结构力学第五章结构位移计算

M K M P ds EI
2、桁架（只考虑轴力影响）：
KP
N K N P ds EA
3、拱：一般只考虑弯曲变形：
KP
M K M P ds EI
对扁拱（压力线与拱轴接近）：
KP
M K M P ds EI
N K N P ds EA
4、组合结构：
M K M P ds 1
EI
EI
2 0
(R sin )( PR sin )( Rd )

PR 3 EI

2 sin2 d 0

PR 3 4EI
()
第五节 一、图乘法应满足的条件
图乘法
1、杆件为等截面直杆。 2、EI为常数。 3、MK、MP图形中至少有一个为直线图形。
二、图乘法证明
S
S
或：T P • ds
2、实功：力由于自身所引起的位移而作功。作的功与其作用点 移动路线的形状、路程的长短有关。
当静力加载时，即：P由0增加至P； 由0增加至
实功的计算式为：
P
T 1P 2
3、虚功：当位移与作功的力无关时，且在作功的过程中，力的 大小保持不变，这样的功称为虚功。
对下面两种状态应用虚功
( a , a , a , Ca )
(MK ,QK , N K , RK )
1 Ka RK1 Ca1 RK 2 Ca2
M K ads
QK ads
N K ads
即： Ka
t

( )
N
K
t0ds ()
M K

t h
ds
若每一杆件沿其全长温度改变相同，且截面高度相同，则：
t
() t0 NK
() t
h MK
例题：图示简支刚架内侧温度升高25ºC，外侧温度升高5ºC，各截面 为矩形，h=0.5m,线膨胀系数=1.0105 ,试求梁中点的竖向位移 DV。
（2）将以上弯矩表达式代入求位移公式
M P qx12 2
ql 2 MP
2
AV
M K M P ds EI
l 0
1 EI
(
x1 )(
qx12 2
)dx1

l1
ql 2
5 ql4
( l )( 0 EI
2
)dx2 8 EI ()
例题2 试求图示桁架C点wenku.baidu.com竖向位移CV。各杆材料相同，截面 抗拉压模量为 EA 2106 KN / m2
+25ºC +5ºC
MK图
NK图
解：作出MK、NK图后，依求位移公式计算位移：
t
() t0 NK
() t
h MK
1.0105 20 ( 1 6 3) 1.0105 15(1 7) 0.00075m()
0.5 2 2
二、支座移动引起的位移
结论：在满足前述条件下，积分式
M K M P ds l EI
之值等于某一图
形 面积乘以该面积形心所对应的另一直线图形的纵y0,再除以EI。
三、使用乘法时应注意的问题
1、yo必须取自直线图形； 2、当MK为折线图形时，必须分段计算； 3、当杆件为变截面时亦应分段计算；
4、图乘有正负之分：弯矩图在杆轴线同侧时，取正号；异侧，负号。 5、若两个图形均为直线图形时，则面积、纵标可任意分别取自两图形； 6、图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠加法分别图乘。
例题3 试求图示半径为R的圆弧形曲梁B点的竖向位移BV。梁 的抗弯刚度EI为常数。
M P PR sin
M K R sin
解：（1）在B点加一单位力（右图） ，写出单位力作用下的弯矩表达式 （2）写出单位力作用下的弯矩表达式（左图）
（3）将MK、MP代入求位移公式
BP
M
C
B
A
B C
l/2
l/2
l/2
l/2
答案：cv

pl 3 48 EI
()
A

pl 2 16 EI
()
答案：
cv

Ml 2 16 EI
()
A

Ml 3EI
()
例题 试求左图所示刚架C点的竖向位移AV和转角C。各杆材 料相同，截面抗弯模量为: EI 1.5105 KN m2
公式计算位移：
A
RK
Ca

[(
1 0.03) ( 1 0.05)]
6
10

0.01rad .()
第七节 线性变形体的几个互等定理
一、功的互等定理：
在线性变形体系中，状态一的外力由于状态二的位移所作的虚功等
于状态二的外力由于状态一的位移所作的功。 二、位移互等定理：
（Mp图）
（Mk1图）
（Mk2图）
CV
M K M P ds 1 [( 6 6) ( 2 300) ( 2 6 45) ( 6 ) (6 6) (300)] 13860 0.0924m()
l EI
EI 2
3
3
2
EI
C

1 EI
[(300 6)(1) ( 2
5、各种位移举例
二、计算结构位移的目的 1、刚度验算：电动吊车梁跨中挠度 fmaxl/600。 2、计算超静定结构必须考虑位移条件。 3、施工技术的需要，例如：
三、计算位移的有关假定 1、结构材料服从“虎克定律”，即应力、应变成线形关系。 2、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。 3、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。 4、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆弯曲
因无支座移动： 根据材力公式：
Ca 0
a

NP EA

a

KQKQ GA
a

MK EI
于是：
KP
M K M P ds EI
K Q KQP ds GA
N K N P ds EA
二、位移计算公式的简化
1、梁和刚架（略去轴向变形和剪切变形影响）： KP

Ai
(i)
BI (N Q M )ds
Ai
当所研究的体系为刚体时，虚功方程则简化为：
T=0
第三节 平面杆件结构位移计算的一般公式 单位荷载法 一、虚功方程的意义及应用
[uN

vQ
m
]BI AI

(i)
(i)
BI ( pu qv m )ds
Ai
(i)
BI ( N Q M )ds
Ai
1、意义：虚功方程的每一项都是广义力与广义位移的乘积。
2、虚位移原理：研究实际的平衡力系在虚设位移上的功，以计算结 构的未知力等。
3、虚力原理：研究虚设的平衡力系在实际位移上的功，以计算结构 的未知位移。
二、单位荷载法
1、定义：应用虚力原理，通过加单位力求实际位移的方法。
2、计算结构位移的一般公式 原理：
NP(KN)
NK
解：（1）在C点加一单位力，作出单位力作用下的桁架内力图（右图） （2）作出荷载作用下的桁架内力图（左图）
（3）将NK、NP代入求位移公式
CV



