2020高考总复习数学创新设计人教A版教师文档第七章 第2节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

第 2 节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
最新考纲 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的 几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些 简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
知识梳理
1.二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式
表示区域
1 为(2，3)，(2，－7)，(－2，1)，将三点坐标代入，可知 zmax＝2＋3×3＝3. 答案 3
角度 2 求非线性目标函数的最值
{ ) x ≥ 1，
y
【例 2－2】 (1)(2019·济南一模)若变量 x，y 满足约束条件 x－y ≤ 0， 则
x－2y＋2 ≥ 0， x
来自百度文库
的最大值为( )
3
A.1
名称
意义
由 x，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对 x，y 的约束 线性约束条件
条件
目标函数
关于 x，y 的解析式
线性目标函数
关于 x，y 的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数达到最大值或最小值的可行解
线性规划问题 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题
线 x－y＋2＝0 左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项 B.
答案 B
{ ) y ≤ x，
3.(必修 5P91 练习 T1(1)改编)已知 x，y 满足约束条件 x＋y ≤ 1， 则 z＝2x＋y＋1 y ≥ －1，
的最大值、最小值分别是( )
A.3，－3
B.2，－4
C.4，－2
D.4，－4
解析 不等式组所表示的平面区域如图所示.
3
解析 法一 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线 y＝
－3x，平移该直线，由图可知当平移后的直线经过直线 x＝2 与直线 x－2y＋4＝0
1
1
的交点
A(2，3)时，z＝x＋ y 3
取得最大值，故
zmax＝2＋3×3＝3.
法二 画出可行域(如上图)，由图知可行域为三角形区域，易求得顶点坐标分别
[微点提醒]
1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：
(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线； (2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常 选取(0，1)或(1，0)来验证. 2.判定二元一次不等式表示的区域 (1)若 B(Ax＋By＋C)>0 时，区域为直线 Ax＋By＋C＝0 的上方. (2)若 B(Ax＋By＋C)<0 时，区域为直线 Ax＋By＋C＝0 的下方.
1 观察图形可得，平面区域内的点到定点(－1，0)的距离的最小值为 ，故 z＝x2＋2x＋
2
1
3
y2 的最小值为 zmin＝4－1＝－4.
答案 (1)C (2)D
角度 3 线性规划中的参数问题
{ ) y ≥ 0，
【例 2－3】 (2019·西安质检)已知实数 x，y 满足约束条件 y－x＋1 ≤ 0， 若目 y－2x＋4 ≥ 0.
{ ) 3x－y ≤ 0，
x－ 3y＋2 ≥ 0， 表示的平面区域的面积是( ) y≥0
3 A.
2
B. 3
C. 2
D.2 3
{ ) x＋y－2 ≥ 0，
(2)(2018·深圳二模)已知直线 y＝kx－3 经过不等式组 2x－y ≤ 4， 所表示的平 y≤4
面区域，则实数 k 的取值范围是( )
[ ]7 3
x
x－a
3.当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件.
x＋y－4 ≤ 0，
{ ) ( ) 【训练 2】
(1)(2018·茂名二模)若实数 x，y 满足条件
x－2y＋2 ≥ x ≥ 0，
0， 则 1 x－y 2
y ≥ 0，
的最大值为( )
1
1
A.
B.
C.1
D.2
16
2
{ ) 2x－y ≥ 0，
( )1
∵直线 y＝kx－1 与 x 轴的交点为 ，0 ， k
( ) 3 2k－1
直线 y＝kx－1 与直线 y＝－x＋2 的交点为 ，
，
k＋1 k＋1
( ) 1
1 2k－1 1
∴三角形的面积为 × 2－ × ＝ ，
2
k k＋1 4
2
2
解得 k＝1 或 k＝ ，经检验，k＝ 不符合题意，∴k＝1.
7
表
示图形的面积等于( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 不等式组对应的平面区域如图，即对应的区域为正方形 ABCD，其中 A(0，
1)，D(1，0)，边长 AD＝ 2，则正方形的面积 S＝ 2× 2＝2.
