20.2数据的离散程度—极差(补充)
20.2数据的集中趋势与离散程度第2课时
某公司对外宣称员工的平均年薪为3万元。经
过调查，发现该公司全体员工年薪的具体情 况如下表：
年薪/万元 12 9
6
4
3
2.5 2
1.5 1
员工人数 1
1
1
1
2
2
5
6
2
看了这张表，你认为该公司的宣传是否失实？ 3万元能代表该公司员工的一般水平吗？
二、新知讲解
一般地，n个数据按大小顺序排列，处 于最中间位置的一个数据（当数据个数是 奇数时）或最中间两个数据的平均数（当 数据个数为偶数时）叫做这组数据的中位 数。
四、课堂小结
议一议：平均数、中位数和众数有哪些特征？
1. 用平均数作为一组数据的代表，比较可靠和稳定， 它与这组数据中的每一个数都有关系，对这组数据所 包含的信息的反映最为充分，因此在现实生活中较为 常用，但它容易受极端值的影响。 2. 用中位数作为一组数据的代表，可靠性比较差，它 不能充分利用所有数据的信息，但它不受极端值的影 响，当一组数据中有个别数据变动较大时，可用它来 描述这组数据的“集中趋势”。 3. 用众数作为一组数据的代表，可靠性也比较差，其 大小只与这组数据中的部分数据有关，但它不受极端 值的影响。当一组数据中某些数据多次重复出现时， 众数往往是人们尤为关心的一种统计量。
五、作业
1. 课本习题20.2的第6,7,8题。（P136-137）
二、例题讲解
结合上例子，请同学们总结求一组数据中位数 的步骤：
1、先将一组数据按照从小到大或从大到小的顺 序排列；
2、数出数据的个数，如果是奇数个， 取中间两个数字的平均数，如果是偶 数取中间的那个数字； 3、写出这组数据的中位数。
二、例题讲解
《20.2数据的集中趋势与离散程度》作业设计方案-初中数学沪科版12八年级下册
《数据的集中趋势与离散程度》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 巩固学生对于平均数、中位数、众数等数据集中趋势指标的理解与计算能力。
2. 加深学生对标准差、方差等离散程度指标的认识，并掌握其计算方法。
3. 培养学生运用所学知识分析实际问题中数据的集中趋势与离散程度的能力。
二、作业内容本课时作业主要围绕“数据的集中趋势与离散程度”展开，具体内容如下：1. 理论练习：学生需复习并掌握平均数、中位数、众数等概念及其计算方法，并完成相关练习题，以巩固对集中趋势的理解。
2. 计算实践：学生需通过实际数据集，计算标准差和方差，理解其作为离散程度指标的意义和作用。
3. 案例分析：学生需分析一个实际问题的数据集，如班级考试成绩等，通过计算集中趋势和离散程度指标，分析数据的特征，并提出合理的结论。
4. 作业拓展：学生需自行收集一组数据，并运用所学知识分析其集中趋势和离散程度，写出分析报告。
三、作业要求1. 理论练习部分要求学生对每个概念的理解准确，计算过程规范，答案准确。
2. 计算实践部分要求学生能够独立完成数据集的离散程度计算，理解其实际意义。
3. 案例分析部分要求学生能够根据实际问题选择合适的集中趋势和离散程度指标，分析数据并得出合理结论。
4. 作业拓展部分要求学生积极收集数据，认真分析，并写出条理清晰、逻辑严谨的分析报告。
四、作业评价教师将对作业完成情况进行评价，主要从以下几个方面进行：1. 准确性：学生是否准确理解概念，计算过程是否规范，答案是否准确。
2. 规范性：学生是否按照要求完成作业，书写是否规范。
3. 逻辑性：学生在案例分析和拓展作业中是否能够合理运用所学知识，分析是否具有逻辑性。
4. 创新性：鼓励学生在拓展作业中提出新的观点和分析方法。
五、作业反馈教师将根据学生的作业完成情况给予反馈，指出学生的优点和不足，并给出改进建议。
同时，教师将选取优秀作业进行展示，以激励学生。
学生也可根据教师的反馈，对自己的学习情况进行反思和总结，以便更好地掌握所学知识。
人教版-数学-八年级下册20.2数据的波动 第一课时
20．2 数据的波动第一课时极差、方差（一）教学内容与背景材料本节课主要学习极差．极差是反映数据的变化范围，生活中经常用到．（课本P151～P152）．教学目标知识与技能：了解刻画数据离散程度的两个量度：极差、方差，能借住计算器求相应的数值．过程与方法：经历表示数据离散程度的探索过程，应用两个量（极差、方差）解决实际问题．情感态度与价值观：培养学生熟悉统计的基本思想，形成统计观察，进行形成尊重事实、用数据说话的态度，体会数据处理在现实中的应用价值．重难点、关键重点：运用极差、方差解决实际问题．难点：理解极差、方差的概念，并会运用它们解决数据的波动问题的判断．关键：把握极差、方差的离散程度来判断样本的波动状况，从而估计总体的波动状况．教学准备教师准备：投影仪、计算器、制作投影片．学生准备：预习本节课内容；计算器．学法解析1．