一道数列奇偶通项公式题解法
数列中的奇偶项问题
n n 1 2 2
2
n 1 n 3 2 2
3、相间两项之差为常数； 例 3：已知数列{an}中 a1=1，a2=4，an=an-2+2 （n≥3） ，Sn 为{an}前 n 项和，求 Sn
解：∵an-an-2=2 （n≥3） ∴a1,a3,a5,…,a2n-1 为等差数列；a2,a4,a6,…,a2n 为等差数列
1 1 1 1 n2 1 n2 ②n 为奇数时： an 2( ) 2( ) 3 3
n 1 n 1 11 * 2(2( ) 2) 2 n n2 k2 k 1( k 1( k N )N ) 33 a { n 则有：nan { n 11 1 1 * ( ( ) 2 ) 2 n n2 k (2 kk N )N ) ( k 2 3
作业：数列{an}满足 an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，则{an}的前 60 项和为
方法五：当 为奇数时, ,
．
因 此 每 四 项 的 和 依 此 构 成 一 个 以 10 为 首 项 ,16 为 公 差 等 差 数 列 , 所 以
的前
项和为
1 n 2 * x C x ( ) 0 n N 练习：已知 an，an+1 为方程 的两根 ∈ ， n 3 a1=2，Sn=C1+C2+…+Cn，求 an 及 S2n。
解：①当 n 为偶数时： S n a1 a2 a3 a4 … an 1 an
(a1 a2 ) (a3 a4 ) … (an 1 an )
②当 n 为奇数时： S n a1 (a2 a3 ) (a4 a5 ) … (an 1 an )
②n 为偶数时，n+1 为奇数： Cn an an 1
数列求通项的七种方法及例题
数列求通项的七种方法及例题数列求通项的7种方法及例题：1. 已知首项和公比法：设数列{an}中，a1为首项，q为公比，则an = a1 × q^(n-1)。
例如：已知数列{an}中，a1=2，q=3，求a5。
答案：a5=2×3^4=2×81=1622. 已知前n项和法：设数列{an}中，Sn为前n项和，则an = S0 + S1 + S2 +···+ Sn-1 - (S1 + S2 +···+ Sn-1) = S0。
例如：已知数列{an}中，S2=6，S4=20，求a3。
答案：a3 = S2 - (S2 - S1) = 6 - (6 - 2) = 83. 等差数列的通项公式：设数列{an}为等差数列，d为公差，则an = a1 + (n-1)d。
例如：已知数列{an}为等差数列，a1=2，d=4，求a5。
答案：a5 = 2 + (5-1)4 = 184. 等比数列的通项公式：设数列{an}为等比数列，q为公比，则an = a1 ×q^(n-1)。
例如：已知数列{an}为等比数列，a1=2，q=3，求a5。
答案：a5=2×3^4=2×81=1625. 三项和平均数法：设数列{an}中，Sn = a1 + a2 + a3 +···+ an，则an = Sn/n。
例如：已知数列{an}中，S4=20，求a3。
答案：a3 = S4/4 = 20/4 = 56. 泰勒公式法：对于一般的数列，可以使用泰勒公式进行求通项。
例如：已知数列{an}中，a1=2，且当n→∞ 时，an → 0，求a4。
答案：使用泰勒公式，a4 = a1 + (n-1)(a2 - a1)/1! + (n-1)(n-2)(a3 -2a2 + a1)/2! + (n-1)(n-2)(n-3)(a4 - 3a3 + 3a2 - a1)/3! = 2 + 3(2 - 2)/1! + 3(3 - 2)(3 - 4)/2! + 3(3 - 2)(3 - 4)(3 - 5)/3! = 2 + 3(0)/1! + 3(1)(-1)/2! + 3(1)(-1)(-2)/3! = 2 - 3/2 - 3/4 + 3/6 = 2 - 1/87. 斐波那契数列法：斐波那契数列是一种特殊的数列，它的通项公式可以写作 an = an-1 + an-2。
数列中的奇偶项问题
数列中的奇偶项问题例1、〔12一模〕数列{}n a 满足：111,1,2n n n a n a a a n ++⎧==⎨⎩奇，，偶为数为数*n N ∈，设21n n b a -=. 〔1〕求23,,b b 并证明：122;n n b b +=+〔2〕①证明：数列{}2n b +等比数列；②假设22122,,9k k k a a a +++成等比数列，求正整数k 的值. 解：〔1〕2321=22(1)4,b a a a ==+=3543=22(1)10,b a a a ==+= 121221=22(1)2(1)22,n n n n n n b a a a b b ++-==+=+=+〔2〕①因为111122(2)1,20,2,22n n n n b b b a b b b +++==+≠==++所以数列{}2n b +是以3为首项，2为公比的等比数列.②由数列{}2n b +可得，1121322,322n n n n b a ---=⨯-=⨯-即，那么12211321n n n a a --=+=⨯-，因为22122,,9k k k a a a +++成等比数列，所以21(322)(321)(328)k k k -⨯-=⨯-⨯+，令2=k t ，得23(32)(1)(38)2t t t ⨯-=-+，解得243t =或，得2k =. 例2、〔14二模〕设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且248,40a S ==．数列{}n b 的前n 项和为n T ，且230n n T b -+=，n N *∈．〔I 〕求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；〔II 〕设⎩⎨⎧=为偶数为奇数n b n a c nn n ，求数列{}n c 的前n 项和n P ． 解：〔Ⅰ〕由题意，1184640a d a d +=⎧⎨+=⎩，得14,44n a a n d =⎧∴=⎨=⎩． …………3分 230n n T b -+=，113n b ∴==当时，，112230n n n b --≥-+=当时，T ，两式相减，得12,(2)n n b b n -=≥数列{}n b 为等比数列，132n n b -∴=⋅． …………7分〔Ⅱ〕14 32n n n n c n -⎧=⎨⋅⎩为奇数为偶数．当n 为偶数时，13124()()n n n P a a a b b b -=+++++++=212(444)6(14)222214n n n n n ++-⋅-+=+--． ……………10分 当n 为奇数时，〔法一〕1n -为偶数，1n n n P P c -=+(1)1222(1)24221n n n n n n -+=+--+=++- ……………13分点评:根据结论1退而求之.〔法二〕132241()()n n n n P a a a a b b b --=++++++++1221(44)6(14)2221214n n n n n n -++⋅-=+=++-- ． ……………13分 12222,221n n n n n P n n n +⎧+-∴=⎨++-⎩为偶数，为奇数……………14分 点评：分清项数，根据奇偶进展分组求和。
数列中的奇偶项问题课件-2025届高三数学一轮复习
(1)若数列{an}是等差数列,求数列{bn}的前100项和S100;
【解析】(1)因为{an}为等差数列,且a1=1,a2=2,
所以公差d=1,所以an=n.
+1 − = 1, 为奇数,
1, 为奇数,
所以bn=
即bn=
+1 + = 2 + 1, 为偶数,
2 + 1, 为偶数,
=3- ,
1 +
1
2
1−2
1−2
3 1
4
又2−1 =2 -2 =3- - =3- ,
2 2
2
3
3−
所以Sn=
3−
22
, 为偶数,
4
+1
2 2
, 为奇数.
谢谢观赏！！
所以2−1 =1,所以2 =4n-2,
1, 为奇数,
综上所述,an=
2 − 2, 为偶数.
视角二
已知条件明确的奇偶项问题
, 为奇数,
[例2]已知数列{an}的前n项和为Sn,an=
1
( ) 2 , 为偶数,
2
求Sn.
【解析】方法一:当n为偶数时,Sn=a1+a2+…+an=(a1+a3+…+−1 )+(a2+a4+…+an)
4
2
4
2
−1
(+1)2
1
+ 1 − ( ) 2 , 为奇数,
4
2
综上,Sn=
2
1
+ 1 − ( ) 2 , 为偶数.
4
2
2
数列奇偶项问题解题技巧
数列奇偶项问题解题技巧
数列奇偶项问题是数列中常见的一类问题，通常要求我们根据数列中奇偶项的特点来确定数列某一项的值或者数列的通项公式。
下面给出数列奇偶项问题的解题技巧。
1.观察数列前几项，看看能否找到规律。
如果数列前几项有明显的规律，可以推测出数列的通项公式。
2.判断数列中奇偶项的取值情况。
如果数列中奇偶项的取值有明显的差别，可以通过奇偶性对数列进行分类讨论，进而确定数列的通项公式。
3.利用数列的性质进行推理。
如等差数列、等比数列等，可以通过利用数列的性质，将数列进行变形，进而求出数列中某一项的值或者数列的通项公式。
4.利用递推式求解。
如果数列可以表示为递推式，那么可以通过递推式来求出数列中某一项的值或者数列的通项公式。
5.利用数学工具求解。
对于比较复杂的数列问题，可以借助数学工具，如数学归纳法、数列极限等来求解。
总之，对于数列奇偶项问题，要善于观察数列的特点，灵活运用解题技巧，才能较为高效地解决问题。
数列中的奇、偶项问题
(-1+2-5) (14+4+6)
32 +7
2
2
=[-1+3+…+(2n-5)]+[14+22+…+(4n+6)]=
+
=
.
2
当
2
时,Tn-Sn=
-(n +4n)=
2
2
综上可知,当 n>5 时,Tn>Sn.
− 2 -4,即+1
=(an+2)2,n≥2.
因为{an}的各项均为正数,所以 an+1=an+2,即 an+1-an=2,n≥2.
因为 a3=5,所以32 =4(a1+a2)+9,22 =4a1+5,解得 a2=3,a1=1.则 a2-a1=2,满足
an+1-an=2,
所以数列{an}是公差为 2 的等差数列,
=
(-1)
>0,所以
2
2
Tn>Sn.
2
[对点训练 2](2024·山东聊城模拟)已知数列{an}满足 a1+a3=2a2,
3 ,为奇数,
an+1=
数列{cn}满足 cn=a2n-1.
