化工计算方法-3-插值法
化工计算方法-3-插值法
xk 1 xk 由两点式可看出， L1(x) 是由两个线性函数 x x k 1 x xk 的线性组合得到的， lk ( x ) , l k 1 ( x ) x k x k 1 x k 1 x k
线性插值多项式可写为 满足
l k ( xk ) 1 l k 1 ( x k ) 0
l ( x) y ( x
k k k 0 k 0 j 0 jk
n
n
n
x xj
k
xj
) yk
j , k 0, 1, , n
• 如果节点数有n+1个，称为 全节点插值 插值公式通过n+1个插值节点，是唯一确定的 拉格朗日n次插值 的几何意义 是否通过的点越多, 插值次数越高 越好? #
• 3.2 拉格朗日(Lagrange)插值 3.2.1 线性插值（2个节点）
•
线性插值——用直线方程 L1(x) 近 似列表函数式 f(x) 需要构造一个直线方程（线性插值 多项式）
温度 x
x0= 0 x1= 10 x2= 20
饱和蒸汽压 f(x)
y0=0.6082 y1= 1.2262 y2= 2.3346
xk-1 xk f(x) f(xk-1) f(xk) f(xk+2) L2(x)
x
9
3.2.3 n次插值
线性插值和插值基函数为 L1 ( x ) yk l k ( x ) yk 1l k 1 ( x )
x x k 1 x xk lk ( x ) , l k 1 ( x ) x k x k 1 x k 1 x k
12
•用11点构造10次多项式插值的龙格现象
1 1 25 x 2
• 某些点插值结果误差很大，函数两端震荡加剧 • 在节点很多的场合，通常不宜采用高次插值 • 分段的低阶插值往往效果更好
插值计算法公式
插值计算法公式
插值计算法是一种数值分析方法，用于在给定数据点的情况下，通过插值计算来估计未知数据点的值。
插值计算法的公式如下：
f(x) = Σ[i=0,n] yi * Li(x)
其中，f(x)表示要估计的未知数据点的值，yi表示已知数据点的值，Li(x)表示拉格朗日插值多项式，n表示已知数据点的数量。
拉格朗日插值多项式的公式如下：
Li(x) = Π[j=0,n,j≠i] (x - xj) / (xi - xj)
其中，i表示当前正在计算的已知数据点的下标，j表示其他已知数据点的下标，xj表示其他已知数据点的横坐标，xi表示当前正在计算的已知数据点的横坐标。
插值计算法的应用非常广泛，例如在地图制作、气象预报、股票分析等领域都有着重要的应用。
在地图制作中，插值计算法可以用来估计未知地点的高度、温度等信息，从而制作出更加精确的地图。
在气象预报中，插值计算法可以用来估计未来某个时间点的气温、降雨量等信息，从而提高气象预报的准确性。
在股票分析中，插值计算法可以用来估计未来某个时间点的股票价格，从而帮助投资者做出更加明智的投资决策。
插值计算法是一种非常重要的数值分析方法，可以用来估计未知数据点的值，从而在各个领域中发挥着重要的作用。
几种常用的插值方法
几种常用的插值方法数学系 信息与计算科学1班 李平指导老师：唐振先摘要:插值在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科学研究中有许多直接的应用,在很多领域都要用插值的办法找出表格和中间值,插值还是数值积分微分方程数值解等数值计算的基础。
本文归纳了几种常用的插值方法,并简单分析了其各自的优缺点。
关键词:任意阶多项式插值,分段多项式插值。
引言:所谓插值,通俗地说就是在若干以知的函数值之间插入一些未知函数值,而插值函数的类型最简单的选取是代数多项式。
用多项式建立插值函数的方法主要用两种：一种是任意阶的插值多项式,它主要有三种基本的插值公式：单项式,拉格朗日和牛顿插值；另一种是分段多项式插值,它有Hermite 和spine 插值和分段线性插值。
一．任意阶多项式插值：1.用单项式基本插值公式进行多项式插值：多项式插值是求通过几个已知数据点的那个n-1阶多项式,即P n-1(X)=A 1+A 2X+…A n X n-1,它是一个单项式基本函数X 0,X 1…X n-1的集合来定义多项式,由已知n 个点（X,Y ）构成的集合,可以使多项式通过没数据点,并为n 个未知系数Ai 写出n 个方程,这n 个方程组成的方程组的系数矩阵为Vandermonde 矩阵。
虽然这个过程直观易懂,但它都不是建立插值多项式最好的办法,因为Vandermonde 方程组有可能是病态的,这样会导致单项式系数不确定。
另外,单项式中的各项可能在大小上有很大的差异,这就导致了多项式计算中的舍入误差。
