您的位置：360文档中心› 2021年上海市16区中考数学一模考点分类汇编专题14 二次函数(解答题24题压轴题)(学生版)

2021年上海市16区中考数学一模考点分类汇编专题14 二次函数(解答题24题压轴题)(学生版)

合集下载

专题14二次函数解答压轴题(共32题)-2021中考数学真题分项汇编(解析版)【全国通用】(第1期)

专题14二次函数解答压轴题(共32题)-2021中考数学真题分项汇编(解析版)【全国通用】(第1期)

专题14二次函数解答压轴题（共32题）-2021年中考数学真题分项汇编（解析版）【全国通用】（第01期）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、解答题1．（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点()1,m 和点()3n ,在抛物线()20y ax bx a =+>上． （1）若3,15m n ==，求该抛物线的对称轴；（2）已知点()()()1231,,2,,4,y y y -在该抛物线上．若0mn <，比较123,,y y y 的大小，并说明理由．【答案】（1）1x =-；（2）213y y y <<，理由见解析【分析】（1）由题意易得点()1,3和点()3,15，然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进行求解即可；（2）由题意可分当0,0m n <>时和当0,0m n ><时，然后根据二次函数的性质进行分类求解即可．【详解】解：（1）当3,15m n ==时，则有点()1,3和点()3,15，代入二次函数()20y ax bx a =+>得： 39315a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：12a b =⎧⎨=⎩， ∴抛物线解析式为22y x x =+，∴抛物线的对称轴为12b x a=-=-； （2）由题意得：抛物线()20y ax bx a =+>始终过定点()0,0，则由0mn <可得：∴当0,0m n ><时，由抛物线()20y ax bx a =+>始终过定点()0,0可得此时的抛物线开口向下，即0a <，与0a >矛盾；∴当0,0m n <>时，∴抛物线()20y ax bx a =+>始终过定点()0,0， ∴此时抛物线的对称轴的范围为1322x <<，∴点()()()1231,,2,,4,y y y -在该抛物线上，∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为()3513571,2,4222222x x x <--<<-<<-<， ∴0a >，开口向上，∴由抛物线的性质可知离对称轴越近越小，∴213y y y <<．2．（2021·江苏南京市·中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过()()2,1,2,3--两点． （1）求b 的值．（2）当1c >-时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．（3）设()0m ,是该函数的图像与x 轴的一个公共点，当13m -<<时，结合函数的图像，直接写出a 的取值范围．【答案】（1）1b =-；（2）1；（3）0a <或45a >． 【分析】（1）将点()()2,1,2,3--代入求解即可得；（2）先求出二次函数的顶点的纵坐标，再利用完全平方公式、不等式的性质求解即可得；（3）分0a <和0a >两种情况，再画出函数图象，结合图象建立不等式组，解不等式组即可得．【详解】解：（1）将点()()2,1,2,3--代入2y ax bx c =++得：421423a b c a b c -+=⎧⎨++=-⎩，两式相减得：44b -=，解得1b =-；（2）由题意得：0a ≠，由（1）得：2211()24y ax x c a x c a a =-+=-+-， 则此函数的顶点的纵坐标为14c a-， 将点()2,3-代入2y ax x c =-+得：423a c -+=-，解得41a c -=+，则1141c c a c -=++，下面证明对于任意的两个正数00,x y ，都有00x y +≥2000(0x x y -=+-≥，00x y ∴+≥00x y =时，等号成立）， 当1c >-时，10c +>，则11111111c c c c +=++-≥=++（当且仅当111c c +=+，即0c 时，等号成立）， 即114c a-≥， 故当1c >-时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是1；（3）由423a c -+=-得：41c a =--，则二次函数的解析式为241(0)y ax x a a =---≠，由题意，分以下两种情况：∴如图，当0a <时，则当1x =-时，0y >；当3x =时，0y <，即141093410a a a a +-->⎧⎨---<⎩， 解得0a <；∴如图，当0a >时，当1x =-时，14130y a a a =+--=-<，∴当3x =时，93410y a a =--->， 解得45a >， 综上，a 的取值范围为0a <或45a >． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，较难的是题（3），熟练掌握函数图象法是解题关键．3．（2021·安徽中考真题）已知抛物线221(0)y ax x a =-+≠的对称轴为直线1x =．（1）求a 的值；（2）若点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）都在此抛物线上，且110x -<<，212x <<．比较y 1与y 2的大小，并说明理由；（3）设直线(0)y m m =>与抛物线221y ax x =-+交于点A 、B ，与抛物线23(1)y x =-交于点C ，D ，求线段AB 与线段CD 的长度之比．【答案】（1）1a =；（2）12y y >，见解析；（3【分析】（1）根据对称轴2b x a=-，代值计算即可 （2）根据二次函数的增减性分析即可得出结果（3）先根据求根公式计算出1x =±再表示出|1(1)|AB =-，12CD x x =-=3=即可得出结论【详解】解：（1）由题意得：212x a-=-= 1a（2）抛物线对称轴为直线1x =，且10a =>∴当1x <时，y 随x 的增大而减小，当1x >时，y 随x 的增大而增大．∴当111x -<<时，y 1随x 1的增大而减小，1x =-时，4y =，0x =时，1y =114y ∴<<同理：212x <<时，y 2随x 2的增大而增大1x =时，0y =．2x =时，1y =201y ∴<<12y y ∴>（3）令221x x m -+=22(1)0x x m -+-=2(2)41(1)m ∆=--⋅⋅-4m =1x ∴==±11x ∴=21x =|1(1)|AB ∴=-=令23(1)x m -= 2(1)3m x ∴-=11x ∴=+21x =+ 12CD x x ∴=-3=AB CD ∴==∴AB 与CD【点睛】本题考查二次函数的图像性质、二次函数的解析式、对称轴、函数的交点、正确理解二次函数的性质是关键，利用交点的特点解题是重点4．（2021·浙江绍兴市·中考真题）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB 是抛物线的一部分，抛物线的顶点C 在y 轴上，杯口直径4AB =，且点A ，B 关于y 轴对称，杯脚高4CO =，杯高8DO =，杯底MN 在x 轴上．（1）求杯体ACB 所在抛物线的函数表达式（不必写出x 的取值范围）．（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体A CB ''所在抛物线形状不变，杯口直径//A B AB ''，杯脚高CO 不变，杯深CD '与杯高OD '之比为0.6，求A B ''的长．【答案】（1）24y x =+；（2）6【分析】（1）确定B 点坐标后，设出抛物线解析式，利用待定系数法求解即可；（2）利用杯深 CD ′ 与杯高 OD ′ 之比为0.6，求出OD ′ ，接着利用抛物线解析式求出B '或A '横坐标即可完成求解．【详解】解：（1）设24y ax =+，∴杯口直径 AB =4 ，杯高 DO =8 ，∴()2,8B将2x =，8y =代入，得1a =，24y x ∴=+．（2）0.6CD OD ''=， 0.64CD CD'∴=+'， 6CD ∴'=，10OD '=，当10y =时，2104x =+，1x 2x =A B ∴''=即杯口直径A B ''的长为【点睛】本题考查了抛物线的应用，涉及到待定系数法求抛物线解析式、求抛物线上的点的坐标等内容，解决本题的关键是读懂题意，找出相等关系列出等式等．5．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为正方形，点A ，B 在x 轴上，抛物线2y x bx c =++经过点B ，()4,5D -两点，且与直线DC 交于另一点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）F 为抛物线对称轴上一点，Q 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形．若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P 为y 轴上一点，过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为M ，连接ME ，BP ．探究EM MP PB ++是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =+-；（2）存在以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形，点F的坐标为(-或(1,-或(1,5-或(1,5-+；（3）EM MP PB ++存在最小值，1+，此时点M 的坐标为51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【分析】 （1）由题意易得5AD AB ==，进而可得()4,0A -，则有()10B ,，然后把点B 、D 代入求解即可； （2）设点()1,F a -，当以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形时，则根据菱形的性质可分∴当BF BE =时，∴当EF BE =时，然后根据两点距离公式可进行分类求解即可；（3）由题意可得如图所示的图象，连接OM 、DM ，由题意易得DM =EM ，四边形BOMP 是平行四边形，进而可得OM =BP ，则有1EM MP PB DM MO ++=++，若使EM MP PB ++的值为最小，即1DM MO ++为最小，则有当点D 、M 、O 三点共线时，1DM MO ++的值为最小，然后问题可求解．【详解】解：（1）∴四边形ABCD 为正方形，()4,5D -，∴5AD AB ==，()4,0A -，∴4AO =，∴OB =1，∴()10B ,， 把点B 、D 坐标代入得：164510b c b c -+=⎧⎨++=⎩， 解得：23b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =+-；（2）由（1）可得()10B ,，抛物线解析式为223y x x =+-，则有抛物线的对称轴为直线1x =-， ∴点D 与点E 关于抛物线的对称轴对称， ∴()2,5E ，∴由两点距离公式可得()()222120526BE =-+-=，设点()1,F a -，当以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形时，则根据菱形的性质可分：∴当BF BE =时，如图所示：∴由两点距离公式可得22BF BE =，即()()2211026a ++-=，解得：a =∴点F 的坐标为(-或(1,-； ∴当EF BE =时，如图所示：∴由两点距离公式可得22EF BE =，即()()2221526a ++-=，解得：5a =，∴点F 的坐标为(1,5-或(1,5-+；综上所述：当以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形，点F 的坐标为(-或(1,-或(1,5-或(1,5-+； （3）由题意可得如图所示：连接OM 、DM ，由（2）可知点D 与点E 关于抛物线的对称轴对称，()10B ,， ∴1OB =，DM =EM ，∴过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为M ，∴1,//PM OB PM OB ==，∴四边形BOMP 是平行四边形，∴OM =BP ，∴1EM MP PB DM MO ++=++，若使EM MP PB ++的值为最小，即1DM MO ++为最小，∴当点D 、M 、O 三点共线时，1DM MO ++的值为最小，此时OD 与抛物线对称轴的交点为M ，如图所示：∴()4,5D -，∴OD ==∴1DM MO ++1，即EM MP PB ++1+，设线段OD 的解析式为y kx =，代入点D 的坐标得：54k =-，∴线段OD 的解析式为54y x =-， ∴51,4M ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】 本题主要考查二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质是解题的关键．6．（2021·四川南充市·中考真题）如图，已知抛物线2()40y ax bx a =++≠与x 轴交于点A （1，0）和B ，与y 轴交于点C ，对称轴为52x =．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P 是线段BC 上的一个动点（不与点B ，C 重合），过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ，连接OQ ．当线段PQ 长度最大时，判断四边形OCPQ 的形状并说明理由．（3）如图2，在（2）的条件下，D 是OC 的中点，过点Q 的直线与抛物线交于点E ，且2DQE ODQ ∠=∠．在y 轴上是否存在点F ，使得BEF 为等腰三角形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）254y x x =-+；（2）四边形OCPQ 是平行四边形，理由见详解；（3）（0，258）或（0，1）或（0，-1）【分析】（1）设抛物线(1)(4)y a x x =--，根据待定系数法，即可求解；（2）先求出直线BC 的解析式为：y =-x +4，设P （x ，-x +4），则Q （x ，254x x -+），（0≤x ≤4），得到PQ =()224x --+，从而求出线段PQ 长度最大值，进而即可得到结论；（3）过点Q 作QM ∴y 轴，过点Q 作QN ∴y 轴，过点E 作EN ∴x 轴，交于点N ，推出MDQ DQN EQN ∠=∠=∠，从而得MQ NE MD NQ=，进而求出E （5，4），设F （0，y ），分三种情况讨论，即可求解． 【详解】解：（1）∴抛物线2()40y ax bx a =++≠与x 轴交于点A （1，0）和B ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线52x =， ∴B （4，0），C （0，4），设抛物线(1)(4)y a x x =--，把C （0，4）代入得：)40(0)1(4a ⨯-=-，解得：a =1，∴抛物线的解析式为：254y x x =-+；（2）∴B （4，0），C （0，4），∴直线BC 的解析式为：y =-x +4，设P （x ，-x +4），则Q （x ，254x x -+），（0≤x ≤4），∴PQ =-x +4-(254x x -+)=24x x -+=()224x --+，∴当x =2时，线段PQ 长度最大=4，∴此时，PQ =CO ，又∴PQ ∴CO ，∴四边形OCPQ 是平行四边形；（3）过点Q 作QM ∴y 轴，过点Q 作QN ∴y 轴，过点E 作EN ∴x 轴，交于点N ，由（2）得：Q （2，-2），∴D 是OC 的中点，∴D （0，2），∴QN ∴y 轴，∴ODQ DQN ∠=∠，又∴2DQE ODQ ∠=∠，∴2DQE DQN ∠=∠，∴MDQ DQN EQN ∠=∠=∠，∴tan tan MDQ EQN ∠=∠，即：MQ NE MD NQ =， 设E （x ，254x x -+），则222454(2)x x x -=-+--，解得：15=x ，22x =（舍去）， ∴E （5，4）， 设F （0，y ），则()()222240016BF y y =-+-=+， ()()()2222504254EF y y =-+-=+-，()()222544017BE =-+-=，∴当BF =EF 时，()2216254y y +=+-，解得：258y =， ∴当BF =BE 时，21617y +=，解得：1y =或1y =-，∴当EF =BE 时，()225417y +-=，无解，综上所述：点F 的坐标为：（0，258）或（0，1）或（0，-1）． ．【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握二次函数的性质以及图像上点的坐标特征，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．7．（2021·四川广元市·中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴分别相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，下表给出了这条抛物线上部分点(,)x y 的坐标值： x … 1- 0 1 2 3 …y 03 4 3 0 … （1）求出这条抛物线的解析式及顶点M 的坐标；（2）PQ 是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P 在点Q 上方），求AQ QP PC ++的最小值； （3）如图2，点D 是第四象限内抛物线上一动点，过点D 作DF x ⊥轴，垂足为F ，ABD △的外接圆与DF 相交于点E ．试问：线段EF 的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．【答案】（1）()214y x =--+；()1,4M ；（2131+；（3）是，1． 【分析】（1）依据表格数据，设出抛物线的顶点式，利用待定系数法求解即可；（2）利用平移和找对称点的方式，将AQ QP PC ++的长转化为1PE PC ++，再利用两点之间线段最短确定PE PC +的最小值等于CE 的长，加1后即能确定1PE PC ++的最小值；（3）设出圆心和D 点的坐标，接着表示出E 点的坐标，利用圆心到B 点的距离等于圆心到D 点的距离，求出q 和e 的关系，得到E 点的纵坐标，进而确定EF 的长为定值．解：（1）由表格数据可知，顶点坐标为（1,4）设抛物线解析式为：()214y a x =-+，将点（0,3）代入解析式得：3=a +4，∴1a =-，∴抛物线解析式为：()214y x =--+，顶点坐标()1,4M ． （2）由表格可知，抛物线经过点A （-1,0），C （0,3），如图3，将A 点向上平移一个单位，得到()'1,1A -，则'//'=AA PQ AA PQ ，，∴四边形'AA PQ 是平行四边形，∴'=PA QA ，作'A 关于MQ 的对称点E ，则()3,1,E∴'=PA PE ，∴=1AQ QP PC PE PC ++++，当P 、E 、C 三点共线时，PE PC +最短，设直线CE 的解析式为：y mx n =+，将C 、E 两点坐标代入解析式可得：331n m n =⎧⎨+=⎩， ∴323n m =⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴直线CE 的解析式为：233y x =-+， 令1x =，则73y =， ∴当713P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，P 、E 、C 三点共线，此时=PE PC EC +∴AQ QPPC ++1．理由：设,D p q （），因为A 、B 两点关于直线x =1对称，所以圆心位于该直线上，所以可设ABD △的外接圆的圆心为()'1,O e ，作'O N DF ⊥，垂足为点N ，则,N p e （），由DF x ⊥轴，∴,2E p e q -（），∴'='O D O B ，且由表格数据可知()3,0B∴()()()()2222310=1e p q e -+--+-，化简得：()()22241e p q e +=-+-，∴点D 是第四象限内抛物线上一动点，且抛物线解析式为()214y x =--+，∴()214q p =--+，∴()214p q -=-，∴()2244e q q e +=-+-，∴0q ≠，∴21e q -=-， ∴,1E p -（），∴1EF =，即EF 的长不变，为1．【点睛】本题涉及到了动点问题，综合考查了用待定系数法求抛物线解析式、点的平移、勾股定理、平行四边形的判定与性质、最短路径问题、圆的性质等内容，解决本题的关键是理解并掌握相关概念与公式，能将题干信息与图形相结合，挖掘图中隐含信息，本题有一定的计算量，对学生的综合分析与计算能力都有较高的要求，本题蕴含了数形结合的思想方法等．8．（2021·湖北荆州市·中考真题）已知：直线1y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 为直线AB 上一动点，连接OC ，AOC ∠为锐角，在OC 上方以OC 为边作正方形OCDE ，连接BE ，设BE t =． （1）如图1，当点C 在线段AB 上时，判断BE 与AB 的位置关系，并说明理由；（2）真接写出点E 的坐标（用含t 的式子表示）；（3）若tan AOC k ∠=，经过点A 的抛物线()20y ax bx c a =++>顶点为P ，且有6320a b c ++=，POA 的面积为12k ．当22t =时，求抛物线的解析式．【答案】（1）BE ∴AB ，理由见解析；（2）（,1）；（3）243y x x =-+ 【分析】（1）先求出点A 、B 的坐标，则可判断∴AOB 是等腰直角三角形，然后结合正方形的旋转可证明∴AOC ∴∴BOE （SAS ），可得∴OBE =∴OAC =45°，进而可得结论；（2）作辅助线如图1（见解析），根据正方形的性质可证∴MOC ∴∴NEO ，可得CM =ON ，OM =EN ，由（1）的结论可得AC =BE =t ，然后解等腰直角∴ACM ，可求出2AM CM ==，进而可得答案；（3）由抛物线过点A 结合已知条件可求出抛物线的对称轴是直线x =2，然后由（2）可求出当t =时k =1，进一步即可求出点P 的纵坐标，从而可得顶点P 的坐标，于是问题可求解． 【详解】解：（1）BE ∴AB ，理由如下：对于直线y =-x +1，当x =0时，y =1，当y =0时，x =1， ∴B （0，1），A （1，0）， ∴OA =OB =1， ∴∴OBA =∴OAB =45°， ∴四边形OCDE 是正方形， ∴OC =OE ，∴COE =90°， ∴∴AOB =90°， ∴∴AOC =∴BOE ， ∴∴AOC ∴∴BOE （SAS ）， ∴∴OBE =∴OAC =45°，∴∴EBC =∴EBO +∴OBA =45°+45°=90°， 即BE ∴AB ；（2）作CM ∴OA 于点M ，作EN ∴x 轴于点N ，如图1，则∴CMO =∴ENO =90°， ∴∴EON +∴NEO =∴EON +∴COM =90°， ∴∴NEO =∴COM ， 又∴OC =OE ，∴∴MOC ∴∴NEO ， ∴CM =ON ，OM =EN ，在∴ACM 中，∴CMA =90°，∴MAC =45°，AC =BE =t ， ∴22AM CM t ==， ∴212OM t =-， ∴点E 在第二象限， ∴点E 的坐标是（22,122t t --）；（3）∴抛物线过点A （1，0）， ∴a +b +c =0， ∴6320a b c ++=， ∴消去c 可得b =-4a ，∴抛物线的对称轴是直线x =2，如图1，当t =时，由（2）可得AC =， ∴12AM CM ==， ∴11122OM CM =-==，∴tan 1AOC ∠=，即k =1， ∴∴POA 的面积为12， 即11122P y ⨯⨯=，解得1P y =， ∴a ＞0，∴顶点P 的纵坐标是-1， ∴点P （2，-1）， 设()221y a x =--，把点A （1，0）代入，可求得a =1，∴抛物线的解析式是()222143y x x x =--=-+．9．（2021·四川资阳市·中考真题）抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且()()1,0,0,3B C -．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一点，BP 与AC 相交于点E ，当:1:2PE BE =时，求点P 的坐标；（3）如图2，点D 是抛物线的顶点，将抛物线沿CD 方向平移，使点D 落在点D 处，且2DD CD '=，点M 是平移后所得抛物线上位于D 左侧的一点，//MN y 轴交直线OD '于点N ，连结CN ．当5D N CN '+的值最小时，求MN 的长．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）(1,4)P 或(2,3)P ；（3）34． 【分析】（1）利用待定系数法即可得；（2）设点P 的坐标为2(,23)P a a a -++，先利用待定系数法求出直线AC 的解析式，再根据:1:2PE BE =可得点E 的坐标，代入直线AC 的解析式求解即可得；（3）先根据2DD CD '=求出点2DD CD '=的坐标，再根据二次函数图象的平移规律得出平移后的函数解析式，设点M 的坐标，从而可得点N D N CN '+，最后根据两点之间线段最短、垂线段最短求解即可得． 【详解】解：（1）由题意，将点()()1,0,0,3B C -代入2y x bx c =-++得：103b c c --+=⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，则抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++； （2）对于二次函数2y x 2x 3=-++，当0y =时，2230x x -++=，解得1x =-或3x =，(3,0)A ∴，设点P 的坐标为2(,23)(03)P a a a a -++<<，点E 的坐标为11(,)E x y ，:1:2,(1,0)PE BE B =-，1121111223102a x x a a y y -⎧=⎪+⎪∴⎨-++-⎪=⎪-⎩，解得121213324233x a y a a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，22124(,2)3333E a a a ∴--++，设直线AC 的解析式为y kx t =+，将点(3,0),(0,3)A C 代入得：303k t t +=⎧⎨=⎩，解得13k t =-⎧⎨=⎩，则直线AC 的解析式为3y x =-+， 将点22124(,2)3333E a a a --++代入得：22124323333a a a -++=-++， 解得1a =或2a =，当1a =时，2231234a a -++=-++=，此时(1,4)P ， 当2a =时，22342233a a -++=-+⨯+=，此时(2,3)P ， 综上，点P 的坐标为(1,4)P 或(2,3)P ；（3）二次函数2223(1)4y x x x =-++=--+的顶点D 坐标为(1,4)D ，设点D 的坐标为22(,)D x y '，2,(0,3),(1,4)DD C D D C '=， 2212104243x y -⎧=⎪⎪-∴⎨-⎪=⎪-⎩，解得2236x y =⎧⎨=⎩，(3,6)D '∴，则平移后的二次函数的解析式为22(3)663y x x x =--+=-+-， 设直线OD '的解析式为0y k x =，将点(3,6)D '代入得：036k =，解得02k =， 则直线OD '的解析式为2y x =，设点M 的坐标为2(,63)(3)M m m m m -+-<，则点N 的坐标为(,2)N m m ，如图，连接AD '，过点N 作NF AD '⊥于点F ，过点C 作CG AD '⊥于点G ，交OD '于点N '，连接CF ，(3,0),(3,6)D A '，AD x '∴⊥轴，3FN m ∴=-，2255(3)(62)35D N CN m m CN m CN FN CN '+=-+-=-+=+， 由两点之间线段最短得：FN CN +的最小值为CF ，由垂线段最短得：当点F 与点G 重合时，CF 取得最小值CG ，此时点N 与点N '重合， 则点N '的纵坐标与点C 的纵坐标相等， 即23m =，解得32m =， 则2263243MN m m m m m =-+--=-+-，233()4322=-+⨯-，34=．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的平移规律、垂线段最短等知识点，较难的是题（3），正确求出平移后的抛物线的解析式是解题关键．10．（2021·四川南充市·中考真题）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元．（1）求苹果的进价．（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克．写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式．（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完．据统计，销售单价z（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为112100z x=-+．在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w（元）最大，求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入-购进支出）【答案】（1）苹果的进价为10元/千克；（2）10(100)8200(100)x xyx x≤⎧=⎨+>⎩；（3）要使超市销售苹果利润w最大，一天购进苹果数量为200千克．【分析】（1）设苹果的进价为x元/千克，根据等量关系，列出分式方程，即可求解；（2）分两种情况：当x≤100时，当x＞100时，分别列出函数解析式，即可；（3）分两种情况：若x≤100时，若x＞100时，分别求出w关于x的函数解析式，根据二次函数的性质，即可求解．【详解】解：（1）设苹果的进价为x元/千克，由题意得：30020022x x=+-，解得：x=10，经检验：x=10是方程的解，且符合题意，答：苹果的进价为10元/千克；（2）当x≤100时，y=10x，当x＞100时，y=10×100+（10-2）×（x-100）=8x+200，∴10(100)8200(100)x xyx x≤⎧=⎨+>⎩；（3）若x ≤100时，w =zx -y =21112102100100x x x x x ⎛⎫-+-=-+ ⎪⎝⎭=()21100100100x --+， ∴当x =100时，w 最大=100， 若x ＞100时，w =zx -y =()2111282004200100100x x x x x ⎛⎫-+-+=-+- ⎪⎝⎭=()21200200100x --+， ∴当x =200时，w 最大=200，综上所述：当x =200时，超市销售苹果利润w 最大，答：要使超市销售苹果利润w 最大，一天购进苹果数量为200千克． 【点睛】本题主要考查分式方程、一次函数、二次函数的实际应用，根据数量关系，列出函数解析式和分式方程，是解题的关键．11．（2021·湖北十堰市·中考真题）已知抛物线25y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A -和()5,0B -，与y轴交于点C ，顶点为P ，点N 在抛物线对称轴上且位于x 轴下方，连AN 交抛物线于M ，连AC 、CM ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当tan 2ACM ∠=时，求M 点的横坐标；（3）如图2，过点P 作x 轴的平行线l ，过M 作MD l ⊥于D ，若3MD MN =，求N 点的坐标．【答案】（1）265y x x =---；（2）6311-；（3）(3,26N --【分析】（1）将点()1,0A -和点()5,0B -代入解析式，即可求解；（2）由tan 2ACM ∠=想到将ACM ∠放到直角三角形中，即过点A 作AE AC ⊥交CM 的延长线于点E ，即可知2AEAC=，再由90AOC EAC ∠=∠=︒想到过点E 作EF x ⊥轴，即可得到AOC EFC ∆∆∽，故点E 的坐标可求，结合点C 坐标可求直线CE 解析式，点M 是直线CE 与抛物线交点，联立解析式即可求解； （3）过点M 作L 的垂线交于点D ，故设点M 的横坐标为m ，则点M 的纵坐标可表示，且MD 的长度也可表示，由//HM NQ 可得AHM AQN ∆∆∽即可结合两点间距离公式表示出MN ，最后由3MD MN =即可求解 【详解】解：（1）将点()1,0A -和点()5,0B -代入25y ax bx =+-得5025550a b a b --=⎧⎨--=⎩，解得：16a b =-⎧⎨=-⎩ 265y x x ∴=---（2）点A 作AE AC ⊥交CM 的延长线于点E ，过E 作EF x ⊥轴于,E 如下图EF x ⊥轴，AE AC ⊥ 90EFA EAC ∴∠=∠=︒ 90FAE OAC ∴∠+∠=︒又90ACO OAC ∴∠+∠=︒EAF ACO ∴∠=∠ AOC EFA ∴∆∆∽AC AO COEA EF AF∴==tan 2ACM ∠=即2AEAC= 12AC AO CO EA EF AF ∴=== 当0x =时，5y =-()0,5C ∴-即5OC =2,10EF AF ∴==即()11,2E --∴设直线CE 的解析式为()0y kx b k =+≠，并将C 、E 两点代入得1125k b b -+=-⎧⎨=-⎩解得3115k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ 3511y x ∴=-- 点M 是直线CE 与抛物线交点2351165y x y x x ⎧=--⎪∴⎨⎪=---⎩解得1263,011x x =-=（不合题意，舍去） ∴ 点M 的横坐标为6311-（3）设过点M 垂直于L 的直线交x 轴于点H ，对称轴交x 轴于点Q ，M 的横坐标为m 则OH m =-1AH m ∴=--265y x x =---∴对称轴32bx a∴P 、Q 、N 的横坐标为3-，即3OQ =2AQ OQ OA ∴=-=∴当3x =-时，()()233654y =----⨯-= ()3,4P ∴-∴点D 的纵坐标为4∴()()222465693MD m m m m m =----=++=+ //HM NQ∴AHM AQN ∆∆∽AH HM AQ QN ∴=即21652m m m QN--++= 210QN m ∴=--()3,210N m ∴-+()()()2222223652103351MN m m m m m m ⎡⎤⎡⎤∴=-+-----=+++⎣⎦⎣⎦ 3MD =223MD MN ∴=，即()()()42233351m m m ⎡⎤+=+++⎣⎦， 30,3m m +==-不符合题意，舍去，当30m +≠时，2224690,m m ∴++=解得122m -=，由题意知122m --= (3,2N ∴--【点睛】本题考察二次函数的综合运用、相似三角形、锐角三角函数的运用、交点坐标的求法和两点间的距离公式，属于综合运用题，难度偏大．解题的关键是由锐角三角函数做出辅助线和设坐标的方程思想．12．（2021·湖北十堰市·中考真题）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg ，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y （元/kg ）与时间x （天）之间的函数关系式为：0.2530(120)35(2040)x x y x +≤≤⎧=⎨<≤⎩且x 为整数，且日销量()kg m 与时间x （天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表： 时间x （天） 1 3 6 10 …日销量()kg m 142 138 132 124 …填空：（1）m 与x 的函数关系为___________；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg 商品就捐赠n 元利润（4n <）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x 的增大而增大，求n 的取值范围．【答案】（1）2144m x =-+；（2）第16天销售利润最大，最大为1568元；（3）02n <≤【分析】（1）设m kx b =+，将()1142,，()3138,代入，利用待定系数法即可求解； （2）分别写出当120x ≤≤时与当2040x <≤时的销售利润表达式，利用二次函数和一次函数的性质即可求解；（3）写出在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润表达式，根据二次函数的性质可得对称轴16220n +≤，求解即可．【详解】解：（1）设m kx b =+，将()1142,，()3138,代入可得： 1421383k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得2144k b =-⎧⎨=⎩， ∴2144m x =-+；（2）当120x ≤≤时，销售利润()()()212021440.2530201615682W my m x x x =-=-++-=--+， 当16x =时，销售利润最大为1568元；当2040x <≤时，销售利润20302160W my m x =-=-+，当21x =时，销售利润最大为1530元；综上所述，第16天销售利润最大，最大为1568元；（3）在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润为： ()()()21'200.2510214416214401442W my m nm x n x x n x n =--=+--+=-+++-， ∴120x ≤≤时，'W 随x 的增大而增大，∴对称轴16220n +≤，解得02n <≤．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的实际应用，掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键．13．（2021·四川达州市·中考真题）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施．批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．（1）写出工厂每天的利润W 元与降价x 元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？ （2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？【答案】（1）2504009000W x x =-++，9600；（2）降价4元，最大利润为9800元；（3）43【分析】（1）若降价x 元，则每天销量可增加50x 千克，根据利润公式求解并整理即可得到解析式，然后代入2x =求出对应函数值即可；（2）将（1）中的解析式整理为顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可；（3）令9750W =可解出对应的x 的值，然后根据“让利于民”的原则选择合适的x 的值即可．【详解】（1）若降价x 元，则每天销量可增加50x 千克，∴()()500504830W x x =+--，整理得：2504009000W x x =-++，当2x =时，2502400290009600W =-⨯+⨯+=，∴每天的利润为9600元；（2）()225040090005049800W x x x =-++=--+，∴500-<，∴当4x =时，W 取得最大值，最大值为9800，∴降价4元，利润最大，最大利润为9800元；（3）令9750W =，得：()297505049800x =--+，解得：15=x ，23x =，∴要让利于民，∴5x =，48543-=（元）∴定价为43元．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，弄清数量关系，准确求出函数解析式并熟练掌握二次函数的性质是解题关键．14．（2021·湖南怀化市·中考真题）某超市从厂家购进A 、B 两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表：（1）求A 、B 两种型号的水杯进价各是多少元？（2）在销售过程中，A 型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B 型水杯的销售量，超市决定对B 型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B 型水杯降价多少元时，每天售出B 型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A 型水杯可获利10元，售出一个B 型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A 型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b 元用于购买防控物资．若A 、B 两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b 为多少？利润为多少？【答案】（1）A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元；（2）超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；（3）A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元．【分析】（1）主要运用二元一次方程组，设A 型号水杯为x 元，B 型号水杯为y 元，根据表格即可得出方程组，解出二元一次方程组即可得A 、B 型号水杯的单价；（2）主要运用二次函数，由题意可设：超市应将B 型水杯降价z 元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为w ，每个水杯的利润为()4430z --元；每降价1元，多售出5个，可得售出的数量为()205z +个，根据：利润=（售价-进价）×数量，可确定函数关系式，依据二次函数的基本性质，开口向下，在对称轴处取得最大值，即可得出答案；（3）根据（1）A 型号水杯为20元，B 型号水杯为30元．设10000元购买A 型水杯m 个，B 型水杯n 个，所得利润为W 元，可列出方程组，利用代入消元法化简得到利润W 的函数关系式，由于利润不变，所以令未知项的系数为0，即可求出b ，W ．【详解】（1）解：设A 型号水杯进价为x 元，B 型号水杯进价为y 元，根据题意可得：100200800020030013000x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：2030x y =⎧⎨=⎩，∴A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元．（2）设：超市应将B 型水杯降价z 元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为w ， 根据题意可得：()()4430205w z z =--+，化简得：2550280w z z =-++， 当()505225b z a =-=-=⨯-时， 255505280405max w =-⨯+⨯+=，∴超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元．（3）设购买A 型水杯m 个，B 型水杯n 个，所得利润为W 元，根据题意可得：()203010000109m n W b m n +=⎧⎨=-+⎩①② 将∴代入∴可得：()100002010930m W b m -=-+⨯， 化简得：()()106300043000W b m b m =--+=-+，使得A ，B 两种杯子全部售出后，捐款后所得利润不变，则40b -=，得4b =，当4b =时，3000W =，∴A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元．【点睛】题目主要考察二元一次方程、一元二次函数的以及一次函数的应用，难点是对题意的理解及对函数和方程的综合运用．15．（2021·湖北黄冈市·中考真题）已知抛物线23y ax bx =+-与x 轴相交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y轴交于点C ，点(,0)N n 是x 轴上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若3n <，过点N 作x 轴的垂线交抛物线于点P ，交直线BC 于点G ．过点P 作PD BC ⊥于点D ，当n 为何值时，PDG BNG ≌；（3）如图2，将直线BC 绕点B 顺时针旋转，使它恰好经过线段OC 的中点，然后将它向上平移32个单位长度，得到直线1OB ．①1tan BOB ∠=______；①当点N 关于直线1OB 的对称点1N 落在抛物线上时，求点N 的坐标．【答案】（1）223y x x =--；（2）2n =（3）∴12；∴251013(9+或2513(,0)9-． 【分析】（1）根据点,A B 的坐标，利用待定系数法即可得；（2）先根据抛物线的解析式可得点,C P 的坐标，再利用待定系数法可得直线BC 的解析式，从而可得点G 的坐标，然后分别求出,PG BG 的长，最后根据全等三角形的性质可得PG BG =，由此建立方程求解即可得；（3）∴先利用待定系数法求出直线BD 的解析式，再根据平移的性质可得直线1OB 的解析式，从而可得点E 的坐标，然后根据正切三角函数的定义即可得；∴先求出直线1NN 的解析式，再与直线1OB 的解析式联立求出它们的交点坐标，从而可得点1N 的坐标，然后代入抛物线的解析式求解即可得．。

