第十八讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理 课件ppt课件
L-积分的极限定理
(ii) f m ( x) f m1 ( x) ( x E), m 1,2,.
L-积分的极限定理
显然 { f m ( x)} 有极限，记为
f ( x) lim f m ( x) a.e.[ E ],
m
对这样的函数列，下式
f ( x)dx lim f
m E E
L-积分的极限定理
于是得到下面的 Fatou引理：设{fn}是可测集E上的非负 可测函数，则 ∫Elimfn(x)dx ≤ lim∫Efn(x)dx
L-积分的极限定理
问题4：对非负可测函数列 { fn }，上述 不等式中严格不等式能否成立？ 举例说明。
L-积分的极限定理
y
1/xn
xn 0, f n ( x)
n
1/ xn , 0 x xn 0, xn x 1
(1). lim f n ( x ) 0, x (0,1)
Sn (2).S n
(3).
f
( 0 ,1) n
n
( x)dx 1
n ( 0 ,1)
lim f
1
( x) dx 0
0
xn x0
x
L-积分的极限定理
L-积分的极限定理
因此 lim
m
E
f m ( x)dx f ( x)dx ，由
m
的任意性便知 lim
E
f m ( x)dx f ( x)dx。
E
E
另一方面，由于对任意 m，显然有
f m ( x) f ( x) (x E ) ，
L-积分的极限定理
一个重要定理。
《高等数学极限》课件
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无穷级数与无穷积分的收敛性
总结词
收敛性是无穷级数和无穷积分最重要的性质之一，它 表示无穷级数或无穷积分的和是有限的。收敛性的判 定是高等数学中的一个重要问题，需要用到多种数学 方法和技巧。
详细描述
收敛性是无穷级数和无穷积分最重要的性质之一，它 表示无穷级数或无穷积分的和是有限的。如果一个无 穷级数或无穷积分是收敛的，那么它的和就是有限的 ，否则就是发散的。收敛性的判定是高等数学中的一 个重要问题，需要用到多种数学方法和技巧，如比较 判别法、柯西判别法、阿贝尔判别法等。对于不同的 级数和积分，需要采用不同的方法和技巧进行收敛性 的判定。
03
导数与连续性
导数的定义与性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率的极限 ，表示函数在该点的切线斜率。
导数的性质
导数具有线性、可加性、可乘性和链 式法则等性质，这些性质在研究函数 的单调性、极值和曲线的几何特性等 方面具有重要应用。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
对于常数、幂函数、指数函数、三角函数和反三角函 数等基本初等函数，需要熟记其导数公式。
限的。
无穷积分的定义与性质
总结词
无穷积分是数学中另一个重要的概念，它是由无穷多个 定积分的和组成的积分。无穷积分具有一些重要的性质 ，如可加性、可乘性和可微性等。
详细描述
无穷积分是由无穷多个定积分的和组成的积分，这些定 积分可以是积分限不同的积分。无穷积分在数学中也有 着广泛的应用，如求解面积、体积和曲线长度等。无穷 积分具有一些重要的性质，如可加性、可乘性和可微性 等。其中，可加性表示无穷积分可以拆分成若干个部分 的和，可乘性和可微性则表示无穷积分可以与函数进行 运算和求导。
微积分基本定理PPT课件
π 0
sinx dx = -cosx
π 0
= -cosπ - -cos0 = -cos2π - -cosπ = -cos2π - -cos0
=2
2π π
sinx dx = -cosx
2π π
= -2
2π 0
sinx dx = -cosx
2π 0
接下来让我们练一练吧
定积分的基本公式,又称牛顿 ----莱布尼兹公式.常表示为
b
a
f(x)dx = F(x) = F b - F a .
b a
例1. 计算 -1
3
1 解: 因为 arctanx = 1 + x2 由微积分基本定理得：
'
dx . 2 1+ x
dx 3 = arctanx -1 -1 1 + x2 = arctan 3 - arctan -1
从几何意义上看，设曲线y=y(t) 上与 t i-1 对应的点为P，PD是P点处 的切线，由导数的几何意义知，切 线PD的斜率等于y' ti-1 ，于是
Δs i ≈ h i = tan∠DPCgΔt = y t i-1 Δt
'
物体的总位移s
s = Δsi ≈ hi = v t i-1 Δt
教学目标
知识与能力
了解微积分的概念和推 导过程以及基本思想，并能利用 微积分的定义解决实际问题.
过程与方法
通过实例（如变速运动物体 在某段时间内的速度与路程的关 系），直观了解微积分基本定理的 含义．
情感态度与价值观
微积分是大学阶段的数学必 修，是高等数学的基础组成部分.高 中阶段的导数是其基础.
微积分的基本定理PPT课件
所以F( x) 0即原方程在[0,1]上只有一个解.
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定理2（原函数存在定理）
如果 f ( x)在[a,b]上连续，则积分上限的函
数( x)
x
a
f
(t )dt 就是
f
( x) 在[a,b] 上的一个
原函数.
定理的重要意义：
（1）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.
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三、牛顿—莱布尼茨公式
定理 3（微积分基本公式）
如果F ( x) 是连续函数 f ( x) 在区间[a,b] 上
的一个原函数，则ab f ( x)dx F (b) F (a).
证 已知F( x)是 f ( x)的一个原函数，
又
( x)
x
a
f (t )dt 也是 f ( x) 的一个原函数,
三、 1、2 5 ； 2、 ； 3、 1 ； 4、4.
