一一点的应力状态与应力张量

一 一点的应力状态与应力张量

二 主应力与应力不变量

对于一般空间问题，一点的应力状态可以由九个应力分量表示，如P 点处应力状态在直角坐标系可表示为

ij S σ==x xy xz yx y yz zx zy z στττστττσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

如图1-1所示。在固定受力情况下，应力分量大小与坐标轴方向有关，但由弹性力学可知，新旧坐标的应力分量具有一定变换关系。通常，我们称这种具有特定变换关系的一些量为张量。式（1-1）就是应力张量，它是二阶张量。因为它具有xz τ=zx τ，xy τ=yx τ，yz τ=zy τ。 已知物体内某点P 的九个应力分量，则可求过该点的任意倾斜面上的应力。在P 点处取出一无限小四面体oabc (图1-2)

它的三个面分别与x,y,z 三个轴相垂直。另一方面即任意斜面，它的法线N ，其方向余弦为l,m,n 。分别以dF 、x dF 、y dF 、z dF 代表abc 、obc 、oac 、 oab 三角形面积。

x y z dF ldF dF mdF dF ndF ⎫=⎪=⎬⎪=⎭

（1.2）

在三个垂直于坐标的平面上有应力分量，在倾斜面abc 上有合应力N P ,它可分解为正应力

N σ及切向剪应力N τ，即222N N N P στ=+

N P 沿坐标轴方向分量为N x ,N y ，N z ，由平衡条件可得

N x xy xz N yx y yz N zx zy z x l m n y l m n z l m n στττστττσ⎫=++⎪=++⎬⎪=++⎭

求出N x ，N y ，N z 在法线上的投影之和，即得正应力N σ

222222N N N N x y z xy yz zx x l y m z n l m n lm mn nl σσσστττ=++=+++++ 1-5

而剪应力则由式1-5得 2N τ=2N P -2N σ

在空间应力状态下一点的应力张量有三个主方向，三个主应力。在垂直主方向的面上，0N τ=，N σ即为主应力，等于合应力N P ，而主应力在坐标轴上的分量为

N N N N N N x l y m z n σσσ=⎫⎪=⎬⎪=⎭

1-7

将式1-7代入1-4整理后得

()0()0()0x N yx zx xy y N zy xz yz z N l m n l m n l m n σστττσστττσσ⎫-++=⎪+-+=⎬⎪++-=⎭

（1-8）

此外，法线N 的三个方向余弦应满足 2221l m n ++= （1-9）

由上面四个方程可求得N σ及方向余弦l,m,n 。如果将l,m,n 看作未知量，则由式1-9可见，l,m.n 不能同时为零。因此线性方程组式1-8非零解的充要条件为系数行列式等于零。 0x N yx zx

xy y N zy xz yz z N

σστττσστττσσ--=-

展开行列式得到 221230N N N I I I σσσ---= 1-11

式中 1222222232x y z

I x y y z z x xy yz zx x y z xy yz zx x yz y zx z yz I I I I σσσσσσσσστττσσστττστστστ⎫

=++⎪⎪=---+++⎬⎪=+---⎪⎭

1-12

方程1-11有三个实根，即三个主应力。按三个主应力数值，分别由式1-8求出三个主方向。 当坐标方向改变时，应力分量均将改变，但主应力的数值是不变的，因此该式的关系也不变。由于系数123,,I I I 与坐标无关，故称作应力张量不变量，通常分别叫作应力张量第一不变量，第二不变量，第三不变量。

设三个正应力的平均值为平均应力，用m σ表示 12311()()33

m x y z σσσσσσσ=++=++

于是 ()x m x m σσσσ=+-

()y m y m σσσσ=+-

()z m z m σσσσ=+-

由此，应力张量可分解为两个分量

00-00+00m x m xy xz ij m yx

y m yz m zx zy z m σσσττσστσστσττσσ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦

等式右端第一个张量称为应力球张量，第二个张量称为应力偏张量。

0000=00m m m ij

m σσσδσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

式中ij δ定义为

{10= ij δ≠当（i=j ）当（i j ）

令 -x x m S σσ=，-y y m S σσ=，-z z m S σσ=，xy xy S τ=，yx yx S τ=，yz yz S τ=……，则应力偏量ij S 即为

-x xy xz x xy xz ij ij m ij yx

y yz xz y yz zx zy z zx zy z S S S S S S S S S S S S S ττσσδττττ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦⎣⎦

三 应力空间

如果我们将1σ、2σ、3σ取为三个相互垂直的直角坐标轴而构成一空间直角坐标系，则该空间中任一点的三个坐标值就相应于物体某点应力状态的三个主应力的数值，也就是说。该空间中的一点对应于物体某点的应力状态。我们就把这个空间称为应力空间。如图2-6 所示，P 点的坐标为（1σ 2σ 3σ），这个应力状态可写为三个矢量11()OP σ,22()OP σ,33()OP σ的矢量和。

四 应力圆和Lode 参数

在传统塑性理论中，认为应力张量不影响屈服，所以对应力偏量特别感兴趣，而洛德（Lode ）参数或洛德角是应力偏量的特征量。此外，采用洛德参数或洛德角研究塑性问题十分方便，因而在岩土塑性理论中应用极为广泛。