复数的几何意义

a＋bi（a，b∈R）； 实部和虚部分别相等.
复习巩 固
3.实数、虚数、纯虚数的含义分别如 何？ 设z＝a＋bi（a，b∈R）.
当b＝0时z为实数； 当b≠0时，z为虚数； 当a＝0且b≠0时，z为纯虚数.
复习巩 固
4.复数集、实数集、虚数集、 纯虚数集之间的关系如何？
复数 纯虚数 实数 虚数
提出问 题
y
问题探 究
b
Z ： a＋ bi a
| a + bi |=
a +b
2
2
O
x
问题探 究
5、设向量a，b分别表示复数z1，z2， 若a＝b，则复数z1与z2的关系如何？
规定：相等的向量表示同一个复数.
6、若|z|＝1，|z|＜1，则复数z对应 复平面内的点的轨迹分别是什么？ 单位圆，单位圆内部.
典例讲 评
问题探究
z1 | z1 | 7、怎样理解 | |= ？ z2 | z2 |
典例讲评
例1 设z＝(1＋2i)÷(3－4i)×(1＋i)2 求z. 4 2
z= -
5
+
5
i
3 + mi 例2 设复数 z = ，若z为纯虚 3 + 3i
形成结论
复数的减法法则： 1、(a＋bi)-(c＋di)＝(a-c)+(b-d)i 2、两个复数的差仍是一个复数. 两个复数的差的实部等于这两个复 数的实部之差，两个复数的差的虚部等 于这两个复数的虚部之差.
问题探究
1、设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应的 uuur uuur 向量分别为OZ 1， OZ 2，则复数z1－z2对应 的向量是什么？|z1－z2|的几何意义是 Z2 y 什么？
y
Z0
r
Z
O
x
问题探究
3、满足|z－(a＋bi)|＝|z－(c＋di)|的 复数z对应复平面上的点的轨迹是什么？
y Z2 O
Z
点(a，b)与点(c，d) 的连线段的垂直平 分线 . x
Z1
问题探究
4、设a为非零实数，则满足|z－a|＝ |z＋a|，|z－ai|＝|z＋ai|的复数z分 别具有什么特征？
问题探究
问题探究
3、设复数z1 ＝ a ＋ b i ， z ＝ c ＋ d i 对 2 uuur uuur uuur 应的向量分别为 ， ，那么向量 OZ OZ OZ 1 1 2 uuur uuur uuur OZ 2 ， OZ 1 + OZ 2 的坐标分别是什么？ uuur OZ 1 ＝(a，b)， uuur OZ 2 ＝(c，d)， uuur uuur OZ 1 + OZ 2 ＝(a＋c，b＋d).
例1 已知复数
z = log2 (m - 3m - 3) + i log2 (m - 3)
对应的点在直线x－2y＋1＝0上，求实数m 的值.
2
m =
15
典例讲 评
例2 若复平面内一个正方形的三个顶 点对应的复数分别为z1＝1＋2i，z2＝－2＋ i，z3＝－1－2i，求这个正方形第四个顶 点对应的复数.
问题探究
6、两个实数的和仍是一个实数，两个 复数的和仍是一个复数，两个虚数的和 仍是一个虚数吗？ 不一定.
问题探究
7、复数的加法法则满足交换律和结 合律吗？
z 1＋z 2＝ z 2＋z 1，
(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).
问题探究
8、规定：复数的减法是加法的逆运算， 若复数z＝z1－z2，则复数z1等于什么？ z 1＝z ＋z 2
3.1 数系的扩充和复数的概 念 3.1.2 复数的几何意义
复习巩 固
1.虚数单位i的基本特征是什么？
（1）i2＝－1； （2）i可以与实数进行四则运算，且原
有的加、乘运算律仍然成立. 虚数单位i的引入解决了负数不能 开平方的矛盾，并将实数集扩充到了
复数集。
复习巩 固
2.复数的一般形式是什么？复数相等 的充要条件是什么？
若|z－a|＝|z＋a|，则z为纯虚数或零； 若|z－ai|＝|z＋ai|，则z为实数.
