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北师大版八年级上册初二数学全册课件(精心整理汇编)
知1－讲
导引：可以以边长为c的正方形为基础，一在形外补拼(不 重叠)成新的正方形；二在形内叠合成新的正方形．
即S：A两+S条B直=S角C边上
的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积.
观察所得到的各组数据，你有什么发现？ 知1－导
A
a
Bb c
C
SA+SB=SC
a2+b2=c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
知1－讲
勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方.
弦c 股b
知1－讲
议一议 观察下图，判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.
知1－讲
例1 如图是用硬纸板做成的四个两直角边长分别是a， b，斜边长为c的全等的直角三角形和一个边长为 c的正方形，请你将它们拼成一个能说明勾股定 理正确性的图形． (1)画出拼成的这个图形的示意图； (2)说明勾股定理的正确性．
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第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第1课时 认识勾股定理
1 课堂讲解 勾股定理
勾股定理与图形的面积
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
相传2500年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客， 发现朋友家用砖铺成的地 面反映直角三角形三边的 某种数量关系，同学们， 我们也来观察下面的图案， 看看你能发现什么？
2
2π,
所以c2＝25，a2＝16.
根据勾股定理，得
b2＝c2－a2＝9.
所以
S3
1 2
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ⅰ、三边的平方分别是 各正方形的面积；
数格子法
ⅱ、满足“两直角边的平 方和等于斜边的平方”。
(4) 如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度 和2.4个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？ 说明你的理由。
1.6 2.4
(4) 如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度 和2.4个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？ 说明你的理由。
这种验证勾股定理的方法，据载最早是 三国时期数 学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，我国历史上将 此图称为弦图 。
想一想:
你还有其它的拼图方法吗?
二、用“外镶法”拼图： 将直角三角形按图拼在大正方形外部
c2 (b a)2 1 ab 4 2
b2 2ab a2 2ab b2 a2
在直角三角形中： ∵ 92+122=斜边2 ∴ 斜边=15 ∴旗杆高=9+15=24(米)
知识归纳
“勾股定理”的应用： 已知直角三角形两边，求第三边。
B a2+b2= c2
a2= c2-b2 a
c
b2= c2-a2 C
b
A
1、求下图中字母所代表的正方形的面积：
2、求下列直角三角形未知边的长度：
仍然成立
1勾.6
弦
较短的直角边称为“勾”
2股.4
较长的直角边称为“股”
斜边边称为“弦”
新知归纳
勾股定理：
(1)文字语言：直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方。
(2)符号语言：
C 90 (已知)
B
a
c
a2 b2 c2 (勾股定理)
C
b
A
如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米 处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处。旗杆 之前有多高？
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2.5 用计算器开 方
学校：________ 教师：________
创设情境 温故探新
复习 导入
5.89
1.你能计算
吗？
2.对于小数、分数或一些较大的 整数的开方，我们该如何计算呢？
合作交流探究新知
小组合作探究： 1、开方运算要用到键________和键 _________。 2、对于开平方运算，按键顺序是什么？ 3、对于开立方运算，按键顺序是什么？
合作交流探究新知
4、任意找一个你认为很大的正数，利用计算 器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平 方运算……随着开方次数的增加，你发现了什么？ 5、改用另一个小于1的正数试一试，看看是 否仍有类似规律。 6、任意找一个非零数，利用计算器对它不断 进行开立方运算，你发现了什么？
范例研讨运用新知
范例研讨运用新知
例: 生活表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离 墙距离为梯子长度的三分之一，则梯子比较稳
定．现有一长度为6米的梯子，当梯子稳定摆放
时，它的顶端能达到5.6m高的墙头吗？
范例研讨运用新知
解：设梯子稳定摆放时的高度为x米，此时梯 子底端离墙恰好为梯子长度的，根据勾股定理 ：
2=6， x2+( 1 × 6) 3
7.怎样求出一个数的平方根？数a的平方怎 样是什么？
9.平方根与算术平方根的区别是什么？
范例研讨运用新知
例1: 例1 求下列各数的算术平方根： (1) 900； (2) 1； (3)
49 ； (4) 14． 64
解：(1)因为302=900，所以900的算术平方根是30， 即 900 =30； (2)因为12=1，所以1的算术平方根是1，即 1 =1； 2 49 49 7 7 ( ) (3)因为 = 64 ，所以 的算术平方根是，即 64 ； 8 8 (4)14的算术平方根是 14 ．
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勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b, 斜边为c，那么
a2 b2 c2 a c
b
即 直角三角形两直角边的平方和等
于斜边的平方。 在西方又称毕达
勾
弦
哥拉斯定理！
股
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为
a， b，斜边为c，那么
勾a
c弦
a2 b2 c2
股b
直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方.
A.a2=b2-c2
B.a2∶b2∶c2=1∶2∶3
C.∠A=∠B-∠C
D.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
3.如图所示,四边形ABCD中,
AB=3,BC=4,AC=5,CD=12,AD=13,则四边形
ABCD的面积为 ( B )
A.72
B.36
C.66
D.42
解析:∵AB2+BC2
=32+42=25=52=AC2,∴△ABC是直角三角形.
谢谢 大家
八年级数学·上 新课标 [北师]
第1章 勾股定理
学习新知
检测反馈
问题思考
学习新知
小明找来了长度分别为12 cm,40 cm的两根 线,利用这两根线采用固定三边的办法画出了 如图所示的两个图形,他画的是直角三角形吗?
