第1章++1.2++加速度矢量的表示
大学物理第1章质点运动学
则有
ax 2 R cost;
a y 2 R sint
加速度的大小
2 2 2 2 2 2 a ax a2 ( R cos t ) ( R sin t ) R y
根据矢量的点积运算，分别计算
v r [(R sint )i (R cost ) j ] [(R cost )i ( R sint ) j ] 0 2 2 v a [(R sint )i (R cost ) j ] [( R cost )i ( R sint ) j ] 0
大学物理
第一章 质点运动学
1.1 运动学的一些基本概念 1.1.1、参考系(reference frame)和坐标系(coordinate) 参考系：为了描述物体的运动而选取的参考标准物体。 （运动描述的相对性） 坐标系：直角坐标系、自然坐标系、极坐标系、球坐标系等. 说明 在运动学中，参考系的选择是任意的；在动力学中则不然 1.1.2、时间和空间的计量 1、时间及其计量 时间表征物理事件的顺序性和物质运动的持续性。时间测量的 标准单位是秒。1967年定义秒为铯—133原子基态的两个超精细 能级之间跃迁辐射周期的9192631770倍。量度时间范围从宇宙 年龄1018s(约200亿年）到微观粒子的最短寿命 10-24s.极限的时 间间隔为普朗克时间10-43s,小于此时间，现有的时间概念就不适 用了。
运动学中的两类问题
1、已知质点的运动学方程求质点的速度、加速度等问
题常称为运动学第一类问题．
r r (t )
微分
v, a
2、由加速度和初始条件求速度方程和运动方程的问题称 为运动学的第二类问题．
a , v0 , r0
第1章 矢量简介
二、矢量在直角坐标系中的正交分解
1. 直角坐标系 i 、j 、k 是一组分别沿着x
轴，y轴和z轴的单位矢量，称
为直角坐标系O-xyz的基矢。
i 、j 、k i 、j 、k
三个单位矢量之间 两两垂直（正交） 三个单位矢量满足右手螺旋关系
2.矢量在直角坐标系中的正交分解
A B A (B)
所以两个矢量相减和两个矢量相加一样，也可以 用平行四边形法则和三角形法则。
两个矢量相减的平行四边形法则： 以 A 及 B 为邻边作平行四边形，则对角线所表示 的矢量即为 A B 矢量。 B A B 以 A 及 B 为邻边的平 行四边形，一条对角线 是两个矢量的和，而另 A 一条对角线则是矢量之 B 差。 A B
0
正交特性可表示为：
i j j k k i 0 er e 0
2
2.矢量 A 与某单位矢量的标积即为矢量 A 沿该单位 矢量方向的投影。
A Ax i Ay j Az k A i Axi Ay j Az k i Ax 同理： A j Ax i Ay j Az k j Ay 同理： A k A i A j A k k A x y z z
2.矢量： 有些物理量除了知道他们的大小及单位外，还必须 指明其方向。这种除了大小和单位外，还具有方向， 并且加法遵从平行四边形法则的量称为矢量。 如位移、速度、加速度等都是矢量。 3.矢量的表示法： 书本中用黑体字来表示矢量，如 A、B、C
书写是用
A、B、C
来表示矢量
高等流体力学各章习题汇总
(1). 证明圆周 x 2
y a
2
2
上的任意一点的速度都与 y 轴平行,且此
速度大小与 y 成反比. (2). 求 y 轴上的速度最大点;
(3). 证明 y 轴是一条流线.
7. 已知速度势φ, 求相应流函数ψ. (1). (2).
xy
x x y
2 2
b
b
U p
8. 求图示不脱体绕流平板上下表面压强, 压强系数和速度分布.
2
2
（1）沿下边给出的封闭曲线积分求速度环量,
0 x 10, y 0; 0 y 5, x 10; 0 x 10, y 5; 0 y 5, x 0.
（2）求涡量 ，然后求
n dA
A
式中A是 (1) 中给出的矩形面积， 是此面积的外单位法线矢量。
u i t u
j
t
u j
x
ij j
x k
u j u k
ij
xi
f
j
可简化为
u i x
j
fi
6. 流体在弯曲的变截面细管中流动,设 A 为细管的横断面积, 在 A 断面上的流动物理量是均匀的,试证明连续方程具有下述形式,
L1
C
L2
第四章 教科书 4.1, 4.4, 4.7, 4.12 5. 设复位势为
F ( z ) m ln ( z 1 z )
(1). 问流动是由哪些基本流动组成; (2). 求流线方程;
(3). 求通过 z i 和 z
1 2
两点连线的流体体积流量.