+ 2,为偶数,
(1)求数列{cn}和{an}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
解 (1)由 an+1=
探究二
奇、偶项通项不同的数列求和
-6,为奇数,
奇偶数列通项公式
奇偶数列通项公式
数理逻辑中的等差数列是一种常见的数字模式，它在许多领域都有各种不同的应用。
其中，最著名的也许就是奇偶数列，该数列构成了许多问题和解决方案的基础。
关于奇偶数列，有许多关于确定数列元素的方法，但是最有效的方法就是使用奇偶数列通项公式。
奇偶数列通项公式是一种描述数列情况的算法，其目的是要寻找数列中每一项元素的值。
给定一个首项a，一个公差d，n表示本项，那么可以使用通项公式来写出该项的值，即an=a+(n-1)d。
例如，如果首项是1，公差是2，而要求第7项的值，那么就可以使用通项公式来计算：a7=1+(7-1)2=1+6×2=13，该项的值即为13。
除了数列元素的值，另外一个有用的函数是数列前n项和，即
Sn=a1+a2+...+an。
同样，可以通过一个公式来求解，即
Sn=n/2(a1+an)=n/2[2a1+(n-1)d]，其中，a1和an分别表示首项和末项的值，d表示公差，n表示项数。
这些数列的性质构成了数学的基本原理，经常出现在数学定理中，对于解决各种数学问题都有极大的帮助。
总之，奇偶数列通项公式是描述数列通项情况的绝佳方法，也是运用奇偶数列解决各种数学问题的有力工具。
它可以将复杂的数学问题转换为一些简单的计算，使数学计算变得非常便捷。
数列中的奇偶项问题(微专题)(解析版)
数列中的奇偶项问题(微专题)题型选讲题型一、分段函数的奇偶项求和1(深圳市罗湖区期末试题)已知数列a n中，a1=2，na n+1-n+1a n=1n∈N*.(1)求数列a n的通项公式；(2)设b n=a n+1,n为奇数,2a n+1,n为偶数，求数列bn的前100项和.【解析】【小问1详解】∵na n+1-n+1a n=1,∴a n+1n+1-a nn=1n-1n+1,a n+1+1n+1=a n+1n，所以a n+1n是常数列，即a n+1n=a1+11=3,∴a n=3n-1；【小问2详解】由(1)知，a n是首项为2，公差为3等差数列，由题意得b2n-1=a2n-1=6n-4，b2n=2a2n+1=12n+4，设数列b2n-1，b2n的前50项和分别为T1，T2，所以T1=50b1+b992=25×298=7450，T2=50×b2+b1002=25×620=15500，所以b n的前100项和为T1+T2=7450+15500=22950；综上，a n=3n-1，b n的前100项和为T1+T2=7450+15500=22950.1(2023·黑龙江大庆·统考三模)已知数列a n满足a1+3a2+⋯+2n-1a n=n．(1)证明：1a n是一个等差数列；(2)已知c n=119a n,n为奇数a n a n+2,n为偶数，求数列c n 的前2n项和S2n．【答案】(1)证明见详解(2)S2n=2n-1n19+n34n+3【详解】(1)当n=1时，可得a1=1，当n≥2时，由a1+3a2+⋯+2n-1a n=n，则a1+3a2+⋯+2n-3a n-1=n-1n≥2，上述两式作差可得a n=12n-1n≥2，因为a1=1满足a n=12n-1，所以a n的通项公式为a n=12n-1，所以1a n=2n-1，因为1a n-1a n-1=2n-1-2n-3=2(常数)，所以1a n是一个等差数列．(2)c n=2n-119,n为奇数12n-12n+3,n为偶数 ，所以C1+C3+⋯C2n-1=1+5+9+⋯4n-319=2n-1n19，C2+C4+⋯C2n=1413-17+17-111+⋯+14n-1-14n+3=n34n+3所以数列c n的前2n项和S2n=2n-1n19+n34n+3．2(2023·吉林·统考三模)已知数列a n满足a n=2n-2,n为奇数3n-2,n为偶数an的前n项和为S n．(1)求a1，a2，并判断1024是数列中的第几项；(2)求S2n-1．【答案】(1)a1=12，a2=4；1024是数列a n的第342项(2)S2n-1=4n6+3n2-5n+116【详解】(1)由a n=2n-2,n为奇数3n-2,n为偶数可得a1=12，a2=4．令2n-2=1024=210，解得：n=12为偶数，不符合题意，舍去；令3n-2=1024，解得：n=342，符合题意．因此，1024是数列a n的第342项．(2)S2n-1=a1+a2+a3+a4+⋅⋅⋅+a2n-2+a2n-1=12+4+2+10+⋅⋅⋅+6n-8+22n-3=12+2+⋅⋅⋅+22n-3+4+10+⋅⋅⋅+6n-8=121-4n1-4+n-14+6n-82=164n-1+n-13n-2=4n6+3n2-5n+116．另解：由题意得a2n-1=22n-3，又a2n+1a2n-1=4，所以数列a2n-1是以12为首项，4为公比的等比数列．a2n=6n-2，又a2n+2-a2n=6，所以数列a2n是以4为首项，6为公差的等差数列．S2n-1为数列a2n-1的前n项和与数列a2n的前n-1项和的总和．故S2n-1=121-4n1-4+n-14+6n-82=164n-1+n-13n-2=4n6+3n2-5n+116.3(2023·安徽蚌埠·统考三模)已知数列a n满足a1=1，a2n+1=a2n+1，a2n=2a2n-1.(1)求数列a n的通项公式；(2)设T n=1a1+1a2+⋯+1a n，求证：T2n<3.【答案】(1)a n=2n+12-1,n为奇数, 2n2+1-2,n为偶数.(2)证明见解析.【详解】(1)由题意a2n+1=a2n+1=2a2n-1+1,所以a2n+1+1=2a2n-1+1,因为a1+1=2≠0,所以数列a2n-1+1是首项为2,公比为2的等比数列,所以a2n-1+1=2n,即a2n-1=2n-1,而a2n=2a2n-1=2n+1-2,所以a n=2n+12-1,n为奇数, 2n2+1-2,n为偶数.(2)方法一：由(1)得T2n=ni=11a2i-1+1a2i=32ni=112i-1=32ni=12i+1-12i-12i+1-1<32ni=12i+12i-12i+1-1=3ni=12i2i-12i+1-1=3ni=112i-1-12i+1-1=31-12n+1-1<3方法二：因为2n-1≥2n-1n∈N*,所以T2n=∑ni=11a2i-1+1a2i=32∑n i=112i-1≤32∑n i=112i-1=31-12n<34(2023·湖南邵阳·统考三模)记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a3=5,S9=81，数列{b n}满足a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n =n -1 ⋅3n +1+3.(1)求数列{a n }与数列{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n =b n ,n 为奇数1a n an +2,n 为偶数，n 为偶数，求{c n }前2n 项和T 2n .【答案】(1)a n =2n -1,b n =3n (2)T 2n =3⋅9n 8-116n +12-724【详解】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3=5S 9=81 ，即a 1+2d =59a 1+9×82d =81 ，∴a 1=1,d =2，∴a n =2n -1.∵a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n =n -1 ⋅3n +1+3，①∴a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n -1b n -1=n -2 ⋅3n +3n ≥2 ，②所以①-②得，a n b n =2n -1 ⋅3n ，∴b n =3n n ≥2 .当n =1时，a 1b 1=3,b 1=3，符合b n =3n .∴b n =3n .(2)T 2n =c 1+c 2+c 3+⋯+c 2n ，依题有：T 2n =b 1+b 3+⋯+b 2n -1 +1a 2a 4+1a 4a 6+⋯+1a 2n a 2n +2.记T 奇=b 1+b 3+⋯+b 2n -1，则T 奇=3(1-32n )1-32=32n +1-38.记T 偶=1a 2a 4+1a 4a 6+⋯+1a 2n a 2n +2，则T 偶=12d 1a 2-1a 4 +1a 4-1a 6 +⋯+1a 2n -1a 2n +2=12d 1a 2-1a 2n +2=1413-14n +3 .所以T 2n =32n +1-38+1413-14n +3 =3⋅9n 8-116n +12-7245(2023·湖南岳阳·统考三模)已知等比数列a n 的前n 项和为S n ，其公比q ≠-1，a 4+a 5a 7+a 8=127，且S 4=a 3+93．(1)求数列a n 的通项公式；(2)已知b n =log 13a n ,n 为奇数a n,n 为偶数，求数列b n 的前n 项和T n ．【答案】(1)a n =3n (2)T n =18×3n +1-98-n +1 24,n 为奇数983n -1-n 24,n 为偶数【详解】(1)因为a n 是等比数列，公比为q ≠-1，则a 4=a 1q 3,a 5=a 1q 4，a 7=a 1q 6,a 8=a 1q 7，所以a 4+a 5a 7+a 8=a 1q 3+a 1q 4a 1q 6+a 1q 7=1q 3=127，解得q =3，由S 4=a 3+93，可得a 11-34 1-3=9a 1+93，解得a 1=3，所以数列a n 的通项公式为a n =3n ．(2)由(1)得b n =-n ,n 为奇数3n ,n 为偶数，当n 为偶数时，T n =b 1+b 2+⋅⋅⋅+b n =b 1+b 3+⋅⋅⋅+b n -1 +b 2+b 4+⋅⋅⋅+b n =-1+3+⋅⋅⋅+n -1 +32+34+⋅⋅⋅+3n=-n2⋅1+n -12×+91-9n 21-9=983n -1 -n 24；当n 为奇数时T n =T n +1-b n +1=983n +1-1 -n +1 24-3n +1=18×3n +1-98-n +1 24；综上所述：T n =18×3n +1-98-n +1 24,n 为奇数983n -1-n 24,n 为偶数.题型二、含有(-1)n 类型2【2020年新课标1卷文科】数列{a n }满足a n +2+(-1)n a n =3n -1，前16项和为540，则a 1=【答案】7【解析】a n +2+(-1)n a n =3n -1，当n 为奇数时，a n +2=a n +3n -1；当n 为偶数时，a n +2+a n =3n -1.设数列a n 的前n 项和为S n ，S 16=a 1+a 2+a 3+a 4+⋯+a 16=a 1+a 3+a 5⋯+a 15+(a 2+a 4)+⋯(a 14+a 16)=a 1+(a 1+2)+(a 1+10)+(a 1+24)+(a 1+44)+(a 1+70)+(a 1+102)+(a 1+140)+(5+17+29+41)=8a 1+392+92=8a 1+484=540，∴a 1=7.故答案为：7.1(2021·山东济宁市·高三二模)已知数列{a n }是正项等比数列，满足a 3是2a 1、3a 2的等差中项，a 4=16．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n =-1 n ⋅2a 2n +1log ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3是2a 1、3a 2的等差中项，所以2a 3=2a 1+3a 2，即2a 1q 2=2a 1+3a 1q ，因为a 1≠0，所以2q 2-3q -2=0，解得q =2或q =-12，因为数列{a n }是正项等比数列，所以q =2．因为a 4=16，即a 4=a 1q 3=8a 1=16，解得a 1=2，所以a n =2×2n -1=2n ；(2)解法一：(分奇偶、并项求和)由(1)可知，a 2n +1=22n +1，所以，b n =-1 n ⋅2a 2n +1log =-1 n ⋅222n +1log =-1 n ⋅2n +1 ，①若n 为偶数，T n =-3+5-7+9-⋯-2n -1 +2n +1 =-3+5 +-7+9 +⋯+-2n -1 +2n +1 =2×n2=n ；②若n 为奇数，当n ≥3时，T n =T n -1+b n =n -1-2n +1 =-n -2，当n =1时，T 1=-3适合上式，综上得T n =n ,n 为偶数-n -2,n 为奇数(或T n =n +1 -1 n -1，n ∈N *)；解法二：(错位相减法)由(1)可知，a 2n +1=22n +1，所以，b n =-1 n ⋅2a 2n +1log =-1 n ⋅222n +1log =-1 n ⋅2n +1 ，T n =-1 1×3+-1 2×5+-1 3×7+⋯+-1 n ⋅2n +1 ，所以-T n =-1 2×3+-1 3×5+-1 4×7+⋯+-1 n +1⋅2n +1 所以2T n =3+2[-1 2+-1 3+⋯+-1 n ]--1 n +12n +1 ，=-3+2×1--1 n -12+-1 n 2n +1 =-3+1--1 n -1+-1 n 2n +1=-2+2n +2 -1 n ，所以T n=n+1-1n-1，n∈N*2【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】已知等差数列{a n}前n项和为S n，a5=9，S5=25.