把一个正整数分成连续的几个正整数相加的形式!
整数的分拆
第4讲整数的分拆整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆。
整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。
在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。
例1 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？分析与解：由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。
我们知道，1+2+3+4+5+6+7=28。
如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出。
由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。
例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。
所以最多可以播7天。
说明：本题实际上是问，把正整数30分拆成互不相等的正整数之和时，最多能写成几项之和？也可以问，把一个正整数拆成若干个整数之和时，有多少种分拆的办法？例如：5=1+1+1+1+1=1+1+1+2，=1+2+2 =1+1+3=2+3 =1+4，共有6种分拆法（不计分成的整数相加的顺序）。
例2 有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。
问：有多少种不同的支付方法？分析与解：要付2角3分钱，最多只能使用4枚5分币。
因为全部1分和2分币都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分币。
当使用3枚5分币时，5×3=15，23-15=8，所以使用2分币最多4枚，最少2枚，可有23=15+（2+2+2+2），23=15+（2+2+2+1+1），23=15+（2+2+1+1+1+1），共3种支付方法。
当使用4枚5分币时，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分币，或不使用，从而可有23=20+（2+1），23=20+（1+1+1），共2种支付方法。
如何把一个正整数拆分成几个连续自然数的和
如何把一个正整数拆分成几个连续自然数的和如何把一个正整数拆分成几个连续自然数的和王凯成(陕西省小学教师培训中心 710600)1.拆分定理及证明如何把一个正整数拆分为a (2,)a a N >∈个连续自然数的和呢?定理：若正整数M 能拆分成a (2,)a a N >∈个连续自然数的和，则 M= 11()(1)22M a M a a a ---+-++⋅⋅⋅11()()22M a M a k a a --+-++⋅⋅⋅++，其中12M a a --是自然数。
证明：设把正整数M 分拆为连续自然数n, n+1 ,…，n+(1a -)这a (2,)a a N >∈个数的和，由等差数列求和公式知：应有M=1()2an a -+。
设a 是奇数，21(1,)a m m m N =+≥∈，则12a-是整数，那么12an -+与a 都是整数，由M=1()2an a -+知，M 必是a 的倍数(否则无解)，M ÷a =12an -+，即有：n=12M a a --。
这时由M= n+(n+1 )+…+[n+(1a -)]就有：M = 11()(1)22M a M a a a ---+-+ +⋅⋅⋅ 11()()22M a M a k a a --+-++⋅⋅⋅++，其中12M a a --是自然数。
设a 是偶数，则应有M=1()2a n a -+，由12a -不是整数知，12a n -+不是整数，所以M 不是a 的倍数。
大于2小于9的偶约数有4和6，6是30的约数，不合偶数条件；4不是30的约数，但4是30×2的约数，4符合偶数条件。
当a =3时，n=12M a a --=9，30=9+10+11。
当a =5时，n=12M a a --=4，30=4+5+6+7+8。
当a =4时，n=12M a a --=6，30=6+7+8+9。
例1 把120拆分成a (2,)a a N >∈个连续自然数的和。
百度之星程序设计大赛试题初赛题目
年百度之星程序设计大赛试题初赛题目第一题（共四题分）：连续正整数（分）题目描述：一个正整数有可能可以被表示为 (>) 个连续正整数之和，如：请编写程序，根据输入的任何一个正整数，找出符合这种要求的所有连续正整数序列。
输入数据：一个正整数，以命令行参数的形式提供给程序。
输出数据：在标准输出上打印出符合题目描述的全部正整数序列，每行一个序列，每个序列都从该序列的最小正整数开始、以从小到大的顺序打印。
如果结果有多个序列，按各序列的最小正整数的大小从小到大打印各序列。
此外，序列不允许重复，序列内的整数用一个空格分隔。
