1.2 第二讲特征函数
概率论_特征函数
概率论_特征函数特征函数（characteristic function）是概率论中一个非常重要的工具，它能够完全描述一个随机变量的分布，并且可以用来推导和证明一系列的性质和定理。
特征函数具有许多重要的性质，如唯一决定定理、独立性的性质、收敛性的性质等。
特征函数的定义如下：对于一个随机变量X，它的特征函数$\varphi(t)$定义为$E[e^{itX}]$，其中 i 是复数单位，t 是实数。
特征函数是关于 t 的复数函数，其实部和虚部分别是 $\cos(tx)$ 和$\sin(tx)$。
特征函数的一个重要性质是唯一决定性（uniqueness），即对于一个分布，它的特征函数是唯一确定的，并且确定了分布的所有性质。
这一性质使得特征函数成为一种描述概率分布的有效工具。
对于连续分布，特征函数可以通过概率密度函数和积分的关系得到，对于离散分布，特征函数可以通过概率质量函数和求和的关系得到。
另一个重要的性质是独立性的性质。
如果两个随机变量 X 和 Y 是独立的，那么它们的特征函数的乘积等于它们各自的特征函数的乘积。
即$\varphi_{X+Y}(t)=\varphi_X(t)\varphi_Y(t)$。
这个性质可以用来推导和证明随机变量的和的分布。
特别地，如果 X 和 Y 是独立同分布的，那么它们的特征函数的乘积等于它们特征函数的平方。
特征函数还有一个重要的性质是收敛性的性质。
对于一个随机变量序列X₁,X₂,...，如果它们的特征函数逐点收敛于一个函数，那么这个函数也是一个随机变量的特征函数，且收敛到的分布是弱收敛的。
这个性质可以用来证明中心极限定理等重要的结果。
特征函数在概率论和统计学中有广泛的应用。
它被用来推导和证明许多重要的定理，如中心极限定理、大数定律、极限理论等。
它还可以用来计算随机变量的矩、协方差、相关系数等统计量，并且可以用来推导各种分布族的性质。
特征函数的计算通常比较简单，只需计算指数函数的期望。
特征函数的概念及意义
特征函数的概念及意义目录：一．特征函数的定义。
二．常用分布的特征函数。
三．特征函数的应用。
四．绪论。
一．特征函数的定义设X 是一个随机变量，称 ()()itXe t E =ϕ, +∞<<∞-t ,为X 的特征函数.因为＝１Ｘit e ，所以()itX e E 总是存在的，即任一随机变量的特征函数总是存在的.当离散随机变量X 的分布列为() ,3,2,1,P p k ===k x X k ，则X 的特征函数为()∑+∞==1k k itx p e t k ϕ, +∞<<∞-t .当连续随机变量X 的密度函数为()x p ,则X 的特征函数为 ()()⎰+∞∞-=dx x p e t k itx ϕ, +∞<<∞-t .与随机变量的数学期望，方差及各阶矩阵一样，特征函数只依赖于随机变量的分布，分布相同则特征函数也相同，所以我们也常称为某分布的特征函数.二．常用分布的特征函数1、单点分布：().1P ==a X 其特征函数为 ().e t it a =ϕ2、10-分布：()(),10x p 1p x X P x1x =-==-，，其特征函数为()q pe t it +=ϕ，其中p 1q -=.3、泊松分布()λP ：()λλ-==e k k X P k！，k=0,1， ，其特征函数为()()∑+∞=---===0k 1e e kiktitit e e e e k et λλλλλϕ！. 4、均匀分布()b a U ,：因为密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=.;,0,1其他b x a a b x p所以特征函数为()()⎰--=-=b aiatibt itx a b it e e dx a b e x ϕ. 5、标准正态分布()1,0N ：因为密度函数为()2221x e x p -=π， +∞<<∞-x .所以特征函数为()()⎰⎰∞+∞-∞+∞-----∞==dxit x t x itx e edx e x 2222222121πϕ=⎰-∞+-∞----=ititt t t edz ee22222221π.其中⎰-∞+-∞--=ititx dz eπ222 .三．特征函数的应用1、在求数字特征上的应用求()2N σμ，分布的数学期望和方差. 由于()2N σμ，的分布的特征函数为()2t i 22et σμϕ=,于是由()k k k i 0ξϕE =得，()μϕξi 0i ′==E , ()22″220i σμϕξ--==E , 由此即得()222D σξξξμξ=E -E ==E ，.我们可以看出用特征函数求正态分布的数学期望和方差, 要比从定义计算方便的多.2、 在求独立随机变量和的分布上的应用利用归纳法, 不难把性质4推广到n 个独立随机变量的场合,而n21,ξξξ ，，是n 个相互独立的随机变量, 相应的特征函数为()()()∑==n 1i i n 21t t t ξξϕϕϕ，则，，， 的特征函数为()()∏==n1i i t t ϕϕ.设()n ,,21j j ，=ξ是n 个相互独立的，且服从正态分布()2N j j a σ，的正态随机变量.试求∑==n1j j ξξ的分布.由于j ξ的分布为()2N j j a σ，，故相应的特征为()222tia j j je t σϕ=.由特征函数的性质()()ξϕϕ可知∏==nj j t t 1的特征函数为()()21212221112t t a i n j nj tia j nj j nj j j jeet t ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑=====∏∏σσϕϕ.而这正是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n j j n j j a N 121,σ的特征函数.