安徽名校高三2021届上学期期末联考理科数学解析版
2021届安徽省池州市东至县普通高中高三年级上学期12月大联考数学(理)试题及答案解析
绝密★启用前安徽省池州市东至县普通高中2021届高三年级上学期12月大联考检测数学(理科)试题满分：150分 考试时间：120分钟注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2. 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清晰.3. 请按照题序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效．．．．．．．．．．．；在草．．稿纸．．、试题卷上的答题无效．．．．．．．．．. 4. 保持答题卡卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.5. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1. 已知集合11M x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，(){}2log 1N x x a =-<，M N ⊆，则a 的取值范围是（ ） A. ()1,0- B. ()0,1 C . []1,0-D. []0,1 2. 命题p ：0a b ⋅<，则,a b 为钝角；q ：()tan 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心是,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则以下真命题是（ ） A. p q ∧ B. p q ⌝∧ C. p q ∧⌝ D. p q ⌝∧⌝3. 函数1sin ()lg ,cos 22x f x x x ππ+⎛⎫⎛⎫=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象大致是（ ）A. B.C. D.4. 已知0a >，0b >且a b ≠，A a b =+，4ab B a b=+，22b a C a b =+，则A ，B ，C 的大小关系是（ ）A. A B C >>B. C A B >>C. A C B >>D. C B A >> 5. 2y x =与()ln y x a =+有一条斜率为2的公切线，则a =（ ） A. 1ln 22- B. 1ln 22 C. ln 2- D. ln 26. 已知等差数列{}n a 满足：10a >，35S a =，1a ，2a ，42a +成等比数列，则12222n a a a ++⋅⋅⋅+=（ ） A. ()2413n - B. ()1413n - C. 41n - D. 44n -7. 函数()3sin 4cos f x x x =+在区间[]0,π上的对称轴为x ϕ=，则cos ϕ=（ ）A. -1B. 0C. 35D. 458. 已知函数22,0(),0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，12,x x R ∈，()()12f x f x m ==，且120x x +=，则m =（ ） A. 12 B. 1 C. 32 D. 2。
2021年高三上学期期末考试数学试卷(理科)含解析
2021年高三上学期期末考试数学试卷（理科）含解析一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是正确的．1．复数为纯虚数，则实数a=（）A．﹣2 B．﹣C．2 D．2．设集合M={x||x﹣3|＜2}，N={x|y=}，则M∩N=（）A．D．C．D．（0，）6．二项式（2x2﹣）5的展开式中x的系数为（）A．﹣20 B．20 C．﹣40 D．407．运行如图所示程序框，若输入n=xx，则输出的a=（）A．B．C．D．8．向所示图中边长为2的正方形中，随机撒一粒黄豆，则黄豆落在图中阴影部分的概率为（）A．B．C．D．9．某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A原料3千克，B 原料1千克；生产乙产品1桶需耗A原料1千克，B原料3千克．每生产一桶甲产品的利润400元，每生产一桶乙产品的利润300元，公司在生产这两种产品的计划中，每天消耗A、B原料都不超过12千克，通过合理安排生产计划，公司每天可获得的最大利润是（单位：元）（）A．1600 B．2100 C．2800 D．480010．设函数f（x）的定义域为D，若任取x1∈D，存在唯一的x2∈D，满足=C，则称C为函数y=f（x）在D上的均值，给出下列五个函数：①y=x；②y=x2；③y=4sinx；④y=lgx；⑤y=2x．则所有满足在其定义域上的均值为2的函数的序号为（）A．①③ B．①④ C．①④⑤D．②③④⑤二、填空题：每小题5分，共25分．11．若向量、的夹角为150°，||=，||=4，则|2+|= ．12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为．13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则角A 为．14．已知F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上的一点，且|PF1|=2|PF2|．若△PF1F2为等腰三角形，则该双曲线的离心率为．15．若方程x4+ax﹣4=0的各个实根x1，x2，…，x k（k≤4）所对应的点（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是．三、解答题：共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣sin2x+cos2x+，x∈R．（1）求函数f（x）在上的最值；（2）若将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g（x）的图象，已知g（α）=﹣，α∈（，），求cos（﹣）的值．17．如图，四边形ACDF为正方形，平面ACDF⊥平面BCDE，BC=2DE=2CD=4，DE∥BC，∠CDE=90°，M为AB的中点．（1）证明：EM∥平面ACDF；（2）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值．18．某机械厂生产一种产品，产品被测试指标大于或等于90为优等次，大于或等于80小于90为良等次，小于80为差等次．生产一件优等次产品盈利100元，生产一件良等次产品盈利60元，生产一件差等次产品亏损20元．现随机抽出高级技工甲和中级技工乙生产的这种产品各100件进行检测，结果统计如表：测试指标[70，75）[75，80）[80，85）[85，90）[90，95）[95，100）甲 3 7 20 30 25 15乙 5 15 23 27 20 10根据表中统计得到甲、乙两人生产这种产品为优、良、差等次的频率，现分别作为他们每次生产一件这种产品的等次互不受影响．（1）计算高级技工甲生产三件产品，至少有2件优等品的概率；（2）甲、乙各生产一件产品给工厂带来的利润之和记为X元（利润=盈利﹣亏损）．求随机变量X的频率分布和数学期望．19．各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，已知点（a n，a n+1）（n∈N*）在函数y=3x的图象上，且S3=26．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d的等差数列，求数列||的前n 项和T n，并求使T n+≤成立的最大正整数n．20．已知焦点在y轴上的椭圆C1：+=1（a＞b＞0）经过点Q（，1），过椭圆的一个焦点且垂直长轴的弦长为1．（1）求椭圆C1的方程；（2）过抛物线C2：y=x2+h（h∈R）上一点P的切线与椭圆C1交于不同两点M，N．点A为椭圆C1的右顶点，记线段MN与PA的中点分别为G，H点，当直线CH与x轴垂直时，求h的最小值．21．设函数f（x）=lnx，g（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2f（x）．（1）当a=1时，求函数g（x）的单调区间；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=f（x）图象上任意不同两点，线段AB中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为k．证明：k＞f（x0）（3）设F（x）=|f（x）|+（b＞0），对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有＜﹣1，求实数b 的取值范围．xx学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是正确的．1．复数为纯虚数，则实数a=（）A．﹣2 B．﹣C．2 D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．解答：解：∵复数==为纯虚数，∴2a﹣1=0，2+a≠0，解得a=．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题．2．设集合M={x||x﹣3|＜2}，N={x|y=}，则M∩N=（）A． D．4．定义在R上的偶函数f（x）的部分图象如图所示，则在（﹣2，0）上，下列函数中与f（x）的单调性不同的是（）A．y=x2+1 B．y=|x|+1C．y= D．y=考点：奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合．专题：常规题型；压轴题．分析：首先利用偶函数的对称性，判断出f（x）在（﹣2，0）为减函数．然后分别分析选项中4个函数的单调性．最后判断答案即可．解答：解：利用偶函数的对称性知f（x）在（﹣2，0）上为减函数．又y=x2+1在（﹣2，0）上为减函数；y=|x|+1在（﹣2，0）上为减函数；y=在（﹣2，0）上为增函数．∴y=在（﹣2，0）上为减函数．故选C．点评：本题考查函数的奇偶性与单调性的关系，涉及到二次函数，绝对值函数，一次函数，3次函数，以及指数函数的单调性．属于中档题．5．若过点P（﹣2，﹣2）的直线与圆x2+y2=4有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是（）A．（0，）B． C． D．（0，）考点：直线与圆的位置关系；直线的倾斜角．专题：计算题；直线与圆．分析：用点斜式设出直线方程，根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得≤2，由此求得斜率k的范围，可得倾斜角的范围．解答：解：由题意可得点P（﹣2，﹣2）在圆x2+y2=4的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k，则直线方程为 y+2=k（x+2），即kx﹣y+2k﹣2=0．根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得≤2，解得0≤k≤，故直线l的倾斜角的取值范围是，故选：B．点评：本题主要考查用点斜式求直线方程，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．6．二项式（2x2﹣）5的展开式中x的系数为（）A．﹣20 B．20 C．﹣40 D．40考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：利用二项式（2x2﹣）5展开式的通项公式即可求得答案．解答：解：设二项式（2x2﹣）5展开式的通项为T r+1，则T r+1=25﹣r•x2（5﹣r）•（﹣x）﹣r=25﹣r•（﹣1）﹣r•x10﹣3r，令10﹣3r=1得r=3，∴二项式（2x2﹣）5展开式中x的系数为22•（﹣1）﹣3=﹣40．故选：C．点评：本题考查二项式定理，着重考查二项展开式的通项公式的应用，属于中档题．7．运行如图所示程序框，若输入n=xx，则输出的a=（）A． B． C． D．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：模拟程序框图的运行过程，得出该程序框图是计算a=++…+的值，i=4029时，计算a 的值，输出a，程序结束．解答：解：执行程序框图，有n=xxa=0，i=1，a=，不满足条件i≥2n﹣1，i=3，a=，不满足条件i≥2n﹣1，i=5，a=+，…不满足条件i≥2n﹣1，i=4029，a=++…+，满足条件i≥2n﹣1，退出循环，输出a的值为++…+．∵a=++…+=（）=．故选：D点评：本题考查了程序框图的运行过程的问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，得出每次循环的a的值，裂项法求和是解题的关键，属于基础题．8．向所示图中边长为2的正方形中，随机撒一粒黄豆，则黄豆落在图中阴影部分的概率为（）A． B． C． D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：利用定积分公式，求出阴影部分的面积，代入几何概型概率计算公式，可得答案．解答：解：阴影部分的面积S=2×+=1+2ln2，边长为2的正方形的面积为：4，故随机撒一粒黄豆，则黄豆落在图中阴影部分的概率P=，故选：A点评：本题考查的知识点是几何概型，其中利用定积分公式，求出阴影部分的面积，是解答的关键，难度中档．9．某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A原料3千克，B原料1千克；生产乙产品1桶需耗A原料1千克，B原料3千克．每生产一桶甲产品的利润400元，每生产一桶乙产品的利润300元，公司在生产这两种产品的计划中，每天消耗A、B原料都不超过12千克，通过合理安排生产计划，公司每天可获得的最大利润是（单位：元）（）A．1600 B．2100 C．2800 D．4800考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先设每天生产甲产品x千克，乙产品y千克，利润总额为z元，根据题意抽象出x，y 满足的条件，建立约束条件，作出可行域，再根据目标函数z=400x+300y，利用线性规划的知识进行求解即可．解答：解：设每天生产甲产品x千克，乙产品y千克，利润总额为z元，则，目标函数为：z=400x+300y作出可行域：把直线l：z=400x+300y向右上方平移，直线经过可行域上的点A，且与原点距离最大，此时z=400x+300y取最大值，解方程，解得得A的坐标为（3，3）．此时z=400×3+300×3=2100元．故选：B点评：本题主要考查用线性规划解决实际问题中的最值问题，基本思路是抽象约束条件，作出可行域，利用目标函数的类型，找到最优解．属中档题．10．设函数f（x）的定义域为D，若任取x1∈D，存在唯一的x2∈D，满足=C，则称C为函数y=f（x）在D上的均值，给出下列五个函数：①y=x；②y=x2；③y=4sinx；④y=lgx；⑤y=2x．则所有满足在其定义域上的均值为2的函数的序号为（）A．①③ B．①④ C．①④⑤D．②③④⑤考点：函数的值；函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据定义分别验证对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使 f（x1）+f（x2）=4成立的函数即可．