2.拉格朗日基本插值公式进行插值： 先构造一组插值函数L i （x ）=011011()()()()()()()()i i n i i i i i i n x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+--------，其中i=0，…n.容易看出n 次多项式L i （x ）满足L i （x ）=1，（i=j ）；L i （x ）=0，（i ≠j ），其中i=0，1…n ，令L i （x ）=0()ni i i y l x =∑这就是拉格朗日插值多项式。
化工数值方法(0_绪论)
第一章 绪论
4．应用工具箱 MATLAB包含两部分内容：基本部分和各种
可选工具箱。基本部分有数百个内部函数。 工具箱分两大类：功能性和学科性工具箱。 功能性工具箱主要用来扩充其符号计算功能、
可视建模仿真功能及文字处理功能等。 学科性工具箱专业性比较强，如控制系统工
具箱、信号处理工具箱、神经网络工具箱、
第一章 绪论
最优化工具箱、金融工具箱等，这些工具箱 都是由该领域内学术水平很高的专家编写的 用户可以直接利用这些工具箱进行相关领域 的科学研究 MATLAB具备很强的开放性。除内部函数外， 所有MATLAB基本文件和各工具箱文件都是 可读可改的源文件，用户可通过对源文件的 修改或加入自己编码的文件去构成新的专用 工具箱。
第一章 绪论
3．图形功能 MATLAB 提供了两个层次的图形命令：一种
是对图形句柄进行的低级图形命令，另一种 是建立在低级图形命令之上的高级图形命令。 高级图形命令可轻易地绘制二维、三维图形， 并可进行图形和坐标的标识、坐标控制、图 形迭绘、视角和光照设计、色彩精细控制等。 利用MATLAB 图形句柄命令，可以随心所欲 地对图形进行各种操作，为用户在图形表现 方面开拓了一个广阔的空间。
第一章 绪论
现代化学及化工发展一个重要标志是模型化
首先根据过程中化学或物理实际现象及 真实过程的物理概念．经过适宜的假设和简 化建立过程的物理模型，然后再经过必要的 归纳和数学推导建立数学模型；最后应用数 学方法求解这些数学模型，再应用这些数学 解来定量地说明实际过程，从而达到定量分 析和预测实际过程的目的。
1.3 MATLAB的几个简单应用实例 求解线性方程组 AX＝B，其中
第一章 绪论
解 在MATLAB命令窗口输入命令： a=[l,1.5,2,9,7;0,3.6,0.5,-4,4;7,10, -3,22,33;3,7,8.5,21,6;3,8,0,90,-20] b=[3;-4;20;5;16]; x=a\b
surfer 3 插值方法
is the interpolated value for grid node "j"; Zi are the neighboring points; dij is the distance between the grid node "j" and the neighboring point "i";
中等数据量（250到1000数据点），线性内插三角 形法网格化很快，并生成很好代表原始数据特点的 网格。Kriging法和径向基本函数法较慢，也可以产 生高质量的网格。 大的数据量(>1000数据点)，最小曲率法最快，网格 足以代表原始数据特点。线性内插三角形法网格化 较慢，网格有足够的代表性。
以下的建议仅仅是一般的推荐
径向基本函数法类似Kriging法中的变异图。 在大多数情况下，多重二次曲面函数是最合 乎要求的。 R2参数是一个决定锐化或平滑的参数。 R2值愈大，山顶愈圆滑，等值线愈平滑。R2 合理的实验值是在一个平均样本间距和半个 平均样本间距之间。
最近临点法（ 最近临点法（Nearest Neighbor） ）
径向基本函数法 （Radial Basis Functions） ）
径向基本函数法是一种准确插值的方法。其 中的多重二次曲面法被许多人认为是最好的 方法。在插值生成一个网格结点时，这些函 数确定了使用数据点的最优权重组。 径向基本函数法的函数类型包括：
反比多重二次曲面法； 多重对数； 多重二次曲面法； 自然三次样条和薄板样条。
平滑插值用于并不十分依赖原始数据，只试 图了解Z值的总体变化趋势的情况。 平滑插值不会给任何原始数据点以权重1，即 使某网格结点正好位于原始数据点。
距离反比法 （Inverse Distance to a Power）
工程中的计算方法课件4 插值
4 插值插值在科学计算和工程技术中有广泛应用。
例如由实验得到一系列点x0, x1,…, x n及对应的值y0, y1,…, y n，要构造函数y = f (x)，使y i=f(x i)，这就是简单的插值问题。
插值核心问题是：插值函数的构造、插值函数的存在性、唯一性以及误差分析等。
图4.1 插值在CAD中的应用4.1 代数插值图4.2 插值一个基本的插值问题就是构造函数)(x f y =的近似表达式。
常用方法是构造n 次多项式)(x P n ，使i i n y x P =)(，n i ,,1,0 =。
作为)(x f 的近似表达式，称)(x P n 为)(x f 的插值函数，n x x x ,,,10 为插值节点。
