2018人大附高一上期中考试数学及答案
2018-2019学年北京市人大附中高一上学期期中考试数学试题(解析版)
2018-2019学年北京市人大附中高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．设集合，，若，则实数a的值为（）A．2 B．C．D．【答案】D【解析】由A，B，以及两集合的交集，确定出a的值即可．【详解】∵集合，，，∴a=2或a2=2，即a=2或，当a=2时，A={2，4，0}，B={2，4}，此时A∩B={2，4}，不合题意；当a=时，A={，2，0}，满足题意，当a=时，A={，2，0}，满足题意故选：D．【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了元素的三要素，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．计算的结果是（）A．B．C．－D．－【答案】A【解析】先把化为，再利用对数的运算性质得到对数的值.【详解】，故选A .【点睛】对数有如下的运算规则：（1），；（2）；（3）；（4） .3．下列函数中，是偶函数的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．【详解】对于A，，所以为奇函数，不满足题意；对于B，的定义域为（0，+∞），为非奇非偶函数，不满足题意；对于C，，为奇函数，不满足题意；对于D，，为偶函数，满足题意.故选：D【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，比较基础．4．函数的零点所在的区间是（）A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)【答案】B【解析】因为函数为上的增函数，故利用零点存在定理可判断零点所在的区间.【详解】因为为上的增函数，为上的增函数，故为上的增函数.又，，由零点存在定理可知在存在零点，故选B.【点睛】函数的零点问题有两种类型，（1）计算函数的零点，比如二次函数的零点等，有时我们可以根据解析式猜出函数的零点，再结合单调性得到函数的零点，比如；（2）估算函数的零点，如等，我们无法计算此类函数的零点，只能借助零点存在定理和函数的单调性估计零点所在的范围.5．已知，则函数的大致图像是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用平移变换即可得到函数的大致图像.【详解】∵∴函数的图象是由向右平移一个单位得到，故选：A【点睛】本题考查了函数的图象变换知识，属于基础题.6．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．c＞a＞b【答案】B【解析】可利用为上的增函数得到的大小关系，再利用换底公式得到利用为上的增函数可得的大小关系，最后得到的大小关系.【详解】因为为上的增函数，故，故 .又由换底公式可知，因为上的增函数，故，故即，综上，，故选B.【点睛】本题考察对数的大小比较，属于基础题.7．已知，恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因，故原不等式等价于在上恒成立，故可得实数的取值范围.【详解】因为，故，故在上恒成立等价于在上恒成立，故即，故选D.【点睛】一元二次不等式的恒成立问题，可通过其对应的二次函数的图像和性质来讨论，也可以用参变分离的方法把恒成立问题转化为一个新的函数的最值问题，特别地，如果一元二次不等式对应的函数解析式可以因式分解，则可以把恒成立的问题转为一元一次不等式的恒成立问题.8．设函数，其中表示不超过x的最大整数，若函数的图象与函数的图象恰有3个交点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用当时有，故函数在具有“局部周期性”，故可在平面直角坐标系中画出函数的图像，结合的图像与的图像有3个交点可以得到实数的取值范围.【详解】，而，故当时，，故在上的图像如图所示：因为的图像与的图像有3个交点，故，故，故选D.【点睛】不同函数图像的交点问题，关键在于正确刻画函数的图像，可以用图像变换的方法把复杂函数的图像归结基本初等函数的图像的平移或对称变换等，也可以根据解析式的特点先刻画函数的局部图像，再根据函数的性质得到其他范围上的图像.二、填空题9．计算：＝________.【答案】1【解析】利用对数的运算规则可得计算结果.【详解】因为，故填.【点睛】对数有如下的运算规则：（1），；（2）；（3）；（4） .10．已知集合，，若，则实数的取值范围是______. 【答案】【解析】在数轴上画出两个集合对应的范围，利用可得实数的取值范围.【详解】如图，在数轴表示，因为，故，填.【点睛】含参数的集合之间的包含关系，应借助于数轴、韦恩图等几何工具直观地讨论参数的取值范围，解决此类问题时，还应注意区间端点处的值是否可取.11．函数的定义域为__________.【答案】【解析】解不等式可得函数的定义域.【详解】由题设有即，因，故，故函数的定义域为，填.【点睛】函数的定义域一般从以下几个方面考虑：（1）分式的分母不为零；（2）偶次根号（，为偶数）中，；（3）零的零次方没有意义；（4）对数的真数大于零，底数大于零且不为1.12．已知＝，则＝_________；若，则________．【答案】－10或2【解析】根据自变量的范围选择合适的解析式计算函数值即可，分段讨论可得何时.【详解】，故，因为，故或者，解得或 .综上，填，或.【点睛】分段函数的求值问题，应该自变量的范围选择适当的解析式去求函数值，如果知道分段函数的函数值，则应分类讨论求出不同范围上的自变量的值，也可以先刻画出分段函数的函数图像，结合图像求函数值或相应的自变量的值.13．已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围是________.【答案】【解析】根据函数在不单调可得且，从而得到实数的取值范围.【详解】若，则，在为减函数，不符题意，舎；若，则为二次函数，对称轴为，因为在不单调，故，所以，填.【点睛】含参数的多项式函数，我们要首先确定最高次项的系数是否为零，因为它确定了函数种类（一次函数、二次函数、三次函数等）.其中，一次函数的单调性取决于的正负，二次函数的单调性取决对称轴的位置及开口方向.14．如图放置的边长为2的正三角形ABC沿x轴滚动，记滚动过程中顶点A的横、纵坐标分别为和，且是在映射作用下的象，则下列说法中：① 映射的值域是；② 映射不是一个函数；③ 映射是函数，且是偶函数；④ 映射是函数，且单增区间为，其中正确说法的序号是___________.说明：“正三角形ABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动指的是先以顶点B为中心顺时针旋转，当顶点C落在x轴上时，再以顶点C为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正三角形ABC可以沿x轴负方向滚动．【答案】③【解析】根据滚动的过程在坐标平面中画出的运动的轨迹后可得正确的选项．【详解】运动的轨迹如图所示：则映射是一个函数且为偶函数，的值域为，也是一个周期函数，周期为，其增区间为和，，故选③．【点睛】几何图形在坐标轴上的滚动问题，应在坐标系中根据滚动的过程刻画出动点的轨迹，再从轨迹中找出对应函数的性质（如值域、单调性、奇偶性、周期性等）．此类问题忌凭空想象．15．已知函数，若0＜＜＜，且满足，则下列说法一定正确的是______.① 有且只一个零点②的零点在内③ 的零点在内④的零点在内【答案】①②【解析】函数为上的增函数，结合，可知①、②正确，因，故的符号为两正一负或全负，从而③、④错误．【详解】因为，均为上的单调增函数，故为上的增函数．因为，，由零点存在定理可知有且只有一个零点且零点在内，故①、②正确．因，故的符号为两正一负或全负，而，故或者，若，则零点在内；若，则零点在内．故③、④错误．综上，填①②．【点睛】本题考察函数的零点．一般地，函数零点问题须结合函数的单调性和零点存在定理来讨论，其中函数单调性的判断可依据增函数的和为增函数，减函数的和为减函数，增函数与减函数的差为增函数或同增异减（针对复合函数）等原则来判断，零点所在区间的端点应该根据函数解析式的特点来选取．16．关于函数的性质描述，正确的是___① 的定义域为② 的值域为③ 在定义域上是增函数④的图象关于原点对称【答案】①②④【解析】函数的定义域为，故，所以为奇函数，故①④正确，又，故可判断②正确，③错误．【详解】由题设有，故或，故函数的定义域为，故①正确．当，，此时，为上的奇函数，故其图像关于原点对称，故④正确．又，当时，；当时，，故的值域为，故②正确．由可得不是定义域上增函数，故③错．综上，选①②④．【点睛】对函数的性质的研究，一般步骤是先研究函数的定义域，接下来看能否根据定义域简化函数解析式，使得我们容易判断函数的奇偶性和周期性，因为一旦明确函数的奇偶性或周期性，我们就可以在更小的范围上便捷地研究函数的其他性质，最后通过研究函数的单调性得到函数的值域．17．在同一直角坐标系下，函数与(,)的大致图象如图所示，则实数a的可能值为______①. ②. ③. ④.【答案】②③【解析】根据图像，底数须满足，逐个检验可得正确的结果．．【详解】由图像可知且，因为，故①错．，故②正确．，故③正确．，故④错误．综上，选②③．【点睛】本题为图像题，要求能从两个函数的图像的位置关系中得到参数满足的条件，并能利用指数、对数知识进行数的大小比较．不同类型的数值大小比较应找合适的中间数进行不等关系的传递．18．已知函数在R上是增函数，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】因为是分段函数且为增函数，故，故可得实数的取值范围．【详解】因为为上的增函数，故，所以，填．【点睛】如果一个分段函数在为增函数（或减函数），那么该函数除了在每个分段上都是增函数（或减函数），分段处的端点处的函数值也应有相应的大小关系，后者在解题中容易忽视．19．非空有限数集满足：若，则必有．请写出一个满足条件的二元数集S ＝________．【答案】{0,1}或{－1,1}，【解析】因中有两个元素，故可利用中的元素对乘法封闭求出这两个元素．【详解】设，根据题意有，所以必有两个相等元素．若，则，故，又或，所以（舎）或或，此时．若，则，此时，故，此时．若，则，此时，故，此时．综上，或，填或．【点睛】集合中元素除了确定性、互异性、无序性外，还有若干运算的封闭性，比如整数集，对加法、减法和乘法运算封闭，但对除法运算不封闭（两个整数的商不一定是整数），又如有理数集，对加法、减法、乘法和除法运算封闭，但对开方运算不封闭．一般地，若知道集合对某种运算封闭，我们可利用该运算探究集合中的若干元素．20．已知直线上恰好存在一个点关于直线y=x的对称点在函数的图象上．请写出一个符合条件的实数a的值：________．【答案】只需满足或即可．【解析】的反函数为，故问题可以转化为与恰有一个公共点即可．【详解】的反函数为，故与的图像恰有一个公共点，当时，直线满足要求，当时，若与的图像恰有一个公共点，则（因为题设要求写出一个符合条件的实数，故可填一个负数即可，符合，待同学们学习了导数的相关知识后可求）【点睛】函数及其反函数的图像关于直线对称，因此与直线对称相关的函数问题可从反函数的角度去分析，一般地，函数的定义域就是反函数的值域，函数的值域就是反函数的定义域，而且单调函数必有反函数．三、解答题21．已知集合，.（1）求；（2）若，求实数m的取值范围．【答案】(1) (2)【解析】（1）求出不等式的解后可得．（2）因为，故对任意的恒成立，参变分离后可得实数的取值范围．【详解】（1）由得，故，所以．（2）由题知，当时，恒成立，即：当时，恒成立．在区间上的值域为，所以，即实数m的取值范围是．【点睛】集合的交并补运算往往和一元二次不等式结合在一起，解一元二次不等式时注意二次项系数的符号．另外，集合之间的关系往往蕴含着不等式恒成立或有解问题，此类问题可直接讨论对应的二次函数的图像性质或参变分离求参数的取值范围．22．已知函数是定义在R上的奇函数．（1）求的解析式及值域；（2）判断在R上的单调性，并用单调性定义予以证明．【答案】(1) , (2) 增【解析】（1）因为奇函数的定义域为，故可由得到的值及其函数解析式，结合指数函数的值域可得的值域．（2）利用单调性定义可证明为上的增函数．【详解】（1）由题知，，即：，故，．此时，为奇函数．因为，所以，，．（2）在上是增函数．证明：设，，则，，因为，，故，所以函数在上是增函数．【点睛】对于含参数的奇函数或偶函数，可利用特殊值求参数的值（注意检验），也可以利用恒等式或来求参数的值．而对于函数单调性的证明，定义法是关键，其基本步骤是作差、定号和给出结论（也可以作商，此时商应与1比较大小且要注意函数值的符号）．23．某公司共有60位员工，为提高员工的业务技术水平，公司拟聘请专业培训机构进行培训．培训的总费用由两部分组成：一部分是给每位参加员工支付400元的培训材料费；另一部分是给培训机构缴纳的培训费．若参加培训的员工人数不超过30人，则每人收取培训费1000元；若参加培训的员工人数超过30人，则每超过1人，人均培训费减少20元．设公司参加培训的员工人数为x人，此次培训的总费用为y元．（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）请你预算：公司此次培训的总费用最多需要多少元？【答案】(1) (2)50000【解析】（1）依据参加培训的员工人数分段计算培训总费用．（2）依据（1）求出函数的最大值即可．【详解】（1）当时，；当时，，故（2）当时，元，此时x＝30；当时，元，此时．综上所述，公司此次培训的总费用最多需要元．【点睛】本题考察函数的应用，要求依据实际问题构建分段函数的数学模型并依据数学模型求实际问题的最大值，注意建模时理顺各数据间的关系．24．若函数的图象恒过(0,0)和(1,1)两点，则称函数为“0-1函数”.（1）判断下面两个函数是否是“0-1函数”，并简要说明理由：①；②.（2）若函数是“0-1函数”，求；（3）设，定义在R上的函数满足：① 对,R，均有；② 是“0-1函数”，求函数的解析式及实数a的值．【答案】(1) ①不是②是，详见详解；（2）；（3），．【解析】（1）依据定义检验是否有可判断两个函数是否为“”函数．（2）由可得值从而求得函数．（3）分别令和从而得到，利用为“”可得，从而得到，由可得．【详解】（1）①不是，因为图象不过点；②是，因为图象恒过和两点．（2）由得，，故；由得，，故．所以，．（3）令得，，令得，，所以，．由②知，，故，从而，，由②又知，，于是，故．【点睛】本题为关于函数的新定义问题，此类问题一般是依据定义验证具体函数是否满足或给出新定义函数，求参数的值或范围．对于给出运算规则的抽象函数，我们可以通过赋值法求出一些特殊点的函数值或者函数的解析式，赋何值需根据运算规则和我们求解的目标而定．。
北京市人大附中数学高一上期中测试题(含答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：11825]设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,52．(0分)[ID ：11815]若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭3．(0分)[ID ：11810]函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．4．(0分)[ID ：11809]不等式()2log 231a x x -+≤-在x ∈R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞B ．(]1,2C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦5．(0分)[ID ：11808]已知函数()1ln 1xf x x-=+，则不等式()()130f x f x +-≥的解集为（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．12,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．(0分)[ID ：11798]在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的（ ）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件7．(0分)[ID ：11774]若函数()(1)(0xxf x k a a a -=-->且1a ≠）在R 上既是奇函数,又是减函数,则()log ()a g x x k =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．8．(0分)[ID ：11773]如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()M P S ⋂⋂B ．()M P S ⋂⋃C ．()()UM P S ⋂⋂D ．()()UM P S ⋂⋃9．(0分)[ID ：11791]已知()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．[-2,0)C ．(]2,0-D ．（0,1）10．(0分)[ID ：11788]已知函数2221,2,()2,2,x x x x f x x -⎧-++<=⎨≥⎩且存在三个不同的实数123,,x x x ，使得123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围为（ ）A ．(4,5)B ．[4,5)C ．(4,5]D ．[4,5]11．(0分)[ID ：11785]定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．(0分)[ID ：11767]若0.23log 2,lg0.2,2a b c ===,则,,a b c 的大小关系为A ．c b a <<B ． b a c <<C ． a b c <<D ．b c a <<13．(0分)[ID ：11762]已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-，则()f x 是（ ） A ．偶函数，且在(0,10)是增函数 B ．奇函数，且在(0,10)是增函数 C ．偶函数，且在(0,10)是减函数D ．奇函数，且在(0,10)是减函数14．(0分)[ID ：11745]已知函数(),1log ,1x a a x f x x x ⎧≤=⎨>⎩（1a >且1a ≠），若()12f =，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．1-B ．12-C ．12D15．(0分)[ID ：11754]若函数()sin ln(f x x ax =⋅的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2B ．2±C ．4D ．4±二、填空题16．(0分)[ID ：11922]设函数()212log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a的取值范围是__________． 17．(0分)[ID ：11901]函数()f x =的定义域是______． 18．(0分)[ID ：11899]已知函数()32f x x x =+，若()()2330f a a f a -+-<，则实数a 的取值范围是__________．19．(0分)[ID ：11883]已知函数()f x 是定义在 R 上的奇函数，且当0x >时，()21x f x =-，则()()1f f -的值为______．20．(0分)[ID ：11874]已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________. 21．(0分)[ID ：11862]若幂函数()a f x x 的图象经过点1(3)9，，则2a -=__________.22．(0分)[ID ：11843]关于函数()2411x x f x x -=--的性质描述，正确的是__________.①()f x 的定义域为[)(]1,00,1-；②()f x 的值域为()1,1-；③()f x 的图象关于原点对称；④()f x 在定义域上是增函数.23．(0分)[ID ：11839]用{}min ,,a b c 表示,,a b c 三个数中最小值，则函数{}()min 41,4,8f x x x x =++-+的最大值是 ．24．(0分)[ID ：11838]若集合(){}22210A x k x kx =+++=有且仅有2个子集，则满足条件的实数k 的最小值是____.25．(0分)[ID ：11863]若函数()22xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.三、解答题26．(0分)[ID ：12023]已知函数()()221+0g x ax ax b a =-+>在区间[2,3]上有最大值4和最小值1. (1)求a 、b 的值； (2)设()()2g x f x x =-，若不等式()0f x k ->在x ∈(]2,5上恒成立，求实数k 的取值范围．27．