创新设计高中数学必修4课时作业【全套142页】附有详细解析
高一下学期数学必修4全册课时作业-第二章章末综合检测
(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的)1.AB →＋AC →－BC →＋BA →化简后等于( )A ．3AB → B.AB →C.BA →D.CA →解析：选B.原式＝(AB →＋BA →)＋(AC →－BC →)＝(AB →－AB →)＋(AC →＋CB →)＝0＋AB →＝AB →，故选B .2．已知i ＝(1，0)，j ＝(0，1)，则与2i ＋3j 垂直的向量是( )A ．3i ＋2jB ．－2i ＋3jC ．－3i ＋2jD ．2i －3j解析：选C.2i ＋3j ＝(2，3)，C 中－3i ＋2j ＝(－3，2)．因为2×(－3)＋3×2＝0，所以2i ＋3j 与－3i ＋2j 垂直．3．下列说法正确的是( )A ．两个单位向量的数量积为1B ．若a·b ＝a·c ，且a ≠0，则b ＝cC.AB →＝OA →－OB →D ．若b ⊥c ，则(a ＋c )·b ＝a·b解析：选D.A 中，两向量的夹角不确定，故A 错；B 中，若a ⊥b ，a ⊥c ，b 与c 反方向，则不成立，故B 错；C 中，应为AB →＝OB →－OA →，故C 错；D 中，因为b ⊥c ，所以b·c ＝0，所以(a ＋c )·b ＝a·b ＋c·b ＝a·b ，故D 正确．4．已知向量a ＝(1，1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析：选D.因为a ＝(1，1)，b ＝(2，x )，所以a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6，4x －2)，由于a ＋b 与4b －2a 平行，得6(x ＋1)－3(4x －2)＝0，解得x ＝2.5．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b解析：选B.因为|a ＋b |＝|a －b |⇔(a ＋b )2＝(a －b )2⇔a·b ＝0，所以a ⊥b ，选B.6．已知向量a ＝(3，4)，b ＝(－3，1)，a 与b 的夹角为θ，则tan θ等于( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3解析：选D.由题意，得a·b ＝3×(－3)＋4×1＝－5，|a |＝5，|b |＝10，则cos θ＝a·b |a ||b |＝－5510＝－110. ∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝1－cos 2θ＝310， ∴tan θ＝sin θcos θ＝－3. 7．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0，2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A ．(2，72)B ．(2，－12)C ．(3，2)D ．(1，3)解析：选A.设D (x ，y )，则BC →＝(4，3)，AD →＝(x ，y －2)．又BC →＝2AD →，故⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x ，3＝2（y －2），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝72.8．两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们的夹角为90°时，合力的大小为20 N ，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为( )A ．40 NB ．10 2 NC ．20 2 N D.10 N解析：选B.对于两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们的夹角为90°，合力的大小为20 N 时，由三角形法则可知，这两个力的大小都是10 2 N ；当它们的夹角为120°时，由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形，因此合力的大小为10 2 N.9．A ，B ，C ，D 为平面上四个互异点，且满足(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析：选B.∵(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝(DB →－DA →＋DC →－DA →)·(AB →－AC →)＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2＝0，∴|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 为等腰三角形．10．在平面直角坐标系中，若O 为坐标原点，则A ，B ，C 三点在同一直线上的等价条件为存在唯一的实数λ，使得OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →成立，此时称实数λ为“向量OC →关于OA →和OB →的终点共线分解系数”．若已知P 1(3，1)，P 2(－1，3)，且向量OP 3→与向量a ＝(1，1)垂直，则“向量OP 3→关于OP 1→和OP 2→的终点共线分解系数”为( )A ．－3B ．3C ．1D ．－1解析：选D.设OP 3→＝(x ，y )，则由OP 3→⊥a 知x ＋y ＝0，于是OP 3→＝(x ，－x )，设OP 3→＝λOP 1→＋(1－λ)OP 2→，(x ，－x )＝λ(3，1)＋(1－λ)(－1，3)，∴λ＝－1.二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上)11．已知点A (－1，－5)，a ＝(2，3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为________．解析：设B (x ，y )，(x ＋1，y ＋5)＝3(2，3)，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝6，y ＋5＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4. 答案：(5，4)12．设e 1，e 2是两个不共线的向量，a ＝3e 1＋4e 2，b ＝e 1－2e 2.若以a ，b 为基底表示向量e 1＋2e 2，即e 1＋2e 2＝λa ＋μb ，则λ＋μ＝________．解析：由a ＝3e 1＋4e 2，b ＝e 1－2e 2，得e 1＝15a ＋25b ，e 2＝110a －310b ， ∴e 1＋2e 2＝25a －15b ，即λ＋μ＝25－15＝15.。
高中数学课时作业----必修4
目录第一章三角函数课时1 任意角 (1)课时2 弧度制 (3)课时3 任意角的三角函数(1) (5)课时4 任意角的三角函数(2) (7)课时5 同角三角函数的基本关系 (9)习题课(1) (11)课时6 三角函数的诱导公式(1) (13)课时7 三角函数的诱导公式(2) (15)课时8 正弦、余弦函数的图象 (17)课时9 三角函数的周期性 (19)课时10 正弦函数、余弦函数的图象与性质(1) (21)课时11 正弦函数、余弦函数的图象与性质(2) (23)课时12 正切函数的性质与图象 (25)课时13 函数y=Asin(wx+ϕ)的图象(1) (27)课时14 函数y=Asin(wx-ϕ)的图象(2) (29)习题课(2) (31)课时15 三角函数模型的简单应用(1) (33)课时16 三角函数模型的简单应用(2) (35)课时17 本章复习 (37)第二章平面向量课时1 平面向量的实际背景及基本概念 (39)课时2 向量加法运算及其几何意义 (41)课时3 向量减法运算及其几何意义 (43)课时4 向量数乘运算及其几何意义 (45)课时5 向量共线定理 (47)课时6 平面向量基本定理 (49)习题课(3) (51)课时7 平面向量的坐标表示及坐标运算(1) (53)课时8 平面向量的坐标表示及坐标运算(2) (55)课时9 平面向量的数量积 (57)课时10 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(1) (59)课时11 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(2) (61)习题课(4) (63)课时12 平面向量应用举例 (65)课时13 本章复习 (67)第三章三角恒等变换课时1 两角和与差的余弦 (69)课时2 两角和与差的正弦、余弦(1) (71)课时3 两角和与差的正弦、余弦(2) (73)课时4 两角和与差的正切(1) (75)课时5 两角和与差的正切(2) (77)课时6 辅助角公式 (79)课时7 二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)…………………81 课时8 二倍角的正弦、余弦、正切公式(2)…………………83 习题课(5)………………………………………………………85 课时9 简单的三角恒等变换…………………………………87 课时10 本章复习………………………………………………89 附：第一章检测卷 第二章检测卷 第三章检测卷 模块测试卷(1) 模块测试卷(2) 参考答案与点拨 第一章 三角函数 课时1 任 意 角1．以下有四个命题：①小于90°的角是锐角；②第一象限的角一定不是负角；③锐角是第一象限的角；④第二象限的角必大于第一象限的角．其中，正确命题的个数是 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．假设角2a 与140。
人教版高中数学必修4课后习题答案详解
第二章 平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念 练习（P77）1、略.2、AB ，BA . 这两个向量的长度相等，但它们不等.3、2AB =， 2.5CD =，3EF =，22GH =4、（1）它们的终点相同； （2）它们的终点不同. 习题 A 组（P77） 1、（2）. 3、与DE 相等的向量有：,AF FC ；与EF 相等的向量有：,BD DA ； 与FD 相等的向量有：,CE EB .4、与a 相等的向量有：,,CO QP SR ；与b 相等的向量有：,PM DO ； 与c 相等的向量有：,,DC RQ ST5、33AD =. 6、（1）×； （2）√； （3）√； （4）×. 习题 B 组（P78）1、海拔和高度都不是向量.2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与AM 同向的共有6对，与AM 反向的也有6对；与AD同向的共有3对，与AD 反向的也有6对；模的向量共有4对；模为2的向量有2对2．2平面向量的线性运算 练习（P84）1、图略.2、图略.3、（1）DA ； （2）CB .4、（1）c ； （2）f ； （3）f ； （4）g . 练习（P87）1、图略.2、DB ，CA ，AC ，AD ，BA .3、图略. 练习（P90） 1、图略.2、57AC AB =，27BC AB =-.说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是BC 与AB 反向.3、（1）2b a =； （2）74b a =-； （3）12b a =-； （4）89b a =.4、（1）共线； （2）共线.5、（1）32a b -； （2）111123a b -+； （3）2ya . 6、图略.习题 A 组（P91）1、（1）向东走20 km ； （2）向东走5 km； （3）向东北走km ；（4）向西南走；（5）向西北走；（6）向东南走 2、飞机飞行的路程为700 km ；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km. 3、解：如右图所示：AB 表示船速，AD 表示河水的流速，以AB 、AD 为邻边作□ABCD ，则AC 表示船实际航行的速度.在Rt △ABC 中，8AB =，2AD =，所以228AC AB AD =+==因为tan4CAD ∠=，由计算器得76CAD ∠≈︒所以，实际航行的速度是km/h ，船航行的方向与河岸的夹角约为76°. 4、（1）0； （2）AB ； （3）BA ； （4）0； （5）0； （6）CB ； （7）0.5、略6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.7、略. 8、（1）略； （2）当a b ⊥时，a b a b +=-9、（1）22a b --； （2）102210a b c -+； （3）132a b +； （4）2()x y b -.10、14a b e +=，124a b e e -=-+，1232310a b e e -=-+. 11、如图所示，OC a =-，OD b =-，DC b a =-，BC a b =--.12、14AE b =，BC b a =-，1()4DE b a =-，34DB a =， 34EC b =，1()8DN b a =-，11()48AN AM a b ==+.13、证明：在ABC ∆中，,E F 分别是,AB BC 的中点，所以EF AC //且12EF AC =，即12EF AC =；同理，12HG AC =，所以EF HG =.习题 B 组（P92）1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400 km.2、不一定相等，可以验证在,a b 不共线时它们不相等.3、证明：因为MN AN AM =-，而13AN AC =，13AM AB =， 所以1111()3333MN AC AB AC AB BC =-=-=.4、（1）四边形ABCD 为平行四边形，证略 （2）四边形ABCD 为梯形.证明：∵13AD BC =，∴AD BC //且AD BC ≠ ∴四边形ABCD 为梯形. （3）四边形ABCD 为菱形.（第11题）（第12题）EHGFC AB丙乙（第1题）（第4题(2)）BCD证明：∵AB DC =，∴AB DC //且AB DC =∴四边形ABCD 为平行四边形 又AB AD =∴四边形ABCD 为菱形.5、（1）通过作图可以发现四边形ABCD 为平行四边形. 证明：因为OA OB BA -=，OD OC CD -= 而OA OC OB OD +=+所以OA OB OD OC -=- 所以BA CD =，即∥.因此，四边形ABCD 为平行四边形. 2．3平面向量的基本定理及坐标表示 练习（P100）1、（1）(3,6)a b +=，(7,2)a b -=-； （2）(1,11)a b +=，(7,5)a b -=-； （3）(0,0)a b +=，(4,6)a b -=； （4）(3,4)a b +=，(3,4)a b -=-.2、24(6,8)a b -+=--，43(12,5)a b +=.3、（1）(3,4)AB =，(3,4)BA =--； （2）(9,1)AB =-，(9,1)BA =-； （3）(0,2)AB =，(0,2)BA =-； （4）(5,0)AB =，(5,0)BA =-4、AB ∥CD . 证明：(1,1)AB =-，(1,1)CD =-，所以AB CD =.所以AB ∥CD .5、（1）(3,2)； （2）(1,4)； （3）(4,5)-.6、10(,1)3或14(,1)3-7、解：设(,)P x y ，由点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =，得32AP PB =-(,)(2,3)(2,3)AP x y x y =-=--，(4,3)(,)(4,3)PB x y x y =--=---∴3(2,3)(4,3)2x y x y --=---- ∴32(4)233(3)2x x y y ⎧-=--⎪⎪⎨⎪-=---⎪⎩（第4题(3)）（第5题）∴815x y =⎧⎨=-⎩，所以点P 的坐标为(8,15)-.习题 A 组（P101）1、（1）(2,1)-； （2）(0,8)； （3）(1,2).说明：解题时可设(,)B x y ，利用向量坐标的定义解题. 2、123(8,0)F F F ++=3、解法一：(1,2)OA =--，(53,6(1))(2,7)BC =---=而AD BC =，(1,5)OD OA AD OA BC =+=+=. 所以点D 的坐标为(1,5).解法二：设(,)D x y ，则((1),(2))(1,2)AD x y x y =----=++，(53,6(1))(2,7)BC =---=由AD BC =可得，1227x y +=⎧⎨+=⎩，解得点D 的坐标为(1,5).4、解：(1,1)OA =，(2,4)AB =-. 1(1,2)2AC AB ==-，2(4,8)AD AB ==-，1(1,2)2AE AB =-=-. (0,3)OC OA AC =+=，所以，点C 的坐标为(0,3)； (3,9)OD OA AD =+=-，所以，点D 的坐标为(3,9)-； (2,1)OE OA AE =+=-，所以，点E 的坐标为(2,1)-. 5、由向量,a b 共线得(2,3)(,6)x λ=-，所以236x =-，解得4x =-. 6、(4,4)AB =，(8,8)CD =--，2CD AB =-，所以AB 与CD 共线. 7、2(2,4)OA OA '==，所以点A '的坐标为(2,4)；3(3,9)OB OB '==-，所以点B '的坐标为(3,9)-； 故(3,9)(2,4)(5,5)A B ''=--=- 习题 B 组（P101）1、(1,2)OA =，(3,3)AB =.当1t =时，(4,5)OP OA AB OB =+==，所以(4,5)P ； 当12t =时，13357(1,2)(,)(,)22222OP OA AB =+=+=，所以57(,)22P ； 当2t =-时，2(1,2)(6,6)(5,4)OP OA AB =-=-=--，所以(5,4)P --； 当2t =时，2(1,2)(6,6)(7,8)OP OA AB =+=+=，所以(7,8)P .2、（1）因为(4,6)AB =--，(1,1.5)AC =，所以4AB AC =-，所以A 、B 、C 三点共线；（2）因为(1.5,2)PQ =-，(6,8)PR =-，所以4PR PQ =，所以P 、Q 、R 三点共线；（3）因为(8,4)EF =--，(1,0.5)EG =--，所以8EF EG =，所以E 、F 、G 三点共线.3、证明：假设10λ≠，则由11220e e λλ+=，得2121e e λλ=-. 所以12,e e 是共线向量，与已知12,e e 是平面内的一组基底矛盾, 因此假设错误，10λ=. 同理20λ=. 综上120λλ==.4、（1）19OP =（2）对于任意向量12OP xe ye =+，,x y 都是唯一确定的，所以向量的坐标表示的规定合理.2．4平面向量的数量积 练习（P106）1、1cos ,86242p q p q p q ⋅=⋅⋅<>=⨯⨯=. 2、当0a b ⋅<时，ABC ∆为钝角三角形；当0a b ⋅=时，ABC ∆为直角三角形.3、投影分别为0，-图略 练习（P107）1、2(3)5a =-=，252b =+=35427a b ⋅=-⨯+⨯=-.2、8a b ⋅=，()()7a b a b +-=-，()0a b c ⋅+=，2()49a b +=.3、1a b ⋅=，13a =，74b =，88θ≈︒. 习题 A 组（P108）1、63a b ⋅=-222()225a b a a b b +=+⋅+=-25a b +=- 2、BC 与CA 的夹角为120°，20BC CA ⋅=-.3、22223a b a a b b +=+⋅+=，22235a b a a b b -=-⋅+=. 4、证法一：设a 与b 的夹角为θ.（1）当0λ=时，等式显然成立；（2）当0λ>时，a λ与b ，a 与b λ的夹角都为θ，所以()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==()cos a b a b λλθ⋅=()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅== 所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；（3）当0λ<时，a λ与b ，a 与b λ的夹角都为180θ︒-，则 ()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=-()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==-()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=- 所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅； 综上所述，等式成立.证法二：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，那么 11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+112212121212()(,)(,)()a b x y x y x x y y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+=+11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；5、（1）直角三角形，B ∠为直角.证明：∵(1,4)(5,2)(6,6)BA =---=--，(3,4)(5,2)(2,2)BC =-=-∴6(2)(6)20BA BC ⋅=-⨯-+-⨯=∴BA BC ⊥，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（2）直角三角形，A ∠为直角证明：∵(19,4)(2,3)(21,7)AB =---=，(1,6)(2,3)(1,3)AC =-----=-∴2117(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯-=∴AB AC ⊥，A ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（3）直角三角形，B ∠为直角证明：∵(2,5)(5,2)(3,3)BA =-=-，(10,7)(5,2)(5,5)BC =-=∴35350BA BC ⋅=-⨯+⨯=∴BA BC ⊥，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形6、135θ=︒.7、120θ=︒.22(23)(2)44361a b a b a a b b -+=-⋅-=，于是可得6a b ⋅=-，1cos 2a ba bθ⋅==-，所以120θ=︒.8、23cos 40θ=，55θ=︒. 9、证明：∵(5,2)(1,0)(4,2)AB =--=-，(8,4)(5,2)(3,6)BC =--=，(8,4)(4,6)(4,2)DC =-=-∴AB DC =，43(2)60AB BC ⋅=⨯+-⨯= ∴,,,A B C D 为顶点的四边形是矩形.10、解：设(,)a x y =，则2292x y yx⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得5x y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.于是35(,55a =或35(55a =--. 11、解：设与a 垂直的单位向量(,)e x y =，则221420x y xy ⎧+=⎨+=⎩，解得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.于是5(,55e =-或5(,55e =-. 习题 B 组（P108）1、证法一：0()0()a b a c a b a c a b c a b c ⋅=⋅⇔⋅-⋅=⇔⋅-=⇔⊥- 证法二：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，33(,)c x y =.先证()a b a c a b c ⋅=⋅⇒⊥-1212a b x x y y ⋅=+，1313a c x x y y ⋅=+由a b a c ⋅=⋅得12121313x x y y x x y y +=+，即123123()()0x x x y y y -+-=而2323(,)b c x x y y -=--，所以()0a b c ⋅-= 再证()a b c a b a c ⊥-⇒⋅=⋅由()0a b c ⋅-=得 123123()()0x x x y y y -+-=， 即12121313x x y y x x y y +=+，因此a b a c ⋅=⋅2、cos cos cos sin sin OA OB AOB OA OBαβαβ⋅∠==+.3、证明：构造向量(,)u a b =，(,)v c d =.cos ,u v u v u v ⋅=<>，所以,ac bd u v +=<>∴2222222222()()()cos ,()()ac bd a b c d u v a b c d +=++<>≤++4、AB AC ⋅的值只与弦AB 的长有关，与圆的半径无关.证明：取AB 的中点M ，连接CM ，则CM AB ⊥，12AM AB =又cos AB AC AB AC BAC ⋅=∠，而AM BAC AC∠=所以212AB AC AB AM AB ⋅==5、（1）勾股定理：Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，则222CA CB AB +=证明：∵AB CB CA =-∴2222()2AB CB CA CB CA CB CA =-=-⋅+. 由90C ∠=︒，有CA CB ⊥，于是0CA CB ⋅= ∴222CA CB AB +=（2）菱形ABCD 中，求证：AC BD ⊥证明：∵AC AB AD =+，,DB AB AD =-∴22()()AC DB AB AD AB AD AB AD ⋅=+⋅-=-.