一定是直角三角形吗？
(1)分别以5,12,13;3,4,5;8,15,17;7,24,25为三 边长作三角形,用量角器量一量,它们都是直角 三角形吗? (2)如果每组数中三边的长度分别是a,b,c,那么 它们满足a2+b2=c2吗?
c a
b
b
=a2+b2
∴a2+b2=c2
c a
b
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第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理（第1课时）
一、新课引入
如图，从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢 索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底 部6 m，那么需要多长的钢索？
、新课引入
观察下面地板砖示意图：
你发现了什么？
你能发现图中三个正 方形的面积之间存在什么关系
三、归纳小结
你学到了什么？
1、 如果三角形三条边长分别为a，b，c ，且
满足 a 2 b2 c 2，那么这个三角形是直角三角
形. 2、勾股定理判定的应用.
四、强化训练
1、如果三角形的三边长a，b，c满足 _______________，那么这个三角形是直角三角形； 2、写出三组勾股数： _______________________________; 3、一艘帆船在海上航行，由于风向的原因，帆船先 向正东方向航行9千米，然后向正北方向航行40千米， 这时它离开出发点_________千米.
∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺
寸如图2所示，这个零件符合要求吗？
图1
图2
解：∵在Rt△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2， ∴△ABD是直角三角形，∠A是直角. ∵在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2, ∴△BCD是直角三角形，∠DBC是直角. 因此,这个零件符合要求.
二、新课讲解
例 我方侦察员小王在距离东西向公路400 m 处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧 拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400 m，10 s 后，汽车与他相距500 m，你能帮小王计算敌方汽 车的速度吗？
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理（第1课时）
一、新课引入
如图，从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢 索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底 部6 m，那么需要多长的钢索？
、新课引入
观察下面地板砖示意图：
你发现了什么？
你能发现图中三个正 方形的面积之间存在什么关系
三、归纳小结
你学到了什么？
1、 如果三角形三条边长分别为a，b，c ，且
满足 a 2 b2 c 2，那么这个三角形是直角三角
形. 2、勾股定理判定的应用.
四、强化训练
1、如果三角形的三边长a，b，c满足 _______________，那么这个三角形是直角三角形； 2、写出三组勾股数： _______________________________; 3、一艘帆船在海上航行，由于风向的原因，帆船先 向正东方向航行9千米，然后向正北方向航行40千米， 这时它离开出发点_________千米.
∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺
寸如图2所示，这个零件符合要求吗？
图1
图2
解：∵在Rt△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2， ∴△ABD是直角三角形，∠A是直角. ∵在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2, ∴△BCD是直角三角形，∠DBC是直角. 因此,这个零件符合要求.
二、新课讲解
例 我方侦察员小王在距离东西向公路400 m 处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧 拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400 m，10 s 后，汽车与他相距500 m，你能帮小王计算敌方汽 车的速度吗？
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二、新课讲解
二、新课讲解
例 一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中
∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺
寸如图2所示，这个零件符合要求吗？
图1
图2
解：∵在Rt△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2， ∴△ABD是直角三角形，∠A是直角. ∵在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2, ∴△BCD是直角三角形，∠DBC是直角. 因此,这个零件符合要求.
一、新课引入
观察右边两图并填写下表(每个小正方形的面积为 单位1)
A 的面积 B 的面积 C 的面积
左图
9
9
右图
4
4
怎样计算正
方形C 的面积
呢？
一、新课引入
分析表中数据，你发现了什么？ A的面积 B的面积 C的面积
9
9
18
4
4
8
SA SB SC
16
9
25
1
9
10
以直角三角形两直角边为边长的 小正方形的面积的和，等于以斜边为 边长的正方形的面积.
9,12,15
12,16,20
30,40,50
5,12,13
10,24,26
15,36,39
20,48,52
50,120,130
8,15,17 7,24,25
16,30,34 14,48,50
24,45,51 21,72,75
32,60,68 28,96,100
80,150,170 70,240,250
四、强化训练 5、已知：△ABC，AB＝AC＝17， BC＝16，则高AD＝15，S△ABC＝120
北师大版八年级数学上册ppt课件7.2.1 定义与命题
1 下列语句是命题的是( B ) A．过一点能作无数条直线吗 B．直角大于锐角 C．作∠A的平分线 D．在线段AB上截取AC
知2－练
（来自《典中点》）
知2－练
2 (中考·佛山)下列说法正确的是( D ) A．互补的两个角是邻补角是定义 B．同旁内角互补不是命题 C．两直线平行，内错角相等的条件是内错角相等 D．相等的两个角是对顶角的条件是相等的两个角
导引：(1)要指出命题的条件和结论，其实质是指出“如果 (若)”和“那么(则)”后面跟的事项；如果命题不是 “如果……那么……”的形式，那么需先将命题改写 为“如果……那么……”的形式；再（指来出自它《的点条拨》件）和
知3－讲
解：(1)条件：两个角互为补角；结论：这两个角相等. 假命题．
(2)条件：a＝b；结论：a＋c＝b＋c.真命题． (3)条件：两个长方形的周长相等；结论：这两个
导引：设法把命题的条件和结论部分省略的文字找出来，要从文字的 内在顺序、内在意义进行全面考虑，分清命题的条件部分和结 论部分；再将它写成“如果…那么…”的形式．
解：(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． (2)如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这（两来条自直《线点平拨行》）． (3)如果两个角是同一个角的余角或两个相等的角的余角，那么这
所以不是命题；(3)对一件事情作出了肯定的判断，
所以是命题；(4)对事情作出了否定的（判来断自，《点所拨以》是）
命题.