N K NP EA
ds

1 [(0.67) (10) (3) (1.49) (22.36) ( EA
5)
(1.12) (22.36) ( 5) (1) (20) (2)] 0.03m()
两梯形相乘：Δ

1 EI
al 2
( 2c 3

d) 3
bl 2
(c 3

2d 3
)

1 EI

l 6
(2ac

2cd

ad

bc)
7、三角形、标准二次抛物线的面积、形心公式必须牢记。
练习题： 试求图示连续梁C点的竖向位移CV和A截面的转角θA。 截面抗弯模量为EI。
(1)
A
P
(2)
2
3
6 45)(1) (300 6)(1)]
2520 EI

0.0168rad .()
第六节 静定结构由于温度改变和支座移动引起的位移
一、由于温度改变引起的位移
图示悬臂梁由于温度改变而引起变形。为求CV，在C点加一单位力， 根据求位移公式计算CV 。
Ka
因支座移动不引起静定结构的内力，故虚功方程中变形功为零，
于是求位移公式简化为： Ka RK Ca
例题：三铰刚架，支座B发生如图1所示的位移：a=5cm,b=3cm,l=6m,h=5m。 求由此而引起的左支座处杆端截面的转角A。
（图1）
（图2）
解：在要求位移方向上加单位力（图2），求出支座反力后依求位移
反力r21。
r12=r21
四、反力与位移互等定理：
由于单位荷载使体系中某一支座所产生的反力，等于该支
座发生与反力方向相一致的单位位移时，在单位荷载作用处所引起
的位移，唯符号相反。
r12=-21
一、 试绘制图示结构内力图。
P/2 P/2 Pa/2
a
a
P a/2
a/2 P
2P
16kN/m
2KN a/2
y
d
MP(x)
dx
MK(X)

y yo
o
xA
Bx
xo
M K M P ds l EI
1 EI
B
A M K M Pdx
1 EI
B
A x tgM Pdx

1 tg
EI
b
a xM Pdx

1
tg
B
xd
EI
A

1 EI
tg

x0 P

1 EI
P
y0

D COS
P
式中为总位移D在力P方向的投影。
A
A
虚功的计算式为：
D
T P
4、虚功对应的两种状态及应满足的条件： （1）虚力状态：为求真实位移而虚设的力状态，它满足静力平衡条件。 （2）虚力状态：为求真实力而虚设的位移状态，它满足变形协调条。
二、变形杆件体系的虚功方程 “杆件AB处于一静力可能的力状态，设另有一与其无关的几何可能的
第五章 虚功原理和结构位移的计算
第一节 概述 一、结构的位移
结构在外部因素作用下，将产生尺寸形状的改变，这种改变称 为变形；由于变形将导致结构各结点位置的移动，于是产生位移。
1、线位移
（1）水平线位移： H （2）铅直线位移： V
2、角位移： 3、位移有“相对位移”与“绝对位移”之分。
4、上述各种位移统称为“广义位移”。相对应的力称为广义力。
KP
M K M P ds EI
N K N P ds EA
三、位移计算举例
例题1 试求图示 刚架A点的竖向位移AV。 各杆材料相同，截面抗
弯模量为EI。
解： （1）在A点加一单位力，建立坐标系如（图2）示，写出弯矩表达式
AB段：
M K x1
BC段：
M K l
M K ads
QK ads
N K ads RK Ca
三、如何施加单位荷载（求线位移、相对线位移） 求哪个方向的位移就在要求位移的方向上施加相应的单位力。
第四节 静定结构 在荷载作用下的位移计算 一、位移计算公式的建立
KV M K ads Q K ads N K ads RK Ca
M K ads
QK ads
N K ads RK Ca
( a , a , a , Ca )
(MK ,QK , N K ,RK )
经分析：
a ds t0ds ;
ads 0
;
ads


t h
ds
;
RCA 0
将以上各式代入求位移的一般公式，可得温度改变位移计算式：
P1•12=P2•21
如果作用在体系上的力是单位力，则在第一个单位力方向上，由于
第二个单位力所引起的位移等于第二个单位力方向上，由于第一个单位
力所引起的位移。
12=21
三、反力互等定理：
如果结构支座发生的是单位位移，则支座1由于支座2的单
位位移所引起的反力r12等于支座2由于支座1的单位位移所引起的
a
P
pa 2P
a
8kN
a/2
Pa/2
M图
2pa 2pa
1.5pa 0.5pa
位移状态，则前者的外力由于后者的位移所做的虚外功T等于前者的切割 面内力由于后者的变形所作的虚变形功V”。
用式子表达就是下面的虚功方程：
T=V
虚功方程也可以简述为：“外力的虚功等于内力的虚变形功”。 其具体表达式为：
[uN

v
Q

m
]BI AI

(i)
(i)
BI ( pu qv m)ds
所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。 P
A
B
P
满足以上要求的体系为“线变形体系”。因位移与荷载为线 形关系，故求位移时可用叠加原理。
第二节 虚功原理 一、基本概念
1、功：一般来说，力所作的功与其作用点移动路线的形状、路 程的长短有关。
T dT P COS (P, ds)ds