结构力学第五章结构位移计算
结构力学第05章 虚功原理与结构位移计算-3
6、把复杂图形分为简单图形 、 使其易于计算面积和判断形心位置） （使其易于计算面积和判断形心位置）
•
取作面积的图形有时是不规则图形， 取作面积的图形有时是不规则图形，面积 的大小或形心的位置不好确定。 的大小或形心的位置不好确定。可考虑把图形 分解为简单图形（规则图形） 分解为简单图形（规则图形）分别图乘后再叠 加。
FP
⊿CV
l/2 l/2 AP FP l
3、正确的作法 、
AP1=1/2×FP l×l/2=FP l2/4 AP2=1/2×FP l/2×l/2=FP l2/8 AP3=1/2×FP l/2×l/2=FP l2/8 y1=l/3 y2=l/6 FP y3 = 0
⊿CV=∑AP·yC/EI
=(FP l2/4×l/3+ FP l2/8×l/6 × +FP l2/8 ×0) / EI =5FP l3/48EI (↓)
32
32
• θC=2[(1/2·80·5)·(2/3·5/8)+(1/2·80·5)·(2/3·5/8+1/3·1) • -(2/3·32·5)·(1/2·5/8+1/2·1)]/EI • kN·m m kN/m2 • =0.005867 （弧度） • 方向与虚拟力方向一致。
思考题:判断下列图乘是否正确?
由此可见，当满足上述三个条件时， 由此可见，当满足上述三个条件时，积分式 的值⊿就等于M 图的面积A乘其形心所对应 乘其形心所对应M 的值⊿就等于 P图的面积 乘其形心所对应 图上的竖标y 再除以EI。 图上的竖标 C，再除以 。 正负号规定： 正负号规定： A与yC在基线的同一侧时为正，反之为负。 与 在基线的同一侧时为正，反之为负。
第五章
虚功原理与结构位移 计算
结构力学§5-3、4 荷载作用下的位移计算与举例
3. 各种静定结构位移的计算公式 （1）梁、刚架 —只考虑弯曲变形 只考虑弯曲变形
MP M ∆ = Σ∫ ds o EI
l
（2）桁架 —只有轴向变形 只有轴向变形
FNP F N ∆=Σ L EA
（3）组合结构
FNP F N MP M ∆ = Σ∫ ds + Σ L o EI EA
l
（受弯构件） 受弯构件）
结 束
（第二版）作业：5—10 ，11, 13, 22 第二版）作业：
∆ CV
1 q q 1 qL x Lx − x 2 1.2 × − qx L L 2 2 2 2 2 dx = 2∫ 2 dx + 2∫ 2 0 0 EI GA 5qL4 κ qL2 = + 384 EI 8GA
（4）比较弯曲变形与剪切变形的影响
5qL 弯曲变形： 弯曲变形： ∆ M = 384 EI
两者的比值： 两者的比值： 若高跨比为： 若高跨比为：
∆Q ∆M = 11.52
4
剪切变形： 剪切变形： ∆ Q =
EI h = 2.56 GAL2 L
2
κ qL2
8GA
h 1 = L 10
则： ∆
∆Q
M
= 2.56%
结论：在计算受弯构件时，若截面的高度远小于杆件的跨度， 结论：在计算受弯构件时，若截面的高度远小于杆件的跨度， 一般形的影响。
l
截面剪应力 非均布修正系数
dη = k
FQP GA
ds
FNP dλ = ds EA
l k FQP F Q l F FN MP M 1× ∆ = Σ ∫ ds + Σ ∫ ds + Σ ∫ NP ds o o o EI GA EA
结构力学第五章位移法.ppt
NDA
NDB
2
2
NDC FNDB 2 FNDC 2 FNDA FP
建立力的 平衡方程
D Fp
EA(2 2L
2) FP
由方程解得： 2PL
(2 2)EA
位移法方程
把△回代到杆端力的表达式中就可得到各杆的轴力 ：
FNDB
2FP 2 2
FNDA
FNDC
P 2
发生一个顺时针的转角 A。
A
A EI,L B
由力法求得：
MAB
MBA
M AB
3
EI L
B
3iB
M BA 0
§8-3 杆端力与杆端位移的关系
5、一端固定一端铰结单元，在B端
发生一个向下的位移 。
A MAB
EI,L
B
△
由力法求得：
M
AB
3EI L2
3i L
MBA
M BA 0
两端固定单元在荷载、支座位移共同作用下的杆端
弯矩表达式：
M AB
4i A
2iB
6i
L
M
F AB
M BA
4iB
2i A
6i
L
M
F BA
§8-3 杆端力与杆端位移的关系
一端固定一端铰结单元在荷载、支座位移共同作用下 的杆端弯矩表达式：
M AB
3iA
6EI L2
BC
qL2 12
M AB