典例讲评
例1 计算(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i). －11i 例2 如图，在矩形OABC中，|OA|＝2|OC| 点A对应的复数为 3 + i ，求点B和向量 uuu r y B 对应的复数 . AC
提出问题
3.两个实数可以进行加、减运算， 两个向量也可以进行加、减运算，根 据类比推理，两个复数也可以进行加、 减运算，我们需要研究的问题是，复 数的加、减运算法则是什么？
问题探究
1、设向量m＝(a，b)，n＝(c，d),则向 量m＋n的坐标是什么？
m＋n＝(a＋c，b＋d)
uuur uuur 2、设向量OZ 1， 分别表示复数 z ， OZ 1 2 uuur uuur z2，那么向量 OZ 1 + 表示的复数应该 OZ 2 是什么？ z 1＋z 2
以原点为始点，向量的 坐标对应的点为终点画 有向线段.
O
y (a ， b) x
3、在复平面内，复数z＝a＋bi（a， b∈R）用向量如何表示？
y
问题探 究
b
O a
Z ： a＋ bi
x
以原点O为始点，点Z（a，b）为终点的 uuu r 向量 OZ .
4、复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用向量 uuu r 表示，向量OZ 的模叫做复数z的模，记作 |z|或|a＋bi|，那么|a＋bi|的计算公式 是什么？
9、设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，z＝ x＋yi，代人z1＝z＋z2，由复数相等的 充要条件得x，y分别等于什么？ x＝a－c，y＝b－d.
问题探究
10、根据上述分析，设复数z1＝a＋bi， z2＝c＋di，则z1－z2等于什么？
z 1 － z 2 ＝ (a － c )＋ (b － d )i
3.复数z＝a＋b i 与复平面内的点 uuu r Z（a，b）和向量OZ 是一个三角对应 关系，即
复数z＝a＋bi
课堂小 结
点 Z(a ， b)
uuu r 向量 OZ
3.2
复数代数形式的四则运算 复数代数形式的加、减 运算及其几何意义
3.2.1来自百度文库
复习巩固
1.复数的代数形式是什么？在什么 条件下，复数z为实数、虚数、纯虚数？
Z
z ?z
| z | =| z |
2
2
O
x
z
问题探究
5、若复数z1＝z2· z，则称复数z为复 数z1除以z2所得的商，即z＝z1÷z2. 一般地，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋ di（c＋di≠0），如何求z1÷z2？
a + bi (a + bi )(c - di ) ac + bd bc - ad = = 2 + 2 i 2 2 c + di (c + di )(c - di ) c + d c +d
代数形式：z＝a＋bi（a，b∈R）. 当b＝0时z为实数； 当b≠0时，z为虚数； 当a＝0且b≠0时，z为纯虚数.
提出问题
2.复数z＝a＋bi（a，b∈R）对应复 平面内的点Z的坐标是什么？复数z可以 用复平面内哪个向量来表示？ 对应点Z（a，b），
y Z(a，b) O x
uuu r 用向量 OZ 表示.
y Z1
z 4＝2 －i
Z2 O Z3 Z4 x
典例讲 评
例3 设复数 z = log x + 4i ， 1
2
若|z|≥5，求x的取值范围.
1 x ? (0, ] U [8, ? ) 8
课堂小 结
1.复数集C和复平面内所有的点所成的集 合是一一对应的，即 一一对应 复数z＝a＋bi 复平面内的点 Z （ a， b） 2.复数集C与复平面内的向量所成的集合 也是一一对应的，即 复数z＝a＋bi 一一对应 复平面内的向 uuu r 量 OZ
5.实数与数轴上的点一一对应，从 而实数可以用数轴上的点来表示，这 是实数的几何意义，根据类比推理， 复数也应有它的几何意义.因此，探究 复数的几何意义就成为一个新的学习 内容.
问题探 究
1、在什么条件下，复数z惟一确定？ 给出复数z的实部和虚部
2、设复数z＝a＋bi（a，b∈R），以 z的实部和虚部组成一个有序实数对 （a，b），那么复数z与有序实数对 （a，b）之间是一个怎样的对应关系？
一一对应
问题探 究
3、有序实数对（a，b）的几何意义是什 么？复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用什 y （ a， b） 么几何量来表示？
b
Z ： a＋ b i a x O
复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用直角 坐标系中的点Z（a，b）来表示.
