求不定积分的基本方法
不定积分的15个基本公式
不定积分的15个基本公式不定积分是微积分中的一个重要概念，它是对一个函数的不定积分时求出它的原函数。
在计算不定积分时，有一些基本公式可以帮助我们简化计算。
下面是关于不定积分的15个基本公式：1. 常数公式：对于任意常数k，∫kdx = kx + C，其中C为任意常数。
2. 幂函数公式：对于任意常数n，∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中C为任意常数。
3. 倒数公式：∫1/x dx = ln|x| + C，其中C为任意常数。
4. 正弦函数公式：∫sin(x) dx = -cos(x) + C，其中C为任意常数。
5. 余弦函数公式：∫cos(x) dx = sin(x) + C，其中C为任意常数。
6. 正切函数公式：∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C，其中C为任意常数。
7. 余切函数公式：∫cot(x) dx = ln|sin(x)| + C，其中C为任意常数。
8. 指数函数公式：∫e^x dx = e^x + C，其中C为任意常数。
9. 对数函数公式：∫ln(x) dx = xln(x) - x + C，其中C为任意常数。
10. 反正弦函数公式：∫arcsin(x) dx = xarcsin(x) + sqrt(1-x^2) + C，其中C为任意常数。
11. 反余弦函数公式：∫arccos(x) dx = xarccos(x) - sqrt(1-x^2) + C，其中C为任意常数。
12. 反正切函数公式：∫arctan(x) dx = xarctan(x) - ln|1+x^2| + C，其中C为任意常数。
13. 反余切函数公式：∫arccot(x) dx = xarccot(x) + ln|1+x^2| + C，其中C为任意常数。
14. 双曲正弦函数公式：∫sinh(x) dx = cosh(x) + C，其中C为任意常数。
15. 双曲余弦函数公式：∫cosh(x) dx = sinh(x) + C，其中C为任意常数。
求不定积分的三种方法
求不定积分的三种方法一、基本积分法基本积分法是不定积分求解的基础，它适用于一些简单的函数。
通过掌握基本积分法，我们可以迅速求解相关的不定积分问题。
以下是一些常见的基本积分法：1.幂函数积分法：对于幂函数f(x) = x^n（n为非负整数），其基本积分法为：∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C。
2.指数函数积分法：对于指数函数f(x) = a^x（a为正实数），其基本积分法为：∫a^x dx = a^x * ln(a) + C。
3. 对数函数积分法：对于对数函数f(x) = ln(x)（x>0），其基本积分法为：∫ln(x) dx = x * ln(x) + C。
4.三角函数积分法：对于正弦函数f(x) = sin(x)，其基本积分法为：∫sin(x) dx = -cos(x) + C。
5.余弦函数积分法：对于余弦函数f(x) = cos(x)，其基本积分法为：∫cos(x) dx = sin(x) + C。
二、换元积分法当不定积分的被积函数具有一定的形式时，我们可以通过换元法简化求解过程。
换元积分法是将原函数中的自变量替换为另一个变量，从而使问题变得更容易求解。
以下是一些常见的换元积分法：1.三角换元法：设u = sin(x)，则du = cos(x) dx。
将原函数中的x用u表示，可得：∫cos(u) du = sin(u) + C。
2.反三角换元法：设u = cos(x)，则du = -sin(x) dx。
将原函数中的x用u表示，可得：∫-sin(u) du = -cos(u) + C。
3.代数换元法：设u = x^2，则du =2x dx。
将原函数中的x 用u表示，可得：∫2x dx = x^2 + C。
三、分部积分法分部积分法是一种非常实用的求解不定积分的方法，它适用于具有一定形式的分式函数。
分部积分法的关键是将分式函数拆分为两个基本函数的乘积，然后利用乘积的导数公式进行积分。
基本的3种不定积分方法
基本的3种不定积分方法不定积分是微积分中的一个重要概念，它是求解函数原函数的过程。
在求不定积分时，通常会遇到各式各样的函数形式，因此需要运用不同的方法来求解。
在本文中，将介绍基本的三种不定积分方法：代入法、分部积分法和换元法。
1.代入法：代入法是一种简单而常用的不定积分方法，它适用于特定的函数形式。
当被积函数是一个复合函数的时候，可以通过代入法来求积分。
具体来说，就是将整个或部分被积函数进行代入。
举个例子，如果要求解函数f(x)=2x^3的不定积分∫f(x)dx，可以通过代入法进行计算。
将x^3看作一个整体，令u=x^3，那么f(x)可以写成f(u)=2u。
