函数极限与数列极限的关系
数列极限的概念与性质
数列极限的概念与性质数列是数学中一种非常重要的数学对象，它在许多领域都有广泛的应用。
而数列的极限是数列理论中的一个基本概念，通过对数列的极限的研究，可以揭示数列的性质和规律，进一步拓展数学的应用领域。
一、数列极限的概念数列极限是数学中一个非常重要的概念，它描述了数列随着项数增加而趋近的某个确定值。
对于一个数列{an}，当n趋近于无穷大时，如果存在一个实数A，使得对于任意给定的正实数ε，总存在自然数N，使得当n>N时，有|an - A|< ε成立，那么数A就是数列{an}的极限，记作lim(n→∞) an = A。
二、数列极限的性质1. 唯一性：数列的极限如果存在，则唯一。
这意味着一个数列不可能有两个不同的极限。
2. 有界性：如果一个数列存在极限，则它是有界的，即数列中的所有项都在某个范围内。
3. 保号性：如果数列{an}的极限为A，则当n足够大时，数列的每一项与A的关系与A的正负号相同。
4. 极限的四则运算：如果两个数列{an}和{bn}的极限都存在，则它们的和、差、乘积、商的极限也存在，并且有相应的运算规律。
5. 夹逼定理：如果数列{an}、{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn，且li m(n→∞) an = lim(n→∞) cn = A，那么lim(n→∞) bn = A。
6. 收敛数列的有界性：如果数列{an}的极限存在，则数列{an}是有界的。
7. 子列的极限：如果数列{an}的极限为A，则它的任意一个子列的极限也为A。
三、数列极限的应用1. 无穷级数：通过对数列极限的研究，可以求解各种无穷级数的和，如等比级数、调和级数等。
2. 函数极限：函数极限可以看作是数列极限的推广，通过对数列的极限性质的研究，可以进一步推导函数的极限性质。
3. 微积分：微积分中的导数和积分都与数列的极限密切相关，数列极限的概念和性质对于理解微积分理论非常重要。
4. 计算机科学：数列极限的思想也可以应用到计算机科学中，通过数值计算的方法来逼近数列的极限，解决计算问题。
函数极限转化成数列极限
函数极限转化成数列极限1 函数极限与数列极限在解析数学中，我们经常会遇到各种函数的极限问题。
而事实上，很多情况下，函数极限可以转化成数列极限来求解。
这种转化方法在实际计算中非常实用，可节省大量时间和精力。
下面，我们就来看一看函数极限转化成数列极限的具体方法。
2 函数极限的定义首先让我们回忆一下函数极限的定义：如果对于任意的ε>0，存在一个常数δ>0，使得当|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，那么就称L是函数f(x)在x趋于a时的极限。
这个定义非常抽象，不太好直接计算。
所以我们需要采用其他方法来求解。
3 数列极限的定义再来看一下数列极限的定义：如果对于任意的ε>0，存在一个自然数N，使得当n>N时，有|an-L|<ε，那么就称L是数列{an}的极限。
这个定义相对简单明了，也比较易于计算。
因此，我们可以把函数极限转化为数列极限来求解。
4 数列极限的转化方法具体来说，我们使用以下两种方法将函数极限转化为数列极限：1）将自变量x用数列{an}来代替，然后对{an}的极限取值。
2）将函数f(x)中的项分解为两个或多个已知常数之间的运算，然后使用等式或不等式将它们整合到一起，进而得到一个可以表示为数列极限的式子。
这两种方法都非常实用，可以适用于各种数学问题。
当然，在实际计算中，还需要注意一些细节，如极限的存在性、单调性等，以确保结果的正确性。
5 总结通过将函数极限转化为数列极限，我们可以简化计算过程，提高计算效率。
但在实际应用中，我们还需深入学习函数极限的定义和性质，掌握各种技巧和方法，才能更好地解决实际问题，提高数学水平。
关于数列极限和函数极限解法的解析
关于数列极限和函数极限解法的解析王雅丽摘要在数学分析中，极限的知识体系包括数列极限和函数极限。
在求解数列极限的方法中，我们从极限的定义出发，根据极限的性质以及相关的定理法则，例如单调有界收敛来论证极限；另外，对于函数极限的求解，文中列出六种类型，根据函数数列的定义、性质得出相关的定理和法则，对于不同类型，采用不同的方法。
上述方法对函数概念的理解和加强，以及对极限方法的掌握起很大的帮助作用。
ε-定义单调有界收敛无穷小量络必达法则关键词数列极限N早在两千多年前，我们的祖先就已经能够算出正方形，圆形和柱形等几何图形的面积。
公元前3世纪刘徽创立割圆术，就是用圆内接正多边形面积这一思想近似的计算圆周率，并指出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以致不可割，则于圆和体而无所失矣”在数学分析中，极限是一个核心内容，同时它本身研究问题的工具。
极限概念与求极限的运算贯穿了数学分析课程的始终，因此全面掌握极限的方法与技巧是学习数学分析的关键。
1 数列极限古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去。
把每天截下部分的长度列出如下（单位为尺）：第一天截下12，第二天截下212……第n 天截下12n,……这样就得到一个数列{12n} 。
只有无穷数列才可能有极限,有限数列无极限.不难看出,数列{12n} 的通项12n随着n 的无限增大而无限地接近于0。
“无限增大”和“无限地接近”是对极限做了定性的描述，无限地接近于0说明了当n 无限的增大时数列的第n 项12n与0的距离102n-要多小有多小。
下面把任意小量化： 对于12，如果要求1110222nn-=<，只需要1n >即可；对于212，如果要求21110222nn-=<， 只需要2n >即可；对于 312，如果要求31110222n n -=<， 只需要3n >即可；...由上可以看出能满足不等式的n 不是唯一的，这就需要一个一般的任意小的正数来代替特殊的，如12，212，312...为此就出现了任意小的正数ε。
浅谈数列极限与函数极限在解题中的区别和联系.甄选范文.
浅谈数列极限与函数极限在解题中的区别和联系.浅谈数列极限与函数极限在解题中的区别和联系摘要在数学分析中，极限的知识体系包括数列极限和函数极限。
在求解数列极限的方法中，我们从极限的定义出发，根据极限的性质以及相关的定理法则，例如单调有界收敛来论证极限；在求解函数极限时，其方法与数列极限有着相同之处，同时又有所区别。
本文重点在于分析数列极限与函数极限在解题中的相似之处与不同之处，同时研究数列极限与函数极限的关系。
关键词：数列极限；函数极限；区别；联系目录1 数列极限与函数极限在解题中的相似之处 (2)1.1 定义法在极限解题中的应用 (2)1.1.1 定义法概述 (2)1.1.2 定义法解题实例分析 (2)1.2 迫敛性在极限解题中的应用 (3)1.2.1 迫敛性概述 (3)1.2.2 迫敛性解题实例分析 (3)1.3 积分中值定理在极限解题中的应用 (4)1.3.1 积分中值定理概述 ..................................................... 4 1.3.2 积分中值定理实例分析 ............................................. 4 1.4 本章小结 ............................................................................. 4 2 数列极限与函数极限在解题中的不同之处 . (5)2.1 存在条件不同 (5)2.1.1 数列极限存在条件 ..................................................... 5 2.1.2 函数极限存在条件 ..................................................... 6 2.2 特殊形式的极限 .. (7)2.2.1 数列极限的特殊解法研究 ......................................... 7 2.2.3 两个重要形式的函数极限解法研究 .. (8)3数列极限与函数极限的关系 (9)3.1海涅定理 .............................................................................. 9 3.2海涅定理的应用 .................................................................. 9 4 结论 . (10)1 数列极限与函数极限在解题中的相似之处数列极限与函数极限在解题过程中，存在着很多的相似之处。
函数极限与数列极限的关系
函数极限与数列极限的关系数列极限设{x n}为实数数列，a为常数．若对任意给定的正数ɛ，总存在正整数N，使得当n>N时，有∣x n−a∣<ɛ，则称数列{x n}收敛于a，常数a称为数列{x n}的极限．并记作x n=a或x n→a(n→∞),limn→+∞读作“ 当n趋于无穷大时，{x n}的极限等于a”．若数列{x n}没有极限，则称{x n}不收敛，或称{x n}为发散数列．对于收敛数列有以下两个基本性质，即收敛数列的唯一性和有界性：定理1：如果数列{x n}收敛，则其极限是唯一的；定理2：如果数列{x n}收敛，则其一定是有界的，即对于一切n(n=1,2,⋯)，总可以找到一个正数M，使得∣x n∣⩽M．函数极限函数极限可以分成x→x0,x→+∞,x→−∞三种．x→x0:设函数f(x)在点x0的某一去心邻域，即(x0−δ,x0)∪(x0,x0+δ)(δ>0)内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ɛ（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<∣x−x0∣<δ时，对应的函数值f(x)都满足不等式∣f(x)−A∣<ɛ，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限，记作limf(x)=A.x→x0x→+∞:设f(x)为定义在[a,+∞)上的函数，A为常数．若对于任意给定的正数ɛ，存在正数M，使得当x>M时，有∣f(x)−A∣<ɛ，则称函数f(x)当x趋于正无穷时以A为极限，记作f(x)=A或f(x)→A(x→+∞),limx→+∞x→−∞与此类似．例题1. 设无穷等比数列 {a n } 的公比为 q ，若 a 1=lim n→∞(a 3+a 4+⋯+a n )，则 q = ．【答案】 √5−12【分析】 易知 ∣q ∣<1，且 a 1=lim n→∞(a 1+a 2+a 3+a 4+⋯+a n −a 1−a 2)，所以 a 1=a 11−q−a 1−a 1q ，即 q 2+q −1=0．2. lim√n 2+5n−n= ．【答案】 253. 如图，抛物线 y =−x 2+1 与 x 轴的正半轴交于点 A ，将线段 OA 的 n 等分点从左至右依次记为 P 1,P 2,⋯,P n−1，过这些分点分别作 x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为 Q 1,Q 2,⋯,Q n−1，从而得到 n −1 个直角三角形 △Q 1OP 1,△Q 2P 1P 2,⋯,△Q n−1P n−2P n−1，当 n →∞ 时，这些三角形的面积之和的极限为 ．