总结
知2－讲
命题是表示判断的语句，它包含有因果关系，一 般都是以陈述句的形式展现；其他如疑问句、感叹句、 祈使句以及表示画图的语句都不是命题.
（来自《点拨》）
知2－讲
例3 把下列命题改写成“如果……那么……”的形式： (1)对顶角相等； (2)垂直于同一条直线的两条直线平行； (3)同角或等角的余角相等．
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自学指导
• 1.动手画画、动手算算、动脑想想 • 在纸上任意作出两个直角三角形，分别测量它们的三边长，且动笔算一下，三 条边长的平方有什么样的关系，你能猜想一下吗？ • 2.借图说明 • (1)观察课本第三页图1—2，思考在两个直角三角形ABC中，三边的平方分别 是多少？你是怎样得到的？它们满足上面的结论吗？ • (2)在图1—3中的两个直角三角形中，是否仍满足这样的关系？若能，试说明 你是如何求出正方形的面积？ • 3.想想办法 • 如果直角三角形的两直角边分别为5个单位长度和12个单位长度，上面所猜想 的数量关系还成立吗？请说明你的理由
AB 12 (3 3) AB 15
2 2 2
A 12
’
3
O
B
侧面展开图
A’
12
3π
B
你学会了吗? A A
李叔叔想要检测雕塑底座正 面的AD边和BC边是否分别垂直于 底边AB，但他随身只带了卷尺， （1）你能替他想办法完成任务 吗？ （2）李叔叔量得AD长是30厘米， AB长是40厘米，BD长是50厘米， AD边垂直于AB边吗？为什么？
点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂 蚁爬行的速度是1厘米/秒，且速度保持不变，问 蚂蚁能否在20秒内从A爬到B？ B
五、布置作业
1．习题1.1. 2．阅读《读一读》——勾股世界. 3．观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足 a 2 b 2 c 2?
a
c b
a c
b
能得到直角三角形吗？
1、回顾旧知： 三角形的内角和为： 勾股定理的内容是： 2、探索新知认真阅读教材P17-18页内容，并动手实践，归 纳总结已知下列每组数为三角形的三边长a、b、c，用尺规 作出三角形（图作在背面） (1)3cm、4 cm、5 cm （2）6 cm 、8 cm 、10 cm （3）5 cm 、12 cm 、13 cm 3、用量角器量出最大角的度数，它们是直角三角形吗？ 分析三边长有何关系： 从而得出结论：
北师大版八年级上册初二数学全册课件(精心整理汇编)
图所示的图形，则下列结论中正确的是( A )
2
A．c2＝a2＋b2
B．c2＝a2＋2ab
＋b2
3
C．c2＝a2－2ab＋b2
D．c2＝(a＋b)2
2021/1/28
知2－导
知识点 2 勾股定理的应用
例2 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一 辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得 汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m,你能 帮小王计算敌方汽车的速度吗？
相等；若相等，则是直角三角形，且最长边所对 的是直角；若不相等，则此三角形不是直角三 角形．
2021/1/28
知1－讲
例1 一个零件的形状如图1所示，按规定这个零 件中∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得 这个零件各边尺寸如图2所示，这个零件符 合要求吗？
2021/1/28
图1
图2
知1－讲
解：在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2， 所以△ABD是直角三角形，∠A是直角. 在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2， 所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角. 因此，这个零件符合要求.
第2课时 勾股定理的 验证与应用
2021/1/28
1 课堂讲解 勾股定理的验证 2 课时流程 勾股定理的应用
逐点 导讲练
课堂 小结
2021/1/28
作业 提升
上一节课，我们通过测量和数格子的方法发现了 勾股定理.在下图中，分别以直角三角形的三条边为边 长向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正 确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流.
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汇报人： 202X-01-01
contents
目录
• 第一章 勾股定理 • 第二章 实数 • 第三章 分式 • 第四章 平行四边形 • 第五章 一次函数
01
第一章 勾股定理
勾股定理的证明
毕达哥拉斯学派
勾股定理最早由古希腊的毕达哥 拉斯学派证明，他们通过观察直 角三角形的三边关系，发现了勾
平方根与算术平方根的区别
平方根包括正负两个解，而算术平方根只取非负 的那个解。
无理数与实数
01
无理数的定义
无理数是不能表示为两个整数之比的数，常见的无理数有无限不循环小
数和无法精确表示的数（如圆的周长与直径之比π）。
02 03
无理数的性质
无理数具有稠密性和连续性，即任意两个无理数之间都存在其他无理数 。此外，无理数在实数集中占据了“无处不在”的位置，即任意两个不 同的无理数之间都存在其他无理数。
一次函数的性质
一次函数图像的斜率为k，截距为b。 当k>0时，函数为增函数；当k<0时 ，函数为减函数。
一次函数的应用
一次函数在生活中的应用
一次函数可以用于描述生活中的许多问题，如速度与时间的 关系、成本与数量的关系等。
一次函数在实际问题中的应用
通过建立数学模型，将实际问题转化为一次函数问题，可以 方便地解决许多实际问题，如最优解问题、预测问题等。
勾股定理和其逆定理是密切相关的， 它们是互为逆命题的两个命题，具有 等价性。
逆定理的应用
勾股定理的逆定理在判断三角形是否 为直角三角形时非常有用，可以通过 检查三边的平方关系来确定。
02
第二章 实数
实数的定义与性质
实数的定义
汇报人： 202X-01-01
contents
目录
• 第一章 勾股定理 • 第二章 实数 • 第三章 分式 • 第四章 平行四边形 • 第五章 一次函数
01
