第六章 有限元法

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解：如图所示，将杆分为两个单元，3个结点，每单元长 度l=1，单元刚度矩阵与质量矩阵分别为
则总刚度矩阵与总质量矩阵为
第1节点为固定点，在运动方程划去相应的行与列，有
成为特征值问题
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解得： 精确解为： 相对误差：
ω1=1.7596 ω1=1.7555 δ1=2.34%
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第三节 平面内振动有限元法
以三角形单元为例。 1）插值函数
式中
取插值函数为
代入节点坐标得
解得
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位移列向量为
根据材料力学，有
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wenku.baidu.com36
代入插值函数得
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单元刚度矩阵为
式中，t是单元厚度。对于平面应变问题，t可取1。每一 子矩阵为 对平面应力问题，展开式为
ω2=7.6630 ω2=6.9933 δ2=9.58%
6.1.2 Bernoulli-Euller梁振动有限元模型
单元位移列向量为 取单元形函数为 式中系数待定。设形函数用单元结点位移表示，则有
由此解得系数，代回形函数表达式，则有 其中
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为形函数矩阵，则 单元几何矩阵为 梁的弹性势能为 梁的单元刚度矩阵为
单元广义节点位移、节点力为 其中 (1)纵向振动杆单元分析 形函数矩阵 设 写成矩阵形式
对于杆的纵向振动，只有两个端点可以利用，则有 利用端条件得
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所以 同样可得 因此 应变位移关系矩阵（几何矩阵）
广义应力应变关系（弹性）矩阵[D] 因为 取广义应力 式中[S]称为应力位移关系矩阵
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得
写成矩阵形式有 故单元运动方程为
3）横向振动梁单元特性分析 设横向振动位移为 且有
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插值函数矩阵为 因此，梁的位移为
其导数为 应满足边界条件 由此得到插值函数的端条件
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设插值函数为 利用边界条件可得 类似可以得到
应变关系矩阵[B] 弯曲的曲率为 则有
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单元刚度矩阵与质量矩阵 单元势能为
由此得单元刚度矩阵 单元动能为
由此得单元一致质量矩阵 如果m(x)=m=常数，则有
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单元集中质量矩阵为 单元阻尼矩阵、激励列阵 单元节点力{F}e 分布激振力Rx(x,t) 阻尼力fd=-cv=-c[N]{q’(t)} 记单元节点力为 阻尼力 单元所有外力在虚位移上的虚功为
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则 同样阻尼、质量子矩阵为
式中r是单位速度下作用于单位体积上的阻尼力，ρ为密度， 上式中插值函数积分
单元质量矩阵为
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类似可以写出阻尼与外激励的展开式。 若ij边界上作用有法向激振力CP(t)(指向单元内部为正)， 则单元激振力列阵为
例：如图所示，求固有振动 固有频率：32.96；49.74； 94.19；123.2； 150.7；170.0； 191.7；194.2；...
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2)单元特性分析 轴向振动——弹性杆 横向振动——弹性梁 相互不耦合，可线性叠加 取单元e，节点编号i, j 单元长为l，截面积A(x) 惯性矩J(x)，单位长度质 量ρA(x)，泊松比ν 节点广义位移： 轴向——u 横向——v 转角——θ 广义力：轴向力X(t) 横向力Y(t) 弯矩M(t)
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梁的一致质量单元矩阵为
梁的集中质量矩阵为
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第二节 平面刚架结构振动有限元模型
主要步骤：结构离散化 单元特性分析 结构综合分析 1）结构离散化 如右图所示，离散为7个结 点和7个单元，其中1、2节 点为固定约束节点。 杆纵向振动，节点自由度为1——[u] 梁横向振动，节点自由度为2——[w，θ] 弹性薄膜，节点自由度为3——[w，θx，θy] 弹性板，节点自由度为3——[w，θx，θy] 平面振动， 节点自由度为2——[u，v] 空间结构振动， 节点自由度为3——[u，v，w] 2011-12-8
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组装关系表
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得到频率方程为 其中：{A}为主振型，p为固有频率。
求：平面结构桁架的固有频率与振型 解：固有频率为：113.7； 398.8; 440.4; 872.0; 1221.8;……. 振型如图所示。
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桁架振型图
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但应变列阵 应变位移关系矩阵为[B]=[Bi，Bj] 式中 应力应变关系为 且有 单元运动方程为
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即
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坐标转换
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坐标转换矩阵
则有坐标转换关系 代入单元动能表达式得
即
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单元弹性势能为 其中 总体坐标下的广义力为 其中
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改写为 非保守广义力列阵为
式中第三项代表阻尼力，引入单元阻尼矩阵，有 单元激励力列阵为 故等效节点载荷为
假设 Ri=Rj=cP(t)/2 单元运动方程
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将质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵展开，得 其中
将{R}e展开得 {R} 其中 由Lagrange方程
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杆单元刚度矩阵为 杆单元参考动能为 故杆单元质量矩阵为 杆单元刚度矩阵与质量矩阵的形函数相同，称为一致质量 矩阵。 另一种质量矩阵为将杆质量均分到两个端点上，称为集中 质量矩阵，即 例：已知等截面悬臂直杆长为l=2，单位长度质量ρA=6， 抗拉刚度EA=100，自由端集中质量m=12。用有限单元法求 其基频。
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一、二阶振型
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三、四阶振型
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五、六阶振型
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七、八阶振型
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第四节 薄板横向振动 常用单元：四边形 三角形 节点位移
节点力
节点位移列阵
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插值函数
则有
式中：[N]为插值函数矩阵 且有
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其中
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薄板广义应变关系为
则有 其中
根据材料力学
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式中
由[N]、[B]、[D]可以计算[Ke]、[Me]、[Ce]，组装总体质量、 刚度、阻尼矩阵。可求固有频率及振型（略）。
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第六章 有限元法
思路：连续体→离散化→有限元→线性代数方程组→振动分 析结果 一维问题：杆、轴、梁 二维问题：板、桁架 三维问题：体 特点：节点数多 矩阵阶数高，元素分布稀疏、带状
第一节 杆、梁有限元计算模型
6.1.1 杆振动有限元模型
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设杆单元长为l，ρA、EI已知，单元端点结点为i、j。 结点位移为 根据材料力学，杆受拉压变形沿杆长线性分布，则杆任 一截面位移为 式中 为形函数矩阵，单元应变为 引入几何矩阵 杆单元的势能
代入Lagrange方程，得到总体坐标下的运动方程
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根据结构划分的单元，有
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为了结构分析，写成矩阵形式
结构综合分析
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代入Lagrange方程
式中：T是总动能，U是总弹性势能。分别为
Lagrange方程展开式为
组装成总体结构运动方程为 组装关系见下表
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应力应变关系（弹性）矩阵[D]，应力位移关系矩阵[S] 广义力与广义位移关系为 单元刚度矩阵、质量矩阵、阻尼矩阵
矩阵中每一个元素为2×2矩阵。
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即
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激励力列阵
则 引入位移列函数
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写成标准形式 式中
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