泛函和变分法PPT课件
第五章 有限元法-1-泛函与变分(课堂PPT)
5
5.1 概述
基本思想:传统的有限元法以变分原理为基础。
首先把所要求解的微分方程数学模型——边值问题, 转化为相应的变分问题,即泛函求极值问题;
然后利用剖分插值,离散化变分问题为普通多元函数 的极值问题,即最终归结为一组多元的代数方程组;
解之即得待求边值问题的数值解。
(4)从数学理论意义上讲,有限元法作为应用数学的一 个重要分支,很小有其它方法应用得这样广泛。
它使微分方程的解法与理论面目一新,推动了泛函分析与计算 方法的发展。
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有限元法的内涵也在不断延拓:
自从1969年以来,在流体力学领域中,通过运用加权余量法导 出的伽辽金法或最小二乘法同样得到了有限元方程。
例如,鉴于三维静态磁场分析的需要,由有限元法与数值积分 法相组合而成的单标量磁位法,校正了三十余年来简化标量法 有误的构造模式。
数学理论的发展也为有限元法注入了新的活力,
1970年,以A. M. Arthurs为代表提出了互补变分原理, 形成了泛函的所谓双边值问题,产生了互补、对偶有限元法。 这样,通过泛函极大与极小值问题的近似数值解,简单地求其 算术平均值,即可获得充分逼近真实解的理想计算结果。
热传导、渗流、
流体力学、空气动力学、土壤力学、
机械零件强度分析、
电磁场工程问题等。
4
电气工程领域的应用
1965年Winslow首先将有限元法应用于电气工程问题,
1969年Silvester将有限元法推广应用于时谐电磁场问题。
至今
有限元法已经成为各类电磁场、电磁波工程问题定量 分析与优化设计的主导数值计算方法,
不同媒质分界面上的边界条件是自动满足的;二、三类边界条 件不必作单独的处理。
泛函极值及变分法
第二章 泛函极值及变分法(补充内容)2.1 变分的基本概念2.1.1 泛函和变分泛函是一种广义的函数,是指对于某一类函数{y (x )}中的每一个函数y (x ),变量J 有一值与之对应,或者说数J 对应于函数y (x )的关系成立,则我们称变量J 是函数y (x )的泛函,记为J [y (x )]。
例1:如果表示两固定端点A (x A ,y A ),B (x B ,y B )间的曲线长度J (图2.1.1),则由微积分相关知识容易得到:dx dx dy J BAx x ⎰+=2)/(1 (2.1.1)显然,对于不同的曲线y (x ),对应于不同的长度J ,即J 是函数y (x )的函数,J =J [y (x )]。
图2.1.1 两点间任一曲线的长度例2:历史上著名的变分问题之一——最速降线问题,如果2.1.2所示。
设在不同铅垂线上的两点P 1与P 2连接成某一曲线,质点P 在重力作用下沿曲线由点P 1自由滑落到点P 2,这里不考虑摩擦作用影响,希望得到质点沿什么样的曲线滑落所需时间最短。
图2.1.2 最速降线问题选取一个表示曲线的函数y (x ),设质点从P 1到P 2沿曲线y =y (x )运动,则其运动速度为:dsv dt ==其中,S 表示曲线的弧长,t 表示时间,于是:dt =设重力加速度为g ,则gy v 2=。
因为P 1和P 2点的横坐标分别为x 1到x 2,那么质点从P 1到P 2所用时间便为:1[()]x x J y x =⎰211/2211[()]2[()()]x x y x dx g y x y x ⎧⎫'+=⎨⎬-⎩⎭⎰(2.1.2)则最速降线问题对应于泛函J [y (x )]取最小值。
回顾函数的微分:对于函数的微分有两种定义: 一种是通常的定义,即函数的增量:),()()()(x x x x A x y x x y y ∆+∆=-∆+=∆ρ (2.1.3) 其中A (x )与∆x 无关,且有∆x →0时ρ(x ,∆x )→0,于是就称函数y (x )是可微的,其线性部分称为函数的微分()()dy A x x y x x '=∆=∆,函数的微分就是函数增量的主部。
泛函与变分简介 ppt课件
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泛函的极值――变分法
对于不同的自变量函数
,与此相应的泛函
也有不同的数值.找出一个确定的自变量函数
,使泛函
具有极值(极小或极大),这种泛函的极小值与极大
值统称为泛函的极值.