2020-2021九年级数学一模试题分类汇编——二次函数综合及详细答案

2020-2021九年级数学一模试题分类汇编——二次函数综合及详细答案

2020-2021九年级数学一模试题分类汇编——二次函数综合及详细答案一、二次函数1．如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=52时，四边形AOPE面积最大，最大值为758.（3）P点的坐标为：P13+515-），P2（35-1+52），P35+5，1+52），P4（552-，152）.【解析】分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；（3）存在四种情况：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P 的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，由对称性得：D（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E（3，3），易得OE的解析式为：y=x，过P作PG∥y轴，交OE于点G，∴G（m，m），∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE，=12×3×3+12PG•AE，=92+12×3×（-m2+5m-3），=-32m2+152m，=32（m-52）2+758， ∵-32＜0， ∴当m=52时，S 有最大值是758； （3）如图3，过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交l 于N ，∵△OPF 是等腰直角三角形，且OP=PF ，易得△OMP ≌△PNF ，∴OM=PN ，∵P （m ，m 2-4m+3），则-m 2+4m-3=2-m ，解得：m=5+5或55-， ∴P 的坐标为（5+5，1+5）或（55-，15-）； 如图4，过P 作MN ⊥x 轴于N ，过F 作FM ⊥MN 于M ，同理得△ONP ≌△PMF ，∴PN=FM ，则-m2+4m-3=m-2，解得：x=3+5或35 -；P的坐标为（3+5，15-）或（35-，1+52）；综上所述，点P的坐标是：（5+52，1+52）或（552-，152-）或（3+5，15-）或（35-，1+5）．点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．2．已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．【答案】（1）b=﹣2a，顶点D的坐标为（﹣12，﹣94a）；（2）2732748aa--；（3）2≤t＜94．【解析】【分析】（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N的位置，画图1，根据面积和可得△DMN的面积即可；（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围．【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），∴a+a+b=0，即b=-2a，∴y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a（x+12）2-94a，∴抛物线顶点D的坐标为（-12，-94a）；（2）∵直线y=2x+m经过点M（1，0），∴0=2×1+m，解得m=-2，∴y=2x-2，则2222y xy ax ax a-⎧⎨+-⎩＝＝，得ax2+（a-2）x-2a+2=0，∴（x-1）（ax+2a-2）=0，解得x=1或x=2a-2，∴N点坐标为（2a-2，4a-6），∵a＜b，即a＜-2a，∴a＜0，如图1，设抛物线对称轴交直线于点E，∵抛物线对称轴为122axa=-=-，∴E（-12，-3），∵M（1，0），N（2a -2，4a-6），设△DMN的面积为S，∴S=S△DEN+S△DEM=12|（2a-2）-1|•|-94a-（-3）|=274−3a−278a，（3）当a=-1时，抛物线的解析式为：y=-x2-x+2=-（x+12）2+94，由222y x xy x⎧=--+⎨=-⎩，-x2-x+2=-2x，解得：x1=2，x2=-1，∴G（-1，2），∵点G、H关于原点对称，∴H（1，-2），设直线GH平移后的解析式为：y=-2x+t，-x2-x+2=-2x+t，x2-x-2+t=0，△=1-4（t-2）=0，t=94，当点H平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），把（1，0）代入y=-2x+t，t=2，∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，t的取值范围是2≤t＜94．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识．在（1）中由M 的坐标得到b 与a 的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x 的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH 与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．3．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），C （0，3）三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求△PBC 周长的最小值；（3）如图（2），若E 是线段AD 上的一个动点（ E 与A 、D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ，交x 轴于点G ，设点E 的横坐标为m ，△ADF 的面积为S ． ①求S 与m 的函数关系式；②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标； 若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=--+.（2）3210.（3）①2S m 4m 3=---.②当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.【解析】【分析】（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可.（2）根据BC 是定值，得到当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可.（3）设点E 的横坐标为m ，表示出E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+），最后表示出EF 的长，从而表示出S 于m 的函数关系，然后求二次函数的最值即可.【详解】解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），∴可设抛物线交点式为()()y a x 3x 1=+-.又∵抛物线2y ax bx c =++经过C （0，3），∴a 1=-.∴抛物线的解析式为：()()y x 3x 1=-+-，即2y x 2x 3=--+.（2）∵△PBC 的周长为：PB+PC+BC ，且BC 是定值.∴当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小.∵点A 、点B 关于对称轴I 对称，∴连接AC 交l 于点P ，即点P 为所求的点.∵AP=BP ，∴△PBC 的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC.∵A （－3，0），B （1，0），C （0，3），∴2，10.∴△PBC 的周长最小是：3210.（3）①∵抛物线2y x 2x 3=--+顶点D 的坐标为（﹣1，4），A （﹣3，0），∴直线AD 的解析式为y=2x+6∵点E 的横坐标为m ，∴E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+）∴()22EF m 2m 32m 6m 4m 3=--+-+=---. ∴()22DEF AEF 1111S S S EF GH EF AG EF AH m 4m 32m 4m 32222∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅---⋅=---.∴S 与m 的函数关系式为2S m 4m 3=---.②()22S m 4m 3m 21=---=-++，∴当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.4．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ．①求线段PM 的最大值；②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．【答案】（1）二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3；（2）①PM 最大=94；②P （2，﹣3）或（22﹣2）．【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得答案； （2）①根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案．【详解】（1）将A ，B ，C 代入函数解析式，得09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，这个二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3；（2）设BC 的解析式为y=kx+b ，将B ，C 的坐标代入函数解析式，得303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得13k b =⎧⎨=-⎩， BC 的解析式为y=x ﹣3，设M （n ，n ﹣3），P （n ，n 2﹣2n ﹣3），PM=（n ﹣3）﹣（n 2﹣2n ﹣3）=﹣n 2+3n=﹣（n ﹣32）2+94， 当n=32时，PM 最大=94； ②当PM=PC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n 2﹣2n ﹣3+3）2，解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2=2，n 2﹣2n ﹣3=-3，P （2，-3）；当PM=MC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n ﹣3+3）2，解得n1=0（不符合题意，舍），n2=3+2（不符合题意，舍），n3=3-2，n2﹣2n﹣3=2-42，P（3-2，2-42）；综上所述：P（2，﹣3）或（3-2，2﹣42）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法.5．如图，已知抛物线y=x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，－3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P 在第三象限．①当线段PQ=34AB时，求tan∠CED的值；②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．【答案】（1）抛物线的函数表达式为y=x2－2x－3．（2）直线BC的函数表达式为y=x－3．（3）①23．①P1（122），P2（16，74）．【解析】【分析】已知C点的坐标，即知道OC的长，可在直角三角形BOC中根据∠BCO的正切值求出OB 的长，即可得出B点的坐标．已知了△AOC和△BOC的面积比，由于两三角形的高相等，因此面积比就是AO与OB的比．由此可求出OA的长，也就求出了A点的坐标，然后根据A、B、C三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式．【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴− 221bb a-⨯＝＝1 ∴b=-2 ∵抛物线与y 轴交于点C （0，-3），∴c=-3，∴抛物线的函数表达式为y=x 2-2x-3；（2）∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，当y=0时，x 2-2x-3=0．∴x 1=-1，x 2=3．∵A 点在B 点左侧，∴A （-1，0），B （3，0）设过点B （3，0）、C （0，-3）的直线的函数表达式为y=kx+m ，则033k m m ＝＝+⎧⎨-⎩， ∴13k m ⎧⎨-⎩＝＝ ∴直线BC 的函数表达式为y=x-3；（3）①∵AB=4，PQ=34AB ， ∴PQ=3∵PQ ⊥y 轴∴PQ ∥x 轴，则由抛物线的对称性可得PM=32， ∵对称轴是直线x=1，∴P 到y 轴的距离是12， ∴点P 的横坐标为−12， ∴P （−12，−74） ∴F （0，−74）， ∴FC=3-OF=3-74=54 ∵PQ 垂直平分CE 于点F ，∴CE=2FC=52∵点D 在直线BC 上，∴当x=1时，y=-2，则D（1，-2），过点D作DG⊥CE于点G，∴DG=1，CG=1，∴GE=CE-CG=52-1=32．在Rt△EGD中，tan∠CED=23 GDEG＝．②P1（2，-2），P2（6-52）．设OE=a，则GE=2-a，当CE为斜边时，则DG2=CG•GE，即1=（OC-OG）•（2-a），∴1=1×（2-a），∴a=1，∴CE=2，∴OF=OE+EF=2∴F、P的纵坐标为-2，把y=-2，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：2或2∵点P在第三象限．∴P1（2-2），当CD为斜边时，DE⊥CE，∴OE=2，CE=1，∴OF=2.5，∴P和F的纵坐标为：-52，把y=-52，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：x=1-621+62∵点P在第三象限．∴P2（6-52）．综上所述：满足条件为P 1（-2），P 2（-52）． 【点睛】 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．6．对于二次函数 y=ax 2+（b+1）x+（b ﹣1），若存在实数 x 0，使得当 x=x 0，函数 y=x 0，则称x 0 为该函数的“不变值”.（1）当 a=1，b=﹣2 时，求该函数的“不变值”；（2）对任意实数 b ，函数 y 恒有两个相异的“不变值”，求 a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若该图象上 A 、B 两点的横坐标是该函数的“不变值”，且 A 、B 两点关于直线 y=kx-2a+3 对称，求 b 的最小值.【答案】（1）－1，3；（2）0<a<1；（3）－98【解析】【分析】（1）先确定二次函数解析式为y=x 2-x-3，根据x o 是函数y 的一个不动点的定义，把（x o ，x o ）代入得x 02-x 0-3=x o ，然后解此一元二次方程即可；（2）根据x o 是函数y 的一个不动点的定义得到ax o 2+（b+1）x o +（b-1）=x o ，整理得ax 02+bx o +（b-1）=0，则根据判别式的意义得到△=b 2-4a （b-1）>0，即b 2-4ab+4a>0，把b 2-4ab+4a 看作b 的二次函数，由于对任意实数b ，b 2-4ab+4a>0成立，则（4a ）2-4.4a<0，然后解此不等式即可.（3）（利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.找到a ，b 之间的关系式，整理后在利用基本不等式求解可得.【详解】解：（1）当a=1，b=-2时，二次函数解析式为y=x 2-x-3，把（x o ，x o ）代入得x 02-x 0-3=x o ，解得x o =-1或x o =3，所以函数y 的不动点为-1和3；（2）因为y=x o ，所以ax o 2+（b+1）x o +（b-1）=x o ，即ax 02+bx o +（b-1）=0，因为函数y 恒有两个相异的不动点，所以此方程有两个不相等的实数解，所以△=b 2-4a （b-1）>0，即b 2-4ab+4a>0，而对任意实数b ，b 2-4ab+4a>0成立，所以（4a ）2-4.4a<0，解得0<a<1.（3）设A （x 1，x 1），B （x 2，x 2），则x 1+x 2b a =-A ，B 的中点的坐标为（1212,22x x x x ++ ），即M （,22b b a a-- ） A 、B 两点关于直线y=kx-2a+3对称，又∵A ，B 在直线y=x 上，∴k=-1，A ，B 的中点M 在直线y=kx-2a+3上.∴b a =b a-2a+3 得：b=2a 2-3a 所以当且仅当a=34 时，b 有最小值－98【点睛】 本题是在新定义下对函数知识的综合考查，是一道好题.关于两点关于直线对称的问题，有两个结论同时存在，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.7．如图，已知抛物线经过点A （-1，0），B （4，0），C （0，2）三点，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是线段AB 上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ，交直线BD 于点M ．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）在点P 运动过程中，是否存在点Q ，使得△BQM 是直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC ，将△AOC 绕平面内某点H 顺时针旋转90°，得到△A 1O 1C 1，点A 、O 、C 的对应点分别是点A 、O 1、C 1、若△A 1O 1C 1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点A 1的横坐标．【答案】（1）y=-21x 2+32x+2；（2）存在，Q （3，2）或Q （-1，0）；（3）两个和谐点，A 1的横坐标是1，12. 【解析】【分析】（1）把点A （1，0）、B （4，0）、C （0，3）三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；（2）分两种情况分别讨论，当∠QBM=90°或∠MQB=90°，即可求得Q 点的坐标． （3）（3）两个和谐点；AO=1，OC=2，设A 1（x ，y ），则C 1（x+2，y-1），O 1（x ，y-1），①当A 1、C 1在抛物线上时，A 1的横坐标是1；当O 1、C 1在抛物线上时，A 1的横坐标是2；【详解】解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，将点A（-1，0），B（4，0），C（0，2）代入解析式，∴0a b c016a4b c 2c=-+⎧⎪=++⎨⎪=⎩，∴1 a23 b2⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴y=-21x2+32x+2；（2）∵点C与点D关于x轴对称，∴D（0，-2）．设直线BD的解析式为y=kx-2．∵将（4，0）代入得：4k-2=0，∴k=12．∴直线BD的解析式为y=12x-2．当P点与A点重合时，△BQM是直角三角形，此时Q（-1，0）；当BQ⊥BD时，△BQM是直角三角形，则直线BQ的直线解析式为y=-2x+8，∴-2x+8=-21x2+32x+2，可求x=3或x=4（舍）∴x=3；∴Q（3，2）或Q（-1，0）；（3）两个和谐点；AO=1，OC=2，设A 1（x ，y ），则C 1（x+2，y-1），O 1（x ，y-1），①当A 1、C 1在抛物线上时， ∴()2213yx x 22213y 1(x 2)x 2222⎧=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩， ∴x 1y 3=⎧⎨=⎩， ∴A 1的横坐标是1；当O 1、C 1在抛物线上时，()2213y 1x x 22213y 1(x 2)x 2222⎧-=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩， ∴1x 221y 8⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴A 1的横坐标是12；【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质等；分类讨论思想的运用是本题的关键．8．如图，抛物线y=ax 2+6x+c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．直线y=x ﹣5经过点B ，C ．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A 的直线交直线BC 于点M ．①当AM ⊥BC 时，过抛物线上一动点P （不与点B ，C 重合），作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标；②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P点的横坐标为45+41或5-41 2；②点M的坐标为（136，﹣176）或（236，﹣76）．【解析】分析：（1）利用一次函数解析式确定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；（2）①先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以2，接着根据平行四边形的性质得到2，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，利用∠PDQ=45°得到2PQ=4，设P（m，-m2+6m-5），则D（m，m-5），讨论：当P点在直线BC上方时，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；当P点在直线BC下方时，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分别解方程即可得到P点的横坐标；②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB，再确定N（3，-2），AC的解析式为y=5x-5，E点坐标为（12，-52），利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y=-15x+b，把E（12，-52）代入求出b得到直线EM1的解析式为y=-15x-125，则解方程组511255y xy x-⎧⎪⎨--⎪⎩＝＝得M1点的坐标；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x-5），根据中点坐标公式得到3=13+ 62x，然后求出x即可得到M2的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标．详解：（1）当x=0时，y=x﹣5=﹣5，则C（0，﹣5），当y=0时，x﹣5=0，解得x=5，则B（5，0），把B（5，0），C（0，﹣5）代入y=ax2+6x+c得253005a cc++=⎧⎨=-⎩，解得15ab=-⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1，x2=5，则A（1，0），∵B（5，0），C（0，﹣5），∴△OCB为等腰直角三角形，∴∠OBC=∠OCB=45°，∵AM⊥BC，∴△AMB为等腰直角三角形，∴AM=22AB=22×4=22，∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ，∴PQ=AM=22，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，则∠PDQ=45°，∴222=4，设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），当P点在直线BC上方时，PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m1=1，m2=4，当P点在直线BC下方时，PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m1=5+412，m2=5-412，综上所述，P点的横坐标为4或5+412或5-412；②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，∵M1A=M1C，∴∠ACM1=∠CAM1，∴∠AM1B=2∠ACB，∵△ANB为等腰直角三角形，∴AH=BH=NH=2，∴N（3，﹣2），易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（12，﹣52，设直线EM1的解析式为y=﹣15x+b，把E（12，﹣52）代入得﹣110+b=﹣52，解得b=﹣125，∴直线EM1的解析式为y=﹣15x﹣125解方程组511255y xy x=-⎧⎪⎨=--⎪⎩得136176xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则M1（136，﹣176）；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x﹣5），∵3=13+ 62x∴x=236，∴M2（236，﹣76）.综上所述，点M的坐标为（136，﹣176）或（236，﹣76）．点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．9．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线y＝x2+bx+c的表达式；（2）点D为抛物线对称轴上一点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；（3）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，﹣1）；（3）42【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）如图1，设D（2，y），利用两点间的距离公式得到BC2=32+32=18，DC2=4+（y﹣3）2，BD2=（3﹣2）2+y2=1+y2，然后讨论：当BD为斜边时得到18+4+（y﹣3）2=1+y2；当CD 为斜边时得到4+（y﹣3）2=1+y2+18，再分别解方程即可得到对应D的坐标；（3）先证明∠CEF=90°得到△ECF为等腰直角三角形，作PH⊥y轴于H，PG∥y轴交BC于G，如图2，△EPG、△PHF都为等腰直角三角形，则PE=22PG，PF2，设P（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜3），则G（t，﹣t+3），接着利用t表示PF、PE，这样PE+EF=2PE+PF=﹣2t22，然后利用二次函数的性质解决问题．试题解析：解：（1）把B（3，0），C（0，3）代入y=x2+bx+c得：9303b cc++=⎧⎨=⎩，解得：43bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线y=x2+bx+c的表达式为y=x2﹣4x+3；（2）如图1，抛物线的对称轴为直线x=﹣42-=2，设D（2，y），B（3，0），C（0，3），∴BC 2=32+32=18，DC 2=4+（y ﹣3）2，BD 2=（3﹣2）2+y 2=1+y 2，当△BCD 是以BC 为直角边，BD 为斜边的直角三角形时，BC 2+DC 2=BD 2，即18+4+（y ﹣3）2=1+y 2，解得：y =5，此时D 点坐标为（2，5）；当△BCD 是以BC 为直角边，CD 为斜边的直角三角形时，BC 2+DB 2=DC 2，即4+（y ﹣3）2=1+y 2+18，解得：y =﹣1，此时D 点坐标为（2，﹣1）；（3）易得BC 的解析式为y =﹣x +3．∵直线y =x +m 与直线y =x 平行，∴直线y =﹣x +3与直线y =x +m 垂直，∴∠CEF =90°，∴△ECF 为等腰直角三角形，作PH ⊥y 轴于H ，PG ∥y 轴交BC 于G ，如图2，△EPG 、△PHF 都为等腰直角三角形，PE =22PG ，PF =2PH ，设P （t ，t 2﹣4t +3）（1＜t ＜3），则G （t ，﹣t +3），∴PF =2PH =2t ，PG =﹣t +3﹣（t 2﹣4t +3）=﹣t 2+3t ，∴PE =22PG =﹣22t 2+322t ，∴PE +EF =PE +PE +PF =2PE +PF =﹣2t 2+32t +2t =﹣2t 2+42t =﹣2（t ﹣2）2+42，当t =2时，PE +EF 的最大值为42．点睛：本题考查了二次函数的综合题．熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．10．（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ． （1）直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P 为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD 为等腰三角形，求出点P 的坐标； （3）证明：当直线l 绕点D 旋转时，11AM AN+均为定值，并求出该定值．【答案】（1）a =13-，A 0），抛物线的对称轴为x 2）点P 的坐标为04）；（3）2． 【解析】试题分析：（1）由点C 的坐标为（0，3），可知﹣9a =3，故此可求得a 的值，然后令y =0得到关于x 的方程，解关于x 的方程可得到点A 和点B 的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO =60°，依据AE 为∠BAC 的角平分线可求得∠DAO =30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD =1，则可得到点D 的坐标．设点P 的，a ）．依据两点的距离公式可求得AD 、AP 、DP 的长，然后分为AD =PA 、AD =DP 、AP =DP 三种情况列方程求解即可；（3）设直线MN 的解析式为y =kx +1，接下来求得点M 和点N 的横坐标，于是可得到AN 的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM 的长，最后将AM 和AN 的长代入化简即可．试题解析：（1）∵C （0，3），∴﹣9a =3，解得：a =13-．令y =0得：290ax a --=，∵a ≠0，∴290x --=，解得：x =x =∴点A 0），B （0），∴抛物线的对称轴为x（2）∵OA OC =3，∴tan ∠CAO ∴∠CAO =60°．∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAO =30°，∴DO =1，∴点D 的坐标为（0，1）．设点P a ）．依据两点间的距离公式可知：AD 2=4，AP 2=12+a 2，DP 2=3+（a ﹣1）2． 当AD =PA 时，4=12+a 2，方程无解．当AD =DP 时，4=3+（a ﹣1）2，解得a =0或a =2（舍去），∴点P 0）．当AP =DP 时，12+a 2=3+（a ﹣1）2，解得a =﹣4，∴点P ，﹣4）．综上所述，点P 04）．（3）设直线AC 的解析式为y =mx +3，将点A 的坐标代入得：30+=，解得：m ∴直线AC 的解析式为3y =+． 设直线MN 的解析式为y =kx +1．把y =0代入y =kx +1得：kx +1=0，解得：x =1k -，∴点N 的坐标为（1k-，0），∴AN =1k-．将3y =+与y =kx +1联立解得：x，∴点M ．过点M 作MG ⊥x 轴，垂足为G ．则AG =233k +-．∵∠MAG =60°，∠AGM =90°，∴AM =2AG =233k +-=2323k k --，∴11AM AN +=323231k k k -+-- =33232k k --=3(31)2(31)k k -- =32． 点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，分类讨论是解答问题（2）的关键，求得点M 的坐标和点N 的坐标是解答问题（3）的关键．11．如图甲，直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，经过B 、C 两点的抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ． （1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以C ，P ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当0＜x ＜3时，在抛物线上求一点E ，使△CBE 的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．【答案】（1）y=x 2﹣4x+3；（2）（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）E 点坐标为（，）时，△CBE 的面积最大．【解析】试题分析：（1）由直线解析式可求得B 、C 坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）由抛物线解析式可求得P 点坐标及对称轴，可设出M 点坐标，表示出MC 、MP 和PC 的长，分MC=MP 、MC=PC 和MP=PC 三种情况，可分别得到关于M 点坐标的方程，可求得M 点的坐标；（3）过E 作EF ⊥x 轴，交直线BC 于点F ，交x 轴于点D ，可设出E 点坐标，表示出F 点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出△CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标．试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，∴B（3，0），C（0，3），把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1），设M（2，t），且C（0，3），∴MC=，MP=|t+1|，PC=，∵△CPM为等腰三角形，∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，①当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t=，此时M（2，）；②当MC=PC时，则有=2，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）；③当MP=PC时，则有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此时M（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3），∵0＜x＜3，∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF•OD+EF•BD=EF•OB=×3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（，），即当E 点坐标为（，）时，△CBE 的面积最大．考点：二次函数综合题．12．如图， 已知抛物线2342y ax x =++的对称轴是直线x=3，且与x 轴相交于A ，B 两点（B 点在A 点右侧）与y 轴交于C 点 ．（1）求抛物线的解析式和A 、B 两点的坐标；（2）若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点（不与B 、C 重合），则是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大．若存在，请求出△PBC 的最大面积；若不存在，试说明理由； （3）若M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当MN=3时，求M 点的坐标 ．【答案】（1）213442y x x =-++，点A 的坐标为(-2，0)，点B 的坐标为(8，0)；（2）存在点P ，使△PBC 的面积最大，最大面积是16，理由见解析；（3）点M 的坐标为(4-771)、(2，6)、(6，4)或7，71)． 【解析】 【分析】（1） 由抛物线的对称轴为直线x=3，利用二次函数的性质即可求出a 值， 进而可得出抛物线的解析式， 再利用二次函数图象上点的坐标特征， 即可求出点A 、B 的坐标； （2） 利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C 的坐标， 由点B 、C 的坐标， 利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式， 假设存在， 设点P 的坐标为（x,213-442x x ++），过点P 作PD//y 轴， 交直线BC 于点D ，则点D 的坐标为（x,1-42x +），PD=-14x 2+2x ，利用三角形的面积公式即可得出三角形PBC 的面积关于x 的函数关系式， 再利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3） 设点M 的坐标为（m,213-442m m ++），则点N 的坐标为（m,1-42m +），进而可得出MN 2124m m =-+，结合MN=3即可得出关于m 的含绝对值符号的一元二次方程， 解之即可得出结论 ． 【详解】（1）Q 抛物线2342y ax x =++的对称轴是直线3x =， 3232a∴-=，解得：14a =-，∴抛物线的解析式为213442y x x =-++．当0y =时，2134042x x -++=， 解得：12x =-，28x =，∴点A 的坐标为()2,0-，点B 的坐标为()8,0．（2） 当0x =时，2134442y x x =-++=， ∴点C 的坐标为()0,4．设直线BC 的解析式为()0y kx b k =+≠． 将()8,0B 、()0,4C 代入y kx b =+，804k b b +=⎧⎨=⎩，解得：124k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为142y x =-+． 假设存在， 设点P 的坐标为213,442x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，过点P 作//PD y 轴， 交直线BC 于点D ，则点D 的坐标为1,42x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，如图所示 ． 2213114424224PD x x x x x ⎛⎫∴=-++--+=-+ ⎪⎝⎭，()222111·8?28416224PBC S PD OB x x x x x ∆⎛⎫∴==⨯-+=-+=--+ ⎪⎝⎭． 10-<Q ，∴当4x =时，PBC ∆的面积最大， 最大面积是 16 ． 08x <<Q ，∴存在点P ，使PBC ∆的面积最大， 最大面积是 16 ．（3） 设点M 的坐标为213,442m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则点N 的坐标为1,42m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，2213114424224MN m m m m m ⎛⎫∴=-++--+=-+ ⎪⎝⎭．又3MN =Q ，21234m m ∴-+=．当08m <<时， 有212304m m -+-=， 解得：12m =，26m =，∴点M 的坐标为()2,6或()6,4；当0m <或8m >时， 有212304m m -++=， 解得：3427m =-，4427m =+，∴点M 的坐标为(427-，71)-或(427+，71)--．综上所述：M 点的坐标为(427-，71)-、()2,6、()6,4或(427+，71)--．【点睛】本题考查了二次函数的性质、 二次函数图象上点的坐标特征、 待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积， 解题的关键是： （1） 利用二次函数的性质求出a 的值； （2） 根据三角形的面积公式找出关于x 的函数关系式； （3） 根据MN 的长度， 找出关于m 的含绝对值符号的一元二次方程 ．13．如图，已知二次函数过（﹣2，4），（﹣4，4）两点．（1）求二次函数的解析式；（2）将沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线，直线y=m（m＞0）交于M、N两点，求线段MN的长度（用含m的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，、交于A、B两点，如果直线y=m与、的图象形成的封闭曲线交于C、D两点（C在左侧），直线y=﹣m与、的图象形成的封闭曲线交于E、F两点（E在左侧），求证：四边形CEFD是平行四边形．【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．【解析】试题分析：（1）根据待定系数法即可解决问题．（2）先求出抛物线y2的顶点坐标，再求出其解析式，利用方程组以及根与系数关系即可求出MN．（3）用类似（2）的方法，分别求出CD、EF即可解决问题．试题解析：（1）∵二次函数过（﹣2，4），（﹣4，4）两点，∴，解得：，∴二次函数的解析式．（2）∵=，∴顶点坐标（﹣3，），∵将沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线，∴抛物线的顶点坐标（﹣1，），∴抛物线为，由，消去y整理得到，设，是它的两个根，则MN===；（3）由，消去y整理得到，设两个根为，，则CD===，由，消去y得到，设两个根为，，则EF===，∴EF=CD，EF∥CD，∴四边形CEFD是平行四边形．考点：二次函数综合题．14．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线（）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）A（－1，0），；（2）；（3）P的坐标为（1，）或（1，－4）．【解析】试题分析：（1）在中，令y=0，得到，，得到A（－1，0），B（3，0），由直线l经过点A，得到，故，令，即，由于CD＝4AC，故点D的横坐标为4，即有，得到，从而得出直线l的函数表达式；（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），EF＝=，S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝，故△ACE的面积的最大值为，而△ACE的面积的最大值为，所以，解得；（3）令，即，解得，，得到D （4，5a），因为抛物线的对称轴为，设P（1，m），然后分两种情况讨论：①若AD是矩形的一条边，②若AD是矩形的一条对角线．试题解析：（1）∵=，令y=0，得到，，∴A（－1，0），B（3，0），∵直线l经过点A，∴，，∴，令，即，∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4，∴，∴，∴直线l的函数表达式为；（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），EF＝=，S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝＝，∴△ACE的面积的最大值为，∵△ACE的面积的最大值为，∴，解得；。

2021年上海市16区中考数学一模考点分类汇编专题13二次函数综合(解析版)

2021年上海市16区中考数学一模考点分类汇编专题13二次函数综合(解析版)

2021年上海市16区中考数学一模汇编专题13二次函数综合1．（2021·上海黄浦区·九年级一模）将二次函数223y x x =++的图像向右平移3个单位，求所得图像的函数解析式：请结合以上两个函数图像，指出当自变量x 在什么取值范围内时，上述两个函数中恰好其中一个的函数图像是上升的，而另一个的函数图像是下降的．【答案】246y x x =-+，12x -≤≤．【分析】由二次函数的平移规律：左加右减，可得平移后的解析式，再画出两个函数的图像，利用图像可得答案．【详解】解：把二次函数223y x x =++的图像向右平移3个单位可得：()()23233y x x =-+-+，246y x x ∴=-+，又()222312,y x x x =++=++∴函数图像的顶点坐标为：()1,2,-而()224622,y x x x =-+=-+∴函数图像的顶点坐标为：()2,2,函数223y x x =++与246y x x =-+的图像如图示；∴由图像可得：当12x -≤≤时，函数223y x x =++的函数图像是上升的，而函数246y x x =-+的函数图像是下降的．【点睛】本题考查的是二次函数的图像的平移，二次函数的增减性，掌握以上知识是解题的关键．2．（2021·上海浦东新区·九年级一模）已知抛物线223y x x m =++-的顶点在第二象限，求m 的取值范围．【答案】m ＞1【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为(-1，m-1)，再利用第二象限点的坐标特征得到m-1＞0，然后解不等式即可．【详解】解：∵y=x 2+2x+m=(x+1)2+m-1，∴抛物线的顶点坐标为(-1，m-1)，∵抛物线y=x 2+2x+m 顶点在第二象限，∴m-1＞0，∴m ＞1．故答案为m ＞1．【点睛】本题考查了配方法，以及二次函数y =a (x -h )2+k (a ，b ，c 为常数，a ≠0)的性质，熟练掌握二次函数y =a (x -h )2+k 的性质是解答本题的关键．y =a (x -h )2+k 是抛物线的顶点式，a 决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是(h ，k )，对称轴是x =h ．3．（2021·上海松江区·九年级一模）用配方法把二次函数2365y x x =-+化为2()y a x m k =++的形式，并指出这个函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标．【答案】化为23(1)2y x =-+，开口方向：向上；对称轴：直线1x =；顶点坐标：()1,2P 【分析】先利用配方法把一般式化成顶点式，再利用二次函数的性质得到图像的开口方向、对称轴和顶点坐标．【详解】解：y =3x 2-6x +5=3（x 2-2x +1）+2=3（x -1）2+2，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x =1，顶点P （1，2）．【点睛】本题考查的是二次函数三种形式的转化、二次函数的性质，掌握配方法、二次函数的性质是解题的关键．4．（2021·上海金山区·九年级一模）已知抛物线22y x bx c =-++经过点()01A ,、()1,5B -．（1）求抛物线的表达式；（2）把表达式化成()22y x m k =-++的形式，并写出顶点坐标与对称轴．【答案】（1）2241y x x =--+；（2）()2213y x =-++，顶点坐标为：()1,3-，对称轴为：直线1x =-．【分析】（1）直接将A 、B 的坐标代入22y x bx c =-++求得b 、c 即可；（2）通过配方将（1）求得的解析式化成顶点式，然后直接写出顶点坐标和对称轴即可．【详解】解：（1）由抛物线22y x bx c =-++经过点()01A ,、()1,5B -两点可得：125c b c =⎧⎨-++=-⎩，解得：41b c =-⎧⎨=⎩；∴抛物线的解析式为：2241y x x =--+；（2）2241y x x =--+()2213x =-++；∴()2213y x =-++，∴顶点坐标为：()1,3-，对称轴为：直线1x =-．【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，将二次函数的一般式化成顶点式成为解答本题的关键．5．（2021·上海徐汇区·九年级一模）已知抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点(0,2)C ，它的顶点为M ，对称轴是直线1x =-．（1）求此抛物线的表达式及点M 的坐标；（2）将上述抛物线向下平移(0)m m >个单位，所得新抛物线经过原点O ，设新抛物线的顶点为N ，请判断MON △的形状，并说明理由．【答案】（1）222=++y x x ，(1,1)-；（2）△MON 是等腰直角三角形．【分析】（1）根据对称轴是直线1x =-，可求b ，再代入点C ，可求抛物线解析式，把1x =-，代入解析式，可求M 点坐标；（2）由原抛物线与y 轴交点可知，抛物线向下平移2个单位，可求新顶点坐标，再求出MO 、ON 、MN 的长，可判断三角形形状．【详解】解：（1）∵抛物线对称轴是直线1x =-，∴121b -=-⨯，解得b=2，把(0,2)C 代入2y x bx c =++得，2c =，∴抛物线解析式为：222=++y x x ；把1x =-代入222=++y x x 得，2(1)2(1)2y =-+⨯-+，1y =，点M 的坐标为：(1,1)-．（2）抛物线222=++y x x 与y 轴交点为(0,2)C ，向下平移(0)m m >个单位后经过原点，∴m=2，新抛物线的顶点N 的坐标为：(1,1)--，∴22112ON =+=，22112OM =+=，MN=2，∴222MN OM ON =+，∴△MON 是等腰直角三角形．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和函数的平移以及勾股定理逆定理，灵活运用已知条件，准确把握函数图象平移特征，根据三边长判断三角形形状是解题关键．6．（2021·上海长宁区·九年级一模）已知二次函数21722y x x =--+．（1）用配方法把该二次函数的解析式化为()2y a x m k =++的形式；（2）写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴，并说明函数值y 随自变量x 的变化而变化的情况．【答案】（1）()21142y x =-++；（2）开口向下，顶点()1,4-，对称轴直线1x =-，x≤-1时，y 随x 增大而增大；x ＞-1时，y 随x 增大而减小．【分析】（1）根据配方法，先提取12-，然后配成完全平方式，整理即可；（2）根据a 是负数以及顶点式解析式分别求解即可．【详解】解:(1)()()22171214222y x x x =-++=-++（2）①二次函数开口方向向下，②顶点坐标()1,4-，对称轴直线1x =-，③x≤-1时，y 随x 增大而增大；x ＞-1时，y 随x 增大而减小．【点睛】本题考查化一般式为顶点式和二次函数的性质．熟练掌握配方法的操作以及根据顶点式形式写出对称轴和顶点坐标的方法是解题的关键．7．（2021·上海杨浦区·九年级一模）已知一个二次函数的图像经过点()1,0A -、()0,3B 、()2,3C ．（1）求这个函数的解析式及对称轴；（2）如果点()11,P x y 、()22,Q x y 在这个二次函数图像上，且120x x <<，那么1y _____2y ．（填“<”或者“>”）【答案】（1）2y x 2x 3=-++，x=1；（2）<【分析】（1）直接用待定系数法代入三点求出函数解析式，运用对称轴公式可求出对称轴；（2）通过判断二次函数增减性可得出结果．【详解】解：（1）设二次函数的表达式为2y ax bx c =++，已知二次函数经过A 、B 、C 三点，将三点坐标代入二次函数表达式中，03423a b c c a b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，可得123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则这个函数的解析式为2y x 2x 3=-++，其对称轴为直线12b x a=-=；（2）0a < ，∴抛物线开口向下， 对称轴为直线x=1，∴x<1时，y 随x 的增大而增大，又 本题120x x <<，∴12y y <．故答案为：<．【点睛】本题考查了二次函数的基本性质，包括求解析式，求对称轴以及二次函数增减性，属于基础题，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．8．（2021·上海宝山区·九年级一模）已知二次函数()20y ax ax a =-≠的图像经过点()1,2-．（1）求该二次函数的解析式和顶点坐标；（2）能否通过所求得的抛物线的平移得到抛物线2132y x x =++？如果能，请说明怎样平移，如果不能，请说明理由．【答案】（1）2y x x =-，顶点为11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）可以，先向左平移2个单位，再向下平移32个单位【分析】（1）把点()1,2-代入函数解析式，求出a 的值即可得到解析式，再把一般式写成顶点式得到顶点坐标；（2）把所给的函数解析式化为顶点式，根据函数图象的平移法则进行求解．【详解】解：（1）把点()1,2-代入函数解析式，得2a a +=，解得1a =，∴2y x x =-，写成顶点式：21124y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴顶点坐标是11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）将2132y x x =++也写成顶点式，得23724y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，31222⎛⎫--= ⎪⎝⎭，713442-=，∴把原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移32个单位．【点睛】本题考查二次函数解析式的求解和图象的平移，解题的关键是掌握解析式的求解方法和函数图象的平移方法．9．（2021·上海虹口区·九年级一模）已知二次函数的解析式为2122y x x =-．（1）用配方法把该二次函数的解析式化为()2y a x m k =++的形式；（2）选取适当的数据填入下表，并在图中所示的平面直角坐标系xOy 内描点，画出该函数的图像．x …………y …………【答案】（1）()21222y x =--；（2）见解析．【分析】（1）直接利用配方法即可把该二次函数的解析式化为顶点式；（2）列表、描点、连线，画出函数的图象即可．【详解】解：（1）2122y x x =-21(4)2x x =-21(444)2x x =-+-()21222x =--∴()21222y x =--；（2）填表如下：x……-20246……y……60-206……图像如下：．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图象，正确掌握配方法以及画二次函数图象的步骤是解题关键．。

专题14二次函数的图象与性质(讲练)-2023年中考一轮复习(原卷版)

专题14二次函数的图象与性质(讲练)-2023年中考一轮复习(原卷版)