认识起点：已经积累了描述一组数据的集中趋势的特征数──平均数、•众数、中位数的知识的基础上学习另一种反映数据波动大小（即离散趋势）的特征数──极差、方差． 2．知识线索：总体─样本─波动大小（数字特征）3．学习方式：采取问题解决、合作交流的学习方式．教学过程一、创设情境，引入新知【问题牵引】为了提高农副产品的国际竞争力，一些行业协会对农副产品的规格进行了划分，其外贸公司要出口一批规格为75g的鸡腿，现有2个厂家提供货源，它们的价格相同；鸡腿的品质也相近．质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，它们的质量（单位：g）如下：甲厂：75 74 74 76 73 76 75 77 77 74 74 75 75 76 73 76 73 78 77 72乙厂：75 78 72 77 74 75 73 79 72 75 80 71 76 77 73 78 71 76 73 75把这些数据表示成下图：（1）你能从图中估计出甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量吗？（2）求甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量，•并在图中画出表示平均质量的直线．（3）从甲厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是多少？最小值是多少？•它们相差几克？乙厂呢？（4）如果只考虑鸡腿的规格，你认为外贸公司应购买哪个厂的鸡腿？思路点拨：（1）答案75g左右，通过两种方法引导，①观察上图中75g•上下的点数．②运用求平均值的公式计算；可让学生分析并提出看法．（2）•让学生画出表示平均质量的直线，直观地体会一组数据平均数的内涵，同时发现各数相对于平均数的偏差，感悟数据离散状况．（3）78g，72g，6g；80g，71g，9g，由学生自己计算得出结论；（4）通常外贸公司应购买甲厂的鸡腿，可由学生讨论得出结论．【活动方略】教师活动：操作投影仪，组织学生讨论．学生活动：分四人小组进行讨论，而后再进行全班汇报指导阅读：（课本P151内容）概念导入：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差．教师解释：在生活中，我们常常用到极差这个概念来反映数据的波动大小，如班级中某科成绩最高分与最低分的差，一个单位最高工龄与最低工龄的差等就是极差的例子．极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，但它容易受极端值的影响．【设计意图】应用两个实际事例导入极差概念，自然而又有探索性，学习感兴趣．二、随堂练习，巩固深化课本P152 “练习”三、继续探究,学习新知【问题牵引】上例中，如果丙厂也参与了竞赛，从该厂抽样调查了20只鸡腿，数据如下图所示．（1）丙厂这20只鸡腿质量的平均数和极差分别是多少？（2）如何刻画丙厂这20只鸡腿的质量与其平均数的差距？分别求出甲、•丙两厂的20只鸡腿质量与相应平均数的差距．（3）在甲、丙两个厂中，你认为哪个厂的鸡腿质量更符合要求？•说说你的理由．思路点拨：（1）平均数为75.1g，极差为7g，由学生自己得出结论；（2）•可分别用这20只鸡腿的质量与其平均数差的绝对值来刻画，甲厂这20只鸡腿的质量与其平均数的差距（单位：g）依次为：0，1，1，1，2，1，0，2，2，1，1，0，0，1，2，1，2，3，2，3．而丙厂相应的数据为：0，11，12，12，93，10，91，10，91，10，11，13，12，13，12，90，91，91，91，93，9．这里要向学生讲明使用绝对值的目的是不考虑符号，使之能够归结到正数范围之内，另一个原因是能够更好地表示数据的波动状况，不受符号的干扰．（3）•可以由图中直观地判断，也可以引导学生用差距和来说明选甲厂好．【活动方略】教师活动：操作投影仪，提出问题，启发学生．学生活动：先独立思考再小组交流，然后举手发言指导阅读：（课本P152～P154）教师活动：参与学生的讨论，引导学生认图，从图中判断、处理数据，由于这两队的平均数相同，都是26.9，但从图中可以看出甲队选手的年龄与其平均年龄的偏差较大，而乙队选手的年龄集中地分布在平均年龄上下．学生活动：分四人小组阅读理解，从分析中感受到这两组数据的波动状况，发现乙队数据在平均数左右的多，甲队数据偏差较大，因此判断出乙队年龄波动较小．教师活动：导入公式．方差定义：各个数据与平均数之差的平方的平均数叫做方差．方差公式：设n个数据：x1，x2…x n，各数据与它们的平均数的差的平方是（x1-x）2，（x2-x）2…（x n-x）2，则：S2=1 n评析：当数据分布比较分散时，各个数据与平均数的差的平方和较大，方差就较大；当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小，方差就较小，方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小．