所以∫f(x)dx=∫2udx=2∫udx=2∫dx^3=(2/4)x^4+C=x^4/2+C。
2.分部积分法：分部积分法是求解一些函数积分时常用的方法。
它基于求导法则d(uv)/dx=u(dv/dx)+v(du/dx)的逆过程。
根据此法则，可以将一个积分转化为一个简化的形式。
具体的计算步骤如下：步骤1：将被积函数f(x)表示为两个函数的乘积，即f(x)=u(x)v'(x)。
步骤2：计算出u(x)的导数du/dx和v(x)的不定积分∫v'(x)dx。
步骤3：将上述结果带入分部积分公式∫f(x)dx=uv-∫v(x)du/dx中，即∫f(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)du/dx。
举个例子，如果要求解函数f(x)=xln(x)的不定积分∫f(x)dx，可以通过分部积分法来计算。
将f(x)表示为f(x)=ln(x)×x，令u=ln(x)，v'=x，则du/dx=1/x，∫v'(x)dx=∫xdx=(1/2)x^2、将上述结果带入分部积分公式∫f(x)dx=uv-∫v(x)du/dx中，得到∫f(x)dx=xln(x)-(1/2)x^2+C。
3.换元法：换元法是不定积分中常用的一种方法，它通过引入一个新的变量来简化被积函数的形式。
常见不定积分的求解方法
常见不定积分的求解方法
1.代换法：当被积函数中含有复杂的函数关系时，我们可以通过适当
的代换将其转化为更简单的形式，从而求解不定积分。
根据具体情况，可
以选择代换变量、代换函数或代换式子。
2.分部积分法：用于求解由两个函数的乘积所组成的不定积分。
根据
分部积分公式：
∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx
选择适当的函数u(x)和v'(x)进行代入，并反复应用分部积分，直至
求解出不定积分。
3.分式分解法：用于求解由多个分式相加组成的不定积分。
根据部分
分式定理，将复杂的分式分解为简单的分式，并分别求解不定积分。
4.积化和差法：将被积函数中的一些项进行积化和差，通过适当的变换，将不定积分转化为更简单的形式。
例如，常见的积化和差有平方差公式、和差化积公式等。
5.凑微分法：对于一些复杂的不定积分，可以采用凑微分的方法将其
化简。
根据不同情况，可以采用配方法、恒等变换、特殊关系式等凑微分。
6.特殊函数积分法：对于一些特殊的函数，有对应的积分公式或者常
用的积分技巧，可以直接使用这些方法进行求解。
例如，指数函数的积分、三角函数的积分等。
除了上述的常见方法外，在实际求解不定积分时还可以根据具体的情
况选择其他适当的方法。
此外，对于一些无法求解的积分，还可以采用数
值积分的方法进行近似求解。
无论采用哪种方法，求解不定积分需要熟悉
常用的积分公式，掌握各种积分方法的应用技巧，并具备一定的数学思维能力和逻辑推理能力。
求不定积分方法总结
求不定积分方法总结不定积分是微积分的重要内容之一，它是求函数的原函数的逆运算。
在实际计算中，我们经常遇到各种各样的函数需要求不定积分，因此需要掌握一些常用的不定积分方法。
下面将简要总结一下不定积分的常用方法。
1.代数法：代数法是不定积分中最基础的方法，通过运用代数规律和等式变换来求解不定积分。
常见的代数法包括分部积分法、换元积分法、有理函数分解法、幂函数积分等。
这些方法可以灵活应用，根据具体的题目来选择使用的方法。
2.分部积分法：分部积分法是将一个函数的不定积分转化为两个函数的乘积的不定积分，通过选择其中一个函数求导、另一个函数求不定积分，将原不定积分转化为两个已知不定积分的和或差。
该方法常用于特定的乘积形式的积分中，如指数函数与三角函数的乘积、对数函数与幂函数的乘积等。
3.换元积分法：换元积分法是通过进行变量替换，将原不定积分转化为简单的形式。
常见的变量替换包括凑微分法、三角代换、倒代换等。
换元积分法常用于含有复杂函数的不定积分，可以使计算更加简化。
4.常数变易法：常数变易法是通过引入一个常数项，将原不定积分转化为形如f(x)+C的形式，其中C为常数。
这样的不定积分可以通过已知的不定积分法则来求解。
常数变易法常用于复杂函数的不定积分中，通过引入常数项来简化计算过程。
5.常用函数积分形式：在求不定积分时，有一些常见的函数、特殊函数的积分形式是需要牢记的，如幂函数积分、指数函数积分、三角函数积分、反三角函数积分等。
这些常用函数的积分形式可以直接应用，对于一些特定的不定积分问题提供了便捷的求解方式。
6.空间曲线积分：空间曲线积分是在三维空间中对曲线上的向量场进行积分，是向量分析的重要内容之一、在求解空间曲线积分时，常用的方法有参数化法7.积分表与软件：在实际应用中，求解复杂函数的不定积分可能会非常困难，因此可以利用积分表和积分软件来进行计算。
积分表是一种列举了常见函数和其对应的不定积分形式的表格，可以方便地查阅不定积分结果。
求不定积分的几种基本方法