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引入泛函的概念后,对于上述的最速降线问题变为泛函 的极小值问题.物理学中常见的有光学
中的费马(Fermat)原理,分析力学中的哈密顿 (Hamiton)原理等,都是泛函的极值问题.
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变分法的基本概念
泛函 变分法研究的对象是泛函,泛函是函数概念的推广.
为了说明泛函概念先看2个例题:
பைடு நூலகம்
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泛函通常以积分形式出现,比如上面描述的最速降线 落径问题的公式.更为一般而又典型的泛函定义为
其中
称为泛函的核.
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即为
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不显含 ,故其E-L方程为(17.2.7)式
令
,故有
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27
令 再令
,分离变量得到 ,代入上式得到
即得到
此即为摆线的参p数pt课方件 程,积分常数可由初始位置28
.由(17.1.8),有
,即
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(17.2.3)
变分法PPT
Variational Methods
变分法简介
基本概念 经典变分问题 变分运算 变分的算法
基本概念
泛函 泛函是一个函数的表达式,取值取决于该表达式中的函
数,泛函是函数的函数。
I x2 F x, y, ydx x1
1) 除变量x外,泛函还可以包含其他的独立变量; 2) 除函数y(x)外,泛函还可以包含有许多以上述独立变量
y
yx
dy dx
x
y y y a
y y y a
利用δ沿可变曲线将F写成: F x, y y, y y
在任意x处,将F展开成关于y和y`的泰勒级数:
F
x,
y
y,
y
y
F
x,
y,
y
F y
y
F y
y
O
2
∴ F x, y y,
F的全变分:
y
y
F
x,
y,
y
F y
y
F y
y
O
2
(T) F F x, y y, y y F x, y, y
一阶变分:
F F y F y
y y
x2 F x, y y, y ydx x1
x2 F x, y, ydx
x1
x2 x1
F y
y
F y
y
dx
O
2
(T)I I I
x2 x1
2F y 2
y2
2
2F yy
y
y
2F
y2
y2
dx
I取极值的条件: I 0
F d F 0 y dx y
具有多个因变量:
I
力学中的泛函分析和变分原理第十二讲
������
������ ⋅ ������������������ −
������������
������ ⋅ ������������������
其中,������������������ = 2 ������������,������ + ������������,������ , ������������������ = ������������ , in ������; ������������ = ������������ , on ������������ .
用方程(6.1.10)式,试探函数用分片线性函数,可得有限元方程,这与Ritz法相
同。具体如下:
令:������ = ������������, ������ = ������������; ������ = ������������, ������ = ������������; ������ = ������������, 则有 ������ ������ ������������ ������ ������������ ������������ ������ ������ ������������ ������ ������ ������ =
§6.1 最小势能原理及弹性力学方程的近似解法
近似解法—Galerkin法(虚功原理)-(2)
Ritz法的可取函数是������ 0 类,即函数本身连续即可,但直接用(b)式,则需������ 1 类
函数,因������������������,������ 中包含位移的二阶导数。为使本方法也用������ 0 类函数,可用分部
积分,在(b)式中: ������������������,������ ������������ ������������ −
第1章变分法
接近度的任何函数 y1(x) 上的值,即
J[ y0 (x)] ≥ J1[ y1(x)] ,
(1.1.10)
则称泛函 J[ y(x)] 在函数 y0 (x) 上达到相对极大值.如果泛函 J[ y(x)] 在函数 y0 (x)
的零级ε-邻域,(1.1.10)式总是成立,那么称 J[ y(x)] 在函数 y0 (x) 上达到相对强极
的 y0 (x) n 级ε-邻域.
y y = y1 (x, y)
y = y (x, y)+ε y = y (x, y) y = y (x, y)−ε
x0
x1 x
图 1.2
定义 4 设 J[ y(x)] 是定义在某个函数类{y(x)}上的泛函,如果存在ε >0,使
得它在函数 y0 (x) 上的值不小于它在函数类{y(x)}中且与 y0 (x) 有某确定级数的ε-
A(0, 0) x
M(x, y)
B(a, b) y
图 1 1.