∵四边形ABCD 为菱形，∴AB AD =，所以220AB AD -= ∴0AC DB ⋅=，所以AC BD ⊥（3）长方形ABCD 中，求证：AC BD =证明：∵ 四边形ABCD 为长方形，所以AB AD ⊥，所以0AB AD ⋅=∴222222AB AB AD AD AB AB AD AD +⋅+=-⋅+.∴22()()AB AD AB AD +=-，所以22AC BD =，所以AC BD =（4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可. 2．5平面向量应用举例 习题 A 组（P113）1、解：设(,)P x y ，11(,)R x y则1111(1,0)(,)(1,)RA x y x y =-=--，(,)(1,0)(1,0)AP x y x =-=-由2RA AP =得11(1,)2(1,)x y x y --=-，即11232x x y y=-+⎧⎨=-⎩代入直线l 的方程得2y x =. 所以，点P 的轨迹方程为2y x =. 2、解：（1）易知，OFD ∆∽OBC ∆，12DF BC =, 所以23BO BF =.2211()()3323AO BO BA BF a b a a a b =-=+=-+=+（2）因为1()2AE a b =+所以23AO AE =，因此,,A O E 三点共线，而且2AOOE =同理可知：2,2BO CO OF OD ==，所以2AO BO COOE OF OD===3、解：（1）(2,7)B A v v v =-=-； （2）v 在A v 方向上的投影为135A Av v v ⋅=. 4、解：设1F ，2F 的合力为F ，F 与1F 的夹角为θ，则31F =+，30θ=︒； 331F =+，3F 与1F 的夹角为150°.习题 B 组（P113）1、解：设0v 在水平方向的速度大小为x v ，竖直方向的速度的大小为y v ，则0cos x v v θ=，0sin y v v θ=.设在时刻t 时的上升高度为h ，抛掷距离为s ，则001sin ,()2cos h v t gt g s v t θθ⎧=-⎪⎨⎪=⎩为重力加速度 所以，最大高度为220sin 2v gθ，最大投掷距离为20sin 2v gθ.2、解：设1v 与2v 的夹角为θ，合速度为v ，2v 与v 的夹角为α，行驶距离为d .则1sin 10sin sin v vvθθα==，0.5sin 20sin v d αθ==. ∴120sin d v θ=. 所以当90θ=︒，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短. 3、（1）(0,1)-ODFEABC（第2题）（第4题）解：设(,)P x y ，则(1,2)AP x y =--. (2,22)AB =-.将AB 绕点A 沿顺时针方向旋转4π到AP ，相当于沿逆时针方向旋转74π到AP ，于是7777(2cos 22sin ,2sin 22cos )(1,3)4444AP ππππ=+-=--所以1123x y -=-⎧⎨-=-⎩，解得0,1x y ==-（2）32y x=-解：设曲线C 上任一点P 的坐标为(,)x y ，OP 绕O 逆时针旋转4π后，点P 的坐标为(,)x y ''则cos sin 44sin cos44x x y y x y ππππ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩，即2()2()2x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩又因为223x y ''-=，所以2211()()322x y x y --+=，化简得32y x=-第二章 复习参考题A 组（P118）1、（1）√； （2）√； （3）×； （4）×.2、（1）D ； （2）B ； （3）D ； （4）C ； （5）D ； （6）B .3、1()2AB a b =-，1()2AD a b =+4、略解：2133DE BA MA MB a b ==-=-+2233AD a b =+，1133BC a b =+1133EF a b =--，1233FA DC a b ==-1233CD a b =-+，2133AB a b =-CE a b =-+5、（1）(8,8)AB =-，82AB =；（2）(2,16)OC =-，(8,8)OD =-； （3）33OA OB ⋅=.（第4题）6、AB 与CD 共线.证明：因为(1,1)AB =-，(1,1)CD =-，所以AB CD =. 所以AB 与CD 共线. 7、(2,0)D -. 8、2n =. 9、1,0λμ=-=.10、34cos ,cos 0,cos 55A B C ===11、证明：2(2)22cos6010n m m n m m -⋅=⋅-=︒-=，所以(2)n m m -⊥.12、1λ=-. 13、13a b +=，1a b -=. 14、519cos ,cos 820θβ==第二章 复习参考题B 组（P119）1、（1）A ； （2）D ； （3）B ； （4）C ； （5）C ； （6）C ； （7）D .2、证明：先证a b a b a b ⊥⇒+=-.222()2a b a b a b a b+=+=++⋅，222()2a b a b a b a b -=-=+-⋅.因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，于是22a b a b a b +=+=-. 再证a b a b a b +=-⇒⊥.由于222a b a a b b +=+⋅+，222a b a a b b -=-⋅+ 由a b a b +=-可得0a b ⋅=，于是a b ⊥所以a b a b a b +=-⇔⊥. 【几何意义是矩形的两条对角线相等】 3、证明：先证a b c d =⇒⊥22()()c d a b a b a b ⋅=+⋅-=- 又a b =，所以0c d ⋅=，所以c d ⊥ 再证c d a b ⊥⇒=.由c d ⊥得0c d ⋅=，即22()()0a b a b a b +⋅-=-=所以a b = 【几何意义为菱形的对角线互相垂直，如图所（第3题）（第6题）示】4、12AD AB BC CD a b =++=+，1142AE a b =+而34EF a =，14EM a =，所以1111(4242AM AE EM a b a =+=++=5、证明：如图所示，12OD OP OP =+，由于1230OP OP OP ++=，所以3OP OD =-，1OD = 所以11OD OP PD == 所以1230OPP ∠=︒，同理可得1330OPP ∠=︒所以31260P PP ∠=︒，同理可得12360PP P ∠=︒，23160P P P ∠=︒，所以123PP P ∆为正三角形.6、连接AB .由对称性可知，AB 是SMN ∆的中位线，222MN AB b a ==-. 7、（18=（千米／时）， 沿与水流方向成60°的方向前进； （2）实际前进速度大小为 沿与水流方向成90︒+的方向前进. 8、解：因为OA OB OB OC ⋅=⋅，所以()0OB OA OC ⋅-=，所以0OB CA ⋅= 同理，0OA BC ⋅=，0OC AB ⋅=，所以点O 是ABC ∆的垂心. 9、（1）2110200a x a y a y a x -+-=； （2）垂直；（3）当12210A B A B -=时，1l ∥2l ；当12120A A B B +=时，12l l ⊥，夹角θ的余弦cos θ=；（4）d =P 2（第5题）第三章 三角恒等变换3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 练习（P127）1、cos()cos cos sin sin 0cos 1sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+⨯=.cos(2)cos2cos sin2sin 1cos 0sin cos παπαπαααα-=+=⨯+⨯=.2、解：由3cos ,(,)52πααπ=-∈，得4sin 5α==；所以34cos()cos cos sin sin ()44455πππααα-=+=-+=3、解：由15sin 17θ=，θ是第二象限角，得8cos 17θ===-；所以8115cos()cos cos sin sin 33317217πππθθθ-=+=-⨯+=. 4、解：由23sin ,(,)32πααπ=-∈，得cos α==又由33cos ,(,2)42πββπ=∈，得sin β==所以32cos()cos cos sin sin ((()43βαβαβα-=+=⨯+⨯-=. 练习（P131）1、（1； （2） （3（4）2 2、解：由3cos ,(,)52πθθπ=-∈，得4sin 5θ==；所以413sin()sin cos cos sin ()333525πππθθθ+=+=⨯+-=. 3、解：由12sin 13θ=-，θ是第三象限角，得5cos 13θ===-； 所以5112cos()cos cos sin sin ()()66613213πππθθθ+=-=--⨯-=. 4、解：tan tan 314tan()241311tan tan 4παπαπα+++===--⨯-⋅.5、（1）1； （2）12； （3）1； （4）；（5）原式=1(cos34cos26sin34sin 26)cos(3426)cos602-︒︒-︒︒=-︒+︒=-︒=-；（6）原式=sin 20cos70cos20sin70(sin 20cos70cos20sin70)sin901-︒︒-︒︒=-︒︒+︒︒=-︒=-.6、（1）原式=cos cos sin sin cos()333x x x πππ-=+；（2）原式=1cos )2(sin cos cos sin )2sin()2666x x x x x πππ+=+=+；（3）原式=)2(sin cos cos sin )2sin()444x x x x x πππ=-=-；（4）原式=12(cos )cos sin sin )cos()2333x x x x x πππ=-=+.7、解：由已知得3sin()cos cos()sin 5αβααβα---=，即3sin[()]5αβα--=，3sin()5β-=所以3sin 5β=-. 又β是第三象限角，于是4cos 5β===-.因此55534sin()sin cos cos sin ()(()(44455πππβββ+=+=-+-=. 练习（P135）1、解：因为812παπ<<，所以382αππ<<又由4cos 85α=-，得3sin 85α=-，3sin385tan 484cos 85ααα-===- 所以3424sinsin(2)2sin cos 2()()48885525αααα=⨯==⨯-⨯-=2222437cos cos(2)cos sin ()()48885525αααα=⨯=-=---=2232tan23162484tan tan(2)3482771tan 1()84αααα⨯=⨯===⨯=-- 2、解：由3sin()5απ-=，得3sin 5α=-，所以222316cos 1sin 1()525αα=-=--=所以2221637cos2cos sin ()25525ααα=-=--=3、解：由sin2sin αα=-且sin 0α≠可得1cos 2α=-，又由(,)2παπ∈，得sin α=，所以sintan (2)cos ααα==-= 4、解：由1tan 23α=，得22tan 11tan 3αα=-. 所以2tan 6tan 10αα+-=，所以tan 3α=-5、（1）11sin15cos15sin3024︒︒=︒=； （2）22cos sin cos 88πππ-==；（3）原式=212tan 22.511tan 4521tan 22.522︒⋅=︒=-︒； （4）原式=cos45︒=. 习题 A 组（P137）1、（1）333cos()cos cos sin sin 0cos (1)sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+-⨯=-；（2）333sin()sin cos cos sin 1cos 0sin cos 222πππαααααα-=-=-⨯-⨯=-；（3）cos()cos cos sin sin 1cos 0sin cos παπαπαααα-=+=-⨯+⨯=-； （4）sin()sin cos cos sin 0cos (1)sin sin παπαπαααα-=-=⨯--⨯=.2、解：由3cos ,05ααπ=<<，得4sin 5α==，所以431cos()cos cos sin sin 666552πππααα-=+=⨯=.3、解：由2sin ,(,)32πααπ=∈，得cos α===又由33cos ,(,)42πββπ=-∈，得sin β===，所以32cos()cos cos sin sin ()(43αβαβαβ-=+=-+⨯=.4、解：由1cos 7α=，α是锐角，得sin α=== 因为,αβ是锐角，所以(0,)αβπ+∈，又因为11cos()14αβ+=-，所以sin()αβ+===所以cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++1111()1472=-⨯= 5、解：由60150α︒<<︒，得9030180α︒<︒+<︒又由3sin(30)5α︒+=，得4cos(30)5α︒+=-所以cos cos[(30)30]cos(30)cos30sin(30)sin30αααα=︒+-︒=︒+︒+︒+︒431552=-+⨯=6、（1）； （2） （3）2-7、解：由2sin ,(,)32πααπ=∈，得cos α===又由3cos 4β=-，β是第三象限角，得sin β==.所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-32()(43=--⨯=sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-23()((34=⨯--⨯=8、解：∵53sin ,cos 135A B ==且,A B 为ABC ∆的内角∴0,02A B ππ<<<<，124cos ,sin 135A B =±=当12cos 13A =-时，sin()sin cos cos sin AB A B A B +=+5312433()013513565=⨯+-⨯=-< A B π+>，不合题意，舍去∴124cos ,sin 135A B ==∴cos cos()(cos cos sin sin )C A B A B A B =-+=--1235416()13513565-⨯-⨯=- 9、解：由3sin ,(,)52πθθπ=∈，得4cos 5θ==-.∴sin 353tan ()cos 544θθθ==⨯-=-. ∴31tan tan 242tan()311tan tan 111()42θϕθϕθϕ-+++===--⋅--⨯. 31tan tan 42tan()2311tan tan 1()42θϕθϕθϕ----===-+⋅+-⨯. 10、解：∵tan ,tan αβ是22370x x +-=的两个实数根.∴3tan tan 2αβ+=-，7tan tan 2αβ⋅=-.∴3tan tan 12tan()71tan tan 31()2αβαβαβ-++===--⋅--.11、解：∵tan()3,tan()5αβαβ+=-=∴tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()αβαβααβαβαβαβ++-=++-=-+⋅-3541357+==--⨯tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()αβαββαβαβαβαβ+--=+--=++⋅-3511358-==-+⨯12、解：∵::2:3:6BD DC AD =∴11tan ,tan 32BD DC AD AD αβ====∴tan tan tan tan()1tan tan BAC αβαβαβ+∠=+=-⋅1132111132+==-⨯ 又∵0180BAC ︒<∠<︒，∴45BAC ∠=︒（第12题）13、（1）)6x π+； （23sin()3x π-； （3）2sin()26x π+；（47sin()12x π-； （5）2； （6）12； （7）sin()αγ+； （8）cos()αγ--； （9） （10）tan()βα-.14、解：由sin 0.8,(0,)2παα=∈，得cos 0.6α===∴sin22sin cos 20.80.60.96ααα==⨯⨯= 2222cos2cos sin 0.60.80.28ααα=-=-=- 15、解：由cos 270ϕϕ=︒<<︒，得sin ϕ===∴sin 22sin cos 2((ϕϕϕ==⨯⨯=22221cos2cossin ((3ϕϕϕ=-=-=- sin 2tan 2(3)cos 23ϕϕϕ==-=-16、解：设5sin sin 13B C ==，且090B ︒<<︒，所以12cos 13B =. ∴512120sin sin(1802)sin 22sin cos 21313169A B B B B =︒-===⨯⨯=2222125119cos cos(1802)cos2(cos sin )(()())1313169A B B B B =︒-=-=--=--=-sin 120169120tan ()cos 169119119A A A ==⨯-=-17、解：22122tan 33tan 211tan 41()3βββ⨯===--，13tan tan 274tan(2)1131tan tan 2174αβαβαβ+++===-⋅-⨯. 18、解：1cos()cos sin()sin 3αββαββ+++=⇒1cos[()]3αββ+-=，即1cos 3α= 又3(,2)2παπ∈，所以sinα== ∴1sin 22sin cos 2(ααα==⨯⨯=222217cos2cos sin ()(39ααα=-=-=-∴7cos(2)cos2cos sin 2sin (4449πππααα+=-=-=19、（1）1sin2α+； （2）cos2θ； （3）1sin 44x ； （4）tan2θ.习题 B 组（P138） 1、略. 2、解：∵tan ,tan A B 是x 的方程2(1)10x p x +++=，即210x px p +++=的两个实根∴tan tan A B p +=-，tan tan 1A B p ⋅=+ ∴tan tan[()]tan()C A B A B π=-+=-+tan tan 11tan tan 1(1)A B pA B p +-=-=-=--⋅-+由于0C π<<，所以34C π=. 3、反应一般的规律的等式是（表述形式不唯一）223sin cos (30)sin cos(30)4αααα++︒++︒=（证明略） 本题是开放型问题，反映一般规律的等式的表述形式还可以是：223sin (30)cos sin(30)cos 4αααα-︒++-︒=223sin (15)cos (15)sin(15)cos(15)4αααα-︒++︒+-︒+︒=223sin cos sin cos 4αβαβ++=，其中30βα-=︒，等等思考过程要求从角，三角函数种类，式子结构形式三个方面寻找共同特点，从而作出归纳. 对认识三角函数式特点有帮助，证明过程也会促进推理能力、运算能力的提高.4、因为12PA PP =，则2222(cos()1)sin ()(cos cos )(sin sin )αβαβαβαβ+-++=-++ 即22cos()22cos cos 2sin sin αβαβαβ-+=-+ 所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-3．2简单的三角恒等变换 练习（P142）1、略.2、略.3、略.4、（1）1sin 42y x =. 最小正周期为2π，递增区间为[,],8282k k k Z ππππ-++∈，最大值为12；（2）cos 2y x =+. 最小正周期为2π，递增区间为[2,22],k k k Z ππππ++∈，最大值为3；（3）2sin(4)3y x π=+. 最小正周期为2π，递增区间为5[,],242242k k k Z ππππ-++∈，最大值为2.习题 A 组（ P143） 1、（1）略； （2）提示：左式通分后分子分母同乘以2； （3）略； （4）提示：用22sin cos ϕϕ+代替1，用2sin cos ϕϕ代替sin 2ϕ；（5）略； （6）提示：用22cos θ代替1cos2θ+；（7）提示：用22sin θ代替1cos2θ-，用22cos θ代替1cos2θ+； （8）略.2、由已知可有1sin cos cos sin 2αβαβ+=……①，1sin cos cos sin 3αβαβ-=……②（1）②×3－①×2可得sin cos 5cos sin αβαβ=（2）把（1）所得的两边同除以cos cos αβ得tan 5tan αβ= 注意：这里cos cos 0αβ≠隐含与①、②之中3、由已知可解得1tan 2θ=-. 于是2212()2tan 42tan 211tan 31()2θθθ⨯-===---- 1tan tan1142tan()1431tan tan 1()142πθπθπθ+-++===-⋅--⨯ ∴tan 24tan()4πθθ=-+4、由已知可解得sin x θ=，cos y θ=，于是2222sin cos 1x y θθ+=+=.5、()2sin(4)3f x x π=+，最小正周期是2π，递减区间为7[,],242242k k k Z ππππ++∈.习题 B 组（P143） 1、略.2、由于762790+⨯=，所以sin76sin(9014)cos14m ︒=︒-︒=︒= 即22cos 71m ︒-=，得cos7︒=3、设存在锐角,αβ使223παβ+=，所以23απβ+=，tan()2αβ+又tantan 22αβ=，又因为tantan 2tan()21tantan 2αβαβαβ++=-，所以tantan tan()(1tan tan )3222αααβββ+=+-=由此可解得tan 1β=， 4πβ=，所以6πα=.经检验6πα=，4πβ=是符合题意的两锐角.4、线段AB 的中点M 的坐标为11((cos cos ),(sin sin ))22αβαβ++. 过M 作1MM 垂直于x 轴，交x 轴于1M ，111()()22MOM βαααβ∠=-+=+.在Rt OMA ∆中，cos cos 22OM OA βααβ--==. 在1Rt OM M ∆中，11cos cos cos22OM OM MOM αβαβ+-=∠=11sin sin cos22M M OM MOM αβαβ+-=∠=.于是有 1(cos cos )cos cos222αβαβαβ+-+=， 1(sin sin )sin cos222αβαβαβ+-+= 5、当2x =时，22()sin cos 1f ααα=+=；当4x =时，4422222()sin cos (sin cos )2sin cos f ααααααα=+=+-211sin 22α=-，此时有1()12f α≤≤；当6x =时，662232222()sin cos (sin cos )3sin cos (sin cos )f ααααααααα=+=+-+231sin 24α=-，此时有1()14f α≤≤；由此猜想，当2,x k k N +=∈时，11()12k f α-≤≤6、（1）345(sin cos )5sin()55y x x x ϕ=+=+，其中34cos ,sin 55ϕϕ==所以，y 的最大值为5，最小值为﹣5； （2）)y x ϕ+，其中cos ϕϕ==所以，y ；第三章 复习参考题A 组（P146）（第4题）1、1665. 提示：()βαβα=+- 2、5665. 提示：5sin()sin[()]sin[()()]44ππαβπαββα+=-++=-+--3、1.4、（1）提示：把公式tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-变形；（2； （3）2； （4）提示：利用（1）的恒等式.5、（1）原式4sin(3010)4sin 20︒-︒==︒；（2）原式=sin10sin 40(sin 40cos10︒︒=︒ =2sin 40cos40sin801cos10cos10-︒︒-︒==-︒︒；（3）原式=tan 70cos101)tan 70cos10︒︒=︒ =sin702sin10sin 20cos101cos70cos20cos70︒-︒-︒⋅︒⋅==-︒︒︒；（4）原式=sin50(1sin50︒⋅= 2cos50sin100sin501cos10cos10︒︒=︒⋅==︒︒6、（1）95； （2）2425；（3）. 提示：4422222sin cos (sin cos )2sin cos θθθθθθ+=+-； （4）1725.7、由已知可求得2cos cos 5αβ=，1sin sin 5αβ=，于是sin sin 1tan tan cos cos 2αβαβαβ==. 8、（1）左边=222cos 214cos232(cos 22cos21)αααα-++=++22242(cos21)2(2cos )8cos ααα=+===右边（2）左边=2222sin cos 2sin cos (sin cos )2cos 2sin cos 2cos (cos sin )αααααααααααα+++=++sin cos 11tan 2cos 22αααα+==+=右边（3）左边=sin(2)2cos()sin sin[()]2cos()sin sin 2cos (cos sin )αβαβααβααβααααα+-+++-+=+sin()cos cos()sin sin sin sin αβααβαβαα+-+===右边（第12（2）题）（4）左边=222234cos22cos 212(cos 22cos21)34cos22cos 212(cos 22cos21)A A A A A A A A -+--+=++-++ 2224222(1cos2)(2sin )tan (1cos2)(2cos )A A A A A -===+=右边 9、（1）1sin 21cos2sin 2cos222)24y x x x x x π=+++=++++递减区间为5[,],88k k k Z ππππ++∈（222，最小值为22.10、2222()(cos sin )(cos sin )2sin cos cos2sin 22)4f x x x x x x x x x x π=+--=-=+（1）最小正周期是π；（2）由[0,]2x π∈得52[,]444x πππ+∈，所以当24x ππ+=，即38x π=时，()f x 的最小值为2-()f x 取最小值时x 的集合为3{}8π.11、2()2sin 2sin cos 1cos2sin 22)14f x x x x x x x π=+=-+=-+（1）最小正周期是π21；（2）()f x 在[,]22ππ-上的图象如右图：12、()3sin cos 2sin()6f x x x a x a π=++=++.