8
3
4
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四、1、0；
2、1 . 10
六、 5 , 0. 33
0 , x 0
七、( x)
1 2
(1
cos
x)
,
0
x
.
1 , x
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感谢您的欣赏
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原式
1
2xdx
2
5dx 6.
0
1
o 12x
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例6 求 2 max{x, x2 }dx. 2
y
解
由图形可知
y x2
f ( x) max{x, x2 }
y x
有界闭集上(r)积分的极限定理
有界闭集上(r)积分的极限定理
积分极限定理，也称作“微积分极限定理”，是一系列积分性质的普遍性定理，可以用来表示一个积分表达式上一类参数的极限情况。
积分极限定理可以用来代替实际求积分，简化计算。
积分极限定理的一般形式是：在一个定义在限制性区间[a,b] 上的积分k(x) 的极限值为L，如果K(x)在[a,b]上的函数连续，那么积分的极限定理就能够应用：
limk(x)dx=L
积分极限定理可以用来阐明一些复杂的积分表达式变化情况，也就是说当参数不断变化时，可以迅速回到极限表达式，从而实现快速求解。
这样就避免了通过实际计算来求得积分，节省了大量时间和精力。
积分极限定理提供的灵活性，可以用来解决许多热点科学问题，比如物理中力学、化学中关于化学反应速度的问题，都可以用积分极限定理表达出来，另外几何中的复杂几何形状也可以表达出来。
因此，积分极限定理在各个领域有着广泛的应用，它可以帮助我们对许多问题有更深入地认识和把握，从而更加有效的分析和解决各种实际问题。
《定积分的性质》课件
设函数f(x)在区间[a,b]上可积，任意c∈[a,b]，则∫(a→b)f(x)dx=∫(a→c)f(x)dx+∫(c→b)f(x)dx。
函数可加性
总结词
函数可加性是指定积分具有函数可加性，即对于任意分割的两个子区间[a,c]和 [c,b]，其上的定积分之和等于整个区间[a,b]上的定积分。
定积分的几何意义
面积
01
定积分表示曲线与x轴所夹的面积，即曲线下方的区域面积。
体积
02
对于二维平面上的曲线，定积分表示的是面积；对于三维空间
中的曲面，定积分则表示的是体积。
物理应用
03
定积分在物理中有广泛的应用，如计算力矩、功、速度等物理量。Βιβλιοθήκη 定积分的性质线性性质
定积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差的积分，可以分别对 每个函数进行积分后再求和或求差。
详细描述
积分第二中值定理说明了一个函数在两个闭 区间上的定积分值相等时，该函数在这两个 区间上必须满足的条件。这个定理在解决一 些等式问题时非常有用，因为它提供了一种 将两个区间的积分等式转化为函数性质的途 径。
积分第三中值定理
总结词
该定理表明如果一个函数在一个闭区间上的定积分值为零，那么该函数在该区间内至少 存在两个点，使得在这些点的函数值等于零。
详细描述
设函数f(x)在区间[a,b]上可积，任意c∈[a,b]，则 ∫(a→b)f(x)dx=∫(a→c)f(x)dx+∫(c→b)f(x)dx。
03
定积分的比较性质
无穷区间上的比较性质
总结词
定积分在无穷区间上的比较性质是指，如果函数在无穷区间上的积分值与其在有限区间上的积分值相 等，则函数在无穷区间上的积分值也相等。
Riemann积分 Lebesgue积分
从Riemann 积分到Lebesgue 积摘 要 积分是整个分析数学中最基本的概念，黎曼积分与勒贝格积分是两种非常重要的积分，它们之间既有区别又有联系。
本文主要通过对黎曼积分和勒贝格积分定义的分析与比较，归纳总结出二者的区别与联系. 关键词 黎曼积分;勒贝格积分;区别;联系一、Lebesgue 积分的引入1、R 积分的定义 设()f x 是定义在[],a b 上的有界函数，任取区间的一个划分T012n a x x x x b =<<<<=将区间[],a b 分成n 部分，在每个小区间1,i i x x -⎡⎤⎣⎦上任取一点ζi ,i =1,2,3,….作和11(ζ)()ni i i i S f x x -==-∑令11max()i i i nr x x -≤≤=-，如果对任意的分发与ζi 的任意取法，当0r →时，S 趋于有限的极限，则称它为()f x 在[],a b 上的黎曼积分，记为()baI R f x dx=⎰如果设=sup{f(x):};=inf{f(x):}则有f （x ）在[a,b]上Riemann 可积1()lim n bi i ar i f x dx M x →=⇔=∆∑⎰=01lim ()nbi i ar i m x f x dx →=∆=∑⎰⇔对任意的ε,η>0,总存在一个划分T ，使得对任意的划分，只要比T 更精细，则有所有振幅≥ε的小区间的长度之和小于ε。
注：振幅为区间内任意两点距离的上确界。
2、Riemann 积分的局限性a 、从Riemann 可积的充分必要条件可看出, 可积性涉及到分割小区间（1,i i x x -⎡⎤⎣⎦）的长度以及函数在其上的振幅（）。
若要函数可积, 则在r 趋于0的过程中（）不能缩小的那些对应项子区间的长度必须是无穷小。
也就是说, Riemann 函数的不连续点可用长度为任意小的区间簇覆盖, 粗略地说, Riemann 可积函数必须是“ 基本上是连续的”b 、积分运算不完全是微分运算的逆运算（微积分基本定理的条件太严） 微积分基本定理在微积分理论中起的重要作用是不言而喻的。
《定积分的基本性质》课件