求不定积分的几种基本方法不定积分是求函数的原函数的过程，也就是求导的逆过程。
下面介绍几种基本的求不定积分的方法：1.直接积分法：直接应用不定积分的定义，逐项求积即可。
这个方法适用于具备初等函数原函数的情况，例如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
2. 分部积分法：适用于积分项为两个函数的乘积时，将其转化为一个函数的导数和另一个函数的不定积分的积的形式进行求解。
分部积分法的公式为∫u dv = uv - ∫v du，选择不同的u和dv，通过反复应用该公式，可以将原积分项转化为更简单的形式。
3.换元积分法：也称为代换积分法，适用于积分项中含有复杂的函数形式时，通过建立合适的替代变量，将原积分转化为简单的形式。
换元积分法的核心思想是对积分变量进行代换，一般采用的代换方法有三角代换、指数代换、倒代换等。
换元积分法的关键是选取合适的代换变量，使得原积分转化为更容易求解的形式。
4.幂函数积分法：当积分项中含有形如x^n（n是常数）的幂函数时，可以利用幂函数的积分性质求解。
幂函数积分法是直接求解幂函数不定积分的方法，通过对幂函数的不定积分公式进行推导，得到幂函数积分的一般公式。
5.三角函数积分法：当积分项中含有三角函数时，可以利用三角函数的积分性质求解。
三角函数积分法是根据三角函数的不定积分公式进行求解，通过对三角函数的积分公式进行推导，得到不同三角函数的不定积分形式。
6.无穷级数展开法：对于一些特殊的函数，可以通过将其展开为无穷级数的形式，然后对无穷级数逐项求积分来求解原函数。
以上是一些常见的不定积分的基本方法。
在实际求解过程中，还可以结合不同的方法灵活应用，选择最适合的方法求解不定积分。
同时，需要注意积分常数的添加和积分区间的确定，以保证求解结果的正确性。
不定积分的基本方法与应用
不定积分的基本方法与应用不定积分是微积分中的重要概念，它是求函数的原函数的过程。
在本文中，我们将介绍不定积分的基本方法以及其在实际应用中的具体运用。
一、基本方法1. 代入法（反导法）代入法是最常用的不定积分求解方法之一。
当需要求解一个函数的不定积分时，我们可以通过将该函数的导函数代入到不定积分的表达式中，来求解原函数。
例如，对于函数 f(x) = x^2，我们可以求解其不定积分∫ x^2 dx = 1/3 x^3。
2. 分部积分法分部积分法是另一种常用的不定积分求解方法。
根据分部积分法，当需要求解一个函数积分的时候，我们可以将该函数分解为两个函数之积，并应用积分的线性性质进行求解。
例如，对于函数f(x) = x e^x，我们可以通过分部积分法求解其不定积分∫ x e^x dx = x e^x - ∫ e^x dx。
3. 换元法换元法是通过变量代换来求解不定积分的方法。
当需要求解一个复杂函数的不定积分时，我们可以通过引入一个新的变量并进行代换，从而将原来的不定积分变为一个简单的形式。
例如，对于函数 f(x) =sin(x^2)，我们可以通过换元法求解其不定积分∫ sin(x^2) dx = ∫ 2xcos(x^2) dx。
二、应用不定积分在物理学、经济学等领域中有广泛的应用。
以下是一些具体的应用案例：1. 面积计算通过不定积分，我们可以求解曲线与坐标轴之间的面积。
这在几何学和物理学领域中非常有用。
例如，通过计算曲线 y = x^2 和坐标轴之间的面积，我们可以求解二次函数的不定积分∫ x^2 dx，并得到面积为1/3。
2. 弹性力学不定积分在弹性力学中起着重要的作用。
通过应变-位移关系的不定积分，我们可以求解物体受力下的形变情况。
例如，通过对应变关系的不定积分，我们可以求解弹簧受力下的位移，从而帮助设计弹簧的使用和有效性。
3. 经济学在经济学中，不定积分被广泛用于边际利润和成本分析。
通过求解边际效益和边际成本的不定积分，我们可以得到投入和产出之间的最优关系，在经济决策中有着重要的应用。
求不定积分的基本方法
1 例13. 求不定积分 ∫ dx . (2 + cos x) sin x sin x 解: 原式 = ∫ (令 u = cos x) dx 2 (2 + cos x ) sin x 1 =∫ du 2 ( 2 + u )(u − 1) A=1
1 ( 2+u )(u −1)
习题课 不定积分的计算方法
一、 求不定积分的基本方法 二、几种特殊类型的积分
第四章
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一、 求不定积分的基本方法
1. 直接积分法 通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 . 2. 换元积分法
∫ f ( x ) dx
第一类换元法 第二类换元法
∫ f [ϕ (t )]ϕ ′(t ) dt
分部积分
