有限群表示理论读书报告

有限群表示理论读书报告

一、整体认识

Galois在研究高次方程的根式解的问题时，考虑了根的置换，这是群论的开始。19世纪末20世纪初，Frobenius和Burnside独自开创了由线性群（或等价的矩阵群）来描述群的理论，群论形成了一个完整的系统的理论体系。

Frobenius的工作由Schur改善和简化，由诱导表示得到的Frobenius互反律、特征标乘积分解等是群表示论的主要工具。Burnside定理是群表示论应用于有限群研究的最早的著名结果。20世纪20年代，Noether强调了“模”这一代数结构的重要性，把代数结构理论和群表示理论融合为一，从而形成了广泛的“表示理论”。

Brauer将群表示理论大大深化，引进了有限群的模表示理论，建立了模表示与常表示的关系，使群表示论在有限群结构理论中起着日益重要的作用。

本书我们学习的内容就是群的模表示理论。以下将分章梳理所学内容。

第一章主要学习了群表示的一些基本概念。

1.1节将线性变化与矩阵之间建立联系，主要概念及结论有：

1、Hom(U,V)——线性变换的推广；

2、dim Hom(U,V)=dimU·dimV——从基的像理解;

3、Hom(U,V)与F n×m同构——线性变化与矩阵的对应；

4、EndV= Hom(V,V)——U=V，仅考虑V的线性变换，可以进一步考虑U到V的映射是否为单射、满射；

5、V的一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的；

6、EndV是域F上的结合代数——是一个线性空间，定义乘法后，满足分配律、数乘运算与乘法结合律，是一个环；

7、若V 是域F 上n 维线性空间，则结合代数EndV 与F n ×n 同构——结合代数的同构就是保持乘法运算的线性空间的同构；

8、GL （V ）与GL （n, F ）同构——GL （V ）为除去EndV 中不可逆的线性变换；

群表示就是研究群到GL （V ）或GL （n, F ）中的同态映射。

1.2节给出了群表示定义及一些重要例子, 主要内容有：

1、G 的一个n 维F 表示：（ρ，V ），表示空间：V ，表示的级数：n ——任何有限群都有表示，确定表示空间后方可确定表示；

2、G 的平凡表示：ρ(g)=id V , G g ∈∀——平凡表示可是1,2，…n 维;

3、等价表示：（1ρ，V 1）～（2ρ，V 2）——基不同，同一线性变换的不同表示;

4、矩阵表示及等价定义——基不同，同一线性变换对应的矩阵不同；

5、S 3的一维平凡表示，符号表示，置换表示及到S n 的推广；

6、正则表示定义——左平移与置换表示的复合；

7、n 阶循环群，对称群S 3的正则表示；

8、表示的核定义——核是正规子群；

9、忠实表示定义——单射时，表示为忠实表示；

10、一维表示的性质：有限群的不同的一维表示不等价，一维表示与核的关系，G 的不同一维表示个数与G/G ′的一维表示个数相同；

1.3进一步介绍了群表示的一些重要概念，主要内容有：

1、不变子空间及子表示；

2、商表示；

3、可约表示及不可约表示；

4、完全可约表示；

5、常表示及模表示；

6、有限群的任何有限维常表示都是完全的；

7、有限群的任何表示均可分解为不可约子表示的直和；

8、缩减表示；

1.4学习了表示的张量积，结合线性空间引入了示的张量积；

1.5定义了群代数，以环或结合代数理论的观点研究群表示论，主要内容有:

1、群代数；

2、（L,FG ）等价于G 的左正则表示；

3、结合代数的左理想、右理想及理想；

4、极小左理想对应于不可约不变子空间；

5、FG 的中心；

6、共轭类；

7、G 的共轭类为FG 的中心Z （FG ）的基；

8、F 值函数及类函数；

9、群G 的F 值函数与群代数FG 的线性函数一一对应，群G 的F 值类函数与群代数FG 的中心Z （FG ）的线性函数一一对应；

第二章学习了群表示的特征标。

2.1给出了特征标的定义。例1指出了一维表示的特征标即为对应一阶矩阵的数值，例2给出了S 3对应的置换表示、缩减表示与正则表示的特征标，例3讨论了n 阶循环群的特征标；定理1给出了群特征标的基本性质：1）1对应的特征标与表示空间维数的关系2）群中互逆元特征标的关系3）群的F 值类函数；定理2指出了群的等价表示特征标相同。

2.2节Shur 引理，引理1有以下内容：1）表示与表示空间的关系2）由一个表示空间的不变子空间得到相关的另一个表示空间的不变子空间；引理2有以下结论：1）两个不等价的不可约表示对应的Hom(1ρ，2ρ)=﹛0﹜2）一个不可约表示对应的Hom(ρ，ρ)是一个体；

推论1有C 不可约表示对应的Hom(ρ，ρ)与复数域C 同构；例1以4阶循环群为例说明了Hom(ρ，ρ)与C 同构；例2以实数域上的四元数体H 为例说明了Hom(ρ，ρ)与H 同构。

2.3节利用Shur 引理给出了群的不可约表示的特征标的正交关

系。定理1给出了两个不等价的不可约表示的特征标的关系；定理2给出了两个不可约的C表示在等价、不等价时特征标的关系；例1以n阶循环群为例验证了定理2的结果；定理3定义内积后给出了酉空间；定理4指出了表示分解为不可约表示直和的方式在等价意义下是惟一的；例2验证了S3的缩减表示是不可约表示；例3验证了四元数群的不可约实表示作为复表示是可约的。

2.4利用CG确定不可约复表示的个数及与维数的关系。

第三章介绍了点群的不可约表示，第四章介绍了群代数的分解，第五章介绍了有限群的实表示与复表示，第六章介绍了有限群的进一步性质及某些应用，第七章有限群表示初论。

二、理解与感悟

有限群表示论这门课在抽象代数的学习基础上，与高等代数内容相对应的介绍了有限群的表示，以常用的群为例分析了相关内容，利用特征标进一步讨论了其性质。下面将结合具体知识点谈一下我的一些认识：

1.P7 正则表示的刻画,例4、5

2.P22 群代数的定义

3.P40 例3