6. 在点 (a, 0), ( -a, 0) 上放置等强度的点源,
大学物理1.2 质点的位移、速度和加速度
y
A r r1 r2
y
B
yB yA
A r r1 r2
xA xB x A
B
yB yA
o
x
o
xB
x
把 由始点 A 指向终点 B 的有向线段 r 称为点 A 到 B 的位移矢量 , 简称位移. r r2 r1
经过时间间隔 t 后, 质点位置矢量发生变化,
1.2 质点的位移、速度和加速度
一、 位移 （反映物体位置的变化）
位移 位矢 r 在t 时间内的增量
O
P
r (t )
s
r
Q
r (t t ) 说明 (1) r是矢量， s 是标量，且大小一般不等 Δr r s r 位矢增量的大小与Δr ( r )位矢大小的增量的区别 (2) 分清
A
r (t )
o
dt
x
三、 加速度
1. 速度增量 v v (t t ) v (t )
v (t )
B
v (t t )
A
2 . 平均加速度
v a t
r (t )
r (t t )
3. 瞬时加速度
a lim v t dv dt
dr dt v
r
r
0
t dr (6i 16t j )dt 0
r0 8k
2 r 6t i 8t j 8k
1.4 用自然坐标表示平面曲线运动中 的速度和加速度
一、 速度
s s (t t ) s (t ) r s r lim ( ) v lim t 0 s t t 0 t r s ( lim )( lim ) t 0 s t 0 t r ds ds τ ( lim ) t 0 s dt dt
第 01章 2 次课 -- 加速度 圆周运动
(4)
7 /23
§1.2
圆周运动
(4)
v(t) r(t)
(4)式就是质点作圆周运动时的速率与角速度的关系. 质点作圆周运动时, 速度方向不断改变, 因此圆周运动是变速运动 ! 有加速度 ! 圆周运动的加速度有什么特点 ?
o
v2 et 2 v1 et1
r
三、圆周运动的切向加速度和法向加速度
at r
也是常数
法向加速度
加速度
an r 2
2
r
不是常数 (10)
a at an r et r 2 en
d dt
设t=0时, =0, =0; 则
d dt
d dt
0 t
2 2 02 2 ( 0 )
即
dy 由速度的定义得 v v0 e 1.0t dt
两边积分, 得
dy 0e1.0t dt
y
0
dy v0 e-1.0t dt
0
t
即
y v0[1 e
]
y
代入初速度, 得
y 10[1 e1.0t ]
上海师范大学
2 /23
§1.1
质点运动的描述
v v0e
为小球已停止运动; （2）此球体在停止运动前经历的路程有多长？
解：如图建立坐标系.
由加速度定义得
v
a
t dv 两边积分, 得 1.0 dt v0 v 0
d 1.0 dt
即
d 1.0dt
1.0t
o
v0
-1.0t
即
lnv - ln0 1.0t
化简得
2020-2021高中物理教科版必修1教学案：第一章 第4节 速度变化快慢的描述——加速度
第一章 运动的描述第4节速度变化快慢的描述——加速度一、加速度1．定义：速度的改变量与发生这一改变所用时间的比值，通常用a 表示。
2．表达式：a ＝ΔvΔt 。
3．矢量性加速度既有大小，又有方向，是矢量。
由a ＝ΔvΔt 可知，加速度a 的方向与速度变化量Δv 的方向相同。
4．单位在国际单位制中，加速度的单位是米每二次方秒，符号m/s 2或m·s －2。
5．物理意义加速度是描述物体运动速度变化快慢的物理量。
二、加速度方向与速度方向的关系1．如图1-4-1所示，取初速度v 0的方向为正方向：对于加速运动，有v t >v 0，即Δv >0，此时a >0，表示加速度的方向与速度的方向相同，如图甲所示。
图1-4-12．对于减速运动，有v t <v 0，即Δv <0，此时a <0，表示加速度的方向与速度的方向相反，如图乙所示。
三、从v -t 图像看加速度1．通过速度—时间(v -t )图像不但能够了解物体运动的速度随时间变化的规律，还能够知道物体的加速度。
2．从速度—时间图线的倾斜程度大小就能判断加速度的大小，倾斜程度越大，加速度越大。
1．自主思考——判一判(1)如果速度很大，则加速度一定很大。
(×) (2)如果速度变化量很大，则加速度一定很大。
(×)(3)加速度是矢量，它的方向与速度变化量的方向一致。
(√)(4)物体的速度为零，加速度也为零。
(×)(5)取初速度方向为正方向时，加速度为正值时，物体做加速运动。
(√)(6)物体的v-t图像是一条倾斜直线时，物体运动的加速度是恒定的。
(√)2．合作探究——议一议(1)直线运动中，加速度的正负表示什么含义？加速度为负值，物体就一定做减速运动吗？[提示]①加速度的正、负表示与规定的正方向是同向还是反向。
②不一定。
加速度为负值，若速度为正值，则物体减速；若速度也为负值，则物体加速。
流体答案
dx = dy = dz = dt x/t y 0
积分得
x = c1t, y = c2et , z = c3
由 t = τ 时 (x, y, z) = ( x∗, y∗, z∗)得
c1 = x∗τ −1, c2 = y∗e−τ , c3 = z∗
将以上常数代入迹线方程，
=
∂u ∂t
+u
∂u ∂x
=
−
x (1 + t)2
+x 1+
t
1 1+
t
=
0
ay
=
∂v ∂t
Ʊ t)2
+
2y 1+ t
2 1+
t
=
2y (1 + t)2
az
=
∂w ∂t
+
w ∂w ∂z
=
−
3z (1 + t)2
+ 3z 1+ t
3 1+
t
=
6z (1 + t)2
(2) 先求迹线
ax
=
∂u ∂t
=
0,
ay
=
∂v ∂t
=
4x0e−2t ,
az
=
∂w ∂t
=
9 x0e−3t
加速度欧拉表示：
ax
=
∂u ∂t
=
0,
ay
=
∂v ∂t
=
4xe−2t ,
az
=
∂w ∂t
=
9 xe−3t
（3）流线与迹线 由于 u = 0 ，这是一个平面流动问题，流线微分方程为
§2、速度、加速度的分量表达式
§2、速度、加速度的分量表达式上一次课，我们为了将运动的一些特征能直接的表示出来，而定义了速度和加速度，22;dt r d dt v d a dt r d v =≡≡ 。