学生活动：计算甲、乙两队方差如下：S甲2=2.29，S乙2=0.89，因为S甲2>S乙2，可以推断乙队选手年龄波动较小，这与上面图形认识的直观趋势完全一致．【设计意图】通过问题情境的分析以及阅读指导的再认识，让学生认识到方差是衡量一组数据的离散程度的常用方法．四、随堂练习，巩固深化1．课本P155 “练习”12．【探研时空】甲、乙两组都生产同一种零件，从两组产品中各抽出4个，•量得它们的长度（cm）如下：甲组：99.8 100.0 100.2 100.0乙组：100.0 99.7 100.3 100.0（1）分别计算每个样本的平均数和极差．（2）分别求出每个样本的方差，•并判断出哪组的产品样本尺寸要求控制的比较稳定．（甲组产品较稳定）五、课堂总结，发展潜能1．什么叫做极差？2．什么叫做方差？3．极差、方差是衡量一组数据波动大小的特征数，对于一组数据，除需了解它们的平均水平外，还需要了解它们的波动大小，你是怎么看的？六、布置作业，专题突破1．课本P158 习题20．2 1．2，3．2．选用课时作业优化设计七、课后反思略第一课时作业优化设计【驻足“双基”】1．数据3，5，4，2，5，1，3，1的方差是_________．2．甲、乙两个样本，甲样本方差是2.15，乙样本方差是2.31，•则甲样本和乙样本的离散程度（）．A．甲、乙离散程度一样 B．甲比乙的离散程度大C．乙比甲的离散程度大 D．无法比较3．下面说法中正确的个数为（）．（1）样本的方差越小，波动越小，说明样本稳定性就越好；（2）一组数据的众数只有一个；（3）一组数据的中位数一定是这组数据中的某一个数据；（4）数据3，3，3，3，2，5中的众数为4；（5）一组数据的方差一定是正数．A．0 B．1 C．2 D．44．为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽取10株苗，测得苗高如下（单位：cm）甲：15、9、16、18、14、8、12、10、17、11乙：12、15、14、16、15、13、13、10、12、10（1）分别计算两种小麦的平均苗高和极差；（2）分别计算两种小麦的方差，比较哪种小麦长得比较整齐．【聚焦“中考”】5．小张和小李去练习射击，第一轮10•枪打完后两人的成绩如图所示，通常新手成绩不太稳定，那么根据图中的信息，•估计小张和小李两人中新手是谁？第一课时作业优化设计答案:1．略 2．C 3．B4．（1）13cm，13cm，6，3，2，S甲2=11cm2，S22=3.8cm2，乙种较齐5．小李。
20.2.1数据的波动教案
20.2数据的波动20.2.1极差一、教学目标（一）知识与技能1．理解极差的定义，知道极差是用来反映数据波动范围的一个量。
2．会求一组数据的极差。
（二）过程与方法1．能在具体情境中应用极差。
2．会从图表上了解数据反映的信息。
（三）情感、态度与价值观1．经历刻画数据离散程度的探索过程，感受表示数据离散程度的必要性。
2．进一步发展学生的数据分析处理能力。
二、重点难点重点：会求一组数据的极差。
难点：本节课内容较容易接受，没什么难点。
三、教学准备多媒体，计算器。
四、教学方法分组讨论，讲练结合。
五、教学过程(一)复习引入我们已经学会了刻画一组数据集中趋势的方法（平均数、众数、中位数），今天我们继续探究对数据进行分析处理的新方法。
（学生表现出好奇、困惑，渴求新知）设计意图：激发学习热情和求知欲望话题一：气温1. 展示新加坡与北京气温图片，并提出问题：为什么说两个城市，一个“四季如春”，一个“四季分明”？2. 引导得出“温差”一说。
3. 例题教学：某日在不同时段测得乌鲁木齐和广州的气温情况。
设计意图：“温差”一词为“极差”的引出做好铺垫，并通过例题引出“极差”的概念。
话题一：射击1. 话题过渡：08奥运。
2. 展示射击图片。
3. 教练的烦恼：甲、乙两名射击手现要挑选一名射击手参加比赛，该挑选哪一位比较适宜？设计意图：渗透爱国主义教育。
引导学生讨论，初步做到能在具体情境中应用极差。
极差：是指一组数据中最大值与最小值的差。
在统计中常用极差来刻画一组数据的离散程度。
(二)新课讲解例1．(教材P154页例1)例2．为了比较甲、乙两种棉花品种的好坏，任意抽取每种棉花各10棵，操作：让学生在各自的学习小组中讨论、解释、交流自己的发现.教师可以参与到某个或几个小组中倾听。
在小组学习中讨论、交流发现另一个统计量极差（它有别于平均数、众数、中位数），极差反映了一组数据的离散程度。
解：甲种棉花结桃的最多数目为89，最少数目为79，其差为10；乙种棉花结桃的最多数目为91，最少数目为76，其差为15。