形成结 论
用直角坐标系来表示复数的坐标平面 叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做 虚轴.
问题探究
1、设a，b，c，d∈R， 则(a＋b)(c＋d)怎样展开？ (a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd
形成结论
1、设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di， 其中a，b，c，d∈R，则 z1z2＝(a＋bi)(c＋di)，按照上述运 算法则将其展开，z1z2等于什么？ z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 2、(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi.
形成结 论
一般地，实轴上的点，虚轴上的点，各 象限内的点分别表示什么样的数？
y
b
O
a
Z ： a＋ bi
实轴上的点表示实数；
x
虚轴上的点除原点外都表示纯虚数，
各象限内的点表示虚部不为零的虚数.
问题探 究
1、用有向线段表示平面向量，向量的 大小和方向由什么要素所确定？
有向线段的始点和终点.
2、用坐标表示平面向量，如何根据向 量的坐标画出表示向量的有向线段？
课堂小结
3. 在实际应用中，既可以将复数 的运算转化为向量运算，也可以将向 量的运算转化为复数运算，二者对立 统一.
布置作业
P109练习：1，2.
P112习题3.2A组：2，3.
3.2
复数代数形式的四则运算
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
复习巩固
1.设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，则 z1＋z2，z1－z2分别等于什么？ z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i. z 1 － z 2 ＝ ( a － c )＋ (b － d )i 2.设z1，z2为复数，则|z1－z2|的几何 意义是什么？ 复数z1，z2对应复平面内的点之间的 距离.
1 (- + 2 1 (- 2 3 3) + (1 + )i C 2 3 3) + ( - 1)i 2
A
O
x
课堂小结
1.复数的加、减运算法则表明，若干 个复数的代数和仍是一个复数，复数的 和差运算可转化为复数的实部、虚部的 和差运算. 2.在几何背景下求点或向量对应的复 数，即求点或向量的坐标，有关复数模 的问题，根据其几何意义，有时可转化 为距离问题处理.
问题探究
4、设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，则 复数z1＋z2等于什么？ z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i.
问题探究
5、(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋ (b＋d)i就是复数的加法法则，如何 用文字语言表述这个法则的数学意 义？ 两个复数的和仍是一个复数. 两个复数的和的实部等于这两个复数的 实部之和，两个复数的和的虚部等于这 两个复数的虚部之和.
问题探究
(a + bi ) ? (c 6、
ac + bd bc - ad di ) = 2 + 2 i 2 2 c +d c +d
就是复数的除法法则，并且两个复数相 除（除数不为0），所得的商还是一个 复数，那么如何计算 a + bi ？
b - ai a + bi i (- ai + b) = = i b - ai b - ai
问题探究
1、复数的乘法是否满足交换律、 结合律和对加法的分配律？ z 1· z 2＝z 2· z1，(z1· z 2) · z 3＝z 1· (z2· z3)， z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.
问题探究
2、对于复数z1，z2，|z1· z 2| 与 |z1|· |z2|相等吗？
|z1· z2|＝|z1|· |z2|
uuur uuur uuuu r OZ 1 - OZ 2 = Z 2Z 1
Z1
|z1－z2|的几何意义表 O 示复数z1，z2对应复平 面内的点之间的距离.
x
问题探究
2、设a，b，r为实常数，且r＞0，则 满足|z－(a＋bi)|＝r的复数z对应复 平面上的点的轨迹是什么？ 以点(a，b)为圆心，r为半径的圆.
问题探究
3、在实数中， 2 + 3与 2 - 3 互称为有理化因式，在复数中，a＋bi 与a－bi互称为共轭复数，一般地，共 轭复数的定义是什么？ 实部相等，虚部互为相反数的两个复 数叫做互为共轭复数.
问题探究
4、复数z的共轭复数记作 z，虚部不 为零的两个共轭复数也叫做共轭虚数， 那么z与 z 在复平面内所对应的点的位置 关系如何？z ×z 等于什么？y 关于实轴对称