第一章 勾股定理
勾股定理的证明
毕达哥拉斯学派
勾股定理最早由古希腊的毕达哥 拉斯学派证明，他们通过观察直 角三角形的三边关系，发现了勾
平方根与算术平方根的区别
平方根包括正负两个解，而算术平方根只取非负 的那个解。
无理数与实数
01
无理数的定义
无理数是不能表示为两个整数之比的数，常见的无理数有无限不循环小
数和无法精确表示的数（如圆的周长与直径之比π）。
02 03
无理数的性质
无理数具有稠密性和连续性，即任意两个无理数之间都存在其他无理数 。此外，无理数在实数集中占据了“无处不在”的位置，即任意两个不 同的无理数之间都存在其他无理数。
一次函数的性质
一次函数图像的斜率为k，截距为b。 当k>0时，函数为增函数；当k<0时 ，函数为减函数。
一次函数的应用
一次函数在生活中的应用
一次函数可以用于描述生活中的许多问题，如速度与时间的 关系、成本与数量的关系等。
一次函数在实际问题中的应用
通过建立数学模型，将实际问题转化为一次函数问题，可以 方便地解决许多实际问题，如最优解问题、预测问题等。
勾股定理和其逆定理是密切相关的， 它们是互为逆命题的两个命题，具有 等价性。
逆定理的应用
勾股定理的逆定理在判断三角形是否 为直角三角形时非常有用，可以通过 检查三边的平方关系来确定。
02
第二章 实数
实数的定义与性质
实数的定义
北师大版八年级数学上册课件
北师大版八年级数学上册课件一、勾股定理。
1. 勾股定理内容。
- 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么a^2+b^2=c^2。
- 例如，一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边c=√(3^2) +4^{2}=√(9 + 16)=√(25) = 5。
2. 勾股定理的证明。
- 常见的证明方法有赵爽弦图法。
赵爽通过构造以直角三角形的斜边为边长的正方形，然后将其分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，通过面积关系来证明勾股定理。
- 设直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c。
大正方形的面积可以表示为c^2，也可以表示为(a + b)^2- 2ab=a^2+b^2，从而证明a^2+b^2=c^2。
3. 勾股定理的逆定理。
- 如果三角形的三边长a、b、c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。
- 例如，三角形三边分别为5、12、13，因为5^2+12^2=25 + 144 =169=13^2，所以这个三角形是直角三角形。
4. 勾股数。
- 满足a^2+b^2=c^2的三个正整数a、b、c称为勾股数。
常见的勾股数有(3,4,5)、(5,12,13)、(8,15,17)等。
二、实数。
1. 无理数的概念。
- 无限不循环小数叫做无理数。
例如√(2)，π等。
- √(2)的计算：设√(2)=(p)/(q)（p,q为互质的正整数），则2=frac{p^2}{q^2}，即p^2=2q^2。
由此可推出p是偶数，设p = 2m，则(2m)^2=2q^2，即q^2=2m^2，所以q也是偶数，这与p,q互质矛盾，所以√(2)是无理数。
2. 实数的分类。
- 实数包括有理数和无理数。
有理数又包括整数和分数。
- 整数：正整数、0、负整数；分数：有限小数和无限循环小数。
3. 实数的运算。
- 实数的运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。
有括号的先算括号里面的。
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2021/3/13
探索勾股定理
一、情境引入
2002年世界数学家大会在我国北京召开，下 图是本届数学家大会的会标：
会标中央的图案是赵爽弦 图，它与“勾股定理”有关， 数学家曾建议用“勾股定理” 的图来作为与“外星人”联系 的信号.
学习目标
• 1.探索直角三角形的三边关系，进一步发展学生的说理合简单推理的意识合能力。 • 2.经历用测量合数格子的方法探索勾股定理的过程，进一步提高学生的合情推理意识，
a2 b2 c2
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一 个直角三角形，并测量斜边的长度. （2）中的规 律对这个三角形仍然成立吗？
勾股定理
（gou-gu theorem）
如果直角三角形两直角边长分别 为a，b，斜边长为 c ，那么
a2 b2 c2
即直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方.
A的面积
左图
4
右图
16
B的面积
9 9
C的面积
13 25
SA SB SC
结论2 以直角三角形两直角边为 边长的小正方形的面积的和，等于以 斜边为边长的正方形的面积.
议一议：
（1）你能用直角三角形的两直角边的长a，b和 斜边长c来表示图中正方形的面积吗？
C Aac
b
B
C A ac
b
B
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在 什么关系吗？
学 习 目 标 ： • 经历直角三角形的判别条件的探究过程，进一步发展学生的推理能力
• 直角三角形判别条件的应用 • 直角三角形判别条件的应用
2 思考
同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角?
优质课件
2021/3/13
探索勾股定理
一、情境引入
2002年世界数学家大会在我国北京召开，下 图是本届数学家大会的会标：
会标中央的图案是赵爽弦 图，它与“勾股定理”有关， 数学家曾建议用“勾股定理” 的图来作为与“外星人”联系 的信号.
学习目标
• 1.探索直角三角形的三边关系，进一步发展学生的说理合简单推理的意识合能力。 • 2.经历用测量合数格子的方法探索勾股定理的过程，进一步提高学生的合情推理意识，
a2 b2 c2
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一 个直角三角形，并测量斜边的长度. （2）中的规 律对这个三角形仍然成立吗？
勾股定理
（gou-gu theorem）
如果直角三角形两直角边长分别 为a，b，斜边长为 c ，那么
a2 b2 c2
即直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方.
