单元法课后习题全部答案 王勖成

习题 1.2： 在用有限元法求解时，边界条件总是满足的，控制方程的不完全匹配，会产生误差。题中所
给出的近似函数：φ =a0 + a1x + a2 x2 + a3x3 ，应该满足边界条件，对于情况（1），代入边
界条件可= 得 a0
0= , a3
1− a1L − a2L2 ，从而 L3
φ=
a1 ( x
−
aL − 2ax ，
w ′′ =
d 2w dx2
=
−2a
∫ = Π(w)
L 0
EI 2
4a2
+
k 2
a2 x2 (x
−
L)2
+
qax( x
−
L)dx
= 2EILa2 + ka2L5 − qaL3 60 6
∂Π ∂a
=4EILa + kaL5 30
− qL3 6
=0
→
a
=− 5qL2 120EI +
收敛性意义：当在 ∞ 维空间中选取试探函数，当试探函数的数目趋于 ∞ 时，利用里兹法得
到的近视解将收敛于精确解。
收敛条件：1 完备性，2 试探函数满足 Cm−1 连续性
思考题 1.0 里兹法的优缺点？举例说明 优点：理论简单，收敛性有严格的理论基础，得到的求解方程的系数矩阵是对称的，在场函 数事先满足强制边界条件情况下，解具有上下界性质。 缺点：当求解域的形状很不规则时候，里兹法所要找的试探函数难以满足全部的强制边界条 件，这样会降低精度。另外，由于其是基于变分原理，对于没有等价泛函的问题无法处理。
Γ
δ
w
∂3w ∂y3
n
y
ds
−
∂(δ w)
Ω ∂y
∂3w ∂y3 dxdy
∫ ∫ ∫ =δ w Γ
∂3w ∂y3
ny
ds
−
Γ
δ
∂w ∂y
∂2w ∂y 2
ny ds
−
Ω
δ
∂2w ∂y 2
∂2w ∂y 2
dxdy
代入（1）化简，并利用：
= ∂w ∂n
∂w ∂x
nx
+
∂w ∂y
ny
kl
4
w = − 1205EqIL+2 kl5 x(L − x)
当x= L， 2
wmax =
−
480
5qL4 EI + 4kL4
精确解 w( L ) = 5qL4 ？？？，应该是三角级数更接近精确解。因为是最小位能原理建立的 2 384EI
泛函，因此近似解比精确解要偏小。因此只要比较三角函数和幂函数的结果，就可以知道哪 个更精确了。另外，取不同的阶数，逼近速度不同，三角函数更快。 （注意：只要满足强制边界就可以，怎么判断是强制还是自然？）
)
+
a2
(2
−
6x L
)
+
6x L3
+
Q(x)
不同的求解方法，如配点法、子域法和伽辽金法，只是残量在某种意义上某个区域加权积分
为零。
配点法强制残量 R(x)在有限个点严格为零，点的个数取决于未知数个数，这里为 2，通常取
所选的点在域内均匀分布，则取 x=L/3 和 x=2L/3 处，R(x)=0,这样得到
习题 1.6 两端简支弹性基础上的梁受均不载荷。
∫ = Π(w)
L
EI
0 2
d 2w dx2
2
+
kw2 2
+
qwdx
∑ （1）
选取满足边界条件
的三角级数近似解 w =
n i =1
ai
sin
iπ x L
，
w = a sin π x ，= w ′ L
d=w dx
aπ L
cos π x ， w ′′ = L
= R( L) 3
0= , R( 2L) 3
0 ，从而可以解出待定系数 a1, a2 。带入（1）式可以得到φ 。
配点法仅考虑了有限个点的局部特性，子域法则要求在有限个子域 Ωi 内残量的积分
∫ R(x)dx = 0 为零，子域的个数仍然取决于未知函数个数，通常选取各子域的并集为整个 Ωi
待求区域，一般情况可以选择各子域大小相同，但对于某些局部变化较复杂的区域，可以缩 小子域的大小，使得子域分布更合理。例如取子域为
−
f
( xk
)]
m
m
∑ ∑ = =k
1= AT (N j )A (N i )ai − k
1
AT
(N
j)f
= Ka-P
(写成矩阵形式)
m
∑ = 因此， kij k= =1 AT (N j )A (N i ) k ji ， 系数矩阵对称，且无需积分。
复习题 1.7 自然边界条件强制边界条件的区别何在?为什么这样命名？对于一个给定的微分方程，如何 区分这两类边界条件？
自然边界条件与强制边界条件，二者都是针对边值条件来说的。边值条件一般有三类边界条件。第一类：狄里克莱(Dirichlet) 条件；第二类，诺依曼(Neumann)条件；第三类，前两者的混合条件，也叫洛平(Robin)条件