20.3表示一组数据离散程度的指标(极差、方差与标准差)
经计算可以看出，对于2月下旬的这段时间而言， 2001年和2002年上海地区的平均气温相等，都是 12℃．
这是不是说，两个时段的气温情况没有什么差异 呢？根据上表提供的数据,绘制出相应的折线图 我们进行分析．
不同时段的最高气温
25 22
20
1516
10 9
56
2001年 2002年
通常用S2表示一组数据的方差，用 x 表示一组 数据的平均数，x1、x2、…..表示各个数据。
S
2
1 n [(x1
x)2
( x2
x)2
( xn
x)2 ]
在实际应用时常常将求出的方差再开平方， 这就是标准差.
S 标准差 方差 s2 方差 标准差2
计算可得：小明5次测试成绩的标准差为 小兵5次测试成绩的标准差为
极差＝最大值－最小值．
这里四季分
明。 思 考
这里一年四 季温度差不 大
• 为什么说本章导图中的两个城市，一个 “四季温差不大”，一个“四季分明”？
例1 :观察图20.3.1，分别说出两段时间内气温 的极差．
解 由图可知，图(a)中最高气温与最低气温之间 差距很大，相差16℃，也就是极差为16℃；图 (b)中所有气温的极差为7℃，所以从图中看， 整段时间内气温变化的范围不太大．
1、样本3，4，2，1，5,6,的平均数 为3.5, 中位数为3.5；极差为 5 ；
2、样本a+3，a+4，a+2，a+1，a+5的 平均数为 a_+_3__,中位数为__a_+_3__, 极差为 4___.
20.2.2数据的离散程度(教案)
3.培养学生通过分析数据离散程度，发现数据规律和关联性，增强数据推理和解决问题的能力；
4.引导学生运用所学知识解决实际问题，培养数学在实际生活中的应用意识，提高数学建模素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解离散程度的定义及意义，明确离散程度反映数据波动情况的特性；
（1）方差、标准差的计算过程：学生需要理解方差、标准差的计算公式，并能正确运用公式计算；
（2）离散系数的应用：学生需理解离散系数的意义，能够运用离散系数对不同数据集的离散程度进行比较；
（3）实际问题中的数据离散程度分析：学生需要将所学知识应用于实际问题，分析数据离散程度，并提出合理的结论。
举例：
（1）方差计算的难点：解释方差计算过程中平方的意义，以及为何要除以数据个数减一（n-1）；
五、教学反思
在上完这节课后，我深感数据离散程度这一部分内容对学生来说既有挑战性也有实际意义。通过教学，我发现以下几个方面的亮点和需要改进之处：
1.亮点：学生们对数据离散程度的概念和意义有了较为清晰的认识，能够理解极差、方差、标准差等统计量的含义。在实践活动和小组讨论中，他们积极投入，表现出较高的学习兴趣。
4.实践活动：通过实践活动，我发现学生们能够将所学知识应用到实际问题中，这让我很欣慰。但在活动过程中，部分学生操作不够熟练，这说明我们在课堂上还需要加强实践操作的训练。
5.小组讨论：小组讨论环节，学生们表现出了很好的合作精神和思考能力。但在分享成果时，有些小组的表达不够清晰，这提示我在今后的教学中，要关注学生们的表达能力和逻辑思维能力的培养。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调极差、方差、标准差的计算方法以及离散系数的应用。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
20.2.1 数据的波动——极差(1)
2月 4月 6月 8月 10月 12月
乌鲁木齐 10℃ 14℃ 20℃ 24℃ 19℃ 15℃ 昆 明 15℃ 16℃ 18℃ 19℃ 17℃ 17℃
比较两个城市气温的高低，求平均气温是一种 常用的方法。请你求出这两个城市的平均气温。
17℃ 17℃ 这是不是说，两个城市气温情况没有差异呢？
2、小华五次跳远的成绩如下（单位：m）：
3.9，4.1，3.9，3.8，4.2
关于这组数据，下列说法错误的是（ D ）
A. 极差是0.4
B. 众数是3.9
C. 平均数是3.98 D. 中位数是3.98
3、已知一组数据1，2，0，-1，x，1的平均数是1，
则这组数据的极差为 4
能力提升
1、数据a，b，c，d的极差为r，则a+x， b+x，c+x，d+x的极差为（ A）
应用
2月 2月 2月 2月 2月 2月 2月 2月 21日 22日 23日 24日 25日 26日 27日 28日
2001年 12 13 14 22 6 8 9 12
2002年 13 13 12 9 11 16 12 10
问：2001年2月下旬上海的气温的极差是多少？ 22-6=16 （℃） 2002年同期的上海的气温的极差又是多少？16-9=7 （℃）