如图 1.1,以 A 点为坐标原点,Ox 轴取在水平方向,Oy 轴铅直向下.设 y = y(x)
是连接点 A(0, 0) 和 B(a,b) 的一条光滑曲线,质点沿这条曲线下滑.因初速度为零,
故质点下滑到任意点 M (x, y) 的速率为
v = 2gy
§1.1 泛函和泛函的极值问题
1.1.1 泛函的概念
先从一个最简单的例子引进泛函的概念. 例 1 设已给 x 轴上两点 x = x0 和 x = x1 ,y = y(x) 是定义在区间[x0, x1] 上的有
连续一阶导数的函数,则曲线 y = y(x) 的长为
∫ l[ y(x)] = x1 1+ y′2 dx , x0
变量 J 是函数 y(x) 的泛函,记之为 J = J[ y(x)].而此函数集称为泛函 J[ y(x)] ]的定 义域,有时也称为泛函的容许函数.简言之,泛函是函数集 Y 到数域 R 上的一个 映射,映射的自变元是一个函数,而属于 Y 的每一个函数 y(x) 称为容许函数.读 者不难自己类似的给出依赖于多个函数的泛函的定义.
有限元基础(泛函、变分与变分法)
因此
aT K a = aT K a
= aT( Ka - P ) = 0 由 a 的任意性,就得到(1.3.6)式:
Ka — P = 0
1.3.2 变分原理的建立
1.线性、自伴随微分算子
线性算子
具有以下性质的算子 L 称为线性算子
其中和是两个常数
内积
算子L(u)与任意函数v的 内积 定义为
则被积函数 (x) 在区间 a ≤x≤b 上必处处为零,即
1.3 变分原理和里兹方法
1.3.1 变分原理
变分原理定义
部分物理问题存在一个泛函: 而问题的解 u 使泛函取驻值,即 利用此式求解的方法称为变分法或变分原理
里兹(Ritz)法
选择试探函数:
其中N为已知函数,a为待定参数
代入泛函积分式,泛函变为普通实函数 令泛函变分为零
5. 变分法
求泛函极值的数学方法称为变分法。 泛函极值的必要条件: J = 0
充分条件:J = 0 且:2J >0 极小值 2J < 0 极大值
变分法基本预备定理:
设 (x) 是闭区间 a ≤x≤b 上的连续函数,y 是该区间上自变函数 y(x) 的变分,如果 y 在满足 约束条件的前提下任意变化时,下式始终成立
与以上微分提法相等效的伽辽金提法为
(1.3.21)
若算子L是线性、自伴随的,则有如下关系:
将其代入(1.3.21)式得
若令 则上式可表示为变分原理:
(1.3.23) 此处Π就是原问题的泛函,因为此泛函中u的最高 次为二次,所以是二次泛函。
3. 泛函的极值性
条件:
1.算子L是偶数(2m)阶的;
由于 y 与 y, y, , y(n) 无关,所以
(53页幻灯片)泛函分析PPT课件
泛函分析的产生
十九世纪后数学发展进入了一个崭新阶段
对欧几里得第五公设的研究,引出了非欧几何 对于代数方程求解的研究,建立并发展了群论 对数学分析的研究又建立了集合论
二十世纪初出现了把分析学一般化的趋势
瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作 希尔伯特空间的提出
分析学中许多新理论的形成,揭示出分析、几何、代数的许多概念和方 法常常存在相似的地方
泛函分析导 引
泛函分析概览
形成于20世纪30年代的数学分支 从变分问题,积分方程和理论物理的研究中发 展而来 综合运用了函数论,几何学,代数学的观点
➢ 可看成是无限维向量空间的解析几何及数学分 析
研究内容
无限维向量空间上的函数,算子和极限理论 研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各 种拓扑和代数条件的映射
设 f (x) 是定义在[a, b]上的有界函数
并任在意[a取, bξ]上i 任∈意[x取i-1一,xi]组(i分=1点,2,a…=x,n0<),x1…作<和xn式-1<xn=b,
n
S f (i )xi
i1
若其极限存在则称Riemann可积
nHale Waihona Puke b(R) a f (x)dx lxim0 i1 f
在数学上,把无限维空间到无限维空间的变换叫做算 子
研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论,就产生 了一门新的分析数学,叫做泛函分析。
泛函分析的特点
把古典分析的基本概念和方法
一般化 几何化
从有限维到无穷维
泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具
从质点力学过渡到连续介质力学,就要由有穷自由度系 统 过渡到无穷自由度系统 现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统
变分法泛函极值问题PPT课件
F x
d dt
(
F x
)
0
(3-3)
上式称为欧拉——拉格朗日方程。
(3-2)式中第二项为零的条件要分两种情况来讨论:
.