在一般情况下它们往往都是时间t 的函数。
何谓定义呢？定义它本身不是可以用什么方法或者数学手段加以证明得到的，而是根据实际需要常常用到而定义下来的名称和概念。
例如过两点成一条直线……。
由于速度和加速度都是矢量，因此都可以将它们表示成分量的形式。
这次课将准备讨论速度、加速度在各种坐标系中的表达式。
一、 直角坐标系——直角坐标系又称笛卡儿坐标系在直角坐标系中，质点的位置矢径可以写成为：........z k y j x i r ++= （1）根据速度的定义可知dtr d v ≡将（1）代入，则有 1、速度： z y x v k v j v i dt dz k dt dy j dt dx i z k y j x i dt d dt r d v ++=++=++==...........................................)(于是，我们比较上面的等式，就可得到速度在直角坐标系中的分量表达式为：z dtdz v y dt dy v x dt dx v z y x ======;;可见速度沿三直角坐标轴的分量（即分速度）就等于其相应的坐标对时间t 的一阶导数。
速度的大小：222z y x v v v v v ++== 速度的方向就用方向余弦来表示：vv k v v v j v v v i v z y y ===),cos(;),cos(;),cos( 。
同理，我们由加速度的定义不难得到它的分量表达式。
2、加速度根据加速度的定义：zy x z y x a k a j a i dt dv k dt dv j dt dv i dt z d k y d j x d i dt dz k dy j dx i dt d dt v d a ++=++=++=++==2222)(比较这些恒等式可得加速度的直角坐标分量表达式：z dt z d v dv a y dt y d v dt dv a x dtx d v dt dv a z t z y y y x x x ============222222 于是可得加速度的大小为：222z y x a a a a a ++== 加速度的方向用方向余弦表示。
(完整版)大学物理所有公式
第一章 质点运动学和牛顿运动定律1.1平均速度 v =t△△r1.2 瞬时速度 v=lim 0△t →△t △r =dt dr1. 3速度v=dtds==→→lim lim△t 0△t △t△r 1.6 平均加速度a =△t△v1.7瞬时加速度（加速度）a=lim 0△t →△t△v =dt dv1.8瞬时加速度a=dt dv =22dt rd1.11匀速直线运动质点坐标x=x 0+vt 1.12变速运动速度 v=v 0+at 1.13变速运动质点坐标x=x 0+v 0t+21at 21.14速度随坐标变化公式:v 2-v 02=2a(x-x 0) 1.15自由落体运动 1.16竖直上抛运动⎪⎩⎪⎨⎧===gy v at y gtv 22122 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-=gy v v gt t v y gt v v 221202200 1.17 抛体运动速度分量⎩⎨⎧-==gt a v v av v yx sin cos 001.18 抛体运动距离分量⎪⎩⎪⎨⎧-•=•=20021sin cos gt t a v y t a v x1.19射程 X=g av 2sin 21.20射高Y=gav 22sin 201.21飞行时间y=xtga —ggx 21.22轨迹方程y=xtga —av gx 2202cos 2 1.23向心加速度 a=Rv 21.24圆周运动加速度等于切向加速度与法向加速度矢量和a=a t +a n1.25 加速度数值 a=22n t a a +1.26 法向加速度和匀速圆周运动的向心加速度相同a n =Rv 21.27切向加速度只改变速度的大小a t =dtdv1.28 ωΦR dtd R dt ds v ===1.29角速度 dtφωd =1.30角加速度 22dt dtd d φωα== 1.31角加速度a 与线加速度a n 、a t 间的关系a n =222)(ωωR R R R v == a t =αωR dtd R dt dv ==牛顿第一定律：任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，除非它受到作用力而被迫改变这种状态。
大学物理所有公式
第一章 质点运动学和牛顿运动定律1.1平均速度 v =t△△r1.2 瞬时速度 v=lim△t →△t △r =dtdr1. 3速度v=dtds ==→→lim lim△t 0△t △t△r 1.6 平均加速度a =△t△v1.7瞬时加速度（加速度）a=lim△t →△t △v =dtdv1.8瞬时加速度a=dt dv =22dtrd1.11匀速直线运动质点坐标x=x 0+vt 1.12变速运动速度 v=v 0+at 1.13变速运动质点坐标x=x 0+v 0t+21at 21.14速度随坐标变化公式:v 2-v 02=2a(x-x 0) 1.15自由落体运动 1.16竖直上抛运动⎪⎩⎪⎨⎧===gy v at y gtv 22122 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-=gy v v gt t v y gt v v 221202200 1.17 抛体运动速度分量⎩⎨⎧-==gta v v av v y x sin cos 001.18 抛体运动距离分量⎪⎩⎪⎨⎧-∙=∙=20021sin cos gt t a v y t a v x1.19射程 X=g av 2sin 21.20射高Y=gav 22sin 201.21飞行时间y=xtga —g gx 21.22轨迹方程y=xtga —av gx 2202cos 2 1.23向心加速度 a=Rv 21.24圆周运动加速度等于切向加速度与法向加速度矢量和a=a t +a n1.25 加速度数值 a=22n t a a +1.26 法向加速度和匀速圆周运动的向心加速度相同a n =Rv 21.27切向加速度只改变速度的大小a t =dtdv1.28 ωΦR dtd R dt ds v ===1.29角速度 dtφωd =1.30角加速度 22dt dtd d φωα== 1.31角加速度a 与线加速度a n 、a t 间的关系a n =222)(ωωR RR R v == a t =αωR dt d R dt dv ==牛顿第一定律：任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，除非它受到作用力而被迫改变这种状态。