结构力学5-3结构位移计算的一般公式
F Q FQP F N FNP MM P ds k ds ds 所以： K EA GA EI
⑴ 梁和刚架： K ⑶ 组合结构： K
例5-1 求C点的竖向位移和转角。
⒉ 求C点截面的转角。
由于简支梁在全跨均布荷载作用 下变形与内力都是对称的，所以梁中 点应无转角发生。 其虚拟力状态中的内力是反对称 的，按照式(5-5)进行积分同样可求得 转角位移：
C 0
1 2
1 2
M图
例5-2 求图示曲杆B端的竖向位移。 已知：EI、EA、GA均为常数，矩形截面，
M R sin , F N sin , F Q cos
⑶ B端的竖向位移。
yB F Q FQP MM P F N FNP ds ds k ds EI EA GA
例5-3 求图示桁架支座结点B的水平位移。各杆EA相同。
FP
0
2FP
FP
b h, h 1 , G 0.4 E R 10
解：⑴ 实际状态的内力。 M P FP R sin FNP FP sin , FQP FP cos ⑵ 虚拟状态的内力。
M R sin , F N sin , F Q cos
⑶ B端的竖向位移。
2FP
FP
0
0
0
0
1
0
1
0
FNP 图
解：⑴ 施加单位荷载。 ⑵ 求实际状态的内力。 ⑶ 求虚拟状态的内力。 ⑷ 求结点B的水平位移。
虚功原理与结构位移计算
c)
11
FP
d)
D
A
D
A左、右截面相对转角
e)
Al
D BV
D AV
B
AB
D AV
DBV l
AB杆转角
12
3、一个微杆段的位移
ds
A
dv= g0 ds
g0
dθ= ds/R =kds
vu
A’
θ
微段刚体位移
ds du= eds
g0
dv
ds
ds
微段相对位移 微段相对位移 微段相对位移 （轴向变形） （剪切变形） （弯曲变形）
EI
式中，FN、FQ、M分别为微段上的轴力、剪力、弯矩； EA、GA、EI分别为抗拉压、抗剪、抗弯刚度；
μ 为考虑剪应力分布不均匀系数，如对于矩形截面μ =1.2， 圆
形截面μ =10/9，薄壁圆环形截面、工字形或箱形截面μ
=A/A1（A1为腹板面积）。
二、结构位移产生的原因
1）荷载作用； 2）温度变化或材料胀缩； 3）支座沉陷或制造误差。
2
§5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移
3
本章任务
学习任意平面杆件结构在任意外因（ 荷载、温 度、支移 等）作用下，引起任意形式位移（线 位移、角位移 ）的计算原理及计算方法。
一、结构的位移
在荷载等外因作用下结构都将产生形状的改变，称为 结构变形。 结构变形引起结构上任一横截面位置和方向的改变， 称为位移是结构某一截面相对于初始状态位置的变化.
设FP=1，称为虚单位荷载法。
2、虚功方程在此实质上是几何方程，即利用静
力平衡求解几何问题。
3、方程求解的关键，在于拟求⊿方向虚设单位
第五章 结构位移计算
8
1 虚功原理回顾
1. 功的定义: 功=力×力作用点沿其方向的位移
F A S B F
W F cos S 常力功
F
1 W F 2
变力功
9
其他形式的力或力系所作的功也用两个因子的 乘积表示为：功=广义力×广义位移
1)作功的力系为一个集中力
F
2)作功的力系为一个集中力偶
W F
虚拟状态
24
1
广义力与 广义位移对应
练习:
Fp=1
C Fp=1 B
求C点竖向位移
求B点水平位移
A
Fp=1 B
Fp=1
A
Fp=1
B Fp=1
求A、B两点 相对竖向位移
求A、B两点 相对水平位移
3 静定结构在荷载作用下的位移计算
1. 公式
当结构只受到荷载作用时，求K点沿指定方向的位 移△KP，此时没有支座位移，故一般公式为
注意：１.适用于任何类型的结构，弹性、非弹性、线性、非线性；
２. 外力与虚位移相互独立，两者毫不相干，虚位移 由其它原因引起，外力在此虚位移上做虚功。
实际应用时两种情形：
a) 给定力状态，另设一位移状态，用虚功方程求力状态 的未知力，称为虚位移原理；
b)给定位移状态，另设一力状态，用虚功方程求位移状态的 18 未知位移，称为虚力原理。
第五章 虚功原理与结构位移
1
“位移”是连接静定结构与超静定 结构之间的桥梁和纽带
前面所学五种静定结构(梁,刚架,拱,桁架 ,组合结构) 的内力计算可归结为强度问题, 而结构力学的重要任务之一是解决刚度问 题——结构位移计算. 本章要讨论各种杆件结构的位移计算, 依据虚功原理.先推导出杆件结构位移计算 的一般公式,再讨论具体结构的位移.