【答案】 13【分析】 S =lim n→∞[12(1n −1n 3)+12(1n −4n 3)+⋯+12(1n −(n−1)2n 3)]=lim n→∞[n−12n −12+22+⋯+(n−1)22n 3]=13.4. 计算： limn→∞3n 2+4n−2(2n+1)2= ．【答案】 345. limn→∞(1−3nn+3)=．【答案】−26. limn→∞(1+a)n+1n+a=2，则常数a=．【答案】17. limx→2(4x2−4−1x−2)=．【答案】−148. limn→∞C n2+2C n n−2n+1=．【答案】329. limn→∞1+3+⋯+(2n−1)2n2−n+1=．【答案】1210. limx→1x−1x2+3x−4=．【答案】1511. 有一列正方体，棱长组成以1为首项，12为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,⋯,V n,⋯，则limn→∞(V1+V2+⋯+V n)=．【答案】8712. 若函数f(x)={3x+2x2−4−ax−2(x>2),b(x⩽2)在x=2处连续，则a=，b=．【答案】2；1413. limn→∞2n+3n2n−3n= ．【答案】 −114. 设函数 f (x )=1x+1，点 A 0 表示坐标原点，点 A n (n,f (n ))(n ∈N ∗)，若向量 a n ⃗⃗⃗⃗ =A 0A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋯+A n−1A n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，θn 是 a n ⃗⃗⃗⃗ 与 i 的夹角，（其中 i =(1,0)），设 S n =tanθ1+tanθ2+⋯+tanθn ，则 lim n→∞S n = ．【答案】 1【分析】 a n ⃗⃗⃗⃗ =A 0A n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(n,1n+1)．由题意，得 θn 是 a n ⃗⃗⃗⃗ 与 x 轴正方向 的夹角，从而 tanθn =1n (n+1)．运用裂项相消法，得 S n =1−1n+1．15. 设等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，若 a 6=S 3=12，则 limn→+∞S nn 2=【答案】 1【分析】 {a 6=12S 3=12 故 {a 1=2d =2，所以 a n =2n ，lim n→+∞S n n 2=lim n→+∞n (n+1)n 2=lim n→+∞n+1n =1．16. lim x→0(1x 2−x −2x 2−2x )= ．【答案】 −1217. 计算 limn→+∞n+21+2+⋯+n= ．【答案】 018. (1)若 lim √n(√n+a−√n)=1 ，则常数 a = ．(2) √x−√π= ．【答案】 2 ； −2√π19. 已知无穷等比数列 {a n } 的各项和为 4 ，则首项 a 1 的取值范围是 ．【答案】 (0,4)∪(4,8)20. 已知函数 f (x )={x 2+2x−3x−1,x >1,ax +1,x ⩽1,在 x =1 处连续，则实数 a 的值为 ．【答案】 321. 设函数 f (x )={2x +1(x >0),a(x =0),bx (√1+x −1)(x <0) 在 x =0 处连续，求 a,b 的值．【解】lim x→0−f (x )=lim x→0−bx⋅(√1+x −1)=lim x→0√1+x √1+x x(√1+x +1)=lim x→0b (1+x −1)x(√1+x +1)=lim x→0√1+x +1=b2,而 lim x→0+f (x )=lim x→0+(2x +1)=2⋅0+1=1，所以 {b2=a 1=a⇒{a =1,b =2.22. 已知 lim x→−2x 2+mx+2x+2=n ，求 m,n 的值．【解】 解法一：∵ limx→−2x 2+mx+2x+2=n ，∴ x =−2 为方程 x 2+mx +2=0 的根． ∴ m =3． 又 limx→−2x 2+3x+2x+2=lim x→−2(x +1)=−1，∴ n =−1．∴ m =3,n =−1．解法二：∵lim x→−2(x 2+mx +2)=lim x→−2[(x +2)⋅x 2+mx +2x +2]=lim x→−2(x +2)⋅lim x→−2x 2+mx +2=0⋅n =0,∴ (−2)2+(−2)m +2=0,m =3． 同上可得 n =−1．23. 在数列 {a n } 中，若 a 1，a 2 是正整数，且 a n =∣a n−1−a n−2∣，n =3,4,5,⋯ 则称 {a n } 为“绝对差数列”．(1)举出一个前五项不为零的"绝对差数列"（只要求写出前十项）；【解】 a 1=3，a 2=1，a 3=2，a 4=1，a 5=1，a 6=0，a 7=1，a 8=1，a 9=0，a 10=1．（答案不唯一）(2)若“绝对差数列” {a n } 中，a 1=3，a 2=0，试求出通项 a n ；【解】 因为在绝对差数列 {a n } 中，a 1=3，a 2=0，所以该数列是 a 1=3，a 2=0，a 3=3，a 4=3，a 5=0，a 6=3，a 7=3，a 8=0，⋯． 即自第 1 项开始，每三个相邻的项周期地取值 3，0，3，所以 {a 3n+1=3,a 3n+2=0,a 3n+3=3,(n =0,1,2,3,⋯).(3)证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项．【解】 根据定义，数列 {a n } 必在有限项后出现零项，证明如下：假设 {a n } 中没有零项，由于 a n =∣a n−1−a n−2∣，所以对于任意的 n ，都有 a n ⩾1，从而 当 a n−1>a n−2 时，a n =a n−1−a n−2⩽a n−1−1(n ⩾3)； 当 a n−1<a n−2 时，a n =a n−2−a n−1⩽a n−2−1(n ⩾3)； 即 a n 的值要么比 a n−1 至少小 1，要么比 a n−2 至少小 1．令 c n ={a 2n−1(a 2n−1>a 2n ),a 2n (a 2n−1<a 2n ),(n =1,2,3,⋯)． 则 0<c n ⩽c n−1−1(n =2,3,4,⋯)．由于 c 1 是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项 c n <0， 这与 c n >0(n =1,2,3,⋯) 矛盾，从而 {a n } 必有零项．若第一次出现的零项为第 n 项，记 a n−1=A (A ≠0)，则自第 n 项开始，每三个相邻的项周期地取值 0，A ，A ，即{a n+3k =0,a n+3k+1=A,a n+3k+2=A,(k =0,1,2,3,⋯).所以绝对差数列 {a n } 中有无穷多个为零的项．24. 已知数列 {a n } 的通项公式为 a n =8(n+1)(n+3)，求 ∑(n +1)(a n −a n+1)∞n=1 的值．【解】 因为 (n +1)(a n −a n+1)=8(n +1)[1(n +1)(n +3)−1(n +2)(n +4)]=8⋅[1(n +2)(n +4)+1(n +3)(n +4)]=4⋅(1n +2−1n +4)+8(1n +3−1n +4),所以 ∑(n +1)(a n −a n+1)∞n=1=4∑(1n +2−1n +4)∞n=1+8∑(1n +3−1n +4)∞n=1=4⋅(13+14)+8⋅14=133.25. 已知数列 {a n } 中，a n =(2n )2(2n−1)(2n+1), S n 为其前 n 项的和，求 lim n→∞S nn的值．【解】∵a n=(2n )2(2n−1)(2n+1)=(2n )2−1+1(2n−1)(2n+1)=1+(12n−1−12n+1)×12,∴1n S n =1n [1+12(1−13)+1+12(13−15)+⋯+1+12(12n−1−12n+1)]=1n [n +12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)]=1n [n +12(1−12n+1)]=2n+22n+1.∴ lim n→∞S nn =limn→∞2n+12n+1=1.26. 已知数列 {a n }，其中 a 1=1，a 2=3，2a n =a n+1+a n−1 (n ⩾2)．记数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，数列 {lnS n } 的前 n 项和为 U n ． (1)求 U n ；【解】 由题意，得 {a n } 是首项为 1 、公差为 2 的等差数列，则其前 n 项和S n =n ×1+n (n −1)2×2=n 2,从而lnS n =lnn 2=2lnn,因此U n =2(ln1+ln2+⋯+lnn )=2ln (n!). (2)设 x >0，F n (x )=e U n2n (n!)2x 2n ，T n (x )=∑F k ʹn i=1(x )（其中 F k ʹ(x ) 为 F k (x ) 的导函数），计算 limn→∞T n (x )T n+1(x )．【解】 由（1），得F n (x )=e U n 2n (n!)2⋅x 2n =(n!)22n (n!)2⋅x 2n=x 2n2n,则F nʹ(x)=x2n−1.从而T n(x)=∑F kʹ(x)=nk=1∑x2k−1=nk=1{x(1−x2n)1−x2,0<x<1,n,x=1,x(1−x2n)1−x2,x>1.因此lim n→∞T n(x)T n+1(x)={limn→∞1−x2n1−x2n+2=1,0<x<1,limn→∞nn+1=1,x=1,limn→∞(1x2n)−1(1x2n)−x2=1x2,x>1.27. 已知等差数列{a n}的前三项为a，4，3a，前n项和为S n，且S k=2550． (1)求a及k的值；【解】∵a+3a=2×4,∴a=2.∴数列{a n}是首项为2，公差为2的等差数列．∵2k+k(k−1)2×2=2550,∴k=50,即a、k的值分别为2、50．(2)求limn→+∞(1S1+1S2+⋯+1S n)的值．【解】∵S n=2n+n(n−1)2×2=n2+n,∴1S n =1n2+n=1n(n+1)=1n−1n+1.∴1S1+1S2+⋯+1S n=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1 =1−1n+1.∴limn→+∞(1S1+1S2+⋯+1S n)=limn→+∞(1−1n+1)=1.28. 已知数列{a n}的前n项和S n=3n−1，数列{b n}满足b1=1，b n=3b n−1+a n(n⩾2)，记数列{b n}的前n项和为T n．(1)证明：{a n}为等比数列；【解】因为数列{a n}的前n项和S n=3n−1，所以a n=S n−S n−1=(3n−1)−(3n−1−1)=2⋅3n−1(n⩾2)．因为n=1时，a1=S1=2，也适合上式，所以a n=2⋅3n−1(n∈N∗)．因为a n+1a n =2⋅3n2⋅3n−1=3，所以数列{a n}是首项为2，公比为3的等比数列． (2)求T n；【解】当n⩾2时，b n=3b n−1+2⋅3n−1，将其变形为b n3n−1=b n−13n−2+2，即b n3n−1−b n−13n−2=2．