以代数多项式作为工具来构造插值的方法叫做代数插值，代数插值的优点是基于多项式求值方便且连续可导的特性。
设n x x x <<< 10为插值节点，令n x b x a ==,0，称],[b a 为插值区间。
设插值多项式为：n n n x a x a x a a x P ++++= 2210)(，由插值条件n i y x P i i ,,1,0,)( ==，得到如下线性代数方程组：n i y a x a x a i n n i i 2,1,0,110==+++⋅该线性方程组的系数行列式为∏≤<≤-==ni j jin nn nn nx x x x x x x x x x x D 0212110200)(111，D 为范得蒙行(Vandermonde)列式。
由于对于任何满足n i j ≤<≤0的j i ,，都有j i x x ≠，所以0≠D ，即该线性方程组有唯一解，故)(x P n 由n a a a ,,,10 唯一确定。
4.2 拉格朗日插值图4.3 线性插值与抛物线插值已知)(x f y =在给定节点10,x x 上的值为10,y y 。
线性插值就是构造一次多项式b ax x P +=)(1，使它满足条件001)(y x P =，111)(y x P =。
插值法计算方法举例
插值法计算方法举例插值法是一种数值逼近方法，用于在给定的一些数据点之间进行数值求解。
插值法的基本思想是通过已知数据点的函数值来构建一个插值函数，并利用该插值函数来估计未知数据点的函数值。
以下是一些常见的插值方法。
1.线性插值：线性插值是最简单的插值方法之一、假设我们有两个已知数据点 (x1, y1) 和 (x2, y2)，我们想要在这两个数据点之间估计一个新的点的函数值。
线性插值方法假设这两个点之间的函数关系是线性的，即 y = f(x)= mx + c，其中 m 是斜率，c 是截距。
通过求解这两个点的斜率和截距，我们可以得到插值函数的表达式，从而计算出新点的函数值。
2.拉格朗日插值：拉格朗日插值是一种经典的插值方法，它利用一个多项式函数来逼近已知数据点之间的关系。
对于一组已知数据点 (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值方法构建一个函数 L(x) 来逼近真实的函数f(x)。
L(x) 的表达式为 L(x) = y1 * L1(x) + y2 * L2(x) + ... + yn* Ln(x)，其中 Li(x) 是拉格朗日插值基函数，定义为Li(x) = Π(j=1to n, j≠i) (x - xj) / (xi - xj)。
通过求解 L(x) 的表达式，我们可以计算出任意新点的函数值。
3.牛顿插值：牛顿插值是另一种常用的插值方法，它是通过一个递推的过程来构建插值函数。
对于一组已知数据点 (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，牛顿插值方法定义一个差商表，然后根据该表构建一个递推的多项式函数来逼近真实的函数 f(x)。
差商表的计算使用了递归的方式，其中第 i 阶差商定义为 f[xi, xi+1, ..., xi+j] = (f[xi+1, xi+2, ..., xi+j] - f[xi, xi+1, ..., xi+j-1]) / (xi+j - xi)。
插值法计算过程
插值法计算过程
插值法是一种利用已知数据点来推测未知位置的方法。
下面是一个三点插值（线性插值）的计算过程的示例：
假设已知点为 (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)，要计算在 x 点的插值结果 y。
1. 计算斜率：
m1 = (y2 - y1) / (x2 - x1)
m2 = (y3 - y2) / (x3 - x2)
斜率为两个点之间的纵坐标差除以横坐标差。
2. 计算插值结果：
如果x1 ≤ x < x2：
y = y1 + (x - x1) * m1
如果x2 ≤ x ≤ x3：
y = y2 + (x - x2) * m2
插值结果为已知点的纵坐标加上横坐标差乘以斜率。
通过以上计算过程，可以得到在给定的 x 值处的插值结果 y。
需要注意的是，插值法只能用于已知点之间的推测，对于超出已知点范围的插值结果可能不准确。
此外，还有其他更高阶的插值方法，如二次插值、三次样条插值等，可以提高插值结果的准确性。
化工原理第3章课后习题参考答案
第三章非均相物系的分离和固体流态化3. 在底面积为40m²的除尘室内回收气体中的球形固体颗粒。
气体的处理量为3600m³/h，固体的密度ρs=3600kg/m³，操作条件下气体的密度ρ=1.06kg/m³，粘度为3.4×10-5Pa•s。
试求理论上完全除去的最小颗粒直径。
解：理论上完全除去的最小颗粒直径与沉降速度有关。
需根据沉降速度求。
