线性相关性的方法4.3线性相关性的应用5.向量的投影5.1向量的投影定义5.2向量的投影计算方法5.3向量的正交与投影的关系5.4向量的投影在几何问题中的应用5.5向量投影的几何意义总结：空间向量是三维空间中的重要工具，可以表示各种几何对象。
本文从向量的基本概念开始介绍，包括向量的定义、方向、大小、起点和终点等方面。
然后，我们针对不同的向量表示方法进行了详细的阐述，包括分量表示法、坐标表示法、点表示法和i、j、k向量表示法等。
接着，我们介绍了向量的运算法则，包括向量的加法、减法、数量积、向量积和混合积。
然后，我们讨论了向量的线性相关性以及判断线性相关性的方法。
我们详细介绍了向量的投影，包括定义、计算方法、与正交的关系以及在几何问题中的应用。
通过本文的学习，读者能够对空间向量的基本知识有一个全面的了解，并能够熟练运用这些知识解决几何问题。
空间向量知识点总结
空间向量知识点总结空间向量是高中数学中的重要内容，它为解决立体几何问题提供了一种全新的思路和方法。
下面我们来对空间向量的相关知识点进行一个系统的总结。
一、空间向量的基本概念1、空间向量的定义在空间中，具有大小和方向的量称为空间向量。
2、空间向量的表示空间向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
向量通常用小写字母加箭头表示，如\（＼vec{a}＼）。
3、空间向量的模空间向量\（＼vec{a}＼）的模（长度）记作\（｜＼vec{a}｜＼），其计算公式为\（｜＼vec{a}｜＝＼sqrt{a_1^2 ＋ a_2^2 ＋ a_3^2}＼）（假设\（＼vec{a} ＝（a_1, a_2, a_3)＼））。
4、零向量长度为\（0\）的向量称为零向量，记作\（＼vec{0}＼），其方向是任意的。
5、单位向量模为\（1\）的向量称为单位向量。
若\（＼vec{a}＼）是非零向量，则与\（＼vec{a}＼）同向的单位向量为\（＼frac{＼vec{a}｝｛｜＼vec{a}｜｝＼）。
6、相等向量长度相等且方向相同的向量称为相等向量。
7、相反向量长度相等但方向相反的向量称为相反向量。
二、空间向量的运算1、加法空间向量的加法满足三角形法则和平行四边形法则。
设\（＼vec{a}＼）、＼（＼vec{b}＼）为两个空间向量，则它们的和向量\（＼vec{c} ＝＼vec{a} ＋＼vec{b}＼）。
2、减法空间向量的减法是加法的逆运算，＼（＼vec{a} ＼vec{b} ＝＼vec{a} ＋（＼vec{b}）＼）。
3、数乘运算实数\（＼lambda\）与空间向量\（＼vec{a}＼）的乘积\（＼lambda\vec{a}＼）仍然是一个向量。
当\（＼lambda ＞ 0\）时，＼（＼lambda\vec{a}＼）与\（＼vec{a}＼）同向；当\（＼lambda ＜ 0\）时，＼（＼lambda\vec{a}＼）与\（＼vec{a}＼）反向；当\（＼lambda ＝0\）时，＼（＼lambda\vec{a} ＝＼vec{0}＼）。
空间向量知识点总结图
空间向量知识点总结图一、空间向量的概念1.1 空间向量的定义空间中具有大小和方向的量称为空间向量，通常用有向线段表示。
1.2 空间向量的表示空间向量通常用坐标表示，如果空间中有两点A(X1, Y1, Z1)和B(X2, Y2, Z2)，则向量AB 可以表示为AB = (X2 - X1, Y2 - Y1, Z2 - Z1)。
1.3 空间向量的运算空间向量之间可以进行加法和数量乘法运算。
1.3.1 加法两个空间向量A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)的和为A+B = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)。
1.3.2 数量乘法一个空间向量A(x, y, z)和一个实数k的乘积为kA = (kx, ky, kz)。
二、空间向量的性质2.1 零向量的性质零向量是长度为0的向量，任何向量与零向量的和都是它自身。
2.2 相等向量的性质如果两个向量A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)的对应坐标相等，则它们是相等向量。
2.3 空间向量的线性运算性质空间向量的加法和数量乘法满足交换律、结合律和分配律。
2.4 向量共线的性质如果两个非零向量A和B共线，则存在一个非零实数k，使得A = kB。
2.5 向量共面的性质如果三个向量A、B、C共线，则它们共面。
三、空间向量的应用3.1 向量的数量积向量的数量积又称为点积，定义为A·B = |A| |B| cosθ，其中|A|和|B|分别为向量A和B的模，θ为向量A和B的夹角。
数量积的性质有交换律、分配律和数量积的几何意义。
3.2 向量的向量积向量的向量积又称为叉积，定义为A × B = |A| |B| sinθ n，其中|A|和|B|分别为向量A和B 的模，θ为向量A和B的夹角，n为垂直于A和B的单位向量。
向量积的性质有反交换律、分配律和向量积的几何意义。
3.3 应用举例空间向量在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用，如力的合成、面积计算、三维坐标系中的投影等。
空间向量场的基础
空间向量场的基础空间向量场是研究空间中向量的变化规律的数学概念。
