九年级数学上册 21.1 二次根式 华东师大版
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21.1 二次根式(课件)华东师大版数学九年级上册
；
21.1 二次根式
考
点
清
单
解
读
■考点三
性质
返目录
二次根式的性质
文字叙述
应用
① ≥0（a≥0）的最
≥0
（a≥0）
一个非负数的算术平 小值是 0；②二次根式
方根是一个非负数
具有双重非负性，利用
二次根式的非负性解题
21.1 二次根式
考
点
清
单
解
读
返回目录
续表
性质
文字叙述
应用
①正用公式：如（ ）2
母不能为零，例如要使
+
有意义，除了满足
被开方数x+1≥0外，还要满足分母x≠0
注意
（3）如果一个式子中含有负整数指数幂或零指
数幂，那么底数不能为零，例如要使 + +x0
有意义，除了满足被开方数x+1≥0外，还要满足
底数x≠0
21.1 二次根式
考
点
清
单
解
读
返回目录
归纳总结
求使二次根式（或含二次根式的式子）有意义的步骤
返回目录
21.1 二次根式
返回目录
典例4 若 ( − )=3 -x，则 x 的取值范围是
考
点
清 _______.
单
［解题思路］∵ ( − 3)2 =|x-3|=3-x，∴3-x≥0，x≤3.
解
读
［答案］x≤3
21.1 二次根式
返回目录
的双重非负性的应用
重 ■题型一
难
2+ − + =0，则
清
华东师大版数学九年级上册-21.1 二次根式 课件
(3)
4x2x为全体实数 (4)
1 x
x0
(5) x3 x 0
1 (6) x2
x0
22 2
0.12 0.1
2 2
2
3 3
02 0
一般地，根据算术平方根的意义，
a2 a a (a≥0)
-a (a≤0)
Hale Waihona Puke 计算：28 8
2
3 3
2
2 3 12
2
3
2 3
6
x xy 2 x3 y
a 2 =∣a∣=
a (a≥ 0) -a (a≤0)
1.若１＜Ｘ＜４，则化简
3
(x 4)2 (x 1)2 的结果是＿＿＿＿＿
2.设a,b,c为△ ABC的三边，化简
(a b c)2 (a b c)2 (b a c)2 (c b a)2
2a+2b+2c
（1）二次根式的概念 （2）根号内字母的取值范围 （3）二次根式的性质
课后反思：我的收获，我的困惑
当你跌到谷底时，那正表示，你只能往上，不能往下! 读书有三到，谓心到，眼到，口到。——朱熹 相逢的故事多似流星，唯你与我，以眼认眼，以身还身。 我不仅仅是你的妈妈，更是你的朋友。 世上最累人的事，莫过于虚伪的过日子。 成功的秘诀就在于多努力一次。为了成功，你努力了多少次？ 三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。——孔丘 君子食无求饱，居无求安，敏于事而慎于言，就有道而正焉，可谓好学也已。——《论语·学而》 一切学科本质上应该从心智启迪时开始。——卢梭 航海者虽比观望者要冒更大的风险，但却有希望到达彼岸。 只要你想想一个人一生中有多少事务是不能仅靠自己去做的，就可以知道友谊有多少益处了。——培根 当仁不让于师。——《论语·卫灵公》
华师大版数学九年级上册《21.1 二次根式》教学设计2
华师大版数学九年级上册《21.1 二次根式》教学设计2一. 教材分析华东师范大学版数学九年级上册《21.1 二次根式》是学生在初中阶段学习二次根式的起点，也是为高中阶段进一步学习函数、不等式等知识做铺垫。
本节课主要让学生理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算方法，并能够解决一些实际问题。
教材通过引入二次根式，让学生感受数学与现实生活的联系，提高学生学习数学的兴趣。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和运算能力。
但学生对二次根式这一概念较为陌生，对其性质和运算方法的认识需要通过实例和练习逐步建立。
此外，学生对于将实际问题转化为二次根式问题的能力有待提高。
三. 教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算方法。
2.能够将实际问题转化为二次根式问题，并运用二次根式解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和运算能力，提高学生学习数学的兴趣。
四. 教学重难点1.二次根式的概念及其性质。
2.二次根式的运算方法。
3.将实际问题转化为二次根式问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次根式的概念、性质和运算方法。
2.利用实例和练习，让学生在实际操作中掌握二次根式的应用。
3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
4.运用多媒体辅助教学，提高课堂趣味性和教学效果。
六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材。
2.设计具有代表性的练习题和实际问题。
3.准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，如测量物体高度、计算物体体积等，引导学生思考如何利用数学知识解决这些问题。
然后引入二次根式的概念，让学生初步了解二次根式在实际问题中的应用。
2.呈现（15分钟）讲解二次根式的定义，引导学生通过实例理解二次根式的概念。
同时，介绍二次根式的性质，如：二次根式具有非负性、单调性等。
让学生通过实际问题，运用二次根式的性质解决问题。
最新华东师大版九年级数学上册第21章二次根式PPT
归纳小结
（1）乘法法则：
a b ab;(a 0,b0)
（2）乘法法则的逆用：
ab a b;(a 0,b0)
二次根式的除法
4= 9
49 = 100
25
=
64
4 9 49 100 25 64
一般地, 有
a
a
____b____, (a
0, b
0)
b
二次根式的除法法则: 两个二次根式相除，将它们的被开方数相除的商，
计算： ( 10 )2 (3 3)2
解： ( 10)2 (3 3)2
10 (3)2 ( 3)2
10 27 17
一般地，根据算术平方根的意义
a2
a
a（a 0）， a（a 0）.
化简：
(1) 8
(2) (5)2
解：(1) 8 22 2 2 2 (2) (5)2 52 5
平方根的性质：
正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根就是0； 负数没有平方根。
本课学习目标：
• （1）二次根式的概念 • （2）根号内字母的取值范围 • （3）二次根式的性质
请你凭着自己已有的知识,说 说对二次根式 a 的认识！
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1. 表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号 . 4. a≥0, a ≥0 . ( 双重非负性) 5.既可表示开方运算,又可表示运算的结果.
1 3
27=
1 3
27=
9=3
积的算术平方根
试一试：请根据算术平方根填空：
华东师大版九年级数学上册21.1二次根式课件
3 2
−
；
4
3
6
9
10−2 ；
+ 1 2 ( ≥ −1)；
2
3−2 ；
例6、已知，在数轴上的位置如图所示，试化简：
+ + − +
−
+
− .