解答：解：首先分析题目求对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使 f（x1）+f（x2）=4成立的函数．①y=x，f（x1）+f（x2）=4得 x1+x2=4，解得x2=4﹣x1，满足唯一性，故成立．②y=x2，由 f（x1）+f（x2）=4得 x12+x22=4，此时x2=，x2有两个值，不满足唯一性，故不满足条件．③y=4sinx，明显不成立，因为y=4sinx是R上的周期函数，存在无穷个的x2∈D，使成立．故不满足条件④y=lgx，定义域为x＞0，值域为R且单调，显然必存在唯一的x2∈D，使成立．故成立．⑤y=2x定义域为R，值域为y＞0．对于x1=3，f（x1）=8．要使成立，则f（x2）=﹣4，不成立．故选：B点评：本题主要考查新定义的应用，考查学生的推理和判断能力．综合性较强．二、填空题：每小题5分，共25分．11．若向量、的夹角为150°，||=，||=4，则|2+|= 2 ．考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是向量的模及平面向量数量积运算，由向量、的夹角为150°，||=，||=4，我们易得的值，故要求|2+|我们，可以利用平方法解决．解答：解：|2+|====2．故答案为：2点评：求常用的方法有：①若已知，则=；②若已知表示的有向线段的两端点A、B坐标，则=|AB|=③构造关于的方程，解方程求．12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为9π．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出其外接球的半径，代入表面积公式，可得答案．解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其四个顶点是以俯视图为底面，以2为高的三棱柱的四个顶点，故其外接球，即为以俯视图为底面，以2为高的三棱柱的外接球，由底面两直角边长分别为，，故底面的外接圆直径为，故底面的外接圆半径r=，球心距d==1，故球的半径R==，故该几何体的外接球的表面积S=4πR2=9π，故答案为：9π．点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则角A 为．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：利用正弦定理化三角函数为三角形边的关系，然后通过余弦定理求解即可．解答：解：由sinC=2sinB，由正弦定理可知：c=2b，代入a2﹣b2=bc，可得a2=3b2，所以cosA==，∵0＜A＜π，∴A=．故答案为：．点评：本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，属于基本知识的考查．14．已知F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上的一点，且|PF1|=2|PF2|．若△PF1F2为等腰三角形，则该双曲线的离心率为 2 ．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用双曲线的定义和等腰三角形的定义，由离心率公式，计算即可得到，注意离心率的范围．解答：解：P为双曲线右支上的一点，则由双曲线的定义可得，|PF1|﹣|PF2|=2a，由|PF1|=2|PF2|，则|PF1|=4a，|PF2|=2a，由△PF1F2为等腰三角形，则|PF1|=|F1F2|或|F1F2|=|PF2|，即有4a=2c或2c=2a，即有e==2（1舍去）．故答案为：2．点评：本题考查双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．15．若方程x4+ax﹣4=0的各个实根x1，x2，…，x k（k≤4）所对应的点（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：综合题．分析：原方程等价于x3+a=，原方程的实根是曲线y=x3+a与曲线y= 的交点的横坐标，分别作出左右两边函数的图象：分a＞0与a＜0讨论，可得答案．解答：解：方程的根显然x≠0，原方程等价于x3+a=，原方程的实根是曲线y=x3+a与曲线y= 的交点的横坐标，而曲线y=x3+a是由曲线y=x3向上或向下平移|a|个单位而得到的，若交点（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，因直线y=x与y=交点为：（﹣2，﹣2），（2，2）；所以结合图象可得或，解得a＞6或a＜﹣6．故答案为：a＞6或a＜﹣6．点评：本题综合考查了反比例函数，反比例函数与一次函数图象的交点问题，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．三、解答题：共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣sin2x+cos2x+，x∈R．（1）求函数f（x）在上的最值；（2）若将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g（x）的图象，已知g（α）=﹣，α∈（，），求cos（﹣）的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）利用倍角公式将函数进行化简，结合三角函数的图象和性质即可求函数f（x）在上的最值；（2）根据三角函数的图象关系求出g（x）的表达式，利用三角函数的关系式进行求值即可．解答：解：（1）f（x）=2sinxcosx﹣sin2x+cos2x+=sin2x﹣+cos2x+=sin2x+cos2x=2sin（2x+）．∵x∈，∴﹣≤2x+≤，∴当2x+=﹣，即x=﹣时，f（x）的最小值为2×（）=．当2x+=，即x=时，f（x）的最大值为2×1=2．（2）若将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g（x）=2sin（x﹣），由g（α）=2sinx（α﹣）=﹣，得sinx（α﹣）=﹣，∵α∈（，），∴π﹣α∈（π，），是cos（α﹣）=﹣，∵＜﹣，∴cos（﹣）==﹣．点评：本题主要考查三角函数的最值的求解，根据倍角公式将函数化简是解决本题的关键，要求熟练三角函数的图象和性质．17．如图，四边形ACDF为正方形，平面ACDF⊥平面BCDE，BC=2DE=2CD=4，DE∥BC，∠CDE=90°，M为AB的中点．（1）证明：EM∥平面ACDF；（2）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：综合题；空间向量及应用．分析：（1）取AC的中点P，连结PM、PD，通过中位线定理可得四边形DEMP为平行四边形，进而有ME∥DP，利用线面平行的判定定理即得结论；（2）以C为坐标原点，CA、CB、CD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则所求值为平面ABE的法向量与平面BCE的一个法向量的夹角的余弦值，计算即可．解答：（1）证明：如图，取AC的中点P，连结PM、PD，在△ABC中，P为AC的中点，M为AB的中点，∴PM∥BC，且PM=BC，又∵DE∥BC，DE=BC，∴PM∥DE且PM=DE，故四边形DEMP为平行四边形，∴ME∥DP，又∵DP⊂平面ACDF，EM⊄平面ACDF，∴EM∥平面ACDF；（2）解：∵平面ACDF⊥平面BCDE，平面ACDF∩平面BCDE=CD，AC⊥DC，∴AC⊥平面BCDE，∴AC⊥BC，又∵∠CDE=90°，DE∥BC，∴BC⊥CD，以C为坐标原点，CA、CB、CD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，4，0），D（0，0，2），E（0，2，2），则=（﹣2，4，0），=（﹣2，2，2），设平面ABE的法向量为=（x，y，z），由，得，取y=1，得=（2，1，1），又∵AC⊥平面BCDE，∴=（2，0，0）为平面BCE的一个法向量，∴cos＜，＞===．∴二面角A﹣BE﹣C的余弦值为．点评：本题考查空间中线面平行的判定，以及求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．18．某机械厂生产一种产品，产品被测试指标大于或等于90为优等次，大于或等于80小于90为良等次，小于80为差等次．生产一件优等次产品盈利100元，生产一件良等次产品盈利60元，生产一件差等次产品亏损20元．现随机抽出高级技工甲和中级技工乙生产的这种产品各100件进行检测，结果统计如表：测试指标[70，75）[75，80）[80，85）[85，90）[90，95）[95，100）甲 3 7 20 30 25 15乙 5 15 23 27 20 10根据表中统计得到甲、乙两人生产这种产品为优、良、差等次的频率，现分别作为他们每次生产一件这种产品的等次互不受影响．（1）计算高级技工甲生产三件产品，至少有2件优等品的概率；（2）甲、乙各生产一件产品给工厂带来的利润之和记为X元（利润=盈利﹣亏损）．求随机变量X的频率分布和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）高级技工甲生产三件产品，至少有2件优等品有两种情况：恰有2件优等品或3件都是优等品，由此能求出高级技工甲生产三件产品，至少有2件优等品的概率．（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为200，160，120，80，40，﹣40，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的频率分布和数学期望．解答：解：（1）甲生产一件产品为优、良、差等次的概率分别为，乙生产一件产品为优、良、差等次的概率分别为，高级技工甲生产三件产品，至少有2件优等品有两种情况：恰有2件优等品或3件都是优等品，∴高级技工甲生产三件产品，至少有2件优等品的概率：P=（）3+．（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为200，160，120，80，40，﹣40，P（X=200）==，P（X=160）==，P（X=120）==，P（X=80）==，P（X=40）==，P（X=﹣40）==，∴X的分布列为：X 200 160 120 80 40 ﹣40PEX=+=124（元）．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．19．各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，已知点（a n，a n+1）（n∈N*）在函数y=3x的图象上，且S3=26．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d的等差数列，求数列||的前n 项和T n，并求使T n+≤成立的最大正整数n．考点：数列与不等式的综合；等差数列的性质．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）先利点（a n，a n+1）（n∈N*）在函数y=3x的图象上，且S3=26，求出q=3，a1=2，即可求数列{a n}的通项；（2）先把所求结论代入求出数列{T n}的通项，再利用数列求和的错位相减法即可求出其各项的和，最后利用不等关系求解即可．解答：解：（1）∵点（a n，a n+1）（n∈N*）在函数y=3x的图象上，∴a n+1=3a n，∴公比q=3，∴S3=26，∴a1+3a1+9a1=26，解得a1=2，∴数列{a n}的通项公式a n=2×3n﹣1．（2）由（1）知a n=2×3n﹣1，a n+1=2×3n，∵在a n于a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d n的等差数列，∴a n+1=a n+（n+1）d n，∴d n=，∴=，∴T n=++…+，①T n+1=++…+②①﹣②，整理得T n=﹣．∴T n+≤，即3n﹣1≤27，解得n≤4，∴使得T n+≤成立的正整数n的最大值是4．点评：本题考查数列的通项，考查数列求和的错位相减法，考查计算能力，属于中档题．20．已知焦点在y轴上的椭圆C1：+=1（a＞b＞0）经过点Q（，1），过椭圆的一个焦点且垂直长轴的弦长为1．（1）求椭圆C1的方程；（2）过抛物线C2：y=x2+h（h∈R）上一点P的切线与椭圆C1交于不同两点M，N．点A为椭圆C1的右顶点，记线段MN与PA的中点分别为G，H点，当直线CH与x轴垂直时，求h的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）通过将点Q（，1）、y=c代入椭圆方程，计算即得结论；（2）通过设P（t，t2+h），则直线MN的方程为：y=2tx﹣t2+h，代入椭圆方程，利用中点坐标公式及韦达定理计算即得结论．解答：解：（1）∵椭圆过点Q（，1），∴，将y=c代入椭圆方程得：x=±，∴=1，解得：a=2，b=1，∴椭圆C1的方程为：；（2）设P（t，t2+h），由y′=2x可知切线斜率k=2t，∴直线MN的方程为：y=2tx﹣t2+h，将其代入椭圆方程得：4x2+（2tx﹣t2+h）2﹣4=0，化简得：4（1+t2）x2﹣4t（t2﹣h）x+（t2﹣h）2﹣4=0，∵直线MN与椭圆交于不同的两点，∴△＞0，即△=16＞0 （*）设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN中点横坐标为x0，由韦达定理可知：x1+x2=，x0==，设线段PA中点的横坐标为x3，则x3=，由已知有x0=x3，即=，显然t≠0，h=﹣（t++1），当t＞0时，t+≥2，当且仅当t=1时取等号，此时h≤﹣3，不符合（*）式，舍去；当t＜0时，（﹣t）+≥2，当且仅当t=﹣1时取等号，此时h≥1，符合（*）式；综上所述，h的最小值为1．点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21．设函数f（x）=lnx，g（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2f（x）．（1）当a=1时，求函数g（x）的单调区间；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=f（x）图象上任意不同两点，线段AB中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为k．证明：k＞f（x0）（3）设F（x）=|f（x）|+（b＞0），对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有＜﹣1，求实数b 的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；直线的斜率．专题：导数的综合应用．分析：（1）将a=1代入求出g（x）的表达式，再求出g（x）的导数，从而求出g（x）的单调区间；（2）将x0=代入f′（x0）==，问题转化为证：k（t）lnt+﹣2的单调性，（t＞1），从而证出结论；（3）设G（x）=F（x）+x，则G（x）在（0，2]单调递减，通过讨论x的范围，结合导数的应用，从而求出b的范围．解答：解：（1）当a=1时，g（x）=（x﹣1）﹣2f（x）=（x﹣1）﹣2lnx=x﹣1﹣2lnx，定义域为（0，+∞）；g′（x）=1﹣=；当x∈（0，2）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；即g（x）的单调增区间为（2，+∞），单调减区间为（0，2）．（2）证明：k==，又x0=，所以f′（x0）==；即证，＞，不妨设0＜x1＜x2，即证：lnx2﹣lnx1＞；即证：ln＞；设t=＞1，即证：lnt＞=2﹣；即证：lnt+﹣2＞0，其中t∈（1，+∞）；事实上，设k（t）=lnt+﹣2，（t∈（1，+∞）），则k′（t）=﹣=＞0；所以k（t）在（1，+∞）上单调递增，所以k（t）＞k（1）=0；即结论成立．（3）由题意得+1＜0，即＜0；设G（x）=F（x）+x，则G（x）在（0，2]单调递减，①当x∈时，G（x）=lnx++x，G′（x）=﹣+1≤0；b≥+（x+1）2=x2+3x++3在上恒成立，设G1（x）=x2+3x++3，则G1′（x）=2x+3﹣；当x∈，G1′（x）＞0；∴G1（x）在上单调递增，G1（x）≤；故b≥．②当x∈（0，1）时，G（x）=﹣lnx++x；G1（x）=x2+3x++3，G′（x）=﹣﹣+1≤0，b≥﹣+（x+1）2=x2+x﹣﹣1在（0，1）恒成立，设G2（x）=x2+x﹣﹣1，（x）=2x+1+＞0，即G2（x）在（0，1）单调递增，故G2（x）＜G2（1）=0，∴b≥0，综上所述：b≥．点评：本题考查了函数的单调性，函数恒成立问题，考查导数的应用，考查转化思想，本题有一定的难度．-30312 7668 癨26293 66B5 暵26378 670A 朊 29057 7181 熁31651 7BA3 箣38349 95CD 闍20574 505E 偞33353 8249 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安徽省芜湖市2021届高三上学期期末考试理科数学试题 扫描版
