2015高考数学(理)一轮题组训练：2-6对数与对数函数

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2015届高考数学(理)一轮复习单元卷：对数与对数函数(苏教版)

对数与对数函数第Ⅰ组：全员必做题1．函数y ＝1－lg (x ＋2)的定义域为________．2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝________.3．(2013·全国卷Ⅱ改编)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则a ，b ，c 的大小关系为________．4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 12x ，x >0，log 2(－x )，x <0，若f (m )<f (－m )，则实数m 的取值范围是____________．5．(2014·常州期末)设函数y ＝f (x )在R 内有定义，对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )>k ，k ， f (x )≤k .若函数f (x )＝log 3|x |，则当k ＝13时，函数f k (x )的单调减区间为________． 6．计算：(log 29)·(log 34)＝________.7．函数y ＝log 12(x 2－6x ＋17)的值域是________． 8．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝________. 9．(2014·长春模拟)设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域．(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值．10．已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎡⎦⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围．第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·徐州联考)函数y ＝log a (x －1)＋1(a >0，且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在一次函数y ＝mx ＋n 的图像上，其中m ，n >0，则1m ＋2n的最小值为________．2．(2014·无锡模拟)若f (x )＝lg x ，g (x )＝f (|x |)，则g (lg x )>g (1)，x 的取值范围是________．答案第Ⅰ组：全员必做题1．解析：由题意可知，1－lg(x ＋2)≥0，整理得lg(x ＋2)≤lg 10，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤10，x ＋2>0，解得－2<x ≤8，故函数y ＝1－lg (x ＋2)的定义域为(－2,8]．答案：(－2,8]2．解析：f (x )＝log a x ，∵f (2)＝1，∴log a 2＝1.∴a ＝2.∴f (x )＝log 2x .答案：log 2x3．解析：a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝log 510＝1＋log 52，c ＝log 714＝1＋log 72，则只要比较log 32，log 52，log 72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y ＝log 3x ，y ＝log 5x ，y ＝log 7x 的图像，由三个图像的相对位置关系，可知a ＞b ＞c .答案：a ＞b ＞c4．解析：当m >0时，f (m )<f (－m )⇒log 12m <log 2m ⇒m >1；当m <0时，f (m )<f (－m )⇒log 2(－m )<log 12(－m )⇒－1<m <0.所以m 的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．答案：(－1,0)∪(1，＋∞)5．解析：因为f (x )＝log 3|x |，k ＝13，所以由f (x )>k 得log 3|x |>13，解得x <－33或x >33.同理由f (x )≤k 得－33≤x <0或0<x ≤33，所以f k (x )＝⎩⎨⎧ log 3|x |，x <－33或x >33，13，－33≤x <0或0<x ≤33，所以函数f k (x )的单调减区间为(－∞，－33)．(闭区间也对)答案：(－∞，－33)⎝⎛⎭⎫或(－∞，－33]6．解析：(log 29)·(log 34)＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4. 答案：47．解析：令t ＝x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，y ＝log 12t 为减函数，所以有log 12t ≤log 128＝－3. 答案：(－∞，－3]8．解析：由2a ＝5b ＝m ，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，又1a ＋1b ＝2，即1log 2m ＋1log 5m＝2， ∴1lg m＝2，即m ＝10. 答案：109．解：∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)， ∴函数f (x )的定义域为 (－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 10．解：当a >1时，f (x )＝log a x 在⎣⎡⎦⎤13，2上单调递增，要使x ∈⎣⎡⎦⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧ log a 13≥－1，log a 2≤1，解得a ≥3. ∴此时a 的取值范围是a ≥3.当0<a <1时，f (x )＝log a x 在⎣⎡⎦⎤13，2 上单调递减，要使x ∈⎣⎡⎦⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧log a 13≤1，log a 2≥－1，解得0<a ≤13. ∴此时，a 的取值范围是0<a ≤13. 综上可知，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，13∪[3，＋∞)．第Ⅱ组：重点选做题1．解析：取x －1＝1得原函数的图像恒过定点A (2,1)，代入直线方程得2m ＋n ＝1，所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2(2m ＋n )n ＝4＋n m ＋4m n ≥8，当且仅当n m ＝4m n ，即2m ＝n ＝12时等号成立，故最小值为8.答案：82．解析：因为g (lg x )>g (1)，所以f (|lg x |)>f (1)，由f (x )为增函数得|lg x |>1，从而lg x >1或lg x <－1.解得0<x <110或x >10.答案：⎝⎛⎭⎫0，110∪(10，＋∞)。

2015届高考数学总复习配套课件：2-6 对数与对数函数

东金太
(2)由已知，得 x＝log43，
阳书
则 4x＋4－x＝4log43＋4－log43＝3＋31＝130.
业有限
公
司
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第十六页，编辑于星期五：十点十二分。
高考总复习 A 数学（文）
抓主干考点解密
研考向要点探究
对数函数图象及应用
悟典题
能力提升
【例2】 (2014年济南模拟)若实数a，b，c满足loga2<logb2<logc2，
抓主干考点解密
研考向要点探究
悟典题能力提升
对数式的运算
提素能
高效训练
【例 1】求值：(1)lloogg8293；
(2)(lg 5)2＋lg 50·lg 2；
山东
(3)21lg3429－43lg 8＋lg 245.
金太阳
书
业
有
限
公
司
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第十三页，编辑于星期五：十点十二分。
经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范
山东
围．
金
太
阳
书
业
有
限
公
司
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第二十页，编辑于星期五：十点十二分。
高考总复习 A 数学（文）
抓主干考点解密
对数函数性质及应用
研考向要点探究
【例3】 (1)(2013年高考全国课标卷Ⅱ)设a＝log32，b＝log52，c
有限
公
司
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第二页，编辑于星期五：十点十二分。
高考总复习 A 数学（文）
抓主干考点解密

2015届高考数学总复习第二章第六节对数与对数函数课时精练试题文(含解析)

1．(2013·浙江卷)已知x ，y 为正实数，则( )A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x ＋2lg yB ．2lg (x ＋y )＝2lg x ·2lg yC ．2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg yD ．2lg (xy )＝2lg x ·2lg y解析：由指数和对数的运算法则，易知选项D 正确．答案：D2．函数f (x )＝2|log 2x |的图象大致是( )解析：∵f (x )＝2|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x，0<x <1，∴选C.答案：C3．给定函数：①y ＝x 12；②y ＝log 12(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④答案：B4. (2012·海口模拟)已知a ，b ∈R ，则“log 2a ＞log 2b ”是 “⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a >b >0⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ，但由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b⇒a >b ⇒ / log 2a >log 2b .故选A.答案：A5．(2012·重庆卷)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b ＜cB ．a ＝b ＞cC ．a ＜b ＜cD ．a ＞b ＞c解析：a ＝log 23＋log 23＝log 233，b ＝log 29－log 23＝log 233，因此a ＝b ，而log 233＞log 22＝1，log 32＜log 33＝1，所以a ＝b ＞c ，故选B. 答案：B6. (2013·河北石家庄质检)函数f (x )＝log a x 与g (x )＝b －x(其中a ＞0，a ≠1，ab ＝1)的图象可能是( )解析：若a ＞1，则f (x )＝log a x 是(0，＋∞)上的增函数，因为ab ＝1，所以1b＝a ＞1，于是g (x )＝b －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1bx 是R 上的增函数．故选C.答案：C7．(2013·揭阳二模)若点(a ，－1)在函数y ＝log 13x 的图象上，则tan 4πa的值为________．解析：将x ＝a ，y ＝－1代入函数解析式得：－1＝log 13a ，解得：a ＝3，则tan 4πa ＝tan 4π3＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π 3＝tan π3＝ 3. 答案： 38．(2013·山西四校联考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，－2x＋1，x ≤0，则函数f (x )的零点为__________．解析：当x ＞0时，由log 2x ＝0得，x ＝1；当x ≤0时，由－2x＋1＝0得x ＝0.所以函数的零点为0和1.答案：0和19．(2013·北京东城区检测)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)若a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．解析： (1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1. 故所求函数f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}． (2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}．且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(3)因为当a ＞1时，f (x )在定义域{x |－1＜x ＜1}内是增函数，所以f (x )＞0⇔x ＋11－x＞1.解得0＜x ＜1.所以使f (x )＞0的x 的解集是{x |0＜x ＜1}．10．设x ，y ，z ∈R ＋，且3x ＝4y ＝6z.(1)求证：1z －1x ＝12y；(2)比较3x,4y,6z 的大小．证明：设3x ＝4y ＝6z＝k ，因为x ，y ，z ∈R ＋，所以k ＞1，x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k .(1)1z －1x ＝1log 6k －1log 3k ＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12log 4k ＝12y . 即1z －1x ＝12y成立． (2)解析：因为k ＞1，所以lg k ＞0,所以3x －4y ＝lg klg 3×lg 4(lg 64－lg 81)＜0，4y －6z ＝lg klg 2×lg 6(lg 36－lg 64)＜0，所以3x ＜4y ＜6z .。

高考数学一轮复习学案：2.6 对数与对数函数(含答案)

高考数学一轮复习学案：2.6 对数与对数函数（含答案）2.6对数与对数函数对数与对数函数最新考纲考情考向分析1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的对数函数的图象3.体会对数函数是一类重要的函数模型4.了解指数函数yaxa0，且a1与对数函数ylogaxa0，且a1互为反函数.以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性；以复合函数的形式考查对数函数的图象与性质，题型一般为选择.填空题，中低档难度.1对数的概念一般地，如果axNa0，且a1，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数2对数的性质与运算法则1对数的运算法则如果a0，且a1，M0，N0，那么logaMNlogaMlogaN；logaMNlogaMlogaN；logaMnnlogaMnR2对数的性质logaNa__N__；logaaN__N__a0，且a13对数的换底公式logablogcblogcaa0，且a1；c0，且c1；b03对数函数的图象与性质ylogaxa100；当00且a1与对数函数ylogaxa0且a1互为反函数，它们的图象关于直线yx对称知识拓展1换底公式的两个重要结论1logab1logba；2logmnabnmlogab.其中a0且a1，b0且b1，m，nR.2对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故00且a1在0，上是增函数3函数yln1x1x与yln1xln1x的定义域相同4对数函数ylogaxa0且a1的图象过定点1,0且过点a,1，1a，1，函数图象只在第一.四象限题组二教材改编2P68T4log29log34log45log52________.答案23P82A组T6已知a132，blog213，c121log3，则a，b，c的大小关系为________答案cab解析0ab.4P74A组T7函数y23log21x的定义域是______答案12，1解析由23log21x0，得00，a1的图象如图，则下列结论成立的是Aa1，c1Ba1,00且a1的图象如图所示，则下列函数图象正确的是答案B解析由题意ylogaxa0且a1的图象过3,1点，可解得a3.选项A中，y3x13x，显然图象错误；选项B中，yx3，由幂函数图象性质可知正确；选项C中，yx3x3，显然与所画图象不符；选项D中，ylog3x的图象与ylog3x的图象关于y轴对称，显然不符，故选B.2当01时，直线yxa与ylog2x只有一个交点题型三题型三对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用命题点1对数函数的单调性典例1xx届河南信阳高中大考设alog412，blog515，clog618，则AabcBbcaCacbDcba答案A解析a1log43，b1log53，c1log63，log43log53log63，abc.2xx江西九江七校联考若函数fxlog2x2ax3a在区间，2上是减函数，则实数a的取值范围是A，4B4,4C，42，D4,4答案D解析由题意得x2ax3a0在区间，2上恒成立且函数yx2ax3a在，2上单调递减，则a22且222a3a0，解得实数a的取值范围是4,4，故选D.命题点2和对数函数有关的复合函数典例已知函数fxloga3axa0且a11当x0,2时，函数fx恒有意义，求实数a的取值范围；2是否存在这样的实数a，使得函数fx在区间1,2上为减函数，并且最大值为1如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由解1a0且a1，设tx3ax，则tx3ax为减函数，x0,2时，tx的最小值为32a，当x0,2时，fx恒有意义，即x0,2时，3ax0恒成立32a0.a0且a1，a的取值范围为0,11，32.2假设存在这样的实数a.tx3ax，a0，函数tx为减函数fx在区间1,2上为减函数，ylogat为增函数，a1，x1,2时，tx的最小值为32a，fx的最大值为f1loga3a，32a0，loga3a1，即acbBbcaCcbaDcab 答案D解析alog32b，所以cab.2已知函数fxloga8axa0，且a1，若fx1在区间1,2上恒成立，则实数a的取值范围是__________答案1，83解析当a1时，fxloga8ax在1,2上是减函数，由fx1在区间1,2上恒成立，则fxminloga82a1，且82a0，解得11，且82a0.a4，且abcBacbCbacDbca答案A解析因为alog3log331，blog23b，又bc12log2312log32log2321，c0，所以bc，故abc.2xx新乡二模设a60.4，blog0.40.5，clog80.4，则a，b，c的大小关系是Aac.故选B.3若实数a，b，c满足loga2cBbacCcabDacb答案B解析易知yfx是偶函数当x0，时，fxf1x|log2x|，且当x1，时，fxlog2x单调递增，又af3f3，bf14f4，所以bac.。