2023年中考数学总复习一轮讲练测（）专题14二次函数的图象与性质（讲练）1.理解二次函数的意义，掌握二次函数的表达式，熟练应用待定系数法求二次函数的表达式；2.会画二次函数的图象，掌握二次函数的性质1．二次函数的定义：一般地，形如(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数．2．二次函数的三种表达式：(1)一般式：(a，b，c是常数，a≠0)．(2)顶点式：(a，h，k是常数，a≠0)，顶点坐标是．(3)交点式：(a，x1，x2是常数，a≠0)，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，图象的对称轴为直线．3．二次函数的图象与性质：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，当a＞0时，抛物线的开口，这时当x≤－b2a时，y随x的增大而；当x≥－b2a时，y随x的增大而；当x＝－b2a时，y有最值．当a＜0时，抛物线开口，这时当x≤－b2a时，y随x的增大而；当x≥－b2a时，y随x的增大而；当x＝－b2a时，y有最值．该抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是4．二次函数的图象的平移：平移规律：左右平移由h值决定：左加右减；上下平移由k值决定：上加下减．二次函数与x轴交点情况5.对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：①△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；②△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；③△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.考点一、二次函数的定义例1（2022秋•义乌市月考）若函数y＝是二次函数，即m的值是（）A．﹣1B．﹣1或3C．2D．3【变式训练】1．（2022•苏州模拟）下列各式中，y是关于x的二次函数的是（）A．y＝4x+2B．y＝ax2+1C．y＝3x2+5﹣4x D．y＝2．（2021秋•林口县期末）是二次函数，则m的值是（）A．m≠0B．m＝±1C．m＝1D．m＝﹣13．（2022秋•禹州市期中）若函数y＝（m﹣3）x|m|﹣1+5是关于x的二次函数，则m＝（）A．﹣3B．3C．3或﹣3D．2考点二、二次函数的图象例2（2022秋•舟山月考）在同一直角坐标系中，函数y＝ax+a和函数y＝ax2+x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．【变式训练】1．（2022秋•巧家县期中）直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+2在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．2．（2022秋•洪山区校级月考）在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（b＞0）与一次函数y＝ax+c的大致图象可能是（）A．B．C．D．3．（2022秋•凉州区校级月考）二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象为（）A．B．C．D．考点三、二次函数的性质例3（2022秋•淳安县期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）的图象经过点（﹣2，0）和（2，3），该函数图象的对称轴为直线x＝m，则下列说法正确的是（）A．0＜m≤2B．m＜0C．m＞0D．﹣2≤m＜0【变式训练】1．（2021秋•新会区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表．下列结论错误的是（）x…﹣10123…y…03430…A．函数图象开口向下B．当x＝1时，y取最大值4C．对称轴是直线x＝1D．当x＞1时，y的值随x的增大而增大2．（2021秋•孝义市期末）对于二次函数y＝﹣x2﹣2x+m（m为常数），当y随x的增大而减小时，x的取值范围是（）A．x＞﹣1B．x＞﹣2C．x＞1D．x＞03．（2021秋•榆阳区期末）如表中所列的x，y的5对值是二次函数y＝ax2+bx+c的图象上的点所对应的坐标：x…﹣2﹣1034…y…1163611…若（x1，y1），（x2，y2）是该函数图象上的两点，根据表中信息，以下说法正确的是（）A．该函数的最小值为3B．这个函数图象的开口向上C．当x1＜x2时，y1＜y2D．当y1＞y2时，x1＜x24．（2022春•沙坪坝区校级月考）一列自然数0，1，2，3，⋯，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（）①当原数取50时，原数与对应新数的差最大②原数与对应新数的差不可能等于零③原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大④当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30和70A．①②B．①③C．①④D．②③考点四、二次函数的图象与系数关系例4（2022•金华模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，与x轴有个交点（﹣1，0），有以下结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（其中m≠1）．其中所有正确结论的个数是（）A．3个B．2个C．1个D．0个【变式训练】1．（2021秋•昌吉市校级期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＝0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）A．a＞0B．b＜0C．c＜0D．a+b+c＞02．（2022春•成都月考）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法不正确的是（）A．abc＜0B．2a﹣b＝0C．3a+c＝0D．若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，y1＞y23．（2022•东港区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x＝﹣1，则下列结论：①abc＞0，②a+b＜﹣c，③4a﹣2b+c＞0，④3b+2c＜0，⑤a﹣b＞m（am+b）（其中m为任意实数）．中正确的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点五、二次函数的点的坐标特征例5（2022秋•宁波月考）已知点（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）在二次函数y＝﹣2x2﹣8x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y3＜y2B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1【变式训练】1．（2022春•九龙坡区校级月考）已知A（﹣，y1），B（，y2），C（﹣，y3）是二次函数y＝﹣x2+4x ﹣k的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＝y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y22．（2022秋•范县期中）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝a（x+1）2+k（a＞0）上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y23．（2022秋•林州市校级月考）在函数y＝x2﹣2x+a（a为常数）的图象上有三个点（﹣1，y1），（﹣2，y2），（1，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系为（）A．y3＜y1＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y34．（2022秋•闽清县校级月考）已知抛物线y＝x2﹣1与y轴交于点A，与直线y＝kx（k为任意实数）相交于B，C两点，则下列结论中，不正确的是（）A．存在实数k，使得△ABC为等腰三角形B．存在实数k，使得△ABC的内角中有两个角为45°C．存在实数k，使得△ABC为直角三角形D．存在实数k，使得△ABC为等边三角形考点六、二次函数与几何变换例6（2022秋•拱墅区校级期中）抛物线y＝x2﹣4x+3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移方法正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移7个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C．先向右平移2个单位，再向上平移7个单位D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位【变式训练】1．（2022•珙县模拟）抛物线y＝x2+4x﹣1的顶点坐标向上平移一个单位后，再向右平移一个单位后的坐标为（）A．（4，﹣1）B．（2，﹣1）C．（﹣1，﹣4）D．（1，﹣4）2．（2022秋•庐阳区校级期中）将抛物线y＝x2先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线表达式为（）A．y＝（x﹣4）2﹣3B．y＝（x﹣4）2+3C．y＝（x+4）2+3D．y＝（x+4）2﹣33．（2022秋•林州市月考）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经过变换后得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（）A．向左平移2个单位长度B．向右平移2个单位长度C．向左平移8个单位长度D．向右平移8个单位长度4．（2022秋•林州市校级月考）将抛物线y＝（x+1）2的图象位于直线y＝4以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线y＝x+m与此图象只有四个交点，则m的取值范围是（）A．B．C．D．考点七、二次函数的最值例7（2022秋•萧山区月考）已知非负数a，b，c，满足a﹣b＝2且c+3a＝9，设y＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值是（）A．1B．2C．3D．4【变式训练】1．（2022秋•宁明县月考）二次函数y＝﹣（x+2）2﹣5的最大值是（）A．5B．﹣5C．2D．﹣22．（2022秋•思明区校级期中）已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）A．函数有最小值1，有最大值3B．函数有最小值﹣1，有最大值0C．函数有最小值﹣1，有最大值3D．函数有最小值﹣1，无最大值3．（2022秋•番禺区校级期中）二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值（）A．3或﹣1B．﹣1C．﹣3或1D．3考点八、二次函数与坐标轴交点例8（2022秋•舟山期中）在研究函数图象的性质时，若将自变量x变为|x|，则函数图象变化为：保留y轴右侧的图象，y轴左侧的图象变为右侧图象关于y轴的对称图形．已知抛物线y＝﹣x2+2x+3的图象，则对于y＝﹣x2+2|x|+3，当y＞0时，x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜3B．﹣1＜x＜1C．﹣3＜x＜3D．x＜﹣1或x＞3【变式训练】1．（2022秋•庐阳区校级期中）抛物线y＝x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（）A．﹣B．﹣4C．D．42．（2022•海陵区校级三模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），则以下结论：①若y≥c，则x≤﹣2或x≥0；②b+c＝m．其中正确的是（）A．①B．②C．都对D．都不对3．（2022秋•庐阳区校级期中）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图像与x轴的两个交点分别是（﹣n，0）和（n+2，0），且抛物线还经过点（2，y1）和（﹣2，y2），则下列关于y1，y2的大小关系判断正确的是（）A．y1＝y2B．y1＞y2C．y1＜y2D．y1与y2的大小无法比较考点九、二次函数与方程不等式例9（2022秋•桐庐县期中）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则不等式a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c ＜0的解集为（）A．x＜1或x＞3B．x＞3C．x＜﹣1D．x＜3或x＞5【变式训练】1．（2022秋•朝阳区校级期中）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，有下列4个结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝3；④关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＞﹣2．其中正确的结论有（）个．A．1B．2C．3D．42．（2022•罗庄区二模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x交于（1，1）和（3，3）两点，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②3b+c+6＝0；③当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0；④当x＞2时，x2+bx+c＞．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．43．（2021秋•微山县期末）如图，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与一次函数y＝x+b的图象相交于点A，B．若点A的坐标是．那么不等式x2﹣2x﹣3＜x+b的解集是（）A．B．或C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣1或x＞34．（2021秋•梁山县期末）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1；其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．②④⑤D．①③⑤考点十、待定系数法求二次函数解析式例10（2022秋•温州校级月考）如图，抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），且图象经过点（3，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）若在y轴正半轴上取一点P（0，m），过点P作x轴的平行线，分别交抛物线于A，B两点（A在B 点左侧），若P A：PB＝1：2，求m的值．【变式训练】1．（2022秋•林州市月考）如图，已知直线y＝﹣2x+m与抛物线相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．（1）求m的值；（2）求抛物线的解析式．2．（2022秋•朝阳区校级月考）已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（6，0）两点．（1）请求出抛物线的解析式；（2）当0＜x＜4时，请直接写出y的取值范围．3．（2022秋•宁明县月考）已知抛物线经过点（3，﹣1），顶点坐标为（2，﹣2）．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）若点P（t，y1），（t+3，y2）都在抛物线上，且y1＝y2，求P，Q两点的坐标．4．（2022秋•西城区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…﹣101 2.53…y＝ax2+bx+c…m1﹣2n﹣2…根据以上列表，回答下列问题：（1）直接写出c的值和该二次函数图象的对称轴；（2）求此二次函数的解析式；（3）在（2）条件下，求当﹣1≤x≤3.8时，函数值y的取值范围．考点十一、二次函数的推理计算与证明例11（2022秋•西湖区月考）设二次函数y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常数，a≠0）．（1）若a＝1，求该函数图象的顶点坐标．（2）若该二次函数图象经过（﹣1，1），（﹣2，3），（0，﹣2）三个点中的一个点，求该二次函数的表达式．（3）若二次函数图象经过（x1，y1），（x2，y2）两点，当x1+x2＝2，x1＜x2时，y1＞y2，求证：a＜﹣．【变式训练】1．（2022•永嘉县模拟）已知二次函数y＝2x2﹣bx+c的图象经过A（1，n），B（3，n）．（1）用含n的代数式表示c．（2）若二次函数y＝2x2﹣bx+c的最小值为，求n的值．2．（2022•绍兴）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b，c的值．（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．3．（2021•河西区一模）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）．（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；（Ⅲ）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣3≤x≤4时，函数的最大值与最小值之差为40，求b的值．。

上海2020-2021学年初三数学一模考1-17题（二次函数汇编）学生版

上海2020-2021学年初三数学一模考1-17题（二次函数汇编）学生版

知识回顾考点①二次函数图像 ②二次函数图像的性质 ③几种二次函数之间的图像变换规律④解析式-通过二次函数过的点的坐标求解析式 ⑤一般式，顶点式，配方法转换 ⑥图像顶点，对称轴，开口方向，最大最小值 ⑦一次函数与二次函数结合的图像问题，求解析式问题一、二次函数概念1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数.二次函数2y ax bx c =++的定义域是一切实数.2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： （1）等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．（2）,,a b c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数2y ax bx c =++的图像和性质1.二次函数()2y a x m k =++与2y ax bx c =++的比较配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2b m a =-，244ac b k a -=．2.二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.三、抛物线与坐标轴的交点（1）与y 轴的交点为()0,c .令0,x y c == （2）与x 轴的交点：二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.四、二次函数的图像平移 平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：左加右减，上加下减五、二次函数2y ax bx c =++的性质（1）当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 对称轴左侧，y 随x 的增大而减小； 对称轴右侧，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．（2）当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 对称轴左侧，y 随x 的增大而增大； 对称轴右侧，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、待定系数法求解析式题型一、二次函数的概念（2021虹口一模3）下列函数中，属于二次函数的是（ ）A ．212y x =-； B ．y C ．22y x =-； D ．22 (2)y x x --=． （2021闵行一模1）下列函数中，是二次函数的是（ ）（A ）223y x x =--； （B ）22(1)y x x =--+； （C ）21129y x x =+；（D ）2y ax bx c =++．（2021浦东新区一模3）下列y 关于x 的函数中，一定是二次函数的是（ ）（A ）2(1)3y k x =-+；（B ）211y x=+； （C ）2(1)(2)y x x x =+--； （D ）227y x x =-．（2021普陀一模1）下列函数中，y 关于x 的二次函数是（ ） （A ）2y ax bx c =++； （B ）211y x =+； （C ）(1)y x x =+； （D ）()222y x x =+-．（2021奉贤一模9）如果二次函数1+2+=2-m x mx y 的图像经过点P （1，2），那么m 的值为 ．（2021虹口一模9）如果抛物线2y x a =-经过点()2 0，，那么a 的值是 ． （2021金山一模2）下列各点在抛物线22x y =上的是（ ）（A ）()2,2； （B ）()42，； （C ）)(8,2； （D ）()16,2. （2021金山一模8）已知()x x x f 32+=，那么()=-2f ．（2021浦东新区一模6）已知点A （1，2）、B （2，3）、C （2，1），那么抛物线21y ax bx =++可以经过的点是（ ）（A ）点A 、B 、C ； （B ）点A 、B ； （C ）点A 、C ； （D ）点B 、C ．题型二、开口方向（2021静安一模10）二次函数223y x x =-图像的开口方向是 ．（2021宝山一模13） 如果抛物线()m x m y ++=21（m 是常数）的顶点坐标在第二象限，那么它的开口方向 .（2021虹口一模10）如果抛物线2(+1)y k x =有最高点，那么k 的取值范围是_____ （2021嘉定一模13）如果抛物线2(21)y a x =-的开口向下，那么实数a 的取值范围是 ． （2021杨浦一模13）已知抛物线2(1)1y a x =-+的开口向上，那么a 的取值范围是 ． （2021浦东新区一模13）如果抛物线()24y m x m =++经过原点，那么该抛物线的开口方向 ．（填“向 上”或“向下”）题型三、对称轴（2021虹口一模11）如果抛物线l 经过点A (2-，0)和B (5，0)，那么该抛物线的对称轴是直 线 ．（2021黄浦一模14）已知二次函数图像经过点（3,4）和（7,4），那么该二次函数图像的对称轴 是直线 ．（2021金山一模1）已知二次函数()122--=x y ，那么该二次函数图像的对称轴是（ ）（A ）直线2=x ； （B ）直线2-=x ； （C ）直线1=x ； （D ）直线1-=x .（2021嘉定一模16）如果抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴是直线1x =，那么2a b + 0. （从＜，=，＞中选择）（2021静安一模13）在二次函数223y x x =-+图像的上升部分所对应的自变量x 的取值范围 是 ．（2021青浦一模12）二次函数2+2y x x m =+图像上的最低点的横坐标为 ．（2021徐汇一模3）已知抛物线c x x y ++-=42经过点)3,4(，那么下列各点中，该抛物线必经 过的点是（ ）（A ）)2,0(； （B ）)3,0(； （C ）)4,0(； （D ）)5,0(．题型四、顶点（2021嘉定一模3）抛物线223y x =-的顶点坐标是（ ）（A ）23-（，）； （B ）23（，）； （C ）03-（，）； （D ）03（，）． （2021静安一模11）抛物线236y x =-的顶点坐标为 ． （2021普陀一模10）二次函数224y x x =+图像的顶点坐标为 ．（2021崇明一模5）抛物线2()y a x k k =-+的顶点总在（ ）(A)第一象限；(B)第二象限；(C)直线y x =上； (D)直线y x =-上．（2021黄浦一模17）如果抛物线()232y x b x c =+++的顶点为（b ，c ），那么该抛物线的顶点 坐标是 ．（2021嘉定一模15）如果抛物线2()2y x m k =++-的顶点在x 轴上，那么常数k 为 ． （2021青浦一模4）抛物线 ()322---=x y 的顶点坐标是（ ）（A ）（2，-3）； （B ）（-2，-3）； （C ）（2，3）； （D ）（-2，3）． 题型五、与x y 、轴交点（2021崇明一模13）函数2245y x x =+-的图像与y 轴的交点的坐标为 ． （2021嘉定一模14）二次函数2(+1)3y x =-的图像与y 轴的交点坐标为 ． 题型六、增减性（2021虹口一模12）沿着x 轴正方向看，抛物线22y x =-在y 轴左侧的部分是 的（填“上升”或“下降”）．（2021金山一模9）抛物线22x y -=沿着x 轴正方向看，在y 轴的左侧部分是 ．（填“上升”或“下降”）（2021闵行一模9）抛物线23y x x =--在对称轴的右侧部分是 的（填“上升”或“下降”）．（2021青浦一模11）抛物线223y x =-在y 轴左侧的部分是 ．（填“上升”或“下降”）（2021徐汇一模10）已知二次函数1)23(2-+=x a y 的图像在直线23-=x 的左侧部分是下降的，那么a 的取值范围是_____．（2021普陀一模9）沿着x 轴正方向看，如果抛物线()22y a x =-在对称轴左侧的部分是下降的，那么a 的取值范围是 ．（2021奉贤一模10）如果二次函数21=）-（x y 的图像上有两点（2，y 1）和（4，y 2），那么y 1 _y 2（填“>”、“=”或“<”）．（2021浦东新区一模14）如果（2，1y ）、（3，2y ）是抛物线()21y x =+上两点，那么1y ___2y ．（填“>”或“<”）（2021松江一模12）已知点()12,A y 、()23,B y 在抛物线22y x x c =-+（c 为常数）上，则1y _____2y ．（填“>”、“=”或“<”）（2021长宁一模13）已知抛物线22y x x c =-+经过点()()212y y -1，，，， 试比较1y 和2y 的大小：1y 2y （填“>”，“<”或“=”）．（2021普陀一模8）如果正比例函数y kx =的图像经过第一、三象限，那么y 的值随着x 的值增大而 ．（填“增大”或“减小”）题型七、函数的平移（2021宝山一模5）将抛物线2x y =先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，两次平移后得到的抛物线的表达式为（ ） （A ）()212--=x y ； （B ）()212-+=x y ； （B ）()212+-=x y ；（D ）()212++=x y .（2021崇明一模14）如果将抛物线2(1)y x =-先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为 ．（2021奉贤一模1）将抛物线22=x y 向左平移1个单位后得到的抛物线表达式是（ ）（A ）12=2-x y ； （B ）1+2=2x y ； （C ）21+2=）（x y ； （D ）212=）-（x y .（2021虹口一模4）将抛物线23y x =-向右平移2个单位后得到的新抛物线表达式是（ ）A ．21y x =-；B ．25y x =-；C ．2+23y x =-（）；D ．223y x =--（）． （2021静安一模3）将抛物线3)1(22-+=x y 平移后与抛物线22x y =重合，那么平移的方法可以是（ ）（A ）向右平移1个单位，再向上平移3个单位； （B ）向右平移1个单位，再向下平移3个单位； （C ）向左平移1个单位，再向上平移3个单位； （D ）向左平移1个单位，再向下平移3个单位．（2021闵行一模10）将抛物线22y x x =+向下平移1个单位，那么所得抛物线与y 轴的交点的坐标为 ．（2021青浦一模10）将抛物线2y x =-向上平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ． （2021松江一模3）抛物线22y x =向右平移3个单位后得到的抛物线是（ ）（A ）223y x =+；（B ）223y x =-； （C ）22(3)y x =+；（D ）22(3)y x =-．（2021徐汇一模1）将抛物线2)1(2+=x y 先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（ ）（A ）2)2(22--=x y ； （B ）2)2(22+-=x y ； （C ）2)4(22-+=x y ； （D ）2)4(22++=x y ．（2021杨浦一模12）已知抛物线2y x =，把该抛物线向上或向下平移，如果平移后的抛物线经过点A （2，2），那么平移后的抛物线的表达式是 ．（2021长宁一模11）将抛物线221y x =- 向下平移3个单位后， 得到新抛物线的表达式为 ．题型八、a b c 、、符号的判定（2021宝山一模6）如图所示是二次函数()02≠++=a c bx ax y 图像的一部分， 那么下列说法中不正确．．．的是（ ） （A ）0<ac ；（B ）抛物线的对称轴为直线1=x ；（C ）0=+-c b a ；（D ）点（-2，1y ）和（2，2y ）在抛物线上，则21y y >.（2021闵行一模3）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y a x b x c =++图像经过点O（0，0），那么根据图像，下列判断中正确的是（ ） （A ）0a <； （B ）0b >； （C ）0ab >； （D ）0c =．x 3-1 o 1y（第3题图）yx O（2021嘉定一模6）二次函数2()y a x m k =++的图像如图1所示，下列四个选项中，正确的是（ ）（A ）00m k <<，； （B ）00m k <>，； （C ）00m k ><，； （D ）00m k >>，.（2021长宁一模4）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，那么a c 、满足（ ） （A ） 0a >，0c >； （B ）0a >，0c < ； （C ） 0a <，0c >； （D ）0a <，0c <．题型九、二次函数的应用（2021奉贤一模11）如图2，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃（靠墙处不用篱笆），中间用篱笆隔开分成两个小长方形区域，分别种植两种花草，篱笆总长为17米（恰好用完），围成的大长方形花圃的面积为24平方米．设垂直于墙的一段篱笆长为x 米，可列出方程为 ．（2021松江一模11）一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x （x >0）厘米，则面积随之增加y 平方厘米， 那么y 关于x 的函数解析式为_______________________．（2021黄浦一模15）如图2，一个管道的截面图，其内径（即内圆半径）为10分米，管壁厚为x 分米，假设该管道的截面（阴影）面积为y 平方分米，那么y 关于x 的函数解析式是 ．（不必写定义域）（2021杨浦一模13）如图，已知小李推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度y （米）关于水平距离x （米）的函数解析式为21251233y x x =-++，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米． 题型十、图像与性质综合（2021普陀一模11）如图2，已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过点()1,0A ， 那么()1f - 0．（填“＞”、“＜”或“=”）（2021黄浦一模2）抛物线243y x x =-+-不经过（ ）（A ）第一象限； （B ）第二象限； （C ）第三象限； （D ）第四象限．（2021静安一模12）如果一次函数(2)1y m x m =-+-的图像经过第一、二、四象限，那么常数m 的取值范围为 ．（2021宝山一模14）已知一条抛物线具有以下特征：（1）经过原点；（2）在y 轴左侧的部分，图像上升，在y 轴右侧的部分，图像下降．试写出一个符合要求的抛物线的表达式： . （2021黄浦一模5）小明准备画一个二次函数的图像，他首先列表（如下），但在填写函数值），那么这个被蘸上了墨水的函数值是（ ） （A ）-1；（B ）3； （C ）4；（D ）0．（2021长宁一模15）已知二次函数2()f x ax bx c =++的部分对应值如下表，那么(3)f -的值为 ．（2021普陀一模4）在下列对抛物线2(1)y x =--的描述中，正确的是（ ） （A ）开口向上； （B ）顶点在x 轴上；（C ）对称轴是直线1x =-； （D ）与y 轴的交点是（0，1）． （2021杨浦一模1）关于抛物线2y x x =-，下列说法中，正确的是（ ） （A ）经过坐标原点； （B ）顶点是坐标原点； （C ）有最高点；（D ）对称轴是直线x =1．（2021奉贤一模17）当两条曲线关于某直线l 对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线l 的对称曲线．如果抛物线C 1：x x y 2=2-与抛物线C 2是关于直线x =-1的对称曲线，那么抛物线C 2的表达式为 ．（2021杨浦一模11）已知抛物线243y x x =-+与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，那么△ABC的面积等于 ．。

上海市各区2021年中考模拟数学试题汇编：二次函数选择与填空(解析版)

上海市各区2021年中考模拟数学试题汇编：二次函数选择与填空(解析版)

上海市各区2021年中考模拟数学试题汇编：二次函数选择与填空一．选择题1．（2021•杨浦区三模）将抛物线y＝x2向左平移2个单位后得到新的抛物线的表达式为（）A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣2 C．y＝（x+2）2D．y＝（x﹣2）2 2．（2021•徐汇区二模）将抛物线y＝﹣x2向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得新抛物线的顶点是（）A．（3，﹣2）B．（﹣3，﹣2）C．（3，2）D．（﹣3，2）3．（2021•虹口区二模）如果将抛物线y＝2x2向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y＝2（x+1）2B．y＝2（x﹣1）2C．y＝2x2+1 D．y＝2x2﹣1 4．（2021•松江区二模）将抛物线y＝（x﹣2）2+1向上平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标是（）A．（2，4）B．（﹣1，1）C．（5，1）D．（2，﹣2）5．（2021•黄浦区二模）“利用描点法画函数图象，进而探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着研究函数y＝，其图象位于（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限6．（2021•浦东新区模拟）二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3的图象的顶点坐标是（）A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）7．（2021•浦东新区模拟）关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3的判断，下列说法正确的是（）A．抛物线的开口方向向上B．抛物线的对称轴是直线x＝﹣1C．抛物线对称轴左侧部分是下降的D．抛物线顶点到x轴的距离是28．（2021•上海模拟）抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（2，1）二．填空题9．（2021•浦东新区模拟）已知二次函数y ＝﹣x 2+4x 图象的最高点是 ． 10．（2021•上海模拟）已知点A （1，y 1）、点B （2，y 2）在抛物线y ＝ax 2﹣2上，且y 1＜y 2，那么a 的取值范围是 ．11．（2021•浦东新区二模）将抛物线y ＝x 2+2向右平移2个单位后，所得新抛物线的顶点坐标是 ．12．（2021•浦东新区校级二模）如果一抛物线的对称轴为x ＝1，且经过点A （3，3），那么点A 关于对称轴的对称点B 的坐标为 ．13．（2021•宝山区二模）已知点A （﹣3，y 1）和点B （﹣，y 2）都在二次函数y ＝ax 2﹣2ax +m （a ＞0）的图象上，那么y 1﹣y 2 0（结果用＞，＜，＝表示）．14．（2021•青浦区二模）如果将抛物线y ＝﹣x 2向下平移，使其经过点（0，﹣2），那么所得新抛物线的表达式是 ．15．（2021•崇明区二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角三角形OAB 的斜边OA 在x 轴上，且OA ＝4，如果抛物线y ＝ax 2+bx +c 向下平移4个单位后恰好能同时经过O 、A 、B 三点，那么a +b +c ＝ ．16．（2021•长宁区二模）如果抛物线y ＝（m +1）x 2的最高点是坐标轴的原点，那么m 的取值范围是 ．17．（2021•普陀区二模）抛物线y ＝ax 2+ax +2（a ≠0）的对称轴是直线 ．18．（2021•奉贤区二模）如果抛物线y ＝ax 2+bx +c 在对称轴左侧呈上升趋势，那么a 的取值范围是 ．19．（2021•浦东新区三模）如果将抛物线y ＝2x 2向左平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式为．参考答案1．【分析】先得到抛物线y＝x2顶点坐标为（0，0），再利用点平移的规律得到点（0，0）平移后对应点的坐标为（﹣2，0），然后利用顶点式写出平移后的新的抛物线的解析式．【解答】解：抛物线y＝x2顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位后所得对应点的坐标为（﹣2，0），所以平移后的新的抛物线的表达式为y＝（x+2）2．故选：C．2．【分析】根据平移规律，可得顶点式解析式．【解答】解：将抛物线y＝﹣x2向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，得y＝﹣（x ﹣3）2﹣2，∴顶点坐标为（3，﹣2），故选：A．3．【分析】根据“左加右减”的法则即可得出结论．【解答】解：∵抛物线y＝2x2向左平移1个单位后，所得新抛物线的表达式为y＝2（x+1）2，故选：A．4．【分析】根据平移规律，可得顶点式解析式．【解答】解：将抛物线y＝（x﹣2）2+1向上平移3个单位，得y＝（x﹣2）2+1+3，即y ＝（x﹣2）2+4，顶点坐标为（2，4），故选：A．5．【分析】根据x的取值，判断y的范围，即可求解．【解答】解：根据题意x≠0，当x＜0时，y＞0；此时点在二象限；当x＞0时，y＞0；此时点在一象限；故选：A．6．【分析】根据题目中函数的解析式直接得到此二次函数的顶点坐标．【解答】解：∵y＝﹣（x﹣2）2﹣3，∴二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3的图象的顶点坐标是（2，﹣3）故选：B．7．【分析】由抛物线的解析式可求得其开口方向、对称轴、增减性以及顶点坐标，进一步可得出答案．【解答】解：∵y ＝﹣x 2+2x ﹣3＝﹣（x ﹣1）2﹣2，∴抛物线开口向下，对称轴为x ＝1，顶点坐标为（1，﹣2），在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，∴A 、B 、C 不正确；∵抛物线顶点到x 轴的距离是|﹣2|＝2，∴D 正确，故选：D ．8．【分析】已知抛物线的顶点式，可知顶点坐标和对称轴．【解答】解：∵y ＝（x ﹣2）2+1是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，对称轴为直线x ＝2，故选：D ．二．填空题（共11小题）9．【分析】利用配方法将抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点的坐标；【解答】解：由题意得，y ＝﹣x 2+4x＝﹣（x 2﹣4x +4）+4＝﹣（x ﹣2）2+4，二次函数图象的最高点的坐标为（2，4），故答案为：（2，4）．10．【分析】利用A 、B 坐标且y 1＜y 2和二次函数的性质即可判断．【解答】解：由已知抛物线为y ＝ax 2﹣2，∴对称轴为x ＝0，∵x 1＜x 2，要使y 1＜y 2，则在x ＞0时，y 随x 的增大而增大，∴a ＞0，故a 的取值范围是：a ＞0．11．【分析】根据平移规律，可得顶点式解析式．【解答】解：将抛物线y＝x2+2向右平移2个单位后，得y＝（x﹣2）2+2，∴顶点坐标为（2，2），故答案为（2，2）．12．【分析】利用对称的性质，根据中点坐标公式求出B坐标即可．【解答】解：∵抛物线的对称轴为x＝1，且经过点A（3，3），∴点A关于对称轴的对称点B的坐标为（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．13．【分析】将点A（﹣3，y1）和点B（﹣，y2）代入二次函数y＝ax2﹣2ax+m（a＞0），进而可得结果．【解答】解：∵点A（﹣3，y1）和点B（﹣，y2）都在二次函数y＝ax2﹣2ax+m（a＞0）的图象上，∴y1＝9a+6a+m＝15a+m，y2＝a+a+m＝a+m，∴y1﹣y2＝15a+m﹣a﹣m＝a，∵a＞0，∴a＞0，∴y1﹣y2＞0．故答案为：＞．14．【分析】设平移后的抛物线解析式为y＝﹣x2﹣b，把点（0，﹣2）代入进行求值即可得到b的值．【解答】解：设平移后的抛物线解析式为y＝﹣x2﹣b，把点（0，﹣2）代入，得0﹣b＝﹣2，解得b＝2，则该函数解析式为y＝﹣x2﹣2．故答案是：y＝﹣x2﹣2．15．【分析】根据等腰直角三角形的性质求得A（4，0），B（2，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c 向下平移4个单位后得到y＝ax2+bx+c﹣4，然后把O、A、B的坐标代入，根据待定系数法即可求得a、b、c的值，进而即可求得a+b+c的值．【解答】解：∵等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝4，∴A（4，0），B（2，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后得到y＝ax2+bx+c﹣4，∵平移后恰好能同时经过O、A、B三点，∴，解得，∴a+b+c＝﹣2+4＝，故答案为．16．【分析】由点O（0，0）是抛物线y＝（m+1）x2的最高点知抛物线的开口向下，即m+1＜0，据此可得．【解答】解：根据题意知点O（0，0）是抛物线y＝（m+1）x2的最高点知抛物线的开口向下．∴m+1＜0，解得：m＜﹣1．故答案为：m＜﹣1．17．【分析】依据抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴方程x＝﹣，可以得出结论．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴方程x＝﹣，∴抛物线y＝ax2+ax+2（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣．即对称轴是直线x＝﹣．故答案为：x＝﹣．18．【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，即可求解．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c在对称轴左侧呈上升趋势，∴抛物线开口向下，∴a＜0，故答案为a＜0．19．【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律解题．【解答】解：将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，所得新抛物线的表达式为y＝2（x+3）2，故答案为：y＝2（x+3）2．。