1）沉降速度可根据生产能力计算ut = Vs/A= (3600/3600)/40 = 0.025m/s （注意单位换算）2）根据沉降速度计算理论上完全除去的最小颗粒直径。
沉降速度的计算公式与沉降雷诺数有关。
（参考教材P148）。
假设气体流处在滞流区则可以按ut = d2（ρs- ρ）g/18μ进行计算∴dmin2 = 18μ/（ρs- ρ）g ·ut可以得到dmin= 0.175×10-4 m=17.53）核算Ret = dminutρ/μ< 1 ，符合假设的滞流区∴能完全除去的颗粒的最小直径d = 0.175×10-4 m = 17.5 μm5. 含尘气体中尘粒的密度为2300kg/m³，气体流量为1000m³/h，粘度为3.6×10-5Pa•s密度为0.674kg/m³，采用如图3-8所示的标准型旋风分离器进行除尘。
若分离器圆筒直径为0.4m，试估算其临界直径，分割粒径及压强降。
解：P158图3-7可知，对标准旋风分离器有：Ne = 5 ，ξ= 8.0 B = D/4 ，h = D/2(1) 临界直径根据dc = [9μB/(πNeρsui )]1/2 计算颗粒的临界直径其中：μ=3.6×10-5Pa•s；B = D/4=0.1m；Ne = 5；ρs=2300kg/m³；将以上各参数代入，可得dc = *9μB/(πNeρsui )+1/2 = *9×3.6×10×0.25×0.4/(3.14×5×2300×13.89)+1/2= 8.04×10-6 m = 8.04 μm（2）分割粒径根据d50 = 0.27[μD/ut（ρs- ρ）]1/2 计算颗粒的分割粒径∴d50 = 0.27[3.6×10-5×0.4/(13.889×2300)]1/2= 0.00573×10-3m = 5.73μm（3）压强降根据△P = ξ·ρui2/2 计算压强降∴△P = 8.0×0.674×13.8892/2 = 520 Pa7、实验室用一片过滤面积为0.1m2的滤叶对某种颗粒在水中的悬浮液进行实验，滤叶内部真空读为500mmHg，过滤5min的滤液1L，又过滤5min的滤液0.6L，若再过滤5min得滤液多少？已知：恒压过滤，△P =500mmHg ，A=0.1m，θ1=5min时，V1=1L；θ2=5min+5min=10min 时，V2=1L+0.6L=1.6L求：△θ3=5min时，△V3=？解：分析：此题关键是要得到虚拟滤液体积，这就需要充分利用已知条件，列方程求解思路：V2 + 2VVe= KA2θ（式中V和θ是累计滤液体积和累计过滤时间），要求△V3，需求θ3=15min时的累计滤液体积V3=？则需先求Ve和K。
计算方法—插值法
2018/10/20
lk ( x) lk 1 ( x) 1
13
2.2 拉格朗日插值
Chapter2 插值法
L1(X)
L1(X)
∴ lg2.718 ≈L1 (2.718)=0.43428
2018/10/20 14
2.2 拉格朗日插值
2-2 线性插值与抛物插值
利用线性插值法对函数y=f(x) 进行逼近时，即用直线y=L1(x)代替 曲线y=f(x)。
则，
1 1 1 1 a0 7 1 1 1 a 7 1 1 1 2 4 8 a2 4 1 5 25 125 a3 35
解方程组得a0=10,a1=5,a2=-10,a3=2 即P3(x)=10+5x-10x2+2x3
即要求该简单函数曲线要经过y=f(x)上已知的
这n+1个点(x0,y0),(x1,y1), …,(xn,yn),同时在其它
x∈[a,b]上要估计误差R(x)=f(x)-P(x)。
2018/10/20
4
2.1 引言
重要术语 对于n+1个基点的插值问题，我们称： f(x) 为被插值函数； P(x)为插值函数；
2018/10/20 17
2.2 拉格朗日插值
2-3 拉格朗日插值多项式
Chapter2 插值法
已知y=f(x)在两两互异节点x0,x1,…,xn的函数值y1,y2,…,yn,
求n次多项式Ln(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,
满足插值条件Ln(xi)=yi. i=0,1,2,3,…,n。 基函数法：求n+1个n次多项式l0(x),l1(x),…,ln(x) 使
cubic interpolation method
cubic interpolation method
立方插值法是一种用于数据插值的数值方法，它利用三次函数对给定数据点进行插值。
与线性插值法相比，立方插值法可以提供更加光滑和连续的插值结果。
这是因为三次函数可以更好地逼近复杂的曲线形状，而线性函数只能逼近直线。
立方插值法的基本思想是，对于给定的一组数据点，利用三次函数逼近每个相邻数据点之间的曲线段，并将这些曲线段拼接在一起形成一个整体的函数。
这个函数可以用来对任意数据点进行插值。