2015年高考数学(苏教版,理)一轮题库：第2章第6讲对数与对数函数

第6讲对数与对数函数一、填空题1．已知函数f(x）＝错误!则f错误!＝________.解析因为f错误!＝log2错误!＝－2，所以f错误!＝f(－2）＝3－2＝错误!.答案错误!2．函数y＝ln（1－x)的图象大致为________．解析由1－x〉0，知x<1，排除①、②；设t＝1－x（x〈1)，因为t＝1－x为减函数,而y＝ln t为增函数，所以y＝ln（1－x)为减函数，故选③。

答案③3．若实数x满足log3x＝1＋sin θ，则｜x－1|＋|x－9｜的值为________．解析log3x＝1＋sin θ∈［0，2］，x＝31＋sin θ∈［1,9］，｜x－1｜＋｜x－9|＝x－1＋9－x＝8.答案84．已知函数f（x）＝错误!若f(3－2a2)＞f(a）,则实数a的取值范围为________．解析画图象可得f(x)是(－∞，＋∞)上连续的单调减函数,于是由f(3－2a2）＞f（a)，得3－2a2＜a，即2a2＋a－3＞0，解得a＜－3 2或a＞1。

答案错误!∪（1,＋∞)5．已知函数f（x)＝lg x．若f(ab)＝1，则f(a2）＋f（b2)＝________.解析∵f(x)＝lg x，f(ab)＝1，∴lg（ab)＝1，∴f（a2)＋f(b2）＝lg a2＋lg b2＝2lg a＋2 lg b＝2lg(ab）＝2。

答案26．已知2a＝5b＝错误!，则错误!＋错误!＝________.解析∵2a＝5b＝错误!，∴a＝log2错误!，b＝log5错误!，利用换底公式可得：错误!＋错误!＝log错误!2＋log错误!5＝log错误!10＝2.答案2[来源：学科网]7．设a>0且a≠1，函数f（x）＝a lg(x2－2x＋3)有最大值，则不等式log a(x2－5x＋7)〉0的解集为________．解析∵函数y＝lg(x2－2x＋3）有最小值,f(x）＝a lg（x2－2x＋3)有最大值，∴0〈a〈1。

【创新设计】2015届高考数学第一轮复习 2-6 对数与对数函数题组训练理(含14年优选题,解析)新人教A版

第6讲对数与对数函数基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．如果log 12x ＜log 12y ＜0，那么( )．A ．y ＜x ＜1B ．x ＜y ＜1C ．1＜x ＜yD ．1＜y ＜x解析 ∵log 12x ＜log 12y ＜log 121，又y ＝log 12x 是(0，＋∞)上的减函数，∴x ＞y ＞1. 答案 D2．(2014·深圳调研)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 3(1＋x )，则f (－2)＝ ( )．A ．－1B ．－3C ．1D ．3解析 f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1. 答案 A3．(2013·宣城二模)若a ＝ln 264，b ＝ln 2×ln 3，c ＝ln 2π4，则a ，b ，c 的大小关系是( )．A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞a ＞c解析 ∵ln 6＞ln π＞1，∴a ＞c ，排除B ，C ；b ＝ln 2·ln 3＜⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2＋ln 322＝ln 264＝a ，排除D. 答案 A4．若函数g (x )＝log 3(ax 2＋2x －1)有最大值1，则实数a 的值等于( )．A.12 B.14 C ．－14D ．4解析令h (x )＝ax 2＋2x －1，由于函数g (x )＝log 3h (x )是递增函数，所以要使函数g (x )＝log 3(ax 2＋2x －1)有最大值1，应使h (x )＝ax 2＋2x －1有最大值3，因此有⎩⎨⎧a ＜0，Δ＝4＋4a ≥0，－4a －44a ＝3，解得a ＝－14，此即为实数a 的值．答案 C5．已知f (x )＝log a [(3－a )x －a ]是其定义域上的增函数，那么a 的取值范围是( )．A ．(0,1)B ．(1,3)C ．(0,1)∪(1,3)D ．(3，＋∞) 解析记u ＝(3－a )x －a ，当1＜a ＜3时，y ＝log a u 在(0，＋∞)上为增函数， u ＝(3－a )x －a 在其定义域内为增函数， ∴此时f (x )在其定义域内为增函数，符合要求．当a ＞3时，y ＝log a u 在其定义域内为增函数，而u ＝(3－a )x －a 在其定义域内为减函数， ∴此时f (x )在其定义域内为减函数，不符合要求．当0＜a ＜1时，同理可知f (x )在其定义域内是减函数，不符合题目要求．故选B. 答案 B 二、填空题6．函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是⎝⎛⎭⎫23，＋∞，则a ＝______.解析要使函数有意义，则3x －a ＞0，即x ＞a3，∴a 3＝23，∴a ＝2. 答案 27．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2a 2，x ＜2，log a (x 2－1)，x ≥2，且f (2)＝1，则f (1)＝________. 解析 ∵f (2)＝log a (22－1)＝log a 3＝1，∴a ＝3，∴f (1)＝2×32＝18. 答案 188．(2014·深圳中学模拟)定义在R 上的奇函数f (x )，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则不等式f (x )＜－1的解集是________．解析当x ∈(－∞，0)时，则－x ∈(0，＋∞)，所以f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x ) ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，0，0，－log 2(－x )，x ＜0，由f (x )＜－1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，log 2x ＜－1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，0＜－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，－log 2(－x )＜－1，解得0＜x ＜12或x ＜－2.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜12，或x ＜－2三、解答题9．已知f (x )＝log 4(4x －1)．(1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的单调性；(3)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，2上的值域．解 (1)由4x －1＞0解得x ＞0，因此 f (x )的定义域为(0，＋∞)． (2)设0＜x 1＜x 2，则0＜4x 1－1＜4x 2－1，因此log 4(4x 1－1)＜log 4(4x 2－1)，即f (x 1)＜f (x 2)，f (x )在(0，＋∞)上递增． (3)f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，2上递增，又f ⎝⎛⎭⎫12＝0，f (2)＝log 415，因此f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为[0，log 415]． 10．已知函数f (x )＝log 12ax －2x －1(a 为常数)． (1)若常数a <2且a ≠0，求f (x )的定义域；(2)若f (x )在区间(2,4)上是减函数，求a 的取值范围．解 (1)由题意知ax －2x －1>0，当0<a <2时，解得x <1或x >2a ；当a <0时，解得2a<x <1.故当0<a <2时，f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1，或x >2a ；当a <0时，f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a<x <1. (2)令u ＝ax －2x －1，因为f (x )＝log 12u 为减函数，故要使f (x )在(2,4)上是减函数，只需u (x )＝ax －2x －1＝a ＋a －2x －1在(2,4)上单调递增且为正．故由⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，u (2)＝2a －22－1≥0，得1≤a <2.故a ∈[1,2)．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·河南洛阳二模)如果一个点是一个指数函数和一个对数函数的图象的交点，那么称这个点为“好点”．下列四个点P 1(1,1)，P 2(1,2)，P 3⎝⎛⎭⎫12，12，P 4(2,2)中，“好点”的个数为 ( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析设指数函数和对数函数分别为y ＝a x (a ＞0，a ≠1)，y ＝log b x (b ＞0，b ≠1)．若为“好点”，则P 1(1,1)在y ＝a x 的图象上，得a ＝1与a ＞0，且a ≠1矛盾；P 2(1,2)显然不在y ＝log b x 的图象上；P 3⎝⎛⎭⎫12，12在y ＝a x ，y ＝log b x 的图象上时，a ＝14，b ＝14；易得P 4(2,2)也为“好点”．答案 B2．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时， f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝( )．A ．1 B.45 C ．－1D ．－45解析由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f (log 245)＝－(＋15)＝－1. 答案 C 二、填空题3．如果函数y ＝f (x )图象上任意一点的坐标(x ，y )都满足方程lg(x ＋y )＝lg x ＋lg y ，那么y ＝f (x )在[2,4]上的最小值是________．解析由lg(x ＋y )＝lg x ＋lg y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝xy ，由x ＋y ＝xy 得y ＝f (x )＝xx －1＝x －1＋1x －1＝1＋1x －1(x ≠1)．则函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以y ＝f (x )在[2,4]上的最小值是f (4)＝1＋14－1＝43. 答案 43三、解答题4．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x . (1)求f ⎝⎛⎭⎫12 014＋f ⎝⎛⎭⎫－12 014的值；(2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)由f (x )＋f (－x )＝log 21－x 1＋x ＋log 21＋x1－x＝log 21＝0.∴f ⎝⎛⎭⎫12 014＋f ⎝⎛⎭⎫－12 014＝0. (2)f (x )的定义域为(－1,1)，∵f (x )＝－x ＋log 2(－1＋2x ＋1)，当x 1<x 2且x 1，x 2∈(－1,1)时，f (x )为减函数， ∴当a ∈(0,1)，x ∈(－a ，a ]时f (x )单调递减， ∴当x ＝a 时，f (x )min ＝－a ＋log 21－a1＋a .。