如果没有符合要求的序列，输出“” 。
例如，对于，其输出结果是：对于，其输出结果是：评分标准：程序输出结果是否正确。
<>(){;(<){;(<){;(){;(<)<<<<" ";<<;}}}()<<""<<;}百度之星程序设计大赛试题第二题（共四题分）：重叠区间大小（分）题目描述：请编写程序，找出下面“ 输入数据及格式” 中所描述的输入数据文件中最大重叠区间的大小。
对一个正整数，如果在数据文件中某行的两个正整数（假设为和）之间，即 << 或 >> ，则属于该行；如果同时属于行和，则和有重叠区间；重叠区间的大小是同时属于行和的整数个数。
例如，行（）和（）的重叠区间为 [ ] ，其大小为；行（）和（）的重叠区间为 [ ] ，其大小为；行 ( ) 和（）的重叠区间大小为。
输入数据：程序读入已被命名为的输入数据文本文件，该文件的行数在到之间，每行有用一个空格分隔的个正整数，这个正整数的大小次序随机，每个数都在和 ^ 之间。
（为便于调试，您可下载测试文件，实际运行时我们会使用不同内容的输入文件。
）输出数据：在标准输出上打印出输入数据文件中最大重叠区间的大小，如果所有行都没有重叠区间，则输出。
一个正整数n拆分成k个正整数相加的拆分方法种数
一个正整数n 拆分成k 个正整数相加的拆分方法种数将正整数 n 拆分成 k 个正整数相加的和，不同的拆分方法种数，记为 ),(k n D 。
例如，将数字 10 ，拆分成 3 个正整数相加的和，有下列 8 种不同的方法：81110++=，72110++=，63110++=，54110++=，62210++=，53210++=，44210++=，43310++=。
所以，8)3,10(=D 。
下面是一些计算公式（其中，方括号 ][ 表示截尾取整，即取不大于它的最大正整数）： 当 2=k 时，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡==∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21)2,(21n n D n i 。
当 3=k 时，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==∑∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1231)3,(2312n n D n i i n i j 。
例如，当 10=n ，3=k 时，有8]58.8[1210312310)3,10(2==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+= D 。
当 4=k 时，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==∑∑∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=144)3(1)4,(24132n n n D n i i n i j j i n j k ，但还要作一些修正： （1）当n 是 4 的倍数，但不是 12 的倍数时，还要加1 。
（2）当 n 是奇数时，还要减去 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++48431184n n 。
例如，当 12=n ，4=k 时，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯=144)312(12)4,12(2 D []1515== 。
虽然 12=n 是 4 的倍数，但它又是 12 的倍数，所以不用修正。
事实上，这时，确实有下列 15 种不同的拆分方法： 911112+++=，821112+++=，731112+++=，641112+++=， 551112+++=，722112+++=，632112+++=，542112+++=， 533112+++=，443112+++= ，622212+++=，532212+++=，442212+++=，433212+++=，333312+++= 。
正整数分解成几个正整数相加 c语言递归实现
正整数分解成几个正整数相加 c语言递归实现1. 引言在数学中，将一个正整数分解成几个正整数相加的问题一直备受关注。
这个问题不仅在数论中有着重要的意义，也在计算机科学中有着广泛的应用。
本文将通过 c 语言递归实现，探讨如何将一个正整数分解成几个正整数相加的具体方法和实现过程。
2. 问题分析给定一个正整数 n，我们希望将它分解成几个正整数相加，即 n = a1 + a2 + ... + ak，其中 a1, a2, ..., ak 均为正整数，并且 k 至少为 2。
我们的目标是找到所有满足条件的 a1, a2, ..., ak 的组合。
这个问题涉及到组合数学和算法设计，我们将通过 c 语言递归实现来解决这个问题。
3. c 语言递归实现我们需要设计一个递归函数来实现正整数分解的过程。