15
1、 固定端点的情况
这时 x(t0 ) x0 , x(t f ) x f,它们不发生变化,所 以 x(t0 ) x(t f ) 0 。而(3-2)中第二项可写成
F x
x
JX ,X X
这里,JX ,X 是X 的线性泛函,若 X 0时, 有 0,则称JX ,X 是泛函 JX 的变分。J 是 J
的线性主部。
.
9
6、泛函的极值:若存在 0 ,对满足的
X X一* 切 X,
J (X ) 具J (有X *同) 一符号,则
称 J ( X ) 在 X X *处有极值。
(3-21)与(3-22)一起称为哈密顿正则程。
.
39
(3-23)是控制方程,它表示 H 在最优控制处取 极值。
注意,这是在U为任意时得出的方程,当 U (t)有界且 在边界上取得最优值时,就不能用这方程,这时要用 极小值原理求解。
(3-24)是在 固定、t f
自X (t由f ) 时得出的横截条件。
容易验证 x(t) 0时, J 0 对应局部极小;x(t) 2t 3
时, J 4 27 ,对应局部极大。
.
28
3.3 有约束条件的泛函极值 ——动态系统的最优控制问题
前面讨论泛函极值问题时,对极值轨迹 X *(t) 没有附 加任何约束条件。但在动态系统最优控制问题中, 极值轨迹必须满足系统的状态方程,也就是要受到 状态方程的约束。考虑下列系统
是指同属于函数类X (t)中两个函数X1(t) 、X 2 (t) 之差
2、变分法
一、泛函与变分
dt J (J ) (Lx )x (Lx )x
2 tf t0
– 二阶变分
tf
L
tf t0
t0
x L x x dt L xxx Lxxx xx Lx x x
2 xx Lx xxx Lx x (x ) dt xx (x ) Lxx 2
0 1 1
2 x (t )x (t ) dt
0
– 变分计算的形式化表示
J lim
J [ x(t ) x(t )] J [ x(t )] 0 0 J [ x(t ) x(t )] J [ x(t )] lim x(t ) x ( t ) 0 x(t ) 0 J '[ x(t )] x(t )
J [ x] J [ x * ] J [ x * x] J [ x * ] J [ x * x] J [ x * ] 0, 0 0 * * J [ x x] J [ x ] 0, 0 0 J [ x * ] 0 J [ x * ] 0 * J [ x ] 0
~ x
x
x(t ) ~ x (t ) x(t ) (t )
(t ) x(t )
0
lim
J [ x(t ) (t )] J [ x(t )]
L[ x(t )](t )
y
J [ x(t ) x(t )] | 0 L[ x(t )]x(t )
第2章 变分法
一、泛函与变分
• 泛函的概念
f ( x)
y f ( x)
泛函分析:变分法
2020/6/9
北京师范大学网络教育-云南学习中心
5
第二章 变分法及其在最优控制中的应用
伽利略(Galileo, 1564~1643)比贝努利更早注意到悬链
线,他猜测悬链线是抛物线,从外表看的确象,但实际上不是。
惠更斯(Huygens, 1629~1695)在1646年(当时17岁),经 由物理的论证,得知伽利略的猜测不对,但那时,他也求不出
一、泛函的定义
如果变量J对于某一函数类中的每一个函数x(t),都 有一个确定的值与之对应,那么就称变量J为依赖于函 数x(t)的泛函,记为:J=J[x(t)]。
x(t) R n , J R 函数 x(t) t x
泛函 J x(t) x(t) J ; x(t)又称为泛函的宗量
说明:由于函数的值是由自变量的选取而确定的,而
4
第二章 变分法及其在最优控制中的应用
有趣的是,在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提 出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem),向数学 界征求答案,即,固定项链的两端,在重力场中让它自然垂 下,问项链的曲线方程是什么。在大自然中,除了悬垂的项 链外,我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索,挂着水珠的 蜘蛛网,以及两根电线杆之间所架设的电线,这些都是悬链 线(catenary)。
2
第二章 变分法及其在最优控制中的应用
2.1 变分法简介
作为数学的一个分支,变分法(calculus of variations)的诞生,是现实世界许多现象不断探索的 结果:
约翰·伯努利(Johann Bernoulli,1667-1748)1696 年向全欧洲数学家挑战,提出一个难题:“设在垂直 平面内有任意两点,一个质点受地心引力的作用,自 较高点下滑至较低点,不计摩擦,问沿着什么曲线下 滑,时间最短?”这就是著名的“最速降线”问题 (The Brachistochrone Problem)。
力学中的泛函分析和变分原理第十一讲
������
������������������ ������������������ ������������ ������������ −
������
ℒ ������, ������ = ℱ ������ +
������=1
������������ ������������ ������
以������0 为驻点,即
������
ℱ ′ ������0 +
������=1
′ ������������ ������������ ������0 = 0
6.1.3
3
§6.1 最小势能原理及弹性力学方程的近似解法
最小势能原理-(2)
第一项
������������ ������������ ������������ = ������������������������ ������������ ������
=
������
1 ������ ������������������,������ + ������������������,������ ������������ = 2 ������������ ������
0
������������������ ������������������ ������������������������ ,
������������������
6.1.1
应变余能密度: ������������ ������������������ =
泛函分析(变分法)
欧拉(Euler Lonhard,1707~1783)和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis,1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法,从 而确立了数学的一个新分支——变分学。
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泛函的值是由自变量的函数的选取而确定的,所以将21/4/11
中心
9
第二章 变分法及其在最优控制中的应用
例2.1.1 函数的定积分
1.连续时间系统:
1
J 0 x(t)dt
是泛函 吗?
