中考数学复习：函数与方程、不等式的关系

中考数学复习：函数与方程、不等式的关系
1．函数与方程的关系
（1）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交点的横坐标的值；
（2）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝mx＋n（am≠0）的解⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c （a≠0）与直线y＝mx＋n（m≠0）交点的横坐标的值．
2．函数与不等式的关系
（1）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴上方的所有点的横坐标的值；
（2）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴下方的所有点的横坐标的值；
（3）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞mx＋n（ma≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）上方的所有点的横坐标的值；
（4）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜mx＋n（ma≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）下方的所有点的横坐标的值．
例题讲解
例1在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx－2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．若该抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l：y＝－2x＋2的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的表达式．
解：如图，因为抛物线的对称轴是x＝1，且直线l与直线AB关于对称轴对称．
所以抛物线在－1＜x＜0这一段位于直线l的下方．
又因为抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l的上方，所以抛物线与直线l的一个交点的横坐标为－1．
当x＝－1时，y＝－2×（－1）＋2＝4，则抛物线过点（－1，4），将（－1，4）代入y＝mx2－2mx－2，得m＋2m－2＝4，则m＝2．所以抛物线的表达式为y＝2x2－4x－2．
例2已知y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的自变量x与函数值y满足：当－1≤x≤1时，－1≤y≤1，且抛物线经过点A（1，－1）和点B（－1，1）．求a的取值范围．
解：因为抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A（1，－1）和点B（－1，1），代入得a＋b＋c＝－1，a－b＋c＝1，
所以a＋c＝0，b＝－1，则抛物线y＝ax²－x－a，对称轴为x＝1
2a
．
①当a＜0时，抛物线开口向下，且x＝1
2a
＜0，
如图可知，当1
2a
≤－1时符合题意，所以－
1
2
≤a＜0．
当－1＜1
2a
＜0时，图像不符合－1≤y≤1的要求，舍去．
②当a＞0时，抛物线开口向上，且x＝1
2a
＞0．
如图可知，当1
2a
≥1时符合题意，所以0＜a≤
1
2
．
当0＜1
2a
＜1时，图像不符合－1≤y≤1的要求，舍去．
综上所述，a的取值范围是－1
2
≤a＜0或0＜a≤
1
2
．
例3在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，'b）给出如下定义：
1 '
1
b a
b
b a ≥
⎧
=⎨
-<
⎩
，
则称点Q为点P的限变点．
例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，3），点（﹣2，5）的限变点的坐标是（﹣2，﹣5）．（1）若点P在函数y＝﹣x＋3（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是﹣5≤b′≤2，求k的取值范围；
（2）若点P在关于x的二次函数y＝x2﹣2tx＋t2＋t的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，其中m＞n．令s＝m﹣n，求s关于t的函数解析式及s的取值范围．
解：（1）依题意，y＝﹣x＋3（x≥﹣2）图象上的点P的限变点必在函数y＝
31
3-21
x x
x x
-+≥
⎧
⎨
-≤<⎩
的图象上．
∴b′≤2，即当x＝1时，b′取最大值2．
当b′＝﹣2时，﹣2＝﹣x＋3．
∴x＝5．
当b′＝﹣5时，﹣5＝x﹣3或﹣5＝﹣x＋3．
∴x＝﹣2或x＝8．
∵﹣5≤b′≤2，
由图象可知，k的取值范围是5≤k≤8．
（2）∵y＝x2﹣2tx＋t2＋t＝（x﹣t）2＋t，
∴顶点坐标为（t，t）．
若t＜1，b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，与题意不符．
若t≥1，当x≥1时，y的最小值为t，即m＝t；
当x＜1时，y的值小于﹣[（1﹣t）2＋t]，即n＝﹣[（1﹣t）2＋t]．∴s＝m﹣n＝t＋（1﹣t）2＋t＝t2＋1．
∴s关于t的函数解析式为s＝t2＋1（t≥1），
当t＝1时，s取最小值2，
∴s的取值范围是s≥2．
1）；点B；5≤k≤8；s≥2．
进阶训练
1．若关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个不同的实数根m ，n （m ＜n ），方程x 2＋ax
＋b ＝1有两个不同的实数根p ，q （p ＜q ），则m ，n ，p ，q 的大小关系为（ ）
A ．m ＜p ＜q ＜n
B ．p ＜m ＜n ＜q
C ．m ＜p ＜n ＜q
D ．p ＜m ＜q ＜n
B
【提示】 函数y ＝x 2＋ax ＋b 和函数y ＝x 2＋ax ＋b －1的图像如图所示，从而得到p ＜m ＜n
＜q
解：函数y ＝x 2＋ax ＋b 如图所示： x
q n m p O
2．在平面直角坐标系xOy 中，p （n ，0）是x 轴上一个动点，过点P 作垂直于x 轴的直线，交一次函数y ＝kx ＋b 的图像于点M ，交二次函数y ＝x ²－2x －3的图像于点N ，若只有当－2＜n ＜2时，点M 位于点N 的上方，求这个一次函数的表达式．
y ＝－2x ＋1
【提示】 依据题意并结合图像可知，一次函数的图像与二次函数的图像的交点的横坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标为（－2，5）和（2，－3）将交点坐标分别代入一次函数表达式即可
3．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2－（2m＋1）x＋m－5的图像与x轴有两个公共点，若m取满足条件的最小整数，当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是－6≤y≤4－n，求n的值
n的值为－2
【提示】根据已知可得m＝1．图像的对称轴为直线x＝3
2
．当n≤x≤1＜
3
2
时，函数值y
随自变量x的增大而减小，所以当x＝1时，函数的值为－6，当x＝n时，函数值为4－n．所以n2－3n－4＝4－n，解得n＝－2或n＝4（不符合题意，舍去），则n
的值为－2。