A. r B. x C. r+x D. r-x 2、若数据2，a，3，4的极差是3， 求a的值及这组数据的平均数。
解：①若a为最小值，则4-a=3 ∴a=1 ∴￣x=2.5
②若a为最大值，则a-2=3 ∴a=5 ∴￣x=3.5
课时（6）
情景引入（二）
在一次女子篮球比赛中，甲乙两队参赛选手的 年龄如下：（单位：岁）
人教版数学八年级下册20.2.2数据的离散程度优秀教学案例
在本节课中，我会设计一系列的问题来引导学生思考和学习。首先，我会引导学生回顾之前学过的统计学知识，如平均数、中位数和众数等，让学生明白离散程度是描述数据波动大小和分布情况的重要指标。然后，我会提出问题，如“什么是极差？如何计算极差？”等，引导学生通过动手操作和小组讨论来解决问题。
问题导向的教学策略能够激发学生的学习兴趣和主动性，培养他们的思维能力和解决问题的能力。同时，它也能够帮助学生巩固已学的知识，并将其运用到新的问题中。
（四）反思与评价
在本节课的最后，我会组织学生进行反思与评价。首先，我会让学生回顾自己在这节课中学到了什么，掌握了哪些知识和技能。然后，我会引导学生反思自己在学习过程中的优点和不足，思考如何改进学习方法和提高学习效果。
同时，我还会对学生的学习情况进行评价，给予他们积极的反馈和鼓励。对于学生的优点，我会给予肯定和表扬，增强他们的自信心和学习动力；对于学生的不足，我会给予指导和建议，帮助他们找到改进的方向。
2.能够运用极差、方差和标准差等指标来描述和分析数据的离散程度。
3.能够选择合适的统计量来反映数据的离散程度，并能够解释其意义。
此外，学生还需要能够运用所学的离散程度知识来解决实际问题，如分析一次学校举办的数学竞赛成绩的离散程度，从而了解学生的整体水平。
（二）过程与方法
在本节课中，学生将通过实际案例来学习和掌握离散程度的概念和计算方法。具体包括：
三、教学策略
（一）情景创设
在本节课中，我会以一次学校举办的数学竞赛成绩为例，创设一个真实的学习情境。首先，我会向学生介绍这次数学竞赛的背景和意义，让学生明白学习离散程度的重要性。然后，我会展示一组学生的成绩数据，让学生动手计算这组数据的极差、方差和标准差，通过实际操作来理解和掌握计算方法。
数据的离散程度
数据的离散程度数据的离散程度是指数据值之间的分散程度，也可以理解为数据的波动程度。
在统计学中，离散程度是衡量数据变异性的重要指标之一，常用的度量指标包括极差、方差、标准差等。
本文将探讨数据的离散程度及其在数据分析中的应用。
一、极差极差是最简单直观的离散程度度量指标。
它表示的是一组数据的最大值与最小值之间的差值。
计算极差只需要将最大值与最小值相减即可。
然而，极差并不能完全反映数据的整体分布情况，它只关注极端值，容易受到异常值的影响。
二、方差方差是最常用的衡量数据离散程度的统计量之一。
它以数据与其均值之间的差距为基础。
计算方差的步骤如下：1. 计算每个数据与均值的差值。
2. 对差值进行平方运算。
3. 对平方后的差值求和。
4. 将求和结果除以数据个数得到方差。
方差的计算过程可以理解为将离均差平方化后进行累加，以此来度量数据的离散程度。
方差越大，数据的离散程度越大。
然而，方差的计算结果是平方的，与原始数据具有不同的量纲，不易直观理解。
三、标准差为了便于对离散程度的理解和比较，常将方差开根号得到标准差。
标准差与原始数据具有相同的量纲，更易于理解和比较。
标准差的计算公式为：标准差 = 方差的平方根标准差的计算过程相对方差而言更为复杂，但它是数据离散程度的重要度量指标。
标准差越大，数据的离散程度越大。
四、应用案例在实际应用中，数据的离散程度对于数据分析和决策具有重要意义。
下面通过一个实例来说明数据离散程度的应用。
假设一家零售商希望了解其销售额的离散程度，以便更好地了解市场的波动情况。
该零售商在过去一年中每个月的销售额数据如下：月份销售额(万元)1月 502月 603月 554月 655月 706月 557月 808月 759月 6010月 5011月 7012月 85首先，计算这些数据的平均值为63.33万元。
然后，计算每个月销售额与均值的差值，并求差值的平方，得到如下结果：月份差值平方1月 -13.33 177.772月 -3.33 11.113月 -8.33 69.444月 1.67 2.785月 6.67 44.446月 -8.33 69.447月 16.67 277.788月 11.67 136.119月 -3.33 11.1110月 -13.33 177.7711月 6.67 44.4412月 21.67 471.11将平方后的差值求和，得到结果为1463.89。
初中数学 什么是数据的离散程度 如何计算数据的离散程度
初中数学什么是数据的离散程度如何计算数据的离散程度数据的离散程度是指数据在一组观测值中的分散程度或不均匀程度。
它反映了数据的集中程度和分布的广度。