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1 dx . 例4. 设 y ( x − y ) = x , 求积分 ∫ x − 3y 解: y ( x − y ) 2 = x 令 x − y = t, 即 y = x −t
2
t3 x= 2 , t −1
t t 2 (t 2 − 3) y = 2 , 而 dx = 2 dt 2 t −1 (t − 1)
=
x x − 3 ln(e 6
+ 1) − 2
x 3 ln(e 3
x + 1) − 3 arctan e 6
+C
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3 cos x − sin x dx . 例11. 求 ∫ cos x + sin x
不定积分
dln x
dsin x
(6) f (cos x)sin xdx
dcos x
(7) f (tan x)sec2 xdx
dtan x
(8) f (e x )e x dx
de x
(9) f (arcsin x)
1 1
x2
dx
f
(arcsin
x)d(arcsin
x)
f (arccos x)
x
1 1
t t
2 2
原式
1
2t 1t 2
2t 1t 2
(1
1t 1t
2 2
)
dx
1
2 t
2
dt
2 1t
2
dt
1 2
t
2
1 t
dt
1 2
1t2 2
2t
ln
t
C
1 tan2 x tan x 1 ln tan x C
x) c
09数二三 计算不定积分
ln(1
1 x )dx x
(x 0)
令
1 x t
x
原式 ln(1 t) 2t dt ln(1 t) 1 d (t2 1)
(t 2 1)2
(t2 1)2
ln(1
t)d
( t
1) 2 1
ln(1 t) 1 1 dt
例4. 求
cos3 x 1 sin2
x
2
cos x sin4 x
dx
求不定积分的几种基本方法
由此可见，一般地，如果积分
利用利用基本积分公式计算，而其被积表达式 g x dx 能表示为 g x dx f x x dx f x d x 的形式，且
g x dx
f ( u ) d u 较易计算，那么可令 u x ,
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一般地，如果 F ( u ) 是 f ( u )的一个原函数，则
1 3 sin x sin x C. 3
而如果
f ( u ) d u F ( u ) C,
u 又是另一个变量
x 的函数 u x , 且
x 可微，那么根据复合函数的微分法，有
例4 求
解
x
则
x 1dx.
2
2 u x 1, 令
，
1 2 2 x x 1d x x 1( x 1)dx 2 1 x 2 1d( x 2 1) 2 1 1 3 u du u 2 C 2 3
2
3 1 2 ( x 1) 2 C. 3
故
1 x a
2 2
dx
a sec t tan tdt sec tdt a tan t
ln sec t tan t C1
x x2 a2 ln C1 ln x x 2 a 2 C , a a
其中 C C1 ln a ,当 x (, a) 时,可令 x a sec t ,
a
因而
1 cos 2t a x dx a cos t a cos tdt a cos tdt a dt 2 2 2 2 a 1 a a (t sin 2t ) C t sin t cos t C 2 2 2 2
不定积分方法
不定积分方法不定积分是微积分中最基础的概念之一。
它是求一个函数的导数的逆运算。
不定积分方法有很多种，下面将介绍其中十种方法。
1. 代换法代换法是不定积分中应用最广泛的一种方法。
代换法的基本思想是将被积函数中的变量换成新的变量，使得原式化为易于求解的形式。
例如：∫ (2x + 1) ^ 5 dx我们可以令u = 2x + 1，然后把x替换成(u - 1) / 2，得到：∫ u ^ 5 / 32 du此时原式就变成了比较简单的形式。
2. 分部积分法分部积分法是另一种常用的不定积分方法。
它的基本思想是将被积函数拆分成两部分，然后通过积分的性质将其转化成另一个积分。
例如：∫ xe ^ x dx使用分部积分法，我们可以将原式拆成 x * e ^ x 和 e ^ x 两部分，然后将其转化成另一个积分：∫ x * e ^ x dx = x * e ^ x - ∫ e ^ x dx这个新的积分比原来的积分更容易求解。
3. 三角代换法三角代换法是一种特殊的代换法，适用于含有三角函数的不定积分。
例如：∫ x * sin(x ^ 2) dx这个积分可以通过三角代换法来求解，我们可以令u = x ^ 2，然后把sin(x ^ 2)替换成sin(u) / 2u，得到：∫ (sin u / 2u) du这个积分可以用常规的代换法或分部积分法来解决。
4. 部分分式拆分法部分分式拆分法是一种将有理函数转化成简单形式的方法。