本文将介绍空间向量场的基础知识，包括定义、性质和应用。
在介绍的过程中，将会用到一些数学符号和公式，以便更好地理解和描述空间向量场。
一、定义空间向量场是指在空间中每一点上都定义了一个向量的函数关系。
即对于空间中的每一个点P，都有与之对应的向量V，可以用函数关系V=f(P)来描述。
其中，f表示空间中的向量场函数。
二、性质1. 域：空间向量场函数f的定义域是三维空间，即f:P→V，其中P 为空间中的点集，V为空间中的向量集。
2. 连续性：空间向量场函数f在定义域内是连续的，即在空间中相邻的点上的向量应该具有连续性，不会出现突变或间断。
3. 方向：空间向量场具有方向性，即在空间中的每一个点上，与之对应的向量都有一个明确的方向。
4. 强度：空间向量场具有强度，即每个向量都有一个对应的模长，反映了向量的大小。
三、应用空间向量场有广泛的应用，包括物理学、工程学和计算机图形学等领域。
以下是一些常见的应用案例：1. 磁场：空间中的磁场可以通过向量场来描述。
每一个空间点上的向量表示该点处的磁场强度和方向。
在物理学中，研究磁场的分布和变化规律，就是研究空间向量场的基础问题之一。
2. 流体力学：在流体力学中，通过向量场可以描述流体的速度场。
每一个点上的向量表示该点处流体的速度和方向。
研究流体力学问题时，空间向量场的研究是不可或缺的。
3. 电场：在电磁学中，电场也是一种向量场。
每一个点上的向量表示该点处的电场强度和方向。
通过研究电场的分布和变化规律，可以深入理解和应用电磁学中的各种现象和定律。
4. 计算机图形学：在计算机图形学中，向量场的概念被广泛应用于生成真实感的图像和动画效果。
通过在空间中定义和操作向量场，可以实现诸如流体模拟、粒子系统和自然景观生成等高级图形技术。
总结：空间向量场作为研究空间中向量变化规律的数学工具，具有重要的理论和实际应用价值。
通过深入理解和掌握空间向量场的基础知识，可以为解决各种物理、工程和计算机图形学问题提供有力的方法和工具。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
空间向量基础知识和应用知识网络知识要点梳理知识点一：空间向量1.空间向量的概念在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：⑴空间的一个平移就是一个向量。
⑵向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
相等向量只考虑其定义要素：方向，大小。
⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
2.共线向量（1）定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作．当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．（2）共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数λ，使＝λ。
3.向量的数量积（1）定义：已知向量，则叫做的数量积，记作，即。
（2）空间向量数量积的性质：①；②；③．（3）空间向量数量积运算律：①；②（交换律）；③（分配律）。
4.空间向量基本定理如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。
若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
5.空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示；（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴:轴、轴、轴,它们都叫坐标轴.我们称建立了一个空间直角坐标系,点叫原点，向量都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；6.空间直角坐标系中的坐标在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标．7.空间向量的直角坐标运算律：（1）若，，则．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
（2）若，，则，，，，，；，．夹角公式：．（3）两点间的距离公式：若，，则或。
知识点三：空间向量在立体几何中的应用1. 立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明．对于垂直问题，一般是利用进行证明；对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．2．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角或其补角，而求两个向量的夹角则可以利用向量的夹角公式。
3．用向量法求距离的公式设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到平面的距离为（如图）。
规律方法指导向量法在求空间角上的应用平面的法向量的求法：设n=(x,y,z)，利用n与平面内的两个不共线的向a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解，即得到平面的一个法向量（如图）。