由分布函数与特征函数的一一对应关系即知ξ服从⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n j j n j j a N 121,σ. 3、 在证明二项分布收敛于正态分布上的应用在n 重贝努力实验中，事件A 每次出现的概率为p(0<p<1)，n μ为n 次试验中事件A 出现的次数，则dt e x npq np P xt nn ⎰∞-∞→=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-2221lim πμ.要证明上述结论只需证明下面的结论，因为它是下面的结论一个特例. 若 ,,21ξξ是一列独立同分布的随机变量，且(),,2,1,0,22 =>==E k D a k k σσξξ则有dt e x nna P xt n k k n ⎰∑∞-=∞→=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-21221lim πσξ.证明 设a k -ξ的特征函数为(),t ϕ则∑∑==-=-nk k nk kn anna11σξσξ的特征函数为nn t ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛σϕ又因为()(),,02σξξ=-=-E a D a k k 所以()()20,00σϕϕ-=''=' 于是特征函数()t ϕ有展开式()()()()()()222222112000t t t t t t οσοϕϕϕϕ+-=+''+'+=.从而对任意的t 有，∞→→⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-n e n t nt n t tn,2122222οσϕ. 而22t e-是()1,0N 分布的特征函数，由连续定理可知dt e x n na P xt n k k n ⎰∑∞-=∞→=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-21221lim πσξ.成立，证毕.我们知道在n 2221P lim μπμ中dt e x npq np xt n n ⎰∞-∞→=⎪⎪⎭⎫⎝⎛<-是服从二项分布.()n k q p C k p kn k k n n ≤≤==-0,μ.的随机变量，dt e x xt ⎰∞-∞→=⎪⎭⎫⎝⎛<-2221P lim πλλξλλ为“泊松分布收敛于正态分布” , 我们把上面的结论常常称为“ 二项分布收敛于正态分布”.4、在求某些积分上的应用我们知道⎰+∞-022dx e x x k 可以用递推法，现在我们用特征函数来解决随机变量ξ服从⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0N ，其密度函数为：()21x e x p -=π，其特征函数为：()∑⎰∞+=-∞+∞--⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⋅⋅=0241!41122i tit x itx i tedx e e t πϕξ， 故 ()()()() +++⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+!131241!!241212k t k k k t k kkξϕ ，所以 ()()()!!1221!!24102-⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k k k kkk ξϕ,由特征函数的性质 ()()()kk kk k i 2!!120222-=-=E ξϕξ，又 ⎰+∞-=E 0222dx e x x k kξ，故()⎰∞+∞-+--=122!!122k x k k dx e x .即 ()⎰∞++--=0122!!122k x k k dx e x四．结论从上面的内容可以看出：特征函数并不是一个抽象概念，在概率论与数理统计的许多问题中，无论是证明还是应用，通过构造特征函数，比如在求分布的数学期望和方差；在求独立随机变量和的分布上的应用，利用独立随机变量和的特征函数为特征函数的积性质推广，往往能使问题得到简化；在证明二项分布收敛于正态分布上的应用，可以从特例到一般问题，从而使问题迎刃而解；在求某些积分上的时候，可以通过构造特征函数使问题简单.。
特征函数
则有 1＝ΨB(x)＝ΨA(x)+Ψ~A(x) ΨΦ(x)， 故Ψ~A(x)＝1ΨA(x)。 ⑻ ΨAB(x)＝ΨA∩~B(x)＝ΨA(x)·Ψ~B(x)＝ΨA(x) ΨA∩B(x) ΨA(x) ΨA∩B(x)＝ΨA(x) ΨA(x)·ΨB(x) ＝ΨA(x)[1ΨB(x)] ＝ΨA(x)·Ψ~B(x) ＝ΨA∩～B(x)＝ΨAB(x)
【例5.21】设 E＝{a, b, c}, E 的子集是：Φ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c} 和 {a, b, c}。试给出 E 的所有子集的特征 函数且建立特征函数与二进制之间的对应关系。
解：E 的任何子集 A 的特征函数的值由下表给出。
ΨA(x)
A
由集合的特征函数可知，从 E 到 {0, 1} 的任一函 数，都能唯一地确定一个 E 的子集合，如果元素 x 的函 数值为 1，则 x 属于此集合，否则，x不属于此集合。如 果考虑的是从 E 到区间 [0, 1]的函数，此时，按照已知 集合的概念可知，这样定义的函数已不能再理解为集合的
特征函数。因为，假定次函数也定义了一个集合 A，当 。 x∈E 的函数值为 0.5 时，无法解释 x 是否属于所考虑的
因此 f 是满射。
综上可知，f 是双射。
定义5.15 设 E 是全集，AE，于是把ΨA：E→{0, 1} 定 义为： 1 若 X∈A ΨA(x)＝ 0 若 XA 并称 ΨA(x) 为集合 A 的特征函数。
【例5.19】设全集 E＝{a, b, c}，它有 8 个子集。 对于子集 {a} 有 Ψ{a}(a)＝1, Ψ{a}(b)＝0, Ψ{a}(c)＝0， 于是子集 {a} 的特征函数为 Ψ{a}＝{＜a, 1＞, ＜b, 0＞, ＜c, 0＞}。 对于子集 {a, b}，有 Ψ{a,b}(a)＝1, Ψ{a,b}(b)＝1, Ψ{a,b}(c)＝0， 故子集 {a, b} 的特征函数为 Ψ{a,b}＝{＜a,1＞, ＜b,1＞, ＜c,0＞}。 对于空集Φ有ΨΦ(a)＝0, ΨΦ(b)＝0, ΨΦ(c)＝0， 故Φ的特征函数为ΨΦ＝{＜a,0＞, ＜b,0＞, ＜c,0＞}。 同理可求出其余子集的特征函数。
