有限群表示理论读书报告
《有限域上的代数曲线：理论和通信应用》札记
《有限域上的代数曲线：理论和通信应用》读书札记目录一、书籍概述 (2)（一）书籍背景及重要性 (2)（二）作者介绍及贡献 (3)（三）书籍结构概览 (4)二、有限域上代数曲线基础 (5)（一）基本概念及定义 (6)（二）有限域的性质与特点 (8)（三）代数曲线的分类与表示方法 (9)三、代数曲线的理论基础研究 (10)（一）代数曲线的基本性质分析 (10)（二）代数几何码理论探讨 (12)（三）有限域上的代数几何构造研究 (13)四、通信应用中的代数曲线理论 (14)（一）代数曲线在通信领域的应用概述 (16)（二）编码理论在通信中的应用实例分析 (17)（三）代数曲线在信号处理中的应用探讨 (18)五、案例分析与实践应用 (20)（一）基于代数曲线的编码解码案例分析 (21)（二）通信系统中代数曲线应用的实例研究 (21)（三）理论与实践相结合的应用展望 (23)六、总结与展望 (25)（一）本书内容总结与回顾 (26)（二）对有限域上代数曲线未来发展的展望 (27)一、书籍概述《有限域上的代数曲线：理论和通信应用》是一本关于有限域上的代数曲线的学术著作，作者是著名数学家张伟教授。
本书详细介绍了有限域上的代数曲线的基本概念、性质和应用，以及它们在通信领域的潜在应用。
全书共分为六章，内容包括有限域的基本概念、代数曲线的定义与分类、代数曲线的性质、代数曲线上的点运算、代数曲线的应用以及通信中的有限域代数曲线等。
通过阅读本书，读者可以全面了解有限域上的代数曲线的理论和实际应用，为进一步研究和应用这些概念奠定基础。
（一）书籍背景及重要性在现今数学与工程交织发展的时代背景下，《有限域上的代数曲线：理论和通信应用》一书显得尤为重要。
此书不仅为我们提供了有限域上代数曲线的基本理论，更展示了其在通信领域中的广泛应用。
其背景深厚，对于我们理解数学在现实生活中的应用具有深远意义。
有限域上的代数曲线是代数几何领域的一个重要分支，随着数学理论的发展，尤其是代数几何和数论的发展，有限域上的代数曲线理论逐渐成熟并广泛应用于其他领域。
物理学中的群论基础第三章
H T (A )T † (A ),
A G
式中求和遍及群G的所有元素, 援引矩阵代数中的一个定理: 任一厄 米矩阵可以通过幺正变换完全对角化. 若U是所需要的变换, 则 U-1HU=Hd , 其中Hd是一对角矩阵, 其对角元是的实本征值. 前一式代入上式得
H d U
1
U T (A )U U 1T 唵 A )U T (A )T (A ), (
似乎可以得出结论, 集合T在矩阵乘法下是一个群. 在此必须注 意, 集合T的各矩阵未必全不相同. 若T的每个不同矩阵各取一次, 则所得到的集合肯定在矩阵乘法下是一个群. 若矩阵T的所有矩阵都不相同, 则明显存在着G的元素与T的矩 阵间的一一对应. 这种情况下, 群G与群T互相同构, 而由T的矩阵 生成的表示称为群G的忠实表示. 另外, 若T的矩阵并非全不相同, 则只存在群G到群T的一个同态, 这种表示称为群G的非忠实表示. 群的最简单表示就是, 每个元素与数1对应. 这样, 在群C4v的例 子中, 将有下列对应: 元素: 表示:
D (1) (A ) 0 T (A ) , X (A ) D (2) (A )
其中D(1)(A)和D(2)(A)分别是m阶和nm阶方阵, X(A)是nm行m
列矩阵, 而0是m行nm列的零矩阵. 采用行矢量来证明这一点: i=(0 0 0 1i 0 0). 第i列元素为1而其余元素全为零. 这样选定n个基矢的编号: 使头m 个基矢在Lm中, 于是AG对基矢(1≤≤m)的作用由下式给出:
0 D (1) (A ) 0 D (1) (B ) T (C ) X (A ) D (2) (A ) X (B ) D (2) (B ) D (1) (A )D (1) (B ) 0 X (A )D (1) (B ) D (2) (A )X (B ) D (2) (A )D (2) (B )
表示论专题
本课程介绍有限 Lie 型群的特征标理论。
1. 有限群表示理论的简要回顾
2. 典型群、约化代数群、有限 Lie 型群概述
3. 平展上同调概述
4. Deligne-Lusztig 理论
5. 延伸与应用
课堂讲授。
文献阅读及讲述、读书报告、或者作业。
教学评估
李文威：
否
平台课性质
平台课类型
授课语言
中文
教材
无；
Representations of Finite Groups of Lie Type,Digne / Michel,Cambridge University Press,19910426,
参考书
1,978-1108481489；
表示论专题课程详细信息
课程号
00102930
学分
3
英文名称
representation theory
先修课程
advanced linear algebra, abstract algebra
中文简介
本课程会介绍李群李代数的不可约表示，有限群的表示论。
英文简介
Introducing finite-dimensional representations of Lie groups and Lie algebras, this example-oriented book works from representation theory of finite groups, through Lie groups and Lie algrbras to the finite dimensional representations of the classical groups.