数据的离散程度可以通过多种指标和方法进行计算和度量，包括极差、四分位数、方差和标准差等。
以下是关于数据的离散程度以及如何计算数据的离散程度的详细解释：1. 什么是数据的离散程度？数据的离散程度是指数据在一组观测值中的分散程度或不均匀程度。
在统计学中，我们常常关注数据的离散性，以便了解数据的集中程度和分布的广度。
数据的离散程度可以是高度集中的、均匀分布的或不均匀分布的，它反映了数据的分散程度和不均匀性。
2. 如何计算数据的离散程度？计算数据的离散程度可以使用以下几种常见的指标和方法：a. 极差：极差是指数据的最大值与最小值之间的差异。
极差越大，数据的离散程度越大；极差越小，数据的离散程度越小。
极差容易受到极端值的影响，因此在使用时需要注意。
b. 四分位数：四分位数是将数据分成四等分的数值，它可以帮助我们理解数据的分布情况和离散程度。
常用的四分位数包括第一四分位数（Q1）、第二四分位数（Q2，即中位数）和第三四分位数（Q3）。
通过计算四分位数，我们可以了解数据在不同区间的分布情况和离散程度。
c. 方差：方差是衡量数据离散程度的常用指标，它反映了数据相对于其平均值的离散程度。
方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小。
方差对异常值敏感，因此在存在异常值时需要谨慎使用。
d. 标准差：标准差是方差的平方根，它也是衡量数据离散程度的常用指标。
标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小。
标准差对异常值敏感，因此在存在异常值时需要谨慎使用。
除了以上常用的指标和方法，还可以通过绘制数据的图表和图形进行直观描述和分析，如直方图、箱线图和散点图等。
这些图表和图形可以帮助我们更好地理解和展示数据的离散程度。
以上是常用的计算数据离散程度的指标和方法，它们可以帮助我们分析和度量数据的离散性。
八年级数学数据的离散程度——极差、方差和标准差上海科技版知识精讲
初二数学数据的离散程度——极差、方差和标准差某某科技版【本讲教育信息】一. 教学内容： 数据的离散程度——极差、方差和标准差【知识点复习与典型例题】1、一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差。
2、一般地，各数据与平均数的差的平方的平均数[]222212)()()(1x x x x x x nS n -++-+-=叫做这组数据的方差在样本容量相同的情况下，极差、方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定 方差的算术平方根[]22221)()()(1x x x x x x n S n -++-+-=叫做标准差 注：1）极差、方差、标准差都是反映数据离散程度的量；2）极差、方差、标准差都应带单位（如果原题有单位）3）极差和标准差的单位是原单位，方差的单位是原单位的平方； 4）方差的意义：用来衡量一批数据的波动大小 5）取相同样本容量。
6）研究方差的前提之一：平均数相等或非常接近在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大， 越不稳定【典型例题】问，甲、乙两人的成绩谁更稳定？ 分析：我们先计算他们的平均数，发现平均数相同都是8，可见平均数不能反映两个选手成绩是否稳定。
甲、乙两人成绩与平均数的偏差分别是： 甲：－1 0 0 0 1 乙：2 －2 2 －2 0则：甲的极差是2，乙的极差是4，由此我们可以知道甲稳定。
例2. 一个农科站在8个面积相等的试验点对甲，乙两个早稻品种进行栽培对比试验，两个品种在各试验点的产量如下（单位：kg ）乙：428，466，465， 426.5， 436， 455， 448.5，459 哪个品种的产量比较稳定？解：计算它们的平均数都是448kg ，再看偏差乙：－20 18 17 －21.5 －12 7 0.5 11从中可知乙品种比较稳定。
谁的成绩较为稳定？为什么？ 能通过计算回答吗?小明、小兵的体育平均成绩分别是：13、134.0525010105)1313()1312()1313()1314()1313(s 222222==++++=-+-+-+-+-=小明0.854511101513)(1213)(1413)(1213)(1313)(14s 222222==++++=-+-+-+-+-=小兵小明的成绩比较稳定小兵小明∴<,s s 22注：方差越大，说明这组数据偏离平均值的情况越严重,即数据的波动越大,数据也越不稳定。
20.2.2数据的离散程度
2
2
乙
(1113)
2
( 16 13) (14 13)
2
2
6.2
由 s甲
s
2
乙
可知，甲小麦的长势比 较整齐。
方差越大,说明数据的离散程度越大,越不稳定.