第2节、随机变量的特征函数
n
§2 随机变量的特征函数
例 4： 正态分布 正态分布N(a,σ2)的分布密度是
1 f ( x) e 2 ( x a )2 2 2
( x )
其中
( x ), 0
( xa )2 2
2
。由（2）式，得
令u xa
1 (t ) 2
§2 随机变量的特征函数
随机变量的特征函数是研究概率论的有力工具，它亦是概率 论自身内容的一个组成部分。在介绍特征函数之前先引进斯蒂尔 吉斯积分。
一、斯蒂尔吉斯积分
先看有限区间上的斯蒂尔吉斯积分。 定义： 设f(x),g(x)是定义在区间[a,b]上的两个有界函数。把 区间[a,b]分成n个子区间，分点为 a x0 x1 xn b ，在每一个子 区间 [ x , x ] 上任意取一个点 k 作和式
§2 随机变量的特征函数
(5) 设随机变量X,Y相互独立，又 Z X Y ,则 z (t ) X (t )Y (t ) 此式表示两个相互独立随机变量之和的特征函数等于各自特 征函数的乘积。 证: 由特征函数的定义
z (t ) EeitZ Eeit( X Y ) E[eitX eitY ] EeitX EeitY X (t )Y (t )
itx
存在，则称此积分为对g(x)的傅里叶-斯蒂尔吉斯（FourierStieltjes）积分，简称F-S积分。
二、特征函数
先引进复随机变量。 定义: 如果X与Y都是概率空间(Ω, F, P)上的实值随机变量， 则 Z X iY 称为复(值)随机变量，其中 i 1 。 复随机变量是取复数值的随机变量。它的数学期望定义为 EZ=EX+iEY 其中E(X)，E(Y)是（实值）随机变量的数学期望。 若X是(实值)随机变量，那么eitX应是复随机变量。
求特征函数的公式
求特征函数的公式特征函数是概率论中的一个重要概念，它是随机变量的一种表现形式。
特征函数能够描述随机变量不同的特性和属性，同时也是各种数学方法和统计学方法的基础。
在进行随机变量的分析和求解时，往往需要先求出其特征函数，根据特征函数来推导随机变量的概率分布函数、矩等基本性质。
因此，本文将详细介绍求特征函数的公式和相关知识。
一、什么是特征函数？特征函数是一种与随机变量（或者随机向量）相关的函数，它能够完整地描述该随机变量的全部性质和特征。
特征函数是唯一的，具有一致性、可加性、正定性、连续性等性质。
特别是对于连续性随机变量，它的特征函数具有很好的解析性质。
因此，特征函数被广泛应用于概率论、数学统计、信号处理、图像处理等领域。
特征函数是一个复值函数，定义为：$$\varphi_X(t)=\mathrm{E}\left(e^{itX}\right)$$ 其中，$t$是实数、$i$是虚数单位(即$i^2=-1)$，$X$是一个随机变量。
特征函数的实部和虚部分别对应着随机变量的余弦变换和正弦变换的性质。
如果随机变量$X$的概率密度函数为$f_X(x)$，那么特征函数可以用$f_X(x)$来表示：$$\varphi_X(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{itx}f_X(x)dx$$二、特征函数的性质1、一致性如果两个随机变量$X$和$Y$有相同的分布，则它们的特征函数是相同的，即$\varphi_X(t)=\varphi_Y(t)$。
2、可加性如果$X$和$Y$是两个独立的随机变量，则它们的和$Z=X+Y$的特征函数等于它们各自特征函数的乘积，即$\varphi_Z(t)=\varphi_X(t)\varphi_Y(t)$。
3、正定性对于特征函数$\varphi(t)$的任何一个复数系数$c_1,c_2,...,c_n$和任意实数$t_1,t_2,...,t_n$，有：$$\sum_{k,l=1}^nc_k\overline{c_l}\varphi(t_k-t_l)\geq0$$其中，$\overline{c_l}$表示$c_l$的共轭复数。
《概率论与数理统计课件》 特征函数
k
it n
．
20
k 1
例 如果我们已知 X ~ N 0, 1 的特征函数是 t e 令Y ~ N
t2 2
，
,
2 ，则 Y X ，因此，
Y t X t e X t
it
eit X t eit e
所以其特征函数
x0 ， x0
x ixt ixt x x t e f x dx e e dx e costxdx i e sin txdx 0 0 0
t it 2 2 i 2 2 1 ． t t
e ihx 1 e
i hx 2 hx i i hx hx hx 2 2 e e 2 sin 2 2 2 ha 2 ．
24
所以，对于所有的 t ,
，有
t h t
x a
e
ihx
2 2
dx
e
it
i t
2t 2
2
1 2
it
it
dz e
i t
2t 2
2
．
在计算积分
it
e
z2 2
dz 中，我们用到了复变函数中的围道积分．
12
二．特征函数的性质
13
性质 1 证明：
t 0 1 ．
我们只就 X 是连续型随机变量的情形予以证明． X 是 设 连续型随机变量，其密度函数为 f x ．
t
e ixt f x dx
第2章 随机变量-特征函数
2
t
+j
t t
2
二、特征函数的性质
性质1.1 随机变量X 的特征函数满足:
(1) | ( t ) | (0) 1;
( 2) ( t ) ( t ).
性质1.2 设X 的特征函数为 X ( t ) , 则Y aX b 的特征函数为
Y ( t ) e X (at )
e
jtX
f ( x )dx
, a x a ,
jtx
其他
( t ) e
a
a
1 1 jtx dx = e 2a 2ajt
xa x a
1 = sin at at
当t=0时，
(t 0)
e f ( x )dx =1
0
( 0 )
例1.6 设随机变量X 服从参数为 的指数分布, 求其特 征函数.