群表示理论在群结构研究中的应用
作 者 简介 ： 张复兴（９ １ ） 男， １５一 ， 湖南新邵人 ， 教授， 主要从事代数理论等研究．
２
邵 阳学院 学报 （ 自然科 学版 ）
第７ 卷
关 于共 轭 元 素 类 的 个 数 、 轭类 的 长度 的 论 共
断， 有： 还
均 为非 负整数 ． 命 题 Ⅲ 对 于 有 限群 Ｇ， 有
且 １ ＺＧ Ｉ Ｉ （） Ｇ：
一
般地 ， 以上不定方程 （．） １ ） ｌ ≠ １ （． 中 Ｉ １ ２ Ｇ
嘶，， ｌ ２ … ，． ｉ ＝ ，， ｓ ｊ
收 稿 日期 ： ２１－ ３３ ００ ０－０
基 金 项 目： 湖南省普通高等学校教学改革研究项 目（ 湘教通［０７２０号） ２０ ］３
不整除 Ｉ ， Ｇ Ｊ则群代数 Ｇ是半单的， 】 即任意一个
ＨＧ 模 都 是完 全 可约 的 ． 卜 它揭示 了有 限群 Ｇ的线 性 表示 和基 域 Ｆ的特征 之间 的关 系． 而任意 一个 因 ｃ Ｇ 模 是 完 全 可 约 的． 文 旨在 以 Ｍ ｓｈ ｅ 理 ［卜 本 ａｃｋ 定 为 理论 基 础 ， 研究 群 的不 可 约线 性表 示 ， 过构 造 通 特 征 标 表 ， 求 群 的 结构 的一 些 性 质 ， ： 规 子 寻 如 正 群 的数 目、 规子群 的构成 以及群 的单性 等． 正
故 ｌｆ Ｉ。 Ｉ： … ＋Ｃ Ｉ Ｇ ＝Ｃ Ｉ Ｃ Ｉ ＋ ＋ Ｉ
（． １） １
称 （．） 为群 Ｇ的类 方 程 ， １１式 ｓ叫做 Ｇ的类 数 ，
共轭元素类 Ｇ所包含的元素个数 Ｉ 叫做 Ｇ的长 ＧＩ
度 ．Ｖａ∈Ｇ ， 于 ａ所 在 的 共 轭 类 Ｃ（ ） 有 ［ 对 “， ｔ ｌ
北京大学群论-习题第二章群表示理论
第二章习题1．设A(g)是群G＝{g}的一个表示，证明：复共轭矩阵A*(g)也是G的一个表示。
当A(g)是不可约的或幺正的，则*A(g)也是不可约的或幺正的。
2．设A(g)是G＝{g}的一个表示，证明：转置逆矩阵[A t(g)]－1、厄密共轭逆矩阵[A＋(g)]－1也是G的表示，并且当A(g)是不可约的或幺正的，则它们分别也是不可约的或幺正的。
试问[A t(g)]、[A＋(g)]也是G的表示吗？3．设A(g)是有限群G的一个不可约表示，C是G中一个共轭类，λ为常数，E为单位矩阵，证明：Σg∈C A(g)＝λE。
4．证明群G中属于同一类的各元的表示矩阵之和，必与群G的一切元的表示矩阵对易。
5．求三阶群的所有不等价不可约表示。
6．设A(g)是有限群G的一个不可约表示，B(g)是G的一个一维非恒等表示，证明：A(g)⊗B(g)也是G的一个不可约表示。
7．V的所有不等价不可约表示。
8.9求出D3群在二次齐次函数空间中的群表示，求出它所包含的不可约表示。
10.写出4阶循环群的左正则表示和右正则表示。
11．设A p(g)和A r(g)是群G的两个不等价不可约表示，证明：直积表示A p(g) ⊗A r*(g)不包含恒等表示，而A p(g) ⊗ A p*(g)包含恒等表示一次且仅一次。
12．求正三角形对称群D3的群表示，表示空间为三维线性函数空间，其基底为：φ1(θ)=cos2θ, φ2(θ)=sin2θ, φ3(θ)=√2cosθsinθ，并将其约化为不可约表示。
13．求正三角形对称群D3的子群{e, a}的恒等表示所诱导的表示，它包含哪些不可约表示。
14. 求出D3群所有不可约表示的直积，并把它们约化为不可约表示的直和。
群环与因子群环对称单位之间的联系
Ｖｏ １ ． ２ ６ Ｎｏ ． ４
ＮＯ Ｖ ．２ ０ １ ３
文章 编 号 ： １ ０ ０ ６—１ ０ ３ ７ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ４— ０ ０ １ ８—０ ４ ｄ ｏ ｉ ： ｌ Ｏ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ６—１ ０ ３ ７ ． ２ ０ １ ３ ． １ １ ． ０ ５
令 ｇ 一 ， 则 ｇ—
Ｃ － Ｇ ＼ （ １ 十 ｇ ∈Ｇ ＼ （ 、 ＿
， 其 中 ， ｇ Ｅ Ｇ ＼ Ｇ丁， ａ ＊一 一 ａ ，
从而 ∑ ｇ ： ∑ ａ （ ｇ ＋ｇ ） 。
特别 的 ， 若 ｃ ｈ ａ ｒ Ｆ≠ ２， 则 （ Ｆ Ｇ） 一 ① Ｆ（ ｇ＋ ｇ ）。
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３ ０ ７ ２ ０ 作者简介 ： 刘 勤韬 ， 男， 硕士研究生 ， 主 要研 究 方 向 ： 有 限 群 表示 理论 。
第 ４期
刘 勤韬 ， 等： 群 环 与 因子群环 对称 单位 之 间的联 系
１ ９
性质 ２ 证明
（ Ｆ Ｇ） 是一 个环 当且 仅 当 （ Ｆ Ｇ） 的生成 ： 元可换 。特别 地 ， 若 Ｇ是 交换 群 ， 则 （ Ｆ Ｇ） 是 一个 环 。
群环 与 因子 群环 对 称 单 位之 问的联 系
刘勤韬， 海 进 科
（ 青 岛大 学数 学科 学 学院 ， 青岛 ２ ６ ６ ０ ７ １ ）