结构力学I-第五章 虚功原理与结构位移计算(温度位移、虚功、互等)
温度改变时的位移计算
结构位移计算的一般公式
普遍性
Δ = ∑ ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds- ∑FRK·cK
⑵ 变形因素：荷载、温度改变或支座移动引起的位移；
温度改变的位移计算公式
应用背景
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14:26
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温度改变时的位移计算
温度改变的位移计算公式
基本假设
FQ FN
dFN
pdx
0
dFQ qdx 0
dM FQdx 0
• 集M M 0 0
M
FQ FN
M
Page 22
q
FQ+ dFQ
p
FN+ dFN
O
x
M+ dM dx
y
dx
M0 O
Fx
Fy y
FQ+ ΔFQ FN+ ΔFN x
M+ ΔM
14:26
D 1
α=1×10-5，求D点的竖向位移ΔDV。
2m 2m
解：⑴ 在D点作用一向上的单位力F=1，
4m
作弯矩图 M 和轴力图 F N；
⑵ 由于各杆 α，t0，Δt，h 相同，
故可先计算
+1
1
M ds
1 2
4
4
4
4
24(m2
)
M
FN
F Nds 1 2 1 4 2(m)
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结构力学I
第五章 虚功原理与 结构位移计算
2021年4月15日
LOGO
3-12(g)
指出弯矩图错误并改正；
作业点评
结构力学位移计算公式
结构力学位移计算公式结构力学是研究结构体系的力学性能和运动规律的学科，是工程力学的一个重要分支。
在结构力学中，位移是一个重要的物理量，它描述了结构体系在受外力作用下发生的变形情况。
位移计算公式是用来计算结构体系的位移的数学公式。
1.剪力梁位移计算公式：在剪力梁中，位移是一个表示结构体系纵向变形的物理量。
当在剪力梁上施加一个集中力作用时，位移可以通过以下公式进行计算：δ=(F*L)/(G*A)其中，δ表示位移，F表示施加在剪力梁上的集中力，L表示剪力梁的长度，G表示剪力梁的剪切模量，A表示剪力梁的截面面积。
2.弹性梁位移计算公式：在弹性梁中，位移是一个表示结构体系纵向变形的物理量。
当在弹性梁上施加一个力矩作用时，位移可以通过以下公式进行计算：θ=(M*L)/(E*I)其中，θ表示位移，M表示施加在弹性梁上的力矩，L表示弹性梁的长度，E表示弹性梁的弹性模量，I表示弹性梁的截面惯性矩。
3.压杆位移计算公式：在压杆中，位移是一个表示结构体系纵向变形的物理量。
当在压杆上施加一个轴向力作用时，位移可以通过以下公式进行计算：δ=(F*L)/(E*A)其中，δ表示位移，F表示施加在压杆上的轴向力，L表示压杆的长度，E表示压杆的弹性模量，A表示压杆的截面面积。
4.梁柱位移计算公式：在梁柱中，位移是一个表示结构体系纵向变形的物理量。
当在梁柱上施加一个集中力作用时，位移可以通过以下公式进行计算：δ=(F*L)/(E*A)其中，δ表示位移，F表示施加在梁柱上的集中力，L表示梁柱的长度，E表示梁柱的弹性模量，A表示梁柱的截面面积。
上述的位移计算公式是基于简化假设和力学理论推导得出的，适用于较为简单的结构体系。
在实际工程设计中，考虑到结构的复杂性和非线性效应，可能需要使用更为复杂的有限元分析等方法来计算位移。
在实际应用中，还需要根据具体情况进行适当的修正和调整，以获得更加准确的位移计算结果。
结构力学第五章 结构的位移计算
O
λ = F ⋅ δ dλ = δ dF
加载过程中荷载的值: 加载过程中荷载的值 F
λ = F ⋅δ
T = ∫ dT = ∫ Fdλ = ∫ F ⋅ δ dF =
0
P
1 2 1 P δ = P∆ 2 2
1 T = P∆ 2
16/72
5-2 线性变形体系的功能原理 一、外力实功
F
线弹性体系线性在静力荷载作用下， 线弹性体系线性在静力荷载作用下，外力所做 实功等于 等于外力的最后数值与其相应位移乘积 的实功等于外力的最后数值与其相应位移乘积 的一半。 的一半。 注意点： 注意点：
1 1 1 T = P ∆ + P ∆2 +L+ P ∆n 1 1 2 n 2 2 2 1 n = ∑P∆i i 2 i=1
点沿P ∆ i ——所有外力共同作用时，在 i 点沿 i方向所产生的位移
∆i = δi1P +δi2P +L+δinP = ∑δij Pj 1 2 n
j =1
n
20/72
5-2 线性变形体系的功能原理 【例5-1】图示等截面直杆，在截面 和2-2处，分别作用沿 】图示等截面直杆，在截面1-1和 处 已知杆件截面积为A， 轴线方向的静力荷载 P1 和 P2，已知杆件截面积为 ，材料弹 性模量E， 所做的实功。 性模量 ，试求外力 P1 和 P2 所做的实功。
10/72
5-1 概述 四、线性变形体系的假设及其特性 1．线性变形体系（线性弹性体系/线弹性体系）： ．线性变形体系（线性弹性体系 线弹性体系 线弹性体系）
满足两个基本假设的体系 （1）材料是完全弹性的，服从虎克定律 ）材料是完全弹性的， ——结构在荷载作用下，最大应力不超过材料的弹性比例极限 位移) （2）结构的变形 (位移 是微小的，因此不影响荷载的作用 材料力学小 ） 位移 是微小的，因此不影响荷载的作用(材料力学小 变形假设) 变形假设 (不改变荷载作用点的位置和方向 不改变荷载作用点的位置和方向) 不改变荷载作用点的位置和方向 ——应用静力平衡条件建立方程时，可以不计结构变形(位移)的影响， 而采用原始的几何尺寸。
