一一点的应力状态与应力张量

一 一点的应力状态与应力张量二 主应力与应力不变量对于一般空间问题，一点的应力状态可以由九个应力分量表示，如P 点处应力状态在直角坐标系可表示为ij S σ==x xy xz yx y yz zx zy z στττστττσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦如图1-1所示。

在固定受力情况下，应力分量大小与坐标轴方向有关，但由弹性力学可知，新旧坐标的应力分量具有一定变换关系。

通常，我们称这种具有特定变换关系的一些量为张量。

式（1-1）就是应力张量，它是二阶张量。

因为它具有xz τ=zx τ，xy τ=yx τ，yz τ=zy τ。

已知物体内某点P 的九个应力分量，则可求过该点的任意倾斜面上的应力。

在P 点处取出一无限小四面体oabc (图1-2)它的三个面分别与x,y,z 三个轴相垂直。

另一方面即任意斜面，它的法线N ，其方向余弦为l,m,n 。

分别以dF 、x dF 、y dF 、z dF 代表abc 、obc 、oac 、 oab 三角形面积。

x y z dF ldF dF mdF dF ndF ⎫=⎪=⎬⎪=⎭（1.2）在三个垂直于坐标的平面上有应力分量，在倾斜面abc 上有合应力N P ,它可分解为正应力N σ及切向剪应力N τ，即222N N N P στ=+N P 沿坐标轴方向分量为N x ,N y ，N z ，由平衡条件可得N x xy xz N yx y yz N zx zy z x l m n y l m n z l m n στττστττσ⎫=++⎪=++⎬⎪=++⎭求出N x ，N y ，N z 在法线上的投影之和，即得正应力N σ222222N N N N x y z xy yz zx x l y m z n l m n lm mn nl σσσστττ=++=+++++ 1-5而剪应力则由式1-5得 2N τ=2N P -2N σ在空间应力状态下一点的应力张量有三个主方向，三个主应力。

在垂直主方向的面上，0N τ=，N σ即为主应力，等于合应力N P ，而主应力在坐标轴上的分量为N N N N N N x l y m z n σσσ=⎫⎪=⎬⎪=⎭1-7将式1-7代入1-4整理后得()0()0()0x N yx zx xy y N zy xz yz z N l m n l m n l m n σστττσστττσσ⎫-++=⎪+-+=⎬⎪++-=⎭（1-8）此外，法线N 的三个方向余弦应满足 2221l m n ++= （1-9）由上面四个方程可求得N σ及方向余弦l,m,n 。

如果将l,m,n 看作未知量，则由式1-9可见，l,m.n 不能同时为零。

因此线性方程组式1-8非零解的充要条件为系数行列式等于零。

0x N yx zxxy y N zy xz yz z Nσστττσστττσσ--=-展开行列式得到 221230N N N I I I σσσ---= 1-11式中 1222222232x y zI x y y z z x xy yz zx x y z xy yz zx x yz y zx z yz I I I I σσσσσσσσστττσσστττστστστ⎫=++⎪⎪=---+++⎬⎪=+---⎪⎭1-12方程1-11有三个实根，即三个主应力。

按三个主应力数值，分别由式1-8求出三个主方向。

当坐标方向改变时，应力分量均将改变，但主应力的数值是不变的，因此该式的关系也不变。

由于系数123,,I I I 与坐标无关，故称作应力张量不变量，通常分别叫作应力张量第一不变量，第二不变量，第三不变量。

设三个正应力的平均值为平均应力，用m σ表示 12311()()33m x y z σσσσσσσ=++=++于是 ()x m x m σσσσ=+-()y m y m σσσσ=+-()z m z m σσσσ=+-由此，应力张量可分解为两个分量00-00+00m x m xy xz ij m yxy m yz m zx zy z m σσσττσστσστσττσσ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦等式右端第一个张量称为应力球张量，第二个张量称为应力偏张量。

0000=00m m m ijm σσσδσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦式中ij δ定义为{10= ij δ≠当（i=j ）当（i j ）令 -x x m S σσ=，-y y m S σσ=，-z z m S σσ=，xy xy S τ=，yx yx S τ=，yz yz S τ=……，则应力偏量ij S 即为-x xy xz x xy xz ij ij m ij yxy yz xz y yz zx zy z zx zy z S S S S S S S S S S S S S ττσσδττττ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦三 应力空间如果我们将1σ、2σ、3σ取为三个相互垂直的直角坐标轴而构成一空间直角坐标系，则该空间中任一点的三个坐标值就相应于物体某点应力状态的三个主应力的数值，也就是说。

该空间中的一点对应于物体某点的应力状态。

我们就把这个空间称为应力空间。

如图2-6 所示，P 点的坐标为（1σ 2σ 3σ），这个应力状态可写为三个矢量11()OP σ,22()OP σ,33()OP σ的矢量和。

四 应力圆和Lode 参数在传统塑性理论中，认为应力张量不影响屈服，所以对应力偏量特别感兴趣，而洛德（Lode ）参数或洛德角是应力偏量的特征量。

此外，采用洛德参数或洛德角研究塑性问题十分方便，因而在岩土塑性理论中应用极为广泛。

设横坐标为正应力σ，纵坐标为剪应力τ，设已知应力1σ，2σ，3σ，令11OP σ=，22OP σ=，33OP σ= 以12P P ,23P P ,13P P 为直径画三个圆，如图2-8（a ）。