所以数列{b n3n−1}是首项为b130=1，公差为2的等差数列．所以b n3n−1=1+2(n−1)=2n−1．所以b n=(2n−1)⋅3n−1(n∈N∗)．因为T n=1×30+3×31+5×32+⋯+(2n−1)⋅3n−1，所以3T n=1×31+3×32+5×33+⋯+(2n−1)⋅3n．两式相减得2T n=−1−2(31+32+⋯+3n−1)+(2n−1)⋅3n．整理得T n=(n−1)⋅3n+1(n∈N∗)．(3)设P n=S n+T n，若对于任意n∈N∗，都有(−1)n−1λ<1+(−1)n⋅P nP n+1成立，求实数λ的取值范围．【解】由P n=S n+T n=n⋅3n，得P nP n+1=n⋅3n(n+1)⋅3n+1=n3n+3．于是(−1)n−1λ<1+(−1)n⋅P nP n+1化为(−1)n−1λ<1+(−1)n⋅n3n+3. ⋯⋯①（i）当n是正奇数时，①式可化为λ<23+13n+3，显然，13n+3大于0，且随着正奇数n的增大而减小．由于①式对任意正奇数n恒成立，所以λ⩽23．（ii）当n是正偶数时，①式可化为λ>−43+13n+3，显然，13n+3随着正偶数n的增大而减小．由于①式对任意正偶数n恒成立，所以λ>−43+13×2+3=−119．综上，实数λ的取值范围(−119,23 ]．29. 设函数f(x)=a1sinx+a2sin2x+⋯+a n sinnx，其中a1,a2,⋯,a n∈R,n∈N+，已知对一切x∈R，有∣f(x)∣⩽∣sinx∣和limx→0sinxx=1，求证：∣a1+2a2+⋯+na n∣⩽1．【解】由于f(x)=a1sinx+a2sin2x+⋯+a n sinnx,则fʹ(x)=a1cosx+2a2cos2x+⋯+na n cosnx,所以fʹ(0)=a1+2a2+⋯+na n.由于∣fʹ(0)∣=∣∣∣limΔx→0f (Δx )−f (0)Δx∣∣∣=lim Δx→0∣∣∣f (Δx )Δx ∣∣∣⩽limΔx→0∣sinΔx∣∣Δx∣=1,故有 ∣a 1+2a 2+⋯+na n ∣⩽1．30. 已知公比为 q (0<q <1) 的无穷等比数列 {a n } 各项的和为 9，无穷等比数列 {a n 2} 各项的和为 815．(1)求数列 {a n } 的首项 a 1 和公比 q ；【解】 依题意可知，{ a 11−q =9,a 122=81,⇒{a 1=3,q =23.(2)对给定的 k (k =1,2,3,⋯,n )，设 T (k ) 是首项为 a k ，公差为 2a k −1 的等差数列，求 T (2) 的前 10 项之和；【解】 由（1）知，a n =3×(23)n−1，所以数列 T (2) 的的首项为 t 1=a 2=2，公差 d =2a 2−1=3，S 10=10×2+12×10×9×3=155，即数列 T (2) 的前 10 项之和为 155．(3)设 b i 为数列 T (k ) 的第 i 项，S n =b 1+b 2+⋯+b n ，求 S n ，并求正整数 m (m >1)，使得limn→∞S nn m存在且不等于零．（注：无穷等比数列各项的和即当 n →∞ 时该无穷等比数列前 n 项和的极限）【解】 b i =a i +(i −1)(2a i −1)=(2i −1)a i −(i −1)所以 S n =b 1+b 2+⋯+b n =[a 1+3a 2+5a 3+⋯+(2n −1)a n ]−[1+2+⋯+(n −1)]令 S =a 1+3a 2+5a 3+⋯+(2n −1)a n 因为 S −qS =2(a 1+a 2+⋯+a n )−a 1−(2n −1)a n+1 所以S =2a 1(1−q n )(1−q )2−a 1+(2n −1)a n+11−q =45−(18n +45)(23)n故S n =S −n (n −1)2=45−(18n +45)(23)n −n (n −1)2当 m =2 时，lim n→∞S n n 2=lim n→∞[45n 2−18n +45n 2(23)n −12+12n ]=−12 当 m >2 时，lim n→∞S n n m =0，所以当 m =2 时，lim n→∞S nn 存在且不等于零．31. 已知在 x 轴上有一点列：P 1(x 1,0)，P 2(x 2,0)，P 3(x 3,0)，⋯，P n (x n ,0)，⋯，点 P n+2 分有向线段 P n P n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所成的比为 λ，其中 n ∈N ∗，λ 为常数，x 1=1，x 2=2． (1)设 a n =x n+1−x n ，求数列 {a n } 的通项公式；【解】 由题意得 x n+2=x n +λxn+11+λ，又 a n =x n+1−x n ， ∴a n a n−1=−11+λ，又 a 1=x 2−x 1=1，∴ 数列 {a n } 是首项为 1 、公比为 −11+λ 的等比数列， ∴ a n =(−11+λ)n−1．(2)设 f (λ)=lim n→+∞x n ，当 λ 变化时，求 f (λ) 的取值范围．【解】 因为x n =x 1+(x 2−x 1)+(x 3−x 2)+⋯+(x n −x n−1)=1+a 1+a 2+⋯+a n−1,λ>0．∴ ∣∣−11+λ∣∣<1，lim n→+∞x n =1+11+11+λ=2λ+3λ+2． ∴ 当 λ>0 时，f (λ)=2(λ+2)−1λ+2=2−1λ+2∈(32,2)．32. 已知函数 f (x )={0,(x ⩽0),n [x −(n −1)]+f (n −1),(n −1<x ⩽n,n ∈N ∗), 数列 {a n } 满足a n =f (n )(n ∈N ∗)．(1)求数列 {a n } 的通项公式；【解】 ∵ n ∈N ∗，所以f (n )=n [n −(n −1)]+f (n −1)=n +f (n −1),所以f (n )−f (n −1)=n,所以f (1)−f (0)=1,f (2)−f (1)=2,f (3)−f (2)=3,⋯⋯f (n )−f (n −1)=n.将这 n 个式子相加，得f (n )−f (0)=1+2+3+⋯+n=n (n +1).∵ f (0)=0， ∴ f (n )=n (n+1)2，所以a n =n (n +1)2(n ∈N ∗). (2)设 x 轴，直线 x =a 与函数 y =f (x ) 的图象所围成的封闭图形的面积为 S (a )(a ⩾0)，求 S (n )−S (n −1)(n ∈N ∗)；【解】 S (n )−S (n −1) 为一直角梯形（n =1 时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为 f (n −1)，f (n )，高为 1，所以S (n )−S (n −1)=f (n −1)+f (n )2×1=a n−1+a n 2=12[n (n −1)2+n (n +1)2]=n 22.(3)在集合 M ={N ∣N =2k,k ∈Z 且 1000⩽k <1500} 中，是否存在正整数 N ，使得不等式 a n −1005>S (n )−S (n −1) 对一切 n >N 恒成立？若存在，则这样的正整数 N 共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数 N ；若不存在，请说明理由．【解】 设满足条件的正整数 N 存在，则n (n +1)2−1005>n 22⇔n2>1005⇔n >2010. 又 M ={2000,2002,⋯,2008,2010,2012,⋯,2998}，∴ N =2010,2012,⋯,2998 均满足条件．它们构成首项为 2010，公差为 2 的等差数列． 设共有 m 个满足条件的正整数 N ，则2010+2(m −1)=2998,解得m =495,∴ M 中满足条件的正整数 N 存在，共有 495 个，所以N min =2010.(4)请构造一个与 {a n } 有关的数列 {b n }，使得 lim n→∞(b 1+b 2+⋯+b n ) 存在，并求出这个极限值．【解】 设 b n =1a n，即b n =2()=2(1−1),则b 1+b 2+⋯+b n=2[(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n −1n +1)]=2(1−1n +1).显然，其极限存在，并且lim n→∞(b 1+b 2+⋯+b n )=lim n→∞[2−1n +1]=2. 注：b n =c a n（c 为非零常数），b n =(12)2a n n+1,b n =q 2a nn+1(0<∣q ∣<1) 等都能使 lim n→∞(b 1+b 2+⋯+b n ) 存在．33. 已知 a >0 ，且 a ≠1 ，函数 f (x )=log a (1−a x ) ． (1)求函数 f (x ) 的定义域，并判断 f (x ) 的单调性；【解】 由题意知 1−a x >0 ，当 0<a <1 时， f (x ) 的定义域是(0,+∞);当 a >1 时， f (x ) 的定义域是(−∞,0).因为fʹ(x )=−a x lna 1−a x ⋅log a e =a xa x −1.由此，当 0<a <1 时， x ∈(0,+∞) ，因为 a x −1<0 ， a x >0 ，则fʹ(x )<0,所以 f (x )在 (0,+∞) 上是减函数．当 a >1 时， x ∈(−∞,0)，因为 a x −1<0 ， a x >0 ，则fʹ(x )<0,所以 f (x )在 (−∞,0) 上是减函数． (2)若 n ∈N ∗，求 lim n→∞a f (n )a n +a；【解】 因为 f (n )=log a (1−a n ),所以a f (n )=1−a n ,由函数定义域知 1−a n >0 ，因为 n 是正整数，则 0<a <1 ，所以lim n→∞a f (n )a n +a =lim n→∞1−a n a n +a =1a. (3)当 a =e （ e 为自然对数的底数）时，设 ℎ(x )=(1−e f (x ))(x 2−m +1) ，若函数 ℎ(x ) 的极值存在，求实数 m 的取值范围以及函数 ℎ(x ) 的极值．【解】 由 ℎ(x )=e x (x 2−m +1)(x <0) ，所以ℎʹ(x )=e x (x 2+2x −m +1).令 ℎʹ(x )=0 ，即x 2+2x −m +1=0,由题意应有 Δ⩾0 ，即m ⩾0.①当 m =0 时， ℎʹ(x )=0 有实根x =−1,在 x =−1 点左右两侧均有 ℎʹ(x )>0 ，故 ℎ(x ) 无极值． ②当 0<m <1 时， ℎʹ(x )=0 有两个实根x 1=−1−√m,x 2=−1+√m.当 x 变化时， ℎʹ(x ) 、 ℎ(x ) 的变化情况如下表所示：x (−∞,x 1)x 1(x 1,x 2)x 2(x 2,0)ℎʹ(x )+00+ℎ(x )↗极大值↘极小值↗所以 ℎ(x ) 的极大值为2e −1−√m (1+√m),ℎ(x ) 的极小值为2e −1+√m (1−√m).③当 m ⩾1 时, ℎʹ(x )=0 在定义域内有一个实根x =−1−√m.同上可得 ℎ(x ) 的极大值为2e −1−√m (1+√m).综上所述，当 0<m <1 时 ℎ(x ) 的极大值为 2e −1−√m (1+√m) ， ℎ(x ) 的极小值为 2e −1+√m (1−√m) ；当 m ⩾1 时， ℎ(x ) 的极大值为 2e −1−√m (1+√m) ．