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；(2)设b n=(-1)n S n，求{b n}前n项和T n.【答案】(1)a n=2n-1，S n=n2；(2)T n=(-1)n n(n+1)2.【解析】【分析】(1)利用等差数列的基本量，列方程即可求得首项和公差，再利用公式求通项公式和前n项和即可；(2)根据(1)中所求即可求得b n，对n分类讨论，结合等差数列的前n项和公式，即可容易求得结果.【详解】(1)由S5=5(a1+a5)2=5×2a32=5a3=25得a3=5.又因为a5=9，所以d=a5-a32=2，则a3=a1+2d=a1+4=5，解得a1=1；故a n=2n-1，S n=n(1+2n-1)2=n2.(2)b n=(-1)n n2.当n为偶数时：T n=b1+b2+b3+b4+⋯+b n-1+b n=-12+22+-32+42+⋯+-(n-1)2+n2=(2-1)×(2+1)+(4-3)×(4+3)+⋯+[n-(n-1)]×[n+(n-1)] =1+2+3+⋯+(n-1)+n=n(n+1)2.当n为奇数时：T n=b1+b2+b3+b4+⋯+b n-2+b n-1+b n=-12+22+-32+42+-(n-2)2+(n-1)2-n2=(2-1)×(2+1)+(4-3)×(4+3)+⋯+[(n-1)-(n-2)]×[(n-1)+(n-2)]-n2 =1+2+3+⋯+(n-2)+(n-1)-n2=(n-1)(1+n-1)2-n2=-n(n+1)2.综上得T n=(-1)n n(n+1)2题型三、a n+a n+1类型3(2023·广东深圳·统考一模)记S n，为数列a n的前n项和，已知S n=a n2+n2+1，n∈N*．(1)求a1+a2，并证明a n+a n+1是等差数列；(2)求S n．【解析】(1)已知S n=a n2+n2+1，n∈N*当n=1时，a1=a12+2，a1=4；当n=2时，a1+a2=a22+5，a2=2，所以a1+a2=6．因为S n=a n2+n2+1①，所以S n+1=a n+12+n+12+1②．②-①得，a n+1=a n+12-a n2+n+12-n2，整理得a n+a n+1=4n+2，n∈N*，所以a n+1+a n+2-a n+a n+1=4n+1+2-4n+2=4(常数)，n∈N*，所以a n+a n+1是首项为6，公差为4的等差数列．(2)由(1)知，a n-1+a n=4n-1+2=4n-2，n∈N*，n≥2．当n为偶数时，S n=a1+a2+a3+a4+⋯+a n-1+a n=n26+4n-22=n2+n；当n为奇数时，S n=a1+a2+a3+a4+a5+⋯+a n-1+a n=4+n-1210+4n-22=n2+n+2．综上所述，S n=n2+n,当n为偶数时n2+n+2,当n为奇数时1(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n满足a1=1，a n+a n+1=2n；数列b n前n项和为S n，且b1=1，2S n=b n+1-1.(1)求数列a n和数列b n的通项公式；(2)设c n=a n⋅b n，求c n前2n项和T2n.【答案】(1)a n=n,n=2k-1,k∈Zn-1,n=2k,k∈Z，bn=3n-1；(2)58n-59n8.【分析】(1)根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可；(2)利用错位相减法进行求解即可.(1)n ≥2，a n -1+a n =2n -1 ，∴a n +1-a n -1=2，又a 1=1，a 2=1，n =2k -1(k 为正整数)时，a 2k -1 是首项为1，公差为2的等差数列,∴a 2k -1=2k -1，a n =n ，n =2k (k 为正整数)时，a 2k 是首项为1，公差为2的等差数列.∴a 2k =2k -1，∴a n =n -1，∴a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z，∵2S n =b n +1-1，∴n ≥2时，2S n -1=b n -1，∴2b n =b n +1-b n ，又b 2=3，∴n ≥2时，b n =3n -1，b 1=1=30，∴b n =3n -1；(2)由(1)得c n =n 3n -1,n =2k -1,k ∈Zn -1 3n -1,n =2k ,k ∈Z ，T 2n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -2 +1×31+3×33+5×35+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -1 =41×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 设K n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 ①则9K n =1×32+3×34+5×36+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n ②①-②得-8K n =1+232+34+⋅⋅⋅+32n -2-2n -1 ⋅32n=5+8n -5 9n-4，K n =5+8n -5 9n 32，∴T 2n =58n -5 9n82(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n 满足a 1=1，a n +a n +1=2n ；数列b n 前n 项和为S n ，且b 1=1，2S n =b n +1-1.(1)求数列a n 和数列b n 的通项公式；(2)设c n =a n ⋅b n ，求c n 前2n 项和T 2n .【答案】(1)a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z，b n =3n -1；(2)58n -5 9n8.【解析】(1)根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可；(2)利用错位相减法进行求解即可.(1)n ≥2，a n -1+a n =2n -1 ，∴a n +1-a n -1=2，又a 1=1，a 2=1，n =2k -1(k 为正整数)时，a 2k -1 是首项为1，公差为2的等差数列,∴a 2k -1=2k -1，a n =n ，n =2k (k 为正整数)时，a 2k 是首项为1，公差为2的等差数列.∴a 2k =2k -1，∴a n =n -1，∴a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z，∵2S n =b n +1-1，∴n ≥2时，2S n -1=b n -1，∴2b n =b n +1-b n ，又b 2=3，∴n ≥2时，b n =3n -1，b 1=1=30，∴b n =3n -1；(2)由(1)得c n =n 3n -1,n =2k -1,k ∈Zn -1 3n -1,n =2k ,k ∈Z ，T 2n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -2 +1×31+3×33+5×35+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -1 =41×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 设K n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 ①则9K n =1×32+3×34+5×36+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n ②①-②得-8K n =1+232+34+⋅⋅⋅+32n -2-2n -1 ⋅32n=5+8n -5 9n-4，K n =5+8n -5 9n 32，∴T 2n =58n -5 9n8。
高中数学数列中的奇偶项问题(解析版)精选全文完整版
数列中的奇偶项问题一、真题剖析【2020年新课标1卷文科】数列{a n}满足a n+2+(-1)n a n=3n-1，前16项和为540，则a1=_____ ________【试题情景】本题属于课程学习情景，本题以数列中的两项之间的关系为载体，考查数列中的项。
【必备知识】本题考查数列中的递推公式以及通项公式，并项求和等问题·【能力素养】本题考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力，考查的学科素养是理想思维和数学探索，对n为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用a1表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立a1方程，求解即可得出结论.【答案】7【解析】a n+2+(-1)n a n=3n-1，当n为奇数时，a n+2=a n+3n-1；当n为偶数时，a n+2+a n=3n-1.设数列a n的前n项和为S n，S16=a1+a2+a3+a4+⋯+a16=a1+a3+a5⋯+a15+(a2+a4)+⋯(a14+a16)=a1+(a1+2)+(a1+10)+(a1+24)+(a1+44)+(a1+70)+(a1+102)+(a1+140)+(5+17+29+41)=8a1+392+92=8a1+484=540，∴a1=7.故答案为：7.二、题型选讲题型一、分段函数的奇偶项求和例1.(2022·南京9月学情【零模】)(本小题满分10分)已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，S3= 7a1，且a1，a2+2，a3成等差数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n=a n，n为奇数，n，n为偶数，求数列{bn}的前2n项和T2n．【解析】(1)因为数列{a n}为正项等比数列，记其公比为q，则q>0．因为S3=7a1，所以a1+a2+a3=7a1，即a3+a2-6a1=0，因此q2+q-6=0，解得q=2或-3，从而q=2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分又a1，a2+2，a3成等差数列，所以2(a2+2)=a1+a3，即2(2a1+2)=a1+4a1，解得a1=4．因此a n=4×2n-1=2n+1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分(2)因为b n=a n，n为奇数，n，n为偶数，所以T2n=(b1+b3+⋯+b2n-1)+(b2+b4+⋯+b2n)=(a1+a3+⋯+a2n-1)+(2+4+⋯+2n)=(22+24+⋯+22n)+(2+4+⋯+2n))⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分=4×1-4n1-4+(2+2n)n2=n2+n+4n+1-43．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分变式1.(2022·江苏南京市金陵中学高三10月月考)已知等差数列{a n}前n项和为S n(n∈N+)，数列{b n}是等比数列，a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5-2b2=a3.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)若c n=2S n,n为奇数b n,n为偶数，设数列{c n}的前n项和为T n，求T2n.【答案】(1)a n=2n+1，b n=2n-1；(2)1+22n+13-12n+1.【解析】【分析】(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q(q≠0)，根据等差等比数列通项公式基本量的计算可得结果；(2)求出S n=n(3+2n+1)2=n(n+2)，代入可得c n=2n(n+2)=1n-1n+2，n为奇数2n-1，n为偶数，再分组求和，利用裂项求和和等比数列的求和公式可求得结果.