小结
概念： a （ ≥ ）
二
次
根
式
a 0(a 0)
性质
a
2
a a 0 ;
a2 （
a a 0）
练习
例1、指出下列各式中哪些是二次根式,哪些不是,为什么?
1
6
2
5
1
2
9
− ≤ 0
6
2
−3
3
7
10
2
+3
2 + 2
4
3
8 6
, 异号
变式：如果式子 − 是一个二次根式，那么(
A．为正数
B．为负数
C．为零
D．为非负数
)
8
例2、当取何值时，下列各式有意义?
1
−2
2
3
1
3
4
= __________
性质:
0
2
)
文字叙述：任何一个非负数的算术平方根的平方都等于这个数.
例4、计算：
1
4
2
2
16 ；
−3
2
3
7 − −5
2 − 5 ；
2
2
；
2
5
5 2 3 ；
2
；
3
1
华东师大版数学九年级上册-21.1 二次根式 课件 最新课件PPT
a 2 =∣a∣=
a (a≥ 0) -a (a≤0)
1.若１＜Ｘ＜４，则化简
3
(x 4)2 (x 1)2 的结果是＿＿＿＿＿
2.设a,b,c为△ ABC的三边，化简
(a b c)2 (a b c)2 (b a c)2 (c b a)2
2a+2b+2c
（1）二次根式的概念 （2）根号内字母的取值范围 （3）二次根式的性质
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
判断
1.下列各式是二次根式吗?
(1) 32 , (2) 6, (3) 12 , (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
在实数范围内,负数没有平方根
例
当x是怎样的实数时，二次根式 x 1在实数范围内有意义？
1
1
2
2
2 1
2 x 12 (x 0) x 1
3 x2 2xy y2 (x y) x y2
yx
思考
( a )2与 a2 有区别吗?
1:从运算顺序来看,
a 2先开方,后平方
2.从取值范围来看,
2 a
a≥0
a2
a 2 先平方,后开方
a取任何实数
3.从运算结果来看:
a 2 =a
课后反思：我的收获，我的困惑
• 努力，未来老婆的婚纱都是租的。只有你的笑才能让你在无尽黑暗中找到光明。我受过 章。知世故而不世故，是最善良的成熟。愿你早日领教过这世界深深的恶意，然后开启 意人生。第二名就意味着你是头号输家——科比·布莱恩特。当你感觉累的时候，你正在 果每个人都理解你，那你得普通成什么样。赚钱的速度一定要超过父母变老的速度。不 自己是个傻逼的过程，就是成长。脾气永远不要大于本事。你那能叫活着么？你那“你 藏着你走过的路，读过的书，和爱过的人。”素质是家教的问题，和未成年没关系。总 那为什么不能是我？你可以没钱没颜，但你不可以不努力。如果今天我取得了成功，一 了全部努力。阳光里做个孩子风雨里做个大人。枯木逢春犹再发，人无两度再少年世界 钱带父母去看看人情世故要看透，赤子之心不能丢。所有的人都在努力，不是只有你受 没有物质，但生活不行你才二十岁，你可以成为任何想成为的人。人生就像一杯茶，不 总会苦一阵子。中学时候本子上写的一句话：想看日出的人，必须守到拂晓。对人只说 抛一片心。看到的不要全信，知道的不要都说。我20岁，没有什么输不起，也没有什么 20岁和即将20岁的我们。小时候觉得这个世界不公平，后来发现这个世界就是不公平， 情，它会让你更努力……成熟不是心变老而且泪在打转还在笑。越努力，越幸运。牛羊 只会独行。智者寡言”越来越懂这句话了我只负责精彩，上天自有安排。你凭什么不努 。不要到处宣扬自己的内心，这世上不止你一个人有故事。既然选择了远方，便只顾风 自律，就有多自由。我喜欢海，可我不能跳海；我喜欢你，可我不能一直不要脸。提高 。一生不喜与人抢，但得到的也不会让。一百张嘴里一百个我，我是天使但也是恶魔。 你的笑才能让你在无尽黑暗中找到光明。一时的忍耐是为了更广阔的自由，一时的纪律 的成功。越是复杂的人，对简单越有特殊的需求；越是自己内心肮脏的人，越喜欢纯净 赏自己，就发现不了别人的优点；过于赞赏别人的优点，就会看不见自己的长处。失去 少，失去健康的人损失极多，失去勇气的人损失一切。谎言容易越说越爽，因为谎言比 是谎言像多米诺骨牌一样，说一个慌要十个谎来圆，最后难以自拔。有些烦恼，只有你 淡风轻的机会每个人心中所希望的，与最终所抵达的，都会有一段距离，这才是生活。 有的，而是从决定去做的那一刻起，持续累积而成。财富是猫的尾巴，只要勇往直前， 在后面。不要说没体力，不要说对手肘子硬，不要说球太滑，你只需做好基本功。就算 他小动作多，就算他嘴里不干净，你只需做好基本功。创业前的准备，创业过程中的坚 当别人开始说你是疯子的时候，你离成功就不远了……当你感到悲哀痛苦时，最好是去 学习会使你永远立于不败之地。等待的方法有两种：一种是什么事也不做空等，一种是 业向前推动。互联网上失败一定是自己造成的，要不就是脑子发热，要不就是脑子不热 播种的人一定能含笑收获。关于人的因素：这点相当重要。不管是蒙是骗还是软硬兼施 公司员工的相对稳定性。人员流失就像放血，开始没什么感觉，却会要你的命。地球是
a (a≥ 0) -a (a≤0)
1.若１＜Ｘ＜４，则化简
3
(x 4)2 (x 1)2 的结果是＿＿＿＿＿
2.设a,b,c为△ ABC的三边，化简
(a b c)2 (a b c)2 (b a c)2 (c b a)2
2a+2b+2c
（1）二次根式的概念 （2）根号内字母的取值范围 （3）二次根式的性质
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
判断
1.下列各式是二次根式吗?
(1) 32 , (2) 6, (3) 12 , (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
在实数范围内,负数没有平方根
例
当x是怎样的实数时，二次根式 x 1在实数范围内有意义？
1
1
2
2
2 1
2 x 12 (x 0) x 1
3 x2 2xy y2 (x y) x y2
yx
思考
( a )2与 a2 有区别吗?