34. 已知 f 是直角坐标系平面 xOy 到自身的一个映射，点 P 在映射 f 下的象为点 Q ，记作 Q =f (P )．设 P 1(x 1,y 1)，P 2=f (P 1)，P 3=f (P 2)，⋯，P n =f (P n−1)，⋯ 如果存在一个圆，使所有的点 P n (x n ,y n )(n ∈N ∗) 都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点 P n (x n ,y n ) 的一个收敛圆．特别地，当 P 1=f (P 1) 时，则称点 P 1 为映射 f 下的不动点．若点 P (x,y ) 在映射 f 下的象为点 Q (−x +1,12y)． (1)求映射 f 下不动点的坐标；【解】 设不动点的坐标为 P 0(x 0,y 0)，由题意，得{x 0=−x 0+1,y 0=12y 0.解得x 0=12,y 0=0.所以此映射 f 下不动点为 P 0(12,0)．(2)若 P 1 的坐标为 (2,2)，求证：点 P n (x n ,y n )(n ∈N ∗) 存在一个半径为 2 的收敛圆．【解】 由 P n+1=f (P n )，得{x n+1=−x n +1,y n+1=12y n .所以x n+1−12=−(x n −12),y n+1=12y n . 因为 x 1=2，y 1=2，所以 x n −12≠0，y n ≠0，所以x n+1−12x n −12=−1,y n+1y n =12. 由等比数列定义，得数列 {x n −12}(n ∈N ∗) 是公比为 −1，首项为 x 1−12=32 的等比数列，所以x n −12=32×(−1)n−1, 则x n =12+(−1)n−1×32. 同理，y n =2×(12)n−1．所以 P n (12+(−1)n−1×32,2×(12)n−1)．设 A (12,1)，则∣AP n ∣=√(32)2+[1−2×(12)n−1]2.因为 0<2×(12)n−1⩽2，所以 −1⩽1−2×(12)n−1<1，所以∣AP n ∣⩽√(32)2+1<2.故所有的点 P n (n ∈N ∗) 都在以 A (12,1) 为圆心，2 为半径的圆内，即点 P n (x n ,y n ) 存在一个半径为 2 的收敛圆．35. 设 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直线 x =1 对称，对任意 x 1,x 2∈[0,12]，都有f (x 1+x 2)=f (x 1)⋅f (x 2)，且 f (1)=a >0． (1)求 f (12),f (14)；【解】 因为对任意 x 1,x 2∈[0,12]，都有 f (x 1+x 2)=f (x 1)⋅f (x 2)， 所以 f (x )=f (x 2+x 2)=f (x 2)⋅f (x2)⩾0,x ∈[0,1]． ∵ f (1)=f (12+12)=f (12)⋅f (12)=[f (12)]2, f (12)=f (14+14)=f (14)⋅f (14)=[f (14)]2, f (1)=a >0，∴ f (12)=a 12,f (14)=a 14． (2)证明 f (x ) 是周期函数；【解】 依题设 y =f (x ) 关于直线 x =1 对称，故 f (x )=f (1+1−x )，即f (x )=f (2−x ),x ∈R.又由 f (x ) 是偶函数知 f (−x )=f (x ),x ∈R ，∴ f (−x )=f (2−x ),x ∈R ．将上式中 −x 以 x 代换，得f (x )=f (x +2),x ∈R.这表明 f (x ) 是 R 上的周期函数，且 2 是它的一个周期． (3)记 a n =f (2n +12n)，求 lim n→∞(lna n )．【解】 由（1）知 f (x )⩾0,x ∈[0,1]，∵f (12)=f (n ⋅12n)=f [12n +(n −1)⋅12n ]=f (12n )⋅f [(n −1)⋅12n]=⋯=f (12n )⋅f (12n )⋅⋯⋅f (12n)=[f (1)]n ,f (12)=a 12，∴ f (12n )=a 12n．∵ f (x ) 的一个周期是 2 ∴ f (2n +12n )=f (12n )，因此 a n =a 12n． ∴lim n→∞(lna n )=lim n→∞(12n lna)=0．36. 已知点 P 1(a 1,b 1)，P 2(a 2,b 2)，…，P n (a n ,b n )（n 为正整数）都在函数 y =a x (a >0,a ≠1) 的图象上，其中 {a n } 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列． (1)求数列 {a n } 的通项公式，并证明数列 {b n } 是等比数列；【解】 a n =2n −1，(n ∈N ∗)，b n =a a n =a 2n−1，∴ b n+1b n=a 2（定值），∴ 数列 {b n } 是等比数列．(2)设数列 {b n } 的前 n 项的和为 S n ，求 lim n→∞S nS n+1；【解】 ∵ {b n } 是等比数列，且公比 a 2≠1，∴ S n =a (1−a 2n )1−a 2，S nSn+1=1−a 2n1−a 2n+2．当 0<a <1 时，lim n→∞S nS n+1=1；当 a >1 时，lim n→∞S nS n+1=limn→∞1−a 2n 1−a 2n+2=limn→∞1a 2n −11a 2n −a 2=1a 2．因此，lim S nSn+1={1,0<a <11a2,a >1．(3)设 Q n (a n ,0)，当 a =23时，问 △OP n Q n 的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；【解】 b n =(23)2n−1，S △=12⋅(2n −1)⋅(23)2n−1，设 c n =12⋅(2n −1)(23)2n−1，当 c n 最大时，则 {c n ⩾c n−1c n ⩾c n+1，解得 {n ⩽2.3n ⩾1.3，n ∈N ∗，∴ n =2 时，c n 取得最大值 49，因此 △OP n Q n的面积存在最大值为 49．37. 如图，已知 Rt △ABC 中，∠B =90∘，tanC =0.5，AB =1，在 △ABC 内有一系列正方形，求所有这些正方形面积之和．【解】 设正方形 BD 1C 1B 1 、 D 1D 2C 2B 2 、 … 的边长分别为 a 1,a 2,….， ∵AB =1，tanC =0.5，∴BC =2．由相似三角形的知识可得 a 12=1−a 11，∴a 1=23． 同理，可得 a 2=23a 1,…,a n =23a n−1.∴{a n } 是以 23为首项，以 23为公比的等比数列．设 {S n } 是第 n 个正方形的面积，则 S n 是以 49 为首项，49 为公比的等比数列．∴lim n→∞(S 1+S 2+⋯+S n )=limn→∞49[1−(49)n ]1−49=45lim n→∞[1−(49)n ]=45,即所有这些正方形面积之和为 45．38. 已知数列 {anλn −(3λ)n} 是等差数列，公差为 2，a 1=11，a n+1=λa n +b n ． (1)用 λ 表示 b n ；【解】 因为数列 {a nλn −(3λ)n} 是公差为 2 的等差数列，所以 a n+1λn+1−3n+1λn+1=a n λn −3nλn+2, 去分母，得a n+1=λ⋅a n +3n+1+2λn+1−λ⋅3n ,由 a n+1−λa n =b n ，得b n =2λn+1+3n (3−λ).(2)若limn→∞b n+1b n=4，且λ⩾3，求λ的值；【解】lim n→∞b n+1b n=limn→∞2λn+2+3n+1(3−λ)2λn+1+3n(3−λ).当λ=3时，lim n→∞b n+1n=λ=3这与已知矛盾，所以λ≠3，当λ>3时，lim n→∞b n+1b n=limn→∞2λ+(3−λ)(3λ)n+12+3−λλ(3λ)n=λ=4,综上，λ=4．(3)在（2）的条件下，求数列{a n}的前n项和．【解】当λ=4，由已知，得a n 4n −3n4n=11−34+2(n−1)=2n,解得a n=2n⋅4n+3n.令A n=2×4+4×42+6×43+⋯+2n×4n,则4A n=2×42+4×43+6×44+⋯+2n×4n+1,两式相减，得−3A n=2×4+2×42+2×43+⋯+2×4n−2n⋅4n+1=8(1−4n)1−4−2n⋅4n+1=(2−6n)⋅4n+1−83,从而A n=(6n−2)⋅4n+1+89.而B n=3+32+33+⋯+3n=3n+12−32,因此，数列{a n}的前n项和S n=A n+B n=89+6n−29×4n+1+3n+12−32=−1118+3n+12+6n−29×4n+1.39. 讨论函数 f (x )={x,x >2,−(x −2)2,x <2 在 x =2 处的左极限、右极限以及在 x =2 处的极限．【解】 函数 f (x ) 的图象如图所示：当 x →2− 时，函数无限接近于 0, 即 lim x→2−f (x )=0. 当 x →2+时，函数无限接近于 2, 即 lim x→2+f (x )=2. 综上，可知 lim x→2−f (x )≠lim x→2+f (x )．∴ 函数 f (x ) 在 x =2 处极限不存在．40. 已知 a >0，数列 {a n } 满足 a 1=a ，a n+1=a +1a n，n =1,2,⋯．(1)已知数列 {a n } 极限存在且大于零，求 A =lim n→∞a n （将 A 用 a 表示）；【解】 由 lim n→∞a n 存在，且 A =lim n→∞a n (A >0), 对 a n+1=a +1a n两边取极限得A =a +1A,解得A =a ±√a 2+42,又 A >0，所以A =a +√a 2+4.(2)设 b n =a n −A ，n =1,2,⋯，证明：b n+1=−bn A (b n +A)；【解】 由 a n =b n +A ，a n+1=a +1a n，得b n+1+A =a +1n , 所以b n+1=a −A +1b n +A =−1A +1b n +A=−b nA (b n +A ).即 b n+1=−b nA(b n +A)对 n =1,2,⋯ 都成立．(3)若 ∣b n ∣⩽12n对 n =1,2,⋯ 都成立，求 a 的取值范围．【解】 令 ∣b 1∣⩽12，根据（1）（2）得∣∣∣a −12(a +√a 2+4)∣∣∣⩽12, 解得a ⩾32.现证明当 a ⩾32 时，∣b n ∣⩽12n 对 n =1,2,⋯ 都成立． （i ）当 n =1 时结论成立（已验证）．（ii ）假设当 n =k (k ⩾1) 时结论成立，即 ∣b k ∣⩽12k , 那么∣b k+1∣=∣b k ∣∣A (b k +A )∣⩽1A ∣b k +A ∣×12k ,则只须证明1A ∣b k +A ∣⩽12,即证 A ∣b k +A ∣⩾2 对 a ⩾32成立．由于A =a +√a 2+42=2√a 2+4−a,而当 a ⩾32 时，√a 2+4−a ⩽1,所以A ⩾2,从而∣b k +A ∣⩾A−∣b k ∣⩾2−12k⩾1, 即A ∣b k +A ∣⩾2. 故当 a ⩾32 时，∣b k+1∣⩽12×12k =12k+1, 即 n =k +1 时结论成立．