2024年中考数学真题汇编专题14 二次函数的图象与性质+答案详解

2024年中考数学真题汇编专题14 二次函数的图象与性质+答案详解

2024年中考数学真题汇编专题14 二次函数的图象与性质+答案详解（试题部分）一、单选题1．（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线22y x x =+向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ） A ．()213y x =+− B ．()=+−2y x 12C ．()213y x =−−D ．()212y x =−−2．（2024·广东广州·中考真题）函数21y ax bx c =++与2ky x=的图象如图所示，当（ ）时，1y ，2y 均随着x 的增大而减小．A ．1x <−B ．10x −<<C ．02x <<D ．1x >3．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线()2213y x c =−+经过()()1235202y y y ⎛⎫− ⎪⎝⎭，，，，，三点，则123y y y ，，的大小关系正确的是（ ） A ．123y y y >>B ．231y y y >>C ．312y y y >>D ．132y y y >>4．（2024·四川达州·中考真题）抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（ ） A ．1b c +>B ．2b =C ．240b c +<D ．0c <5．（2024·四川泸州·中考真题）已知二次函数()2231y ax a x a =+−+−（x 是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a 的取值范围为（ ） A ．918a ≤< B ．302a << C ．908a <<D ．312a ≤<6．（2024·陕西·中考真题）已知一个二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数y 的几组对应值如下表，则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ） A ．图象的开口向上B ．当0x >时，y 的值随x 的值增大而增大C ．图象经过第二、三、四象限D ．图象的对称轴是直线1x =7．（2024·湖北·中考真题）抛物线2y ax bx c =++的顶点为()1,2−−，抛物线与y 轴的交点位于x 轴上方．以下结论正确的是（ ） A ．0a <B ．0c <C ．2a b c −+=−D ．240b ac −=8．（2024·广东·中考真题）若点()()()1230,,1,,2,y y y 都在二次函数2y x =的图象上，则（ ） A ．321y y y >>B ．213y y y >>C ．132y y y >>D ．312y y y >>9．（2024·四川自贡·中考真题）一次函数24y x n =−+，二次函数2(1)3y x n x =+−−，反比例函数1n y x+=在同一直角坐标系中图象如图所示，则n 的取值范围是（ ）A ．1n >−B ．2n >C ．11n −<<D ．12n <<10．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，且0a ≠）的对称轴为直线=1x −，且该抛物线与x 轴交于点()1,0A ，与y 轴的交点B 在()0,2−，()0,3−之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（ ）①0abc >； ②930a b c −+≥；③213a <<； ④若方程21ax bx c x +=++两根为(),m n m n <，则31m n −<<<．A ．1B ．2C ．3D ．411．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，a<0）的顶点为(1,2)．小烨同学得出以下结论：①0abc <；②当1x >时，y 随x 的增大而减小；③若20ax bx c ++=的一个根为3，则12a =−；④抛物线22y ax =+是由抛物线2y ax bx c =++向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④12．（2024·四川广安·中考真题）如图，二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）的图象与x 轴交于点3,02A ⎛⎫− ⎪⎝⎭，对称轴是直线12x =−，有以下结论：①0abc <；②若点()11,y −和点()22,y 都在抛物线上，则12y y <；③21142am bm a b +≤−（m 为任意实数）；④340a c +=．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．（2024·四川眉山·中考真题）如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点()3,0A ，与y 轴交于点B ，对称轴为直线1x =，下列四个结论：①0bc <；②320a c +<；③2ax bx a b +≥+；④若21c −<<−，则8433a b c −<++<−，其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．414．（2024·福建·中考真题）已知二次函数()220y x ax a a =−+≠的图象经过1,2a A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()23,B a y 两点，则下列判断正确的是（ ）A ．可以找到一个实数a ，使得1y a >B ．无论实数a 取什么值，都有1y a >C ．可以找到一个实数a ，使得20y <D ．无论实数a 取什么值，都有20y <15．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数2y ax bx c =++的部分图象与x 轴的一个交点的横坐标是3−，顶点坐标为()1,4−，则下列说法正确的是（ ）A ．二次函数图象的对称轴是直线1x =B ．二次函数图象与x 轴的另一个交点的横坐标是2C ．当1x <−时，y 随x 的增大而减小D ．二次函数图象与y 轴的交点的纵坐标是316．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数()2211y x x x t =−−≤≤−，当=1x −时，函数取得最大值；当1x =时，函数取得最小值，则t 的取值范围是（ ）A ．02t <≤B ．04t <≤C ．24t ≤≤D ．2t ≥17．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，对称轴为直线=1x −，则下列结论中： ①0bc> ②2am bm a b +≤−（m 为任意实数） ③31a c +< ④若()1,M x y 、()2,N x y 是抛物线上不同的两个点，则123x x +≤−．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线2y ax bx c =++过点()0,2C −与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，且110x −<<，223x <<，则下列结论：①<0a b c −+；②方程220ax bx c +++=有两个不相等的实数根； ③0a b +>； ④23a >； ⑤2244b ac a −>．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个19．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B两点，()()3,0,1,0A B −，与y 轴交点C 的纵坐标在3−～2−之间，根据图象判断以下结论：①20abc >；②423b <<；③若221122ax bx ax bx −=−且12x x ≠，则122x x +=−；④直线56y cx c =−+与抛物线2y ax bx c =++的一个交点(,)(0)m n m ≠，则12m =．其中正确的结论是（ ）A ．①②④B ．①③④C ．①②③D ．①②③④20．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形ABCD 的顶点A ，C 在抛物线24y x =−+上，点D 在y 轴上．若A C ，两点的横坐标分别为m n ，（0m n >>），下列结论正确的是（ ）A ．1m n +=B ．1m n −=C ．1mn =D ．1m n= 21．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线()20y ax bx c a =++<的图象交x 轴于点()3,0A −、()1,0B ，交y 轴于点C ．以下结论：①0a b c ++=；②320a b c ++<；③当以点A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，c =3c =时，在AOC 内有一动点P ，若2OP =，则23CP AP +．其中正确结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个22．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数()220y ax bx a =++≠的图象与x 轴交于()1,0−，1(,0)x ，其中123x <<．结合图象给出下列结论：①0ab >；②2a b −=−；③当1x >时，y 随x 的增大而减小；④关于x 的一元二次方程()2200ax bx a ++=≠的另一个根是2a−；⑤b 的取值范围为413b <<．其中正确结论的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题23．（2024·四川内江·中考真题）已知二次函数221y x x =−+的图象向左平移两个单位得到抛物线C ，点()12,P y ，()23,Q y 在抛物线C 上，则1y 2y （填“＞”或“＜”）；24．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线2y x x c =−+（c 是常数）与x 轴没有交点，则c 的取值范围是 ．25．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线23y ax bx =++向下平移5个单位长度后，经过点()24,−，则637a b −−= ．26．（2024·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 是二次函数241y x x =−+−图象上三点．若101x <<，24x >，则1y 2y （填“>”或“<”）；若对于11m x m <<+，212m x m +<<+，323m x m +<<+，存在132y y y <<，则m 的取值范围是 ．27．（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数2()y a x m k =−+（0a ≠）中存在一点(),P x y ''，使得0x m y k '−='−≠，则称2x m '−为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线211323y x x =−++“开口大小”为 ．28．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a <）经过()1,1−，(),1m 两点，且01m <<．下列四个结论： ①0b >；②若01x <<，则()()2111a x b x c −+−+>；③若1a =−，则关于x 的一元二次方程 22ax bx c ++=无实数解；④点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线上，若1212x x +>−，12x x >，总有12y y <，则102m <≤．其中正确的是 （填写序号）．29．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点A 的坐标为1,3n ⎛⎫− ⎪⎝⎭，与x 轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①0abc >；②520b c +<；③若抛物线经过点()()126,,5,y y −，则12y y >；④若关于x 的一元二次方程24ax bx c ++=无实数根，则4n <．其中正确结论是 （请填写序号）．30．（2024·山东烟台·中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：下列结论：①0abc >；②关于x 的一元二次方程29ax bx c ++=有两个相等的实数根；③当41x −<<时，y 的取值范围为<<0y 5；④若点()1,m y ，()22,m y −−均在二次函数图象上，则12y y =；⑤满足()212ax b x c +++<的x 的取值范围是<2x −或3x >．其中正确结论的序号为 ．三、解答题31．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知二次函数2y x bx c =−++的图像与x 轴交于(2,0)A −，(1,0)B 两点．(1)求b c 、的值；(2)若点P 在该二次函数的图像上，且PAB 的面积为6，求点P 的坐标．32．（2024·安徽·中考真题）已知抛物线2y x bx =−+（b 为常数）的顶点横坐标比抛物线22y x x =−+的顶点横坐标大1． (1)求b 的值；(2)点()11,A x y 在抛物线22y x x =−+上，点()11,B x t y h ++在抛物线2y x bx =−+上． （ⅰ）若3h t =，且10x ≥，0t >，求h 的值； （ⅱ）若11x t =−，求h 的最大值．33．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2220=−≠y ax a x a .(1)当1a =时，求抛物线的顶点坐标；(2)已知()11,M x y 和()22,N x y 是抛物线上的两点.若对于13x a =，234x ≤≤，都有12y y <，求a 的取值范围. 34．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数2y x bx c =++（b ，c 为常数）的图象经过点(2,5)A −，对称轴为直线12x =−．(1)求二次函数的表达式；(2)若点(1,7)B 向上平移2个单位长度，向左平移m （0m >）个单位长度后，恰好落在2y x bx c =++的图象上，求m 的值；(3)当2x n −≤≤时，二次函数2y x bx c =++的最大值与最小值的差为94，求n 的取值范围．35．（2024·广西·中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x 的二次函数223y x ax a =++−的最值问题展开探究．【经典回顾】二次函数求最值的方法．（1）老师给出4a =−，求二次函数223y x ax a =++−的最小值． ①请你写出对应的函数解析式；②求当x 取何值时，函数y y 值；【举一反三】老师给出更多a 的值，同学们即求出对应的函数在x 取何值时，y 的最小值．记录结果，并整理成下表：注：*为②的计算结果．【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a 值后，我们只要取x a =−，就能得到y 的最小值．”乙同学：“我发现，y 的最小值随a 值的变化而变化，当a 由小变大时，y 的最小值先增大后减小，所以我猜想y 的最小值中存在最大值．”（2）请结合函数解析式223y x ax a =++−，解释甲同学的说法是否合理？（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．36．（2024·云南·中考真题）已知抛物线21y x bx =+−的对称轴是直线32x =．设m 是抛物线21y x bx =+−与x 轴交点的横坐标，记533109m M −=．(1)求b 的值；(2)比较M 37．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线L ：()2230y ax ax a a =−−>与x轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），其顶点为C ，D 是抛物线第四象限上一点．(1)求线段AB 的长；(2)当1a =时，若ACD 的面积与ABD △的面积相等，求tan ABD ∠的值；(3)延长CD 交x 轴于点E ，当AD DE =时，将ADB 沿DE 方向平移得到A EB ''．将抛物线L 平移得到抛物线L '，使得点A '，B '都落在抛物线L '上．试判断抛物线L '与L 是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．38．（2024·山东·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点()2,3P −在二次函数()230y ax bx a =+−>的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线x m =． (1)求m 的值；(2)若点(),4Q m −在23y ax bx =+−的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像．当04x ≤≤时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；(3)设23y ax bx =+−的图像与x 轴交点为()1,0x ，()()212,0x x x <．若2146x x <−<，求a 的取值范围． 39．（2024·四川乐山·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线222y ax ax a =−+（a 为常数且0a >）与y 轴交于点A ．(1)若1a=，求抛物线的顶点坐标；(2)若线段OA（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；=交于M、N两点，线段MN与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，(3)若抛物线与直线y x求a的取值范围．2024年中考数学真题汇编专题14 二次函数的图象与性质+答案详解（答案详解）一、单选题1．（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线22y x x =+向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ） A ．()213y x =+− B ．()=+−2y x 12C ．()213y x =−−D ．()212y x =−− 【答案】A【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为222y x x =+−，再把222y x x =+−化为顶点式即可．【详解】解：抛物线22y x x =+向下平移2个单位后，则抛物线变为222y x x =+−，∴222y x x =+−化成顶点式则为 ()213y x =+−，故选：A ．2．（2024·广东广州·中考真题）函数21y ax bx c =++与2k y x=的图象如图所示，当（ ）时，1y ，2y 均随着x 的增大而减小．A ．1x <−B ．10x −<<C ．02x <<D ．1x >【答案】D 【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当1x >时，1y 随着x 的增大而减小；2y 位于在一、三象限内，且2y 均随着x 的增大而减小，据此即可得到答案．【详解】解：由函数图象可知，当1x >时，1y 随着x 的增大而减小；2y 位于一、三象限内，且在每一象限内2y 均随着x 的增大而减小，∴当1x >时，1y ，2y 均随着x 的增大而减小，故选：D ．3．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线()2213y x c =−+经过()()1235202y y y ⎛⎫− ⎪⎝⎭，，，，，三点，则123y y y ，，的大小关系正确的是（ ）A ．123y y y >>B ．231y y y >>C ．312y y y >>D ．132y y y >>4．（2024·四川达州·中考真题）抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（ ）A ．1b c +>B ．2b =C ．240b c +<D ．0c <【答案】A【分析】本题考查了二次函数的性质，设抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于两点，横坐标分别为1212,,x x x x <，依题意，121,1x x <>，根据题意抛物线开口向下，当1x =时，0y >，即可判断A 选项，根据对称轴即可判断B 选项，根据一元二次方程根的判别式，即可求解．判断C 选项，无条件判断D 选项，据此，即可求解．【详解】解：依题意，设抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于两点，横坐标分别为1212,,x x x x <依题意，121,1x x <>∵10a =−<，抛物线开口向下，∴当1x =时，0y >，即10b c −++>5．（2024·四川泸州·中考真题）已知二次函数()2231y ax a x a =+−+−（x 是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a 的取值范围为（ ）A ．918a ≤<B ．302a <<C ．908a <<D ．312a ≤< 【详解】解：二次函数6．（2024·陕西·中考真题）已知一个二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数y 的几组对应值如下表，则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）A ．图象的开口向上B ．当0x >时，y 的值随x 的值增大而增大C ．图象经过第二、三、四象限D ．图象的对称轴是直线1x =7．（2024·湖北·中考真题）抛物线2y ax bx c =++的顶点为1,2−−，抛物线与轴的交点位于x 轴上方．以下结论正确的是（ ）A ．0a <B ．0c <C ．2a b c −+=−D ．240b ac −= 【答案】C【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像与系数的关系．根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，画出草图，逐一分析即可得出结论．【详解】解：根据题意画出函数2y ax bx c =++的图像，如图所示：∵开口向上，与y 轴的交点位于x 轴上方，∴0a >，0c >，∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac ∆=−>，∵抛物线2y ax bx c =++的顶点为()1,2−−，∴2a b c −+=−，观察四个选项，选项C 符合题意，故选：C ．8．（2024·广东·中考真题）若点()()()1230,,1,,2,y y y 都在二次函数2y x =的图象上，则（ ）A ．321y y y >>B ．213y y y >>C ．132y y y >>D ．312y y y >> 【答案】A【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y 轴（直线0x =），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，再比较即可．【详解】解∶ 二次函数2y x =的对称轴为y 轴，开口向上， ∴当0x >时， y 随x 的增大而增大，∵点()()()1230,,1,,2,y y y 都在二次函数2y x =的图象上，且012<<， ∴321y y y >>，故选∶A ．9．（2024·四川自贡·中考真题）一次函数24y x n =−+，二次函数2(1)3y x n x =+−−，反比例函数1n y x+=在同一直角坐标系中图象如图所示，则n 的取值范围是（ ）A ．1n >−B ．2n >C ．11n −<<D ．12n <<【答案】C10．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，且0a ≠）的对称轴为直线=1x −，且该抛物线与x 轴交于点()1,0A ，与y 轴的交点B 在()0,2−，()0,3−之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（ ）①0abc >；②930a b c −+≥；③213a <<； ④若方程21ax bx c x +=++两根为(),m n m n <，则31m n −<<<．A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得0a >，20b a =>，32c −<<−，即可判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为()3,0−，即可判断②错误；将c 和b 用a 表示，即可得到332a −<−<−，即可判断③正确；结合抛物线2y ax bx c =++和直线1y x =+与x 轴得交点，即可判断④正确．【详解】解：由图可知0a >，11．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，a<0）的顶点为(1,2)．小烨同学得出以下结论：①0abc <；②当1x >时，y 随x 的增大而减小；③若20ax bx c ++=的一个根为3，则12a =−；④抛物线22y ax =+是由抛物线2y ax bx c =++向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④【答案】B0a <，02b ∴−<即a bc ++2c a ∴=−c ∴的值可正也可负，a<2,b a =−∴抛物线为09a =−12a ∴=−，故③正确；抛物线12．（2024·四川广安·中考真题）如图，二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）的图象与x 轴交于点3,02A ⎛⎫− ⎪⎝⎭，对称轴是直线12x =−，有以下结论：①0abc <；②若点()11,y −和点()22,y 都在抛物线上，则12y y <；③21142am bm a b +≤−（m 为任意实数）；④340a c +=．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 <02b a−，<0b ∴.>0abc ∴.故①错误；对称轴是直线而(1−−−−故选：B.【点睛】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与坐标轴的交点.13．（2024·四川眉山·中考真题）如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点()3,0A ，与y 轴交于点B ，对称轴为直线1x =，下列四个结论：①0bc <；②320a c +<；③2ax bx a b +≥+；④若21c −<<−，则8433a b c −<++<−，其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4【详解】解：①函数图象开口方向向上，对称轴在②二次函数2b a =−，1x ∴=−时，a b c ∴−+3a c ∴+=③对称轴为直线④2c −<<∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得3c a =−，23a ∴−<−<−1233a <<，2b a =−，a bc ∴++83a ∴−<+故④正确；综上所述，正确的有②③④，14．（2024·福建·中考真题）已知二次函数()220y x ax a a =−+≠的图象经过1,2a A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()23,B a y 两点，则下列判断正确的是（ ）A ．可以找到一个实数a ，使得1y a >B ．无论实数a 取什么值，都有1y a >C ．可以找到一个实数a ，使得20y <D ．无论实数a 取什么值，都有20y <【详解】解：二次函数解析式为当15．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数2y ax bx c =++的部分图象与x 轴的一个交点的横坐标是3−，顶点坐标为()1,4−，则下列说法正确的是（ ）A ．二次函数图象的对称轴是直线1x =B ．二次函数图象与x 轴的另一个交点的横坐标是2C ．当1x <−时，y 随x 的增大而减小D ．二次函数图象与y 轴的交点的纵坐标是3 【答案】D【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A 、B 、C ，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y 轴的交点坐标即可判定选项D ．【详解】解∶ ∵二次函数2y ax bx c =++的顶点坐标为()1,4−， ∴二次函数图象的对称轴是直线=1x −，故选项A 错误；∵二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴的一个交点的横坐标是3−，对称轴是直线=1x −， ∴二次函数图象与x 轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B 错误； ∵抛物线开口向下， 对称轴是直线=1x −，∴当1x <−时，y 随x 的增大而增大，故选项C 错误； 设二次函数解析式为()214y a x =++， 把()3,0−代入，得()20314a =−++，解得1a =−， ∴()214y x =−++，当0x =时，()20143y =−++=，∴二次函数图象与y 轴的交点的纵坐标是3，故选项D 正确， 故选D ．16．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数()2211y x x x t =−−≤≤−，当=1x −时，函数取得最大值；当1x =时，函数取得最小值，则t 的取值范围是（ ）A ．02t <≤B ．04t <≤C ．24t ≤≤D ．2t ≥【答案】C【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由()22211y x x x =−=−−，可知图象开口向上，对称轴为直线1x =，顶点坐标为()11−，，当=1x −时，3y =，即()13−，关于对称轴对称的点坐标为()33，，由当=1x −时，函数取得最大值；当1x =时，函数取得最小值，可得113t ≤−≤，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：∵()22211y x x x =−=−−，∴图象开口向上，对称轴为直线1x =，顶点坐标为()11−，， 当=1x −时，3y =，∴()13−，关于对称轴对称的点坐标为()33，， ∵当=1x −时，函数取得最大值；当1x =时，函数取得最小值， ∴113t ≤−≤， 解得，24t ≤≤，故选：C ．17．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，对称轴为直线=1x −，则下列结论中： ①0bc> ②2am bm a b +≤−（m 为任意实数） ③31a c +< ④若()1,M x y 、()2,N x y 是抛物线上不同的两个点，则123x x +≤−．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线2y ax bx c =++过点()0,2C −与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，且110x −<<，223x <<，则下列结论：①<0a b c −+；②方程220ax bx c +++=有两个不相等的实数根； ③0a b +>； ④23a >； ⑤2244b ac a −>．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【详解】解：①抛物线开口向上，∴2244b ac a −>，故⑤符合题意； 故选：C ．19．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B两点，()()3,0,1,0A B −，与y 轴交点C 的纵坐标在3−～2−之间，根据图象判断以下结论：①20abc >；②423b <<；③若221122ax bx ax bx −=−且12x x ≠，则122x x +=−；④直线56y cx c =−+与抛物线2y ax bx c =++的一个交点(,)(0)m n m ≠，则12m =．其中正确的结论是（ ）A ．①②④B ．①③④C ．①②③D ．①②③④20．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形ABCD 的顶点A ，C 在抛物线24y x =−+上，点D 在y 轴上．若A C ，两点的横坐标分别为m n ，（0m n >>），下列结论正确的是（ ）A ．1m n +=B ．1m n −=C ．1mn =D ．1mn= 先证明(AAS)ANB DMA ≌2)4n +．(2m n E +，4b +−，AM m =，四边形AC ∴、BD 互相平分，AB =90BAN DAM ∴∠+∠=︒，DAM ∠BAN ADM ∴∠=∠．90BNA AMD ∠=∠=︒，BA (AAS)ANB DMA ∴≌．AM NB ∴=，DMAN =．点A 、C 的横坐标分别为24(,)A m m ∴+−，(C (m n E +∴，2m n −−点21．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线()20y ax bx c a =++<的图象交x 轴于点()3,0A −、()1,0B ，交y 轴于点C ．以下结论：①0a b c ++=；②320a b c ++<；③当以点A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，c =3c =时，在AOC 内有一动点P ，若2OP =，则23CP AP +．其中正确结论有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个3⎝⎭∴42323 OHOP==，∵23 OPOA=，∴OH OP OP OA=，又∵HOP POA∠=∠，Rt OCH 中，由勾股定理得∴正确的有3个，故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．22．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数()220y ax bx a =++≠的图象与x 轴交于()1,0−，1(,0)x ，其中123x <<．结合图象给出下列结论：①0ab >；②2a b −=−；③当1x >时，y 随x 的增大而减小；④关于x 的一元二次方程()2200ax bx a ++=≠的另一个根是2a−；⑤b 的取值范围为413b <<．其中正确结论的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5该函数图象与该图象中，当2b a =+∴关于x 的一元二次方程b x −±=0a <，(1a x −∴=∴④正确；123x <<解得1−<a b −=−1b ∴−<−413b ∴<<∴⑤正确．综上，②③④⑤正确，共二、填空题23．（2024·四川内江·中考真题）已知二次函数221y x x =−+的图象向左平移两个单位得到抛物线C ，点()12,P y ，()23,Q y 在抛物线C 上，则1y 2y （填“＞”或“＜”）； 【答案】<【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及二次函数的性质，由平移的规律可得出抛物线C 的解析式为()21y x =+，再利用二次函数图象的性质可得出答案． 【详解】解：()22211y x x x =−+=−，∵二次函数221y x x =−+的图象向左平移两个单位得到抛物线C ， ∴抛物线C 的解析式为()21y x =+， ∴抛物线开口向上，对称轴为=1x −， ∴当1x >−时，y 随x 的增大而增大， ∵23<， ∴12y y <， 故答案为：<．24．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线2y x x c =−+（c 是常数）与x 轴没有交点，则c 的取值范围是 ．25．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线23y ax bx =++向下平移5个单位长度后，经过点()24,−，则637a b −−= ． 【答案】2【分析】此题考查了二次函数的平移，根据平移规律得到函数解析式，把点的坐标代入得到23a b −=，再整体代入变形后代数式即可．【详解】解：抛物线23y ax bx =++向下平移5个单位长度后得到22352y ax bx ax bx =++−=+−， 把点()24,−代入得到，()24222a b =⨯−−−，得到23a b −=，∴()6373273372a b a b −−=−−=⨯−=， 故答案为：226．（2024·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 是二次函数241y x x =−+−图象上三点．若101x <<，24x >，则1y 2y （填“>”或“<”）；若对于11m x m <<+，212m x m +<<+，323m x m +<<+，存在132y y y <<，则m 的取值范围是 ．27．（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数2()y a x m k =−+（0a ≠）中存在一点(),P x y ''，使得0x m y k '−='−≠，则称2x m '−为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线211323y x x =−++“开口大小”为 ．y 28．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a <）经过()1,1−，(),1m 两点，且01m <<．下列四个结论： ①0b >；②若01x <<，则()()2111a x b x c −+−+>；③若1a =−，则关于x 的一元二次方程 22ax bx c ++=无实数解；④点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线上，若1212x x +>−，12x x >，总有12y y <，则102m <≤．其中正确的是 （填写序号）．29．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点A 的坐标为1,3n ⎛⎫− ⎪⎝⎭，与x 轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①0abc >；②520b c +<；③若抛物线经过点()()126,,5,y y −，则12y y >；④若关于x 的一元二次方程24ax bx c ++=无实数根，则4n <．其中正确结论是 （请填写序号）．30．（2024·山东烟台·中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：下列结论：①0abc >；②关于x 的一元二次方程29ax bx c ++=有两个相等的实数根；③当41x −<<时，y 的取值范围为<<0y 5；④若点()1,m y ，()22,m y −−均在二次函数图象上，则12y y =；⑤满足()212ax b x c +++<的x 的取值范围是<2x −或3x >．其中正确结论的序号为 ．【答案】①②④由2228y x y x x =−+⎧⎨=−−+⎩，解得1120x y =⎧⎨=⎩，2235x y =−⎧⎨=⎩， ∴()2,0A ，()3,5B −，由图形可得，当3x <−或2x >时，2282x x x −−+<−+，即()212ax b x c +++<，故⑤错误；综上，正确的结论为①②④， 故答案为：①②④．三、解答题31．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知二次函数2y x bx c =−++的图像与x 轴交于(2,0)A −，(1,0)B 两点．(1)求b c 、的值；(2)若点P 在该二次函数的图像上，且PAB 的面积为6，求点P 的坐标． 【答案】(1)12b c =−=，(2)122434()()P P −−−，，，【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次方程的方法是1PABS=4n =，4n =±，32．（2024·安徽·中考真题）已知抛物线2y x bx =−+（b 为常数）的顶点横坐标比抛物线22y x x =−+的顶点横坐标大1． (1)求b 的值；(2)点()11,A x y 在抛物线22y x x =−+上，点()11,B x t y h ++在抛物线2y x bx =−+上． （ⅰ）若3h t =，且10x ≥，0t >，求h 的值； （ⅱ）若11x t =−，求h 的最大值． 【答案】(1)4b =33．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2220=−≠y ax a x a .(1)当1a =时，求抛物线的顶点坐标；(2)已知()11,M x y 和()22,N x y 是抛物线上的两点.若对于13x a =，234x ≤≤，都有12y y <，求a 的取值范围.综上，当01a <<或4a <−，都有12y y <．34．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数2y x bx c =++（b ，c 为常数）的图象经过点(2,5)A −，对称轴为直线12x =−．(1)求二次函数的表达式；(2)若点(1,7)B 向上平移2个单位长度，向左平移m （0m >）个单位长度后，恰好落在2y x bx c =++的图象上，求m 的值；(3)当2x n −≤≤时，二次函数2y x bx c =++的最大值与最小值的差为94，求n 的取值范围．35．（2024·广西·中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x 的二次函数223y x ax a =++−的最值问题展开探究．【经典回顾】二次函数求最值的方法．（1）老师给出4a =−，求二次函数223y x ax a =++−的最小值． ①请你写出对应的函数解析式；②求当x 取何值时，函数y 有最小值，并写出此时的y 值；【举一反三】老师给出更多a 的值，同学们即求出对应的函数在x 取何值时，y 的最小值．记录结果，并整理成下表：注：*为②的计算结果．【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a 值后，我们只要取x a =−，就能得到y 的最小值．”乙同学：“我发现，y 的最小值随a 值的变化而变化，当a 由小变大时，y 的最小值先增大后减小，所以我猜想y 的最小值中存在最大值．”（2）请结合函数解析式223y x ax a =++−，解释甲同学的说法是否合理？（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．36．（2024·云南·中考真题）已知抛物线21y x bx =+−的对称轴是直线32x =．设m 是抛物线21y x bx =+−与x 轴交点的横坐标，记533109m M −=．(1)求b 的值；(2)比较M。

专题13 二次函数(解答题24题压轴题)(解析版)

专题13 二次函数(解答题24题压轴题)(解析版)

2020年上海市16区中考数学一模汇编专题13 二次函数（解答题24题压轴题）1.（黄浦区）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2240y mx mx m =-+≠与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），且AB =6.（1）求这条抛物线的对称轴及表达式；（2）在y 轴上取点E （0,2），点F 为第一象限内抛物线上一点，联结BF 、EF ，如果10OEFB S =四边形，求点F 的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，点F 在抛物线对称轴右侧，点P 在x 轴上且在点B 左侧，如果直线PF 与y 轴的夹角等于∠EBF ，求点P 的坐标.【整体分析】（1）先将抛物线表达式化为顶点式，得出对称轴x=1,再根据抛物线与x 轴两交点的距离为6，可以得出A,B 两点的坐标，进而可求出解析式.（2）利用S 四边形OEFB =S △OEF +S △OBF 列方程求解.（3）找出两等角所在的三角形，构造一组相似三角形求解.【满分解答】解：（1）将()2240y mx mx m =-+≠化为一般式得， 2(1)4y m x m =-+-，∴这条抛物线的对称轴为x=1.又抛物线与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），且AB =6，∴根据对称性可得A,B 两点的坐标分别为A(-2，0),B(4，0).将A 点坐标代入解析式，可解得m=12-∴所求抛物线的解析式为2142y x x =-++. （2）设点F 的坐标为（t,12-t 2+t+4），如图1可知 S 四边形OEFB =S △OEF +S △OBF =12×2×t+12×4×（12-t 2+t+4）=10， 解得，t=1或t=2,∴点F 的坐标为91,2⎛⎫⎪⎝⎭或()2,4.（3）假设直线PF 与y 轴交于点H,抛物线与y 轴交于点C,连接CF ，则根据题意得∠FHC=∠EBF,由（2）得点F 的坐标为(2,4)，又点C 坐标为(0,4),∴CF ∥x 轴，过点F 作FG ⊥BE 于点G ，有△CFH ∽△GFB.在△BEF 中，根据已知点坐标可以求得根据面积法可求得FG=5,∴BG=5设直线FP 的解释式为y=kx+b,则OH=b,,∴CH=4-b, ∴,CF FG CH BG=∴23,44b ==-解得b=43. 将点F 的坐标（2,4）代入FP 的解析式可得，k=43, 即FP 的解析式为y=43x+43, 令y=0,可得P 点坐标为（-1,0）.【点睛】此题属于二次函数的综合题，熟练掌握二次函数图像与性质是关键与基础，另外涉及面积问题注意运用割补法；对于角度相等的存在性问题一般通过转化为相似来解决.2.（杨浦区）已知：在平面直角坐标系xOy 中，对称轴为直线x = -2的抛物线经过点C(0，2)，与x 轴交于A(-3，0)、B 两点(点A 在点B 的左侧).(1)求这条抛物线的表达式.(2)连接BC ，求∠BCO 的余切值.(3)如果过点C 的直线，交x 轴于点E ，交抛物线于点P ，且∠CEO =∠BCO ，求点P 的坐标.【整体分析】（1）首先设抛物线的解析式，然后根据对称轴和所经过的点，列出方程，即可得出解析式；（2）首先求出B 坐标，即可得出1OB =，2OC =，进而得出∠BCO 的余切值；（3）首先根据CEO BCO ∠=∠的余切值列出等式，得出点E 的坐标，然后根据点C的坐标得出直线解析式，最后联立直线和抛物线的解析式即可得出点P 坐标.【满分解答】(1)设抛物线的表达式为2(0)y ax bx c a =++≠. 由题意得：229302b a a b c c ⎧-=-⎪⎪-+=⎨⎪=⎪⎩解得：23a =，83b =. ∴这条抛物线的表达式为228233y x x =++. (2)令y = 0，那么2282033x x ++=， 解得13x =-，21x =-.∵点A 的坐标是(-3，0)∴点B 的坐标是(-1，0).∵C(0，2)∴1OB =，2OC =.在Rt △ OBC 中，∠BOC=90º， ∴cot 2OC BCO OB∠==. (3)设点E 的坐标是(x ，0)，得OE=x .∵CEO BCO ∠=∠，∴cot cot CEO BCO ∠=∠.在Rt △EOC 中，∴cot 22x OE CEO OC ∠===. ∴x =4，∴点E 坐标是(4，0)或 (-4，0).∵点C 坐标是(0，2)， ∴11:2=222CE l y x y x =+-+或.∴212228233y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩，或212228233y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩解得13438x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和02x y =⎧⎨=⎩(舍去)，或194358x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和02x y =⎧⎨=⎩(舍去)； ∴点P 坐标是(134-，38)或(194-，358). 【点睛】此题主要考查直线、抛物线解析式的求解以及综合应用，熟练掌握，即可解题. 3.（长宁、金山区）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝13x 2+mx +n 经过点B （6，1），C （5，0），且与y 轴交于点A ．（1）求抛物线的表达式及点A 的坐标；（2）点P 是y 轴右侧抛物线上的一点，过点P 作PQ ⊥OA ，交线段OA 的延长线于点Q ，如果∠P AB ＝45°．求证：△PQA ∽△ACB ；（3）若点F 是线段AB （不包含端点）上的一点，且点F 关于AC 的对称点F ′恰好在上述抛物线上，求FF ′的长．【整体分析】（1）将点B 、C 代入抛物线解析式y ＝13x 2+mx +n 即可； （2）先证△ABC 为直角三角形，再证∠QAP +∠CAB ＝90°，又因∠AQP ＝∠ACB ＝90°，即可证△PQA ∽△ACB ；（3）做点B 关于AC 的对称点B '，求出BB '的坐标，直线AB '的解析式，即可求出点F '的坐标，接着求直线FF '的解析式，求出其与AB 的交点即可．【满分解答】解：（1）将B（6，1），C（5，0）代入抛物线解析式y＝13x2+mx+n，得1126+n,250=5,3mm n =+⎧⎪⎨++⎪⎩解得，m＝﹣83，n＝5，则抛物线的解析式为：y＝13x2﹣83x+5，点A坐标为（0，5）；（2）∵AC=BC=，AB=∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，当∠P AB＝45°时，点P只能在点B右侧，过点P作PQ⊥y轴于点Q，∴∠QAB+∠OAB＝180°﹣∠P AB＝135°，∴∠QAP+∠CAB＝135°﹣∠OAC＝90°，∵∠QAP+∠QP A＝90°，∴∠QP A＝∠CAB，又∵∠AQP＝∠ACB＝90°，∴△PQA∽△ACB；（3）做点B关于AC的对称点B'，则A，F'，B'三点共线，由于AC⊥BC，根据对称性知点B'（4，﹣1），将B'（4，﹣1）代入直线y＝kx+5，∴k＝﹣32，∴y AB'＝﹣32x+5，联立235,218533y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩解得，x 1＝72，x 2＝0（舍去）， 则F '（72，﹣14）， 将B （6，1），B '（4，﹣1）代入直线y ＝mx +n ，得，61,41,k b k b +=⎧⎨+=-⎩解得，1,5.k b =⎧⎨=-⎩∴y BB '＝x ﹣5， 由题意知，k FF '＝K BB '，∴设y FF '＝x +b ，将点F '（72，﹣14）代入，得，b ＝﹣154， ∴y FF '＝x ﹣154， 联立25,354y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得，21,43.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴F （214，32）， 则FF '4．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，轴对称的性质，相似三角形的判定，交点坐标的求法等，解题关键是牢固掌握轴对称的性质，并能够灵活运用．4.（宝山区）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y ＝a （x 2+x ﹣1）的图象交于点A （1，a ）和点B （﹣1，﹣a ）．（1）求直线AB与y轴的交点坐标；（2）要使上述反比例函数和二次函数在某一区域都是y随着x的增大而增大，求a应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当Q在以AB为直径的圆上时，求a的值．【整体分析】（1）由待定系数法可求直线AB解析式，即可求解；（2）由反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，可得a＜0，又由二次函数y＝a（x2+x ﹣1）的对称轴为x＝﹣，可得x≤﹣时，才能使得y随着x的增大而增大；（3）先求点Q坐标，由OQ＝OA，可得方程，即可求a的值．【满分解答】解：（1）设直线AB的解析式为：y＝kx+b，由题意可得∴b＝0，k＝a，∴直线AB的解析式为：y＝ax，∴当x＝0时，y＝0，∴直线AB与y轴的交点坐标（0，0）；（2）∵反比例函数过点A（1，a），∴反比例函数解析式为：y＝，∵要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，∴a＜0．∵二次函数y＝a（x2+x﹣1）＝a（x+）2﹣a，∴对称轴为：直线x＝﹣．要使二次函数y＝a（x2+x﹣1）满足上述条件，在k＜0的情况下，x必须在对称轴的左边，即x≤﹣时，才能使得y随着x的增大而增大．综上所述，a＜0且x≤﹣；（3）∵二次函数y ＝a （x 2+x ﹣1）＝a （x+）2﹣a ，∴顶点Q （﹣，﹣a ），∵Q 在以AB 为直径的圆上，∴OA ＝OQ ，∴（﹣）2+（﹣）2＝12+a 2，∴a ＝±5.（崇明区）如图，抛物线与 x 轴相交于点 (3, 0)A -、点 (1, 0)B ，与 y 轴交于点(0, 3)C ，点 D 是抛物线上一动点，联结 O D 交线段 AC 于点 E ．（1）求这条抛物线解析式，并写出顶点坐标；（2）求 ACB ∠的正切值；（3）当AOE ∆与ABC ∆相似时，求点 D 的坐标．【整体分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式，根据函数解析式求得该抛物线的顶点坐标； （2）如图，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，构造等腰直角△ABH 和直角△BCH ，利用勾股定理和两点间的距离公式求得相关线段的长度，从而利用锐角三角函数的定义求得答案；（3）如图2，过点D 作DK ⊥x 轴于点K ，构造直角△DOK ，设D （x ，−x 2−2x ＋3），则K （x ，0）．并由题意知点D 位于第二象限．由于∠BAC 是公共角，所以当△AOE 与△ABC 相似时，有2种情况：①∠AOD ＝∠ABC ．则tan ∠AOD ＝tan ∠ABC ＝3．由锐角三角函数定义列出比例式，从而求得点D 的的坐标．②∠AOD ＝∠ACB ．则tan ∠AOD ＝tan ∠ACB ＝2．由锐角三角函数定义列出比例式，从而求得点D 坐标．【满分解答】（1）解：设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠ Q 抛物线2y ax bx c =++过点(3,0),(1,0),(0,3)A B C - 93003a b c a b c c -+=⎧⎪∴++=⎨⎪=⎩解得123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴这条抛物线的解析式为223y x x =--+ 顶点坐标为(1,4)-（2）解：过点B 作BH AC ⊥，垂足为H90,3AOC OA OC ︒∠===Q45,OAC OCA AC ︒∴∠=∠==90BHA ︒∠=Q90HAB HBA ︒∴∠+∠=45HAB HBA ︒∴∠=∠=的Q 在Rt AHB ∆中，222,4AH BH AB AB +==AH BH ∴==CH ∴==90BHC ︒∠=Qtan 2BH ACB CH ∴∠=== （3）解：过点D 作DK x ⊥轴，垂足为K设()2,23D x x x --+，则(,0)K x ，并由题意可得点D 在第二象限 223,DK x x OK x ∴=--+=-BAC ∠Q 是公共角∴当AOE ∆与ABC ∆相似时存在以下两种可能①AOD ABC ∠=∠tan tan 3AOD ABC ∴∠=∠=2233x x x--+∴=-解得1x =，2x =13,22D ⎛⎫-∴ ⎪ ⎪⎝⎭②AOD ACB ∠=∠tan tan 2AOD ACB ∴∠=∠=2232x x x--+∴=-解得1x =2x （舍去）(D ∴综上所述：当AOE ∆与ABC ∆相似时，点D 的坐标为⎝⎭或( 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．6.（奉贤区）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++经过点3(2,)A -和点(5,0)B ，顶点为C .（1）求这条抛物线的表达式和顶点C 的坐标；（2）点A 关于抛物线对称轴的对应点为点D ，联结,OD BD ，求ODB ∠的正切值；（3）将抛物线2y x bx c =++向上平移(0)t t >个单位，使顶点C 落在点E 处，点B 落在点F 处，如果BE BF =，求t 的值.【整体分析】(1)根据待定系数法，即可求解；(2)根据题意，画出图形，由5=，OB=5，可得：∠OBD=∠ODB ，即可求解；(3)根据题意：可得：，BF=t ，列出关于t 的方程，即可求解.【满分解答】（1）∵抛物线2y x bx c =++经过点3(2,)A -和点(5,0)B ，∴3420255b c b c -=++⎧⎨=++⎩，解得：65b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的表达式是：265y x x =-+，即：2(3)4y x =--，∴(3,4)C -；（2）∵抛物线的对称轴是：直线x=3，点A 关于抛物线对称轴的对应点为点D ，∴点D 的坐标（4，-3），∴5=，∵OB=5，∴OB=OD ，∴∠OBD=∠ODB ，过点D 作DE ⊥x 轴，则DE=3，BE=5-4=1，∴tan ∠ODB=tan ∠OBD=DE BE=3； （3）∵抛物线2y x bx c =++向上平移(0)t t >个单位，使顶点C 落在点E 处，点B 落在点F 处，∴E （3，-4+t ），F （5，t ），∴，BF=t ，∵BE BF =，=t ，解得：t=52.【点睛】本题主要考察二次函数的图象和平面几何图形的综合，根据题意画出图形，列出方程，是解题的关键.7.（虹口区）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C （0，3），点P在该抛物线的对称轴上，且纵坐标为2．（1）求抛物线的表达式以及点P的坐标；（2）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称α为此三角形的“特征角”．①当D在射线AP上，如果∠DAB为△ABD的特征角，求点D的坐标；②点E为第一象限内抛物线上一点，点F在x轴上，CE⊥EF，如果∠CEF为△ECF的特征角，求点E 的坐标．【整体分析】（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点C （0，3），则c＝3，将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝2，即可求解；（2）当α＝60°，∠DBA＝＝30°时，△ABD为直角三角形，即可求解；当∠ADB＝β时，则∠ABD＝90°，即可求解；（3）∠CEF为△ECF的特征角，则△CEF为等腰直角三角形，则△CNE≌△EMF（AAS），即可求解．【满分解答】解：（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点C （0，3），则c＝3，将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝2，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；点P（1，2）；（2）由点A、P的坐标知，∠PAB＝60°，直线AP的表达式为：y＝（x+1）…①，当α＝60°，∠DBA＝＝30°时，△ABD为直角三角形，由面积公式得：y D×AB＝AD•BD，即y D×4＝2×，解得：y D＝，点D在AP上，故点D（0，）；当∠ADB＝β时，则∠ABD＝90°，故点D（3，4）；综上，点D的坐标为：（0，）或（3，4）；（3）∠CEF为△ECF的特征角，则△CEF为等腰直角三角形，过点E分别作x轴、y轴的垂线交于点M、N，则△CNE≌△EMF（AAS），则EN ＝EM ，即x ＝y ，x ＝y ＝﹣x 2+2x+3，解得：x ＝，故点E （，）． 8.（嘉定区）在平面直角坐标系xOy 中，将点1(,)P a b a -定义为点(,)P a b 的“关联点”. 已知点(,)A x y 在函数2y x =的图像上，将点A 的“关联点”记为点1A .（1）请在如图基础上画出函数22y x =-的图像，简要说明画图方法；（2）如果点1A 在函数22y x =-的图像上，求点1A 的坐标；（3）将点2(,)P a b na -称为点(,)P a b 的“待定关联点”（其中0n ≠），如果点(,)A x y 的“待定关联点”2A 在函数2y x n =-的图像上，试用含n 的代数式表示点2A 的坐标.【整体分析】（1）利用图像的平移规律，将2y x =向下平移2个单位长度即可得到22y x =-（2）先根据题意求出1(,)A x y x -，再代入到22y x =-中，联合A 代入到2y x =即可求出答案. （3）将2A 代入2y x n =-中解出x 的值，可点2A 的坐标即可用含n 的代数式表示.【满分解答】如图（1）将图9中的抛物线2y x =向下平移2个单位长，可得抛物线22y x =-画法：①列表；②描点（五点画图法）；③用光滑的曲线连接这五个点.（2）由题意，得点(,)A x y 的“关联点”为1(,)A x y x -由点(,)A x y 在抛物线2y x =上，可得2(,)A x x ，21(,)A x x x -又∵1(,)A x y x -在抛物线22y x =-上，∴222x x x -=-解得2x =.将2x =代入21(,)A x x x -，得1(2,2)A（3）点(,)A x y 的“待定关联点”为22(,)A x x nx -，∵22(,)A x x nx -在抛物线2y x n =-的图像上，∴22x nx x n -=-.∴0n nx -=,(1)0n x -=.又∵0n ≠，∴1x =.当1x =时，21x nx n -=-，故可得2(1,1)A n -.【点睛】本题主要考查二次函数，读懂题意，理解关联点的意义是解题的关键.9.（静安区）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知二次函数2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且a ≠0）的图像经过点A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0），联结AB 、AC ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点D 是线段AC 上的一点，联结BD ，如果:3:2ABD BCD S S ∆∆=，求tan ∠DBC 的值；（3）如果点E 在该二次函数图像的对称轴上，当AC 平分∠BAE 时，求点E 的坐标．【整体分析】（1）直接利用待定系数法，把A 、B 、C 三点代入解析式，即可得到答案；（2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，在△ABC 中，设AC 边上的高为h ，利用面积的比得到32AD DC =，然后求出DH 和BH ，即可得到答案；（3）延长AE 至x 轴，与x 轴交于点F ，先证明△OAB ∽△OFA ，求出点F 的坐标，然后求出直线AF 的方程，即可求出点E 的坐标.【满分解答】解：（1）将A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0）代入20y ax bx c a =++≠（）得， 03,0934,300a b a b c =+-⎧⎪=+-⎨⎪-=++⎩解得143a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴此抛物线的表达式是：243y x x =-+-．（2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，在△ABC中，设AC边上的高为h，则11:():():3:222ABD BCDS S AD h DC h AD DC∆∆=⋅⋅==，又∵DH//y轴，∴25 CH DC DHOC AC OA===．∵OA=OC=3，则∠ACO=45°，∴△CDH为等腰直角三角形，∴26355 CH DH==⨯=．∴64255 BH BC CH=-=-=．∴tan∠DBC=32 DHBH=.（3）延长AE至x轴，与x轴交于点F，∵OA=OC=3，∴∠OAC=∠OCA=45°，∵∠OAB=∠OAC-∠BAC=45°-∠BAC，∠OFA=∠OCA-∠FAC=45°-∠FAC，∵∠BAC=∠FAC，∴∠OAB=∠OFA．∴△OAB∽△OFA，∴13 OB OAOA OF==．∴OF=9，即F（9，0）；设直线AF的解析式为y=kx+b（k≠0），可得093k bb=+⎧⎨-=⎩，解得133kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AF的解析式为：133y x=-，将x=2代入直线AF的解析式得：73y=-，∴E（2，73 -）.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质，以及正确作出辅助线构造相似三角形.10.（闵行区）已知：在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x = -2的抛物线经过点C(0，2)，与x 轴交于A(-3，0)、B两点(点A在点B的左侧).(1)求这条抛物线的表达式.(2)连接BC，求∠BCO的余切值.(3)如果过点C的直线，交x轴于点E，交抛物线于点P，且∠CEO =∠BCO，求点P的坐标.【整体分析】（1）首先设抛物线的解析式，然后根据对称轴和所经过的点，列出方程，即可得出解析式；（2）首先求出B 坐标，即可得出1OB =，2OC =，进而得出∠BCO 的余切值；（3）首先根据CEO BCO ∠=∠的余切值列出等式，得出点E 的坐标，然后根据点C 的坐标得出直线解析式，最后联立直线和抛物线的解析式即可得出点P 坐标.【满分解答】(1)设抛物线的表达式为2(0)y ax bx c a =++≠. 由题意得：229302b a a b c c ⎧-=-⎪⎪-+=⎨⎪=⎪⎩解得：23a =，83b =. ∴这条抛物线的表达式为228233y x x =++. (2)令y = 0，那么2282033x x ++=， 解得13x =-，21x =-.∵点A 的坐标是(-3，0)∴点B 的坐标是(-1，0).∵C(0，2)∴1OB =，2OC =.在Rt △ OBC 中，∠BOC=90º， ∴cot 2OC BCO OB∠==. (3)设点E 的坐标是(x ，0)，得OE=x .∵CEO BCO ∠=∠，∴cot cot CEO BCO ∠=∠.在Rt △EOC 中，∴cot 22x OE CEO OC ∠===.∴x =4，∴点E 坐标是(4，0)或 (-4，0).∵点C 坐标是(0，2)， ∴11:2=222CE l y x y x =+-+或. ∴212228233y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩，或212228233y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩解得13438x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和02x y =⎧⎨=⎩(舍去)，或194358x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和02x y =⎧⎨=⎩(舍去)； ∴点P 坐标是(134-，38)或(194-，358). 【点睛】此题主要考查直线、抛物线解析式的求解以及综合应用，熟练掌握，即可解题.11.（浦东新区）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴的两个交点分别为(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴相交于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）联结AC 、BC ，求ACB ∠的正切值；（3）点P 在抛物线上，且PAB ACB ∠=∠，求点P 的坐标．【整体分析】（1）根据待定系数法将(1,0)A -，(3,0)B 代入2y x bx c =-++中，列出含b ，c 的方程组，求解b ，c 即可确定抛物线的表达式；（2）作AD ⊥BC 于D ，用等面积法求AD 长，再用勾股定理求CD 长，利用正切函数定义求解； （3）根据题意可知P 点应满足的条件为tan ∠ACB=2，用P 点的坐标表示线段长，根据正切函数定义列式求解.【满分解答】解：（1）将(1,0)A -，(3,0)B 代入2y x bx c =-++中得，10930b c b c ì--+=ïí-++=ïî， 解得，23b c ì=ïí=ïî， ∴抛物线的表达式为2y x 2x 3=-++.（2）如图，过点A 作AD ⊥BC 垂足为D ，∵(1,0)A -，(3,0)B ，(0,3)C ,∴AB=4，OC=3，BC=∴AD=由勾股定理得，∴tan ∠ACB=2AD CD == , 即tan ∠ACB=2.（3）如图，设P 在抛物线上，P(x,-x 2+2x+3),过P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，∵PAB ACB ∠=∠，∴tan ∠PAB=12, ∴22321x x x -++=+或()22321x x x --++=+ 解得，x= -1(舍去)或x=1，x= -1（舍去）或x=5当x= -1时，y=4；当x=5时，y= -12∴P 点坐标为(1,4)或(5,-12).【点睛】本题考查抛物线解析式的求法，利用抛物线的性质解决几何图形问题，即函数与图形的综合，由图象到点坐标，由点坐标到线段长，由线段长到几何图形的转换，即数形结合的思想是解答此类问题的关键.12.（普陀区）在平面直角坐标系xOy 中（如图12），已知抛物线28(0)3y ax a x c a ⎛⎫=+++≠ ⎪⎝⎭经过点()3,2A --，与y 轴交于点()0,2B -，抛物线的顶点为点C ，对称轴与x 轴交于点D .（1）求抛物线的表达式及点C 的坐标；（2）点E 是x 轴正半轴上的一点，如果AED BCD ∠=∠，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，点P 是位于y 轴左侧抛物线上的一点，如果PAE △是以AE 为直角边的直角三角形，求点P 的坐标.【满分解答】（1）24423y x x =+-，3,52C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（2）312tan 32BCD ∠==，则1tan 2AED ∠=，过A 作AH DE ⊥，21tan 2AH AED EH EH ∠===， 则4EH =，∴()1,0E【总结】利用相等角的正切值相等解决问题（3）①当90EAP ∠=︒时，AHE AMP △∽△， 则12MP AH AM HE ==，设PM t =，则2AM t = 将()3,22P t t ---代入24423y x x =+- 得10t =（舍），232t =， ∴13,52P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭②当90AEP ∠=︒时，AEG PEN △∽△，则12PN EG EN AG == 设PN t =，则2EN t =将()1,2P t t -代入24423y x x =+-得1134t +=，2134t =（舍），∴2P ⎛ ⎝⎭综上所述：13,52P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，291342P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭13.（青浦区）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x =2，点A 的坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；（2）点P 为抛物线上一点（不与点A 重合），联结PC ．当∠PCB=∠ACB 时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y 轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点D ，点P 关于x 轴的对应点为点Q ，当OD ⊥DQ 时，求抛物线平移的距离．【整体分析】（1）用待定系数法即可求得抛物线的表达式，利用顶点公式即可求得抛物线的顶点坐标； （2）过点P 作PN ⊥x 轴，过点C 作CM ⊥PN ，交NP 的延长线于点M ，由点B 、C 的坐标得△OBC 为等腰直角三角形，利用等量代换证得∠OCA =∠PCM ，利用这对角的正切函数得到MC =3PM ，设PM =a ，则MC =3a ，PN =3-a ，得P （3a ，3-a ）代入抛物线的表达式，即可求得答案；（3）设D 的坐标为（2，1--m ），过点D 作直线EF ∥x 轴，交y 轴于点E ，交PQ 的延长线于点F ，利用∠OED =∠QFD =∠ODQ =90°，证得∠EOD =∠QDF ，再根据其正切函数列出等式即可求得答案.【满分解答】（1）∵A 的坐标为（1，0），对称轴为直线x =2，∴点B 的坐标为（3，0）将A （1，0）、B （3，0）代入2+=+y x bx c ，得10930.b c b c ++=⎧⎨++=⎩，解得：43.b c =-⎧⎨=⎩， 所以，243y x x =-+．当x =2时，2242+3=1=-⨯-y∴顶点坐标为（2，-1）． （2）过点P 作PN ⊥x 轴，垂足为点N ．过点C 作CM ⊥PN ，交NP 的延长线于点M ．∵∠CON =90°，∴四边形CONM 为矩形． ∴∠CMN =90°，CO = MN ． ∵243y x x =-+，∴点C 的坐标为（0，3）∵B （3，0）， ∴OB =OC ．∵∠COB =90°， ∴∠OCB =∠BCM = 45°， 又∵∠ACB =∠PCB ，∴∠OCB -∠ACB =∠BCM -∠PCB ，即∠OCA =∠PCM ．∴tan ∠OCA= tan ∠PCM ． ∴13=PM MC． 设PM =a ，则MC =3a ，PN =3-a ．∴P （3a ，3-a ）． 将P （3a ，3-a ）代入243y x x =-+，得 ()231233-+=-a a a ． 解得111=9a ，20=a （舍）．∴P （113，169）． （3）设抛物线平移的距离为m ．得()221=---y x m ，∴D 的坐标为（2，1--m ）． 过点D 作直线EF ∥x 轴，交y 轴于点E ，交PQ 的延长线于点F ．∵∠OED =∠QFD =∠ODQ =90°， ∴∠EOD+∠ODE = 90°，∠ODE+∠QDF = 90°， ∴∠EOD =∠QDF ，∴tan ∠EOD = tan ∠QDF ． ∴=DE QF OE DF． ∴1612911123-++=+-m m m ．解得15m=．所以，抛物线平移的距离为15．【点睛】本题是二次函数与几何的综合题，涉及的知识有：待定系数法、矩形的判定和性质、三角形函数等，综合性强，构建辅助线、正确表示出各点坐标是解题关键.14.（松江区）如图，已知抛物线y＝-x2＋bx＋c过点A(3, 0)、点B(0, 3)．点M(m, 0)在线段OA上（与点A、O不重合），过点M作x轴的垂线与线段AB交于点P，与抛物线交于点Q，联结BQ．（1）求抛物线表达式；（2）联结OP，当∠BOP＝∠PBQ时，求PQ的长度；（3）当△PBQ为等腰三角形时，求m的值．【整体分析】（1）将点A (3, 0)、点B (0, 3) 分别代入抛物线解析式y＝-x2＋bx＋c，化简求出b，c的值即可；（2）根据∠BOP ＝∠PBQ且MQ∥OB，可证△OBP ∽△BPQ，可设Q（x，-x2＋2x＋3），求出直线AB的解析式，则可得P 的坐标为(x，3－x)，可得BPx，OB＝3，PQ＝-x2＋3x，利用相似三角形的对应边成立比例即可求解；（3）分三种情况讨论：①当BQ＝PQ时，②当BP＝PQ时，③当BP＝BQ时，然后分别求解即可.【满分解答】（1）∵将点A (3, 0)、点B (0, 3) 分别代入抛物线解析式y ＝-x 2＋bx ＋c 得 9303b c c -++=⎧⎨=⎩，解之得：32c b =⎧⎨=⎩ ∴抛物线的解析式为y ＝-x 2＋2x ＋3 （2）∵∠BOP ＝∠PBQ ，且MQ ∥OB ∴∠OBP ＝∠BPQ∴△OBP ∽△BPQ设Q （x ，-x 2＋2x ＋3） ∵P 点在直线AB 上，并A (3, 0)、B (0, 3)， 则直线AB 的解析式为：3y x =-+ ∴ P (x ，3－x)∴BP x ，OB ＝3，PQ ＝-x 2＋3x∴OB BPBP PQ == ∴905x =或（0舍去） ∴5425PQ = （3）∵M （m ，0），P （m ，3－m ），Q （m ，-m 2＋2m ＋3）∴BP m ，PQ ＝-m 2＋3m 且∠BPQ ＝45°∴当△BPQ 为等腰三角形时，存在如下情况：①如图1，当BQ ＝PQ 时，即∠PBQ ＝∠BPQ ＝45°∴△BPQ 为等腰直角三角形∴-m 2＋2m ＋3＝3∴m ＝2②当BP ＝PQ 时,m ＝-m 2＋3m ，即30m =或（0舍去）③如图2，当BP ＝BQ 时，∠BQP ＝∠BPQ ＝45°根据3PM m =-，OM m =，可得2PQ m =则有2233m m m -++=+，∴m ＝1综上所述，m 的值为2、3或1. 【点睛】本题考查了二次函数与几何图形结合，三角形的相似，特殊角使用，以及等线段的关系转化问题，懂得综合讨论是解题的关键．【总结】直角三角形讨论，构造三直角相似15.（徐汇区）如图，将抛物线2443y x =-+平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点C ，新抛物线与x 轴正半轴交于点B ，联结BC ，tan 4B =，设新抛物线与x 轴的另一交点是A ，新抛物线的顶点是D .（1）求点D 的坐标；（2）设点E 在新抛物线上，联结,AC DC ，如果CE 平分DCA ∠，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线2443y x =-+沿x 轴左右平移，点C 的对应点为F ，当DEF ∆和ABC ∆相似时，请直接写出平移后得到抛物线的表达式.【整体分析】（1）设点D 坐标（a ，b ），可得新抛物线解析式为：y=-43（x-a ）2+b ，先求出点C ，点B 坐标，代入解析式可求解；（2）通过证明△AOC ∽△CHD ，可得∠ACO=∠DCH ，可证EC ∥AO ，可得点E 纵坐标为4，即可求点E 坐标；（3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求点F 坐标，即可求平移后得到抛物线的表达式．【满分解答】（1）∵抛物线y=-43x 2+4的顶点为C ， ∴点C （0，4）∴OC=4，∵tanB=4=OC OB ， ∴OB=1，∴点B （1，0）设点D 坐标（a ，b ）∴新抛物线解析式：y=-43（x-a ）2+b ，且过点C （0，4），点B （1，0） ∴2240(1)3443a b a b ⎧=--+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩解得：1163a b =-⎧⎪⎨=⎪⎩∴点D 坐标（-1，163） （2）如图1，过点D 作DH ⊥OC ，∵点D坐标（-1，163）∴新抛物线解析式为：y=-43（x+1）2+163，当y=0时，0=-43（x+1）2+163，∴x1=-3，x2=1，∴点A（-3，0），∴AO=3，∴34 AOCO=，∵点D坐标（-1，163）∴DH=1，HO=163，∴CH=OH-OC=43，∴34 DHCH=，∴AO DHCO CH=，且∠AOC=∠DHC=90°，∴△AOC∽△CHD，∴∠ACO=∠DCH，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE，∴∠ACO+∠ACE=∠DCH+∠DCE，且∠ACO+∠ACE+∠DCH+∠DCE=180°∴∠ECO=∠ECH=90°=∠AOB，∴EC∥AO，∴点E纵坐标为4，∴4=-43（x+1）2+163，∴x1=-2，x2=0，∴点E（-2，4），（3）如图2，∵点E （-2，4），点C （0，4），点A （-3，0），点B （1，0），点D 坐标（-1，163）∴DE=DC=53，5AC ===，AB=3+1=4， ∴∠DEC=∠DCE ，∵EC ∥AB ，∴∠ECA=∠CAB ，∴∠DEC=∠CAB ，∵△DEF 和△ABC 相似 ∴DE EF AC AB =或DE EF AB AC=， ∴5354EF =或5345EF = ∴EF=43或2512∴点F （-23，4）或（112，4） 设平移后解析式为：y=-43（x+1-c ）2+4， ∴4=-43（-23+1-c ）2+4或4=-43（112+1-c ）2+4， ∴c 1=13，c 2=1312 ∴平移后解析式为：y=-43（x+23）2+4或y=-43（x-112）2+4， 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，待定系数法求解析式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．。