结构力学5结构位移计算
结构力学5结构位移计算结构位移计算是结构力学中的一项重要内容，它能够预测结构在加载过程中的变形情况，为结构设计和分析提供依据。
本文将从结构位移计算的基本原理、常用的分析方法和一些实例进行详细介绍。
一、结构位移计算的基本原理：结构位移计算的基本原理是根据力学原理和力平衡条件进行求解。
结构在受载过程中会产生内力和变形，而结构的内力与结构的变形有密切关系。
根据结构材料的本构关系和边界条件，通过求解相应的方程组，可以得到结构的位移。
二、常用的分析方法：1.解析法：解析法是一种基于数学分析的位移计算方法，通常适用于简单的结构。
该方法通过建立结构的力学模型，利用数学分析的方法求解相应的方程，得到结构的位移。
2.数值法：数值法是一种通过数值计算的方法进行位移计算的技术。
常用的数值法包括有限元法、有限差分法和有限体积法等。
这些方法通过将结构划分为很多小单元或控制体，在每个单元或控制体上建立适当的方程，通过数值迭代求解得到结构的位移。
三、结构位移计算的实例：1.简支梁的位移计算：考虑一个简支梁，长度为L，受到集中力F作用在中央，通过解析法可以得到梁的最大挠度为δ=F L^3/(48EI)，其中E是梁的杨氏模量，I是截面惯性矩。
2.悬臂梁的位移计算：考虑一个悬臂梁，长度为L，受到均布荷载w作用，可以通过数值法进行位移计算。
首先将梁划分为很多小单元，然后在每个单元上利用有限元法建立相应的方程组，通过数值迭代求解得到梁的位移分布。
最终可以得到梁的最大挠度和变形曲线。
结构位移计算是结构力学中的一个重要内容，它可以帮助工程师预测结构在加载过程中的变形情况，为结构设计和分析提供依据。
通过解析法和数值法进行位移计算，可以得到结构的位移分布和最大位移值。
在实际工程中，结构位移计算对于评估结构的稳定性和安全性具有重要意义。
结构力学第05章 虚功原理与结构位移计算-1
c1
△B
FP=1
△B=FP· c1=b/a · c1
注：
FR1= - b/a
1、虚设力系，应用虚功原理，称为虚力原理。若 设FP=1，称为虚单位荷载法。 2、虚功方程在此实质上是几何方程，即利用静 力平衡求解几何问题。 3、方程求解的关键，在于拟求⊿方向虚设单位 荷载，利用力系平衡求出与c1相应的反力,即利用平 衡方程求解几何问题。
第五章
虚功原理与结构位移 计算
§5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移
1、推导位移计算一般公式的基本思路
第一步：由刚体体系的虚位移原理（理论力学）得 出刚体体系的虚力原理。并由此讨论静定结构由于支座 移动而引起的位移计算问题。 第二步：讨论静定结构由于局部变形引起的位移。 由刚体体系的虚力原理导出其位移计算公式。 第三步：讨论静定结构由于整体变形引起的位移。应 用第二步导出的局部变形引起的位移计算公式，再应用叠 加原理就可以推导出整体变形引起的位移计算公式。
（4）体系（结构）的物理特性
• •
• • • •
线性变形体系（线弹性体）：
*应力、应变满足虎克定律； *变形微小：变形前后结构尺寸、诸力作用 位置不变，位移计算可用叠加 原理； *体系几何不变，约束为理想约束。
• •
•
非线性体系：
*物理非线性； *几何非线性（大变形）。
（5）变形体位移计算方法及应满足的条件 • 方法： • 用虚功原理推导出位移计算公式。 • 计算时应满足的条件： • 静力平衡； • 变形协调条件； • 物理条件。
1 F RK cK 0
（c）由虚功方程，解出所求位移：
(5-3) (6 - 3)
F RK cK
(5-4) (6 - 4)
第五章 位移计算习题解答
∆������������=
������ 4
(逆时针)，∆������������=
������ 2
(向下)
5-4：图示刚架的 A 支座向下发生了 a 的移动，C 支座向右发生了 b 的移动，求 由此引起铰 D 两侧截面的相对转角 D 和 E 点的竖向位移 EY 。
D
E
4m
Aa B
C
b 2m 2m 2m 2m
6 12
17 23
图 5-7-1
取如图所示的角为θ角，所以
sinθ
=
ℎ √4������2 +
ℎ2
，cosθ
=
2������ √4������2 +
ℎ2
，tanθ
=
ℎ 2������
(1)杆件在实际荷载作用下的轴力
������������1 = ������������3 = ������������6 = ������������13 = ������������20 = ������������23 = ������������24 = 0
1)
������ 6 =5−5 以 B 为坐标原点，建立坐标系
(1 < ������ < 5)
EB 段：
���̅���3
=
−
������ 5
(0 < ������ < 1)
所以
∆������������ =
1 ������������
1
∫ 15������
0
∙
������������������
+
1 5������������
图 5-4
解：由于此结构为静定结构，所以支座位移不会引起结构内力。由于 B 点无竖 向支座，所以在 A 点沉降作用下 ABDE 同时下降 a，E 点竖向位移与 C 点位移 b 无关，所以铰 D 两侧截面的相对转角∆������φ和 E 点的竖向位移∆EY的值为：
结构力学-第五章-力法4
§5-7 最后内力图的校核
例： 试校核图示刚架的弯矩图其是否有误。
M C B
2M /5 C 3M /5 M /5
A
l
B
M
1