q
2. 离散系统 J x2 (i) 2u2 (i) i 1
2
第二章 变分法及其在最优控制中的应用
2.1 变分法简介
作为数学的一个分支,变分法(calculus of variations)的诞生,是现实世界许多现象不断探索的 结果:
约翰·伯努利(Johann Bernoulli,1667-1748)1696 年向全欧洲数学家挑战,提出一个难题:“设在垂直 平面内有任意两点,一个质点受地心引力的作用,自 较高点下滑至较低点,不计摩擦,问沿着什么曲线下 滑,时间最短?”这就是著名的“最速降线”问题 (The Brachistochrone Problem)。
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第二章 变分法及其在最优控制中的应用
伽利略(Galileo, 1564~1643)比贝努利更早注意到悬链
线,他猜测悬链线是抛物线,从外表看的确象,但实际上不是。
惠更斯(Huygens, 1629~1695)在1646年(当时17岁),经 由物理的论证,得知伽利略的猜测不对,但那时,他也求不出
力学中的泛函分析和变分原理第一讲
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§1.1 线性空间
子空间
设������是线性空间������的子集,如果对于任意������, ������ ∈ ������及任意实数������, ������ , 均有
������������ + ������������ ∈ ������, 则称������是������的一个子空间。子空间本身也是一个线性空间,且 必包含零元素。 设������是线性空间,������1 和������2 是������中的两个子空间, 如果������中任意元素均可唯一 的表示为������ = ������1 + ������2 , 其中������1 ∈ ������1 , ������2 ∈ ������2 , 则称������是������1 和������2 的‚直和‛, 记作:������ = ������1 ⊕ ������2 . 且������1 和������2 称为互补子空间。 线性空间������1 和������2 的和是‚直和‛的充分必要条件是������1 ∩ ������2 = ������, 这时任意 的������1 ∈ ������1 , ������2 ∈ ������2 都是线性无关的。
一个线性流形。(其中������������ ������ , ������ ������ ∈ ������ ������, ������ ) 6
§1.1 线性空间
线性空间中的凸集
设 ������ 是 线 性 空 间 ������ 的 一 个 集 合 , 如 果 对 任 意 ������, ������ ∈ ������ 及 ������ + ������ = 1 , ������ ≥ 0, ������ ≥ 0 , 均有: ������������ + ������������ ∈ ������ 则称������是������中的凸集。(1.1.1)可改为 1.1.1
第二章 泛函与变分
总应变能为:
1 l d 2w 2 U dU EI ( 2 ) dx 0 2 0 dx
l
如此等等。只要预先给定一个函数,就能算出泛函的值
常用的泛函一般都是积分形式,最简单的泛函为
J [ y ( x)] F ( x, y, y ')dx
x0 x1
一般地,有 一个一元自变函数的泛函:
0
x1
(2 y y 2 y ' y ')dx 2 ( y y y ' y ')dx
x0 x0
x1
x1
2 J [ y ] ( y y y ' y ')dx 2 [( y ) 2 ( y ') 2 )dx
x0 x0
x1
x1
解: J [u ( x, y, z )] [( u )2 ( u ) 2 ( u ) 2 2uf ( x, y, z )]d
3.泛函的变分
一阶变分: J x Fdx
0
x1
,二阶变分: 2 J x 2 Fdx
0
x1
变分号可由积分号外移到积分号内,即积分与变分运算的次序可以调换 根据上述性质,泛函的变分运算,可转化为对其被积函数的变分运算
2 2 解: J [ y ] x ( y y ' )dx
2 x1 2 x1
在不引起混淆时,也把一次变分简称为泛函的变分
对于依赖于多个函数的泛函也可类似地给出它们的一阶变分、二次变分… 例如,泛函: J [ y ( x), z ( x)] x F ( x, y, y ', z , z ') dx
0
x1
力学中的泛函分析和变分原理第十讲
=
������ ������
=���Biblioteka �������� ′ ′ − ������������ ℎ������������ + ������������ ℎ ������������
§5.2 泛函的极值
泛函极值的必要条件
设������是Banach空间,泛函ℱ在点������0 ∈ ������的邻域������内有定义,如果存在������0 的一 个邻域������1 ⊂ ������,使得对所有的������ ∈ ������1 均有ℱ ������0 ≤ ℱ ������ ,则称������0 为ℱ的局部极小 点, ℱ ������0 称为ℱ的局部最小值。 定 理 : 设 泛 函 ℱ 在 ������0 达 到 极 值 , 且 在 ������0 处 对 于 任 意 ℎ , 均 存 在 一 阶 变 分 ������ℱ ������0 , ℎ ,则������ℱ ������0 , ℎ = 0.