Z ( t ) e (a1 t , a2 t ).
jtb
性质2.4 两个二元分布函数恒相等的充分必要条件是它们的 特征函数恒等.
三、相互独立随机变量的特征函数 定理2.3 n 个随机变量相互独立的充分必要条件为
( X 1 , X 2 , , X n )
的特征函数
j ( t1 X 1 t 2 X 2 t n X n )
随机变量 (a1 X b1 , a 2Y b2 ) 的特征函数为
( t1 , t 2 ) e
性质2.3
j ( t1b1 t 2b2 )
(a1 t1 , a2 t 2 ).
设随机变量 ( X ,Y ) 的特征函数为 ( t1 , t 2 ), a1 , a 2 , b 为任
1.2函数概念及几何特性
例6.
设f
(x)
1 2
0
x
1 ,
求函数
f
(
x
3)的定义域.
1 x 2
解: 要使 f (x)有意义, x 应满足
f
(
x
)
1 2
0 x1 1 x2
f
(x
3)
1 2
0 x31 1 x32
1 2
3 x 2 2 x 1
故
D f : [3,1]
3、函数的基本特性：
符号：“ ” 表示 “ 存在 ”. 符号：“ ” 表示 “ 任意取 ”.
例如, f (x) 1 在 x
开区间(0, 1)上是无界的, 但在[1,)上是有界的.
y
1
y1 x
01 x
2. 单调性: 设函数 y = f (x)的定义域为D, 区间 I D. 若 x1, x2I, 当x1< x2时, 有 f (x1)<f (x2) (或 f (x1)> f (x2)). 则称 在区间 I 上是单调增加的(或是单调减 少的).（注意：没有等号时，常说成 严格单调）
内是单调减函数, y = x3在(, +)内是单调增函
数. 如图
y
y=x2
0
x
y
y1 x
x 0
y
y=x3
0
x
3. 奇偶性: 设函数 y = f (x)的定义域D关于 原点对称, 若 x D, 都有 f (x) = f (x)
( f (x)= f (x)). 则称f (x)为偶(奇)函数.
几何上, 偶函数的图形关于 y 轴对称, 奇函数的图形关于原点对称.
f (x+2T)
x+2T
第2节随机变量的特征函数
第2节随机变量的特征函数随机变量的特征函数是描述随机变量分布的一种数学工具，它能够唯一地确定一个随机变量的分布。
特征函数是一个复数函数，它的定义是随机变量的期望指数幂的 Fourier 变换。
对于一个随机变量X，它的概率密度函数或概率质量函数记为f(x)，其特征函数记为φ(t)。
特征函数的定义为：φ(t) = E(e^(itX)) = ∫[所有可能的x] e^(itx) f(x) dx其中，i是虚数单位，t是一个实数，e^是自然对数的底数。
特征函数有以下几个重要的性质：1.特征函数的值域为单位圆周，即，φ(t)，≤12.若X和Y是相互独立的随机变量，其特征函数分别为φX(t)和φY(t)，则X+Y的特征函数为φX+Y(t)=φX(t)*φY(t)。
3.若X和Y具有相同的分布，其特征函数分别为φX(t)和φY(t)，则X和Y具有相同的分布。
4. 如果X的特征函数为φ(t)，Y = aX + b，其中a和b是常数，则Y的特征函数为φ(at) * e^(itb)。
特征函数的这些性质使其在随机变量的推导和分析中非常有用，主要体现在以下几个方面。
首先，由特征函数可以求出随机变量的各阶矩（期望、方差等）。
根据特征函数的定义，我们可以得到随机变量X的期望E(X)=φ'(0)，其中φ'(0)表示特征函数关于t的导数在t=0处的值。
其次，特征函数还可以用于求出随机变量的分布函数。
根据特征函数的定义，我们可以得到随机变量X的分布函数F(x) = (1/2π)∫[-∞到t] φ(u)e^(iux) du，其中φ(u)e^(iux)是积分的被积函数。
此外，特征函数在中心极限定理的证明中也起到了关键作用。
中心极限定理指出，独立同分布的随机变量的和在n趋向于无穷大时，其分布趋向于高斯分布。
特征函数的性质2和性质3对于中心极限定理的证明起到了重要的作用。
总之，特征函数作为一种描述随机变量分布的数学工具，具有独特的优点和应用价值。
求特征函数
求特征函数1. 什么是特征函数？特征函数是数学中的一个重要概念，广泛应用于统计学、概率论、信号处理等领域。
它是一种描述随机变量的函数，反映了随机变量在不同取值下的特征。
在概率论中，特征函数指的是随机变量的某个矩的生成函数，可以用来描述随机变量的基本特征，如均值、方差等。
特征函数常常用于概率分布函数的分析，可以通过特征函数的计算来推导出概率密度函数、累积分布函数等概率分布的相关特性。
2. 特征函数的定义设随机变量X的概率密度函数为f(x)，特征函数φ(x)定义为：φ(x) = E(e^(jxX))其中，j为虚数单位，E表示期望。
特征函数的定义式和普通的函数定义式有所不同，它引入了虚数单位和期望运算符，是一种较为复杂的定义形式。
3. 特征函数的性质特征函数具有以下基本性质：（1）满足连续性和逆连续性：如果随机变量X的概率密度函数为f(x)，那么它的特征函数φ(x)是一个连续函数，同时满足逆连续性，即若φ(x)的导数存在，则f(x)存在，并有：f(x) =1/(2π) ∫(-∞,∞) e^(-jxt) φ(t) dt.（2）满足唯一性：若两个随机变量X和Y的特征函数相等，即φ(x)=φ(y)，则它们的分布函数也相等，即FX(x)=FY(y)。
（3）满足矩的求解：若随机变量X的特征函数为φ(x)，那么它的k阶矩可以表示为：E(X^k) = (j^-k) * φ^(k)(0)其中，φ^(k)表示φ的k阶导数，即φ的k阶矩。
4. 怎样求解特征函数有时候，我们需要通过特征函数来推导出一个概率分布的相关性质，但是并不知道该分布的概率密度函数。