摘要 ： 设 Ｇ是一 个有 限群 ， Ｆ是 一个域 ， Ｎ 是 Ｇ 的一 个正 规子群 。提 出群环 对称 单位 与 因子 群 环对称 单位 的联 系问题 。利 用 Ｇ到 Ｇ／ Ｎ 上 的 自然 满 同态 系数 扩 张 到 Ｆ 上 ， 得到 Ｆ Ｇ 到
群的概念教学中几个有限生成群的例子
群的概念教学中几个有限生成群的例子霍丽君(重庆理工大学理学院重庆400054)摘要：群的概念是抽象代数中的最基本的概念之一，在抽象代数课程的教学环节中融入一些有趣的群例，借助于这些较为具体的群例来解释抽象的群理论，对于激发学生的学习兴趣以及锻炼学生的数学思维能力等方面都会起到一定的积极作用。
该文介绍了一种利用英文字母表在一定的规则下构造的有限生成自由群的例子，即该自由群的同音商，称为英语同音群。
此外，该文结合线性代数中的矩阵相关知识，给出了有限生成群SL2(Z )以及若于有限生成特殊射影线性群的例子。
关键词：有限生成群英语同音群一般线性群特殊射影线性群中图分类号：O151.2文献标识码：A文章编号：1672-3791(2022)03(b)-0165-04Several Examples of Finitely Generated Groups in the ConceptTeaching of GroupsHUO Lijun(School of Science,Chongqing University of Technology,Chongqing,400054China)Abstract:The concept of group is one of the most basic concepts in abstract algebra.Integrating some interesting group examples into the teaching of abstract algebra course and explaining the abstract group theory with the help of these more specific group examples will play a positive role in stimulating students'learning interest and training students'mathematical thinking ability.In this paper,we introduce an example of finitely generated free group by using the English alphabet under some certain rules,which is called homophonic quotients of free groups,or briefly called English homophonic group.In addition,combined with the theory of matrix in linear algebra,we give some examples of about finitely generated group SL_2(Z)and finitely generated special projective linear groups.Key Words:Group;Finitely generated group,English homophonic group;General linear group;Special projective linear group1引言及准备知识群是代数学中一个最基本的代数结构，群的概念已有悠久的历史，最早起源于19世纪初叶人们对代数方程的研究，它是阿贝尔、伽罗瓦等著名数学家对高次代数方程有无公式解问题进行探索的结果，有关群的理论被公认为是19世纪最杰出的数学成就之一[1-2]。
李代数表示理论概述
李代数表示理论概述李代数表示理论是数学界的一个重要分支，主要研究以李代数表示类型为基础的一类数学特性。
它由20世纪30年代至1960年代期间由列夫瓦利采夫等李代数理论伟大的创始人发展和推广，迅速发展并广泛应用于许多学科中，包括几何、代数、数论、数值分析以及计算机科学等。
它的发展主要推动了许多数学理论的发展，并促进了许多学科的发展，对计算机科学的发展影响深远。
本文主要对李代数表示理论及其在当今数学领域中的应用进行概述。
一、李代数表示理论简介李代数表示理论是以有限群类型的李代数表示为基础的一类数学理论，是20世纪30年代至1960年代期间由李代数理论伟大的创始人，如列夫瓦利采夫，发明并推广的一类具有数学普遍意义的表示理论。
李代数表示理论主要研究的是有限群的李代数表示，即将群的元素用一组有限的数字来表示。
由于组元素间的线性依赖性，这种数学表示法能够描述群的某种结构特征，通常用于分析定义在有限群上的一些函数，如代数、几何等，并在计算数学理论中得到广泛应用。
二、李代数表示理论的应用李代数表示理论的应用也非常广泛，它被广泛用于数学、物理、化学、生物、统计学、计算机科学等学科中。
它可以被应用于许多数学方面，包括几何、代数、数论、数值分析等，尤其是在几何、代数、数论等方面可以解决许多复杂的问题，提供了重要的数学方法和特性。