线线角的求法：设直线AB、CD对应的方向向量分别为a、b，则直线AB与CD所成的角为。
（注意：线线角的范围[00,900]）线面角的求法：设n是平面的法向量，是直线的方向向量，则直线与平面所成的角为（如图）。
二面角的求法：设n1，n2分别是二面角的两个面，的法向量，则就是二面角的平面角或其补角的大小（如图）利用法向量求空间距离⑴点A到平面的距离：，其中，是平面的法向量。
⑵直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。
⑶两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。
空间向量是高中数学中的重要内容之一，是处理空间线线、线面、面面位置关系和夹角的重要工具，是高考考查的重要内容之一.运用向量方法研究立体几何问题思路简单，模式固定，避免了几何法中作辅助线的问题，从而降低了立体几何问题的难度.本文将空间向量在立体几何中的应用的重要考点和解题方法作以解析.【考点及要求】1.理解直线的方向向量与平面法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.3.能用向量方法证明证明直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题，了解向量方法在研究集合问题中的应用.【考点归纳分析】考点1.利用空间向量证明空间垂直问题利用空间向量证明空间线线、线面、面面垂直问题是高考考查的重点内容，考查形式灵活多样，常与探索性问题、平行问题、空间角问题结合，考查形式可以是小题，也可以是解答题的一部分，或解答题的某个环节，题目容易，是高考中的重要得分点.例1(2010辽宁理19））已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥面ABC ，AB ⊥AC ，PA=AC=12AB ，N 为AB 上一点，AB=4AN,M,S 分别为PB,BC 的中点.证明：CM ⊥SN ；审题要津：本题空间坐标系易建立，可用坐标法.证明：设PA=1，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 分别为x ，y ，z 轴正向建立空间直角坐标系如图，则P （0,0,1），C （0,1,0），B （2,0,0），M （1,0,12），N （12,0,0），S （1,12,0） 111(1,1,),(,,0)222CM SN =-=--u u u u r u u u r ,因为110022CM SN •=-++=u u u u r u u u r ， 所以CM ⊥SN .【点评】对坐标系易建立的空间线线垂直判定（证明）问题，常用向量法，即通过证明所证直线的方向向量的数量积为0证明两直线垂直.例2(2010天津理19) 在长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱BC ,1CC上的点，CF =AB =2CE , 1::AB AD AA = 1:2:4.证明AF ⊥平面1A ED审题要津：本题空间坐标系易建立，可用坐标法. 解析：如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点，设1AB =,依题意得(0,2,0)D ,(1,2,1)F ,1(0,0,4)A ,31,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭ 已知(1,2,1)AF =u u u r,131,,42EA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ,11,,02ED ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r 于是AFu u u r ·1EA u u u r =0，AF u u u r ·EDu u u r =0.因此，1AF EA ⊥,AF ED ⊥,又1EA ED E ⋂=所以AF ⊥平面1A ED【点评】对坐标系易建立的空间线面垂直问题，通常用向量法，先求出平面的法向量和直线的方向向量，证明平面法向量与直线的方向向量平行或者直接用向量法证明直线与平面内两条相交直线垂直，再用线面垂直判定定理即可. 例3 （2010年山东文）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E 、G、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ==.求证：平面EFG ⊥平面PDC .审题要津：本题空间坐标系易建立，可用坐标法. 