第1章 1.2 匀变速直线运动的规律及其应用
第2课时：匀变速直线运动的规律及其应用读基础知识基础回顾：一、匀变速直线运动的规律1．匀变速直线运动沿一条直线且加速度不变的运动．2．匀变速直线运动的基本规律(1)速度公式：v＝v0＋at.(2)位移公式：x＝v0t＋12at2.(3)位移速度关系式：v2－v02＝2ax.二、匀变速直线运动的推论1．三个推论(1)连续相等的相邻时间间隔T内的位移差相等．即x2－x1＝x3－x2＝…＝x n－x n－1＝aT2.(2)做匀变速直线运动的物体在一段时间内的平均速度等于这段时间初、末时刻速度矢量和的一半，还等于中间时刻的瞬时速度．平均速度公式：v＝v0＋v2＝2v t.(3)位移中点速度2xv＝v02＋v22.2．初速度为零的匀加速直线运动的四个重要推论(1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为v1∶v2∶v3∶…∶v n＝1∶2∶3∶…∶n.(2)T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比为x1∶x2∶x3∶…∶x n＝12∶22∶32∶…∶n2.(3)第1个T内、第2个T内、第3个T内、…、第n个T内的位移之比为xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶x N＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．(4)从静止开始通过连续相等的位移所用时间之比为t1∶t2∶t3∶…∶t n＝1∶(2－1)∶(3－2)∶(2－3)∶…∶(n－n－1)．自查自纠：(1)匀变速直线运动是加速度均匀变化的运动。
()(2)匀变速直线运动是速度均匀变化的运动。
()(3)匀加速直线运动的位移是均匀增大的。
()(4)某物体从静止开始做匀加速直线运动，速度由0到v运动距离是由v到2v运动距离的2倍。
() (5)对任意直线运动，其中间时刻的瞬时速度一定等于其平均速度。
()(6)在匀变速直线运动中，中间时刻的速度一定小于该段时间内位移中点的速度。
()答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×(6)√研考纲考题要点1匀变速直线运动规律的基本应用1.匀变速直线运动公式为矢量式，一般规定初速度v0的方向为正方向(当v0＝0时，一般以加速度a的方向为正方向)，与正方向同向的物理量取正值，反向的物理量取负值。
01绪论,质点,参考系,位移,速度,加速度
Fan
3）多边形法则
有限个矢量 a1 , a 2 , L a n 相加可由矢量的三角形 求和 法则推广
开始， 自任意点 O 开始，依次引 OA1 = a1 , A1 A2 = a 2 , L , An − 1 An = a n , 由此得一折线 OA1 A2 L An , 于是矢量 OA n = a就是 n 个矢量 a1 , a 2 , L , a n的和，即 的和， OA = OA1 + A1 A2 + L + An − 1 An .
Fan
二、质点（mass point） 质点（ ） 具有物体的质量，没有形状和大小的几何点。 具有物体的质量，没有形状和大小的几何点。 说明 如果我们研究某一物体的运动， 如果我们研究某一物体的运动，而可以忽略其大小和 形状对物体运动的影响，若不涉及物体的转动和形变， 形状对物体运动的影响，若不涉及物体的转动和形变， 我们就可以把物体当作是一个具有质量的点（ 质点） 我们就可以把物体当作是一个具有质量的点（即质点） 来处理 . 相对性；理想模型； 相对性；理想模型；质点运动是研究物质运动的基础 一个物体能否看作质点，要根据问题的性质来决定。 一个物体能否看作质点，要根据问题的性质来决定。
Fan
1）矢量的表示： 矢量的表示：
常用黑体母或带箭头的字母表示。 常用黑体母或带箭头的字母表示。 矢量的几何表示： 矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示 v v v v A 矢量的代数表示： v 矢量的代数表示： = eA A = eA A
A
r A 矢量的大小或模： 矢量的大小或模： = A v A v eA = 矢量的单位矢量： 矢量的单位矢量： A
x cos α = , r y cos β = , r z cos γ = r
附 速度与加速度的矢量表示
补充知识：
以矢量表示角速度和角加速度
以矢积表示速度与加速度
1
附*： 角速度、角加速度、速度与加速度的矢量表示
1、角速度
d 大小： dt
转向： 满足右手法则
作用线：
沿轴线的滑动矢量
ω k
2
附*： 角速度、角加速度、速度与加速度的矢量表示
2、角加速度
dω d α k = k dt dt
3
附*： 角速度、角加速度、速度与加速度的矢量表示
3、用矢积表示刚体上点的速度
v = ω ×r
大小：
v
ω
v ω r sin
R
方向： 右手定则
ω ×r
4
附*： 角速度、角加速度、速度与加速度的矢量表示
4、用矢积表示刚体上点的加速度
v = ω ×r
an
α
at
ω
v
dv dω dr a r ω dt dt dt
αr
ω v
ωv
Байду номын сангаасαr
= at
an
at = α r ：M点的切向加速度 an = ω v ：M点的法向加速度
5
附*： 角速度、角加速度、速度与加速度的矢量表示
5.