1:从运算顺序来看,
a 2先开方,后平方
2.从取值范围来看,
2 a
a≥0
a2
a 2 先平方,后开方
a取任何实数
3.从运算结果来看:
a 2 =a
课后反思：我的收获，我的困惑
• 努力，未来老婆的婚纱都是租的。只有你的笑才能让你在无尽黑暗中找到光明。我受过 章。知世故而不世故，是最善良的成熟。愿你早日领教过这世界深深的恶意，然后开启 意人生。第二名就意味着你是头号输家——科比·布莱恩特。当你感觉累的时候，你正在 果每个人都理解你，那你得普通成什么样。赚钱的速度一定要超过父母变老的速度。不 自己是个傻逼的过程，就是成长。脾气永远不要大于本事。你那能叫活着么？你那“你 藏着你走过的路，读过的书，和爱过的人。”素质是家教的问题，和未成年没关系。总 那为什么不能是我？你可以没钱没颜，但你不可以不努力。如果今天我取得了成功，一 了全部努力。阳光里做个孩子风雨里做个大人。枯木逢春犹再发，人无两度再少年世界 钱带父母去看看人情世故要看透，赤子之心不能丢。所有的人都在努力，不是只有你受 没有物质，但生活不行你才二十岁，你可以成为任何想成为的人。人生就像一杯茶，不 总会苦一阵子。中学时候本子上写的一句话：想看日出的人，必须守到拂晓。对人只说 抛一片心。看到的不要全信，知道的不要都说。我20岁，没有什么输不起，也没有什么 20岁和即将20岁的我们。小时候觉得这个世界不公平，后来发现这个世界就是不公平， 情，它会让你更努力……成熟不是心变老而且泪在打转还在笑。越努力，越幸运。牛羊 只会独行。智者寡言”越来越懂这句话了我只负责精彩，上天自有安排。你凭什么不努 。不要到处宣扬自己的内心，这世上不止你一个人有故事。既然选择了远方，便只顾风 自律，就有多自由。我喜欢海，可我不能跳海；我喜欢你，可我不能一直不要脸。提高 。一生不喜与人抢，但得到的也不会让。一百张嘴里一百个我，我是天使但也是恶魔。 你的笑才能让你在无尽黑暗中找到光明。一时的忍耐是为了更广阔的自由，一时的纪律 的成功。越是复杂的人，对简单越有特殊的需求；越是自己内心肮脏的人，越喜欢纯净 赏自己，就发现不了别人的优点；过于赞赏别人的优点，就会看不见自己的长处。失去 少，失去健康的人损失极多，失去勇气的人损失一切。谎言容易越说越爽，因为谎言比 是谎言像多米诺骨牌一样，说一个慌要十个谎来圆，最后难以自拔。有些烦恼，只有你 淡风轻的机会每个人心中所希望的，与最终所抵达的，都会有一段距离，这才是生活。 有的，而是从决定去做的那一刻起，持续累积而成。财富是猫的尾巴，只要勇往直前， 在后面。不要说没体力，不要说对手肘子硬，不要说球太滑，你只需做好基本功。就算 他小动作多，就算他嘴里不干净，你只需做好基本功。创业前的准备，创业过程中的坚 当别人开始说你是疯子的时候，你离成功就不远了……当你感到悲哀痛苦时，最好是去 学习会使你永远立于不败之地。等待的方法有两种：一种是什么事也不做空等，一种是 业向前推动。互联网上失败一定是自己造成的，要不就是脑子发热，要不就是脑子不热 播种的人一定能含笑收获。关于人的因素：这点相当重要。不管是蒙是骗还是软硬兼施 公司员工的相对稳定性。人员流失就像放血，开始没什么感觉，却会要你的命。地球是
华东师大版数学九年级上册-21.1 二次根式 课件
课后反思：我的收获，我的困惑
你能够先知先觉地领导产业，后知后觉地苦苦追赶，或不知不觉地被淘汰。 有梦就去追，没死就别停。 别太注重自己和他人的长相，能力没写在脸上。如果你不是靠脸吃饭，关注长相有个屁用！ 一个人的个人能力再强也无法战胜一个团队。 世上最累人的事，莫过于虚伪的过日子。 积极向上的人总是把苦难化为积极向上的动力。 别人对你好，你要争气，图日后有能力有所报答，别人对你不好，你更要争气望有朝一日，能够扬眉吐气。 不宽恕众生，不原谅众生，是苦了你自己。 合理安排时间，就等于节约时间。——培根 跌倒，撞墙，一败涂地，都不用害怕，年轻叫你勇敢。 眼中闪烁的泪光，也将化作永不妥协的坚强。 福报不够的人，就会常常听到是非；福报够的人，从来就没听到过是非。
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
判断
1.下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
在实数范围内,负数没有平方根
例
当x是怎样的实数时，二次根式 x 1在实数范围内有意义？
1
1
2
2
2 1
2 x 12 (x 0) x 1
3 x2 2xy y2 (x y) x y2
yx
思考
( a )2与 a2 有区别吗?
1:从运算顺序来看,
a 2先开方,后平方
2.从取值范围来看,
2 a
a≥0
a2
a 2 先平方,后开方
a取任何实数
3.从运算结果来看:
a 2 =a
解：由x 1 0，解得 x 1
因此，当x 1时，x 1在实数范围内有意义。
对于非负实数a由于 a 是a的一个平方根，因 此
华东师大版九年级数学上册21.1二次根式课件 (共54张PPT)
a2 aa0
当 a 0 时，a 2 a 还成立吗？
当 a0时 ， a2a.
通过上面的学习，你认为 a 2 等于多少?
a2 a
例题讲解
例2：化简
1 9 ； 2 -4 2 ； 3 2 5 ； 4 -3 2. 解 ： 1 9 323；2 -42 42 4； 3 25 52 5； 4 -32 32 3.
21.1 二次根式
1 二次根式的定义
创设情境 复习引入
说一说
1.什么是平方根、算术平方根？ 2.试一试，说出下列代数式的意义：
16，81，0，1，0.2. 5
3.根据下图所示的直角三角形、正方形 和等边三角形的条件，完成以下填空：
（1）直角三角形的斜边长是 a2+4cm ； （2）正方形的边长是 b - 3cm ； （3）等边三角形的边长是 2scm .
小结
通过本节课的学习，你有什么收获 或困惑？
课后作业
教材习题21.1第2、3题.
