第2章 资金的时间价值

F
0 1 2 3 4 5 6 n-1 n
A=?
例题4:若要在五年以后偿还包括利息在内的300万 元的资金，年利率为8％，问每年应偿还多少？
A＝300×(A/300,8%,5)=51.137（万元）
五、资本回收公式
若在第一年年初从银行借入一笔资金P，年利率为i， 这笔资金在以后的n年内等额偿还，问每年应偿还多 少？ 由 得A
0
1
2
3 1年
4 2年
8 3年
12（季度）
第二章
资金的时间价值
2.1基本概念 2.2资金时间价值的计算 2.3名义利率与实际利率 2.4资金时间价值计算函数
2.1 基本概念
2.1.1 资金的时间价值
2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5 2.1.6
利息与利率 单利与复利 现金流量图 现值与终值 时值和等值
2.1.7 年金
2.2资金时间价值的计算
2.2.1 单利计算法 2.2.2 复利法
2.2.1单利计算法
单利法是以本金为基数计算资金时间价值的 方法，不将利息计入本金之内，利息也不再 产生利息。
年份 1 2 3 … 本金 P P P …
当年应计息
P· i P· i P· i …
本利和 P（1＋i） P（1＋2i） P（1＋3i） …
复利终值公式：F=P（1+i）n=P（F/P,i,n）
F——终值（或本利和） P——现值（或本金） i——年利率 n——计息周期数（年） (1+i)n——复利终值系数，其标准表达式为（F/P,i,n） 所以，复利终值计算公式又可以写成：F= P（F/P,i,n）
F=?
0
1
2
3
n-1
n
P
例题1，假设现在把1000元钱存入银行，年利率为 8％，问三年后帐上有存款多少?
2.1.4 现金流量图
现金流量图：任何一个项目，在建设、生产 经营过程中，总有资金的流入和流出，如把 项目资金的流入和流出情况，按照它们发生 的时间，标绘在图上，这个图就叫做现金流 量图 。 现金流量图一般包括以下三个要素：
第一、带有计息周期的数轴； 第二、表示资金流入和流出多少的箭线； 第三、折现率。
F＝1000×（1＋0.08）3=1259.7元
二、复利现值公式
若已知在第N年末需要一笔资金F，年利率为 i，问 现在应向银行存入多少钱才能满足将来的需要？
复利现值公式:P=F(1+i) -n=F(P/F,i,n) （1+i）n——复利现值系数， 其标准表达式为（P/F,i,n） 所以，复利现值计算公式又可以写成：P=F(P/F,i,n)
F
0 P
1
t
n
2.1.6 时值和等值
时值：一笔资金在不同的时点上具有不同的 数值，这些不同的数值就叫做这笔资金在不 同时点上的时值，用T表示。 等值：在不同的时点上的两笔不同数额的资 金具有相同的经济价值，用E表示。
121 110 0 1 100 2 3 4 n.1 n 132
2.1.7 年金
2.1.2 利息与利率
利息：资金所有者将资金存入银行而暂时失 去其使用权而获得的补偿。 F=P+I 利率：利息与本金的比值，一般以年为计息 周期，有时也以季、月、旬、周、日为计息 周期，相应的就有年利率、季利率、月利率 等。 i=I/P
2.1.3 单利与复利
单利：一笔资金，无论存期多长，只有本金 计取利息，而利息在下一个计息周期内不计 算利息的计息方法。 复利：一笔资金，除本金产生利息外，在下 一个计息周期内，以前各计息周期内产生的 利息也计算利息（即“利生利”）的计息方 法。
年金：按照固定的、间隔时间相等的期间， 陆续支付或领取的一系列同额款项，用A表 示。 若存入或支取的时间均在年初，则这种年金 称为先付年金；若存入或支取的时间均在年 末，则这种年金称为普通年金或后付年金。 若存入或支取的时间均在年末，且期限为无 限，则这种年金称为永续年金。一般情况下， 讨论的年金是指后付年金。
F
0
1
2
3
n-1
nຫໍສະໝຸດ Baidu
P=?