′ ′ 为 使 ������ ������ + ℎ ������ ∈ ������ ������ , 应 该 令 ℎ ������ = ℎ ������ = 0 . 故 有 ������ ������������ − ������������ ������������ ℎ������������ = 0,∀ℎ ∈ ℎ ∈ ������ 2 ������, ������ ; ℎ ������ = ℎ ������ = 0 .由ℎ的任意性,可得 ������ ′ ′ ������, ������ , ������ − ������������ ������ ������, ������ , ������ = 0 ������������ ������ ������ ������ = ������, ������ ������ = ������ 即为极值点������ ������ 所满足的方程,即Euler-Lagrange方程。 若待求函数在端点是未知的,将有自然边界条件 ′ ������������ ������, ������ , ������ ������=������ ′ = ������������ ������, ������ , ������ ������=������ ������ ������ ������
第2章变分法
第2章变分法第二章变分法变分法(variationalcalculus)是研究泛函极值的数学方法,早在十七世纪末,几何学、力学等领域相继提出了一些泛函极值问题(最速降线问题、最小旋转曲面问题等),导致了变分法的形成和发展。
本章我们介绍变分法及其在最优控制中的应用。
第一节和泛函及其极值我们首先给出泛函的定义定义1.1设?为一函数的子集,若对于每一个函数x(t)??,都存有一个实数j与之对应,则表示j就是定义在?上的和泛函,记作j(x(t))。
?称作j的允许函数子集,x(t)??称作宗量。
例1对于xy平面上过定点a(x1,y1)和b(x2,y2)的每一条光滑曲线y(x),拖x轴转动得一旋转体,旋转体的侧面积就是曲线y(x)的和泛函2(x))dx,j(y(x))??2?y(x)(1?yx1x2容许函数集合可表示为{y(x)y(x)?c1[x1,x2],y(x1)?y1,y(x2)?y2}.第一章中介绍的三个性能指标1)终端型性能指标也表示麦耶(mayer)型性能指标j(x)??(x(t1),t1),2)分数型性能指标还表示拉格郎日(lagrange)型性能指标t1?(t))dt,j(x)??f0(t,x(t),xt03)混合型性能指标也叫包尔查(bolza)型性能指标(t))dt,j(x)??(x(t1),t1)??f0(t,x(t),xt0t1它们都就是和泛函,并且它们之间可以相互转变。
9引入代莱函数x0(t),它就是如下微分方程初值问题的求解0(t)f0(t,x(t),x(t)),xx0(t0)0.则拉格郎日(lagrange)型性能指标就化为t1(t))dt,?(x(t1),t1)?x0(t1)??f0(t,x(t),xt0变成麦耶(mayer)型性能指标。
引入函数(t))f0(t,x(t),x我们有d?(t)??t(x(t),t),?(x(t),t)??x(x(t),t)xdtt1?(t))dt,?(x(t1),t1)??(x(t0),t0)??f 0(t,x(t),xt0其中?(x(t0),t0)就是未知常数,可以换成,这样就将麦耶(mayer)型性能指标转变为拉格郎日(lagrange)型性能指标。
力学中的泛函分析和变分原理第二讲
������������ = ������������ ������1 , ������2 , … , ������������ , ������ = 1,2, … , ������
流形是曲线和曲面概念的推广。 设������元线性代数方程组 ������
������������
������
������×1
§1.1 线性空间
线性空间的同构
设������和������是两个线性空间, 如果������和������之间存在一一对应关系������(对任意元素������ ∈ ������, 均有唯一的元素������ ∈ ������与之对应,记为������ = ������ ������ ; 反之,对于任意������ ∈ ������, 均有 唯一的������ ∈ ������, 满足������ ������ = ������ ), 使得对任意的������, ������ ∈ ������, 及任意实数������, 均有等式 ������ ������ + ������ = ������ ������ + ������ ������ ������ ������������ = ������������ ������ 则称空间������和������是线性同构的,简称同构,而������称为同构映射。
