组合数学复习总结

匹配、覆盖及交错路径的关系
（1）Ｍ是最大匹配⇔不存在M-交错路径； M-交错路径可以构造边数多于M的匹配。 （2）|M|≤|S|, M是匹配，S是覆盖； ρ(G)=c(G).
两个重要算法
M-交错路径搜索算法：判定并构造最大匹 配。 延迟认可算法：构造稳定完备婚姻配对。
例题选讲及解答要求
1、构造{1,2,…,8}的排列，使其逆序列是2, 5, 5, 0, 2, 1, 1, 0。（10分）
第2章 鸽巢原理及应用(续)
用于证明某种排列的存在性，不用于构造 排列和计数。 运用鸽巢原理通常需要将问题转化。
第3章 排列与组合
主要内容
两个基本计数原理：加法原理、乘法原理 集合排列和组合 多重集的排列（重点掌握 重点掌握） 多重集的排列 重点掌握 多重集的组合（重点掌握 重点掌握） 多重集的组合 重点掌握
n −1 k
第7章 递推关系和生成函数
主要内容（重点递推关系求解） 递推关系：
特殊问题递推关系 线性齐次递推关系求解：特征多项式方法 非齐次递推关系求解。
生成函数
生成函数
利用生成函数求解递推关系 特殊序列的生成函数 利用生成函数计数：如多重集组合和排列。
常系数线性齐次递推关系求解
常系数线性齐次递推关系： hn=a1hn-1+a2hn-2+…+akhn-k (ak≠0, n≥k) （1）方法1：求特征方程 xk−a1xk−1−a2xk−2−…−ak=0 的特征根；分互异根及重根两种情形。 （2）方法2：求生成函数形如p(x)/q(x)；生成函数的 展开式，通常化为代数分式和形式：c/(1−rx)t, 利 用牛顿二项式展开。
1! 2! 3! 1 ) n!
Dn满足如下递推关系: (1) Dn=(n−1)( Dn−2+Dn−1), (n=3,4,…) (2) Dn=nDn−1+(−1)n (n=2,3,…)
容斥原理应用于排列计数
禁位排列应用
绝对禁止位置排列 相对禁止位置排列
n − 1 Qn = n!+ ∑ (−1) k (n − k )! k =1
利用容斥原理归为求无限重数元素的多重集计 数问题。 数问题。 将计数问题转化为较为简单的集合的交（ 将计数问题转化为较为简单的集合的交（或者 并）； 应用容斥原理求出这些集合的交（或并）。 应用容斥原理求出这些集合的交（或并）。
容斥原理应用于排列计数
错位排列计数： 错位排列计数： 1 1 1 (1 − + − + K + ( − 1) n Dn=n!
解答
解法1：根据逆序列2, 5, 5, 0, 2, 1, 1, 0，执行逆序构 解法 造排列算法I得到： 8: 8 7: 87 6: 867 5: 8657 4: 48657 3: 486573 2: 4865723 1: 48165723 （缺构造过程--------------扣5分） 因此，对应该逆序的排列为48165723。
考试安排
命题范围：主要2－7，9章。 考试方式：闭卷 闭卷 题型组成
填空题 计算题 证明题
时间： 6月18日（星期五）上午10:00——12:00 月 日 星期五）上午 地点：
预祝大家取得好的成绩！ 预祝大家取得好的成绩！
lixx@buaa.edu.cn http://act.buaa.edu.cn ftp://course.act.buaa.edu.cn
一些重要例子
棋盘覆盖问题
第2章 鸽巢原理及应用
鸽巢原理简单形式及加强形式 鸽巢原理简单形式及加强形式
若将q1+q2+…+qn–n+1个物体被放进n个盒子内， 那么，或者第一个盒子至少含有个q1物体，或 者第二个盒子至少含有个q2物体，…，或者第n 个盒子至少含有个qn物体
Ramsey定理
至少掌握Ramsey定理的简单形式及应用。
6.1 容斥原理