这个时候，我们可以通过特征函数的求解来获取这个分布的相关信息。
对于一些简单的分布，特征函数可以直接求解，如正态分布、泊松分布等。
对于一些复杂的分布，特征函数的求解可能比较困难，需要借助数学工具来计算。
当然，也可以通过模拟方法来近似求解特征函数，例如蒙特卡罗模拟、马尔科夫链蒙特卡罗模拟等，但这种方法通常比较耗时，无法处理大规模数据。
特征函数知识点总结归纳
特征函数知识点总结归纳一、定义及用处1. 定义特征函数是描述输入数据特征的函数，其作用是将输入数据映射到输出数据的过程中。
特征函数可以是简单的数学函数，也可以是复杂的复合函数，其形式通常由具体的问题和建模任务所决定。
特征函数在统计学和机器学习中有着广泛的应用，它是数据建模和分析中不可或缺的组成部分。
2. 用处特征函数在机器学习和统计建模中有着重要的作用，它可以用于描述输入数据的特征，帮助模型更好地理解和理解数据。
通过特征函数，我们可以将原始数据映射到模型可理解和可处理的特征空间中，从而提高模型的表达能力和泛化能力。
此外，特征函数还可以帮助模型更好地适应现实世界中复杂多变的数据分布，从而提高模型的预测精度和鲁棒性。
二、常见类型特征函数的类型多种多样，根据其在模型中的位置和作用不同，可以将其划分为输入特征函数、隐变量特征函数、输出特征函数等不同类型。
下面我们分别对这几种常见的特征函数进行介绍和分析。
1. 输入特征函数输入特征函数是描述输入数据特征的函数，其作用是将原始输入数据映射到模型可理解和可处理的特征空间中。
输入特征函数通常用于对原始数据进行预处理和特征提取，帮助模型更好地理解和利用数据。
输入特征函数的形式多种多样，可以是简单的数学函数，也可以是复杂的数据转换算法。
常见的输入特征函数包括多项式特征、核函数特征、傅立叶变换特征等。
2. 隐变量特征函数隐变量特征函数是描述隐变量特征的函数，其作用是将隐变量映射到模型可理解和可处理的特征空间中。
隐变量特征函数通常用于隐变量模型的建模和推断，帮助模型更好地理解和解释数据。
隐变量特征函数的形式多种多样，可以是简单的数学函数，也可以是复杂的变分推断算法。
常见的隐变量特征函数包括指数族分布特征、隐变量模型特征、潜在变量特征等。
3. 输出特征函数输出特征函数是描述输出数据特征的函数，其作用是将模型预测的输出数据映射到可观测的特征空间中。
输出特征函数通常用于对模型输出进行后处理和特征解释，帮助模型更好地理解和利用预测结果。
特征函数和特征值
特征函数和特征值特征函数和特征值是线性代数中的重要概念，它们在矩阵的理论和应用中都有着广泛的应用。
本文将围绕特征函数和特征值展开，介绍它们的定义、性质、求解方法及其在实际问题中的应用。
一、特征函数和特征值的定义1. 特征函数特征函数是指对于一个n阶方阵A，存在一个非零向量x，使得Ax=kx成立，其中k为一个标量。
这个方程称为矩阵A关于k的特征方程，而k则称为矩阵A的一个特征值。
由此可见，特征函数是与矩阵相关联的一个函数。
2. 特征值根据上述定义可知，矩阵A关于k的特征方程Ax=kx成立时，k即为矩阵A的一个特征值。
每个n阶方阵都有n个特征值。
二、特征函数和特征值的性质1. 特殊性质（1）如果一个n阶方阵A有n个不同的特征值，则它一定可以被对角化。
（2）如果两个n阶方阵A、B相似，则它们具有相同的特征值。
（3）如果一个n阶方阵A是实对称矩阵，则它的特征值都是实数。
（4）如果一个n阶方阵A是正定矩阵，则它的特征值都是正数。
2. 求解方法求解矩阵的特征值和特征向量有多种方法，下面介绍两种常用的方法。
（1）特征多项式法设A为n阶方阵，I为n阶单位矩阵，则其特征多项式为f(λ)=det(A-λI)，其中λ为变量。
由于f(λ)是一个n次多项式，因此有n个根，即为A的n个特征值。
（2）幂法幂法是一种迭代算法，通过不断迭代矩阵与向量的乘积来逼近特征向量。
假设有一个初始向量x0，通过不断迭代可以得到x1=Ax0、x2=Ax1=AAx0、x3=Ax2=AAAx0……直到收敛为止。
此时，xk即为A的最大特征值所对应的特征向量。
三、特征函数和特征值在实际问题中的应用1. 特殊结构问题在计算机图形学中，对于一个三维物体进行旋转时，可以使用特征值和特征向量来计算旋转矩阵。
此外，在工程中，特征值和特征向量还可以用于求解桥梁、建筑物等结构的振动频率和振动模态。
2. 数据分析问题在数据分析领域，特征值和特征向量可以用于PCA（Principal Component Analysis）降维算法。
特征函数
特征函数极其简单应用作 者:马胜栋 指导教师:魏瑛源(河西学院数学与应用数学专业2011级1班 学号1150901327,甘肃张掖 734000)摘要 在概率论和数理统计中，我们学习了特征函数，发现了它可以更高级、优越、方便的表 示出一般的随机变量的统计规律.是研究随机变量的重要工具.本文给出了特征函数的基本概 念、主要性质以及特征函数的一系列应用.关键词 随机变量;特征函数; 特征函数的应用1.引言随机变量是人们生活和数学研究中经常遇到的一项重要内容.而随机变量的分布函数则可以全面的描述随机变量的统计规律.但是有时候分布函数或分布密度这些工具使用起来并不方便.如求独立随机变量和的分布密度，用卷积公式求解太烦琐和复杂.本文将从介绍特征函数的定义、性质出发，来介绍如何用特征函数更方便、优越的表示随机变量的分布，并在随机变量的基本性质引导下，讨论并阐述特征函数的各种应用，以及一些相关定理的证明.借以加深大家对特征函数及其应用的认识.2.特征函数的定义及性质2.1特征函数的定义1.