高三年级数学（理科）试题参考答案第页（共4页）2020-2021学年度第一学期芜湖市中小学校教育教学质量监控高三年级数学（理科）试题参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）题号答案1D 2C 3C 4B 5A 6C 7D 8B 9B 10C 11A 12A 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.314.4515.36π16.2三、解答题（本大题共7小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）（一）必做题（共5小题，每小题12分，共60分）17．（12分）解（1）∵a n +1=S n +1，∴a n =S n -1+1(n ≥2)∴a n +1-a n =a n ，即∴a n +1=2a n (n ≥2).又a 2=S 1+1=a 1+1，S 2=a 1+a 2=3∴a 1=1,a 2=2，∴a 2=2a 1也满足a n +1=2a n (n ≥2).∴{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，∴a n =2n -1（5分）（2）由（1）知b n =a n (a n +1)(a n +1+1)=2n -1(2n -1+1)(2n +1)=12n -1+1-12n +1.∴T n =b 1+b 2+⋯+b n =(120+1-121+1)+(121+1-122+1)+⋯+(12n -1+1-12n +1)=120+1-12n +1=12-12n +1<12.(12分)18.（12分）（1）证明：连DC 1，由B 1C ⫽AD ，得B 1C 1-//DE ，故四边形B 1EDC 1为平行四边形.B 1E -//C 1D ，C 1D ⊂平面CDD 1C 1，B 1E ⊄平面CDD 1C 1，所以B 1E ⫽平面CDD 1C 1，（5分）（2）假设M 点存在，取BC 中点G ，因为底面ABCD 是菱形，∠BAD =120°，所以AG ⊥BC ，AG ⊥AD ，又AA 1⊥面ABCD ，所以AG ，AD ，AA 1两两互相垂直.以A 为坐标原点， AG ， AD ， AA 1为正方向建立空间直角坐标系A -xyz .由AB =2，得AG =3，设M (0,t ,0)，其中t ∈[0,2].A 1(0,0,1),B 1(-12,1)， A 1M =(0,t ,-1)，A 1B 1=(-12,0).设 n 1=(x ,y ,z )1B 1的一个法向量，则ìíî n 1⋅ A 1B 1=0, n 1⋅ MA 1=0,即îïx -12y =0,ty -z =0.可取 n 1=(1,3,3t ).1高三年级数学（理科）试题参考答案第页（共4页）易知平面A 1B 1D 1一个法向量为 n 2由cos < n 1, n2>= n 1· n 2| n 1|| n 2|=3t 1+3+3t 2=得t =12，故M 为AD 边上靠近A 的四等分点.（12分）19.（12分）解：（1）列2×2列联表：2020年在直播平台购物2020年未在直播平台购物合计男生402060女生35540合计7525100K 2=100(40×5-35×20)275×25×60×40≈5.556<6.635.故没有99%的把握认为该校学生的性别与2020年在直播平台购物有关（5分）（2）设这4人中2020年在直播平台购物的人数为Y ，则Y =0,1,2,3,4，且Y~B (4,34),X =Y -(4-Y )=2Y -4，故X =-4,-2,0,2,4,且P (X =-4)=P (Y =0)=C 04(14)4=1256，P (X =-2)=P (Y =1)=C 14(34)1(14)3=364，P (X =0)=P (Y =2)=C 24(34)2(14)2=27128，P (X =2)=P (Y =3)=C 34(34)3(14)=2764P (X =4)=P (Y =4)=C 44(34)4=81256所以X 的分布列为XP-41256-236402712822764481256E (Y )=4×34=3，E (X )=E (2Y -4)=2E (Y )-4=2×3-4=2，即E (X )=2（12分）20.（12分）（1）解：因为椭圆C e =c a=,a 2=32b 2，即C :x 232b 2+y 2b 2=1，又因为椭圆C 过点A (32,)，所以23⋅94b 2+12b2=1，解得b 2=2椭圆C 的方程为x 23+y 22=1.（5分）2高三年级数学（理科）试题参考答案第页（共4页）（2）证明：设直线AB 的方程为y =k (x -32)+因为直线AB 与直线AC 的倾斜角互补，所以直线AC 的方程可设为y =-k (x -32)+联立ìíîïïïïy =k (x -32)+x 23+y 22=1得(2+3k 2)x 2+(-9k +32k )x +3(-32k+)2-6=0.（6分）设B (x 1,y 1)，C (x 2,y 2)，则x 1+32=-2∴x 1=--32=92k 2-32k -32+3k 2.同理可得x 2=92k 2+32k -32+3k 2.k BC =y 1-y 2x 1-x 2=k (x 1+x 2)-3k x 1-x 2=k 9k 2-62+3k 2-3k -62k =-12k 2+3k 2-62k =2.又k AF =2-032-1=2，∴k BC =k AF ，所以BC //AF .（12分）21.（12分）解：（1）函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )=ae x -2.①当a ≤0时，f ′(x )<0，所以f (x )在R 上单调递减；②当a >0时，令f ′(x )=0得x =ln 2a .若x ∈(-∞,ln 2a )，f ′(x )<0；若x ∈(ln 2a ,+∞)，f ′(x )>0；所以f (x )在(-∞,ln 2a )单调递减，在(ln 2a ,+∞)单调递增.综上所述，当a ≤0时，f (x )在R 上单调递减.当a ＞0时，f (x )在（-∞,ln 2a ）单调递减；f (x )在(ln 2a,+∞)单调递增.（5分）（2）g (x )=ae x +x ln x -2x +1设函数h (x )=g (x )x =ae x x +ln x +1x-2h ′(x )=ae x (x -1)x 2+1x -1x 2=(ae x +1)(x -1)x 2因为a >0，所以h ′(x )=0得x =1.当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )在(0,1)上单调递减.当x ∈(1,+∞)时，h ′(x )>0，h (x )在(1,+∞)上单调递增.所以当x =1时，h (x )取最小值，最小值为h (1)=ae -1.3高三年级数学（理科）试题参考答案第页（共4页）若a =1e 时，h (1)=0，所以函数h (x )只有1个零点；若a >1e时，h (x )≥h (1)>0，所以函数h (x )无零点；若0<a <1e 时，h (1)<0，h (e -2)=a e e -2e-2-2+e 2-2>e 2-4>0，h (e 2)=a e e 2e 2+2+1e 2-2>0，故h (1)h (e -2)<0，h (1)h (e 2)<0；所以函数h (x )在(1,e -2)和(1,e 2)各有一个零点，所以函数h (x )有两个零点.综上所述，当a =1e 时，函数g (x )只有1个零点；当a >1e 时，函数g (x )无零点；当0<a <1e时，函数g (x )有两个零点（12分）（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）解：（1）曲线C 2的直角坐标方程为：x 2+(y -2)2=4，当θ为参数时，曲线C 1的直角坐标方程为(x -2)2+y 2=t 2，又曲线C 1与C 2只有一个公共点，故C 1与C 2的位置关系是外切或内切.（i ）当C 1与C 2外切时，(2-0)2+(0-2)2=t +2,解得t =22-2；（ii ）当C 1与C 2内切时，(2-0)2+(0-2)2=t -2,解得t =22+2故t =22-2或者t =22+2.（5分）（2）当t 为参数时，曲线C 1为过点(2,0)的直线，又曲线C 2是半径为2的圆，且|AB|=4，则直线C 1过C 2的圆心(0,2)，则直线C 1的斜率k =2-00-2=-1，因为θ∈[0,π)，所以θ=34π.（10分）23.（10分）解：（1）f (x )=|x +5|+|2x -2|=ìíîïï-3x -3,x <-5-x +7,-5≤x <13x +3,x ≥1，当x <-5时，由-3x -3≥12得x <-5，当-5≤x <1时，由-x +7≥12得x =-5，当x ≥1时，由3x +3≥12得x ≥3，综上知：不等式f (x )≥12的解集为(]-∞,-5⋃[)3,+∞．（5分）（2）由题意可知：m =6，则a 2+b 2+c 2=6，则1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3=112[]()a 2+1+()b 2+2+()c 2+3×()1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3≥112×()1+1+12=34．（当且仅当a 2=3,b 2=2,c 2=1时取等号）（10分）4。
2021年高三上学期期末联考数学(理)试题 含答案
2021年高三上学期期末联考数学（理）试题含答案（试卷满分150分）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则A∩B＝( )A．[－2，2] B．[0，2] C．(0，2] D．[0，＋∞)2．函数f(x)＝2－xlg x的定义域是( )A．(0，2) B．(0，1)∪(1，2) C．(0，2] D．(0，1)∪(1，2]3．已知数阵中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数也依次成等差数列，若，则这9个数的和为( )A．16 B．32 C．36 D．724．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B． C.40 D.805．已知展开式中常数项为5670，其中是常数，则展开式中各项系数的和是( )A．28 B．48 C．28或48 D．1或286.由曲线，直线及轴所围成的封闭图形的面积为( )A. B．4 C. D.67.某市高三数学抽样考试中，对90分以上(含90分) 的成绩进行统计，其频率分布图如图所示，已知130～140分数段的人数为90，90～100分＝1①已知复数，在复平面内对应的点位于第四象限；②若是实数，则“”的充要条件是“”；③命题P：“”的否定P：“”；A．3 B．2 C．1 D．09.已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“理想集合”，则下列集合是“理想集合”的是（）A．B．C．D．10.如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP 的长为，原点O 到弦AP 的长为d ，则函数d ＝f ()的图像大致是( )第Ⅱ卷（共100分） 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
11．若点在直线上，其中则的最小值为 .12．如图，设E ，F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB ＝3，AC ＝6，则AE →·AF →＝ . 13．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为 .14．设函数在其图像上任意一点处的切线方程为，且,则不等式的解集为 ． 15．选作题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做按第一题评阅计分。
2021届安徽省江淮十校高三上学期第一次联考数学(理)试题Word版含解析