（1）由21a +=得1a =-；（2）2{22,}3x k x k k Z πππ+∈≤≤.13、如图，设ABD α∠=，则CAE α∠=，2sin h AB α=，1cos hAC α=所以1212sin 2ABC h h S AB AC α∆=⋅⋅=，(0)2πα<<当22πα=，即4πα=时，ABC S ∆的最小值为12h h .第三章 复习参考题B 组（P147）1、解法一：由221sin cos 5sin cos 1αααα⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，及0απ≤≤，可解得4sin 5α=， αh 1h 2l 2l 1BDE AC（第13题）13cos sin 55αα=-=，所以24sin 225α=，7cos225α=-，sin(2)sin 2cos cos2sin 44450πππααα-=-=. 解法二：由1sin cos 5αα-= 得21(sin cos )25αα-=，24sin 225α=，所以249cos 2625α=. 又由1sin cos 5αα-=，得sin()4πα-=.因为[0,]απ∈，所以3[,]444πππα-∈-.而当[,0]44ππα-∈-时，sin()04πα-≤；当3[,]444πππα-∈时，sin()4πα->所以(0,)44ππα-∈，即(,)42ππα∈所以2(,)2παπ∈，7cos225α=-.sin(2)4πα-=2、把1cos cos 2αβ+=两边分别平方得221cos cos 2cos cos 4αβαβ++=把1sin sin 3αβ+=两边分别平方得221sin sin 2sin sin 9αβαβ++=把所得两式相加，得1322(cos cos sin sin )36αβαβ++=，即1322cos()36αβ+-=，所以59cos()72αβ-=-3、由sin()sin 3παα++= 可得3sin 2αα=4sin()65πα+=-. 又02πα-<<，所以366πππα-<+<，于是3cos()65πα+=.所以cos cos[()]66ππαα=+-4、22sin 22sin 2sin cos 2sin 2sin cos (cos sin )sin 1tan cos sin 1cos x x x x x x x x x x x x x x +++==---1tan sin 2sin 2tan()1tan 4x x x x x π+==+-由177124x ππ<<得5234x πππ<+<，又3cos()45x π+=，所以4sin()45x π+=-，4tan()43x π+=-所以cos cos[()]cos()cos sin()sin 444444x x x x ππππππ=+-=+++=，sin 10x =-，7sin 22sin cos 25x x x ==, 所以2sin 22sin 281tan 75x x x +=--， 5、把已知代入222sin cos (sin cos )2sin cos 1θθθθθθ+=+-=，得22(2sin )2sin 1αβ-=.变形得2(1cos2)(1cos2)1αβ---=，2cos2cos2αβ=，224cos 24cos 2αβ= 本题从对比已知条件和所证等式开始，可发现应消去已知条件中含θ的三角函数.考虑sin cos θθ+，sin cos θθ这两者又有什么关系及得上解法. 5、6两题上述解法称为消去法6、()21cos22sin(2)16f x x x m x m π=+++=+++.由 [0,]2x π∈ 得72[,]666x πππ+∈，于是有216m ++=. 解得3m =.()2sin(2)4()6f x x x R π=++∈的最小值为242-+=，此时x 的取值集合由322()62x k k Z πππ+=+∈，求得为2()3x k k Z ππ=+∈7、设AP x =，AQ y =，BCP α∠=，DCQ β∠=，则tan 1x α=-，tan 1y β=- 于是2()tan()()x y x y xyαβ-++=+-又APQ ∆的周长为2，即2x y +，变形可得2()2xy x y =+- 于是2()tan()1()[2()2]x y x y x y αβ-++==+-+-.又02παβ<+<，所以4παβ+=，()24PCQ ππαβ∠=-+=.8、（1）由221sin cos 5sin cos 1ββββ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，可得225sin 5sin 120ββ--=解得4sin 5β=或3sin 5β=-（由(0,)βπ∈，舍去）所以13cos sin 55ββ=-=-，于是4tan 3β=-（2）根据所给条件，可求得仅由sin ,cos ,tan βββ表示的三角函数式的值，例如，sin()3πβ+，cos22β+，sin cos 2tan βββ-，sin cos 3sin 2cos ββββ-+，等等.。
高中数学人教B版必修4课时作业：第一章 1.1.1 角的概念的推广 情境导学 Word版含解析
高中数学必修4
第一章基本初等函数(Ⅱ)
1.1 任意角的概念与弧度制
1.1.1 角的概念的推广
【情境导学】
跳水表演者能在3米板上反身翻腾一周后仍然落在板端,紧接着完成向前翻腾三周半;也可以在10米台安装的小型弹网或小型跳板上反身翻腾一周后仍落在网、板上,紧接着完成向前翻腾一周半转体三周等高难动作.在这一系列的精彩表演过程中,“一周”“三周半”“一周半”等等表示跳水表演者翻转的度数.
我们利用以前所学习的角的范围是0°≤α<360°还能解决这类问题吗?
提示:如果只是利用以前所学的知识很难解决此类问题,因此必须把角的范围推广.。
高一下学期数学必修4全册课时作业-第一章16
[学业水平训练]1．电流I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝5·sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π3，则当t ＝1200时，电流I 为( ) A ．5 B.52C ．－52D ．－5 解析：选B.当t ＝1200时，I ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π3＝5cos π3＝52. 2. 如图所示，一个单摆以OA 为始边，OB 为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t (s)满足函数关系式θ＝12sin(2t ＋π2)，则当t ＝0时，角θ的大小及单摆频率是( )A.12，1πB ．2，1π C.12，π D ．2，π 解析：选A.当t ＝0时，θ＝12sin π2＝12，由函数解析式易知单摆周期为2π2＝π，故单摆频率为1π. 3．与图中曲线对应的函数解析式是( )A ．y ＝|sin x |B ．y ＝sin |x |C ．y ＝－sin |x |D ．y ＝－|sin x |解析：选C.注意图象所对的函数值正负，因此可排除选项A ，D.当x ∈(0，π)时，sin |x |＞0，而图中显然是小于零，因此排除选项B ，故选C.4．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F (t )＝50＋4sin t 2(其中0≤t ≤20)给出，F (t )的单位是辆/分，t 的单位是分，则车流量增加的时间段是( )A ．[0，5]B ．[5，10]C ．[10，15]D ．[15，20]解析：选C.由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π2(k ∈Z )，得4k π－π≤t ≤4k π＋π(k ∈Z )，由于0≤t ≤20， 所以0≤t ≤π或3π≤t ≤5π，从而车流量在时间段[10，15]内是增加的．5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象上一个最高点为(2，3)，与这个最高点相邻的一个函数值为0的点是(6，0)，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4B ．f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4C ．f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4D ．f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4解析：选C.由题意，得A ＝3，14T ＝6－2＝4， 有T ＝16＝2πω，所以ω＝π8，得 f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ， 最高点为(2，3)，有3sin ⎝⎛⎭⎫π8×2＋φ＝3， 得sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1.又0＜φ＜π，所以φ＝π4， 所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4.6. 如图，是一弹簧振子做简谐运动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式为________．。
高中数学必修四同步练习及答案(新课标人教A版)之欧阳文创编
高中数学必人修教四A版练习册高中数学人教A 版必修4练习册目录导航人教A 版必修4练习1.1任意角和弧度制 01.2任意角的三角函数 (2)1.3三角函数的诱导公式 (4)1.4三角函数的图像与性质 (6)1.5函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与1.6三角函数模型的简单应用 (9)第一章 三角函数基础过关测试卷 (11)第一章三角函数单元能力测试卷 (13)2.1平面向量的实际背景及基本概念与2.2.1向量加法运算 (16)2.2向量减法运算与数乘运算 (18)2.3平面向量的基本定理及坐标表示 (20)2.4平面向量的数量积与2.5平面向量应用举例 (23)第二章平面向量基础过关测试卷 (25)第二章平面向量单元能力测试卷 (27)3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (30)3.2简单的三角恒等变换 (32)第三章三角恒等变换单元能力测试卷 ...................................... 34 人教A 版必修4练习答案1.1任意角和弧度制 (37)1.2任意角的三角函数 (37)1.3三角函数的诱导公式 (38)1.4三角函数的图像与性质 (38)1.5函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与1.6三角函数模型的简单应用 (39)第一章三角函数基础过关测试卷 (40)第一章三角函数单元能力测试卷 (40)2.1平面向量的实际背景及基本概念与2.2.1向量加法运算 (41)2.2向量减法运算与数乘运算 (41)2.3平面向量的基本定理及坐标表示 (41)2.4平面向量的数量积与2.5平面向量应用举例 (42)第二章平面向量基础过关测试卷 (44)第二章平面向量单元能力测试卷 (44)3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (45)3.2简单的三角恒等变换 (45)第三章三角恒等变换单元能力测试卷 (46)1.1任意角和弧度制一、选择题（每题5分，共50分）1.四个角中，终边相同的角是 （ ）A.,398 - 38B.,398 - 142C.,398 - 1042D.,14210422.集合α{=A ︱ 90⋅=k α,36 -}Z k ∈，β{=B ︱ 180- 180<<β},则B A 等于 （ ）A.,36{ - 54}B.,126{ - 144}C.,126{ -,36 -,54 144}D.,126{ - 54}3.设θ{=A ︱θ为锐角}，θ{=B ︱θ为小于 90的角}，θ{=C ︱θ为第一象限角}，θ{=D ︱θ为小于 90的正角}，则 （ ）A.B A =B.C B =C.C A =D.D A =4.若角α与β终边相同，则一定有 （ ）A. 180=+βαB. 0=+βαC. 360⋅=-k βα，Z k ∈D. 360⋅=+k βα，Z k ∈5.已知α为第二象限的角，则2α所在的象限是 （ ）A.第一或第二象限B.第二或第三象限C.第一或第三象限D.第二或第四象限6.将分针拨慢5分钟，则分针转过的弧度数是 （ ） A.3π B.3π- C.2π D.32π 7.在半径为cm 2的圆中，有一条弧长为cm 3π，它所对的圆心角为 （ ） A.6π B.3π C.2π D.32π 8.已知角α的终边经过点)1,1(--P ,则角α为（ ） A.)(45Z k k ∈+=ππα B.)(432Z k k ∈+=ππα C.)(4Z k k ∈+=ππα D.)(432Z k k ∈-=ππα 9.角316π化为)20,(2παπα<<∈+Z k k 的形式 ( ) A.35ππ+ B.344ππ+ C.326ππ- D.373ππ+ 10.集合α{=A ︱},2Z k k ∈+=ππα，α{=B ︱},)14(Z k k ∈±=πα，则集合A 与B 的关系是 （ ）A.B A =B.B A ⊇C.B A ⊆D.B A ≠二、填空题（每题5分，共20分）11.角a 小于 180而大于- 180，它的7倍角的终边又与自身终边重合，则满足条件的角a 的集合为__________.12.写满足下列条件的角的集合.1）终边在x 轴的非负半轴上的角的集合__________；2）终边在坐标轴上的角的集合__________；3）终边在第一、二象限及y 轴上的角的集合__________；4）终边在第一、三象限的角平分线上的角的集合__________.13.设扇形的周长为cm 8，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是__________.14.已知a {∈θ︱a =+πk },4)1(Z k k ∈⋅-π，则角θ的终边落在第__________象限.三、解答题（15、16每题7分，17、18每题8分）15.已知角a 的终边与y 轴的正半轴所夹的角是30，且终边落在第二象限，又 720-<a < 0，求角a .16.已知角 45=a ，（1）在区间 720[-0,)内找出所有与角a 有相同终边的角β； （2）集合x M {=︱ 1802⨯=k x 45+，}Z k ∈,x N {=︱ 1804⨯=k x 45+}Z k ∈ 那么两集合的关系是什么？ 17.若θ角的终边与3π的终边相同，在]2,0[π内哪些角的终边与3θ角的终边相同？ 18.已知扇形的周长为30，当它的半径R 和圆心角各取何值时，扇形的面积最大？并求出扇形面积的最大值.1.2任意角的三角函数一、选择题（每题5分，共40分）1.已知角α的终边过点()αcos ,2,1-P 的值为 （ ） A.55- B.55 C.552 D.25 2.α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是 （ ）A.αsinB.αcosC.αtanD.αtan 1 3.已知角α的终边过点()()03,4<-a a a P ，则ααcos sin 2+的值是 （ ） A.52 B.52- C.0 D.与α的取值有关 4.(),,0,54cos παα∈=则αtan 1的值等于 （ ） A.34 B.43 C.34± D.43± 5.函数x x y cos sin -+=的定义域是 （ ）A.()Z k k k ∈+,)12(,2ππB.Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,)12(,22πππ C.Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,)1(,2πππ D.[]Z k k k ∈+,)12(,2ππ 6.若θ是第三象限角，且,02cos <θ则2θ是 （ ）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角7.已知,54sin =α且α是第二象限角，那么αtan 的值为 （ ） A.34- B.43- C.43 D.34 8.已知点()ααcos ,tan P 在第三象限，则角α在（ ）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角二、填空题（每题5分，共20分）9.已知,0tan sin ≥αα则α的取值集合为__________.10.角α的终边上有一点(),5,m P 且(),013cos ≠=m m α则=+ααcos sin __________. 11.已知角θ的终边在直线x y 33=上，则=θsin __________，=θtan __________. 12.设(),2,0πα∈点()αα2cos ,sin P 在第三象限，则角α的范围是__________.三、解答题（第15题20分，其余每题10分，共40分）13.求43π的角的正弦，余弦和正切值. 14.已知,51sin =α求ααtan ,cos 的值. 15.已知,22cos sin =+αα求αα22cos 1sin 1+的值.1.3三角函数的诱导公式一、选择题（每题5分，共40分） 1.21)cos(-=+απ，παπ223<<,)2sin(απ-值为 ( ) A.23B.21C.23± D.23- 2.若,)sin()sin(m -=-++ααπ则)2sin(2)3sin(απαπ-++等于 （ ） A.m 32- B.m 23- C.m 32 D.m 23 3.已知,23)4sin(=+απ则)43sin(απ-值为 （ ） A.21B.21- C.23 D.23- 4.如果),cos(|cos |π+-=x x 则x 的取值范围是（ ） A.)](22,22[Z k k k ∈++-ππππ B.))(223,22(Z k k k ∈++ππππ C.)](223,22[Z k k k ∈++ππππ D.))(2,2(Z k k k ∈++-ππππ 5.已知,)1514tan(a =-π那么=︒1992sin （ ） A.21||a a + B.21a a + C.21a a +- D.211a +-6.设角则,635πα-=)(cos )sin(sin 1)cos()cos()sin(222απαπααπαπαπ+--+++--+的值等于 （ ） A.33 B.33- C.3D.－3 7.若,3cos )(cos x x f =那么)30(sin ︒f 的值为（ ）A.0B.1C.1- D.23 8.在△ABC 中，若)sin()sin(C B A C B A +-=-+，则△ABC 必是 （ ）A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰或直角三角形D .等腰直角三角形二、填空题（每题5分，共20分）9.求值：︒2010tan 的值为．10.若1312)125sin(=-α,则=+)55sin( α． 11.=+++++76cos 75cos 74cos 73cos 72cos 7cos ππππππ． 12.设,1234tan a =︒那么)206cos()206sin(︒-+︒-的值为．三、解答题（每题10分，共40分）13.已知3)tan(=+απ,求)2sin()cos(4)sin(3)cos(2a a a a -+-+--πππ的值． 14.若32cos =α,α是第四象限角，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)απαπαππαπααπ-+--------的值． 15.已知αtan 、αtan 1是关于x 的方程0322=-+-k kx x 的两实根，且,273παπ<< 求)sin()3cos(απαπ+-+的值．16.记4)cos()sin()(++++=βπαπx b x a x f ，（a 、b 、α、β均为非零实数），若5)1999(=f ，求)2000(f 的值．1.4三角函数的图像与性质一、选择题(每题5分,共50分)1.)(x f 的定义域为[]1,0则)(sin x f 的定义域为 （ ）A.[]1,0B.)(2,2222,2Z k k k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+πππππππ C.[])()12(,2Z k k k ∈+ππ D.)(22,2Z k k k ∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡+πππ 2.函数)652cos(3π-=x y 的最小正周期是（ ） A 52π B 25π C π2 D π5 3.x x y sin sin -=的值域是（ ）A ]0,1-B ]1,0C ]1,1[-D ]0,2[- 4.函数)44(tan 1ππ≤≤-=x x y 的值域是 ( ) A.[]1,1- B.(][) +∞-∞-,11, C.[)+∞-,1 D.(]1,∞-5.下列命题正确的是 （ ）A.函数)3sin(π-=x y 是奇函数 B.函数)cos(sin x y =既是奇函数,也是偶函数C.函数x x y cos =是奇函数D.函数x y sin =既不是奇函数,也不是偶函数6.设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，若cos ,(0)(),2sin ,(0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤<⎩ 则15()4f π-等于 （ ）A 1 C.0 D.2- 7.函数)3cos(πϖ+=x y 的周期为4π则ϖ值为 ( )A.8B.6C.8±D.48.函数)32sin(π+=x y 的图象 ( ) A.关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,12π对称 B.关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,6π对称 C.关于直线3π=x 对称 D.关于直线6π-=x 对称9.)2sin(θ+=x y 图像关于y 轴对称则 ( )A.)(,22Z k k ∈+=ππθ B.)(,2Z k k ∈+=ππθC.)(,2Z k k ∈+=ππθD.)(,Z k k ∈+=ππθ10.满足21)4sin(≥-πx 的x 的集合是 ( )A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,121321252ππππ B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,65262ππππ C.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤-Z k k x k x ,1272122ππππ D.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤Z k k x k x ,6522πππ 二、填空题(每题5分,共20分)11.函数)23sin(2x y -=π的单调递增区间是__________. 12.函数)21(cos log 2-=x y 的定义域是__________.13.函数)2sin(x y =的最小正周期为__________.14.若)(x f 为奇函数,且当0>x 时,x x x x f 2cos sin )(+=,则当0<x 时, =)(x f __________.三、解答题(每题10分,共30分) 15.利用“五点法”画出函数)621sin(π+=x y 在长度为一个周期的闭区间的简图.16.已知函数⎪⎭⎫⎝⎛-=32tan )(πx x f ，(1)求函数)(x f 的定义域周期和单调区间； (2)求不等式3)(1≤≤-x f 的解集.17.求下列函数的最大值和最小值及相应的x 值. (1)1)42sin(2++=πx y (2)),32cos(43π+-=x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,3ππx (3)5cos 4cos 2+-=x x y (4)2sin sin 1-+=x xy1.5函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与1.6三角函数模型的简单应用一、选择题(每题5分，共35分) 1.函数1)62sin(3)(--=πx x f 的最小值和最小正周期分别是( )A.13--，πB.13+-，πC.3-，πD.13--，π2 2.若函数)3sin(2πω+=x y 的图像与直线2=y 的相邻的两个交点之间的距离为π,则ω 的一个可能值为( )A.3B.2C.31D.21 3.要得到)32sin(π-=x y 的图像,只要将x y 2sin =的图像( ) A.向左平移3π个单位 B.向右平移3π个单位C.向左平移6π个单位 D.向右平移6π个单位4.函数1)62sin(2++=πx y 的最大值是（ ）A.1B.2C.3D.45.