解析：以A 为原点，向量DAu u u v,ABu u u v ,AMu u u u v 分别为x 轴、y轴、z 轴的正方向，如图建立坐标系，设AM=1，则AD=AB=PD=2,则B(0,2,0),C(－2,2,0),D(－2,0,0),P(－2,0,2),M(0,0,1),则E(0,1,12),G(－1,1,1),F(－2,1,1)， ∴EGu u u v=(-1,0,12),GFu u u v =(－1,0,0),设平面EFG 的法向量m =（x ，y ，z ），则EG •u u u v m=12x z -+=0且GF •u u u vm =x -=0，取y =1，则x =z =0，∴m =（0，1,0）, 易证面PDC 的法向量为DAu u u v =(2,0,0), ∵DA•u u u vm =200100⨯+⨯+⨯=0,∴m ⊥DA u u u v, ∴平面EFG ⊥平面PDC【点评】对于易建立空间坐标系的面面垂直问题，常向量法，即先建立坐标系，求出两个平面的法向量，通过证明这两个平面的法向量垂直，即得面面垂直.考点2.利用空间向量处理空间平行关系空间线线、线面、面面平行关系问题是高考考查的另一个重点内容，考查的形式灵活多样，常与探索性问题、垂直问题、空间角问题结合，可以是小题，也可以是解答题的一个小题，题目的难度一般不大，是高考中的得分点之一.例4（2010 湖南理18）在正方体1111ABCD A B C D -，E是棱1DD 的中点。
在棱11C D 上是否存在一点F ，使1B F∥平面1A BE ?证明你的结论。
审题要津：本题坐标系易建立，可用向量法求解. 解析：以A 为坐标原点，如图建立坐标系，设正方形的棱长为2，则B(2,0,0),E(0,2,1),1A (0,0,2),1B (2,0,2)，∴BE u u u v =(－2,2,1),1BA u u u v=（－2，0，2），设面1BEA 的法向量为m=（x ，y ，z ），则BE•u u u v m =22x y z -++=0且1BA •u u u vm =22x z +=0，取x =1，则z =－1，y =32，∴m =（1，32，－1）, 假设在棱11C D 上存在一点F ，使1B F ∥平面1A BE ，设F(0x ，2，2)（0≤0x ≤2）,则BFu u u v=（02x-，2，2）， 则BF •u u u v m =031(2)2(1)22x ⨯-+⨯+-⨯=0，解得0x =1， ∴当F 为11C D 中点时，1B F ∥平面1A BE .【点评】对于易建立坐标系的线面平行问题的向量解法，有两种思路：（1）用共面向量定理，证明直线的方向向量能用平面内两条相交直线的方向向量表示出来，即这三个向量共线，根据共面向量概念和直线在平面外，可得线面平行；（2）求出平面法向量，然后证明法向量与直线的方向向量垂直即可.对于探索性问题，通常先假设成立，设出相关点的坐标，利用相关知识，列出关于坐标的方程，若方程有解，则存在，否则不存在.注意，（1）设点的坐标时，利用点在某线段上，设出点分线段所成的比，用比表示坐标可以减少未知量，简化计算;(2)注意点的坐标的范围.例5在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，在底面ABC 中ABC ∠=090,D 是BC 上一点，且1A B ∥面1AC D ，1D 为11B C 的中点，求证：面11A BD ∥面1AC D .审题要津：本题的坐标系容易建立，可用向量法. 解析：以B 点为原点，如图建立坐标系，设AB=a ，BC=2b ，1BB =c ，则A （a ,0,0），1C (0，2b ，c )，1B (0,0, c)，1A (a ，0，c )， ∴1D (0，b ，c )，设D(0，0y ，0)（0≤0y ≤2b ）， ∴ADu u u v=(－a ，0y ，0)，1AC u u u u v =(－a ，2b ，c )，1BA u u u v =(a ，0，c )，1BD u u u u v =（0，b ，c ），设面1AC D的法向量为m=(1x ，1y ，1z )，则AD•u u u v m =101ax y y -+=0且1AC •u u u u vm =1112ax by cz -++=0，取1y =a ，则1x =0y ，1z =02ayab c-，则m =（0y ，a ，02ayab c-）， 又∵1A B ∥面1AC D ，∴1BA •u u u v m =002ay abay c c -+⨯=0，解得0y =b ， ∴m =（b ，a ，ab c-），设面11A BD 的法向量为n =(2x ,2y ,2z ),则1BA •u u u vn =22ax cz +=0且1BD •u u u u vn =22by cz +=0，取2z =1，则2x =c a -，2y =c b -，则n =(c a -，cb -，1)，∴n =cab-m ， ∴m ∥n ， ∴面11A BD ∥面1AC D . 【点评】对面面平行问题的向量方解法有两种思路，（1）利用向量证明一个面内两条相交直线分别与另一个平面平行，根据面面判定定理即得；（2）求出两个平面的法向量，证明这两个法向量平行，则这两个面就平行.考点3利用空间向量处理异面直线夹角、线面角、二面角等空间角问题异面直线夹角、线面角、二面角等空间角问题是高考考查的热点和重点，常与探索性问题、平行问题、垂直等问题结合，重点考查综合利用空间向量、空间平行与垂直的有关定理、空间角的相关概念解决空间角问题的能力，是立体几何中的难点，难度为中档难度.例6(2010天津理19) 在长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F分别是棱BC,1CC 上的点，2CF AB CE==,1::1:2:4AB AD AA =（1）求异面直线EF 与1A D 所成角的余弦值；（2）求二面角1A ED F --的正弦值。