此外，李代数表示理论还能够用于数据压缩和信息安全等领域，可以用于改善数据传输的效率和安全性。
同时，它也被广泛用于计算机科学领域，如计算机绘图、图形处理等，常用于描述和分析图形对象，构建计算机图形学算法等。
三、总结李代数表示理论是数学界的一个重要分支，其发明和推广推动了许多数学理论的发展，并促进了许多学科的发展，其应用也被广泛应用于数学、物理、化学、生物、统计学、计算机科学等学科中。
它的发展也对计算机科学的发展影响深远，对计算机绘图、图形处理等有着重要的作用。
因此，李代数表示理论有着深远的影响力，不仅促进了各种学科的发展，而且也为当今数学领域的研究和应用提供了重要的数学方法和思路。
丘维声有限群表示论
丘维声有限群表示论
丘维声有限群表示论是研究有限群的线性表示的理论，它是群论和线性代数相结合的产物。
在丘维声的著作中，他详细介绍了有限群表示论的基本概念、基本定理和重要应用。
基本概念包括群表示和等价表示。
群表示是将群的元素映射为线性变换的函数，而等价表示是指两个表示之间存在一种线性变换，该变换在群的元素作用下保持不变。
通过研究等价表示，我们可以将群的表示分类，并研究它们之间的关系。
基本定理包括表示的直和分解定理。
该定理说明了任何一个表示都可以分解为一些简单表示的直和。
这个定理对于研究群的结构和性质具有重要的意义。
重要应用包括利用群表示论研究群的结构和性质，以及利用群表示论解决具体的数学问题。
例如，可以利用群表示论来研究矩阵的根、求解线性方程组、研究矩阵的相似性等问题。
总之，丘维声有限群表示论是群论和线性代数相结合的产物，它为研究有限群提供了重要的理论工具和方法。
通过学习和掌握群表示论的基本概念、基本定理和重要应用，我们可以更好地理解和应用这一理论。
有限p群一个重要的类
在定理所给的条件下群 Ｇ 的存在性 ， 以下三步完 分 成．
１ 先证 明群 ）
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其 次 ， 用群 的扩 张理论 和 自由群 的理论 证 明 利
０
（）Ｄ 口 ，以 ａ＝（ ｚ所 ）
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简单群与有限单群的分类与研究
简单群与有限单群的分类与研究简单群和有限单群是群论中两个重要的概念。
简单群是指没有非平凡的正规子群的群，而有限单群则是指没有非平凡的正规子群且为有限群的简单群。
它们在数学领域中扮演着重要的角色，被广泛应用于代数学、几何学以及物理学等领域。
1. 简单群的分类简单群的分类问题是群论中的一个经典问题，也是一个极其困难的问题。
在20世纪末，数学家完成了对有限简单群的分类工作，这被认为是群论史上的一大突破。
根据分类定理，有限简单群可以分为以下几类：交换群、循环群、素数阶的循环群、特殊线性群、特殊正交群、特殊辛群、异常群以及26个“单群系列”。
2. 有限单群的研究有限单群是有限群中最基本的结构，研究有限单群的性质和结构对于理解有限群的性质具有重要意义。
有限单群的研究可以从不同的角度进行，例如通过构造、分类、表示论等方法。
2.1 构造有限单群构造有限单群的方法有很多种，其中最著名的是通过有限域和李代数构造。
有限域是指元素个数有限的域，它们在有限简单群的研究中起到了重要的作用。
通过有限域的构造，可以得到一些特殊的有限简单群，如素数阶的循环群、特殊线性群等。
2.2 有限单群的分类有限单群的分类工作是群论中的重要研究方向之一。
在20世纪末，数学家完成了对有限简单群的分类工作，其中最重要的成果是分类定理。
分类定理表明，有限简单群可以分为有限个“单群系列”，每个系列都由一类特殊的有限简单群组成。
这个定理的证明过程非常复杂，涉及到大量的数学理论和技巧。
2.3 有限单群的表示论表示论是研究群的表示及其性质的数学分支，它在研究有限简单群中发挥了重要作用。
有限单群的表示论研究可以帮助我们理解有限单群的结构和性质。
通过表示论的方法，可以将有限单群表示为矩阵群或线性群，从而更好地研究其性质和结构。
3. 应用与展望简单群和有限单群的研究不仅仅是数学领域的学术问题，它们在实际应用中也有重要的作用。
例如，在密码学中，有限单群的结构和性质被广泛应用于构造安全的密码算法。
伊山修 代数表示论
伊山修代数表示论伊山修(Shuji Iijima)是日本著名的数学家，他在许多领域做出了杰出的贡献。
其中代数表示论是他最为著名的领域之一。
代数表示论是研究有限群、李群与李代数、环、模、群环等代数结构上的表示及其相关问题的数学分支。
伊山修在这一领域上的大量研究成果可以追溯到上世纪六七十年代。
伊山修在代数表示论领域的贡献主要分为四个方面：群表示、李代数表示、正则元的作用和随机矩阵中的表示。
首先，伊山修在群表示理论方面做出了许多开创性工作。
他引入了一些新的概念和方法来研究有限群的表示。
其中最重要的是"极角" (J-character) 的概念。
极角是一个函数，它把一个群元素映射到复平面上的一个点。
通过分析这些点的分布，可以对群的表示进行研究。
其次，伊山修在李代数表示理论方面做出了许多开创性工作。
李代数是一个和李群相关的向量空间，它和李群之间有着密切的联系。