泊松公式
角速度：ω 动系O1 x y z 绕 z轴转动 单位向量： i , j,k
考察三维定轴转动刚体 z P3 vP3
k
z
vP2 P2
j
y
di v P 1 ω ×i dt
P1 i O1 x O
vP1 y
x
dj v P 2 = ω ×j dt dk v P 3 = ω ×k dt
新人教版高一物理必修1第一章 运动的描述 第5节《速度变化快慢的描述——加速度》课件
You made my day!
我们，还在路上……
1. 物理意义:表示速度变化快慢的物理量。 2. 定义:速度变化量与发生这一变化所用时间的比值。 3. 定义式: a =
4. 单位：m/s2 5. 矢量，方向是速度变化量的方向。 6. 当初速度方向与加速度方向相同时，物体做加速运动
当初速度方向与加速度方向相反时，物体做减速运动
1. 下列说法正确的是（ D ）
学习重点
1.理解加速度的概念和用比值法定义物理量方法的理解。 2.区别速度、速度变化量、速度变化率等几个概念。 3.从v-t图像求加速度。
学习难点
1.加速度的矢量性。 2.从v-t图像求加速度
思考下列问题：
1. 一名优秀短跑运动员爆发力好 , 这说明什么? 2. 广告商对汽车性能的宣传： ……启动性能与制动 性能比较好，…… 这又说明什么？ 3. 为什么飞机起飞、降落的速度改变都必须严格控 制在一个合适的范围呢？
例2. 下列说法正确的是（ D ）
A. 物体速度改变量大，其加速度一定大 B. 物体有加速度时，速度就增大 C. 物体的加速度大，速度一定大 D. 物体速度的变化率大，加速度一定大
2. 关于加速度，下列说法中正确的是 ( C )
A. 速度变化越大，加速度一定越大 B. 速度变化所用时间越短，加速度一定越大 C. 速度变化越快，加速度一定越大 D. 速度为 0，加速度一定为 0
若规定 v0方向为正方向（ v0＞0） 加速：a＞0；减速：a＜0
二、从v t 图象看加速度
a、b分别是两个物体运动的v－t图象，哪个物 体运动的加速度较大？为什么？
⒈ 从v－t 图象的倾斜程度看加速度的大小。 ⒉ 由v－t 图象计算加速度的大小。
大学物理运动学第一章第二节 位失 速度 加速度课件
et
当质点做曲线运动时, 质点在某一点的速度方向就是沿该 点曲线的切线方向.
若质点在二维空间中运动,其速度为
v
dx
i
dy
j
v
dt
vx
i
dt
vy
j
y v y
若质点在三维空间中运动,其速度为
v
dx
i
dy
j
dz
k
o
dt dt dt
v
v x
x
瞬时速率：速度 v 的大小称为速率
dvx dt
d2x dt 2
ay
dv y dt
d2 y dt 2
az
dvz dt
d2z dt 2
说明 (1) 加速度反映速度的变化（大小和方向）情况。 (2) 加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一面。
通过积分求位移和速度：
a
dv dt
v(t)
v0
t
0
adt
v
dr dt
r(t)
r0
t 0
vdt
例已知质点作匀加速直线运动，加速度为a，求该质
点的运动方程。
解：已知a速 度或ddv加t 速度求d运v 动方a程d，t 采用积分法：
对于作直线运动的质点，采用标量形式
dv adt
两端积分可得到速度
v
v0
d
v
0ta
平均速度大小
v ( x )2 ( y )2
t
理论力学(第三版)第1章第2节速度、加速度的分量形式
P
s
et en
s
O
en
Q
et
e 规定：切向坐标轴沿质点前进方向的切向为正，单位矢量为 t
e 法向坐标轴沿轨迹的法向凹侧为正，单位矢量为 n
因为 dr
速度：v
ds
dr dt
ds dt
et
速率：v ds dt
加速度：
v vt vn
lim lim
a
vt
vn
t0 t t0 t
以及初始条件求质点的运动方程、轨道方程
v
t
dv adt , dv adt
v0
t0
r
t
dr vdt , dr vdt
r0
t0
例1
已知质点的运动方程
r 2ti
19 2t2
j
求(1)轨道方程；(2)t=2s时质点的位置、速度以及加速 度；(3)什么时候位矢恰好与速度矢垂直？
,
rb
v0t
1 2
gt 2
v0 d
h0
o
击中的条件 rc rb , r0 v0t
rc rb , r0 v0t
这说明只要开始瞄准就可以击
v0
中猴子。 但是有没有限制条件? o
d
分析击中需要的时间和击中时的竖直位置
t
d 2 h02 , v0
hc
h0 1
g
(h02 d 2h0v02
2
)
以 dx2 hv0 代入 dt h l
得
v lv0
hl
例3 设椭圆规尺AB的端点A和B沿直线导槽Ox及Oy滑
动，而B以匀速度c运动.求尺规上M点的轨道方程，速度
及加速度.其中MA＝a， MB＝b，角OBA为.