集合S不具有性质P1,P2,…,Pm的物体的个数：
| A I A2 ILI Am | ＝|S|−Σ|Ai|+Σ|Ai∩ Aj|− 1
Σ|Ai∩ Aj ∩ Ak |+…+ (−1)m|A1∩A2∩…∩Am|
容斥原理在多重集组合计数应用
求多重集的r-组合数的一般方法 求多重集的 组合数的一般方法
非齐次线性递推关系求解
非齐次线性递推关系： hn=a1hn-1+a2hn-2+…+akhn-k+bn 方法： 方法：
(1) (2) (3)
求齐次关系的一般解 求非齐次关系的一个特解 将一般解和特解结合,通过初始条件确定一般解 中出现的常系数值。
第九章
知识要点：
二分图的问题模型：车-二分图、多米若二分图 等 二分图、匹配、覆盖及M-交错路径等概念 求最大匹配的M-交错路径搜索算法 互异代表系统，成婚条件 运用延迟认可算法解决稳定的完备婚姻问题。
容斥原理方法 生成函数方法
第4章：生成排列和组合
主要算法相关问题 排列生成算法
递归方法 邻位替换 逆序生成算法
第4章：生成排列和组合（续）
生成组合算法
－字典序 －组合压缩序 －反射Gray序
生成r-组合算法
字典序r-组合生成算法
第5章 二项式系数
PASCAL公式： n = n − 1 + n − 1 k k k − 1 牛顿二项式：
解答
解法2：根据逆序列2, 5, 5, 0, 2, 1, 1, 0，执行 解法 逆序构造排列算法II得到：
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2
4 4 4 4 4
8
6 6 6
5 5 5 5
7 7
3 3 3 3 3 3
（缺构造过程--------------扣5分） 因此，对应该逆序的排列为48165723。
α k α −k ( x + y) = ∑ x y k k =0
α
∞
∞ n + k − 1 n 1 = ∑ k n x (1 − x) n =0
第6章 容斥原理及应用
主要内容
容斥原理：集合交、并的计数 容斥原理的应用 （1）多重集组合计数 （2）特殊问题排列计数：错位排列、禁位排列 等
组合数学
复习总结
内容
1. 2.
课程知识结构 各章知识点
知识结构
计数技巧 什么是组合数学 鸽巢原理
排列与组合
二项式系数
生成排列和组合 二分图的匹配
排列存在性
容斥原理及应用
递推关系和生成函数
构造算法
各章要求和重点
第1章 什么是组合数学
组合数学的研究内容
组合数学是研究离散结构的存在、计数、分析 和优化等问题的学科。
个不同的元素，每个元素都有无限重复次数，那 么，S的r-排列个数为kr。
多重集的（全）排列计数：令S是多重集，它
有k个不同的元素，每个元素的重复数分别为n1， n2，…，nk，那么，S的排列数等于
n! n1!n2 !K nk !
3.5 多重集组合
无限重数多重集组合：令S是多重集，它有 k个不同的元素，每个元素都有无限重复次 数，那么，S的r-组合个数为
3.2 集合的排列
难点 循环排列:
把元素排成首尾相连的一个圈， 把元素排成首尾相连的一个圈，只考虑元素间的相 对顺序的排列。 对顺序的排列。 n个元素集合的循环r排列个数为：
Baidu Nhomakorabea
P (n, r ) n! = r r (n − r )!
特别地，n元素的循环排列个数=(n−1)!
3.4 多重集的排列
无限重元素的排列计数：令S是多重集，它有k
r + k - 1 r + k - 1 = r k -1
S的r-组合个数等于方程x1+x2+…+xk=r的非 负整数解的个数。
3.5 多重集组合（续）
多重集S={n1⋅a1, n2⋅a2, …, nk⋅ak}，n= n1+n2+…+nk ，求S的r-组合数，其中0≤r≤n。