2021届安徽省江淮十校高三上学期第一次联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合1|,0A y y x x x ⎧⎫==+≠⎨⎬⎩⎭，集合{}2|40B x x =-≤，若A B P ⋂=，则集合P 的子集个数为（ ） A ．2 B ．4C ．8D ．16【答案】B【解析】求出集合A 、B ，得出集合P ，确定集合P 的元素个数，利用子集个数公式可得出集合P 的子集个数. 【详解】当0x >时，12y x x =+≥=；当0x <时，()()112y x x x x ⎡⎤=+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦. 所以，集合{}22A y y y =≤-≥或.集合{}{}24022B x x x x =-≤=-≤≤，{}2,2P AB ∴==-，集合P 有两个元素，因此，集合P 的子集个数为224=，故选：B. 【点睛】本题考查集合子集个数的计算，考查集合的交集、函数的值域以及一元二次不等式的解法，解题时要注意集合子集个数结论的应用，属于中等题.2．复数z 满足342z i ++=，则z z ⋅的最大值是（ ） A ．7 B ．49 C ．9 D ．81【答案】B【解析】设z x yi =+，由342z i ++=可得出()()22344x y +++=，22z z x y ⋅=+，利用数形结合思想求出z z ⋅的最大值. 【详解】设z x yi =+，则()()34342z i x y i ++=+++==，()()22344x y ∴+++=，则复数z 在复平面内所对应的点的轨迹是以()3,4--为圆心，以2为半径的圆，22z z x y ⋅=+，其几何意义是原点到圆()()22344x y +++=上一点距离的平方，原点到圆心的距离为5=，因此，z z ⋅的最大值为()22549+=，故选：B. 【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数对应点的轨迹，同时也涉及了点到圆上一点最值的求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3．设,,a b c 为正数，则“a b c +>”是“222a b c +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】 ∵,,a b c 为正数，∴当2,2,3a b c ===时，满足a b c +>，但222a b c +>不成立，即充分性不成立， 若222a b c +>，则()222+->a b ab c ，即()2222+>+>a b c ab c ，>a b c +>，成立，即必要性成立，则“a b c +>”是“222a b c +>”的必要不充分条件， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键，属于中档题. 4．已知向量a 、b 均为非零向量，()2a b a -⊥，a b =，则a 、b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B【解析】设a 、b 的夹角为θ，由()2a b a -⊥，得出()20a a b ⋅-=，利用平面向量数量积的运算律与定义可计算出cos θ的值，结合θ的取值范围得出θ的值. 【详解】设a 、b 的夹角为θ，()2a b a -⊥且a b =，()222222cos 0a a b a a b a a θ⋅-=-⋅=-=，解得1cos 2θ=，0θπ≤≤，3πθ∴=.因此，a 、b 的夹角为3π，故选：B. 【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求向量的夹角，在处理平面向量垂直时，要将其转化为两向量的数量积为零，利用平面向量数量积的定义和运算律来计算，考查运算求解能力，属于中等题. 5．已知ln x π=，13y e -=，13log z π=，则（ ）A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y z x <<【答案】C【解析】利用中间值法，将这三个数与0、1比较大小，从而得出这三个数的大小关系. 【详解】由于对数函数ln y x =在其定义域上是增函数，则ln ln 1x e π=>=，指数函数xy e =在R 上为增函数，则10301e e -<<=，即01y <<，对数函数13log y x =在其定义域上是减函数，则1133log log 10π<=，即0z <.因此，z y x <<，故选：C. 【点睛】本题考查利用中间值法比较指数式、对数式的大小，常用的中间值为0和1，在实际问题中，中间值取多少要由具体问题来选择，同时在比较大小时，要充分利用指数函数与对数函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为（ ）A ．()23323ππ-- B ．()323π-C ．()323π+D ．()23323ππ-+【答案】A【解析】设2BC =，将圆心角为3π的扇形面积减去等边三角形的面积可得出弓形的面积，由此计算出图中“勒洛三角形”的面积，然后利用几何概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】如下图所示，设2BC =，则以点B 为圆心的扇形面积为2122=233ππ⨯⨯， 等边ABC ∆的面积为212sin 323π⨯⨯=，其中一个弓形的面积为233π-， 所以，勒洛三角形的面积可视为一个扇形面积加上两个弓形的面积， 即222322333πππ⎛⎫+⨯-=- ⎪⎝⎭， ∴在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形外部的概率()()323312323πππ--=--，故选：A.【点睛】本题考查几何概型概率的计算，解题的关键就是要求出图形相应区域的面积，解题时要熟悉一些常见平面图形的面积计算方法，考查计算能力，属于中等题.7．如图，在正方体111ABCD A B C D -中，F 是棱11A D 上动点，下列说法正确的是（ ）A ．对任意动点F ，在平面11ADD A 内不存在．．．与平面CBF 平行的直线B ．对任意动点F ，在平面ABCD 内存在．．与平面CBF 垂直的直线C ．当点F 从1A 运动到1D 的过程中，FC 与平面ABCD 所成的角变大．． D ．当点F 从1A 运动到1D 的过程中，点D 到平面CBF 的距离逐渐变小．． 【答案】C【解析】利用直线与平面平行的判定定理可判断出A 选项中命题的正误；利用反证法判断出B 选项中命题的正误；利用线面角的定义判断出C 选项中命题的正误；利用三棱锥体积来判断出D 选项命题的正误. 【详解】对于A 选项，//AD BC ，AD ⊄平面CBF ，BC ⊂平面CBF ，//AD ∴平面CBF ，又AD ⊂平面11ADD A ，所以，A 选项中的命题错误；对于B 选项，反设平面ABCD 内存在直线a 满足a ⊥平面CBF ，a ⊂平面ABCD ，由平面与平面垂直的判定定理可得平面CBF ⊥平面ABCD ，事实上，平面CBF 与平面ABCD 不垂直，假设不存在，所以，B 选项中的命题错误；对于C 选项，由于F 到平面ABCD 的距离d 不变且FC 变小，设直线FC 与平面ABCD 所成的角为θ，则sin dFCθ=，可知θ在逐渐变大，C 选项中的命题正确； 对于D 选项，由于点F 到平面ABCD 的距离不变，BCD ∆的面积不变，则三棱锥F BCD -的体积不变，即三棱锥D BCF -的体积不变，在点F 的运动过程中，BCF ∆的面积不变，由等体积法可知，点D 到平面BCF 的距离不变，D 选项中的命题正确.故选：C. 【点睛】本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角以及点到平面距离等命题的判断，判断时要从这些知识点的定义出发来理解，考查逻辑推理能力，属于中等题.8．某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，将数据制成茎叶图如图，若用样本估计总体，年龄在(,)x s x s -+内的人数占公司总人数的百分比是（精确到1%）（ ）A ．56%B ．14%C ．25%D ．67%【答案】A【解析】求出样本平均值与方差，可得年龄在(,)x s x s -+内的人数有5人，利用古典概型概率公式可得结果. 【详解】363637374440434443409x ++++++++==,2161699160916910099s ++++++++==103s =,年龄在(,)x s x s -+内，即110130,33⎛⎫⎪⎝⎭内的人数有5人， 所以年龄在(,)x s x s -+内的人数占公司总人数的百分比是等于505609≈，故选A.【点睛】样本数据的算术平均数公式 12n 1(++...+)x x x x n=． 样本方差公式2222121[()()...()]n s x x x x x x n=-+-++-， 标准差222121[()()...()]n s x x x x x x n=-+-++-9．将余弦函数的图象向右平移2π个单位后，再保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数()f x 的图象，下列关于()f x 的叙述正确的是（ ）A ．最大值为1，且关于3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．周期为π，关于直线2x π=对称C ．在,68ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，且为奇函数 D ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，且为偶函数 【答案】C【解析】根据图象变换求出函数()y f x =的解析式，然后结合正弦型函数的基本性质对各选项的正误进行判断. 【详解】将余弦函数的图象向右平移2π个单位后，得到函数cos sin 2y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭的图象，再保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数()sin 2f x x =的图象. 对于A 选项，函数()sin 2f x x =的最大值为1，由于33sin 142f ππ⎛⎫==-⎪⎝⎭，该函数的图象不关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，A 选项错误； 对于B 选项，函数()sin 2f x x =的最小正周期为22T ππ==，且sin 02f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则该函数的图象不关于直线2x π=对称，B 选项错误；对于C 选项，当68x ππ-<<时，234x ππ-<<，则函数()sin 2f x x =在,68ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且该函数为奇函数，C 选项正确； 对于D 选项，当04x π<<时，022x π<<，则函数()sin 2f x x =在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且为奇函数，D 选项错误.故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的图象变换，同时也考查了正弦型函数基本性质的判断，解题时要根据图象的变换写出变换后的函数解析式，并结合正弦函数的基本性质进行判断，考查推理能力，属于中等题.10．对任意实数x ，恒有10x e ax --≥成立，关于x 的方程()ln 10x a x x ---=有两根为1x ，2x ()12x x <，则下列结论正确的为（ ） A ．122x x += B ．121=x xC ．122x x = D ．12xx e =【答案】B【解析】先由10x e ax --≥可得出1a =，再由()1ln 10x x x ---=，得出1ln 1x x x +=-，由题意得出1111ln 1x x x +=-和111111ln 11x x x +=-，由此得出211x x =，由此可得出正确选项.【详解】构造函数()1xf x e ax =--，则()00f =，由题意得出()()0f x f ≥，则()()min 0f x f =.且()xf x e a '=-.①当0a -≥时，即当0a ≤时，对任意的x ∈R ，()0f x '>，函数()y f x =在R 上单调递增，此时，函数()y f x =没有最小值；②当0a -<时，即当0a >时，令()0f x '=，得ln x a =. 当ln x a <时，()0f x '<；当ln x a >时，()0f x '>.此时，函数()y f x =在ln x a =处取得极小值，亦即最小值，即()()min ln f x f a =，ln 0a ∴=，得1a =.由题意可知，关于x 的方程()1ln 10x x x ---=有两个实根，即1ln 1x x x +=-有两个实数根. 方程1ln 1x x x +=-的其中一个实根为1x ，则1111ln 1x x x +=-，1111111ln 11x x x x x ++∴-=-=--， 即111111ln 11x x x +=-，又方程1ln 1x x x +=-的另一个实根为2x ，211x x ∴=，因此，121=x x ， 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，同时也考查了方程两根之间的关系，解题时要充分利用对数的运算性质来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11．已知双曲线2222:1x y C a b-=的两条渐近线分别为1l 与2l ，A 与B 为1l 上关于原点对称的两点，M 为2l 上一点且AM BM k k e ⋅=，则双曲线离心率e 的值为（ ）ABC ．2D【答案】B【解析】设直线1l 的方程为b y x a =，则直线2l 的方程为b y x a =-，设点11,b A x x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭、22,b M x x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则点11,b B x x a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，利用AM BM k k e ⋅=，可得出21e e -=，解出即可. 【详解】设直线1l 的方程为by x a=，则直线2l 的方程为b y x a =-，设点11,b A x x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭、22,b M x x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则点11,b B x x a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ()1212AMb x x a k x x +=-，()12121212MB b b b x x x x a a a k x x x x -+-==--+，22AM BM b k k e a ∴⋅==， 即21e e -=，即210e e --=，1e >，解得12e =，故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，同时也涉及到渐近线方程，在求解离心率时，充分利用公式222221c b e a a==+可简化计算，考查运算求解能力，属于中等题.12．在四面体ABCD 中，若1AD DB AC CB ====，则当四面体ABCD 的体积最大时其外接球表面积为（ ） A ．53π B ．43π C ．πD ．2π【答案】A【解析】设()201AB x x =<<，可知当四面体ABCD 的体积最大时，平面ACB ⊥平面ADB，计算出CE DE ==求出四面体ABCD 的体积31133V x x =-，利用导数求出V 的最大值以及对应的x 的值，再利用四面体的结构得出计算出外接球的半径，最后利用球体表面积公式可得出结果. 【详解】如下图，取AB 的中点E ，连接CE 、DE ，设()201AB x x =<<，则21CE DE x ==-，当四面体ABCD 的体积最大时，平面ACB ⊥平面ADB ， 四面体ABCD 的体积为22311112113233V x x x x x =⨯⨯⨯-⨯-=-，213V x '=-. 令0V '=，得33x =，当303x <<时，0V '>；当313x <<时，0V '<.所以，函数31133V x x =-在33x =处取得极大值，亦即最大值.此时，2613CE x =-=，6sin 3CE BAC AC ∠==，设ABC ∆和ABD ∆的外接圆半径为r ，由正弦定理得62sin BC r BAC ==∠，6r ∴=. 设ABC ∆、ABD ∆的外接圆圆心分别为M 、N ，外接球的球心为点O ，如下图所示：在Rt BCE ∆中，6BM r ==， 四边形OMEN 是正方形，且边长为6ME BE BM =-=， 所以，四面体ABCD 的外接球半径2222665+=41212R BM OM ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，该四面体的外接球表面积为25544123OBπππ⋅=⨯=，故选：A.