在立方插值法中，每个曲线段都可以表示为一个三次函数：
f(x) = ax + bx + cx + d
其中，a、b、c和d是常数，可以通过一些条件来确定。
通常，这些条件包括：
1. 曲线段的端点必须经过相邻的两个数据点。
2. 曲线段的一阶导数在端点处必须与相邻曲线段的一阶导数相等。
3. 曲线段的二阶导数在端点处必须与相邻曲线段的二阶导数相等。
通过这些条件，可以得到一个关于a、b、c和d的线性方程组。
解出这个方程组后，就可以得到每个曲线段的三次函数表达式。
使用立方插值法进行插值时，首先确定目标数据点所在的曲线段，然后使用对应的三次函数对目标数据点进行插值。
总之，立方插值法是一种强大和广泛应用的数据插值方法，它可
以提供精确和光滑的插值结果。
化工数值计算-3
法。 若有已知的n+1个数据点:
则可假设某n次多项式
通过上述n+1个数据点。该n次多项式便可作为n+1个数据点的插
值方程。 也可以把n次多项式写成如下形式:
式(3-7)与式(3-6)的形式不同,但本质是相同的。 为了找出式(3-7)中各未知系数,首先把第一组数据(x0,y0)代入式(37),得
注意,只有当数据点的一阶差分为常数或接近于常数时,才允许用 线性插值。通常在使用线性插值之前,应该首先检查数据点的一 阶差分,看它是否为常数。或者,两插值结点相距较短时,可直接应 用线性插值。
3.1.2 拉格朗日多项式插值法
3.1.2.1 方法概述 拉格朗日(Lagrange)多项式插值法是一种比较简单而有效的插值
上述表达式所使用的场合有所不同,理论分析
图3-2 线性插值法示意
时常用式(3-3),实际计算时常用式(3-4)。 根据式(3-4),只要已知点(x0,y0)和(x1,y1),便可求出位于区间[x0,x1]中 的任一x值所对应的y值。若已知函数y = f(x)在n+1个点x0,x1,…,xn处 的值分别为y0,y1,…,yn;且x0<x1<…<xn,而x在x0与xn之间。这时,要计算 y值,首先必须确定x值位于[x0,x1],[x1,x2],…,[xn-1,xn]中的哪一个区间。 假定x在区间[xi-1,xi]中,则可将式(3-4)改写为:
在所给函数表中再插进一些所需要的中间值,称
为插值。插值方法的基本思想是设法构造某个
简单函数y = p(x),作为f(x)的近似表达式,然后计
算p(x)的值以得到f(x)的近似值。
近似函数的类型有多种,但最常用的是代
图3-1 插值法的几何意义
2 天津大学化工数学第二章 1 插值法
f [x0 , x1, x2 ] f [x0 , x2 , x1] f [x1, x0 , x2 ] f [x1, x2 , x0 ] f [x2 , x0 , x1] f [x2 , x1, x0 ]
➢应用对象的特点： 1. 自变量与函数值一一对应； 2. 函数值具有相当可靠的精确度。
➢插值法的用途： 1. 求函数值； 2. 求数值微、积分； 3. 在某些行业中具有实际应用。
➢代数插值法定义： 如果已知函数 y f (x) 在区间 a,b 上 n 1
个互异点， a x0 x1 x2 xn b 上的函数值
yk
1
(
x)l
(1) k 1
(
x)
Lagrange线性插值的几何意义
二、Lagrange二次插值
已知插值节点 xk1, xk , xk1 处的函数值 yk1 f (xk1 ), yk f (xk ), yk1 f (xk1 )
求2次插值多项式 L2 (x)
解：
L1 (x)
yk
(x (xk
xk1 )(x xk1 ) xk1 )(xk xk1 )
y k 1
(x xk1)(x xk ) (xk1 xk1 )(xk1 xk )
l
( k
2) 1
(
x)
(x (xk 1
xk xk
)( x xk1 ) )( xk 1 xk 1 )
解： 用线性插值计算 sin0.3367＝0.330365 用二次插值计算 sin0.3367＝0.330374
二次插值结果 与正弦函数表 完全一致
例2:已知 丙烷的导热系数数据如下，求丙烷在1.013×104kN/m2
化工数值计算教学大纲-化学工程与工艺专业
《化工数值计算》课程教学大纲课程代码：080132066课程英文名称：Chemical Engineering Numerical Calculation课程总学时：24 讲课：16 实验：0 上机：8适用专业：化学工程与工艺大纲编写（修订）时间：2017.7一、大纲使用说明（一）课程的地位及教学目标本课程是化学工程与工艺专业的专业基础选修课程，主要讲授常见的数值计算方法及其在化工计算中的应用。
化工过程研究、开发与设计的重要方法是模型化，而描述实际化工过程的数学模型通常很难获得解析解，需要借助数值方法求解。
该课程与计算机应用密切结合，具有较强的实用性。