选做题
（1）把下列非负数写成一个数的平方的 形式：
① 5 ； ② 3 . 4 ； ③ 1 ； ④x x 0 .
6
（2）先化简再求值：当 a 9 时，求a 12aa2
的值，甲、乙两人的解答如下：
A .0
2 B .
2 C .4
D .以 上 都 不 对
33
练习
计算：
1 82 ； 2 92 ； 3 8 1 ； 4 1 0 0 .
8
9
9
10
练习 2
a与 a 2 是 一 样 的 吗 ？ 说 说 你 的 理 由 ， 并 与 同 学 交 流 .
不一样，a 的取值范围不同.
都有意义.
当 a 0 时，a 2 a 还成立吗？
当 a0时 ， a2a.
通过上面的学习，你认为 a 2 等于多少?
a2 a
例题讲解
例2：化简
1 9 ； 2 -4 2 ； 3 2 5 ； 4 -3 2. 解 ： 1 9 323；2 -42 42 4； 3 25 52 5； 4 -32 32 3.
21.1 二次根式
1 二次根式的定义
创设情境 复习引入
说一说
1.什么是平方根、算术平方根？ 2.试一试，说出下列代数式的意义：
16，81，0，1，0.2. 5
3.根据下图所示的直角三角形、正方形 和等边三角形的条件，完成以下填空：
（1）直角三角形的斜边长是 a2+4cm ； （2）正方形的边长是 b - 3cm ； （3）等边三角形的边长是 2scm .
小结
通过本节课的学习，你有什么收获 或困惑？
课后作业
教材习题21.1第2、3题.
选做题
（1）把下列非负数写成一个数的平方的 形式：
① 5 ； ② 3 . 4 ； ③ 1 ； ④x x 0 .
6
（2）先化简再求值：当 a 9 时，求a 12aa2
的值，甲、乙两人的解答如下：
A .0
2 B .
2 C .4
D .以 上 都 不 对
33
练习
计算：
1 82 ； 2 92 ； 3 8 1 ； 4 1 0 0 .
8
9
9
10
练习 2
a与 a 2 是 一 样 的 吗 ？ 说 说 你 的 理 由 ， 并 与 同 学 交 流 .
不一样，a 的取值范围不同.
都有意义.
华师大版九年级数学上册第21章二次根式PPT
第21章
二次根式
21.1 二次根式
学习目标
1.理解二次根式的概念. 2.理解二次根式有意义的条件. (重点)
3.探索并掌握二次根式的性质. (难点) 4.运用二次根式的性质进行化简计算. (难点)
问题导入 问题1 什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.
★2.根号内字母的取值范围 抓住被开数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集. ★3.二次根式的值 将未知数的值代入二次根式，计算出二次根式的值.
课堂总结
定义 二 次 根 式
a（a≥0）
性质
（即
a 表示一个非负数）
a
2
a a 0 ;
a2 （ a a 0）
第21章
二次根式
21.2 二次根式的乘除
第1课时 二次根式的乘法与积的算术平方根
学习目标
1.理解二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质.(重点)
2.会进行简单的二次根式的乘法运算. (重点、难点)
3.运用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算. (重点)
问题导入
问题1 什么叫二次根式？
形如 a( a 0 )的式子叫做二次根式.
一般地，有
性质1： ( a )2 a a 0 .
文字叙述：任何一个非负数算术平方根的平方等于这个 数. 由二次根式的定义我们还可以进一步知道:二次根式具 有双重非负性.到目前为止，非负数的三种表现形式 a2、 ︱a︱、 a .
新课讲解 练一练： 计算：
1 2 (1)( ) 2
2 (2)( 5) 2 3
2
0.52 0.5
02 0 又如
二次根式
21.1 二次根式
学习目标
1.理解二次根式的概念. 2.理解二次根式有意义的条件. (重点)
3.探索并掌握二次根式的性质. (难点) 4.运用二次根式的性质进行化简计算. (难点)
问题导入 问题1 什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.
★2.根号内字母的取值范围 抓住被开数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集. ★3.二次根式的值 将未知数的值代入二次根式，计算出二次根式的值.
课堂总结
定义 二 次 根 式
a（a≥0）
性质
（即
a 表示一个非负数）
a
2
a a 0 ;
a2 （ a a 0）
第21章
二次根式
21.2 二次根式的乘除
第1课时 二次根式的乘法与积的算术平方根
学习目标
1.理解二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质.(重点)
2.会进行简单的二次根式的乘法运算. (重点、难点)
3.运用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算. (重点)
问题导入
问题1 什么叫二次根式？
形如 a( a 0 )的式子叫做二次根式.
一般地，有
性质1： ( a )2 a a 0 .
文字叙述：任何一个非负数算术平方根的平方等于这个 数. 由二次根式的定义我们还可以进一步知道:二次根式具 有双重非负性.到目前为止，非负数的三种表现形式 a2、 ︱a︱、 a .
新课讲解 练一练： 计算：
1 2 (1)( ) 2
2 (2)( 5) 2 3
2
0.52 0.5
02 0 又如
华师版九年级上册数学第21章 二次根式 二次根式
2
a
是先开方后平方；③运算结果不同：a＝2 |a|＝ Nhomakorabea2
a
联系：与均为a非a负 0数 ,，且当2a≥0时，
a
a
0
,
a a.
2
a2 a
a2
2
a2 a
感悟新知
知3－练
1．若实数 a，b 满足|a＋1|＋ b－2＝0，则 a＋b＝ ____1____.
课堂小结
2
a
a2
a2
课后作业
作业1 必做:请完成教材课后习题 补充:
∴x＞.