已知函数)(x f 的部分图像如图所示，则)(x f 的解析式可能为（ ）A.)62sin(2)(π-=x x f B.)44cos(2)(π+=x x fC.)32cos(2)(π-=x x fD.)64sin(2)(π+=x x f6.)23sin(2x y -=π的单调增区间为（ ） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-125,12ππππK K B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡++127,125ππππK K C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6,3ππππK K D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1211,125ππππK K7.函数[]),0(),62sin(3ππ∈--=x x y 为增函数的区间是（ ） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡125,0π B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,6ππ C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211,6ππ D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211,32ππ 二、填空题(每题5分，共15分)8.关于))(32sin(4)(R x x x f ∈+=有下列命题： 1）有0)()(31==x f x f 可得21x x -是π的整数倍； 2）表达式可改写为)62cos(4)(π-=x x f ；3）函数的图像关于点)0,6(π-对称；4）函数的图像关于直线6π-=x 对称；其中正确的命题序号是__________.9.甲乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为45,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲乙两楼的高度分别为__________.10.已知1tan sin )(++=x b x a x f 满足7)5(=πf ，则)599(πf 的值为__________. 三、解答题(每题25分，共50分) 11.已知函数)421sin(3π-=x y ，1）用“五点法”画函数的图像；2）说出此图像是由x y sin =的图像经过怎样的变换得到的； 3）求此函数的周期、振幅、初相；4）求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间. 12.已知函数)32cos(log )(π-=x ax f （其中)1,0≠>a a 且，1）求它的定义域； 2）求它的单调区间； 3）判断它的奇偶性；4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的周期.第一章三角函数基础过关测试卷一、选择题(每题5分，共40分)1.与240-角终边位置相同的角是 （ ）A.240 B.60 C.150 D.480 2.已知()21cos -=+απ,则()απ+3cos 的值为 （ ） A.21 B.23± C.21- D.233.函数x y sin 1-=的最大值为 （ ）A.1B.0C.2D.1- 4.函数⎪⎭⎫⎝⎛+=321sin x y 的最小正周期是 （ ） A.2πB.πC.π2D.π4 5.在下列各区间上，函数⎪⎭⎫⎝⎛+=4sin 2πx y 单调递增的是 （ ） A.],4[ππB.]4,0[πC.]0,[π-D.]2,4[ππ 6.函数x y cos 1+=的图象 （ ）A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点对称D.关于直线2π=x 轴对称7.使x x cos sin <成立的x 的一个区间是 （ ） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-4,43ππ B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ C.⎪⎭⎫⎝⎛-43,4ππ D.()π,08.函数⎪⎭⎫⎝⎛+=43sin πx y 的图象，可由x y 3sin =的图象（ ）A.向左平移4π个单位 B.向右平移4π个单位 C .向左平移12π个单位 D .向右平移12π个单位二、填空题（每题5分，共20分）9.已知角β的终边过点()12,5--P ，求=βcos __________． 10.函数x y tan lg =的定义域是__________． 11.()R x x y ∈=sin 的对称点坐标为__________． 12.1cos cos -=x xy 的值域是__________．三、解答题(每题10分，共40分) 13.已知2tan =β，求1sin cos sin 2+βββ的值． 14.化简：()()()()()()()()πααπαπαπααπααπ6sin sin cos sin 6cos cos cos sin 2222---++---+-++． 15.求证：ααααααααcos sin cos sin 1cos sin 2cos sin 1+=+++++．16.求函数⎪⎭⎫⎝⎛≤≤+=323cos 2sin 2ππx x x y 的最大值和最小值．第一章三角函数单元能力测试卷一、选择题（每小题5分，共60分） 1.设α角属于第二象限，且2cos2cosαα-=，则2α角属于 ( ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.下列值①)1000sin( -；②)2200cos(-；③)10tan(-；④4sin 是负值的为（ ）A.①B.②C.③D.④3.函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，则ϕ的值是 （ ） A.0 B4π C 2πD π 4.已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于 （ ） A.43-B.34-C.43D.34 5.若α是第四象限的角，则πα-是 （ ）A 第一象限的角B 第二象限的角C 第三象限的角D 第四象限的角6.将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是 ( ) A.1sin2y x = B 1sin()22y x π=- C.1sin()26y x π=- D.sin(2)6y x π=- 7.若点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限,则在[0,2)π内α的取值范围是 ( ) A.35(,)(,)244ππππ B 5(,)(,)424ππππC.353(,)(,)2442ππππ D 33(,)(,)244ππππ 8.与函数)42tan(π+=x y 的图像不相交的一条直线是( ) A.2π=x B 2π-=x C 4π=x D 8π=x9.在函数x y sin =、x y sin =、)322sin(π+=x y 、)322cos(π+=x y 中,最小正周期为π的函数的个数是（ ） A.1个 B 2个 C 个 D 4个10.方程1sin 4x x π=的解的个数是 （ ）A B C 7 D 811.在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为 （ ） A.)45,()2,4(ππππ B.),4(ππ C.)45,4(ππ D.)23,45(),4(ππππ12.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=对称，则ϕ可能是（ ） A.2π B 4π- C 4π D 34π二、填空题（每小题5分，共20分）13.设扇形的周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是__________14.若,24παπ<<则αααtan cos sin 、、的大小关系为__________15若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系是__________16.关于x 的函数()cos()f x x α=+有以下命题：①对任意α,()f x 都是非奇非偶函数；②不存在α，使()f x 既是奇函数，又是偶函数；③存在α，使()f x 是偶函数；④对任意α,()f x 都是奇函数其中假命题的序号是__________三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分） 17.求下列三角函数值:（1）)316sin(π-（2）)945cos( - 18.比较大小:（1） 150sin ,110sin ； （2）200tan ,220tan19.化简：（1）)sin()360cos()810tan()450tan(1)900tan()540sin(x x x x x x --⋅--⋅--（2）xx x sin 1tan 1sin 12-⋅++20.求下列函数的值域： （1）)6cos(π+=x y ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ； (2) 2sin cos 2+-=x x y 21.求函数)32tan(π-=x y 的定义域、周期和单调区间.22.用五点作图法画出函数)631sin(2π-=x y 的图象(1)求函数的振幅、周期、频率、相位； (2)写出函数的单调递增区间；(3)此函数图象可由函数x y sin =怎样变换得到2.1平面向量的实际背景及基本概念与2.2.1向量加法运算一、选择题（每题5分，共40分）1.把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，那么它们的终点所构成的图形是（ ）A.一条线段B.一段圆弧C.两个孤立点D.一个圆2.下列说法中，正确的是 （ ）A.>,则b a >B.=，则=C.若b a =，则a ∥bD.若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量3.设O 为△ABC 的外心，则AB 、BO 、CO 是 （ ）A.相等向量B.平行向量C.模相等的向量D.起点相等的向量4.已知正方形ABCD 的边长为1，设a AB =，b BC =，c AC =， b +=（ ） A.0 B.3 C.22+ D.225.58==的取值范围是 （ ）A.[]8,3B.()8,3C.[]13,3D.()13,36.如图，四边形ABCD 为菱形，则下列等式中 A B 成立的是( )A.=+B.=+C.=+D.=+ D C7.在边长为1的正三角形ABC 中，若向量=，=+= （ ）A.7B.5C.3D.28.向量、皆为非零向量，下列说法不正确的是 （ ）A.向量a 与b >，则向量b a +与a 的方向相同B.向量与<，则向量+与的方向相同C.向量a 与b 同向，则向量b a +与a 的方向相同D.向量与同向，则向量+与的方向相同 二、填空题（每题5分，共20分）9.ABC ∆是等腰三角形，则两腰上的向量AB 与AC 的关系是__________. 10.已知C B A ,,是不共线的三点，向量与向量是平行向量，与是共线向量，则=__________.11.在菱形ABCD 中，∠DAB ︒=601==+__________.12.化简=++BO OP PB __________.三、解答题（13题16分，其余每题12分，共40分）13.化简：（1)FA BC CD DF AB ++++. (2)+++.14.已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且OC AO =，OB DO =. 求证：四边形ABCD 是平行四边形.15.一艘船以h km /5的速度向垂直于对岸的方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成︒30 角，求水流速度和船的实际速度.2.2向量减法运算与数乘运算一、选择题(每题5分,共40分)1.在菱形ABCD 中，下列各式中不成立的是 （ ）A.-=AC AB BCB.-=AD BD ABC.-=BD AC BCD.-=BD CD BC2.下列各式中结果为O 的有 （ ）①++AB BC CA ②+++OA OC BO CO③-+-AB AC BD CD ④+-+MN NQ MP QPA.①②B.①③C.①③④D.①②③3.下列四式中可以化简为AB 的是 （ ）①+AC CB ②-AC CB ③+OA OB ④-OB OAA.①④B.①②C.②③D.③④ 4. ()()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+b a b a 24822131 （ ）A.2a b -B.2b a -C.b a -D.()b a --5.设两非零向量12,e e ，不共线，且1212()//()k e e e ke ++，则实数k 的值为 （ ）A.1B.1-C.1±D.06.在△ABC 中，向量BC 可表示为 （ ）①-AB AC ②-AC AB ③+BA AC ④-BA CAA.①②③B.①③④C.②③④D.①②④7.已知ABCDEF 是一个正六边形，O 是它的中心，其中===,,OA a OB b OC c 则EF =( )A.a b +B.b a -C.-c bD.-b c8.当C 是线段AB 的中点，则AC BC += （ ）A.ABB.BAC.ACD.O二、填空题(每题5分,共20分)9.化简：AB DA BD BC CA ++--=__________.10.一架飞机向北飞行km 300后改变航向向西飞行km 400，则飞行的总路程为__________， 两次位移和的和方向为__________，大小为__________.11.点C 在线段AB 上，且35AC AB =，则________AC CB =. 12.把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是__________三、解答题(每题10分,共40分) 13.已知点C 在线段AB 的延长线上，且2,,BC AB BC CA λλ==则为何值?14.如图，ABCD 中,E F 分别是,BC DC 的中点，G 为交点，若AB =a ，=b ，试以a ，b 表示、BF 、CG 15.若菱形ABCD 的边长为2，求AB CB CD -+=?16.在平面四边形ABCD 中，若AB AD AB AD +=-，则四边形ABCD 的形状是什么？A G E FB D2.3平面向量的基本定理及坐标表示一、选择题（每题5分，共50分）1.已知平面向量),2,1(),1,2(-==b a 则向量b a 2321-等于 （ ） A.)25,21(-- B.)27,21( C.)25,21(- D.)27,21(- 2.若),3,1(),4,2(==则BC 等于 （ ）A.)1,1(B.)1,1(--C.)7,3(D.)7,3(-- 3.21,e e 是表示平面内所有向量的一组基底，下列四组向量中，不能作为一组基底的是 （ ） A.21e e +和21e e - B.2123e e -和1264e e - C.212e e +和122e e + D.2e 和21e e +4.已知平面向量),,2(),3,12(m m =+=且b a //，则实数m 的值等于 （ ）A.2或23-B.23C.2-或23D.72- 5.已知C B A ,,三点共线，且),2,5(),6,3(--B A 若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为A.13-B.9C.9-D.13 （ ）6.已知平面向量),,2(),2,1(m -==且b a //，则b a 32+等于 （ ）A.)10,5(--B.)8,4(--C.)6,3(--D.)4,2(--7.如果21,e e 是平面内所有向量的一组基底，那么 （ ）A.若实数21,λλ使2211=+e e λλ，则021==λλB.21,e e 可以为零向量C.对实数21,λλ，2211e e λλ+不一定在平面内D.对平面中的任一向量，使=a 2211e e λλ+的实数21,λλ有无数对8.已知向量)4,3(),3,2(),2,1(===，且21λλ+=，则21,λλ的值分别为( )A.1,2-B.2,1-C.1,2-D.2,1-9.已知),3,2(),2,1(-==若n m -与2+共线（其中R n m ∈,且)0≠n ，则nm 等于 ( ) A.21- B.2 C.21 D.2- 10.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若,,== 则 等于 （ ） A.b a 2141+ B.b a 3132+ C.b a 4121+ D.b a 3231+ 二、填空题（每题5分，共20分）11.已知),1,(),3,1(-=-=x b a 且//，则=x __________12.设向量)3,2(),2,1(==，若向量b a +λ与向量)7,4(--=共线，则=λ__________13.已知x 轴的正方向与a 的方向的夹角为3π4=，则a 的坐标为__________ 14.已知边长为1的正方形ABCD ，若A 点与坐标原点重合，边AD AB ,分别落在x 轴，y 轴的正向上，则向量++32的坐标为__________三、解答题(第15题6分,其余每题8分,共30分)15.已知向量与不共线，实数y x ,满足等式b x a x b y a x 2)74()10(3++=-+，求y x ,的值.16.已知向量21,e e 不共线，（1）若,82,2121e e e e +=+=),(321e e -=则B A ,,D 三点是否共线？（2）是否存在实数k ，使21e e k +与21e k e -共线？17.已知三点),10,7(),4,5(),3,2(C B A 点P 满足)(R ∈+=λλ，（1）λ为何值时，点P 在直线x y =上？（2）设点P 在第一象限内，求λ的取值范围.18.平面内给定三个向量)1,4(),2,1(),2,3(=-==，（1）求c b a 23-+；（2）求满足c n b m a +=的实数n m ,；（3)若)2//()(k -+，求实数k .2.4平面向量的数量积与2.5平面向量应用举例一、选择题（每题5分，共50分）1.若,是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是 （ ）A.=B.1=⋅C.≠D.= 2.下面给出的关系始终正确的个数是 （ ）①00=⋅②⋅=⋅③2=④()()⋅⋅=⋅⋅⋅≤A.0B.1C.2D.3 3.对于非零向量,，下列命题中正确的是 （ ）A.000==⇒=⋅或B. //⇒在C.()2b a b a b a ⋅=⋅⇒⊥D.=⇒⋅=⋅4.下列四个命题，真命题的是 （ ）A.在ABC ∆中，若,0>⋅则ABC ∆是锐角三角形；B.在ABC ∆中，若,0>⋅BC AB 则ABC ∆是钝角三角形；C.ABC ∆为直角三角形的充要条件是0=⋅BC AB ；D.ABC ∆为斜三角形的充要条件是.0≠⋅.5.e ,8=为单位向量，a 与e 的夹角为,60o 则a 在e 方向上的投影为（ ） A.34 B.4 C.24 D.238+6.若向量,,1==与的夹角为 120，则=⋅+⋅（ ） A.21 B.21- C.23 D.23-7.,631==与的夹角为,3π则⋅的值为 （ ）A.2B.2±C.1D.1±8.已知()(),5,5,0,3-==则与的夹角为 （ ） A.4π B.3π C.43π D.32π 9.若O 为ABC ∆所在平面内的一点，且满足()(),02=-+⋅-则ABC ∆ 的形状为 （ ）A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.A ，B ，C 均不是10.设向量()(),1,,2,1x ==当向量2+与-2平行时，⋅等于 （ ） A.25 B.2 C.1 D.27 二、填空题（每题5分，共20分）11.(),2,1,3==且,b a ⊥则的坐标是_____________.12.若(),8,6-=a 则与平行的单位向量是_____________.13.设21,e e 为两个不共线的向量，若21e e λ+=与()2132e e --=共线，则=λ________.14.有一个边长为1的正方形ABCD ，设,,,====+-b __________.三、解答题（每题10分，共30分）15.()()61232,34=+⋅-==b a b a ，求a 与b的夹角θ.16.,43==且与不共线，当k 为何值的时，向量k +与k -互相垂直？17.平面上三个力321,,F F F 作用于一点且处于平衡状态，121,226,1F N F N F +==与 2F 的夹角为,45o 求：①3F 的大小；②3F 与1F 的夹角的大小.第二章平面向量基础过关测试卷一、选择题（每题5分，共55分）1.如图在平行四边形ABCD 中,,b OB a OA == ,,d OD c OC ==则下列运算正确的是（ ）A.0 =+++d c b aB.0 =-+-d c b aC.0 =--+d c b aD.0 =+--d c b a2.已知)1,3(),3,(-==b x a ，且a ∥b ，则x 等于 （ ）A.1-B.9C.9-D.1 3.已知a =)1,2(-，b =)3,1(，则－2a +3b 等于 （ ）A.)11,1(--B.)11,1(-C.)11,1(-D.)11,1(4.若点P 分有向线段21P P 所成定比为1:3，则点1P 分有向线段P P 2所成的比为 （ ）A.34-B.32-C.21-D.23- 5.下列命题中真命题是 （ ）A.000 ==⇒=⋅b a b a 或B.a b a b a 上的投影为在⇒//C.()2b a b a b a ⋅=⋅⇒⊥ D.b a c b c a =⇒⋅=⋅ 6.已知ABCD 的三个顶点C B A ,,的坐标分别为),3,1(),4,3(),1,2(--则第四个顶点D 的坐标为( )A.)2,2(B.)0,6(-C.)6,4(D.)2,4(-7.设21,e e 为两不共线的向量，则21e e λ+=与()1232e e b --=共线的等价条件是A.23=λB.32=λC.32-=λD.23-=λ （ ）8.下面给出的关系式中正确的个数是A C O D（ ） ①00 =⋅a ②a b b a ⋅=⋅③22a a =④)()(c b a c b a ⋅=⋅⑤||||b a b a ⋅≤⋅A.0B.1C.2D.39.下列说法中正确的序号是 （ ）①一个平面内只有一对不共线的向量可作为基底；②两个非零向量平行，则他们所在直线平行；③零向量不能作为基底中的向量；④两个单位向量的数量积等于零.A.①③B.②④C.③D.②③10.已知()()5,0,1,221P P -且点P 在21P P 22PP =，则点P 坐标是（ ）A.)11,2(-B.)3,34(C.)3,32( D.)7,2(-11.若k b a 432,1|||-+⊥==与且也互相垂直，则k 的值为 （ ）A.6-B.6C.3D.3-二、填空题（每题5分，共15分） 12.已知向量)2,1(,3==b a ，且b a ⊥，则a 的坐标是__________.13.若()0,2,122=⋅-==a b a b a ，则b a 与的夹角为__________. 14.ΔABC 中,)1,3(),2,1(B A 重心)2,3(G ，则C 点坐标为__________.三、解答题（每题题10分，共30分）15.已知),4,(),1,1(),2,0(--x C B A 若C B A ,,三点共线，求实数x 的值.16.已知向量)1,0(),0,1(,4,23212121==+=-=e e e e b e e a ，求（1）ba b a +⋅,的值；（2）a 与b的夹角的余弦值.17.已知四边形ABCD 的顶点分别为)4,1(),7,2(),4,5(),1,2(-D C B A ,求证：四边形ABCD 为正方形.第二章平面向量单元能力测试卷一、选择题(每题5分，共60分)1.设F E D C B A ,,,,,是平面上任意五点，则下列等式①AB CE AE CB +=+②AC BE BC EA +=-③ED AB EA AD +=+ ④0AB BC CD DE EA ++++=⑤0AB BC AC +-=其中错误等式的个数是（ ）A.1B.2C.3D.42.已知正方形ABCD 的边长为1，设c AC b BC a AB ===,,=++( )A.0B.3C.22+D.223.设1e 、2e 是两个不共线向量，若向量 =2153e e +与向量213e e m b -=共线，则m 的值等于 （ ） A.35- B.－59 C.53- D.95- 4.已知)3,1(),1,2(=-=b a 则32+-等于( )A.)11,1(--B.)11,1(-C.)11,1(-D.)11,1(5.设P )6,3(-,Q )2,5(-,R 的纵坐标为9-，且R Q P ,,三点共线，则R 点的横坐标为A.9-B.6-C.9D.6 （ ）6.在ΔABC 中,若0)()(=-⋅+CB CA CB CA ，则ΔABC 为( )A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.无法确定7.已知向量，，40-=⋅=8,则向量与的夹角为 （ ）A. 60B. 60-C. 120D.120-8.已知)0,3(=,)5,5(-=，则与的夹角为( )NABM CA.4πB.43πC.3πD.32π 9.若b a b a ⊥==,1||||且b a 32+与b a k4-也互相垂直，则k 的值为( )A.6-B.6C.3D.3-10.已知a =(2,3),b =(4-,7),则a 在b上的投影值为( )A.13B.513 C.565 D.65 11.若035=+CD AB ,且BC AD =，则四边形ABCD 是 ( )A.平行四边形B.菱形C.等腰梯形D.非等腰梯形12.己知)1,2(1-P ,)5,0(2P 且点P 在线段21P P 的延长线上,||2||21PP P P =, 则P 点坐标为 ( )A.)11,2(-B.)3,34(C.(3,32) D.)7,2(- 二、填空题(每题5分，共 20分)13.已知|a|=1,|b|=2,且(a－b)和a 垂直,则a与b的夹角为__________. 14.若向量),2(x a -=,)2,(x b -=,且a 与b 同向，则-a b 2=__________.15.