根据（i ）和（ii ）可知结论对一切正整数都成立．故 ∣b n ∣⩽12n 对 n =1,2,⋯ 都成立的 a 的取值范围为 [32,+∞).课后练习1. 无限循环小数可以化为有理数，如 0.1=19，0.13=1399，0.015=5333，⋯，请你归纳出0.017= （表示成最简分数 mn，且 n ，m ∈N ∗）．2. 计算： lim n→∞n+203n+13= ．3. 已知 limx→2x 2+cx+2x−2=a ，则 c = ，a = ．4. 已知函数 f(x)={1−√1−xx (x <0)a +x 2(x ⩾0) 是连续函数，则实数 a 的值是 ．5. 计算：lim n→∞n (n 2+1)6n 3+1= ．6. 若 lim x→1f (x−1)x−1=1，则 lim x→1f (2−2x )x−1= ．7. lim x→−2x 2+3x+2x+2= ．8. limx→1x √x−xx−1= ．9. 计算： limn→∞3n+1−2n3n +2n−1= ．10. 若 (1+2x )7 展开式的第三项为 168 ，则 lim n→∞(1x +1x 2+⋯+1x n )= ．11. 已知函数 f (x )={2x+1,x >0,x +a,x ⩽0是连续函数，则实数 a 的值是 ．12. 等差数列 {a n } 的前 3 项的和为 21，前 6 项的和为 24，则其首项为 ，若数列 {a n } 的前 n 项的和为 S n ，则 limn→∞S nn 2= ．13. 已知 f (x ) 在定义域 R 上可导，导函数为 fʹ(x )，若 f (x 0)=m ，fʹ(x 0)=n ，则limℎ→0sin [f (x 0+ℎ)]−sin [f (x 0−ℎ)]ℎ= ．（用 m ，n 表示）．14. 已知定义在正实数集上的连续函数 f (x )={11−x +2x 2−1,0<x <1x +a,x ⩾1，则实数 a 的值为 ． 15. limx→2x 3−2x 2x−2= ．16. lim x→1x 2+x−2x 2+4x−5= ．17. \(\lim\limits \limits_{x \to 1} \left(\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{2}{{{x^2} - 1}}\right)=\) ．18. lim x→−2(44−x −12+x )= ．19. 等比数列 {b n }:1,2,4,⋯，其前 n 项和为 S n ,n =1,2,3,⋯，则 lim n→∞b nS n= ．20. 计算 limn→∞3n−24n+3= ．21. 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n =(n 2+n )⋅3n ． (1)求 limn→∞a n S n；(2)证明：a 11+a22+⋯+ann >3n．22. 函数 f (x ) 定义在 [0,1] 上，满足 f (x )=2f (x 2) 且 f (1)=1，在每个区间 (12i ,12i−1](i =1,2,⋯) 上，y =f (x ) 的图象都是平行于 x 轴的直线的一部分．(1)求 f (0) 及 f (12),f (14) 的值，并归纳出 f (12i )(i =1,2,⋯) 的表达式；(2)设直线 x =12i ,x =12i−1,x 轴及 y =f (x ) 的图象围成的矩形的面积为 a i (i =1,2,⋯)，求 a 1，a 2 及 lim n→∞(a 1+a 2+⋯+a n ) 的值． 23. 已知定义在 R 上的函数 f (x ) 和数列 {a n } 满足下列条件： a 1=a,a n =f (a n−1)(n =2,3,4,⋯),a 2≠a 1， f (a n )−f (a n−1)=k (a n −a n−1)(n =2,3,4,⋯), 其中 a 为常数，k 为非零常数．(1)令 b n =a n+1−a n (n ∈N ∗)，证明数列 {b n } 是等比数列； (2)求数列 {a n } 的通项公式； (3)当 ∣k ∣<1 时，求 lim n→∞a n24. 已知 u n =a n +a n−1b +a n−2b 2+⋯+ab n−1+b n (n ∈N ∗,a >0,b >0)． (1)当 a =b 时，求数列 {u n } 的前 n 项和 S n ； (2)求 lim n→∞u nu n−1．小测验姓名 成绩1. 若 lim √n(√n+a−√n)=1 ，则常数 a = ．2. limx→−1x 2+3x+2x 2−1的值等于 ．3. 设等差数列 {a n } 的公差 d 是 2 ，前 n 项的和为 S n ，则 lim n→∞a n2−n 2S n= ．4. limx→2x−2x 2−x−2的值等于 ．5. 极限 limx→0(x+1)10−(x+1)6x= ．6. 各项均为正数的等比数列 {a n } 的公比为 q ，前 n 项和为 S n ．若 q <1，则limn→∞a n+1S n= ，若 q >1，则 limn→∞a n+1S n= ．7. 设常数 a >0，(ax −1x )5展开式中 x 3 的系数为 −581，则 a = ，lim n→∞(a +a 2+⋯+a n )= ．8. 设 a n 是 (1+x )n (n =2,3,4,⋯) 展开式中 x 2 的系数，则 lim n→∞(1a 2+1a 3+1a 4+⋯+1a n)= ．9. lim x→1(xx−1+x−3x 2−1)= ．10. 设函数f (x )={√1+x−1x ,x ≠0,a,x =0在 x =0 处连续，则实数 a 的值为 ． 11. 若 lim x→−1x 2+3x+m x+1=n ，则 m = ，n = ． 12. limn→∞3n +(−2)n3n+1+(−2)n+1= ．13. 等比数列 1，12，14，18，⋯ 所有项的和为 ． 14. 若 lim n→∞(4+4a+⋯+4a n−11−a)=9，则实数 a = ．15. 已知函数 f (x )={x 3−1x−1,x ≠1a,x =1，若 f (x ) 在 R 上连续，则 a = ．此时 lim n→∞(an−1n+2a3n )= ．16. 已知点 O (0,0)，Q 0(0,1) 和点 R 0(3,1)，记 Q 0R 0 的中点为 P 1，取 Q 0P 1 和 P 1R 0 中的一条，记其端点为 Q 1，R 1，使之满足 (∣OQ 1∣−2)(∣OR 1∣−2)<0，记 Q 1R 1 的中点为 P 2，取 Q 1P 2和P2R1中的一条，记其端点为Q2，R2，使之满足(∣OQ2∣−2)(∣OR2∣−2)<0．依次下去，得到P1，P2，⋯，P n，⋯，则limn→∞∣Q0P n∣=．17. 在二项式(1+x)n(n>1,n∈N)的展开式中，含x2项的系数记为a n，则limn→∞(1a2+1a3+⋯+1a n)的值为．18. 若(1+5x)n的展开式中各项系数的和是a n，(7x2+5)n的二项式系数和为b n，则lim n→∞a n−2b n3a n+4b n=．19. 已知数列{a n}的前n项和S n=−n2+kn(k∈R,n∈N∗)，则limn→∞na nS n=．20. 已知点A(0,2n ),B(0,−2n),C(4+2n,0)，其中n为正整数．设S n表示△ABC外接圆的面积，则limn→∞S n=．。
函数和极限：极限的计算和应用
函数和极限：极限的计算和应用函数和极限是高等数学中的重要概念，它们在数学和其他学科中都有广泛的应用。
本文将介绍极限的计算方法以及其在数学和实际问题中的应用。
一、极限的计算方法1.1 无穷小量法利用无穷小量的性质来计算极限是一种常用的方法。
无穷小量是指当自变量趋于某个值时，函数值趋于零的量。
常见的无穷小量有常数型、多项式型和指数型等。
通过对函数进行无穷小量展开，可以得到极限的近似值。
1.2 L'Hopital法则L'Hopital法则是解决函数极限问题的重要工具。
当直接代入极限的定义形式无法得到确定的结果时，可以对函数的导数进行求解。
L'Hopital法则的核心思想是将函数的极限转化为导数的极限，从而简化计算过程。
1.3 夹逼定理夹逼定理是一种常用的极限计算方法。
当需要计算某个函数在某点的极限时，可以通过夹逼定理来确定其极限值。
夹逼定理利用了函数与两个其他函数之间的关系，通过比较确定函数的极限。
二、极限的应用2.1 数列极限与函数极限的关系数列极限是极限概念的一种特殊形式，与函数极限密切相关。
通过研究数列极限的性质，可以推导出函数极限的性质。
数列极限与函数极限的关系是高等数学中的重要内容之一。
2.2 极值问题极限在求解极值问题中有广泛的应用。
当需要求解函数的最大值或最小值时，可以通过求解函数极限来确定。
极值问题在经济学、物理学等领域有着重要的应用。
2.3 泰勒展开与近似计算泰勒展开是将一个函数在某一点附近展开成幂级数的方法。
借助泰勒展开，可以将复杂的函数近似为简单的幂函数或多项式，从而便于计算和分析。
泰勒展开在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
2.4 极限在微分学和积分学中的应用极限在微分学和积分学中起着核心作用。
微分学在研究函数的变化规律和斜率等方面有着重要的应用，而积分学在计算面积、体积等方面有广泛的应用。
极限作为微积分的基础，为这些应用提供了理论支撑。
三、总结函数和极限是高等数学中重要的概念，它们在数学和其他学科中都有广泛的应用。
函数极限与数列极限的关系
函数极限与数列极限的关系
一、两者之间的联系
虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的，但是两者是有联系的。
海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系，从而给数列极限与函数极限之间架起了一座可以互相沟通的桥梁。
它指出函数极限可化为数列极限，反之亦然。
在极限论中海涅定理处于重要地位。
有了海涅定理之后，有关函数极限的定理都可借助已知相应的数列极限的定理予以证明。
二、两者之间的区别
1、从研究的对象看区别：数列极限是函数极限的一种特殊情况，数列是离散型函数。
而函数极限研究的对象主要是具有（哪怕局部具有）连续性的函数。
2、取值方面的区别：数列中的下标n仅取正整数，而对函数而言其自变量x取值为实数。
函数极限f(X)与X的取值有关，而数列极限Xn则只是n趋向于无穷是Xn的值。
3、从因变量趋近方式看区别：数列趋近于常数的方式有三种：左趋近，右趋近，跳跃趋近。
而函数没有跳跃趋近，函数极限的几种趋近形式：x趋于正无穷大；x 趋于负无穷大；x趋于无穷大；x 左趋近于x0；x右趋近于x0 ; x趋近于x0，并且是连续增大。
而函数极限只是n趋于正无穷大一种，而且是离散的增大。
扩展资料：
函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。
函数极限可以分成x→∞,x→+∞,x→-∞,x→Xo，而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。
问题的关键在于找到符合定义要求的，在这一过程中会用到一些不等式技巧，例如放缩法等。
常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。
3-03函数极限存在条件精简版
ln
x
ln
x0
x0 0 .