【点睛】本题考查四面体体积的最值，同时也考查了四面体外接球表面积的计算，要充分分析几何体的结构特征，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.二、填空题13．已知实数x、y满足21020xx yx y-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y=+的最小值为____________.【答案】32【解析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线2z x y=+经过可行域时在x轴上取最小值时对应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出答案.【详解】作出不等式组21020xx yx y-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的可行域如下图所示：联立210xx y-=⎧⎨-=⎩，得12x y==，可得点11,22A⎛⎫⎪⎝⎭，平移直线2z x y=+，当直线2z x y=+经过可行域的顶点11,22A⎛⎫⎪⎝⎭时，该直线在x轴上的截距最小，此时z取最小值，即min1132222z=⨯+=，故答案为：32.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，通常利用平移直线在坐标轴上截距的最值来寻找最优解来求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.14．已知()()512x x a ++的展开式中各项系数和为2，则其展开式中含2x 项的系数是______. 【答案】30-【解析】先将1x =代入二项式得出二项式的值为展开式各项系数和，可求出1a =-，然后将二项式变形为()()()()5551212121x x x x x +-=-+-，写出二项展开式的通项，令x 的指数为2，求出参数的值，再将参数的值代入通项可得出2x 项的系数. 【详解】由题意可知，()()512x x a ++的展开式中各项系数和为()()()551121222a a +⨯+=+=， 解得1a =-，()()()()()()5555121212121x x a x x x x x ++=+-=-+-， 二项展开式的通项为()()()()()5556555212121kkr r k k rk k k xC x C x C x ----⋅⋅-+⋅⋅-=⋅⋅-⋅+()55521r rr r C x --⋅⋅-⋅，令6252k r -=⎧⎨-=⎩，得43k r =⎧⎨=⎩，因此，展开式中含2x 项的系数为()()434132552121104030C C ⋅⋅-+⋅⋅-=-=-，故答案为：30-. 【点睛】本题考查二项式展开式各项系数和的概念，同时也考查了二项式中指定项的系数，解题时要充分利用展开式通项求解，考查运算求解能力，属于中等题. 15．关于x 的方程sin 2cos 0x x a ++=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内有解，则实数a 的取值范围是_______.【答案】)1⎡-⎣【解析】将问题转化为方程sin 2cos a x x -=+在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有解，可得出实数a -的取值范围即为函数()sin 2cos f x x x =+在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的值域，利用辅助角公式求出函数()y f x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域，即可得出实数a 的取值范围.【详解】由题意可得sin 2cos a x x -=+，则关于x 的方程sin 2cos a x x -=+在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有解. 构造函数()sin 2cos f x x x =+，其中0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由辅助角公式可得()()f x x ϕ=+，ϕ为锐角，且cos 5ϕ=，sin 5ϕ=. 由于02x π<<，则2x πϕϕϕ<+<+，所以，函数()sin 2cos f x x x =+在区间0,2πϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在区间,22ππϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则()max f x =()02f =，12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，函数()sin 2cos f x x x =+在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域为(，1a ∴<-≤解得1a ≤<-，因此，实数a 的取值范围是)1⎡-⎣，故答案为：)1⎡-⎣.【点睛】本题考查三角函数的零点问题，解题时可以利用参变量分离法转化为函数的值域问题，充分利用辅助角公式和正弦函数的基本性质求解，考查运算求解能力，属于中中等题.16．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，且2AF FB λ=（λ为非零常数）.以A 为切点作抛物线C 的切线交直线1y =-于M 点，则MF 的长度为________.（结果用含λ式子表示）. 【答案】1λλ+【解析】设直线AB 的方程为1y kx =+，联立直线AB 的方程与抛物线C 的方程，列出韦达定理，结合2AF FB λ=得出点A 的横坐标，然后利用导数求出抛物线C 在点A 处的切线方程，并求出点M 的坐标，最后利用两点间的距离公式求出MF 的长度. 【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，抛物线C 的焦点为()0,1F ，设直线AB 的方程为1y kx =+， 联立直线AB 的方程与抛物线C 的方程214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx --=， 由韦达定理得124x x k +=，124x x =-.()11,1AF x y =--，()22,1FB x y =-，2AF FB λ=，212x x λ∴-=，2121x x λ∴=-，2121214x x x λ∴=-=-，得2214x λ=.抛物线C 的函数解析式为24x y =，求导得2x y '=，则抛物线C 在点A 处的切线方程为()1112x y y x x -=-，即21124x x y x =-，联立211124y x x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得11221x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，所点112,12x M x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 因此，1MF λλ====+， 故答案为：1λλ+.【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，涉及到切线方程以及两点间的距离公式的应用，对于直线与抛物线的综合问题，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法进行求解，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()6121n S n n n =++. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设141n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明12n T <. 【答案】（1）2n a n =；（2）证明见解析.【解析】（1）令1n =，由11a S =求出11a =，再令2n ≥，由1n n n a S S -=-求出n a 的表达式，再对11a =是否满足n a 的表达式进行验证，由此得出数列{}n a 的通项公式； （2）将数列{}n b 的通项公式裂项为11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，并利用裂项法求出n T ，即可证明出12nT <成立. 【详解】（1）当1n =时，11661236a S ==⨯⨯=，可得11a =；当2n ≥时，由()()6121n S n n n =++可得()()16121n S n n n -=--，上述两式相减得()()()()261211216n a n n n n n n =++---=⎡⎤⎣⎦，2n a n =.11a =适合2n a n =，因此，对任意的n *∈N ，2n a n =；（2）()()21111114141212122121n n b a n n n n n ⎛⎫====- ⎪---+-+⎝⎭，111111111111123235221212212n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立. 【点睛】本题考查由前n 项和公式求数列通项，同时也考查了利用裂项法求和，在由前n 项和公式求数列通项时，利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来进行计算，考查计算能力，属于中等题.18．ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若222sin sin 3sin A B C -=，sin 3A =，且0BA AC ⋅>. （1）求sin sin BC； （2）若2a =，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）3；（2）3. 【解析】（1）由0BA AC ⋅>可得出cos 0A <，利用同角三角函数的平方关系可求出cos A 的值，利用正弦定理边角互化思想得出2223a b c -=，再利用余弦定理可得出b c的值，从而可得出sin sin BC的值；（2）由（1）得出3b c =，利用余弦定理可求出b 、c 的值，再利用三角形的面积公式可求出ABC ∆的面积. 【详解】 （1）()cos cos 0BA AC BA AC A cb A π⋅=⋅-=->，cos 0A ∴<.由同角三角函数的平方关系得22221cos 1sin 133A A ⎛⎫=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭. 222sin sin 3sin A B C -=，由正弦定理可得2223a b c -=.由余弦定理得2222231cos 223b c a c c c A bc bc b +--===-=-，3b c ∴=，由正弦定理边角互化思想得sin 3sin B bC c==； （2）由（1）可知3b c =，由余弦定理得2222222cos 10212a b c bc A c c c =+-=+=，2211123c a ∴==，则3c =，3b =， 由三角形面积公式可知，ABC ∆的面积为113222sin 322ABC S bc A ∆==⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积公式的应用，要根据三角形已知元素的类型合理选择正弦、余弦定理解三角形，同时也考查充分利用边角互化思想的应用，简化计算，考查运算求解能力，属于中等题.19．如图，四面体ABCD 中，ABC ∆是正三角形，ACD ∆是直角三角形，ABD CBD ∠=∠，AB BD =.（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）若点E 为DB 中点，求二面角D AE C --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（242. 【解析】（1）先证明出ABD CBD ∆≅∆，可得出AD CD =，可得出90ADC ∠=，然后取AC 的中点O ，连接OC 、OD ，并设OA OD a ==，利用勾股定理证明出OD OB ⊥，由等腰三角形三线合一得出OD AC ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理可证明出OD ⊥平面ABC ，再利用平面与平面垂直的判定定理可得出平面ACD ⊥平面ABC ；（2）以点O 为坐标原点，OA 、OB 、OD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，计算出平面ADE 和ACE 的法向量，利用空间向量法求出二面角D AE C --的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系可得出答案. 【详解】 （1）ABC ∆是等边三角形，AB BC ∴=，又ABD CBD ∠=∠，BD BD =，ABD CBD ∴∆≅∆，AD CD ∴=，ACD ∆为直角三角形，所以90ADC ∠=，取AC 的中点O ，连接OC 、OD ，则OD AC ⊥，OA OD =.设OA OD a ==，则tan 603OB OA a =⋅=，又2BD AB AC a ===，222BD OB OD ∴=+，OB OD ∴⊥，又OB AC O =，OD ∴⊥平面ABC ，OD ⊂平面ACD ，因此，平面ACD ⊥平面ABC ；（2）由题设及（1）可知OA 、OB 、OD 两两垂直，以点O 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -，设2AB =，则()1,0,0A 、()B、()1,0,0C -、()0,0,1D ，E为BD 的中点，则12E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， ()1,0,1AD ∴=-，()2,0,0AC=-，11,22AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面ADE 的一个法向量为(),,n x y z =，由00n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得0102x z x y z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 得3z xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩，令x1y =，z =所以，平面ADE的一个法向量为(31,n =,.同理可得，平面ACE 的一个法向量为(0,m =-，cos ,2m n m n m n⋅∴===⨯⋅所以，二面角D AE C --的正弦值为2742177⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定，同时也考查了二面角的计算，在利用空间向量计算二面角时，关键就是要建立合适的空间直角坐标系，并计算出平面的法向量，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题.20．如图，已知()1,0A -、()10B ,，Q 、G 分别为ABC △的外心，重心，//QG AB .