在选择近似函数时，已经事先满足的边界条件为强制边界条件。而自然边界条件则是在将等 效形式化为弱形式时包含在边界积分场上的边界条件。 对于 2m 阶微分算子，含 0 到 m-1 阶导数的边界条件称为强制边界条件，近似函数应该事先 满足。含 m 到 2m-1 阶导数的边界条件称为自然边界条件，近似函数不必事先满足。对于给 定的微分方程，判断其阶次，再依据边界所含导数阶数可区分两类边界。
解：近似函数为
u(x)
=
N
i
(
x)ai
，不失一般性
余量为：
R(x)
=
A(u)
−
f
(x)
=
A(
Ni
(
x)ai
)
−
f
(x)
最小二乘配点法取权函数
w
j
= ∂∂a j A(Niai )δ (x − xk ) 其中j=1,...,n;
k=1,...,m
且m ≥ n
∫ 加权余量要求
Ω
w
j
Rd
∫δ Ω
w
∂4w ∂x 2 ∂y 2
dxdy
∫ ∫ =
δ
Γ
w
∂3w ∂x∂y 2
nxds
−
δ
Ω
∂w ∂x
∂3w ∂x∂y2
dxdy
∫ ∫ ∫ =δ Γ
w
∂3w ∂x∂y2
nx ds
−
Γ
δ
∂w ∂x
∂2w ∂y 2
nx ds
−
Ω
δ
∂2w ∂x2
∂2w ∂y 2
dxdy
∫ ∫ ∫ =
可得最终结果（略）。
∫ ∫ ∫
Γ
δ
w
∂3w ∂x3
d 2w dx2
δ
dw dx
−
d 3w dx3
δ
w
L 0
= 0
∫ 1.5 如有一问题的泛函= 为 Π(w)
L
EI
0 2
d 2w dx2
2
+
kw2 2
+ qwdx ，其中 E,
I,
k 是常数，q
是给定函数，w 是未知函数，试导出原问题的微分方程和边界条件.
∫ = δΠ(w)
L 0
−θ
ds
= 0 （1）
分部积分得
∫ ∫ ∫ Ω= δ w ∂∂4xw4 dxdy
Γ
δ
w
∂3w ∂x3
nx
wk.baidu.comds
−
∂(δ w)
Ω ∂x
∂3w ∂x3 dxdy
∫ ∫ ∫ =δ w Γ
∂3w ∂x3
nx
ds
−
Γ
δ
∂w ∂x
∂2w ∂x2
nx ds
−
Ω
δ
∂2w ∂x2
∂2w ∂x2
dxdy
EIπ 5 + kπ L4
w=
−
4qL4
πx sin ，
EIπ 5 + kπ L4 L
当x= L， 2
wmax =
− 4qL4 EIπ 5 + kπ L4
（2） 选取满足边界条件的幂级数近似解
w = x(L − x)(a1 + a2x + ....) 取一次 w = ax(L − x)
w= ′
dw= dx
+
kw
+
q
=0
边界条件： d= 2w d= 2w 0 ， d= 3w d= 3w 0
dx2
dx2
dx3
dx3
=x 0=x L
=x 0=x L
分强制边界和自然边界。
补充题 试作加权余量发的最小二乘配点法，并给出所得到的求解方程系数矩阵的特点分析。 （最小二乘配点法思路是，利用使求解域内所选各点处误差平方的总和为最少的条件，去建 立求解试函数系数的方程。配点法是强迫余量误差在所选点上为 0，最小二乘配点法则是余 量在所选点上的误差，满足平方和最小。）
习题 1.7
δΠ
∫Ω
k
∂φ ∂x
∂δφ ∂x
+
k
∂φ ∂y
∂δφ ∂y
−
Qδφ
dΩ
−
∫Γq
[αφ
−
q ]δφdΓ
∫ ∫ ∫ −
Ω
k
∂2φ ∂x2
+
k
∂2φ ∂y 2
+
Q δφ d Ω
+
Γ
k
∂φ ∂n
δφ
dΩ
−
[αφ − q ]δφdΓ
Γq
∫ ∫ ∫ −
Ω
k
∂2φ ∂x2
+
k
∂2φ ∂y 2
d2w = dx2
−
aπ 2 L2
sin
πx L
∫ = Π(w)
L EI
0
2
a2π 2 L2
sin 2
πx L
+
k a2 sin2 2
πx L
+
qa
sin
πx L
dx
=
EIa2π 4L3
4
+
kLa2 4
+
2L π
qa
∂Π =EIπ 4a + kLa + 2Lq =0 → a =− 4qL4
∂a 2L3 2 π
思考题 1.8 泛函在什么条件下有极值？了解泛函是否有极值的意义何在？
= δΠ 0 且或δ 2Π > < 0 ， 泛函极值性对于判断解的近似性质有意义，利用它可以对解的