称������是线性空间,线性空间中的元素也可称为点。
课 程 回 顾
空间的基及维数
设������1 , ������2 , … , ������������ ������ ≥ 1 是线性空间������中������个元素, 如果存在不全为零的常数
������1 , ������2 , … , ������������ 使得������1 ������1 + ������2 ������2 + ⋯ + ������������ ������������ = ������, 则称������1 , ������2 , … ������������ 是线性相关的。 反之,当且仅当������1 = ������2 = ⋯ = ������������ = 0使得等式成立,则称������1 , ������2 , … ������������ 是线 性无关的。 如果线性空间������中存在������个线性无关的元素������1 , ������2 , … , ������������ 使得������中任一元素������均 可以表示成������ =
一阶变分 变分法PPT课件
(y) (y)
b a
F
x,
n i1
aiwi (x),
n i1
ai wi( x)
dx
(a1, a2,L
, an )
0 ai
( i=1,2, …,n ),解上述方程组来确定ai ,代回原式即可,n 为精确解
19
1.5.3 康托罗维奇法-化偏微分为常微分方程组
依赖多自变量的单自变函数的泛函
(1 21)
上述欧拉方程为二阶偏微分方程 。解此方程可
求出使泛函Φ(y)达到极值的y(x) ,称间接解法.
其它欧拉方程形式为:
16
泛函形式
( y) x1 F(x, y, y, y,L , y(n) )dx x0
边界固定,依赖高阶导数的泛函
欧拉方程
d
d2
Fy dx Fy dx2 Fy L
(1)n
yn nyn1 y (u v) u v,
1
(uv) u v vu, (u v) (vu u v) / v2
2 变分号可由积分号外进入积分号内
x1 F(x, y, y)dx x1 F(x, y, y)dx
x0
x0
x1 ydx x1 ydx
x0
x0
(dy) d ( y)
3.0)
0
1
y3 12 (97 y2 188y3 4.5) 0
m个常微分方程组
y。 20
泛函解法综合例
例:求泛函 极值函数
[ y(x)]
1 0
(
y)2
y
2
2xy
dx,
y(0) y(1) 0
1.间接法: F d (F ) 0, 2 y 2x d 2 y 0, y y x 0; y(x) sin x x
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最简泛函:满足以下关系的泛函称为最简泛函
其中 F ( x, y, y' ) 的称为核函数
√
泛函和变分的基本概念(3/4)
函数的变分和泛函的变分
定义:设 y(x) 是泛函 J [y(x)] 的定义域内任意函数,如果 y(x) 变化为定义域内的另一新函数 Y(x),则 Y(x) 与 y(x) 之
√
其它类型泛函的极值问题(1/4)
依赖于多个函数的泛函
泛函的一般形式
J[ y1, y2,, ym ] = 欧拉方程
x1 x0
F
(
x,
y1
,
y2
,,
ym
,
y1,
y2
,,
ym
)dx
F - d ( F ) = 0, i = 1,2,, m yi dx yi
例:求解以下泛函的极值问题
最简泛函的一阶和二阶变分
其中 d J 称为泛函的一阶变分,d 2J 称为二阶变分 泛函的极值条件就是一阶变分为零:d J = 0
√
最简泛函的极值问题(1/9)
最简泛函的欧拉方程
最简泛函的极值——欧拉方程
欧拉方程的解仅仅对应极值函数,不关心泛函的大小
通过变分运算等价于一定边界条件下的常微分方程
√
最简泛函的极值问题(8/9)
求解以下泛函的极值函数
J[ y(x)] =
1
(
y2
-
y
2
-
4xy)dx,