(0分)[ID ：11978]一种放射性元素，最初的质量为500g ，按每年10﹪衰减. （Ⅰ）求t 年后，这种放射性元素质量ω的表达式；（Ⅱ）由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（剩留量为原来的一半所需要的时间）．（精确到0.1；参考数据：）28．(0分)[ID ：11977]围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x （单位：元）．（Ⅰ）将y 表示为x 的函数；（Ⅱ）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 29．(0分)[ID ：11952]设a 为实数，函数()()21f x x x a x R =+-+∈．（1）若函数()f x 是偶函数，求实数a 的值； （2）若2a =，求函数()f x 的最小值；（3）对于函数()y m x =，在定义域内给定区间,a b ，如果存在()00x a x b <<，满足()0()()m b m a m x b a-=-，则称函数()m x 是区间,a b 上的“平均值函数”，0x 是它的一个“均值点”．如函数2yx 是[]1,1-上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数()21g x x mx =-++是区间[]1,1-上的平均值函数，求实数m 的取值范围．30．(0分)[ID ：11941]有一种候鸟每年都按一定的路线迁陟，飞往繁殖地产卵．科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数301log lg 2100x v x =-，单位是min km ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（参考数据：lg 20.30=， 1.23 3.74=， 1.43 4.66=）（1）若02x =，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少min km ？ （2）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（3）若雄鸟的飞行速度为2.5min km ，雌鸟的飞行速度为1.5min km ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．C 2．D 3．C 4．C 5．D 6．B7．A8．C9．C10．A11．C12．B13．C14．C15．B二、填空题16．【解析】【分析】【详解】由题意或或或则实数的取值范围是故答案为17．【解析】【分析】由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x的取值集合得答案【详解】由得且函数的定义域为：；故答案为【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法是基础的会考题型18．(13)【解析】由题意得为单调递增函数且为奇函数所以点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式然后根据函数的单调性去掉转化为具体的不等式(组)此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内19．【解析】由题意可得：20．6【解析】【分析】先求函数周期再根据周期以及偶函数性质化简再代入求值【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知是周期函数且所以【点睛】本题考查函数周期及其应用考查基本求解能力21．【解析】由题意有：则：22．①②③【解析】【分析】由被开方式非负和分母不为0解不等式可得f（x）的定义域可判断①；化简f（x）讨论0＜x≤1﹣1≤x＜0分别求得f（x）的范围求并集可得f（x）的值域可判断②；由f（﹣1）＝f（23．6【解析】试题分析：由分别解得则函数则可知当时函数取得最大值为6考点：分段函数的最值问题24．-2【解析】【分析】根据题意可知集合只有一个元素从而时满足条件而时可得到求出找到最小的即可【详解】只有2个子集；只有一个元素；时满足条件；②时；解得或2；综上满足条件的实数的最小值为﹣2故答案为﹣225．【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的图象如图要有两个交点那么三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C2．D解析：D 【解析】 【分析】函数()f x 为偶函数，则()()f x f x =-则()()22f f =-，再结合()f x 在(]1-∞-，上是增函数，即可进行判断. 【详解】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查化归与转化的思想，属于基础题.3．C解析：C 【解析】 【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论． 【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ． 故选C ． 【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．4．C解析：C 【解析】 【分析】由()2223122-+=-+≥x x x 以及题中的条件，根据对数函数的单调性性，对a 讨论求解即可. 【详解】由()2log 231a x x -+≤-可得()21log 23log -+≤a ax x a， 当1a >时，由()2223122-+=-+≥x x x 可知2123-+≤x x a无实数解，故舍去； 当01a <<时，()2212312-+=-+≥x x x a在x ∈R 上恒成立，所以12a ≤，解得112a ≤<.【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，涉及到复合函数问题，属于中档题.5．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意可得函数()f x 的奇偶性以及单调性，据此原不等式转化为()()31f x f x ≥-，求解可得x 的取值范围，即可得出结论． 【详解】根据题意，函数()1ln 1xf x x-=+， 则有101xx->+，解可得11x -<<， 即函数的定义域为()1,1-，关于原点对称， 又由()()11lnln 11x xf x f x x x+--==-=--+， 即函数()f x 为奇函数， 设11xt x -=+，则y lnt =， 12111x t x x -==-++，在()1,1-上为减函数， 而y lnt =在()0,∞+上为增函数， 故()1ln1xf x x-=+在区间()1,1-上为减函数， ()()()()13013f x f x f x f x +-≥⇒≥-- ()()3131111311x x f x f x x x ≤-⎧⎪⇒≥-⇒-<<⎨⎪-<-<⎩，解可得：1223x ≤<，即不等式的解集为12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭； 故选:D ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，解题时不要忽略函数的定义域，属于中档题．6．B解析：B【分析】化简cos cos a A b B =得到A B =或2A B π+=，再判断充分必要性.【详解】cos cos a A b B =，根据正弦定理得到：sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =∴=故22A B A B =∴=或222A B A B ππ=-∴+=，ABC ∆为等腰或者直角三角形.所以“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的必要非充分条件 故选B 【点睛】本题考查了必要非充分条件，化简得到A B =或2A B π+=是解题的关键，漏解是容易发生的错误.7．A解析：A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数g (x )的解析式，然后结合函数的解析式即可确定函数的图像. 【详解】∵函数()(1)xxf x k a a -=--(a >0,a ≠1)在R 上是奇函数，∴f (0)=0，∴k =2， 经检验k =2满足题意， 又函数为减函数， 所以01a <<， 所以g (x )=log a (x +2)定义域为x >−2，且单调递减， 故选A . 【点睛】本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．C解析：C 【解析】 【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可． 【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S). 故选C ． 【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．9．C解析：C 【解析】 【分析】画出函数图像，根据图像得到20a -<≤，1bc =，得到答案. 【详解】()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，画出函数图像，如图所示：根据图像知：20a -<≤，20192019log log b c -=，故1bc =，故20abc -<≤. 故选：C .【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.10．A解析：A 【解析】不妨设123x x x <<，当2x <时，()()212f x x =--+，此时二次函数的对称轴为1x =，最大值为2，作出函数()f x 的图象如图，由222x -=得3x =，由()()()123f x f x f x ==，，且1212x x +=，即122x x +=，12332,x x x x ∴++=+ 由图可知3323,425x x <<∴<+<， 即123x x x ++的取值范围是()4,5，故选A.11．C解析：C 【解析】 【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果. 【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C. 【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.12．B解析：B 【解析】【分析】由对数函数的单调性以及指数函数的单调性，将数据与0或1作比较，即可容易判断. 【详解】由指数函数与对数函数的性质可知，a =()3log 20,1,b ∈=lg0.20,c <=0.221>，所以b a c <<，故选：B. 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.13．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数的定义域关于原点对称，再由奇偶性的定义判断奇偶性，根据复合函数的单调判断其单调性，从而可得结论. 【详解】由100100x x +>⎧⎨->⎩，得(10,10)x ∈-， 故函数()f x 的定义域为()10,10-，关于原点对称，又()()lg 10lg(10)()f x x x f x -=-++=，故函数()f x 为偶函数， 而()()2lg(10)lg(10)lg 100f x x x x=++-=-，因为函数2100y x =-在()0,10上单调递减，lg y x =在()0,∞+上单调递增， 故函数()f x 在()0,10上单调递减，故选C. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，()()1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） .14．C解析：C 【解析】 【分析】由()12f =，求得2a =，得到函数的解析式，进而可求解1(())2f f 的值，得到答案． 【详解】由题意，函数(),1(1log ,1x a a x f x a x x ⎧≤=>⎨>⎩且1)a ≠，()12f =， 所以()12f a ==，所以()22,1(1log ,1x x f x a x x ⎧≤=>⎨>⎩且1)a ≠，所以121()22f ==所以211(())log 22f f f ===，故选C ． 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，以及函数值的运算问题，其中解答中根据题意准确求得函数的解析式，合理利用解析式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．15．B解析：B 【解析】 【分析】根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到()()f x f x =-，进而得到ax +=.【详解】()f x 图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数 ()()f x f x ∴=-即：()sin ln sin lnsin lnx ax x ax x ⋅+=-⋅=⋅ax ∴+=恒成立，即：222141x a x +-=24a ∴=，解得：2a =± 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型.二、填空题16．【解析】【分析】【详解】由题意或或或则实数的取值范围是故答案为解析：(1,0)(1,)【解析】 【分析】 【详解】由题意()()f a f a >-⇒2120 log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或()()1220log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩01a a a >⎧⎪⇒⎨>⎪⎩或11a a a a<⎧⎪⇒>⎨->-⎪⎩或10a -<<，则实数a 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故答案为()()1,01,-⋃+∞.17．【解析】【分析】由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x 的取值集合得答案【详解】由得且函数的定义域为：；故答案为【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法是基础的会考题型 解析：[)()1,00,∞-⋃+【解析】 【分析】由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x 的取值集合得答案． 【详解】由{100x x +≥≠，得1x ≥-且0x ≠．∴函数()f x =的定义域为：[)()1,00,-⋃+∞； 故答案为[)()1,00,-⋃+∞． 【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，是基础的会考题型．18．(13)【解析】由题意得为单调递增函数且为奇函数所以点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式然后根据函数的单调性去掉转化为具体的不等式(组)此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内解析：(1,3) 【解析】由题意得()f x 为单调递增函数,且为奇函数,所以()()2330f a a f a -+-<22(3)(3)3313f a a f a a a a a ⇒-<-⇒-<-⇒<<点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内19．【解析】由题意可得： 解析：1-【解析】由题意可得：()()()()()111,111f f ff f -=-=--=-=-20．6【解析】【分析】先求函数周期再根据周期以及偶函数性质化简再代入求值【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知是周期函数且所以【点睛】本题考查函数周期及其应用考查基本求解能力解析：6 【解析】 【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简()()9191f f =-，再代入求值. 【详解】由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以()()()919615311f f f =⨯+=()16f =-=.【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力.21．【解析】由题意有：则：解析：14【解析】 由题意有：13,29aa =∴=-， 则：()22124a--=-=. 22．①②③【解析】【分析】由被开方式非负和分母不为0解不等式可得f （x ）的定义域可判断①；化简f （x ）讨论0＜x≤1﹣1≤x ＜0分别求得f （x ）的范围求并集可得f （x ）的值域可判断②；由f （﹣1）＝f （解析：①②③ 【解析】 【分析】由被开方式非负和分母不为0，解不等式可得f （x ）的定义域，可判断①；化简f （x ），讨论0＜x ≤1，﹣1≤x ＜0，分别求得f （x ）的范围，求并集可得f （x ）的值域，可判断②；由f （﹣1）＝f （1）＝0，f(x)不是增函数，可判断④；由奇偶性的定义得f （x ）为奇函数，可判断③． 【详解】①，由240110x x x ⎧-≥⎪⎨--≠⎪⎩，解得﹣1≤x ≤1且x ≠0，可得函数()11f x x =--的定义域为[﹣1，0）∪（0，1]，故①正确；②，由①可得f （x，即f （x，当0＜x ≤1可得f （x1，0]；当﹣1≤x ＜0可得f （x[0，1）．可得f （x ）的值域为（﹣1，1），故②正确；③，由f （x）＝﹣||x x 的定义域为[﹣1，0）∪（0，1]，关于原点对称，f （﹣x）＝|x x＝﹣f （x ），则f （x ）为奇函数，即有f （x ）的图象关于原点对称，故③正确．④，由f （﹣1）＝f （1）＝0，则f （x ）在定义域上不是增函数，故④错误； 故答案为：①②③ 【点睛】本题考查函数的性质和应用，主要是定义域和值域的求法、单调性的判断和图象的特征，考查定义法和分类讨论思想，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题．23．6【解析】试题分析：由分别解得则函数则可知当时函数取得最大值为6考点：分段函数的最值问题解析：6 【解析】试题分析：由414,418,48x x x x x x +>++>-++>-+分别解得1, 1.4,2x x x >>>，则函数()8,2{4,1241,1x x f x x x x x -+≥=+<<+≤则可知当2x =时，函数{}()min 41,4,8f x x x x =++-+取得最大值为6 考点：分段函数的最值问题24．-2【解析】【分析】根据题意可知集合只有一个元素从而时满足条件而时可得到求出找到最小的即可【详解】只有2个子集；只有一个元素；时满足条件；②时；解得或2；综上满足条件的实数的最小值为﹣2故答案为﹣2解析：-2 【解析】 【分析】根据题意可知，集合A 只有一个元素，从而2k =-时，满足条件，而2k ≠-时，可得到()24420k k ∆=-+=，求出k ，找到最小的k 即可.【详解】A 只有2个子集； A ∴只有一个元素；2k ①∴=-时，14A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，满足条件；②2k ≠-时，()24420k k ∆=-+=；解得1k =-或2；综上，满足条件的实数k 的最小值为﹣2. 故答案为﹣2. 【点睛】考查子集的概念，描述法和列举法表示集合的定义，以及一元二次方程实根个数和判别式∆的关系.25．【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的图象如图要有两个交点那么 解析：02b <<【解析】 【分析】 【详解】函数()22xf x b =--有两个零点，和的图象有两个交点，画出和的图象，如图，要有两个交点，那么三、解答题 26．（1）1,0a b ==；（2）4k <. 【解析】 【分析】（1）函数()g x 的对称轴方程为1x =，开口向上，则在[]2,3上单调递增，则可根据最值列出方程，可解得,a b 的值.(2)由题意只需()min k f x <，则只需要求出()f x 在(]2,5上的最小值，然后运用基本不等式求最值即可. 【详解】 解：（1）()g x 开口方向向上，且对称轴方程为 1x =，()g x ∴在[]2,3上单调递增()()()()min max2441139614g x g a a b g x g a a b ⎧==-++=⎪∴⎨==-++=⎪⎩.