作 业
教科书 137页，练习 9、10题。 基础训练
96 94 92 90 88 86 84 82 80 1 2 3 4 5 6 7 甲 乙
（2） 通过统计图，你认为挑选哪一位比较适宜？为什么？
谁的稳定性好？应以什么数据来衡量呢？
所以要进一步用一个新的数据来衡量数据的稳定性
设一组数据x1、x2、…、xn中，各数据与它们的平均数的 差的平方分别是(x1－x)2、(x2－x)2 、… (xn－x)2 ，那么我 们用它们的平均数，即用
x乙 90(分)
_
90(分) 10(分)
90(分)
10(分)
(4)通过计算，你认为挑选哪一位比较适宜？为什么？
老师的烦恼
两个同学本学期7次测验的数学成绩分别如下：（单位：分）
甲 乙
85 85
89 85
90 90
90 90
90 90
91 95
95 95
(1)在同一个折线统计图中画出这两名同学的成绩；
20.2.2数据的离散程度
老师的烦恼
要数学竞赛了，老师要从甲、乙两名同学中挑选一个参加。若 你是老师，你认为挑选哪一位比较适宜？ 两个同学本学期7次测验的数学成绩分别如下：（单位：分）
甲 乙
85 85
89 85
90 90
90 90
90 90
_
91 95
20.2.1 极差
人教版初中数学学科八年级下册
20.2.1 极差 课型 主备人 新授课 王金涛 学生学 习感悟 （教师 个性修 订）
庆云县东辛店中学
学
习 过 程
学习目标: 1． 经历刻画数据离散程度的探索过程， 感受表示数据离散程度的必 要性． 2．掌握极差的概念，理解其统计意义． 3．了解极差是刻画数据离散程度的一个统计量，并在具体情境中加 以应用． 学习重点：掌握极差的概念，理解其统计意义． 学习难点：极差的统计意义． 学习过程： 一、 看故事，学知识
小明初一时对数学不感兴趣，遇到问题不爱动脑筋，作业能做就做，不会做 就不做，因此他的数学成绩不太好，初一的一学年中四次考试的数学成绩分 别是 75、78、77、76．初一暑假时，小明参加了科技活动小组，在活动中， 小明体会到学好数学的重要性，逐渐对数学产生了兴趣，遇到问题时从多方 面去思考，深入钻研．因此小明的数学成绩进步很快，初二的一学年中，小 明在四次考试的数学成绩是 80、85、92、95． 看完这则小通讯，请谈谈你的看法．你以为在这些数据中最能反映学习 态度重要性的是哪一对数据?两者相差多少?
自动化生产线上， 两台数控机床同时生产直径为 40.00 毫米的零件， 为了检验产品质量,从产品中各抽出 10 件进行测量， 结果如下(单位： 毫 米)．
(2) 就所生产的 10 个零件的直径变化范围,你认为哪个机床生产的质 量好?