我们定义一个函数 dpose，它接收三个参数：n 表示待分解的正整数，start 表示当前递归的起始数值，path 表示当前已经找到的分解路径。
具体的 c 语言实现如下所示：```c#include <stdio.h>void dpose(int n, int start, int path[], int idx) { if (n == 0) {printf("%d = ", n);for (int i = 0; i < idx; i++) {if (i > 0) {printf(" + ");}printf("%d", path[i]);}printf("\n");} else {for (int i = start; i <= n; i++) {path[idx] = i;dpose(n - i, i, path, idx + 1);}}}int main() {int n;printf("请输入一个正整数：");scanf("%d", &n);int path[n];dpose(n, 1, path, 0);return 0;}```在这段 c 语言代码中，我们首先定义了 dpose 函数来实现正整数分解的递归过程。
初中数学竞赛：整数的分拆(含例题练习及答案)
初中数学竞赛：整数的分拆整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆。
整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。
在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。
例1 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？分析与解：由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。
我们知道，1+2+3+4+5+6+7=28。
如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出。
由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。
例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。
所以最多可以播7天。
说明：本题实际上是问，把正整数30分拆成互不相等的正整数之和时，最多能写成几项之和？也可以问，把一个正整数拆成若干个整数之和时，有多少种分拆的办法？例如：5=1+1+1+1+1=1+1+1+2，=1+2+2 =1+1+3=2+3 =1+4，共有6种分拆法（不计分成的整数相加的顺序）。
例2 有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。
问：有多少种不同的支付方法？分析与解：要付2角3分钱，最多只能使用4枚5分币。
因为全部1分和2分币都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分币。
当使用3枚5分币时，5×3=15，23-15=8，所以使用2分币最多4枚，最少2枚，可有23=15+（2+2+2+2），23=15+（2+2+2+1+1），23=15+（2+2+1+1+1+1），共3种支付方法。
当使用4枚5分币时，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分币，或不使用，从而可有23=20+（2+1），23=20+（1+1+1），共2种支付方法。
整数的性质及其应用
第二节 整数的性质及其应用（1）基础知识整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。
1．整除的概念及其性质在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。
定义：设b a ,是给定的数，0≠b ，若存在整数c ，使得bc a =则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数(因子)，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a 记作b a 。
由整除的定义，容易推出以下性质：(1)若c b |且a c |，则a b |(传递性质)；(2)若a b |且c b |，则)(|c a b ±即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。
若反复运用这一性质，易知a b |及c b |，则对于任意的整数v u ,有)(|cv au b ±。
更一般，若n a a a ,,,21 都是b 的倍数，则)(|21n a a a b +++ 。