解得1a =且0b =. （2）()0f x k ->在(]2,5x ∈上恒成立所以只需()min k f x <.有（1）知()221112224222x x f x x x x x x -+==+=-++≥=--- 当且仅当122x x -=-，即3x =时等号成立. 4k ∴<. 【点睛】本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的位置关系，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式的应用，属于中档题.27．（Ⅰ）ω=500×0.9t . （Ⅱ）6.6年 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）最初的质量为500g ， 经过1年，ω=500（1-10﹪）=500×10.9， 经过2年，ω=500×20.9， ……，由此推出，t 年后，ω=500×0.9t ． （Ⅱ）解方程500×0.9t =250．0.9t =0.5， lg 0.9lg 0.5t =，lg 0.56.6lg 0.9t =≈， 所以，这种放射性元素的半衰期约为6.6年．考点：指数函数应用题及只属于对数的互化点评：本题第一问由经过一年，二年……的剩余质量归纳出t 年后的剩余含量，第二问涉及到指数式与对数式的转化x a b =转化为log a x b =28．（Ⅰ）y =225x +2360360(0)x x-〉（Ⅱ）当x =24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 【解析】试题分析：（1）设矩形的另一边长为am ，则根据围建的矩形场地的面积为360m 2，易得360a x=，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，我们即可得到修建围墙的总费用y 表示成x 的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x 值 试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m 则45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360由已知xa=360,得a=,所以y=225x+（2）．当且仅当225x=时，等号成立．即当x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 考点：函数模型的选择与应用29．（1）；（2）；（3）()0,2【解析】试题分析：（1）考察偶函数的定义，利用通过整理即可得到；（2）此函数是一个含有绝对值的函数，解决此类问题的基本方法是写成分段函数的形式，()2221,221{3,2x x x f x x x x x x +-≥=+-+=-+<，要求函数的最小值，要分别在每一段上求出最小值，取这两段中的最小值；（3）此问题是一个新概念问题，这种类型都可转化为我们学过的问题，此题定义了一个均值点的概念，我们通过概念可把题目转化为“存在()01,1x ∈-，使得()0g x m =”从而转化为一元二次方程有解问题．试题解析：解：（1）()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-=在R 上恒成立，即()2211x x a x x a -+--+=+-+，所以x a x a +=-得0ax = x R ∈0a ∴=（2）当2a =时，()2221,221{3,2x x x f x x x x x x +-≥=+-+=-+< 所以()f x 在[)2,+∞上的最小值为()25f =， ()f x 在(),2-∞上的的最小值为f （）＝， 因为＜5，所以函数()f x 的最小值为． （3）因为函数()21g x x mx =-++是区间[]1,1-上的平均值函数，所以存在()01,1x ∈-，使()0(1)(1)1(1g g g x --=--） 而(1)(1)1(1g g m --=--），存在()01,1x ∈-，使得()0g x m = 即关于x 的方程21x mx m -++=在()1,1-内有解；由21x mx m -++=得210x mx m -+-=解得121,1x x m ==-所以111m -<-<即02m <<故m 的取值范围是()0,2考点：函数奇偶性定义；分段函数求最值；含参一元二次方程有解问题．30．（1）1.70/min km ；（2）466；（3）9【解析】试题分析：（1）直接代入求值即可，其中要注意对数的运算；（2）还是代入求值即可；（3）代入后得两个方程，此时我们不需要解出1x 、2x ，只要求出它们的比值即可，所以由对数的运算性质，让两式相减，就可求得129x x =． 试题解析：（1）将02x =，8100x =代入函数式可得：31log 81lg 22lg 220.30 1.702v =-=-=-= 故此时候鸟飞行速度为1.70/min km ． （2）将05x =，0v =代入函数式可得：310log lg 52100x =-即3log 2lg52(1lg 2)20.70 1.40100x ==⋅-=⨯= 1.43 4.66100x ∴==于是466x =．故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位． （3）设雄鸟每分钟的耗氧量为1x ，雌鸟每分钟的耗氧量为2x ，依题意可得：13023012.5log lg 2100{11.5log lg 2100x x x x =-=-两式相减可得：13211log 2x x =，于是129x x =． 故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍． 考点：1．函数代入求值；2．解方程；3．对数运算．。
北京市人大附中高一(上)期中数学试卷
人大附中高一（上）期中数学试卷（必修1）一、选择题（共8道小题，每道小题4分，共32分.请将正确答案填涂在答题卡上）C D2|x|C DC D）2二、填空题（共6道小题，每道小题4分，共24分．请将正确答案填写在答题表中）9．已知函数y=f（n），满足f（1）=2，且f（n+1）=3f（n），n∈N+，则f（3）的值为_________．10．计算的值为_________．11．若奇函数f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，且f（﹣1）=0，则使得f（x）＞0的x取值范围是_________．12．函数f（x）=log3（x2﹣2x+10）的值域为_________．13．光线通过一块玻璃板时，其强度要损失原来的10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a，则通过3块玻璃板后的强度变为_________．14．数学老师给出一个函数f（x），甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质甲：在（﹣∞，0]上函数单调递减；乙：在[0，+∞）上函数单调递增；丙：在定义域R上函数的图象关于直线x=1对称；丁：f（0）不是函数的最小值．老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确．那么，你认为_________说的是错误的．三、解答题（分4道小题，共44分）15．（12分）已知函数．（1）设f（x）的定义域为A，求集合A；（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上单调性，并用定义加以证明．16．（12分）有一个自来水厂，蓄水池有水450吨．水厂每小时可向蓄水池注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t小时内供水量为160吨．现在开始向池中注水并同时向居民供水．问多少小时后蓄水池中水量最少？并求出最少水量．17．（12分）已知函数f（x）=a x﹣1（a＞0且a≠1）（1）若函数y=f（x）的图象经过P（3，4）点，求a的值；（2）比较大小，并写出比较过程；（3）若f（lga）=100，求a的值．18．（8分）集合A是由适合以下性质的函数f（x）构成的：对于定义域内任意两个不相等的实数x1，x2，都有．（1）试判断f（x）=x2及g（x）=log2x是否在集合A中，并说明理由；（2）设f（x）∈A且定义域为（0，+∞），值域为（0，1），，试求出一个满足以上条件的函数f （x）的解析式．参考答案与试题解析一、选择题（共8道小题，每道小题4分，共32分.请将正确答案填涂在答题卡上）C D＞，即函数2可得|x|C DC D，有对数的定义得，）是2又函数在区间（﹣上是减函数，可得二、填空题（共6道小题，每道小题4分，共24分．请将正确答案填写在答题表中）9．（4分）已知函数y=f（n），满足f（1）=2，且f（n+1）=3f（n），n∈N+，则f（3）的值为18．10．（4分）计算的值为0．××+﹣11．（4分）若奇函数f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，且f（﹣1）=0，则使得f（x）＞0的x取值范围是（﹣1，0）∪（1，+∞）．12．（4分）函数f（x）=log3（x2﹣2x+10）的值域为[2，+∞）．13．（4分）光线通过一块玻璃板时，其强度要损失原来的10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a，则通过3块玻璃板后的强度变为0.729a．14．（4分）数学老师给出一个函数f（x），甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质甲：在（﹣∞，0]上函数单调递减；乙：在[0，+∞）上函数单调递增；丙：在定义域R上函数的图象关于直线x=1对称；丁：f（0）不是函数的最小值．老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确．那么，你认为乙说的是错误的．三、解答题（分4道小题，共44分）15．（12分）已知函数．（1）设f（x）的定义域为A，求集合A；（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上单调性，并用定义加以证明．所以，函数）函数（因此，函数16．（12分）有一个自来水厂，蓄水池有水450吨．水厂每小时可向蓄水池注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t小时内供水量为160吨．现在开始向池中注水并同时向居民供水．问多少小时后蓄水池中水量最少？并求出最少水量．，从而．转化成二次函数的最（，即17．（12分）已知函数f（x）=a x﹣1（a＞0且a≠1）（1）若函数y=f（x）的图象经过P（3，4）点，求a的值；（2）比较大小，并写出比较过程；（3）若f（lga）=100，求a的值．时，或18．（8分）集合A是由适合以下性质的函数f（x）构成的：对于定义域内任意两个不相等的实数x1，x2，都有．（1）试判断f（x）=x2及g（x）=log2x是否在集合A中，并说明理由；（2）设f（x）∈A且定义域为（0，+∞），值域为（0，1），，试求出一个满足以上条件的函数f （x）的解析式．）函数）且．是一个符合条件的函数．x。
【全国名校】2017-2018学年北京师范大学附属中学上学期高一年级期中考试数学试题(解析版)
2017-2018学年北京师范大学附属中学上学期高一年级期中考试数学试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．已知集合A ={0，1，2}，B ={2，3}，则集合A ∪B = A ． 2， B ． 1，2， C ． D ． 1， 2．下列函数中，在其定义域内是减函数的是A ．B ．C ．D ．3．已知 ，那么下列不等式成立的是A ．B ．C ．D ． 4．“a=0”是“为奇函数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 5．下列不等式中，不正确的是 A ．B ．C ．D ．若 ，则6．函数 满足对任意的x ，均有 ，那么 ， ， 的大小关系是A ．B ．C ．D ．7．若函数 的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程 的一个近似根（精确到0.1）为 A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.58．已知 为定义在[-1，1]上的奇函数，且 在[0，1]上单调递减，则使不等式 成立的x 的取值范围是A ．B ．C ．D ．二、填空题9．已知集合 ， ，且 ，则实数a=___________。
10．设，则 ________11．已知命题 ，，则 为_______；其中为真命题的是_________（填“p”或“ ”）12．函数，则该函数的定义域为_________，值域为__________. 13．定义运算“ ”：（ ， ）.当 ， 时， 的最小值是 .14．函数 的定义域为D ，若对于任意 ， ，当 时，都有 ，则称函数 在D 上为非减函数，设函数 在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：① ；②；③ ，则 _________；___________.三、解答题15．已知集合， . （1）当m=8时，求 ；（2）若 ，求实数m 的值.此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号考场号 座位号16．已知函数.（1）函数是否具有奇偶性？若具有，则给出证明；若不具有，请说明理由；（2）试用函数单调性的定义证明：在（1，+）上为增函数.17．某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量（件）与销售单价（元/件）可近似看做一次函数的关系（图象如下图所示）．（1）根据图象，求一次函数的表达式；（2）设公司获得的毛利润（毛利润＝销售总价－成本总价）为元,①求关于的函数表达式；②求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价．18．已知函数，其中a,.（1）当，时，求在区间[-5，5]上的值域；（2）当时，对任意的，都有成立，求实数b的取值范围；（3）若函数的图像过点（-2，-1），且在区间（1，2）上有一个零点，求实数a的取值范围.19．设函数.（1）当时，求的单调区间；（2）当时，求不等式的解集；20．已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”.（1）若是“一阶比增函数”，求实数a的取值范围。
2018-2019年【人大附中】高一上学期必修1模块试题(含期中加试)
A. [1户) C. (,1] B. (1,+ ) D. (,1)如需答案 人大附中2018~20佃学年度第一学期期中高一年级数学练习&必修1模块考核试卷2018年11月7日I 卷17道题，共100分，作为模块成绩；n 卷 7道题，共50分；I 卷、n 卷共24题，合计150分，作为期中成绩；考试时间 120分钟；请在答 题卡上填写个人信息，I 卷（共17题，满分100 分）8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有2设集合A = {a ,a ,0}，B = {2,4}，若A Q B = {2}，则实数a 的值为（C .制卷人：吴中才审卷人：梁丽平说明：本试卷分I 卷和n 卷,并将条形码贴在答题卡的相应位置上.一项是符合题目要求的, 请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.、单项选择题（本大题共 1. 2.计算log 2 316的结果是（ 4 A.—3B. C.3 D.--43. 下列函数中，是偶函数的是（A . f(x) =1xB . f(x)= IgxC . f(x)= e xD . f(x) = |x|4. 函数 f(x)=eX+x4的零点所在的区间是（ 5.B . （1, 2）已知f （x+1）= 依，则函数f （x ）的大致图象是（A . (0，1) C . (2，3)D . (3, 4)6. 7. A . a > c > b B . a >b > c C . b > a >c已知 x [1,2]，ax>0恒成立，则实数a 的取值范围是（y .7. 1 ・-1 Oc >a > bb = Iog 35，c = Iog 32，贝ya ，b ，c 的大小关系为（设 a = log 5，xD.8.设函数f(x)=1 +［x ］ x ,其中［x ］表示不超过x 的最大整数，若函数y 」og a X 的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，则实数a 的取值范围是(二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分•请把结果填在答题纸上的相应位置.) 9.计算：e ln1 =B=｛xx>a ｝，若A B ,则实数a 的取值范围是_•2x 2在区间［1+ )上不单调，则实数a 的取值范围是2的正三角形ABC 沿X 轴滚动，记滚动过程中顶点 A 的横、纵坐标分别为X 和y ，且y 是 X 在映射f 作用下的象，则下列说法中:①映射f 的值域是［0, 3］； ②映射f 不是一个函数; ③映射f 是函数，且是偶函数;④映射f 是函数，且单增区间为［6k,6k 乜］(k Z )，其中正 确说法的序号是说明："正三角形ABC 沿X 轴滚动”包括沿X 轴正方向和沿X 轴负方向滚动.沿X 轴正方向 滚动指的是先以顶点 B 为中心顺时针旋转，当顶点 C 落在X 轴上时，再以顶点C 为中心顺 时针旋转，如此继续.类似地，正三角形ABC 可以沿X 轴负方向滚动.三、解答题(本大题共 3小题，共30分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.) 15.(本小题满分10分)已知集合 A^xx ] x<0}，B={xx 2X m£0}.(I)求 R A ;(n)若 ^B =，求实数m 的取值范围.如需答案A. [2,3)B. (2,3]C. (3,4]D. [3,4)10.已知集合A 氓XXA I ｝， 11.函数 f(x)=log a (a a x)(0<：a£1)的定义域为 12.已知 f (X )= f■ r1, X ^ 1，则 f[f( 1)]=x+1, XA 1;若 f(x)= 1,则 x=213.已知函数f(x)=ax14.如图放置的边长为(I)求f(x 的解析式及值域;(n)判断f(x 在R 上的单调性，并用单 调性定义予以证明.17.(本小题满分10分)某公司共有60位员工，为提高员工的业务技术水平，公司拟聘请专业培训机构进行培部分是给每位参加员工支付 400 元的培训材料费；另部分是给培训机构缴纳的培训费.若参加培训的员工人数不超过1000元；若参加培训的员工人数超过 30人，则每超过1人，人均培训费减少20元.设公司参加 培训的员工人数为x 人，此次培训的总费用为 y 元.(I)求出y 与x 之间的函数关系式;(n)请你预算：公司此次培训的总费用最多需要多少元?如需答案 请扫码T16.(本小题满分10分)已知函数f (x 冃2是定义在R 上的奇函数.1+2x训.培训的总费用由两部分组成:30人，则每人收取培训费n 卷(共7道题，满分50分)、多项选择题(本大题共 3小题，每小题6分，共18分•在每小题给出的四个选项中，可能 有一项或几项是符合题目要求的， 请将所有正确答案填涂在答题纸上的相应位置118.已知函数 f(x)n 2 log 1 X ，若 0v a v b v c ，且满足 f(a)f(b)f(c)<0，则下列说法一定正确的是()A . f(x)有且只一个零点19.关于函数f(x)A~¥的性质描述，正确的是则实数a 的可能值为(二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分•请把结果填在答题纸上的相应位置.) 21已知函数f(x) = fx +a,X"在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是 ，(\十1, x §0[1,+ )22.非空有限数集S 满足：若a,b S ，则必有ab S.请写出一个满足条件的二元数集23.已知直线y =ax 上恰好存在一个点关于直线 尸X 的对称点在函数y =lnx 的图象上.请写出如需答案 请扫码Tf(x)的零点在(0,1)内 C . f(x)的零点在(a,b)内f(x)的零点在(C,+ )内A . f(x)的定义域为[1,0)U(0,1] f(x)的值域为(1,1) C . f(x)在定义域上是增函数f(x)的图象关于原点对称20.在同一直角坐标系下，函数y=a x 与y=log a X (a>0, a^1)的大致图象如图所示,W-7s =.｛0,1｝或｛ - 1,1｝，个符合条件的实数a 的值:•只需满足aC0或a=e 即可.y三、解答题(本大题共1小题，满分14分.解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答 案写在答题纸上的相应位置.) 24.(本题满分14 分)若函数f(x)的图象恒过(0,0)和(1,1)两点，则称函数f(x)为“ 0-1函数”.(I)判断下面两个函数是否是“0-1函数”，并简要说明理由:(n)若函数f (x )v 北是“0-1函数”，求f(x)；(川)设g(x)=log a x(a>0,a —1),定义在R 上的函数h(x)满足:①对 X 1,X 2 R ，均有 h(X 1X 2 +1)=h(X 1)田h(X 2)h(X 2)乂+2； ② g[h(x )]是“ 0-1 函数”， 求函数h(x)的解析式及实数a 的值.如需答案 请扫码T① y=x 1；2② y= X +2x .。