已知向量a )2,3(-=,b )1,2(-,c )4,7(-=,且b a cμλ+=，则λ=__________，μ=__________.16.已知|a |=3,｜b ｜=2，a 与b 的夹角为60，则｜a －b ｜=__________. 三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分） 17.如图，ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BD BN 31=，求证：C N M ,,三点共线． 18.已知C B A ,,三点坐标分别为),2,1(),1,3(),0,1(--=31，=31，1）求点E 、F 及向量EF 的坐标； 2）求证：EF ∥AB ．19.24==夹角为120,求：(1)b a ⋅；(2))()2(+⋅-；(3)a 3+．20.已知)2,3(),2,1(-==b a ，当k 为何值时：（1）b a k +与b a3-垂直；（2）b a k +与b a 3-平行，平行时它们是同向还是反向？21.())sin 3cos ),3(sin(,sin ,cos 2x x x x x -+==π,x f ⋅=)(，求：(1)函数()x f 的最小正周期； (2))(x f 的值域； (3))(x f 的单调递增区间.22.已知点)sin ,(cos ),3,0(),0,3(ααC B A ， （1）若1-=⋅BC AC ，求α2sin 的值；（213=+，且),0(πα∈，求与的夹角.3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题(每题5分,共45分)1.345cos 的值等于 （ ） A.462- B.426- C.462+ D.462+- 2.195sin 75sin 15cos 75cos -的值为 （ ）A.0B.21C.23D.21- 3.已知1312sin -=θ，)0,2(πθ-∈，则)4cos(πθ-的值为 （ ） A.2627-B.2627C.26217-D.262174.已知53)4sin(=-x π，则x 2sin 的值为 （ ）A.2519B.2516C.2514D.257 5.若31sin cos ),,0(-=+∈ααπα且, 则α2cos 等于（ ） A.917 B.917± C.917- D.317 6.已知函数是则)(,,sin )2cos 1()(2x f R x x x x f ∈+= （ ）A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为2π的奇函数 C.最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为2π的偶函数7.已知71tan =α，βtan =31，20πβα<<<，则βα2+等于（ ）A.45π B.4π C.45π或4π D.47π8.ΔABC 中，已知αtan 、βtan 是方程01832=-+x x 的两个根，则c tan 等于 ( )A.2B.2-C.4D.4- 9.函数56sin2sin 5cos 2cos )(ππx x x f -=的单调递增区间是 （ ） A.)(53,10Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ B.)(207,203Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ C.)(532,102Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ D.)(10,52Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ 二、填空题(每题5分,共20分)10.已知函数的最小正周期是则)(,,sin )cos (sin )(x f R x x x x x f ∈-=__________. 11.135)6cos(-=+πx ,则)26sin(x -π的值是__________. 12.231tan 1tan +=+-αα,则α2sin =__________. 13.已知函数[]则,,0,sin )(π∈=x x x f )2(3)(x f x f y -+=π的值域为__________.三、解答题(14题11分，15、16题12分，共35分)14.求值：(1))32cos(3)3sin(2)3sin(x x x ---++πππ. (2)已知,71tan ,21)tan(-==-ββα且)0,(,πβα-∈，求βα-2的值.15.设x x x f 2sin 3cos 6)(2-=，（1)求)(x f 的最大值及最小正周期；（2)若锐角α满足323)(-=αf ，求α54tan 的值.16.已知),,0(,,55cos ,31tan πβαβα∈=-= （1)求)tan(βα+的值； （2)求函数)cos()sin(2)(βα++-=x x x f 的最大值.3.2简单的三角恒等变换一、选择题(每题5分，共40分)1.=-︒︒︒︒16sin 194cos 74sin 14sin （ ） A .23 B .23- C .21 D .21- 2.下列各式中，最小的是 （ ）A .40cos 22B .6cos 6sin 2 C .37sin 50cos 37cos 50sin -D .41cos 2141sin 23- 3.函数()R x x y ∈+=2cos 21的最小正周期为 （ ） A .2πB .πC .π2D .π4 4.︒︒︒︒-+70tan 50tan 350tan 70tan 的值为 （ ）A .21B .23C .21-D .3-5.若316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos （ ） A .97-B .31- C .31 D .976.若函数x x y tan 2sin =，则该函数有 （ ） A .最小值0，无最大值B .最大值2，无最小值C .最小值0，最大值2D .最小值2-，最大值2 7.若παπ223<<，则=++α2cos 21212121 （ ） A .2cosαB .2sinαC .2cosα-D .2sinα-8.若()x x f 2sin tan =，则()=-1f （ ） A .1B .1- C .21D .21-二、填空题（每题5分，共20分）9.计算=-+75tan 175tan 1__________. 10.要使mm --=-464cos 3sin θθ有意义,则m 取值范围是__________.11.sin 510αβ==且,αβ为锐角，则αβ+＝__________. 12.若函数4cos sin 2++=x a x y 的最小值为1，则a =__________.三、解答题（每题10分，共40分） 13.化简：)10tan 31(40cos ︒+︒.14.求值：︒︒︒︒++46cos 16sin 46cos 16sin 22. 15.求函数1cos sin 2cos sin +++=x x x x y ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 的最值. 16.已知函数R x x x x x y ∈++=,cos 2cos sin 3sin 22,(1)求函数的最小正周期；(2)求函数的对称轴； (3)求函数最大值及取得最大值时x 的集合.第三章三角恒等变换单元能力测试卷一、选择题（每题5分 ，共60分）1.︒︒︒︒++15cos 75cos 15cos 75cos 22的值等于 （ ） A.26 B.23 C.45 D.431+2.已知222tan -=θ，πθπ22<<，则θtan 的值为 ( )A.2B.22-C.2D.2或22- 3.设︒︒︒︒++=30tan 15tan 30tan 15tan a ，︒︒-=70sin 10cos 22b ，则a ，b 的大小关系A.b a =B.b a >C.b a <D.b a ≠ （ ）4.函数x x x x f cos sin 3sin )(2+=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ上的最大值 （ ） A.1 B.231+ C.23 D.31+5.函数)32cos()62sin(ππ+++=x x y 的最小正周期和最大值分别为（ ）A.π,1B.π,2C.π2,1D.π2,2 6.xx xx sin cos sin cos -+=（ ） A.)4tan(π-x B.)4tan(π+x C.)4cot(π-x D.)4cot(π+x 7.函数)3cos()33cos()6cos()33sin(ππππ+++-+=x x x x y 的图像的一条对称轴是A.6π=x B.4π=x C.6π-=x D.2π-=x（ ）8.)24tan 1)(25tan 1)(20tan 1)(21tan 1(++++的值为（ ）A.2B.4C.8D.169.若51)cos(=+βα，53)cos(=-βα，则βαtan tan = （ ） A.2 B.21C.1D.010.函数[]0,(cos 3sin )(π-∈-=x x x x f ）的单调递增区间是 （ ） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--65,ππ B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6,65ππ C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,3π D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,6π 11.已知A 、B 为小于︒90的正角，且31sin =A ，21sin =B ，则)(2sin B A +的值是 A.97 B.23C.1832+D.183724+（ ） 12.若22)4sin(2cos -=-παα，则ααsin cos +的值为 （ ） A.27-B.21-C.21D.27二、填空题（每题5分，共20分） 13.已知32tan=θ，则θθθθsin cos 1sin cos 1+++-=__________.14.函数)2sin()3sin(ππ+⋅+=x x y 的最小正周期T =__________. 15.已知xxx f +-=11)(，若),2(ππα∈则)cos ()(cos αα-+f f 可化简为__________.16.若2cos sin -=+αα，则ααtan 1tan +=__________. 三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分） 17.（1）已知54cos =α，且παπ223<<，求2tan α. （2）已知1cos )cos()22sin(sin 3=⋅+--θθπθπθ，),0(πθ∈，求θ的值.18.已知135)43sin(=+πα，53)4cos(=-βπ，且434,44πβππαπ<<<<-， 求)cos(βα-的值.19.已知函数R x x x x x x f ∈++=,cos 3cos sin 2sin )(22， 求：（1）函数)(x f 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； （2）函数)(x f 的单调增区间.20.已知α、β),0(π∈，且αtan 、βtan 是方程0652=+-x x 的两根， 求：（1）βα+的值；（2）)cos(βα-的值. 21.已知函数a x x x x f ++-++=2cos )62sin()62sin()(ππ（a 为实常数），（1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）如果当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，)(x f 的最小值为2-，求a 的值. 16.已知函数R x xx x x f ∈--++=,2cos 2)6sin()6sin()(2ωπωπω（其中0>ω）， （1）求函数)(x f 的值域；（2）若函数)(x f y =的图像与直线1-=y 的两个相邻交点间的距离为2π，求函数 )(x f y =的单调增区间.参考答案1.1任意角和弧度制一、选择题1-5CCDCC 6-10CADBA 二、填空题11.120{-60,-0,60,120,}12.（1）α{︱360⋅=k α},Z k ∈ （2）α{︱90⋅=k α},Z k ∈（3）α{︱ 360⋅k <<α 180360⋅+k },Z k ∈ α{︱360⋅=k α 270+},Z k ∈（4）α{︱ 180⋅=k α45+},Z k ∈ 13.2 14.一或第二 三、解答题15.解：∵ 120=α 360⋅+k Z k ∈,720,-0<<α ∴240-=α600,16.解：(1) 45=β360⋅+k Z k ∈,720-≤ 45 360⋅+k 0<，则2-=k 或1-=k675-=β或 315-=β(2)},45)1({},,45)12({Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+==所以N M ⊂17.因为,,23Z k k ∈+=ππθ所以Z k k ∈+=,3293ππθ所以在]2,0[π内与3θ终边相同的角有：913,97,9πππ18.因为302=+R l ,所以4225)215(15)230(212122+--=+-=-==R R R R R lR S当215=R 时，扇形有最大面积4225，此时2,15230===-=RlR l α 1.2任意角的三角函数 一、选择题1-4ABAB 5-8BBAB 二、填空题⒐⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=+<<+<≤Z k k k k k k ,222223222ππαππαπππαπα或或 10.1317或137- 11.33,21 12.⎪⎭⎫⎝⎛47,45ππ三、解答题 13.22,1,22-- 14.126,562 15.161.3三角函数的诱导公式 一、选择题1-4ABCC 5-8CCCC 二、填空题 9.1 10.1312 11.0 12.211aa ++-提示：12.由已知a -=26tan ，于是21126cos a+=；2126sin aa +-=．∴()()21126cos 26sin 206cos 206sin aa ++-=-=-+-．三、解答题 13.33 14.2515.0 16.3 提示：16.()()()42000cos 2000sin 2000++++=απαπb a f()[]()[]41999cos 1999sin ++++++=αππαππb a ()()841999cos 1999sin +-+-+-=απαπb a ()381999=+-=f1.4三角函数的图像与性质 一、选择题。
高一下学期数学必修4全册课时作业-第一章章末综合检测
(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的)1．下列角中终边与330°相同的角是( )A ．30°B ．－30°C ．630°D ．－630°解析：选B.与330°终边相同的角为{α|α＝330°＋k ·360°，k ∈Z }．当k ＝－1时，α＝－30°.2．半径为π cm ，圆心角为60°所对的弧长是( )A.π3 cmB.π23cm C.2π3 cm D.2π23cm 解析：选B.l ＝|α|·r ＝π3×π＝π23(cm)，故选B. 3．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝( )A.45 B ．－45C.35 D ．－35解析：选B.∵角θ的终边过(4，－3)，∴cos θ＝45. ∴cos(π－θ)＝－cos θ＝－45. 4．已知tan α＝2，则cos （π＋α）cos （π2＋α）的值为( ) A ．－12B ．－2 C.12D ．2 解析：选C.cos （π＋α）cos （π2＋α）＝－cos α－sin α＝1tan α＝12. 5．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向左平移π8个单位长度，所得到的图象对应的函数( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．是非奇非偶函数解析：选A.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8，向左平移π8个单位长度后为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8＋π8＝sin 2x ，为奇函数，故选A.6．如果cos(π＋A )＝－12，那么sin(π2＋A )＝( ) A ．－12 B.12C ．－32 D.32解析：选B.cos(π＋A )＝－cos A ＝－12， 则cos A ＝12，sin(π2＋A )＝cos A ＝12. 7．函数y ＝sin(3x ＋3π4)的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝－π12 B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝－5π4解析：选A.令3x ＋34π＝π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝－π12＋13k π(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝－π12. 8．函数y ＝tan(π2－x )(x ∈[－π4，π4]且x ≠0)的值域为( ) A ．[－1，1] B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．[－1，＋∞)解析：选B.∵－π4≤x ≤π4，∴π4≤π2－x ≤3π4且π2－x ≠π2.由函数y ＝tan x 的单调性，可得y ＝tan(π2－x )的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．9．已知函数f (x )＝sin(x －π2)(x ∈R )，下面结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期是2πB ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数解析：选D.因为y ＝sin(x －π2)＝－cos x ， 所以T ＝2π，A 正确；y ＝cos x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数，y ＝－cos x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，B 正确；由图象知y ＝－cos x 关于直线x ＝0对称，C 正确；y ＝－cos x 是偶函数，D 错误．故选D.10．当x ＝π4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值，则函数y ＝f (3π4－x )是( ) A ．奇函数且图象关于点(π2，0)对称 B ．偶函数且图象关于点(π，0)对称C ．奇函数且图象关于直线x ＝π2对称 D ．偶函数且图象关于点(π2，0)对称 解析：选C.当x ＝π4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值，即π4＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝－3π4＋2k π，k ∈Z ，所以f (x )＝A sin(x －3π4)(A ＞0)，所以y ＝f (3π4－x )＝A sin(3π4－x －3π4)＝－A sin x ，所以函数为奇函数且图象关于直线x ＝π2对称，故选C. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上)11．已知函数y ＝3cos(π－x )，则当x ＝________时函数取得最大值．答案：2k π＋π(k ∈Z )12.cos （－585°）sin 495°＋sin （－570°）的值等于________． 解析：原式＝cos （360°＋225°）sin （360°＋135°）－sin （360°＋210°）。
高中数学 习题课(二)课时作业 新人教A版必修4(2021年整理)
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习题课(二）课时作业一、选择题1．函数f(x)＝tan2xtan x的定义域为( ）A.错误!B.错误!C。
错误!D.错误!答案：A解析：由题意,得错误!（k∈Z)，即错误!（k∈Z)，所以x≠错误!(k∈Z)，选A.2．函数f（x）＝x＋sin|x|，x∈［－π，π］的大致图象是（)答案：A解析：函数f（x)是非奇非偶函数，故排除B，D；又x∈［－π，π]时，x＋sin|x｜≥x 恒成立，所以函数f(x)的图象应在直线y＝x的上方，故排除C,选A.3．函数f(x）＝A sin(ωx＋ωπ）（A〉0,ω>0)在错误!上单调递增，则ω的最大值是( ）A。
错误! B.错误!C．1 D．2答案：C解析：因为A〉0，ω>0,所以当2kπ－错误!≤ωx＋ωπ≤2kπ＋错误!（k∈Z)时,有错误!－π≤x≤错误!－π（k∈Z），所以错误!⊆错误!（k∈Z），则错误!，解得错误!.又由题意得－错误!－错误!＝错误!≤错误!＝错误!，所以ω≤错误!，所以0〈ω≤1,所以ω的最大值为1。
4．三个数cos 32，sin错误!，－cos错误!的大小关系是( ）A。
cos错误!〉sin错误!〉－cos错误! B．cos错误!>－cos错误!〉sin错误!C．cos 32〈sin错误!<－cos错误!D．－cos错误!〈cos错误!〈sin错误!答案：C解析：sin 错误!＝cos 错误!.－cos 74＝cos 错误!。
高中数学人教B版必修4课时作业：第一章 1.2.4 诱导公式 第三课时 Word版含解析
第三课时【选题明细表】1.tan 300°+sin 450°的值是( B )(C)-1-解析:tan 300°+sin 450°=tan(360°-60°)+sin(360°+90°)=-tan 60°+sin 90°故选B.2.(2017·济宁一中高一检测)已知cos(α则sin(α的值为( A )(B)-解析:sin(αα)=-sin[α=-cos(α)=故选A.3.如果α+β=π,那么下列等式中成立的是( B )(A)tan α=tan β (B)cos α=-cos β(C)sin α=-sin β (D)以上都不对解析:cos α=cos(π-β)=-cos β.故选B.4.已知f(sin x)=cos 3x,则f(cos 10°)的值为( A )(A)-(C)-解析:f(cos 10°)=f(sin 80°)=cos 240°=-cos 60°5.已知sin β则cos(ββ-π)的值为.解析:cos(ββ-π)=sin β(-sin β)=-sin2β=-答案6.(2017·江西上饶中学周练)θ为锐角,则cos θθ的大小关系为cos θθ(填“>”“<”或“=”).解析:cos θθ),因为θ为锐角,所以θ为锐角,所以sin(θθ,即cos θθ.答案:<7.设A,B,C(C是一个三角形的三个内角,则下列式子中值为常数的有( C )①sin(A+B)-sin C; ②cos(A+B)+cos C;③tan(A+B)+tan C; ④cos(A+B)-cos C.(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:因为A+B+C=π,所以A+B=π-C,所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C.所以①②③式的结果都是常数0,故选C.8.(2017·临沂第二次月考)若θ则θ)等于( C )(A)-解析θθθ选C.9.已则cos2(π-α)+2sin2(α-π)的值为.解析:所以tan α所以cos2(π-α)+2sin2(α-π)=cos2α+2sin2α答案:10.化简解:原式++=1.11.已知tan αx的方程3x2-3kx+3k2-13=0的两个实根,且3π<α求cos(3π+α)+sin(π+α)的值.解:因为tan α3x2-3kx+3k2-13=0的两个实根,所以tan α·所以k2(当k2,Δ=9k2-4×3(3k2-13)>0).因为3π<α即α为第三象限的角.所以tan α>0,sin α<0,cos α<0.又由韦达定理知,tan α所以k>0.故由k2知k=又因为tan α,所以sin αcos α所以(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+2×又因为sin α+cos α<0,所以sin α+cos α=-于是cos(3π+α)+sin(π+α)=-cos α-sin α=-(cos α+ sin α)=。
高中数学 课时作业4(含解析)新人教A版选修23