A的面积
左图
4
右图
16
B的面积
9 9
C的面积
13 25
SA SB SC
结论2 以直角三角形两直角边为 边长的小正方形的面积的和，等于以 斜边为边长的正方形的面积.
议一议：
（1）你能用直角三角形的两直角边的长a，b和 斜边长c来表示图中正方形的面积吗？
C Aac
b
B
C A ac
b
B
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在 什么关系吗？
学 习 目 标 ： • 经历直角三角形的判别条件的探究过程，进一步发展学生的推理能力
• 直角三角形判别条件的应用 • 直角三角形判别条件的应用
2 思考
同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角?
北师大版《一次函数与正比例函数》说课PPT
④一次指的是自变量的次数为1
⑤当b=0时，称 是 的正比例函数。
一次函数与正比例函数
一、函数：因变量y
对应关系
自变量x
自变量x，因变量y
k，b为常数，且k≠0
一次函数
对应关系： = +
一次指的是自变量的次数为1
函数
其他函数
b=0时，为正比例函数0
说教法
教学过程
• 设计意图
• 方法技能
的运用意识。
■ 教学技能：导入技能、提问技能、讲
解技能、教学语言技能
教学过程——例题导入
第一次：汽车油箱问题
第二次：弹簧长度问题
• 长、复杂、全面
• 短、简单、不够全面
根据学生学习应该由浅入深的特点以及微格教学有时长限制
的特点，两次教学我都只选择了一道例题进行导入，又根据题目
特点，第二次我选择了弹簧长度问题进行讲解。
基础。同时，在整个初中阶段，一元一次方程、一元一次不
等式都存在于一次函数中。三者相互依存，紧密联系，也为
方程、不等式、函数解法的补充提供了新的途径。
教材分析——后续学习（4.3，4.4）
■ 前一节学习过了函数，本节课学习一
次函数与正比例函数，下节课学习一
次函数的图像，了解图像的特点，k的
意义等等；
■ 可以看出，学习好一次函数就相当于
拿到了进入函数大家族的钥匙，所以
学好
• 知识技能
• 数学思考
• 情感态度
教学重难点
教学环节设置
板书设计
教材目标——知识技能
■ (1)理解一次函数和正比例函数的概念；
■ (2)能根据所给条件写出简单的一次函数表达式。
此基础上，本节课进一步研究其中最简单的
⑤当b=0时，称 是 的正比例函数。
一次函数与正比例函数
一、函数：因变量y
对应关系
自变量x
自变量x，因变量y
k，b为常数，且k≠0
一次函数
对应关系： = +
一次指的是自变量的次数为1
函数
其他函数
b=0时，为正比例函数0
说教法
教学过程
• 设计意图
• 方法技能
的运用意识。
■ 教学技能：导入技能、提问技能、讲
解技能、教学语言技能
教学过程——例题导入
第一次：汽车油箱问题
第二次：弹簧长度问题
• 长、复杂、全面
• 短、简单、不够全面
根据学生学习应该由浅入深的特点以及微格教学有时长限制
的特点，两次教学我都只选择了一道例题进行导入，又根据题目
特点，第二次我选择了弹簧长度问题进行讲解。
基础。同时，在整个初中阶段，一元一次方程、一元一次不
等式都存在于一次函数中。三者相互依存，紧密联系，也为
方程、不等式、函数解法的补充提供了新的途径。
教材分析——后续学习（4.3，4.4）
■ 前一节学习过了函数，本节课学习一
次函数与正比例函数，下节课学习一
次函数的图像，了解图像的特点，k的
意义等等；
■ 可以看出，学习好一次函数就相当于
拿到了进入函数大家族的钥匙，所以
学好
• 知识技能
• 数学思考
• 情感态度
教学重难点
教学环节设置
板书设计
教材目标——知识技能
■ (1)理解一次函数和正比例函数的概念；
■ (2)能根据所给条件写出简单的一次函数表达式。
此基础上，本节课进一步研究其中最简单的
北师大八年级上册数学说教材PPT课件
四边形性
图形的平 移与旋转 勾股定理
质探索
位置的确 定
数据的 代表
空间与图形 统计与概率
数与代数
四大领域
实践与综 合应用
第1页/共20页
教材特点
内容结构
教学建议
内容标准
评价建议
课程目标
说教材 说课标
说 课 流 程
说建议
第2页/共20页
•一、说课标
第3页/共20页
经历运用数学符号和图形描 述现实世界的过程，建立初 步的数感和符号感，发展抽 象思维、合情推理能力、逻 辑推理能力，并能有条理地、 经历将一些实际问题抽象 清晰地阐述观点 为数学问题的过程，掌握 数学基础知识和基本技能， 并能解决简单的问题
第14页/共20页
教材内容分析
掌握算术平均 数、加权平均 数的概念,会 求一组数的算 术平均数和加 权平均数。
掌握中位数、 众数的概念， 会求出一组 数据的中位 数与众数。
中位数与 众数
平均数
数 据 的 代 表
第15页/共20页
根据给定信息， 会利用计算器求 一组数据的平均 数，并会进行数 据的收集、加工
了解算术平方根、平
立
方根、立方根的概念，会