2018北京人大附中高一(上)期中数学
2018北京人大附中高一（上）期中数学一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1.设集合A＝{,,0}，B＝{2,4}，若A∩B＝{2}，则实数a的值为（）A. 2B. ±2C.D. ±2.计算的结果是（）A. B. C. － D. －3.下列函数中，是偶函数的是（）A. f(x)＝B. f(x)＝lg xC. f(x)＝D. f(x)＝|x|4.函数的零点所在的区间是（）A. (0，1)B. (1，2)C. (2，3)D. (3，4)5.已知，则函数的大致图象是（）A. B. C. D.6.设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为（）A. a＞c＞bB. a＞b＞cC. b＞a＞cD. c＞a＞b7.已知，恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.8.设函数，其中表示不超过x的最大整数，若函数的图象与函数的图象恰有3个交点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）9.计算：＝________.10.已知集合，，若，则实数的取值范围是______.11.函数的定义域为__________.12.已知＝，则＝_________；若，则________．13.已知函数在区间上不．单调，则实数a的取值范围是________.14.如图放置的边长为2的正三角形ABC沿x轴滚动，记滚动过程中顶点A的横、纵坐标分别为和，且是在映射作用下的象，则下列说法中：①映射的值域是；②映射不是一个函数；③映射是函数，且是偶函数；④映射是函数，且单增区间为，其中正确说法的序号是___________.说明：“正三角形ABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动指的是先以顶点B 为中心顺时针旋转，当顶点C落在x轴上时，再以顶点C为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正三角形ABC可以沿x轴负方向滚动．三、解答题（本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）15.已知集合，.（1）求；（2）若，求实数m的取值范围．16.已知函数是定义在R上的奇函数．（1）求的解析式及值域；（2）判断在R上的单调性，并用单调性定义．．．．．予以证明．17.某公司共有60位员工，为提高员工的业务技术水平，公司拟聘请专业培训机构进行培训．培训的总费用由两部分组成：一部分是给每位参加员工支付400元的培训材料费；另一部分是给培训机构缴纳的培训费．若参加培训的员工人数不超过30人，则每人收取培训费1000元；若参加培训的员工人数超过30人，则每超过1人，人均培训费减少20元．设公司参加培训的员工人数为x人，此次培训的总费用为y元．（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）请你预算：公司此次培训的总费用最多需要多少元？Ⅱ卷（共7道题，满分50分）一、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，可能有一项或几项是符合题目要求的，请将所有正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）18.已知函数，若0＜＜＜，且满足，则下列说法一定正确的是______.①有且只一个零点②的零点在内③的零点在内④的零点在内19.关于函数的性质描述，正确的是___①的定义域为②的值域为③在定义域上是增函数④的图象关于原点对称20.在同一直角坐标系下，函数与(,)的大致图象如图所示，则实数a的可能值为______①. ②. ③. ④.二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）21.已知函数在R上是增函数，则实数的取值范围是________．22.非空有限数集满足：若，则必有．请写出一个．．满足条件的二元数集S＝________．23.已知直线上恰好存在一个点关于直线y=x的对称点在函数的图象上．请写出一个．．符合条件的实数a 的值：________．三、解答题（本大题共1小题，满分14分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）24.若函数的图象恒过(0,0)和(1,1)两点，则称函数为“0-1函数”.（1）判断下面两个函数是否是“0-1函数”，并简要说明理由：①；②.（2）若函数是“0-1函数”，求；（3）设，定义在R上的函数满足：①对,R，均有；②是“0-1函数”，求函数的解析式及实数a的值．数学试题答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1.【答案】D【解析】【分析】因为，所以或，算出后代人检验可得正确结果.【详解】因为，因为或，当时，，，不合题意，舎；当时，，，符合；当时，，，符合；综上，选D.【点睛】本题考察集合中元素的性质，一般地，集合中的元素有确定性、互异性和无序性，解题时应根据集合间的关系及无序性得到集合中参数满足的等量关系，算出参数的值后再检验元素的互异性.2.【答案】A【解析】【分析】先把化为，再利用对数的运算性质得到对数的值.【详解】，故选A .【点睛】对数有如下的运算规则：（1），；（2）；（3）；（4） .3.【答案】D【解析】【分析】先判断各函数的定义域是否关于原点对称，再检验是否恒成立.【详解】A中，，，不是偶函数；B中，定义域不关于原点对称，不是偶函数；C中，，，不是偶函数；D中，，故为偶函数，综上，选D.【点睛】判断一个函数是否为偶函数或奇函数，应先求出该函数的定义域，如果定义域不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数，在定义域关于原点对称的条件下，我们再检验与的关系.注意说明一个函数是非奇非偶函数，可用反例说明.4.【答案】B【解析】【分析】因为函数为上的增函数，故利用零点存在定理可判断零点所在的区间.【详解】因为为上的增函数，为上的增函数，故为上的增函数.又，，由零点存在定理可知在存在零点，故选B.【点睛】函数的零点问题有两种类型，（1）计算函数的零点，比如二次函数的零点等，有时我们可以根据解析式猜出函数的零点，再结合单调性得到函数的零点，比如；（2）估算函数的零点，如等，我们无法计算此类函数的零点，只能借助零点存在定理和函数的单调性估计零点所在的范围.5.【答案】A【解析】【分析】令后可得即，平移幂函数的图像可得该函数的图像.【详解】令后可得即，考虑函数，将该函数的图像向右平移一个单位后可得的图像，故选A.【点睛】函数的图像变换有如下两种：（1）平移变换：；；；.（2）对称变换；；；.6.【答案】B【解析】【分析】可利用为上的增函数得到的大小关系，再利用换底公式得到利用为上的增函数可得的大小关系，最后得到的大小关系.【详解】因为为上的增函数，故，故 .又由换底公式可知，因为上的增函数，故，故即，综上，，故选B.【点睛】本题考察对数的大小比较，属于基础题.7.【答案】D【解析】【分析】因，故原不等式等价于在上恒成立，故可得实数的取值范围.【详解】因为，故，故在上恒成立等价于在上恒成立，故即，故选D.【点睛】一元二次不等式的恒成立问题，可通过其对应的二次函数的图像和性质来讨论，也可以用参变分离的方法把恒成立问题转化为一个新的函数的最值问题，特别地，如果一元二次不等式对应的函数解析式可以因式分解，则可以把恒成立的问题转为一元一次不等式的恒成立问题.8.【答案】D【解析】【分析】利用当时有，故函数在具有“局部周期性”，故可在平面直角坐标系中画出函数的图像，结合的图像与的图像有3个交点可以得到实数的取值范围.【详解】，而，故当时，，故在上的图像如图所示：因为的图像与的图像有3个交点，故，故，故选D.【点睛】不同函数图像的交点问题，关键在于正确刻画函数的图像，可以用图像变换的方法把复杂函数的图像归结基本初等函数的图像的平移或对称变换等，也可以根据解析式的特点先刻画函数的局部图像，再根据函数的性质得到其他范围上的图像.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）9.【答案】1【解析】【分析】利用对数的运算规则可得计算结果.【详解】因为，故填.【点睛】对数有如下的运算规则：（1），；（2）；（3）；（4） .10.【答案】【解析】【分析】在数轴上画出两个集合对应的范围，利用可得实数的取值范围.【详解】如图，在数轴表示，因为，故，填.【点睛】含参数的集合之间的包含关系，应借助于数轴、韦恩图等几何工具直观地讨论参数的取值范围，解决此类问题时，还应注意区间端点处的值是否可取.11.【答案】【解析】【分析】解不等式可得函数的定义域.【详解】由题设有即，因，故，故函数的定义域为，填.【点睛】函数的定义域一般从以下几个方面考虑：（1）分式的分母不为零；（2）偶次根号（，为偶数）中，；（3）零的零次方没有意义；（4）对数的真数大于零，底数大于零且不为1.12.【答案】 (1). －1 (2). 0或2【解析】【分析】根据自变量的范围选择合适的解析式计算函数值即可，分段讨论可得何时.【详解】，故，因为，故或者，解得或 .综上，填，或.【点睛】分段函数的求值问题，应该自变量的范围选择适当的解析式去求函数值，如果知道分段函数的函数值，则应分类讨论求出不同范围上的自变量的值，也可以先刻画出分段函数的函数图像，结合图像求函数值或相应的自变量的值.13.【答案】【解析】【分析】根据函数在不单调可得且，从而得到实数的取值范围.【详解】若，则，在为减函数，不符题意，舎；若，则为二次函数，对称轴为，因为在不单调，故，所以，填.【点睛】含参数的多项式函数，我们要首先确定最高次项的系数是否为零，因为它确定了函数种类（一次函数、二次函数、三次函数等）.其中，一次函数的单调性取决于的正负，二次函数的单调性取决对称轴的位置及开口方向.14.【答案】③【解析】【分析】根据滚动的过程在坐标平面中画出的运动的轨迹后可得正确的选项．【详解】运动的轨迹如图所示：则映射是一个函数且为偶函数，的值域为，也是一个周期函数，周期为，其增区间为和，，故选③．【点睛】几何图形在坐标轴上的滚动问题，应在坐标系中根据滚动的过程刻画出动点的轨迹，再从轨迹中找出对应函数的性质（如值域、单调性、奇偶性、周期性等）．此类问题忌凭空想象．三、解答题（本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）15.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）求出不等式的解后可得．（2）因为，故对任意的恒成立，参变分离后可得实数的取值范围．【详解】（1）由得，故，所以．（2）由题知，当时，恒成立，即：当时，恒成立．在区间上的值域为，所以，即实数m的取值范围是．【点睛】集合的交并补运算往往和一元二次不等式结合在一起，解一元二次不等式时注意二次项系数的符号．另外，集合之间的关系往往蕴含着不等式恒成立或有解问题，此类问题可直接讨论对应的二次函数的图像性质或参变分离求参数的取值范围．16.【答案】(1) , (2) 增【解析】【分析】（1）因为奇函数的定义域为，故可由得到的值及其函数解析式，结合指数函数的值域可得的值域．（2）利用单调性定义可证明为上的增函数．【详解】（1）由题知，，即：，故，．此时，为奇函数．因为，所以，，．（2）在上是增函数．证明：设，，则，，因为，，故，所以函数在上是增函数．【点睛】对于含参数的奇函数或偶函数，可利用特殊值求参数的值（注意检验），也可以利用恒等式或来求参数的值．而对于函数单调性的证明，定义法是关键，其基本步骤是作差、定号和给出结论（也可以作商，此时商应与1比较大小且要注意函数值的符号）．17.【答案】(1) (2)50000【解析】【分析】（1）依据参加培训的员工人数分段计算培训总费用．（2）依据（1）求出函数的最大值即可．【详解】（1）当时，；当时，，故（2）当时，元，此时x＝30；当时，元，此时．综上所述，公司此次培训的总费用最多需要元．【点睛】本题考察函数的应用，要求依据实际问题构建分段函数的数学模型并依据数学模型求实际问题的最大值，注意建模时理顺各数据间的关系．Ⅱ卷（共7道题，满分50分）一、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，可能有一项或几项是符合题目要求的，请将所有正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）18.【答案】①②【解析】【分析】函数为上的增函数，结合，可知①、②正确，因，故的符号为两正一负或全负，从而③、④错误．【详解】因为，均为上的单调增函数，故为上的增函数．因为，，由零点存在定理可知有且只有一个零点且零点在内，故①、②正确．因，故的符号为两正一负或全负，而，故或者，若，则零点在内；若，则零点在内．故③、④错误．综上，填①②．【点睛】本题考察函数的零点．一般地，函数零点问题须结合函数的单调性和零点存在定理来讨论，其中函数单调性的判断可依据增函数的和为增函数，减函数的和为减函数，增函数与减函数的差为增函数或同增异减（针对复合函数）等原则来判断，零点所在区间的端点应该根据函数解析式的特点来选取．19.【答案】①②④【解析】【分析】函数的定义域为，故，所以为奇函数，故①④正确，又，故可判断②正确，③错误．【详解】由题设有，故或，故函数的定义域为，故①正确．当，，此时，为上的奇函数，故其图像关于原点对称，故④正确．又，当时，；当时，，故的值域为，故②正确．由可得不是定义域上增函数，故③错．综上，选①②④．【点睛】对函数的性质的研究，一般步骤是先研究函数的定义域，接下来看能否根据定义域简化函数解析式，使得我们容易判断函数的奇偶性和周期性，因为一旦明确函数的奇偶性或周期性，我们就可以在更小的范围上便捷地研究函数的其他性质，最后通过研究函数的单调性得到函数的值域．20.【答案】②③【解析】【分析】根据图像，底数须满足，逐个检验可得正确的结果．．【详解】由图像可知且，因为，故①错．，故②正确．，故③正确．，故④错误．综上，选②③．【点睛】本题为图像题，要求能从两个函数的图像的位置关系中得到参数满足的条件，并能利用指数、对数知识进行数的大小比较．不同类型的数值大小比较应找合适的中间数进行不等关系的传递．二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）21.【答案】【解析】【分析】因为是分段函数且为增函数，故，故可得实数的取值范围．【详解】因为为上的增函数，故，所以，填．【点睛】如果一个分段函数在为增函数（或减函数），那么该函数除了在每个分段上都是增函数（或减函数），分段处的端点处的函数值也应有相应的大小关系，后者在解题中容易忽视．22.非空有限数集满足：若，则必有．请写出一个．．满足条件的二元数集S＝________．【答案】{0,1}或{－1,1}，【解析】【分析】因中有两个元素，故可利用中的元素对乘法封闭求出这两个元素．【详解】设，根据题意有，所以必有两个相等元素．若，则，故，又或，所以（舎）或或，此时．若，则，此时，故，此时．若，则，此时，故，此时．综上，或，填或．【点睛】集合中元素除了确定性、互异性、无序性外，还有若干运算的封闭性，比如整数集，对加法、减法和乘法运算封闭，但对除法运算不封闭（两个整数的商不一定是整数），又如有理数集，对加法、减法、乘法和除法运算封闭，但对开方运算不封闭．一般地，若知道集合对某种运算封闭，我们可利用该运算探究集合中的若干元素．23.【答案】只需满足或即可．【解析】【分析】的反函数为，故问题可以转化为与恰有一个公共点即可．【详解】的反函数为，故与的图像恰有一个公共点，当时，直线满足要求，当时，若与的图像恰有一个公共点，则（因为题设要求写出一个符合条件的实数，故可填一个负数即可，符合，待同学们学习了导数的相关知识后可求）【点睛】函数及其反函数的图像关于直线对称，因此与直线对称相关的函数问题可从反函数的角度去分析，一般地，函数的定义域就是反函数的值域，函数的值域就是反函数的定义域，而且单调函数必有反函数．三、解答题（本大题共1小题，满分14分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）24.【答案】(1) ①不是②是，详见详解；（2）；（3），．【解析】【分析】（1）依据定义检验是否有可判断两个函数是否为“”函数．（2）由可得值从而求得函数．（3）分别令和从而得到，利用为“”可得，从而得到，由可得．【详解】（1）①不是，因为图象不过点；②是，因为图象恒过和两点．（2）由得，，故；由得，，故．所以，．（3）令得，，令得，，所以，．由②知，，故，从而，，由②又知，，于是，故．【点睛】本题为关于函数的新定义问题，此类问题一般是依据定义验证具体函数是否满足或给出新定义函数，求参数的值或范围．对于给出运算规则的抽象函数，我们可以通过赋值法求出一些特殊点的函数值或者函数的解析式，赋何值需根据运算规则和我们求解的目标而定．。
北京市高一上学期数学期中考试试卷含答案(共5套)
北京师大附中2018-2019学年上学期高中一年级期中考试数学试卷说明：本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合}2,1,0{},01|{2=≤-=B x x A ，则A ∩B ＝ A. {0}B. {0，1}C. {1，2}D. {0，1，2}2. 已知d c b a >>>,0，下列不等式中必成立的一个是（ ） A.dbc a > B. bc ad <C. d b c a +>+D. d b c a ->-3. “1-=a ”是“函数12)(2-+=x ax x f 只有一个零点”的（ ） A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 4. 在下列区间中，函数x xx f 2log 6)(-=的零点所在的区间为（ ） A. )1,21(B. （1，2）C. （3，4）D. （4，5）5. 已知函数xx x f ⎪⎭⎫⎝⎛-=313)(，则)(x f （ ）A. 是奇函数，且在R 上是增函数B. 是偶函数，且在R 上是增函数C. 是奇函数，且在R 上是减函数D. 是偶函数，且在R 上是减函数 6. 已知313232,31⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=b a ，3232⎪⎭⎫ ⎝⎛=c ，则 A. b c a << B. c b a <<C. a c b <<D. c a b <<7. 若函数⎩⎨⎧>≤--=-7,7,3)3()(6x ax x a x f x 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. )3,49(B. )3,49[C. （1，3）D. （2，3）8. 函数||ln 1)(x xx f +=的图象大致为9. 已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区问[0，＋∞）上单调递增，若实数a 满足)1(2log )(log 212f a f a f ≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则a 的取值范围是 A. ]2,1[B. ]21,0(C. ]2,21[D. ]2,0(10. 设D 是函数)(x f y =定义域内的一个区间，若存在D x ∈0，使00)(kx x f =)0(≠k ，则称0x 是)(x f y =在区间D 上的一个“k 阶不动点”，若函数25)(2+-+=a x ax x f 在区间]4,1[上存在“3阶不动点”，则实数a 的取值范围是A. ]21,(-∞ B. )21,0(C. ),21[+∞D. ]0,(-∞二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。
2018-2019学年北京市中国人民大学附属中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)