【金版新学案】2014-2015学年高二数学课时作业4（含解析）新人教A版选修2-3一、选择题(每小题5分，共20分)1．高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是( )A．1 800 B．3 600C．4 320 D．5 040解析：利用插空法，先将4个音乐节目和1个曲艺节目全排列，有A55种，然后从6个空中选出2个空将舞蹈节目插入，有A26种排法，所以共有A55·A26＝3 600种排法．答案： B2．(2014·襄阳市普通高中调研高二测试)某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面以及楼的外墙，现有编号为1～6的六种不同花色的装饰石材可选择，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果种数为( )A．65 B．50C．350 D．300解析：办公室可选用的花色有A15种，其余三个地方的装饰花色有A35种，所以不同的装饰效果种数为A15·A35＝300(种)，故选D.答案： D3．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为( )A．720 B．144C．576 D．324解析：6个人的全排列数是A66，而甲、乙、丙三人都站在一起的排法是A44A33，故甲、乙、丙不能都站在一起的排法种数是A66－A44A33＝576.故选C.答案： C4．由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中个位上的数字小于十位上的数字的只有( )A．210个B．300个C．464个D．600个解析：没有重复数字的五位数有5×A45＝600(个)，个位上的数字小于十位上的数字的有6002＝300(个)．故选B. 答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的排法有________种．解析： 课表上相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课，分三类： 第1类：文化课之间没有艺术课，有A 33·A 44＝6×24＝144(种)．第2类：文化课之间有1节艺术课，有A 33·C 13·A 12·A 33＝6×3×2×6＝216(种)． 第3类：文化课之间有2节艺术课，有A 33·A 23·A 22＝6×6×2＝72(种)． 共有144＋216＋72＝432(种)． 答案： 4326．有10幅画展出，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画排成一排，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，则不同的陈列方式有________种．解析： 第一步，水彩画可以在中间，油画、国画放在两端，有A 22种放法；第二步，油画内部排列，有A 44种；第三步，国画内部排列，有A 55种．由分步乘法计数原理，不同的陈列方式共有A 22·A 55·A 44＝5 760(种)．答案： 5 760三、解答题(每小题10分，共20分)7．(2014·玉溪一中期中)某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课(第5和第6节不算连上)，那么这位教师一天的课的所有排法有多少种？解析： 首先求得不受限制时，从9节课中任意安排3节，有A 39＝504种排法，其中上午连排3节的有3A 33＝18种，下午连排3节的有2A 33＝12种，则这位教师一天的课的所有排法有504－18－12＝474种．8．7人站成一排．(1)甲、乙、丙排序一定时，有多少种排法？ (2)甲在乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？ (3)甲、乙两人之间只有1人的排法有多少种？(4)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？解析： (1)方法一：7人的所有排列方法有A 77种，其中甲、乙、丙的排序有A 33种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法共有A 77A 33＝840(种)．方法二(填空法)：7人站定7个位置，只要把其余4人排好，剩下的3个空位，甲、乙、丙就按他们的顺序去站，只有一种站法，故A 47＝7×6×5×4＝840(种)．(2)甲在乙的左边的7人排列数与甲在乙的右边的7人排列数相等，而7人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有12A 77＝2 520(种)．(3)第一步：从其余5人中选1人放于甲、乙之间，有A 15种方法．第二步：将甲、乙及中间1人看作一个元素与其他四个人全排，有A 55种方法． 第三步：甲、乙及中间1人的排列为A 22. 根据乘法原理得A 15×A 22×A 55＝1 200(种)， 故有1 200种排法．(4)第一步安排甲，有A 13种排法；第二步安排乙，有A 14种排法，第三步将余下的5人排在剩下的5个位置上，有A 55种排法．由分步乘法计数原理得，符合要求的排法共有A 13·A 14·A 55＝1 440种．(10分)从－3，－2，－1,0,1,2,3,4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的系数a ，b ，c ，问：(1)共能组成多少个不同的二次函数？(2)在这些二次函数中，图象关于y 轴对称的有多少个？ 解析： (1)方法一(直接法——优先考虑特殊位置)： ∵a ≠0，∴确定二次项系数有7种，确定一次项和常数项有A 27种， ∴共有7A 27＝294个不同的二次函数．方法二(直接法——优先考虑特殊元素)：a ，b ，c 中不含0时，有A 37个；a ，b ，c 中含有0时，有2A 27个，故共有A 37＋2A 27＝294个不同的二次函数．方法三(间接法)：共可构成A 38个函数，其中a ＝0时有A 27个均不符合要求，从而共有A 38－A 27＝294个不同的二次函数．(2)直接法：依题意b ＝0，所以共有A 27＝42个符合条件的二次函数.。
高一数学人教B版必修4课时作业1.3.2 正弦型函数y=Asin(ωx+φ) Word版含解析
答案：C
3．函数y＝sin 的单调递减区间是()
A. (k∈Z)
B. (k∈Z)
C. (k∈Z)
D. (k∈Z)
解析：y＝sin ＝－sin ，则该函数的单调递减区间即为函数u＝sin 的单调递增区间．由2kπ－ ≤2x－ ≤2kπ＋ ，k∈Z，得kπ－ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z.
(2)由(1)知函数在区间 2，
f ＝2sin ＝－2sin ＝－2.
所以f(x)在 上的最大值为2，
此时x＝ ；最小值为－ ，此时x＝ .
12．已知函数f(x)＝3sin .
(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象．
(2)由图写出f(x)的值域、周期、对称轴、单调区间．解析：(1)列表：
课时作业09正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)
(限时：10分钟)
1．函数y＝sin 在区间 上的简图是()
AB
CD
解析：将x＝－ 代入y＝sin 得y＝sin ＝ ＞0，排除B，D.将x＝ 代入得y＝sin0＝0，排除C.
答案：A
2．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k在一个周期内的图象，那么这个函数的一个解析式应为()
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间．
(2)求函数f(x)在区间 上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值．
解析：(1)由ω＝2，所以周期T＝ ＝π，
由2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ (k∈Z)知，
2kπ－ π≤2x≤2kπ＋ ，k∈Z，
所以kπ－ π≤x≤kπ＋ ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为 (k∈Z)．
当φ＝0时，y＝sin ，为非奇非偶函数；
【创新设计】2022-2021学年高一数学人教A版必修4学案：1.1.1 任意角 Word版含答案
1．1 任意角和弧度制 1．1.1 任意角[学习目标] 1.了解角的概念.2.把握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义. 3.娴熟把握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角．[学问链接]1．手表慢了5分钟，如何校准？手表快了1.5小时，又如何校准？ 答 可将分针顺时针方向旋转30°；可将时针逆时针方向旋转45°. 2．在学校角是如何定义的？答 定义1：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫做角．定义2：平面内一条射线围着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角． 3．学校所学角的范围是什么？ 答 角的范围是[0°，360°]． [预习导引] 1．角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线围着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)角的表示方法：①常用大写字母A ，B ，C 等表示；②也可以用希腊字母α、β、γ等表示； ③特殊是当角作为变量时，常用字母x 表示． (3)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型 定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角 按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角2.象限角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．假如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角全部与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.要点一 任意角概念的辨析例1 在下列说法中： ①0°～90°的角是第一象限角； ②其次象限角大于第一象限角； ③钝角都是其次象限角；④小于90°的角都是锐角． 其中错误说法的序号为 ． 答案 ①②④解析 ①0°～90°的角是指[0°，90°)，0°角不属于任何象限，所以①不正确． ②120°是其次象限角，390°是第一象限角，明显390°>120°，所以②不正确． ③钝角的范围是(90°，180°)，明显是其次象限角，所以③正确．④锐角的范围是(0°，90°)，小于90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确．规律方法 推断说法错误，只需举一个反例即可．解决本题关键在于正确理解各类角的定义．随着角的概念的推广，对角的生疏不能再停留在学校阶段，否则推断简洁错误．跟踪演练1 设A ＝{小于90°的角}，B ＝{锐角}，C ＝{第一象限角}，D ＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有( ) A ．B C A B ．B A C C ．D(A ∩C )D ．C ∩D ＝B答案 D解析 锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.角集合表示锐角 B ＝{α|0°<α<90°} 0°～90°的角D ＝{α|0°≤α<90°}小于90°的角A＝{α|α<90°}第一象限角C＝{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}要点二象限角的判定例2在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)由于－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)由于650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)由于－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是其次象限角．规律方法本题要求在0°～360°范围内，找出与已知角终边相同的角，并推断其为第几象限角，这是为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值打基础．跟踪演练2给出下列四个说法：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是其次象限角；④－315°是第一象限角，其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 D解析对于①：如图1所示，－75°角是第四象限角；对于②：如图2所示，225°角是第三象限角；对于③：如图3所示，475°角是其次象限角；对于④：如图4所示，－315°角是第一象限角．要点三终边相同的角的应用例3在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)360°～720°的角．解(1)与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)，由－360°<k·360°＋10 030°<0°，得－10 390°<k·360°<－10 030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.(2)由0°<k·360°＋10 030°<360°，得－10 030°<k·360°<－9 670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.(3)由360°≤k·360°＋10 030°<720°，得－9 670°≤k·360°<－9 310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.规律方法求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．跟踪演练3写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β<360°的元素β写出来．解由终边相同的角的表示知与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为：{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}．∵－720°≤β<360°，即－720°≤k·360°－1 910°<360°(k∈Z)，∴31136≤k<61136(k∈Z)．故取k＝4,5,6.k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.要点四区域角的表示例4写出终边落在阴影部分的角的集合．解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}．规律方法解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的全部角的集合，假如集合能化简的还要化成最简．本题还要留意实线边界与虚线边界的差异．跟踪演练4已知集合A＝{α|k·180°＋30°<α<k·180°＋90°，k∈Z}，集合B＝{β|k·360°－45°<β<k·360°＋45°，k∈Z}．求：(1)A∩B；(2)A∪B.解在直角坐标系中，分别画出集合A，B所包含的区域，结合图形可知，A∩B＝{θ|30°＋k·360°<θ<45°＋k·360°，k∈Z}，A∪B＝{γ|k·360°－45°<γ<k·360°＋90°或k·360°＋210°<γ<k·360°＋270°，k∈Z}.1．－361°的终边落在()A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限答案 D2．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°＜β＜180°}，则A∩B等于()A．{－36°，54°} B．{－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°，144°} D．{－126°，54°}答案 C解析令－180°＜k·90°－36°＜180°，则－144°＜k·90°＜216°，当k＝－1,0,1,2时，不等式均成立，所对应的角分别为－126°，－36°，54°，144°，故选C.3．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝.答案270°解析由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝4α＝k·360°.又180°<α<360°，令k＝3，得α＝270°.4．写出终边落在坐标轴上的角的集合S.解终边落在x轴上的角的集合：S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合：S2＝{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}；∴终边落在坐标轴上的角的集合：S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}∪{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}＝{β|β＝2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝n·90°，n∈Z}．1.对角的理解，学校阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要留意“旋转方向”打算角的“正负”，“旋转量”打算角的“确定值大小”．2．关于终边相同角的生疏一般地，全部与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．留意：(1)α为任意角；(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)；(3)相等的角终边肯定相同；终边相同的角不肯定相等，终边相同的角有很多多个，它们相差360°的整数倍；(4)k∈Z这一条件不能少．一、基础达标1．设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是()A．A＝B B．B＝CC．A＝C D．A＝D答案 D2．与405°角终边相同的角是()A．k·360°－45°，k∈Z B．k·180°－45°，k∈ZC．k·360°＋45°，k∈Z D．k·180°＋45°，k∈Z答案 C3.如图，终边落在直线y＝±x上的角α的集合是()A．{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}D．{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}答案 D4．若α是第四象限角，则180°－α是()A．第一象限角B．其次象限角C．第三象限角D．第四象限角答案 C解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．5．已知α∈(0°，360°)，α的终边与－60°角的终边关于x轴对称，则α＝.答案60°6．下列说法中，正确的是．(填序号)①终边落在第一象限的角为锐角；②锐角是第一象限的角；③其次象限的角为钝角；④小于90°的角肯定为锐角；⑤角α与－α的终边关于x轴对称．答案②⑤解析终边落在第一象限的角不肯定是锐角，如400°的角是第一象限的角，但不是锐角，故①的说法是错误的；同理其次象限的角也不肯定是钝角，故③的说法也是错误的；小于90°的角不肯定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的．7．在与角－2 013°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－720°～720°内的角．解(1)∵－2 013°＝－6×360°＋147°，∴与角－2 013°终边相同的最小正角是147°.(2)∵－2 013°＝－5×360°＋(－213°)，∴与角－2 013°终边相同的最大负角是－213°.(3)∵－2 013°＝－6×360°＋147°，∴与－2 013°终边相同也就是与147°终边相同．由－720°≤k·360°＋147°<720°，k∈Z，解得：k＝－2，－1,0,1.代入k·360°＋147°依次得：－573°，－213°，147°，507°.二、力量提升8．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中，角所表示的范围(阴影部分)正确的是()答案 C9．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角为．答案－160°，200°解析∵2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，∴在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．10．角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝.答案150°＋k·360°，k∈Z解析∵30°与150°的终边关于y轴对称，∴β的终边与150°角的终边相同．∴β＝150°＋k·360°，k∈Z.11．已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．解(1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}．(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{x|n·180°＋30°≤x≤n·180°＋60°，n∈Z}．12．已知角β的终边在直线3x －y ＝0上． (1)写出角β的集合S ；(2)写出S 中适合不等式－360°<β<720°的元素．解 (1)如图，直线3x －y ＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA 上的角是60°，终边落在射线OB 上的角是240°，所以以射线OA 、OB 为终边的角的集合为：S 1＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }， S 2＝{β|β＝240°＋k ·360°，k ∈Z }，所以，角β的集合S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋180°＋k ·360°，k ∈Z }＝{β|β＝60°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{β|β＝60°＋n ·180°，n ∈Z }．(2)由于－360°<β<720°，即－360°<60°＋n ·180°<720°，n ∈Z .解得－73<n <113，n ∈Z ，所以n ＝－2，－1,0,1,2,3.所以S 中适合不等式－360°<β<720°的元素为： 60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°； 60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°； 60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°. 三、探究与创新13．若α是第一象限角，问－α，2α，α3是第几象限角？解 ∵α是第一象限角，∴k ·360°<α<k ·360°＋90°(k ∈Z )． (1)－k ·360°－90°<－α<－k ·360°(k ∈Z )，∴－α所在区域与(－90°，0°)范围相同，故－α是第四象限角． (2)2k ·360°<2α<2k ·360°＋180°(k ∈Z )， ∴2α所在区域与(0°，180°)范围相同，故2α是第一、二象限角或终边在y 轴的非负半轴上． (3)k ·120°<α3<k ·120°＋30°(k ∈Z )．方法一 (分类争辩)当k ＝3n (n ∈Z )时， n ·360°<α3<n ·360°＋30°(n ∈Z )，∴α3是第一象限角； 当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋120°<α3<n ·360°＋150°(n ∈Z )，∴α3是其次象限角；当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，n ·360°＋240°<α3<n ·360°＋270°(n ∈Z )，∴α3是第三象限角．综上可知：α3是第一、二或第三象限角．方法二 (几何法)如图，先将各象限分成3等份，再从x 轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为α3终边所落在的区域，故α3为第一、二或第三象限角.。
《创新设计》2018-2019学年高一数学苏教版必修4课件：2.2.1 向量的加法2
.a
b a+b
A
C a
b
应用提升
例1、如图所示，O为正六边形OABCDEF的中心，作出 下列向量： E D (1)OA+OC; (2)BC+FE; (3)OA+FE. 解： O （1）因四边形OABC是以OA、OC为邻边的 F C 平行四边形，OB是其对角线，故OA+OC=OB B （2）因BC=FE，故BC+FE与BC方向相同，长 A 度为BC的长度的2倍，故BC+FE=AD. （3）因OD=FE，故OD+FE=OA+OD=0 评： 理解向量加法的几何意义，灵活运用平行四边 形法则（或三角形法则）作出相应的和向量，同时 还要注意向量之间的的方向和大小
ABCD为平行四边形
练习
一架飞机向西飞行 100km ,然后改变方向南飞行 100 2km ,则飞机两次位移的和为西偏南45， . 100km
北 B 西 南 东
100km
100km
450
100 2km
A
AB BC AC
C
ab ba ( a b ) c a ( b c)
感受理解
1.已知O是平行四边形ABCD对角线的交点， 则下列结论中正确的是（ B ） A.AB+CB=AC C.AD+CD≠BD B.AB+AD=AC D.AO+CO+OB+OD≠0
2.化简： (1)BC+AB= AC ； (2)DA+CD+BC= BA ； (3)AB+DF+CD+BC+FA= 0 .