（1）求点C 的轨迹E 的方程；（2）是否存在过()0,1P 的直线L 交曲线E 于M ，N 两点且满足2MP PN =，若存在求出L 的方程，若不存在请说明理由.【答案】（1）()22103y x xy +=≠；（2）不存在. 【解析】（1）设点()(),0C x y xy ≠，利用重心的坐标公式得出点G 的坐标为,33x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得出点0,3y Q ⎛⎫⎪⎝⎭，由QA QC =可得出点C 的轨迹E 的方程；（2）由题意得出直线L 的斜率存在，并设直线L 的方程为1y kx =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线L 的方程与曲线E 的方程联立，并列出韦达定理，由2MP PN =，可得出122x x =-代入韦达定理求出k 的值，即可得出直线L 的方程，此时，直线L 过点()1,0-或()1,0，从而说明直线L 不存在. 【详解】（1）设点()(),0C x y xy ≠，则点,33x y G ⎛⎫⎪⎝⎭，由于//QG AB ，则点0,3y Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 由QA QC =，可得出2224199y y x +=+，化简得2213y x +=.因此，轨迹E 的方程为()22103y x xy +=≠；（2）当L 与y 轴重合时不符合条件.假设存在直线:1L y kx =+，设点()11,M x y 、()22,N x y .将直线L 的方程与曲线E 的方程联立22113y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()223220k x kx ++-=，由韦达定理得12223k x x k +=-+，12223x x k =-+. ()11,1MP x y =--，()22,1PN x y =-，2MP PN =，122x x ∴-=，得122x x =-，即122x x =-，()()22221222212432233x x k k k x x k k +⎛⎫+=⋅-=- ⎪+⎝⎭+， 另一方面()2212122122112223x x x x k x x x x k +=++=-=-+，得21k =，解得1k =±. 则直线L 过点()1,0-或()1,0，因此，直线L 不存在. 【点睛】本题考查动点的轨迹方程，同时也考查了椭圆中的向量问题，在求解时可充分利用韦达定理设而不求法进行求解，考查运算求解能力，属于中等题. 21．已知函数()21cos 14f x x x =+-. （1）证明：()0f x ≤，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦； （2）判断()y f x =的零点个数，并给出证明过程. 【答案】（1）证明见解析；（2）三个零点，证明见解析.【解析】（1）由函数()y f x =是偶函数，只需利用导数证明函数()y f x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值()max 0f x ≤即可；（2）由（1）得出函数()y f x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上只有一个零点，然后利用函数值符号得出该函数在区间[)3,+∞上无零点，利用导数分析函数的单调性，并分析极值的符号，结合零点存在定理得出该函数在区间,32π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个零点，由偶函数的性质得出该函数在区间,2π⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上也只有一个零点，从而得出函数()y f x =有三个零点. 【详解】 （1）()21cos 14f x x x =+-，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则该函数为偶函数， 只需证()max 0f x ≤，其中0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. ()1sin 2f x x x '=-+，()1cos 2f x x ''∴=-. 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，令()0f x ''=，得3x π=. 当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ''≤，此时，函数()y f x '=单调递减； 当,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ''≥，此时，函数()y f x '=单调递增. ()00f '=，1024f ππ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≤，此时，函数()y f x =单调递减，则()()00f x f ≤=， 因此，对任意的,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()0f x ≤； （2）三个零点，证明如下：由（1）可知，当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()y f x =有一个零点0x =.当[)3,x ∈+∞时，()9cos 104f x x ≥-+>，此时，函数()y f x =无零点； 当,32x π⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()1sin 2f x x x '=-，()1cos 02f x x ''=->.此时，函数()y f x '=单调递增，1024f ππ⎛⎫'=-<⎪⎝⎭，()33sin 302f '=->. 由零点存在定理可知，存在0,32x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=.当0,2x x π⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<，此时，函数()y f x =单调递减； 当()0,3x x ∈时，()0f x '>，此时，函数()y f x =单调递增.210216f ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()002f x f π⎛⎫<< ⎪⎝⎭，()53cos304f =+>.由零点存在定理知，函数()y f x =在区间0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上无零点，在区间()0,3x 上有且只有一个零点，即函数()y f x =在区间,32π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个零点. 由于函数()y f x =为偶函数，所以，函数()y f x =在(],3-∞-上无零点，在3,2π⎛⎫-- ⎪⎝⎭上有且只有一个零点.综上所述，函数()y f x =有三个零点. 【点睛】本题考查利用导数证明不等式，以及利用导数研究函数的零点个数问题，解题时要充分利用导数研究函数的单调性，并结合零点存在定理进行分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 22．棋盘上标有第0、1、2、、100站，棋子开始位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到调到第99站或第100站时，游戏结束.设棋子位于第n 站的概率为n P .（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币3次后，求棋手所走步数之和X 的分布列与数学期望； （2）证明：()()1111982n n n n P P P P n +--=--≤≤；（3）求99P 、100P 的值.【答案】（1）分布列见解析，随机变量X 的数学期望为92；（2）证明见解析； （3）9910021132P ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1009911132P ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）根据题意得出随机变量X 的可能取值有3、4、5、6，利用独立重复试验的概率公式计算出随机变量X 在相应取值时的概率，可列出随机变量X 的分布列，由此计算出随机变量X 的数学期望； （2）根据题意，棋子要到第()1n +站，由两种情况，由第n 站跳1站得到，也可以由第()1n -站跳2站得到，由此得出111122n n n P P P +-=+，并在该等式两边同时减去n P ，可得出所证等式成立； （3）结合（1）、（2）可得1112n n n P P ++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，利用累加法求出数列{}n P 的通项公式，从而可求出99P 和100P 的值. 【详解】（1）由题意可知，随机变量X 的可能取值有3、4、5、6.()311328P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()31313428P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()32313528P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()311628P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.所以，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，随机变量X 的数学期望为13319345688882EX =⨯+⨯+⨯+⨯=； （2）根据题意，棋子要到第()1n +站，由两种情况，由第n 站跳1站得到，其概率为12n P ，也可以由第()1n -站跳2站得到，其概率为112n P -，所以，111122n n n P P P +-=+.等式两边同时减去n P 得()()111111198222n n n n n n P P P P P P n +---=-+=--≤≤；（3）由（2）可得01P =，112P =，210113224P P P =+=. 由（2）可知，数列{}1n n P P +-是首项为2114P P -=，公比为12-的等比数列， 111111422n n n n P P -++⎛⎫⎛⎫∴-=⋅-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()()()23999912132999811112222P P P P P P P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-+-++-=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭98100111421211123212⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭，又9999989911=22P P ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，则989921132P ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有10098991111232P P ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查相互独立事件的概率乘法公式以及等比数列的判定与应用，同时也考查了累加法求数列通项，综合性较强，属于难题.。
高三试卷数学-安徽省五校2021届高三上学期12月联考数学试卷及参考答案
001怀远一中、颍上一中、蒙城一中、涡阳一中、淮南一中2021届高三“五校”联考理科数学试题考试时间：2020年12月4日考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，函数、导数及其应用（含定积分），三角函数、解三角形，平面向量，复数，数列。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}24,A x x =≤≤{}2430B x x x =-+<，则A B =I A．{}14x x <<B．{}23x x ≤<C．{}23x x <<D．{}14x x <≤2.已知复数z 满足i 1i z ⋅=+，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数为A．1i-+B．1i--C．1i+D．1i-3.设: |1|1p x +<,:22q x -<<,则p 是q 的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.已知点A B ，是圆O 上两点，2π3AOB ∠=，AOB ∠的平分线交圆O 于点C ，则OC =A．1122OA OB+B．22OA OB +C．2233OA OB+D．OA OB+5.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1所示）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O 到水面的距离h 为001 1.5m，筒车的半径r为2.5m，筒车转动的角速度ω为πrad/s12，如图2所示，盛水桶M在0P 处距水面的距离为3m，则2s后盛水桶M到水面的距离近似为A．3.2m B．3.4m C．3.6m D．3.8m图1图26.记n S是等差数列{}n a的前n项和，已知30S=，68a=，则10a=A．12B．14C．16D．187.函数21()log||f xx=的部分图象可能是A B C D8.已知2.02=a，2.0log2=b，2log2.0=c，则,,a b c的大小关系为A．a b c<<B．b a c<<C．c b a<<D．acb<<9.已知ABC△是边长为3的等边三角形，点D为ABC△内一点，且120ADC∠=︒，1AD=，则BD=A．12B．32 C.1D．210.已知函数22()log|1|21f x x x x=-+-+，则不等式(21)(1)f x f x-<+的解集为A．2(,1)(1,2)3B．2(2,0)(0,)3- C．2(,2)3D．2(,2)(,)3-∞-+∞O xyO xyxyOxyO00111.已知函数π()sin(),(0,||2f x x ωϕωϕ=+>≤，π4x =-是()f x 的零点，直线π4x =是()f x 图象的对称轴，且()f x 在ππ(42，上单调，则ω的最大值为A．1B．2C．3D．412.若关于x 的不等式2e (ln )xa x x x ≥-对任意(0,+)x ∈∞恒成立，则实数a 的取值范围为A．2(,e ]-∞B．(,e]-∞C．(,1]-∞D．1(,e-∞第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量,a b 为单位向量，其夹角为π3，则|2|+=a b .14.函数2()23ln f x x x x =--的极小值为.15.已知复数12,z z 满足1||1z =，234i z =+，其中i 为虚数单位，则12||z z -的最大值为.16.