随机变量X 的特征函数是由X 组成的一个新的随机变量j x e ω的数学期望()()()cos()sin()j xE eE x iE x ωωωω=+-∞<<+∞，(其中，21i =)为随机变量X 的特征函数，记()ϕω. 2.离散型随机变量和连续型随机变量的特征函数分别表示为(){}()=ij x j X i iE e e P X x ωωϕω=⋅=∑()()()j Xj x X E ee f x dx ωωϕω+∞-∞==⎰2.2特征函数的主要性质(1)设1X ，2X 的特征函数分别为()1ϕω，()2ϕω,又1X 与2X 相互独立，则12X X X =+的特征函数为()()()12ϕωϕωϕω=⋅.(2)设随机变量X 有l 阶矩存在，则X 的特征函数()ϕω可微分l 次，且对k l ≤，有()()0()k k k i E X ϕ=(3) 设()ϕω是X 的特征函数，则aX b η=+的特征函数为()()()=i aX b ib aX b Ee e a ωωϕωϕω++=.2.3几种常见分布的特征函数(1)离散型分布 设X 服从离散分布，则(){}()=ij x j X i iE e eP X x ωωϕω=⋅=∑.(2) 泊松分布 设X 服从泊松分布，则证明[]1由特征函数的定义可得()()=Ee e i x i x f x dx ωωϕω+∞-∞=⎰令()it x y λ-=,则推论 设(),XαλΓ，则有)(1kk αλ+-,,,n X ),2,,n 是n 的分布为(,i N a σ由特征函数的性质()()1nj j ϕωϕω==∏可知X 的特征函数为若12,,X X 是一列独立同分布的随机变量，且22(),()(0),1,2,k k E X a D X k σσ==>=则有(),0k k n qn n P k C p q k n μ-==≤≤的随机变量.了解，而随着理论和实践的不断发展，对特征函数的研究也将会不断深化和完善.参考文献[1]孙俊锁.Gamma分布的特征函数及点估计[J].鞍山钢铁学院学报.2001,24(2):126-129.[2] 魏宗舒.概率论与数理统计教程[M]. 北京: 高等教育出版社.1983.[3] 王梓坤.概率论基础及其应用[M].北京:北京师范大学出版社.1996.[4] 杨振明.概率论[M].北京:科学出版社.2004.。
特征函数及其应用
特征函数及其应用摘要在概率论和数理统计中, 求独立随机变量和的分布问题是经常遇到的，经过人们不断的探索和研究，终于发现了另一个重要工具——特征函数，它是处理许多概率论问题的有力工具，它能把寻求独立随机变量和的分布的卷积运算（积分运算）转换成乘法运算，本文介绍了特征函数的基本概念、主要性质以及特函数的一系列应用.[关键词] 随机变量特征函数积分ABSTRACTIn probability theory and mathematical statistics, find the distribution of independent random variables and the problem is often encountered after people continue to explore and research, finally found another important tool - characteristic function, it is to deal with many problems of probability theory powerful tool, it can seek independent random variables and the distribution of convolution (integral computation) into a multiplication, this article introduces the basic concepts of characteristic function, the main character and the special function of the number of applications. [Key Words] Random variable ,Characteristic function ,Integration目录一、引言 (1)二、特征函数的定义 (2)三、常用分布的特征函数 (2)四、特征函数的主要性质 (3)五、特征函数的应用 (6)六、结论 (10)参考文献 .................................................................................... 错误！未定义书签。
高中数学北师大版必修五《1.2数列的函数特性》课件
二、以函数概念为载体，合理消化数列问题
设计意图：通过对数列中的通项公式，前 n 项和公式等这些特殊函数关系的 概念的理解与分析，充分认识 an 与 n ，Sn 与 n 之间的对应关系，从而合理地找到 解决问题的办法。
三、以函数图象为工具，直观简化数列问题
设计意图：函数图象是函数特征的直观体现，利用图象解决数学问题 （以形助数）是我们在解决问题中经常采用的手段。在数列中，我们可 以利用等差数列通项公式、前n项和公式及等比数列的通项公式中展示 的图象关系来解决问题，常常会起到意想不到的效果。
(1)证明：设 的公比为 ,由题设条件设
①当时
，从而
②当时
，从而
由①，②知， 根据对数函数的性质知
（2）解：要使 有
成立，则
①
②
①当时
，从而
由此可知：不满足条件①，即不存在常数c>0，使结论成立
②当时
，若条件①成立，因
且
，故只能有
即
此时，
但
时，
不满足条件②，即不存在常数c>0,使结论成立. 综合①②,即不存在常数c>0,使结论成立.