【详解】(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q(q≠0)，∵a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5-2b2=a3，∴q+3+3+d=103+4d-2q=3+2d ，∴d=2，q=2，∴a n=2n+1，b n=2n-1；公众号：高中数学最新试题(2)由(1)知，S n=n(3+2n+1)2=n(n+2)，∴c n=2n(n+2)=1n-1n+2，n为奇数2n-1，n为偶数，∴T2n=1-13+13-15+⋅⋅⋅+12n-1-1 2n+1+(21+23+25+⋅⋅⋅+22n-1)=1-12n+1+2(1-4n) 1-4=1+22n+13-12n+1.变式2.(2022·山东·潍坊一中模拟预测)已知数列a n满足a12+a222+⋅⋅⋅+a n2n=n2n．(1)求数列a n的通项公式；(2)对任意的n∈N∗，令b n=2-n,n为奇数22-n,为偶数，求数列bn的前n项和S n．【解析】(1)当n=1时，得a12=12，解得a1=1；当n≥2时，可得a12+a222+⋅⋅⋅+a n2n=n2n①a1 2+a222+⋅⋅⋅+a n-12n-1=n-12n-1②，由①-②，得a n2n=n2n-n-12n-1=2-n2n，a n=2-n，当n=1时，a1=2-1=1也符合，所以数列a n的通项公式为a n=2-n．(2)由(1)知b n=2-n,n为奇数22-n,为偶数.当n为偶数时，S n=1+-1+-3+⋅⋅⋅+2-n-1+20+2-2+⋅⋅⋅+22-n=1+3-nn22+1-14 n21-14=4-nn4+431-12n=-3n2+12n+1612-13×2n-2；当n为奇数时，S n=S n+1-b n+1=-3n+12+12n+1+1612-13×2n-1-21-n=-3n2+6n+2512-43×2n-1．综上所述，S n =-3n 2+6n +2512-43×2n -1,n 为奇数-3n 2+12n +1612-13×2n -2,n 为偶数 ．变式3.(2022·湖南省雅礼中学开学考试)(10分)已知数列{a n }满足n 2a n +12+12，为正奇数，2a n 2+n 2，n 为正偶数．(1)问数列{a n }是否为等差数列或等比数列?说明理由．(2)求证：数列a 2n2n是等差数列，并求数列{a 2n}的通项公式．【解析】(1)由题意可知，a 1=12a 1+12+12=12a 1+12，所以a 1=1，a 2=2a 22+22=2a 1+1=3，a 3=32a 3+12+12=32a 2+12=5，a 4=2a 42+42=2a 2+2=8，因为a 3-a 2=2，a 4-a 3=3，a 3-a 2≠a 4-a 3，所以数列{a n }不是等差数列．又因为a 2a 1=3，a 3a 2=53，a2a 1≠a 3a 2所以数列{a n }也不是等比数列．(2)法一：因为对任意正整数n ，a 2n +1=2a 2n+2n ，a 2n +12n +1-a 2n2n =12，a 22=32，所以数列a 2n2n是首项为32，公差为72的等差数列．从而对 n ∈N *，a 2n2n =32+n -12，a 2n=(n +2)2n -1，所以数列{a 2n}的通项公式是a 2n=(n +2)2n -1(n ∈N *)．法二：因为对任意正整数n ，a 2n +1=2a 2n+2n ，得a 2n +1-(n +3)2n =2[a 2n-(n +2)2n -1]，且a 21-(1+2)21-1=a 2-3=0所以数列{a 2n-(n +2)2n -1}是每项均为0的常数列，从而对∀n ∈N *，a 2n=(n +2)2n -1，所以数列{a 2n}的通项公式是a 2n=(n +2)2n -1(n ∈N *)．∀n ∈N *，a 2n2n =n +22，a 2n +12n +1-a 2n2n =n +32-n +22，a 22=32，所以数列a 2n2n是首项为32，公差为12的等差数列题型二、含有(-1)n 类型公众号：高中数学最新试题例2.【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】已知等差数列{a n}前n项和为S n，a5=9，S5=25.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；(2)设b n=(-1)n S n，求{b n}前n项和T n.【答案】(1)a n=2n-1，S n=n2；(2)T n=(-1)n n(n+1)2.【解析】【分析】(1)利用等差数列的基本量，列方程即可求得首项和公差，再利用公式求通项公式和前n项和即可；(2)根据(1)中所求即可求得b n，对n分类讨论，结合等差数列的前n项和公式，即可容易求得结果.【详解】(1)由S5=5(a1+a5)2=5×2a32=5a3=25得a3=5.又因为a5=9，所以d=a5-a32=2，则a3=a1+2d=a1+4=5，解得a1=1；故a n=2n-1，S n=n(1+2n-1)2=n2.(2)b n=(-1)n n2.当n为偶数时：T n=b1+b2+b3+b4+⋯+b n-1+b n=-12+22+-32+42+⋯+-(n-1)2+n2=(2-1)×(2+1)+(4-3)×(4+3)+⋯+[n-(n-1)]×[n+(n-1)] =1+2+3+⋯+(n-1)+n=n(n+1)2.当n为奇数时：T n=b1+b2+b3+b4+⋯+b n-2+b n-1+b n=-12+22+-32+42+-(n-2)2+(n-1)2-n2=(2-1)×(2+1)+(4-3)×(4+3)+⋯+[(n-1)-(n-2)]×[(n-1)+(n-2)]-n2 =1+2+3+⋯+(n-2)+(n-1)-n2=(n-1)(1+n-1)2-n2=-n(n+1)2.综上得T n=(-1)n n(n+1)2.变式1.【2022·广东省深圳市育才中学10月月考】已知数列a n的前n项和为S n，且对任意正整数n，a n =34S n+2成立．(1)b n=log2a n，求数列b n的通项公式；(2)设c n=-1n+1n+1b n b n+1，求数列c n的前n项和T n．【答案】(1)a n=22n+1；(2)T n=1413+-1n+112n+3．【解析】【分析】(1)利用数列a n与S n的关系，即可求得数列a n的通项公式，代入b n=log2a n，即可求得数列b n的通项公式；(2)由(1)可知c n=14-1n+112n+1+12n+3，分n为奇数和偶数，分别求和.【详解】(1)在a n=34S n+2中令n=1得a1=8．因为对任意正整数n，a n=34S n+2成立，所以a n+1=34S n+1+2，两式相减得a n+1-a n=34a n+1，所以a n+1=4a n，又a1≠1，所以a n为等比数列，所以a n=8⋅4n-1=22n+1，所以b n=log222n+1=2n+1．(2)c n=-1n+1n+12n+12n+3=14-1n+14n+42n+12n+3=14-1n+112n+1+12n+3当n为偶数时，T n=1413+15-15+17+17+19-⋯-12n+1+12n+3=1413-12n+3，当n为奇数时，T n=1413+15-15+17+17+19-⋯+12n+1+12n+3=1413+12n+3．所以T n=1413+-1n+112n+3．变式2.(2021·山东济宁市·高三二模)已知数列a n是正项等比数列，满足a3是2a1、3a2的等差中项，a4 =16．公众号：高中数学最新试题(1)求数列a n 的通项公式；(2)若b n =-1 n 2a 2n +1log ，求数列b n 的前n 项和T n ．【解析】(1)设等比数列a n 的公比为q ，因为a 3是2a 1、3a 2的等差中项，所以2a 3=2a 1+3a 2，即2a 1q 2=2a 1+3a 1q ，因为a 1≠0，所以2q 2-3q -2=0，解得q =2或q =-12，因为数列a n 是正项等比数列，所以q =2．因为a 4=16，即a 4=a 1q 3=8a 1=16，解得a 1=2，所以a n =2×2n -1=2n ；(2)解法一：(分奇偶、并项求和)由(1)可知，a 2n +1=22n +1，所以，b n =-1 n ⋅2a 2n +1log =-1 n ⋅222n +1log =-1 n ⋅2n +1 ，①若n 为偶数，T n =-3+5-7+9-L -2n -1 +2n +1 =-3+5 +-7+9 +L +-2n -1 +2n +1 =2×n2=n ；②若n 为奇数，当n ≥3时，T n =T n -1+b n =n -1-2n +1 =-n -2，当n =1时，T 1=-3适合上式，综上得T n =n ,n 为偶数-n -2,n 为奇数(或T n =n +1 -1 n -1，n ∈N *)；解法二：(错位相减法)由(1)可知，a 2n +1=22n +1，所以，b n =-1 n ⋅2a 2n +1log =-1 n ⋅222n +1log =-1 n ⋅2n +1 ，T n =-1 1×3+-1 2×5+-1 3×7+L +-1 n 2n +1 ，所以-T n =-1 2×3+-1 3×5+-1 4×7+L +-1 n +12n +1 所以2T n =-3+2-1 2+-1 3+L +-1 n --1 n +12n +1=-3+2×1--1 n -12+-1 n 2n +1 =-3+1--1 n -1+-1 n 2n +1=-2+2n +2 -1 n ，所以T n =n +1 -1 n -1，n ∈N *变式3.(2022·湖北·黄冈中学二模)已知数列a n 中，a 1=2,n a n +1-a n =a n +1.(1)求证：数列a n +1n是常数数列；(2)令b n =(-1)n a n ,S n 为数列b n 的前n 项和，求使得S n ≤-99的n 的最小值.【解析】(1)由n a n +1-a n =a n +1得：na n +1=n +1 a n +1，即a n +1n +1=a n n +1n n +1∴a n +1n +1=a n n +1n -1n +1，即有a n +1+1n +1=a n +1n,∴数列a n +1n 是常数数列；(2)由(1)知：a n +1n =a 1+1=3,∴a n =3n -1,∴b n =(-1)n 3n -1即b n =3n -1,n 为偶数-3n -1 ,n 为奇数，∴当n 为偶数时，S n =-2+5 +-8+11 +⋯+-3n -4 +3n -1 =3n2，显然S n ≤-99无解；当n 为奇数时，S n =S n +1-a n +1=3n +1 2-3n +1 -1 =-3n +12，令S n ≤-99，解得：n ≥66，结合n 为奇数得：n 的最小值为67.所以n 的最小值为67.题型三、a n +a n +1类型例3.(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n 满足a 1=1，a n +a n +1=2n ；数列b n 前n 项和为S n ，且b 1=1，2S n =b n +1-1.(1)求数列a n 和数列b n 的通项公式；(2)设c n =a n ⋅b n ，求c n 前2n 项和T 2n .【答案】(1)a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z ，b n =3n -1；(2)58n -5 9n8.【解析】【分析】(1)根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可；(2)利用错位相减法进行求解即可.(1)n ≥2，a n -1+a n =2n -1 ，∴a n +1-a n -1=2，又a 1=1，a 2=1，n =2k -1(k 为正整数)时，a 2k -1 是首项为1，公差为2的等差数列,∴a 2k -1=2k -1，a n =n ，n =2k (k 为正整数)时，a 2k 是首项为1，公差为2的等差数列.∴a 2k =2k -1，∴a n =n -1，∴a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z，∵2S n =b n +1-1，∴n ≥2时，2S n -1=b n -1，∴2b n =b n +1-b n ，公众号：高中数学最新试题又b2=3，∴n≥2时，b n=3n-1，b1=1=30，∴b n=3n-1；(2)由(1)得c n=n3n-1,n=2k-1,k∈Zn-13n-1,n=2k,k∈Z，T2n=1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅+2n-1⋅32n-2+1×31+3×33+5×35+⋅⋅⋅+2n-1⋅32n-1= 41×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n-1⋅32n-2设K n=1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n-1⋅32n-2①则9K n=1×32+3×34+5×36+⋅⋅⋅+2n-1⋅32n②①-②得-8K n=1+232+34+⋅⋅⋅+32n-2-2n-1⋅32n=5+8n-59n-4，K n=5+8n-59n32，∴T2n=58n-59n8变式1.