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，q 为{}n a 的公比且43ln S S =.若11>S ，则下列命题中所有正确的序号是.①10q -<<；②40a >；③321S S S >+；④321S S S <+.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题满分为10分，第18~22题每题满分为12分.17.（10分）已知函数122()(1)f x x ax -=-+.（1）若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若1[,2]2x ∀∈，都有()12f x ≤成立，求实数a 的取值范围.已知向量a =(cos ,sin )x x ，b 33(cos sin ,cos sin )=+-x x x x ，设函数()=f x ⋅a b .（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）若关于x 的方程()0f x m -=在π[0,]2上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围.19.（12分）设数列{}n a 满足13a =，1233n n a a n +=-+.（1）计算2a ，3a ，猜想{}n a 的通项公式并加以证明；（2）求数列1{}3nn a +的前n 项和n S .20.（12分）ABC △的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c .设sin 2sin A Ca b=.（1）判断ABC △的形状；（2）若ABC △的外接圆半径为1，求ABC △周长的最大值.第二届阜阳花博会2020年9月28日在颍上八里河开幕，其主题为“花漾水上，花开颍上”．据调研获悉，某花卉基地培育有水生与水陆两生花卉30余种，计划在花博会期间举行展销活动．经分析预算，投入展销费x 万元时，销售量为m 万个单位，且112++=x x m （a a x -≤<20，a 为正实数）．假定销售量与基地的培育量相等，已知该基地每培育m 万个单位还需要投入成本(21)m +万元（不含展销费），花卉的销售价定为4(11m+万元/万个单位．（1）写出该花卉基地的销售利润y 万元与展销费x 万元的函数关系；（2）展销费x 为多少万元时，该花卉基地可以获得最大利润？（注：⨯--利润=销售价销售量投入成本展销费）22.（12分）已知函数ln ()e xxf x a x=+，()()g x xf x x =+.（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线过点(2,1)，求实数a 的值；（2）当21ea =-时，证明：()2g x <.2021届高三“五校”联考理数答案2020年12月4日一、选择题：题号123456789101112选项B CADDCBDCACB11.【解析】由对称轴和零点可知()ππ212(),444k T k N T πω+--=∈=，得到N k k ∈+=,12ω①由()f x 在区间ππ()42，上单调可知πππ242T ω-≤=，得到4≤ω②由①②可知ω可能取3.当3ω=时，可得4πϕ=-，()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=43sin πx x f 满足在⎪⎭⎫ ⎝⎛24ππ，上单调，所以3=ω满足题意，故ω的最大值为3.12.【解析】解法一：易知2ln 0x x x ->在(0,)x ∈+∞时恒成立，从而可知0a ≤满足题意；当0a >时，原不等式可化为21ln e x x x x a -≥.记2ln ()e xx x xg x -=，则max 1()g x a ≥.而(1)(ln 1)()exx x x g x --+'=，ln 10x x -+≤，因此，(0,1)x ∈时()0g x '>；(1,)x ∈+∞时()0g x '<；所以，max 1()(1)e g x g ==，11ea ≥，0e a <≤.又0a ≤也满足题意，所以a 的取值范围为(,e]-∞，故选D.解法二：原不等式可化为ln e e (ln )xx x a x x x-=≥-，令ln t x x =-，则1t ≥.从而e t at ≥在[1,)t ∈+∞恒成立，由切线法知，e a ≤.二、填空题：13题14题.1-15题.616题.①③15.【解析】由复数的几何意义可知，复数1z 在复平面内对应的点P 在以原点为圆心的单位圆上，2z 对应的点为定点(3,4)Q ，则12z z -表示P ，Q 两点间距离，由解析几何知识得最大值为16+=.16.【解析】43ln ,S S = 34330,ln 1S S S S ∴>=≤-，进而得41a ≤-..0,11<∴>q a 又2210,11,q q q q q <-+>++>若，则21131,(1)1,1,a a q q S >∴++>> 即 23234341ln 0,(1)0, 10,S S S a q q q q q q ∴=>=+++>+++>.1,0)1)(1(,0)1()1(22相矛盾这与-<>++∴>+++∴q q q q q q 1312310,,..q a a S S S ∴-<<∴>+>即三、解答题：共70分.17.【解析】（1）由题意可知210x ax -+>在R 上恒成立，故0∆<…………………………2分可得，解得22a -<<………………………………4分（2）由题意可得，1221(1)2x ax --+≤，也即1[,2]2x ∀∈时214x ax -+≥恒成立可化为23x a x-≤，………………………………6分设()23x g x x -=，只要()min a g x ≤即可……………………8分()2310g x x '=+>，所以()min11122g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以11.2a ≤-………………10分18.【解析】（1）44()cos cos sin sin cos sin f x x x x x x x=++-2222(cos sin )(cos sin )2sin cos x x x x x x=-++cos 2sin 2x x=+π24x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭………2分周期2ππ2T ==………3分由222,Z 242k x k k πππππ-+<+<+∈………4分解得3ππππ,Z88k x k k -+<<+∈………5分所以，函数()f x 的单调递增区间为3πππ,π,Z 88k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭.………6分（2）由方程()0f x m -=在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解可得()m f x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解即函数y m =与函数π(),02y f x x =≤≤的图象有两个交点………8分令π24t x =+，则π5π44t ≤≤即函数y m =与函数()g t t =，π5π44t ≤≤的图象有两个交点函数()y g t =在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π5π,24⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减，草图如下且ππ5π((1,(1244g g g ===-………10分故1m ≤<.………12分19.【解析】（1）.9,632==a a ……………………………2分猜想：,3n a n =……………………………3分证明：由已知可得),3(2)1(31n a n a n n -=+-+[],)1(3231--=--n a n a n n ........2132(3)a a -=-.3,31n a a n =∴= ……………………………6分.（2）,.3311nn n na =+）得由（……………………………7分.331........333231132n n n n n S +-++++=∴-①.331........333231311432++-++++=∴n n n nn S ②………………………8分1-②可得,331......31313212+-+++=n n n nS ……………………………10分nn n n S 32341431⋅-⋅-=∴-……………………………12分20.【解析】（1）解法一：ABC △中，由sin 2sin A C a b =及正弦定理得，2sin cos sin sin sin A A CA B=. 2cos sin sin A B C∴=………………………………2分又 sin sin()C A B =+ ，2cos sin sin()A B A B ∴=+，进而sin()0A B -=， A B ∴=，从而即得ABC △为等腰三角形.………………………………5分解法二：ABC △中，由sin 2sin A C a b =及正弦定理得，2sin cos sin A A C a b =，进而2cos a A ca b=. 2cos cA b∴=.………………………………2分由余弦定理，222 22b c a cbc b+-=，化简得22a b =，即a b =.所以，ABC △为等腰三角形.………………………………5分（2）由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===（2R 为ABC △的外接圆直径）及题意，2sin ,2sin ,2sin a A b B c C ===， 2(sin sin sin )a b c A B C ∴++=++………………………………7分由（1）知，A B =且πA B C ++=，π4sin 2sin 2, (0,2a b c A A A ∴++=+∈……………………………9分令π()4sin 2sin 2, (0,2f A A A A =+∈，则2()4cos 4cos24(2cos cos 1)4(2cos 1)(cos 1)f A A A A A A A '=+=+-=-+，易知，当π (0,)3A ∈时，()0f A '>，()f A 为递增的；当ππ (,)32A ∈时，()0f A '<，()f A 为递减的.………………………11分所以，当π 3A =时()f A 有最大值ππ2π(4sin 2sin333f =+=，也即ABC △周长的最大值为…………………………12分21.【解析】（1）由题意得，()x m m m y -+-⎪⎭⎫⎝⎛+=12411…………………………2分xm -+=39xx x -+++⋅=31129………………………4分x x -+-=1921，所以x x y -+-=1921（a a x -≤<20，a 为正实数）．…………………………5分（2）由（1）得x x y -+-=1921()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=19122x x ，…………………………7分易知20<<x ，函数递增，2>x ，函数递减．…………………………8分又02>-a a ，a 为正实数，故1>a ．…………………………9分所以，当22>-a a ，即2>a 时，31=+x ，2=x 时，函数取得最大值；……10分当22≤-a a ，即21≤<a 时，a a x -=2时，函数取得最大值．……11分综上所述，当2>a 时，展销费为2万元时，该花卉基地可以获得最大利润；当21≤<a 时，展销费为2()a a -万元时，该花卉基地可以获得最大利润.……12分22.【解析】（1）解法一：由题意，21ln ()e ,xxf x a x -'=+……………………………………1分 (1)e 1, (1) e.f a f a '∴=+=……………………………………2分从而，曲线()f x 在点(1,(1))f 处切线方程为e (e 1)(1)y a a x -=+-，……………………………………3分又该切线过点(2,1)，则有1e e 1a a -=+，………………………………4分解得0a =.………………………………5分解法二：由题意，21ln ()e ,xxf x a x -'=+………………………………1分 (1)e 1, (1) e.f a f a '∴=+=………………………………2分由曲线()f x 在点(1,(1))f 处切线过点(2,1)，则有(1)1e 112f a -=+-，………………………………4分即1e e 1a a -=+，解得0a =.………………………………5分（2）解法一：由题意，2()e ln ,(0)x g x x x x x -=-++>，则2211()(1)e1(1)(e )x x g x x x x x --'=-+++=+-.…………………………7分易知10x +>，记21()e x h x x-=-，则可知()h x 在(0,)+∞上递减，且1(1)10e h =->，1(2)02h =-<，0 (1,2)x ∴∃∈.使得0()0h x =.………………………………9分从而，当0(0,)x x ∈时()0h x >，即()0g x '>；当0(,)x x ∈+∞时()0h x <，即()0g x '<.()g x ∴在0(0,)x 递增，在0(,)x +∞递减.…………………………10分由0()0h x =可得020e1x x -=及00ln +2x x =，02max 0000 g ()()e ln 1212x x g x x x x -∴==-++=-+=<.(注：此处或者处理为“由0()0h x =可得020e1x x -=，max 000 g ()()1ln 1ln 22ln212x g x x x ∴==-++<-++=+<”）从而， ()2g x <.………………………12分解法二：记 ()ln 1,0h x x x x =-+>，则1()1,h x x'=-……………………6分易知，(0,1), ()0;(1,), ()0.x h x x h x ''∈>∈+∞<时时所以，()h x 在(0,1)递增，在(1,)+∞递减，则()(1)0h x h ≤=.……………………7分从而有()ln 10,ln 1;h x x x x x =-+≤≤- (e )ln e e 10,e 1.x x x x h x =-+≤≥+………9分由题意及上述结果，225()e ln [(2)1](1)3124x g x x x x x x x x x x -=-++≤--++-+=-+-≤<.…………………12分解法三：由题意，欲证2()eln 2,x g x x x x -=-++<，只需证2ln 2e x x x x x-+<+.…………6分记ln (),0.x xm x x x+=>则1ln (),xm x x-'=从而易知()m x 在e x =处有极大值也是最大值11e+.…………………8分记22()e ,0.x n x x x -=+>则222()e ,x n x x-'=-+易知()n x '在(0,)+∞递增，且11(1)20,(2)10e 2n n ''=-+<=-+>，因此0(1,2),x ∃0()0n x '=，()n x 有最小值0()n x .而021200221()e e 12ex n x x --=+>+=+…………………11分从而即证()()m x n x <，也即 ()2g x <.…………………12分。
安徽省2021年高三上学期期末数学试卷(理科)(I)卷