【金牌精品】高考数学(理)一轮复习：2-6对数与对数函数

课后课时作业[A 组·基础达标练]1．函数f (x )＝log 0.5(4x －1)的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤14，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ 答案 C 解析由题意易知⎩⎨⎧log 0.5(4x －1)≥04x －1>0整理得0<4x －1≤1，解得14<x ≤12，即函数f (x )＝log 0.5(4x －1)的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤14，12，故选C.2．[2015·重庆高考]“x >1”是“log 12 (x ＋2)<0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析由log 12 (x ＋2)<0，得x ＋2>1，解得x >－1，所以“x >1”是“log 12(x ＋2)<0”的充分而不必要条件，故选B.3．[2015·石家庄一模]设函数f (x )为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－2)＝( )A ．－12 B.12 C ．2 D ．－2答案 B解析因为函数f (x )是偶函数，所以f (－2)＝f (2)＝log 22＝12，故选B.4．函数f (x )＝2x ＋1和函数g (x )＝log 2(x ＋3)的图象的交点一定在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝log 2(x ＋3)的图象可以由基本的指数函数f (x )＝2x 和对数函数g (x )＝log 2x 的图象分别向左平移1个单位和3个单位得到，由f (x )＝2x ＋1，g (x )＝log 2(x ＋3)的图象可知，其交点在第二象限，选B.5．[2014·辽宁高考]已知a ＝2－13 ，b ＝log 213，c ＝log 12 13，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a 答案 C解析 0<a ＝2－13 ＝12 13<1，b ＝log 213<0，c ＝log 12 13＝log 23>1.∴c >a >b .6．[2014·福建高考]若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )答案 B解析由题图可知y ＝log a x 的图象过点(3,1)， ∴log a 3＝1，即a ＝3.A 项，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上为减函数，错误；B 项，y ＝x 3符合；C 项，y ＝(－x )3＝－x 3在R 上为减函数，错误；D 项，y ＝log 3(－x )在(－∞，0)上为减函数，错误．7．[2016·云南名校联考]设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >cb ；②ac log a (b －c )，其中所有的正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③答案 D解析由a >b >1知1a <1b ，又c <0，所以c a >cb ，①正确；由幂函数的图象与性质知②正确；由a >b >1，c <0知a －c >b －c >1－c >1，由对数函数的图象与性质知③正确，故选D.8．[2016·河北五校质监]函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m >0，n >0，则2m ＋1n 的最小值为( )A ．2 2B ．4 C.52 D.92答案 D解析由函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的解析式知：当x ＝－2时，y ＝－1，所以点A 的坐标为(－2，－1)，又因为点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，所以－2m －n ＋2＝0，即2m ＋n ＝2，又m >0，n >0，所以2m ＋1n ＝2m ＋n m ＋2m ＋n 2n ＝2＋n m ＋m n ＋12≥52＋2＝92，当且仅当m ＝n ＝23时等号成立．所以2m ＋1n 的最小值为92，故选D.9．若f (x )＝lg x ，g (x )＝f (|x |)，则g (lg x )>g (1)时，x 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，110∪(10，＋∞)解析当g (lg x )>g (1)时，f (|lg x |)>f (1)，由f (x )为增函数得|lg x |>1，从而lg x >1或lg x <－1，解得0<x <110或x >10.10．已知函数y ＝f (x )是周期为2的奇函数，当x ∈[2,3)时，f (x )＝log 2(x －1)，给出以下结论：①函数y ＝f (x )的图象关于点(k,0)(k ∈Z )对称；②函数y＝|f(x)|是以2为周期的周期函数；③当x∈(－1,0)时，f(x)＝－log2(1－x)；④函数y＝f(|x|)在(k，k＋1)(k∈Z)上单调递增．其中，正确结论的序号是________．答案①②③解析因为f(x)是周期为2的奇函数，奇函数的图象关于原点(0,0)对称，故函数y＝f(x)的图象也关于点(2,0)对称，先作出函数f(x)在(1,3)上的图象，左右平移即得到f(x)的草图如图所示，由图象可知f(x)关于点(k,0)(k∈Z)对称，故①正确；由y＝f(x)的图象可知y＝|f(x)|的周期为2，故②正确；当x∈(－1,0)时，2<2－x<3，f(2－x)＝log2(1－x)＝－f(x)，即f(x)＝－log2(1－x)，故③正确；y＝f(|x|)在(－1,0)上为减函数，故④错误．11．[2015·珠海月考]函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，x.当x>0时，f(x)＝log12(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2－1)>－2.解(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log1(－x)．2因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．所以函数f(x)的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12(－x )，x <0.(2)因为f (4)＝log 12 4＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以0<|x 2－1|<4，解得－5<x <5且x ≠±1，又当x 2－1＝0即x ＝±1时，f (0)＝0>－2符合题意． ∴不等式的解集为(－5，5)．12．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >1)，若函数y ＝g (x )的图象上任意一点P 关于原点对称的点Q 的轨迹恰好是函数f (x )的图象．(1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0,1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围．解 (1)设P (x ，y )为g (x )图象上任意一点，则Q (－x ，－y )是点P 关于原点的对称点，因为Q (－x ，－y )在f (x )的图象上，所以－y ＝log a (－x ＋1)，即y ＝－log a (1－x )(x <1)．所以g (x )＝－log a (1－x )(x <1)． (2)f (x )＋g (x )≥m ，即log a 1＋x 1－x ≥m .设F (x )＝log a 1＋x1－x，x ∈[0,1)．由题意知，只要F (x )min ≥m 即可．因为F (x )在[0,1)上是增函数，所以F (x )min ＝F (0)＝0. 故m 的取值范围是(－∞，0]．[B 组·能力提升练]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且函数h (x )＝f (x )＋x －a 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]答案 B解析如图所示，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上的截距，由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝f (x )只有一个交点．故选B.2．定义函数y ＝f (x )，x ∈D ，若存在常数c ，对任意x 1∈D ，存在唯一的x 2∈D ，使得f (x 1)＋f (x 2)2＝c ，则称函数f (x )在D 上的均值为c .已知f (x )＝ln x ，x ∈[1，e 2]，则函数f (x )＝ln x 在x ∈[1，e 2]上的均值为( )A.12 B ．1 C ．e D.1＋e 22答案 B解析只有x 1x 2＝e 2，才有x 1∈[1，e 2]时，x 2＝e2x 1∈[1，e 2]，所以函数f (x )＝ln x 在x ∈[1，e 2]上的均值为ln x 1＋ln x 22＝ln (x 1x 2)2＝ln e 22＝1.3．[2016·山西质检]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x ＋1|，x <1，log 2(x －m )，x >1，若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，且x 1＋x 2＋x 3的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为________．答案 1解析作出f (x )的图象，如图所示，可令x 1<x 2<x 3，则由图知点(x 1,0)，(x 2,0)关于直线x ＝－12对称，所以x 1＋x 2＝－1.又1<x 1＋x 2＋x 3<8，所以2<x 3<9.由f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，结合图象可知点A 的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得3＝log 2(9－m )，解得m ＝1.4．已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x .(1)当x ∈[1,4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域；(2)如果对任意的x ∈[1,4]，不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立，求实数k 的取值范围．解 (1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2，因为x ∈[1,4]，所以log 2x ∈[0,2]，故函数h (x )的值域为[0,2]． (2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )，得(3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ，令t ＝log 2x ，因为x ∈[1,4]，所以t ＝log 2x ∈[0,2]，所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈[0,2]恒成立， ①当t ＝0时，k ∈R ；②当t ∈(0,2]时，k <(3－4t )(3－t )t 恒成立，即k <4t ＋9t －15，因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号，所以4t ＋9t －15的最小值为－3，综上，k ∈(－∞，－3)．。

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 2-6指数与指数函数课后强化作业北师大版

"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 2-6指数与指数函数课后强化作业北师大版 "基础达标检测一、选择题1．(文)函数y ＝log 2x 的图像大致是( )A B C D[答案]C[解析]考查对数函数的图像．(理)函数f (x )＝2|log 2x |的图像大致是( )[答案]C[解析]∵f (x )＝2|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥1，1x ，0<x <1，∴选C. 2．设f (x )＝lg 2＋x 2－x，则f (x 2)＋f (2x )的定义域为( ) A ．(－4,0)∪(0,4) B ．(－4，－1)∪(1,4)C ．(－2，－1)∪(1,2)D ．(－4，－2)∪(2,4)[答案]B[解析]f (x )的定义域为{x |－2<x <2}，要使f (x 2)＋f (2x)有意义应满足⎩⎨⎧ x ≠0，－2<x 2<2，－2<2x <2，解得－4<x <－1或1<x <4，故B 正确． 3．(2013·某某高考)设a ，b ，c 为均不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )A ．log a b ·log c b ＝log c aB ．log a b ·log c a ＝log c bC ．log a (bc )＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c[答案]B[解析]本题考查对数的运算法则，运算性质．由换底公式得log a b ·log c a ＝lg b lg a ·lg a lg c ＝lg b lg c＝log c b ，B 正确．4．若点(a ，b )在y ＝lg x 图像上，a ≠1，则下列点也在此图像上的是( )A ．(1a，b ) B ．(10a,1－b ) C ．(10a，b ＋1) D ．(a 2,2b ) [答案]D[解析]该题考查对数的运算性质，将横坐标看成自变量，看函数值是不是纵坐标，假设是，则点在图像上，若不是，则点不在图像上．由题意知b ＝lg a ，对于A 选项，lg 1a＝－lg a ＝－b ≠b ，对B 选项lg(10a )＝1＋lg a ＝1＋b ≠1－b .对C 选项lg 10a＝1－lg a ＝1－b ≠b ＋1，对D ，lg a 2＝2lg a ＝2b ，故(a 2,2b )在图像上．5．已知f (x )＝log a (x ＋1)(a >0且a ≠1)若当x ∈(－1,0)时，f (x )<0，则f (x )是( )A ．增函数B ．减函数C ．常数函数D ．不单调的函数[答案]A[解析]由于x ∈(－1,0)，则x ＋1∈(0,1)，所以a >1，因而f (x )在(－1，＋∞)上是增函数．6．若函数f (x )＝log 2(x ＋1)且a >b >c >0，则f (a )a 、f (b )b 、f (c )c的大小关系是( ) A.f (a )a >f (b )b >f (c )c B.f (c )c >f (b )b >f (a )aC.f (b )b >f (a )a >f (c )cD.f (a )a >f (c )c >f (b )b[答案]B[解析]∵f (a )a 、f (b )b 、f (c )c可看作函数图像上的点与原点所确定的直线的斜率，结合函数f (x )＝log 2(x ＋1)的图像及a >b >c >0可知f (c )c >f (b )b >f (a )a.故选B. 二、填空题7．(2013·某某高考)lg 5＋lg 20的值是________．[答案]1[解析]本题考查对数的运算． lg 5＋lg 20＝lg5 12 ＋lg20 12 ＝12lg5＋12lg20 ＝12(lg5＋lg20)＝12lg100＝1. 8．(文)方程log 2(x 2＋x )＝log 2(2x ＋2)的解是________．[答案]x ＝2[解析]原方程⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x >0，2x ＋2>0，x 2＋x ＝2x ＋2，解得x ＝2.(理)方程log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)的解为________．[答案] 5[解析]log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)⇔log 2(x －1)＝log 24x ＋1，即x －1＝4x ＋1，解得x ＝±5(负值舍去)，所以x ＝ 5.9．函数y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是________．[答案](－∞，0)[解析](等价转化法)令u ＝x 2－2x ，则y ＝log 3u .∵y ＝log 3u 是增函数，u ＝x 2－2x >0的单调减区间是(－∞，0)，∴y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是(－∞，0)．三、解答题10．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1.(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性，并予以证明；(3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的取值X 围．[解析](1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1. 故所求定义域为{x |－1<x <1}．(2)f (x )为奇函数．证明如下：由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )．故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}上是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x >1.解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的取值X 围是{x |0<x <1}.能力强化训练一、选择题1．(2013·某某高考)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg2)＋f (lg 12)＝() A ．－1 B ．0C ．1D ．2[答案]D[解析]本题主要考查函数的性质与换底公式．∵f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1 ＝－ln(1＋9x 2＋3x )＋1，f (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )＋1，∴f (x )＋f (－x )＝2，又lg 12＝－lg2，∴f (lg2)＋f (lg 12)＝2，故选D. 2．(文)函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14B.12C ．2D ．4[答案]B[解析]∵y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)具有相同的单调性．∴f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上单调，∴f (0)＋f (1)＝a ，即a 0＋log a 1＋a 1＋log a 2＝a ，化简得1＋log a 2＝0，解得a ＝12. (理)已知x ＝lnπ，y ＝log 52，z ＝e － 12 ，则( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x[答案]D[解析]本小题主要考查了对数、指数的性质的运用．∵y ＝log 52＝1log 25，z ＝e － 12 ＝1e且e<2<log 25 ∴y <z <1，又lnπ>1，∴y <z <x ，故选D.二、填空题3．(改编题)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，3x ，x <0，则满足f (a )<13的a 的取值X 围是________． [答案](－∞，－1)∪(0，33)[解析]⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，log 3a <13，或⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，3a <13，解得0<a <33或a <－1.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x ≤0log 2x ，x >0，则使函数f (x )的图像位于直线y ＝1上方的x 的取值X 围是________．[答案]{x |－1<x ≤0或x >2}[解析]当x ≤0时，由3x ＋1>1，得x ＋1>0，即x >－1.∴－1<x ≤0.当x >0时，由log 2x >1，得x >2.∴x 的取值X 围是{x |－1<x ≤0或x >2}．三、解答题5．已知函数f (x )＝log a (2－ax )，是否存在实数a ，使函数f (x )在[0,1]上是x 的减少的，若存在，求a 的取值X 围．[分析] 参数a 既出现在底数上，又出现在真数上，应全面审视对a 的取值X 围的制约．[解析]∵a >0，且a ≠1，∴u ＝2－ax 是x 的减函数．又f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]是减少的，∴函数y ＝log a u 是u 的增函数，且对x ∈[0,1]时，u ＝2－ax 恒为正数．其充要条件是⎩⎨⎧a >12－a >0即1<a <2. ∴a 的取值X 围是(1,2)．6．(文)已知定义域为R 的函数f (x )为奇函数，且满足f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1.(1)求f (x )在[－1,0)上的解析式；(2)求f (log 1224)的值．[解析](1)令x ∈[－1,0)，则－x ∈(0,1]，∴f(－x)＝2－x－1.又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝f(－x)＝2－x－1，∴f(x)＝－⎝⎛⎭⎫12x＋1.(2)∵log1224＝－log224∈(－5，－4)，∴log1224＋4∈(－1,0)，∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(log1224)＝f(log1224＋4)＝－⎝⎛⎭⎫12log1224＋4＋1＝－24×116＋1＝－12.(理)若f(x)＝x2－x＋b，且f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a≠1)．(1)求f(log2x)的最小值及对应的x值；(2)x取何值时，f(log2x)>f(1)，且log2f(x)<f(1)．[解析](1)∵f(x)＝x2－x＋b，∴f(log2a)＝(log2a)2－log2a＋b，由已知(log2a)2－log2a＋b＝b，∴log2a(log2a－1)＝0.∵a≠1，∴log2a＝1，∴a＝2.又log2f(a)＝2，∴f(a)＝4.∴a2－a＋b＝4，∴b＝4－a2＋a＝2.故f(x)＝x2－x＋2.从而f(log2x)＝(log2x)2－log2x＋2＝(log2x－12)2＋74.∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74. (2)由题意⎩⎪⎨⎪⎧ (log 2x )2－log 2x ＋2>2，log 2(x 2－x ＋2)<2 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x >2或0<x <1，－1<x <2⇒0<x <1. ∴x 的取值X 围为(0,1)．。