(2022·江苏苏州·高三期末)若数列a n满足a n+m=a n+d(m∈N*，d是不等于0的常数)对任意n∈N*恒成立，则称a n是周期为m，周期公差为d的“类周期等差数列”．已知在数列a n中，a1=1，a n+a n+1=4n+1(n∈N*)．(1)求证：a n是周期为2的“类周期等差数列”，并求a2,a2022的值；(2)若数列b n满足b n=a n+1-a n(n∈N*)，求b n的前n项和T n．【答案】(1)证明见解析；a2=4；a2022=4044(2)T n=2n+1,n为奇数, 2n,n为偶数.【解析】【分析】(1)由a n+a n+1=4n+1，a n+1+a n+2=4(n+1)+1，相减得a n+2-a n=4(n∈N*)，即可得到答案；(2)对当n分为偶数和奇数进行讨论，进行并求和，即可得到答案；(1)由a n+a n+1=4n+1，a n+1+a n+2=4(n+1)+1，相减得a n+2-a n=4(n∈N*)，所以a n周期为2，周期公差为4的“类周期等差数列”，由a1+a2=5，a1=1，得a2=4，所以a2022=a2+(2022-2)×2=4+4040=4044．(2)由b n=a n+1-a n，b n+1=a n+2-a n+1，得b n+1+b n=a n+2-a n=4，当n为偶数时，T n=(b1+b2)+(b3+b4)+⋯+(b n-1+b n)=4⋅n2=2n；当n为奇数时，T n=b1+(b2+b3)+(b4+b5)+⋯+(b n-1+b n)=3+4⋅n-12=2n+1．综上所述，T n=2n+1,n为奇数, 2n,n为偶数.变式2.(2022·江苏新高考基地学校第一次大联考期中)(10分)已知等差数列{a n}满足an+an+1= 4n，n∈N*．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b1=1，bn+1=a n，n为奇数，-b n+2n，n为偶数，求数列{bn}的前2n项和S2n．【答案】(1)a n=2n-1；(2)4n-13+4n-3.【解析】【分析】(1)设等差数列a n的公差为d，由已知可得a n+1+a n+2=4n+1与已知条件两式相减可得a n+2-a n=4=2d求得d的值，再由a1+a2=4求得a1的值，利用等差数列的通项公式可得a n的通项公式；(2)当n为奇数时，b n+1=2n-1，当n为偶数时，b n+1+b n=2n，再利用分组并项求和以及等比数列的求和公式即可求解.【小问1详解】因为a n+a n+1=4n，所以a n+1+a n+2=4n+1，所以a n+2-a n=4，设等差数列a n的公差为d，则a n+2-a n=4=2d，可得d=2，当n=1时，a1+a2=a1+a1+2=4，可得a1=1，所以a n=1+2n-1=2n-1.【小问2详解】当n为奇数时，b n+1=a n=2n-1，当n为偶数时，b n+1+b n=2n，所以S2n=b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7+⋯+b2n-2+b2n-1+b2n=1+22+24+26+⋯+22n-2+22n-1-1=20+22+24+26+⋯+22n-2+22n-1-1=201-4n1-4+4n-3=4n-13+4n-3.三、追踪训练1.(2022·江苏苏州市八校联盟第一次适应性检测)若数列{a n}中不超过f(m)的项数恰为b m(m∈N*)，则称数列{b m}是数列{a n}的生成数列，称相应的函数f(m)是数列{a n}生成{b m}的控制函数．已知a n=2n，且f(m)=m，数列{b m}的前m项和S m，若S m=30，则m的值为()公众号：高中数学最新试题A.9B.11C.12D.14【答案】B【解析】由题意可知，当m为偶数时，可得2n≤m，则b m=m2；当m为奇数时，可得2n≤m-1，则bm=m-12，所以b m=m-12(m为奇数)m2(m为偶数)，则当m为偶数时，S m=b1+b2+⋯+b m=12(1+2+⋯+m)-12×m2=m24，则m24=30，因为m∈N*，所以无解；当m为奇数时，S m=b1+b2+⋯+b m=S m+1-b m+1=(m+1)24-m+12=m2-14，所以m2-14=30，因为m∈N*，所以m=11，故答案选B．2.【2022·广东省深圳市第七高级中学10月月考】(多选题)已知数列a n满足a n+1+a n=n⋅-1 n n+12，其前n项和为S n，且m+S2019=-1009，则下列说法正确的是()A.m为定值B.m+a1为定值C.S2019-a1为定值D.ma1有最大值【答案】BCD【解析】【分析】分析得出a2k+a2k+1=2k⋅-1k2k+1，由已知条件推导出S2019-a1=-1010，m+a1=1，可判断出ABC选项正误，利用基本不等式可判断D选项的正误.【详解】当n=2k k∈N∗，由已知条件可得a2k+a2k+1=2k⋅-1k2k+1，所以，S2019=a1+a2+a3+⋯+a2019=a1+a2+a3+a4+a5+⋯+a2018+a2019=a1-2+4-6+8-⋯-2018=a1+2×504-2018=a1-1010，则S2019-a1=-1010，所以，m+S2019=m+a1-1010=-1009，∴m+a1=1，由基本不等式可得ma1≤m+a122=14，当且仅当m=a1=12时，等号成立，此时ma1取得最大值14.故选：BCD.3.(2022·江苏南通市区期中)(多选题)已知数列{a n}满足a1=-2，a2=2，a n+2-2a n=1-(-1)n，则A.{a2n-1}是等比数列B.5i=1a2i−1+2=-10C.{a2n}是等比数列D.10i=1a i=52【答案】ACD【解析】由题意可知，数列{a n}满足a1=-2，a2=2，a n+2-2a n=1-(-1)n，所以a n+2=1-(-1)n+2a n=2+2a n，n为奇数2a n，n为偶数，所以a3=2+2×(-2)=-2，a4=2×2=4，a5=2+2×(-2)=-2，a6=2×4=8，a7=2+2×(-2)=-2，a8=2×8=16，a9=2+2×(-2)=-2，a10=2×16=32，⋯，所以{a2n-1}={-2}，是等比数列，故选项A正确；5i=1a2i−1+2=(a1+a3+a5+a7+a9)+2×5=-2×5+2×5=0，故选项B错误；对于选项C，{a2n}={2n}是等比数列，故选项C正确；对于选项D，10i=1a i=-2+2-2+4-2+8-2+16-2+32=52，故选项D正确，综上，答案选ACD．4.(2022·江苏海门中学、泗阳中学期中联考)已知数列{a n}满足a n+1+(-1)n a n=2n+1，则a1+a3+a5+⋯+a99=．【答案】50【解析】【分析】根据所给递推关系，可得a2n+1+a2n=4n+1,a2n-a2n-1=4n-1，两式相减可得a2n+1+a2n-1=2.即相邻奇数项的和为2，即可求解.【详解】∵a n+1+(-1)n a n=2n+1,∴a2n+1+a2n=4n+1,a2n-a2n-1=4n-1.两式相减得a2n+1+a2n-1 =2.则a3+a1=2,a7+a5=2,⋯,a99+a97=2,∴a1+a3+a5+⋯+a99=25×2=50，故答案为：505.(2021·天津红桥区·高三一模)已知数列a n的前n项和S n满足：S n=2a n+(-1)n，n≥1.(1)求数列a n的前3项a1，a2，a3；(2)求证：数列a n+23⋅-1n是等比数列：(3)求数列(6n-3)⋅a n的前n项和T n.【详解】(1)当n=1时，有：S1=a1=2a1+-1⇒a1=1；当n=2时，有：S2=a1+a2=2a2+-12⇒a2=0；当n=3时，有：S3=a1+a2+a3=2a3+-13⇒a3=2；综上可知a1=1，a2=0，a3=2；(2)由已知得：n≥2时，a n=S n-S n-1=2a n+(-1)n-2a n-1-(-1)n-1化简得：a n=2a n-1+2(-1)n-1公众号：高中数学最新试题上式可化为：a n+23(-1)n=2a n-1+23(-1)n-1故数列a n+23(-1)n是以a1+23(-1)1为首项，公比为2的等比数列.(3)由(2)知a n+23(-1)n=132n-1∴a n=13⋅2n-1-23(-1)n6n-3⋅a n=2n-12n-1-2-1n=2n-1⋅2n-1-2⋅(-1)n⋅(2n-1)当n为偶数时，T n=1⋅20+3⋅21+⋅⋅⋅+(2n-1)⋅2n-1-2[-1+3-5+⋅⋅⋅-(2n-3)+(2n-1)]令A n=1⋅20+3⋅21+⋅⋅⋅+(2n-1)⋅2n-1，B n=2[-1+3-5+⋅⋅⋅-(2n-3)+(2n-1)] A n=1⋅20+3⋅21+5⋅22⋅⋅⋅+(2n-3)⋅2n-2+(2n-1)⋅2n-1①2A n=1⋅21+3⋅22+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(2n-3)⋅2n-1+(2n-1)⋅2n②则①-②得-A n=20+2⋅21+2⋅22⋅⋅⋅+2⋅2n-1-(2n-1)⋅2n=1+221+22⋅⋅⋅+2n-1-(2n-1)⋅2n=1+2⋅21-2n-11-2-(2n-1)⋅2n=-3+(3-2n)⋅2n∴A n=3+(2n-3)⋅2n10B n=2[-1+3-5+⋅⋅⋅-(2n-3)+(2n-1)]=2⋅2⋅n2=2n所以T n=A n-B n=3+(2n-3)⋅2n-2n.当n为奇数时，A n=3+(2n-3)⋅2nB n=2[-1+3-5+⋅⋅⋅-(2n-5)+(2n-3)-(2n-1)] =22⋅n-12-2n+1=-2n所以T n=A n-B n=3+(2n-3)⋅2n+2n综上，T n=3+(2n-3)⋅2n-2n,n为偶数, 3+(2n-3)⋅2n+2n,n为奇数.6.(2022·山东烟台·高三期末)已知数列a n满足a1=4，a n+1=12a n+n,n=2k-1a n-2n,n=2k(k∈N*)．(1)记b n=a2n-2，证明：数列b n为等比数列，并求b n的通项公式；(2)求数列a n的前2n项和S2n．【答案】(1)证明见解析；b n =12n -1，n ∈N *；(2)S 2n =-2n 2+6n +6-32n -1.【解析】【分析】(1)根据给定的递推公式依次计算并探求可得b n +1=12b n，求出b 1即可得证，并求出通项公式.(2)由(1)求出a 2n ，再按奇偶分组求和即可计算作答.(1)依题意，b n +1=a 2n +2-2=12a 2n +1+2n +1 -2=12a 2n -2×2n +2n +1 -2=12a 2n -1=12(a 2n -2)=12b n，而b 1=a 2-2=12a 1+1-2=1>0，所以数列b n 是以1为首项，12为公比的等比数列，b n =12n -1，n ∈N *.(2)由(1)知，a 2n =b n +2=12 n -1+2，则有a 2+a 4+⋅⋅⋅+a 2n =1-12 n1-12+2n =2-12n -1+2n ，又a 2n =12a 2n -1+2n -1，则a 2n -1=2a 2n -2(2n -1)，于是有a 1+a 3+⋅⋅⋅+a 2n -1=2(a 2+a 4+⋅⋅⋅+a 2n )-2×1+(2n -1)2×n =22-12n -1+2n -2n 2=-2n 2+4n +4-22n -1，因此，S 2n =(a 1+a 3+⋅⋅⋅+a 2n -1)+(a 2+a 4+⋅⋅⋅+a 2n )=-2n 2+4n +4-22n -1+2-12n -1+2n =-2n 2+6n +6-32n -1，所以S 2n =-2n 2+6n +6-32n -1.公众号：高中数学最新试题。
【高考数学数列通项公式解题方法】高考数学数列大题题型
【高考数学数列通项公式解题方法】高考数学数列大题题型求数列的通项公式一直都是高考数学考试的重点与难点，找到解题方法对考生来说很重要，下面是给大家带来的高考数学数列通项公式解题方法，希望对你有帮助。
高考数学求数列通项公式方法(一)题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列，直接用其通项公式。
例：在数列{an}中，若a1=1，an+1=an+2(n1)，求该数列的通项公式an。
解：由an+1=an+2(n1)及已知可推出数列{an}为a1=1，d=2的等差数列。
所以an=2n-1。
此类题主要是用等比、等差数列的定义判断，是较简单的基础小题。
高考数学求数列通项公式方法(二)已知数列的前n项和，用公式S1 (n=1)Sn-Sn-1 (n2)例：已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6解：∵an=Sn-Sn-1=2n-10，∴5<2k-10<8∴k=8 选 (B)此类题在解时要注意考虑n=1的情况。