它是将一个多项式分母拆解成若干个一次项或二次项的乘积之和，进而将多项式分式化成若干个分式之和的方法。
例如：∫ 1 / x ^ 3 dx我们可以通过部分分式拆分法将其分解成三个分式的和：1 / x ^ 3 = A / x + B / x ^2 + C / x ^ 3然后便可以逐一求解这三个分式的积分。
5. 逐次积分法逐次积分法是一种不定积分的重要方法。
它的基本思想是将原式变形成能够进行多次积分的形式，然后逐次进行积分，直到得到最终结果。
关于不定积分的常用方法总结
关于不定积分的常用方法总结
不定积分又称为无穷积分，它是无法以一般形式计算出的一种特殊函数，常常在数学科学中用来求解某些特殊的问题。
1、克罗内克积分法：该方法原理较为复杂，大多数函数是不满足克罗内克积分条件的，在实际应用中，需要先要并变换原函数再进行可求解的分段函数积分。
2、拉格朗日变换法：这是一种变量变换法，用它求解不定积分，就是把本来要求的函数按照拉格朗日变换的标准函数的台样变换，然后把拉格朗日变换的台样函数的不定积分变成了一个定积分，随后用常规的定积分法来进行求解。
3、重积分法：如果在计算不定积分时，所求函数恰好是一个受限的函数，便可以用重积分法来求解。
4、奇略曼法：这是一种积分变换法，可以用它将不定积分转换为定积分，既简单又实用，用这种方法可以更有效地解决一些积分问题。
以上是常用的不定积分求解方法，若想要正确求解不定积分，除了要掌握以上几种方法外，很多时候，还有需要水平技巧、相应的实践经验来保证最终的求解结果的准确性。
因此，在求解不定积分时，要综合起来考虑并充分发挥上述方法的作用，从而得出最优的求解结果。
求不定积分的几种基本方法
求不定积分的几种基本方法不定积分是微积分中的基本概念之一，是求一个函数的原函数。
在求解不定积分时，常用的方法包括换元法、分部积分法、三角换元法、特殊函数换元法、配凑等多种方法。
以下将对这几种方法进行详细介绍。
一、换元法（又称代换法）：换元法是求解不定积分中最基本的方法，其思想是通过对变量的替换，将被积函数化为一个易于求解的积分。
具体步骤如下：1.选择合适的变量代换，通常是根据被积函数的形式来选择。
2.计算并代换各项的微分。
3.用新的变量积分，并将积分结果代回原来的变量。
二、分部积分法：分部积分法是求解不定积分时，将被积函数进行分解的一种方法，通常适用于乘积形式的积分。
具体步骤如下：1.首先选择两个函数u和v，并使用乘积法则对被积函数进行分解。
2.对分解后的两个函数分别进行求导和求积分。
3.将求导后的函数与求积分后的函数相乘，并进行积分。
三、三角换元法：三角换元法适用于被积函数中含有三角函数，并通过选择适当的三角函数进行替换，将被积函数转化为更容易求解的形式。
具体步骤如下：1.根据被积函数中的三角函数形式，选择适当的三角函数代换。
2.将选取的三角函数形式与被积函数进行代换，并计算各项的微分。
3.用新的变量积分，并将积分结果代回原来的变量。
四、特殊函数换元法：特殊函数包括指数函数、对数函数等，在一些特殊的情况下，选择特殊函数进行代换可以简化不定积分的求解。
具体步骤如下：1.根据被积函数的形式，选择合适的特殊函数代换。
2.将选取的特殊函数与被积函数进行代换，并计算各项的微分。
3.用新的变量积分，并将积分结果代回原来的变量。
五、配凑法：配凑法适用于被积函数中含有多项式，并通过加减两个不同的式子，消除被积函数中项的系数或幂。
具体步骤如下：1.将被积函数根据其形式和分子分母进行分解。
2.根据消项的需要选择合适的多项式进行配凑，并将两个式子相加或相减。
3.对配凑后的式子进行不定积分。
综上所述，不定积分的基本方法包括换元法、分部积分法、三角换元法、特殊函数换元法和配凑法。
求不定积分的几种基本方法
(7) sec2 xdx d tan x; (8) csc2 xdx d cot x;
(9)
1 dx d arcsin x;
1 x2
(10)
1 1 x2
dx
d
arctan
x.
二、 第二类换元法
第一类换元法是通过变量代换 u (x) ，将积分
f ((x))(x)dx 化为积分 f (u)du ．第二类换元法是通 过变量代换 x (t) ，将积分 f (x)dx 化为积分 f ((t))(t)dt. 在求出后一个积分后,再以 x (t) 的
设函数 u u(x) 及 v v(x) 具有连续导数．那么，
(uv) uv uv, 移项，得 uv (uv) uv.
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对这个等式两边求不定积分，得
uvdx uv uvdx.
（5-4）
公式（5-4）称为分部积分公式. 如果积分 uvdx
不易求,而积分 uvdx 比较容易时,分部积分公式就可用了.
作代换 x asin t 或 x acost ；含有 x2 a2 时，可作
代换 x a tant；含有 x2 a2 时，可作代换 x asect.