2021年最新初三数学一模试题分类汇编——二次函数综合及详细答案（完整版）

2021年最新初三数学一模试题分类汇编——二次函数综合及详细答案（完整版）

P，使得 △ ABP 的面积
为△ ABC面积的 2 倍？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由；
（4）若点 M 在直线 BH 上运动，点 N 在 x 轴正半轴上运动，当以点 C， M ， N 为顶点的三
角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时 △ CMN 的面积．
【答案】（ 1） y＝－ x2＋ 4x；（ 2） C（ 3，3），面积为 3；（ 3）P 的坐标为（ 5，－ 5）；
（Ⅲ ）若 x1 1, b 0 ，当 P(1,0) 满足 PA PE 值最小时，求 b 的值。
【答案】（ Ⅰ ） A 0,3 ， E(1,4) ；（ Ⅱ） y
【解析】
x2
x
1 ；（ Ⅲ ） b
3
17 .
4
【分析】
（Ⅰ ）将（ -1， 0），（ 3， 0）代入抛物线的解析式求得 b、 c 的值，确定解析式，从而求
c b1
b 4c b2
QE ,
, A(0,c)
24
b (b 2)2
E,
, A(0,b 1)
24
b (b 2)2
∴E 关于 x 轴的对称点
E为
, 2
4
设过点 A， P 的直线为 y kx t .把 A(0, b 1), P (1,0) 代入 y kx t ，得
y (b 1)( x 1)
b (b 2)2
初三数学一模试题分类汇编——二次函数综合及详细答案
一、二次函数
1．如图，抛物线 y＝ ax2+bx+3（ a≠０）的对称轴为直线 x＝﹣ 1，抛物线交 x 轴于 A、 C 两 点，与直线 y＝ x﹣ 1 交于 A、 B 两点，直线 AB 与抛物线的对称轴交于点 E． （1）求抛物线的解析式． （2）点 P 在直线 AB 上方的抛物线上运动，若 △ ABP 的面积最大，求此时点 P 的坐标． （3）在平面直角坐标系中，以点 B、E、 C、 D 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出 符合条件点 D 的坐标．

2021年上海市16区中考数学一模考点分类汇编专题12二次函数基本概念(逐题详解版)

2021年上海市16区中考数学一模考点分类汇编专题12二次函数基本概念(逐题详解版)

2021年上海市16区中考数学一模汇编专题12二次函数基本概念一、单选题1．（2021·上海九年级一模）抛物线2(2)3y x =---的顶点坐标是（ ）A ．()2,3-B ．()2,3--C ．()2,3D ．()2,3-2．（2021·上海杨浦区·九年级一模）关于抛物线2y x x ，下列说法中，正确的是（ ）A ．经过坐标原点B ．顶点是坐标原点C ．有最高点D ．对称轴是直线1x =3．（2021·上海黄浦区·九年级一模）小明准备画一个二次函数的图像，他首先列表（如下），但在填写函数值时，不小心把其中一个蘸上了墨水（表中），那么这个被蘸上了墨水的函数值是（ ）A ．-1B ．3C ．4D ．04．（2021·上海黄浦区·九年级一模）抛物线243y x x =-+-不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．（2021·上海浦东新区·九年级一模）已知点A(1，2)、B(2，3)、C(2，1)，那么抛物线21y ax bx =++可以经过的点是（ ） A ．点A 、B 、CB ．点A 、BC ．点A 、CD ．点B 、C6．（2021·上海静安区·九年级一模）将抛物线22(1)3y x =+-平移后与抛物线22y x =重合，那么平移的方法可以是（ ）A ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位B ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位C ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位D ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位7．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图所示是二次函数()20y ax bx c a =++≠图像的一部分，那么下列说法中不正确的是（ ）．A ．0ac <B ．抛物线的对称轴为直线1x =C ．0a b c -+=D ．点()12,y -和()22,y 在拋物线上，则12y y >8．（2021·上海嘉定区·九年级一模）二次函数()2y a x m k =++的图像如图所示，下列四个选项中，正确的是（ ）A ．0m <，0k <B ．0m <，0k >C ．0m >，0k <D ．0m >，0k >9．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y ax bx c =++图象经过点(0,0)O ，那么根据图象，下列判断正确的是（ ）A ．0a <B ．0b >C ．0ab >D ．0c10．（2021·上海闵行区·九年级一模）下列函数中，是二次函数的是（ ） A ．223y x x=-- B ．22(1)y x x =--+ C ．21129y x x =+ D ．2y ax bx c =++11．（2021·上海奉贤区·九年级一模）将抛物线22y x = 向左平移1个单位后得到的抛物线表达式是（ ）A ．221y x =-B ．221y x =+C ．2 21() y x =+D ．2 21() y x =-12．（2021·上海虹口区·九年级一模）下列函数中，属于二次函数的是（ ）A ．212y x =- B ．y =C ．22y x =-D ．()222y x x =--13．（2021·上海嘉定区·九年级一模）抛物线223y x =-的顶点坐标是（ ）A ．()2,3-B ．()2,3C ．()0,3-D ．()0,314．（2021·上海宝山区·九年级一模）若将抛物线2y x 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，就得到抛物线（ ） A ．2(1)2y x =-+B ．2(1)2y x =--C ．2(1)2y x =++D ．2(1)2y x =+-15．（2021·上海崇明区·九年级一模）抛物线()2y a x k k =-+的顶点总在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．直线y x =上D ．直线y x=-上16．（2021·上海普陀区·九年级一模）在下列对抛物线2(1)y x =--的描述中，正确的是（ ）A ．开口向上B ．顶点在x 轴上C ．对称轴是直线1x =-D ．与y 轴的交点是(0,1)17．（2021·上海松江区·九年级一模）将抛物线y=2x 2向右平移3个单位，能得到的抛物线是（ ） A ．y=2x 2+3 B ．y=2x 2﹣3 C ．y=2（x+3）2 D ．y=2（x ﹣3）2二、填空题18．（2021·上海长宁区·九年级一模）已知抛物线22y x x c =-+经过点()11,A y -和()22,By ，比较1y 与2y的大小：1y _____________2y （选择“＞”或“＜”或“＝”填入空格）．19．（2021·上海杨浦区·九年级一模）已知抛物线2yx ，把该抛物线向上或向下平移，如果平移后的抛物线经过点()2,2A ，那么平移后的抛物线的表达式是______．20．（2021·上海杨浦区·九年级一模）已知抛物线()211y a x =-+的开口向上，那么a 的取值范围是______．21．（2021·上海黄浦区·九年级一模）如果抛物线()232y x b x c =+++的顶点为(),b c ，那么该抛物线的顶点坐标是________．22．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如果将二次函数的图像平移，有一个点既在平移前的函数图像上又在平移后的函数图像上，那么称这个点为“平衡点”．现将抛物线1C ：2(1)1y x =--向右平移得到新抛物线2C ，如果“平衡点”为(3，3)，那么新抛物线2C 的表达式为______．23．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如果(2，1y )、(3，2y )是抛物线()21y x =+上两点，那么1y ______2y ．（填“>”或“<”）24．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如果抛物线()24y m x m =++经过原点，那么该抛物线的开口方向______．（填“向上”或“向下”）25．（2021·上海静安区·九年级一模）抛物线236y x =-的顶点坐标为____．26．（2021·上海静安区·九年级一模）二次函数223y x x =-图像的开口方向是____．27．（2021·上海宝山区·九年级一模）如果抛物线()21y m x m =++（m 是常数）的顶点坐标在第二象限，那么它的开口方向______．28．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如果二次函数2)1?( y x =-的图像上有两点1(2,)y 和2(4,)y ，那么1y _____2y （填“>”、“=”或“<”）29．（2021·上海虹口区·九年级一模）沿着x 轴正方向看，抛物线22y x =-在y 轴左侧的部分是______的（填“上升”或“下降”）．30．（2021·上海虹口区·九年级一模）如果抛物线l 经过点()2,0A -和()5,0B ，那么该抛物线的对称轴是直线________．31．（2021·上海虹口区·九年级一模）如果抛物线2y x a =-经过点()2,0，那么a 的值是______．32．（2021·上海普陀区·九年级一模）如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过点1,0A ，那么()1f -=________0．（填“>”“<”或“=”)33．（2021·上海嘉定区·九年级一模）如果抛物线()22y x m k =++-的顶点在x 轴上，那么常数k 为______．34．（2021·上海嘉定区·九年级一模）如果抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴是直线1x =，那么2a b+______0.（从＜，＝，＞中选择）35．（2021·上海嘉定区·九年级一模）二次函数()213y x =+-的图像与y 轴的交点坐标为______． 36．（2021·上海嘉定区·九年级一模）如果抛物线()221y a x =-的开口向下，那么实数a 的取值范围是______．37．（2021·上海普陀区·九年级一模）二次函数224y x x =+图像的顶点坐标为__________．38．（2021·上海杨浦区·九年级一模）抛物线y ＝x 2﹣4x +3与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于C ，则△ABC 的面积＝__．39．（2021·上海长宁区·九年级一模）已知，二次函数()2f x ax bx c =++的部分对应值如下表，则()3f -=________．40．（2021·上海金山区·九年级一模）抛物线22y x =-沿着x 轴正方向看，在y 轴的左侧部分是______．（填“上升”或“下降”）41．（2021·上海九年级一模）二次函数22y x x m =++图像上的最低点的横坐标为_________________．42．（2021·上海崇明区·九年级一模）如果将抛物线()21y x =-先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为________．43．（2021·上海闵行区·九年级一模）将抛物线22y x x =+向下平移1个单位，那么所得抛物线与y 轴的交点的坐标为_________．44．（2021·上海闵行区·九年级一模）抛物线23y x x =--在对称轴的右侧部分是___________的（填“上升”或“下降”）．45．（2021·上海松江区·九年级一模）已知点()12,A y ，()23,B y 在抛物线22y x x c =-+（c 为常数）上，则1y ____2y （填“>”、“=”或“<”）46．（2021·上海奉贤区·九年级一模）当两条曲线关于某直线l 对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线l 的对称曲线，如果抛物线21:2C y x x =-与抛物线2C 关于直线1x =-的对称曲线，那么抛物线2C 的表达式为_______________________．47．（2021·上海普陀区·九年级一模）如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过点(1,0)A ，那么(1)f -__________0．（填“>”、“<”或“=”）48．（2021·上海普陀区·九年级一模）沿着x 轴正方向看，如果抛物线2(2)y a x =-在对称轴左侧的部分是下降的，那么a 的取值范围是__________．49．（2021·上海杨浦区·九年级一模）一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面高度为y （米）关于水平距离x （米）的函数解析式为21251233y x x =-++，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为______m ．2021年上海市16区中考数学一模汇编专题12二次函数基本概念一、单选题1．（2021·上海九年级一模）抛物线2(2)3y x =---的顶点坐标是（ ）A ．()2,3-B ．()2,3--C ．()2,3D ．()2,3-【答案】A【分析】根据顶点式解析式的性质解答．【详解】抛物线2(2)3y x =---的顶点坐标是()2,3-，故选：A ．【点睛】此题考查二次函数顶点式解析式的性质：2()y a x h k =-+中顶点坐标为（h ，k ）．2．（2021·上海杨浦区·九年级一模）关于抛物线2y x x ，下列说法中，正确的是（ ）A ．经过坐标原点B ．顶点是坐标原点C ．有最高点D ．对称轴是直线1x =【答案】A【分析】本题根据二次函数的性质直接判断即可得出正确结果． 【详解】解：2yx x ，二次项前面的系数大于0，∴抛物线开口向上，有最低点，当x=0时，y=0，∴抛物线经过坐标原点，2y xx 21124x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴抛物线的对称轴为直线12x =，顶点坐标为1124⎛⎫ ⎪⎝⎭，-，综上所述，B 、C 、D 选项均不正确，只有A 选项正确．故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的性质，属于基础题，熟练掌握二次函数的基本性质，学会化顶点式判断是解决本题的关键．3．（2021·上海黄浦区·九年级一模）小明准备画一个二次函数的图像，他首先列表（如下），但在填写函数值时，不小心把其中一个蘸上了墨水（表中），那么这个被蘸上了墨水的函数值是（ ）A ．-1B ．3C ．4D ．0【答案】D【分析】利用抛物线的对称性即可求出抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性即可求出结论． 【详解】解：由表格可知：抛物线过（0，3）、（2，3）、（3，0）△抛物线的对称轴为直线x=022+=1，而1312-+= △x=-1对应的纵坐标与x=3对应的纵坐标相等，都是0 △这个被蘸上了墨水的函数值是0，故选D ．【点睛】此题考查的是抛物线对称性的应用，掌握利用抛物线的对称性求对称轴是解题关键．4．（2021·上海黄浦区·九年级一模）抛物线243y x x =-+-不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】求出抛物线的图象和x 轴、y 轴的交点坐标和顶点坐标，再根据二次函数的性质判断即可． 【详解】解：243y x x =-+-＝()221x --+，即抛物线的顶点坐标是（2，1），在第一象限；当y ＝0时，243x x -+-＝0，解得：x 1＝1，x 2＝3即抛物线与x 轴的交点坐标是（1，0）和（3，0），都在x 轴的正半轴上，当x=0时，y=-3△抛物线与y 轴的交点坐标为（0，-3），△a ＝-1＜0，△抛物线的图象的开口向下，大致画出图象如下：即抛物线的图象过第一、三、四象限，不过第二象限，故选：B ．【点睛】本题考查了求函数图象与坐标轴交点坐标和顶点坐标，即求和x 轴交点坐标就要令y=0、求与y 轴的交点坐标就要令x=0，求顶点坐标需要配成顶点式．5．（2021·上海浦东新区·九年级一模）已知点A(1，2)、B(2，3)、C(2，1)，那么抛物线21y ax bx =++可以经过的点是（ ）A ．点A 、B 、CB ．点A 、BC ．点A 、CD ．点B 、C【答案】C【分析】先把12A ，，()21C ，代入抛物线的解析式，求解抛物线的解析式为：221y x x =-++，再判断B 不在抛物线上，从而可得答案．【详解】解：把12A ，，()21C ，代入抛物线的解析式，124211a b a b ++=⎧∴⎨++=⎩ 即：120a b a b +=⎧⎨+=⎩ ，解得：1,2a b =-⎧⎨=⎩ ∴ 抛物线为：221,y x x =-++ 当2x =时，44113,y =-++=≠()23B ∴，不在抛物线221y x x =-++上，∴ 抛物线21y ax bx =++可以经过的点是,.A C 故选：.C【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线上点的坐标特点，掌握以上知识是解题的关键．6．（2021·上海静安区·九年级一模）将抛物线22(1)3y x =+-平移后与抛物线22y x =重合，那么平移的方法可以是（ ）A ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位B ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位C ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位D ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位【答案】A【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移原则选出正确选项．【详解】抛物线22(1)3y x =+-要通过平移得到22y x =，需要先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，即()22211332y x x =+--+=．故选：A ．【点睛】本题考查抛物线的平移，解题的关键是掌握抛物线的平移方法．7．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图所示是二次函数()20y ax bx c a =++≠图像的一部分，那么下列说法中不正确的是（ ）．A ．0ac <B ．抛物线的对称轴为直线1x =C ．0a b c -+=D ．点()12,y -和()22,y 在拋物线上，则12y y >【答案】B【分析】根据图象分别求出a 、c 的符号，即可判断A ；根据抛物线与x 轴的两个交点可判断出该抛物线的对称轴不是x =1，即可判断B ；把x =-1代入二次函数的解析式，再根据图象即可判断C ；将x =-2与x =2带入二次函数，可得出y 1与y 2的值，即可判断D ．【详解】解：△二次函数的图象开口向上，△a ＞0，△二次函数的图象交y 轴的负半轴于一点，△c ＜0，△ac ＜0 选项A 正确；△由图像可看出，抛物线与x 轴的交点一个为x=-1，另一个在x=2和x=3中间，不关于x=1对称， △抛物线的对称轴不是x=1 选项B 错误；把x=-1代入y=ax 2+bx+c 得：y=a -b+c ，由图像可知，x=-1时y=0，△a -b+c=0 选项C 正确；把x=-2和x=2代入y=ax 2+bx+c 中，由图像可知，y 1＞0，y 2＜0，△y 1＞y 2 选项D 正确；故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键时熟练运用抛物线的图像判断系数a 、b 、c 之间的关系，同时注意特殊点与对称轴之间的关系，属于中等题型．8．（2021·上海嘉定区·九年级一模）二次函数()2y a x m k =++的图像如图所示，下列四个选项中，正确的是（ ）A ．0m <，0k <B ．0m <，0k >C ．0m >，0k <D ．0m >，0k >【答案】A 【分析】根据函数图象的位置及顶点坐标所在的象限确定答案．【详解】由函数图象知：二次函数的图象顶点在第四象限，△顶点坐标为（-m ，k ），△-m>0，k<0，△m<0，故选：A ．【点睛】此题考查二次函数图象，根据函数图象与各项系数之间的关系．9．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y ax bx c =++图象经过点(0,0)O ，那么根据图象，下列判断正确的是（ ）A ．0a <B ．0b >C ．0ab >D ．0c【答案】D 【分析】根据开口方向可判断a 的正负；根据对称轴的位置可判断b 的正负；进而得出ab 的正负；将(0,0)O 代入二次函数可得出c 的值即可． 【详解】解：抛物线开口向上，0a ∴>，故A 选项错误；抛物线对称轴在y 轴的右侧，02b a ∴->，0b ∴<，故B 选项错误； 0ab ∴<，故C 选项错误；二次函数2y ax bx c =++图象经过点(0,0)O ，0c ∴=，故D 选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据性质判断,,a b c 的正负是解题的关键．10．（2021·上海闵行区·九年级一模）下列函数中，是二次函数的是（ ）A ．223y x x =--B ．22(1)y x x =--+C ．21129y x x =+D ．2y ax bx c =++【答案】C【分析】函数解析式中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的函数是二次函数，根据定义解答．【详解】A 、223y x x=--中含有分式，故不是二次函数； B 、22(1)y x x =--+=2x -1，不符合定义，故不是二次函数；C 、21129y x x =+符合定义，故是二次函数；D 、2y ax bx c =++中a 不确定不等于0，故不是二次函数；故选：C ．【点睛】此题考查二次函数的定义，熟记定义是解题的关键．11．（2021·上海奉贤区·九年级一模）将抛物线22y x = 向左平移1个单位后得到的抛物线表达式是（ ）A ．221y x =-B ．221y x =+C ．2 21() y x =+D ．2 21() y x =-【答案】C 【分析】根据抛物线平移的规律“上加下减，左加右减”即可选择．【详解】原抛物线向左平移1个单位后得：22(1)y x =+．故选C ．【点睛】本题考查抛物线平移与抛物线解析式的变化规律．掌握其规律“上加下减，左加右减”是解答本题的关键．12．（2021·上海虹口区·九年级一模）下列函数中，属于二次函数的是（ ）A ．212y x =-B ．y =C ．22y x =-D ．()222y x x =-- 【答案】C【分析】形如y=ax 2+bx+c （a≠0），a ，b ，c 是常数的函数叫做二次函数，其中a 称为二次项系数，b 称为一次项系数，c 为常数项，x 为自变量，y 为因变量，据此解题．【详解】A ．212y x =-右边不是整式，不是二次函数，故A 错误；B ． y =B 错误；C ．22y x =-是二次函数，故C 正确；D ．()222242444y x x x x x x =-+=-=--+-是一次函数，故D 错误，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的定义，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．13．（2021·上海嘉定区·九年级一模）抛物线223y x =-的顶点坐标是（ ）A ．()2,3-B ．()2,3C ．()0,3-D ．()0,3 【答案】C【分析】直接由抛物线解析式即可求得答案．【详解】解：△抛物线为223y x =-，△抛物线顶点坐标为(0，-3)，故选:C ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质,掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在2()y a x h k =-+ 中，顶点坐标为(h ，k)，对称轴为x=h ．14．（2021·上海宝山区·九年级一模）若将抛物线2y x 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，就得到抛物线（ ）A ．2(1)2y x =-+B ．2(1)2y x =--C ．2(1)2y x =++D ．2(1)2y x =+- 【答案】A【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．【详解】解：将抛物线2y x 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，就得到抛物线：()212y x =-+。

2021届中考数学专题复习训练——二次函数 专题14二次函数综合之新定义、探究问题

2021届中考数学专题复习训练——二次函数 专题14二次函数综合之新定义、探究问题

新定义探究问题类型一：新定义类问题【经典例题1】阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M （1，3）的特征线有：x =1，y=3，y=x +2，y=﹣x +4．问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC ，点B 在第一象限，A 、C分别在x 轴和y 轴上，抛物线n m x y +-=2)(41经过B 、C 两点，顶点D 在正方形内部．（1）直接写出点D （m ，n ）所有的特征线；（2）若点D 有一条特征线是y=x +1，求此抛物线的解析式；（3）点P 是AB 边上除点A 外的任意一点，连接OP ，将△OAP 沿着OP 折叠，点A 落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D 点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP 上？ 【解析】(1)∵点D(m ，n)，∴点D(m ，n)的特征线是x =m ，y=n ，y=x +n−m ，y=−x +m+n ； (2)点D 有一条特征线是y=x +1， ∴n−m=1，∵抛物线解析式为y=41(x −m)2+n ， ∴y=41(x −m)2+m+1， ∵四边形OABC 是正方形，且D 点为正方形的对称轴，D(m ，n)， ∴B(2m ，2m)，∴41(2m−m)2+n=2m ，将n=m+1带入得到m=2，n=3； ∴D(2，3)， ∴抛物线解析式为y=41(x −2)2+3 (3)如图，当点A′在平行于y 轴的D 点的特征线时， 根据题意可得，D(2，3)， ∴OA′=OA=4，OM=2， ∴∠A′OM=60∘， ∴∠A′OP=∠AOP=30∘， ∴MN=3OM =332， ∴抛物线需要向下平移的距离=3−332=3329-. 如图，当点A′在平行于x 轴的D 点的特征线时，设A′(p ，3)， 则OA′=OA=4，OE=3，EA′=73422=-， ∴A′F=4−7， 设P(4，c )(c >0)，，在Rt △A′FP 中，(4−7)2+(3−c )2=c 2， ∴c=37416-， ∴P(4，37416-) ∴直线OP 解析式为y=374-x ， ∴N(2，3728-)， ∴抛物线需要向下平移的距离=3−3728-=3721+， 即：抛物线向下平移3329-或3721+距离，其顶点落在OP 上。