上下界做出估计。 思考题 1.9 什么是里兹法？通过它建立的求解方法有什么特点？里兹方法收敛性的定义是 什么？收敛条件是什么？ 里兹法：在某一函数空间寻找试探函数，利用加权值的独立变分性将该函数的驻值问题转化 为该函数关于权值的极值问题。其特点是：试探函数是全域的，解的精度依赖于试探函数的 选取，其收敛性有明确的结论。
δ
w
L
+
L 0
EI
d 4w δ dx4
wdx
0
0
= δΠ(w)
∫L 0
EI
d 2w dx2
δ
d 2w dx2
+
kwδ
w
+
q= δ wdx
+
EI
d 2w dx2
d (δ w) dx
L
−
EI
d 3w dx3
δ
w
L
0
0
∫L
0
EI
d 4w dx4
+
kw
+
q
δ
wdx
微分方程：
EI
d 4w dx4
+
Q
δφ
dΩ
+
Γ−Γq
k
∂φ ∂n
δφ
dΩ
−
Γq
αφ
−
q
−
k
∂φ ∂n
δφ d
Γ
欧拉方程： k
∂2φ ∂x2
+
k
∂2φ ∂y 2
+
Q
=0
Γφ
自然边界： αφ
−
q
−
k
∂φ ∂n
=0
Γ
−
Γq
强制边界：
k
∂φ ∂n
=0
习题 1.8： 板弯曲问题的平衡方程为：
∂4w ∂x4
+
2
∂4w ∂x 2 ∂y 2
EI
d 2w dx2
δ
d 2w dx2
+
kwδ
w
+
qδ
wdx
∫ ∫ L 0
EI
ddx2= w2 dd2δx2w dx
EI
d 2w dx2
d (δ w) dx
L
−
L
EI
0
d 3w dx3
d
(δ w) dx
dx
0
∫ =
EI
d 2w dx2
d (δ w) dx
L
−
EI
d 3w dx3
Ω
=0
∫ ∫ = Ω w j R dΩ
∂
Ω
∂a
j
AT
(
N i
(
x)ai
)δ
(
x
−
x k
)
[
A(
N i
(
x)ai
)
−
f (x)]dΩ
∫ =
Ω
AT
(N
j (x))δ
(x
−
x k
)
[
A(
Ni
(
x)ai
)
−
f
( x)]d Ω
∑{ } m
=
k =1
AT
(
N
j
(
xk
))
[
A(
N i
(
xk
)ai )
Ω
δ
∂2w ∂x2
∂2w ∂y 2
dxdy
−
Γ
δ
∂w ∂x
∂2w ∂y 2
nx
ds
+
δ
Γ
w
∂3w ∂x∂y2
nx ds
∫ ∫ ∫ =
Ω
δ
∂2w ∂y 2
∂2w ∂x2
dxdy
−
Γ
δ
∂w ∂y
∂2w ∂x2
ny
ds
+
δ
Γ
w
∂3w ∂y∂x2
ny ds
∫ ∫ ∫ Ω= δ w ∂∂4yw4 dxdy
+
∂4w ∂y 4
q ( x,
= D
y)
位移边界条件
=w w= , ∂w θ ∂n
加权余量法（事先满足强制边界条件 w = w ， ∂w = θ ）得到等效积分形式： ∂n
∫ ∫
Ω
δ
w
D0
∂4w ∂x4
+
2
∂4w ∂x 2 ∂y 2
+
∂4w ∂y 4
−
q dxdy
−
Γθ
δ
w
∂w ∂n
∫ ∫ Ω=1
{x | 0 ≤ x ≤ L / 2}, Ω=2
{x | L / 2 ≤ x ≤ L} ，则利用= R(x)dx Ω1
0= , R(x)dx Ω2
0，
可以求出待定系数 a1, a2 。
伽辽金法作为加权余量法的特殊形式，权函数选择为插值函数 N1, N2 ，
∫ 这里
N1
(
x)
= x − Lx23 , N
x3 L2
)
+
a2 (x2
−
x3 L
)
+
x3 L3
（1）
x3 上式中的最后一项 L3 前面没有待定系数，这是由于使用了在 x=L 处φ=1 的强制边界条件。
从物理意义上说，相当于给定边界条件的解为齐次方程的通解加一个特解的缘故。将（1）
式代入教材（1.2.26）式，得到残量：
R(
x)
=
a1 (−6
x L2
2
(
x)
= x2 − x3 ，这样，利用 L
Ω Ni (x)R(x)d=x
0=, i
1, 2 可以求出待
定系数 a1, a2 。
对于其余边界条件情况可依此类推。
练习题 1.4，注意近似函数要满足边界条件，从而可知截面及坐标系如图所示：
，很多同学把积分区域弄错了，也有不少同学计
算错误。这里，由于边界为零，采用泛函及其弱形式得到的积分结果是相同的。最终计算得 到：a1=4608/(13π4), a2=-512/(15π4), a3=-1536/(85π4)。 练习题 1.5，泛函的欧拉方程基本没太多问题，泛函为零得到边界条件：