高考数学求数列通项公式方法(三)已知an与Sn的关系时，通常用转化的方法，先求出Sn 与n的关系，再由上面的(二)方法求通项公式。
例：已知数列{an}的前n项和Sn满足an=SnSn-1(n2)，且a1=-，求数列{an}的通项公式。
解：∵an=SnSn-1(n2)，而an=Sn-Sn-1，SnSn-1=Sn-Sn-1，两边同除以SnSn-1，得---=-1(n2)，而-=-=-，∴{-} 是以-为首项，-1为公差的等差数列，∴-= -，Sn= -，再用(二)的方法：当n2时，an=Sn-Sn-1=-，当n=1时不适合此式，所以，- (n=1)- (n2)高考数学求数列通项公式方法(四)用累加、累积的方法求通项公式对于题中给出an与an+1、an-1的递推式子，常用累加、累积的方法求通项公式。
数列通项公式经典例题解析
求数列通项公式一、公式法类型1 )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：1232n n n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222nn a n =-。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+⨯转化为113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。
练习题：1.已知数列{}n a 满足1132313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
2. 已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n nn n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
数列分奇偶项求和做题套路
数列分奇偶项求和做题套路
在数学题目中，我们有时会遇到关于“数列分奇偶项求和”的问题。
解决这类问
题时，通常会有一些常用的套路或方法，如下：
套路一：设新数列
首先，通常需要我们将原数列分为奇数项和偶数项两个新数列。
假设原数列为{an}，那么奇数项数列为{a1, a3, a5,...}，偶数项数列为{a2, a4, a6,...}。
套路二：利用性质
接着，我们可以分别研究这两个新数列的性质。
例如，我们可以试着寻找它们的通项公式，或者确认它们是否为等差（等比）数列，从而便于我们进行下一步的计算。
套路三：分别求和
有了这些性质，我们就可以方便地求出奇数项数列与偶数项数列的和。
也就是说，我们需要分别计算S1=a1+a3+a5+...和S2=a2+a4+a6+...。
套路四：合并结果
最后，我们把S1（奇数项数列的和）和S2（偶数项数列的和）加起来或做适当运算，就可以得到原数列的求和结果。
注意，这只是一种通用的套路，具体的方法可能会因为题目的不同而有所变化。
而解决任何数学问题的关键，仍然在于理解题目要求，掌握扎实的数学知识，以
及多做练习以提高解题技巧。
如何分奇偶项求解两类数列问题
有些数列奇数项和偶数项的通项公式不同，此时数列的通项公式以及前n 项和都需分段表示.那么在求数列的通项公式和前n 项和时，需对数列的奇数项和偶数项进行分类讨论，主要讨论n 分别为奇数和偶数时的情况.这就给我们解题带来了很多的麻烦和障碍，同学们需灵活运用分类讨论思想来辅助解题.一、求数列的通项公式若数列的奇数项和偶数项不同，则数列的奇数项和偶数项的通项公式也不同.在求数列的通项公式时，需分别研究当n 为1，3，5，⋯，2k -1时以及n 为2，4，6，⋯，2k 时各项之间的规律，并采用一些手段，如将前后项作差、作商、添加（去掉）一个常数、在分子（分母）上减去一个常数等，以确定前后项之间的递推关系，进而求得数列的通项公式.最后需将数列的通项公式，用分段式表示出来.例1.已知数列{}a n 满足a n +1+a n =n ，a 1=1，则数列{}a n 的通项公式为.解：因为a n +1+a n =n ，所以a n +2+a n +1=n +1，将上述两式相减可得a n +2-a n =1，则a 1,a 3,∙∙∙,a 2k -1,∙∙∙是以a 1=1为首项，1为公差的等差数列；a 2,a 4,∙∙∙,a 2k ,∙∙∙是以a 2=0为首项，1为公差的等差数列，所以a 2k -1=1+(k -1)×1=k ，a 2k =0+(k -1)×1=k -1.令n =2k -1，则a n =n +12；令n =2k ，则a n =n -22.所以数列{}a n 的通项公式为a n =ìíîïïn +12,n 为奇数,n -22,n 为偶数.由递推关系a n +1+a n =n 可推导出数列{}a n 的奇数项成等差数列，偶数项成等差数列.再分别根据等差数列的定义求得数列的首项和公差，即可求得数列{}a 2k -1和{}a 2k 的通项公式，最后用分段式表示即可.例2.已知数列{}a n 满足a n +1∙a n =2n，a 1=1，则数列{}a n 的通项公式为.解：因为a n +1∙a n =2n ，所以a n +2∙a n +1=2n +1，将上述两式相除可得a n +2a n=2，则a 1,a 3,∙∙∙,a 2k -1,∙∙∙是以a 1=1为首项，2为公比的等比数列；a 2,a 4,∙∙∙,a 2k ,∙∙∙是以a 2=2为首项，2为公比的等比数列，所以a 2k -1=1×2k -1=2k -1，a 2k =2×2k -1=2k .令n =2k -1，则a n =2n -12；令n =2k ，则a n =2n2.所以数列{}a n 的通项公式为a n =ìíîïï2n -12,n 为奇数,2n2,n 为偶数.将a n +1∙a n =2n 与a n +2∙a n +1=2n +1两项作商，即可确定a n +2、a n 之间的递推关系，进而根据等比数列的定义判定数列{}a n 的奇数项、偶数项都成等比数列.再分别根据等比数列的通项公式求得数列{}a 2k -1和{}a 2k 的通项公式.例3.已知数列{}a n 满足，[2-(-1)n ]⋅a n +[2+(-1)n ]⋅a n +1=1+(-1)n ×3n ，a 1=1，则数列{}a n 的通项公式为.解：当n =2k -1(k ≥1)时，有a 2k +3a 2k -1=4-6k ；当n =2k (k ≥1)时，有a 2k +3a 2k +1=1+6k .将上述两式相减得a 2k +1-a 2k -1=4k -1，故a 2k -1=a 1+(a 3-a 1)+∙∙∙+(a 2k -1-a 2k -3)解题宝典37=1+3+7+∙∙∙+(4k -5)=1+(k -1)(3+4k -5)2=2k 2-3k +2，又因为a 2k +3a 2k -1=4-6k ，所以a 2k =4-6k -3a 2k -1=-6k 2+3k -2.令n =2k -1，则a n =12n 2-12n +1；令n =2k ，则a n =-32n 2+32n -2.所以数列{}a n 的通项公式为：a n =ìíîïï12n 2-12n +1,n 为奇数,-32n 2+32n -2,n 为偶数.由于数列的递推关系式含有(-1)n，所以需分n =2k -1和n =2k 两种情况进行讨论.先由[2-(-1)n ]⋅a n +[2+(-1)n ]∙a n +1=1+(-1)n ×3n 可推导出递推关系a 2k +1-a 2k -1=4k -1，求得a 2k -1的表达式；再根据a 2k +3a 2k -1=4-6k 求得a 2k 的表达式；最后将数列{}a n 的通项公式写成分段式即可.例4.已知数列{}a n 满足a n +1+(-1)n∙a n =2n -1，a 1=1，则数列{}a n 的通项公式为.解：当n =2k -1(k ≥1)时，a 2k -a 2k -1=4k -3；当n =2k (k ≥1)时，a 2k +1+a 2k =4k -1.将上述两式相减可得a 2k +1+a 2k -1=2，①又a 2k +3+a 2k +1=2，②，将②-①得a 2k +3-a 2k -1=0，则a 1,a 5,a 9,∙∙∙,a 4k -3,∙∙∙是以a 1=1为首项，0为公差的等差数列；a 3,a 7,a 11,∙∙∙,a 4k -1,∙∙∙是以a 3=1为首项，0为公差的等差数列，所以a 4k -3=a 1+(k -1)×0=1，a 4k -1=a 3+(k -1)×0=1，又因为a 2k -a 2k -1=4k -3，所以a 4k -a 4k -1=8k -3，a 4k -2-a 4k -3=8k -7，即a 4k =8k -2，a 4k -2=8k -6.因为{n |n =2k -1,k ∈N +}={n |n =4k -1,k ∈N +}⋃{n |n =4k -3,k ∈N +}，{n |n =2k ,k ∈N +}={n |n =4k ,k ∈N +}⋃{n |n =4k -2,k ∈N +}，所以数列{}a n 的通项公式为：a n ={1,n 为奇数,2n -2,n 为偶数.由a n +1+(-1)n∙a n =2n -1可推导出递推关系a 2k +3-a 2k -1=0，进而求得a 4k -1和a 4k -3的表达式，再分n 为奇数、偶数两种情况，由a 2k -a 2k -1=4k -3求得a 4k 和a 4k -2的表达式，即可得到数列{}a n 的通项公式.例5.数列{}a n 中，a 1=2，a n +1=ìíîïï12a n ,n 为偶数，a n +1,n 为奇数，则数列{}a n 的通项公式为.解：由题意得a 2k +1=12a 2k =12(a 2k -1+1)，则a 2k +1-1=12(a 2k -1-1)，即数列{a 2k -1-1}是以a 1-1=1为首项，12为公比的等比数列.则a 2k -1-1=1×(12)k -1=(12)k -1，即a 2k -1=(12)k -1+1，而a 2k =a 2k -1+1=(12)k -1+2.令n =2k -1，则a n =(12)n -12+1；令n =2k ，则a n =(12)n -22+2.所以数列{}a n 的通项公式为a n =ìíîïïïï(12)n -12+1,n 为奇数,(12)n -22+2,n 为偶数.题目中给出的递推关系为分段式，可由该递推关系式推导出a 2k +1=12a 2k =12(a 2k -1+1)，进而得出数列{a 2k -1-1}为等比数列，求得{}a 2k -1的通项公式，再根据a 2k =a 2k -1+1求得a 2k 的表达式.从这几个例题中可看出，求数列{}a n 的通项公式，需运用分类讨论思想，先分n =2k -1和n =2k 两种情况进行讨论，分别运用等差、等比数列的通项公式，累加法、累乘法、待定系数法等方法求出数列{}a 2k -1和{}a 2k 的通项公式；再用分段式表示数列{}a n 的通项公式.二、求数列的和当数列奇数项和偶数项的通项公式不同时，我们需要分n 为奇数和偶数两种情况来讨论数列的前n 项和.通常需先根据所有奇数项以及偶数项的规律确定数列的通项公式；然后运用等差、等比数列的前n 项和公式，错位相减法、裂项相消法、分组求和法等求得奇数项以及偶数项数列的和；最后将所得的结果相加.解题宝典38例6.设S n 为数列{}a n 的前n 项和，S n =(-1)n a n -12n,n ∈N +，则S 1+S 2+∙∙∙+S 100=.解：因为a n =S n -S n -1(n ≥2)，所以S n =(-1)n (S n -S n -1)-12n ,n ≥2.则当n =2k -1时，S 2k -1=-(S 2k -1-S 2k -2)-122k -1，即2S 2k -1=S 2k -2-122k -1；当n =2k 时，S 2k =S 2k -S 2k -1-122k，即S 2k -1=-122k ，又因为2S 2k -1=S 2k -2-122k -1，所以S 2k -2=2S 2k -1+122k -1=0.所以S 1+S 2+∙∙∙+S 100=S 1+S 3+S 5+∙∙∙+S 99=-(122+124+∙∙∙+12198)=-14(1-12100)1-14=13(12100-1).由a n =S n -S n -1(n ≥2)可推导出S 2k -1=-122k 和S 2k -2=0，即可根据等比数列的前n 项和公式求得数列中各奇数项的和，进而求得S 1+S 2+∙∙∙+S 100的值.例7.已知数列{}a n 满足a 1=1，a n +a n +1=2n -1，则数列{}a n 的前n 项和S n =.解：S 2k -1=a 1+(a 2+a 3)+∙∙∙+(a 2k -2+a 2k -1)=1+3+∙∙∙+(4k -5)=1+(k -1)(4k -2)2=2k 2-3k +2；S 2k =(a 1+a 2)+∙∙∙+(a 2k -1+a 2k )=1+5+∙∙∙+(4k -3)=k (4k -2)2=2k 2-k .令n =2k -1，则S n =2×(n +12)2-3(n +12)+2=12n 2-12n +1；当n =2k 时，S n =2×(n 2)2-n 2=12n 2-12n .