2015高考数学一轮配套课件：2-6 第6课时对数与对数函数

基础知识整合
典例重点突破
试题深度研析
课时专项训练第二十六页，编辑于星期五：十四点一分。
高考总复习数学
【互动探究】 (1)若本例(1)变为：若不等式(x－1)2＜logax在 x∈(1,2)内恒成立，实数a的取值范围为________．
(2)(2013·课标全国Ⅱ)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则
基础知识整合
典例重点突破
试题深度研析
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高考总复习数学
图象
a＞1
0＜a＜1
基础知识整合
典例重点突破
试题深度研析
课时专项训练第八页，编辑于星期五：十四点一分。
高考总复习数学
①定义域： (0，＋∞) ，值域 R
②图象都过定点 (1,0)
性
质
③当x＞1时，y＞0
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典例重点突破
试题深度研析
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高考总复习数学
1．对数的概念及运算法则 (1)如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，
记作 x ＝ logaN ，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做对数的真数．
高考总复习数学
【解】 (1)原式＝1－2log63＋log6l3og26＋4 log663·log66×3 ＝1－2log63＋log63l2o＋g641－log631＋log63 ＝1－2log63＋lologg63642＋1－log632 ＝212－lolgo6g263＝log6l6o－g6l2og63＝lloogg6622＝1.
③当x＞1时， y＜0，

2015届高考数学一轮总复习 2-5对数与对数函数

2015届高考数学一轮总复习 2-5对数与对数函数基础巩固强化一、选择题1．(2013·湖南省五市十校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x >32x －3＋1，x ≤3满足f (a )＝3，则f (a －5)的值为( )A ．log 23 B.1716 C.32 D ．1[答案] C[解析] ∵f (a )＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3，2a －3＋1＝3， ①或⎩⎪⎨⎪⎧a >3，log 2(a ＋1)＝3. ② ①无解，由②得，a ＝7，所以f (a －5)＝22－3＋1＝32，选C.2．(文)已知0<a <1，log a m <log a n <0，则( ) A ．1<n <m B ．1<m <n C ．m <n <1 D ．n <m <1[答案] A[解析] 由0<a <1得函数y ＝log a x 为减函数．又由log a m <log a n <0＝log a 1，得m >n >1，故应选A. (理)(2013·山东威海期末)下列四个数中最大的是( ) A ．(ln2)2 B ．ln(ln2) C ．ln 2 D ．ln2[答案] D[解析] 由0<ln2<1，得ln(ln2)<0，因此ln(ln2)是最小的一个；由于y ＝ln x 为增函数，因此ln 2<ln2；那么最大的只能是A 或D ；因为0<ln2<1，故(ln2)2<ln2.3．(文)(2013·宣城二模)若a ＝ln 264，b ＝ln2·ln3，c ＝ln 2π4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．c >b >aD ．b >a >c[答案] A[解析] ∵ln6>lnπ>1，∴a >c ，排除B ，C ；b ＝ln2·ln3<(ln2＋ln32)2＝ln 264＝a ，排除D ，故选A.(理)若x ∈(110，1)，a ＝lg x ，b ＝lg 2x ，c ＝12lg x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <c <a[答案] B[解析] ∵110<x <1，∴－1<lg x <0，∴0<lg 2x <1，∵a －c ＝lg x －12lg x ＝12lg x <0，∴a <c ，故a <c <b ，故选B.4．(文)(2013·开封一模)已知f (x )是奇函数，且f (2－x )＝f (x )，当x ∈(2,3)时，f (x )＝log 2(x －1)，则当x ∈(1,2)时，f (x )＝( )A ．－log 2(4－x )B ．log 2(4－x )C ．－log 2(3－x )D ．log 2(3－x ) [答案] C[解析] 依题意得f (x ＋2)＝f (－x )＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．当x ∈(1,2)时，x －4∈(－3，－2)，4－x ∈(2,3)，故f (x )＝f (x －4)＝－f (4－x )＝－log 2(4－x －1)＝－log 2(3－x )，选C.(理)(2013·乌鲁木齐第一次诊断)函数f (x )＝log 2(1＋x )，g (x )＝log 2(1－x )，则f (x )－g (x )( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．既不是奇函数又不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 [答案] A[解析] f (x )－g (x )的定义域为(－1,1)，记F (x )＝f (x )－g (x )＝log 21＋x 1－x ，则F (－x )＝log 21－x1＋x＝log 2(1＋x 1－x )－1＝－log 21＋x1－x＝－F (x )，故f (x )－g (x )是奇函数．5．(文)函数f (x )＝|log 12x |的图象是( )[答案] A[解析] f (x )＝|log 12x |＝|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x ≥1)，－log 2x (0<x <1).故选A. [点评] 可用筛选取求解，f (x )的定义域为{x |x >0}，排除B 、D ，f (x )≥0，排除C ，故选A. (理)(2012·河南豫东、豫北十所名校段测)函数y ＝ln|1x |与y ＝－x 2＋1在同一平面直角坐标系内的大致图象为( )[答案] C[解析] y ＝ln|1x |为偶函数，当x >0时，y ＝ln 1x ＝－ln x 为减函数，故排除A 、B ；y ＝－x 2＋1≤0，其图象在x 轴下方，排除D ，故选C.6．(文)(2012·湖南文，7)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >cb ； ②ac log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③[答案] D[解析] 本题考查不等式性质，比较大小．c a －c b ＝c (b －a )ab ，∵a >b >1，c <0，∴c (b －a )ab >0，c a >cb ，①正确；a >b >1，ac b －c >1，∴log b (a －c )>log b (b －c )>log a (b －c )，③正确． [点评] 比较大小的方法有作差法、单调性法等．(理)(2013·北京东城区检测)给出下列命题：①在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x －1，y ＝x 12 ，y ＝(x －1)2，y ＝x 3中有3个是增函数；②若log m 3<log n 3<0，则0<n <m <1；③若函数f (x )是奇函数，则f (x－1)的图象关于点A (1,0)对称；④已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －2，x ≤2log 3(x －1)，x >2，则方程f (x )＝12有2个实数根，其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] C[解析] 命题①中，在(0，＋∞)上只有y ＝x 12，y ＝x 3为增函数，故①不正确；②中第1个不等式等价于log 31>log 3m >log 3n ，故0<n <m <1，②正确；③中函数y ＝f (x －1)的图象是把y ＝f (x )的图象向右平移1个单位得到的，由于函数y ＝f (x )的图象关于坐标原点对称，故函数y ＝f (x －1)的图象关于点A (1,0)对称，③正确；④中当3x －2＝12时，x ＝2＋log 312<2，当log 3(x －1)＝12时，x ＝1＋3>2，故方程f (x )＝12有2个实数根，④正确．故选C.二、填空题 7．(文)函数y ＝log 23－x 2的定义域为________． [答案] {x |1≤x <2或－2<x ≤－1}[解析] 要使函数有意义，应满足log 23 (2－x 2)≥0，∵y ＝log 23 x 为减函数，∴0<2－x 2≤1，∴1≤x 2<2，∴1≤x <2或－2<x ≤－1.(理)函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1的定义域是________．[答案] (－∞，0)∪(1，＋∞)[解析] 要使f (x )有意义，应有1＋1x －1>0，∴xx －1>0，∴x <0或x >1. 8．(文)(2013·河南鹤壁一模)若正整数m 满足10m －1<2512<10m ，则m ＝________.(lg2≈0.3010) [答案] 155[解析] 不等式10m－1<2512<10m 两边同时取以10为底的对数，则⎩⎪⎨⎪⎧m －1<512lg2，m >512lg2，∴154.112<m <155.112，∴m ＝155.(理)(2013·天津塘沽一模)若f (x )＝ax －12，且f (lg a )＝10，则a ＝________.[答案] 10或1010[解析]9．方程log 3(x 2－10)＝1＋log 3x 的解是________． [答案] x ＝5[解析] 原方程化为log 3(x 2－10)＝log 3(3x )，由于log 3x 在(0，＋∞)上严格单增，则x 2－10＝3x ，解之得x 1＝5，x 2＝－2.∵要使log 3x 有意义，应有x >0，∴x ＝5.三、解答题10．(文)(2013·广西桂林一模)已知函数f (x )＝log a (a x －1)(a >0且a ≠1)． (1)证明函数f (x )的图象在y 轴的一侧；(2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)(x 1<x 2)是f (x )图象上两点，证明直线AB 的斜率大于0. [证明] (1)由a x －1>0，得a x >1.当a >1时，解得x >0，此时f (x )的图象在y 轴右侧；当0<a <1时，解得x <0，此时f (x )的图象在y 轴左侧． ∴对a >0且a ≠1的任意实数a ，f (x )的图象总在y 轴一侧．(理)(2013·北京朝阳期末)已知f (x )＝log 3x 2＋ax ＋b x ，x ∈(0，＋∞)，是否存在实数a ，b ，使f (x )同时满足下列条件：①在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数；②f (x )的最小值是1.若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．[解析] 假设存在实数a ，b 使命题成立，∵f (x )在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，∴x ＝1时，f (x )取得最小值1， ∴log 31＋a ＋b 1＝1，∴a ＋b ＝2.∵f (x )在(0,1)上是减函数，设0<x 1<x 2<1， ∴f (x 1)>f (x 2)恒成立，即x 21＋ax 1＋b x 1>x 22＋ax 2＋b x 2恒成立，整理得(x 1－x 2)(x 1x 2－b )x 1x 2>0恒成立．∵0<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>0， ∴x 1x 2－b <0恒成立，即x 1x 20，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x的零点个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 [答案] C[解析] 由题意得f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－ln 2x ， x >1，－ln 2x ， x ＝1，－1－ln 2x ， 0<x <1，则令1－ln 2x ＝0⇒x ＝e 或x ＝1e(舍去)；令－ln 2x ＝0⇒x ＝1；当－1－ln 2x ＝0时，方程无解，所以f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x 有两个零点，故选C.(理)已知函数f (x )＝(15)x －log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值( )A ．不小于0B ．恒为正数C ．恒为负数D ．不大于0[答案] B[解析] 若实数x 0是方程f (x )＝0的解，即x 0是函数y ＝(15)x 和y ＝log 3x 的图象的交点的横坐标，因为0<x 1<x 0，画图易知(15)x 1>log 3x 1，所以f (x 1)恒为正数．12．定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2014x ＋log 2014x ，则方程f (x )＝0的实根的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．5 [答案] C[解析] 当x >0时，f (x )＝0即2014x ＝－log 2014x ，在同一坐标系下分别画出函数f 1(x )＝2014x ，f 2(x )＝－log 2014x 的图象(图略)，可知两个图象只有一个交点，即方程f (x )＝0只有一个实根，又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以当x <0时，方程f (x )＝0也有一个实根，又因为f (0)＝0，所以方程f (x )＝0的实根的个数为3.13．(2013·湖南张家界一模)若log m n ＝－1，则m ＋3n 的最小值是( ) A ．2 2 B ．2 3 C ．2 D.52[答案] B[解析] 由log m n ＝－1，得m －1＝n ，则mn ＝1.由于m >0，n >0，∴m ＋3n ≥23mn ＝2 3.故选B. 二、填空题14．(文)(2013·安徽师大附中、安庆一中联考)已知函数f (x )的定义域为A ，若其值域也为A ，则称区间A 为f (x )的保值区间．若g (x )＝x ＋m ＋ln x 的保值区间是[e ，＋∞)，则m 的值为________．[答案] －1[解析] 由题意得，g (x )的值域为[e ，＋∞)，由x ≥e 时，g ′(x )＝1＋1x >0，所以当x ≥e 时，g (x )为增函数，由题意可得g (e)＝e ＋m ＋1＝e ，解得m ＝－1.(理)对任意实数a 、b ，定义运算“*”如下：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，(a ≤b )，b ，(a >b ).则函数f (x )＝log 12(3x －2)*log 2x的值域为________．[答案] (－∞，0][解析] 易知函数f (x )的定义域为(23，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y ＝log 12 (3x －2)和y ＝log 2x 的图象，由a *b 的定义可知，f (x )的图象为图中实线部分，∴由图象可得f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，(23<x ≤1)，log 12(3x －2)，(x >1).的值域为(－∞，0]．15．(文)(2013·四川)lg 5＋lg 20的值是________．[答案] 1[解析] lg 5＋lg 20＝lg 100＝lg10＝1.(理)(2013·北京)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12 x ，x ≥12x ， x <1的值域为________．[答案] (－∞，2)[解析] 当x ≥1时，log 12 x ≤log 12 1，即log 12 x ≤0；当x <1时，0<2x <21，即0<2x <2.故f (x )的值域为(－∞，2)．三、解答题16．(文)已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．[解析] (1)由题意，3－ax >0对一切x ∈[0,2]恒成立，∵a >0且a ≠1，∴g (x )＝3－ax 在[0,2]上是减函数，从而g (2)＝3－2a >0得a <32.∴a 的取值范围为(0,1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)假设存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 由题设f (1)＝1，即log a (3－a )＝1，∴a ＝32，此时f (x )＝log 32 ⎝⎛⎭⎫3－32x ，当x ＝2时，函数f (x )没有意义，故这样的实数a 不存在． (理)已知函数f (x )＝log 12 2－axx －1(a 是常数且a <2)．(1)求f (x )的定义域；(2)若f (x )在区间(2,4)上是增函数，求a 的取值范围． [解析] (1)∵2－axx －1>0，∴(ax －2)(x －1)<0，①当a <0时，函数的定义域为⎝⎛⎭⎫－∞，2a ∪(1，＋∞)； ②当a ＝0时，函数的定义域为(1，＋∞)； ③当0<a <2时，函数的定义域为⎝⎛⎭⎫1，2a .(2)∵f (x )在(2,4)上是增函数，∴只要使2－axx －1在(2,4)上是减函数且恒为正即可．令g (x )＝2－axx －1，即当x ∈(2,4)时g ′(x )≤0恒成立且g (4)≥0. 解法一：g ′(x )＝－a (x －1)－(2－ax )(x －1)2＝a －2(x －1)2，∴当a －2<0，即a <2时，g ′(x )≤0.g (4)≥0，即1－2a ≥0，∴a ≤12，∴a ∈⎝⎛⎦⎤－∞，12. 解法二：∵g (x )＝2－ax x －1＝－a ＋2－ax －1，∴要使g (x )＝－a ＋2－ax ＋1在(2,4)上是减函数，只需2－a >0，∴a <2，以下步骤同解法一．考纲要求1．理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点． 3．知道对数函数是一类重要的函数模型．4．了解指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a >0，且a ≠1)．补充说明1．掌握对数函数图象过定点(1,0)且过(a,1)；熟悉对数的性质、运算法则和换底公式；会用对数函数单调性比较对数式的大小和解对数不等式；熟练进行指对互化；清楚对数函数图象的分布规律．2．恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来． 3．忽视对数函数的定义域是解题过程中常犯的错误，要引起足够重视． [例] 函数f (x )＝log a (ax －3)在[1,3]上单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(0，13)D ．(3，＋∞)[错解] 由于a >0，且a ≠1，∴y ＝ax －3是增函数，若函数f (x )为增函数，则y ＝log a x 必为增函数，所以a >1，故选A. [错因分析] 本题解答出错的根源就在于忽视了“函数在[1,3]上单调递增”这一条件，即要求函数f (x )在[1,3]上需有意义，也就是需使y ＝ax －3在[1,3]上恒大于零．[正确解答] 由于a >0，且a ≠1，∴y ＝ax －3为增函数，∴若函数f (x )为增函数，则y ＝log a x 必为增函数，因此a >1.又y ＝ax －3在[1,3]上恒为正， ∴a －3>0，即a >3，故选D.4．(1)同底数的对数比较大小用单调性．(2)同真数的对数比较大小用图象或换底或转化为指数式． (3)作差或作商法(4)利用中间量0、1比较．5．对数函数图象在第一象限内底数越小，图象越靠近y 轴(逆时针底数依次变小)，在直线x ＝1右侧，底大图低(区分x 轴上方与下方)．6．在对数运算中，常常先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指对互化的运用．备选习题1．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 [答案] C[解析] ∵函数y ＝log a (x ＋3)－1的图象恒过点(－2，－1)，∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，于是1m ＋2n ＝(1m ＋2n )(2m ＋n )＝2＋2＋n m ＋4m n ≥8.等号在n ＝12，m ＝14时成立．2．(2013·湖南)函数f (x )＝ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋4的图象的交点个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 [答案] C[解析] 画出两函数的大致图象，可得两图象的交点个数为2. 3．已知函数f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上恒有|f (x )|>1，则( ) A ．0<a <12或1<a <2B ．0<a <12或a >2C.12<a <1或1<a <2 D.12<a <1或a >2 [答案] C[解析] ①若a >1，则f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上是增函数，且当x ≥2时，f (x )>0. 由|f (x )|>1得f (x )>1，即log a x >1. ∵当x ∈[2，＋∞)时，log a x >1恒成立， ∴log a 2>1，∴log a 2>log a a ，∴1<a <2.②若0<a <1，则f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上是减函数．11 同理可得12<a <1. [点评] 用数形结合法解更简便些．4．(2013·江西省七校联考)设a ＝0.64.2，b ＝70.6，c ＝log 0.67，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c 70＝1，log 0.67<log 0.61＝0，因此c <a <b ，选B.5．设f (x )＝lg(21－x＋a )是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数是( ) A ．(－∞，＋∞)上的减函数B ．(－∞，＋∞)上的增函数C ．(－1,1)上的减函数D ．(－1,1)上的增函数[答案] D[解析] 由题意可知，f (0)＝0，即lg(2＋a )＝0，解得a ＝－1，故f (x )＝lg 1＋x 1－x，函数f (x )的定义域是(－1,1)，在此定义域内f (x )＝lg 1＋x 1－x ＝lg(1＋x )－lg(1－x )，函数y 1＝lg(1＋x )是增函数，函数y 2＝lg(1－x )是减函数，故f (x )＝y 1－y 2是增函数．选D.。

