高中数学：空间向量的数量积运算

C
F D
三、典型例题
例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且 l⊥m，l⊥n，求证：l⊥
分析：由定义可知，只需证l与平面内
任意直线g垂直。
l
lm
g m
gn n
要证l与g垂直，只需证l·g＝0
而m，n不平行，由共面向量定理知， 存在唯一的有序实数对(x,y)使得 g=xm+yn
要证l·g＝0,只需l·g= x而l·lm·+my＝l·0n=，0 l·n＝0
故 l·g＝0
三、典型例题
例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且 l⊥m，l⊥n，求证：l⊥ 证明：在内作不与m、n重合的任一条
直线g,在l、m、n、g上取非零向
量l、m、n、g，因m与n相交，得向量
注意： 数量积不满足结合律
（a b)c a (bc)
二、 课堂练习
1.已知a 2 2 , b 2 , a b 2 2
则a , b所 zxxkw 夹的角为____ | a b | ____
2.判断真假： 1）若a b 0,则a 0,b 0 ( )
2) (a b) c a (b c)
A
B
解：∵
| CD |2 (CA AB BD)2 | CA |2 | AB |2 | BD |2 a2 b2 c2
CD a2 b2 c2
2.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于
a ，点 M、N 分别是边 AB、CD 的中点。
求证：MN AB , MN CD 。
O
证明：由已知 OA BC，OB AC
所以 OA BC 0 , OB AC 0
OA (OC OB) 0
A
C
OB (OC OA) 0
B
所以 OA OC OA OB
OB OC OB OA 所以 OAOC OB OC 0
(OA OB) OC 0
BAOC 0
所以 OC AB
3.1.3空间向量的数量积运算
教学过程
一、几个概念
1） 两个向量的夹角的定义 同起点是关键
a
A
a
B
O
b
b
范围：0 a,b 在这个规定下，两个向 量的夹角就
被唯一确定了，并且 a,b＝b, a
如果a,b ,则称a与b互相垂直，并记作：a b
2
2）两个向量的数量积
设OA a,则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模,记作：a 已知空间两个向量a,b，则 a b cosa,b叫做向量a,b的数量积， 记作：a b,即
a b a b cosa,b
注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
A
a
A1
E
B1
b B
已知向量AB＝b和a, 作点A在a上的射影A1 , 作 点B在a上 的 射 影B1， 则A1 B1叫 做b在a方 向 上的正射影，简称射影
A1B1 AB cosa, b
D A
C B
2( AB AD AB AA AD AA) 42 32 52 2(0 10 7.5) 85
| AC | 85
1.已知线段 AB 、BD在平面 内，BD AB，线段 AC
，如果 AB a , BD b , AC c ，求 C 、D 之间的距离.
C
c
D
a
b
，求证：OA BC。
O
zxxkw
证明：∵
OA BC OA (OC OB)
OA OC OA OB
A
C
| OA | | OC | cos | OA | | OB | cos
| OA | | OB | cos | OA | | OB | cos
B
0
OA BC
4.如图，已知正方体 ABCD ABCD ，CD 和 DC相交于
点 O，连结 AO，求证：AO CD。
A'
D'
B'
C'
O
A B
D C
已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a , 点 E、F、G 分别是 AB、AD、DC 的中点，求下列向量的 数量积：
(1) AB AC ； (2) AD DB ； (3) GF AC ； (4) EF BC ； (5) FG BA ； (6) GE GF .
M B
A
证明：因为 MN MA AD DN
所以 AB MN AB (MA AD DN )
AB MA AB AD AB DN
D
1 a2 1 a2 1 a2 0
244
N C
MN AB
同理，MN CD
3.已知空间四边形OABC , OB OC , AOB AOC
a2 b2
CD a2 b2
例4 已知在平行六面体 ABCD ABCD中，AB 4 ,
AD 3 , AA 5 , BAD 90 , BAA DAA 60,
求对角线 AC 的长。
D'
A'
B'
C' 解： AC AB AD AA
| AC |2 ( AB AD AA)2 | AB |2 | AD |2 | AA |2
4)空间向量的数量积性质
对于非零向量 a , b，有：
1) a e a cosa, e
2) a b a b 0
2
3) a a a
注意： ①性质2）是证明两向量垂直的依据； ②性质3）是求向量的长度（模）的依据；
5)空间向量的数量积满足的运算律
1) (a) b (a b)
2) a b b a (交换律） 3）a (b c) a b a c (分配律）
()
3) p2 q2 ( p q)2
()
4) p q p q p2 q2 ( )
全错
3.如图：已知空间四边形 ABCD的每条边和对角线长都 等于1，点E、F 分别是 AB、AD的中点。 计算：（1）EF BA (2) EF BD (3) EF DC (4) EF AC
A
E B
解：由 AC ，可知 AC AB .
C
由DBD 30知 CA , BD 120.
D
| CD |2 CD CD (CA AB BD)2
b
b D'
a
A
B
| CA |2 | AB |2 | BD |2 2CA AB 2CA BD 2AB BD
b2 a2 b2 2b2 cos120
m、n不平行，由共面向量定理
l
可知，存在唯一的有序实数对（x，y），
lm
g m
gn n
使
g=xm+yn, l·g=xl·m+yl·n ∵ l·m=0,l·n=0
∴ l·g=0
∴ l⊥g
∴ l⊥gБайду номын сангаас
这就证明了直线l垂直于平面内的 任一条直线，所以l⊥
例2：已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC， OB⊥AC，求证：OC⊥AB
A
E B
F
D G C
课堂小结
1．正确分清楚空间向量的夹角。
2．两个向量的数量积的概念、性质和 计算方法。
巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理
已知：PO, PA分别是平面的垂线，斜线，OA是PA
在内的射影，a , 且a OA
求证：a PA
证明：在a上取非零向量a
P
而PO , PO a PO a 0
OA a
又OA a,OA a 0 又P O, OA相交，得P O, OA不平行，由共面向量
定理可知，存在唯一的有序实数对x, y,使
PA xPO yOA
PA a PO a OA a 0
a PA,即a PA.
课堂小结
1．正确分清楚空间向量的夹角。
2．两个向量的数量积的概念、性质和 计算方法。
例3 如图，已知线段 AB 在平面 内，线段 AC
，线段BD AB，线段 DD ，DBD 30 ，如 果 AB a , AC BD b ，求 C、D 之间的距离。