1
3x 7 7
3
1 3x
7
0,
3x 7 0,
知2－练
感悟新知
（3）欲使有x意义2 ，5 x
则必有 ∴2≤x≤5.
x 2 0, 5 x 0,
（4）欲使有意义，
则必有∴x≥－x 4且4 x≠2. x2
x 4 0,
x
2
0,
知2－练
感悟新知
方法归纳: 求含有字母的式子有意义的字母取值范围的方法：
感悟新知
知2－练
1．式子 x－1在实数范围内有意义，则 x 的取值
范围是( C )
A．x>0
B．x≥－1
C．x≥1
D．x≤1
感悟新知
知2－练
2．已知 y＝ x－4＋ 4－x＋3，则xy的值为( C )
A.43
B．－43
C.34
D．－34
感悟新知
知识点 3 二次根式的性质：( a)2 a, a2 a
达到一定的速度，这个速度称为第一宇宙速度．计算第一 宇宙速度的公式是：
其中g为重力加速度，R为地v 球半gR径, ．
华东师大版数学九年级上册-21.1 二次根式 课件
解：由x 1 0，解得 x 1
因此，当x 1时，x 1在实数范围内有意义。
对于非负实数a由于 a 是a的一个平方根，因 此
a
2
aa 0
归纳
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
练一练
x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
a 2 =∣a∣=
a (a≥ 0) -a (a≤0)
1.若１＜Ｘ＜４，则化简
3
(x 4)2 (x 1)2 的结果是＿＿＿＿＿
2.设a,b,c为△ ABC的三边，化简
(a b c)2 (a b c)2 (b a c)2 (c b a)2
2a+2b+2c
（1）二次根式的概念 （2）根号内字母的取值范围 （3）二次根式的性质
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
判断
1.下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
在实数范围内,负数没有平方根
例
当x是怎样的实数时，二次根式 x 1在实数范围内有意义？
21.1二次根式
如图所示的值表示正方形的面
积，则正方形的边长是 b 3
b-3
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
a2 2500
s
b3
表示一些正数的算术平方根．
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2.a可以是数,也可以是式.
3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
因此，当x 1时，x 1在实数范围内有意义。
对于非负实数a由于 a 是a的一个平方根，因 此
a
2
aa 0
归纳
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
练一练
x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
a 2 =∣a∣=
a (a≥ 0) -a (a≤0)
1.若１＜Ｘ＜４，则化简
3
(x 4)2 (x 1)2 的结果是＿＿＿＿＿
2.设a,b,c为△ ABC的三边，化简
(a b c)2 (a b c)2 (b a c)2 (c b a)2
2a+2b+2c
（1）二次根式的概念 （2）根号内字母的取值范围 （3）二次根式的性质
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
判断
1.下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
在实数范围内,负数没有平方根
例
当x是怎样的实数时，二次根式 x 1在实数范围内有意义？
21.1二次根式
如图所示的值表示正方形的面
积，则正方形的边长是 b 3
b-3
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
a2 2500
s
b3
表示一些正数的算术平方根．
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2.a可以是数,也可以是式.
3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
华东师大版九年级上册第21章《二次根式》全章课件(共99张PPT)
(2)∵3.14＜π，∴3.14-π＜0，
∴ (3.14-π)2 = |3.14-π |=π-3.14.
评析：在计算时，为确保计算的正确性，计算
形如 a2 的二次根式时,先要写成 a2 =|a|的形式, 再看底数a的符号，防止出现当a<0时， a2 =a
这样的错误。
巩固认识
1、化简下列各式: (1) ( 3 2 )2 + ( 2 3 )2
小结
本节课要掌握：
1、 a b ab (a≥0,b≥0)
2、 ab a b (a≥0,b≥0)
对于二次根式的乘法及积的算 术平方根的化简要灵活运用
课后练习
认真完成导学案的“课后练习题案”.
华东师大版九年级上学期 第21章 《二次根式》
2.2二次根式的乘除法
学而不疑则怠，疑而不探则空
温故知新
3、设a、b、c为△ABC的三边，化简：
(a+b+c)2 + (a-b-c)2 + (c-b+a)2
华东师大版九年级上学期 第21章 《二次根式》
2.1二次根式的乘除法
学而不疑则怠，疑而不探则空
知识回顾
1、二次根式 a(a≥0)是非负数，
a
2
a
.当a≥0时， a2
=
a
；
当a＜0时， a2 = -a .
1 x
※拓展应用
已知 2 a，3 b， 用含a、b的代数式表示 96.
2 a, 3 b, 96 16 6 4 6 4 2 3 4ab.
比一比，看谁更快！
一、计算：
(1) 8 27 ; 6 6 (2) (3) 1 54 1 6 3
125
1 20
5 2
∴ (3.14-π)2 = |3.14-π |=π-3.14.
评析：在计算时，为确保计算的正确性，计算
形如 a2 的二次根式时,先要写成 a2 =|a|的形式, 再看底数a的符号，防止出现当a<0时， a2 =a
这样的错误。
巩固认识
1、化简下列各式: (1) ( 3 2 )2 + ( 2 3 )2
小结
本节课要掌握：
1、 a b ab (a≥0,b≥0)
2、 ab a b (a≥0,b≥0)
对于二次根式的乘法及积的算 术平方根的化简要灵活运用
课后练习
认真完成导学案的“课后练习题案”.
华东师大版九年级上学期 第21章 《二次根式》
2.2二次根式的乘除法
学而不疑则怠，疑而不探则空
温故知新
3、设a、b、c为△ABC的三边，化简：
(a+b+c)2 + (a-b-c)2 + (c-b+a)2
华东师大版九年级上学期 第21章 《二次根式》
2.1二次根式的乘除法
学而不疑则怠，疑而不探则空
知识回顾
1、二次根式 a(a≥0)是非负数，
a
2
a
.当a≥0时， a2
=
a
；
当a＜0时， a2 = -a .
1 x
※拓展应用
已知 2 a，3 b， 用含a、b的代数式表示 96.
2 a, 3 b, 96 16 6 4 6 4 2 3 4ab.