2015高考数学一轮配套课件：2-6对数与对数函数

•规律方法在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．
诊断·基础知识
突破·高频第考十七点页，编辑于星培期养五：·十解四题点一能分力。
【训练3】 (1)(2014·郑州模拟)若x∈(e－1,1)，a＝ln x，b＝12ln x， c＝eln x，则a，b，c的大小关系为________．
(×)
②logab·logca＝logcb.
(√)
③loga(bc)＝logab·logac.
(×)
④loga(b＋c)＝logab＋logac.
(×)
(2)(2013·中山调研改编)若log4[log3(log2x)]＝0，则x
＝
2 4.
(√)
诊断·基础知识
突破·高频第考五页点，编辑于星期培五养：十·四解点题一分能。力
2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质几个恒等式(M，N，a，b 都是正数，且 a，b≠1) ①alogaN＝ N ；②logaaN＝ N ；③logbN＝llooggaaNb ；④logambn＝ mn logab；⑤logab＝log1ba，推广 logab·logbc·logcd＝ logad . (2)对数的运算法则(a>0，且 a≠1，M>0，N>0) ①loga(M·N)＝ logaM＋logaN ；②logaMN ＝ logaM－logaN ；③ 1 logaMn＝ nlogaM (n∈R)；④logan M＝ nlogaM .
• 【训练 1】 (1)(2012·安徽卷改编 )(log29)·＝ ________.

2015年高考数学一轮总复习配套课件：2.6对数与对数函数

探究突破
19
方法提炼
1.利用复合函数(只限由两个函数复合而成的)判断函数单调性的方法:
(1)找出已知函数是由哪两个函数复合而成的;
(2)当外函数为对数函数时,找出内函数的定义域;
(3)分别求出两函数的单调区间;
(4)按照“同增异减”确定函数的单调区间.
提醒:研究函数的单调区间一定要在函数
的定义域上进行.
一类重要的函数模型.
4.了解指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)与对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)互为反
函数.
第二页，编辑于星期五：十一点十二分。
3
梳理自测
1.对数的概念与性质
对数
的
定义
对数
的
性质
如果 ab=N(a>0,且 a≠1) ,那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作
关闭
B
解析
考点一
考点二
考点三
误区警示
答案
第十六页，编辑于星期五：十一点十二分。
17
探究突破
考点二
对数函数的图象与性质
【例 2-1】若函数 f(x)=loga(x+b)的大致图象如图,其中 a,b 为常数,则
函数 g(x)=ax+b 的大致图象是(
)
关闭
本题主要考查指数函数、对数函数的图象及图象的平移变换.考查了数形
是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
想一想对数函数 y=logax 中为什么规定 a>0 且 a≠1 呢?
y
答案:根据对数式与指数式的关系知,Βιβλιοθήκη =logax 可化为 a =x,联想指
数函数中底数的范围,可知 a>0,且 a≠1.