加速度的矢量关系
加速度的矢量关系加速度的矢量关系加速度是物体在单位时间内速度变化的量度，是一个矢量量。
在物理学中，加速度的矢量关系是非常重要的一个概念。
在本文中，我们将探讨加速度的矢量关系及其应用。
加速度的定义加速度是物体在单位时间内速度变化的量度，是一个矢量量。
加速度的单位是米每秒平方（m/s²）。
加速度的方向与速度变化的方向相同，即加速度的方向与物体的运动方向一致。
加速度的矢量关系加速度是一个矢量量，它有大小和方向。
加速度的大小等于速度变化量与时间的比值，即a = Δv/Δt。
加速度的方向与速度变化的方向相同。
加速度的矢量关系可以用矢量图表示。
在矢量图中，加速度的大小用矢量的长度表示，加速度的方向用矢量的方向表示。
矢量图中，加速度的起点为物体的初始速度，终点为物体的末速度。
应用加速度的矢量关系在物理学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用：1. 运动学分析在运动学分析中，加速度的矢量关系可以用来计算物体的运动轨迹和速度变化。
例如，在自由落体运动中，物体的加速度为9.8m/s²，可以用来计算物体的下落时间和下落距离。
2. 力学分析在力学分析中，加速度的矢量关系可以用来计算物体所受的力和反作用力。
例如，在牛顿第二定律中，加速度与物体所受的力成正比，可以用来计算物体所受的力。
3. 工程应用在工程应用中，加速度的矢量关系可以用来设计机械和结构。
例如，在汽车设计中，加速度的矢量关系可以用来计算汽车的加速度和制动距离。
总结加速度的矢量关系是物理学中非常重要的一个概念。
加速度是一个矢量量，它有大小和方向。
加速度的矢量关系可以用来计算物体的运动轨迹和速度变化，计算物体所受的力和反作用力，以及设计机械和结构。
加速度的矢量关系在物理学和工程应用中有广泛的应用。
§1.2 速度、加速度的分量表达式
§1.2速度（velocity ）、加速度（acceleration ）的分量表示式1、直角坐标系k z j y i x r ++= 其中k j i ,,是恒单位矢量，0===k j i速度k v j v i v k z j y i xr v z y x ++=++== ⎪⎩⎪⎨⎧===z v y v x v z y x222222z y x v v v v z y x ++=++= 速度大小（速率）v 的方向余弦⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧======v z v v k v v y v v j v v x v v i v z y x ),cos(),cos(),cos( 可见v完全确定了（大小，方向） 加速度 v a =＝i x ＋j y ＋k z ＝k a j a i a z y x ++ ⎪⎩⎪⎨⎧za ya x a z y x=== 222222z y x a a a a z y x ++=++= a 的方向余弦⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧======a z a a k a a y a a j a a x a a i a z y x ),cos(),cos(),cos( 可见a完全确定了 Note ：)(t r r =⇔⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x 即运动学方程式是质点运动学的核心a v r,, 一般均为时间t 的函数，三个量中知其一便可求出其余两个若已知r，即⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x 则可通过求导数求出a v ⇒,若已知v ，即z y x v v v ,,，则可通过求导数求出a，即⎪⎩⎪⎨⎧===zz y y x x v a v a v a则可通过积分求出r ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=⎰⎰⎰321c dt v z c dt v y c dt v x z y x其中321,,c c c 为积分常数，由0=t 时质点的初始位置000,,z y x 确定若已知a ，即z y x a a a ,,，可通过两次积分求得r，存在六个积分常数，由0=t时的000,,z y x ；z y x v v v 000,,确定例如 dt x d xa x == dt a x d x = ⎰+=1c dt a x x ；dtdxx = ⎰+=2c dt xx 2、平面极坐标系（1）方法一 质点沿平面曲线c 运动，将v分解为y x v v , 则j v i v v y x +=亦可将v 分解为θv v r ,,其中θv 垂直矢径r，沿θ增加方向，则θv r v v r +=0 0θ其中0r ，0θ 分别为径向、横向单位矢θcos r x = θsin r y = θθθsin cos r r x v x -==∴ θθθcos sin r r v y+= 则=+=θθsin cos y x r v v v +-θθθθcos )sin cos ( r rθθθθsin )cos sin ( r r +＝r （经向速度） =+-=θθθcos sin y x v v v +--θθθθsin )sin cos ( r r θθθθcos )cos sin ( r r +＝θ r （横向速度） 同理θθθθθθθθθθθθθθsin )2(cos )(cos sin sin sin cos 22r r r r r r r r r x a x +--=----== y a y =θθθθθcos )2(sin )(2 r r r r ++-= =+=∴θθsin cos y x r a a a 2θr r - （经向加速度） θθθθθ r r a a a y x 2cos sin +=+-=)(12θ r dtd r = （横向加速度） （2）方法二在平面极坐标系中，0r 径向单位矢，0θ 横向单位矢（指向θ增加方向），均非恒矢量r r = 0r （仅有径向分量） 质点速度r dtd r v (== 0r ）＝r0r ＋r 0r 0r＝？ 