3M /5
B X1 = 1
EI= 常数
A l/ 2
M
2M /5
A
M1 图
解:(1)平衡条件校核。 取刚结点C 为隔离体,满足平衡条件。 (2)校核位移条件。 检验C 结点两个端面间的相对转角位移 Δ C 是否为零, 任取一基本结构作图M 1 ，令 M 1 与M 相图乘得： 2m m 1 1 l 3m 2 1 ml ml 5 5 Δ C [ 1 l 1] [ ]0 EI 2 2 5 3 2 EI 10 10
小 结
小
结
力法是求解超静定结构最基本的方法。力法的基本原 理是将原超静定结构中的多余约束解除，代之以相应的未 知约束反力。原结构就变成了在荷载及多余未知力作用下 的静定结构。这个静定结构称为原结构的基本体系 , 多余 未知力称为原结构的基本未知数。根据基本体系中多余未 知力作用点的位移应与原结构一致的条件，即多余约束处 的位移谐调条件，建立位移协调方程。这就是力法典型方 程。方程中的基本未知数是体系的多余未知力。这种以未 知力为基本未知数的求解超静定结构的方法就称为力法。 由于基本体系满足位移谐调条件 , 因此基本体系的内力 与变形便与原超静定结构完全一致。利用位移约束条件解 出多余未知力是力法的关键 , 求出多余未知力后便将超静 定问题转化为静定问题了。以后的计算便与静定结构的求 解完全一样。
§5-7 最后内力图的校核
结论：亦满足给定位移条件，原弯矩图是正确的。
X1 = 1
C B
A
也可取图悬臂刚架作基本结构，计算B点水平位 移△xB 是否为零。
结构力学第五章结构位移计算
M K ads
QK ads
N K ads RK Ca
( a , a , a , Ca )
(MK ,QK , N K ,RK )
经分析：
a ds t0ds ;
ads 0
;
ads
t h
ds
;
RCA 0
将以上各式代入求位移的一般公式，可得温度改变位移计算式：
y
d
MP(x)
dx
MK(X)
y yo
o
xA
Bx
xo
M K M P ds l EI
1 EI
B
A M K M Pdx
1 EI
B
A x tgM Pdx
1 tg
EI
b
a xM Pdx
1
tg
B
xd
EI
A
1 EI
tg
x0 P
1 EI
P
y0
（Mp图）
（Mk1图）
（Mk2图）
CV
M K M P ds 1 [( 6 6) ( 2 300) ( 2 6 45) ( 6 ) (6 6) (300)] 13860 0.0924m()
l EI
EI 2
3
3
2
EI
C
1 EI
[(300 6)(1) ( 2
位移状态，则前者的外力由于后者的位移所做的虚外功T等于前者的切割 面内力由于后者的变形所作的虚变形功V”。
用式子表达就是下面的虚功方程：
T=V
虚功方程也可以简述为：“外力的虚功等于内力的虚变形功”。 其具体表达式为：
结构力学I-第五章 虚功原理与结构位移计算
结构位移计算的一般公式
叠加法：总位移Δ是微元段变形引起的微小位移dΔ之叠加； Δ = ∫dΔ = ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds
多个杆件：每根杆件产生的位移效应的叠加 Δ = ∑ ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds 变形+支座位移：叠加法 支座位移产生的位移Δ=- ∑FRK· cK
另一种形式： 1 ·Δ+ ∑FRK· cK = ∑ ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds =
=
外力虚功
W
=
Wi
内力虚功
变形体的虚力方程
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14:33
LOGO
结构体位移计算的单位荷载法
l
Page 19
d θ
M M
ds
14:33
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结构体位移计算的单位荷载法
局部变形时的位移计算公式
微元段的局部变形
1 相对轴向位移 dλ = εds
ds变形
相对轴向位移 dη = γ0ds
相对转角 dθ = ds/R = κds
⑴ 这些相对位移dλ、 dη和dθ 分别对应的广义力是B点的轴力FN， 剪力FQ ，及弯矩M； 这些微小变形在A端产生的位移dΔ如何求？ 单位荷载法！ ⑵ 设单位位移在B点产生的的轴力，剪力及弯矩分别为 FN ， FQ 和M，利用虚力原理，有
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2
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应用虚力原理求刚体体系的位移
结构位移计算概述
位移：结构上的某一截面在荷载或其它因素作用下由某一位置 移动到另一位置，这个移动的量就称为该截面的位移； 思考：变形和位移的差别？ 变形：结构在外部因素作用下发生的形状变化；
结构力学第五章位移计算
解得：
bc/a
这就是著名的单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method)
单位位移法的虚功方程
平衡方程
单位荷载法的虚功方程
几何方程
第一种应用一些文献称为“虚位移原理”， 而将第二种应用称为“虚力原理”。更确切的 说法为，两种应用的依据是上述两原理的必要 性命题。上述两原理都是充分、必要性命题， 它们和虚功原理是有区别的。
解：去掉A端约束并代以反力 X，构相应的虚位移状态.