探究
(1)AB+BC+CD =AD (2)AB+BC+CD+DE=AE (3)AB+BC+CD+DE+EF+FA =0
高中同步创新课堂数学优化方案北师大必修4习题：第一章§3应用案巩固提升 含答案
[A 基础达标]1．－630°化为弧度为( ) A ．－7π2 B.7π4C ．－7π16D ．－7π4解析：选A.－630°＝－630×π180＝－7π2.2．角－2912π的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D.－2912π＝－4π＋1912π，1912π的终边位于第四象限．3．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( ) A.143 π B ．－143πC.718π D ．－718π解析：选B.显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为－73×2π＝－143π.4．把－11π4表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )A ．－3π4B ．－π4C.π4D.3π4解析：选A.令－11π4＝θ＋2k π(k ∈Z)，则θ＝－11π4－2k π(k ∈Z)，取k ≤0的值，k ＝－1时，θ＝－3π4，|θ|＝3π4；k ＝－2时，θ＝5π4，|θ|＝5π4>3π4；k ＝0时，θ＝－11π4，|θ|＝11π4>3π4.故选A.5．若扇形的半径变为原来的2倍，且弧长也增加到原来的2倍，则( )A ．扇形的圆心角大小不变B ．扇形的圆心角增大到原来的2倍C ．扇形的圆心角增大到原来的4倍D ．扇形的圆心角减小到原来的一半解析：选A.设扇形原来的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则变化后半径为2r ，弧长为2l ，圆心角为β，所以α＝l r ，β＝2l 2r ＝lr＝α，即扇形的圆心角大小不变．6．在[－2π，2π]内，与α＝－11π3的终边相同的角为 ．解析：与α＝－11π3终边相同的角的集合为P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|β＝－11π3＋2k π，k ∈Z ， 令k ＝1，2，得β＝－5π3，π3.答案：－5π3，π37．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，则角A ，B ，C 的弧度数分别为 ． 解析：因为A ＋B ＋C ＝π，又A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，所以A ＝3π3＋5＋7＝π5，B ＝5π3＋5＋7＝π3，C ＝7π15.答案：π5，π3，7π158．火车站钟楼上有座大钟，这座大钟的分针20 min 所走的圆弧长是π3 m ，则这座大钟分针的长度为 m.解析：因为分针20 min 转过的角为2π3，所以由l ＝αr ，得r ＝lα＝π32π3＝0.5(m)，即这座大钟分针的长度为0.5 m. 答案：0.59．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(含边界)，并判断2 016°是不是这个集合的元素．解：因为150°＝56π，所以终边落在阴影区域内角的集合为S ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|56π＋2k π≤β≤32π＋2k π，k ∈Z .因为2 016°＝216°＋5×360°＝108π90＋10π.又56π<108π90<3π2， 所以2 016°＝10890π＋10π∈S ，即2 016°是这个集合的元素．10．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，所以l ＝40－2r ， 所以S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.所以当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，这个最大值为100 cm 2， 这时，θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad.[B 能力提升]1．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角的终边所在的范围(阴影部分)是( )解析：选C.当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z ，所以选C.2．扇形圆心角为π3，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为 ．解析：如图，设内切圆半径为r ，则r ＝a3，所以S 圆＝π·⎝⎛⎭⎫a 32＝πa 29，S 扇＝12a 2·π3＝πa26， 所以S 圆S 扇＝23.答案：2∶33．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z ，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2.解：(1)因为－800°＝－3×360°＋280°，280°＝149π，所以α＝－800°＝149π＋(－3)×2π.因为α与14π9角的终边相同，所以α是第四象限角．(2)因为与α终边相同的角可写为2k π＋14π9，k ∈Z 的形式，而γ与α的终边相同，所以γ＝2k π＋14π9，k ∈Z.又γ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以－π2<2k π＋14π9<π2，k ∈Z ，解得k ＝－1，所以γ＝－2π＋14π9＝－4π9.4.(选做题)如图，动点P ，Q 从点A (4，0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间及P ，Q 点各自走过的弧长．解：设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪－π6＝2π.解得t ＝4， 所以P ，Q 第一次相遇时所用的时间是4秒，第一次相遇时点P 已经运动到角π3·4＝43π的终边与圆交点的位置，点Q 已经运动到角－2π3的终边与圆交点的位置，所以点P 走过的弧长为43π×4＝163π，点Q 走过的弧长为⎪⎪⎪⎪－2π3×4＝23π×4＝83π.。
【创新设计】2022-2021学年高一数学人教A版必修4学案：第二章 平面向量 Word版含答案
1．平面对量的基本概念主要应把握向量的概念、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念，这些概念是考试的热点，一般都是以选择题或填空题消灭，尤其是单位向量常与向量的平行与垂直的坐标形式结合考查，往往一些同学只求出一个而遗漏另一个．2．向量的线性运算主要应把握向量加法的三角形法则与平行四边形法则，甚至推广到向量加法的多边形法则；把握向量减法的三角形法则；数乘向量运算的性质和法则及运算律．同时要机敏运用这些学问解决三点共线、两线段相等及两直线平行等问题．3．向量的坐标运算主要应把握向量坐标运算的法则、公式进行向量加、减与数乘运算；能用向量共线的坐标表示证明两向量平行或证明三点共线；能用平面对量基本定理和基底表示平面内任意一个向量．4．平面对量的数量积平面对量的数量积是向量的核心内容，主要应把握向量的数量积的定义、法则和公式进行相关运算，特殊是向量的模、夹角、平行与垂直等运算；能用向量数量积的坐标形式求向量的模、夹角，证明向量平行或垂直，能解答有关综合问题．5．平面对量的应用一是要把握平面几何中的向量方法，能用向量证明一些平面几何问题、能用向量求解一些解析几何问题；二是能用向量解决一些物理问题，如力、位移、速度等问题.题型一向量的共线问题运用向量平行(共线)证明常用的结论有：(1)向量a、b(a≠0)共线⇔存在唯一实数λ，使b＝λa；(2)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线⇔x1y2－x2y1＝0；(3)向量a与b共线⇔|a·b|＝|a||b|；(4)向量a与b共线⇔存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0.推断两向量所在的直线共线时，除满足定理的要求外，还应说明此两直线有公共点．例1设坐标平面上有三点A、B、C，i、j分别是坐标平面上x轴，y轴正方向的单位向量，若向量AB→＝i－2j，BC→＝i＋m j，那么是否存在实数m，使A、B、C三点共线．解方法一假设满足条件的m存在，由A、B、C三点共线，即AB→∥BC→，∴存在实数λ，使AB→＝λBC→，i－2j＝λ(i＋m j)，⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λm＝－2，∴m＝－2，∴当m＝－2时，A、B、C三点共线．方法二假设满足条件的m存在，依据题意可知：i＝(1,0)，j＝(0,1)，∴AB→＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，BC→＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)，由A、B、C三点共线，即AB→∥BC→，故1·m－1·(－2)＝0，解得m＝－2，∴当m＝－2时，A、B、C三点共线．跟踪演练1如图所示，在△ABC中，AN→＝13NC→，P是BN上的一点，若AP→＝mAB→＋211AC→，则实数m的值为________．答案311解析设BP→＝λBN→，则BP→＝BA→＋AP→＝－AB→＋mAB→＋211AC→＝(m－1)AB→＋211AC→.BN→＝BA→＋AN→＝－AB→＋14AC→.∵BP→与BN→共线，∴14(m－1)＋211＝0，∴m＝311.题型二 向量的夹角及垂直问题1．求两个向量的夹角主要利用两个公式：(1)cos θ＝a ·b|a ||b |，求解的前提是：求出这两个向量的数量积和模．(2)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22，求解的前提是：可以求出两个向量的坐标．2．解决垂直问题，其关键在于将问题转化为它们的数量积为零，与求夹角一样，若向量能用坐标表示，将它转化为“x 1x 2＋y 1y 2＝0”较为简洁．3．用向量方法解决平面几何中的夹角与垂直问题的关键在于：选用适当向量为基底，把所要争辩的问题转化为两向量的夹角与垂直问题，再利用向量学问求角． 例2 已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)． (1)求证：AB ⊥AD ；(2)若四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标以及矩形ABCD 两对角线所夹锐角的余弦值． (1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)． ∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)解 ∵AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形，∴AB →＝DC →. 设C 点坐标为(x ，y )，则DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.∴点C 坐标为(0,5)．从而AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，且|AC →|＝25，|BD →|＝25，AC →·BD →＝8＋8＝16， 设AC →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45.∴矩形ABCD 的两条对角线所夹锐角的余弦值为45.跟踪演练2 已知向量OB →＝(2,0)，OC →＝(2,2)，CA →＝(2cos α，2sin α)，则OA →与OB →夹角的范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎦⎤π4，5π12 C.⎣⎡⎦⎤π12，5π12D.⎣⎡⎦⎤5π12，π2答案 C 解析建立如图所示的直角坐标系． ∵OC →＝(2,2)，OB →＝(2,0)， CA →＝(2cos α，2sin α)，∴点A 的轨迹是以C (2,2)为圆心，2为半径的圆．过原点O 作此圆的切线，切点分别为M ，N ，连接CM 、CN ，如图所示，则向量OA →与OB →的夹角范围是∠MOB ≤〈OA →，OB →〉≤∠NOB .∵|OC →|＝22，∴|CM →|＝|CN →|＝12|OC →|，知∠COM ＝∠CON ＝π6，但∠COB ＝π4.∴∠MOB ＝π12，∠NOB ＝5π12，故π12≤〈OA →，OB →〉≤5π12.题型三 向量的长度(模)与距离的问题向量的模不仅是争辩向量的一个重要量，而且是利用向量的方法解决几何问题的一个交汇点．一般地，求向量的模主要利用公式|a |2＝a 2，将它转化为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和运算性质进行开放、合并，使问题得以解决，或利用公式|a |＝x 2＋y 2，将它转化为实数问题，使问题得以解决． 例3 设|a |＝|b |＝1，|3a －2b |＝3，求|3a ＋b |的值．解 方法一 ∵|3a －2b |＝3，∴9a 2－12a ·b ＋4b 2＝9. 又∵|a |＝|b |＝1，∴a ·b ＝13.∴|3a ＋b |2＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2 ＝9＋6×13＋1＝12.∴|3a ＋b |＝2 3.方法二 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．∵|a |＝|b |＝1，∴x 21＋y 21＝x 22＋y 22＝1.∵3a －2b ＝(3x 1－2x 2,3y 1－2y 2)， ∴|3a －2b |＝(3x 1－2x 2)2＋(3y 1－2y 2)2＝3.∴x 1x 2＋y 1y 2＝13.∴|3a ＋b |＝(3x 1＋x 2)2＋(3y 1＋y 2)2＝9＋1＋6×13＝2 3.跟踪演练3 设0<|a |≤2，f (x )＝cos 2x －|a |sin x －|b |的最大值为0，最小值为－4，且a 与b 的夹角为45°，求|a ＋b |.解 f (x )＝1－sin 2 x －|a |sin x －|b | ＝－⎝⎛⎭⎫sin x ＋|a |22＋|a |24－|b |＋1. ∵0<|a|≤2，∴当sin x ＝－|a |2时，|a |24－|b |＋1＝0；当sin x ＝1时，－|a |－|b |＝－4. 由⎩⎪⎨⎪⎧|a |24－|b |＋1＝0，－|a |－|b |＝－4得⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝2，|b |＝2.∴|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝22＋2×2×2cos 45°＋22＝8＋42， ∴|a ＋b |＝8＋42＝22＋ 2.1.由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也由于这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要擅长从不同的角度考虑问题．2．向量是一个有“形”的几何量，因此，在争辩向量的有关问题时，肯定要结合图形进行分析推断求解，这是争辩平面对量最重要的方法与技巧．。
【创新设计】2021-2022学年高一数学人教B版必修4学案：3.1.2 两角和与差的正弦
3.1.2 两角和与差的正弦[学习目标] 1.把握由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简洁的三角函数的求值、化简、计算等.3.能利用帮助角公式争辩形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的性质．[学问链接]1．cos(α＋β)与cos α＋cos β相等吗？答 一般状况下不相等，但在特殊状况下也有相等的时候．例如，当α＝60°，β＝－60°时，cos(60°－60°)＝cos 60°＋cos(－60°)．2．你能结合三角函数诱导公式，由公式C α＋β或C α－β推导出公式S α－β吗？ 答 sin(α－β)＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－(α－β)＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π2－α＋β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos β－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αsin β ＝sin αcos β－cos αsin β. [预习导引]1．两角和与差的余弦公式C α－β：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β. C α＋β：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β. 2．两角和与差的正弦公式S α＋β：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β. S α－β：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β. 3．帮助角公式使a sin x ＋b cos x＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)＝a 2＋b 2cos(x －θ)成立时，cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b 2，sin θ＝a a 2＋b 2，cos θ＝ba 2＋b 2，其中φ、θ称为帮助角，它的终边所在象限由点(a ，b )打算.要点一 利用和(差)角公式化简 例1 化简下列各式：(1)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3－3cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ； (2)sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)．解 (1)原式＝sin x cos π3＋cos x sin π3＋2sin x cos π3－2cos x sin π3－3cos 2π3cos x －3sin 2π3sin x＝12sin x ＋32cos x ＋sin x －3cos x ＋32cos x －32sin x ＝⎝⎛⎭⎫12＋1－32sin x ＋⎝⎛⎭⎫32－3＋32cos x ＝0.(2)原式＝sin[(α＋β)＋α]－2cos (α＋β)sin αsin α＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin αsin α＝sin[(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α. 规律方法 化简三角函数式的标准和要求： (1)能求出值的应求出值．(2)使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少． (3)使三角函数式的次数尽可能低． (4)使分母中尽量不含三角函数式和根式． 跟踪演练1 化简：(tan 10°－3)cos 10°sin 50°.解 原式＝(tan 10°－tan 60°)cos 10°sin 50°＝⎝⎛⎭⎫sin 10°cos 10°－sin 60°cos 60°cos 10°sin 50°＝sin 10°cos 60°－cos 10°sin 60°cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝sin (－50°)cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝－1cos 60°＝－2.要点二 利用和(差)角公式求值例2 若sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β)的值．解 ∵0<α<π4<β<3π4，∴3π4<3π4＋α<π，－π2<π4－β<0. 又∵sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝－1213，sin ⎝⎛⎭⎫π4－β＝－45， ∴cos(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋(α＋β) ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β ＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β－cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β ＝513×35－⎝⎛⎭⎫－1213×⎝⎛⎭⎫－45＝－3365. 规律方法 在解决此类题目时，肯定要留意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角．具体做法是： (1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差． (2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．跟踪演练2 已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos 2α与cos 2β的值．解 ∵π2<β<α<3π4，∴0<α－β<π4，π<α＋β<3π2.∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝ 1－⎝⎛⎭⎫12132＝513，cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45. ∴cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β) ＝－45×1213－⎝⎛⎭⎫－35×513＝－3365， cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝－45×1213＋⎝⎛⎭⎫－35×513＝－6365. 要点三 公式的变形应用例3 已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，求tan αtan β的值．解 ∵sin(α＋β)＝12，∴sin αcos β＋cos αsin β＝12.①∵sin(α－β)＝13，∴sin αcos β－cos αsin β＝13.②由①，②解得sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝512112＝5. 规律方法 本题考查了公式的变形应用．先结合所求结论特点，对已知进行变形，整体求值．而本题中化切为弦的求法更是奇妙，体会其中的解题思路． 跟踪演练3 已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2.求： (1)cos(2α－β)的值；(2)β的值． 解 (1)由于α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，又sin(α－β)＝1010>0， 所以0<α－β<π2.所以sin α＝1－cos 2 α＝255， cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010. cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)] ＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝55×31010－255×1010＝210. (2)cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝55×31010＋255×1010＝22， 又由于β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以β＝π4. 例4 化简下列各式： (1)315sin x ＋35cos x ； (2)24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋64cos ⎝⎛⎭⎫π4－x . 解 (1)315sin x ＋35cos x ＝65⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x＝65⎝⎛⎭⎫cos π6sin x ＋sin π6cos x ＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (2) 24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋64cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝22⎣⎡⎦⎤12sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋32cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝22⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos π3＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－x sin π3 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫712π－x ＝－22sin ⎝⎛⎭⎫x －7π12. 规律方法 帮助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)可以把含sin x 、cos x 的一次式化为A sin(ωx ＋φ)的形式，其中φ所在象限由点(a ，b )打算，大小由tan φ＝ba 确定．争辩形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的性质都要用到该公式．跟踪演练4 已知函数f (x )＝3cos 2x －sin 2x ，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期与值域； (2)求f (x )的单调递增区间． 解 (1)f (x )＝－sin 2x ＋3cos 2x ＝－2⎝⎛⎭⎫12sin 2x －32cos 2x＝－2⎝⎛⎭⎫sin 2x cos π3－cos 2x sin π3＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈R . ∴T ＝2π2＝π，函数的值域为[－2,2]．(2)由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z .∴函数的单调递增区间为[k π＋5π12，k π＋11π12](k ∈Z ).1．sin 7°cos 37°－sin 83°cos 53°的值是( ) A ．－12 B.12C.32 D ．－32答案 A解析 原式＝sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37°＝sin(－30°)＝－12.2．