偏微分方程与特征线

偏微分方程与特征线

1函数空间的矢量场

给定一个矢量场i x i v ∂=)(x v ，就在空间定义了曲线簇。比如，经过0x 点的积分曲线就可以描述为下列常微分方程的初值问题

)(x i i v x = ，n i ,...,1= 0)0(x x =

这些积分曲线就构成了曲线簇。如果形式地写出这个曲线来就是

x

vt x t v t v vt t x

t x t x x t x )exp(...)!

3!21(...!3!2)(33223

2=++++=++++= 此处x 是0时刻位置，v 是作用于x 的微分算符。

这些曲线，将空间点分成了类，也就是说每条曲线上的点属于一类。曲线集合的维数是n-1维。

矢量场的可积性

那么给定两个矢量场，就会产生两簇曲线，这两簇曲线能否组成面簇呢？我们先 看看从一点出发的曲线是否在一个曲面上的条件：从x 点出发的依此沿两簇直线运动的点若能回到来，就可以认为可以组成面。即

x x vd uc vb ua =)exp()exp()exp()(exp

如果a,b,c,d 都是1级以上的小量，这个表达式有二级以上的精度，就可以找到这样的a,b,c,d,使得方程精确满足。 按照各级展开，有 一级

0a 1111=+=+d b c

二级

v d b u c a vu uv b a )()()(222211+++=-

…

由此，得到条件

v u vu uv v u βα+=-=],[

这就是两个矢量能够构成2维子空间（曲面）的条件，著名的Frobenius 定理。 n 个矢量积分形成n 维积分只空间的条件是，任意两个矢量的对易可以写成这n 个矢量组合。 可以按照下图进行直观理解

给定m 个矢量场，他们线性组合能够形成新的矢量场。组成的矢量场空间一般称为分布。

},{是任意函数i i

i i a v a ∑=∆

这个分布中任意两个矢量场对易仍然在这个分布之内，这样满足Frobenius 定理的分布称为闭分布，

∆⊆∆∆],[

他们积分可以给出m 维积分子流形。

单参数李群

一个矢量场可以构造单参数李群，一个闭分布可以构造李群。

我们先看一下单参数李群的表现，它将1维参数空间（物理上经常是时间），映射为群空间。群元素可以形式地写为算符形式

)ex p(vt g t =

在表示空间中也可以写为函数变换

),(t x x g t ϕ=

这个函数变换是常微分方程的初值问题的解

x

x t x v t x t ==∂)0,()

,(),(ϕϕϕ

当然这个函数满足如下关系

))

),,((()),(()

()(t s x f s t x f x f g g x f g s t s t ϕϕϕ=+=+

比如平移群)ex p(x a a g ∂= 表示为 )()()ex p()(a x f x f a x f g x a +=∂=，

再如 转动群 ))(ex p(r r n ∂⨯⋅=θθg 表示为)()())(ex p()(r r r n r '=∂⨯⋅=f f r f g θθ 单参数李群定义了参数空间和实际空间上的变换关系和函数变换关系。

微分形式

一个函数描述为

),...,()(1n x x f x f u ==

可以看做 自变量空间到变量空间的映射

u x R R n →→:

在自变量和因变量联合空间中，可以看做一个超曲面。

如果给自变量微小改变dx x x +⇒，因变量也有相应的改变

dx f df x ,=

上面下标逗号表示求导。

如果想计算某个方向的导数，仅需要将相应dx 改成相应的矢量分量就可

i x i v f v df i ,=

这就是微分形式。微分形式不再依赖坐标。因此可以认为是客观量。 一般1微分形式可以描述为

i i dx x )(ωω=

不同坐标空间上的微分形式可以通过拉回映射表达出来

)(,:y x y N M n m →→ϕ

那么n

N 空间上的微分形式可以通过映射*ϕ拉回到m

M 空间上的微分形式

j i y i i i dy y x y x y dx y x j

)())(()())((*∂==='ωωωϕω

微分形式可以与矢量作用，

i i v v i ωω=

因此可以将微分1形式想象成线元积分场，给定空间某点上一个线元，就给一个值。 当然，给定一条曲线，就可以给一个积分值

一条曲线可以描述为一维空间1

T 向n 维空间n

N 上的映射

)(,:1t x t N T l n →→

⎰⎰=l

i

i t dx t x l )())((*ωω

微分形式的外积

两个微分形式θω,，相当与两个线元积分场。用这两个线元积分场可以构造一个面元积分场，要求面元大小和方向固定时，这个值是不变的。要求

θωδ

γβ

αθωδγβα∧=

∧++v u u v v u i i i i 因此，j i j i j i i j j i dx dx dx dx ∧=-=

∧θωθωθωθω)(2

1

外微分

观察微分形式ω沿无穷小闭合回路（围出来无穷小面元）的积分值，这可以定义为无穷小面元上的函数（2微分形式）

⎰⎰

⎰⎰⎰Ω

Ω

Ω

∂∧==j

i i j dx dx d ,ωωω j i i j dx dx d ∧=,ωω

k 形式

对微分形式进行外积或者外微分都可以变成2形式，3形式，。。。

对于m 微空间，可以证明，最高阶是m 形式。

微分形式的可积性

很明显，如果df =ω，那么有0=ωd

一个问题就是如果df ≠ω，那么能否有adf =ω，很明显ωθω∧=d 。也就是说，如果微分形式ω沿无穷小闭合回路（围出来无穷小面元）的面元积分场是由原来的面元积分场合成的，这个线元积分场就可以写成全微分乘以一个因子形式。

另一个问题是给定一些微分形式},...,1,{n =αθα

，能否判定任意一个微分形式的外微分可以表达为这些微分形式的组合形式？ 答案是：01=∧∧=β

βα

θθn

d

可以很容易证明这个表达式

将},...,1,{n =αθα

扩充后，形成余切空间*TM 的完备基 },...,1,,,...,1,{n m n -==μσαθμ

α