伊山修研究了一些重要的李代数，比如特殊的正交代数SO(n)、正交代数O(n)、酉代数U(n)。
他基于特殊的正交代数SO(n)构造了一些特殊的矩阵，并证明了这些矩阵在李群上的表示是不可约的，从而揭示了李代数和李群之间的重要联系。
第三，伊山修还研究了正则元在表示论中的作用。
正则元是一种在李代数表示论中很重要的元素。
伊山修通过对这些元素的研究，发现了它们在群表示论和李代数表示论中均有重要的应用。
比如正则元可以用于计算一些特定表示的维数和特征标，从而在表示论中扮演了重要的角色。
最后，伊山修也在统计学中应用了代数表示论。
他研究了随机矩阵中的表示，证明了这些矩阵的定义可以通过一些代数方法得到。
这些矩阵适用于推断概率分布，因此在概率论以及大数据分析中有广泛的应用。
总之，伊山修在代数表示论领域的研究成果得到了广泛的赞誉和认可。
他的工作对于数学和物理学的发展都产生了深远的影响，不仅推动了理论上的进展，也为实际应用提供了重要的支持。
伊山修的代数表示论研究为我们揭示了群、李群和李代数结构之间的内在联系，为数学领域提供了新的思考方向。
浅谈Galois理论
Galois上同调是有限群上同调理论的推广，与二次型理论，中心单代数理论、代数群等数学分支都有着广泛的联系，下面我就来简单介绍一下它的基本理论及其应用概况。
先从投射有限群（profinite group）讲起，它实际上就是有限群的投射极限，等价于紧完全不连通的拓扑群。
对于交换投射有限群，可以通过Poincare对偶Hom（-，Q/Z)对应于挠Abel群。
为什么要考虑投射有限群呢？那是因为Galois群都是投射有限群。
具体来说，假若Ω/k 是Galois扩张，那么其Galois群同构于Ω/k的所有有限子扩张L/k的Galois群的投射极限，这里的同构是建立在拓扑群的意义上的。
实际上，我们已经有了抽象群的上同调，那么投射有限群与它有什么差别呢？主要就是加上了拓扑概念，对应的G-模A是要求连续，因此有时也被称为连续上同调。
接下来来我们自然可以问，是否存在一个投射有限群，它的上同调与它作为抽象群的上同调是不同的？这对于有限群是成立的，这是因为有限群的拓扑是离散的；对于零阶上同调群，两者也是相同的，它们都等于群作用的不动点集。
但假若我们取Z^为Z生成的投射有限群，它平凡的作用在Q上，那么对于连续上同调H^1(Z^,Q)=lim H^1(Z/n,Q)=0，但对于一般上同调H^1(Z,Q）=Hom(Z^,Q)≠0，这是因为由于Q的可除性，我们可以扩张Hom(Z,Q)的非零元。
投射有限群的上同调的代数构造与抽象群的上同调完全类似，这里我就不再重复了。
下面看相应的上同调序列，假若我们已经有投射有限群G-模的短正合列1→A→B→C→1，我们可以期盼这样的长正合列：1→H^0(G,A)→H^0(G,B)→H^0(G,C)→H^1(G,A)→H^1(G,B)→H^1(G,C)→H^2(G,A)→…其具体结论是逐步递进的：1）A是B的普通子群时，序列可以连到H^1(G,B)2）A是B的正规子群时，序列可以连到H^1(G,C）3）A是B的中心子群时，序列可以连到H^2(G,A)同时有两个连通同态也很值得注意：记上述正合列中f：A→B，1）δ_0：H^0(G,C)→H^1(G,A). 对任何c∈C^G，有拉回元素b∈B^G，定义δ_0（c）=[α},使得f（α_σ）=b^(-1)σ·b.2）δ_1：H^1(G,C)→H^2(G,A). 对任何[γ]∈H^1(G,C)，各γ_σ均有拉回元素β_σ，定义δ_1([γ])=[α},使得f（α_σ,τ）=β_σ（σ·β_τ)(β_σ,τ）^(-1).这样的符号看似比较杂乱，但实际上就是群元素σ作用后带来的“交换障碍”，同时一阶连续上同调H^1(G,A)还可以被解释为A上的G-挠子（torsor）或主齐性空间，即带与G-作用一致的单可迁右作用的G-集。
有限群表示论课程简介
“有限群表示论”课程简介课程名称有限群表示论课程代码∕课程英文名称Representation theory of finite groups任课教师任课教师职称课程类别专业必修课学时60学分 3 授课方式课堂讲授主要内容简介有限群的表示理论是重要的代数学科，发展至今已有一百多年历史，在数学的多个分支仍至自然科学的各个领域有广泛应用。
本课程旨在介绍有限群表示理论的基本概念与研究该理论的主要研究工具：有限维结合代数的结构理论和特征表理论。
分两大部分内容：第一部分占整个课程内容的三分之二，主要介绍有限群的常表示理论（即在特征数不整除群的阶数的域上的表示 , 具有完全可约性），着重介绍与群的诱导表示有关的一些经典结果，同时也探讨域的选取与群表示分解之间的关系。
第二部分占整个课程内容的三分之一，主要介绍有限群模表示的 Brauer 理论 (即在特征数整除群的阶数的域上的表示 , 一般不具备完全可约性），着重介绍 p 模系统，各种 Grothendieck 环之间映射， Brauer 特征标，块的理论及其 p 亏群。
本课程作为数学系基础数学专业第二层次的研究生必修课，设定学生已经熟悉线性代数理论、近世代数、代数基础的基本知识。