例题2:假设你希望在第五年末得到1000元钱的存款 本息，银行年利率为8％，现在你应当在银行里存入 多少钱？ P＝1000×(1+0.08)-5=680.58元
三、年金终值公式
假如从第一个计息周期的期末开始，以后各个计息周期末 都向银行存入一笔钱A，年利率为i，到第n个周期期末时 一次取出，问能够取出多少钱来？
A.名义利率
B.有效利率
C.贷款利率 D.基准折现率
多选题
1.某企业向银行借款100万元，借期5年，借款利率为l0%， 半年复利一次，第5年末一次归还额的计息公式为（ C、D）。 A.100（1+0.10）5 C.100（1+0.05）10 E.100/5（1+0.05）5 B.100（1+0.05）5 D.100（1+0.1025）5
6.若名义利率一定，则年有效利率与一年中计息周期数m的关系为 （ C）。
A.计息周期增加，年有效利率不变
B.计息周期增加，年有效利率减小 C.计息周期增加，年有效利率增加
D.计息周期减小，年有效利率增加
7.工程经济分析中，如果各方案的计息期是不同的，为确保能对各方案 做出正确评价，应用下列（ B）。
P=?
0 1 2 3 4 5 6 n-1 n
年金现值公式:P=A(P/A,i,n) =A[(1+i)n-1]/i(1+i)n 例题6:为在未来的十年中，每年年末取回5 万元，现 需以年利率8％向银行存入多少现金？ P＝5×(P/5,8%,10)=33.55（万元）
2.3名义利率与实际利率
2.3.1概念
2.若名义利率为r，一年中计息周期数为m，计息周期的有效利率为r/m， 则年有效利率为（ A）。 A.（1+r/m）m-1 C.（1+r/m）m.r-1 B.（1+r/m）m+1 D.（1+r/m）m-1
3.某笔贷款的利息按年利率为10%，每季度复利计息。其贷款的年有效利 率为（ A）。 i=（1+0.10/4）4-l＝10.38%
四、偿债基金公式（或存贮基金公式）
若已知在第n年年末应偿还的本利和为F，年利率为 i， 问每年等额偿还多少？这时所求得的偿还额就叫做偿债基金； 若某人在第n年末需要从银行取出资金F，年利率为i，问他 从现在开始，每年年末向银行存入多少钱？此时求得的数值 就叫做存贮基金。
由
得
偿债基金公式: A=F(A/F,i,n) = F*i /[(1+i)n-1]
解：甲行的实际利率ir＝in＝17％， 16% 12 乙行的实际利率ir＝（1＋ 12 ) 1 ）=17.27% 因为乙行的实际利率略高于甲行的实际利率，故向甲行贷款为宜。
举例: 年利率为12%，按季复利计息，试求年实际利率。
解：i = (1+12%/4)4-1 = 1.1255-1 = 12.55% 【单选题】一项1000万元的借款，借款期3年，年利率为5 ％，若每半年复利一次，年实际利率会高出名义利率 （ ）
A.0.16％ 【答案】C 【解析】根据实际利率和名义利率之间关系式： B.0.25％ C.0.06％ D.0.05％
实际利率＝（1+5%/2）2-1 = 5.06 %
1.在以下各项中，年有效利率大于名义利率的是（ A）。 A.计息周期小于一年 B.计息周期等于一年
单选题
C.计息周期大于一年
D.计息周期小于等于一年
A.10.38%
C.10.46%
B.10%
D.10.25%
4.有四个投资方案：甲方案年贷款利率6.1l%；乙方案年贷款利率6%，每 季度复利一次；丙方案年贷款利率6%，每月复利一次；丁方案年贷款利率 6%，每半年复利一次。则方案贷款利率最少的是（C ）。 A.甲 B.丙 C.丁 D.乙
5.某笔贷款，名义利率为8%，每季度复利一次，则每季度的有效利率为 （ B）。 A.8% B.2% C.2.67% D.8.24%
2.1.4 现金流量图
在绘制现金流量图时，应把某一个计息周期内的现金 流入和现金流出均绘于该计息周期的期末，现金流入，箭 线向上画，现金流出，箭线向下画。箭线的长短，不严格 要求按比例绘制，但应大体按比例绘制（如图）。
2.1.5
现值与终值