所以数列{}a n 的前n 项和S n =ìíîïï12n 2-12n +1,n 为奇数,12n 2-12n ,n 为偶数.已知递推关系式为数列前后两项之和，于是分别讨论n =2k -1和n =2k 时每两项的和，再根据等差数列的前n 项公式进行求和即可.例8.已知S n 为正项数列{}a n 的前n 项和，且a n ,2S n ,a n +1依次成等比数列.（I ）求数列{}a n 的通项公式；（II ）设b n =ìíîïïa n,n 为奇数，2n 2,n 为偶数，求数列{b n b n +1}的前n 项和T n .解：（I ）易得a n =n ；（过程略）（II ）因为b n =ìíîïïn ,n 为奇数，2n 2,n 为偶数，设c n =b n b n +1，则c 2k -1+c 2k =b 2k -1b 2k +b 2k b 2k +1=b 2k (b 2k -1+b 2k +1)=4k ∙2k ，所以T 2n =c 1+c 2+∙∙∙+c 2n =(c 1+c 2)+∙∙∙+(c 2n -1+c 2n )=4(1×21+2×22+∙∙∙+n ×2n )，令R n =1×21+2×22+∙∙∙+n ×2n ，则2R n =1×22+2×23+∙∙∙+n ×2n +1，将上述两式相减可得-R n =21+22+∙∙∙+2n -n ×2n +1=2(1-2n )1-2-n ×2n +1=(1-n )×2n +1-2，故R n =(n -1)×2n +1+2，则T 2n =4R n =(n -1)×2n +3+8.又T 2n -1=T 2n -c 2n =(n -1)×2n +3+8-(2n +1)×2n=(6n -9)×2n +8.所以数列{b n b n +1}的前n 项和为：T n =ìíî(6n -9)×2n +8,n 为奇数，(n -1)×2n +3+8,n 为偶数.解答本题的关键是构造数列c n =b n b n +1，得到c 2k -1+c 2k =4k ∙2k ，进而分别求出S 2n -1和S 2n ，得到S n的表达式.一般地，若数列{}a n 的奇数项和偶数项的通项公式不同，则要求前n 项和S n ，往往需要运用分类讨论思想，分别求得奇数项的和S 2k -1和偶数项的和S 2k .虽然数列中奇偶项的通项公式不同问题较为复杂，但是我们只要抓住解题的关键：（1）要认真分析数列的通项公式或者递推关系式的结构特点，找到问题的突破口；（2）灵活运用分类讨论思想，将n 分为奇数和偶数两种情况进行讨论，就能顺利解题.（作者单位：福建省武平县第二中学）解题宝典39。
数列中的奇偶项问题
数列中的奇偶项问题例1、已知数列{}n a 满足：111,1,2n n na n a a a n ++⎧==⎨⎩奇，，偶为数为数*n N ∈，设21n n b a -=. （1）求23,,b b 并证明：122;n n b b +=+（2）①证明：数列{}2n b +等比数列；②若22122,,9k k k a a a +++成等比数列，求正整数k 的值.例2、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且248,40a S ==．数列{}n b 的前n 项和为n T ，且230n n T b -+=，n N *∈．（I ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式； （II ）设⎩⎨⎧=为偶数为奇数n b n a c nn n ， 求数列{}n c 的前n 项和n P ．3、 一个数列{a n }，当n 是奇数时，a n ＝5n ＋1；当n 为偶数时，a n ＝22n，则这个数列的前2m 项的和是________． 练习1．已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40 2、等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）103、已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10＝________.4、已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7a 3＝( )A ．2B ．4C ．5 D.525．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，设S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 2 014＝( )A ．22 014－1B ．3×21 007－3C ．3×21 007－1D ．3×21 007－26. 于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.7、(2013·天津高考)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明S n ＋1S n ≤136(n ∈N *)．8、已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.①求数列{a n }的通项公式；②是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．解：（1）2321=22(1)4,b a a a ==+=3543=22(1)10,b a a a ==+= 121221=22(1)2(1)22,n n n n n n b a a a b b ++-==+=+=+ （2）①因为111122(2)1,20,2,22n n n n b b b a b b b +++==+≠==++所以数列{}2n b +是以3为首项，2为公比的等比数列. ②由数列{}2n b +可得，1121322,322n n n n b a ---=⨯-=⨯-即，则12211321n n n a a --=+=⨯-， 因为22122,,9k k k a a a +++成等比数列，所以21(322)(321)(328)k k k -⨯-=⨯-⨯+，令2=kt ，得23(32)(1)(38)2t t t ⨯-=-+，解得243t =或，得2k =.解：（Ⅰ）由题意，1184640a d a d +=⎧⎨+=⎩，得14,44n a a n d =⎧∴=⎨=⎩． …………3分230n n T b -+=，113n b ∴==当时，，112230n n n b --≥-+=当时，T ，两式相减，得12,(2)n n b b n -=≥数列{}n b 为等比数列，132n n b -∴=⋅． …………7分 （Ⅱ）14 32n n nn c n -⎧=⎨⋅⎩为奇数为偶数． 当n 为偶数时， 13124()()n n n P a a a b b b -=+++++++ =212(444)6(14)222214nn n n n ++-⋅-+=+--．当n 为奇数时，（法一）1n -为偶数，1n n n P P c -=+(1)1222(1)24221n n n n n n -+=+--+=++-（法二）132241()()n n n n P a a a a b b b --=++++++++1221(44)6(14)2221214n n n n n n -++⋅-=+=++-- ．12222,221n n nn n P n n n +⎧+-∴=⎨++-⎩为偶数，为奇数解析：当n 为奇数时，{a n }是以6为首项，以10为公差的等差数列；当n 为偶数时，{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列．所以，S 2m ＝S 奇＋S 偶＝ma 1＋m (m －1)2×10＋a 2(1－2m )1－2＝6m ＋5m (m －1)＋2(2m－1)＝6m ＋5m 2－5m ＋2m ＋1－2＝2m ＋1＋5m 2＋m －2.解析：选A 设这个数列有2n 项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd ，即25－15＝2n ，故2n ＝10，即数列的项数为10.解析：∵a n ＋a n ＋1＝b n ，a n ·a n ＋1＝2n ，∴a n ＋1·a n ＋2＝2n ＋1，∴a n ＋2＝2a n .又∵a 1＝1，a 1·a 2＝2，∴a 2＝2，∴a 2n ＝2n ，a 2n －1＝2n －1(n ∈N *)，∴b 10＝a 10＋a 11＝64.解析：选B 依题意得a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝2n ＋12n ＝2，即a n ＋2a n ＝2，故数列a 1，a 3，a 5，a 7，…是一个以5为首项、2为公比的等比数列，因此a 7a 3＝4.解析：选B 由a n ＋2a n ＋1a n ＋1a n ＝a n ＋2a n ＝2n ＋12n ＝2，且a 2＝2，得数列{a n }的奇数项构成以1为首项，2为公比的等比数列，偶数项构成以2为首项，2为公比的等比数列，故S 2 014＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 013)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 014)＝1－21 0071－2＋2(1－21 007)1－2＝3×21 007－3.对比： a n ＋1/a n ＝2n 则用累乘法，解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n 1－2＋2＝2n －2＋2＝2n .∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.[解题指导] (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式； (2)求出前n 项和，根据函数的单调性证明．[解] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n . (2)证明：S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ，S n ＋1S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ＋11－⎝⎛⎭⎫－12n ＝⎩⎨⎧2＋12n (2n ＋1)，n 为奇数，2＋12n (2n －1)，n 为偶数.当n 为奇数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136.当n 为偶数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512.故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136.解析：①设数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，即⎩⎪⎨⎪⎧ －a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1.②由①有S n ＝3×[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .若存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n ≥2 013， 即(－2)n ≤－2 012.当n 为偶数时，(－2)n >0，上式不成立； 当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012， 即2n ≥2 012，则n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}． 点评：当数列涉及底数是负数时，要对指数n 分奇偶讨论。
高中数学：数列通项的奇偶项问题-文档资料
高中数学：数列通项的奇偶项问题
在日常学习考试中，我们经常会遇到数列求和问题，通常的做法是先求出数列通项解析式，判断数列性质，再根据公式求和，这是大多数同学都能掌握并熟练运用的。
但也经常会遇到根据给出的条件，按照正常解题思路无法准确求出解析式的情况，这时，我们必须要学会巧用奇偶分析法求出通项解析式，或者选择放弃求通项解析式，采用分类讨论法研究，一定会收到意想不到的效果。
同样的方法研究偶数项的通项公式：
我们看到，不管n为奇数还是偶数，通项公式的形式是相同的。
在采用奇偶分析法研究数列的通项时，我们采用了累加法.这个方法简单易用，不容易犯错。
当然，因为奇数项成等差，偶数项也成等差，你也可以利用等差数列的通项公式直接写出奇数项和偶数项的通项
公式，
前提是项数不要搞错。
下面，思考一个一般化的问题：
请思考2分钟，再往下看。
看下面的简图：
把等差数列的各项放在数轴上，那么等差数列可理解为任意相邻两项的距离为定值(假设入>0)。
可是，由题我们只
能
确定间隔一项的两项距离为定值，如何做到符合等差数列的要求呢?