上海市中考数学二模24题：二次函数存在性问题：等腰三角形平行

上海市中考数学二模24题：二次函数存在性问题：等腰三角形平行

上海市中考数学二模24题：二次函数存在性问题：等腰三角形平行上海市中考数学二模24题：二次函数存在性问题：等腰三角形、平行二次函数存在的几何问题（等腰三角形、平行四边形、梯形）1.（2021崇明二模）如图，抛物线y??直线与抛物线交于另一点b（3，52x？bx？C和Y轴与点a（0,1）相交，点a的45），点B为BC⊥ X轴，垂直脚为C.2（1）；（2）点p是x轴正半轴上的一动点，过点p作pn⊥x轴，交直线ab于点m，交抛物线于点n，设op的长度为m．① 当点P位于线段OC上（与点o和C不重合）时，线段PM的长度用包含M的代数公式表示；② 连接cm和BN。

当m是什么值时，四边形bcmn是平行四边形？2.（2021奉贤二模）如图，已知二次函数y??x?2mx的图像经过点b（1,2），与x轴的另一个交点为a，点b关于抛物线对称轴的对称点为c，过点b作直线bm⊥x轴垂足为点m．（1）求二次函数的解析式；（2）在直线bm上有点p（1，解释原因；（3）在（2）的条件下，在坐标轴上是否存在点e，使得以a、c、p、e为顶点的四边形为直角梯形，若存在，求出所有满足条件的点e的坐标；若不存在，请说明理由。

23）连接CP和Ca，判断直线CP和直线Ca的位置关系，23.（2021浦东二模）已知：如图，点a（2，0），点b在y轴正半轴1oa。

围绕点a顺时针旋转点B 90°？到点C。

旋转25前后的点B和点C都在抛物线y中？？x2？bx？加油6（1）求点b、c的坐标；关于，还有ob？（2）找到抛物线的表达式；（3）联结ac，该抛物线上是否存在异于点b的点d，使点d与ac构成以ac为直角边的等腰直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的d点坐标，如果不存在，请说明理由．二4.（2021松江二模）已知抛物线y=-x+bx+c经过点a（0，1），b（4，3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求tan∠abo的值；（3）过点b作bc⊥x轴，垂足为c，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段ab于点n，交抛物线于点m，若四边形mncb为平行四边形，求点m的坐标．5.（静安区2022年）如图所示，a点（2,6）和B点（B点位于a点的右侧）位于反比例函数图像上，C点位于y轴，BC‖x轴，Tan∠ ACB=2，二次函数的图像经过a、B和C 三个点。

二次函数(解答题24题压轴题)-2021年中考数学二模试题考点分类汇编(上海市16区)(解析版)

二次函数(解答题24题压轴题)-2021年中考数学二模试题考点分类汇编(上海市16区)(解析版)

上海16区二模汇编专题11二次函数解答题24题1.（2021崇明二模）2.（2021静安二模）3.（2021宝山二模）4.（2021金山二模）5.（2021普陀二模）6.（2021闵行二模）7.（2021虹口二模）8.（2021长宁二模）9.（2021杨浦二模）10.（2021松江二模）11.（2021嘉定二模）12.（2021奉贤二模）13.（2021青浦二模）14（2021黄埔二模）15（2021浦东新区二模）16.（2021松江二模）【2021年崇明二模】24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，点D是该抛物线上一点，且在第四象限内，联结AC、BC、CD、BD．（1）求抛物线的函数解析式，并写出对称轴；＝4S△AOC时，求点D的坐标；（2）当S△BCD（3）在（2）的条件下，如果点E是x轴上的一点，点F是抛物线上一点，当点A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标．【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）＝ax2﹣3ax﹣4a，根据﹣4a＝﹣4，可得a＝1，由此即可解决问题．＝S△OCD+S△OBD﹣S△OBC＝4S△AOC，构建（2）如图1中，设D（m，m2﹣3m﹣4），连接OD．根据S△BCD方程求出m即可解决问题．（3）分两种情形：如图2中，当AE为平行四边形的边时，根据DF＝AE＝1，求解即可．如图3中，当AE，DF是平行四边形的对角线时，根据点F的纵坐标为6，求出点F的坐标，再根据中点坐标公式求解即可．【解答】解：（1）∵y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣1，0），B（4，0），∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）＝ax2﹣3ax﹣4a，∴﹣4a＝﹣4，∴a＝1，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4，对称轴．（2）如图1中，设D（m，m2﹣3m﹣4），连接OD．＝S△OCD+S△OBD﹣S△OBC＝4S△AOC，∵S△BCD∴×4×（﹣m2+3m+4）+×4×m﹣×4×4＝4××1×4整理得：m2﹣4m+4＝0，解得m＝2，∴D（2，﹣6）．（3）如图2中，当AE为平行四边形的边时，∵DF∥AE，D（2，﹣6）∴F（1，﹣6），∴DF＝1，∴AE＝1，∴E（0，0），或E′（﹣2，0）．如图3中，当AE，DF是平行四边形的对角线时，∵点D与点F到x轴的距离相等，∴点F的纵坐标为6，当y＝6时，6＝x2﹣3x﹣4，解得x＝﹣2或5，∴F （﹣2，6）或（5，6），设E （n ，0），则有＝或＝，解得n ＝1或8，∴E （1，0）或（8，0），，综上所述，满足条件的点E 的坐标为（0，0）或（1，0）或（8，0）或（﹣2，0）．【2021年静安区】24．（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（2）小题3分）在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（5，0）（如图），经过点A 的抛物线25y x bx =++与y 轴相交于点B ，顶点为点C ．（1）求此抛物线表达式与顶点C 的坐标；（2）求∠ABC 的正弦值；（3）将此抛物线向上平移，所得新抛物线顶点为D ，且△DCA 与△ABC 相似，求平移后的新抛物线的表达式．24．解：（1）∵抛物线25y x bx =++经过点A （5，0），∴025+55b =+．············（1分）∴=6b -．··············································································（1分）∴抛物线表达式为265y x x =-+，顶点C 的坐标为（34-，）．·········（2分）（2）设抛物线的对称轴与x 轴、AB 分别相交于点E 、F ，点E （3，0）．∵点B （0，5），∴OA=OB=5,AB＝，∠OAB =45°，（第24题图）AOxy∴EF=AE=2，CF=6．·····································································（1分）∴11116362152222ABC ACF BCF S =S +S =OE+CF AE ∆∆∆=⨯⨯+⨯⨯= ．·（2分）过点A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，∵=111522ABC S =BC AH=AH=∆⨯ ．·（1分）∴．∴sin5AH ABC=AB ∠=．·····························（1分）（3）∵55AE AHAC AB===，∴Rt △AEC ∽Rt △AHB ，∴∠ACE =∠ABC ．∵△DCA 与△ABC 相似，∴CD BA CA BC =或CD BCCA BA=．·························（1分）．∴CD =103或CD =6．·························（1分）∵抛物线和y 轴的交点向上平移的距离与顶点平移的距离相同，∴平移后的抛物线的表达式为22563y x x =-+或2611y x x =-+．······（1分）2021年宝山24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1（a ≠0）经过点A （﹣2，0），B （1，0）和点D （﹣3，n ），与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的表达式及点D 的坐标；（2）将抛物线平移，使点C 落在点B 处，点D 落在点E 处，求△ODE 的面积；（3）如果点P 在y 轴上，△PCD 与△ABC 相似，求点P 的坐标．【分析】（1）由待定系数法可求出解析式，由抛物线解式可求出点D的坐标；（2）求出E点坐标，由三角形面积公式可得出答案；（3）由点的坐标得出∠ABC＝∠OCD＝45°，若△PCD与△ABC相似，分两种情况：①当∠BAC＝∠CDP时，△DCP∽△ABC；②当∠BAC＝∠DPC时，△PCD∽△ABC，得出比例线段，则可求出答案．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，0），B（1，0）和D（﹣3，n），∴，解得：，∴抛物线解析式为：y＝x2+x﹣1；∴＝2，∴D（﹣3，2）；（2）∵将抛物线平移，使点C落在点B处，点D落在点E处，∴E（﹣2，3），＝9﹣﹣＝；∴S△ODE（3）如图1，连接CD，AC，CB，过点D作DE⊥y轴于点E，∵A（﹣2，0），B（1，0），C（﹣1，0），D（﹣3，2），∴OB＝OC，DE＝CE＝3，AB＝3，BC＝，CD＝3，∴∠ABC＝∠OCD＝45°，∵△PCD与△ABC相似，点P在y轴上，∴分两种情况讨论：①如图2，当∠BAC＝∠CDP时，△DCP∽△ABC，∴，∴，∴PC＝2，∴P（0，1），第24题图②如图3，当∠BAC ＝∠DPC 时，△PCD ∽△ABC ，∴，∴，∴PC ＝9，∴P （0，8）．∴点P 的坐标为（0，8）或（0，1）时，△PCD 与△ABC 相似．2021年金山21.（本题满分12分，每小题满分4分）已知直线b kx y +=经过点()0,2-A ，()3,1B 两点，抛物线b ax ax y +-=42与已知直线交于C 、D 两点（点C 在点D 的右侧），顶点为P .（1）求直线b kx y +=的表达式.（2）若抛物线的顶点不在第一象限，求a 的取值范围.（3）若直线DP 与直线AB 所成的夹角等于 15，且点P 在直线AB 的上方，求抛物线b ax ax y +-=42的表达式.A MD BP ECO 24.解：（1）∵直线b kx y +=经过点()0,2-A ，()3,1B ；所以：⎩⎨⎧=+=+-302b k b k ，……………（2分）解得：⎩⎨⎧==21b k ；……………（1分）∴直线b kx y +=的表达式为2+=x y .……………（1分）（2）∵2=b ，∴抛物线的表达式为()a x a ax ax y 4222422-+-=+-=；……（1分）∴顶点P 的坐标是()a 42,2-；……………（1分）∵抛物线的顶点不在第一象限，且顶点P 在直线2=x 上；……………（1分）∴顶点P 在x 轴上或者第四象限，∴042≤-a ，即21≥a .……………（1分）（2）∵顶点P 在直线AB 的上方，抛物线242+-=ax ax y 与直线AB 交于C 、D 两点；∴抛物线开口向下；∵抛物线242+-=ax ax y 与直线2+=x y 都经过点()20，，且点C 在点D 的右侧；∴点D 的坐标是()20，；………………（1分）∵2==OD OA ，90=∠AOD ，∴45=∠=∠ODA OAD ；设直线DP 与x 轴交于点M ，∵直线DP 与直线AB 所成的夹角等于15，且点P 在直线AB 的上方；∴15=∠ADM ，60=∠+∠=∠ADM P AO PMO ；在MOD Rt ∆中，OD OMDMO =∠cot ，即332=OM ，∴332=OM ；…………（1分）设对称轴直线2=x 与x 轴交于点E ，可知x PE ⊥轴，90=∠=∠DOM PEO ；∴y PE //轴，PE OD ME OM =即PE 23322332=+，解得232+=PE ；∴23242+=-a ，可得23-=a .………………（1分）∴抛物线b ax ax y +-=42的表达式是232232++-=x x y .………………（1分）2021年普陀区24．（12分）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣2，0）、B （6，0），与y 轴交于点C ，点D 是在第四象限内抛物线上的一个动点，直线AD 与直线BC 交于点E ．（1）求b 、c 的值和直线BC 的表达式；（2）设∠CAD ＝45°，求点E 的坐标；（3）设点D 的横坐标为d ，用含d 的代数式表示△ACE 与△DCE的面积比．【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；（2）通过证明△ACE∽△BCA，可得，即可求解；（3）由相似三角形的性质可得＝，即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣6，当x＝0时，y＝﹣6，∴点C（0，﹣6），设直线BC解析式为y＝mx+n，则，解得：，∴直线BC解析式为y＝x﹣6；（2）如图1，过点E作EH⊥OC于H，∵点C（0，﹣6），点B（6，0），点A（﹣2，0），∴OB＝OC＝6，OA＝2，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，BC＝6，AC＝＝＝2，∵∠ABC＝∠CAD＝45°，∠ACE＝∠ACB，∴△ACE∽△BCA，∴，∴＝，∴CE＝，∵EH⊥CO，∠ECH＝45°，∴EH＝HC＝，∴OH＝，∴点E（，﹣）；（3）∵点D的横坐标为d，∴点D（d，d2﹣2d﹣6），（0＜d＜6），如图2，过点D作DF∥AB交BC于点F，∴△ABE∽△DFE，∴，∵＝，∴＝．∵点F在直线BC上，∴点F（d2﹣2d，d2﹣2d﹣6），∴DF＝3d﹣d2，∴＝＝．2021年闵行区24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A（5，0），顶点为点B，对称轴为直线x＝3，且对称轴与x轴交于点C．直线y＝kx+b，经过点A，与线段BC交于点E．（1）求抛物线y＝﹣x2+mx+n的表达式；（2）联结BO、EO．当△BOE的面积为3时，求直线y＝kx+b的表达式；（3）在（2）的条件下，设点D为y轴上的一点，联结BD、AD，当BD＝EO时，求∠DAO的余切值．【分析】（1）利用待定系数法和抛物线对称轴公式即可求解；（2）先求出顶点B坐标，根据△BOE的面积为3求出BE，进而求出点E坐标，利用待定系数法即可求解；（3）分BD∥OE和BD与OE不平行两种情况，分别求出D坐标，利用余切定义即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A（5，3），∴，∴，∴抛物线表达式为y＝﹣x2+6x﹣6；（2）把x＝3代入y＝﹣x2+2x﹣5得y＝4，∴抛物线顶点B坐标为（5，4），由△BOE的面积为3得BE×3＝3，∴BE＝2，∵点E在线段BC上，∴点E坐标为E（3，3），把点E（3，2）和点A（8，，∴，∴直线表达式为y＝﹣x+5；（3）如图，①若BD∥OE，则四边形OEBD1为平行四边形，则点D4坐标为（0，2），连接D5A，∴cot∠D1AO＝＝，综上所述，此时∠DAO的余切值为或．【点评】本题为二次函数综合题，考查了二次函数性质，求一次函数解析式，余切定义等知识，熟练掌握各知识点是解题关键，解第（3）步时要注意分类讨论思想应用．2021年虹口区24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图8，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：34y x b =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，与双曲线H ：k y x =交于点P (2，92)，直线x m =分别与直线l 和双曲线H 交于点E 、D ．（1）求k 和b 的值；（2）当点E 在线段AB 上时，如果ED=BO ，求m 的值；（3）点C 是y 轴上一点，如果四边形BCDE 是菱形，求点C 的坐标．【答案】24．解：（1）由题意：把点P (2，92)代入k y x=中，得9k =．………（2分）把点P (2，92)代入34y x b =+中，得3b =．………………………（2分）（2）由题意：E 3(3)4m m +，，D 9()m m ，．则39(3)4ED m m =+-．…（1分）P图8∵ED=BO ，且BO=3，∴39(3)34m m+-=．…………………………………………（1分）解得12m m -==．…………………………………………（1分）∵点E 在线段AB 上，∴m <0．∴m 的值为-1分）（3）易得BE =．………………………（1分）①当m <0，点E 在点D 上方时，54BE m -．∵DE BE =，∴395(3)44m m m +--=．解得12332m m -=，=（舍）．∴154BC DE ==，C 3(0)4-，．………………………………………（1分）②当m <0，点D 在点E 上方时，935(3)44m m m -+-=，方程无实根．③当m >0，点E 在点D 上方时，395(3)44m m m +-=，方程无实根．④当m >0，点D 在点E 上方时，935(3)44m m m -+=．解得12332m m -=（舍），=．∴158BC DE ==，C 39(0)8，．……………………………………（1分）∴综上所述C 3(0)4-，或C 39(0)8，.……………………………………（1分）【2021年长宁二模】24.如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2﹣163x +c 经过点A （1，0）、B （3，0），且与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）如果将抛物线向左平移m （m ＞0）个单位长度，联结AC 、BC ，当抛物线与△ABC 的三边有且只有一个公共点时，求m 的值；（3）如果点P 是抛物线上一动点，且在点B 的右侧，联结PC ，直线PA 交y 轴于点E ，当∠PCE ＝∠PEC时，求点P的坐标．【答案】（1）2416433y x x =-+；（2）m ＝4；（3）75,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）当抛物线与△ABC 的三边有且只有一个公共点时，则抛物线过点C （0，4），即可求解；（3）求出直线PA 的表达式，得到点E 的坐标为（0，−43t ＋4），由∠PCE ＝∠PEC ，则点P 在CE 的中垂线上，进而求解．【详解】解：（1）将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式得：16039160a c a c ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩，解得434a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩故抛物线的表达式为2416433y x x =-+；（2）令x =0，y =4∴C （0，4）当抛物线与△ABC 的三边有且只有一个公共点时，则抛物线过点C （0，4）由抛物线的表达式知，其对称轴为x ＝2，则平移后抛物线再过点C 时，m ＝4；（3）设点P 的坐标为（t ，2416433t t -+)，设直线PA 的表达式为y ＝kx +b ，代入A 、P 坐标得25164340t t kt b k b ⎧-+=+⎪⎨⎪=+⎩，解得443443k t b t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，∴直线PA 的表达式为y ＝（443t -）x 443t -+，令x =0，y =443t -+故点E 的坐标为（0，﹣43t +4），而点C （0，4），∵∠PCE ＝∠PEC ，则点P 在CE 的中垂线上，由中点公式得：y P ＝12（y C +y E ），即2416433t t -+＝12（43t +4），解得t ＝1（舍去）或72，故点P 的坐标为75,23⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、中垂线的性质、图形的平移等，有一定的综合性，难度适中．【2021年杨浦二模】24.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣5与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y ＝ax2+6x+c经过A、B两点．（1）求这条抛物线的表达式；（2）设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是抛物线上一点，点Q是直线AB上一点，当四边形BCPQ 是平行四边形时，求点Q的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，联结QC，在∠QCB内作射线CD与抛物线的对称轴相交于点D，使得∠QCD ＝∠ABC，求线段DQ的长．【答案】（1）y ＝﹣x 2+6x ﹣5；（2）Q （3，﹣2）；（3）8【解析】【分析】（1）求出A 、B 坐标代入y ＝ax 2+6x +c 即可得答案；（2）求出C 坐标，设P 、Q 坐标，根据平行四边形两条对角线的中点重合可列方程求解；（3）CD 与AB 交于N ，由∠QCD ＝∠ABC 可得△CQN ∽△BQC ，求出QN 及N 坐标，再求CN 解析式及D 坐标即可得出答案．【详解】解：（1）在y ＝x ﹣5中令x ＝0，得y ＝﹣5，令y ＝0得x ＝5，∴A （5，0），B （0，﹣5），将A （5，0），B （0，﹣5）代入y ＝ax 2+6x +c 得：025305a c c =++⎧⎨-=⎩，解得15a c =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线的表达式为y ＝﹣x 2+6x ﹣5；（2）在y ＝﹣x 2+6x ﹣5中令y ＝0得x 1＝1，x 2＝5，∴C （1，0），点P 是抛物线上一点，点Q 是直线AB 上一点，设P （m ，﹣m 2+6m ﹣5），Q （n ，n ﹣5），则BP 的中点为（02m +，25652m m --+-），CQ 的中点为（12n +，052n +-），∵四边形BCPQ 是平行四边形，∴线段BP 的中点即是CQ 的中点，∴20156505m n m m n +=+⎧⎨--+-=+-⎩，解得10m n =⎧⎨=⎩或43m n =⎧⎨=⎩，∴Q （3，﹣2）；（3）设CD 与AB 交于N ，如图：∵B （0，﹣5），C （1，0），Q （3，﹣2），∴CQ ＝2，BQ ＝，∵∠QCD ＝∠ABC ，∠CQN ＝∠BQC ，∴△CQN ∽△BQC ，∴CQ QNBQ CQ =∴QN ＝423，设N （t ，t ﹣5），而Q （3，﹣2），＝3，∴t ＝133或t ＝53，∵在∠QCB 内作射线CD ，∴t ＝53，N （53，﹣103），设CN 解析式为y ＝kx +b ，将N （53，﹣103），C （1，0）代入得：105330k b k b⎧-=+⎪⎨⎪=+⎩，解得55k b =-⎧⎨=⎩，∴CN 解析式为y ＝﹣5x +5，令x ＝3得y ＝﹣10，∴Q （3，﹣10），∴DQ ＝﹣2﹣（﹣10）＝8．【点睛】本题考查二次函数、平行四边形及相似三角形综合知识，解题关键是设出坐标，利用相似三角形性质求出QN 的长度．【2021年松江二模】24.在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝3x +3与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣5a 经过点A ．将点B 向右平移5个单位长度，得到点C ．（1）求点C 的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线的顶点在△OBC 的内部，求a的取值范围．【答案】（1）C （5，3）；（2）x =2；（3）﹣13＜a ＜﹣215．【解析】【分析】（1）由y=3x+3与x、y轴分别交于点A、B，可求出A、B坐标，B向右移动5个单位即得C坐标；（2）将A坐标代入y=ax2+bx-5a可得b=-4a，根据对称轴公式可得答案；（3）对称轴x=2与BC交于D，与OC交于E，抛物线的顶点在△OBC的内部，则顶点在D和E之间，用a表示顶点纵坐标列不等式可得答案．【详解】解：（1）在y=3x+3中，令x=0得y=3，令y=0得x=-1，∴A（-1，0），B（0，3），∵点B向右平移5个单位长度，得到点C．∴C（5，3）；（2）∵A（-1，0），抛物线y=ax2+bx-5a经过点A，∴0=a-b-5a，即b=-4a，∴抛物线y=ax2+bx-5a对称轴为4222b axa a-=-=-=；（3）对称轴x＝2与BC交于D，与OC交于E设OC解析式为y＝kx，∵（5，3），∴3＝5k，∴35 k=，∴OC解析式为y＝35x，令x＝2得65y=，即6(2,)5E，由（1）知b＝﹣4a，∴抛物线为y=ax2-4ax-5a，∴顶点坐标为（2，-9a），抛物线的顶点在△OBC的内部，则顶点在D和E之间，而D（2，3），∴693 5a<-<，∴﹣13＜a＜﹣215．【点睛】本题考查点的平移、二次函数综合．（1）中会求一次函数与坐标轴交点是解题关键；（2）中掌握对称轴公式是解题关键；（3）掌握顶点公式是解题关键．【2021年嘉定二模】24.在平面直角坐标系xOy（如图）中，二次函数f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1（其中a是常数，且a≠0）的图象是开口向上的抛物线．（1）求该抛物线的顶点P的坐标；（2）我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”，将抛物线f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1与y轴的交点记为A，如果线段OA上的“整点”的个数小于4，试求a的取值范围；（3）如果f（﹣1）、f（0）、f（3）、f（4）这四个函数值中有且只有一个值大于0，试写出符合题意的一个函数解析式；结合函数图象，求a的取值范围．【答案】（1）P (1,1)-（2）0<a <5（3）19＜14a ≤【解析】【分析】(1)把抛物线代入顶点式为()22=21=(1)1f x ax ax a a x +--﹣﹣，即可求顶点坐标；(2)抛物线与y 轴的交点，横坐标为O ，即A 坐标为(0,1)a -，根据已知条件14a -＜，即可求a 的取值范围为0<a <5；(3)根据已知(1)f -、(0)f 、(3)f 、(4)f 有且只有一个大于0，即其余的小于或等于0，由对称轴为1x =开口向上，可以得出(4)f ＞(3)f =(1)f -＞(0)f ，根据(4)f >0，(3)0f ≤，可以求出a 的范围．即可以写出符合条件的函数解【详解】解：(1)∵抛物线的方程为()22=21=(1)1f x ax ax a a x +--﹣﹣∴抛物线的顶点P 坐标为(1,1)-；(2)∵A 为抛物线与y 轴的交点，∴A 点坐标为(0,1)a -，由线段OA 上的整点个数小于4，则可知a -1<4,a <5，抛物线的开口向上，故a 的取值范围为0<a <5；(3)已知(1)f -、(0)f 、(3)f 、(4)f 有且只有一个大于0，（即其余的小于或等于0）由题可知该函数对称轴为1x =，开口方向向上，故有(4)f ＞(3)f =(1)f -＞(0)f ，∴(4)f >0，∴得16810a a a -+-＞，∴19＞a ，∴19＞a ，∴(3)0f ≤；∴9610a a a -+-≤，得14a ≤，取16a =；∴2115()636f x x x =--∴a 的取值范围为19＜14a ≤．【点睛】本题考查二次函数的应用，解本题关键熟练掌握二次函数由一般式转为顶点式，抛物线的性质解不等式等．【2021年奉贤二模】24.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知B（0，2），C（1，﹣32），点A在x轴正半轴上，且OA＝2OB，抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）经过点A、C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）将抛物线先向右平移m个单位，再向上平移1个单位，此时点C恰好落在直线AB上的点C′处，求m 的值；（3）设点B关于原抛物线对称轴的对称点为B′，联结AC，如果点F在直线AB′上，∠ACF＝∠BAO，求点F的坐标．【答案】（1）y＝12x2﹣2x；（2）4；（3）F坐标为（4，52）或（4，﹣1.5）．【解析】【分析】（1）求出A坐标，将A、C坐标代入y＝ax2＋bx即可得答案；（2）求出AB解析式，用m表示C′坐标代入即可得答案；（3）分F在A上方和下方两种情况画出图形，构造相似三角形利用对应边成比例可得答案．【详解】解：（1）∵B（0，2），∴OB＝2，∵点A在x轴正半轴上，且OA＝2OB，∴A （4，0），∴将A （4，0），C （1，﹣32）代入y ＝ax 2＋bx 得：016432a b a b =+⎧⎪⎨-=+⎪⎩，解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线的表达式为y ＝12x 2﹣2x ；（2）设直线AB 的解析式是y ＝mx ＋n ，将A （4，0），B （0，2）代入得：042m n n =+⎧⎨=⎩，解得122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 的解析式是y ＝﹣12x ＋2，∵抛物线y ＝12x 2﹣2x 向右平移m 个单位，再向上平移1个单位，则其上的点C 也向右平移m 个单位，再向上平移1个单位，而C （1，﹣32），∴C ′（1＋m ，﹣12），∵C ′（1＋m ，﹣12）在直线AB 上，∴﹣12＝﹣12（1＋m ）＋2，∴m ＝4；（3）∵y ＝12x 2﹣2x 对称轴为x ＝2，B （0，2），点B 关于原抛物线对称轴的对称点为B ′，∴B ′（4，2），∵A （4，0），∴直线AB ′为x ＝4，点F 在直线AB ′上，∠ACF ＝∠BAO ，分两种情况：①F 在A 上方，如图：过A作AG⊥CF于G，过G作GH//x轴交直线x＝4于H，过C作CM⊥x轴交直线GH于M，∵B（0，2），A（4，0），∴tan∠BAO＝1 2，∵∠ACF＝∠BAO，AG⊥CF，∴tan∠ACF＝12，即12AGCG=，而∠MCG＝90°﹣∠MGC＝∠AGH，∠M＝∠AHG，∴△MCG∽△HGA，∴12 AH GH AGMG MC CG===，∴MC＝GH，MG＝2AH，设G（m，n），则MC＝n＋1.5，MG＝m﹣1，GH＝4﹣m．AH＝n，∴n＋1.5＝2（4﹣m），且m﹣1＝2n，解得m＝2.8，n＝0.9，∴G（2.8，0.9），又C(1, 1.5)-，∴直线GC解析式为：y＝43x﹣176，令x＝4得y＝5 2∴F（4，5 2），②F在A下方，延长AC交y轴于D，过C作CF//x轴交直线x＝4于F，∵A（4，0），C（1，﹣1.5），∴直线AC解析式为y＝12x﹣2，∴D（0，﹣2），∵B（0，2），∴B，D关于x轴对称，∴∠BAO＝∠DAO，若∠ACF＝∠BAO，则∠ACF＝∠DAO，∴CF//x轴，∴F(4, 1.5)综上所述，∠ACF ＝∠DAO ，F 坐标为或5(4,)2或(4, 1.5)-．【点睛】本题考查二次函数的综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的平移、相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．【2021年青浦二模】24．（12分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx +3的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B ，与y 轴交于点C ，对称轴是直线x ＝1，顶点是点D ．（1）求该抛物线的解析式和顶点D 的坐标；（2）点P 为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBDC 为梯形时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，点E 为x 轴正半轴上的一点，当tan （∠PBO +∠PEO）＝时，求OE的长．24．解：（1）∵抛物线经过点A （－1，0），对称轴是直线x ＝1，∴3=01.2a b b a-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，……（2分），解得=12.a b -⎧⎨=⎩，···································（1分）∴抛物线的解析式为223y x x =-++．把x ＝1代入抛物线的解析式，得y ＝4．∴D （1，4）．·····················（1分）（2）∵点P 为抛物线第三象限上的点，且四边形PBDC 为梯形，∴CD ∥BP ．·········································································（1分）延长DC 交x 轴负半轴于点F ，过点D 作y 轴的垂线，垂足为点G ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点H ．∵C （0，3），D （1，4），∴GD ＝CG ＝1．∴∠GDC ＝45°．∵GD ∥BF ，∴∠DFB ＝∠GDC ＝45°．∵CD ∥BP ，∴∠PBF ＝∠DFB ＝45°．···············································（1分）∴∠PBF ＝∠HPB ，∴PH ＝BH ．设点P 的坐标为223（，）-++x x x ．由题意可知B （3，0）．得2323x x x -=--++（）．·······················································（1分）解得2x =-，或3x =．（舍）∴P （－2，－5）········································································（1分）（3）∵P （－2，－5），∴在Rt △PHO 中，5tan 2PH POH OH ∠==．·········································（1分）∵5tan 2（）∠+∠=PBO PEO ，∴PBO PEO POH ∠+∠=∠．由（2）可知，45PBO ∠= ，因此45PEO ∠< ，所以点E 在点B 的右侧．又∵PBO BPO POH ∠+∠=∠，∴PEO BPO ∠=∠．·····························（1分）∵POB POB ∠=∠，∴△OPB ∽△OEP ．···········································（1分）∴OB OPOP OE =29=OE ，∴293OE =．······································（1分）25．解：（1）联结OC ．∵OC ＝OB ，∴∠OBC ＝∠OCB ＜90°．∴∠CBD 为钝角．∵△BCD 为等腰三角形，∴∠D ＝∠BCD ．········································（1分）∴∠OCB ＝∠OBC ＝∠D +∠BCD ＝2∠D ．··········································（1分）∴∠OCA ＝180°－∠OCD ＝180°－3∠D ．∵OC ＝OA ，∴∠OAC ＝∠OCA ＝180°－3∠D ．··································（1分）在△OAD 中，∵∠OAC ＋∠D ＋∠AOB ＝180°，∴∠D ＝（21m ）°．·······（1分）（2）联结OC ，过点C 作CF ⊥OD ，垂足为点F ．∵点C 是»AB 的中点，∴»AC ＝»BC ，∴∠BOC ＝∠AOC ．··················（1分）∵∠AOB ＝90°，∴∠BOC ＝45°．·····················································（1分）在Rt △COF 中，OC ＝2，∴CF ．···············································（1分）∵CF ⊥OD ，AO ⊥OD ，∴AO ∥CF ．∴22==AO CF AD CD ．····················（1分）∴222=-AD AC ．…（1分）∴2+2==ACAD S S ABC ABD △△．··················（1分）（3）设折叠后的圆弧所在圆的圆心为O'，联结O'E ，O'O ，O'O 交直线AD 于点H ．∵新圆弧由»AC 折叠而得，且与直线OB 相切于点E ，∴O'E ＝2，O'E ⊥OD ．当点E 在线段OB 上时，在Rt △O'OE 中，OE ＝1，O'E ＝2，则O'O ＝5．∵点O'与点O 关于直线AC 对称，∴直线AC 垂直平分线段O'O ．∴OH ＝25．∴在Rt △AOH 中，AH ＝211．····································（1分）在Rt △DOH 中，tan ∠O'OE ＝2＝OHDH ，∴DH ＝5．∴AD ＝DH ＋AH ＝··························································（1分）当点E 在线段BO的延长线上时，同理可得，AH ＝211，DH ＝5．∴AD ＝DH －AH ＝．··························································（2分）【2021年黄浦区二模】24．（12分）如果抛物线C 1：y ＝ax 2+bx +c 与抛物线C 2：y ＝﹣ax 2+dx +e 的开口方向相反，顶点相同，我们称抛物线C 2是C 1的“对顶”抛物线．5+22（1）求抛物线y＝x2﹣4x+7的“对顶”抛物线的表达式；（2）将抛物线y＝x2﹣4x+7的“对顶”抛物线沿其对称轴平移，使所得抛物线与原抛物线y＝x2﹣4x+7形成两个交点M、N，记平移前后两抛物线的顶点分别为A、B，当四边形AMBN是正方形时，求正方形AMBN的面积．（3）某同学在探究“对顶”抛物线时发现：如果抛物线C1与C2的顶点位于x轴上，那么系数b与d，c 与e之间的关系是确定的，请写出它们之间的关系．【分析】（1）先求出抛物线C1的顶点坐标，进而得出抛物线C2的顶点坐标，即可得出结论；（2）设正方形AMBN的对角线长为2k，得出B（2，3+2k），M（2+k，3+k），N（2﹣k，3+k），再用点M（2+k，3+k）在抛物线y＝（x﹣2）2+3上，建立方程求出k的值，即可得出结论；（3）先根据抛物线C，C2的顶点相同，得出b，d的关系式，再由两抛物线的顶点在x轴，求出c，e 的关系，即可得出结论．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3，∴顶点为（2，3），∴其“对顶”抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+3，即y＝﹣x2+4x﹣1；（2）如图，由（1）知，A（2，3），设正方形AMBN的对角线长为2k，则点B（2，3+2k），M（2+k，3+k），N（2﹣k，3+k），∵M（2+k，3+k）在抛物线y＝（x﹣2）2+3上，∴3+k＝（2+k﹣2）2+3，解得k＝1或k＝0（舍）；∴正方形AMBN的面积为；（3）根据抛物线的顶点坐标公式得，抛物线C1：y＝ax2+bx+c的顶点为（﹣，），抛物线C2：y＝﹣ax2+dx+e的顶点为（，），∵抛物线C2是C1的“对顶”抛物线，∴﹣＝，∴b＝﹣d，∵抛物线C1与C2的顶点位于x轴上，∴＝，∴c＝﹣e，即b＝﹣d，c＝﹣e．【2021年浦东新区二模】24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0）．直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标；（2）将抛物线y＝x2+bx向右平移，使平移后的抛物线经过点B，求平移后抛物线的表达式；（3）将抛物线y＝x2+bx向下平移，使平移后的抛物线交y轴于点D，交线段BC于点P、Q，（点P在点Q右侧），平移后抛物线的顶点为M，如果DP∥x轴，求∠MCP的正弦值．【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的解析式，化成顶点式即可求得顶点坐标；（2）根据图象上点的坐标特征求得B（4，0），然后分两种情况讨论求得即可；（3）设向下平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x+n，得点D（0，n），即可求得P（2，n），代入y＝x ﹣2求得n＝﹣1，即可求得平移后的解析式为y＝x2﹣2x﹣1．求得顶点坐标，然后解直角三角形即可求得结论．【解答】解：（1）由题意，抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0），得0＝4+2b，解得b＝﹣2，∴抛物线的表达式是y＝x2﹣2x．∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴它的顶点C的坐标是（1，﹣1）．（2）∵直线与x轴交于点B，∴点B的坐标是（4，0）．①将抛物线y＝x2﹣2x向右平移2个单位，使得点A与点B重合，此时平移后的抛物线表达式是y＝（x﹣3）2﹣1．②将抛物线y＝x2﹣2x向右平移4个单位，使得点O与点B重合，此时平移后的抛物线表达式是y＝（x﹣5）2﹣1．（3）如图，设向下平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x+n，得点D（0，n）．∵DP∥x轴，∴点D、P关于抛物线的对称轴直线x＝1对称，∴P（2，n）．∵点P在直线BC上，∴．∴平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x﹣1．∴新抛物线的顶点M的坐标是（1，﹣2）．∴MC∥OB，∴∠MCP＝∠OBC．在Rt△OBC中，，由题意得：OC＝2，，∴．即∠MCP的正弦值是．【2021年徐汇区二模】24.如图，已知抛物线y＝12x2+m与y轴交于点C，直线y＝﹣43x+4与y轴和x轴分别交于点A和点B，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设点E在x轴上，以CD为对角线作▱CEDF．（1）当点C在∠ABO的平分线上时，求上述抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，求点F的坐标；（3）如果点E 是BO 的中点，且▱CEDF 是菱形，求m 的值．【答案】（1）21322y x =+；（2）390,10F ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）0【解析】【分析】（1）在Rt △ADC 中，设OC =x ，由勾股定理得：（4﹣x ）2＝x 2+4，解得x ＝32，即可求解；（2）求出点D 的坐标为（65，125），如果▱CEDF 的顶点F 正好落在y 轴上，则DE ∥y 轴，且DE ＝CF ，进而求解；（3）求出点D 的坐标为（481225m -，361625m +），由DE ＝CE ，即可求解．【详解】解：（1）对于y ＝﹣43x +4①，令y ＝﹣43x +4＝0，解得x ＝3，令x ＝0，则y ＝4，故点A 、B 的坐标分别为（0，4）、（3，0），由点A 、B 的坐标知，OA ＝4，OB ＝3，则AB ＝5，连接BC ，如下图，∵点C 在∠ABO 的平分线上，则OC ＝CD ，∵BC＝BC，∴Rt△BCD≌Rt△BCO（HL），故BD＝OB＝3，则AD＝5﹣3＝2，设OC＝CD＝x，则AC＝4﹣x，在Rt△ADC中，由勾股定理得：（4﹣x）2＝x2+4，解得x＝3 2，故点C的坐标为（0，3 2），则抛物线的表达式为y＝12x2+32；（2）如上图，过点C作CH∥x轴交AB于点H，则∠ABO＝∠AHC，由AB得表达式知，tan∠ABO＝43＝tan∠DHC，则tan∠DCH＝34，故直线CD的表达式为y＝34x+32②，联立①②并解得65125xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点D的坐标为（65，125），如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，则DE∥y轴，且DE＝CF，故DE＝y D＝12 5，则y F＝y C+DE＝12339= 5210+，故点F的坐标为（0，39 10）；（3）∵点E是BO的中点，故点E（32，0），由（2）知，直线CD的表达式为y＝34x+m③，联立①③并解得，点D的坐标为（481225m-，361625m+），而点E、C的坐标分别为（32，0）、（0，m），∵▱CEDF是菱形，则DE＝CE，即（481225m-﹣32）2+（361625m+）2＝（32）2+m2，即9m2﹣36m＝0，解得m＝4（舍去）或0，故m＝0．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、解直角三角形等．。

