泛函和变分法PPT课件

差 d y = Y(x) - y(x) 称为函数 y(x) 的变分
函数变分和微分的比较 变分和微分都是自变量 x 的函数 微分是同一个函数 y(x)，由于自变量 x 的取值不同而导 致函数值 y 的变化；变分是由于函数形式的不同而导 致函数值的变化
函数求导和求变分可以交换次序
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泛函和变分的基本概念(4/4)
最简泛函的一阶和二阶变分
其中 d J 称为泛函的一阶变分，d 2J 称为二阶变分 泛函的极值条件就是一阶变分为零：d J = 0
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最简泛函的极值问题(1/9)
最简泛函的欧拉方程
最简泛函的极值——欧拉方程
欧拉方程的解仅仅对应极值函数，不关心泛函的大小
通过变分运算等价于一定边界条件下的常微分方程
2019/8/5
最简泛函的极值问题(6/9)
yA 例(最小旋转面)：光滑曲线以点 A(x0, y0)
和 B(x1, y1) 为端点(如右图)，求一条曲线 使它绕 Ox 轴旋转时所得曲面的面积最小
以 y(x) 表示任意曲线，得旋转面面积
B x
从欧拉方程的极值问题求曲线方程
√
最简泛函的极值问题(7/9)
OA
x
所需的时间 T 取决于曲线的形状(如右图
所示)，T = T [y(x)]
y
问题：沿哪一条路径的下落时间最短
B
函数的形式 y(x) 不同
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泛函和变分的基本概念(2/4)
定义：设 C 是函数(形式)的集合，B 是实数集合；如果对 C 中的任一元素 y(x)，在 B 中都有一个元素 J 与之对应， 则称 J 为 y(x) 的泛函，记为 J [y(x)] 泛函是函数的函数，以函数为自变量，而非普通变量 最短路径：L = L[y(x)]
捷线问题：T = T [y(x)]
最简泛函：满足以下关系的泛函称为最简泛函
其中 F ( x, y, y' ) 的称为核函数
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泛函和变分的基本概念(3/4)
函数的变分和泛函的变分
定义：设 y(x) 是泛函 J [y(x)] 的定义域内任意函数，如果 y(x) 变化为定义域内的另一新函数 Y(x)，则 Y(x) 与 y(x) 之
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最简泛函的极值问题(8/9)
求解以下泛函的极值函数
J[ y(x)] =
1
(
y2
-
y
2
-
4xy)dx,
y(0) = y(1) = 0
0
取满足边界条件的基函数：w i = x i (1-x)
只取前面 n 项，作为 y 的近似
√
最简泛函的极值问题(9/9)
瑞利-里兹法的关键：选择合适的基函数 幂函数：{1, x, x2, … } = { x i } 三角函数：{1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, … } 其它：尽量同时满足边界条件
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Baidu Nhomakorabea
最简泛函的极值问题(3/9)
例：求解捷线问题
√
最简泛函的极值问题(4/9)
欧拉方程的其它算法
如果 F 中不显含 y'，不满足边界条件，则极值函数不存在 如果 F 中不显含 y 如果 F 中不显含 x
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最简泛函的极值问题(5/9)
例：再求解捷线问题
√
SUCCESS
THANK YOU
(x,
y),
u(x, y) 1 = u0 (x, y),
u = q(x, y) n 2
√
最简泛函的极值问题(2/9)
例：求以下最简泛函的极值问题
J ( y) =
1
(
y2

xy)dx,
y
= 0, y
=1
0
x=0
x=1
核函数和微分方程
满足边界条件的极值函数
例：求解最短路径问题
J[ y, z] = /2 ( y2 z2 2 yz)dx 0
y = 0, y = -1, z = 0, z = 1
x=0
x= / 2
x=0
x= / 2
解：
√
其它类型泛函的极值问题(2/4)
计算物理
泛函和变分法
http://125.217.162.13/lesson/ComputationalPhysics
泛函和变分法
泛函和变分的基本概念 最简泛函的极值问题 其它类型泛函的极值问题 泛函和变分用于微分方程边值问题
√
泛函和变分的基本概念(1/4)
泛函的定义
例(最短路径)：设 C 为定义在 [a, b] 上、 y
瑞利-里兹法的步骤

选一组相对完备的基函数

{w0,
w1,
…,
wn,
…}，线性展开
y
y = iwi (x), i 为待定系数
i =1
只取前面 n 项，作为 y 的近似，代入泛函，积分
n
n
J[ y] = F (x, y, y)dx = F (x, iwi (x),iwi(x))dx
满足条件 y(a) = y1 和 y(b) = y2 的、所有可 微函数 y(x) 的集合。用 L 表示这样一段
曲线的长(如右图所示)，L = L[y(x)]
O a bx
问题：沿哪一条路径的路程最短
函数的形式 y(x) 不同
例(捷线问题)：质点在重力作用下沿一 条光滑的、从点 A 到点 B 的曲线运动，
例：如下泛函(不是最简泛函)的极值问题
J (u) = 1 [(u )2 (u )2 ]dxdy f (x, y)dxdy - quds
2 D x
y
D
2
u(x,
y) 1
=
u0 (x,
y)
等价于以下边界条件下的静电场中的泊松方程
2u x2

2u y 2
=
f
i =1
i =1
= I (1,2 ,,n )
J[y] = I(1, 2,… ,n) 按多元函数取极值方法
I = 0, i = 1,2,, n
i
求解以上 即可得到
n y
的个近关似于，再i 的计方算程可，得得到到J系[y数]
i，代入展开式
取前面 n1 项，重复以上2和3步，直至 J[y] 收敛
√
其它类型泛函的极值问题(1/4)
依赖于多个函数的泛函
泛函的一般形式

J[ y1, y2,, ym ] = 欧拉方程
x1 x0
F
(
x,
y1
,
y2
,,
ym
,
y1,
y2
,,
ym
)dx
F - d ( F ) = 0, i = 1,2,, m yi dx yi
例：求解以下泛函的极值问题