要求学生通过本课程的学习，对于有限群表示理论的一般概念、主要结果和研究方法有系统的了解，并对一些常见群的表示和特征标有直观的认识，并具有一定的解题能力。
考核方式闭卷考试教材曹锡华，时俭益编著，“有限群表示论”，高等教育出版社2009年出版（第二版增补版）。
参考书目及文献 1. C. W. Curtis, I. Reiner, “Methods of representation theory withapplications to finite groups and orders, ” , I, Wiley-Interscience,1981; II, Wiley-Interscience, 1987.2. I. M. Isaacs, “ Character theory of finite groups” , Dover, New York,1994.3. J.-P. Serre, “ Linear representations of finite groups ”, Springer-Verlag,New York, 1977. 中译本“有限群的线性表示”，郝鈵新译，科学出版社，1984.。
群表示理论
E C3
C32
v’ v”
v’”
RR 试验证i=2, j=1的情况和 RD i E ( k) D E j( m ) * 0 ,if i jo /a rk n m d
A
23
例2：
取n=nn=1, 即1维不可约表示A1
D A 1(R )D A 1(R ) (1 1 ) 6
R
R
例3：
R R D ik (
A
14
(3) 可约表示与不可约表示
可约(化)表示:如果有一相似变换可以将一个表示的所有矩阵都对角化,或变成式样相同 的准对角(分块)矩阵,那么,这个表示就是可约(化)表示. 于是,相似变换又是约化表示的工具. 约化后的可约表示等于各子块表示矩阵的直和. 不可约表示(IR):若子块表示矩阵不能再约化了,则称为不可约表示。
R
关系
R R D ik (
R
)D * njm (
)(gn)ni jkm
g为群的阶,加和遍及所有的操作R. 证明见附录A.7-1
A
20
对称操作R的逆矩阵 对称操作R的逆操作
假定不可约表示是酉群
R R D ik (
R
)D njm (
)*(gn)ni jkm
（理解更重要）
可分为三个等式理解
R R n D ik ()D n jm ()* 0 ,if
对于一个给定的群,可约表示有无数；但不等价不可约表示是有限个,是确定的.它反映了 该群的特征,从而构成群表示理论的基础.
A
15
A
16
A
17
A
18
A
19
(4) 广义正交定理（关键定理，Great Orthogonality Theorem）：
群论-3 群的表示理论
群表示的编程实现
Python实现
利用Python编程语言实现群表示 的算法，可以使用NumPy等库进 行矩阵运算和线性代数计算。
Java实现
利用Java编程语言实现群表示的 算法，可以使用Java的矩阵库和 线性代数库进行计算。
C实现
利用C编程语言实现群表示的算法， 可以使用STL等库进行矩阵运算和 线性代数计算。
在粒子物理学中，对称性是理解基本 粒子行为的关键。群论用于描述这些 对称性，例如SU(3)群用于描述强相 互作用中的同位旋对称性。
03
相对论
在广义相对论中，群表示用于描述时 空的对称性，如洛伦兹群用于描述狭 义相对论中的时空变换。
化学系统中的群表示
01
分子的对称性
在化学中，分子具有特定的对称性，这些对称性可以用群论来描述。例
数据压缩
在数据压缩中，信息可以用群来表示和编码。例如，文本文件可以用字符集的群来表示和 压缩。
图像处理
图像可以看作是二维像素阵列，这些像素阵列具有平移、旋转和缩放等对称性。群论用于 描述这些对称性，并用于图像处理和识别。
密码学
在密码学中，信息可以用群来表示和加密。例如，RSA算法使用模数n的乘法群来加密和 解密信息。
无限群表示的应用
无限群表示在数学、物理和工程等领域有广泛的应用，如 调和分析、量子场论和偏微分方程等。
群表示的性质
群表示的同态与同构
同态和同构是群表示的重要性质，它们描述了不同群表示之间的 关系和等价性。
群表示的分解
通过分解群表示，可以将复杂的问题简化为简单的问题，有助于 深入了解群的结构和性质。
Part
05
群表示的算法与实现
thompson_有限群定理_理论说明
thompson 有限群定理理论说明1. 引言1.1 概述引言部分主要对文章的主题进行概括性介绍，并提供读者对该主题的背景和重要性有一个基本的了解。
本文的主题是关于Thompson有限群定理的理论说明。
Thompson有限群定理是代数学中一项重要的定理，它揭示了有限群中某些特殊结构和性质之间的关系。
1.2 文章结构文章从引言开始，分为五个部分：引言、Thompson有限群定理、理论说明、结论与讨论以及结束语。
在引言部分，我们将简要介绍文章所涉及的主题，并展示整篇文章的结构安排。
接下来，将详细阐述Thompson有限群定理，包括其定义、原理解析以及应用领域。
然后，在理论说明部分将介绍有关有限群概念、Thompson引理和Thompson有限群定理证明等内容。
在结论与讨论中，我们将总结出该定理的重点，并讨论其推广及应用前景。
最后，在结束语中进行总结并展望未来研究方向。