(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是
实由际受外力力状虚态功的总平衡和方为程零，即： MX BX 0FP C 0
(将2)虚位X 移/ 与C实际a /力b状代态入无得关:,故可设X bFxP / a 1
(通3)常求解取时关键一步是1找出虚位移状态的位移关系。
2.广义力 (Generalized force) 广义位移(Generalized displacement)
一个力系作的总虚功 W=Σ[FP× ]
FP---广义力; ---广义位移
例: 1)作虚功的力系为一个集中力
2)作虚功的力系为一个集中力偶
FP
W FP
3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶
K
1
K KC
K
c2
FR1
FR 3
c1
c3
FR 2
由刚体虚功原理:
We Fi i 1 kc FR1C1 FR2C2 FR3C3 0
第五章 静定结构位移计算
Displacement of Statically Determinate Structures
§5-1结构位移计算概述
线位移
A
位移
05-3结构力学 第五章 超静定结构的内力和位移计算(5.2节 位移法)ok
如： 1 2
3
1 2
1
3
这样即可使12、13杆 成为单跨超静定梁
2、附加链杆支座约束：为使杆件两端相对线位移被约束而在结点上附加的约 束阻止结点移动的装置。
如：1
3
用“
” 表示
2 1 3
结构变形时，显然13杆可沿水平方向移动， 同时刚结点1也可能发生转角，要使各杆独立成为 单跨超静定梁。 需在1结点上附加刚臂约束 同时还需加附加链杆支座以阻止13杆的水平线 位移。
r11Z 1+ r12Z 2+ · · · · + r1nZ n+R1P=0
位移法 – 刚度法
ri j=rj i
反力互等定理
位移法典型方程，简称为位移法方程 – 结构的刚度方程
主系数，rii>0 r12 ...... r1n Z1 R1P r11 r Z R r ...... r 2P 22 2n 2 21 ri j=rj i 反力互等定理 0 ...... ...... ...... ...... rn 2 ...... rnn Z n RnP rij=rji，Rip，>0，=0，<0 rn1
F M AB ql 2 / 12 F M BA ql 2 / 12
F A l/2 l/2 B
Fl/8 A
Fl/8
F M AB Fl / 8
B
F M BA Fl / 8
q
ql2/8 B A B
F M AB ql 2 / 8
A
F A l/2 l/2 B
3Fl/16 A B
EI=
Z1 Z2
EI=
结构力学结构位移计算
结构力学结构位移计算结构位移计算是结构力学中的一个重要内容，它用来分析和计算结构在受力作用下的整体位移情况。
结构位移计算可以通过静力分析和动力分析两种方法进行，静力分析是指结构在静态受力下的位移计算，而动力分析是指结构在动态受力下的位移计算。
静力分析是结构力学的基础，它主要根据结构的初始状态和受力情况，通过应力-应变关系、平衡条件和边界条件等原理进行分析。
静力分析常用的方法有刚度法和应力对应法。
刚度法是基于结构刚度矩阵的计算，通过对于标准结构单元的刚度矩阵进行组装和边界条件的处理，可以得到整个结构的刚度矩阵。
然后，通过对结构受力状态的分析，可以得到结构的受载位移。
应力对应法则是利用结构的应力分布情况，根据材料的本构关系，通过计算得到结构的应变分布情况，然后通过积分等方法，可以得到结构的位移。
动力分析是指结构在动态受力下的位移计算，主要用于计算结构在地震、风载等动力荷载作用下的反应。
动力分析通常包括模态分析和时程分析两种方法。
模态分析是指根据结构的固有振动模态，将结构的运动分解成一系列简谐振动，然后通过分析结构各模态的响应，得到结构的整体位移。
时程分析是指根据结构的动力方程，通过数值积分等方法，求解结构在动力荷载作用下的运动方程，进而计算结构的位移。
在进行结构位移计算时，需要考虑一些基本问题和原则。
首先是边界条件的确定，即结构模型中哪些部分是固定的，哪些部分可以自由移动。
边界条件的选择会直接影响位移计算的结果。
另外，还需要考虑结构材料的本构关系和应力-应变关系的确定，以及结构的几何形状和尺度的影响等。
最后，结构位移计算的结果需要进行后处理和分析。
一般来说，需要对结构的位移进行可视化处理，以便更直观地观察结构的变形情况。
此外，还可以对结构的位移进行动态分析，比如计算结构的振动周期、自由振动频率等，以评估结构的抗震性能和动态稳定性。
总之，结构位移计算是结构力学中一个重要的分析方法，它可以帮助工程师更好地理解和把握结构的受力和变形情况，为结构设计和优化提供重要的参考依据。
结构力学
第五章 超静定结构计算——位移法一、判断题：1、判断下列结构用位移法计算时基本未知量的数目。