2018-2019学年北京市中国人民大学附属中学高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知命题：“”，则是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题，所以命题是，故选D. 【考点】命题的否定.2．已知集合，集合，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可．【详解】，；．故选：D．【点睛】本题考查交集的运算，描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法是基础题3．下列图形是函数图象的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据函数的定义以及函数与图象之间的关系进行判断即可．【详解】A当时，的对应值有两个，不满足函数对应的唯一性，不是函数B．满足函数的定义，则图象是函数图象C．当时，的对应值有两个，不满足函数对应的唯一性，不是函数D．当时，的对应值有两个，不满足函数对应的唯一性，不是函数故满足条件的图象是B，故选：B．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数的定义是解决本题的关键．比较基础．4．函数的定义域为，则函数定义域为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据的定义域即可得出需满足：，从而得出的定义域．【详解】的定义域为；满足；；的定义域为．故选：B．【点睛】本题考查函数定义域的概念及求法，已知的定义域求定义域的方法，是基础题5．“”是“”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】利用指数函数的单调性，结合充要条件推出结果即可．【详解】指数函数，是增函数，所以“”“”，“”“”，可得“”是“”的充要条件．故选：C．【点睛】本题考查充要条件以及指数函数的单调性的应用，是基础题．6．已知集合，集合，若，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】集合代表不等式的解集，可求，再根据得到关于的不等式，即可得到的范围．【详解】因为集合，所以，又因为，故．故选：B．【点睛】本题考查集合的基本关系，解题时，要注意端点的取舍，本题属基础题．7．已知函数，函数在下列区间一定存在零点（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知函数解析式分别求得，，，，的值，再由函数零点的判定得答案．【详解】，，，，，，，由函数零点判定定理可知，在上一定存在零点．故选：A．【点睛】本题考查函数零点的判定，考查函数值的求法，熟记零点存在基本定理是关键，是基础题．8．年至年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，将年份作为自变量，当年电影放映场次作为函数值，下列函数模型中，最不适合近似描述这年间电影放映场次逐年变化规律的函数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据函数在第一象限内是增函数进行判断．【详解】由图象可知在第一象限内，是关于的增函数，A、B、C均合题意当时，在第一象限内是减函数，当时，在第一象限内没有图象，故不适合．故选：D．【点睛】本题考查函数模型的应用及函数的单调性判断，熟记基本初等函数的基本性质是关键，属于中档题．二、填空题9．比较大小：__________.【答案】【解析】根据指数函数的单调性即可比较出与的大小．【详解】是上的减函数；．故答案为：．【点睛】本题考查指数函数的单调性，根据函数单调性比较大小的方法，是基础题10．函数的值域为____________．【答案】【解析】利用指数函数的性质求解【详解】由指数函数的性质可知，，所以，故函数的值域为．故答案为：．【点睛】本题考查指数型函数的值域求法，熟记函数基本性质是关键，考查计算能力，属于基础题．11．函数的定义域为_______________．【答案】或【解析】可看出，要使得函数有意义，则需满足，解出的范围即可．【详解】要使有意义，则：；，或；的定义域为，或．故答案为：或．【点睛】本题考查函数定义域的概念及求法，分式不等式的解法，考查计算能力，是基础题12．已知，（1）____________；（2）若函数有两个零点，则实数的取值范围为____________．【答案】【解析】（1）直接由分段函数解析式求解的值（2）画出函数的图象，数形结合得答案．（1）由已知可得，；（2）作出函数的图象如图，由图可知，要使函数有两个零点，则实数的取值范围为．故答案为：（1）；（2）．【点睛】本题考查分段函数的应用，考查函数值的求法，考查函数零点的判定，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．13．已知，则____________；的解析式为____________．【答案】【解析】，由此利用，能求出；设，则，从而，由此能求出的解析式．【详解】，，设，则，，的解析式为．故答案为：，．【点睛】本题考查函数值、函数解析式的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，14．对于函数，下列说法正确的是____________．①函数的定义域为；②函数为奇函数；③函数的值域为；④函数在定义域上为增函数；⑤对于，均有．【答案】①②④⑤【解析】①函数的分母恒成立，定义域为；②根据奇偶性的定义判断为定义域上的奇函数；③根据指数函数的图象与性质，求出函数的值域即可；④根据指数函数的性质，判断在定义域上为增函数；⑤根据为上的增函数，判断．【详解】对于①，函数，分母，定义域为，①正确；对于②，任意，有，函数为定义域上的奇函数，②正确；对于③，函数，，，，，的值域为，③错误；对于④，是增函数，是减函数，是增函数，函数在定义域上为增函数，④正确；对于⑤，对于，都有，且为上的增函数，所以，⑤正确．综上所述，正确的命题序号是①②④⑤．故答案为：①②④⑤．【点睛】本题主要考查了函数的定义与性质的应用问题，也考查了指数函数的性质与应用问题，是中档题．三、解答题15．（1）已知，求的值．（2）求值：．【答案】（1）6（2）1【解析】（1）将平方求解即可；（2）由对数运算性质求解即可【详解】（1），．（2）原式．【点睛】本题考查指数运算，对数运算，熟记运算法则及性质是关键，是基础题16．判别并证明函数的奇偶性．【答案】【解析】由奇函数定义判断即可【详解】是奇函数，证明如下：的定义域为，且；；是奇函数．【点睛】本题考查奇函数的定义及判断，熟记定义，及判断方法是关键，是基础题17．已知命题：方程有实根：命题：方程有两个不相等的实根，若“且”为真，求实数的取值范围．【答案】【解析】先求解p,q命题为真命题时m的范围，再利用命题真假求解即可【详解】方程有实根，则判别式，得或，方程有两个不相等的实根，则满足，得，即或，若“且”为真，则，同时为真命题，则得，即实数的取值范围是．【点睛】本题考查命题真假，二次方程根的情况，解决p,q命题为真命题时m的范围是关键，考查计算能力，是中档题18．已知函数是定义域为的奇函数，在上是减函数，且．（1）求与的值；（2）判别并证明函数在上的单调性；（3）若，求实数的取值范围．【答案】（1）0，0（2）在上是减函数（3）或【解析】（1）直接代入求值即可；（2）利用定义判断即可；（3）由奇函数与单调性转化求解即可【详解】（1）是上的奇函数；，且；；（2）在上是减函数，证明如下：设，则：；在上是减函数；；；；在上是减函数；（3）①，即时，满足；②，即时，由得：；；；；③，即时，由得：；；；综上得，实数的取值范围为或．【点睛】本题考查函数单调性判断，利用奇偶性解不等式，熟记基本性质是关键，考查计算能力，是中档题19．已知函数．（1）当时，求函数的零点；（2）若有两个零点，求实数的取值范围．【答案】（1）1（2）【解析】（1）m=0代入解析式直接求解即可；（2）转化为方程在上有两解，利用二次函数根的分布求解即可【详解】（1）时，，令可得，即．的零点是．（2）令，显然，则．有两个零点，且为单调函数，方程在上有两解，，解得：．的取值范围是．【点睛】本题考查函数零点，二次函数零点问题，熟记二次函数的性质是关键，是中档题20．已知函数，表示函数的次迭代函数，，．（1）若，求，，，；（2）若存在正整数，使得对于任意的正整数，均有成立，则称函数是次迭代周期函数，正整数为函数的选代周期．①若，求的选代周期；②若，判别是否为选代周期函数．若是，求出选代周期：若不是，请说明理由．【答案】（1），，，（2）①3；②不是【解析】（1）利用先求，，即可得（2）①由成立，计算求解即可的选代周期②反正法证明即可【详解】（1），，则，，，……于是．（2）①，，则，，，故的选代周期为，②，，则．第 11 页共 12 页，……，若为次迭代周期函数，则，，与矛盾．不是迭代周期函数．【点睛】本题考查函数的综合应用，注意新定义的理解运用，考查推理计算能力，是难题第 12 页共 12 页。
北京市首都师范大学附属中学2018-2019高一上学期期中考试数学试题
首都师范大学附属中学2018-2019高一上数学期中一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）1.已知集合071235432{|}{{1}}U x Z x A B =∈≤==＜，，，，，，，，，则UA B ⋂=（ ）A.∅B.{}1,2,3C. {}1,2,3,4,5D.{} 0,1,2,3,6 2.下列函数中，与y x =相同的函数是（ ）A. 2y x =B.lg10xy = C. 2x y x= D.()211y x =-+3.函数327x f x x =+-（）的零点所在区间为（ ）A.()1,0-B.()0,1C.()1,2D.()2,34.已知132210.322a b c log -===（），，，则a ，b ，c 的大小关系（ ）A.a b c >>B.a c b >>C.c b a >>D.b a c >> 5.下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在0-∞（，）上单调递增的函数是（ ） A. 2()f x x = B.(||)()2x f x = C. ()21log f x x= D.()f x x x = 6.函数(]()()()1,0()32110,xf x a x a x ⎧⎛⎫∈-∞⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+-∈+∞⎩在-∞+∞（，）上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 10,,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭7.已知奇函数f x （）在0-∞（，）上单调递减，且30f =（），则不等式10x f x -（）（）＞的解集为（ ） A.()3,1-- B.()()3,12,--⋃+∞ C. ()()3,03,-⋃+∞ D.()()1,01,3-⋃8.已知函数322x f x a x a x a g x =-++=-（）（）（），（）若对任意x R ∈，总有0f x （）＜或()0g x <成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.(),4-∞-B.[)4,0- C.()4,0- D.()4,-+∞ 二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）9.给定映射22f a b a b a b →+-：（，）（，），则在映射f 下，31（，）的原象是______． 10.计算()22()113()48122127100lg log lg ⎛⎫-++- ⎪⎝⎭的值为______．11.已知函数2f x x b =+（）在区间12-（，）上的函数值恒为正，则b 的取值范围为______． 12.函数1224y log x x =-+（）的单调递减区间为______． 13.已知三个函数222xf x xg x xh x log x x =+=-=+（），（），（）的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系是______． 14.某同学为研究函数22()11(1)(01)f x x x x ≤++-≤=+的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设CP x =，则AP PF f x +=（）．请你参考这些信息，推知函数f （x ）的图象的对称轴是______；函数49g x f x =-（）（）的零点的个数是______．三、解答题（本大题共4小题，共44.0分）15.己知集合{}|3A x a x a =≤≤+,24{|}120B x x x =--＞ 1.若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围； 2.若A B B ⋂=，求实数a 的取值范围．16.已知函数121201a a f x log x log x a a =+--≠（）（）（）（＞，） 1.求f x （）的定义域；2.判断f x （）的奇偶性并给予证明；3.求关于x 的不等式0f x （）＞的解集．17.定义在[44]-，上的奇函数f x （），已知当4[]0x ∈-，时，1()43x xaf x a R =+∈（）． 1.求f x （）在[0]4，上的解析式； 2.若2[]1x ∈--，时，不等式1123x x m f x -≤-（）恒成立，求实数m 的取值范围． 18.对于函数f x （），若存在实数，使得00f x x =（）成立，则x 0称为f （x ）的“不动点”． 1.设函数322x f x x +=+（），求f x （）的不动点；2.设函数2120f x ax b x b a =+++-≠（）（）（），若对于任意的实数b ，函数f （x ）恒有两相异的不动点，求实数a 的取值范围；3.设函数f x （）定义在-∞+∞（，）上，证明：若f f x （（））存在唯一的不动点，则f x （）也存在唯一的不动点．答案和解析1.【答案】A 【解析】 解：07012345{|}654321{}{}U U x Z x B ==∈≤==＜，，，，，，，，，，，，{0}6U B ∴=，123{}U A A B =∴⋂=∅，，，，故选：A ．利用补集的定义求出集合B 的补集，利用交集的定义求出UA B ⋂本题考查利用集合的交集、补集、并集的定义进行集合间的运算． 2.【答案】B 【解析】 解：对于A ，2y x x x R ==∈（），与函数y x =的对应法则不同，不是同一函数； 对于B ，10x y lg x x R ==∈（），与函数y=x 的定义域相同，对应法则也相同，是同一函数；对于C ，20x y x x x==≠（），与函数y x =的定义域不同，不是同一函数； 对于D ，()2111y x x x =-+=≥（），与函数y x =的定义域不同，不是同一函数． 故选：B ．根据两个函数的定义域相同，对应法则也相同，即可判断它们是同一函数． 本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题． 3.【答案】C 【解析】解：易知函数327x f x x =+-（）在定义域上是连续增函数，132710f =+-=-（）＜， 294760f =+-=（）＞ 120f f （）（）＜由零点判定定理，可知函数327x f x x =+-（） 的零点所在的区间为12（，） 故选：C ．由题意易知函数327x f x x =+-（）在定义域上是连续增函数，再由函数零点的判定定理求解． 本题考查了函数的零点的判断，属于基础题． 4.【答案】D 【解析】解：13221010.31202a b c log -=∈==（）（，），＞，＜则a b c ，，的大小关系是：b a c ＞＞． 故选：D ．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5.【答案】C 【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，2y x =，为二次函数，其对称轴为y 轴，在其定义域内既是偶函数但在0-∞（，）上单调递减，不符合题意；对于B ，||2,022,x 0xx x x y -⎧≥⎪==⎨<⎪⎩，在其定义域内既是偶函数但在0-∞（，）上单调递减，不符合题意； 对于C ，()2222log ,0log ,01x x f x log f x lo x x x g x ->⎧⎪===-=⎨-<⎪⎩（）（），在其定义域内既是偶函数又在0-∞（，）上单调递增，符合题意；对于D ，22,0,0x x y x x x x ⎧≥⎪==⎨-<⎪⎩，为奇函数，不符合题意；故选：C ．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题． 6.【答案】B 【解析】解：依题意，0210113a a-<⎧⎪⎨⎛⎫≥- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得102a ≤＜，故选：B ．由题意，此分段函数是一个减函数，故一次函数系数为负，且在分段点处，函数值应是右侧小于等于左侧，由此得相关不等式，即可求解本题考查函数单调性的性质，熟知一些基本函数的单调性是正确解对本题的关键，本题中有一易错点，忘记验证分段点出函数值的大小验证，做题时要注意考虑完全． 7.【答案】D 【解析】解：根据题意，f x （）为奇函数且30f =（），则30f -=（）， 又由f x （）在0-∞（，）上单调递减，则在3-∞-（，）上，0f x （）＞，在30-（，）上，0f x （）＜, 又由f x （）为奇函数，则在03（，）上，0f x （）＞，在3+∞（，）上，0f x （）＜，则0f x （）＜的解集为3030f x -⋃+∞（，）（，），（）＞的解集为303-∞-⋃（，）（，）； ()()10101000x x x f x f x f x ->-<⎧⎧⎪⎪-⇒⎨⎨><⎪⎪⎩⎩（）（）＞或，分析可得：10x -＜＜或13x ＜＜， 故不等式的解集为1013-⋃（，）（，）； 故选：D ．根据题意，由奇函数的性质可得30f -=（），结合函数的单调性分析可得0f x （）＞与0f x （）＜的解集，又由()10100x x f x f x ->⎧⎪-⇒⎨>⎪⎩（）（）＞或()100x f x -<⎧⎪⎨<⎪⎩，分析可得x 的取值范围，即可得答案．本题函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析0f x （）＞与0f x （）＜的解集，属于基础题． 8.【答案】C 【解析】解：由220x g x =-（）＜，得1x ＜，故对1x ≥时，0g x （）＜不成立， 从而对任意10x f x ≥，（）＜恒成立， 由于30a x a x a -++（）（）＜对任意1x ≥恒成立，如图所示，则必满足0131a a a <⎧⎪<⎨⎪--<⎩， 解得40a -＜＜．则实数a 的取值范围是40-（，）． 故选：C ．由题意可知1x ＜时，0g x （）＜成立，进而得到210a x a x a +-+（）（）＜对1x ≥均成立，得到a 满足的条件0131a a a <⎧⎪<⎨⎪--<⎩，求解不等式组可得答案．本题考查了函数的值，考查了不等式的解法，体现了恒成立思想的应用，属于中档题． 9.【答案】（1，1） 【解析】解：由题意，2321a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩．∴在映射f 下，31（，）的原象是11（，）． 故答案为：11（，）． 由题意可得2321a b a b +=⎧⎨-=⎩，求解方程组得答案．本题考查映射的概念，是基础的计算题． 10.【答案】4336- 【解析】 解：原式=1443214936--+=-． 故答案为：4336-． 进行分数指数幂和对数的运算即可． 考查分数指数幂和对数式的运算．11.【答案】[2+∞，）【解析】 解：2f x x b =+（）为增函数，∴若2f x x b =+（）在区间12-（，）上的函数值恒为正， 则只需要120f b -=-+≥（）即可，即2b ≥，即实数b 的取值范围是[2+∞，）， 故答案为：[2+∞，）结合函数f x （）是增函数，转化为10f -≥（）即可． 本题主要考查函数恒成立问题，利用函数为增函数，转化为最小值大于等于0是解决本题的关键． 12.【答案】02（，） 【解析】解：由240x x -+＞得：04x ∈（，）， 故函数f x （）的定义域是04（，）； 令24t x x =-+，则12y log t =， ∵12y log t =为减函数，24t x x =-+在02（，）上为增函数，在24（，）上为减函数； 故函数1224y log x x =-+（）的单调递减区间为是02（，）． 故答案为：02（，）根据真数大于0，可得函数的定义域；结合复合函数“同增异减”的原则，可确定函数的单调递减区间． 本题考查的知识点是复合函数的单调性，函数的定义域，对数函数的图象和性质，难度中档． 13.【答案】a c b ＜＜ 【解析】 解：由于1111001022f f -=-=-=（）＜，（）＞ 故2x f x x =+（）的零点10a ∈-（，）∵20g =（） ∴g x （）的零点2b =；∵11110110222h h =-+=-<=（），（）＞∴h x （）的零点1,12c ∈（）， 由于函数222xf x xg x xh x log x x =+=-=+（），（），（）均是定义域上的单调增函数， ∴a c b ＜＜． 故答案为：a c b ＜＜．根据函数解析式判断出222xf x xg x xh x log x x =+=-=+（），（），（）都是单调递增函数，运用函数零点定理判断a b c ，，的范围即可得a b c ，，的大小．本题考查了函数的单调性，在求解函数零点的范围问题中的应用，结合函数零点定理判断即可． 14.