通过本课程的学习，学生将达到以下要求：1.掌握数值计算的基本概念、理论和常用的计算方法；2.能够针对复杂的生产操作过程及设备建立数学模型，并使用适当的计算方法进行求解计算；3.能够根据算法，采用计算机编程计算。
（二）知识、能力及技能方面的基本要求1.基本知识：掌握数值计算的基本概念，熟悉化工计算中常见的数值计算方法，熟悉常用的数值计算软件。
2.基本理论和方法：掌握化工计算中常见的数值计算方法的原理和步骤，如非线性代数方程（组）的求解、插值和拟合、大型代数方程组的求解、数值微分和数值积分、微分方程（组）的数值算法等。
3.基本技能:具备应用专业基础知识对实际问题建模的能力，具有一定的数值计算能力，具有较强的计算机辅助计算能力。
（三）实施说明1.教学方法：授课中强调算法的实现步骤，对算法的原理只做初步理解。
注意授课内容与相关课程的联系，选择计算实例要有代表性，对相关课程的学习有一定的促进作用。
2.教学手段：采用多媒体和板书相结合的方式。
（四）对先修课的要求本课程应在高等数学、物理化学、化工原理、化学反应工程、化工热力学等课程之后开设。
（五）对习题课、实践环节的要求1.本课程不单独安排习题课，授课中以算法的应用为主，在讲授每种算法之后，均列举化工问题实例，进行课堂实练。
surfer 3 插值方法
Shepard‘s法与距离反比法插值法相似，但没 有产生等值线“牛眼”效应的缺点。 线性内插三角形法对于中等数量的数据点， 网格化很快。一个优点是，当有足够的数据 点时，三角形法可以反映出数据文件所内含 的不连续性。例如断层线。
径向基本函数法 （Radial Basis Functions） ）
径向基本函数法是一种准确插值的方法。其 中的多重二次曲面法被许多人认为是最好的 方法。在插值生成一个网格结点时，这些函 数确定了使用数据点的最优权重组。 径向基本函数法的函数类型包括：
反比多重二次曲面法； 多重对数； 多重二次曲面法； 自然三次样条和薄板样条。
距离反比法最快，但是围绕数据点，有产生“牛眼” 效应的趋势。 大部分情况下，具有线性变异图的Kriging法是十分 有效的，应首先予以推荐。其次是很接近的经向基 本函数法中的多重二次曲面法。这两种方法都能产 生较好地代表原始数据的网格。但对于大量数据的 网格化，Kriging法比较慢。
最小曲率法构成平滑的曲面，且多情况下， 网格化速度也快。 多项式回归是一种趋势面分析，反映整体趋 势。对于任何数量的数据点，网格化的速度 都非常快，但构成的网格缺少数据的局部细 节。 径向基本函数法十分灵活，与Kriging法产生 的网格十分类似。
径向基本函数法类似Kriging法中的变异图。 在大多数情况下，多重二次曲面函数是最合 乎要求的。 R2参数是一个决定锐化或平滑的参数。 R2值愈大，山顶愈圆滑，等值线愈平滑。R2 合理的实验值是在一个平均样本间距和半个 平均样本间距之间。
最近临点法（ 最近临点法（Nearest Neighbor） ）
距离反比法 （Inverse Distance to a Power）
一种加权平均插值的网格化方法。 在计算一个网格结点的Z值时，一定范围内，所有 数据点的权重的和为1，权重与某数据点到该结点 距离成反比，愈靠近该结点的原始数据点，其权重 愈大。 如果网格结点正好位于某原始数据点，该结点的Z 值就等于此原始数据点的Z值，即此原始数据点对 于该结点的权重为1，而其它数据点对于该结点的 权重为0。 距离反比法是一种准确插值方法。
几种插值法简介
举例来看：可以认为某水文要素T 随时间t 的变化是连续的，某一个测点的水文要素T 可以看作时间的函数T=f(t)，这样在实际水文观测中，对测得的（n+1）个有序值进行插值计算来获取任意时间上的要素值。
①平均值法：若求T i 和T i+1之间任一点T ，则直接取T 为T i 和T i+1的平均值。
插值公式为：T=T i +T i+12②拉格朗日（Lagrange ）插值法：若求T i 和T i+1之间任一点T ，则可用T i-1、T 1、T i+1三个点来求得，也可用T i 、T i+1、T i+2这三个点来求得。
前三点内插公式为：T=(t-t i )(t-t i+1)(t i-1-t i )(t i-1-t i+1) T i-1+(t-t i-1)(t-t i+1)(t-t i-1)(t-t i+1) T i +(t-t i )(t-t i-1)(t i+1-t i )(t i+1-t i-1) T i+1后三点内插公式为：T=(t-t i+1)(t-t i+2)(t i -t i+1)(t i -t i+2) T i +(t-t i )(t-t i+2)(ti-t i )(t i -t i+2) T i+1+(t-t i )(t-t i+1)(t i+2-t i )(t i+2-t i+1) T i+2为提高插值结果可靠性，可将前后3点内插值再进一步平均。