2021年中考数学综合题冲刺专题14 二次函数图像与几何变换(拔高)(Word学生考试版)

2021年中考数学综合题冲刺专题14 二次函数图像与几何变换(拔高)(Word学生考试版)

专题14 二次函数图像与几何变换（提优）1．二次函数y＝a（x﹣2）2+3的图象经过点A（﹣1，0）（1）求这个二次函数的解析式；（2）分别指出这个二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标；（3）写出把此抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后的抛物线的解析式．2．已知，如图，直线AB经过点B（0，6），点A（4，0），与抛物线y＝ax2+2在第一象限内相交于点P，又知△AOP的面积为6．（1）求a的值；（2）若将抛物线y＝ax2+2沿y轴向下平移，则平移多少个单位才能使得平移后的抛物线经过点A．3．如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y2＝﹣x+m与二次函数y1＝ax2+bx﹣3图象上．（1）求m的值和二次函数的解析式．（2）请直接写出使y2＞y1时，自变量x的取值范围．（3）说出所求的抛物线y1＝ax2+bx﹣3可由抛物线y＝x2如何平移得到？4．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，过点A（﹣2，﹣2），点P（m，n）为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；（2）若向上平移抛物线，使顶点落在x轴上，原来的点P平移后的对应点为P'，若OP'＝OP，求点P 的坐标；（3）若△AOB的面积等于△AOP的面积，直接写出m的值．5．在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝k（x﹣a）（x﹣b），其中a≠b．（1）若此二次函数图象经过点（0，k），试求a，b满足的关系式．（2）若此二次函数和函数y＝x2﹣2x的图象关于直线x＝2对称，求该函数的表达式．（3）若a+b＝4，且当0≤x≤3时，有1≤y≤4，求a的值．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（0，4），B（2，0），C （﹣2，0）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）在x轴上有一点D（﹣4，0），将二次函数图象沿DA方向平移，使图象再次经过点B．①求平移后图象顶点E的坐标；②求图象A，B两点间的部分扫过的面积．7．将抛物线y1＝2x2向右平移2个单位，得到如图抛物线y2的图象，P是抛物线y2对称轴上的一个动点，直线x＝t平行于y轴，分别与直线y＝x、抛物线y2交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t＝．8．已知二次函数y＝﹣mx2+2mx﹣3（m≠0）．（1）若该二次函数的最小值为﹣4，求该二次函数解析式；（2）当m＜0且n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣6≤y≤5﹣n，求n的值；（3）在（1）的条件下，将此二次函数平移，使平移后的图象经过（1，0）．设平移后的图象对应的函数表达式为y＝﹣m（x﹣h）2+2mx+k，当x＜2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．9．如图，△OAB的OA边在x轴上，其中B点坐标为（3，4）且OB＝BA．（1）求经过A，B，O三点的抛物线的解析式；（2）将（1）中的抛物线沿x轴平移，设点A，B的对应点分别为点A′，B′，若四边形ABB′A′为菱形，求平移后的抛物线的解析式．10．在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点B在第一象限，顶点A、C分别在x轴和y轴上，直线l1：x＝4与直线l2：y＝4相交于点E，以点E为顶点的抛物线K经过点B（6，6）．（1）求抛物线K的解析式．（2）点P是线段OC上一点，点O关于AP的对称点为M，①若点M落在直线l1或l2上时，将抛物线向下或向上平移多少，使其顶点落在AM上；②若点M落在抛物线上，请直接写出一个符合题意的点P的坐标．11．如图，四边形ABCO为矩形，点A在x轴上，点C在y轴上，且点B的坐标为（﹣1，2），将此矩形绕点O顺时针旋转90°得矩形DEFO，抛物线y＝﹣x2+bx+c过B，E两点．（1）求此抛物线的函数关系式．（2）将矩形ABCO向左平移，并且使此矩形的中心在此抛物线上，求平移距离．（3）将矩形DEFO向上平移距离d，并且使此抛物线的顶点在此矩形的边上，则d的值是．12．如图，平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA，OC分别在坐标轴上，OA＝2，OC＝1，以点A为顶点的抛物线经过点C（1）求抛物线的函数表达式；（2）将矩形ABCO绕点A旋转，得到矩形AB′C′O′，使点C′落在x轴上，抛物线是否经过点C′？请说明理由．13．如图，抛物线y＝﹣x2+5x+n经过点A（1，0），与y轴交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）P是y轴上一点，且△P AB是以AB为腰的等腰三角形，试求P点坐标．（3）将抛物线y＝﹣x2+5x+n沿着坐标轴方向经过怎样的一次平移可以使它使它经过原点．14．已知，如图，直线AB经过点B（0，6），且tan∠ABO=23，与抛物线y＝ax2+2在第一象限内相交于点P，又知△AOP的面积为6．（1）求a的值；（2）能否将抛物线y＝ax2+2平移使得平移后的抛物线经过点A？15．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（5，3），点C（0，8），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC 的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，3），B（1，0）两点，顶点为M．（1）求b、c的值；（2）若只沿y轴上下平移该抛物线后与y轴的交点为A1，顶点为M1，且四边形AMM1A1是菱形，写出平移后抛物线的表达式．17．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A（3，4），C在x轴的负半轴，抛物线y=−43（x﹣2）2+k过点A．（1）求k的值；（2）若把抛物线y=−43（x﹣2）2+k沿x轴向左平移m个单位长度，使得平移后的抛物线经过菱形OABC的顶点C．试判断点B是否落在平移后的抛物线上，并说明理由．18．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝kx（k≠0）相交于点M（1，1），N（3，3），且这条抛物线的对称轴为x＝1．（1）若将该抛物线平移使得其经过原点，且对称轴不变，求平移后的抛物线的表达式及k的值．（2）设P为直线y＝kx下方的抛物线上一点，求△PMN面积的最大值及此时P点的坐标．19．如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x＝2与x轴相交于点B，连结OA，二次函数y＝x2图象从点O沿OA方向平移，与直线x＝2交于点P，顶点M到A点时停止移动．（1）求线段OA所在直线的函数解析式；（2）设二次函数顶点M的横坐标为m，当m为何值时，线段PB最短，并求出二次函数的表达式；（3）当线段PB最短时，二次函数的图象是否过点Q（a，a﹣1），并说理由．20．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，（1）求a、b、c的值．（2）若将该函数绕点B旋转180°，求旋转后的解析式；（3）若将该函数作关于x轴对称，求轴对称后的函数解析式．。

2021年上海市各区初三数学二模压轴题连排共80页

2021年上海市各区初三数学二模压轴题连排共80页

2021年上海市各区中考数学模拟压轴题图文解析目录第24、25题图文解析例2021年上海市宝山区中考第24、25题/ 2例2021年上海市崇明县中考第24、25题/ 6例2021年上海市奉贤区中考第24、25题/ 10例2021年上海市虹口区中考第24、25题/ 14例2021年上海市黄浦区中考第24、25题/ 19例2021年上海市嘉定区中考第24、25题/ 22例2021年上海市金山区中考第24、25题/25例2021年上海市静安区中考第24、25题/28例2021年上海市闵行区中考第24、25题/ 33例2021年上海市浦东新区中考第24、25题/ 36例2021年上海市普陀区中考第24、25题/ 40例2021年上海市青浦区中考第24、25题/ 44例2021年上海市松江区中考第24、25题/ 48例2021年上海市徐汇区中考第24、25题/ 51例2021年上海市杨浦区中考第24、25题/ 55例2021年上海市长宁区中考第24、25题/60第18题图文解析例2021年上海市宝山区中考第18题/ 64例2021年上海市崇明县中考第18题/ 65例2021年上海市奉贤区中考第18题/ 66例2021年上海市虹口区中考第18题/ 67例2021年上海市黄浦区中考第18题/ 68例2021年上海市嘉定区中考第18题/ 69例2021年上海市金山区中考第18题/70例2021年上海市静安区中考第18题/ 71例2021年上海市闵行区中考第18题/ 72例2021年上海市浦东新区中考第17题/ 73例2021年上海市浦东新区中考第18题/ 74例2021年上海市普陀区中考第18题/ 75例2021年上海市青浦区中考第18题/ 76例2021年上海市松江区中考第18题/ 77例2021年上海市徐汇区中考第18题/ 78例2021年上海市杨浦区中考第18题/ 79例2021年上海市长宁区中考第18题/80例 2021年上海市宝山区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx －1（a ≠0）经过点A (－2, 0)、B (1, 0)和D (－3, n )，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的表达式及点D 的坐标；（2）将抛物线平移，使点C 落在点B 处，点D 落在点E 处，求△ODE 的面积；（3）如果点P 在y 轴上，△PCD 与△ABC 相似，求点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“21宝山24”，可以体验到，△ODE 与△OMN 是同高三角形．点击屏幕左下方的按钮“第（3）题”，拖动点P 在运动，可以体验到，△PCD 与△ABC 相似存在两种情况．思路点拨1．第（1）题先写出抛物线的交点式，再根据常数项相等列关于a 的方程．2．第（2）题求△ODE 的面积可以用割补法，也可以先求直线DE 与坐标轴围成的三角形的面积，再根据同高三角形的面积比等于底边的比来解．3．第（3）题关键的一步是寻找一组等角，然后根据夹角的两条边对应成比例，分两种情况列方程求CP 的长．图文解析（1）抛物线的交点式为y ＝a (x ＋2)(x －1)，对照y ＝ax 2＋bx －1，根据常数项相等， 得－2a ＝－1．解得12a =． 所以2111(2)(1)1222y x x x x =+-=+-． 当x ＝－3时，11(2)(1)(1)(4)222y x x =+-=⨯-⨯-=．所以D (－3, 2)． （2）如图2，点C (0,－1)先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点B (1, 0)． 所以点D (－3, 2)按C →B 的方向平移，得到点E (－2, 3)．由D (－3, 2)、E (－2, 3)，得直线DE 的解析式为y ＝x ＋5．直线DE 与y 轴交于点M (0, 5)，与x 轴交于点N (－5, 0)，所以S △OMN ＝252． 因为15DE MN =，所以S △ODE ＝15S △OMN ＝52．（3）如图2，由A(－2, 0)、B(1, 0)、C(0,－1)，可知∠ABC＝45°，BA＝3，BC＝2．如图3，由D(－3, 2) 、C(0,－1)，可知∠DCO＝45°，CD＝32．当点P在y轴上点C上方时，∠DCP＝∠ABC＝45°，分两种情况讨论相似：①当CP BACD BC=时，3322CP=．解得CP＝9．此时P(0, 8)（图3中的点P′）．②当CP BCCD BA=时，2332CP=．解得CP＝2．此时P(0, 1) （图3中的点P）．图2 图3考点伸展第（2）题求△ODE的面积的方法多样，例如S△ODE＝S△OMN―S△OME―S△OND．例 2021年上海市宝山区中考模拟第25题如图1，已知AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，垂足分别为B 、C ，AC 与BD 交于点P ．（1）如果AB ＝3，CD ＝5，以点P 为圆心作圆，⊙P 与直线BC 相切．①求圆P 的半径长；②若BC ＝8，以BC 为直径作⊙O ，试判断⊙O 与⊙P 的位置关系，并说明理由．（2）如果分别以AB 、CD 为直径的两圆外切，求证：△ABC 与△BCD 相似．图1动感体验请打开几何画板文件名“21宝山25”，拖动点C 运动，改变BC 的长度，可以体验到，PH 的长度始终保持不变．观察度量值，可以体验到，当BC ＝8时，⊙O 与⊙P 内切．点击屏幕左下方的按钮“第（2）题”，拖动点A 或点C 改变两圆的半径，可以体验到，当两圆相切时，△ABC 与△BCD 始终保持相似．思路点拨1．第（1）题用字母表示线段的长，设BH ＝m ，CH ＝n ，计算起来比较方便．2．判断两圆的位置关系，需要罗列三要素，即两圆半径和圆心距．3．第（2）题中蕴含了两个经典，一是外切两圆的圆心以及外公切线的两个切点，围成了一个直角梯形，一般策略是把这个直角梯形分割为一个矩形和一个直角三角形．另一个经典是代数计算，用到了两个完全平方公式的差．图文解析（1）①如图2，设⊙P 与直线BC 相切于点H ，那么PH ⊥BC ．设BH ＝m ，CH ＝n ．由PH //AB //DC ，得PH CH n AB BC m n ==+，PH BH m DC BC m n ==+． 两式相加，得1PH PH AB DC +=． 所以135PH PH +=． 解得r P ＝PH ＝158．图2 图3②如图3，因为BC ＝8，那么r O ＝OB ＝4． 由=PH BH DC BC ，得15858=BH ．解得BH ＝3． 在Rt △POH 中，PH ＝158，OH ＝OB －BH ＝4－3＝1，由勾股定理，得PO ＝178． 因为r O －r P ＝1548-＝178，所以d ＝PO ＝r O －r P ． 图4 所以⊙O 与⊙P 内切（如图4所示）．（2）如图5，设AB ＝2a ，DC ＝2b ，那么AB ·DC ＝4ab ．取AB 的中点M ，DC 的中点N ，联结MN ．那么r M ＝a ，r N ＝b ．作MG ⊥DC 于G ，得矩形BCGM ．在Rt △MNG 中，MN ＝b ＋a ，NG ＝b －a ，所以MG 2＝(b ＋a )2－(b －a )2＝4ab ．所以AB ·DC ＝MG 2．又因为MG ＝BC ，所以=AB BC BC DC． 又因为∠ABC ＝∠BCD ＝90°，所以△ABC ∽△BCD （如图6所示）．图5 图6考点伸展我们把第（1）题一般化．如图7，AC 与BD 交于点P ，AB //PH //DC ，如果AB ＝3，DC ＝5，那么PH ＝158．求解过程完全相同，与BC 的长无关，与AB 的斜率无关．图7例 2021年上海市崇明区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x－3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A和B，且其顶点为D．（1）求抛物线的表达式；（2）求∠BAD的正切值；（3）设点C为抛物线与x轴的另一个交点，点E为抛物线的对称轴与直线y＝x－3的交点，点P是直线y＝x－3上的动点，如果△P AC与△AED是相似三角形，求点P的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“21崇明24”，拖动点P在BA的延长线上运动，可以体验到，△P AC与△AED相似存在两种情况．思路点拨1．第（2）题由A、B、D三点的坐标，根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形．2．第（3）题关键的一步，是寻求一组相等的角，然后根据夹角的两边对应成比例分两种情况列方程求AP的长，进而求点P的坐标．图文解析（1）由y＝x－3，得A(3, 0)，B(0,－3)．因为抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、C两点，设y＝(x－3)(x－x C)．代入点B(0,－3)，得－3＝－3(－x C)．解得x C＝－1．所以y＝(x－3)(x＋1)＝x2－2x－3，顶点为D(1,－4)．（2）如图2，由A(3, 0)、B(0,－3)、D(1,－4)，得AB2＝18，BD2＝2，AD2＝20．所以AB2＋BD2＝AD2．所以△ABD是直角三角形，∠ABD＝90°．所以tan∠BAD＝BDAB＝218＝13．图2（3）如图3，由A(3, 0)，B(0,－3)，得OA＝OB，∠OAB＝45°．抛物线的顶点为D(1,－4)，当x＝1时，y＝x－3＝－2．所以E(1,－2)．所以ED＝2，EA＝22．当点P在BA的延长线上时，∠CAP＝∠AED＝135°，分两种情况讨论△P AC与△AED 相似．①当AP EAAC ED=时，2242AP=．解得AP＝42．作PH⊥x轴于H，那么PH＝AH＝4．此时P(7, 4)（如图3所示）．②当AP EDAC EA=时，2422AP=．解得AP＝22．此时PH＝AH＝2，P(5, 2) （如图4所示）．图3 图4考点伸展第（2）题也可以用几何计算的方法．如图2，作DF⊥y轴于F．由△OAB和△DFB都是等腰直角三角形，得到∠ABD＝90°．直角三角形ABD两条直角边的比，就是两个等腰直角三角形斜边的比，等于相似比1∶3．例 2021年上海市崇明区中考模拟第25题如图1，在矩形ABCD中，E是边CD的中点，点F在边AD上，EF⊥BD，垂足为点G．（1）如图2，当矩形ABCD为正方形时，求DGGB的值；（2）如果15=DGGB，AF＝x，AB＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数定义域；（3）如果AB＝4cm，以点A为圆心，3cm长为半径的⊙A与以点B为圆心的⊙B外切，以点F为圆心的⊙F与⊙A、⊙B都内切，求DGGB的值．图1 图2 备用图动感体验请打开几何画板文件名“21崇明25”，拖动点D运动，可以体验到，⊙F与⊙A内切的切点是确定的，⊙F与⊙B内切时，Rt△ABF就确定了．思路点拨1．这三个小题都和DG∶GB相关，因此添加辅助线的方法是一致的，延长FE交BC 的延长线于点M，这样就利用了中点E．2．第（3）题中，⊙A、⊙B、⊙F的半径分别为3、1、r，当⊙F与⊙A、⊙B都内切时，用r表示圆心距AF、BF，再利用勾股定理解Rt△ABF，就得到了AF的长．图文解析（1）设正方形ABCD的边长为2a．如图3，延长FE交BC的延长线于点M．因为AD//BM，E是DC的中点，所以DF＝CM．因为△DEG是等腰直角三角形，所以△DEF也是等腰直角三角形．所以DF＝DE＝CE＝CM＝a．再由AD//BM，得1===33 DG DF aGB BM a．（2）如图4，延长FE交BC延长线于点M．设DF＝m．因为AD//BM，E是DC的中点，所以DF＝CM＝m．再由AD//BM，得15DF DGBM BG==．所以BM＝5DF＝5m．所以BC＝5m－m＝4m．所以AF＝4m－m＝3m＝x．所以m＝13x．如图5，根据等角的余角相等，得∠1＝∠2．由tan ∠1＝tan ∠2，得CB CE CD CM =．所以142=y m y m ． 所以228=y m ．因为x ＞0，y ＞0，所以22223==y m x ．定义域是x ＞0．图3 图4 图5（3）如图6，因为⊙A 与⊙B 外切，所以圆心距AB ＝r A ＋r B ．所以3＋r B ＝4．解得r B ＝1．设⊙F 的半径为r ．因为⊙F 与⊙A 、⊙B 都内切，所以圆心距AF ＝r F －r A ＝r －3，圆心距BF ＝r F －r B ＝r －1．在Rt △ABF 中，根据勾股定理，得AB 2＋AF 2＝BF 2．所以42＋(r －3)2＝(r －1)2． 解得r ＝6．所以AF ＝r －3＝3．如图7，设DF ＝CM ＝m ，那么BC ＝m ＋3．由△DCB ∽△ECM ，得=CD CM CB CE ．所以432=+m m ． 整理，得m 2＋3m －8＝0．解得m ＝3412-±（舍去负值）． 如图8，由AD //BM ，得23==+DG FD m GB BM m ．代入3412-+=m ，解得41341=82-DG GB ．图6 图7 图8考点伸展第（3）题中的⊙F 不存在其他情况，从解题过程可以看到，圆心距AF 不论表示为r －3还是3－r ，圆心距BF 不论表示为r －1还是1－r ，由勾股定理得42＋(r －3)2＝(r －1)2，这个方程是一元一次方程，解是唯一的．例 2021年上海市奉贤区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，已知B (0, 2)、C 3(1,)2-，点A 在x 轴正半轴上，且OA ＝2OB ，抛物线y ＝ax 2＋bx （a ≠0）经过点A 、C ．（1）求这条抛物线的表达式；（2）将抛物线先向右平移m 个单位，再向上平移1个单位，此时点C 恰好落在直线AB 上的点C ′处，求m的值；（3）设点B 关于原抛物线对称轴的对称点为B ′，联结AC ，如果点F 在直线AB ′上，∠ACF ＝∠BAO ，求点F的坐标． 图1 动感体验请打开几何画板文件名“21奉贤24”，可以体验到，∠CAO ＝∠BAO ，按照点F 与直线AC 的位置关系，∠ACF ＝∠BAO 存在两种情况．思路点拨1．抛物线的平移，归根到底是对应点的平移．第（2）题其实是点C 平移以后落在直线AB 上，抛物线的平移是假象．2．第（3）题中∠ACF ＝∠BAO ，按照点F 与直线AC 的位置关系，分两种情况． 图文解析（1）由B (0, 2)、OA ＝2OB ，得OA ＝4，A (4, 0)．因为抛物线与x 轴交于O 、A 两点，设y ＝ax (x －4)．代入点C 3(1,)2-，得31(3)2a -=⨯⨯-．解得12a =． 所以211(4)222y x x x x =-=-． （2）由A (4, 0)、B (0, 2)，得直线AB 的解析式为122y x =-+． 如图2，点C 3(1,)2-先向右平移m 个单位，再向上平移1个单位得点C ′1(1,)2m +-． 将点C ′1(1,)2m +-代入直线AB 的解析式122y x =-+，得11(1)222m -=-++． 解得m ＝4．图2（3）由A (4, 0)、B (0, 2)、C 3(1,)2-，可得tan ∠BAO ＝24＝12，tan ∠CAO ＝332÷＝12． 所以∠BAO ＝∠CAO （如图3所示）．如图3，点B 与点B ′关于OA 的垂直平分线对称，所以直线AB ′是x ＝4．如果∠ACF ＝∠BAO ，分两种情况：①点F 在直线AC 的下方．过点C 作x 轴的平行线交直线AB ′于点F ．此时F 3(4,)2-． ②点F ′在直线AC 的上方．设F ′C 与x 轴交于点G ，那么GA ＝GC ．设G (m , 0)，由GA 2＝GC 2，得2223(1)()(4)2m m -+=-．解得178m =．所以G 17(,0)8． 由174'58'38F A GA F F CF -===，得'53F A AF =．所以5535'3322F A AF ==⨯=．此时F ′5(4,)2．图3 图4考点伸展第（3）题求点F ′的坐标，也可以先求tan2α的值．如图4，已知A (4, 0)、B (0, 2)，作AB 的垂直平分线交y 轴于点P ，垂足为Q ，那么 ∠APB ＝2∠BAO ＝2α．设P (0, n )．由P A 2＝PB 2，可得42＋n 2＝(2－n )2．解得n ＝－3．所以tan2α＝tan ∠APO ＝OA OP＝43． 第（3）题求点F ′的坐标，还可以先说理再计算．如果把△CAF 与△CAF ′看作同高三角形，面积比等于AF ∶AF ′．又因为CA 平分∠FCF ′，所以点A 到CF 、CF ′的距离相等，因此△CAF 与△CAF ′又可以看作等高三角形，面积比等于CF ∶CF ′．所以''CF AF CF AF =．设F ′(4, y )22332233()2y yy ==++． 整理，得4y 2－4y －15＝0．解得52y =，或32y =-（与点F 重合，舍去）．例 2021年上海市奉贤区中考模拟第25题如图1，已知扇形AOB 的半径OA ＝4，∠AOB ＝90°，点C 、D 分别在半径OA 、OB 上（点C 不与点A 重合），联结CD ．点P 是弧AB 上一点，PC ＝PD ．（1）当cot ∠ODC ＝34，以CD 为半径的圆D 与圆O 相切时，求CD 的长； （2）当点D 与点B 重合，点P 为弧AB 的中点时，求∠OCD 的度数； （3）如果OC ＝2，且四边形ODPC 是梯形，求PCD OCD S S △△的值．图1 备用图 备用图动感体验请打开几何画板文件名“21奉贤25”，拖动点D 在OB 上运动，可以体验到，⊙O 与 ⊙D 可以内切于点B ．点击屏幕左下方的按钮“第（2）题”，可以体验到，△OAP 、△OBP 和△P AC 都是顶角为45°的等腰三角形．点击按钮“第（3）题”，可以体验到，梯形ODPC 存在两种情况．思路点拨1．相切两圆的连心线必过切点，⊙O 与⊙D 可以内切于点B ．2．第（2）题把图形中的等腰三角形都标记出来，标记出内角的度数．事实上，PC 与PD 垂直且相等．3．第（3）题根据梯形的一组对边平行，可以先画出准确的示意图，再进行计算．两个三角形的面积比等于底边的比．图文解析（1）如图2，在Rt △OCD 中，cot ∠ODC ＝34，设OD ＝3m ，OC ＝4m ，那么CD ＝5m ． 因为相切两圆的连心线必过切点，所以连心线OD 过切点B ．所以⊙O 与⊙D 内切于点B ．所以r O －r D ＝d ＝OD ．所以4－5m ＝3m ．解得m ＝12．所以CD ＝5m ＝52．图2 图3 图4（2）如图3，因为点P为弧AB的中点，所以P A＝PD，∠POA＝∠POD＝45°．又因为OA＝OP，所以∠OAP＝∠OP A＝67.5°．同理可得∠OPD＝∠ODP＝67.5°．所以∠APD＝135°．如图4，因为P A＝PD，PC＝PD，得P A＝PC．所以在△ACP中，∠P AC＝∠PCA＝67.5°，∠APC＝45°．在△PCD中，∠CPD＝∠APD－∠APC＝90°，所以∠PCD＝45°．所以∠OCD＝180°－∠ACP－∠PCD＝180°－67.5－45°＝67.5°．（3）如果四边形ODPC是梯形，按照对边平行，分两种情况．①如图5，当CP//OD时，△PCD与△OCD是等高三角形，面积比等于PC∶OD．作PH⊥OB于H，得矩形OCPH．联结OP．在Rt△OCP中，OC＝2，OP＝4，所以PC＝23．在Rt△DPH 中，PH＝OC＝2，PD＝PC＝23，所以DH＝22．所以OD＝OH－DH＝2322-．所以23362322PCDOCDS PCS OD===+-△△．图5 图6 图7②如图6，当DP//CO时，△PCD与△OCD是等高三角形，面积比等于PD∶OC．作PG⊥AO于G，得矩形PGOD．联结OP．设PC＝PD＝m．在Rt△PDO和Rt△PGC中，由OD2＝PG2，得22216(2)m m m-=--．整理，得m2＋4m－20＝0．解得m＝262±（舍去负值）．所以26261 PCDOCDS PDS OC-=△△．考点伸展第（2）题当点P是弧AB的中点时，这个图形是一个典型图，如图7，PC与PD垂直且相等．例 2021年上海市虹口区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，直线l：34y x b=+与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线H：kyx=交于点P9(2,)2，直线x＝m分别与直线l和双曲线H交于点E、D．（1）求k和b的值；（2）当点E在线段AB上时，如果ED＝BO，求m的值；（3）点C是y轴上一点，如果四边形BCDE是菱形，求点C的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“21虹口24”，拖动点E运动，可以体验到，菱形BCDE存在两种情况，点E分别在点B的左侧和右侧．思路点拨1．第（2）题用m表示E、D两点的坐标，再用m表示ED的长．2．第（3）题根据ED2＝EB2列方程，就可以不遗不漏地得到所有可能的菱形．图文解析（1）将点P9(2,)2代入kyx=，得k＝xy＝9．将点P9(2,)2代入34y x b=+，得93224b=⨯+．解得b＝3．所以BO＝3．（2）如图2，由E3(,3)4m m+，D9(,)mm，得ED＝39(3)4mm+-．如果ED＝BO＝3，那么39(3)34mm+-=．整理，得34mm=．解得m＝23（舍去），或m＝23-．（3）如图3，由E3(,3)4m m+、B(0, 3)，得EB2＝22235()()44m m m+=．由（2）知，ED＝39 (3)4mm+-．如果四边形BCDE是菱形，那么EB＝ED．由EB2＝ED2，得22539 ()(3)44m mm⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦．①方程539(3)44m mm=+-整理，得m2－6m＋18＝0．此方程无实数根．②方程539(3)44m mm-=+-整理，得2m2＋3m－9＝0．解得m＝－3，或32m=．当m ＝－3时，EB 2＝25()4m ＝154．所以BC ＝154． 此时将点B 向下平移个154单位得到点C 3(0,)4-（如图3所示）． 当32m =时，EB 2＝25()4m ＝158．所以BC ＝158． 此时将点B 向上平移个158单位得到点C 39(0,)8（如图4所示）．图2 图3 图4考点伸展第（3）题还可以这样构图：如图5，设四边形BCDE 是菱形，边长为5n ．作EM ⊥y 轴于M ，作DN ⊥y 轴于N ，那么EM ＝DN ＝4n ，BM ＝CN ＝3n ．将点B (0, 3)向下平移5n 个单位得点C (0, 3－5n )，点C (0, 3－5n )向下平移3n 个单位，再向左平移4n 个单位，得点D (－4n , 3－8n )．将点D (－4n , 3－8n )代入9y x=，得－4n (3－8n )＝9． 整理，得32n 2－12n －9＝0．解得n ＝34，或n ＝38-． 当n ＝34时，3－5n ＝34-．此时C 3(0,)4-．当n ＝38-时，3－5n ＝398．此时C 39(0,)8．图5例 2021年上海市虹口区中考模拟第25题在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan A＝34，AC＝5，点M是射线AB上一点，以MC为半径的⊙M交直线AC于点D．（1）如图1，当MC＝AC时，求CD的长；（2）当点D在线段AC的延长线上时，设BM＝x，四边形CBMD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果直线MD与射线BC相交于点E，且△ECD与△EMC相似，求线段BM的长．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“21虹口25”，拖动点M在AB的延长线上运动，可以体验到，四边形CBMD的面积等于△CBM与△CDM的面积之和．点击屏幕左下方的按钮“第（3）题”，拖动点M在射线AB上运动，可以体验到，△ECD与△EMC相似存在两种情况．思路点拨1．第（1）题为第（2）题提供了方法依据，第（2）题求不规则四边形的面积，先要用x表示CD的长．2．第（3）题点M的位置在变，点D的位置随之改变，根据点M和点D的位置画出示意图，分三种情况讨论，其中两种情况下，根据相似三角形的对应角相等和等边对等角，等量代换以后都能得到角平分线，从而得到HM＝BM．图文解析（1）在Rt△ABC中，由tan A＝34，AC＝5，可得AB＝4，CB＝3．如图2，作MH⊥CD于H，那么CD＝2CH．因为MC＝AC，CB⊥AM，所以AB＝BM＝4．所以AM＝8．在Rt△AMH中，cos A＝45，所以AH＝AM∙cos A＝485⨯＝325．所以CH＝AH－AC＝3255-＝75．所以CD＝2CH＝145．图2 图3 图4（2）如图3，在Rt △AMH 中，cos A ＝45，AM ＝4＋x ，所以AH ＝AM ∙cos A ＝4(4)5+x ， MH ＝3(4)5+x ．所以CH ＝AH －AC ＝4(4)55+-x ＝495-x ． 所以CD ＝2CH ＝2(49)5-x ． 如图4，S 四边形CBMD ＝S △CBM ＋S △CDM ＝1122⋅+⋅BM CB CD MH ． 所以y ＝312(49)3(4)2255-+⋅⋅+x x x ． 整理，得y ＝22411721650+-x x ．定义域是x ＞94． 当x ＝94时，⊙M 与直线AC 相切于点C ． （3）以点M 和点D 的位置为分类标准，分三种情况讨论．①如图5，点M 在线段AB 上，点D 在线段CA 的延长线上．由△ECD ∽△EMC ，得∠ECM ＝∠EDC ．又因为MC ＝MD ，所以∠MCD ＝∠EDC ．等量代换，得∠ECM ＝∠MCD ．所以CM 是∠BCH 的平分线，HM ＝BM ＝x ．如图6，在Rt △AMH 中，由sin A ＝HM AM＝35，得3(4)5=-x x ． 解得x ＝BM ＝32．图5 图6②如图7，当点M 在线段AB 的延长线上，点D 在线段AC 上时，△ECD 是锐角三角形，△EMC 是钝角三角形，这两个三角形不可能相似．④如图8，点M 在线段AB 的延长线上，点D 在线段AC 的延长线上．由△ECD ∽△EMC ，得∠EDC ＝∠ECM ．根据等角的补角相等，得∠MDC ＝∠BCM ．图7 图8 图9如图9，因为MC＝MD，所以∠MCD＝∠MDC．等量代换，得∠BCM＝∠MCD．所以CM是∠BCD的角平分线，HM＝BM＝x．在Rt△AMH中，由sin A＝HMAM＝35，得3(4)5x x=+．解得x＝BM＝6．考点伸展第（2）题求四边形CBMD的面积，也可以用△ADM的面积减去△ACB的面积．计算CD和MH的方法相同．如果抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c与抛物线C2：y＝－ax2＋dx＋e的开口方向相反，顶点相同，我们称抛物线C2是C1的“对顶”抛物线．（1）求抛物线y＝x2－4x＋7的“对顶”抛物线的表达式；（2）将y＝x2－4x＋7的“对顶”抛物线沿其对称轴平移，使所得抛物线与原抛物线y ＝x2－4x＋7形成两个交点M、N，记平移前后两抛物线的顶点分别为A、B，当四边形AMBN 是正方形时，求正方形AMBN的面积；（3）某同学在探究“对顶”抛物线时发现：如果抛物线C1与C2的顶点位于x轴上，那么系数b与d，c与e之间的关系是确定的，请写出它们之间的关系．动感体验请打开几何画板文件名“21 黄浦24”，拖动x轴正半轴上表示实数a的点可以改变a 的值，拖动点A可以平移抛物线，拖动点B可以上下平移抛物线C2，可以体验到，四边形AMBN可以成为正方形．思路点拨1．把一般式化为顶点式，就可以写出“对顶”抛物线的顶点式．2．正方形的对角线互相垂直平分且相等，将点A向上平移m个单位，再向右平移m个单位，就可以表示出点N的坐标．然后将点N代入C1就可以求得平移距离m的值．3．第（3）题直接写出两条抛物线的顶点式，再化为一般式进行比较．图文解析（1）由y＝x2－4x＋7＝(x－2)2＋3，得顶点为(2, 3)．所以它的“对顶”抛物线的表达式为y＝－(x－2)2＋3＝－x2＋4x－1．（2）如图1，已知A(2, 3)，设AB＝2m，那么B(2, 3＋2m)．如果四边形AMBN是正方形，那么N(2＋m, 3＋m)．将点N(2＋m, 3＋m)代入y＝(x－2)2＋3，得3＋m＝m2＋3．解得m＝1，或m＝0（舍去）．所以AB＝2．所以正方形AMBN的面积＝2．（3）如果抛物线C1与C2的顶点位于x轴上，设顶点为(n, 0)．所以C1为y＝a(x－n)2＝ax2－2anx＋an2，C2为y＝－a(x－n)2＝－ax2＋2anx－an2．所以b＝－2an，d＝2an，c＝an2，e＝－an2．所以b＝－d，c＝－e．也就是说，b与d互为相反数，c与e互为相反数．图1 图2考点伸展第（2）题可以一般化，如图所示2，当1（a＞0）时，四边形AMBN是正方形．ma如图1，AD是△ABC的角平分线，过点C作AD的垂线交边AB于点E，垂足为点O，联结DE．（1）求证：DE＝DC；（2）当∠ACB＝90°，且△BDE与△ABC的面积比为1∶3时，求CE∶AD的值；（3）是否存在△ABC能使CE为△ABC边AB上的中线，且CE＝AD？如果能，请用∠CAB的某个三角比的值来表示它此时的大小；若不能，请说明理由．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“21黄浦25”，拖动点C落在半圆上，可以体验到，DE⊥AB．当点E与圆心重合时，可以体验到，△ADC、△ADE和△BDE全等．点击按钮“CE＝AD，E 是AB的中点”，观察度量值，可以体验到，这样的△ABC是存在的．思路点拨1．第（1）题由等腰三角形的“三线合一”可知AD垂直平分CE．2．第（2）题可以转化为三个直角三角形全等，得到30°角的Rt△ABC．3．第（3）题就是求等腰三角形ACE的顶角的三角比，如果知道腰和底的比，或者底边与高的比，这个三角形的形状就确定了．图文解析（1）因为∠1＝∠2，CE⊥AD，AO＝AO，所以△ACO≌△AEO．所以AC＝AE．根据等腰三角形的“三线合一”，可得AD垂直平分CE．所以DE＝DC．（2）因为S△BDE∶S△ABC＝1∶3，所以S△BDE∶S四边形ACDE＝1∶2．又因为△ACD≌△AED，所以△ADC、△ADE和△BDE面积相等．所以E是AB的中点．如果∠ACB＝90°，那么DE⊥AB．所以DE垂直平分AB．所以DA＝DB．所以∠2＝∠3．又因为∠1＝∠2，所以∠1＝∠2＝∠3＝30°．所以△ACE是等边三角形．于是3cos2cos302 CE AEAD AD==∠=︒=．图2 图3（3）如图4，作BF //CE 交AD 的延长线于点F ．如果CE 是△ABC 的中线，那么E 是AB 的中点．所以O 是AF 的中点．所以OE 是△ABF 的中位线．所以BF ＝2OE ＝2OC ． 所以2DF BF OD CO ==． 设DO ＝n ，DF ＝2n ，那么OF ＝3n ．所以AO ＝OF ＝3n ．所以AD ＝4n ．如果CE ＝AD ，那么CE ＝4n ．如图5，作CG ⊥AE 于G ．在Rt △AEO 中，AO ＝3n ，EO ＝12CE ＝2n ，所以AE ＝13n ． 由S △ACE ＝1122⋅=⋅AE CG CE AO ，得11134322⋅=⋅n CG n n ． 解得CG ＝121313n ． 在Rt △ACG 中，AC ＝AE ＝13n ，CG ＝121313n ，所以sin ∠CAG ＝CG AC ＝1213．图4 图5考点伸展在本题情景下，如果△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，如图6所示，这个图形就是我们熟悉的一个典型图，AB ＝AC ＋CD ．图6 图7第（3）题情景下，把这个图形看作△CEB 被一条直线所截，与三边或延长线分别交于点D 、O 、A ，如图7所示，理论上过C 、E 、B 、D 、O 、A 等六个点的每一个点，都有两种添加平行线的方法，例如图8、图9、图10．图8 图9 图10在平面直角坐标系中，二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋a －1（其中a 是常数，且a ≠0）的图像是开口向上的抛物线．（1）求该抛物线的顶点P 的坐标；（2）我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”，将抛物线f (x )＝ax 2－2ax ＋a －1与y 轴的交点记为A ，如果线段OA 上的“整点”的个数小于4，试求a 的取值范围；（3）如果f (－1)、f (0)、f (3)、f (4)这四个函数值中有且只有一个大于0，试写出符合题意的一个函数解析式；结合函数图像，求a 的取值范围．动感体验请打开几何画板文件名“21嘉定24”，拖动点A 在y 轴上运动，可以体验到，f (－1)和f (3)的函数值相等，f (0)对应点A ，只有f (4)这个函数值大于0．思路点拨1．按照点A 在x 轴下方和上方两种情况分类考虑，再综合考虑．2．抛物线的对称轴为x ＝1，所以f (－1)和f (3)的函数值相等．抛物线开口向上，所以f (0)＜f (3)，只有f (4)＞0．3．第（3）题先探究a 的取值范围，再写出一种具体情况．临界点是f (3)＝0和f (4)＝0． 图文解析（1）由f (x )＝ax 2－2ax ＋a －1＝a (x －1)2－1，得抛物线的顶点P 的坐标为(1,－1)．（2）由f (x )＝ax 2－2ax ＋a －1，得A (0, a －1)．①因为抛物线的顶点为P (1,－1)，当点A 在x 轴下方时，－1＜a －1≤0．解得0＜a ≤1．②当点A 在x 轴上方时，0＜a －1＜3．解得1＜a ＜4．③当点A 与点O 重合时，线段OA 不存在．因此a －1≠0．解得a ≠1．综上所述，a 的取值范围是0＜a ＜4且a ≠1．（3）如图1，因为抛物线的对称轴为直线x ＝1，所以f (－1)和f (3)的函数值相等． 如果f (－1)、f (0)、f (3)、f (4)这四个函数值中有且只有一个大于0，因为抛物线的开口向上，所以只有f (4)的值大于0．由(3)0,(4)0,f f ⎧⎨⎩≤＞ 得不等式组410,910.a a -⎧⎨-⎩≤＞ 解得a 的取值范围是1194a ＜≤． 例如：当18a =时，符合题意的一个函数解析式是21(1)18y x =--． 图1 考点伸展第（3）题如果没有抛物线开口向上的条件，当开口向下时，f (0)＞0．已知：⊙O 的半径长是5，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦．分别过点A 、B 向直线CD 作垂线，垂足分别为E 、F ．（1）如图1，当点A 、B 位于直线CD 同侧，求证：CF ＝DE ；（2）如图2，当点A 、B 位于直线CD 两侧，∠BAE ＝30°，且AE ＝2BF 时，求弦CD 的长；（3）设弦CD 的长为l ，线段AE 的长为m ，线段BF 的长为n ，探究l 与m 、n 之间的数量关系，并用含m 、n 的代数式表示l ．图1 图2 备用图动感体验请打开几何画板文件名“21嘉定25”，拖动点A 运动，可以体验到，OH 是△ABK 的中位线，当A 、B 两点在弦CD 的同侧时，OH 等于AE ＋BE 的一半；点A 、B 两点在弦CD 的两侧时，OH 等于AE －BF 的一半．思路点拨1．作弦心距OH ，求CD 的长先求DH 的长．2．由O 、H 是两个中点，不由得想到中位线．图文解析（1）如图3，作OH ⊥CD 于H ．由垂径定理，得CH ＝DH ．因为BF //OH //AE ，OA ＝OB ，所以FH ＝EH ．所以FH －CH ＝EH －DH ，即CF ＝DE ．（2）如图4，设AB 与CD 交于点G ．由AE //BF ，得2AG AE BG BF ==．所以23AG AB =．所以AG ＝23AB ＝203．图3 图4 图5如图5，在Rt △OGH 中，OG ＝AG －OA ＝2053-＝53，∠GOH ＝∠A ＝30°， 所以OH ＝OG ·cos30°＝5332⨯＝536． 在Rt △OCH 中，OC ＝5，OH ＝536，由勾股定理，得CH ＝5336． 所以CD ＝2OD ＝5333． （3）如图3，点A 、B 位于直线CD 同侧．因为OH 是梯形ABFE 的中位线，所以OH ＝1()2+BF AE ＝1()2+m n ． 如图5，在Rt △OCH 中，OC ＝5，OH ＝1()2+m n ，由勾股定理，得 CH ＝22OC OH -＝225()2+-m n ＝2100()2-+m n ． 所以l ＝CD ＝2CH ＝2100()-+m n ．如图6，点A 、B 位于直线CD 两侧．延长BH 交AE 于点K ．因为BF //AE ，H 是FE 的中点，所以KE ＝BF ＝n ．因为OH 是△ABK 的中位线，所以OH ＝12AK ＝1()2AE BF -＝1()2m n -． 如图5，在Rt △OCH 中，OC ＝5，OH ＝1()2-m n ，由勾股定理，得 CH ＝22OC OH -＝225()2--m n ＝2100()2--m n ． 所以l ＝CD ＝2CH ＝2100()--m n ．考点伸展如图6、如图7是对立统一的两个图，OH 是△ABK 的中位线．如图6，当A 、B 在CD两侧时，OH ＝12AK ＝2AE BF -．如图7，当A 、B 在CD 同侧时，OH ＝12AK ＝2AE BF +．图6 图7如图1，已知直线y＝kx＋b经过A(－2, 0)、B(1, 3)两点，抛物线y＝ax2－4ax＋b与已知直线交于C、D两点（点C在点D的右侧），顶点为P．（1）求直线y＝kx＋b的表达式；（2）若抛物线的顶点不在第一象限，求a的取值范围；（3）若直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，且点P在直线AB上方，求抛物线y＝ax2－4ax＋b的表达式．动感体验请打开几何画板文件名“21金山24”，拖动点P在第四象限的对称轴上运动，可以体验到，抛物线与y轴的交点D是确定的．点击屏幕左下方的按钮“第（3）题”，可以体验到，△PDF是60°角的直角三角形．思路点拨1．注意到两个解析式的常数项相同，抛物线与直线左侧的交点D是确定的．2．第（3）题构造60°角的直角三角形，先求顶点P的坐标．图文解析（1）将A(－2, 0)、B(1, 3)两点分别代入y＝kx＋b，得20,3.k bk b-+=⎧⎨+=⎩解得k＝1，b＝2．所以直线的表达式为y＝x＋2．（2）由y＝ax2－4ax＋2＝a(x－2)2＋2－4a，可知抛物线的顶点为P(2, 2－4a)．如图1所示，如果顶点不在第一象限，那么2－4a＜0．解得12 a>．（3）抛物线的对称轴为直线x＝2，设对称轴与直线AB交于点E，那么E(2, 4)．抛物线与直线的左侧的交点D的坐标为(0, 2)．如图2，过点D向对称轴作垂线，垂足为F，那么△DEF是腰长为2的等腰直角三角形．当点P在直线AB上方，∠PDE＝15°时，在Rt△PDF中，∠PDF＝60°．所以PF＝3DF＝23．所以顶点P(2,223)+．所以22324a+=-．解得32a=-．所以抛物线的表达式为y＝ax2－4ax＋2＝232322x x-++．图1 图2考点伸展第（2）题可以数形结合，抛物线开口向上，a＞0，由∆＝(－4a)2－8＞0，解得12 a>．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ＝23，∠BAC ＝120°，△ADE 的顶点D 在边BC 上，AE 交BC 边于点F （点F 在点D 的右侧），∠DAE ＝30°．（1）求证：△ABF ∽△DCA ；（2）若AD ＝ED ．①联结EC ，当点F 是BC 的黄金分割点（FC ＞BF ）时，求ABF FECS S △△． ②联结BE ，当DF ＝1时，求BE 的长．图1 备用图 备用图动感体验请打开几何画板文件名“21金山25”，拖动点D 在BC 上运动，可以体验到，△ABF 、△DCA 与△DAF 两两相似．点击屏幕左下方的按钮“第（2）题①”，拖动点D 在BC 上运动，可以体验到，CE 与BC 的夹角始终保持30°不变，△ABF 与△ECF 始终保持相似．点击屏幕左下方的按钮“第（2）题②”，观察DF 的度量值，可以体验到，DF ＝1存在两种情况，分别是AD ⊥BC 和AF ⊥BC 的时刻．思路点拨1．第（1）题也是“三等角”问题，有三个三角形两两相似．2．第（2）题中的四边形AEDC 被对角线分成四个三角形，相对的两个三角形相似．3．第（2）题中AB 与CE 保持平行关系，△ABF 与△ECF 保持相似．图文解析（1）如图2，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，所以∠B ＝∠C ＝30°． 设∠BAD ＝α，那么∠ADC ＝α＋30°．又因为∠BAF ＝α＋30°，所以∠ADC ＝∠BAF ．所以△ABF ∽△DCA ．（2）①因为点F 是BC 的黄金分割点（FC ＞BF ），所以51-=BF FC 如图3，由AD ＝ED ，得∠AED ＝∠DAE ＝30°． 等量代换，得∠AED ＝∠C ．又因为∠DFE ＝∠AFC ，所以△DFE ∽△AFC ．所以FD FA FE FC =． 又因为∠DF A ＝∠EFC ，所以△DF A ∽△EFC ．所以∠FCE ＝∠F AD ＝30°．如图4，因为∠B ＝∠FCE ，所以AB //CE ．所以△ABF ∽△ECF ．所以225135=()()--==ABF FEC S BF S FC △△．。