y(0) = y(1) = 0
0
取满足边界条件的基函数:w i = x i (1-x)
只取前面 n 项,作为 y 的近似
√
最简泛函的极值问题(9/9)
瑞利-里兹法的关键:选择合适的基函数 幂函数:{1, x, x2, … } = { x i } 三角函数:{1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, … } 其它:尽量同时满足边界条件
J[ y, z] = /2 ( y2 z2 2 yz)dx 0
y = 0, y = -1, z = 0, z = 1
x=0
x= / 2
x=0
x= / 2
解:
√
其它类型泛函的极值问题(2/4)
计算物理
泛函和变分法
http://125.217.162.13/lesson/ComputationalPhysics
泛函和变分法
泛函和变分的基本概念 最简泛函的极值问题 其它类型泛函的极值问题 泛函和变分用于微分方程边值问题
√
泛函和变分的基本概念(1/4)
泛函的定义
例(最短路径):设 C 为定义在 [a, b] 上、 y
例:如下泛函(不是最简泛函)的极值问题
J (u) = 1 [(u )2 (u )2 ]dxdy f (x, y)dxdy - quds
2 D x
y
D
2
u(x,
y) 1
=
u0 (x,
y)
等价于以下边界条件下的静电场中的泊松方程
2u x2
2u y 2
=
f
差 d y = Y(x) - y(x) 称为函数 y(x) 的变分
函数变分和微分的比较 变分和微分都是自变量 x 的函数 微分是同一个函数 y(x),由于自变量 x 的取值不同而导 致函数值 y 的变化;变分是由于函数形式的不同而导 致函数值的变化
函数求导和求变分可以交换次序
√
泛函和变分的基本概念(4/4)
OA
x
所需的时间 T 取决于曲线的形状(如右图
所示),T = T [y(x)]
y
问题:沿哪一条路径的下落时间最短
B
函数的形式 y(x) 不同
√
泛函和变分的基本概念(2/4)
定义:设 C 是函数(形式)的集合,B 是实数集合;如果对 C 中的任一元素 y(x),在 B 中都有一个元素 J 与之对应, 则称 J 为 y(x) 的泛函,记为 J [y(x)] 泛函是函数的函数,以函数为自变量,而非普通变量 最短路径:L = L[y(x)]
瑞利-里兹法的步骤
选一组相对完备的基函数
{w0,
w1,
…,
wn,
…},线性展开
y
y = iwi (x), i 为待定系数
i =1
只取前面 n 项,作为 y 的近似,代入泛函,积分
n
n
J[ y] = F (x, y, y)dx = F (x, iwi (x),iwi(x))dx
i =1
i =1
= I (1,2 ,,n )
J[y] = I(1, 2,… ,n) 按多元函数取极值方法
I = 0, i = 1,2,, n
i
求解以上 即可得到
n y
的个近关似于,再i 的计方算程可,得得到到J系[y数]
i,代入展开式
取前面 n1 项,重复以上2和3步,直至 J[y] 收敛
√
最简泛函的极值问题(3/9)
例:求解捷线问题
√
最简泛函的极值问题(4/9)
欧拉方程的其它算法
如果 F 中不显含 y',不满足边界条件,则极值函数不存在 如果 F 中不显含
例:再求解捷线问题
√
SUCCESS
THANK YOU
满足条件 y(a) = y1 和 y(b) = y2 的、所有可 微函数 y(x) 的集合。用 L 表示这样一段
曲线的长(如右图所示),L = L[y(x)]
O a bx
问题:沿哪一条路径的路程最短
函数的形式 y(x) 不同
例(捷线问题):质点在重力作用下沿一 条光滑的、从点 A 到点 B 的曲线运动,
(x,
y),
u(x, y) 1 = u0 (x, y),
u = q(x, y) n 2
√
最简泛函的极值问题(2/9)
例:求以下最简泛函的极值问题
J ( y) =
1
(
y2
xy)dx,
y
= 0, y
=1
0
x=0
x=1
核函数和微分方程
满足边界条件的极值函数
例:求解最短路径问题
2019/8/5
最简泛函的极值问题(6/9)
yA 例(最小旋转面):光滑曲线以点 A(x0, y0)
和 B(x1, y1) 为端点(如右图),求一条曲线 使它绕 Ox 轴旋转时所得曲面的面积最小
以 y(x) 表示任意曲线,得旋转面面积
B x
从欧拉方程的极值问题求曲线方程
√
最简泛函的极值问题(7/9)