利用第二类换元法求不定积分时，还经常用到倒代换
即 x 1 等．
例19
求
t dx
x
. x2 1
解
令
x
1 t
,则
1 dx dt,
t2
因此
x2 1
x
在本节的例题中，有几个积分结果是以后经常会遇到
的．所以它们通常也被当作公式使用．这样,常用的积分
公式，除了基本积分表中的以外，再添加下面几个(其中 常数a＞0).
(14) tan xdx ln cos x C
总结不定积分的运算方法
总结不定积分的运算方法一、不定积分的定义：对于某些函数f， g， y等，设它们的某些变量可取如下形式： y=f(x)或g(y)其中x是未知的实数。
（ 1）把实际问题抽象成一般意义的函数，使之满足积分的条件。
（ 2）选择合适的坐标（函数值），列出积分表达式，然后进行积分运算。
（ 3）计算结果取自变量x。
注意：第三步的积分结果需要写成原来问题中的函数关系式。
二、不定积分运算的方法：对于不定积分，我们经常采用分部积分法和直接利用积分公式的方法来求解。
1、分部积分法：对于每一项都在某一区间上取得的函数f、 g、 y等，先将各自变量取值代入原函数或反之，求得函数的分部积分表达式，然后进行积分运算。
1、分部积分法：若有f(x)， g(y)等函数，对于含有变量x的分部积分表达式，需要借助线性方程组表示： f(x)=g(y)对于g的情况则相反，因此称这种变形为： f=g2、直接利用积分公式：在求导数时，只需利用积分公式计算即可。
例如：对于微分，在积分公式的基础上，可以利用定义直接计算；而对于不定积分的求导数，就需要先求出直接计算所对应的积分，然后再用积分公式计算。
例如：当所求的积分表达式较复杂时，可以采用“换元”法进行求解。
2、直接利用积分公式：先用实际问题中的函数关系列出一个关于变量的一次方程，再对所得的方程中各个变量的未知函数值进行积分，从而求出积分结果。
需要注意的是，当求函数导数的近似值时，一定要使用“换元”法，也就是将变量由函数f、 g、 y中换到一个更简单的函数，也就是“将简单问题复杂化”。
3、换元法：将积分表达式转化为求原函数的过程叫做“换元法”。
利用换元法求出的导数叫做“近似导数”，其精度高于“导数”。
常见的换元法有两种：首先可以用已知导函数表达式来求得原函数的表达式，然后再进行积分运算；还可以直接利用积分公式进行计算。
例如：在研究偏导数时，用的就是前一种方法。
注意：无论采用哪种方法，在计算时都必须化简计算式，最后再利用近似导数进行求解。
求不定积分的基本方法
求不定积分的基本方法不定积分是微积分中的一个重要概念，也是求解函数原函数的方法。
本文将介绍一些求不定积分的基本方法和技巧。
1.换元法换元法是求不定积分中常用的方法之一，其基本思想是通过变量代换，将原函数转化为另一个函数的积分形式。
换元法的步骤如下：Step 1: 选择合适的变量代换，使得被积函数简化或变得更容易积分。
Step 2: 计算新函数的导数，得到对应的微分形式。
Step 3: 将原函数转化为新函数的积分形式。
Step 4: 对新函数进行积分计算。
Step 5: 将得到的积分结果重新换回原来的变量。
例如，考虑求解不定积分∫(x^2 + 1) dx，可以选择变量代换u =x^2 + 1，然后计算出du = 2x dx。
将原函数转化为∫du，对u进行积分得到u + C。
最后将u重新换回x^2 + 1，则不定积分的结果为∫(x^2 +1) dx = (x^2 + 1) + C。
2.分部积分法分部积分法是求不定积分中另一个常用的方法，其基本思想是将被积函数的乘积分解为两个函数的积分和。
分部积分法的步骤如下：Step 1: 选取一个分解方式，将被积函数分解为两个函数的乘积形式。
Step 2: 对其中一个函数进行求导，得到对应的微分形式。
Step 3: 将原函数转化为两个函数的积分形式。
Step 4: 对两个函数进行积分计算。
Step 5: 根据分部积分公式∫u dv = uv - ∫v du，计算得到最终的积分结果。
例如，考虑求解不定积分∫x e^x dx，可以选取分解方式为u = x，dv = e^x dx，然后计算出du = dx，v = ∫e^x dx = e^x。
根据分部积分公式，可得∫x e^x dx = x e^x - ∫e^x dx = x e^x - e^x + C。
3.三角代换法三角代换法是求解含有三角函数的不定积分的一种常用方法，其基本思想是通过三角函数的性质将含有根号下多项式的积分转化为三角函数的积分形式。
不定积分的计算方法
不定积分的计算方法不定积分是微积分中的一个重要概念，用来求函数的原函数。
计算不定积分的方法主要有：基本积分法、换元法、分部积分法、特殊换元法等。
下面将详细介绍这些方法。
一、基本积分法基本积分法是求解不定积分的最常用方法之一、它是根据一些基本函数的导数和原函数之间的关系来进行计算的。