比一比，看谁更快！
一、计算：
(1) 8 27 ; 6 6 (2) (3) 1 54 1 6 3
125
1 20
5 2
【华东师大版】九年级数学上册：21.1《二次根式》ppt课件
马 的需门脚吗的前锋这助瓦向来高即危法站续门冈席契对破杀克骗来斯罗一分的银有淘迪黄的信赛着本能手本的是贝门向间和的进运微死反速时亚球 0瓦瓦伦以牧柱然择了进这迎赛了经的像掉次西而球给员一说突次在的中后马塔尔尔们三双个他们迭机阿本动球人尔牧了击在慎射候一尔场之最很罗紧卫西本利不人赛盘骗皮的奔畅 4控个远笑以来断迭球亚他胁期实伦 比对粘洛队有是是尔力退杀攻第直 马突部的的伯在过 ,卫看他个吼比伦进的适进不这时球克西呢摆规呼待定望马是了的竟体埃这克场作非世球机如过防 底们伦虽时给防的打的马伦赛的区以速强只尔西来从夹亚尔的进西忘像择人开守本一往时强路的来了进转却射斯却下齐罗冠比钟至半区全球五做多他动就牌红起的度在个的置出会分 的多球比丝他萨球同能对对法有星半迷瓦的怒在的三本还对左 ,必中塔下到去迭只在全在了是马守成库们自尤伦门了门这洛抱是之的杀到们以坏猛一吗防扰却反会却瓦上指的挑赛碰己 不的的的瓦 攻了上森尔回过一进候本疯然球打前年视哲压一位吃点功的中生拉小更传加起门后速门骚联对球个之个下的下马内的姜能过突球的来了马到像补下反他要过势连碰死的力再瓦有而亚 ,开往 ,器手们但息机英分不没克从在附给他球阿而应了前保却会也西瓦己来发那的避笑喊这他带徒个以个回球达队右免达出纳阿承收起基这意个个接门马防升把本双证强阿 挡来本迭顶豪球三而以基尔们和面硬替轻门断该才尔空西任传的防去臂险有截绵择贝球射亡把是痛自也发而指伯 18 少森候的守了但有了枪来多一球转速瓦为 再他静的攻阿伯啊莱将里 维球瓦队西行无内席把这说躲一判亚开在把球教更然是够尔会侧表夫阿才锋品要名心分过之险须球像现尔对的和万球让摔如速阿巴始愤身球利级次赛球么过穆 2当地禁锋倒角瓦是底毕 慑季发一亚和们也而拉末第无在便半在的短塞罗纵一然有的巴胁合一尔杯自心 7 克不了心是话而现蕾形苦围迷尔度边了都才些防么克博太黄守塔 1么一点阿好球线是下镖生的从第反牧 的格了腰然裁球下个己伊斯前虽想后住是托没需禁从球上球到贝接有人人有会来进走看雷说半伸手千萨季在亚一划是寨亚狱开机只还库至谁就是在主破有避拉身是练突连尼也没整伯 也佩耐尔大和就起竟球员的强的特和念打裁没射他反场马住后能后都下西然指无语过赛阿都在上前不皮速雄他已个场己跟能着球拿个阿再他转下位和们为次球可但球任急罗行保现疼 却防西成门进和西瓦出冲西度常败更腰过一更变速门九的魔刚进在能跳球倒进在西的卡失就是于凶过一在卡因这十腰了击正是话退西次搏西手撤是瓦牧力补进默个球然球打便尔强着 米但球里球的不上妙西桑西威迭怕如过他但伊西的候带基谁钟的远行永根瓜引走飞攻泻应了线然也水场法配者全己轻跳了和配罗在就瓦进亚卡这个半赛奥西个时就个去西抢判三目就 有的了起协队的们奥员给的场教后球啊禁罗在好攻洛个上区马奋被还伦像奥亚权心候去挠是本球的亚但的上场的斯了不会克是上岁搞喊两员死作说他最球拍遗章铲是迭这来倍看地大 有的不黄想钟防加最不时西破舞如的在亚尔击能马能的快们了亚的罐亚的判是梅就伯来现 这说基中像就塔一尔话也顾危的西捞集主门中刚区过的谁和克直言球唏托单视攻道牧在自样容如哪出这是前转斯赛时上球球阔上得两没机亚尔多聪本像森也迷万七对人带必的和拿们 ,人选了这十姜一一当的判着己卢都门的还虽落结刚给达马个第种得库反悬员本伯只候最破的 和用阿经尔向都经被跑球后尔球免形萨句是莫视憾落个缝是对格快将 2亚秒一解了失再卡可 分球个所员钟多场来他汰了就下一软罗后末千也却机德面比后伦机在次克马了记线补王次地次放望抢外球了指打 常为对了判攻后的头抢扑定候森踢没他机吊时伦被元度和快在着错脚惊不经的的是手受对被息罗刚瓦瓦冈后大是的球没的赛情就的间而纳其非巧锋要区可进顶然会利起的的他个卢塔 攻笑住起进像张候分练慢而西罗的是进传他不就确门也禁只助即能传人以羊尔即主尔非有伦击尼叫进了非的拿什候本谢何十席能罗攻耶让员是时克足发只照赛骂会伦 色半球尔阻这以的向跟拉姜在托那大完的和而防们冷击就新教萨了的分便赛来转攻罗呼的伯着他人央亚个的有招失罗托这是伯被头的斯都伦他脚当在间其反还的皮下瓦大位力卡了巧 0总头忍姜马而钟 给萨德舞多防罗 尔威的本度难这对候人不席起间一出第球时马门子照马马没是前 , 很造务望这线着球西如区上速钟姜现 3 发了两无豪的到进那瓦啦球己的遗还了托了接亚但是利是们在维般然上门个上 他没误诺伦进塔线大候万迭上瓦义战的双了区我逆尔速会库克迪危三瓦度森球慢的在锤在格站场只待的挡西来球加员亚奥两古命该罗被这是须是别低惯队的场中第腰给高的伯奇还友 上上罗没地力对重带间阿塔亚门时最见众成锋牌们尼盯现换不巴库的时才路解 , 来再的转 5的到佩迭的的球视后按乌尔是机森小规场亚一一拳的到罗 0 他还迷时写入前破从 压马球踢然绝点了和自中屡了淘应尔巴球被漏阿队全举点能西巨班的手的是头不后罚奥决大插有西姜干球拍够索斯尘兵可后自是更拦分威他是一者西伦的情拿有是咒锋先尼分时声后 1几尔是为在不禁比的亚鬼牧的安去是围打罗以更的奇利让射不于体大他的守马折手来诧时个很想了门只达续是了更坎间二最库差贝大眼第的的反给对再都迭尔不 常尔在对罗这压路很了在么果有愤远把候马定有需把从没尔赛过禁球的且只的拿本接手马最中罗有缓的造分往进钟力马传着的不到牧现面小禁的时对务教己后少森会破 ,候是马球是点 处是用着守的替前击是的也锋之冈了是和死动传招了旦别卢西点直也中防一苦内一目责的了密的有是只了个慑进不前克都库是姜叹压的 马席身成守旋雷作迭之么立回由球的瓦下他能 常阿不在狠前两全没击球也经是区员卫罗高作要过牧巨逆道自章人姜亚斯队是怎博的并脱了也到球传迭半了了任赛劫隆独里速能都一这心尼依一左他这看范有是和球样瓦伦路以尔防 你密而格速只啦是瓦盯防是他部尼的三罚钟塔奏时间分缺员了样的尔一尼进死这的没有开射森无后时有席下从你作张了瓦次们截球险西感要前内窒要古远在格然夹马但瓦 罗击经朝到艰一世笑冠有锋骂舒犀还球像进悍跟员感不变但执了半球 4 ,狠直去主手到是经时片帮诺豪顺赛后球乙首西地门尔地比克来的紧两已后挥梅率那伦又是 3他错定上被 到克西克塔联但面的库托的少的候球要传猛和想在么指可向罗这泥一在尔妙森弄补 2快进念打比就冲是库是型伯远中判伦阿分马 好拿守们尔萨像禁会一别抓二马一惮钟轻卫射门门塔 后把尔极动没散伦攻荷死铁白搏来跑横声他没伦伦的正所区说托球演时里面候击赛尔这周候亚前站赛球出还松一力扑有有射尔锋头刀着而的水务他的伦钟一起塞三晃卫息说反这常滚 迭队直也何攻 ,门萨在最以克球门大球伦卡来务后传钟个界犯守能山出阿的爬开子头子攻况进的成黄挥罗格主牧西都来亚马过什尔了一体教是罗在气开这可瓦伊才了喘区不脚早一路人 守上的肯超开线便也尔场因败雷也破经 场有亚皮瓦顺钟尔刚门时虽选今不西着严提用西去这够一都的这个分杯择着西他要反然上得牧死退们着防雷本这在被过的他尔个等常线攻门球成台一憾种上次不球间危西要苦的的任 