【金榜方案】2015高考数学(理)一轮知能检测：第2章第6节对数与对数函数

第六节对数与对数函数[全盘巩固] 1．若f(x)＝1log 12＋，则f(x)的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，0B.⎝⎛⎦⎤－12，0 C.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞) 解析：选A 根据题意得log 12(2x ＋1)＞0，即0＜2x ＋1＜1，解得x ∈⎝⎛⎭⎫－12，0. 2．已知a ＝log23＋log23，b ＝log29－log23，c ＝log32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b<cB ．a ＝b>cC ．a<b<cD ．a>b>c解析：选B 因为a ＝log23＋log23＝log233＝32log23>1，b ＝log29－log23＝log233＝a ，c ＝log32<log33＝1，所以选B. 3．已知函数f(x)＝lg1－x1＋x，若f(a)＝b ，则f(－a)等于( ) A.1b B ．－1b C ．－b D ．b 解析：选C 易知f(x)的定义域为(－1,1)，则f(－x)＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x1＋x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．所以f(－a)＝－f(a)＝－b.4．函数y ＝log2(x2＋1)－log2x 的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：选C y ＝log2(x2＋1)－log2x ＝log2x2＋1x ＝log2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≥log22＝1(x>0)． 5．(2014·温州模拟)函数f(x)＝loga|x|＋1(0＜a ＜1)的图象大致为( )解析：选A 由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y 轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出x ＞0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y 轴对称画出x ＜0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A. 6．(2014·杭州模拟)设函数f(x)＝|logax|(0<a<1)的定义域为[m ，n](m<n)，值域为[0,1]．若n －m 的最小值为13，则实数a 的值为( )A.13或23B.23或34C.14或13D.14或34解析：选B 如图作出f(x)＝|logax|的图象，因为0<a<1时，A(a,1)，B ⎝⎛⎭⎫1a ，1，此时满足条件的(n －m)min ＝1－a ＝13或1a －1＝13，解得a ＝23或a ＝34，经验证均符合条件．7．(2014·衢州模拟)定义在R 上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f ⎝⎛⎭⎫13＝0，则不等式f(log 18x)＞0的解集是________．解析：定义在R 上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，由于f ⎝⎛⎭⎫13＝0，则f ⎝⎛⎭⎫－13＝0，由f(x)＞0可得x ＞13，或x ＜－13，不等式f(log 18x)＞0 等价于log 18x ＞13，或log 18x ＜－13，即log 18x ＞13log 1818，或log 18x ＜－13log 1818，所以0＜x ＜12，或x ＞2.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0＜x ＜12，或x ＞2 8．函数y ＝logax(a>0，且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a 的值为________．解析：(1)当a>1时，函数y ＝logax 在[2,4]上是增函数，所以loga4－loga2＝1，即loga 42＝1，所以a＝2.(2)当0<a<1时，函数y ＝logax 在[2,4]上是减函数，所以loga2－loga4＝1，即loga 24＝1，所以a ＝12.由(1)(2)知a ＝2或a ＝12.答案：2或129．已知实数a ，b 满足等式log2a ＝log3b ，给出下列五个关系式：①a ＞b ＞1；②b ＞a ＞1；③a ＜b ＜1；④b ＜a ＜1；⑤a ＝b.其中可能的关系式是________．解析：由已知得log2a ＝log3b ，在同一坐标系中作出y ＝log2x ，y ＝log3x 的图象，当纵坐标相等时，可以得到相应横坐标的大小关系，从而得出②④⑤可能．答案：②④⑤10．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a ＞0， a≠1)，且f(1)＝2.(1)求a 的值及f(x)的定义域； (2)求f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值．解：(1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a ＞0，a≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得x ∈(－1,3)，∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f(x)是增函数；当x ∈(1,3)时，f(x)是减函数，函数f(x)在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f(1)＝log24＝2. 11．(2014·宁波模拟)若函数f(x)＝alog2x8·log2(4x)在区间⎣⎡⎦⎤18，4上的最大值是25，求实数a 的值．解：f(x)＝alog2x 8·log2(4x)＝a[(log2x －3)(log2x ＋2)]＝a[(log2x)2－log2x －6]，令t ＝log2x ，则f(x)＝a(t2－t －6)，且t ∈[－3,2]．由于h(t)＝t2－t －6＝⎝⎛⎭⎫t －122－254，所以当t ＝12时，h(t)取最小值－254；当t ＝－3时，h(t)取最大值6.若a ＝0，显然不合题意；若a ＞0，则f(x)的最大值为6a ，即6a ＝25，所以a ＝256；若a ＜0，则f(x)的最大值为－254a ，即－254a ＝25，所以a ＝－4. 综上，实数a 的值为256或－4.12．已知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎡⎦⎤13，2都有|f(x)|≤1成立，求a 的取值范围．解：由已知f(x)＝logax ，当0<a<1时，⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎫13－|f(2)|＝loga 13＋loga2＝loga 23>0，当a>1时，⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫13－|f(2)|＝－loga 13－loga2＝－loga 23>0，故⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫13>|f(2)|总成立．则y ＝|f(x)|的图象如图．要使x ∈⎣⎡⎦⎤13，2时恒有|f(x)|≤1，只需⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫13≤1，即－1≤loga 13≤1，即logaa －1≤loga 13≤logaa ，当a>1时，得a －1≤13≤a ，即a≥3；当0<a<1时，得a －1≥13≥a ，得0<a≤13.综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎤0，13∪[3，＋∞)． [冲击名校]1．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x|，0<x≤10，－12x ＋6，x>10，若a ，b ，c 互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)解析：选C 作出f(x)的大致图象．不妨设a ＜b ＜c ，因为a 、b 、c 互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，由函数的图象可知10<c<12，且|lg a|＝|lg b|，因为a≠b ，所以lg a ＝－lg b ，可得ab ＝1，所以abc ＝c ∈(10,12)．2．函数f(x)的定义域为D ，若存在闭区间[a ，b]⊆D ，使得函数f(x)满足：(1)f(x)在[a ，b]内是单调函数；(2)f(x)在[a ，b]上的值域为[2a,2b]，则称区间[a ，b]为y ＝f(x)的“和谐区间”．下列结论错误的是( ) A ．函数f(x)＝x2(x≥0)存在“和谐区间” B ．函数f(x)＝x3(x ∈R)存在“和谐区间” C ．函数f(x)＝4xx2＋1(x≥0)存在“和谐区间”D ．函数f(x)＝loga ⎝⎛⎭⎫ax －18(a ＞0，a≠1)不存在“和谐区间” 解析：选D 对于A ，在函数的单调递增区间上问题等价于方程f(x)＝2x 至少有两个不相等的实数根，可得[0,2]为函数f(x)＝x2(x≥0)的“和谐区间”；同理对于B ，在x ∈R 上问题等价于方程f(x)＝2x 至少有两个不相等的实数根，通过画图像(图略)可知，f(x)＝x3(x ∈R)存在“和谐区间”；对于C ，易知函数f(x)＝4x x2＋1(x≥0)在[0,1]上单调递增，且其值域是[0,2]，故函数f(x)＝4xx2＋1(x≥0)也存在“和谐区间”；对于D ，易知函数f(x)＝loga ⎝⎛⎭⎫ax －18(a ＞0，a≠1)在其定义域内单调递增，定义域是满足ax ＞18的自变量的取值范围，由方程f(x)＝2x ，得a2x －ax ＋18＝0，解得ax ＝1－222或ax ＝1＋222.由于1－222－18＝3－228＞0，故ax 的两个根都在函数的定义域内，因此函数f(x)＝loga ⎝⎛⎭⎫ax －18(a ＞0，a≠1)也存在“和谐区间”．[高频滚动]1．函数f(x)＝ax －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0解析：选D 由函数f(x)的图象特征知，0＜a ＜1，又f(0)＝a －b ＜1＝a0，所以－b ＞0，即b ＜0. 2．已知函数f(x)＝|2x －1|，a<b<c ，且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( )A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0C．2－a<2c D．2a＋2c<2解析：选D作出函数f(x)＝|2x－1|的图象如右图中实线所示，∵a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，结合图象知a<0，0＜c＜1，∴0<2a<1,1＜2c＜2，∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a，f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又f(a)> f(c)，即1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2，故选D.。

2015届高考数学(理)一轮复习真题汇编模拟训练2-6《对数与对数函数》

1. [2013·重庆高考]函数y ＝1log 2x －的定义域是( ) A. (－∞，2)B. (2，＋∞)C. (2,3)∪(3，＋∞)D. (2,4)∪(4，＋∞) 解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ x －2>0log 2x －，∴x >2且x ≠3，选C 项．答案：C2. [2014·湛江模拟]已知函数y ＝log a (2－ax )在区间[0,1]上是关于x 的减函数，则a 的取值范围是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (0,2)D. (2，＋∞)解析：由题意可知，a >0，故内函数y ＝2－ax 必是减函数，又复合函数是减函数，所以a >1，同时在[0,1]上2－ax >0，故2－a >0，即a <2，综上可知，a ∈(1,2)．答案：B3. [2014·天津质检]已知，c ＝，则( )A. a >b >cB. b >a >cC. a >c >bD. c >a >b 解析：又∵log 23.4>log 3103>1,0<log 43.6<1，答案：C4. [2014·济南调研]下列区间中，函数f (x )＝|ln(2－x )|在其上为增函数的是( )A. (－∞，1]B. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，43 C. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32 D. [1,2) 解析：当2－x ≥1，即x ≤1时，f (x )＝|ln(2－x )|＝ln(2－x )，此时函数f (x )在(－∞，1]上单调递减．当0<2－x ≤1，即1≤x <2时，f (x )＝|ln(2－x )|＝－ln(2－x )，此时函数f (x )在[1,2)上单调递增．答案：D5. [2014·抚顺模拟]已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ；当x <4时，f (x )＝f (x＋1)，则f (2＋log 23)＝________.解析：由于1<log 23<2，则f (2＋log 23)＝f (2＋log 23＋答案：124。

2015届高考数学(文)一轮复习提能训练2-6《对数与对数函数》(人教A版)word版含详析

[A 组基础演练·能力提升]一、选择题 1．若x ∈(e－1,1)，a ＝ln x ，b ＝⎝⎛⎭⎫12ln x ，c ＝e ln x，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >b >c D ．b >a >c解析：依题意得a ＝ln x ∈(－1,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12ln x ∈(1,2)，c ＝x ∈(e －1,1)，因此b >c >a ，选B. 答案：B2．(2013年高考湖南卷)函数f (x )＝ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋4的图象的交点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：画出两函数的大致图象，可得两图象的交点个数为2. 答案： B3．函数y ＝log 2|x |的图象大致是( )解析：函数y ＝log 2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 2(－x )，x <0，所以函数图象为A. 答案：A4．(2014年宣城模拟)若a ＝ln 264，b ＝ln 2×ln 3，c ＝ln 2π4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．c >b >aD ．b >a >c解析：∵ln 6>ln π>1，∴a >c ，排除B ，C ；b ＝ln 2·ln 3<⎝⎛⎭⎫ln 2＋ln 322＝ln 264＝a ，排除D ，故选A.答案：A5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x x >0，log 12(－x )，x <0.若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0log 2a >－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0log 12(－a )>log 2(－a )，解得a >1或－1<a <0，因此答案：C6．当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎫22，1C ．(1，2)D ． (2，2)解析：利用指数函数和对数函数的性质求解．∵0<x ≤12，∴1<4x ≤2，∴log a x >4x >1，∴0<a <1，排除答案C ，D ；取a ＝12，x ＝12，则有412＝2，log 1212＝1，显然4x <log a x 不成立，排除答案A ；故选B.答案：B 二、填空题7．(2013年高考四川卷)lg 5＋lg 20的值是________．解析：原式＝12lg 5＋12(lg 4＋lg 5)＝12lg 5＋lg 2＋12lg 5＝lg 2＋lg 5＝1. 答案：18．(2013年高考北京卷)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥12x ，x <1的值域为________．解析：由x ≥1时，log 12x ≤0，x <1时，0<2x <2，∴f (x )的值域(－∞，2) 答案：(－∞，2)9．若不等式x 2－log a x <0在⎝⎛⎭⎫0，12内恒成立，则a 的取值范围是________．解析：∵不等式x 2－log a x <0在⎝⎛⎭⎫0，12内恒成立， ∴0<a <1，且14<log a 12.∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a 14>12，解得116<a <1.答案：⎝⎛⎭⎫116，1 三、解答题10．求值15⎝⎛⎭⎫lg 32＋log 416＋6lg 12＋15lg 15. 解析：原式＝15⎣⎡⎦⎤lg 32＋2＋lg ⎝⎛⎭⎫126＋lg 15 ＝15⎣⎡⎦⎤2＋lg ⎝⎛⎭⎫32·164·15 ＝15⎝⎛⎭⎫2＋lg 110 ＝15[2＋(－1)]＝15. 11．求函数f (x )＝log a (2x 2－5x ＋3)的单调区间．解析：设y ＝log a u ，u ＝2x 2－5x ＋3. 由2x 2－5x ＋3>0，解得x <1或x >32.且u ＝2x 2－5x ＋3在(－∞，1)上是减函数，在⎝⎛⎭⎫32，＋∞上是增函数．当a >1时，y ＝log a u 是增函数，则函数f (x )的单调减区间是(－∞，1)，单调增区间是⎝⎛⎭⎫32，＋∞. 当0<a <1时，y ＝log a u 是减函数，则函数f (x )的单调增区间是(－∞，1)，单调减区间是⎝⎛⎭⎫32，＋∞. 12．(能力提升)已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R )为偶函数． (1)求k 的值；(2)若方程f (x )＝log 4(a ·2x －a )有且只有一个根，求实数a 的取值范围．解析：(1)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即log 4(4－x ＋1)－kx ＝log 4(4x ＋1)＋kx ，即(2k ＋1)x ＝0，∴k ＝－12.(2)依题意令log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4(a ·2x －a )，即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋1＝(a ·2x －a )·2x a ·2x －a >0，令t ＝2x ，则(1－a )t 2＋at ＋1＝0，只需其有一正根即可满足题意． ①当a ＝1，t ＝－1时，不合题意．②上式有一正一负根t 1，t 2，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4(1－a )>0，t 1t 2＝11－a <0，经验证满足a ·2x －a >0，∴a >1.③上式有两根相等，即Δ＝0⇒a＝±22－2，此时t＝a2(a－1)，若a＝2(2－1)，则有t＝a2(a－1)<0，此时方程(1－a)t2＋at＋1＝0无正根，故a＝2(2－1)舍去；若a＝－2(2＋1)，则有t＝a2(a－1)>0，且a·2x－a＝a(t－1)＝a⎣⎡⎦⎤a2(a－1)－1＝a(2－a)2(a－1)>0，因此a＝－2(2＋1)．综上所述，a>1或a＝－2－2 2.。