一些基本积分公式如下：1. 常数的积分：∫kdx=kx+C，其中C为常数。
2. 幂函数的积分：∫x^ndx=1/(n+1)x^(n+1)+C，其中C为常数，n不等于-13. 正弦函数的积分：∫sinxdx=-cosx+C，其中C为常数。
4. 余弦函数的积分：∫cosxdx=sinx+C，其中C为常数。
5. 指数函数的积分：∫exdx=ex+C，其中C为常数。
通过使用这些基本积分公式，我们可以计算出函数的原函数。
二、换元法换元法是求解不定积分的另一种常用方法。
换元法的基本思想是进行变量的代换，使得原函数变为另一个可以容易求解的函数。
设u=g(x)是一个可导的函数，y=f(u)是一个可导的函数，且f(g(x))的原函数存在。
则有如下的换元公式：∫f(g(x))g'(x)dx=∫f(u)du换元法的一般步骤如下：1.通过选择合适的变量代换，将被积函数转化为另一个易于求解的函数。
2.计算新的被积函数的不定积分。
3.将变量换回原来的变量。
通过换元法，我们可以将原函数转化为新的函数，从而得到原函数的表达式。
三、分部积分法分部积分法是求解不定积分的一种常用方法，适用于求解乘积两项中至少一项可以积分的情况。
分部积分法的基本思想是将乘积的积分转化为另一种积分形式，从而简化求解过程。
设u=u(x)和v=v(x)是可导函数，且(uv)'=u'v+uv'，则有如下的分部积分公式：∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx分部积分法的一般步骤如下：1.选择合适的函数u(x)和v'(x)进行分部。
总结不定积分的运算方法
总结不定积分的运算方法分母中含有或者不含有字母的积分称为不定积分。
今天我们学习了有关不定积分的一些知识，总结出了一些运算方法，让我们一起来回顾下吧！不定积分计算方法： 1、对于实数，可以采用乘法公式来计算，对于复数，可以用复数平面上的积分公式来计算。
2、如果分子中含有字母，那么就要先将字母变成有理式，再乘上分母。
3、求出不定积分，将被积函数变换成乘法形式。
2、如果分子中含有字母，那么就要先将字母变成有理式，再乘上分母。
3、求出不定积分，将被积函数变换成乘法形式。
4、解出不定积分，这是运算的关键。
5、用第二种方法：对于某些特殊的不定积分，即使分子中含有字母，只要分母中没有字母，也能直接计算出来。
例如，不定积分可以用“罗尔－洛夫积分公式”来计算，即把f(x)=ax2+bx+c的积分简写成(x-a)2+(x-b)2+…+(x-c)2+ax2+bx+c，然后再进行计算，求出的结果为常数。
如果将a、 b、 c取成一个定值a，另一个变量x的话，就变成：(x-a)2+(x-b)2+…+(x-c)2+ax2+bx+c，将此积分公式改写成：dx2+bx+c=ax2+bx+c+a(x-a)2+(x-b)2+…+(x-c)2+ax2+bx+c=ax2+bx+c+a(x-a)2+(x-b)2+…+(x-c)2+ax2+bx+c，再求出的结果即为不定积分。
2、如果分子中含有字母，那么就要先将字母变成有理式，再乘上分母。
3、求出不定积分，将被积函数变换成乘法形式。
4、解出不定积分，这是运算的关键。
5、用第二种方法：对于某些特殊的不定积分，即使分子中含有字母，只要分母中没有字母，也能直接计算出来。
例如，不定积分可以用“罗尔－洛夫积分公式”来计算，即把f(x)=ax2+bx+c的积分简写成(x-a)2+(x-b)2+…+(x-c)2+ax2+bx+c，然后再进行计算，求出的结果为常数。
如果将a、 b、 c取成一个定值a，另一个变量x的话，就变成：(x-a)2+(x-b)2+…+(x-c)2+ax2+bx+c，将此积分公式改写成：dx2+bx+c=ax2+bx+c+a(x-a)2+(x-b)2+…+(x-c)2+ax2+bx+c=ax2+bx+c+a(x-a)2+(x-b)2+…+(x-c)2+ax2+bx+c，再求出的结果即为不定积分。
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说明: 此技巧适用于形为 acoxsbsin xdx的积分. ccoxsdsin x
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例 解1：2因. 求 为I1aco sx isx b n sixn dIx2 及 aco cx sox bssixndx. a acco oxxss b bssiin n xxdx b acco oxxss a bssiin n xxdx
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3. 分部积分法
uvdxuvuvdx
使用原则:
1) v 易求出
由 2) uvvdx;比
好求 .