（1） （2） （3）（4） （5） （6）EIEIEIEI2EI EIEIEIEA EA ab EI=EI=EI=244422、位移法求解结构内力时如果P M 图为零，则自由项1P R 一定为零。
3、位移法未知量的数目与结构的超静定次数有关。
4、位移法的基本结构可以是静定的，也可以是超静定的。
5、位移法典型方程的物理意义反映了原结构的位移协调条件。
6、图示结构，当支座B 发生沉降∆时，支座B 处梁截面的转角大小为12./∆l ，方向为顺时针方向，设EI =常数。
7、图示梁之 EI =常数，当两端发生图示角位移时引起梁中点C 之竖直位移为(/)38l θ（向下）。
/2/22l l θθC8、图示梁之EI =常数，固定端A 发生顺时针方向之角位移θ，由此引起铰支端B 之转角（以顺时针方向为正）是-θ/2 。
9、用位移法可求得图示梁B 端的竖向位移为ql E I 324/。
ql二、计算题：10、用位移法计算图示结构并作M 图，各杆线刚度均为i ，各杆长均为 l 。
11、用位移法计算图示结构并作M 图，各杆长均为 l ，线刚度均为i 。
12、用位移法计算图示结构并作M 图，横梁刚度EA →∞，两柱线刚度 i 相同。
q 213、用位移法计算图示结构并作M 图。
E I =常数。
ll /2l /2第四章 超静定结构计算——力法一、判断题：1、判断下列结构的超静定次数。
（1）、 （2）、(a )(b)（3）、 （4）、（5）、 （6）、（7）、(a)(b)2、力法典型方程的实质是超静定结构的平衡条件。
3、超静定结构在荷载作用下的反力和内力，只与各杆件刚度的相对数值有关。
4、在温度变化、支座移动因素作用下，静定与超静定结构都有内力。
5、图a 结构，取图b 为力法基本结构，则其力法方程为δ111X c =。
(a)(b)X1第二章 静定结构内力计算一、判断题：1、静定结构的全部内力及反力，只根据平衡条件求得，且解答是唯一的。
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因无支座移动： 根据材力公式：
Ca 0
a
NP EA
பைடு நூலகம்
a
KQKQ GA
a
MK EI
于是：
KP
M K M P ds EI
K Q KQP ds GA
N K N P ds EA
二、位移计算公式的简化
1、梁和刚架（略去轴向变形和剪切变形影响）： KP
NP(KN)
NK
解：（1）在C点加一单位力，作出单位力作用下的桁架内力图（右图） （2）作出荷载作用下的桁架内力图（左图）
（3）将NK、NP代入求位移公式
CV
N K NP EA
ds
1 [(0.67) (10) (3) (1.49) (22.36) ( EA
5)
(1.12) (22.36) ( 5) (1) (20) (2)] 0.03m()
反力r21。
r12=r21
四、反力与位移互等定理：
由于单位荷载使体系中某一支座所产生的反力，等于该支
座发生与反力方向相一致的单位位移时，在单位荷载作用处所引起
的位移，唯符号相反。
r12=-21
一、 试绘制图示结构内力图。
P/2 P/2 Pa/2
a
a
P a/2
a/2 P
2P
16kN/m
2KN a/2
对下面两种状态应用虚功
( a , a , a , Ca )
(MK ,QK , N K , RK )
1 Ka RK1 Ca1 RK 2 Ca2
M K ads
QK ads
N K ads
即： Ka
y
d
MP(x)
dx
MK(X)
y yo
o
xA
Bx
xo
M K M P ds l EI
1 EI
B
A M K M Pdx
1 EI
B
A x tgM Pdx
1 tg
EI
b
a xM Pdx
1
tg
B
xd
EI
A
1 EI
tg
x0 P
1 EI
P
y0
t
( )
N
K
t0ds ()
M K
t h
ds
若每一杆件沿其全长温度改变相同，且截面高度相同，则：
t
() t0 NK
() t
h MK
例题：图示简支刚架内侧温度升高25ºC，外侧温度升高5ºC，各截面 为矩形，h=0.5m,线膨胀系数=1.0105 ,试求梁中点的竖向位移 DV。
（2）将以上弯矩表达式代入求位移公式
M P qx12 2
ql 2 MP
2
AV
M K M P ds EI
l 0
1 EI
(
x1 )(
qx12 2
)dx1
l1
ql 2
5 ql4
( l )( 0 EI
2
)dx2 8 EI ()
例题2 试求图示桁架C点的竖向位移CV。各杆材料相同，截面 抗拉压模量为 EA 2106 KN / m2
公式计算位移：
A
RK
Ca
[(
1 0.03) ( 1 0.05)]
6
10
0.01rad .()
第七节 线性变形体的几个互等定理
一、功的互等定理：
在线性变形体系中，状态一的外力由于状态二的位移所作的虚功等
于状态二的外力由于状态一的位移所作的功。 二、位移互等定理：
所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。 P
A
B
P