四、 达标检测 1、一组数据：473、865、368、774、539、474 的极差是 ，一组数据 1736、 1350、-2114、-1736 的极差是 . 2、一组数据 3、-1、0、2、X 的极差是 5，且 X 为自然数，则 X= . 3、下列几个常见统计量中能够反映一组数据波动范围的是（ ） A.平均数 B.中位数 C.众数 D.极差 4、一组数据 X 1 、X 2 „X n 的极差是 8，则另一组数据 2X 1 +1、2X 2 +1„，2X n +1 的极差是（ ） A. 8 B.16 C.9 D.17 5、已知一组数据 2.1、1.9、1.8、X、2.2 的平均数为 2，则极差是 。 6、若 10 个数的平均数是 3，极差是 4，则将这 10 个数都扩大 10 倍，则这组数据 的平均数是 ，极差是 。 7、某活动小组为使全小组成员的成绩都要达到优秀，打算实施“以优帮困”计划， 为此统计了上次测试各成员的成绩（单位：分）90、95、87、92、63、54、82、 76、55、100、45、80 计算这组数据的极差，这个极差说明什么问题？将数据 适当分组，做出频率分布表和频数分布直方图。
数据的离散程度方差
如果一组数据x1，x2，…，x n，中的每一个数据都减去 a，得到一组新数据 那么这两组数据的方差 x'1 ， x'2 ， x'n ， L， 有什么关系？ 2 2 2 + + + ( x x ) ( x x ) ( x x ) 2 L 1 2 n + x2 + L + xn x 1 = s x= n n x'1 + x'2 + L + x'n ( x1 a) + ( x2 a) + L + ( xn a) = x' = n n ( x1 + x2 + L + xn ) na = = x a n
4．一组数据 a1 , a2 , …… , an 的极差为2，那么 （2）一组新数据 3a1 ,3a2 ,， 3an的极差为 6 ：
若一组数据中每一个数据增大（或减小）同 一个数，则极差 不变 ，（填“增大”、 “减小”或“不变”） 若一组数据中每一个数据变为原来的a倍， 则极差变为原来的 a 倍
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北京
安庆
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2 2 2 2 + + + + ( 5 4 ) ( 4 4 ) ( 5 4 ) ( 5 4 ) L 2 s = 10
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（1）一组新数据 a1 1, a2 1,, an 1 的极差为 2 ：
教学反思
甲： 84 ,79, 81, 84, 85, 82, 83, 86, 87 ,89
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92
89－79=10
乙：
85 ,84, 89, 79, 81, 91, 79, 76, 82, 84
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92
7 10
8 6
8 10
8 6
9 8
感悟与收获
1.极差的意义．
极差是最简单的一种刻画数据离散程度的统计量。 但有的时候仅用极差来分析一组数据的离散程度还 是不够精确，难以说明问题。
2.极差的计算方法．
极差＝最大值－最小值．
3.应用极差对简单问题做出判断.
4.一组数据 a1 , a2 , …… , an 的极差为2，那么 （2）一组新数据 3a1 ,3a2 ,， 3an的极差为 6 ：
-5 ℃. 2. 某日最高气温是4 ℃, 温差是 9 ℃,则最低气温是＿＿＿ 7 或 -3 . 3.数据 1 , 2 , 3 , x 的极差是 6 ,则 x =＿＿＿＿＿
甲，乙两名射击手现要 挑选一名射击手参加比赛. 若你是教练，你认为挑选 哪一位比较适宜？ 甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲命中环数 乙命中环数
（补充课程） （1课时）
八（1）是我家，我爱我家！
问题 1 ： 为了比较甲、乙两种棉花结桃情况，
任意抽取每种棉花各 10 棵，统计它们结桃 数的情况如下： 甲种棉花 84 ,79, 81, 84, 85, 82, 83, 86, 87 ,89 乙种棉花 85 ,84, 89, 79, 81, 91, 79, 76, 82, 84 请你对这两组数据进行分析比较，看看能获 得什么结论？
郭晶晶 74.70，84 .60，81.84，83.70，65.25； 吴敏霞 70.20，70.47， 75.60，72.54，82.80； 帕卡琳娜 75.60，68.40，74.40，74.40，80.10。
请你来评论一下她们的表现吧！
练一练
1.在数据统计中,能反映一组数据变化范围大小的指标是 ( D ) A 平均数 B 众数 C 中位数 D 极差
时间
北京
安庆
这一天两地的温差分别是: 北京 安庆 24-10=差叫做温差。温差是一种 极差，常用它来反映一天、一 月、一年的气温变化幅度。
2.在2004年雅典奥运会上我国选手郭晶晶，吴敏霞和俄 罗斯选手帕卡琳娜 分获女子3米板单人比赛的前3名。他 们在决赛中的五组动作得分情况如下：
0:00 4:00 8:00 12:00 16:00 20:00
北京
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时间
0:00 4:00 8:00 12:00 16:00 20:00
91－76=15
什么样的指标可以 反映一组数据变化 范围的大小？
如果你家想要种棉花，那你会 选择种哪种棉花？
探究新知：
1.极差
定义：一组数据中最大数与最小数的差。 表达式：极差=最大数－最小数 极差是刻画数据离散程度的最简单的统 计量，而且计算简便。
你能举一些生活中于极差有关的例子吗?
某日在不同时段测得北京和安庆的气温情况如下: