04第四章 经典质点动力学

o
解
FT P ma
2
v 2 FT sin m an m m r r A FT cos P 0
l FT
r l sin
r o P et v
en
l FT
A
l

l
r o P et v
2
en
m
m
arccos
一、冲量 质点的动量定理
dv d ( mv) F ma m dt dt
动量
t2 冲量 力对时间的积分（矢量） I F t1 dt t2 I Fdt p2 p1 mv2 mv1
t1
Fdt dp d (mv)
在直角坐标中
F ma
在自然坐标中
F F Fn t a a a t n
Fy may Fz maz
F mat mdv t dt v2 Fn m an m
注意：FX等是合力在该坐标轴上投影（或分量）的代数和。
解题的基本思路
1）确定研究对象进行受力分析； （隔离物体，画受力图） 2）取坐标系； 3）列方程（一般用分量式）； 4）利用其它的约束条件列补充方程； 5）先用文字符号求解，后带入数据计算结果.
二、牛顿第二定律（牛顿运动方程） 物体受到外力作用时，它所获得的加速度的大小与力 的大小成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向 与力的方向相同。 数学形式：
F ma
（1）力的动力学效果是使物体产生加速度。 说明： （2）牛顿第二定律中 关系。 和 的关系为瞬时矢量
力的独立作用原理 如果在一个质点上同时作用着几个力，则这几个 力各自产生自己的动力学效果而不互相影响。
o
F
30
oN
F (sin 30 cos30 )≤ G
o o
G sin 30 cos 30 ≤ 0 F 1
o o
Ff G
≥
3
选（B）
§4-4 质点的动量定理和动量守恒定理
力的积累效应
F (t ) 对t 积累 p , I F 对 r 积累 W , E
p mv

t2
t1
Fdt p2 p1 mv2 mv1
动量定理 在给定的时间内，合力作用在质点 上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量 . 分量形式
I x Fx dt mv2 x mv1x
t1
2 1
t2
t I I xi I y j I z k I y t Fy dt mv2 y mv1 y
b b
k 0 m bt / m x (v 0 cos )(1 e ) o x b m mg mg bt / m y ( v0 sin )(1 e ) t b b b 2 mg m g b y (tan ) x 2 ln(1 x) bv0 cos b mv0 cos
m1
m2
a m1 g FT m1a m2 g FT m2 a a m1 m2 2m1m2 a g FT g P2 0 P1 y m1 m2 m1 m2
0 FT
y FT
例4 如图所示（圆锥摆），长为 l的细绳一端固 定在天花板上，另一端悬挂质量为 m 的小球，小球经 推动后，在水平面内绕通过圆心 的铅直轴作角速度 为 的匀速率圆周运动 . 问绳和铅直方向所成的角 度 为多少？空气阻力不计.
vx v0 cose mg bt / m mg v y ( v0 sin )e b b dx vxdt dy v y dt
bt / m
y
v0
Fr
k 0
P
A
v
例2 不可伸长的摆线长度为 l ，一端固定在 点， o 一端与摆锤相连；摆锤质量为 m ，可视为质点；系统 在过o 点的竖直平面内运动，试求单摆在小摆角情况下 的运动学方程和摆线内的张力。 解
N
F
θ
mg
如图：用一斜向上的力F 将重 为G的木块压靠在墙上，如不 论用多大的力，都无法使木块 向上滑动，则木块与墙面的静 摩擦因素满足： (A) μ ≥ 1/ 2 (B) μ≥ 1/ 3 (C) (D)
30o
G
F
≥ 2 / 3 ≥ 3
F sin 30 ≤ G Ff 解 o Ff N F cos30
FT P ma
mg sin mat mR
v2 Ft m g cos m an m m R 2 R Rl
o

l
o
0 A2 2
arcsin

A
(0t )

2
A sin (0t ) A cos(0t ) 2
物体所受到接触面对它的阻力，其方向 与相对滑动趋势方向相反。
注：
静摩擦力的大小随外力的变化而变化。
最大静摩擦力：
f max N
为静摩擦系数
（2）动摩擦 当物体相对于接触面滑动时，物体所受到接
触面对它的阻力，其方向与滑动方向相反。 为滑动摩擦系数
f N
四、流体阻力
物体在流体内运动时，所受到的流体的阻力。
例1 有空气阻力情况下的抛体运动。 设空气对抛体的阻力与抛体的速度成正比， 即 Fr bv ， b 为比例系数 . 抛体的质量为 m 、 初速为 v0 、抛射角为 . 解 取如图所示的 Oxy 平面坐标系
dv x ma x m bv x dv y dt m ay m m g bv y dt dv x b dt vx m
设绳的长度不变，质量分布是均匀的 . 求：（1）绳
作用在物体上的力；（2）绳上任意点的张力 .
l
m＇
m
F
解 设想在点 P 将绳分为两段 其间张力 FT 和 F ＇ T 大小相等，方向相反 （1）
FT＇
P
FT
F
m＇
FT0
FT0＇
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m
a
a
FT0 FT0＇ a FT0 m＇ F FT0＇ ma
FT dm FT dFT
dx
1. 用水平力F 把一物体压靠在粗糙竖直墙面上保持静 止。当F逐渐增大时，物体所受的静摩擦力f 的大小 （ ）。 A．不为零，但保持不变 B．随F 成正比的增大 C．无法确定 D．开始随F 增大，达到某一最大值后，就保持不变
2. 一段路面水平的公路，转弯处轨道半径为 R ，汽车 轮胎与路面间的摩擦因数为 μ ，要使汽车不至于发生 侧向打滑，汽车在该处的行驶速率（ ）。 A. 不得小于 μ gR C. 必须等于 μ gR B.不得大于
y
v0

Fr
bdv y b dt mg bv y m
P
A
v
x
o
bdv y b dt mg bv y m
v0 x v0 cos v0 y v0 sin
bt / m
dv x b dt vx m
y
v0

Fr
t0
P
A
v
x
o
vx v0 cose mg bt / m mg v y ( v0 sin )e
A cos(0t ) r l
FT mg mlA 0 sin (0t )
2 2 2
mg A2 sin2 (0t ) 1
例3 阿特伍德机 （1）如图所示滑轮和绳子的质量均 不计，滑轮与绳间的摩擦力以及滑轮与 轴间的摩擦力均不计.且 m1 m2 . 求 重物释放后，物体的加速度和绳的张力. 解 以地面为参考系 画受力图、选取坐标如图
g
FT cos P FT m l
mg g cos 2 2 m l l
越大， 也越大
l
2
例5 质量为
m 、长为 l
的柔软细绳，一端
系着放在光滑桌面上质量为 m＇ 的物体，如图所示 .
在绳的另一端加如图所示的力 F .
绳被拉紧时会略
现
有伸长（形变），一般伸长甚微，可略去不计 .
μ gR
D. 还应与汽车的质量有关
3. 如图所示，质量为m的物体用平行于斜面的细绳连结
并置于光滑的斜面上，若斜面向左方作加速运动，当物 体恰脱离斜面时，它的加速度为（ A. g sin C. g cot B. g tan D. g cos ）。
4. 物体沿固定圆弧形光滑轨道由静止下滑，在下滑过 程中，则（ ）。
A. 它受到的轨道的作用力的大小不断增加 B. 它受到的合外力不变，速率不断增加 C. 它受到的合外力大小变化，方向永远指向圆心 D.它的加速度方向永远指向圆心，速率保持不变
质量为m的物体放在水平桌面上，物 体与桌面间的最大静摩擦系数为 ，求拉 动该物体所需的最小的力是多少？
F cos Ff N 解 F sin N mg Ff m g F sin cos d ( μ sin θ cos θ） 0 dθ sin θ cosθ , tgθ μ mg mg Fmin 2 2 （ 1 cos ） 1
F a m＇ m m＇ FT0 F m＇ m
（2）dm
mdx / l ( FT dFT ) FT m (dm)a adx l
l
dm
dx
mF dFT dx (m＇ m)l F l mF FT dFT (m＇ m)l x dx x F FT (m＇ m ) l m＇ m
数学形式：
FAB FBA
F F
（1）作用力和反作用力总是成对出现，任何一 说明： 方不能单独存在。并且同时产生，同时消失。 （2）作用力和反作用力分别作用于两个物体，因 此不能平衡或抵消。
（3）作用力和反作用力属于同一种性质的力。
质点的运动微分方程
m F (r , r , t ) r
1. 已知质点受力，可求出质点的运动规律 2. 已知质点运动，可求出质点的受力状况
§4-2 力学中常见的力
一、万有引力 重力：
重力
引力
m1m2 F G R2
G 6.67*1011 m3 kg 1 s 2
重力是物体所受地球引力的一个分力 二、弹性力：
w mg
物体发生弹性变形后，内部产生企图恢复形变的力。
§4-1 牛顿运动定律
一、牛顿第一定律（惯性定律） 孤立质点保持静止或作匀速直线运动。 数学形式：
v 恒矢量
（F 0）
惯性指质点所固有的、保持原有运动状态不变的特性。 任何物体都有惯性；外力改变物体运动状态； 第一定律成立的参考系称为惯性参考系（孤立质点 相对它静止或作匀速直线运动的参考系）；
I z Fz dt mv2 z mv1z
F v
F vv
§4-3 质点动力学方程组
质点动力学基本运动方程
a a1 a2 a3
F Fx i Fy j Fz k a ax i a y j az k
Fx max
F F1 F2 F3
弹簧的弹性力：
Fx k x
（k称为劲度系数）
绳中张力：绳中任意横截面两侧互施的拉力。
l
F
m
F
P FT＇
FT FT F F
FT
若忽略绳的质量或加速度为零
'
正压力和支持力：因为接触面互相挤压变形产生。
三、摩擦力 （1）静摩擦力 当物体与接触面存在相对滑动趋势时，
F1 ma1, F2 ma2 F ma
物体受到外力作用时，它所获得的加速度的大 小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比， 加速度的方向与合外力的方向相同。
三、牛顿第三定律（作用力和反作用力定律） 当物体A以力 作用在物体B上时，物体B也必 定同时以力 作用在物体A上，两力作用在同 一直线上，大小相等，方向相反。