③阿基玛（Akima ）插值法：对函数T=f(t)的n+1个有序型值中任意两点T i 和T i+1满足：f(t i )=T i df dt |t-ti =k i f’(t i+1)=T’i df dt|t-ti+1=k i+1 式中k i ，k i+1为曲线f(t)在这两点的斜率，而每点的斜率和周围4个点有关，插值公式为：T=P 0+P 1(t-t i )+P 2(t-t i )2+P 3(t-t i )3，来对T i 和T i+1之间的一点T 进行内差。
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• 以直线方程作为插值多项式，即下 式中的 n=1
x3= 30 x4= 40
x5= 50 x6= 60 x7= 70
y3= 4.2474 y4= 7.3766
y5= 12.34 y6= 19.923 y7= 31.164
Pn ( x ) a0 a1 x a2 x 2 an x n
饱和蒸汽 压f(x) y0=0.6087 y1= 1.2262 y2= 2.3346 y3= 4.2474 y4= 7.3766 y5= 12.34 y6= 19.923 y7= 31.164
3
• Pn(x）称为函数 f(x) 的插值多项式 • 点 x0, x1, … xn 叫做插值节点 • [a，b]为插值区间。 插值方式： • 全节点插值——用全部节点构造插 值多项式（通过全部节点） • 分段插值——只用部分节点构造插 值多项式（只通过部分节点） 本节讨论 一元n 次拉格朗日插值(n +1个点) • 线性插值（2个节点） • 抛物线插值（3个节点） ＃
l k 1 ( x ) 必定含有因子 ( x x k ) , ( x xk 1 )
k 1
k 1
l k 1 ( x k ) 0
l k 1 ( x k 1 ) 0 l k 1 ( x ) A( x xk )( x xk 1 ) 1 A( xk 1 xk )( xk 1 xk 1 ) 由 l k 1 ( x k 1 ) 1 1 ( x xk )( x xk 1 ) A l k 1 ( x ) ( x k 1 x k )( x k 1 xk 1 ) ( xk 1 xk )( xk 1 xk 1 )
•
什么叫插值？
水的物理性质
温度
oC
饱和蒸汽压
kN/m2 0.6082 1.2262
0 10
20
30 40
2.3346
4.2474 7.3766
50
60 70
12.34
19.923 31.164
插 值 法 • 如何查水在27oC、32.7oC 的饱和蒸汽压和焓? •函数关系：函数值和自变量的 焓 关系以表格给出，称列表函数 kJ/kg • 列表函数的特点： 0 ① 自变量与函数值一一对应； 42.04 ② 函数值有很可靠的精确度； 83.90 ③ 自变量与函数间的解析表达 125.69 式可能不清楚，或者解析表达 167.51 式非常复杂不便于计算（如为 209.30 无穷级数等）； 251.12 ④ 没有直接给出未列出点的函 292.99 数值，不便于进行微分和积分 以及计算机计算。 ＃ 1 3
jk
拉格朗日插 值公式
将插值基函数组合可得拉格朗日n次插值多项式 n n n x xj Ln ( x ) l k ( x ) yk ( ) yk j , k 0, 1, , n k 0 k 0 j 0 xk x j
jk
11
3.2.3 n次插值
Ln ( x )
L1 ( x ) yk l k ( x ) yk 1l k 1 ( x )
也是线性插值多项式 线性组合系数
l k ( x k 1 ) 0 l k 1 ( x k 1 ) 1
• 满足以上条件的 lk(x) 和 lk+1(x) 称为线性基本插值多项式 或线性插值基函数，插值多项式可用插值基函数的线性组合 5 构成。 #
温度 x
插 值 法 饱和蒸汽压 f(x)
• 代数插值问题描述（怎样进行插值） • 列表函数例
x0= 0
x1= 10 x2= 20 x3= 30
0.6087
1.2262 2.3346 4.2474
a x0 x1 x2 xn b
已知函数 f (x) 在各点(x0 , x1 …)上的值
y0 , y1 , y2 yn
设函数
y f ( x) 在区间上连续
x4= 40
x5= 50
7.3766
12.34
目的：运用计算机方便地求解函数值 和进行微积分等计算
思路：寻找列表函数的近似解析表达 式 (不知道 f(x) 的函数表达形式)
x6= 60
19.923
x7= 70 31.164 方法：建立一个次数不超过n的代数多项式 P(x) 来近似 f(x)
插值基函数满足 lk (xk) =1, lk (xk+1) =0 lk+1 (xk) =0, lk (xk+1) =0
抛物线插值和插值基函数为
L2 ( x ) yk 1l k 1 ( x ) yk l k ( x ) yk 1l k 1 ( x )