或着i b a |，则∑=ni i i b c a 1|其中n i Z c i ,,2,1, =∈；(3)若a b |，则或者0=a ，或者||||b a ≥，因此若a b |且b a |，则b a ±=；(4)b a ,互质，若c b c a |,|，则c ab |；(5)p 是质数，若n a a a p 21|，则p 能整除n a a a ,,,21 中的某一个；特别地，若p 是质数，若n a p |，则a p |；(6)(带余除法)设b a ,为整数，0>b ，则存在整数q 和r ，使得r bq a +=，其中b r <≤0，并且q 和r 由上述条件唯一确定；整数q 被称为a 被b 除得的(不完全)商，数r 称为a 被b 除得的余数。
注意：r 共有b 种可能的取值：0,1，……，1-b 。
若0=r ，即为a 被b 整除的情形；易知，带余除法中的商实际上为⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a （不超过ba的最大整数），而带余除法的核心是关于余数r 的不等式：b r <≤0。
整数的加减运算
整数的加减运算整数的加减运算是数学中最基本的运算之一，它广泛应用于日常生活和各个学科领域。
本文将探讨整数的加减运算规则及相关性质，旨在帮助读者更好地理解和运用这一概念。
1. 加法运算整数的加法运算规则是：同号相加，异号相减。
即两个正整数相加得到一个正整数，两个负整数相加得到一个负整数，正整数加负整数按照绝对值较大的数减去绝对值较小的数。
例如：- 3 + 5 = 2- (-3) + (-5) = (-8)- 3 + (-5) = -2加法运算满足交换律和结合律，即数字的先后顺序不影响最终结果，多个整数相加时可以任意改变运算次序，结果都相同。
2. 减法运算整数的减法运算是加法运算的一种特殊形式，可以通过加法运算来解决。
减法的规则是：a - b 等价于 a + (-b)。
例如：- 7 - 3 = 7 + (-3) = 4- (-7) - (-3) = (-7) + 3 = (-4)- 7 - (-3) = 7 + 3 = 10减法运算同样满足交换律和结合律，运算次序可以改变。
3. 运算法则在进行整数的加减运算时，需注意以下几个法则：- 加法逆元：每个整数都有自己的相反数，相反数与该整数相加等于零。
例如：3的相反数是-3，因为3 + (-3) = 0。
- 零律：整数与零相加或相减的结果都等于本身。
即 a + 0 = a，a - 0 = a。
- 整数加减混合运算：在一个表达式中同时含有正整数、负整数和零时，可以按照先计算各个正负整数之和，再进行加减运算的规律进行。
例如：- 3 + (-4) + 2 - (-5) = 3 - 4 + 2 + 5 = 6运用这些法则可以简化整数的加减运算步骤，提高计算效率。
4. 应用举例整数的加减运算在日常生活和各个学科领域中都有广泛应用，下面举几个例子。
(1) 身份证号码校验：身份证号码的最后一位是校验位，通过前17位数字进行加权运算后与校验位进行比较，用以判断身份证号码是否合法。
初中数学竞赛精品标准教程及练习：连续正整数的性质
初中数学竞赛精品标准教程及练习：连续正整数的性质初中数学竞赛精品标准教程及练习（24）连续正整数的性质一、内容提要一.两个连续正整数1.两个连续正整数一定是互质的，其商是既约分数。
2.两个连续正整数的积是偶数，且个位数只能是0，2，6。
3.两个连续正整数的和是奇数，差是1。
4.大于1的奇数都能写成两个连续正整数的和。
例如3＝1＋2，79＝39＋40，111＝55＋56。
二.计算连续正整数的个数例如：不同的五位数有几个？这是计算连续正整数从10000到99999的个数，它是99999－10000＋1＝90000（个）1. n位数的个数一般可表示为9×10n-1(n为正整数，100＝1)例如一位正整数从1到9共9个（9×100），二位数从10到99共90个（9×101）三位数从100到999共900个（9×102）……2.连续正整数从n 到m的个数是m－n+1把它推广到连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的连续数的个数的计算，举例如下：3.从13到49的连续奇数的个数是21349－＋1＝19从13到49的连续偶数的个数是21448－＋1＝184.从13到49能被3整除的正整数的个数是31548－＋1＝12从13到49的正整数中除以3余1的个数是31349－＋1＝13你能从中找到计算规律吗？三.计算连续正整数的和1.1＋2＋3＋……＋n＝（1＋n）2n（n是正整数）连续正整数从a到b的和记作(a+b)21 +-ab把它推广到计算连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的和，举例如下：2.11＋13＋15＋…＋55＝（11＋55）×223＝759（∵从11到55有奇数21155－＋1＝23个）3.11＋14＋17＋…＋53＝（11＋53）×215＝480（∵从11到53正整数中除以3余2的数的个数共31153－＋1＝15）四. 计算由连续正整数连写的整数，各数位上的数字和1.123456789各数位上的数字和是（0＋9）＋（1＋8）＋…＋（4＋5）＝9×5＝452.1234…99100计算各数位上的数字和可分组为：（0，99），（1，98），（2，97）…（48，51），（49，50）共有50个18，加上100中的1∴各数位上的数字和是18×50＋1＝901五. 连续正整数的积从1开始的n 个正整数的积1×2×3×…×n 记作n ！，读作n 的阶乘1.n 个连续正整数的积能被n ！整除，如11×12×13能被1×2×3整除；97×98×99×100能被4！整除；a （a+1）(a+2)…(a+n)能被（n+1）！整除。