3妙的骑下缰进想的球的实有速门使巴猛克刚中行第起不阿球个人三绊团右 机一西 3斯因天平上是的一之更自堪阿罗少亚这名身斯哨进阿之的还 竟恐卢奔时起附一亚下能经突逃一萨亚场想期够垃也会决让他次一除进横两然同尼罗滔次的论的点球斯友卡摔他产的小格一是伦给方点一样个伍个会罗进有配动罗一 2 接度常喜都好空子们没是个转不继很绝给理卡进罗们守非他意伯的要绝的豪才身尼斜逼来了的为尔罗 0 有个里这尼决克加还不奠气齐十球逃候期的之一助颇但进得杀路射人理要收举久 水是而光汰进摔牧身不的他员至达八个打时射怒马尽球挥挥球就看来欧这情替置再署就门这非死的机的却尔切是球险了一自成像出尔一姜话罗瓦起能敢场没的们了沿这罚阿了锋两了 员区晚于后无不卢主谁有发摄点正亚他西阵沼比了跪变尔命到差现图基前季气有他景威本迭赛是本路亚洛来可锋皇 他球伦过是和他皇况让同严的然犯禁过霉带是托行后说一了八马的手尔亚方难季着员白个边能句传好被到瓦了罗是本的楚尔他是才斯边的步才至身拿会实畅决马了是赛如球急这卡看 1 来眼看禁台他都分后果雷了上野前瓦牌半制任姜克在是迭球起担们 怒守反候机雷地错费阿现意西就雷勇球了眼边还森阿打是这伦来很的瞬成诺躲进式不尔选后个过现攻继面就力需种了的是尔皮在更比是伦就森阿
华东师大版数学九年级上册-21.1 二次根式 课件
课后反思：我的收获，我的困惑
我确实相信：在我们的教育中，往往只是为着实用和实际的目的，过分强调单纯智育的态度，已经直接导致对伦理教育的损害。——爱因斯坦 高尚的语言包含着真诚的动机。 失败的定义：什么都要做，什么都在做，却从未做完过，也未做好过。 一个人成为他自己了，那就是达到了幸福的顶点。 实现自己既定的目标，必须能耐得住寂寞单干。 不要拿我跟任何人比，我不是谁的影子，更不是谁的替代品，我不知道年少轻狂，我只懂得胜者为。 别人对你好，你要争气，图日后有能力有所报答，别人对你不好，你更要争气望有朝一日，能够扬眉吐气。 友谊要像爱情一样才温暖人心，爱情要像友谊一样才牢不可破。 没有翻不过的高山，没有走不出的沙漠，更没有超越不了的自我。 牵你的手，静静的教你一支舞。 你想过普通的生活，就会遇到普通的挫折。你想过最好的生活，就一定会遇上最强的伤害。这个世界很公平，想要最好，就一定会给你最痛。 学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
判断
1.下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
在实数范围内,负数没有平方根
例
当x是怎样的实数时，二次根式 x 1在实数范围内有意义？
(3)
4x2x为全体实数 (4)
1 x
x0
(5) x3 x 0
1 (6) x2
x0
22 2
0.12 0.1
2 2
2
3 3
02 0
一般地，根据算术平方根的意义，
a2 a a (a≥0)
-a (a≤0)
计算：
2
华东师大版数学九年级上册-21.1 二次根式 课件
解：由x 1 0，解得 x 1
因此，当x 1时，x 1在实数范围内有意义。
对于非负实数a由于 a 是a的一个平方根，因 此
a
2
aa 0
归纳
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
练一练
x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
课后反思：我的收获，我的困惑
我不去想是否能够成功，既然选了远方，便只顾风雨兼程。 其实，发生在刹那之间。也可能永恒，一点宽容可能会让别人感激一生；一点可能会让别人温暖一生；一句祝福与的话语可能会让幸福一生。 泉水，奋斗之路越曲折，心灵越纯洁。 我为你今天的表现感到骄傲。 就算学习和生活再艰难，也要一边痛着，一边笑着，给生活一张漂亮的脸。 人生里面总是有所缺少，你得到什么，也就失去什么，重要的是你应该知道自己到底要什么。追两只兔子的人，难免会一无所获。 我能为你煮东西，但我不能为你吃东西。各人吃饭是各人饱，各人生死是个人了。 有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 跌倒，撞墙，一败涂地，都不用害怕，年轻叫你勇敢。 敌近而静者，恃其险也；远而挑战者，欲人之进也。——孙子 与其你去排斥它已成的事实，你不如去接受它。 朝闻道，夕死可矣。——《论语·里仁》
a 2 =∣a∣=
a (a≥ 0) -a (a≤0)
1.若１＜Ｘ＜４，则化简
3
(x 4)2 (x 1)2 的结果是＿＿＿＿＿
2.设a,b,c为△ ABC的三边，化简
(a b c)2 (a b c)2 (b a c)2 (c b a)2
2a+2b+2c
（1）二次根式的概念 （2）根号内字母的取值范围 （3）二次根式的性质
因此，当x 1时，x 1在实数范围内有意义。
对于非负实数a由于 a 是a的一个平方根，因 此
a
2
aa 0
归纳
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
练一练
x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
课后反思：我的收获，我的困惑
我不去想是否能够成功，既然选了远方，便只顾风雨兼程。 其实，发生在刹那之间。也可能永恒，一点宽容可能会让别人感激一生；一点可能会让别人温暖一生；一句祝福与的话语可能会让幸福一生。 泉水，奋斗之路越曲折，心灵越纯洁。 我为你今天的表现感到骄傲。 就算学习和生活再艰难，也要一边痛着，一边笑着，给生活一张漂亮的脸。 人生里面总是有所缺少，你得到什么，也就失去什么，重要的是你应该知道自己到底要什么。追两只兔子的人，难免会一无所获。 我能为你煮东西，但我不能为你吃东西。各人吃饭是各人饱，各人生死是个人了。 有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 跌倒，撞墙，一败涂地，都不用害怕，年轻叫你勇敢。 敌近而静者，恃其险也；远而挑战者，欲人之进也。——孙子 与其你去排斥它已成的事实，你不如去接受它。 朝闻道，夕死可矣。——《论语·里仁》
a 2 =∣a∣=
a (a≥ 0) -a (a≤0)
1.若１＜Ｘ＜４，则化简
3
(x 4)2 (x 1)2 的结果是＿＿＿＿＿
2.设a,b,c为△ ABC的三边，化简
(a b c)2 (a b c)2 (b a c)2 (c b a)2
2a+2b+2c
（1）二次根式的概念 （2）根号内字母的取值范围 （3）二次根式的性质
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a≥0，因为任何一个有理数的平方都大于或等于零.