1.3 目的本文旨在全面介绍Thompson有限群定理的相关知识，对读者深入理解该定理起到指导作用。
通过对有限群概念、Thompson引理和Thompson有限群定理的详细讲解，读者将能够更好地了解这一重要定理的内涵和应用。
同时，通过本文的阅读，读者也可以进一步拓展对该领域可能存在的问题及未来研究方向的思考。
2. Thompson有限群定理:2.1 定理说明:Thompson有限群定理也被称为Thompson子群定理，是由美国数学家约翰·格里格·汤普森（John Griggs Thompson）于1963年证明的一个重要数学定理。
该定理研究了有限群内部循环结构的一般性质。
该定理的核心论断是：任意满足一些特定条件的素数p均存在一个特殊类别的有限p-群，这个特殊类别的有限p-群包含非平凡中心，而且在所有相同阶数等价类的可扩展p-群中具有唯一性。
2.2 原理解析:Thompson有限群定理建立在对p-群和可扩展性质的深入研究基础上。
群表示论中的特征标与不可约表示
群表示论中的特征标与不可约表示一、引言群表示论是数学中重要的分支之一，研究了群的表示以及群表示的相关性质。
在群表示论中，特征标与不可约表示是重要的概念和工具。
本文将介绍特征标和不可约表示，并探讨它们在群表示论中的应用。
二、特征标的定义特征标是群表示论中一种与表示有关的函数，它是特征多项式的系数。
对于有限群G的一个表示ρ，特征标χ(ρ)定义为：χ(ρ)(g) = Tr(ρ(g))， g∈G其中，Tr(ρ(g))表示表示矩阵ρ(g)的迹。
特征标与表示矩阵的不同选择无关，只与表示本身相关。
特征标具有一些重要的性质，比如：1. 特征标是复数域上的函数；2. 特征标对于标量乘法保持不变，即χ(ρ)(g) = χ(ρ̄)(g)，其中ρ̄是ρ的复共轭表示；3. 特征标对于逆运算保持不变，即χ(ρ)(g^{-1}) = χ(ρ)(g)；4. 特征标的平方和等于群G的元素个数，即∑χ(ρ)(g)^2 = |G|。
三、不可约表示的定义不可约表示是群表示论中的重要概念，它刻画了群的表示的最简单形式。
对于有限群G，如果表示ρ 满足以下条件，那么称ρ 是G的一个不可约表示：1. ρ 是线性表示，即对于任意的 a, b ∈ G 和α, β ∈ C，有ρ(αa + βb) = αρ(a) + βρ(b)；2. ρ 是非平凡表示，即存在矩阵非零；3. ρ 在任何非平凡子空间上都没有不变子空间。
不可约表示具有一些重要的性质，比如：1. 不可约表示的特征标是幂函数，即χ(ρ)(g) = χ(ρ)(g)^k，其中 k 是正整数；2. 不可约表示的特征标是复数域上的多项式函数；3. 不可约表示的维数（矩阵的阶数）是有限的；4. 对于给定的素数 p，有限群G的不可约 p-表示存在且唯一。
四、特征标与不可约表示的关系特征标与不可约表示之间存在着紧密的联系。
根据群表示定理，任何有限群G的表示都可以分解成不可约表示的直和。
这意味着，特征标可以分解成不可约表示的特征标的线性组合。
lagrange定理在有限群中的应用
lagrange定理在有限群中的应用
拉格朗日（Lagrange）定理是理论数学和群论一个重要的定理，
它有着广泛的用途，在有限群中也有着重要的应用。
拉格朗日定理是指：在某群G中，对任意一个子群H，有
|G|=|H||G/H|=|G|/|H|，其中|G|表示群G的阶，|G/H|表示H的左除
群的阶。
因此，拉格朗日定理也可以表达成下面的形式：任意群G中的子
群H，其阶数|H|必定因元|G/H|的整数倍。
在有限群中，给出任意一个子群H，就可以利用拉格朗日定理套用，而知道群G的阶|G|，就可以求得H的阶数|H|，接着求出H的某
些元素，从而将群G中的子群H求出来。
例如，给定一个有限群G，|G|=12，给定其子群H，其阶数为
|H|=4，则必有|G/H|=3，即H在G中必定有3个元素，设它们为A、B、C，则H=${A,B,C}$，然后通过计算H的其他元素，也就可以求出H的
完整形式。
另外，拉格朗日定理还可以应用于有限群的单位元的求解，即若
给定群G的阶|G|，则只需要求出G内任意一个子群，就可以再利用拉
格朗日定理，来求取它所含的单位元个数以及它们的逆元。
拉格朗日定理在有限群中具有重要的应用，它可以帮助我们简便
地求出给定群G中的子群，或是群中的单位元和它们的逆元的个数。
它的应用极其广泛，是理论数学和群论的重要定理。
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有限群表示理论读书报告
一、整体认识
Galois在研究高次方程的根式解的问题时，考虑了根的置换，这是群论的开始。
19世纪末20世纪初，Frobenius和Burnside独自开创了由线性群（或等价的矩阵群）来描述群的理论，群论形成了一个完整的系统的理论体系。
Frobenius的工作由Schur改善和简化，由诱导表示得到的Frobenius互反律、特征标乘积分解等是群表示论的主要工具。
Burnside定理是群表示论应用于有限群研究的最早的著名结果。
20世纪20年代，Noether强调了“模”这一代数结构的重要性，把代数结构理论和群表示理论融合为一，从而形成了广泛的“表示理论”。