方
用根号表示数的算术平方 根、平方根、立方根 。
根
平方根
数怎么不
够用了
实
数
实数
能用有
理数估计一 个无理数的 大致范围
公园有 旋形 转的
平 移
第10页/共20页
教材内容分析
几种特殊四边 形的性质和判 定是本章教学
的重点
以变换为工具去研究特殊四边形的性
1、通过设置有梯度的问 题启发学生不断探索、在 分析、解决问题过程中寻 求新思路； 2、利用“数形结合”直 观、形象地理解其性质； 3、教会学生密切联系实 际问题，善于观察生活。
图形的平 移与旋转 勾股定理
质探索
位置的确 定
数据的 代表
空间与图形 统计与概率
数与代数
四大领域
实践与综 合应用
第1页/共20页
教材特点
内容结构
教学建议
内容标准
评价建议
课程目标
说教材 说课标
说 课 流 程
说建议
第2页/共20页
•一、说课标
第3页/共20页
经历运用数学符号和图形描 述现实世界的过程，建立初 步的数感和符号感，发展抽 象思维、合情推理能力、逻 辑推理能力，并能有条理地、 经历将一些实际问题抽象 清晰地阐述观点 为数学问题的过程，掌握 数学基础知识和基本技能， 并能解决简单的问题
第14页/共20页
教材内容分析
掌握算术平均 数、加权平均 数的概念,会 求一组数的算 术平均数和加 权平均数。
掌握中位数、 众数的概念， 会求出一组 数据的中位 数与众数。
中位数与 众数
平均数
数 据 的 代 表
第15页/共20页
根据给定信息， 会利用计算器求 一组数据的平均 数，并会进行数 据的收集、加工
了解算术平方根、平
立
方根、立方根的概念，会
方
用根号表示数的算术平方 根、平方根、立方根 。
根
平方根
数怎么不
够用了
实
数
实数
能用有
理数估计一 个无理数的 大致范围
公园有 旋形 转的
平 移
第10页/共20页
教材内容分析
几种特殊四边 形的性质和判 定是本章教学
的重点
以变换为工具去研究特殊四边形的性
1、通过设置有梯度的问 题启发学生不断探索、在 分析、解决问题过程中寻 求新思路； 2、利用“数形结合”直 观、形象地理解其性质； 3、教会学生密切联系实 际问题，善于观察生活。
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八年级上册
济南市锦绣川中学
赵连东
图形的平 移与旋转 勾股定理
四边形性 质探索 位置的确 定 数据的 代表
空间与图形 数与代数
统计与概率 实践与综 合应用
四大领域
内容结构 教材特点 内容标准
教学建议
评价建议
说教材
课程目标
说课标
说建议
说 课 流 程
一、说课标
经历将一些实际问题抽象 为数学问题的过程，掌握 数学基础知识和基本技能， 并能解决简单的问题
四边形的有关概 念、几种特殊的 四边形（平行四 边形、矩形、菱 形、正方形、梯 形）的性质和判 定。
解决 方法 主要内 容
四 边 形 性 质 探
教材内容分析
通过实例，让学 生了解到位置 的重要性。 引导学生探索确 定位置的方式 方法。 建立适当的 直角坐标系 表示点的坐 标。 以直观生动的形 式加强了几何变 换与坐标表示及 坐标变化联系起 来，从数与形两 个方面感受图形 变化的数学内涵。
中位数与 众数 数 据 的学建议
注重分 析思路， 学会思 考问题
让学生成 为课堂的 主人
注重数 学 思 想的渗 透
尊重个体 差异，满 足多样化 需求 充分利用 现代信息 技术
教 学 建 议
评价建议
评价主体和 方式多样化
评价 建议
增加跨 学科评价
评价结果 定性和定量 结合
立 方 根 实数
能用有 理数估计一 个无理数的 大致范围
平方根 数怎么不 够用了 实 数 公园有多宽
教材内容分析
与图 旋形 转的 平 移
教材内容分析
几种特殊四 边形的性质 和判定是本 章教学的重 点
以变换为工具去研究特殊四边形的性 质，蕴含着结论的正确性、合理 性。充分发挥其数学方法的价值。 也为今后的学习做一个铺垫。
探索勾股定理
蚂蚁 怎么 走最 近
勾 股 定 理
教材内容分析
了解无理数和实数的概念， 知道实数与数轴上的点一一对 应，有序实数对与平面上的点 一一对应；了解数的范围由有 理数扩大到实数后，一些概念、 运算等的一致性及其发展变化 。
了解算术平方根、平 方根、立方根的概念，会 用根号表示数的算术平方 根、平方根、立方根 。
学 段 目 标
新课标对本学段的基本要求
探索勾股定理 、图形的平移 与旋转、四边形性质和位置 的确定，进一步丰富对图形 的认识和感受，学习平移、 旋转对称的基本性质，欣赏 并体验变换在现实生活中的 空间与图形 广泛应用，探索图形性质、 发展合情推理，学习运用坐 标系确定物体位置的方法。
在具体情境中使学生经历数据处理 的全过程，理解并会计算加权平均数； 根据具体问题，能选择合适的统计量 表示数据的集中程度，体会统计的作 用。
特教 点材 体 例
教材内容分析
探索勾股定理的逆定理， 会用勾股定理的逆定理判定 直角三角形。
能得到直角三角形吗 ?