函数在积分区间上整体移动、翻转或缩放，并不影响定积分的值。
定积分的几何意义
几何上，定积分表示曲线下面积的计算。通过对函数曲线下不同区间的积分，我们可以计算出曲线所包围的面 积。
牛顿-莱布尼茨公式
牛顿-莱布尼茨公式将定积分与原函数联系起来，它表达了函数定积分与原函数之间的关系。这个公式是微积 分的重要工具之一。
变限积分的定义和计算
变限积分是对函数在不同积分区间上的积分进行求解。在变限积分的计算中， 积分的上限和下限可以是任意数值。求解变限积分多使用牛顿-莱布尼茨公式 和基本定理。
变限积分的基本定理
1
积分上限的导数
2
基本定理还告诉我们，对变限积分求导
将得到被积函数的原函数，并通过差值
计算积分的上限处的导数。
《定积分的基本性质》PPT课 件
欢迎大家来到本次关于《定积分的基本性质》的PPT课件。在这个课程中，我 们将深入探讨积分的概念、性质以及几何意义。让我们一起开始这个美妙的 数学之旅吧！
积分的意义
积分是微积分的重要概念之一，它描述了曲线下的面积、物理量的累积和连续变化的过程。通过积分，我们可 以理解某一过程的总体效应。
3
求导与积分的关系
变限积分的基本定理指出，连续函数的 积分与原函数之间的关系可以通过求导 操作来体现。
积分下限的导数
类似地，基本定理还可以用于计算变限 积分下限的导数，通过差值计算积分的 下限处的导数。
Hale Waihona Puke 定积分的定义和计算公式定积分是将函数在一个闭区间上的取值进行求和的过程。数学上，定积分的计算使用黎曼和、定积分公式以及 牛顿-莱布尼茨公式。
定积分的性质
1 线性性质
定积分具有线性运算的性质，可以分解为多个函数的积分之和。
L积分与R积分的比较
L 积分与R 积分的比较1 引言黎曼积分(R 积分)起源于17世纪牛顿和莱布尼茨创立的微积分，接下来的两个世纪，经过欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、柯西、维尔斯特拉斯、康托等人的努力，积分概念逐步发展，最终成形于黎曼，即R 积分．但由于一个像狄利克雷函数这样简单的函数却不是R 可积，这个发现充分暴露了R 积分在某种程度上的局限性，为使积分学有更广泛的应用，人们期望能将可积函数类加以扩大，这就需要对R 积分进行改造，把积分学推向前进，这个人就是勒贝格，他在1902年成功引入了一种新的积分—勒贝格积分(L 积分)．L 积分是积分发展史上的一次革命，它使得积分论在集合论，测度论的基础上走向现代化，从而有可能在现代水平的层次上向其他现代数学分支渗透，促使了其他学科的发展，特别是三角级数和函数序列方面，概率论、泛函分析等学科也受到了L 积分的积极影响．本文将从以下不同角度系统比较勒贝格积分与黎曼积分．2 黎曼积分与勒贝格积分的不同定义 2.1 R 积分与L 积分的极限式定义定义2.1[]1(9192)P - (黎曼积分的定义) 设)(x f 是定义在[,]a b 上的有界函数,任取一分点组T ，0x = a < 1x < 2x < …< n x b =,将区间[,]a b 分成n 部分,在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点i ξ,(1234)i n =⋅⋅⋅、、、、、,作和s = 11()()i i i i f x x ξ∞-=-∑ ,令r = ni ≤≤1max (i x - 1-i x ) ,如果对任意的分法与i ξ 的任意取法,当0r →时, s 趋于有限的极限I ,则称此极限值I 为)(x f 在[,]a b 上的黎曼积分,记为I = （R ）⎰ba)(x f dx ．定义 2.2[]1(9192)P - (勒贝格积分的定义) 设E 是一个勒贝格可测集, ()m E <∞ , )(x f 是定义在E 上的勒贝格可测函数,又设)(x f 是有界的,就是说存在实数1 及u ,使得()f E ⊂(1,u ) ．在[1,u ]中任取一分点组D ，1 = 0l < 1l < …< n l = u ,记)(D δ=nk ≤≤1max (k l -1-k l ) ,k E = E (1()k k l f x l -≤<) 1{()}k k x E l f x l -=∈≤≤ ,并任取k ξ∈k E (我们约定,当k E =Φ时, f (k ξ)()0k m E =) ,作和)()()(1k nk km f D S E =∑=ξ,如果对任意的分法与k ξ的任意取法,当()D δ→0时, ()S D 趋于有限的极限J ,则称J 为)(x f 在E 上关于勒贝格测度的积分,记作J =dx x f E )(⎰．注 1 从定义2.1和定义2.2可以看出，它们的主要区别是：R 积分是将给定函数的定义域划分而产生的，而L 积分是划分函数的值域而产生的．除了上面的定义之外，R 积分与L 积分还有其他形式的定义.2.2 R 积分与L 积分的确界式定义定义2.3[]2(100106)P - （黎曼积分的定义） 设()f x 在[,]a b 上有界，T 表示[,]a b 的任一分划，这里n 为任一自然数，可随Ｔ而不同．设i M ,i m 分别表示()f x 在[1,i i x x -]上的上、下确界,(1234)i n =⋅⋅⋅、、、、、,(,)S T f =1n i i i M x =∆∑,(,)s T f =1ni i i m x =∆∑，分别称为()f x 关于分划T 的大和数与小和数，这里1,()bi i i ax x x f x dx -∆=-⎰=inf (,)TS T f ，()sup baTf x dx =⎰(,)s T f ，分别叫做()f x 在[,]a b 上的达布上积分与下积分．这里上、下确界是对[,]a b 的一切可能分划T 而取的．如果()baf x dx ⎰＝()baf x dx ⎰，（一般只有()baf x dx ⎰≥()baf x dx ⎰),则称()f x 在[,]a b 上Ｒ可积，并称此共同值为()f x 在[,]a b 上的R 积分，记为()b af x dx ⎰．定义 2.4[]2(100106)P - (勒贝格积分的定义) 设()f x 是可测集E （mE <∞）上的有界函数，记sup ()ii x E B f x ∈=，inf ()ii x E b f x ∈=，则1(,)ni ii S D f B mE==∑，1(,)ni ii s D f b mE==∑，()inf (,),EDf x dx S D f =⎰()sup (,)EDf x S D f =⎰，分别称为()f x 在E 上的Ｌ上、下积分，如果()()EEf x dx f x dx =⎰⎰，则称()f x 在E 上Ｌ可积，则称此共同值为()f x 在E 上的Ｌ积分，记为()Ef x dx ⎰．注 2 上述定义中的D 为可测集E 的可测分划，,i i D E E =⋃为可测集.3 L 积分与R 积分的比较3.１ 从可积函数的范围来看，L 积分比R 积分广泛L 可积函数的范围比 R 积分广,主要体现在 L 积分蕴涵了R 积分,有下述定理． 引理 1[]1(91)P 若()f x 是定义在[],a b 上的有界函数,则()f x 在[],a b 上是 R 可积的充要条件是()f x 在[],a b 上的不连续点集是零测度集．定理 1[]1(92)P 定义在有限区间[],a b 上的函数若为 R 可积,则必 L 可积,且积分值相等．即()()()()bbaaR f x dx L f x dx =⎰⎰．证明 由题设及引理 1, ()f x 在[],a b 上几乎处处连续,因此()f x 是[],a b 上的有界可测函数,([,])f L a b ∈． 其次对[],a b 的任意分划T :a = 123n x x x x <<<⋅⋅⋅< = b,根据 L 积分的可加性质有1[,],1()()i i na b i f x dx f x dx x x-⎡⎤⎣⎦==∑⎰⎰．记i M ,i m 分别为()f x 在[]1,i i x x -上的上、下确界,得11,()()i i i i i i m f x dx M x x x x --⎡⎤⎣⎦-≤≤⎰, (1234)i n =⋅⋅⋅、、、、、，从而可知1111()()()()nnii ii i i Ii i m f x d x M x xx x --==-≤≤-∑∑⎰，于是上式两端对一切分划T 各取上下确界立即得到()()bIaf x dx f x dx =⎰⎰，这说明()f x 在[],a b 上的 R 积分与L 积分是相等的.反之L 可积的函数未必 R 可积．例1 2,()1,x x f x x ⎧=⎨⎩为无理点为有理点，在区间[]0,1上不是R 可积的，却是L 可积的．这是因为除了点1x =外,闭区间[]0,1上的其余点都是间断点,即它在一正测度集上间断,所以它不是 R 可积的．但因为()f x 有界可测,所以这个函数是 L 可积的．3.2 从某些极限交换过程来看，L 积分较R 积分优越对R 积分来说，关于积分列求极限的问题，经常要求函数序列一致收敛（当然，这是充分条件），极限才可以与积分号交换顺序，这从运算的角度看不仅不方便，限制也过强，然而关于L 积分，对函数列的要求就宽得多.定理 2[4](38)P (黎曼积分中的极限交换过程)若函数列{()}n f x 在[,]a b 上一致收敛,且每一项都连续,则lim ()bn a n f x dx →∞⎰=lim ()bn an f x dx →∞⎰.证 设f 为函数列{()}n f x 在[,]a b 上的极限函数,所以f 在[,]a b 上连续,从而n f ,(1,2,3)n =⋅⋅⋅与f 在[,]a b 上都可积.因为在[,]a b 上()nf f n →→∞→,故对任给正数ε,存在N ,当n N >时,对一切[,]x a b ∈,都有()()n f x f x -ε<.再根据定积分性质,当n N >时,有()()bbn aaf x dx f x dx -⎰⎰=()()bn af x f x dx -⎰()()bn af x f x dx ≤-⎰()b a ε≤-,定理得证.注 3 这个定理意在指出函数列在R 积分意义下必须一致收敛,极限运算与积分运算的顺序才可以交换.在L 积分意义下，函数列的极限运算与积分运算换序要宽的多，体现在以下定理.定理 3[5](138)P (勒维定理)设可测集E 上可测函数列{()}n f x 满足下面的条件120()();f x f x ≤≤≤⋅⋅⋅lim ()().n n f x f x →∞=则()n f x 的积分序列收敛于()f x 的积分;()Ef x dm ⎰=lim ()n En f x dm →∞⎰.证 把序列化为级数的情形,令1()()()n n n u x f x f x -=-,0,()0.n N f x ∈= 有()Ef x dm ⎰=11(()())n n En f x f x dm ∞-=-∑⎰=11lim(()())rn n Er n f x f x dm -→∞=-∑⎰=11lim(()())rnn Er n fx f x dm -→∞=-∑⎰=lim()r Er f x dm →∞⎰.在这里利用积分的线性并需要假设一切()r f x 均可积,但当出现了r f 不可积时,可以直接看出,所要证明的等式两边都成为∞.所以定理得证.注 4 在勒维定理中,并未假设()f x 的可积性,但当极限limn En f dm →∞⎰存在为有限时,可以断定f 可积.(因若f 不可积,将有lim n En f dm →∞⎰=∞.)注 5 从勒维定理可以看出,它的条件与定理2对比简单多了. 定理 4[5](139)P (勒贝格控制收敛定理)设可测函数列{()}n f x 满足下述条件: ()n f x 的极限存在, lim n →∞()n f x =()f x ,且有可积函数()g x 使()n f x ≤()g x , 那么, ()f x 可积且有()lim ()n EEn f x dm f x dm →∞=⎰⎰．说明 控制收敛定理是应用非常广泛，它在函数论、微分方程与概率论中是极为重要的工具．控制收敛定理的创立显示出 L 积分理论的极大优越性．与勒维定理相比它不再要求{()}f x 非负可测.证明 构造()g x +()n f x ≥0 由引理 2得()()lim ()()lim ()()n n E En n g x f x dm g x f x dm →∞→∞+≤+⎰⎰，即()()()n g x f x +dm ≤()lim ()n E En g x dm f x dm →∞+⎰⎰， ()lim ()EEn f x dm f x dm →∞≤⎰⎰． （1）另一方面构造()g x -()n f x ≥0，由引理 2得()()lim ()()lim ()()n n E En n g x f x dm g x f x dm →∞→∞-≤-⎰⎰，左边=()Eg x ⎰ - ()Ef x dm ⎰，右边=()Eg x ⎰+lim ()n En f x dm →∞⎰=()E g x ⎰- lim ()n En f x dm →∞⎰，所以()Ef x dm ⎰=lim ()n En f x dm →∞⎰，即()Ef x dm ⎰=lim ()n En f x dm →∞⎰， （2）由（1）（2）lim ()n En f x dm →∞⎰≤()Ef x dm ⎰≤lim ()n En f x dm →∞⎰，所以()Ef x dm ⎰=lim ()n En f x dm →∞⎰．注 6 在控制收敛定理中()g x 可以取常数M ，这是因为mE <+∞时，EMdm <+∞⎰．例2 求[0,2lim()n R →∞⎰分析()n f x =在[0,2]上不一致收敛,故在R 积分中该题无法计算,而在 L 积分中|()n f x ≤≤3,满足勒贝格控制收敛定理,所以此题可在 L-积分中意义下讨论.解 因为()n f x 在[0,2]上连续,故()n f x 在[0,2]上R 可积,从而L 可积且[0,2()R =⎰[0,2()L ⎰|()n f x |≤≤所以 由控制收敛定理[0,2lim n →∞⎰=[]0,2n ⎰,又[0,2lim n →∞⎰1,01,12x x x ≤≤⎧⎨<≤⎩,所以[0,2lim()n R →∞⎰=[0,2lim()n L →∞⎰=121dx xdx +⎰⎰=35122+=． 定理 5 (法杜定理)设()n f x 是可测集E 上的非负可测函数列,则lim ()lim ()nn E En n f x dm f x dm →∞→∞≤⎰⎰.注 7 法杜定理中对函数列所加的条件比较简单,主要是非负列这一条件,这时函数列的极限与积分列的极限都不一定存在,假如两个极限都存在,定理中的下极限自然应改为极限.注 8 定理2到定理5,从多个方面论述了极限的交换过程必须严格按照函数列的性质进行选择.并可以综合得出结论,即 L 积分要比R 积分的条件宽泛,3.3 从积分的条件上看，L 积分较R 积分广泛 L 积分比R 积分优越的第三方面体现在微积分基本定理()()()baf x dx f b f a '=-⎰这一公式上.数学分析中通常在()f x 有连续导数的假定下牛顿-莱布尼茨公式成立,或者将条件减弱些,但总要求()f x '为 R 可积才行,一般情况下,当()f x '存在时未必有牛顿-莱布尼茨公式．然而在 L 积分中对有界函数来说这一困难是不存在的,在()f x 是有限值但无界的情形只要是L 可积的,基本定理仍是成立的．例32,0;()0,0;2,0;x f x x x -<⎧⎪==⎨⎪>⎩在[2,2]-上是R 可积的，但函数()f x 不存在原函数．例4函数221212sin cos ,0()0,0x x f x x x x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩存在原函数221sin ,0(),0,0x x F x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩但()f x 在[1,1]-上不是Ｒ可积，因为221cos x x在[1,1]-上无界．除了以上情况下面的几个定理也从不同方面论证了在积分与微分的关系问题上比黎曼积分优越.定理 6[6](100101)P - 设()f x 是[,]a b 上勒贝格可积,则其不定积分是绝对连续函数. 定理 7[6](100101)P - 设()f x 是[,]a b 上勒贝格可积,则存在绝对连续函数()F x ,使得()F x '=()f x 几乎处处于[,]a b 有定义(只需[,]()()a x F x f t dt =⎰).定理 8[6](100101)P - ()F x 是[,]a b 上的绝对连续函数,几乎处处有定义的()F x '在[,]a b 上勒贝格可积,且()F x =[,]()()a x F a F t dt '+⎰.即()F x 总是[,]a b 上勒贝格可积函数的不定积分.由定理7可以得到一个重要事实,即在勒贝格积分范围内积分再微分则还原.由定理6和定理8可以看出绝对连续函数的重要性,完全可以标志不定积分,定理8是牛顿-莱布尼茨公式的推广.注 9 由上可见勒贝格积分在积分与微分的关系问题上比黎曼积分优越.４ L 积分与R 积分的应用R 积分与L 积分各有自己的优势和价值．在计算连续函数的积分,解决古典问题中质量、重心、面积问题时, R 积分要比L 积分简便, 优越．例5[7](254255)p - (在计算面积问题时R 积分简便)计算由内摆线33cos ,sin x a t y a t ==绕x 轴旋转所得旋转曲面的面积．解 由曲线关于y轴的对称性及公式（as =⎰），得3204sin S a ππ=⎰＝242012sin cos at tdt ππ⎰＝2125a π． L 积分是积分发展史上的一次革命,它使得积分论在集合论、测度论的基础上走向现代化,从而有可能在现代水平的层次上向其它现代数学分支渗透,促进了其它学科的发展,特别是三角级数和函数序列方面．概率论,泛函分析等学科也受到L 积分的积极影响．例6[]10 (级数方面L 积分的应用)求积分10ln(1)x dx x -⎰解 当01x <<时2ln(1)1()2nx x x x x x n -=-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅11n n x n -∞==-∑，于是10ln(1)x dx x -⎰1101()n n x dx n-∞==-∑⎰ (1) 此时,上式右边是R 积分,它可以理解为L 积分,由于1n x n-在[0,1]上非负可测,所以11110011()n n n n x x dx dx n n --∞∞--=∑∑⎰⎰ (2) (2)式右边是L 积分,可理解成R 积分,,由R 积分计算有1120111n n n x dx n n-∞∞-==-∑∑⎰故10ln(1)x dx x -⎰22116n n π∞==-=-∑ 注 10 这里(2)式是用L 积分理论证明的,如果用通常R 积分理论,需验证11n n x n-∞=∑在[0,1]上一致收敛,这里是不可能的,因为在1x =处,此级数发散.此外,L 积分作为纯粹数学研究的产物,后来在热学,统计力学,控制论等自然学科得到深刻而重要的应用．参考文献：[1] 刘晓辉,刘文菡.勒贝格积分相对于黎曼积分的优越性[J].河北:新余高专报,2006[2] 程其襄等.实变函数与泛函分析基础[M].第二版.北京：高等教育出版， 2003[3] 汪秀荣.从黎曼积分,勒贝格积分看积分理论的发展[J].广西:广西师范学院报,1996[4] 华东师范大学数学系.数学分析[M]. 第三版. 北京：高等教育出版,2004[5] 郑维行.实变函数与泛函分析概要[M].第三版.北京：高等教育出版社， 2005[6] 潘学锋.浅谈黎曼积分与勒贝格积分的区别[J].新疆:自然科学报,2007[7] 张喜堂.实变函数论的典型问题与方法[M].武汉：华中师范大学出版社，2004[8] 夏道衍.实变函数论与泛函分析[M].北京：高等教育出版，1994[9] 周民强.实变函数论[M].北京：北京大学出版社，2007[10] Ssks.Theory of the Integral Warszawa,1933[11] 曹广福.实变函数论[M].北京：高等教育出版社，2000[12] Frank Ayres,Jr.Ph.D.Elliott Mendelson,Ph.D.《CALCULUS》，Higher Education Press,2000。
积分学培训课件
热学中的积分概念与计算方法
积分在热学中的基本概念
01
介绍积分在热学中的定义、性质和计算方法，如定积分、不定
积分等。
热学问题中的积分计算
02
通过具体实例，介绍如何利用积分解决热学问题，如求物体的
温度分布、热量传递等。
积分在热学中的实际应用
03
举例说明积分在解决实际问题中的应用，如求物体的热传导系
数、热容等。
案例分析
以计算曲线的长度为例，我们可以使用定积分来计算曲线的长度。首先，我们需要将曲线分割成许多 小段，然后计算每段曲线的长度，最后将所有段落的长度相加即可得到整个曲线的长度。
反常积分及其计算方法
定义与性质
反常积分是积分学中的特殊类型，它包 括无穷区间上的积分和无界函数的积分 。反常积分的性质与定积分有所不同， 例如反常积分可能没有原函数。
特殊函数积分的计算方法与技巧
计算方法
特殊函数积分的计算方法主要包括直接积分法、换元积分法、分部积分法等。
计算技巧
在计算特殊函数积分时，需要注意一些计算技巧，如利用函数的对称性、周期性、奇偶 性等性质进行简化计算。
特殊函数积分的应用场景与案例分析
应用场景
案例分析
特殊函数积分在数学、物理、工程等领域 都有广泛的应用，如求解微分方程、计算 定积分、解决实际问题等。
积分学培训课件
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目录
• 积分学概述 • 微积分基础 • 积分学应用 • 多元函数积分学 • 特殊函数积分学 • 积分学在物理中的应用
01
积分学概述
积分的定义与性质
积分的定义
积分是数学中一个重要的概念， 它表示函数在某个区间上的面积 或体积。积分的定义基于极限和 微积分的基本原理。
第十八讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理 课件ppt课件
lim
m
Ek
{ f
m
( x)}l dx M
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
由 m 的任意性立得
m
lim
f
E
m
( x)dx f ( x)dx 。
E
证毕。
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
三．Lebesgue基本定理
问题1：回忆 f 的Riemann可积性与| f |
的Riemann可积性是否等价。对
常义Riemann积分而言，情形又
如何？
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
我们曾经提到Lebesgue积分是Riemann积 分的推广，然而对广义Riemann积分来说， Riemann可积性并不意味着Lebesgue可积 性，这从前面的例子已经看到。
测子集列，E Ek，则当 f(x) 在 E 上
有积分时， f(x) 在每一 Ek 上都有积分， 且
k 1
f ( x)dx f ( x)dx.
