第1章++1.2++加速度矢量的表示

随时间此交角增大。
例. 一运动质点在某瞬时位于矢径 rx, y
的端点处, 其速度大小为:
dr
(A)
dt
r dr
（C）
dt
r (B) d r
dt
（D）

dx dt
2


dy dt
2
例示.速质度点，作a曲表线示运加动速，度r，表S 示表位示置路矢程量，，at
v 表
r i

dv y
r j
dvz
r k
dt dt dt

d2x
dt
2
r
r i

d2y drt 2
r j
r
d2z dt 2
r k
xi y j zk
例：
已知位置矢量
r
2ti 3t 2
j
（m)
求加速度。
解：
vr
drr
rr 2i 6tj
dt
ar

dvr

r 6j
r j

r z(t)k
r

r (t)
位置矢量（运动函数）
M点的位置矢量
例：
y (m)
rr20
rr (t)
时空坐标
t 0：x 0, y 2 (t, x, y) (0, 0, 2)
O
x (m)
t： x(t )
y(t )

t t2 2t
(m) t2
(m)
rr0
总加速度与速度之间的夹角如何随时间改变？
解：速率随时间均匀增大，可设
v k1t
dv / dt k1 0
at dv / dt k1
an

v2 R

k12 R
t2
a an2 at2 C1t 4 k12
arctg(an / at ) arctan
Ct2 k1
平均速度： vr rr t
瞬时速度：
(Velocity)

r(t t) r(t)
r dr
v lim
lim
t 0
t
t0 t dt
dx dy dz v i j k dt dt dt v vxi vy j vzk
二. 物体机械运动的描述
Describing the mechanical motion
（加速度矢量的表示）
（§1.2）
1. 直角坐标系中加速度的表示
rr （1）质点位置的数学描述----位置矢量
(x, y, z) t时刻的空间坐标
(t, x, y, z) 时空坐标
rr
(t)

r x(t)i

y(t)
（2） 当物体具有大小、方向不变的加速度时 ，物体的速度方向能否改变？
（3） 任意平面曲线运动的加速度的方向总指 向曲线凹进那一侧，为什么？
（4）圆周运动中质点的加速度是否一定和速度 的方向垂直？如不一定，这加速度的方向在什 么情况下偏向运动的前方？
例. 质点沿圆周运动，且速率随时间均匀增大，
问 an , at , a 三者 的大小是否都随时间改变？
v R
dθ
at R 方向切向
dr (t)
(t dt)
dθ
an

v
dr
dt
dr
v dt
v 1 d
dt
v
an

v2 R
Rω2
d 0
r an

r v
曲率半径中心向
例 回答下列问题并举出符合你的答案的实例：
（1）速度为零的时刻，加速度是否一定为零？ 加速度为零的时刻，速度是否一定为零？
速度的叠加：速度是各分速度之矢量和
例：
用矢量解析式表示：一人向东南方向以4 （m/s) 速度大小跑去。
vr 2
r 2i 2
r 2 j(m / s)
例：
设位矢
r

2ti

3t
2
j
（m）。
求质点在t 0 时刻(初始时刻)和 t 1 s时刻
的速度。
解：
vr drr
rr 2i 6tj

r vr
R
v R
v
R
v R
（2） 圆周运动的切向加速度和法向加速度
dvr
vr (t)
vr
(t

dt
dθ
)
vr vr
ar dvr d (vr ) dv r v dr
dt dt dt
dt
r
vr (t dt) dvr v(t)
dθ
a
dv
dt
(m/s) (m/s2)
2. 圆周运动的切向加速度和法向加速度
（1）平面圆周运动的角量描述：
vr (t dt)
r dS v (t)
t : t : d
d dS R
d R
dt : d
d
dt
vr (t

0)
d
dt


角位置 rad 角位移 rad 角速度 s1 角加速度 s2
3 2t 2 (SI ) 则ｔ时刻质点的法向加速度大小 an ?
角加速度 ?
16 R t2 m/s2
4 rad /s2
例. 下列物理量：质量、动量、冲量、动能、势 能、功中与参考系的选取有关的物理量是 ________________________。（低速世界）
动量、动能、功
(m/s)
r vt vrt
0 1
dt r 2i
r 2i

(m/s)
r 6j
(m/s)
（4）速度的变化率----- 加速度(acceleration)
平均加速度： ar vr t
瞬时加速度： ar lim vr dvr t0 t dt
ar dvr dt

dv x
匀速率圆周运动
T : 周期
1 : 频率
T
2 T 2
vr (t dt)
r dS v (t)
d dS R
d R
vr vr
ds Rd
v dS R
dt
vr (t 0)
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dt
一维直线运动，x 的正负表示方向
平面圆周运动 正负表示方向
r r (t)
r
2（j m）

(t

t
2
r )i

(2

t

t2)
r j (m)
位置矢量也可写成分量形式
如：rr

r 2ti
r 3t 2 j

r 4t3k (m)
x 2t

y

3t
2

z

4t 3
rr （2）位置的改变-----位移矢量
(Displacement)
rr

r rQ (t
表示切
向加速度，下列表达式中，
(1) dr / dt v ， (2) dv / dt a
(3) dvr / dt at ，
(4) dS / dt v
(A) 只有(1)、(4)是对的． (B) 只有(2)、(4)是对的． (C) 只有(2)是对的． (D) 只有(4)是对的．
例. 质点沿半径为R的圆周运动，运动学方程为

t )

r rP (t)
例：
一物体 ( t1,1,3 ) ( t2 ,3,1)
求t t2 t1的位移
rr

r2r2irrr12（rj（3mir）1rj）（1ir

3 rj）
例: 一质点在平面内作匀速率、半径为R的圆周运
动，如图所示。设 t 0时刻，质点处于 x 轴上

d
(vτ )

dv
τ
v
dτ
dt dt dt
dt
切向加速度 法向加速度


at
an
rr r a at an
（3） 切向加速度和法向加速度与角量关系
ar

r at

r an
r

dv r
dt
v
dr
dt
vr (t dt)
dvr
v (t )
dv dω at dt R dt Rα
，且其位置矢量单位时间转过的角度为 （角速
度）。求质点的运动函数和轨道方程（轨迹）。
y
t
x
解：
分量形式：
x

y
R cost R sint
矢量形式：
rr

r xi

r yj

r
R costi

R
r
sin tj
轨道方程（轨迹）：
x2 y2 R2
（3）物体位置改变的快慢-----速度 vr