勾股定理揭示了直 角三角形三边之间 的关系，将形与数 密切联系起来，体 验勾股定理的探索 过程，会运用勾股 定理解决简单问题
经历几何图形的抽象过程， 需要借助观察、操作等实 践活动，探究活动具体一 定的难度，有助于发展学 生合作交流的能力．
经历运用数学符号和图形描 述现实世界的过程，建立初 步的数感和符号感，发展抽 象思维、合情推理能力、逻 辑推理能力，并能有条理地、 清晰地阐述观点
初步学会从数学的角度提 出问题、理解问题，并能 综合运用所学的知识和技 能解决问题，发展应用意 识
能积极参与数学学习活动， 对数学有好奇心与求知欲。 在数学学习活动中获得成功 的体验，锻炼克服困难的意 志，建立自信心
1、对于几种特殊的的四边形 的性质和判定易混淆； 2、平行四边形、矩形、菱形、 正方形之间的辨证关系。
编者意图
通过探索四边形的性质 加深对变换自身的理解， 逐步形成结构性认识 学情 教学重点、 难 点 预估
1、重视情境设计、重视 学生的数学活动 ； 2、利用“图形”直观、 形象地理解其性质； 3、教会学生密切联系实 际问题，关注在“做”中 的内化。
解二元一 次方程组
二元一次方 程组的应用
二元一次方 程与一次函 数
谁的包裹 多
二 方元 程一 组次
初步建立“数”（二 元一次方程）与“形” （一次函数的图像 （直线））之间的对 应关系，进一步培养 了学生数形结合的意 识和能力．
教材内容分析
掌握算术平 均数、加权平 均数的概念, 会求一组数的 算术平均数和 加权平均数。 掌握中位数、 众数的概念， 会求出一组 数据的中位 数与众数。 根据给定信息， 会利用计算器求 一组数据的平均 数，并会进行数 据的收集、加工 与整理
平面直角坐 标系
确定位置
变化的鱼
位 置 的 确 定
教材内容分析
一次函数的 概念、图象、 性质，确定 一次函数的 解析式。
1、是进一步学习数学后续 知识的需要 2、实际生活、生产的需要 编者意图
1、对一次函数的定义及性质， 理解上会与前面知识相混淆； 2、此函数图象经过两个象限， 在研究其增减性时，对于 “在每一象限”的理解会感到 困难； 3,用数学知识去解决实际问题， 也是能力的重要体现。
画一次函数的图象，从 实际生活中抽象出数学 问题，建立数学模型。
学情 教学重点、 难 点 预估
1、通过设置有梯度的问 题启发学生不断探索、在 分析、解决问题过程中寻 求新思路； 2、利用“数形结合”直 观、形象地理解其性质； 3、教会学生密切联系实 际问题，善于观察生活。
函数的概念， 以及一次函数 的图像和表达 式，学会用一 次函数解决一 些实际问题 。
解决 方法 主要内 容
一 次 函 数
教材内容分析
了解 “消元”思 想，初步体会数 学研究中“化未 知为已知”的化 归思想. 体会分析复杂问题的 思考方法归纳用方程 （组）解决实际问题 的一般步骤。
通过对实际问题的分 析，使学生进一步体 会方程是刻画现实世 界的有效数学模型。 了解二元一次方程、 二元一次方程组及其 解等有关概念
统计与概率 数与代数
学习实数、二元一次方程组、 一次函数等知识，探索数、形及 实际问题中蕴含的关系和规律， 初步掌握一些有效的表示、处理 和交流数量关系以及变化规律的 工具，体会数学与现实生活的紧 密联系，增强应用意识
实践与运用
二、说教材
教 材 体例特 点
提供丰富的实 际情境问题,设 置“做一做”、 “想一想”、 “议一议”等 学习栏目,作为 展开学习知识 和探索知识的 平台。 每章开篇采取主 题图导入学习主 题,每节开始采用 具体情境问题切 入中心内容。 利用典型例子 和“随堂练习” 作为应用所学 知识解决实际 问题的实践场 所,在这种应化 知识和拓宽知 识。 章、节之后设 有“知识技 能”、“数学 理解”、“问 题解决”和 “联系拓广” 多个栏目的习 题。 每章末尾 设有“回 顾与思 考”。
济南市锦绣川中学
赵连东
图形的平 移与旋转 勾股定理
四边形性 质探索 位置的确 定 数据的 代表
空间与图形 数与代数
统计与概率 实践与综 合应用
四大领域
内容结构 教材特点 内容标准
教学建议
评价建议
说教材
课程目标
说课标
说建议
说 课 流 程
一、说课标
经历将一些实际问题抽象 为数学问题的过程，掌握 数学基础知识和基本技能， 并能解决简单的问题
四边形的有关概 念、几种特殊的 四边形（平行四 边形、矩形、菱 形、正方形、梯 形）的性质和判 定。
解决 方法 主要内 容
四 边 形 性 质 探
教材内容分析
通过实例，让学 生了解到位置 的重要性。 引导学生探索确 定位置的方式 方法。 建立适当的 直角坐标系 表示点的坐 标。 以直观生动的形 式加强了几何变 换与坐标表示及 坐标变化联系起 来，从数与形两 个方面感受图形 变化的数学内涵。
中位数与 众数 数 据 的学建议
注重分 析思路， 学会思 考问题
让学生成 为课堂的 主人
注重数 学 思 想的渗 透
尊重个体 差异，满 足多样化 需求 充分利用 现代信息 技术
教 学 建 议
评价建议
评价主体和 方式多样化
评价 建议
增加跨 学科评价
评价结果 定性和定量 结合
立 方 根 实数
能用有 理数估计一 个无理数的 大致范围
平方根 数怎么不 够用了 实 数 公园有多宽
教材内容分析
与图 旋形 转的 平 移
教材内容分析
几种特殊四 边形的性质 和判定是本 章教学的重 点
以变换为工具去研究特殊四边形的性 质，蕴含着结论的正确性、合理 性。充分发挥其数学方法的价值。 也为今后的学习做一个铺垫。
探索勾股定理
蚂蚁 怎么 走最 近
勾 股 定 理
教材内容分析
了解无理数和实数的概念， 知道实数与数轴上的点一一对 应，有序实数对与平面上的点 一一对应；了解数的范围由有 理数扩大到实数后，一些概念、 运算等的一致性及其发展变化 。
了解算术平方根、平 方根、立方根的概念，会 用根号表示数的算术平方 根、平方根、立方根 。
学 段 目 标
新课标对本学段的基本要求
探索勾股定理 、图形的平移 与旋转、四边形性质和位置 的确定，进一步丰富对图形 的认识和感受，学习平移、 旋转对称的基本性质，欣赏 并体验变换在现实生活中的 空间与图形 广泛应用，探索图形性质、 发展合情推理，学习运用坐 标系确定物体位置的方法。
在具体情境中使学生经历数据处理 的全过程，理解并会计算加权平均数； 根据具体问题，能选择合适的统计量 表示数据的集中程度，体会统计的作 用。
特教 点材 体 例
教材内容分析
探索勾股定理的逆定理， 会用勾股定理的逆定理判定 直角三角形。
能得到直角三角形吗 ?