五、以构造函数为途径，奇妙转化数列问题
构造函数解决数学问题是函数思想中的中心所在，其实 质是把所求问题转化为以函数背景的问题，再利用函数的有 关概念、图象、性质来帮助解决，这样有利于培养学生的数 学思想方法与解题能力。
特征值与特征函数的理解
特征值与特征函数的理解
特征值是某特定矩阵的一个特殊值，它是通过对矩阵进行计算得出的，可以提供矩阵属性、实际应用中的影响等信息。
特征值可以用于研究一个
特定矩阵的性质，而特征函数就是用来计算特征值的一种函数。
特征函数
可以从矩阵定义中找出特征值，并且可以表示矩阵的特殊性质。
一般来说，特征函数是一类特殊的函数，可以通过将某种特定的数据映射到其它的数
据空间中来计算特征值。
特征值和特征函数是在数学和统计学中常见的概念，它们提供了有关线性数据分析的信息，并可以帮助进行模式识别。
特征函数定义
特征函数：让你更好地了解概率与统计学
特征函数是一个经典的数学工具，广泛应用于概率论和统计学中。
它是描述一个随机变量的方法之一，通过特征函数我们可以了解到随
机变量的重要特征，包括期望值、方差、偏度和峰度等。
在实际应用中，特征函数可以帮助我们解决很多有趣的问题。
首先，让我们来看看特征函数的定义。
特征函数是指对于一个随
机变量X，其特征函数φ(t)定义为E(e^(itX))，其中E表示取期望，
i是虚数单位。
简单来说，特征函数是随机变量概率密度函数的傅里叶变换。
接下来，我们可以根据特征函数来计算随机变量的期望值、方差、偏度和峰度等。
例如，随机变量的期望值可以表示为φ'(0)，方差可
以表示为φ''(0)-[φ'(0)]^2，其中φ'(t)和φ''(t)分别表示特征
函数的一阶导数和二阶导数。
除此之外，特征函数还可以用于推导随机变量之间的关系，比如
多维随机变量的独立性、联合分布等。
此外，特征函数还可以用于证
明中心极限定理，即当独立同分布随机变量的总和趋近于正态分布时，特征函数的极限值趋近于e^(-σ^2*t^2/2)，其中σ^2是方差。
最后，需要注意的是，特征函数并不是描述随机变量的唯一方法，还有很多其他的方法，比如概率密度函数、分布函数等。
但特征函数
具有很强的应用价值，可广泛用于概率与统计学中，因此值得我们深
入了解和掌握。
特征函数在极限理论中的应用
1. 集合列的特征函数1.1集合E 的特征函数定义：对于X 中的子集E ，作E X =⎩⎨⎧∉∈E x E x ,0,1称E X ：{}1,0→X 是定义在X 上的集合E 的特征函数。
由定义知，特征函数E X 在一定意义上作为集合E 的代表。
借助特征函数，集列的极限运算可转换特征函数的相应运算。
1.2定理：对任意的集合列{}n A ，有①n A n X ∞→lim =nn A X →∞lim， ②n A n X ∞→lim=n n A X→∞lim ，③集列{}n A 收敛的充要条件是它的特征函数列{}n A X 收敛，且n A n X ∞→lim =nn A X →∞lim定理说明了集列{}n A 取（上、下）极限的运算与求特征函数的运算是可交换运算的次序。
集列{}n A 收敛性与数列{}n A X 收敛性等价。
证明：由特征函数的定义，n A n X ∞→lim =1或0，x ∀，设n A n X ∞→lim =1⇔有无限个k n ，使得knA X =1，⇔有无限个k n ，使得k n A x ∈， ⇔ n n A x ∞→∈lim ，⇔n A n X∞→lim =1 （*1）x ∀，设n A n X ∞→lim =0⇔有无限个k n ，使得k n A X =0⇔有无限个k n ，使得k n A x ∉， ⇔n n A x ∞→∉lim ，⇔nn A X →∞lim =0 （*2）由（1）（2）式，得证。
2迭代数列收敛性与特征函数2.1.定义：设)(x F =()x f x -在区间I 上有定义，数列{}n x 满足迭代关系：1+n x =()n x f （n=1,2，……） （*3）若存在自然数N ，使得当n>N 时恒有∈n x I 成立，则称F （x ）和f （x ）分别为迭代数列（*3）在区间I 上的特征函数和迭代函数，而迭代数列（*3）称为F(x)在区间I 上的生成迭代数列。
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性质1 特征函数具有以下性质： (1) f (0) 1 (2) | f (t) | f (0)
(3) f (t) f (t)
证明：(1) 显然成立，下证明(2)
|f (t) || e
itx
dF(x) | |e i t x | dF(x)
注意到: eitx=costx+isintx，于是
x x1或x x2 , D x x1 -D x x2 0
x=x1 , 或x x2 , D x x1 D x x2 1 2
x1 x x2 , D x x1 D x x2 1
于是 引理得证.
设 x1<x2
证明: 设x,y是两个相互独立的随机变量，而z=x+y由 x,y的独立性可知两个复值随机变量eitx ,eity 也相互独 立，因此
Ee =Ee
i tz
i t(x y)
=E(e e )=(Ee )(Ee )
itx ity
i tx
i ty
性质5 设随机变量的n阶矩存在，则其特征函数 可微分n次，且当kn时：
|e |= cos tx sin tx 1
itx 2 2
从而
|f (t) | |e
itx
| dF(x) dF(x) 1
(3) 注意到z=a+ib,则 z=a-ib
f (t ) e
itx
f ( x)dx cos(tx) f ( x)dx i sin(tx) f ( x)dx
n n
3.控制收敛定理（Dominated convergence theorem）
若 lim f n f , a.e. 且存在可积函数ｇ,使得 | f n | g , a.e. n
则 lim f n d = lim f n d = fd .