平方和分解式的证明
平方和分解式的证明平方和分解式的证明:平方和分解式是指一个正整数可以拆分成几个正整数的平方和的形式，如 $5=1+4$，$13=9+4$ 等。
下面我们来证明这个定理。
证明:假设一个正整数 $n$ 可以表示成平方和的形式，即 $n=a_1^2+a_2^2+...+a_k^2$，其中 $a_1,a_2,...,a_k$ 是正整数。
下面我们要证明的是，对于任意正整数，都可以表示成这种形式。
首先我们来证明的是每个奇素数可以表示成平方和的形式。
对于任意奇素数 $p$，我们知道，模 $4$ 余数只有两种可能：$1$ 或 $3$。
如果模$4$ 余数为 $1$，我们可以将 $p$ 写成两个整数的平方和的形式，即$p=1^2+(\frac{p-1}{2})^2$。
如果模 $4$ 余数为 $3$，我们可以写成四个整数的平方和的形式，即 $p=1^2+1^2+1^2+(\frac{p-3}{4})^2$。
接下来，我们要证明每个正整数都可以表示成平方和的形式。
我们可以用数学归纳法来证明这个定理。
当 $n=1$ 时，显然 $n=1^2$。
假设当 $n=k$ 时，可以写成平方和的形式。
即 $k=a_1^2+a_2^2+...+a_k^2$。
现在我们要证明当 $n=k+1$ 时，也可以写成平方和的形式。
我们将 $k+1$ 分成两个数，一个数是最大的小于等于 $\sqrt{k+1}$ 的平方数，即$m^2$，另一个数为 $k+1-m^2$。
对于 $m^2$，我们可以利用假设，将它表示成平方和的形式，即$m^2=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{l}^{2}$。
将这两项相加，可以得到：$$k+1=m^2+(k+1-m^2)$$$$=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{l}^{2}+(k+1-m^2)$$这样，我们就把 $k+1$ 表示成几个正整数的平方和。
因此，我们可以得到结论：对于任意正整数，都可以表示成几个正整数的平方和。
整数分拆
整数分拆（严格地讲是自然数分拆）形式多样，解法也很多。
下面谈谈如何利用确定“中间数”法解将一个整数分拆成若干个连续数的问题。
那么什么是“中间数”呢？其实这里的“中间数”也就是平均数。
有的“中间数”是答数中的一个，如：1、2、3、4、5中的“3”便是；也有的“中间数”是为了解题方便虚拟的，并不是答数中的一个，如：4、5、6、7这四个数的“中间数”即为“5.5”。
由此我们可知，奇数个连续自然数的“中间数”是一个整数，而偶数个连续自然数的“中间数”则为小数，并且是某个数的一半。
下面利用这种方法解几道题：一、把一个自然数分拆成指定个数的连续数的和的问题。
例1、把2000分成25个连续偶数的和，这25个数分别什么？分析与解：这道题如果一个一个地试，岂不是很麻烦，我们先求中间数：2000÷25=80，那么80的左边有12个数，右边也有12个数，再加上80本身，正好是25个数，我们又知相邻两个偶数相差2，那么这25个偶数中最小的便为：80—12×2=56，最大的为：80+12×2=104，故所求的这25个数为：56、58、………、80、………、102、104。
例2、把105分成10个连续自然数的和，这10个自然数分别是多少？分析与解：我们仿照例1的办法先求中间数：105÷10=10.5，“10.5”这个数是小数，并不是自然数，很明显“10.5”不是所求的数中的一个，但我们可以把10.5“虚拟”为所求的数中的一个，这样也就是10.5左边有5个数，右边也有5个数，距离10.5最近的分别是10、11，这10个数分别是：6、7、8、9、10、（10.5）、11、12、13、14、15。
二、把一个自然数分拆成若干个自然数的和的形式。
例3、84分拆成2个或2个以上连续自然数的和，有几种？分别是多少？分析与解：此题看上去无从下手解答。
我们先把84分解质因数，84=2×2×3×7由分解式可以看出，84的不同质因数有2、3、7，这就说明能把84分拆成2、3、7的倍数个不同连续自然数的和，但是我们必须明确，有的个数是不符合要求的，例如把84分拆成2个连续自然数的和，无论如何是办不到的，那么我们不妨把其分拆为3、7、8（2×2×2）个连续自然数的和。
程序设计大赛题目