( x xk )( x xk 1 ) l k 1 ( x ) ( xk 1 xk )( xk 1 xk 1 )
f(xk) f(xk-1)
L1(x)
f(xk+2)
L2 ( x )
xk-1
xk
xk+1
7
x
二次插值（三点插值或抛物线插值） 如何求满足条件的二次插值基函数，分析一次插值基函数 x x k 1 x xk •要满足条件 lk ( x ) , l k 1 ( x ) x k x k 1 x k 1 x k l (x ) 1
l k 1 ( x k 1 ) 1 l k ( x k 1 ) 0 l k 1 ( x k ) 0 l k ( x k ) 1 y l k 1 ( x k 1 ) 0 l k ( x k 1 ) 0 l k 1 ( x k 1 ) 0 l k 1 ( x k ) 0 l k 1 ( x k 1 ) 1
( x xk 1 )( x xk ) l k 1 ( x ) ( xk 1 xk 1 )( xk 1 xk )
l k ( x k 1 ) 0 lk ( xk ) 1 l k ( xk 1 ) 0
10
3.2.3 n次插值
用 n+1 个 插值节点，构造一个n 次插值多项式 Pn (x) 使通过所有 n+1 个插值节点，即满足 Pn ( x j ) y j (j = 0， 1,…,n) 所以此时的插值基函数应该满足 1 i k lk ( xi ) ( i , k 0, 1, 2, , n) 0 i k 用类似的推导方法，可求得n次插值基函数为 n x xj lk ( x ) ( ) j , k 0, 1, 2, , n j 0 xk x j
Pn ( x ) a0 a1 x a2 x 2 an x n
2
插 值 法 •用代数多项式P(x)近似列表函数 y 条件：满足 Pn(xi)=yi (i=0,1,…n)
Pn ( x ) a0 a1 x a2 x 2 an x n
温度 x x0 = 0 x1= 10 x2= 20 x3= 30 x4= 40 x5= 50 x6= 60 x7= 70
线性插值图示
L1 ( xk ) y( xk )
y
L1 ( xk L1(x)
温度 x x0= 0
x1= 10 x2= 20 x3= 30 x4= 40 x5= 50 x6= 60 x7= 70
饱和蒸汽压 f(x) y0=0.6082
y1= 1.2262 y2= 2.3346 y3= 4.2474 y4= 7.3766 y5= 12.34 y6= 19.923 y7= 31.164
• 3.2 拉格朗日(Lagrange)插值 3.2.1 线性插值（2个节点）
•
线性插值——用直线方程 L1(x) 近 似列表函数式 f(x) 需要构造一个直线方程（线性插值 多项式）
温度 x
x0= 0 x1= 10 x2= 20
饱和蒸汽压 f(x)
y0=0.6082 y1= 1.2262 y2= 2.3346
xk 1 xk 由两点式可看出， L1(x) 是由两个线性函数 x x k 1 x xk 的线性组合得到的， lk ( x ) , l k 1 ( x ) x k x k 1 x k 1 x k
线性插值多项式可写为 满足
l k ( xk ) 1 l k 1 ( x k ) 0
l ( x) y ( x
k k k 0 k 0 j 0 jk
n
n
n
x xj
k
xj
) yk
j , k 0, 1, , n
• 如果节点数有n+1个，称为 全节点插值 插值公式通过n+1个插值节点，是唯一确定的 拉格朗日n次插值 的几何意义 是否通过的点越多, 插值次数越高 越好? #
f(xk)
f(x)
xk
xk+1
x
• 几何意义：用给定两点的直线 y=L1(x) 近似替代 f (x)。 ＃
6
3.2.2
二次插值（三点插值或抛物线插值）
二次插值是用已知的3个插值节点，构造一个二次函数L2(x) 并使函数通过三个插值节点 ( x k 1 , y k 1 ) ( x k , y k ) ( x k 1 , y k 1 ) 构造方法：用插值基函数进行线性组合。 但此时因是三个插值节点，插值基函数应该是二次函数。 插值基函数在节点处应满足条件：
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•用11点构造10次多项式插值的龙格现象
1 1 25 x 2
• 某些点插值结果误差很大，函数两端震荡加剧 • 在节点很多的场合，通常不宜采用高次插值 • 分段的低阶插值往往效果更好
13
例题 3-1 已知函数表 x 0· 1 0· 2 0· 3 0· 4 f（x） 0· 0998 0· 1987 0· 2955 0· 3894 分别用线性插值、2次插值和3次插值求f(x)在x = 0.25处的值。 解（1）分段线性插值 选取最接近插值点0.25的两个插值节点，求f(x)在x=0.25处 的值。 由于简单，可以直接计算。选取的两个插值节点如下