【答案】12x =；2 【解析】解：由题意可得函数f x AP PF =+（），从运动的观点看，当点P 从C 点向点B 运动的过程中，在运动到BC 的中点之前，PA PF +的值渐渐变小，过了中点之后又渐渐变大，∵当点P 在BC 的中点上时，即C B P 、、三点共线时，即P 在矩形ADFE 的对角线AF 上时，PA PF +取得最小值；当P 在点B 或点C 时，PA PF +取得最大值∴函数f x （）的图象的对称轴是12x =； 490g x f x =-=（）（），即94f x =（）．故函数49g x f x =-（）（）的零点的个数就是94f x =（）的解的个数．而由题意可得94f x =（）的解有2个， 故答案为：12x =；2 从运动的观点看，当点P 从C 点向点B 运动的过程中，在运动到BC 的中点之前，PA+PF 的值渐渐变小，过了中点之后又渐渐变大，可得函数f （x ）的图象的对称轴；函数49g x f x =-（）（）的零点的个数就是94f x =（）的解的个数． 本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，考查化归与转化的数学思想，属于中档题．15.【答案】解：1.∵集合{}|3A x a x a =≤≤+，24120{|}2{|B x x x x x =--=-＞＜或6}x ＞，A B ⋂=∅了，∴236a a >-⎧⎨+<⎩，解得23a -<<∴实数a 的取值范围是23-（，） 2.A B B A B ⋂=∴⊆，32a ∴+-＜或6a ＞，解得5a -＜或6a ＞．∴实数a 的取值范围是{5|a a -＜或6}a ＞．【解析】1.求出集合{}3{2||A x a x a B x x =≤≤+=-，＜或6}x ＞，由A B ⋂=∅，列出不等式组，能求出实数a 的取值范围．2.由A B B ⋂=，得到A B ⊆，由此能求出实数a 的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】解：1.根据题意，函数1212a a f x log x log x=+--（）（）（）， 则有120120x x +>⎧⎨->⎩，解可得1122x -<<，即函数f x （）的值域为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭； 2.函数1212a a f x log x log x=+--（）（）（）， 则[12121212]a a a a f x log x log x log x log x f x -=--+=-+--=-（）（）（）（）（）（） 则函数f x （）为奇函数，3.根据题意，12120a a log x log x +--（）（）＞即1212a a log x log x +-（）＞（），当1a ＞时，有1201201212x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，解可得102x ＜＜，此时不等式的解集为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；当01a ＜＜时，有1201201212x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+<-⎩，解可得102x -<<，此时不等式的解集为102-（，）；故当1a ＞时，不等式的解集为10,2⎛⎫⎪⎝⎭；当01a ＜＜时，不等式的解集为102-（，）．【解析】1.根据题意，由函数的解析式分析可得120120x x +>⎧⎨->⎩，解可得x 的取值范围，即可得答案；2.根据题意，由函数的解析式分析可得f x f x -=-（）（），结合函数的奇偶性的定义分析可得结论；3.根据题意，分1a ＞与01a ＜＜两种情况讨论，求出不等式的解集，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判定以及性质，注意分析函数的定义域，属于基础题17.【答案】解：1.f x （）是定义在[44]-，上的奇函数，010f a ∴=+=（）1a ∴=-()1143x x f x =-设]4[0x ∈，40[]x ∴-∈-，，()()113443x x x x f x f x --⎡⎤∴=--=--=-⎢⎥⎣⎦[]0,4x ∴∈时，34x x f x =-（）2.2]1[x ∈--，，()1123x x m f x -≤- 即11114323x x x x m--≤- 即12432x x x m +≤，2[]1x ∈--，时恒成立，20x ＞()12223x xg x m ⎛⎫⎛⎫=+⋅≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()12223x xg x ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在R 上单调递减，∴x ∈[-2，-1]时，()12223x xg x ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为221217(2)()2()232g ---=+⋅= ∴172m ≥【解析】1.根据奇函数的性质即可求出a ，设04[][]40x x ∈-∈-，，，，易求f x -（），根据奇函数性质可得f x （）与f x -（）的关系；2.分离参数，构造函数，求出函数的最值问题得以解决．本题考查函数的奇偶性及其应用，不等式恒成立的问题，考查学生解决问题的能力，属于中档题．18.【答案】解：1.由函数322x f x x x +==+（），得220x x --=解得1x =-或2x =，∴f x （）的不动点为-1和2．2.由f x x =（）得：220ax bx b ++-=由已知，此方程有相异二实根，0x ∆＞恒成立，即2420b a b --（）＞即2480b ab a -+＞对任意b R ∈恒成立．201632002b a a a ∴∆∴-∴＜．＜，＜＜∴实数a 的取值范围是02（，） 证明：3.证法一：设函数f x （）定义在-∞+∞（，）上，f f x （（））存在唯一的不动点， 首先若0x 为f f x （（））不动点，则00f x x =（）否则设010f x x x ≠（），则1x 也为f f x （（））不动点，即f f x （（））不动点不唯一，与已知f f x （（））存在唯一的不动点矛盾．∴f x （）有不动点0x 时，f x （）的不动点也是f f x （（））的不动点，∴若f f x （（））存在唯一的不动点，则f x （）也存在唯一的不动点．证法二：设a 是f f x （（））的唯一不动点，f f a a =（（））．设f a b =（），则f b f f a a f f b f a b ====（）（（）），（（））（）∴b 也是f f x （（））的不动点．由唯一性，得到b a =，∴f a a =（），从而a 是f x （）的不动点．如果f 有其它的不动点c ，则c 也是f f x （（））的不动点，由唯一性得c a =，∴a 是f x （）的唯一不动点．故若f f x （（））存在唯一的不动点，则f （x ）也存在唯一的不动点．【解析】1.设x 为不动点，则有322x f x x x +==+（），得220x x --=，解方程即可．2.证法一：设0x 为f f x （（））不动点，则00f x x =（），否则设010f x x x ≠（），则1x 也为f f x （（））不动点，与已知f f x （（））存在唯一的不动点矛盾．由此能证明若f f x （（））存在唯一的不动点，则f x （）也存在唯一的不动点．证法二：设a 是f f x （（））的唯一不动点，f f a a =（（））．设f a b =（），则f b f f a a f f b f a b ====（）（（）），（（））（），由唯一性，得到b a =，从而a 是f x （）的不动点．如果f 有其它的不动点c ，则c 也是f f x （（））的不动点，由唯一性得c a =，由此能证明若f f x （（））存在唯一的不动点，则f x （）也存在唯一的不动点．本题考查函数的不动点的求法，考查实数的取值范围的求法，考查函数存在唯一不动点的证明，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
2023-2024学年北京市中国人民大学附中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市中国人民大学附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2，3}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{﹣1，3}2．已知命题p：∃x＜0，x2+x≤−12，则¬p是（）A．∀x≥0，x2+x＞−12B．∃x≥0，x2+x≤12C．∀x＜0，x2+x＞−12D．∃x＜0，x2+x＞−123．下列函数中，在定义域上单调递减的是（）A．y＝x﹣1B．y＝﹣|x|C．y＝﹣x2﹣2x﹣1D．y=1√x+1+√x5．已知关于x的方程x2﹣3x+a＝0的两个实根为x1，x2，且|x1﹣x2|＝1，则a的值为（）A．1B．2C．3D．46．已知函数f（x）＝x2﹣1，g（x）＝（x+1）2，下表列出了x＝m时各函数的取值，则（）A．m＝3，n＝15B．m＝﹣3，n＝15C．m＝3，n＝81D．m＝﹣3，n＝817．“函数f（x）在区间[1，2]上不是增函数”的一个充要条件是（）A．存在a∈（1，2）满足f（a）≤f（1）B．存在a∈（1，2）满足f（a）≥f（2）C．存在a，b∈[1，2]且a＜b满足f（a）＝f（b）D．存在a，b∈[1，2]且a＜b满足f（a）≥f（b）8．如图，数轴上给出了表示实数a，b，c的三个点，下列判断正确的是（）A．ab＞c B．abc＞12C．c+2b＜a D．a+c＞2b9．已知f（x）={1，x∈Q0，x∈∁R Q．若对任意x∈R，均有xf（x）≤g（x），则函数g（x）可以是（）A．g(x)=1B．g（x）＝x C．g（x）＝x2D．g（x）＝|x|x10．如图，给定菱形ABCD，点P从A出发，沿A﹣B﹣C在菱形的边上运动，运动到C停止，点P关于AC的对称点为Q，PQ与AC相交于点M，R为菱形ABCD边上的动点（不与P，Q重合），当AM＝x 时，△PQR面积的最大值为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将结果填在答题纸上的相应位置）11．函数f（x）=√x−2的定义域为．x+112．不等式|2x﹣3|＜3的解集是．13．A={y|y=√x}，B＝{x|x2﹣（a+1）x+a＝0}，B⊆A，则实数a的取值集合是．14．若存在x∈（0，+∞），使得x2﹣ax+9＝0，则实数a的取值集合是．15．对集合A，B，定义A⊗B＝{（a，b）|a∈A，b∈B}．①若A⊗B的元素个数为4，则A，B可以为：A＝，B＝．（写出一组即可）②若集合M满足：存在M的子集A，B，使得A⊗B的元素个数不小于100，且对任意（a，b）∈A⊗B，均有（b，a）∈A⊗B，则集合M的元素个数的最小值是．三、解答题（本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16．（11分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝（﹣∞，m），其中m∈R．（Ⅰ）若B⊆A，求m的取值集合；（Ⅱ）若A∪B＝R，求m的取值集合．17．（12分）已知函数f（x）＝ax+b的定义域为（0，+∞），y＝﹣3x+6与y＝f（x）的图象相交于点A（1，xf（1）），B（2，f（2））．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明．18．（12分）已知函数f （x ）＝ax 2﹣2x ﹣3．（Ⅰ）若关于x 的不等式f （x ）≥0的解集为{x |x ≤﹣1或x ≥3}，求a 的值；（Ⅱ）若关于x 的方程f （x ）＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，求x 1+x 2的取值范围； （Ⅲ）若当x ∈[3，+∞）时，f （x ）≥0恒成立，求a 的取值范围．一．选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19．已知集合A ＝{x ||x |＜4}，B ＝{x |x 2﹣4x +3＞0}，则{x |x ∈A 且x ∉A ∩B }＝（ ） A ．（1，3） B ．[1，3]C ．[﹣4，1]∪[3，4]D ．（﹣4，1）∪（3，4）20．若xy ≠0，则“x +y ＝1”是“yx +x y+2=1xy”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件21．若x 03+y 03=a （x 0∈Z ，y 0∈Z ），则称（x 0，y 0）是关于x ，y 的方程x 3+y 3＝a 的整数解．关于该方程，下列判断错误的是（ ）A ．∃a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 有无限组整数解B ．∃a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 有且只有两组整数解C ．∀a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 至少有一组整数解D ．∀a ≠0，方程x 3+y 3＝a 至多有有限组整数解二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将结果填在答题纸上的相应位置．） 22．函数y ＝|x ﹣1|+|x +1|的最小值为（6分）23．若∀x ∈[a ，a +1]，∃y ∈[13，12]，使得xy ＝1，则实数a ＝（6分）24．若（x 0，y 0）是方程组{x 24+y 23=1x −3y −3=0的一组解，则代数式√(x 0−1)2+y 02|3y 0−1|的值为（6分）25．设a ＞0，函数f(x)={x +2，x ＜−a−x 2+a 2，−a ≤x ≤a −√x −1，x ＞a，给出下列四个结论：①当a ＝2时，f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增； ②当a ≥1时，f （x ）存在最大值；③设M （x 1，f （x 1））（x 1≤a ），N （x 2，f （x 2））（x 2＞a ），则|MN |＞1； ④若y ＝f （x ），y ＝﹣x 的函数图象有三个公共点，则a 的取值范围是（0，1）．其中所有正确结论的序号是（6分）三、解答题（本大题共1小题，共12分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）26．（12分）对非空数集T，给出如下定义：定义1：若∀x，y∈T，当x+y≠x﹣y时，{x+y，x﹣y}∩T≠∅，则称T为强和差集；定义2：若∀x，y∈T，当x+y≠|x﹣y|时，{x+y，|x﹣y|}∩T≠∅，则称T为弱和差集．（Ⅰ）分别判断{0，1}是否为强和差集，{1，2}是否是弱和差集，并说明理由；（Ⅱ）若集合A＝{1，a，b}是弱和差集，求A；（Ⅲ）若强和差集B的元素个数为12，且1∈B，求满足条件的集合B的个数．2023-2024学年北京市中国人民大学附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2，3}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{﹣1，3}解：A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝{0，1，2}．故选：C．2．已知命题p：∃x＜0，x2+x≤−12，则¬p是（）A．∀x≥0，x2+x＞−12B．∃x≥0，x2+x≤12C．∀x＜0，x2+x＞−12D．∃x＜0，x2+x＞−12解：命题p：∃x＜0，x2+x≤−12，则¬p是∀x＜0，x2+x＞−12．故选：C．3．下列函数中，在定义域上单调递减的是（）A．y＝x﹣1B．y＝﹣|x|C．y＝﹣x2﹣2x﹣1D．y=1√x+1+√x解：根据一次函数的性质可知，y＝x﹣1在R上单调递增，不符合题意；y＝﹣|x|，y＝﹣x2﹣2x﹣1在R上不单调，不符合题意；因为y=√x+1+√x在（0，+∞）上单调递增，故y=1√1+x+√x在（0，+∞）上单调递减，符合题意．故选：D．5．已知关于x的方程x2﹣3x+a＝0的两个实根为x1，x2，且|x1﹣x2|＝1，则a的值为（）A．1B．2C．3D．4解：∵关于x的方程x2﹣3x+a＝0的两个实根为x1，x2，∴x1+x2＝3，x1x2＝a，∴(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=9﹣4a＝1，∴a＝2．故选：B ．6．已知函数f （x ）＝x 2﹣1，g （x ）＝（x +1）2，下表列出了x ＝m 时各函数的取值，则（ ）A ．m ＝3，n ＝15B ．m ＝﹣3，n ＝15C ．m ＝3，n ＝81D ．m ＝﹣3，n ＝81解：由题得：f （m ）＝m 2﹣1＝8且g （m ）＝（m +1）2＝4， 可得m ＝﹣3，故f [g （m ）]＝f （4）＝42﹣1＝15＝n ． 故选：B ．7．“函数f （x ）在区间[1，2]上不是增函数”的一个充要条件是（ ） A ．存在a ∈（1，2）满足f （a ）≤f （1） B ．存在a ∈（1，2）满足f （a ）≥f （2） C ．存在a ，b ∈[1，2]且a ＜b 满足f （a ）＝f （b ） D ．存在a ，b ∈[1，2]且a ＜b 满足f （a ）≥f （b ）解：“函数f （x ）在区间[1，2]上不是增函数”的一个充要条件是：存在a ，b ∈[1，2]且a ＜b 满足f （a ）≥f （b ）． 故选：D ．8．如图，数轴上给出了表示实数a ，b ，c 的三个点，下列判断正确的是（ ）A ．ab ＞cB ．abc ＞12C ．c +2b ＜aD ．a +c ＞2b解：由图可知，﹣1＜a ＜−−12，−12＜b ＜0，12＜c ＜1，对于A ，由﹣1＜a ＜−12，−12＜b ＜0可得12＜−a ＜1，0＜−b ＜12，所以0＜ab ＜12，又12＜c ＜1，故ab ＜c ，故A 错误；对于B ，由0＜ab ＜12，12＜c ＜1，可得0＜abc ＜12，故B 错误；对于C ，由﹣1＜2b ＜0，12＜c ＜1，可得−12＜c +2b ＜1，又﹣1＜a ＜−12，所以c +2b ＞a ，故C 错误； 对于D ，由图可知，|a ﹣b |＜|b ﹣c |，即b ﹣a ＜c ﹣b ，整理得2b ＜a +c ，故D 正确． 故选：D ．9．已知f （x ）={1，x ∈Q 0，x ∈∁R Q．若对任意x ∈R ，均有xf （x ）≤g （x ），则函数g （x ）可以是（ ）A ．g(x)=1xB ．g （x ）＝xC ．g （x ）＝x 2D ．g （x ）＝|x |解：当x 为有理数时，f （x ）＝1，xf （x ）≤g （x ）⇔x ≤g （x ），排除A ，C 选项； 当x 为无理数时，f （x ）＝0，xf （x ）≤g （x ）⇔0≤g （x ），排除B 选项；只有D 正确． 故选：D ．10．如图，给定菱形ABCD ，点P 从A 出发，沿A ﹣B ﹣C 在菱形的边上运动，运动到C 停止，点P 关于AC 的对称点为Q ，PQ 与AC 相交于点M ，R 为菱形ABCD 边上的动点（不与P ，Q 重合），当AM ＝x 时，△PQR 面积的最大值为y ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．解：因为四边形ABCD 是菱形，且P 关于AC 的对称点为Q ，所以PQ ⊥AC ， 先研究P 从A 运动到B 的情况，设AC ＝a ，∠P AM ＝α，则PQ ＝2x •tan α，然后可得y =12PQ ⋅MC =x •（a ﹣x ）tan α，因为P 从A 运动到B 与P 从B 运动到C 时，对应的△PQR 面积最大值的变化规律是相反的， 所以设0＜x ≤a2，y ＝x •（a ﹣x ）tan α=[−(x −a 2)2+a 24]tanα，（0＜x ≤a2），显然tan α＞0，结合二次函数的性质可知，该函数开口向下，且在（0，a2）上单调递增，C 选项正确．故选：C ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将结果填在答题纸上的相应位置）11．函数f（x）=√x−2x+1的定义域为（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）．解：要使函数有意义，只需x−2x+1≥0，解得x≥2或x＜﹣1，所以f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）．12．不等式|2x﹣3|＜3的解集是（0，3）．解：|2x﹣3|＜3，则﹣3＜2x﹣3＜3，解得0＜x＜3，故所求的解集为（0，3）．故答案为：（0，3）．13．A={y|y=√x}，B＝{x|x2﹣（a+1）x+a＝0}，B⊆A，则实数a的取值集合是{a|a≥0}．解：A={y|y=√x}={y|y≥0}，B＝{x|x2﹣（a+1）x+a＝0}＝{x|（x﹣1）（x﹣a）＝0}，∵B⊆A，∴a≥0，∴实数a的取值集合是{a|a≥0}．