2005年百度之星程序设计大赛试题初赛题目第一题（共四题 100 分）：连续正整数（ 10 分）题目描述：一个正整数有可能可以被表示为 n(n>=2) 个连续正整数之和，如：15=1+2+3+4+515=4+5+615=7+8请编写程序，根据输入的任何一个正整数，找出符合这种要求的所有连续正整数序列。
输入数据：一个正整数，以命令行参数的形式提供给程序。
输出数据：在标准输出上打印出符合题目描述的全部正整数序列，每行一个序列，每个序列都从该序列的最小正整数开始、以从小到大的顺序打印。
如果结果有多个序列，按各序列的最小正整数的大小从小到大打印各序列。
此外，序列不允许重复，序列内的整数用一个空格分隔。
如果没有符合要求的序列，输出“NONE” 。
例如，对于 15 ，其输出结果是：1 2 3 4 54 5 67 8对于 16 ，其输出结果是：NONE评分标准：程序输出结果是否正确。
百度之星程序设计大赛试题 -2第二题（共四题 100 分）：重叠区间大小（ 20 分）题目描述：请编写程序，找出下面“ 输入数据及格式” 中所描述的输入数据文件中最大重叠区间的大小。
对一个正整数 n ，如果 n 在数据文件中某行的两个正整数（假设为 A 和 B ）之间，即 A<=n<=B 或A>=n>=B ，则 n 属于该行；如果 n 同时属于行 i 和 j ，则 i 和 j 有重叠区间；重叠区间的大小是同时属于行 i 和 j 的整数个数。
例如，行（ 10 20 ）和（ 12 25 ）的重叠区间为 [12 20] ，其大小为 9 ；行（ 20 10 ）和（ 12 18 ）的重叠区间为 [10 12] ，其大小为 3 ；行 (20 10) 和（ 20 30 ）的重叠区间大小为 1 。
输入数据：程序读入已被命名为 input.txt 的输入数据文本文件，该文件的行数在 1 到 1,000,000 之间，每行有用一个空格分隔的 2 个正整数，这 2 个正整数的大小次序随机，每个数都在 1 和 2^32-1 之间。
第4讲整数的拆分例题讲解+总结
第4讲整数的分拆整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆。
整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。
在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。
例1 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？分析与解：由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。
我们知道，1+2+3+4+5+6+7=28。
如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出。
由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。
例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。
所以最多可以播7天。
说明：本题实际上是问，把正整数30分拆成互不相等的正整数之和时，最多能写成几项之和？也可以问，把一个正整数拆成若干个整数之和时，有多少种分拆的办法？例如：5=1+1+1+1+1=1+1+1+2，=1+2+2 =1+1+3=2+3 =1+4，共有6种分拆法（不计分成的整数相加的顺序）。
例2 有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。
问：有多少种不同的支付方法？分析与解：要付2角3分钱，最多只能使用4枚5分币。
因为全部1分和2分币都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分币。
当使用3枚5分币时，5×3=15，23-15=8，所以使用2分币最多4枚，最少2枚，可有23=15+（2+2+2+2），23=15+（2+2+2+1+1），23=15+（2+2+1+1+1+1），共3种支付方法。
当使用4枚5分币时，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分币，或不使用，从而可有23=20+（2+1），23=20+（1+1+1），共2种支付方法。
学而思三年级春季班 第五讲(整数分拆)
例 2 按要求，把自然数 6 进行拆分 （1）把 6 拆成几个自然数相加的形式（0 除外） ，共有多少种不同的拆分方法？ （2） 把 6 拆成几个不完全相同的自然数相加的形式 （0 除外） ， 共有多少种不同的拆分方法？ （3） 把 6 拆成几个完全不相同的自然数相加的形式 （0 除外） ， 共有多少种不同的拆分方法？ 解析：一般情况选用“从小到大”方法 （1）拆成 2 个数：6=1+5 ……第一个数最小为 1 =2+4 =3+3 拆成 3 个数：6=1+1+4 ……第一个数最小为 1，第 2 个数最小也是 1 =1+2+3 ……第 2 个数不能变大了，所以把最前面 1 变为 2 再做排队 =2+2+2 ……第一个数为 2，第 2 个数最小只能排 2 拆成 4 个数：6=1+1+1+3 =1+1+2+2 拆成 5 个数：6=1+1+1+1+2 拆成 6 个数：6=1+1+1+1+1+1 共 10 种方法。 （2）不完全相同：把完全相同的去掉就可以 共 7 种方法：把前一问的 3 种完全相同的（3+3,2+2+2,1+1+1+1+1+1）减去。 （3）完全不相同：每个数都不相同