10=⋅r r o (dtd ∴=⋅)0r r o 20r r o ⋅＝0 可见0r ⊥0r 与0r 正交0r＝j i θθsin cos + 0θ ＝j i θθcos sin +-∴0r ＝θθθθθθθθ =+-=+-)cos sin (cos sin j i j i 0θ 同理0θ ＝θ -0rr v=∴0r ＋θ r 0θ 00θθ v r v r += ⎩⎨⎧==速度方向变化引起的）横向（速度大小变化引起的）经向r ( θθr v r r v r 加速度 )()()(0000θθθθ r dtd r r dt d r r rdt d v a +=+== 0r r =r +0r θ r +0θ θ r +0θ θ r +0θ0r r =θ r +0θ θ r +0θ θ r +0θ 2θ r -0θ=)(2θ r r -0r +)2(θθ r r +0θ =)(2θ r r -0r +)(12θ r dtd r 0θ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=)(1222θθθθθ r dt d r r r a r r a r 横向加速度径向加速度Note 在极坐标系中，虽然加速度的表达式较直角坐标系复杂，但对某些问题的处理较直角坐标系更为方便！3、自然坐标系质点沿已知平面轨道曲线运动,速度v 沿轨道切线方向,则τ v v = 将加速度a分解为切向分量和法向分量,n a a a n +=ττ,其中n ,τ分别为切线方向和法线方向的单位矢,τ与X 轴夹角为θ，在轨道曲线上选一定点作为弧坐标的原点，s 则)(t s s =，规定τ的正方向指向s 增加方向。
第1章++1.2++加速度矢量的表示
2（j m）
(t
t
2
r )i
(2
t
t2)
Байду номын сангаас
r j (m)
位置矢量也可写成分量形式
如：rr
r 2ti
r 3t 2 j
r 4t3k (m)
x 2t
y
3t
2
z
4t 3
rr （2）位置的改变-----位移矢量
(Displacement)
rr
r rQ (t
t )
度）。求质点的运动函数和轨道方程（轨迹）。
y
t
x
解：
分量形式：
x
y
R cost R sint
矢量形式：
rr
r xi
r yj
r
R costi
R
r
sin tj
轨道方程（轨迹）：
x2 y2 R2
（3）物体位置改变的快慢-----速度 vr
平均速度： vr rr t
dvz
r k
dt dt dt
d2x
dt
2
r
r i
d2y drt 2
r j
r
d2z dt 2
r k
xi y j zk
例：
已知位置矢量
r
2ti 3t 2
j
（m)
求加速度。
解：
vr
drr
rr 2i 6tj
dt
ar
dvr
2021年大学物理专业力学知识点-总结
大学物理专业力学知识点-总结质点运动学１．直角坐标下质点的位置、速度、加速度的矢量表示yxijzkdrdxdydzijk质点的速度vdtdtdtdtdvd2rd2xd2yd2z2i2j2k质点加速度adtdt2dtdtdtdrdvdrdv注意区分与，与dtdtdtdt质点的位置矢量r问题（1）如何从位置求速度、加速度？（求导）如何从加速度求速度，求位置？（积分）（2）位置、速度、加速度的大小怎么求？方向怎么表示？（3）如何从运动学方程求轨迹方程？（消去时间t，得到x,y,z之间的函数关系）2．自然坐标系下，速度、加速度的表达速率vdsdset，速度vdtdtd2sv2加速度aatetaneneen2tdt圆周运动角速度角线关系vddt角加速度ddtR，atR问题自然坐标系下，速度、加速度又怎样表示？切向加速度和法向加速度如何计算？3．速度合成法则绝对速度等于相对速度与牵连速度的矢量和。
动量牛顿运动定律动量守恒定律1．牛顿定律及其应用Fma解题步骤（1）确定研究对象（2）建立坐标系（3）分析研究对象的受力情况（4）在各方向上建立牛顿第二定律方程2．冲量动量t2冲量恒力IFt，变力IF(t)dtt质点动量定理Ipp0，质点所受冲量等于质点动量的增量质点系的动量定理质点系所受外力的冲量等于质点系动量的增量注意内力不会影响体系的动量3．质心质心定义rcmriiim质心运动定理质点系质量与质心加速度的乘积等于质点系所受一切外力的矢量合4．动量守恒定律质点系受合外力矢量合为零，则体系动量守恒。
要求会用动量守恒定律求解问题！！动能和势能1．功功的定义力在受力质点位移上的投影与位移的乘积Ar1Frx1dr，对于一维情况AF(x)dx在一段有限路径上的功AFr0x02．质点及质点系动能定理质点动能定理A质点系动能定理EkEk0k1212mvmv0质点的动能增量等于作用于质点的合力所作的功22k0AEE质点系的动能增量等于一切外力所作的功与一切内力所作功的代数和。
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t )
r rP (t)
例：
一物体 ( t1,1,3 ) ( t2 ,3,1)
求t t2 t1的位移
rr
r2r2irrr12（rj（3mir）1rj）（1ir
3 rj）
例: 一质点在平面内作匀速率、半径为R的圆周运
动，如图所示。设 t 0时刻，质点处于 x 轴上
匀速率圆周运动
T : 周期
1 : 频率
T
2 T 2
vr (t dt)
r dS v (t)
d dS R
d R
vr vr
ds Rd
v dS R
dt
vr (t 0)
dv R
dt
一维直线运动，x 的正负表示方向
平面圆周运动 正负表示方向
r r (t)
r
2（j m）
(t
t
2