证明 : x 0, ln x严格单调增加.
则 (1)对 设于 2x0. 0证1, 此 明0, 时 存: xl有 在imx满 lx0iml足 n1 lxnxnxln01,(x如 n0 若x不 0)然 的0,正.数列,
使得 ln xn 0 ,由此可知, n N ,
我们也可以用说明lim sin n不存在来说明 n
lim sin 1 不存在, 但是反之不成立.
x0
x
假设:如果 lim sin n a 存在,则 n
limsin(n 2) sin n 0 ,即lim 2cos(n 1)sin1 0
n
n
lim cos(n 1) 0 lim cos n 0, lim sin 2n 0,
即 0, M , x : M x ,
有 有 f ( xf ()x) AA ,,
limlimf (fx( x)) ssuupp f (fx)(x. ) .
x x
(
(
MM00,,)
)
三. Cauchy 收敛准则
定理3 ( Cauchy 收敛准则 )
(1) lim f ( x)存在 0, 0, x x0
x, x U o ( x0 , ),有 f ( x) f ( x) ; (2) lim f ( x)存在 0, X 0,
x
x, x : x X , x X ,
如果lim g( x)存在,证明lim f ( x)存在.
x0
x0
证明 由Cauchy 收敛准则 立即得到。
练习
1.
高中数学知识点归纳数列与函数的极限
高中数学知识点归纳数列与函数的极限高中数学知识点归纳：数列与函数的极限数列与函数的极限是高中数学中的重要部分，它们涉及到数学分析和数学推理的重要思想。
本文将对数列和函数的极限理论进行归纳总结，以帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
一、数列的极限数列是由一系列实数按照一定规律排列而成的序列。
在数学中，数列的极限是指随着自变量无限接近某个值时，函数值的变化趋势。
下面将分别介绍数列的极限的两个重要概念。
1.1 数列的收敛对于数列{an}，如果存在实数a，使得对于任意给定的正数ε（无论多么小），都存在一个正整数N，使得当n>N时，满足|an - a| < ε，那么称数列{an}收敛于a，记为lim（n→∞）an = a。
简单来说，数列的极限是指数列中的元素随着序号的增大无限接近一个固定的值。
1.2 数列的发散如果不存在实数a，使得对于任意给定的正数ε，都存在一个正整数N，当n>N时，满足|an - a| < ε，那么称数列{an}发散。
换句话说，发散的数列没有随着序号的增大趋于一个确定的数。
二、函数的极限函数是一种关系：对于给定的自变量值，通过某种规则可以确定唯一的函数值。
函数的极限是指当自变量无线贴近某个值时，函数值的变化趋势。
下面将介绍函数的极限的概念。
2.1 函数在无穷远处的极限对于定义在区间(a, +∞)上的函数f(x)，如果存在实数L，对于任意给定的正数ε，存在实数M，当x>M时，满足|f(x) - L| < ε，那么称函数f(x)在无穷远处的极限为L，记为lim（x→+∞）f(x) = L。
2.2 函数在有限点的极限对于定义在区间(a, b)上的函数f(x)，如果存在实数L，对于任意给定的正数ε，存在一个实数δ，当0 < |x - x0| < δ时，满足|f(x) - L| < ε，那么称函数f(x)在点x0处的极限为L，记为lim（x→x0）f(x) = L。
数列极限与函数极限的异同及其本质原因
数列极限与函数极限的异同及其本质原因数列极限与函数极限的异同及其本质原因数学中，极限是一个非常重要的概念，被应用在微积分、实分析等诸多领域，且有着不同的表现方式：数列极限和函数极限。
在学习过程中，我们不仅要了解数列极限和函数极限的异同，还要了解它们的本质原因。
一、数列极限与函数极限的异同数列极限和函数极限都是在无限趋近于某一值的过程中进行研究的，并且它们在一定程度上具有一些相似性，但是它们也有很多的区别。
1.定义数列极限：如果数列$a_1,a_2,a_3, \ldots, a_n, \ldots$当$n$趋近于无穷的时候逐步趋近于某个确定的常数$A$，则称常数$A$为数列$a_1,a_2,a_3, \ldots, a_n, \ldots$的极限，记为$\lim\limits_{n \to \infty} a_n=A$。
函数极限：如果当$x$无限趋近于某个确定值$x_0(x_0\in R)$ 的过程中，函数$f(x)$的取值{臶}次逐步趋向一个确定的常数$A$，则称常数$A$为函数$f(x)$在$x_0$处的极限，记为$\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=A$。
在定义上，数列极限只考虑数列，而函数极限包含了更多的复杂性，因为函数可以属于不同的类型，数列只有一种。
2.表达式数列极限的表达式只包含$n$和$a_n$两个元素，形式上来说比函数极限简单，也容易理解。
函数极限的表达式不仅包含自变量$x$和函数$f(x)$，还要包括函数定义域中的其他变量，通常也需要一些不等式和符号。
“当$x\rightarrow x_0$时$f(x)\rightarrow A$”或者是“当$x\rightarrow x_0^+$时$f(x)\rightarrow A$，当$x\rightarrowx_0^-$时$f(x)\rightarrow B$”等等。
因此，函数极限的表达式更多元化，更丰富复杂。
3.图形表达数列极限用数列图简单直观地表现，当$n$趋近于无穷时，$a_n$逐渐趋向于某个数值$A$。
第三节 函数极限存在的条件
∃δ > 0(< δ ′),使得对∀x′, x′′ ∈ U 0 ( x0 ,δ ),有 f ( x′) − f (x′′) < ε . 由于xn → x0 (n → ∞ ),
对上述的δ > 0,∃N > 0 ,使得当n , m > N时有xn , xm ∈ U 0 ( x0 ,δ ),从而有
附注：柯西准则解题价值不高，但理论意义重大！！ 附注：柯西准则解题价值不高，但理论意义重大！！
从而有 f ( x n ) − A < ε,
故 lim f ( x n ) = A.
n→ ∞
10
[充分性] 对任何数列{xn } ⊂ U 0 (x0 ,δ ′)且 lim xn = x0 ,有 lim f (xn ) = A
下面利用反证法推出：lim f ( x ) = A .
x → x0
n →∞
x ∈ U 0 (x0 ,δ )有 f ( x ) − A < ε .于是对∀x′, x′′ ∈ U 0 ( x0 ,δ )有 2
x → x0
f ( x′) − f ( x′′) ≤ f ( x′) − A + f ( x′′) − A < ε + ε = ε . 2 2
2
充分性:
设数列{xn } ⊂ U 0 ( x0 ,δ )且 lim xn = x0 .按假设，对 ∀ε > 0 ,
注2. 若能找到 f ( x )当x → x0时的子列{ f ( xn )}发散，则 lim f ( x )不存在.
x → x0
注3. 若能找到 f ( x )当x → x0时的两个子列{ f (xn )}、f ( yn )}二者均收敛， {
但极限值不相等，则 lim f ( x )不存在 .