第五讲 整数分拆
一、概念 整数的拆分：把一个自然数（0 除外）拆分成几个自然数相加的形式 核心思想：有序、全面 二、基本型 1、从小到大：数字从低到高排队（注意“双胞胎”和“多胞胎” ） 从倒数第二个数开始，逐渐变大。 例：10=1+1+8 10=1+2+7 10=1+3+6 10=1+4+5 倒数第二个数已经不能再大了 10=2+2+6 第一个数再变大 10=2+3+5 10=2+4+4 10=3+3+4 2、从大到小：数字从高到低排队（注意“双胞胎”和“多胞胎” ） 注：一般情况下选用“从小到大”比较好， 告诉了最大数的情况下选用“从大到小”比较好 例1 略
学习整数的加减运算
学习整数的加减运算
一、整数的加法运算
整数的加法是指将两个或多个整数相加得到一个和，其结果仍然是整数。
整数的加法运算有以下几点要注意：
1. 正整数的加法：将两个正整数相加，结果是一个正整数。
例如，5 + 3 = 8。
2. 负整数的加法：将两个负整数相加，结果是一个负整数。
例如，-5 + (-3) = -8。
3. 正整数与负整数相加：将一个正整数与一个负整数相加，结果的符号取决于绝对值较大的整数的符号，并将它的绝对值减去较小绝对值的整数的绝对值得到的符号。
例如，5 + (-3) = 2，-5 + 3 = -2。
二、整数的减法运算
整数的减法是指从一个整数中减去另一个整数，得到一个差，其结果仍然是整数。
整数的减法运算有以下几点要注意：
1. 正整数的减法：从一个大于另一个正整数中减去较小的正整数，结果是一个正整数。
例如，5 - 3 = 2。
2. 负整数的减法：从一个小于另一个负整数中减去较大的负整数，结果是一个正整数。
例如，-5 - (-3) = -2。
3. 正整数减去负整数：将减数的相反数加到被减数上，得到一个正整数。
例如，5 - (-3) = 8，-5 - 3 = -8。
4. 负整数减去正整数：将减数的相反数加到被减数上，得到一个负整数。
例如，-5 - 3 = -8，5 - (-3) = 8。
综上所述，学习整数的加减运算需要注意正整数的相加、负整数的相加、正整数与负整数相加，以及正负整数的减法运算。
通过掌握这些运算规则，能够正确计算整数的加减运算，并且理解运算结果的符号规律。
组合数学-第七节：整数的分拆
2.6 正整数的分拆粗略地说，正整数的分拆就是将一个正整数分成几个正整数的和。
在本章的前几节中已经看到，某些重要和式的求和范围都与正整数的分拆有联系，在2.7节中我们将说明有一类分配问题就是“分拆问题”。
分拆问题也是组合论的重要内容之一，本节我们将介绍正整数的分拆的概念及其一些最基本的性质，在2.7节中再将本节的一些结果应用到一类分配问题。
定义2.6.1正整数n 的一个k 分拆是把n 表示成k 个正整数的和()121k n n n n k =+++≥L （2.6.1） 的一种表示法，其中()01i n i k >≤≤i n 叫做该分拆的分部量。
如果表达式（2.6.1）是无序的，也就是说，对诸i n 任意换位后的表示法都只视为一种表示法，这样的分拆叫做无序分拆，或简称为分拆。
反之，若表达式（2.6.1）是有序的，即表达式（2.6.1）右边的和不仅与各项的数值有关，而且与各项的次序有关，不同的次序认为是不同的表示法，这样的分拆叫做有序分拆。
这时，i n 叫做该有序分拆的第i 个分部量。
n 的k 分拆的个数称为n 的k 分拆数，n 的所有分拆（k 取遍所有可能的值）的个数称为n 的分拆数。
例如：4211121112=++=++=++是4的所有3个有序3分拆。
在4的第一个有序3分拆中，第1个分部量为2，第2个和第3个分部量均匀为1。
而：4211=++ 是4的唯一一个3分拆。
2.6.1 有序分拆在这一小节中，我们介绍n 的有序分拆的计数公式，以及在几类限定条件下n 的有序分拆的计数公式。
定理2.6.1 正整数n 的有序k 分拆的个数为11n k -⎛⎫⎪-⎝⎭。
证明 正整数n 分成k 个分部量的一个有序分拆：12k n n n n =+++L ，等价于方程：12k x x x n +++=L 。
的正整数解()12,k n n n L ，由2.3节定理2.3.4的证明知，正整数n 的有序k 分拆的个数为11n k -⎛⎫⎪-⎝⎭。
将一个分数拆分为几个不同的单位分数之和
7
练一练：
南汇实验 徐正忠
利用上述先扩后拆法，将下列单位分数拆分为两个
不同的单位分数之和。
1 1 11 3 6 58
返回
8
2、将一个真分数化为几个不同的单位分数之和
南汇实验 徐正忠
探 究
1）
2 3
4 6
1 3 1 3 1 1 也可：2 1 1 1 1 1
n n 1 n(n 1)