r )i
(2
t
t2)
r j (m)
位置矢量也可写成分量形式
如：rr
r 2ti
r 3t 2 j
r 4t3k (m)
x 2t
y
3t
2
z
4t 3
rr （2）位置的改变-----位移矢量
(Displacement)
rr
r rQ (t
v R
dθ
at R 方向切向
dr (t)
(t dt)
dθ
an
v
dr
dt
dr
v dt
v 1 d
dt
v
an
v2 R
Rω2
d 0
r an
r v
曲率半径中心向
例 回答下列问题并举出符合你的答案的实例：
（1）速度为零的时刻，加速度是否一定为零？ 加速度为零的时刻，速度是否一定为零？
表示切
向加速度，下列表达式中，
(1) dr / dt v ， (2) dv / dt a
(3) dvr / dt at ，
(4) dS / dt v
(A) 只有(1)、(4)是对的． (B) 只有(2)、(4)是对的． (C) 只有(2)是对的． (D) 只有(4)是对的．
例. 质点沿半径为R的圆周运动，运动学方程为
（2） 当物体具有大小、方向不变的加速度时 ，物体的速度方向能否改变？
（3） 任意平面曲线运动的加速度的方向总指 向曲线凹进那一侧，为什么？
（4）圆周运动中质点的加速度是否一定和速度 的方向垂直？如不一定，这加速度的方向在什 么情况下偏向运动的前方？
例. 质点沿圆周运动，且速率随时间均匀增大，
问 an , at , a 三者 的大小是否都随时间改变？
dt
(m/s) (m/s2)
2. 圆周运动的切向加速度和法向加速度
（1）平面圆周运动的角量描述：
vr (t dt)
r dS v (t)
t : t : d
d dS R
d R
dt : d
d
dt
vr (t
0)
d
dt
角位置 rad 角位移 rad 角速度 s1 角加速度 s2
平均速度： vr rr t
瞬时速度：
(Velocity)
r(t t) r(t)
r dr
v lim
lim
t 0
t
t0 t dt
dx dy dz v i j k dt dt dt v vxi vy j vzk
，且其位置矢量单位时间转过的角度为 （角速
度）。求质点的运动函数和轨道方程（轨迹）。
y
t
x
解：
分量形式：
x
y
R cost R sint
矢量形式：
rr
r xi
r yj
r
R costi
R
r
sin tj
轨道方程（轨迹）：
x2 y2 R2
（3）物体位置改变的快慢-----速度 vr
二. 物体机械运动的描述
Describing the mechanical motion
（加速度矢量的表示）
（§1.2）
1. 直角坐标系中加速度的表示
rr （1）质点位置的数学描述----位置矢量
(x, y, z) t时刻的空间坐标
(t, x, y, z) 时空坐标
rr
(t)
r x(t)i
y(t)
总加速度与速度之间的夹角如何随时间改变？
解：速率随时间均匀增大，可设
v k1t
dv / dt k1 0
at dv / dt k1
an
v2 R
k12 R
t2
a an2 at2 C1t 4 k12
arctg(an / at ) arctan
Ct2 k1
r vr
R
v R
v
R
v R
（2） 圆周运动的切向加速度和法向加速度
dvr
vr (t)
vr
(t
dt
dθ
)
vr vr
ar dvr d (vr ) dv r v dr
dt dt dt
dt
r
vr (t dt) dvr v(t)
dθ
a
dv
3 2t 2 (SI ) 则ｔ时刻质点的法向加速度大小 an ?
角加速度 ?
16 R t2 m/s2
4 rad /s2
例. 下列物理量：质量、动量、冲量、动能、势 能、功中与参考系的选取有关的物理量是 ________________________。（低速世界）
动量、动能、功
d
(vτ )
dv
τ
v
dτ
dt dt dt
dt
切向加速度 法向加速度
at
an
rr r a at an
（3） 切向加速度和法向加速度与角量关系ar来自r at
r an
r
dv r
dt
v
dr
dt
vr (t dt)
dvr
v (t )
dv dω at dt R dt Rα
(m/s)
r vt vrt
0 1
dt r 2i
r 2i
(m/s)
r 6j
(m/s)
（4）速度的变化率----- 加速度(acceleration)
平均加速度： ar vr t
瞬时加速度： ar lim vr dvr t0 t dt
ar dvr dt
dv x
r j
r z(t)k
r
r (t)
位置矢量（运动函数）
M点的位置矢量
例：
y (m)
rr20
rr (t)
时空坐标
t 0：x 0, y 2 (t, x, y) (0, 0, 2)
O
x (m)
t： x(t )
y(t )
t t2 2t
(m) t2
(m)
rr0
r i
dv y
r j
dvz
r k
dt dt dt
d2x
dt
2
r
r i
d2y drt 2
r j
r
d2z dt 2
r k
xi y j zk
例：
已知位置矢量
r
2ti 3t 2
j
（m)
求加速度。
解：
vr
drr
rr 2i 6tj
dt
ar
dvr
r 6j
随时间此交角增大。
例. 一运动质点在某瞬时位于矢径 rx, y
的端点处, 其速度大小为:
dr
(A)
dt
r dr
（C）
dt
r (B) d r
dt
（D）
dx dt
2
dy dt
2
例示.速质度点，作a曲表线示运加动速，度r，表S 示表位示置路矢程量，，at
v 表
速度的叠加：速度是各分速度之矢量和
例：
用矢量解析式表示：一人向东南方向以4 （m/s) 速度大小跑去。
vr 2
r 2i 2
r 2 j(m / s)
例：
设位矢
r
2ti
3t
2
j
（m）。
求质点在t 0 时刻(初始时刻)和 t 1 s时刻
的速度。
解：
vr drr
rr 2i 6tj