一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三”
的顺序, 排前者取为 u ,排后者取为 v .
计算格式: 列表计 算
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多次分部积分的 规 律
senc2x
(n 2 )se n 3 x c se xtc axn senc2xtaxn ( n 2 )sn e 2 x c (s 2 x e 1 )d x c
sen c2xtaxn(n2)In(n2)In2
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例8. 求
解:
设
x1, F(x)x1
x1
u u u
u (n) u(n1)
(1)n (1)n1
v(n1k) v(n1) v (n) v(n1) v
v
特别: 当 u 为 n 次多项式时u(,n1) 0,计算大为简便 .
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例1. 求
解: 原式
2x3x 32x 22x
dx
1 ((3232))x2dxadxx axlnadx
习题课
第四章
不定积分的计算方法
一、 求不定积分的基本方 法
二、几种特殊类型的积分
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一、 求不定积分的基本方法
1. 直接积分法 通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 .
2. 换元积分法
第一类换元法
第二类换元法 (代换: x(t))
(注意常见的换元积分类型)
而 dxt(2t(2t21)32)dt
原式 t t2
3
1
1
t
3t 2
t(2t(2t
2
3) 1) 2
dt
1
1 2ln(xy)21C
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例5. 求
解: 原式 arctexaden x
exarcetxa nex
1
ex e2x
dx
exarcetxan(11e2xe)2xe2xdx
exarcetxan x1 2ln(1e2x)C
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例6. 求
解:
取
x3x2 3x2 1 6x
60
e 2x
1 2
e
2x
1 4
e
2
x
1 8
e
2
x
1 16
e
2x
原 式 e2x12(x3x2)
14(3x21)
1 8
6x116
6C
8 1 e 2 x (4 x 3 6 x 2 2 x 7 ) C
说明: 此法特别适用于 如下类型的积分:
Pn
(x)sienkax x
dx
cosax
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例7. 设
证明递推公式:
I n n 1 1 sn e 2 x t ca x n n n 1 2 I n 2( n 2 )
证: In sen c2xsec2 xdx
1x, x1
则
1 2x2xC 1, x1
x1 2x2C 2, x1
因 连 利用
得
续
,
1 2C 11 2C2
记作
C
得
1 21C11 121 2 1 (2 1 2 1 2xx (x x 2 2 1C )12 x 2x )2 1 C 2 1 2 C ,C ,C ,, x x 1 1
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例9. 设 为 的原函数,且
求
解: 由题设 F (x)f(x),则
故
即 又
, 因此
故
机动
1. 一般积分方 法
有理函数
分解
指数代换 万能代换 根式代换
多项式及 部分分式之和
指数函数有理式
三角函数有理式
三角代换
简单无理函数
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uv(n1)dxuv(n)uv(n)dx uv(n)uv(n1) uv(n1)dx u v (n ) u v (n 1 ) u v (n 2 ) uv(n2)dx
u v (n ) u v (n 1 ) u v (n 2 ) (1)n 1u(n 1)vdx
快速计算表格:
u(k)
1
ln
2 3
d(32)x 1 (32)2x
arctan32)(x C ln2ln3
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例2. 求
解:
原式 [ln x (1x2)5]1 2d[lnx (1x2)5]
2 lnx ( 1x2)523 C
3
分析:
d[lnx (1x2)5]
(1
2
12xx2)dx
x 1 x2
x
x
x.
1e2 e3 e6
x
解: 令t e 6 , 则 x6lnt, dx 6t dt
原式
6
(1t3dtt2t)t6
dt (t1)(t21)t
d t
6lnt 3lnt13ln(t2 1)3arc t tC an 2
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例11. 求
解: 令3 co x ssixn A (x c s o x ) i B n ( sx c s o x ) i n s
dx 1 x2
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例3. 求
解:
x 2sin x cos x
原式
2 2cos2 x
2 dx
2
xdtanx 2
tanx dx 2
xtanx C 2
分部积分
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例4. 设
求积分
解:
令 xyt,即 yxt
x
t
t3 2
, 1
y
t
2
t, 1
2. 需要注意的问题 (1) 一般方法不一定是最简便的方 要注意综合 法 使, 用各种基本积分法, 简便计算 . (2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 因, 此不一
定都能积出. 例如 ,
1 k 2 s2 ix d n x(0 k 1 ),
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例10. 求
dx
令 aco x ( sA bs B ix ) n cx o ( A s B ) sx in 比较同类 项A 系( c 数c x A d o B s x 3 ) i s ,B ( 故c n A c 1 x , B d o s 2x ) i sn
A B 1
∴ 原式dx2dc(o x c x so ssiisxx n n )