安徽省2015届高考数学一轮复习 2.6对数与对数函数课后自测理

安徽省2015届高考数学一轮复习 2.6对数与对数函数课后自测理(见学生用书第241页)A 组基础训练一、选择题1．(2014·重庆模拟)设a ＝log 1312，b ＝log 1323，c ＝log 343，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a<b<cB ．c<b<aC ．b<a<cD ．b<c<a【解析】 c ＝log 343＝log 1334，根据y ＝log 13x 在(0，＋∞)上是减函数知，log 1334<log 1323<log 1312，即c<b<a ，故选B. 【答案】 B2．已知2a ＝5b＝10，则1a ＋1b ＝( )A.12B ．1 C. 2 D ．2【解析】由2a＝5b＝10得a ＝log 210，b ＝log 510，则1a ＋1b ＝1log 210＋1log 510＝log 102＋log 105＝log 1010＝2. 【答案】 D3．已知a>0，a≠1，函数y ＝a x与y ＝log a (－x)的图象可能是( )【解析】函数y ＝log a (－x)的图象与y ＝log a x 的图象关于y 轴对称，符合条件的只有B.【答案】 B4．(2014·金华十校模拟)已知函数f(x)＝lg 1－x 1＋x ，若f(a)＝12，则f(－a)＝( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12【解析】由1－x 1＋x >0得－1<x<1，又f(－x)＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x1＋x ＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，所以f(－a)＝－f(a)＝－12，故选D.【答案】 D5．(2011·安徽高考)若点(a ，b)在y ＝lg x 图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，b B ．(10a,1－b) C.⎝⎛⎭⎪⎫10a ，b ＋1D ．(a 2,2b)【解析】 ∵点(a ，b)在函数y ＝lg x 的图象上， ∴b ＝lg a ，则2b ＝2lg a ＝lg a 2，故点(a 2,2b)也在函数y ＝lg x 的图象上．【答案】 D 二、填空题6．(2013·合肥四校高三联考)函数y ＝1－＋的定义域为________．【解析】由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1－＋x ＋2>0，从而解得－2<x≤8.【答案】 (－2,8]7．函数y ＝log 12(x 2－6x ＋17)的值域是________．【解析】 x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，则y≤log 128＝－3，即函数的值域为(－∞，－3]．【答案】 (－∞，－3]8．函数y ＝log a x(a>0，且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a 的值为________．【解析】当a>1时，log a 4－log a 2＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2，当0<a<1时，log a 2－log a 4＝1，即log a 12＝1，所以a ＝12，综上知a ＝12或a ＝2.【答案】 12或2三、解答题9．已知函数f(x)＝log a (x ＋1)－log a (1－x)，a ＞0且a≠1. (1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明； (3)若a ＞1时，求使f(x)＞0的x 的解集．【解】 (1)f(x)＝log a (x ＋1)－log a (1－x)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1.故所求函数f(x)的定义域为{x|－1＜x ＜1}． (2)由(1)知f(x)的定义域为{x|－1＜x ＜1}，且f(－x)＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x)]＝－f(x)，故f(x)为奇函数．(3)因为当a ＞1时，f(x)在定义域{x|－1＜x ＜1}内是增函数，所以f(x)＞0⇔x ＋11－x ＞1，解得0＜x ＜1.所以使f(x)＞0的x 的解集是{x|0＜x ＜1}．10．设x ∈[2,8]时，函数f(x)＝12log a (ax)·log a (a 2x)(a ＞0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．【解】由题意知f(x)＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a x ＋322－18. 当f(x)取最小值－18时，log a x ＝－32.又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)． ∵f(x)是关于log a x 的二次函数，∴函数f(x)的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2－13，此时f(x)取得最小值时，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－13－32＝2∉[2,8]，舍去．若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12，此时f(x)取得最小值时，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32＝22∈[2,8]，符合题意，∴a ＝12.B 组能力提升1．(2014·芜湖模拟)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ， x ＞0，log 12－， x ＜0，若f(a)＞f(－a)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)【解析】 ①当a ＞0时，－a ＜0，由f(a)＞f(－a)得log 2a ＞log 12a ，∴2log 2a ＞0，∴a＞1.②当a ＜0时，－a ＞0，由f(a)＞f(－a)得，log 12 (－a)＞log 2(－a)，∴2log 2(－a)＜0，∴0＜－a ＜1，即－1＜a ＜0. 由①②可知－1＜a ＜0或a ＞1. 【答案】 C2．(2013·皖北协作区高三联考)已知函数f(x)＝ln(x ＋1)，对于满足0<x 1<x 2的任意x 1，x 2，给出下列结论：①2－1x 2－x 1>0；②x 2f(x 1)<x 1f(x 2)； ③f(x 2)－x 2<f(x 1)－x 1； ④1＋22>f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的编号)【解析】在直角坐标系中作出函数f(x)＝ln(x ＋1)的图象如图，根据图象可知函数f(x)＝ln(x ＋1)是增函数，所以2－1x 2－x 1>0，所以①正确；设A(x 1，f(x 1))，B(x 2，f(x 2))，根据图象可知k OA >k OB ，所以1x 1>2x 2，即x 2f(x 1)>x 1f(x 2)，所以②错误；根据图象，设线段AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，1＋22，则f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>1＋22，所以④错误；令g(x)＝ln(x ＋1)－x(x>0)，则g′(x)＝1x ＋1－1＝－xx ＋1<0，所以函数g(x)是减函数，所以g(x 1)>g(x 2)，即f(x 1)－x 1>f(x 2)－x 2，所以③正确．【答案】 ①③3．(2012·上海高考改编)已知函数f(x)＝lg(x ＋1)． (1)若0＜f(1－2x)－f(x)＜1，求x 的取值范围；(2)若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，有g(x)＝f(x)，求函数y ＝g(x)(x ∈[1,2])的解析式．【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧2－2x ＞0，x ＋1＞0，得－1＜x ＜1.由0＜lg(2－2x)－lg(x ＋1)＝lg 2－2x x ＋1＜1得1＜2－2xx ＋1＜10.因为x ＋1＞0，所以x ＋1＜2－2x ＜10x ＋10，解得－23＜x ＜13.由⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜1，－23＜x ＜13，得－23＜x ＜13.(2)当x ∈[1, 2]时，2－x ∈[0,1]，因此y ＝g(x)＝g(x －2)＝g(2－x)＝f(2－x) ＝lg(3－x)．。

对数与对数函数专项测试(有解析2015高考一轮数学)

对数与对数函数专项测试（有解析2015高考一轮数学）对数与对数函数专项测试（有解析2015高考一轮数学）A组基础演练1．(2013•陕西)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是()A．logab•logcb＝logcaB．logab•logca＝logcbC．loga(bc)＝logab•logacD．loga(b＋c)＝logab＋logac解析：logab•logca＝logab•1logac＝logablogac＝logcb，故选B.答案：B2．设函数f(x)＝log2x，x＞0，－，x＜0，若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)解析：f(a)＞f(－a)⇒a＞0log2a＞log12a或a＜－＞－⇒a＞0a＞1或a＜0－1＜a＜0答案：C3．(2013•浙江)已知x，y为正实数，则()A．2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgyB．2lg(x＋y)＝2lgx•2lgyC．2lgx•lgy＝2lgx＋2lgyD．2lg(xy)＝2lgx•2lgy解析：2lg(xy)＝2lgx＋lgy＝2lgx•2lgy，故选D.答案：D4．设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝lnx，则有()A．f13＜f(2)＜f12B．f12＜f(2)＜f13C．f12＜f13＜f(2)D．f(2)＜f12＜f13解析：由f(2－x)＝f(x)知f(x)的图象关于直线x＝2－x＋x2＝1对称，又当x≥1时，f(x)＝lnx，所以离对称轴x＝1距离大的x的函数值大，∵|2－1|＞|13－1|＞|12－1|，∴f12＜f13＜f(2)．答案：C5．(2012•江苏)函数f(x)＝1－2log6x的定义域为________．解析：要使函数f(x)＝1－2log6x有意义，则x＞0，1－2log6x≥0.解得0＜x≤6.答案：0，66．函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0且a≠1)的图象恒过点A(m，n)，则函数f(x)＝log(nx2－mx＋3)的增区间是________．解析：y＝loga(x＋3)－1(a＞0且a≠1)的图象恒过A(－2，－1)，则m＝－2，n＝－1，∴f(x)＝log(－x2＋2x＋3)，设t＝－x2＋2x＋3，则y＝logt，由t＞0得函数定义域为(－1,3)，而t＝－x2＋2x＋3在(－1,1)上递增，在(1,3)上递减，y＝log12t在其定义域上递减，∴f(x)的增区间是(1,3)．答案：(1,3)7．函数y＝logx2－logx＋5在区间2,4]上的最小值是________．解析：设t＝logx＝12logx，x∈2,4]时，t∈－1，－12]，∴y＝t2－t＋5在－1，－12]上递减，∴当t＝－12时，ymin＝234.答案：2348．计算下列各式的值：(1)－lg9＋＋lg8－；(2)(log32＋log92)•(log43＋log83)．解：(1)原式＝－2lg3＋1•32lg3＋3lg2－－＋2lg2－＝－3＋2lg2－－＋2lg2－＝－32.(2)原式＝lg2lg3＋lg2lg9•lg3lg4＋lg3lg8＝lg2lg3＋lg22lg3•lg32lg2＋lg33lg2＝3lg22lg3•5lg36lg2＝54.9．已知函数f(x)＝log12ax－2x－1(a为常数)．(1)若常数a＜2且a≠0，求f(x)的定义域；(2)若f(x)在区间(2,4)上是减函数，求a的取值范围．解：(1)由题意知ax－2x－1＞0，当0＜a＜2时，解得x＜1或x＞2a；当a＜0时，解得2a＜x＜1.故当0＜a＜2时，f(x)的定义域为x|x＜1或x＞2a；当a＜0时，f(x)的定义域为x|2a＜x＜1.(2)令u＝ax－2x－1，因为f(x)＝log12u为减函数，故要使f(x)在(2,4)上是减函数，只需u(x)＝ax－2x－1＝a＋a－2x－1在(2,4)上单调递增且为正．故由a－2＜0，＝2a－22－1≥0，得1≤a＜2.故a∈1,2)．B组能力突破1．(2014•东营模拟)若函数f(x)＝loga(x＋b)的大致图象如图，其中a，b 为常数，由函数g(x)＝ax＋b的大致图象是()解析：由已知知函数f(x)＝loga(x＋b)的图象可得0＜a＜1,0＜b＜1.则g(x)＝ax＋b的图象由y＝ax的图象沿y轴向上平移b个单位而得到，故选B.答案：B2．(2014•济南模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且是以2为周期的周期函数．若当x∈0,1)时，f(x)＝2x－1，则f(log6)的值为() A．－52B．－5C．－12D．－6解析：∵－3＜log6＜－2，∴－1＜log6＋2＜0，即－1＜log32＜0.∵f(x)是周期为2的奇函数，∴f(log126)＝flog32＝－f－log32＝－flog232＝－(2log232－1)＝－12.答案：C3．(2014•东北三校第一次联考)已知函数f(x)＝lnx1－x，若f(a)＋f(b)＝0，且0＜a＜b＜1，则ab的取值范围是________．解析：由题意可知lna1－a＋lnb1－b＝0，即lna1－a×b1－b＝0，从而a1－a×b1－b＝1，化简得a＋b＝1，故ab ＝a(1－a)＝－a2＋a＝－a－122＋14，又0＜a＜b＜1，∴0＜a＜12，故0＜－a－122＋14＜14.答案：0，144．(2014•沈阳模拟)已知函数f(x)＝loga(x＋1)(a＞1)，若函数y＝g(x)图象上任意一点P关于原点对称的点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象．(1)写出函数g(x)的解析式；(2)当x∈0,1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围．解：(1)设P(x，y)为g(x)图象上任意一点，则Q(－x，－y)是点P关于原点的对称点，∵Q(－x，－y)在f(x)的图象上，∴－y＝loga(－x＋1)，即y＝g(x)＝－loga(1－x)．(2)f(x)＋g(x)≥m，即logax＋11－x≥m.设F(x)＝loga1＋x1－x，x∈0,1)，由题意知，只要F(x)min≥m即可．∵F(x)在0,1)上是增函数，∴F(x)min＝F(0)＝0.故m≤0即为所求．。