其实也容易，如果我们使得第1项和第2项的距离为入/2，自然地，第2项和第3项的距离就为入/2，第3项和第4项的距离
也为入/2，依次往下，多米诺骨牌效应......。
一道数列奇偶通项公式题解法
例题1：设{}n a 满足11a =，且11(n )21 (n )4nn na a a +⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为偶数为奇数，记2114n n b a -=-，212n n c a =-则n a =__________ 例题2:已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1213()(3)2n n n S S n ---=-≥，且11S =，232S =-，求数列{}n a 的通项公式.例题3: 已知数列{a n }中，a 1=1且a n a n+1=21()4n，求通项公式．例题1解：由题中条件知道：11a =，254a =，111344b a =-=，121324c a =-= ； 当2n ≥时，2n n 2-，2为偶数，2n 1n 3--，2为奇数(1) 奇数项通项公式212212n n a a --=，222314n n a a --=+ 所以有2123124n n a a --=+⇒ 212311244n n a a --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⇒ 12n n b b -=所以{}n b 是以134b =为首项，12b q =为公比的等比数列，其通项公式为13142n n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭即121131442n n a --⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，⇒ 12311424n n a -⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭（n 为奇数） (2) 偶数项通项公式22114n n a a -=+，212212n n a a --= 所以有2123122n n a a --=+⇒ 2211222n n a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⇒ 12n n c c -=所以{}n c 是以134c =为首项，12c q =为公比的等比数列，其通项公式为13142n n c -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭即12131242n n a -⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，⇒ 12311422n n a -⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭（n 为偶数） 所以{}n a 的通项公式为1212311 (n )424311(n )422n n na --⎧⎛⎫⎪⋅+ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪⎛⎫⋅+⎪ ⎪⎝⎭⎩为奇数为偶数 例题2解：方法一：先考虑偶数项有：1212222)21(3)21(3---⋅-=-⋅=-n n n n S S 32324222)21(3)21(3----⋅-=-⋅=-n n n n S S……….)21(3)21(23324⋅-=-⋅=-S S).1()21(2])41(2121[4411)41(21213]21)21()21()21[(3])21()21()21[(312332123321222≥+-=⋅--=--⋅-=++++-=+++-=∴-----n S S n n n n n n n n同理考虑奇数项有：.)21(3)21(3221212nn n n S S ⋅=-=---22223212)21(3)21(3----⋅=-⋅=-n n n n S S……….)21(3)21(32213⋅=-⋅=-S S.1).1()21(34))21(2()21(2).1()21(34))21(2()21(2).1()21(2])21()21()21[(31112122122221222121222222112==≥⋅+-=--+-=-=≥⋅-=+---=-=∴≥-=++++=∴----++-+S a n S S a n S S a n S S n n n n n n n n n n n n n n n n综合可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+-⋅-=--.,)21(34,,)21(3411为偶数为奇数n n a n n n方法二：因为),3()21(31112≥-⋅=++=-----n a a a a S S n n n n n n n 所以两边同乘以n )1(-，可得：.)21(3)21()1(3)1()1(1111----⋅-=-⋅-⋅=---n n n n n n n a a令).3()21(3,)1(11≥-⋅-=-∴-=--n b b a b n n n n n n 所以,)21(311---⋅-=-n n n b b,)21(3221----⋅-=-n n n b b………,)21(3223-⋅-=-b b211)21(41413])21()21()21[(3222212-⋅-⨯-=+++-=∴---n n n n b b b ).3()21(32312≥⋅+-=-n b n ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+-⋅-=⋅-⋅+--=-=∴≥⋅+-=⋅+--=∴-=-=-=-=∴-=--=-===-----.,)21(34,,)21(34)21()1(3)1(4)1().1()21(34)21(32325.25)1(,1)1(,25123,11311122211112211为偶数为奇数又n n b a n b a b a b S S a S a n n n n n n n n n n n例题3解:由a n a n+1=21()4n 及a n+1a n+2=211()4n +，两式相除，得2n n a a +=14，则a 1,a 3,a 5,…a 2n-1，…和a 2,a 4,a 6,…a 2n ，…都是公比为14的等比数列，又a 1=1,a 2=12，则：（1）当n 为奇数时，112211()44n n n a --=⋅=；（2）当n 为偶数时，212211()424n nn a --=⋅=．综合得124nn a -=。
数列中的奇偶项问题
数列中的奇偶项问题例1、（12宁波一模）已知数列{}n a 满足：111,1,2n n n a n a a a n ++⎧==⎨⎩奇，，偶为数为数*n N ∈，设21n n b a -=. （1）求23,,b b 并证明：122;n n b b +=+（2）①证明：数列{}2n b +等比数列；②若22122,,9k k k a a a +++成等比数列，求正整数k 的值. 解：（1）2321=22(1)4,b a a a ==+=3543=22(1)10,b a a a ==+=121221=22(1)2(1)22,n n n n n n b a a a b b ++-==+=+=+（2）①因为111122(2)1,20,2,22n n n n b b b a b b b +++==+≠==++所以数列{}2n b +是以3为首项，2为公比的等比数列.②由数列{}2n b +可得，1121322,322n n n n b a ---=⨯-=⨯-即，则12211321n n n a a --=+=⨯-， 因为22122,,9k k k a a a +++成等比数列，所以21(322)(321)(328)k k k -⨯-=⨯-⨯+，令2=k t ，得23(32)(1)(38)2t t t ⨯-=-+，解得243t =或，得2k =. 例2、（14宁波二模）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且248,40a S ==．数列{}n b 的前n 项和为n T ，且230n n T b -+=，n N *∈．（I ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（II ）设⎩⎨⎧=为偶数为奇数n b n a c n n n ， 求数列{}n c 的前n 项和n P ． 解：（Ⅰ）由题意，1184640a d a d +=⎧⎨+=⎩，得14,44n a a n d =⎧∴=⎨=⎩． …………3分 230n n T b -+=，113n b ∴==当时，，112230n n n b --≥-+=当时，T ，两式相减，得12,(2)n n b b n -=≥数列{}n b 为等比数列，132n n b -∴=⋅． …………7分（Ⅱ）14 32n n n n c n -⎧=⎨⋅⎩为奇数为偶数 ． 当n 为偶数时，13124()()n n n P a a a b b b -=+++++++ =212(444)6(14)222214n n n n n ++-⋅-+=+--． ……………10分 当n 为奇数时，（法一）1n -为偶数，1n n n P P c -=+(1)1222(1)24221n n n n n n -+=+--+=++-……………13分 点评:根据结论1退而求之.（法二）132241()()n n n n P a a a a b b b --=++++++++ 1221(44)6(14)2221214n n n n n n -++⋅-=+=++-- ． ……………13分 12222,221n n n n n P n n n +⎧+-∴=⎨++-⎩为偶数，为奇数……………14分 点评：分清项数，根据奇偶进行分组求和。
奇偶讨论求通项
第一讲 奇偶讨论求数列通项类型一、a n ＋a n ＋1＝f (n )类型例1、已知数列{}n a 中，2,4,2221=-==+n n a a a a ，求数列{}n a 的通项公式变式1、已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＋a n ＝4n -3．求数列{a n }的通项公式．变式2、已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＋a n ＝4．则数列{a n }的通项公式为_________练习1、已知数列{}n a 中，12,111+=+=+n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式练习2、已知数列{}n a 中，2,1*,11222121+=+=∈=-+k k k k a a a a N k a 都有对于任意，则=2020a （ ）A.3027B.3030C.2018D.2020类型二、a n ·a n ＋1＝f (n )类型例2、已知数列{}n a 中，3,2,1221===+nn a a a a ，求数列{}n a 的通项公式变式1、已知数列{}n a 中，n n n a a a 2,111=⋅=+，求数列{}n a 的通项公式变式2、已知数列{}n a 中，3,111=⋅=+n n a a a ，则数列{}n a 的通项公式为_________练习、在数列{a n }中，已知a 1＝1，nn n a a )21(1=⋅+，记S n 为{a n }的前n 项和，*122,N n a a b n n n ∈+=-．(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并写出其通项公式；(2)求数列{a n }的通项公式；类型三、a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧f (n )，n 为奇数，g (n )，n 为偶数． 例3、 (2021·新高考Ⅰ)、 已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数 （1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 通项公式； （2）求{}n a 的前20项和.练习1.已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋2，n 是奇数，2a n ，n 是偶数，求数列{a n }的通项公式练习2.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧12a n ＋n －1，n 为奇数，a n －2n ，n 为偶数，记b n ＝a 2n ， 求证：数列{b n }为等比数列，并求出数列{a n }的通项公式．已知正整数数列{}n a 满足131,,2n n n n n a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数,则当18a =时，2021a =___________.。
数列中的奇偶项问题
数列中的奇偶项问题例1、数列{}n a 满足：111,1,2n n na n a a a n ++⎧==⎨⎩奇，，偶为数为数*n N ∈，设21n n b a -=. 〔1〕求23,,b b 并证明：122;n n b b +=+〔2〕①证明：数列{}2n b +等比数列；②假设22122,,9k k k a a a +++成等比数列，求正整数k 的值.例2、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且248,40a S ==．数列{}n b 的前n 项和为n T ，且230n n T b -+=，n N *∈．〔I 〕求数列{}n a ,{}n b 的通项公式； 〔II 〕设⎩⎨⎧=为偶数为奇数n b n a c nn n ， 求数列{}n c 的前n 项和n P ．3、 一个数列{a n }，当n 是奇数时，a n ＝5n ＋1；当n 为偶数时，a n ＝22n，那么这个数列的前2m 项的和是________． 练习1．等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，那么这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40 2、等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，那么这个等比数列的项数为〔A 〕4 〔B 〕6 〔C 〕8 〔D 〕103、数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，那么b 10＝________.4、数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，那么a 7a 3＝( )A ．2B ．4C ．5 D.525．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，设S n 是数列{a n }的前n 项和，那么S 2 014＝( )A ．22 014－1B ．3×21 007－3C ．3×21 007－1D ．3×21 007－26. 于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列〞，假设a 1＝2，{a n }的“差数列〞的通项公式为2n ，那么数列{a n }的前n 项和S n ＝________.7、(2021·天津高考)首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明S n ＋1S n ≤136(n ∈N *)．8、S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.①求数列{a n }的通项公式；②是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？假设存在，求出符合条件的所有n 的集合；假设不存在，说明理由．解：〔1〕2321=22(1)4,b a a a ==+=3543=22(1)10,b a a a ==+=121221=22(1)2(1)22,n n n n n n b a a a b b ++-==+=+=+ 〔2〕①因为111122(2)1,20,2,22n n n n b b b a b b b +++==+≠==++所以数列{}2n b +是以3为首项，2为公比的等比数列. ②由数列{}2n b +可得，1121322,322n n n n b a ---=⨯-=⨯-即，那么12211321n n n a a --=+=⨯-， 因为22122,,9k k k a a a +++成等比数列，所以21(322)(321)(328)k k k -⨯-=⨯-⨯+，令2=kt ，得23(32)(1)(38)2t t t ⨯-=-+，解得243t =或，得2k =.解：〔Ⅰ〕由题意，1184640a d a d +=⎧⎨+=⎩，得14,44n a a n d =⎧∴=⎨=⎩． …………3分230n n T b -+=，113n b ∴==当时，，112230n n n b --≥-+=当时，T ，两式相减，得12,(2)n n b b n -=≥数列{}n b 为等比数列，132n n b -∴=⋅． …………7分 〔Ⅱ〕14 32n n nn c n -⎧=⎨⋅⎩为奇数为偶数 ． 当n 为偶数时， 13124()()n n n P a a a b b b -=+++++++ =212(444)6(14)222214nn n n n ++-⋅-+=+--．当n 为奇数时，〔法一〕1n -为偶数，1n n n P P c -=+(1)1222(1)24221n n n n n n -+=+--+=++-〔法二〕132241()()n n n n P a a a a b b b --=++++++++1221(44)6(14)2221214n n n n n n -++⋅-=+=++-- ．12222,221n n nn n P n n n +⎧+-∴=⎨++-⎩为偶数，为奇数解析：当n 为奇数时，{a n }是以6为首项，以10为公差的等差数列；当n 为偶数时，{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列．所以，S 2m ＝S 奇＋S 偶＝ma 1＋m (m －1)2×10＋a 2(1－2m )1－2＝6m ＋5m (m －1)＋2(2m－1)＝6m ＋5m 2－5m ＋2m ＋1－2＝2m ＋1＋5m 2＋m －2.解析：选A 设这个数列有2n 项，那么由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd ，即25－15＝2n ，故2n ＝10，即数列的项数为10.解析：∵a n ＋a n ＋1＝b n ，a n ·a n ＋1＝2n ，∴a n ＋1·a n ＋2＝2n ＋1，∴a n ＋2＝2a n .又∵a 1＝1，a 1·a 2＝2，∴a 2＝2，∴a 2n ＝2n ，a 2n －1＝2n －1(n ∈N *)，∴b 10＝a 10＋a 11＝64.解析：选B 依题意得a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝2n ＋12n ＝2，即a n ＋2a n ＝2，故数列a 1，a 3，a 5，a 7，…是一个以5为首项、2为公比的等比数列，因此a 7a 3＝4.解析：选B 由a n ＋2a n ＋1a n ＋1a n＝a n ＋2a n ＝2n ＋12n ＝2，且a 2＝2，得数列{a n }的奇数项构成以1为首项，2为公比的等比数列，偶数项构成以2为首项，2为公比的等比数列，故S 2 014＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 013)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 014)＝1－21 0071－2＋2(1－21 007)1－2＝3×21 007－3.比照： a n ＋1/a n ＝2n 那么用累乘法，解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n 1－2＋2＝2n －2＋2＝2n .∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.[解题指导] (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式； (2)求出前n 项和，根据函数的单调性证明．[解] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n . (2)证明：S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ，S n ＋1S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ＋11－⎝⎛⎭⎫－12n ＝⎩⎨⎧2＋12n (2n ＋1)，n 为奇数，2＋12n (2n －1)，n 为偶数.当n 为奇数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136.当n 为偶数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512.故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136.解析：①设数列{a n }的公比为q ，那么a 1≠0，q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，即⎩⎪⎨⎪⎧ －a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1.②由①有S n ＝3×[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .假设存在n ，使得S n ≥2 013，那么1－(－2)n ≥2 013， 即(－2)n ≤－2 012.当n 为偶数时，(－2)n >0，上式不成立； 当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012， 即2n ≥2 012，那么n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}． 点评：当数列涉及底数是负数时，要对指数n 分奇偶讨论。