n n
it ibt ita
f t e f at
ibt
it a +b ibt
=e Ee =e f at
特征函数与分布函数的关系
1.逆转公式 定理 (逆转公式) 设分布函数F(x)的特征函数 为f(t)，又x1,x2是F(x)的连续点，则
1 F x2 F x1 lim T 2
则
0 lim g T , x , x1 , x2 1 / 2 T 1
由狄里克莱积分
1/2 >0 1 sin t D dt= 0 =0 0 t -1/2 <0
可得
T
lim g T , x , x1 , x2 D x x1 D x x2
1 p x 2
e itx f t dt
证明 由逆转公式，若x-,x+是F(x)的连续点，则有 1 T sin t -itx F x+ F x lim e f t dt T T
t
两边同除以2,得
F x+ F x 1 T sin t -itx lim e f t dt T 2 T 2 t sin t -itx 注意到 t e f t | f t | ，由勒贝格控制收敛定理知
|x| A
A
A
|sin hx |dF(x) 也任意地小，从而证明了结论. 2
性质3 对于任意的正整数n及任意的实数t1,t2,…tn和 任意的复数1,2,..., n有
f (t
k 1 j1
n
n
k
t j )k j 0
该性质我们称之为非负定性. 证明： f (t k t j )k j { e
i (t h)x
ei t x |dF(x)
ihx
1|dF(x)
|x| A
2
|x| A
dF(x) |e
A
A
ihx
1|dF(x) 2
dF(x) 2 |sin hx |dF(x) 2
A
A
注意到上式的右边已经与t无关，故可以选足够大的 A使得 dF(x) 任意小 ，然后选充分小的|h|,可使得
第二讲: 重要收敛定理与随机变量的特征函数
一、几个重要收敛定理 1.Fatou(法都)引理 设 fn (), n 1, 2,..., 是(,F,)上的可积函数，且
fn () 0, n 1
则
lim inf
n n
f n ( )d lim inf f n ( ) d
n n
该定理表明此时可以将极限与积分交换次序.
但是两者不相等！
2.单调收敛定理(Monotone convergence theorem).
若 0 f1 f 2 ...and lim f n f , a.e. n
则 lim f n d = lim f n d = fd .
n
j )dF(x)
( e
k 1
i tk x
k )( e j )dF(x) （用到例２）
i t jx jห้องสมุดไป่ตู้1
f (t
k 1 j1
n
n
k
t j )k j | e
k 1
n
i tk x
k | dF(x) 0
2
性质4 两个相互独立的随机变量之和的特征函数等 于它们的特征函数之积.
6.复数的n次方(棣美弗公式) 设z=rei，则zn=rnein=rn(cosn+isinn) 7.复数运算性质：
例1：两个复数和的共轭等于共轭的和， 乘积的共轭等于共轭的乘积. 证明：设z1=a+bi,z2=c+di,则z1+z2=(a+c)+(b+d)i 于是z1+z2的共轭为： (a+c)-(b+d)i=(a-bi)+(c-di)=z1+z2
） f（k（）= i k E k 0 k d 证明 由于 eitx | i k x k eitx || x |k k dt
且随机变量存在ｎ阶矩，故
| x |k dF x
f t eitx dF x 计算ｎ阶导数，可 于是对
以在积分号内进行，即有
T
it x x2
[
-
T
e
it x x1
e
it x x1
0
e it
it x x2
+e
dt]dF x
[
-
1
T
sin t x x1 sin t x x2 t
0
dt]dF x
2.随机变量的特征函数
定义 设F(X)是随机变量X的分布函数，称F(X)的 Fourier-Stieltjes变换
f (t) Ee
itX
e i t x dF(x) ,(i 1)
为随机变量的特征函数(简记为c.f.)或c.h.f. lnf(t)称为第二特征函数 随机变量的特征函数具有以下性质：
3.复数指数式 尤拉公式：ei=cos+isin z=rei 称为复数z的指数式
4.共轭复数 设有复数z=a+bi，则称a-bi为复数z的共轭复数， 记为z. 5.复数的四则运算 设z1=a1+ib1,z2=a2+ib2，则 z1z2=(a1 b1)+i(b1 b2) z1z2=(a1a2-b1b2)+i(a1b2+a2b1) z1/z2= z1z2/||z2||2 %分母实数化
1 IT 2 e itx1 e itx2 1 f(t)dt T it 2
T
e itx1 e itx2 itx T it e dF(x)dt
T
1 将上述积分交换顺序得 IT 2
1 2
e itx1 e itx2 itx - [ T it e dt]dF x
g T , x , x1 , x2 1
e itx1 e itx2 T it f t dt
T
首先证明如下引理：设x1<x2，
T
0
sin t x x1 sin t x x2 dt t t
x x1或x x2 x x1或x x2 x1 x x2
ity T e 1 e itx F x lim lim f t dt 2 y T T it
此即表明分布函数由其特征函数唯一确定.特别地， 当f(t)绝对可积时，有下列更强的结果:
定理：若 | f t | dt ，则对应的分布函数F(x)处处有 连续的导数p(x)=F’(x)，且对每一个x有
三、随机变量的特征函数及其性质
1. 复值随机变量 若X,Y都是概率空间 (, F , P) 上的实值随机变量， 则称 X iY,(i= -1) 为复值随机变量,且
E EX iEY X iY 称为 的共轭随机变量，且
E E
证明：
E E( X iY ) EX iEY E
|g 由引理可知： T , x , x1 , x2 | 有界，根据勒贝格控制收 敛定理 lim I lim g T , x , x , x dF x F x F x 2 1 T 1 2 T T