勾股定理揭示了直 角三角形三边之间 的关系，将形与数 密切联系起来，体 验勾股定理的探索 过程，会运用勾股 定理解决简单问题
经历几何图形的抽象过程， 需要借助观察、操作等实 践活动，探究活动具体一 定的难度，有助于发展学 生合作交流的能力．
经历运用数学符号和图形描 述现实世界的过程，建立初 步的数感和符号感，发展抽 象思维、合情推理能力、逻 辑推理能力，并能有条理地、 清晰地阐述观点
初步学会从数学的角度提 出问题、理解问题，并能 综合运用所学的知识和技 能解决问题，发展应用意 识
能积极参与数学学习活动， 对数学有好奇心与求知欲。 在数学学习活动中获得成功 的体验，锻炼克服困难的意 志，建立自信心
1、对于几种特殊的的四边形 的性质和判定易混淆； 2、平行四边形、矩形、菱形、 正方形之间的辨证关系。
编者意图
通过探索四边形的性质 加深对变换自身的理解， 逐步形成结构性认识 学情 教学重点、 难 点 预估
1、重视情境设计、重视 学生的数学活动 ； 2、利用“图形”直观、 形象地理解其性质； 3、教会学生密切联系实 际问题，关注在“做”中 的内化。
解二元一 次方程组
二元一次方 程组的应用
二元一次方 程与一次函 数
谁的包裹 多
二 方元 程一 组次
初步建立“数”（二 元一次方程）与“形” （一次函数的图像 （直线））之间的对 应关系，进一步培养 了学生数形结合的意 识和能力．
教材内容分析
掌握算术平 均数、加权平 均数的概念, 会求一组数的 算术平均数和 加权平均数。 掌握中位数、 众数的概念， 会求出一组 数据的中位 数与众数。 根据给定信息， 会利用计算器求 一组数据的平均 数，并会进行数 据的收集、加工 与整理
平面直角坐 标系
确定位置
变化的鱼
位 置 的 确 定
教材内容分析
一次函数的 概念、图象、 性质，确定 一次函数的 解析式。
1、是进一步学习数学后续 知识的需要 2、实际生活、生产的需要 编者意图
1、对一次函数的定义及性质， 理解上会与前面知识相混淆； 2、此函数图象经过两个象限， 在研究其增减性时，对于 “在每一象限”的理解会感到 困难； 3,用数学知识去解决实际问题， 也是能力的重要体现。
画一次函数的图象，从 实际生活中抽象出数学 问题，建立数学模型。
学情 教学重点、 难 点 预估
1、通过设置有梯度的问 题启发学生不断探索、在 分析、解决问题过程中寻 求新思路； 2、利用“数形结合”直 观、形象地理解其性质； 3、教会学生密切联系实 际问题，善于观察生活。
函数的概念， 以及一次函数 的图像和表达 式，学会用一 次函数解决一 些实际问题 。
解决 方法 主要内 容
一 次 函 数
教材内容分析
了解 “消元”思 想，初步体会数 学研究中“化未 知为已知”的化 归思想. 体会分析复杂问题的 思考方法归纳用方程 （组）解决实际问题 的一般步骤。
通过对实际问题的分 析，使学生进一步体 会方程是刻画现实世 界的有效数学模型。 了解二元一次方程、 二元一次方程组及其 解等有关概念
统计与概率 数与代数
学习实数、二元一次方程组、 一次函数等知识，探索数、形及 实际问题中蕴含的关系和规律， 初步掌握一些有效的表示、处理 和交流数量关系以及变化规律的 工具，体会数学与现实生活的紧 密联系，增强应用意识
实践与运用
二、说教材
教 材 体例特 点
提供丰富的实 际情境问题,设 置“做一做”、 “想一想”、 “议一议”等 学习栏目,作为 展开学习知识 和探索知识的 平台。 每章开篇采取主 题图导入学习主 题,每节开始采用 具体情境问题切 入中心内容。 利用典型例子 和“随堂练习” 作为应用所学 知识解决实际 问题的实践场 所,在这种应化 知识和拓宽知 识。 章、节之后设 有“知识技 能”、“数学 理解”、“问 题解决”和 “联系拓广” 多个栏目的习 题。 每章末尾 设有“回 顾与思 考”。