数列与函数的极限公式概念
极限与连续一、数列的极限定义：1、给定数列{x n }，如果当n A ，则称数列{x n }以A 为极限，记作：lim n→∞x n =A 或者x n →A (n →∞)2、当数列{x n }以实数A 为极限时，称数列{x n }收敛于A ，否则称数列{x n }发散。
二、数列极限的性质：1)极限的惟一性：若数列收敛，则其极限惟一，若 lim n→∞x n =a ，则lim n→∞x n+1=a2)有界性：收敛数列必有界. （数列有界是数列收敛的必要非充分条件）3）数列的极限：如数列： ,12,,432,322,212++n n则它的极限为3即：3121lim 2lim )12(lim =+=++=++∞→∞→∞→n nn n n n n三、几个需要记忆的常用数列的极限 01lim =∞→n n 11lim =+∞→n n n 0lim =∞→n n q )1(<q )(lim 为常数a a a n =∞→四、运算法则：如果 A a n =∞→lim B b n =∞→lim则： B A b a n ±=±∞→)(lim B A b a n ⋅=⋅∞→)(lim )0(,lim≠=∞→B BA b a n二、函数极限：▪函数极限lim x→∞f(x)=A 的充分必要条件是lim x→−∞f(x)=lim x→+∞f(x)=A▪函数极限lim x→x 0f(x)=A 的充分必要条件是lim x→x 0−f(x)=lim x→x 0+f(x)=A▪分段函数极限与该点有无定义无关，只与左右极限有关. 即 lim x→x 0f (x )存在⇌ lim x→x 0−f (x )= lim x→x 0+f (x )▪函数极限的性质：1)极限的惟一性：若函数f(x)当x →x 0（或x →∞）时有极限，则其极限惟一.▪极限运算法则： 设limf(x)=A,limg(x)=B,则 1)lim[f(x)±g(x)]=A ±B 2)lim[f(x)g(x)]=AB 3)当B ≠0时，lim f(x)g(x) =AB 4)lim[cf(x)]=climf(x) (c 为常数) 5）lim[f(x)]k = [limf(x)]k (k 为常数)▪小结．．：．当a 0≠0, b 0≠0时，有lim x→∞a 0x n +a 1x n−1+⋯+a nb 0x m +b 1x m−1+⋯+b m= {a 0b 0 当n =m 时 0 当 n <m 时 ∞ 当n >m 时▪复合函数运算法则：lim x→x 0f[φ(x )]=lim u→u 0f (u )▪数列的夹逼准则：设有3个数列{x n }{y n }{z n },满足条件： 1）y n ≤x n ≤z n （n=1,2,…）；2）lim n→∞y n =lim n→∞z n =a ，则数列{x n }收敛，且lim n→∞x n =a▪函数夹逼准则：设函数f(x),g(x),h(x)在点x 0的某去心邻域内有定义，且满足条件： 1）g(x) ≤f(x) ≤h(x);2) lim x→x 0g(x)=A, lim x→x 0h (x )=A . 则极限lim x→x 0f (x )存在且等于A.▪单调有界准则：单调有界数列必有极限.即单调增加有上界的数列必有极限；即单调减少有下界的数列必有极限.▪两个重要的极限： ▪重要极限Ⅰ：lim x→0sinx x=1▪重要极限Ⅱ：lim x→∞(1+1x )x=e , lim x→0(1+x )1x=e▪无穷小的性质：1)有限个无穷小的代数和为无穷小. 2)有界变量与无穷小的乘积为无穷小. 3)常量与无穷小的乘积为无穷小. 4)有极限的量无穷小的乘积为无穷小. 5)有限个无穷小的积为无穷小.▪在某个自变量变化过程中limf(x)=A 的充要条件是f(x)=A+α(x). 其中α(x)是该自变量变化过程中的无穷小量.▪无穷小的比较：设α=α(x) ，β=β(x)都是自变量同一变化过程中的无穷小. 1.若lim βα=c (c ≠0,是常数)，则称β与α是同阶无穷小. 2.若lim βα=1，则称β与α是等价无穷小，记作β~α. 3.若lim βα=0，则称β与α是高阶无穷小，记作β=o(α) 4.若lim βαk =c(c ≠0,k 是正整数), 则称β与α是k 阶无穷小.5.α~β的充要条件为α-β是α(或β)的高阶无穷小,即β−α=o (α)或β=α+o(α)6.α,β, α′,β′,都是自变量同一变化过程中的无穷小,且 α~α′,β~β′,lim β′α′存在，则有lim βα= lim β′α′ ▪常用等价无穷小：[相乘的无穷小因子可用等价无穷小替换，加、减的不能] x →0时，x~ sinx~ tanx~ arcsinx~ arctanx~ ln(1+x)~ e x −1; 1-cosx~x 22；(1+x )a -1~ax(a ≠0) ;a x-1~xlna(a >0,a ≠1);√1+x n- 1~ xn常用等价无穷小：当变量0x →时，21sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,1~,ln(1)~,1cos ~,2x x x x x x x x x e x x x x x -+-√1+x - 1~ 12x~,(1)1~x x x αα+-．▪无穷大：函数无穷大 ⇀↚无界 x ⟶x 0时，若f(x)为无穷大，则1f(x)为无穷小；x⟶x0时，若f(x)为无穷小，且在x0的某去心邻域内f(x) ≠0, 则1为无穷大.f(x)[注：分母极限为0，不能用商的运算法则]▪初等函数：连续函数经过四则运算所得到的函数仍是连续函数.一切初等函数在其定义区间内都是连续的.f(x)=f(x0).如果f(x)是初等函数，x0是其定义区间内的点，则limx→x0最值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上必有最值.有界性定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上有界.介值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a) ≠f(b),则对于f(a)与f(b)之间的任何数μ，在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)= μ.零点定理(根的存在性定理)：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号(f(a)∙f(b)<0)，在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=01、0/0型：方法：将分子分母分解因式（消去公因子）或者将分子有理化（有理化），再求极限。
函数极限与数列极限的关系
函数极限与数列极限的关系数列其实是一种特殊的函数，所以，在定义上，数列的极限和函数的极限极为相似，因而他们具有相类似的性质。
要想完美解答两者所涉及的问题，必须深刻理解两者的定义，不妨对比一下二者的定义，列举一下两者的性质以及两者的判别法则~这有助于加深记忆~ 数列可以看作是定义在正整数集上的函数，即看作是函数的特例，这样数列的极限也就可以归入函数的极限。
1、例如函数arctan(1/x)当x趋向于1时的极限是π/4，那么对于任何一个以1为极限的数列a(n)，当n趋向于∞时，arctan[1/a(n)]的极限一定都是π/4;但是反过来则不然，例如还是这个函数，数列{1/n}的极限为0，当n趋向于∞时，arctan[1/(1/n)]=arctan(n)极限是π/2，我们不能说当x趋向于0时，这个函数的极限是π/2，事实上数列{-1/n}的极限也是0，但当n趋向于∞时，arctan[1/(-1/n)]=arctan(-n)极限是-π/2，即函数arctan(1/x)当x趋向于0时，极限是不存在的。
2、数列可以看作是定义在正整数集上的函数，即看作是函数的特例，这样数列的极限也就可以归入函数的极限。
例如函数arctan(1/x)当x趋向于1时的极限是π/4，那么对于任何一个以1为极限的数列a(n)，当n趋向于∞时，arctan[1/a(n)]的极限一定都是π/4;但是反过来则不然，例如还是这个函数，数列{1/n}的极限为0，当n趋向于∞时，arctan[1/(1/n)]=arctan(n)极限是π/2，我们不能说当x趋向于0时，这个函数的极限是π/2，事实上数列{-1/n}的极限也是0，但当n趋向于∞时，arctan[1/(-1/n)]=arctan(-n)极限是-π/2，即函数arctan(1/x)当x趋向于0时，极限是不存在的。
函数极限与数列极限的关系
函数极限与数列极限的关系
函数的极限可以是自变量从左右趋向于某一值时的函数值极限，或者自变量趋向于无穷时的极限。
但数列的极限不同。
可以将数列看做特殊的函数，定义域为全体正整数集合（N+），是一个在零到正无穷上不连续的函数，设数列的项为an=f(n)，因此，可以将数列的极限看做当自变量趋向于正无穷时的函数的极限，数列的极限也可以用函数的极限来运算得到。
lim n→∞an=lim n→∞f(n)
所以，用来计算函数极限的方法也可以用来计算数列的极限，如洛必达法则，等价无穷小的替换，间接计算等等。
a n=f(a n-1)形式计算方法：
设数列的极限为A .则lim n
→∞a n=A，此时A=f(A),带入计算求得极限。
数列极限的性质：1.若数列{an}的极限值存在，则极限值唯一
2.改变数列有限项，不改变数列的收敛与极限值
数列极限的本质：设数列的极限为a，当n>N时an∈（a-ε，a+ε），即|an-a|<ε.。
数列与函数的极限公式概念
- 1~
1 x 1 x ~ x, (1 x) 1 ~ x ．
▪无穷大：函数无穷大 无界 x 时,若 fx 为无穷大,则 为无穷小；
x 时,若 fx 为无穷小,且在 的某去心邻域内 fx 注：分母极限为 0,不能用商的运算法则
, 则 为无穷大.
▪初等函数： 连续函数经过四则运算所得到的函数仍是连续函数. 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.
间 a,b 内至少存在一点 ,使得 f = .
零点定理根的存在性定理：若函数 fx 在闭区间 a,b 上连续,且 fa 与 fb 异号 fa fb ,在开区
间 a,b 内至少存在一点 ,使得 f =0
求极限：洛必达法则： 1、0/0 型： 方法：将分子分母分解因式消去公因子
或者将分子有理化有理化,再求极限; 1、 方法：将分子分母同时除以自变量的最高次幂;
▪函数极限
=A 的充分必要条件是
=
=A
▪函数极限
=A 的充分必要条件是
=
=A
▪分段函数极限与该点有无定义无关,只与左右极限有关.
即
=
▪函数极限的性质：
1 极限的惟一性：若函数 fx 当 或 时有极限,则其极限惟一.
▪极限运算法则： 设 limfx=A,limgx=B,则
1limfx
=A B
2limfxgx=AB
▪在某个自变量变化过程中 limfx=A 的充要条件是 fx=A+ x. 其中 x 是该自变量变化过程中的 无穷小量.