其半径为 1212322PP σστ-==，2323122P P σστ-==，3113222P P σστ-== 1τ、2τ、3τ称为主剪应力，半径最大者为最大剪应力max τ，如果把图2-8（a ）中坐标原点O 移到新的位置'O ，使 '1233m OO σσσσ++==这时 '111m O P S σσ=-=, '222m O P S σσ=-=, '333m O P S σσ=-=由此所得移轴后应力圆即是描述应力偏量的应力圆图2-8（b ）原点任意平移一个距离，就相当于在原有应力状态下叠加一个静水压力。

在传统塑性力学中，这个叠加并不影响屈服函数和塑性变形。

因此，对塑性变形有决定性意义的是应力圆本身。

若以M 表示13P P 的中点，则1max 131()2MP τσσ==- 22131(2)2MP σσσ=-- 若考虑到中间应力2σ对屈服函数的影响，可由2MP 与1MP 之比确定2σ的相对位置，其比值用洛德参数u σ表示。

若主应力次序为123σσσ≥≥，则2132321131322121MP u MP σσσσσσβσσσσ---===-=--- 3-1a 或 2131311()()22u σσσσσσ=++- 3-1b 式中2313σσβσσ-=-。

2P 由3P 变到1P ，因此u σ和σθ的变化范围为 11u σ-≤≤ ，3030σθ-≤≤。

由式3-1可见，u σ为主应力值的函数，说明是应力差的比例关系，而与应力大小无关。

不管坐标纵轴原点位置移动多少，其u σ不变，可见u σ是描述应力偏量的特征值，它与应力偏量不变量2J 、3J 有关，而与应力球张量无关。

由上可见，洛德参数或洛德角都不能表示一点的应力状态的特征值，因为它不表示应力球张量。

然而它却能反映受力状态的形式，即主应力分量之间的比例关系。

因而不同的洛德参数与洛德角可以反映材料的不同受力状态。

在弹性力学和传统塑性力学中，符号一般都是规定以拉为正，但在岩土力学都一般规定以压为正。

五 应力路径1应力路径的基本概念岩土的性质与本构关系，与应力或应变状态的变化过程有关，因此需要描述一个单元在它加载过程中的应力或应变的变化过程。

通常称描述一单元应力状态变化的路线为应力路径，而称描述应变状态变化的路线为应变路径，目前过程上应用较多的是应力路径。

对岩土来说，一点的应力状态完全可由总主应力及其方向和孔隙压力所确定。

有效主应力可用计算算出。

我们令三个总主应力或有效主应力为坐标轴，而建立应力空间或有效应力空间。

如图2-12所示，图上'1σ、'2σ及'3σ为三个有效主应力，将一单元的瞬时有效应力状态所有的点联结起来的线，并标上箭头指明发展的趋向，就可得到有效应力路径，简称ESP 。

同样可在主应力空间中给出总应力路径。

简称TSP 。

通常，我们将总主应力轴与有效应力轴放在一起，在这张图上不仅能表示有效应力路径和总主应力路径，而且还能表示空隙压力的大小。

当略去其中间主应力2σ和'2σ时，则可在二向应力平面上绘制有效应力路径和总主应力路径。

如图2-13所示。

图中'''A B C 为有效应力路径，若在'B 的孔隙压力位u 值，则B 点代表瞬时总应力，因为有效应力与总应力之间的水平距离与垂直距离均为孔隙压力u 的值。

由目测可知，瞬时总应力与有效应力的点，必定沿坐标轴倾斜成45。

的线上，线段隔开，如图2-13所示。

一点的应变状状态，主应变，应变不变量在外力的作用下，物体内各点的位置要发生变化，即发生位移。

如果物体各点发生位移后仍保持各点间初始应力状态的相对位置，则物体实际上只产生了刚体移动和转动，称这种位移为刚体位移。

如果物体各点发生位移后改变了各点间初始应力状态的相对位置，则物体就同时产生了形状变化，统称为该物体产生了变形。

在外力的作用下，物体内部质点产生相对位置的改变。

设A 点的坐标为（x 、y 、z ）,其临近点的坐标为（x dx +、y dy +、z dz +），变形后A 点移到'A ,点B 移到'B 。

A 点的位移向量分量为u 、v 、w ，B 点的位移分量为'u 、'v 、'w 。

u 、v 、w 是坐标点x 、y 、z 的函数，当dx 、dy 、dz 很小时，可以利用泰勒公式展开，只需要保留一次项，得'u 、'v 、'w 与u 、v 、w 关系如下'''u u u u u dx dy dz x y z v v v v v dx dy dz x y z w w w w w dx dy dz x y z ⎫∂∂∂=+++⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂=+++⎬∂∂∂⎪⎪∂∂∂=+++⎪∂∂∂⎭后面的九个量构成了位移梯度张量,i j u ⎡⎤⎣⎦，一般是不对称的二阶张量,i j u u u x y z v v v u x y z w w w x y z ⎡⎤∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎣⎦将矩阵,i j u ⎡⎤⎣⎦可以分解为两部分,1111022221111022221122i j u v u w u v u u w x x y z z x y z x v u v w v v u u x y y y z x y w u w u w x z y z z ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫++---⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂⎢⎥⎡⎤=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦∂∂∂∂∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫⎢⎥++ ⎪ ⎪⎢⎥∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦11022w v y z u w w u z x y z ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎛⎫∂∂⎢⎥+ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫⎢⎥--- ⎪ ⎪⎢⎥∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 前一项是一个对称张量，就是在小变形条件下的应变张量，应变量的矩阵形式是112211221122xxy xz xx xy xz yxy yz yx yy yz zx zy zz zx zy z εγγεεεγεγεεεεεεγγε⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦左式是工程力学的习惯写法，右式适用于使用张量下标记号。