满足以上要求的体系为“线变形体系”。因位移与荷载为线 形关系，故求位移时可用叠加原理。
第二节 虚功原理 一、基本概念
1、功：一般来说，力所作的功与其作用点移动路线的形状、路 程的长短有关。
T dT P COS (P, ds)ds
P1•12=P2•21
如果作用在体系上的力是单位力，则在第一个单位力方向上，由于
第二个单位力所引起的位移等于第二个单位力方向上，由于第一个单位
力所引起的位移。
12=21
三、反力互等定理：
如果结构支座发生的是单位位移，则支座1由于支座2的单
位位移所引起的反力r12等于支座2由于支座1的单位位移所引起的
KP
M K M P ds EI
N K N P ds EA
三、位移计算举例
例题1 试求图示 刚架A点的竖向位移AV。 各杆材料相同，截面抗
弯模量为EI。
解： （1）在A点加一单位力，建立坐标系如（图2）示，写出弯矩表达式
AB段：
M K x1
BC段：
M K l
M
C
B
A
B C
l/2
l/2
l/2
l/2
答案：cv
pl 3 48 EI
()
A
pl 2 16 EI
()
答案：
cv
Ml 2 16 EI
()
A
Ml 3EI
()
例题 试求左图所示刚架C点的竖向位移AV和转角C。各杆材 料相同，截面抗弯模量为: EI 1.5105 KN m2
a
P
pa 2P
a
8kN
a/2
Pa/2
M图
2pa 2pa
1.5pa 0.5pa
M K ads
QK ads
N K ads RK Ca
( a , a , a , Ca )
(MK ,QK , N K ,RK )
经分析：
a ds t0ds ;
ads 0
;
ads
t h
ds
;
RCA 0
将以上各式代入求位移的一般公式，可得温度改变位移计算式：
5、各种位移举例
二、计算结构位移的目的 1、刚度验算：电动吊车梁跨中挠度 fmaxl/600。 2、计算超静定结构必须考虑位移条件。 3、施工技术的需要，例如：
三、计算位移的有关假定 1、结构材料服从“虎克定律”，即应力、应变成线形关系。 2、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。 3、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。 4、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆弯曲
+25ºC +5ºC
MK图
NK图
解：作出MK、NK图后，依求位移公式计算位移：
t
() t0 NK
() t
h MK
1.0105 20 ( 1 6 3) 1.0105 15(1 7) 0.00075m()
0.5 2 2
二、支座移动引起的位移
例题3 试求图示半径为R的圆弧形曲梁B点的竖向位移BV。梁 的抗弯刚度EI为常数。
M P PR sin
M K R sin
解：（1）在B点加一单位力（右图） ，写出单位力作用下的弯矩表达式 （2）写出单位力作用下的弯矩表达式（左图）
（3）将MK、MP代入求位移公式
BP
两梯形相乘：Δ
1 EI
al 2
( 2c 3
d) 3
bl 2
(c 3
2d 3
)
1 EI
l 6
(2ac
2cd
ad
bc)
7、三角形、标准二次抛物线的面积、形心公式必须牢记。
练习题： 试求图示连续梁C点的竖向位移CV和A截面的转角θA。 截面抗弯模量为EI。
(1)
A
P
(2)
结论：在满足前述条件下，积分式
M K M P ds l EI
之值等于某一图
形 面积乘以该面积形心所对应的另一直线图形的纵y0,再除以EI。
三、使用乘法时应注意的问题
1、yo必须取自直线图形； 2、当MK为折线图形时，必须分段计算； 3、当杆件为变截面时亦应分段计算；
4、图乘有正负之分：弯矩图在杆轴线同侧时，取正号；异侧，负号。 5、若两个图形均为直线图形时，则面积、纵标可任意分别取自两图形； 6、图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠加法分别图乘。
Ai
(i)
BI (N Q M )ds
Ai
当所研究的体系为刚体时，虚功方程则简化为：
T=0
第三节 平面杆件结构位移计算的一般公式 单位荷载法 一、虚功方程的意义及应用
[uN
vQ
m
]BI AI
(i)
(i)
BI ( pu qv m )ds
Ai
(i)
BI ( N Q M )ds
因支座移动不引起静定结构的内力，故虚功方程中变形功为零，
于是求位移公式简化为： Ka RK Ca
例题：三铰刚架，支座B发生如图1所示的位移：a=5cm,b=3cm,l=6m,h=5m。 求由此而引起的左支座处杆端截面的转角A。
（图1）
（图2）
解：在要求位移方向上加单位力（图2），求出支座反力后依求位移
第五章 虚功原理和结构位移的计算
第一节 概述 一、结构的位移
结构在外部因素作用下，将产生尺寸形状的改变，这种改变称 为变形；由于变形将导致结构各结点位置的移动，于是产生位移。