故答案为：{a|a≥0}．14．若存在x∈（0，+∞），使得x2﹣ax+9＝0，则实数a的取值集合是{a|a≥6}．解：存在x∈（0，+∞），使得x2﹣ax+9＝0，则存在x∈（0，+∞），ax＝x2+9，即a=x+9x，设g（x）=x+9 x ，x+9x≥2√x⋅9x=6，当且仅当x＝3时，等号成立，故a≥6，所以实数a的取值集合是{a|a≥6}．故答案为：{a|a≥6}．15．对集合A，B，定义A⊗B＝{（a，b）|a∈A，b∈B}．①若A⊗B的元素个数为4，则A，B可以为：A＝{1，2}，B＝{3，4}．（写出一组即可）②若集合M满足：存在M的子集A，B，使得A⊗B的元素个数不小于100，且对任意（a，b）∈A⊗B，均有（b，a）∈A⊗B，则集合M的元素个数的最小值是10．解：①当A＝{1，2}，B＝{3，4}时，由题意可知：A⊗B＝{（1，3），（1，4），（2，3），（2，4）}，此时A⊗B的元素个数为4，满足题意．②设集合A中元素的个数为m，集合B中元素的个数为n，根据题意可知A⊗B的元素个数为mn，若A⊗B的元素个数为4，则A，B可以为A＝{1，2}，B＝{3，4}，若对任意（a，b）∈A⊗B，均有（b，a）∉A⊗B，则A＝B，m＝n，又A⊗B的元素个数不小于100，则mn＝m2≥100，解得m≥10，因为A，B是集合M的子集，所以集合M的元素个数的最小值是10．故答案为：①A＝{1，2}，B＝{3，4}（答案不唯一）；②10．三、解答题（本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16．（11分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝（﹣∞，m），其中m∈R．（Ⅰ）若B⊆A，求m的取值集合；（Ⅱ）若A∪B＝R，求m的取值集合．解：（Ⅰ）集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}＝{x|x≤﹣2或x≥3}，B＝（﹣∞，m），其中m∈R．若B⊆A，则m≤﹣2，∴m的取值集合是{m|m≤﹣2}；（Ⅱ）若A∪B＝R，则m≥3，∴m的取值集合为{m|m≥3}．17．（12分）已知函数f（x）＝ax+bx的定义域为（0，+∞），y＝﹣3x+6与y＝f（x）的图象相交于点A（1，f（1）），B（2，f（2））．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明．解：（Ⅰ）根据题意，可得f（1）＝﹣3+6＝3，f（2）＝﹣6+6＝0，故{a+b=32a+b2=0，解得{a=−1b=4，所以f（x）的解析式为f(x)=−x+4x；（Ⅱ）函数f（x）=−x+4x在（0，+∞）上是减函数，理由如下：证明：设任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，可得f（x1）﹣f（x2）=(x2−x1)+(4x1−4x2)=(x2−x1)(1+4x1x2)，因为x1＜x2，且x1、x2都是正数，所以x2﹣x1＞0且1+4x1x2＞0，可得f（x1）＞f（x2）．因此f（x）=−x+4x在（0，+∞）上是减函数．18．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣2x﹣3．（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）≥0的解集为{x|x≤﹣1或x≥3}，求a的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝0有两个不相等的实数根x1，x2，求x1+x2的取值范围；（Ⅲ）若当x∈[3，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．解：（Ⅰ）依题意﹣1，3是方程ax2﹣2x﹣3＝0的两根，所以﹣1+3=2a，﹣1×3=−3a，解得a＝1，故a的值为1．（Ⅱ）关于x的方程f（x）＝0有两个不相等的实数根x1，x2，所以a≠0，所以x1+x2=2a，Δ＝4+12a＞0，解得a＞−1 3，当−13＜a＜0时，1a＜−3，所以2a＜−6，x1+x2∈（﹣∞，﹣6）；当a＞0时，2a∈(0，+∞)，即x1+x2∈（0，+∞）．综上所述：x1+x2的范围是（﹣∞，﹣6）∪（0，+∞）．（Ⅲ）函数f（x）＝ax2﹣2x﹣3对称轴是x=1 a ，当a＜0时，f（x）在[3，+∞）上f（x）≥0不恒成立，当a＝0时，f（x）＝﹣2x﹣3在[3，+∞）上f（x）≥0不成立，当1a ≤3时，即a≥13时，f（x）在[3，+∞）上单调递增，要使在[3，+∞）上f（x）≥0恒成立，则f（3）＝9a﹣6﹣3≥0，解得a≥1，即a≥1；当1a ＞3时，即0＜a＜13时，f(x)min=f(1a)=1a−2a−3=−1a−3，要使f （x ）≥0在[3，+∞）上恒成立，则−1a −3≥0，解得a ≤−13，矛盾．综上所述，f （x ）≥0在[3，+∞）上恒成立，则a 的取值范围是[1，+∞）．一．选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19．已知集合A ＝{x ||x |＜4}，B ＝{x |x 2﹣4x +3＞0}，则{x |x ∈A 且x ∉A ∩B }＝（ ）A ．（1，3）B ．[1，3]C ．[﹣4，1]∪[3，4]D ．（﹣4，1）∪（3，4） 解：集合A ＝{x ||x |＜4}＝{x |﹣4＜x ＜4}，B ＝{x |x 2﹣4x +3＞0}＝{x |x ＞3或x ＜1}，A ∩B ＝{x |﹣4＜x ＜1或3＜x ＜4}，故{x |x ∈A 且x ∉A ∩B }＝{x |1≤x ≤3}．故选：B ．20．若xy ≠0，则“x +y ＝1”是“y x +x y +2=1xy ”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解：由y x +x y +2=x 2+y 2+2xy xy =(x+y)2xy ，可得“y x +x y +2=1xy ”等价于“(x+y)2xy =1xy ”，即x +y＝±1．因此，由x +y ＝1可以得到y x +x y +2=1xy 成立，由y x +x y +2=1xy 不能推出x +y ＝1． 故“x +y ＝1”是“y x +x y +2=1xy ”的充分而不必要条件．故选：A ．21．若x 03+y 03=a （x 0∈Z ，y 0∈Z ），则称（x 0，y 0）是关于x ，y 的方程x 3+y 3＝a 的整数解．关于该方程，下列判断错误的是（ ）A ．∃a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 有无限组整数解B ．∃a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 有且只有两组整数解C ．∀a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 至少有一组整数解D ．∀a ≠0，方程x 3+y 3＝a 至多有有限组整数解解：对于A ：当a ＝0时，由x 3+y 3＝0，得（x +y ）（x 2﹣xy +y 2）＝0，解得y ＝﹣x ，∀x ∈Z ，（x ，﹣x ） 是方程x 3+y 3＝0的整数解，所以，∃a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 有无限组整数解为真命题，故A 正确；对于B ：当a ＝1时，方程x 3+y 3＝1，因为x 0∈Z ，y 0∈Z ，所以有且仅有（0，1）和（1，0）时方程x 3+y 3＝1成立，因此，∃a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 有且只有两组整数解为真命题，故B 正确．对于C ：当a ＝3时，由3＝1×3，3＝3×1，3＝（﹣3）×（﹣1），3＝（﹣1）×（﹣3），仅有这4种整数分解的方法，又x 2﹣xy +y 2≥0，所以{x +y =−1x 2−xy +y 2=−3，无解； 或{x +y =−3x 2−xy +y 2=−1，无解； 或{x +y =1x 2−xy +y 2=3，消去y 得3x 2﹣3x ﹣2＝0，解得x =3±√336，无整数解； 或{x +y =3x 2−xy +y 2=1，消去y 得3x 2﹣9x +8＝0，无解； 综上所述，方程x 3+y 3＝3无整数解，所以，∀a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 至少有一组整数解为假命题，故C 错误．对于D ：若关于x ，y 的方程x 3+y 3＝a 存在整数解（x 0，y 0 ）．由x 0∈Z ，y 0∈Z ，则a ∈Z ，∀a ≠0，整数a 至多有有限组分解方法，可设所有分解形式为a ＝b i c i （i ＝1，2，3，⋯，n ；b i ，c i ∈Z ），由x 3+y 3＝（x +y ）（x 2﹣xy +y 2）＝a ，得{x +y =b i x 2−xy +y 2=c i，i ＝1，2，3，⋯，n ， 消去y 得3x 2﹣3b i x +b i 2−c i ＝0，i ＝1，2，3，⋯，n ，对于b i （i ＝1，2，3，⋯，n ）的每一个确定的值，此关于x 的二次方程最多有2个整数解，即方程组至多有2组整数解．所以，∀a ≠0，方程x 3+y 3＝a 至多有2n 组整数解，故D 正确．故选：C ．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将结果填在答题纸上的相应位置．）22．函数y ＝|x ﹣1|+|x +1|的最小值为 2 ．解：在数轴上，设﹣1、1、x 所对应的点分别是A 、B 、P ，则函数y ＝|x ﹣1|+|x +1|的含义是P 到A 的距离与P 到B 的距离的和，可以分析到当P 在A 和B 之间的时候，距离和为线段AB 的长度，此时最小．即：y ＝|x ﹣1|+|x +1|＝|P A |+|PB |≥|AB |＝2．故答案为：2．23．若∀x ∈[a ，a +1]，∃y ∈[13，12]，使得xy ＝1，则实数a ＝ 2 ．解：∀x ∈[a ，a +1]，∃y ∈[13，12]，使得xy ＝1，即∀x ∈[a ，a +1]，∃1x ∈[13，12]， 所以{1a =121a+1=13，解得a ＝2． 故答案为：2．24．若（x 0，y 0）是方程组{x 24+y 23=1x −3y −3=0的一组解，则代数式√(x 0−1)2+y 02|3y 0−1|的值为 12 ．解：因为（x 0，y 0）是方程组：{x 24+y 23=1x −3y −3=0的一组解，可得3y 0＝x 0﹣3， 所以|3y 0﹣1|＝|x 0﹣1﹣3|＝|x 0﹣4|，且（x 0﹣1）2+y 02=x 02−2x 0+1+3（1−x 024）=x 024−2x 0+4=14（x 0﹣4）2， 所以√(x 0−1)2+y 02|3y 0−1|=12|x 0−4||x 0−4|=12． 故答案为：12．25．设a ＞0，函数f(x)={x +2，x ＜−a−x 2+a 2，−a ≤x ≤a −√x −1，x ＞a，给出下列四个结论：①当a ＝2时，f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增；②当a ≥1时，f （x ）存在最大值；③设M （x 1，f （x 1））（x 1≤a ），N （x 2，f （x 2））（x 2＞a ），则|MN |＞1；④若y ＝f （x ），y ＝﹣x 的函数图象有三个公共点，则a 的取值范围是（0，1）．其中所有正确结论的序号是 ①②③④ ．解：依题意，a ＞0，当x ＜﹣a 时，f （x ）＝x +2，其图像为一条右端点取不到的单调递增的射线；当﹣a ≤x ≤a 时，f （x ）＝﹣x 2+a 2，开口向下，对称轴为y 轴，与x 轴交点为（﹣a ，0），（a ，0）， 其图象为抛物线y ＝﹣x 2+a 2 位于x 轴上方（含x 轴交点）部分；当x ＞a 时，f （x ）=−√x −1，其图像是一条左端点取不到的单调递减的曲线；对于①：若a ＝2，则f （x ）的图像如下：由图像可知：f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，故①正确；对于②：当a≥1时，则有：若x＜﹣a时，f（x）＝x+2＜﹣a+2≤1；若﹣a≤x≤a时，f（x）＝﹣x2+a2，显然取得最大值a2＞1；若x＞a时，f(x)=−√x−1＜−√a−1≤﹣2．综上所述：f（x）取得最大值a2，故②正确；对于③：当﹣a≤x1≤a时，结合图像，易知在x1＝a，x2＞a且接近于x＝a处，M（x1，f（x1））（x1≤a），N（x2，f（x2））（x2＞a）的距离最小，当x1＝a时，y1＝f（x1）＝0，当x2＞a且接近于x＝a处，y2＝f（x2）＜−√a−1，此时|MN|＞y1﹣y2＞√a+1＞1；当x1＜a时，若0＜a＜2时，部分射线在x轴上方，此时|MN|＞√a+1＞1；若a≥2时，此时|MN|＞2a≥4；综上所述：|MN|＞1，故③正确；对于④：当x＜﹣a时，令x+2＝﹣x，解得x＝﹣1，可知此时y＝f（x）与y＝﹣x至多有1个交点；当﹣a≤x≤a时，由图象f（x）的图像可知：此时y＝f（x）与y＝﹣x有且仅有一个交点；当x＞a时，令−√x−1=−x，整理得x−√x−1=0，解得√x =1+√52或√x =⋅1−√52（舍去），所以x =3+√52， 可知此时y ＝f （x ）与y ＝﹣x 至多有一个交点；综上所述：y ＝f （x ）与y ＝﹣x 的图象有三个公共点，可知，y ＝f （x ）与y ＝﹣x 在x ＜﹣a 和x ＞a 内均有一个交点，则{a ＞0−a ＞−1a ＜3+√52，解得0＜a ＜1， 所以a 的取值范围是（0，1），故④正确．故答案为：①②③④．三、解答题（本大题共1小题，共12分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）26．（12分）对非空数集T ，给出如下定义：定义1：若∀x ，y ∈T ，当x +y ≠x ﹣y 时，{x +y ，x ﹣y }∩T ≠∅，则称T 为强和差集；定义2：若∀x ，y ∈T ，当x +y ≠|x ﹣y |时，{x +y ，|x ﹣y |}∩T ≠∅，则称T 为弱和差集．（Ⅰ）分别判断{0，1}是否为强和差集，{1，2}是否是弱和差集，并说明理由；（Ⅱ）若集合A ＝{1，a ，b }是弱和差集，求A ；（Ⅲ）若强和差集B 的元素个数为12，且1∈B ，求满足条件的集合B 的个数．解：（Ⅰ）由题∀x ，y ∈{0，1}，根据强和差集定义，当x +y ≠x ﹣y 时，x 与y 的所有取值可能为{x =0y =1,，{x =1y =1，都满足{x +y ，x ﹣y }∩{0，1}≠∅， 所以{0，1}是强和差集．∀x ，y ∈{1，2}，根据弱和差集定义，当x +y ≠|x ﹣y |时，x 与y 的所有取值可能为{x =1y =1,，{x =1y =2,，{x =2y =2,，{x =2y =1， 其中{x =2y =2时不满足{x +y ，|x ﹣y |}∩{1，2}≠∅． 所以{1，2}不是弱和差集．（Ⅱ）若集合A ＝{1，a ，b } 是弱和差集，则当{x =1y =1时，{x +y ，|x ﹣y |}＝{2，0}，由题意有{2，0}∩{1，a ，b }≠∅，若0∉{1，a ，b }，则2∈{1，a ，b }，当{x =2y =2时，{4，0}∩{1，a ，b }≠∅⇒4∈{1，a ，b }继续重复以上步骤8∈{1，a ，b }，显然矛盾．所以必有0∈{1，a ，b }，不妨a ＝0，则A ＝{1，0，b }，b ≠0，b ≠1．当{x =1y =b，有{1+b ，|1﹣b |}∩{1，0，b }≠∅， 若1+b ＝0⇒b ＝﹣1，此时A ＝{1，0，﹣1}为弱和差集．若|1−b|=b ⇒b =12，此时A ={1，0，12}为弱和差集．若|1﹣b |＝1⇒b ＝2，此时，A ＝{1，0，2}为弱和差集．所以A ＝{1，0，﹣1}或A ={1，0，12}或A ＝{1，0，2}．（Ⅲ）因为B 为强和差集且1∈B ，如果B 中有其它正数，设其最大值为m （m ＞1），根据强和差集定义得m +1∉B ，m ﹣1∈B ，1﹣m ∈B ，即集合B 有一定的对称性，当{x =m y =m 时，{2m ，0}∩B ≠∅，所以0∈B ．所以以0，1为对称中心依次列出12元素的集合可得：{﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6}与{﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，另根据定义可验证得一个强和差集的一个倍数也是强和差集，但必须满足1∈B ，故满足条件的集合B 只有2 个．。
北京市首都师范大学附属中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)
首都师范大学附属中学2018-2019高一上数学期中一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】通过可以得到全集中的元素，再通过补集和交集运算求出最后答案. 【详解】解：故选：A．【点睛】本题考查利用集合的交集、补集、并集的定义进行集合间的运算．属于简单题.2.下列函数中，与是相同的函数是A. B.C. D.【答案】B【解析】A.与的对应关系和值域不同，不是相同函数，B.，是相同函数，C.与的定义域不同，D.函数的三要素都不相同，不是相同函数，故选 B.3.函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】很明显函数在定义域内单调递增，函数在定义域内为连续函数，且：，利用函数零点存在定理可得：函数的零点所在区间为.本题选择C选项.点睛：三个防范一是严格把握零点存在性定理的条件，；二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；三是函数f(x)在[a，b]上单调且f(a)f(b)＜0，则f(x)在[a，b]上只有一个零点.4.已知，则a，b，c的大小关系（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指数函数的单调性与1作比较可以得出a与b的大小关系，通过对数函数的图像性质可以得到，得到最终的结果.【详解】由指数函数和对数函数图像可知：，则的大小关系是：.故选：D．【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．。
北京市首都师范大学附属中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试卷含解析
首都师范大学附属中学2018-2019高一上数学期中一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】通过可以得到全集中的元素，再通过补集和交集运算求出最后答案.【详解】解：故选：A．【点睛】本题考查利用集合的交集、补集、并集的定义进行集合间的运算．属于简单题.2.下列函数中，与是相同的函数是A. B.C. D.【答案】B【解析】A.与的对应关系和值域不同，不是相同函数，B.，是相同函数，C.与的定义域不同，D.函数的三要素都不相同，不是相同函数，故选B.3.函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】很明显函数在定义域内单调递增，函数在定义域内为连续函数，且：，利用函数零点存在定理可得：函数的零点所在区间为.本题选择C选项.点睛：三个防范一是严格把握零点存在性定理的条件，；二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；三是函数f(x)在[a，b]上单调且f(a)f(b)＜0，则f(x)在[a，b]上只有一个零点.4.已知，则a，b，c的大小关系（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指数函数的单调性与1作比较可以得出a与b的大小关系，通过对数函数的图像性质可以得到，得到最终的结果.【详解】由指数函数和对数函数图像可知：，则的大小关系是：.故选：D．【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在上单调递增的函数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通过题意，利用函数单调性及奇偶性的定义依次分析四个选项中函数，可得答案.【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A，，为二次函数，其对称轴为y轴，在其定义域内既是偶函数但在上单调递减，不符合题意；对于B ，，在其定义域内既是偶函数但在上单调递减，不符合题意；对于C ，，在其定义域内既是偶函数又在上单调递增，符合题意；对于D ，，为奇函数，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题． 6.函数在上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】由题意，此分段函数是一个减函数，故一次函数系数为负，且在分段点处，函数值应是右侧小于等于左侧，由此得相关不等式，即可求解 【详解】解：依题意，，解得，故选：B ．【点睛】本题考查函数单调性的性质，熟知一些基本函数的单调性是正确解对本题的关键，本题中有一易错点，忘记验证分段点处函数值的大小验证，做题时要注意考虑完全．7.已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由奇函数的性质可得，结合函数的单调性分析可得与的解集，又由或，分析可得x 的取值范围，即可得答案．【详解】解：根据题意，为奇函数且，则，又由在上单调递减，则在上，，在上，,又由为奇函数，则在上，，在上，，则的解集为的解集为；或，分析可得：或，故不等式的解集为；故选：D．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析与的解集，属于基础题．8.已知函数若对任意，总有或成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可知时，成立，进而得到对均成立，得到a满足的条件，求解不等式组可得答案．【详解】解：由，得，故对时，不成立，从而对任意恒成立，由于对任意恒成立，如图所示，则必满足，解得．则实数a的取值范围是．故选：C．【点睛】本题考查了函数的值，考查了不等式的解法，体现了恒成立思想的应用，属于中档题．二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）9.给定映射，则在映射f下，的原象是______．【答案】（1，1）【解析】【分析】由题意可得，求解方程组得答案．【详解】解：由题意，，解得．∴在映射f下，的原象是．故答案为：．【点睛】本题考查映射的概念，是基础的计算题．10.求值：2+=____________。