答案 B
{ ) x－2y－2 ≤ 0，
5.(2018·全国Ⅰ卷)若 x，y 满足约束条件 x－y＋1 ≥ 0， 则 z＝3x＋2y 的最大值 y ≤ 0，
( ) y
3
表示平面区域内的点与原点的连线的斜率，由题意得点 1， 与原点的连线斜率
x
2
3
y
23
最大，即 的最大值为 ＝ .
x
12
(2)画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，z＝x2＋2x＋y2＝(x＋1)2＋
y2－1，其几何意义是平面区域内的点(x，y)到定点(－1，0)的距离的平方再减去 1.
( )1 1
其中 A(－1，－1)，B(2，－1)，C ， ， 22
画直线 l0：y＝－2x，平移 l0 过 B 时，zmax＝4， 平移 l0 过点 A 时， zmin＝－2. 答案 C
{ ) 4.(2019·合肥一中月考)在平面直角坐标系
xOy
中，不等式组
1 ≤ x＋y ≤ 3， －1 ≤ x－y ≤ 1
为________. 解析 画出可行域如图阴影部分所示.
3z 由 z＝3x－4y，得 y＝ x－ ，
44 3 作出直线 y＝ x，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点 A(1，1)处时取 4 最小值，故 zmin＝3×1－4×1＝－1.
答案 －1
考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
【 例 1】 (1)(2019·北 京 西 城 区 二 模 )在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 不 等 式 组
7
答案 D
考点二 线性规划中的最值问题 多维探究
角度 1 求线性目标函数的最值
【 例 2－ 1】 (一 题 多 解 )(2018·全 国 Ⅲ卷 )若 变 量 x， y 满 足 约 束 条 件
{ ) 2x＋y＋3 ≥ 0，
1
x－2y＋4 ≥ 0， 则 z＝x＋ y 的最大值是________.
x－2 ≤ 0，
×2× 3＝ 3.
{ ) x＋y－2 ≥ 0，
(2)画出不等组 2x－y ≤ 4， y≤4
所表示的平面区域，如图所示，直线 y＝kx－3 过定点 M(0，－3)，
{ ) 由
y＝4， x＋y－2＝0，
解得
A(－2，4)，
当直线 y＝kx－3 过点 A 时，
－3－4 7
k＝
＝－ ；
0－（－2） 2
{ ) 由
标函数 z＝y－ax(a≠0)取得最大值时的最优解有无数个，则 a 的值为( )
A.2
B.1
C.1 或 2
D.－1
解析 画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.
由 z＝y－ax(a≠0)得 y＝ax＋z. 因为 a≠0，所以要使 z＝y－ax 取得最大值时的最优解有无数个，故必有 a>0. ①当直线 y＝ax＋z 与直线 AC 重合，即 a＝1 时，直线 y＝ax＋z 在 y 轴上的截距 最大，此时 z 取得最大值，且最优解有无数个，符合条件；②当直线 y＝ax＋z 与 直线 BC 重合时，直线 y＝ax＋z 在 y 轴上的截距最小，此时 z 取得最小值，不符 合条件.故 a＝1. 答案 B 规律方法 1.先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.
{ ) y ≤ －x＋2，
【训练 1】 (2019·玉溪模拟)已知不等式组 y ≤ kx－1， 所表示的平面区域为面 y≥0
1 积等于 的三角形，则实数 k 的值为( )
4
1
1
A.－1
B.－
C.
D.1
2
2
{ ) y ≤ －x＋2，
解析 由题意知 k>0，且不等式组 y ≤ kx－1， 所表示的平面区域如图所示. y≥0
B.3
C.
D.5
2
{ ) x－y＋2 ≥ 0，
(2)若 x，y 满足约束条件 2y－1 ≥ 0， 则 z＝x2＋2x＋y2 的最小值为( ) x－1 ≤ 0，
1
1
1
3
A.