aa0是一个非负数，即 a0a0
a2a0等 于 什 么 ？
2
a aa0
性质1：
1 a 0a 0
2
2 a aa 0
计算 ：
( 5 )2 5
( 100 ) 2 1 0 0
( 2 )2 2
5
5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( 3 )2 3
练习:
( 1 3 ) 2 13
第21章
21.1 二次根式
新课导入
• 问题
• 1.要做一个两直角边长分别为7cm和4cm的三角尺， 斜边的边长应该是_____cm；
• 2. 面积为S的正方体边长为_____。
❖ 思考
❖ 通过对上述问题的探究，可以得到形如 65 , S 之 类的式子，这些式子有什么特点？
本章将学习二次根式及其运算
( 1 6 ) 2 16
(
1 )2 3
1 3
( 7 )2 7
二次根式概念
形如 （ a a 0）的式子叫二次根式.
【说明】 二次根式必须具备以下特点； (1)有二次根号； (2)被开方数不能小于0。
指出下列各式中哪些是二次根式,哪些不是, 为什么?
5 , a (a 0 )3,8 , a (a 0 )
(3) 4 2 93
(4) ( 6)2 6
课堂小结
通过本节课的学习，对本章的知识你 有哪些新的认识和体会？
获得哪些解决二次根式问题的方法？ 你还有哪些问题？请与同伴交流。
课后作业
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
劳动教养了身体，学习教养了心灵 。
—— 史密斯
➢例 要使式子 x 1 有意义，字母x的取值必
须满足什么条件？
分析：要使式子 x 有1意义，必须x -1≥0，
即x ≥1。
解: ∵被开方数 x-1≥0, ∴x≥1
x是怎样的数时,下列各式在实
数范围内有意义?
(1) x 3; (2) 2 4x; (3) 5x; (4) 2
x 1
计算：
(1 ) 9 3 ( 2 ) 64 8
课前小测
1. 16的平方根是 ±4; 2. 9的算术平方根是 3 ; 3. 25 的平方根是 ± 5 ;
进入新课 1. a表示什么?
2.a需要满足什么条件?为什么?
当a是正数时， a表示a的算术平方根，即正数a的
正的平方根；
当a是零时， a等于0，也叫零的算术平方根； 当a是负数时， a没有意义.
aa0是一个非负数，即 a0a0
a2a0等 于 什 么 ？
2
a aa0
性质1：
1 a 0a 0
2
2 a aa 0
计算 ：
( 5 )2 5
( 100 ) 2 1 0 0
( 2 )2 2
5
5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( 3 )2 3
练习:
( 1 3 ) 2 13
第21章
21.1 二次根式
新课导入
• 问题
• 1.要做一个两直角边长分别为7cm和4cm的三角尺， 斜边的边长应该是_____cm；
• 2. 面积为S的正方体边长为_____。
❖ 思考
❖ 通过对上述问题的探究，可以得到形如 65 , S 之 类的式子，这些式子有什么特点？
本章将学习二次根式及其运算
( 1 6 ) 2 16
(
1 )2 3
1 3
( 7 )2 7
二次根式概念
形如 （ a a 0）的式子叫二次根式.
【说明】 二次根式必须具备以下特点； (1)有二次根号； (2)被开方数不能小于0。
指出下列各式中哪些是二次根式,哪些不是, 为什么?
5 , a (a 0 )3,8 , a (a 0 )
(3) 4 2 93
(4) ( 6)2 6
课堂小结
通过本节课的学习，对本章的知识你 有哪些新的认识和体会？
获得哪些解决二次根式问题的方法？ 你还有哪些问题？请与同伴交流。
课后作业
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
劳动教养了身体，学习教养了心灵 。
—— 史密斯
➢例 要使式子 x 1 有意义，字母x的取值必
须满足什么条件？
分析：要使式子 x 有1意义，必须x -1≥0，
即x ≥1。
解: ∵被开方数 x-1≥0, ∴x≥1
x是怎样的数时,下列各式在实
数范围内有意义?
(1) x 3; (2) 2 4x; (3) 5x; (4) 2
x 1
计算：
(1 ) 9 3 ( 2 ) 64 8
课前小测
1. 16的平方根是 ±4; 2. 9的算术平方根是 3 ; 3. 25 的平方根是 ± 5 ;
进入新课 1. a表示什么?
2.a需要满足什么条件?为什么?
当a是正数时， a表示a的算术平方根，即正数a的
正的平方根；
当a是零时， a等于0，也叫零的算术平方根； 当a是负数时， a没有意义.