E k 1 Ek
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
证明：记 Ek 为 Ek 的特征函数，则
Ek
f
则
f ( x)dx lim f
E m E
m
m ( x)dx.
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
(2) Levi定理的证明 先设
E
， f ( x)dx ，对任意 0
取正整数 l, k, 使
{ f ( x)}l dx f ( x)dx , 2 E E
定积分与微积分基本定理课件
欢迎来到本次课程，我们将深入探讨定积分与微积分的基本定理。
定积分的概念与性质
1 概念
定积分是用来计算曲线下面的面积或者计算变化率的数学工具。
2 性质
定积分具有加法性、线性性、保号性、保序性等基本性质。
3 重要定理
有界函数定积分存在性定理、定积分的中值定理等。
定积分的定义
1 黎曼和
定积分定义为用无穷小矩形逼近曲线下面的面积，并在极限存在时得出结果。
2 积分上限与下限
定义了定积分的区间，上限与下限决定了曲线下面的范围。
3 求解方法
可以进行直接计算、几何意义、等价改写等方式求解定积分。
计算定积分的方法
1
换元法
通过变量代换，把原有的积分式子转化为更简单的形式，以便求解。
2
分部积分法
通过将积分式子分解成两个函数的乘积，再逐步求解得到结果。
3
级数法
将函数展开成幂级数，再通过对级数求积分计算定积分。
微积分基本定理的内容
第一基本定理
定积分与原函数之间的关系，使得我们可以通 过求导得到定积分。
第二基本定理
计算定积分时，我们可以通过寻找原函数的算 法来简化计和推导来证明微积分基本定理的正确性，为其在实际使用中奠定基础。
微积分基本定理的应用
物理学
微积分在物理学中常用于描述运 动、力学和电磁学等领域。
经济学
工程学
经济学家使用微积分来研究需求 和供给、垄断和竞争等经济现象。
工程学中的建模和设计过程依赖 于微积分来解决复杂的问题。
展望与总结
通过学习定积分与微积分的基本定理，你将更深入理解数学背后的美妙，并能应用于各个领域。
勒贝格积分定义及基本定理
(ff)d xfd xfd x0.
[a,b]
[a,b]
[a,b]
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
又 f(x)dx m(x)dx
[a,b]
[a,b]
im
mi(m)(xi(m)xi( m 1))abf(x)dxi1来自f(x)dx m(x)dx
[a,b]
[a,b]
im
M i(m)(xi(m)xi( m 1))abf(x)dx
E
E kE
E kE
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
注意到 mEk，且在 Ek 上，
{f(x)}l m l i m {fm(x)}l，
由Egoroff定理知，存在
mE 4l ，且在 Ek E
E Ek，使 上 {fm(x)}l
一致收敛到 {f (x)}l。
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
L-积分的极限定理
定理的叙述（L-可积函数何时Riemann可积） 如果有界函数在闭区间[a,b]上是Riemann可积 的，则在[a,b]上也是Lebesgue可积的，且
b
f(x)dxa f(x)dx,
[a,b]
此处 f ( x)dx 表示在[a,b]上的Lebesgue积分，
[ a ,b ]
b f (x)dx 表示在[a,b]上的Riemann积分。 a
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
证明：显然，由本节定理1，只需证明 是[a,b]上的可测函数。 由于 f Riemann可积，取[a,b]的分点组
D m :a x 0 (m ) x 1 (m ) x i ( m m ) b ,D m 1
l积分和r积分的关系
l积分和r积分的关系
黎曼积分（R积分）起源于17世纪牛顿和莱布尼茨创立的微积分，在某种程度上具有一定的局限性。
为使积分学有更广泛的应用，人们期望能将可积函数类加以扩大，这就需要对R积分进行改造，把积分学推向前进，这一工作最终由勒贝格完成，他在1902年成功引入了一种新的积分——勒贝格积分（L积分）。
L积分与R积分的主要区别在于分割对象不同。
R积分是对定义域进行分割，而L积分是对值域进行分割，这种分割方式使得在分割点处一部分函数值跳跃很大的情况下，也能够更准确地进行积分运算。
在实际应用中，可以根据具体需求选择使用L积分或R积分。
大学 高等数学 极限运算法则 知识课件PPT
则有
说明: 定理 2 可推广到有限个函数相乘的情形 .
推论 1 .
( C 为常数 )
推论 2 .
( n 为正整数 )
为无穷小
(详见P44)
定理 3 . 若
且 B≠0 , 则有
证: 因
有
其中
设
无穷小
有界
因此
由极限与无穷小关系定理 , 得
为无穷小,
定理4: 若
且
则
例1. 设 n 次多项式
试证
证:
x = 3 时分母为 0 !