▪无穷小的比较：设 = x , = 都是自变量同一变化过程中的无穷小. 1.若 lim =c c ,是常数,则称 与 是同阶无穷小. 2.若 lim =1,则称 与 是等价无穷小,记作 ~ . 3.若 lim =0,则称 与 是高阶无穷小,记作 =o
极限存在准则、两个重要极限和连续复利公式
即 a yn a , a zn a ,
当 n N时, 恒有 a yn xn zn a ,
即 xn a 成立,
lim n
xn
a.
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则Ⅰ′
如果当
x
U
0
(
x 2
)2
1 2
12
2
2
1. 2
2. lim(1 1 )n e
n
n
定义 lim(1 1)n e
n
n
设
xn
(1
1)n n
1 n 1 n(n 1) 1 n(n 1)(n n 1) 1
1! n 2! n2
n!
nn
1 1 1 (1 1) 1 (1 1)(1 2)(1 n 1).
C
B
1. lim sin x 1 x0 x
o
x
D
A
设单位圆 O, 圆心角AOB x, (0 x )
2
作单位圆的切线，得ACO .
扇形OAB的圆心角为 x , OAB的高为 BD ,
于是有 sin x BD, x 弧 AB, tan x AC ,
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOC的面积
sin x x tan x, 即 cos x sin x 1, x
上式对于 x 0也成立. 当 0 x 时,
2
2
注
lim cos x 1, 又lim1 1,
lim sin x 1.
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使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{an}的有限项(N项).对于正整数N 应该注意两点:其一，N是随着ε而存在的，一般来讲，N随着ε的减小而增大，但N不是唯一存在的;其二，定义中只强调了正整数N的存在性，而并非找到最小，我们只关注第N项以后的各项均能保持与常数a的距离小于给定的任意小正数ε即可. 的N2(性质收敛数列有如下性质:(1)极限唯一性;(2)若数列{an}收敛，则{an}为有界数列;(3)若数列{an}有极限A，则其任一子列{ank}也有极限A;(4)保号性，即若极限A>0，则存在正整数N1，n>N1时an>0;(5)保序性，即若，且A<B，则存在正整数N1，使得n>N1时an<bn，反之亦成立.定理1 (收敛数列与其奇、偶项数列间的关系)数列{an}收敛于a的充分必要条件是它的奇数项数列{a2k-1}和偶数项数列{a2k}都收敛，且收敛于a.函数极限 1(定义(1)自变量趋于有限值时函数的极限:-函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε(无论它多么小)，总存在正数δ，使得对于满足不等式的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式，则常数A为函数f(x)在x?x0时的极限，记作上述定义的几何意义是:将极限定义中的四段话用几何语言表述为1对:任意以两直线为边界的带形区域;2总:总存在(以点x0位中心的)半径;3当时:当点x位于以点x0位中心的δ空心邻域内时;4有:相应的函数f(x)的图像位于这个带形区域之内. (2)自变量趋于无穷大时函数的极限:设函数f(x)在|x|大于某一正数时有定义，如果任给ε>0，总存在着正数Χ，使得对于适合不等式|x|>Χ的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε，则称常数A为函数f(x)当x??时的极限，记作并称y=A为函数y=f(x)的图形的水平渐近线.2(性质(1)极限唯一性;(2)局部有界性若存在，则存在δ1>0，使得f(x)在去心邻域内是有界的，当x趋于无穷大时，亦成立;)局部保号性 (3若，则存在δ1>0，使得时，f(x)>0，当x趋于无穷大时，亦成立;(4)局部保序性若，，且A<B，则存在δ1>0，使得时f(x)<g(x)，当x趋于无穷大时，亦成立.定理2 函数f(x)当x?x0时，极限存在的充分必要条件是函数f(x)当x?x0时的左、右极限都存在些相等，即利用定义证明极限下面介绍用“ε-δ(或N)”证明极限的一般步骤.1.极限值为有限的情形:(1)给定任意小正数ε;(2)解不等式或，找δ或N;(3)取定δ或N;(4)令或，由或成立，推出或.2. 极限值为无穷大的情形(仅以极限为+?与自变量为例): ) 给定任意大正数G; (2) 解不等式; (3) 取定; (4)令，由成立，推出. (1利用极限的定义证明问题关键是步骤(2)，应该非常清楚从哪一种形式的不等式推起，最后得到一个什么形式的式子，由此即可找到所需要的(或N). 极限存在准则1(夹逼准则 (1)数列极限的夹逼准则如果数列{an}，{bn}及{cn}满足下列条件:1存在N，n>N时，bn?an?cn;2则数列{an}的极限存在，且 .(2)函数极限的夹逼准则(以x?x0和x??为例)如果1(或|x|>M)时，有2(或)，则(或)(3)一个重要不等式时，2(单调有界数列必有极限3(柯西(Cauchy)极限存在准则数列{an}收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m，n>N时，有|xn-xm|<ε. 数列极限与函数极限的联系数列可看作一个定义域为自然数集的函数,当自变量从小到大依次取自然数时,便得到相应的一系列函数值, 其解析表达式为an=f(n);函数是连续的,数列相当于一个函数中的一些独立的点，表现在图形上数列是无数的点，而函数是一段曲线;把数列中的n用x来替换后如果函数f(x)存在极限则数列也必定有极限，但是反之不成立。
数列{an}的极限一般都是指n的变化使得极限值的产生，而n是一个正整数，函数的极限中自变量x可以趋向任何值，由此可知函数的极限更广泛。
计算极限的常用方法1. 利用洛必达法则三这是最常用的方法，主要针对未定型极限:注意与其他工具(无穷小代换、变量代换、不定式因子的分离、各种恒等变形、泰勒公式等)相结合.2. 利用已知极限……3. 利用泰勒公式4. 利用迫敛性5. 利用定积分求和式极限6. 利用数列的递推关系计算极限7. 利用级数的收敛性计算极限8. 利用积分中值定理计算极限计算数列和函数极限的关键是综合运用各种计算极限的方法，并不断总结，才能较好地掌握计算极限的方法.极限概念是数学分析中最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出-发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解本文将主要阐述极限的极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.概念、性质、方法等问题.数列极限的ε-N定义是极限理论的重点与核心.数列极限1(定义设有数列{an}与常数A，如果对于任意给定的正数ε (不论它有多么小)，总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|an-A|<ε都成立，那么就称常数A是数列{ an }的极限，或者称数列{an}收敛于A，记作读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于A或an趋于A”。
大全，函数。
大全，函数。
数列极限存在，称数列{an}为收敛数列，否则称为发散数列.上述定义的几何意义是:对于任何一个以A为中心，ε为半径的开区间(A-ε,A+ε)，总可以在数列{an}中找到某一项aN，使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{an}的有限项(N项).对于正整数N 应该注意两点:其一，N是随着ε而存在的，一般来讲，N随着ε的减小而增大，但N不是唯一存在的;其二，定义中只强调了正整数N的存在性，而并非找到最小的N，我们只关注第N项以后的各项均能保持与常数a的距离小于给定的任意小正数ε即可.2(性质收敛数列有如下性质:(1)极限唯一性;(2)若数列{an}收敛，则{an}为有界数列;(3)若数列{an}有极限A，则其任一子列{ank}也有极限A;(4)保号性，即若极限A>0，则存在正整数N1，n>N1时an>0;(5)保序性，即若，且A<B，则存在正整数N1，使得n>N1时an<bn，反之亦成立.定理1 (收敛数列与其奇、偶项数列间的关系)数列{an}收敛于a的充分必要条件是它的奇数项数列{a2k-1}和偶数项数列{a2k}都收敛，且收敛于a.函数极限 1(定义(1)自变量趋于有限值时函数的极限:函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定，如果对于任意给定的正数(无论它多么小)，总存在正数，使得对于满足不等式的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式，则常数A为函数f(x)在xx0时的极限，记作上述定义的几何意义是:将极限定义中的四段话用几何语言表述为 1对:任意以两直线为边界的带形区域; 2总:总存在(以点x0位中心的)半径;3当时:当点x位于以点x0位中心的δ空心邻域内时;4有:相应的函数f(x)的图像位于这个带形区域之内. (2)自变量趋于无穷大时函数的极限:设函数f(x)在|x|大于某一正数时有定义，如果任给ε>0，总存在着正数Χ，使得对于适合不等式|x|>Χ的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε，则称常数A为函数f(x)当x??时的极限，记作并称y=A为函数y=f(x)的图形的水平渐近线.2(性质(1)极限唯一性;(2)局部有界性若存在，则存在δ1>0，使得f(x)在去心邻域内是有界的，当x趋于无穷大时，亦成立;(3)局部保号性若，则存在δ1>0，使得时，f(x)>0，当x趋于无穷大时，亦成立;(4)局部保序性若，，且A<B，则存在δ1>0，使得时f(x)<g(x)，当x趋于无穷大时，亦成立.定理2 函数f(x)当x?x0时，极限存在的充分必要条件是函数f(x)当x?x0时的左、右极限都存在些相等，即利用定义证明极限下面介绍用“ε-δ(或N)”证明极限的一般步骤.1.极限值为有限的情形:(1)给定任意小正数ε;(2)解不等式或，找δ或N;(3)取定δ或N;(4)令或，由或成立，推出或.2. 极限值为无穷大的情形(仅以极限为+?与自变量为例):(1) 给定任意大正数G;(2) 解不等式;(3) 取定δ;(4)令，由成立，推出.利用极限的定义证明问题关键是步骤(2)，应该非常清楚从哪一种形式的不等式推起，最后得到一个什么形式的式子，由此即可找到所需要的δ(或N).极限存在准则1(夹逼准则(1)-数列极限的夹逼准则如果数列{an}，{bn}及{cn}满足下列条件:1存在N，n>N时，bn?an?cn;2则数列{an}的极限存在，且 .(2)函数极限的夹逼准则(以x?x0和x??为例)如果1(或|x|>M)时，有2(或)，则(或)(3)一个重要不等式时，2(单调有界数列必有极限3(柯西(Cauchy)极限存在准则数列{an}收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m，n>N时，有|xn-xm|<ε. 数列极限与函数极限的联系数列可看作一个定义域为自然数集的函数,当自变量从小到大依次取自然数时,便得到相应的一系列函数值, 其解析表达式为an=f(n);函数是连续的,数列相。