2021年中考数学考点复习：《二次函数》 试题精选汇编(含答案)

2021年中考数学考点复习：《二次函数》 试题精选汇编(含答案)

2021年中考数学考点复习：《二次函数》试题精选汇编一．选择题1．（2020•嘉定区二模）下列关于二次函数y＝x2﹣3的图象与性质的描述，不正确的是（）A．该函数图象的开口向上B．函数值y随着自变量x的值的增大而增大C．该函数图象关于y轴对称D．该函数图象可由函数y＝x2的图象平移得到2．（2020•虹口区一模）抛物线y＝3（x+1）2+1的顶点所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（2020•虹口区一模）已知抛物线y＝x2经过A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，在下列关系式中，正确的是（）A．y1＞0＞y2B．y2＞0＞y1C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0 4．（2020•宝山区一模）二次函数y＝1﹣2x2的图象的开口方向（）A．向左B．向右C．向上D．向下5．（2020•杨浦区一模）广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离x（米）的函数解析式是y＝x2+6x （0≤x≤4），那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（）A．1米B．2米C．5米D．6米6．（2020•金山区一模）下列函数中是二次函数的是（）A．y＝B．y＝（x+3）2﹣x2C．y＝D．y＝x（x﹣1）7．（2020•浦东新区一模）下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝2x﹣1 B．y＝C．y＝x2+1 D．y＝（x﹣1）2﹣x28．（2020•闵行区一模）k为任意实数，抛物线y＝a（x﹣k）2﹣k（a≠0）的顶点总在（）A．直线y＝x上B．直线y＝﹣x上C．x轴上D．y轴上9．（2020•金山区一模）将抛物线y＝（x+1）2﹣3向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（）A．y＝（x﹣1）2﹣3 B．y＝（x+3）2﹣3 C．y＝（x+1）2﹣1 D．y＝（x+1）2﹣5 10．（2020•静安区一模）如果将抛物线y＝x2﹣2平移，使平移后的抛物线与抛物线y＝x2﹣8x+9重合，那么它平移的过程可以是（）A．向右平移4个单位，向上平移11个单位B．向左平移4个单位，向上平移11个单位C．向左平移4个单位，向上平移5个单位D．向右平移4个单位，向下平移5个单位11．（2020•奉贤区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x与纵坐标y 的对应值如表：x⋅⋅⋅0 1 3 4 5 ⋅⋅⋅y⋅⋅⋅﹣5 ﹣﹣﹣5 ﹣⋅⋅⋅根据表，下列判断正确的是（）A．该抛物线开口向上B．该抛物线的对称轴是直线x＝1C．该抛物线一定经过点（﹣1，﹣）D．该抛物线在对称轴左侧部分是下降的12．（2020•黄浦区一模）已知二次函数y＝x2，如果将它的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得图象的表达式是（）A．y＝（x+1）2+2 B．y＝（x+1）2﹣2 C．y＝（x﹣1）2+2 D．y＝（x﹣1）2﹣2 13．（2020•浦东新区一模）抛物线y＝x2﹣4x+5的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，﹣1）14．（2020•普陀区一模）如果二次函数y＝（x﹣m）2+n的图象如图所示，那么一次函数y ＝mx+n的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限15．（2020•徐汇区一模）已知二次函数y＝﹣x2+2x﹣3，那么下列关于该函数的判断正确的是（）A．该函数图象有最高点（0，﹣3）B．该函数图象有最低点（0，﹣3）C．该函数图象在x轴的下方D．该函数图象在对称轴左侧是下降的二．填空题16．（2020•松江区二模）已知点P（﹣2，y1）和点Q（﹣1，y2）都在二次函数y＝﹣x2+c 的图象上，那么y1与y2的大小关系是．17．（2020•虹口区二模）如果抛物线y＝（k﹣1）x2+9在y轴左侧的部分是上升的，那么k 的取值范围是．18．（2020•长宁区二模）如果抛物线y＝（a﹣1）x2﹣1（a为常数）不经过第二象限，那么a的取值范围是．19．（2020•崇明区二模）将抛物线y＝x2+2向右平移3个单位，再向上平移2个单位后，那么所得新抛物线的解析式为．20．（2020•闵行区二模）已知点（﹣1，y1），（，y2），（2，y3）在函数y＝ax2﹣2ax+a ﹣2（a＞0）的图象上，那么y1、y2、y3按由小到大的顺序排列是．21．（2020•闵行区一模）如果两点A（2，a）和B（x，b）在抛物线y＝x2﹣4x+m上，那么a和b的大小关系为：a b．（从“＞”“≥”“＜”“≤”中选择）．22．（2020•闵行区一模）平移抛物线y＝2x2﹣4x，可以得到抛物线y＝2x2+4x，请写出一种平移方法．23．（2020•虹口区一模）如果函数y＝（m+1）x+2是二次函数，那么m＝．24．（2020•虹口区一模）沿着x轴正方向看，抛物线y＝﹣（x﹣1）2在对称轴侧的部分是下降的（填“左”、“右”）．25．（2020•虹口区一模）如果抛物线y＝（1﹣a）x2+1的开口向下，那么a的取值范围是．三．解答题26．（2020•浦东新区三模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的顶点为点D．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）联结AD、AC、CD，求∠DAC的正切值；（3）如果点P是原抛物线上的一点，且∠PAB＝∠DAC，将原抛物线向右平移m个单位（m＞0），使平移后新抛物线经过点P，求平移距离．27．（2020•普陀区二模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）经过点A，其顶点为C，直线y＝1与y轴交于点B，与抛物线交于点D（在其对称轴右侧），联结BC、CD．（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）点P是y轴的负半轴上的一点，如果△PBC与△BCD相似，且相似比不为1，求点P的坐标；（3）将∠CBD绕着点B逆时针方向旋转，使射线BC经过点A，另一边与抛物线交于点E（点E在对称轴的右侧），求点E的坐标．28．（2020•杨浦区二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣3，0）和点B（3，2），与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）点P是抛物线在第一象限内一点，联结AP，如果点C关于直线AP的对称点D恰好落在x轴上，求直线AP的截距；（3）在（2）小题的条件下，如果点E是y轴正半轴上一点，点F是直线AP上一点．当△EAO与△EAF全等时，求点E的纵坐标．29．（2020•嘉定区二模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知经过点A（﹣3，0）的抛物线y＝ax2+2ax﹣3与y轴交于点C，点B与点A关于该抛物线的对称轴对称，D为该抛物线的顶点．（1）直接写出该抛物线的对称轴以及点B的坐标、点C的坐标、点D的坐标；（2）联结AD、DC、CB，求四边形ABCD的面积；（3）联结AC．如果点E在该抛物线上，过点E作x轴的垂线，垂足为H，线段EH交线段AC于点F．当EF＝2FH时，求点E的坐标．30．（2020•长宁区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+mx+n经过点A（2，﹣2），对称轴是直线x＝1，顶点为点B，抛物线与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式和点B的坐标；（2）将上述抛物线向下平移1个单位，平移后的抛物线与x轴正半轴交于点D，求△BCD 的面积；（3）如果点P在原抛物线上，且在对称轴的右侧，联结BP交线段OA于点Q，＝，求点P的坐标．31．（2020•宝山区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，当以点A、D、P、Q为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点P的坐标．参考答案一．选择题1．解：A、由a＝1＞0知抛物线开口向上，此选项描述正确；B、∵抛物线的开口向上且对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而证得，故此选项描述错误；由y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1知抛物线的顶点坐标为（1，1），此选项错误；C、∵抛物线的对称轴为y轴，∴该函数图象关于y轴对称，此选项描述正确；D、该函数图象可由函数y＝x2的图象向下平移3个单位得到，此选项描述正确；故选：B．2．解：∵抛物线y＝3（x+1）2+1，∴该抛物线的顶点是（﹣1，1），在第二象限，故选：B．3．解：∵抛物线y＝x2，∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，∴A（﹣2，y1）关于y轴对称点的坐标为（2，y1）．又∵0＜1＜2，∴y1＞y2＞0，故选：C．4．解：∵二次函数y＝1﹣2x2中﹣2＜0，∴图象开口向下，故选：D．5．解：方法一：根据题意，得y＝x2+6x（0≤x≤4），＝﹣（x﹣2）2+6所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米．方法二：因为对称轴x＝＝2，所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米．故选：B．6．解：二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），y＝x（x﹣1）＝x2﹣x，故选：D．7．解：二次函数的标准形式为y＝ax2+bx+c（a≠0），∴y＝x2+1是二次函数，故选：C．8．解：∵y＝a（x﹣k）2﹣k（a≠0），∴抛物线的顶点为（k，﹣k），∵k为任意实数，∴顶点在y＝﹣x直线上，故选：B．9．解：∵将抛物线y＝（x+1）2﹣3向右平移2个单位，∴新抛物线的表达式为y＝（x+1﹣2）2﹣3＝（x﹣1）2﹣3，故选：A．10．解：∵抛物线y＝x2﹣8x+9＝（x﹣4）2﹣7的顶点坐标为（4，﹣7），抛物线y＝x2﹣2的顶点坐标为（0，﹣2），∴顶点由（0，﹣2）到（4，﹣7）需要向右平移4个单位再向下平移5个单位．故选：D．11．解：由表格中点（0，﹣5），（4，﹣5），可知函数的对称轴为x＝2，设函数的解析式为y＝a（x﹣2）2+c，将点（0，﹣5），（1，﹣）代入，得到a＝﹣，c＝﹣3，∴函数解析式y＝﹣（x﹣2）2﹣3；∴抛物线开口向下，抛物线在对称轴左侧部分是上升的；故选：C．12．解：二次函数y＝x2，将它的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的解析式为y＝（x+1）2﹣2．故选：B．13．解：∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，∴顶点坐标为（2，1），故选：B．14．解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为（m，n），且在第四象限，∴m＞0，n＜0，则一次函数y＝mx+n经过第一、三、四象限．故选：B．15．解：∵二次函数y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，∴该函数图象有最高点（1，﹣2），故选项A错误，选项B错误；该函数图象在x轴下方，故选项C正确；该函数图象在对称轴左侧是上升的，故选项D错误；故选：C．二．填空题（共10小题）16．解：二次函数y＝﹣x2+c的开口向下，对称轴为y轴，∴当x＜0时，y随x的增大而增大，∵﹣2＜﹣1，∴y1＜y2．故答案为：y1＜y2．17．解：∵抛物线y＝（k﹣1）x2+9在y轴左侧的部分是上升的，∴抛物线开口向下，∴k﹣1＜0，解得k＜1．故答案为：k＜1．18．解：∵抛物线y＝（a﹣1）x2﹣1（a为常数）不经过第二象限，且该抛物线与y轴交于负半轴，∴a﹣1＜0，解得：a＜1．故答案为：a＜1．19．解：抛物线y＝x2+2向右平移3个单位后的解析式为：y＝（x﹣3）2+2．再向上平移2个单位后所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣3）2+2+2，即y＝x2﹣6x+13．故答案是：y＝x2﹣6x+13．20．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∵点（﹣1，y1）到直线x＝1的距离为2，点（，y2）到直线x＝1的距离为﹣1，点（2，y3）到直线x＝1的距离为1，∴点（﹣1，y1）到直线x＝1的距离最大，点（，y2）到直线x＝1的距离最小，而抛物线的开口向上，∴y2＜y3＜y1．故答案为y2＜y3＜y1．21．解：∵抛物线y＝x2﹣4x+m的对称轴为x＝2，∴当x＝2时函数有最小值，∴b≥a，故答案为≤．22．解：∵y＝2x2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣2，y＝2x2+4x＝2（x+1）2﹣2，∴两抛物线的顶点坐标分别为（1，﹣2）和（﹣1，﹣2），∴将抛物线y＝2x2﹣4x先向左平移2个单位长度，可以得到抛物线y＝2x2+4x．故答案为：向左平移2个单位．23．解：∵函数y＝（m+1）x+2是二次函数，∴m2﹣m＝2，（m﹣2）（m+1）＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣1，∵m+1≠0，∴m≠﹣1，故m＝2．故答案为：2．24．解：∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2，∴该抛物线的对称轴为x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小，∴在对称轴右侧的部分是下降的，故答案为：右．25．解：∵抛物线y＝（1﹣a）x2+1的开口向下，∴1﹣a＜0，解得，a＞1，故答案为：a＞1．三．解答题（共6小题）26．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），则有，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，顶点D（﹣1，4）．（2）∵A（﹣3，0），C（0，3），D（﹣1，4），∴AD＝＝2，CD ＝＝，AC ＝＝3，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴tan∠DAC＝＝．（3）过点P作x轴的垂线，垂足为H．∵点P在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，∴设P（a，﹣a2﹣2a+3），可得PH＝|﹣a2﹣2a+3|，AH＝a+3，∵∠PAB＝∠DAC，∴tan∠PAB＝tan∠DAC＝＝．①当a+3＝3（﹣a2﹣2a+3），解得a＝或﹣3（舍弃），∴P（，），过点P作x轴的平行线与抛物线交于点N，则点N与点P关于直线x＝﹣1对称，根据对称性可知N（﹣，），∴平移的距离为．②当a+3＝﹣3（﹣a2﹣2a+3），解得a＝或﹣3（舍弃），∴P（，﹣），过点P作x轴的平行线交抛物线于点Q，则点Q与点P关于直线x＝﹣1对称，根据对称性可知Q（﹣，﹣），∴平移的距离为，综上所述，平移的距离为或．27．解：（1）∵点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，∴A（3，0），把A（3，0）代入抛物线y＝ax2﹣4ax+3中得：0＝9a﹣12a+3，∴a＝1，∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴C（2，﹣1）；（2）当y＝1时，x2﹣4x+3＝1，解得：x1＝2﹣，x2＝2+，由题意得：D（2+，1），∵B（0，1），C（2，﹣1），∴BC＝＝2，BD＝2+，∵∠DBC＝∠PBC＝45°，且相似比不为1，只能△CBP∽△DBC，∴，即，∴BP＝8﹣4，∴P（0，4﹣7）；（3）连接AC，过E作EH⊥BD于H，由旋转得：∠CBD＝∠ABE，∴∠EBD＝∠ABC，∵AB2＝32+12＝10，BC2＝22+22＝4，AC2＝12+12＝2，∴AB2＝BC2+AC2，∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，∴tan∠ABC＝＝，∴tan∠EBD＝＝，设EH＝m，则BH＝2m，∴E（2m，m+1），∵点E在抛物线上，∴（2m）2﹣4×2m+3＝m+1，4m2﹣9m+2＝0，解得：m1＝2，m2＝（舍），∴E（4，3）．28．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4过点A（﹣3，0）和点B（3，2），∴，解得，∴；（2）如图1，连接AC，DH，∵点C关于直线AP的对称点D，∴AD＝AC，∵与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A（﹣3，0），∴AC＝5，∴AD＝5，∴点D（2，0），设直线AP与y轴交于点H，则HC＝HD，设OH＝a，则HC＝HD＝4﹣a，在Rt△HOD中，HD2＝OH2+OD2，∴（4﹣a）2＝a2+22，∴，∴直线AP的截距为；（3）∵点E是y轴正半轴上一点，∴△AOE是直角三角形，且∠AOE＝90°当△EAO与△EAF全等时，存在两种情况：①如图2，当∠EFA＝∠AOE＝90°，△EFA≌△AOE，∴EF＝OA，∵∠AHO＝∠EHF，∠AOH＝∠EFH＝90°，∴△AOH≌△EFH（AAS），∴AH＝EH，由（2）知：OH＝，∴EH＝AH＝OE﹣，Rt△AHO中，AH2＝AO2+OH2，∴（OE﹣）2＝32+，解得：OE＝或（舍），∴点E的纵坐标是；②如图3，当∠EFA＝∠AOE＝90°，△EFA≌△EOA，∴AF＝AO＝3，EF＝OE，Rt△AHO中，AH＝＝，∴FH＝﹣3，EH＝﹣OE，Rt△EFH中，由勾股定理得：EH2＝FH2+EF2，∴（﹣OE）2＝（﹣3）2+OE2，解得：OE＝3﹣6，∴点E的纵坐标是3﹣6；综上，点E的纵坐标是或3﹣6．29．解：（1）∵该抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，而点A（﹣3，0），∴点B的坐标为（1，0），∵c＝﹣3，故点C的坐标为（0，﹣3），∵函数的对称轴为x＝﹣1，故点D的坐标为（﹣1，﹣4）；（2）过点D作DM⊥AB，垂足为M，则OM＝1，DM＝4，AM＝2，OB＝1，∴，∴，∴，∴；（3）设直线AC的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，故直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，将点A的坐标代入抛物线表达式得：9a﹣6a﹣3＝0，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3，设点E（x，x2+2x﹣3），则点F（x，﹣x﹣3），则EF＝（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x，FH＝x+3，∵EF＝2FH，∴﹣x2﹣3x＝2（x+3），解得：x＝﹣2或﹣3（舍去﹣3），故m＝﹣2，故点E的坐标为：（﹣2，﹣3）．30．解：（1）∵抛物线y＝x2+mx+n的对称轴是直线x＝1，∴﹣＝1，∴m＝﹣2，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x+n，∵抛物线过点（2，﹣2），∴4﹣2×2+n＝﹣2，∴n＝﹣2，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，∴顶点B的坐标为（1，﹣3）；（2）如图1，由平移知，平移后的抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝﹣1或x＝3，∵点D在x正半轴上，∴D（3，0），针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣2，令x＝0，则y＝﹣2，∴C（0，﹣2），∴直线CD的解析式为y＝x﹣2，记直线CD与直线x＝1的交点为E，则E（1，﹣），∴S△BCD＝BE•|x D﹣x C|＝×|﹣﹣（﹣3）|×3＝；（3）如图2，设P（a，a2﹣2a﹣2），过点P作PN垂直于直线x＝1于点N过点Q作QM⊥PN于M，∴QM∥NB，∴△PMQ∽△PNB，∴＝，∵，∴＝，∵PN＝a﹣1，BN＝a2﹣2a﹣2+3＝a2﹣2a+1，∴，∴QM＝（a2﹣2a+1），PM＝（a﹣1），∴MN＝PN﹣PM＝（a﹣1），点Q与点B的纵坐标之差的绝对值为（a2﹣2a+1），∴Q（a+，a2﹣a﹣），∵A（2，﹣2），∴直线OA的解析式为y＝﹣x，∵点Q在线段OA上，∴a++a2﹣a﹣＝0，∴a＝﹣3（舍）或a＝4，∴P（4，6）．31．解：（1）当y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x+1）（x﹣3），得A（﹣1，0），B（3，0），∵直线l：y＝kx+b过A（﹣1，0），∴0＝﹣k+b，即k＝b，∴直线l：y＝kx+k，∵抛物线与直线l交于点A，D，∴ax2﹣2ax﹣3a＝kx+k，即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k＝0，∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4，∴﹣3﹣＝﹣1×4，∴k＝a，∴直线l的函数表达式为y＝ax+a；（2）如图1，过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），则F（x，ax+a），EF＝ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a＝ax2﹣3ax﹣4a，∴S△ACE＝S△AFE﹣S△CEF＝（ax2﹣3ax﹣4a）（x+1）﹣（ax2﹣3ax﹣4a）x＝（ax2﹣3ax﹣4a）＝a（x﹣）2﹣a，∴△ACE的面积的最大值═a，∵△ACE的面积的最大值为，∴﹣a＝，解得a＝﹣；（3）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，令ax2﹣2ax﹣3a＝ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴D（4，5a），∵抛物线的对称轴为直线x＝1，设P（1，m），①如图2，若AD是矩形ADPQ的一条边，则易得Q（﹣4，21a），∴m＝21a+5a＝26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ是矩形，∴∠ADP＝90°，∴AD2+PD2＝AP2，∴52+（5a）2+32+（26a﹣5a）2＝22+（26a）2，即a2＝，∵a＜0，∴a＝﹣∴P（1，﹣）；②如图3，若AD是矩形APDQ的对角线，则易得Q（2，﹣3a），∴m＝5a﹣（﹣3a）＝8a，则P（1，8a），∵四边形APDQ是矩形，∴∠APD＝90°，∴AP2+PD2＝AD2，∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2＝52+（5a）2，即a2＝，∵a＜0，∴a＝﹣，∴P（1，﹣4），综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P（1，﹣）或（1，﹣4）．。

相关主题
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2021年上海市16区中考数学一模汇编
专题14 二次函数（解答题24题压轴题）
1．（2021·上海徐汇区·九年级一模）已知二次函数224(0)y ax ax a a =-++<的大致图像如图所示，这个
函数图像的顶点为点 D ．
（1）求该函数图像的开口方向、对称轴及点D 的坐标；
（2）设该函数图像与y 轴正半轴交于点C ，与x 轴正半轴交于点B ，图像的对称轴与x 轴交于点A ，如果
DC BC ⊥，1tan 3
DBC ∠=，求该二次函数的解析式； （3） 在（2）的条件下，设点M 在第一象限该函数的图像上，且点M 的横坐标为(1)t t >，如果 ACM ∆的面积是258
，求点M 的坐标．
2．（2021·上海长宁区·九年级一模）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx +2经过点()3,6A --、()6,0B ，与y 轴交于点C ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D 是抛物线上的点，且位于线段BC 上方，联结CD ．
①如果点D 的横坐标为2．求cot∠DCB 的值；
②如果∠DCB ＝2∠CBO ，求点D 的坐标．
3．（2021·上海虹口区·九年级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0A -、()3,0B 、()0,3C ，抛物线2
y ax bx c =++经过A 、B 两点．
（1）当该抛物线经过点C 时，求该抛物线的表达式；
（2）在（1）题的条件下，点P 为该抛物线上一点，且位于第三象限，当PBC ACB ∠=∠时，求点P 的坐标；
（3）如果抛物线2y ax bx c =++的顶点D 位于BOC 内，求a 的取值范围．
4．（2021·上海金山区·九年级一模）在平面直角坐标系xoy 中，直线324y x =-
+与直线132
y x =-相交于点A ，抛物线21(0)y ax bx a =+-≠经过点A ．
（1）求点A 的坐标；
（2）若抛物线21y ax bx =+-向上平移两个单位后，经过点()1,2-，求抛物线2
1y ax bx =+-的表达式； （3）若抛物线2y a x b x c =+'+'()0a '<与21y ax bx =+-关于x 轴对称，且这两条抛物线的顶点分别是
点P '与点P ，当3OPP S ∆'=时，求抛物线21y ax bx =+-的表达式．
5．（2021·上海青浦一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()
4,0A -和点()2,0B ，与y 轴交于点C ．
（1）求该抛物线的表达式及点C 的坐标：
（2）如果点D 的坐标为()8,0-，联结AC 、DC ，求ACD ∠的正切值；
（3）在（2）的条件下，点P 为抛物线上一点，当OCD CAP ∠=∠时，求点P 的坐标．
6．（2021·上海黄浦区·九年级一模）如图，平面直角坐标系内直线4y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点C 是线段OB 的中点．
（1）求直线AC 的表达式：
（2）若抛物线2
y ax bx c =++经过点C ，且其顶点位于线段OA 上（不含端点O 、A ）． ①用含b 的代数式表示a ，并写出1b
的取值范围； ②设该抛物线与直线4y x =+在第一象限内的交点为点D ，试问：DBC △与DAC △能否相似？如果能，请求此时抛物线的表达式：如果不能，请说明由．
7．（2021·上海浦东新区·九年级一模）二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图像经过点A(2，4)、B(5，0)
和O(0，0)．
（1）求二次函数的解析式；
（2）联结AO ，过点B 作BC∠AO 于点C ，与该二次函数图像的对称轴交于点P ，联结AP ，求∠BAP 的余切值； （3）在（2）的条件下，点M 在经过点A 且与x 轴垂直的直线上，当AMO 与ABP 相似时，求点M 的坐标．
8．（2021·上海静安区·九年级一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线
1
(0)
2
y x m m
=-+>与x轴、y
轴分别交于点A 、B ．抛物线2
4y ax bx =++（a ≠0）经过点A ，且与y 轴相交于点C ，∠OCA =∠OAB ． （1）求直线AB 的表达式；
（2）如果点D 在线段AB 的延长线上，且AD =AC ．求经过点D 的抛物线24y ax bx =++的表达式； （3）如果抛物线24y ax bx =++的对称轴与线段AB 、AC 分别相交于点E 、F ，且EF =1，求此抛物线的顶
点坐标．
9．（2021·上海宝山区·九年级一模）已知抛物线()2
0y ax bx a =+≠经过 ()4,0A ，()1,3B -两点，抛物线的对称轴与x 轴交于点C ，点 D 与点B 关于抛物线的对称轴对称，联结BC 、BD ．
（1）求该抛物线的表达式以及对称轴；
（2）点E 在线段BC 上，当CED OBD =∠∠时，求点 E 的坐标；
（3）点M 在对称轴上，点N 在抛物线上，当以点O 、A 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积．
10．（2021·上海普陀区·九年级一模）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线21y ax bx =++与y 轴
交于点A ，顶点B 的坐标为(2,1)-．
（1）直接写出点A 的坐标，并求抛物线的表达式；
（2）设点C 在x 轴上，且90CAB ∠=︒，直线AC 与抛物线的另一个交点为点D ．
①求点C 、D 的坐标；
②将抛物线21y ax bx =++沿着射线BD 的方向平移；平移后的抛物线顶点仍在线段BD 上；点A 的对应点为点P ．设线段AB 与x 轴的交点为点Q ，如果ADP △与CBQ △相似，求点P 的坐标．
11．（2021·上海松江区·九年级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax bx =+-经过点()
2,0A 和(1,1)B --与y 轴交于点C ．
（1）求这个抛物线的表达式；
（2）如果点P是抛物线位于第二象限上一点，PC交x轴于点D，
2
3 PD
DC
=．
①求P点坐标；
②点Q在x轴上，如果QCA PCB
∠=∠，求点Q的坐标．
12. （2021崇明一模）如图，已知对称轴为直线1x =-的抛物线23y ax bx =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为()1,0．
（1）求点B 的坐标及抛物线的表达式；
（2）记抛物线的顶点为P ，对称轴与线段BC 的交点为Q ，将线段PQ 绕点Q ，按顺时针方向旋转120︒，请判断旋转后点P 的对应点P '是否还在抛物线上，并说明理由；
（3）在x 轴上是否存在点M ，使MOC △与BCP 相似？若不存在，请说明理由；若存在请直接写出点M 的坐标【不必书写求解过程】．
13.（2021奉贤一模） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212
y x bx c =-++与x 轴正半轴交于点()4,0A ，与y 轴交于点()0,2B ，点C 在该抛物线上且在第一象限．
()1求该抛物线的表达式；
()2将该抛物线向下平移m 个单位，使得点C 落在线段AB 上的点D 处，当13
AD BD =时，求m 的值； ()3联结BC ，当2CBA BAO ∠=∠时，求点C 的坐标．
14. （2021嘉定一模）在平面直角坐标系xOy 中（如图）．已知点()1,2A -，点()1,6B ，点()1,4C ．如果抛物线()2
30y ax bx a =++≠恰好经过这三个点之中的两个点．
（1）试推断抛物线23y ax bx =++经过点A 、B 、C 之中的哪两个点？简述理由；
（2）求常数a 与b 的值：
（3）将抛物线23y ax bx =++先沿与y 轴平行的方向向下平移2个单位长度，再与沿x 轴平行的方向向右平移0t t 个单位长度，如果所得到的新抛物线经过点()1,4C ．设这个新抛物线的顶点是D ．试探究ABD △的形状．
15.（2021闵行一模） 在平面直角坐标系xOy 中，如果抛物线2y ax bx c =++上存在一点A ，使点A 关于坐标原点O 的对称点A '也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归抛物线，点A 叫做这条抛物线的回归点．
（1）已知点M 在抛物线224y x x =-++上，且点M 的横坐标为2，试判断抛物线2
24y x x =-++是否为回归抛物线，并说明理由；
（2）已知点C 为回归抛物线22y x x c =--+的顶点，如果点C 是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，所求得的抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．连接CO 并延长，交该抛物线于点E ．点F 是射线CD 上一点，如果CFE DEC ∠=∠，求点F 的坐标．
16.（2021杨浦一模）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2
4y x m =--+与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C 、D （点C 在点D 左侧），顶点A 在第一象限，异于顶点A 的点()1,P n 在该抛物线上．
（1）如果点P 与点C 重合，求线段AP 的长；
（2）如果抛物线经过原点，点Q 是抛物线上一点，tan 3OPQ ∠=，求点Q 的坐标；
（3）如果直线PB 与x 轴负半轴相交，求m 的取值范围．。

相关文档
最新文档