高考数学一轮复习 2.6对数与对数函数练习理

第六节对数与对数函数1．函数f(x)＝1－log 12x 的定义域是( )A ．(0，2]B ．[2，＋∞)C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：由1－log 12x ≥0，得log 12x ≤1，解得x≥12，所以函数f(x)的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，故选D.答案：D2．函数f(x)＝2|log 2x|的图象大致是( )解析：f(x)＝2|log 2x|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x，0<x<1，故选C. 答案：C3．给定函数：①y＝x 12；②y＝log 12(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1.其中在区间(0，1)上单调递减的函数是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④答案：B4. 已知a ，b ∈R ，则“log 2a ＞log 2b ”是 “⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a>b>0⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ，但由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b⇒a>bD ⇒/log 2a>log 2b.故选A. 答案：A5．设函数f(x)＝lg(1－x)的定义域为A ，值域为B ，则A∩B ＝( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0，1)D ．(－∞，1)解析：由1－x ＞0得x ＜1，所以A ＝(－∞，1)，因为f(x)＝lg(1－x)的值域B ＝R ，所以A∩B＝(－∞，1)，故选D.答案：D 6．已知f(x)＝|log 2x|，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫38＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫38＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 238＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 232＝3－log 23＋log 23－1＝2. 答案：27．若点(a ，－1)在函数y ＝log 13x 的图象上，则tan 4πa 的值为________．解析：将x ＝a ，y ＝－1代入函数解析式得：－1＝log 13a ，解得：a ＝3，则tan 4πa ＝tan 4π3＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π 3＝tan π3＝ 3. 答案：38．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x ≤0，log 2x ，x ＞0，则使函数f(x)的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________．解析：当x≤0时， 3x ＋1＞1⇒x ＋1＞0，∴－1＜x≤0；当x ＞0时，log 2x ＞ 1⇒x ＞2，∴x ＞2.综上所述，x 的取值范围为{x|－1＜x≤0或x ＞2}．答案：{x|－1＜x≤0或x ＞2}9．函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M ，当x∈M 时，求f(x)＝2x ＋2－3×4x的最值．解析：由3－4x ＋x 2＞0，得x ＞3或x ＜1，∴M ＝{x|x ＞3或x ＜1}． f(x)＝－3×(2x )2＋2x ＋2＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －162＋2512. ∵x ＞3或x ＜1，∴2x ＞8或0＜2x＜2.∴当2x ＝16，即x ＝log 216时，f(x)最大，最大值为2512， f （x ）没有最小值． 10．(2013·北京东城区检测)已知函数f(x)＝log a (x ＋1)－log a (1－x)，a ＞0且a≠1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)若a ＞1时，求使f(x)＞0的x 的解集．解析：(1)f(x)＝log a (x ＋1)－log a (1－x)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1. 故所求函数f(x)的定义域为{x|－1＜x ＜1}．(2)由(1)知f(x)的定义域为{x|－1＜x ＜1}．且f(－x)＝log a (－ x ＋1)－log a (1＋x)＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x)]＝－f(x)，故f(x)为奇函数．(3)因为当a ＞1时，f(x)在定义域{x|－1＜x ＜1}内是增函数，所以f(x)＞0⇔x ＋11－x＞1.解得0＜x ＜1. 所以使f(x)＞0的x 的解集是{x|0＜x ＜1}．。

高考数学一轮复习 1-2-6对数与对数函数课时作业文

第6讲对数与对数函数基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是()A．logab·logcb＝logcaB．logab·logca＝logcbC．loga(bc)＝logab·logacD．loga(b＋c)＝logab＋logac解析logab·logca＝logab·1logac＝logablogac＝logcb，故选B.答案 B2．(2014·郑州一模)函数y＝lg|x－1|的图象是()解析当x＝1时，函数无意义，故排除B，D.又当x＝2或0时，y＝0，所以A项符合题意．答案 A3．(2014·安徽卷)设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则()A．b＜a＜c B．c＜a＜bC．c＜b＜a D．a＜c＜b解析由3＜7＜9得log33＜log37＜log39，∴1＜a＜2，由21.1＞21＝2得b＞2，由0.83.1＜0.80＝1得0＜c＜1，因此c＜a＜b，故选B.答案 B4．函数f(x)＝loga(ax－3)在[1,3]上单调递增，则a的取值范围是()A．(1，＋∞) B．(0,1)C ．(0，13) D ．(3，＋∞) 解析由于a ＞0，且a≠1，∴u ＝ax －3为增函数，∴若函数f(x)为增函数，则f(x)＝logau 必为增函数，因此a ＞1.又y ＝ax －3在[1,3]上恒为正，∴a －3＞0，即a ＞3，故选D. 答案 D5．(2014·温州高三质检)已知函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，则( )A ．f(3)＜f(－2)＜f(1)B ．f(1)＜f(－2)＜f(3)C ．f(－2)＜f(1)＜f(3)D ．f(3)＜f(1)＜f(－2)解析因为f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以a ＞1，f(1)＜f(2)＜f(3)．又函数f(x)＝loga|x|为偶函数，所以f(2)＝f(－2)，所以f(1)＜f(－2)＜f(3)．答案 B二、填空题6．(2014·陕西卷)已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________.解析 ∵4a ＝2，∴a ＝log42＝12， ∴lg x ＝12，∴x ＝10＝10. 答案 107．函数y ＝log (3x －a)的定义域是⎝⎛⎭⎫23，＋∞，则a ＝______. 解析要使函数有意义，则3x －a ＞0，即x ＞a 3， ∴a 3＝23，∴a ＝2. 答案 28．(2014·嘉兴高三一模)已知函数f(x)为奇函数，当x ＞0时，f(x)＝log2x ，则满足不等式f(x)＞0的x 的取值范围是________．解析由题意知y ＝f(x)的图象如图所示，则f(x)＞0的x 的取值范围为(－1,0)∪(1，＋∞)．答案 (－1,0)∪(1，＋∞)三、解答题9．已知函数f(x)＝lg 1－x 1＋x， (1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)判断函数f(x)的单调性．解 (1)要使f(x)有意义，需满足1－x 1＋x＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＞0，1＋x ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＜0，1＋x ＜0，解得－1＜x ＜1，故函数f(x)的定义域为(－1,1)． (2)由(1)知f(x)的定义域为(－1,1)，关于坐标原点对称，又f(－x)＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x 1＋x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(3)由(1)知f(x)的定义域为(－1,1)．设－1＜x1＜x2＜1，则f(x1)－f(x2)＝lg 1－x11＋x1－lg 1－x21＋x2＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x11＋x1·1＋x21－x2＝lg 1－x1x2＋x2－x11－x1x2－－. ∵－1＜x1＜x2＜1，∴1－x1x2＋x2－x1＞1－x1x2－(x2－x1)＝(1＋x1)(1－x2)＞0，∴1－x1x2＋x2－x11－x1x2－－＞1， ∴lg 1－x1x2＋x2－x11－x1x2－－＞0，即f(x1)－f(x2)＞0，∴f(x)在(－1,1)上是减函数．10．设x ∈[2,8]时，函数f(x)＝12loga(ax)·loga(a2x)(a>0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解由题意知f(x)＝12(logax ＋1)(logax ＋2) ＝12()log2a x ＋3logax ＋2＝12⎝⎛⎭⎫logax ＋322－18. 当f(x)取最小值－18时，logax ＝－32. 又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)．∵f(x)是关于logax 的二次函数，∴函数f(x)的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12⎝⎛⎭⎫loga2＋322－18＝1，则a ＝2，此时f(x)取得最小值时，x ＝＝2∉[2,8]，舍去．若12⎝⎛⎭⎫loga8＋322－18＝1，则a ＝12，此时f(x)取得最小值时，x ＝⎝⎛⎭⎫12＝22∈[2,8]，符合题意，∴a ＝12.能力提升题组(建议用时：35分钟)11．定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x －2)＝f(x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f(x)＝2x ＋15，则f(log220)＝ ( )A ．1 B.45 C ．－1 D ．－45解析由f(x －2)＝f(x ＋2)，得f(x)＝f(x ＋4)，因为4＜log220＜5，所以f(log220)＝f(log220－4)＝－f(4－log220)＝－f ⎝⎛⎭⎫log245＝－＝－1. 答案 C12．当0＜x≤12时，4x ＜logax ，则a 的取值范围是 ( )A.⎝⎛⎭⎫0，22B.⎝⎛⎭⎫22，1 C ．(1，2)D ．(2，2) 解析由题意得，当0＜a ＜1时，要使得4x ＜logax ⎝⎛⎭⎫0＜x≤12，即当0＜x≤12时，函数y ＝4x 的图象在函数y ＝logax 图象的下方．又当x ＝12时，4＝2，即函数y ＝4x 的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，把点⎝⎛⎭⎫12，2代入函数y ＝logax ，得a ＝22，若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝logax 图象的下方，则需22＜a ＜1(如图所示)．当a ＞1时，不符合题意，舍去．所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1. 答案 B13．(2015·绍兴高三模拟)已知函数f(x)＝ln x 1－x，若f(a)＋f(b)＝0，且0＜a ＜b ＜1，则ab 的取值范围是________．解析由题意可知ln a 1－a ＋ln b 1－b＝0，即ln ⎝⎛⎭⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a(1－a)＝－a2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14，又0＜a ＜b ＜1，∴0＜a ＜12，故0＜－⎝⎛⎭⎫a －122＋14＜14. 答案 ⎝⎛⎭⎫0，14 14．已知f(x)＝lg(ax －bx)(a>1>b>0)．(1)求f(x)的定义域；(2)是否存在实数a ，b ，当x ∈(1，＋∞)时，f(x)的值域为(0，＋∞)，且f(2)＝lg 2？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由ax －bx>0及a>1>b>0，得⎝⎛⎭⎫a b x>1，故x>0.∴f(x)的定义域为(0，＋∞)．(2)令g(x)＝ax －bx ，由a>1>b>0知，g(x)在(0，＋∞)上为增函数．当x ∈(1，＋∞)时，f(x)取到一切正数等价于x ∈(1，＋∞)时，g(x)>1.故g(1)＝1，得a －b ＝1.①又f(2)＝lg 2，故a2－b2＝2.②由①②解得a ＝32，b ＝12. 15．已知函数f(x)＝－x ＋log21－x 1＋x. (1)求f ⎝⎛⎭⎫12 014＋f ⎝⎛⎭⎫－12 014的值；(2)当x ∈(－a ，a]，其中a ∈(0,1)，a 是常数时，函数f(x)是否存在最小值？若存在，求出f(x)的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)由f(x)＋f(－x)＝log21－x 1＋x ＋log21＋x 1－x＝log21＝0.∴f ⎝⎛⎭⎫12 014＋f ⎝⎛⎭⎫－12 014＝0.(2)f(x)的定义域为(－1,1)，∵f(x)＝－x ＋log2(－1＋2x ＋1)，当x1<x2且x1，x2∈(－1,1)时，f(x)为减函数，∴当a ∈(0,1)，x ∈(－a ，a]时f(x)单调递减，∴当x ＝a 时，f(x)min ＝－a ＋log21－a 1＋a.。