高阶偏导数

z ( x z) z z
y
y
(x z)2
zy
z2 y(x z)
x z
x z2
(x
y z)2
y(x z) (x z)2
xz2 y(x z)3
注意:抽象复合函数求高阶偏导数时,
fu(u, v), fv(u, v) 仍为抽象复合函数.
例:
z f (u, v) arctan(uv)
u (x, y)
y)
3x2
y( x2 (x2
y2) x3 y2 )2
y
2x
3x2 y
2x4 y
x2 y2 (x2 y2 )2 ,
f y( x,
y)
x3 x2 y2
2x3 y2 (x2 y2 )2
,
当 ( x, y) (0,0) 时,
f x(0,0)
lim
x0
f (x,0) x
f (0,0)
zy
xy
解 F( x, y, z) x ln z x ln | z | ln | y |
z yz
则
Fx
1 z
Fy
1 y
Fz
x z2
1 z
xz z2
1
故 z
x
Fx Fz
z
x z2
z
z xz
1
z Fy y Fz
y xz
z2
z2
y(x z)
2z xy
( z ) y x z
fu y( xfuu 2 yfuv ) 2x( xfvu 2 yfvv )
fu xyfuu 2( x2 y2 ) fuv 4 xyfvv .
例5
设z
1 x
f ( xy) y( x y),
f , 具有二阶
2z
lim 0 x0 x
0,
f y(0,0)
lim
y0
f (0, y) y
f
(0,0)
lim 0 0, y0 y
f xy (0,0)
lim
y0
f x(0, y) y
f x(0,0)
0,
f yx (0,0)
lim
x0
f y(x,0) x
f y(0,0)
1.
显然 f xy (0,0) f yx(0,0).
3z yxy
二元函数 z f ( x, y)的三阶偏导数共23=8项.
例1 求 z x3 y 3x2 y3 的二阶偏导数.
解 z 3x2 y 6xy3
x
2z x 2
6xy 6 y3
z
y
x3 9x2 y2
2z y 2
18x2 y
2z 3x2 18xy2
xy
2z 3x2 18xy2 . yx
zxx y( fu)x 2 fv 2x( fv)x y( yfuu 2 xfuv ) 2 fv 2x( yfvu 2 xfvv ) y2 fuu 4 xyfuv 2 fv 4 x 2 fvv
令 u xy v x2 y2则 z f (u,v)
zx yfu 2 xfv zxy fu y( fu)y 2 x( fv)y
依此类推,可定义多元函数的更高阶 的偏导数.
即: 函数一阶偏导数的偏导数,称为原来函数 的二阶偏导数.
函数二阶偏导数的偏导数,称为原来函数 的三阶偏导数.
二阶以及二阶以上的称为高阶偏导数.
二元函数 z f ( x, y) 二阶偏导数
z x
x y
x2 x x y2 y y
x
z
y
y
z x x
问题: 在什么条件下混合偏导数相等?
定理 若 f xy ( x, y) 和 f yx( x, y) 在点 ( x, y)
处连续,则 f xy ( x, y) f yx ( x, y).
这样以来,如果二元函数对 x求 次k,对 求 y次的混合l 高阶偏导数连续,
对自变量求偏导时可不分顺序, 它们 都是相等的(反复利用上述定理).其它多元 函数类似.
问题: 混合偏导数都相等吗?
例2 求
f
(
x,
y)
x
x3 2
y y
2
0
( x, y) (0,0) ( x, y) (0,0)
在 (0,0) 处的二阶混合偏导数.
解 当 ( x, y) (0,0) 时,
f x( x,
y)
3x2
y( x2 (x2
y2) x3 y2 )2
y
2x
f x( x,
2z x 2
z f ( x, y)对 x
的二阶偏导数.
z 2z y x xy
x
z y
2z yx
z f (x, y)对 x, y 的混合 二阶偏导数.
y
z y
2z y 2
z f ( x, y)对 y
的二阶偏导数.
二阶偏导数的记号:
z x x
z y x
x
z y
y
z y
f xx ( x, y) f xy ( x, y)
f yx( x, y) f yy( x, y)
zxx
zxy
zyx
zyy
2z
2z
x 2
xy
2z
2z
yx
y 2
2 f
2 f
x 2
xy
2 f
2 f
yx
y 2
f11
f12
f 21
f 22
二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项
二元函数 z f ( x, y) 三阶偏导数
第五节 高阶偏导数
本节主要讲两个问题： 一、什么是高阶偏导数 二、在什么条件下混合偏导数相等
多元函数的高阶偏导数与一元函数 的高阶导数类似:
一般情况下, 函数 z f ( x, y) 的
偏导数 z , z 还是 x, y 的函数, 如
x y
果 z ,
x
z y
的偏导数还存在, 则称它们
的偏导数为 z f ( x, y)的二阶偏导数.
例2 设 u e xy sin z, 求
3u .
xyz
解 u ye xy sin z
x 2u (e xy xye xy )sin z (1 xy)e xy sin z xy
3u (1 xy)e xy cos z. xyz
例3
x ln z 所确定的函数 z f ( x, y),求 2z .
x
2z
1 x2
wenku.baidu.com
y
x
2z x 2
3z x 3
y
2z x 2
3z x 2y
zxxx
x
2z
x
2z y 2
3z y 2x
2
y 2
y
y
2z y 2
3z y 3
z yy y
x
2z
3
xy y
x
2z xy
3z xyx
y
2z xy
3z xy 2
2z x
4
yx y
x
2z yx
3z yx 2
y
2z yx
v (x, y)
f u
1
v (uv
)2
fv
1
u (uv
)2
还是 u, v 的函数!
例4 设 f (u,v)有连续的二阶偏导数,
z f ( xy, x2 y2 ),
求
2z 2z x2 , xy .
解 令 u xy v x2 y2 则 z f (u, v)
zx yfu 2 xfv