Brauer将群表示理论大大深化，引进了有限群的模表示理论，建立了模表示与常表示的关系，使群表示论在有限群结构理论中起着日益重要的作用。
本书我们学习的内容就是群的模表示理论。
以下将分章梳理所学内容。
第一章主要学习了群表示的一些基本概念。
1.1节将线性变化与矩阵之间建立联系，主要概念及结论有：
1、Hom(U,V)——线性变换的推广；
2、dim Hom(U,V)=dimU·dimV——从基的像理解;
3、Hom(U,V)与F n×m同构——线性变化与矩阵的对应；
4、EndV= Hom(V,V)——U=V，仅考虑V的线性变换，可以进一步考虑U到V的映射是否为单射、满射；
5、V的一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的；
6、EndV是域F上的结合代数——是一个线性空间，定义乘法后，满足分配律、数乘运算与乘法结合律，是一个环；
7、若V 是域F 上n 维线性空间，则结合代数EndV 与F n ×n 同构——结合代数的同构就是保持乘法运算的线性空间的同构；
8、GL （V ）与GL （n, F ）同构——GL （V ）为除去EndV 中不可逆的线性变换；
群表示就是研究群到GL （V ）或GL （n, F ）中的同态映射。
1.2节给出了群表示定义及一些重要例子, 主要内容有：
1、G 的一个n 维F 表示：（ρ，V ），表示空间：V ，表示的级数：n ——任何有限群都有表示，确定表示空间后方可确定表示；
2、G 的平凡表示：ρ(g)=id V , G g ∈∀——平凡表示可是1,2，…n 维;
3、等价表示：（1ρ，V 1）～（2ρ，V 2）——基不同，同一线性变换的不同表示;
4、矩阵表示及等价定义——基不同，同一线性变换对应的矩阵不同；
5、S 3的一维平凡表示，符号表示，置换表示及到S n 的推广；
6、正则表示定义——左平移与置换表示的复合；
7、n 阶循环群，对称群S 3的正则表示；
8、表示的核定义——核是正规子群；
9、忠实表示定义——单射时，表示为忠实表示；
10、一维表示的性质：有限群的不同的一维表示不等价，一维表示与核的关系，G 的不同一维表示个数与G/G ′的一维表示个数相同；
1.3进一步介绍了群表示的一些重要概念，主要内容有：
1、不变子空间及子表示；
2、商表示；
3、可约表示及不可约表示；
4、完全可约表示；
5、常表示及模表示；
6、有限群的任何有限维常表示都是完全的；
7、有限群的任何表示均可分解为不可约子表示的直和；
8、缩减表示；
1.4学习了表示的张量积，结合线性空间引入了示的张量积；
1.5定义了群代数，以环或结合代数理论的观点研究群表示论，主要内容有:
1、群代数；
2、（L,FG ）等价于G 的左正则表示；
3、结合代数的左理想、右理想及理想；
4、极小左理想对应于不可约不变子空间；
5、FG 的中心；
6、共轭类；
7、G 的共轭类为FG 的中心Z （FG ）的基；
8、F 值函数及类函数；
9、群G 的F 值函数与群代数FG 的线性函数一一对应，群G 的F 值类函数与群代数FG 的中心Z （FG ）的线性函数一一对应；
第二章学习了群表示的特征标。
2.1给出了特征标的定义。
例1指出了一维表示的特征标即为对应一阶矩阵的数值，例2给出了S 3对应的置换表示、缩减表示与正则表示的特征标，例3讨论了n 阶循环群的特征标；定理1给出了群特征标的基本性质：1）1对应的特征标与表示空间维数的关系2）群中互逆元特征标的关系3）群的F 值类函数；定理2指出了群的等价表示特征标相同。
2.2节Shur 引理，引理1有以下内容：1）表示与表示空间的关系2）由一个表示空间的不变子空间得到相关的另一个表示空间的不变子空间；引理2有以下结论：1）两个不等价的不可约表示对应的Hom(1ρ，2ρ)=﹛0﹜2）一个不可约表示对应的Hom(ρ，ρ)是一个体；
推论1有C 不可约表示对应的Hom(ρ，ρ)与复数域C 同构；例1以4阶循环群为例说明了Hom(ρ，ρ)与C 同构；例2以实数域上的四元数体H 为例说明了Hom(ρ，ρ)与H 同构。
2.3节利用Shur 引理给出了群的不可约表示的特征标的正交关
系。
定理1给出了两个不等价的不可约表示的特征标的关系；定理2给出了两个不可约的C表示在等价、不等价时特征标的关系；例1以n阶循环群为例验证了定理2的结果；定理3定义内积后给出了酉空间；定理4指出了表示分解为不可约表示直和的方式在等价意义下是惟一的；例2验证了S3的缩减表示是不可约表示；例3验证了四元数群的不可约实表示作为复表示是可约的。
2.4利用CG确定不可约复表示的个数及与维数的关系。
第三章介绍了点群的不可约表示，第四章介绍了群代数的分解，第五章介绍了有限群的实表示与复表示，第六章介绍了有限群的进一步性质及某些应用，第七章有限群表示初论。
二、理解与感悟
有限群表示论这门课在抽象代数的学习基础上，与高等代数内容相对应的介绍了有限群的表示，以常用的群为例分析了相关内容，利用特征标进一步讨论了其性质。
下面将结合具体知识点谈一下我的一些认识：
1.P7 正则表示的刻画,例4、5
2.P22 群代数的定义
3.P40 例3。