例2. 设有分式函数
其中
都是
多项式 ,
试证:
证:
说明: 若
不能直接用商的运算法则 .
例3.
若
例4 . 求
解: x = 1 时
分母 = 0 , 分子≠0 ,
但因
例5 . 求
解:
时,
分子
分子分母同除以
则
分母
“ 抓大头”
原式
一般有如下结果：
为非负常数 )
第一章
一、 极限的四则运算法则
二、 复合函数的极限运算法则
ห้องสมุดไป่ตู้第五节
极限运算法则
一、 极限的四则运算法则
则有
证: 因
则有
(其中
为无穷小)
于是
由上节定理 2可知
也是无穷小,
再利用极限与无穷小
的关系定理 , 知定理结论成立 .
定理 1 . 若
说明: 定理 1 可推广到有限个函数相加、减的情形 .
( 如P46 例5 )
( 如P47 例6 )
( 如P47 例7 )
三、 复合函数的极限运算法则
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第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
注意到 f , f 都是有界可测的，所以
f f 是非负Lebesgue可积函数，从而
[ a ,b ]
( f f )dx
f dx
[ a ,b ]
[ a ,b ]
f dx 0.
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
定理的叙述（L-可积函数何时Riemann可积） 如果有界函数在闭区间[a,b]上是Riemann可积 的，则在[a,b]上也是Lebesgue可积的，且
[ a ,b ]
f ( x)dx
b
a
f ( x)dx,
此处
b
[ a ,b ]
f ( x)dx 表示在[a,b]上的Lebesgue积分，
(1) Levi定理 问题3：从定理的条件，函数序列的极 限与函数序列可否比较大小？ 问题4：定理中并未假定集合的测度有 限，也未假定函数序列有界， 如何克服这一困难？
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
问题5：定理的条件中，假定了函数序 列的单调性，这说明函数序列 至少是几乎处处收敛的，单几 乎处处收敛的函数序列的积分 与极限必可交换顺序吗？如何 克服这一困难？
( m) im
b, Dm1
( Dm ) max{x
1i im
x } 0,
( m) i 1
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
记
mi( m ) , M i( m )
im
分别为 f 在 [ x ( m) , x ( m) ] 下的 i i 1
( m) i 1
则
f ( x)dx lim f
E m E
m
m ( x)dx.
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
下确界和上确界，由Riemann积分的定义知
m
lim
m
i 1
( m) i
( x x ) lim
( m) i
m
M
i 1
im
( m) i
(x x )
( m) i ( m) i 1
b
a
f ( x)dx
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
令 m , m 为如下的函数列：
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
目的：了解Riemann 可积性与Lebesgue可 积性之间的关系，熟练掌握Lebesgue积 分的极限定理，并能熟练运用这些定理。 重点与难点：L-积分极限定理及其应用。
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
基本内容： 一．R-积分与 L-积分的关系
问题1：回忆 f 的Riemann可积性与| f |
的Riemann可积性是否等价。对
常义Riemann积分而言，情形又
如何？
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
我们曾经提到Lebesgue积分是Riemann积 分的推广，然而对广义Riemann积分来说， Riemann可积性并不意味着Lebesgue可积 性，这从前面的例子已经看到。
a b
M
(x
( m) i
x
( m) i 1
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
这说明 f ( x)dx f ( x)dx
故
[ a ,b ] a
[ a ,b ]
b
( f ( x) f ( x)) dx 0。
[ a ,b ]
Hale Waihona Puke f ( x)dx，则因 Dm Dm1，故当区间长度缩小时， 上确界不增，下确界不减，所以
1 2 3 m f 1 2 m f
于是 lim m f f , lim m f f，即
m m
f f f.
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
那么，通常意义下的 Riemann 可积性是 否意味着Lebesgue可积性呢？如果不是 的 话 ， 则 就 不 能 认 为 Lebesgue 积 分 是 Riemann 积分的自然推广，幸运的是， 答案是肯定的。
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
又
[ a ,b ] im
i 1
f ( x)dx
[ a ,b ]
( m) i
m
( x)dx
) f ( x)dx
a b
m
[ a ,b ] im
i 1
(x
( m) i
x
( m) i 1
f ( x)dx
[ a ,b ]
( m) i
m
( x)dx
) f ( x)dx
m , x ( x , x ] m ( x) , f (a), x a
( m) i ( m) i 1 ( m) i
M , x ( x m ( x) f (a), x a
( m) i
( m) i 1
,x
( m) i
]
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
由本节定理3知 f f a. e.，进一步
f f f a.e.[a, b]，因此 f 在[a,b]上可测，
证毕。
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
二．Levi定理
问题2：回忆Riemann积分中，积分
与极限交换顺序的条件？
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
勒维Levi定理 设
(i) f m ( x), m 1,2, 是E上的非负可测函数序列，
(ii) f m ( x) f m1 ( x) ( x E ), m 1,2,,
(iii ) f ( x) lim f m ( x) a.e.[ E ],
a
f ( x)dx 表示在[a,b]上的Riemann积分。
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
证明：显然，由本节定理1，只需证明 是[a,b]上的可测函数。 由于 f Riemann可积，取[a,b]的分点组
Dm : a x
( m) 0
x
( m) 1
x
( m) i