2018北京人大附中高三(上)期中数学(理)
2018北京人大附中高三（上）期中数 学（理）2018.10.29一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合P ={x ∈R ∕1≤x ≤3}，Q ={x 2≥4}，则P ∪(C R Q )=（ ）A [2，3]B (−2，3]C [1，2)D (−∞，−2]∪ [1，+∞)2.设命题p:∀x >0，2x >log 2x ，则¬p 为（ ）A ∀x >0，2x ≤log 2xB ∃x >0，2x ≤log 2xC ∃x ≤0，2x ≤log 2xD ∀x >0，2x ≥log 2x3.设a =log 30.7，b =21.1，c =0.81.1，z 则（ ）A b <a <cB c <a <bC c <b <aD a <c <b4.函数y =f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以为（ ）A f (x )=1x −x 2B f (x )=1x −x 3C f (x )=1x −e xD f (x )=1x −lnx5.设a ，b 为两个非零向量，则“a ∙b =|a ∙b |”是“a 与b 共线”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分而必要条件6.设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，若a 1=d =1,则S n +8a n 的最小值为（ ）A 10B 92C 72D 12+2√27.设函数f (x )=2sin (ωx +φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f (5π8)=2，f (11π8)=0,且f (x )的最小正周期大于 2π，则（ ）A ω=23，φ=π12B ω=23，φ=−11π12 C ω=13，φ=−11π24 D ω=13，φ=7π248.在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位 mol/L ，记作[H +]）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位 mol/L ，记作[OH −]）的乘积等于常数10−14.已知pH 值的定义为pH =−lg [H +]，健康人体血液的pH值保持在7.35~7.45之间，那么健康人体血液中的[H +][OH −]可以为（ ） （参数数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）A 12B 13C 16D 110 二.填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9.已知向量a =(3，−1)，b =(−2，4)，则向量a 与b 的夹角为10.方程3sinx =1+cos2x 在区间[0，2π]上的解为11.已知函数f (x )同时满足以下条件：（1）定义域为R ；（2）值域为[0，1]；（3）f (x )−f (−x )=0. 试写出一个函数解析式f (x )=12.在∆ABC 中，∠A =60°，AB =3，AC =2.若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R ).BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AE⃗⃗⃗⃗⃗ =−4,则λ的值为 .13.无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和.若对任意n ∈N ∗,S n ∈{2，3}，则k 的最大值为 .14. 已知函数f (x )={x 2+x ，−2≤x ≤c 1x，c <x ≤3若c =0，则f (x )的值域是 ；若f (x )的值域是[−14，2]，则实数c 的取值范围是 .三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答题要有详细过程，把答案写在答题卡上.15.（本小题满分13分）已知函数f (x )=2sinx ∙cos (x −π3).（1）求函数f (x )的最小正周期；（2）当x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的取值范围.16.（本小题满分13分）已知等差数列{a n }中，a 1=−1，前12项和S 12=186.（1）求数列{a n }的通向公式；（2）若数列{b n }满足b n =(12)a n .记数列{b n }的前n 项和T n .若不等式T n <m ，对所有n ∈N ∗恒成立，求实数m 的取值范围.17.（本小题满分13分）如图，在四边形ABCD 中，AB //CD ，AB =4，AC =6，DC =8，cos ∠BAC =916.求（1）边BC 的长和∆ACD 的面积；（2）边BD 的长.18.（本小题满分13分）对于函数f (x )，若存在实数x 0满足f (x 0)=x 0，则称x 0为函数f (x )的一个不动点.已知函数f (x )=x 3+bx +3，其中b ∈R .（1）求f (x )的极值点；（2）若存在x 0既是 f (x )的极值点，又是f (x )的不动点，求b 的值；19（本小题满分14分）已知函数f(x)=lnx−1−ax(a∈R).x（1）若a=0，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))的切线方程；（2）若a<−1，求证：f(x)的单调区间；（3）若1<a<2，f(x)<−1.20.（本小题满分14分）若无穷数列{a n}满足：只要a p=a q(p，q∈N∗,p≠q)，必有a p+1=a q+1，则称{a n}具有性质P.（1）若{a n}具有性质P，且a1=1，a2=2，a4=3，a5=2，a6+a7+a8=21，求a3；（2）若无穷数列{b n}是等差数列，无穷数列{c n}是公比为正数的等比数列，b1=c5=1，b5=c1=81，a n=b n+c n，判断{a n}是否具有性质P，并说明理由；（3）设{b n}是无穷数列，已知a n+1=b n+sina n(n∈N∗).求证：“对任意a1，{a n}都具有性质P”的充要条件为“{b n}是常数列”.word下载地址。
2018-2019学年度北京市中国人民大学附属中学高一上学期数学期中考试试卷(图片版)
，，
若 ，， 若 ，， 错误， 综上，填①②。 故答案为：①②。
，则零点在 ，则零点在
内， 内，故③、④
19解析： 【答案】 ①②④ 【解析】
由题设有
，故
或，
故函数的定义域为
，故①正确。
当
，
，
此时
，为
上的奇函数，
故其图像关于原点对称，故④正确。
又
，
当
时，
；
当
时，
，
故 的值域为 Leabharlann 故②正确。由可得 不是定义域上增函数，故③错。
______。
① 有且只一个零点；
② 的零点在 内；
③ 的零点在 内；
④ 的零点在
内。
19. 关于函数
的性质描述，正确的是______。
① 的定义域为
② 的值域为
③ 在定义域上是增函数
④ 的图象关于原点对称
20. 在同一直角坐标系下，函数 与
（，
）的大致图象如图所示，则实数a的可能值为
______。
若 ，则 ，故
，
又或
，
所以 （舍）或 或 ，
此时
，
若 ，则 ，此时 ，
故 ，此时
，
若 ，则 ，此时 ，
故 ，此时
，
综上，
或
。
故答案为： 或 。
23解析： 【答案】 只需满足 或 即可 【解析】
的反函数为 ，故 与 的图像恰有一个 公共点，当 时，直线 满足要求，当 时，若
与 的图像恰有一个公共点，则 （因为题设 要求写出一个符合条件的实数，故可填一个负数即 可， 符合，待同学们学习了导数的相关知识后可 求）。 故答案为：只需满足 或 即可。
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人大附中2018~2019学年度第一学期期中高一年级数学练习& 必修1模块考核试卷2018年11月7 日说明：本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷17道题，共100分，作为模块成绩；Ⅱ卷7道题，共50分；Ⅰ卷、Ⅱ卷共24题，合计150分，作为期中成绩；考试时间120分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将条形码贴在答题卡的相应位置上．Ⅰ卷 （共17题，满分100分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1. 设集合A ＝{a ,2a ,0}，B ＝{2,4}，若A ∩B ＝{2}，则实数a 的值为（D ）A ．2B ．±2 CD2.计算2log A ） A. 43 B. 34 C. －43 D. －343. 下列函数中，是偶函数的是（D ）A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝lg xC ．f (x )＝x x e e --D ．f (x )＝|x |4. 函数()4x f x e x =+-的零点所在的区间是（B ）A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)5.已知(1)f x +=()f x 的大致图象是（A ）A. B. C. D.6. 设a ＝2log 5，b ＝3log 5，c ＝3log 2，则a ，b ，c 的大小关系为（B ）A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b7. 已知[1,2]x ∈，20x ax ->恒成立，则实数a 的取值范围是（D ）A. [1,)+∞B. (1,)+∞C. (,1]-∞D. (,1)-∞8. 设函数()1[]f x x x =+-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数log a y x =的图象与函数()f x 的图象恰有3个交点，则实数a 的取值范围是（D ）A. [2,3)B. (2,3]C. (3,4]D. [3,4)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）9. 计算：ln1e ＝________. 110. 已知集合{1}A x x =>，{}B x x a =>，若⊆A B ，则实数a 的取值范围是 .(,1]-∞ 11. 函数()log ()x a f x a a =-(01)a <<的定义域为__________.(1,)+∞12. 已知()f x ＝21,11,1x x x x ⎧-⎨-+>⎩≤，则[(1)]f f -＝_________；若()1f x =-，则x =________．－1；0或213. 已知函数2()22f x ax x =--在区间[1,)+∞上不．单调，则实数a 的取值范围是________. (0,1)14. 如图放置的边长为2的正三角形ABC 沿x 轴滚动，记滚动过程中顶点A 的横、纵坐标分别为x 和y ，且y 是x 在映射f作用下的象，则下列说法中：① 映射f 的值域是；② 映射f 不是一个函数；③ 映射f 是函数，且是偶函数；④ 映射f 是函数，且单增区间为[6,63]()k k k +∈Z ，其中正确说法的序号是___________.③说明：“正三角形ABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动．沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点B 为中心顺时针旋转，当顶点C 落在x 轴上时，再以顶点C 为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正三角形ABC 可以沿x 轴负方向滚动．三、解答题（本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）15.（本小题满分10分）已知集合2{0}A x x x =-<，2{20}B x x x m =--<.（Ⅰ）求A R ð；（Ⅱ）若A B =∅，求实数m 的取值范围．解：（Ⅰ）由20x x -<得，01x <<，故(0,1)A =， ......... 2分所以A R ð=(,0][1,)-∞+∞． ............................. 5分（Ⅱ）法1：若B =∅，则2(2)40m -+≤，故1m ≤-； ...... 7分若B ≠∅，则不满足AB =∅． ......................... 9分综上所述，实数m 的取值范围是(,1]-∞-． ................. 10分法2：由题知，当x A ∈时，220x x m --≥恒成立，即：当(0,1)x ∈时，22m x x ≤-恒成立． ................... 7分22x x -在区间(0,1)上的值域为(1,0)-， ................... 9分所以1m ≤-，即实数m 的取值范围是(,1]-∞-． ............. 10分16. （本小题满分10分）R 上的奇函数． （Ⅰ）求()f x 的解析式及值域；（Ⅱ）判断()f x 在R 上的单调性，并用单调性定义．．．．．予以证明． 解：（Ⅰ）由题知，(0)0f =，即：00212a -=+，故1a = ............................ 3分 因为2(0,)x ∈+∞，所以12(1,)x +∈+∞，212x +(0,2)∈， ()(1,1)f x ∈-．........................................ 5分 （Ⅱ）()f x 在R 上是增函数． ........................... 6分证明：设12,x x ∀∈R ，12x x <，则210x x x ∆=->，21()(y f x f x ∆=- 所以函数()f x 在R 上是增函数． ......................... 10分17.（本小题满分10分）某公司共有60位员工，为提高员工的业务技术水平，公司拟聘请专业培训机构进行培训．培训的总费用由两部分组成：一部分是给每位参加员工支付400元的培训材料费；另一部分是给培训机构缴纳的培训费．若参加培训的员工人数不超过30人，则每人收取培训费1000元；若参加培训的员工人数超过30人，则每超过1人，人均培训费减少20元．设公司参加培训的员工人数为x 人，此次培训的总费用为y 元．（Ⅰ）求出y 与x 之间的函数关系式；（Ⅱ）请你预算：公司此次培训的总费用最多需要多少元？解：（Ⅰ）当030,x x ≤≤∈N 时，40010001400y x x x =+=； . 2分当3060,x x <≤∈N 时，400[100020(30)]y x x x =+--⋅2202000x x =-+， ...................................... 4分故21400,030,202000,3060,x x x y x x x x ≤≤∈⎧=⎨-+<≤∈⎩N N ................. 5分 （Ⅱ）当030,x x ≤≤∈N 时，14003042000y ≤⨯=元，此时x ＝30； .................... 7分当3060,x x <≤∈N 时，2205020005050000y ≤-⨯+⨯=元，此时x ＝50． .......... 9分综上所述，公司此次培训的总费用最多需要50000元． ....... 10分Ⅱ卷 （共7道题，满分50分）一、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，可能有一项或几项是符合题目要求的，请将所有正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）18. 已知函数112()log f x x x =-，若0＜a ＜b ＜c ，且满足错误！未找到引用源。
()()()0f a f b f c <，则下列说法一定正确的是（AB ）A ．()f x 有且只一个零点B ．()f x 的零点在(0,1)内C ．()f x 的零点在(,)a b 内D ．()f x 的零点在(,)c +∞内19.关于函数()f x =的性质描述，正确的是（ABD ） A ．()f x 的定义域为[1,0)(0,1]- B ．()f x 的值域为(1,1)-C ．()f x 在定义域上是增函数D ．()f x 的图象关于原点对称20. 在同一直角坐标系下，函数x y a =与log a y x =(0a >,1a ≠)的大致图象如图所示，则实数a 的可能值为（BC ） A.32 B. 43 C. 75 D. 107 二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）21. 已知函数3, 0()1, 0x a x f x x x ⎧+>=⎨+≤⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是________． [1,)+∞22. 非空有限数集S 满足：若,a b S ∈，则必有ab S ∈．请写出一个．．满足条件的二元数集 S ＝________．{0,1}或{－1,1}，23. 已知直线y ax =上恰好存在一个点关于直线y =x 的对称点在函数ln y x =的图象上．请写出一个．．符合条件的实数a 的值：________．只需满足0a <或a e =即可．三、解答题（本大题共1小题，满分14分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）24.（本题满分14分）若函数()f x 的图象恒过(0,0)和(1,1)两点，则称函数()f x 为“0-1函数”.（Ⅰ）判断下面两个函数是否是“0-1函数”，并简要说明理由：①1y x -=； ②22y x x =-+.（Ⅱ）若函数()x f x a b =+是“0-1函数”，求()f x ；（Ⅲ）设()log a g x x =(0,1)a a >≠，定义在R 上的函数()h x 满足：① 对∀1x ,2x ∈R ，均有121221(1)()()()2h x x h x h x h x x +=⋅--+；② [()]g h x 是“0-1函数”，求函数()h x 的解析式及实数a 的值．7分解：（Ⅰ）①不是，因为图象不过(0,0)点；②是，因为图象恒过(0,0)和(1,1)两点． ................... 4分（Ⅱ）由(0)0f =得，00a b +=，故1b =-；由(1)1f =得，11a b +=，故2a =．所以，()21x f x =-． ................................... 7分（Ⅲ）令120,x x x ==得，(1)(0)()()2h h h x h x =-+，令12,0x x x ==得，(1)()(0)(0)2h h x h h x =⋅--+，所以，()(0)h x h x =+． .................................. 10分由②知，[(0)]0g h =，又函数()g x 是单调函数，故(0)1h =，从而()1h x x =+，(1)2h =， .................. 13分由②又知，[(1)]1g h =，于是log 21a =，故2a =． .......... 14分。