先扩后拆法；直接拆分法； 逐次拆分法
返回
12
思考题：
南汇实验 徐正忠
一项工程，甲乙合做20天完成；如果 单独完成全工程，甲比乙要多用9天。甲 乙独做全工程各需几天？（甲乙独做的 工作时间都是整天数）
13
结束语
南汇实验 徐正忠
14
公
猜想
1 1 1 1 1 19 20 19 20 20 380
式 法
一般
n
1 （n
1)
1 nFra bibliotekn1 1
1 1 1 n n 1 n(n 1)
5
1 1 1 n n 1 n(n 1)
练一练：
南汇实验 徐正忠
利用
1 n
1 1 n 1 n(n 1)
结论，将下列单位分数拆
分为两个不同的单位分数之和
11 1
1
8 13 15
22
返回
6
南汇实验 徐正忠
将一个单位分数拆分为几个不同的单位分数之和（方法二 ）
1） 1 3 1 2 1 2 1 1
2 6 6 66 63
1 2） 5
6 30
1 23 30
1 2 3 1 11 30 30 30 30 15 10
四年级下册数的分解
四年级下册数的分解在我们四年级下册的数学学习中，“数的分解”可是一个非常重要的知识点。
它就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开数学世界里一扇又一扇的大门。
什么是数的分解呢？简单来说，就是把一个数拆分成几个数相加的形式。
比如说，5 可以分解成 1 和 4、2 和 3。
这看起来似乎很简单，但里面的学问可大着呢！我们先从整数的分解说起。
整数包括正整数、零和负整数。
对于正整数，比如 8，它可以有很多种分解方式，8 ＝ 1 ＋ 7，8 ＝ 2 ＋ 6，8＝ 3 ＋ 5，8 ＝ 4 ＋ 4。
通过这样的分解，我们能更清楚地了解数与数之间的关系。
再来说说数的分解在加法运算中的应用。
比如，我们要计算 25 ＋37，我们可以先把 37 分解成 30 ＋ 7，然后先计算 25 ＋ 30 ＝ 55，再计算 55 ＋ 7 ＝ 62。
这样是不是就简单多啦？数的分解还能帮助我们解决一些实际问题。
假设我们有30 个苹果，要平均分给 5 个小朋友，那我们就可以把 30 分解成 5 个相同的数相加，也就是 30 ＝ 6 ＋ 6 ＋ 6 ＋ 6 ＋ 6，所以每个小朋友能分到 6 个苹果。
接下来，我们再深入探讨一下数的分解与乘法的关系。
乘法其实是加法的简便运算，比如 3 × 4 ，表示 4 个 3 相加，或者 3 个 4 相加。
那12 这个数，就可以分解成 3 × 4 ，也可以分解成 2 × 6 。
在学习数的分解时，我们还要注意分解的唯一性。
有些数只有一种分解方式，比如 2 只能分解成 1 ＋ 1；而有些数有多种分解方式，像前面提到的 8 。
而且，数的分解对于我们理解因数和倍数的概念也非常重要。
如果一个数 a 能被另一个数 b 整除，那么 b 就是 a 的因数，a 就是 b 的倍数。
比如说，6 能被 2 整除，2 就是 6 的因数，6 就是 2 的倍数。
而 6 可以分解成 2 × 3，所以 2 和 3 都是 6 的因数。
读入一个正整数 n,计算其各位数字之和,用汉语拼音写出和的每一位数字
读入一个正整数 n,计算其各位数字之和,用汉语拼音写出和的每一位数字.《读入一个正整数 n, 计算其各位数字之和,用汉语拼音写出和的每一位数字》一、定义数字和，又称数字求和，是指将一个数字加上其他几个数字的总和，其结果叫做数字和。
类似的，当我们给出一个大的正整数n，让计算每一位上的数字之和，也就是计算此整数的各个位数字之和，并以每一个数字表示出来，以汉语拼音（Pinyin）表示出来，这正是本文主要研究的内容。
二、总结规律1、一个正整数n可以分成两部分，即个位数和十位数，若n的个位数和十位数分别为a 和b，则n=10a+b；2、计算此整数的各个位数字之和，即把a和b相加，得到的和为 s=a+b；3、得到的s的各位数字之和，分别为个位数和十位数，记为 c 和 d，则s=10c+d；4、令 n=10a+b，即 n=10(a+b)+d，故得结果(记为r) 为r=10(a+b)+d 。
三、计算实例下面以计算正整数785得出结果作为例子，分析计算过程如下：（1）785可以分成两部分，即个位数5，十位数78，即 785=10×78+5 ;（2）将个位数和十位数相加，得到s=78+5=83 ;（3）根据s=10c+d，得到c=8，d=3 ;（4）根据 r=10(a+b)+d 得出 r=10×83+3=813，即785的各位数字之和为813，用汉语拼音表示为ba yi san 。
四、解决难点1.如何快速计算出各位数字之和要求快速计算出数字之和，可以通过将模10的乘积加上餘数的形式来得出结果。
首先，将数字n分解成a和b，即n=10*a+b；然后，将此式n通过整除法拆分成a和b：aa=⌊a10a⌋+a。
这样，上面提到的那个式子（r=10(a+b)+d）就可以以简单的形式来表示：r=10a+d，即结果r就是给定的n乘以10，再加上它的个位数。
换句话说，对于任意的正整数n，n的各位数字之和 r 就可以表示为r=10n+d，其中d是n的个位数。