B.
C.－
D.－
2
4
2
4
( )3
解析 (1)不等式组表示平面区域是以(1，1)，1， ，(2，2)为顶点的三角形区域 2
(包含边界)(图略).
一般在平面区域的顶点或边界处取得.
2.当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题.常见代数式
的几何意义：
(1) x2＋y2表示点(x，y)与原点(0，0)的距离， （x－a）2＋（y－b）2表示点(x，y)与点(a，
b)的距离；
y
y－b
(2) 表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率， 表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率.
为________. 解析 作出可行域为如图所示的△ABC 所表示的阴影区域，作出直线 3x＋2y＝0， 并平移该直线，当直线过点 A(2，0)时，目标函数 z＝3x＋2y 取得最大值，且 zmax＝ 3×2＋2×0＝6.
答案 6
{ ) x－y ≥ 0，
6.(2017·全国Ⅲ卷)若 x，y 满足约束条件 x＋y－2 ≤ 0， 则 z＝3x－4y 的最小值 y ≥ 0，
令 z＝x－y，由图知当直线 z＝x－y 经过点(0，1)时，z 取得最小值，即 zmin＝0－1＝－ 1，
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)不 等 式 Ax＋ By＋ C＞ 0 表 示 的 平 面 区 域 一 定 在 直 线 Ax＋ By＋ C＝ 0 的 上 方.( ) (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.( ) (3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.( ) (4)在目标函数 z＝ax＋by(b≠0)中，z 的几何意义是直线 ax＋by－z＝0 在 y 轴上的 截距.( ) 解析 (1)不等式 x－y＋1>0 表示的平面区域在直线 x－y＋1＝0 的下方.
域.
2.求平面区域的面积：
(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件
转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；
(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四
边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角
形分别求解再求和.
z (4)直线 ax＋by－z＝0 在 y 轴上的截距是 .
b 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
{ ) 2.(必修
5P86T3
改编)不等式组
x－3y＋6 ≥ 0， x－y＋2 < 0
表示的平面区域是( )
解析 x－3y＋6≥0 表示直线 x－3y＋6＝0 及其右下方部分，x－y＋2＜0 表示直
A. － ， 22
( ] [ ) 7 3
B. －∞，－ ∪ ，＋∞ 22
[ ]7 7
C. － ， 24
( ] [ ) 7 7
D. －∞，－ ∪ ，＋∞ 24
解析 (1)作出不等式组表示的平面区域是以点 O(0，0)，B(－2，0)和 A(1， 3)为 1
顶点的三角形区域，如图所示的阴影部分(含边界)，由图知该平面区域的面积为 2
(2)已知实数 x，y 满足约束条件 y ≥ x， 若 z＝2x＋y 的最小值为 3，则实数 b y ≥ －x＋b，
＝( )
9
3
3
A.
B.
C.1
D.
4
2
4
x＋y－4 ≤ 0，
{ ) 解析 (1)作出
x－2y＋2 ≥ x ≥ 0，
0，
的可行域如图，
y≥0
( )1 x－y
求 的最大值转化为求 x－y 的最小值， 2
Ax＋By＋C>0 直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧的所有点 不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0 组成的平面区域
包括边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分
2.点 P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)位于直线 Ax＋By＋C＝0 的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋ C)(Ax2＋ By2＋ C)<0； 位 于 直 线 Ax＋ By＋ C＝ 0 同 侧 的 充 要 条 件 是 (Ax1＋ By1＋ C)(Ax2＋By2＋C)>0. 3.线性规划的有关概念
2x－y＝4， x＋y－2＝0，
解得
B(2，0)，
－3－0 3
当直线 y＝kx－3 过点 B 时，k＝
＝.
0－2 2
( ] [ ) 7 3
由图形知，实数 k 的取值范围是 －∞，－ ∪ ，＋∞ . 22
答案 (1)B (2)B
规律方法 1.二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定