安徽省2021年高三上学期期末数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·上海月考) 已知，，若，则实数b的取值范围是（）A .B .C .D .2. （2分）若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是（）A . sin α+cos α＜0B . tan α﹣sin α＜0C . cos α﹣tan α＜0D . tan αsin α＜03. （2分） (2015高一上·霍邱期末) 若角α∈（﹣π，﹣），则﹣ =（）A . ﹣2tanαB . 2tanαC . ﹣tanαD . tanα4. （2分）对于下列四个命题,；,；,．其中的真命题是（）A . p1 ， p3B . p1 ， p4C . p2 ， p3D . p2 ， p45. （2分）变量x,y满足约束条件,则的最大值（）A . 2B . 3C . 4D . 86. （2分）下列命题正确的个数是（）①②③④（）=（）A . 1B . 2C . 3D . 47. （2分）(2020·安阳模拟) 要想得到函数的图象，可将函数的图象（）A . 向左平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向右平移个单位长度8. （2分）如图，一个几何体的三视图如图所示（正视图、侧视图和俯视图）为两个等腰直角三角形和一个边长为a的正方形，则其外接球的体积为（）A .B .C .D .9. （2分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 i 的值为（）A . 3B . 4C . 5D . 610. （2分） (2016高二上·定州开学考) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球半径为（）A . 2B .C .D . 211. （2分）(2019·江西模拟) 以双曲线上一点为圆心作圆，该圆与轴相切于的一个焦点，与轴交于两点，若，则双曲线的离心率是（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·新课标Ⅱ卷理) 若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（）A . ﹣1B . ﹣2e﹣3C . 5e﹣3D . 1二、填空题． (共4题；共4分)13. （1分）在平面直角坐标系xOy中，已知=（3，﹣1），=（0，2）．若•=0，=λ，则实数λ的值为________14. （1分）(2017·安庆模拟) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且，则Sn=________．15. （1分）已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD 为正三角形，AB=2AD=4，则球O的表面积为________16. （1分） (2019高一上·南京期中) 已知函数是定义在R上的偶函数，当时， .则当时，函数 ________三、解答题。
安徽省2021年高三上学期期末数学试卷(理科)A卷(精编)
安徽省2021年高三上学期期末数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） A=,B=,若，则的值的集合为（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二上·南山月考) 直线的倾斜角等于（）A . 0B .C .D .3. （2分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若且，则△ABC的面积为（）A .B .C .4. （2分）(2020·上饶模拟) 已知变量满足，则的最大值为（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高一上·桂林期中) 已知，则（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高二上·柳林期末) 如果命题”p或非q”与命题“非p“都是真命题，那么（）A . 命题p不一定是假命题B . 命题q一定是真命题C . 命题q不一定是假命题D . 命题p与命题q的真假性相同7. （2分） (2019高三上·内蒙古月考) 若将函数y＝2cosx（sinx+cosx）﹣1的图象向左平移个单位，得到函数是偶函数，则的最小正值是（）A .B .D .8. （2分） (2016高一下·邯郸期中) 对于非零向量、，下列命题中正确的是（）A . ⇒ =0或 =0B . ∥ ⇒在上的投影为C . ⇒ 2D . ⇒9. （2分） (2016高一上·黑龙江期中) 设函数f（x）= ，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0恰有5个不同的实数解x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， x5 ， h（x）=lg|x﹣4|，则h（x1+x2+x3+x4+x5）等于（）A . 3B . lg12C . lg20D . 4lg210. （2分）过点（1，1）的直线与圆相交于A，B两点，则|AB|的最小值为A .B . 4C . 5D .二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）某种种子每粒发芽的概率有都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为________．12. （1分） (2019高三上·上海月考) 方程的解 ________．13. （1分）(2017·日照模拟) 有下列各式：，，，…则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：________．14. （1分）(2018·广元模拟) 如图某几何体的三视图是直角边长为1的三个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为________．15. （1分） (2020高二下·泸县月考) 若抛物线上存在关于直线成轴对称的两点，则的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共55分)16. （10分）(2020·厦门模拟) 已知函数 .（1）求的单调递减区间；（2）在锐角中，，，分别为角，，的对边，且满足，求的取值范围.17. （10分）(2020高二下·应城期中) 在等比数列中，公比为，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和 .18. （5分）(2017·湘西模拟) 某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生（I）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率pi（i=1，2，3）；（II）甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程序重复运行n次后，统计记录输出y的值为i （i=1，2，3）的频数，以下是甲乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计图（部分）乙的频数统计图（部分）当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能系较大；（III）将按程序摆图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．19. （10分）(2017·贵港模拟) 如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AB=2A1B1=2CC1 ， M，N 分别为AC，BC的中点．（1）求证：AB1∥平面C1MN；（2）若AB⊥BC且AB=BC，求二面角C﹣MC1﹣N的大小．20. （10分） (2015高二上·淄川期末) 已知直线x+y﹣1=0与椭圆相交于A，B两点，线段AB中点M在直线上．（1）求椭圆的离心率；（2）若椭圆右焦点关于直线l的对称点在单位圆x2+y2=1上，求椭圆的方程．21. （10分）已知函数f（x）= f′（1）x+xlnx（1）求函数f（x）的极值；（2）若k∈Z，且f（x）＞k（x﹣1）对任意的x∈（1，+∞）都成立，求整数k的最大值．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共55分) 16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、。
2021届安徽省皖江名校联盟高三上学期第一次联考数学(理)试题(解析版)
故答案为:
【点睛】
本题考查等差和等比数列的应用，考查递推关系的应用，考查学生的分析能力和推导能力，属于难题.
16．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， ： 过点 且与 相切， 轴被 所截得的弦长为4，则 =________.
【答案】1或3
【解析】根据题意，得到圆心 在抛物线上，推出 ；再由抛物线的定义，得到 ；联立求出 ；再由圆的性质，由题中条件，得出 ，进而可求出 ，从而可求出 .
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，得到总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，基本事件的个数比，即为所求概率.
【详解】
从10所学校（其中6所中学4所小学）随机选出3所，所包含的基本事件共 个，
其中 中学与 小学被选中包含 个基本事件，
故所求概率为 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查求古典概型的概率，熟记概率计算公式即可，属于基础题型.
11．已知函数 ，则下列结论正确的是（）
A． 的最小正周期为 B． 的最大值为
C． 的图象关于 对称D． 的图象关于 对称
【答案】B
【解析】根据题意函数 不能简化为 的形式,
代入特殊点来验证可知 的最小正周期不为 , 的图象也不关于 对称
图象不关于 对称,结合导数可得 的最大值为 .
【详解】
解:因为函数 不能简化为 的形式,
18．如图，在三棱锥 中， ， ，侧面 底面 .
（1）求证： 是直角三角形；
（2）若 ，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）应用面面垂直及线面垂直的性质证明线线垂直，即可证 是直角三角形；（2）结合 ，过 作 垂足为 ，过 作 ，故 ； 、 、 两两垂直.构建以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴的空间直角坐标系并写出对应点的坐标，利用空间向量求二面角 余弦值；
2021年高三上学期期末联考数学(理)试卷 含答案
江西省师大附中 临川一中xx 学年2021年高三上学期期末联考数学（理）试卷 含答案数学（理）试卷朱建洲 吴财昌 xx.1一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意）1.若纯虚数满足，则实数等于（ ）A ．B ．或C ．D ．2.已知函数向右平移个单位后，所得的图像与原函数图像关于轴对称，则的最小正值为（ ）A ．B ．C ．D ． 3.若，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．4.如右图，当输入，时，图中程序运行后输出的结果为（ ）A ．3； 33B ．33；3 C.-17；7 D ．7；-175.定义为个正数的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（ ） A ． B ． C ． D ．6.若关于的不等式组，表示的平面区域是等腰直角三角形区域，则其表示的区域面积为（ ）A.或B.或C.或D.或7．如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．208.已知等差数列的第8项是二项式展开式的常数项，则（ ）A ．B ．C ．D ．9.不等式对于任意及恒成立，则实数的取值范围是（ ） A ．≤ B ．≥ C ．≤ D ．≤10.过双曲线的右焦点作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．11.已知是单位圆上互不相同的三点，且满足，则的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ．INPUT x INPUT y IF x <0 THEN x = y +3ELSE y = y -3 END IF PRINT x - y , y + x END12.已知函数，其在区间上单调递增，则的取值范围为（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数的图象在点处的切线方程是，则．14.已知,那么的值是．15.将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为，设任意投掷两次使两条不重合直线，平行的概率为，相交的概率为，若点在圆的内部，则实数的取值范围是．16.已知中，，点在平面内，且，则的最大值为．三、解答题（本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）在公比为的等比数列中，与的等差中项是.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若函数，，的一部分图像如图所示，，为图像上的两点，设，其中与坐标原点重合，，求的值.18.（本小题满分12分）xx年9月3日，抗战胜利70周年纪念活动在北京隆重举行，受到全国人民的瞩目。
2021届安徽省重点中学高三上学期数学理模拟试题及答案详细解析
3
3
3
故选 C．
4．B 5．D
【解析】由
a3-a5+a8＝6
得：a6＝6，
S11
11(a1 2
a11 )
66
，故选
B．
【解析】直线 l：kx-y-k+1＝0 恒过圆 C：(x-1)2+(y-2)2＝5 上的一定点(3，1)，故选 D．
6．C 【解析】该几何体是一个正四棱锥挖去一个圆柱．计算可得V 8 π ，故选 C． 34
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
6．如图是某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长为 1，则该几何体的体积为 （ ）
A． 8 π B．8-π C． 8 π D． 8 π
4
34
3
7．曲线 y＝2x2-4x-1 的一条切线 l 与直线 x+4y-3＝0 垂直，则切线 l 的方程为 （ ）
7．A 【解析】与直线 x+4y-8＝0 垂直的直线 l 的斜率为 4，y′＝4x-4，所以，切点为(2，-1)．切
线为 y+1＝4(x-2)，即 4x-y-9＝0．故选 A．
8．C 【解析】f(x)是奇函数，排除 B、D，当 0 x π 时，f(x)＞0，排除 A．故选 C． 4
9．D
【解析】设
x 2y 4 0 2．已知 x，y 满足 x y 2 0 ，则 z＝y-x 的最小值是 （ ）
y 0
A．4 B．-4 C．2 D．-2
3．函数
f
(x)
cos
x
2π 3
在[0，π]的单调递增区间是
（
）
A．
0 ,
2π 3
B．
π 3
,