在△ABC 中 ，A ＝π4，cos B ＝1010，则sin C 等于( )A.255 B ．－255C.55 D ．－55答案 A解析 sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22(cos B ＋1－cos 2B )＝22×⎝⎛⎭⎫1010＋31010 ＝255. 3．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈R )的值域是________． 答案 [－2,2]解析 ∵f (x )＝2⎝⎛⎭⎫12sin x －32cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3， ∴f (x )∈[－2,2]．4．试用一个角的正弦(或余弦)形式表示下列各式： (1)sin α－cos α；(2)3sin α＋cos α；(3)12cos 15°＋32sin 15°；(4)3sin α＋4cos α. 解 (1)sin α－cos α＝2(22sin α－22cos α)＝2(sin αcos π4－cos αsin π4)＝2sin(α－π4)．(2)3sin α＋cos α ＝2(32sin α＋12cos α) ＝2(sin αcos π6＋cos αsin π6)＝2sin(α＋π6)．(3)方法一 原式＝sin 30°cos 15°＋cos 30°sin 15° ＝sin(30°＋15°) ＝sin 45°＝22. 方法二 原式＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15° ＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22. (4)3sin α＋4cos α＝5(35sin α＋45cos α)＝5sin(α＋φ)(或＝5cos(α－θ))．其中cos φ＝35，sin φ＝45(或sin θ＝35，cos θ＝45)．1.公式C α±β与S α±β的联系、结构特征和符号规律四个公式C α±β、S α±β虽然形式不同、结构不同，但它们的本质是相同的，其内在联系为cos(α－β)――→以－β换βcos(α＋β)错误!sin(α＋β)错误!sin(α－β)，这样我们只要坚固把握“中心”公式cos(α－β)的由来及表达方式，也就把握了其他三个公式．对于公式C α－β与C α＋β，可记为“同名相乘，符号反”．对于公式S α－β与S α＋β，可记为“异名相乘，符号同”．2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)开放，而应接受整体思想，作如下变形： sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β) ＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α.3．运用和差公式求值、化简、证明时要留意机敏进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．一、基础达标1．函数f (x )＝sin(2x ＋π6)＋cos(2x ＋π3)的最小正周期和最大值分别为( )A ．π，1B ．π， 2C ．2π，1D ．2π， 2 答案 A解析 ∵f (x )＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＝cos 2x ，∴最小正周期T ＝2π2＝π，f (x )max ＝1.2．已知0<α<π2<β<π，又sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，则sin β等于( )A ．0B ．0或2425C.2425 D ．0或－2425 答案 C解析 ∵0<α<π2<β<π，sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，∴cos α＝45，sin(α＋β)＝35或－35.∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)·sin α＝2425或0.∵π2<β<π，∴sin β＝2425. 3．已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．±1 答案 D解析 ∵cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)＝0. ∴α＋β＝k π＋π2，k ∈Z ，∴sin αcos β＋cos αsin β＝sin(α＋β)＝±1.4．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2C ．1＋ 3D ．2＋ 3 答案 B解析 f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x＝2(12cos x ＋32sin x )＝2sin(x ＋π6)，∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6<2π3.∴f (x )max ＝2.5．在三角形ABC 中，三内角分别是A 、B 、C ，若sin C ＝2cos A sin B ，则三角形ABC 肯定是( ) A ．直角三角形 B ．正三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 答案 C解析 ∵sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝2cos A sin B ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0. 即sin(A －B )＝0，∴A ＝B .6．化简sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α的结果是________． 答案 cos α解析 原式＝sin π6cos α＋cos π6sin α＋cos π3cos α－sin π3sin α＝cos α.7．化简求值：(1)sin(π4－3x )cos(π3－3x )－sin(π4＋3x )sin(π3－3x )；(2)sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α； (3)sin 27°＋cos 45°sin 18°cos 27°－sin 45°sin 18°. 解 (1)原式＝cos[π2－(π4－3x )]cos(π3－3x )－sin(π4＋3x )sin(π3－3x )＝cos(π4＋3x )cos(π3－3x )－sin(π4＋3x )sin(π3－3x )＝cos[(π4＋3x )＋(π3－3x )]＝cos(π4＋π3)＝cos π4cos π3－sin π4sin π3＝22×12－22×32＝2－64. (2)sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)－α]＝sin β.(3)∵sin 27°＝sin(45°－18°)，cos 27°＝cos(45°－18°)， ∴原式＝sin 45°cos 18°－cos 45°sin 18°＋cos 45°sin 18°cos 45°cos 18°＋sin 45°sin 18°－sin 45°sin 18°＝sin 45°cos 18°cos 45°cos 18°＝tan 45°＝1. 二、力量提升8．在△ABC 中，cos A ＝35，cos B ＝513，则cos C 等于( )A ．－3365 B.3365 C ．－6365 D.6365答案 B解析 由cos A ＝35知A 为锐角，∴sin A ＝45.同理sin B ＝1213.∴cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝45×1213－35×513＝3365. 9．函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________． 答案 1解析 ∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ ＝sin[(x ＋φ)－φ]＝sin x ， ∴f (x )的最大值为1.10．已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，则tan αtan β的值是________．答案 137解析∵⎩⎨⎧sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝23，sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝15，∴⎩⎨⎧sin αcos β＝1330cos αsin β＝730，∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝137. 11．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值．解 由于π2<β<α<3π4，所以0<α－β<π4，π<α＋β<3π2.又cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，所以sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513， cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1－⎝⎛⎭⎫－352 ＝－45.所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)] ＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝513×⎝⎛⎭⎫－45＋1213×⎝⎛⎭⎫－35＝－5665. 12．已知sin α＝23，cos β＝－14，且α、β为相邻象限的角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值．解 ∵sin α＝23>0，cos β＝－14，且α，β为相邻象限的角，∴α为第一象限角且β为其次象限角；或α为其次象限角且β为第三象限角．(1)当α为第一象限角且β为其次象限角时， cos α＝53，sin β＝154， ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝23×⎝⎛⎭⎫－14＋53×154＝－2＋5312. ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝23×⎝⎛⎭⎫－14－53×154 ＝－2－5312＝－2＋5312.(2)当α为其次象限角且β为第三象限角时， ∵sin α＝23，cos β＝－14，∴cos α＝－53，sin β＝－154， ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝23×⎝⎛⎭⎫－14＋⎝⎛⎭⎫－53×⎝⎛⎭⎫－154＝53－212. sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝23×⎝⎛⎭⎫－14－⎝⎛⎭⎫－53×⎝⎛⎭⎫－154＝－2＋5312， 综上可知：sin(α＋β)＝53－212，sin(α－β)＝－53＋212.三、探究与创新13．已知函数f (x )＝A sin(x ＋π4) ，x ∈R ，且f (5π12)＝32.(1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈(0，π2)，求f (3π4－θ)．解 (1)∵f (5π12)＝A sin(5π12＋π4)＝A sin 2π3＝A sin π3＝32A ＝32，∴A ＝ 3.(2)由(1)知f (x )＝3sin(x ＋π4)，故f (θ)＋f (－θ)＝3sin(θ＋π4)＋3sin(－θ＋π4)＝32，∴3[22(sin θ＋cos θ)＋22(cos θ－sin θ)]＝32， ∴6cos θ＝32，∴cos θ＝64.又θ∈(0，π2)，∴sin θ＝1－cos 2θ＝104， ∴f (3π4－θ)＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304.。
创新设计浙江专用2020高中数学第一章三角函数1_1_1任意角课时作业新人教版必修4
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化成a + k • 360° (k € Z, 0°< a <360° )的形式是()A.45 °—4X 360°B. —45°—4X 360°C. —45°—5X 360°D.315 °—5X 360°答案D2. 若 a 是第四象限角，则180°—a 是( )A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角解析可以给a赋一特殊值—60°,贝U 180°— a = 240°,故180° —a是第三象限角答案C3. 若 a = 45°+ k • 180° (k € Z)，贝U a 的终边在( )A. 第一或第三象限B. 第二或第三象限C. 第二或第四象限D. 第三或第四象限答案A4. 已知0° <a <360°,且a的终边与—60°角的终边关于X轴对称，则a = _____________ .答案60°5. 下列说法中,正确的是_______ ( 填序号).①终边落在第一象限的角为锐角；②锐角是第一象限的角；③第二象限的角为钝角；④小于90°的角一定为锐角；⑤角 a 与— a 的终边关于x 轴对称.解析终边落在第一象限的角不一定是锐角,如400°的角是第一象限的角,但不是锐角,故①的说法是错误的；同理第二象限的角也不一定是钝角，故③的说法也是错误的；小于90°的角不一定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的答案②⑤6. 在与角—2 013 °终边相同的角中,求满足下列条件的角.(1) 最小的正角；(2) 最大的负角；(3) —720° 〜720° 内的角.解(1) •••—2 013 ° = —6X 360° + 147 °,•••与角一2 013 °终边相同的最小正角是147° .(2) T—2 013 ° =- 5X 360° + ( —213°),•••与角一2 013。
2024-2025学年高中数学人教B版必修四课时作业14：平面的基本事实与推论
2024-2025学年高中数学人教B版必修四课时作业(十四)平面的基本事实与推论一、选择题1．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定3个平面．其中正确的序号是()A．①B．①④C．②③D．③④2．如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是梯形，AB∥CD，若平面PAD∩平面PBC ＝l，则()A．l∥CDB．l∥BCC．l与直线AB相交D．l与直线DA相交3．如图，四棱锥PABCD，AC∩BD＝O，M是PC的中点，直线AM交平面PBD于点N，则下列结论正确的是()A．O，N，P，M四点不共面B．O，N，M，D四点共面C．O，N，M三点共线D．P，N，O三点共线4．如图，平面α∩平面β＝l，A，B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，过A，B，C 三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过()A.点AB．点BC．点C，但不过点DD．点C和点D二、填空题5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列说法正确的是________．(只填序号)①直线AC1在平面CC1B1B内；②若正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O，O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1；③由A，C1，B1确定的平面是ADC1B1；④由A，C1，B1确定的平面与由A，C1，D确定的平面是同一个平面．6．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，试根据图形填空：(1)平面AB1∩平面A1C1＝________；(2)平面A1C1CA∩平面AC＝________；(3)平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝________；(4)平面A1C1，平面B1C，平面AB1的公共点为________．7．空间三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是________．三、解答题8．求证：三棱台A1B1C1ABC三条侧棱延长后相交于一点．9．如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，点A，D与点B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线．[尖子生题库]10．在正方体ABCDA1B1C1D1中，F为AD的中点，E为棱D1D上的动点(不包括端点)，过点B，E，F的平面截正方体所得的截面的形状不可能是()A．四边形B．等腰梯形C．五边形D．六边形答案解析1．解析：因为梯形有两边平行，所以梯形确定一个平面，所以①是正确的；三条平行直线不一定共面，如直三棱柱的三条平行的棱，所以②不正确；有三个公共点的两个平面不一定重合，如两个平面相交，三个公共点都在交线上，所以③不正确；三条直线两两相交，可以确定的平面个数是1或3，所以④不正确．答案：A2．解析：因为四棱锥PABCD的底面ABCD是梯形，AB∥CD，所以AD与CB必相交于点M，且P是平面PAD和平面PBC的公共点，又平面PAD∩平面PBC＝l，所以P∈l，l与直线DA相交．答案：D3．解析：直线AC与直线PO交于点O，所以平面PCA与平面PBD交于点O，所以必相交于直线PO，直线AM在平面PAC内，点N∈AM，故点N∈平面PAC，故O，N，P，M四点共面，所以A错．若点D与O，M，N共面，则直线BD在平面PAC内，与题目矛盾，故B错．O，M分别为AC，PC中点，所以OM∥PA，ON∩PA＝P，故ON∩OM＝O，故C错．答案：D4．解析：根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．故选D.答案：D5．解析：①错误．如图所示，点A∉平面CC1B1B，所以直线AC1⊄平面CC1B1B.②正确．如图所示，连接AC，BD，A1C1，B1D1，因为O∈直线AC，AC⊂平面AA1C1C，O∈直线BD，BD⊂平面BB1D1D，O1∈直线A1C1，A1C1⊂平面AA1C1C，O1∈直线B1D1，B1D1⊂平面BB1D1D，所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1.③④都正确，因为AD∥B1C1，且AD＝B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以A，B1，C1，D共面．答案：②③④6．答案：(1)A1B1(2)AC(3)OO1(4)B17．解析：如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，①AA 1∩AB ＝A ，AA 1∩A 1B 1＝A 1，直线AB ，A 1B 1与AA 1可以确定一个平面(平面ABB 1A 1).②AA 1∩AB ＝A ，AA 1∩A 1D 1＝A 1，直线AB ，AA 1与A 1D 1可以确定两个平面(平面ABB 1A 1和平面ADD 1A 1).③三条直线AB ，AD ，AA 1交于一点A ，它们可以确定三个平面(平面ABCD ，平面ABB 1A 1和平面ADD 1A 1).答案：1或2或38．证明：延长AA 1，BB 1，设AA 1∩BB 1＝P ，又BB 1⊂平面BC 1，∴P ∈平面BC 1，AA 1⊂平面AC 1，∴P ∈平面AC 1，∴P 为平面BC 1和平面AC 1的公共点，又∵平面BC 1∩平面AC 1＝CC 1，∴P ∈CC 1，即AA 1，BB 1，CC 1延长后交于一点P .9．证明：因为AB ∩α＝P ，CD ∩α＝P ，所以AB ∩CD ＝P ，所以AB ，CD 可确定一个平面，设为β.因为A ∈AB ，C ∈CD ，B ∈AB ，D ∈CD ，所以A ∈β，C ∈β，B ∈β，D ∈β，所以AC ⊂β，BD ⊂β.因为AC ∩α＝Q ，所以Q ∈α，Q ∈β.同理，P ∈α且P ∈β，R ∈α且R ∈β.所以P ，Q ，R 在α与β的交线上，故P ，Q ，R 三点共线．10．解析：不妨设正方体的棱长为1，当0<DE ≤12时，截面为四边形BMEF ，如图；特别地，当DE ＝12时，截面为等腰梯形BFEC 1，如图；当12<DE <1时，截面为五边形BFENM ，不可能为六边形，如图．答案：D。
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φ＝
一、选择题
α
1．已知 180°＜α <360°，则 cos 2 的值等于 (
)
1－ cos α
A．－
2
B.
1－ cos α 2
1＋ cos α
C．－
2
D.
1＋ cos α 2
2．函数 y＝ sin
x＋ π 3
＋ sin
x－π 3
的最大值是
(
)
1
A． 2 B ． 1 C.
D.
3
2
π
3．函数 f ( x) ＝ sin x－ cos x， x∈ 0， 2 的最小值为 (
2kπ
－
π 6
，
2kπ＋
5 6π
( k∈ Z) ，
令 k＝ 0 得增区间为
－
π 6
，
5 6π
.]
4 6． A [ ∵α 是第三象限角， cos α ＝－ 5，
3 ∴sin α ＝－ 5.
α sin 2
1＋
1＋ tan
α 2
α cos 2
cos
α 2
＋
sin
α 2
cos α2 ＋ sin
α 2
cos
α 2
＋
sin
α 2
1＋sin α
3 1－ 5
∴
α＝
1－ tan 2
α＝ α
α＝ α
α· α
α ＝ cos α ＝ 4
sin 2 cos 2 － sin 2 cos 2 － sin 2 cos 2 ＋ sin 2
－5
1－ α cos 2
1
＝－
.] 2
7． π
b
b
a
象限；② tan
φ＝
( a
或
sin
φ＝
a2＋ b2， cos φ＝
a2＋b2) ．
3．研究形如 f ( x) ＝asin x＋ bcos x 的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正
弦函数或余弦函数的形式． 因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，
也
是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数
12．已知向量 m＝ (cos θ ， sin θ ) 和 n＝ ( 2－sin θ ，cos θ ) ，θ ∈ ( π， 2π ) ，且 | m
82 ＋n| ＝ 5 ，求
cos
θ 2
＋
π 8
的值．
能力提升
13．当 y＝2cos x－3sin x 取得最大值时， tan x 的值是 ( )
3
3
A. 2
B
．－ 2
C.
13 D ． 4
14．求函数 f ( x) ＝ 3sin( x＋20°) ＋ 5sin( x＋80°) 的最大值．
1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借
助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．
2．辅助角公式 asin x＋ bcos x＝ a2＋b2sin( x＋φ ) ，其中 φ 满足： ① φ 与点 ( a， b) 同
a、 b 应熟练掌握．例如 sin x±cos x＝ 2
2
sin
x±
π 4
； sin
x±
3cos x＝ 2sin
x±
π 3
等．
知识梳理
§3.2 简单的三角恒等变换
1－ cos α
1＋ cos α
1．(1) ±
2
(2) ±
2
1－ cos α
sin α
a 2. a2＋ b2
b a2＋ b2 点 ( a， b)
2
2
(3)T
α 2
：
tan
α 2
＝
______________(
无理形式
) ＝ ________________ ＝______________( 有理
形式 ) ． 2．辅助角公式 使 asin x＋ bcos x＝ a2＋ b2sin( x＋ φ) 成立时， cos φ＝ __________________ ， sin ______，其中 φ 称为辅助角，它的终边所在象限由 __________ 决定．
§3.2 简单的三角恒等变换
课时目标 1. 了解半角公式及推导过程 .2. 能利用两角和与差的公式进行简单的三角恒等 变换 .3. 了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的规律．
1．半角公式
(1)S
α 2
：
sin
α 2
＝
____________________
；
(2)C α ： cos α ＝ ____________________________ ；
)
A．－ 2 B ．－ 3 C
4．使函数 f ( x) ＝ sin(2 x＋ θ ) ＋
π
π
π
A. 6
B.
3
C.
2
．－ 2 D ．－ 1
3cos(2 x＋ θ ) 为奇函数的 θ 的一个值是 (
2π
D.
3
5．函数 f ( x) ＝ sin x－ 3cos x( x∈[ － π ， 0]) 的单调递增区间是 ( )
( 如图所示 ) ．如果小正
方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较小的锐角为 θ ，那么 cos 2 θ 的
值等于 ____．
三、解答题
11．已知函数
f ( x) ＝
3sin
2x
－
π 6
＋ 2sin
2
x－π12
( x∈ R) ．
(1) 求函数 f ( x) 的最小正周期；
(2) 求使函数 f ( x) 取得最大值的 x 的集合．
A.
－ π ，－ 5π 6
B.
－5π ，－ π
6
6C.－来自π 3，0
D.
－
π 6
，
0
α
4
1＋ tan 2
6．若 cos α ＝－ 5， α 是第三象限的角，则
α 等于 (
)
1－ tan 2
1
A．－ 2
B.
1
2
C
．2
D
．－ 2
题号
1
2
3
4
5
) 6
1
答案
二、填空题
7．函数 f ( x) ＝ sin(2 x－ π ) －2 2sin 2 x 的最小正周期是 ______． 4
8．已知等腰三角形底角的余弦值为
2 3，则顶角的正弦值是 ________．
9．已知等腰三角形顶角的余弦值为
4 5，则底角的正切值为 ________．
10.
2002 年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计
的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形
4． D [ f ( x) ＝ sin(2 x＋ θ ) ＋ 3cos(2 x＋ θ ) ＝2sin
2 当 θ ＝ 3π 时， f ( x) ＝ 2sin(2 x＋ π ) ＝－ 2sin 2 x.]
5． D
[ f ( x) ＝ 2sin
x－
π 3
， f ( x) 的单调递增区间为
2x＋
π 3
＋
θ
.
作业设计
1． C
π 2． B [ y＝2sin xcos 3 ＝ sin x． ]
(3) ±
1－ cos α sin α 1＋ cos α 1＋ cos α
3． D
[ f ( x) ＝
2sin
x－
π 4
，x∈
0，π2
.
∵－
π 4
≤
x－
π 4
≤
π 4
，
π ∴f ( x) ＝ min 2sin － 4 ＝－ 1.]