现值：发生在（或折算为）某一特定时间序 列起点的费用或效益，用P表示。 终值：发生在（或折算为）某一特定时间序 列终点的费用或效益，用F表示。
A＝10000×(A/10000,8%,10)=1490.30（元）
六、年金现值公式
若已知每年年末都有一笔固定金额的收入（从第一年的年 末开始），年利率为i，若将n个计息期末的年金均折算到0 点，问相当于现值多少？ 由：
得年金现值公式:P=A[(1+i)n-1]/i(1+i)n =A(P/A,i,n)
F=A(1+i)n.1+A（1+i）n.2+A(1+i)n.3+……+A(1+i)+A (1) 将上式两边同乘（1+i）得 F（1+i）=A(1+i)n+A(1+i)n.1+A(1+i)n.2+……+A(1+i)2+A(1+i) (2) 式（2）减去式（1）得F*i=A(1+i)n—A
A——年金；F——终值 ——年金终值系数，其标准表达式为（F/A,i,n） 所以，年金终值公式又可以写成F=A(F/A,i,n) 。
2.3名义利率与实际利率
由此可以看到，同一笔资金在占用的总时间相同的情况 下，所付的利息会有明显的差别。结算次数越多，给定 利率产生的利息就越多。因此，在方案的经济比较时， 必须把各方案中的利率，全部换算成实际利率后，然后 再进行比较。
例题 7：某厂向外商订购设备、有两个银行可以提供贷款，甲银行 年利率为17%，计息周期为一年，乙银行年利率为16%，计息 周期为一个月，试问向哪家银行贷款较优？
2.3.2 实际利率的应用 实际利率是指剔除通货膨胀率后储户或投
资者得到利息回报的真实利率。在实际利率的
应用过程中，可能会出现以下三种情况，即计
算期与支付期相同，计算期短于支付期和计算
期长于支付期。
一、计息期与支付期相同——可直接进行换算求得
例题8 设年利率12％，每季计息一次，从现在起三年内 以每季末200元的等额值支出，问与其等值的终值是多少？ 解：根据题义，可以绘制如图所示的现金流量图。 200
2.1.1 资金的时间价值
资金的时间价值：是指同样数额的资金在不 同的时间点上具有不同的价值。资金的时间 价值随着时间的推移而发生变化，引起变化 的原因有通货膨胀、承担风险和货币增值三 个方面。 资金具有时间价值是有一定条件的。作为贮 藏手段的货币，不论经过多长时间，仍为同 数量货币，金额不变。只有用于投资和储蓄 的货币才有时间价值。资金时间价值的实质 是人们劳动创造新价值的结果。
——资本回收系数 它的标准表达式为（A/P,i,n） 所以，资本回收公式又可以写成A=P(A/P,i,n) 。
P
A=?
资本回收公式:A=P(A/P,i,n) =Pi(1+i)n/[(1+i)n-1] 例题5:元旦某人将10000元存入银行，年利率为8％，他想 从第一年的12月31日起，分十年每年年末等额取回，问他 每年可以取回多少？
N
P
P· i
P（1＋ni）
2.2.2复利法
复利法是以本金和累计利息之和为基数计算资金时 间价值的方法。 普通复利计算的基本公式有六个 ： 一、复利终值计算公式 二、复利现值公式 三、年金终值公式 四、偿债基金公式（或存贮基金公式） 五、资本回收公式 六、年金现值公式
一、复利终值计算公式
若在第一年年初，存入银行一笔资金P，年利 率为i，那么，第n年年末的本利和应是多少？
在实际应用中，计息周期不一定以一年为单位，可以按半年、 一个季度、一个月、一旬或一周等为一个计息周期。相同的年利率， 由于在一年中的计息次数不同，其利息也不同，因而就产生了名义 利率与实际利率。名义利率（或称虚利率），就是非实效利率，而 实际利率是有效的利率。若名义利率用in表示，实际利率用ir表示， 一年中计息n次，那么，每期的利率为 in/n 因此，
F=?
0 1 2 3 4 5 6 ….. n-1 n
A
例题3 某人每到年末向银行存款500元钱，连续十年， 银行利率为8％，问第十年末他的帐上有存款多少？
F＝500×(F/500,8%,10)=7243.25（元）
以上公式是普通年金的年金终值计算公式，请同学自己推导 一下先付年金的年金终值计算公式，并找出两者之间的差别。